Matriz fila: (3 Matriz columna - iesseneca.net · Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso...

Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra

1

BLOQUE DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO MATRICIAL 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es una tabla de números colocados en filas y columnas. Las representamos incluyendo los datos entre unos paréntesis grandes. Las filas son horizontales y las columnas son verticales. El primer índice indica la fila y el segundo indica la columna. Decimos que una matriz es de dimensión n x p cuando tiene n filas y p columnas.

( ) ==nxpijaA

npnn

p

p

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y son iguales elemento a elemento.

BA = ⇔ ijij ba = ℜ∈∀ ji ,

1.1 Tipos de matrices según su forma

• Matriz fila: es una matriz de la forma 1 x p. También se llama vector fila. ( )213 −=A

• Matriz columna: es una matriz de la forma n x 1. También se llama vector columna.

−=1

5

2

A

• Matriz rectangular: Es una matriz en la que n ≠ p

−−=

22

51

12

A

• Diagonal principal de una matriz: es la diagonal que va de izquierda a derecha y de arriba abajo. Son los

elementos iia

• Matriz cuadrada de orden n: Es aquélla donde hay el mismo número de filas y de columnas, n=p

−−

=112

201

132

A

1.2 Tipos de matrices cuadradas

• Matriz diagonal: Es una matriz en la cuál todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos,

0=ija ji ,∀ ji ≠

=300

020

001

A

• Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero

−=300

120

321

A

• Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos encima de la diagonal

principal son cero

−−=

312

022

001

A


2

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales.

−−

−=

945

417

572

3 x 3A

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal

principal son opuestos. Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros.

−−

−=

036

305

650

3 x 3A

• Matriz unidad o identidad: Es una matriz cuadrada y escalar que sólo tiene unos en la diagonal principal,

1=iia ; 0=ija ji ,∀ ji ≠

=100

010

001

A

• Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

=300

030

003

A

2. OPERACIONES CON MATRICES 2.1 Suma de matrices Para sumar dos matrices, tienen que tener la misma dimensión para poder sumar elemento a elemento. El resultado es otra matriz de la misma dimensión. Ejemplo:

−−=172

031

231

A

−−−

=411

122

311

B

−=+581

151

522

BA

2.1.1 Propiedades de la suma a) Asociativa: A + ( B + C ) = ( A+ B ) + C b) Conmutativa: A + B = B + A c) Matriz nula o elemento neutro para la suma: Es la matriz que tiene todos los elementos nulos. A + O

= O + A = A d) Matriz opuesta: Es la que obtenemos al cambiar de signo a todos sus elementos. Se verifica:

A + ( - A ) = ( - A ) + A = 0 2.2 Resta de matrices Para restar dos matrices, deben tener la misma dimensión para poder restar elemento a elemento. Ejemplo:

−−=172

031

231

A

−−−

=411

122

311

B

−−−−−

=−363

113

140

BA

2.3 Producto de un número real por una matriz Multiplicamos dicho número por cada uno de los elementos de la matriz. Ejemplo:

−−=172

031

231

A

−−=2144

062

462

2A


3

Ejercicio 1: Dadas las matrices

−−

=605

432A y

−−

=472

305B , calcula

BAb

BAa

−+

)

)

BAd

BAc

53)

32)

−+

2.4 Producto de matrices 2.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna El producto de una matriz fila por una matriz columna lo obtenemos multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados. Sólo se pueden multiplicar filas y columnas cuando tienen el mismo número de elementos.

