El cálculo de la matriz inversa puede hacerse de las dos formas siguientes:

1)- Por el método de Gauss-Jordan

2)- Por medio de la matriz adjunta

Cálculo de la matriz inversa por el Método de Gauss:

La inversa A˄-1 de una matriz no singular A de orden n cumple la ecuación matrical

A.A˄-1=I

Ejemplo

Como ya hemos estudiado, tenemos que calcular una matriz A-1 que multiplicada por la matriz A obtengamos el resultado:

Haciendo uso del método de Gauss escribimos la matriz original del modo siguiente:

Le hemos agregado los elementos del resultado que nos tiene que dar.

A la derecha de la raya roja la matriz identidad, a la izquierda la matriz propuesta.

Hemos de conseguir que a la izquierda de la vertical de color rojo aparezca la matriz identidad y a la derecha los elementos de la matriz inversa:

Cuando a la matriz propuesta la hayamos transformado en matriz identidad, los elementos que ocuparán su lugar original será el valor de la matriz inversa (x, y, u, v).

El 2 que ocupa el lugar (1   2) debe darnos un 0 y para ello realizo las siguientes operaciones: F1 = 2F1 – F2:

El 3 que ocupa el lugar (1   2) nos interesa vamos a convertirlo en 1, para ello tendremos que dividir a todos los elementos de la fila entre 3:

Multiplicamos por  – 1 a todos los términos de la primera fila:

El valor del elemento (2   1) debe tener el valor 0 y para ello realizo la operación: F2 = F2 – F1:

Necesitamos que el valor del lugar (2  2) sea igual a 1 y para ello multiplico a cada uno de los elementos de la fila por 3/4:

Ya hemos concluido, la matriz inversa es lo que se halla a la derecha de la matriz identidad:

es decir :

Estos valores corresponden a x, y, u, v.

Comprobamos:

Cálculo de la matriz inversa por la matriz adjunta:

1) Se cálculo el determinante de la matriz

2) Se Calcula la matriz adjunta para esto, calculamos en primera instancia la matriz de cofactores. Para el calculo de cada cofactor tenemos:

Para el cofactor C11 tenemos:

Para el cofactor C12 tenemos

Repitiendo el proceso para los demás cofactores obtenemos:

Calculamos la transpuesta de la matriz (cambiar filas por columnas) de cofactores para hallar la matriz adjunta:

Reemplazamos el Determinante y la Matriz Adjunta en la formula:

Finalmente la inversa esta dada por: