5APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 MAXIMOS Y MINIMOS

Continuamente el hombre esta buscando la mejor manera de hacer sus actividades. Por ejemplo una industria para ser productiva busca minimizar sus costos de producción. Un arquitecto necesita minimizar los costos de construcción de una nueva unidad departamental. Un Ingeniero Químico necesita maximizar la capacidad de una torre de destilación para obtener mayor producto puro.

A menudo muchos problemas cotidianos en que es necesario optimizar se pueden expresar en forma matemática. Si es así, él calculo diferencial puede proporcionar una poderosa herramienta para solucionar el problema.

Supongamos entonces que tenemos un problema expresado mediante una función F con dominio DF y de quiere optimizar de alguna manera (ver fig.5.1).

111

5.1 Máximos y mínimos.5.2 Velocidad instantánea.5.3 Aceleración en movimiento rectilíneo.

Lo primero que haremos es determinar si f puede poseer un valor máximo o mínimo en DF. Suponiendo que tales valores existen, queremos saber donde se alcanzan en DF. Finalmente, queremos calcular los valores máximos y mínimos

Fig. 5.1

Cálculo de máximos y mínimos

El cálculo de máximos y mínimos de una función es un proceso muy sencillo que será fácil de recordar si se tiene bien presente la fig. 5.2 y fig. 5.3.

Fig. 5.2

112

Hay máximo en una función si la derivada cambia de signo de positivo a negativo, es decir cuando la función es primero creciente y después decreciente, al pasar por un punto c, llamado punto crítico, en el que la derivada se hace nula, es decir, f’(c)=0

Df

x

y

m negativa

y

x

m=0

m positiva

c

m=0

Fig. 5.3

Los máximos y mínimos en una función pueden llamarse relativos o absolutos.Un máximo o un mínimo absoluto en una función se da cuando la ordenada y es mayor o menor en la gráfica relativamente.

Así, la fig.- a) presenta un mínimo absoluto en x=a; un máximo absoluto en x=d y, un máximo relativo en x=b y un mínimo relativo en x=c.

Los valores en el dominio de f para los que la pendiente se hace nula se les denomina “valores críticos “ así por ejemplo en la fig. 5.4 los valores críticos son b

113

Analógicamente, se tiene un mínimo en una función si la derivada cambia de signo de negativa a positiva, es decir, usando la función es primero decreciente y después creciente, al pasar por un punto crítico c, en el que la derivada es nula.

y

x c

m positivam negativa

y c. Estos valores él calcularse permiten analizar si la función tiene un máximo o mínimo relativo.

Método para calcular máximos y mínimos

1. Se halla la 1ra derivada de la función dada.2. Se iguala a cero la primera derivada de y se resuelve la ecuación resultante,

las raíces obtenidas son los valores críticos.3. Se consideran los valores críticos o no por uno con el fin de determinar los

signos de la primera derivada en primer lugar para un valor poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente (+) y después (-), la función presenta un máximo para el valor critico de la variable que se analiza; En el caso contrario de (-) a (+), se tiene un mínimo. Si el signo de la derivada no cambia, la función no presenta ni máximo ni mínimo para el valor critico analizado.

Ejemplos demostrativos

1. Calcular los máximos y mínimos de la función y=3+4x-2x2 Solución .

a) Se halla la primera derivada de la función

y=3+4x-2x2

y'=4-4x

b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve

4-4x=0

4(1-x)=0

1-x=0

x=1 valor critico .

c) Analizado el valor crítico x=1

un valor poco menor un valor poco mayorcon x=0 con x=2

114

y'=4-4(0)y' =4

y'=4-4(2)y'=4-8y'=-4

Para x=1, tenemos un máximo cuyo valor es: y=3+4x-2x2

y=3+4(1)-(1) 2

y=3+4-2y=5

Tabulando y=3+4x-2x2

x Y-3-2-10123

-27-13-3353-3

2. Calcular los máximos y mínimos de la función y=5-2x2+3x3

Solución.