( ) 136103).1()2.(35.2

3

2

5

132 =−−=−+−+=

−•−

2.4.2 Producto de dos matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera tiene que tener tantas columnas como filas la segunda. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. Se obtiene multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz.

nxqpxqnxp CBA =•

Ejemplo:

−−=

312

022

001

33xA

−=

00

20

13

23xB

−−

−=•

46

66

13

)( 23xBA


−−

=603

215A y

−−−=0350

2123

1052

B

a) Razona si se puede realizar el producto BA• y, en caso de que se pueda, hazlo.

b) Razona si se puede realizar el producto AB • y, en caso de que se pueda, hazlo. 2.4.3 Propiedades del producto

a) Asociativa: CBACBA ••=•• )()(

b) No conmutatividad (de hecho, a veces no puede ni siquiera multiplicarse) ABBA •≠• Matriz unidad o elemento neutro del producto: En el producto de matrices cuadradas, es la matriz

nxnI , identidad. Se verifica AAIIA =•=•

c) El producto no es simplificable: CABA •=• NO CB =⇒

Si el producto de dos matrices es la matriz nula, no necesariamente alguna de ellas es nula

0=• BA NO 0=⇒ A Ó 0=B

2.4.4 Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

CABACBA •+•=+• )(

ACABACB •+•=•+ )(

2.5 Trasposición de matrices Se llama matriz traspuesta a la matriz que obtenemos al cambiar las filas por las columnas. Si una matriz es de

dimensión n x p, su traspuesta es de dimensión p x n. La traspuesta de la matriz A la representamos por TA y se

lee “traspuesta de A”. Ejemplo:

−=

011

002A

−=00

10

12TA


4

2.5.1 Propiedades de la trasposición de matrices

a) ( ) AATT =

b) ( ) TTT BABA +=+

c) ( ) TTT ABBA •=•


−−

=605

432A y

−−

=472

305B

( )TTT

T

BABACompruebab

Aa

+=+)

)


−=

05

32A y

−=

51

24B comprueba que ( ) TTT ABBA •=•

Ejercicio 5: Escribe un ejemplo de cada uno de los siguientes casos. ¿Qué tipo de matrices son?

T

T

AAb

AAa

−==

)

)

2.6 Potencia de una matriz Para calcular la potencia de una matriz, tiene que ser cuadrada. Y definimos la potencia de matrices, de la misma manera que la potencia de números, mediante un producto.

AAAn ••= ..........

n veces

Ejemplo: Sea

−=100

010

001

A , entonces

=

−•

−=100

010

001

100

010

001

100

010

0012A

2.6.1 Potencias repetidas Algunas veces nos piden hallar una potencia muy alta de una matriz. En este caso hacemos las primeras

potencias y comprobamos que se cumple una pauta o regla. Por ejemplo, en el caso anterior, calculamos la tercera y cuarta potencias:

AAIAAA =•=•= 323

334 IAAAAA =•=•=

Está claro que en nuestro caso, cualquier potencia de índice par es la matriz identidad y cualquiera de índice impar coincide con A.

Ejercicio 6: Dada la matriz

=

01

10A calcula

nAAA ,, 102

. Haz lo mismo para

−=

11

01B

Ejercicio 7: Comprueba que OIAA =−− 32 2 siendo

=011

101

110

A

Ejercicio 9: Sean CBA y , tres matrices tales que el producto CBA ⋅⋅ es una matriz 2 x 3 y el producto

tCA⋅ es una matriz cuadrada. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de CBA y , .

Ejercicio 10: Sean las matrices

−−

−−=

=514

123

436

y

001

011

110

BA . Estudia si existe algún valor de

ℜ∈λ para el cual se satisfaga ( ) BIA =− 2λ .


5

Ejercicio 11: Resuelve el siguiente sistema matricial:

−−−

=+

−−

=−

8325

20296

10320

7793

BA

BA

3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADDA

El determinante de una matriz cuadrada es un número. Se representa cambiando los paréntesis de la matriz por barras verticales.

−=

97

52A

97

52 −=A

3.1 Determinante de una matriz de orden 2 por la regla de Sarrus

211222112221

1211 aaaaaa

aa⋅−⋅=

22018546365

43−=−=⋅−⋅=

3.2 Determinante de una matriz de orden 3 por la regla de Sarrus

( )332112113223312213312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Ejemplos:

( ) 1046013600

013

110

121

=+=+−−−++=−

−

( ) 2715318004810584960

087

654

321

=−=++−++=

Ejercicio 12: Calcula el valor de los siguientes determinantes:

=−12

23

=63

21

=−−−−

443

231

102

=600

540

321

Ejercicio 13: Calcula x para que el valor del determinante de A sea -2.

