Ecuaciones de Maxwell en Medios Conductores

Carlos José Cabrera Muñoz (carloscabrera@ciencias.unam.mx), Israel Chávez Villalpando

(israelito@ciencias.unam.mx), Jairo Eduardo Leiva Mateus (leduhardo@hotmail.com)

En este trabajo se muestra una breve introducción de las ondas electromagnéticas incidiendo enmedios conductores. Existen ejemplos varios de la interacción entre las ondas con los conductores,hemos tomado como ejemplo la fotocatálisis.

I. CONCEPTO DE UN MEDIO CONDUCTOR

Los metales son medios isótropicos que se caracterizan porque su conductividad, σ no es nula. Si además suponemosque no vamos a tratar con metales ferromagnéticos podemos poner, como en los dieléctricos µ = 1.La característica sobresaliente de los medios conductores es la presencia de un número de cargas eléctricas libres

(libres en el sentido de que no estan ligadas, es decir, son capaces de circular por todas partes dentro del material).Para los metales estas cargas son por supuesto electrones y su movimiento constituye una corriente. La corriente porunidad de área J, que resulta de la aplicación de un campo eéctrico E, está relacionada por medio de la ecuaciónJ = σE (Ley de Ohm en su forma diferencial). Para un dieléctrico no hay electrones libres o de conducción yσ = 0, mientras que para los metales reales σ es diferente de cero y �nita. En contraste, un conductor perfectoidealizado tendrá una conductividad in�nita. Esto equivale a decir que los electrones impulsados a oscilar por unaonda armónica simplemente seguirían las alteraciones del campo. No habría fuerza de restauración, ni frecuenciasnaturales, ni absorción; solamente reemisión.En metales reales los electrones de condución sufren colisiones con la red agitada térmicamente o con imperfecciones

y al hacerlo así, convierten energía electromagnética en forma irreversible en calor de Joule. Evidentemente la absorciónde energía radiante por el material es una función de su conductividad. La interacción entre la luz y los metales tomalugar entre el campo eléctrico-óptico y la banda de conducción del metal. Algo de la energía radiante (luz) puedetransferirise a la rejilla por colisiones en forma de calor.

II. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN UN MEDIO CONDUCTOR

Ecuaciones de Maxwell en el vacío

Las leyes de Maxwell en el vacío en su forma difrencial estan dadas como

∇ ·E =ρ

ε0Ley de Gauss (1)

∇ ·B = 0 Ausencia de monopolo magnético (2)

∇×E = −∂B∂t

Ley de Faraday (3)

∇×B = ε0µ0∂E

∂t+ µ0J Ley de Maxwell-Ampère. (4)

donde ε0 es la constante dieléctrica en el vacío y µ0 la constante de permeabilidad magnética en el vacío. Se puedeencontrar a partir de (3) y (4) la ecuación de onda del campo electromagnético de forma diferencial

∇2E− µ0ε0

∂2E

∂t2= 0

∇2B− µ0ε0

∂2B

∂t2= 0 (5)

cuya solución se propone como

E = E0 ei(r·s−ωt)

B = B0 ei(r·s−ωt) (6)

donde r es el vector de posición y s el vector desplazamiento de la onda. Recordando que eiθ = cos(θ) + i sin(θ), estarepresentacion será muy útil puesto que podremos diferenciar a un medio conductor de un medio dieléctrico por sucomponente imaginaria en la ecuación de onda.

Ondas EM incidentes en un medio conductor

Las ecuaciones de Maxwell en un medio material serán

∇ ·E = 0 (7)

∇ ·H = 0 (8)

∇×E = −1

c

∂H

∂t(9)

∇×H =4π

cσE+

ε

c

∂E

∂t(10)

donde 1/c =√ε0µ0 y σ es la conductividad. H es el vector de intensidad magnética a diferencia de B que es el vector

de inducción magnética. Puesto que la componente magnética del campo es de 8 órdenes de magnitud menor que elcampo eléctrico ignoraremos por el momento esta componente de forma que solo tomaremos E de (6), tengamos encuenta que

∂E

∂t= iωE o bien E = − i

ω

∂E

∂t

donde ω es la frecuencia de la onda. Introduzcamos esta expresión del campo E en (10) obteniendo

∇×H =1

c

(ε− i

4π − σω

)∂E

∂t. (11)

Esta ecuación es análoga para los dieléctricos isótropos (ver Ref.[2]) pero con una constante dieléctrica compleja.Como 4πσ/ω = 2σT donde T es el periodo entonces

ε = ε− 2iσT.

Los medios conductores pueden tratarse como dieléctricos asignándoles un índice de refracción complejo n dado porla relación de Maxwell n =

√ε con lo que n2 = ε = ε− 2iσT = (nr − ni)2, de aquí nrni = σT , con lo cuál podemos

llegar a la relación de Drude nr ∼= ni ∼=√σT .