y=5-2x2+3x3

y'=-4x+9x2

-4x+9x2=0

x=0 9x-4=0 9x=4

Analizando el valor crítico x=0

Para un valor poco menor Para un valor poco mayorCon x=-1

Con x=

y'=-4+9x2

y'=-4(1)+9(-1)2

y'=4+9y'=13

y'=-4x+9x2

y'= -4

y'=

115+ -máximo

+ -máximo

y'=

y'=

Analizando el valor crítico de x=

Para un valor poco menor Para un valor poco mayor

Con x=Con x=1

y'=y'=-4x+9x2

y'= -4(1)+9(1)2

y'= -4+9y'=5

Para x=0 , tenemos un máximo de :

y=5-2x2+3x3

y=5-2(0)2+3(0)2

y=5

Cuando x=0 , tenemos un máximo de 5

Para x= , tenemos un mínimo de

y=5-2x2+3x3

y=5-2

y=5-2

y=5-

y= 4.87

116

- +mínimo

Cuando x= tenemos un mínimo de 4.87

Tabulando y= 5-2x2+3x3

x Y-3-2-10

123

-94-2705

4.876

2168

3. Hallar las dimensiones de un recipiente cilíndrico de latón, de 1200 pulg3 de capacidad, que requiere la menor cantidad de metal (área total).

Solución .-

Construyendo una gráfica interpretativa del problema

117

r

h

r Tapa

A=2rh

r

A=r2

h

2r Seanr= radio de la baseh= alturav= volumen, 1200 pulg3

A= Cantidad de metal

El área total que se requiere de metal es:

A= r2 + r2 + 2rh = 2r2 + 2rh

Base Tapa Lateral

La fórmula del volumen del cicindro es:

v=r2h = 1200 pulg 3 despejando h,

h= sustituyendo en A= 2r2 + 2rh queda

A=2r2+2r

A=2r2+ Aplicando el método para máximos y mínimos

4r- por r2

4r3-2400 = 0

4r3 = 2400

r3=

r=5.758 pulg.

Analizando el valor crítico r= 5.758 pulg.

Para un valor poco menor Para un valor poco mayorCon r=5 Con r=6

118

Las dimensiones del cilindro para el cual la cantidad de metal es mínima, son:

Altura

h=

h= 11.52 pulg.

Radio

r=5.758 pulg.

El área mínima de metal es:

A= 2r2+2rh

A= 2(5.758)2+2(5.758)(11.52)

A= 208.316 + 416.777

A= 625.093 pulg2

4. Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 27 pulgadas por 12 de ancho, cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados como se muestra en la figura. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen.

119

x

12

27

Solución. Sean

x= Lado del cuadrado que se va a cortara= Ancho de la cajal= Largo de la cajav= Volumen de la caja

Mediante la fórmula del volumen para un prisma regular tenemos que

v= Area de la base x la altura

Observando en la figura vemos que la altura de la caja está determinada por x, quedando el volumen como.-

v=l.a.x. sustituyendo a y l queda

v= x(27-2x) (12-2x)

v=

5.2 VELOCIDAD INSTANTANEA

Para los cuerpos que presentan un movimiento rectilíneo, se acostumbra emplear una recta horizontal con un punto fijo llamado origen; hacia la derecha de dicho punto el movimiento se considera positivo y hacia la izquierda negativo.

Si consideramos el movimiento de un cuerpo Q sobre la recta AB y sea S la distancia medida del origen a una posición cualquiera de Q, el tiempo en que transcurre dicho movimiento se representa por t.

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A 0 t Qt

Q' B

s

s

Por cada valor de t corresponde una posición a Q y por consiguiente una distancia s, entonces la distancia está en función del tiempo, es decir, s=f(t) . Si a t se le da un incremento t, también s tendrá un incremento s, por tanto:

Velocidad media - expresa la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo en un intervalo de tiempo, es decir:

Velocidad instantánea

Es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo en un instante determinado, es decir, si un cuerpo se mueve con movimiento uniforme, dicha razón tendrá un mismo valor para todo el intervalo de tiempo.

A la velocidad instantánea se le denomina simplemente velocidad v en el instante t y se define por "La velocidad en un instante cualquiera es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero"

Velocidad v= Lim

La derivada del espacio o distancia con respecto al tiempo es la velocidad en un instante cualquiera.

Ejemplos demostrativos.

1. Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación (en metros).

a) Calcular su velocidad media en el intervalo .b) Calcular velocidad media en el intervalo .c) Encuentre su velocidad instantánea cuando

Solución.

a) Para poder calcular la velocidad promedio necesitamos conocer el intervalo de distancia que el objeto recorre en el intervalo de tiempo dado, por lo que se requiere evaluar y en la ecuación de la distancia.