−−=01

230

102

x

A


6

3.3 Propiedades de los determinantes. [IMPORTANTE: Cuando se habla de línea de una matriz es una fila o una columna indistintamente.]

Si una matriz tiene una línea de ceros. 0

000

654

321

=

0

602

504

701

=−

−

Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales u opuestas.

0

543

876

543

=

0

177

455

311

=−

−−

Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales.

0

875

963

321

=

0

1583

1072

511

=−

−−

( )12 3FF =

( )13 5CC −=

Cas

os

en

los

qu

e e

l de

term

inan

te e

s ce

ro

Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas.

0

1296

654

321

=

0

246

385

451

=−−−

( )213 2 FFF +=

( )312 CCC −=

Cambiar dos líneas paralelas. Si en una matriz se cambian dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo. ( )

27

654

087

321

27

087

654

321

32

−=⇒=↔FF

Cambiar una línea por una combinación lineal. Si en una matriz se cambia una línea por una combinación lineal de ella con las restantes, su determinante no varía.

( )122 2´

087

654

321

FFF −==

087

012

321

Descomponer en una suma. Un determinante se puede descomponer en la suma de otros dos de forma que tenga todas las líneas iguales menos una, cuya suma sea la del primero. 087

654

210

087

654

111

087

654

321

+=

Multiplicación por un número. Para multiplicar un determinante por un número, se multiplica el número por cada elemento de UNA línea y sólo una. Por tanto, en una línea se pueden sacar los factores comunes.

087

302520

321

087

654

321

5 =⋅

087

254

121

3

087

654

321

⋅=

Determinante de la matriz traspuesta.

tAA = 53

42

54

32=

Determinante del producto de dos matrices.

BABA ⋅=⋅

( )6896

42

75

31

8352

312048 −⋅−=⋅==

Determinante de la potencia de una matriz

nn AA =

4)2(54

32 2

2

=−=


7

Ejercicio 14: Calcula sin desarrollar el segundo determinante, sabiendo lo que vale el primero.

2=ihg

fed

cba

hihg

efed

bcba

2

2

2

+++

Ejercicio 15: Sabiendo lo que vale el primer determinante, calcula el resto.

5

111

203 =zyx

111

102/3

222 zyx

111

23333

+++++

zyx

zyx

zyx

111

314

111 −−− zyx

3.4 Desarrollo práctico de un determinante en una matriz de cualquier orden

Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos

correspondientes.

El menor complementario de un elemento ija

de una matriz es el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila y la columna

correspondiente al elemento ija. Se representa

por ijM.

Ejemplo: Halla el menor complementario del elemento 12a

:

4242007

64

087

654

321

12 −=−==⇒

M

El adjunto de un elemento ija

de una matriz es el menor complementario con un signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de la fila y

la columna. Se representa por ijA. Se tiene que:

( ) ijji

ij MA +−= 1

Ejemplo: Halla el adjunto del elemento 12a

en la siguiente matriz:

( ) ( ) ( ) 4242107

641

087

654

32121

12 =−⋅−=−=⇒

+A

a) Si el determinante es de orden 2 o 3, se puede aplicar Sarrus directamente. b) Si el determinante es de orden 3 o mayor que 3, se hacen ceros todos los elementos de una línea

mediante el siguiente procedimiento: � Se elige la línea más cómoda, la que tenga un 1, un -1 o un número que sea divisor del resto de los

elementos de la línea, y si tiene algunos ceros, mejor. � Se hacen ceros el resto de los elementos de la línea, cada vez uno, sumándole o restándole otra

línea paralela multiplicada por un número. � Se desarrolla el determinante por los elementos de esta línea y será igual al elemento elegido

multiplicado por su adjunto. c) El procedimiento se sigue para órdenes superiores a 3.

