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12 m2

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION REAL DE VARIAS

VARIABLES

Supongamos que tenemos 12 metros cuadrados de una lámina de metal. Si

queremos construir una caja rectangular sin tapa. Cuáles deben ser sus

medidas para que el volumen sea máximo?

 

Este es uno de los tantos problemas que podemos resolver al fnal de esta

clase. Para ello necesitamos establecer algunos conceptos previos.

1. PUNTOS EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS

ABSOLUTOS DE UNA FUNCION.

efnici!n." sean# $ una $unci!n de dos variables con dominio .

  %a&b' un punto .

a' Se dice que %a&b' es un punto máximo absoluto de $ si

 (%x&)' *$%a&b'& para cada %x&)' en

El n+mero real $%a&b' se llama máximo absoluto de $.

b' Se dice que %a&b' es un punto m,nimo absoluto de $ si

 (%a&b'*$%x&)'& para cada %x&)' en .

El n+mero real $%a&b' se llama m,nimo absoluto de $.

Ejemplo 1." consideremos la $unci!n $%x&)' - x2 )2 con dominio el conjunto

/%x&)' 0 2x2  )2 * 3}

Punto m,nimo absoluto# %4&4' Punto máximo absoluto# cualquier punto de la

circun$erencia C# x2 )2-3

5,nimo absoluto# $%4&4' - 4 máximo absoluto # $%p'-3

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6bservaciones." a partir del ejemplo 1 se pueden 7acer algunos comentarios#

• 8n punto de extremo absoluto puede ocurrir en el interior del dominio o en su

$rontera.• 9os valores máximos ) m,nimo absoluto de una $unci!n son +nicos.

•

9os puntos de extremos absolutos no son necesariamente +nicos.• El dominio es un conjunto cerrado ) acotado ) además $ es continua en .

en general. Esta es una condici!n sufciente para garanti:ar la existencia de

puntos de extremos bsolutos de una $unci!n.

; continuaci!n defnimos los conceptos de conjunto cerrado& conjunto acotado )

establecemos el teorema que $ormali:a el +ltimo comentario.

Conjunto cerrado." un conjunto en 2 %

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2. PUNTOS DE EXTREMO LOCALES Y EXTREMOS LOCALES

DE UNA FUNCION.

En muc7os problemas no solo 7a) que determinar en qu@ puntos de dominio& una

$unci!n tiene un extremo absoluto& sino tambi@n en que puntos& al menos

localmente& se alcan:an valores extremos.

Defniciones

egi!n rectangular abierta."

- /%x&)' 0 2 a Ax A b & c A ) A dB

 

egi!n rectangular cerrada."

- /%x&)' 0 2 a *x * b & c * ) * dB

efnici!n." Sean# $ una $unci!n de dos variables.

%a&b' un punto del dominio de $.

a' Se dice que %a&b' es un punto máximo local de $& si existe una regi!n

rectangular cerrada que contiene a %a&b' tal que#

 (%x&)' *$%a&b'& para cada %x&)' en

El numero $%a&b' se llama máximo local de $.

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b' Se dice que %a&b' es un punto m,nimo local de $& si existe una regi!n

rectangular cerrada que contiene a %a&b' tal que#

 (%x&)' *$%a&b'& para cada %x&)' en

El numero $%a&b' se llama m,nimo local de $.

6bservaci!n." En la defnici!n de un punto máximo %m,nimo' local se supone quela regi!n rectangular cerrada está incluida en el dominio de la $unci!n $.

En !" f#$%" si#$ien&e se m$es&%" !" #%'fc" (e $n" )$nci*n con +"%ios

m',imos - mnimos !oc"!es. Se /$e(e /ens"% 0$e !os m',imos !oc"!es son

!"s "!&$%"s (e !"s c$m%es - !os mnimos !oc"!es !"s /%o)$n(i("(es (e !os

+"!!es.

3. PUNTOS CRITICOS.

efnici!n." sean# $ una $unci!n real de dos derivadas con dominio .

%a&b' un punto de .

Se dice que %a&b' es un punto cr,tico de $ si satis$ace una de las condiciones

siguientes#

%a' $x%a&b' - 4 ) $)%a&b' - 4%b' $x%a&b' o $)%a&b' no existe.

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8sando el teorema anterior podemos afrmar que todo punto extremo local es un

punto cr,tico.

Ejemplo." eterminar los puntos cr,ticos de la $unci!n $%x&)'-2x)"x2"2)2

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%d' 9a ma)or %menor' imagen 7allada en %c' será el máximo o minimo absoluto

de $ en .

EjemploH."calcule los valores máximos ) m,nimo absoluto de la $unci!n $ defnida

como#

$%x&)'-x2x )2"2 & para %x&)' en -/%x&)' 0 2 x2 )2 * 3}

5. CRITERIO DE LA SE6UNDA DERIVADA PARA

CLASIFICAR A LOS PUNTOS CRITICOS.

Sabemos que todo punto de extremo local de una $unci!n es un punto cr,tico de

ella. ;s,& los puntos en que una $unci!n tiene máximo o m,nimo local deben ser

buscados en los puntos cr,ticos. Para ello necesitamos un criterio que nos permita

afrmar si un punto cr,tico dado es un punto de máximo o m,nimo local o nada de

eso.

 =eorema."  sean# $ una $unci!n de dos variables cu)as derivadas parciales desegundo orden son continuas.

%a&b' es un punto cr,tico de $ con $ x%a&b'-4-$ )%a&b'

g%a&b'-$ xx%a&b' $ ))%a&b' G %( x)%a&b''2

%a' Si g%a&b' I4 ) $xx%a&b' I4 & entonces $%a&b' es un minimo local.%b' Si g%a&b' I4 ) $xx%a&b'

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Para resolver el problema planteado debemos buscar valores extremos de $%x&)'

cuando %x&)' está en la curva C de ecuaci!n g%x&)'-4. 9a fgura anterior muestra la

curva C junto con algunas curvas de nivel de $. dic7as curvas de nivel tienen

ecuaciones $%x&)'-K& donde K - 14& 24 L

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restringido por la curva intersecci!n de las superfcies O%x&)&:'-4 ) Q%x&)&:'-4. Se

puede demostrar que si un valor extremo ocurre en %x 4&)4&:4'& entonces el valor

gradiente N%x4&)4&:4' está en el plano determinado por O%x4&)4&:4' ) Q%x4&)4&:4'.

;si& existen n+meros reales M ) R tales que#

N%x4&)4&:4'- M O%x4&)4&:4' R Q%x4&)4&:4'8. CONCLUSIONES

En clase 7emos estudiado todos los elementos necesarios para determinar los

extremos absolutos de $unciones reales& )a sea con restricciones o sin ellas. En

particular& estudiamos el caso de una $unci!n que es continua sobre un conjunto

cerrado ) acotado& mostrando un m@todo para 7allar los extremos absolutos.

 =ambi@n 7emos visto la $orma de clasifcar a los puntos cr,ticos de una $unci!n. Para

ello utili:amos un criterio que bien se le podr,a considerar análogo al criterio de la

segunda derivada& estudiado en el curso anterior. Ninalmente& tratamos el problema

de 7allar los extremos de una $unci!n con una ) dos restricciones e inclusive& dimos

una interpretaci!n geom@trica del m@todo de los multiplicadores de 9agrange ent@rminos de los gradientes.