Para Para

121

t0

La ecuación de la velocidad media es , sustituyendo se tiene:

Evaluando para

Sustituyendo en la ecuación de la velocidad media es , se tiene:

c) La velocidad instantánea cuando Derivando la ecuación de la distancia

Relación entre la rapidez de variación de variables relacionadas

En este tipo de problemas interviene variables que están en función del tiempo mediante la derivación, es posible encontrar la relación entre la rapidez de variación de las variables. 1. Elaborar una gráfica interpretativa del problema y representar por w,x,y,z, las

cantidades que varían con respecto al tiempo.2. Hallar la relación entre las variables que intervienen y que se efectúan en un

instante cualquiera.

122

3. Derivar la expresión resultante con respecto al tiempo.4. Enlistar los datos dados y las incógnitas buscadas.5. Sustituir en la derivación resultante del tercer paso los datos dados, resolver

con respecto a las incógnitas buscadas.

Ejemplos demostrativos

1. Un vaso de papel en forma de cono se llena con agua a razón de , la altura del vaso es y el radio de la base es ; ¿Con qué rapidez sube el nivel del líquido cuando el nivel es de ?

Solución.a) Construyamos la gráfica interpretativa del problema.

b) Se forman dos triángulos semejantes, es decir:

Sustituyendo la ecuación del volumen resulta:

c) Derivando con respecto al tiempo:

a) Enlistando los datos e incógnitas buscada.

123

r

h

12cm

4cm El volumen de agua en el recipiente, corresponde a la fórmula del volumen del cono, es decir:

profundidad del aguaradio de la superficie del agua, en el instante .

12cm h

y

b) Sustituyendo en la derivada, tenemos:

2. Un gas escapa de un globo esférico a razón de ; cuando el radio es de , ¿qué tan rápido disminuye su superficie en la unidad de tiempo?

Solución.a) Construyamos la gráfica interpretativa del problema.

b) Derivando el volumen y el área de la esfera con respecto al tiempo, tenemos:

c) Al escapar el gas, el volumen disminuye y también la superficie e la esfera.

124

r= 15cm El volumen del la esfera

La superficie de la esfera El radio de la esfera en el instante es

d) Relación de datos dados e incógnitas buscadas:

e) Sustituyendo en la derivada, tenemos:

5.3 ACELERACION EN MOVIMIENTO RECTILINEO

Siendo la velocidad la razón de cambio de la posición de un cuerpo, nos preguntamos, ¿Cuál es la razón de cambio de la velocidad?; si la velocidad en el movimiento rectilíneo se define como la rapidez de variación de la distancia con respecto al tiempo.

Si la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo es .

Si se deriva la velocidad con respecto se obtiene

de donde es la segunda derivada, que es la aceleración y se define

como:

La rapidez de variación de la velocidad con respecto al tiempo.

125

ACELERACION =

Para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la aceleración es constante por lo que si un cuerpo cae libremente en el vacío partiendo del reposo ala superficie de la tierra, lo hace e acuerdo a la ley , de donde resulta:

NOTA:

El movimiento de caída libre de un cuerpo se obtiene de la ecuación

donde representa la gravedad terrestre ( ), la velocidad se obtiene de y la aceleración de .

Ejemplos demostrativos.

1. La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo viene dada por la ecuación . Hallar su velocidad y aceleración en :

a) Un instante cualquiera.b) En c) En

Solución.a) Para un instante cualquiera:

b) Cuando , resulta:

126

c) Cuando , resulta:

2. Se deja caer una pelota desde lo alto de la torre Eiffiel que tiene 300.5m de altura; ¿cuánto tiempo tardará en llegar al suelo la pelota y cuál es su velocidad instantánea cuando alcanza el suelo?

Solución.

Datos (altura)

Fórmulas Sustitución

Si

Para tenemos que:

Como la pelota va hacia abajo, la velocidad es negativa,

127

3. Un coche hace un recorrido en 12 minutos, moviéndose según la ley

midiendo en minutos y en metros; hallar:a) ¿Qué distancia recorre el coche?b) ¿Cuál es su velocidad máxima?c) ¿Qué distancia ha recorrido el coche cuando alcanza su velocidad máxima?

Solución.

a) , para tenemos:

b)

cuando la aceleración es cero se alcanza una velocidad máxima.

Considera

Para un valor poco menor Para un valor poco menor

128

El coche recorre 15552 m en 12 minutos

+ -máximo

c) Su máxima velocidad es cuando ; entonces:

129