Ejercicio 16: Calcula el valor de este determinante:

eVandermondde

anteDeter

cba

cba

min222

111

=

4. MATRIZ INVERSA.

Definición: La matriz inversa de Aes una matriz que se representa por 1−A y verifica: IAAAA =⋅=⋅ −− 11

Definición: Decimos que una matriz A es regular o invertible cuando 0≠A

4.1 Matriz adjunta Definición: La matriz adjunta de una matriz es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

=

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdj

...

............

...

...

)(

21

22221

11211


8

4.2 Cálculo práctico de la matriz inversa

La matriz inversa de A es la traspuesta de su matriz adjunta dividida por el determinante de la matriz.

¿Existe inversa?

a) A ha de ser una matriz cuadrada (para que se pueda hallar el determinante);

b) 0≠A

(para que se pueda dividir entre él);

Pro

ced

imie

nto

:

Cálculo de la matriz inversa de A :

c) ( )AAdj

d) ( )( )tAAdj

e)

( )( )tAAdjA

A11 =−

Ejercicio 17: Halla la matriz inversa de

−−−

−=

867

015

432

A

Ejercicio 18: Halla los valores de k para los que la matriz A tiene inversa.

=

k

kA

9

4

Ejercicio 19: Si =A

43

21 , calcular ( ) AAAt ⋅⋅ − 21

5. ECUACIONES MATRICIALES Muchas de las ecuaciones matriciales se pueden resolver directamente; para ello se despeja la matriz incógnita y luego se hacen las operaciones, teniendo en cuenta lo siguiente:

• Una matriz que está sumando pasa al otro miembro restando.

• Una matriz que está multiplicando se multiplica en ambos miembros por la inversa, PERO multiplicando por el mismo lado que estaba.

Ejercicio 20: Resuelve la ecuación matricial CBAX =+ 2 , sabiendo que

=

25

13A

−=

54

32B

−=

1816

129C

Ejercicio 21: Resolver la ecuación matricial: OCBAX =+− , siendo

A =

− 01

14

−−−

=0112

1021B

−−

=0301

1210C

6. RANGO DE UNA MATRIZ.

6.1 Dependencia e independencia lineal Un vector fila de una matriz A es cualquiera de sus filas. Un vector columna de una matriz A es cualquiera de sus columnas.

Definición: Se dice que un vector wr

es linealmente dependiente de los vectores nvvrrr

,...,,v 21 si es combinación

lineal de ellos. Es decir, si ℜ∈∃ iλ tales que nnvvrrr λλ ++= .....w 11

Definición: Se dice que un vector wr

es linealmente independiente de los vectores nvvrrr

,...,,v 21 si no es combinación lineal de ellos. Es decir, si la igualdad anterior no se puede cumplir.


9

6.2 Rango de una matriz Definición: El rango de una matriz A, de cualquier orden, es el número máximo de vectores fila o de vectores columna de A que son linealmente independientes. Se escribe rg(A). El rango de una matriz coincide con el orden de la mayor submatriz de A cuyo determinante es distinto de 0 (el orden mayor de los determinantes distintos de cero que se pueden formar con los elementos de la matriz en sus posiciones relativas). Ejemplo: Vamos a hallar todos los determinantes que se pueden formar en la matriz

−−

=320

201A

De orden 1. Es cada uno de los elementos de la matriz: 1− ; 0 ; 2 ; 0 ; 2− ; y 3 . De orden 2. Es el determinante de todas las combinaciones posibles entre dos filas y dos columnas de la matriz:

; 220

01=

−−

; 330

21−=

−

432

20=

−

De orden 3. No hay, pues necesitaríamos como mínimo tres filas en A . Ejercicio 22: Halla todos los determinantes que se pueden formar en la matriz B.