Las ecuaciones de propagación serán las mismas que para un medio dieléctrico pero introduciendo en ellas el índicecomplejo n entonces

E = E0 eiω(t+n

c φ) (12)

donde φ = r · s. Sustituyendo en la ec. de onda obtenemos

E = E0 e− 1

cωniφ eiω(t+nrc φ) (13)

de donde el primer término E0 e− 1

cωniφ es la amplitud y el segundo el término eiω(t+nrc φ) es la ecuación de una onda

plana. Identi�camos el término α = 2ωni/c como el coe�ciente de atenuación, y ni el coe�ciente de extinción. nr yni son conocidos como las constantes ópticas de los metales.El cambio del campo E con el tiempo genera un voltaje, las corrientes circulan y como el material es resistivo,

la luz se convierte en calor; por consiguiente hay absorción. Relativo al coe�ciente de atenuación, la densidad de�ujo caerá por un factor de e−1 = 1/2.7 ∼ 1/3 después de que la onda se ha propagado una distancia z = 1/αconocida como la profundidad de penetración. Para que un material sea transparente su profundidad de penetracióndebe ser grande en comparación con su grosor, la profundidad para metales es excesivamente pequeña, esto explicala opacidad de los metales, los cuáles no obstante, pueden hacerse parcialmente transparentes cuando se forman enpelículas extremadaente delgadas. El lustre familiar de los metales obedece a una re�actancia, que a su vez se debeal hecho de que la onda incidente no puede penetrar efectivamente el material.

III. EJEMPLO DE UNA ONDA EM INCIDIENDO EN UN MEDIO CONDUCTOR

Proceso de Fotocatálisis

La teoría cuántica de los sólidos ha establecido una completa y rigurosa descripción de los niveles de energía de unsemiconductor, de la naturaleza de los portadores de carga y de las leyes que gobiernan su movimiento. El espectro

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FIG. 1: Proceso de fotocatálisis.

de energía de los electrones en un cristal ideal consiste de grupos de estados de energía llenos y estados de energíavacíos, llamados también bandas de valencia (BV) y banda de conducción (BC) respectivamente. Entre estas bandasde energía existe una zona en la que no es posible que permanezca un electrón por falta de estados de energía, a estazona se le denomina bandgap, banda prohibida o ancho de banda óptico. Del valor de este ancho de banda ópticodependen las características electrónicas del material, si es mayor a 4eV es denominado dieléctrico y si es cercana oigual a cero se le denomina metal, en cualquier otra circunstancia se denomina semiconductor.Los principios básicos de la fotocatálisis por medio de semiconductores se ilustran en el diagrama de la �gura 1.

El proceso de fotocatálisis se inicia por la absorción de fotones con energía igual o mayor que la banda prohibida delsemiconductor, como se muestra en la sección ampliada del diagrama de la �gura 1. Después de irradiar luz en elsemiconductor, los electrones excitados saltan de la banda de valencia (BV) a la banda de conducción (BC), dejandohuecos con carga positiva en la banda de valencia. La separación del electrón y el hueco pueden seguir cuatro rutas.Que el electrón y el hueco pueden combinarse creando una partícula en la super�cie del semiconductor (ruta-1) o bienque se combinen en el volúmen del semiconductor (ruta-2) en unos pocos nanosegundos con la liberación de calor.Bajo esta dos situaciones, no hay radicales libres por lo cual se continúan con las reacciones secundarias y no habráactividad fotocatalítica.Las otras dos rutas son que el electrón y el hueco logren migrar de la super�cie del semiconductor sin recombinarse,

entonces el semiconductor cede electrones de la super�cie a un receptor de electrones (A) que puede ser un colorante,(ruta-3), mientras que un electrón de la donante de electrones (D) se combina con el agujero de la super�cie queoxida la especie donante de electrones (ruta-4). Debido a la duración limitada de los pares de electrones y agujeros,el aceptor de electrones y la especie donante debe estar cerca de las partículas del semiconductor.

[1] W. Greiner, Classical Electrodynamics, (Springer, NY, 1988).[2] J. Rodríguez, et. al. Fundamentos de Óptica Ondulatoria (Universidad de Oviedo, Servicio de Publicación, 1998).[3] M. Bass, G. Li, E. Van Stryland. Handbook of Optics, Volume IV. Optical Properties of Materials, Nonlinear Optics,

Quantum Optics (McGraw-Hill, 2010).[4] L.D. Landau, E.M. Lifshiftz Electrodynamics of Continuos Media (Pergamon Press, Oxford, 1981).[5] M. Hadis y Ö. Ümit, Zinc Oxide, Fundamentals, Materials and Device Technology (Wiley VCH, 2007).

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