−−

−=

122

200

111

B

6.3 Determinación general del rango de una matriz Si Si

Si ( ) ( )( )

≥→=→

≥3cero de distinto 3orden dedet un existe

2nulosson 3orden dedet los todosy 2

ARango

ARangoARango

Ejercicio 23: Calcula el rango de esta matriz

−−=

3221

4102

1321

A

Ejercicio 24: Halla el rango de B según los valores de a

=a

a

a

B

11

11

11

Ejercicio 25: Calcula el rango de C según los valores del parámetro k.

−−=0331

13

1331

kkC

( )( )

≥→=→

≠2cero de distinto 2orden dedet un existe

1nulosson 2orden de det los todosy

ARango

ARangoOA

( ) 0=→= ARangoOA


10

7. SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema lineal heterogéneo: es aquel en el que no todos los términos independientes son nulos.

=+−=+−=−+

82

0 43

2 2

zyx

zyx

zyx

Sistema lineal homogéneo: es aquel en el que todos los términos independientes son nulos.

=++=+−=−+

02 3

0 32

0

zyx

zyx

zyx

Incompatibles: si no tienen solución. Según su número de soluciones, los sistemas pueden ser:

Compatibles: si tienen solución.

Determinado: si la solución es única. Indeterminado: si existe más de una solución (infinitas soluciones)

7.1 Expresión matricial de un sistema

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

Llamamos expresión matricial de este sistema a la expresión:

=

⋅

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

...

...

...

............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

es decir, BXA =⋅ siendo A= matriz de los coeficientes, X=matriz de las incógnitas; B=matriz de los términos independientes

También llamamos matriz ampliada, *A , del sistema a la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas

y los términos independientes de cada ecuación.

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

*

=

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A

8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS

El sistema BXA =⋅ es compatible ⇔ ( ) ( )*ARangoARango =

Discutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius.

• Si ( ) ( )*ARangoARango ≠ , el sistema es incompatible.

• Si ( ) ( )*ARangoARango =

el sistema es compatible

Si coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

En la práctica, es muy cómodo ir haciendo ceros hasta convertir A en una matriz triangular inferior.


11

Ejercicio 26: Estudia el número de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

−=−−=+−=+−

234

0 2 2

2 3

zyx

zx

zyx

b)

=+−−=+−=+−

2 33

0 2 2

2 3

zyx

zx

zyx

c)

=+−−=+−=+−

8 33

0 2 2

2 3

zyx

zx

zyx

d)

=++−=+−

=++

1558

22

432

zyx

zyx

zyx

e)

=+−=++

=++

432

543

12

zyx

zyx

zyx

Ejercicio 27: Discute, en función de los valores que tome cada parámetro, los sistemas de ecuaciones: a) b) c)

=−+=−+=−+

62

32

zyx

zyx

zyx

λλλ

λ

( )

=+=++=+

1

11

1

tyx

ytx

ytx

=+−=+−

=+

0

02

0

myx

mzy

ymx

9. REGLA DE CRAMER. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. 9.1 Regla de Cramer

Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

si se cumple que el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo, 0≠A , entonces el sistema es

compatible determinado, y su solución es: A

Ax ix

i = para ni ..., ,2 ,1= , siendo ixA la matriz que resulta

de sustituir en la matriz A la columna de los coeficientes de ix por la columna de los términos independientes.

Ejercicio 28: Resuelve por Cramer estos sistemas:

=−−=−−

−=+−

4323

0 2 2

2 32

zyx

zx

zyx

=++−=++

=++

3 3

83

5 3

zyx

zyx

zyx

=++=−+−=+−

432

523

82

zyx

zyx

zyx

9.2 Generalización de la regla de Cramer Veamos cómo se puede utilizar la regla de Cramer para calcular la solución de un sistema, con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas, que sea compatible indeterminado.

Resolvamos el sistema:

=−+=−+−=−+

322

1 2

2 3

zyx

zyx

zyx

1

er paso: Comprobamos que el sistema es compatible indeterminado.

−−−−

=3

1

2

221

112

113*A

0=A ; 012

13≠

−→ ( ) 2=ARango

0

321

112

213

=− ; 012

13≠

−→ ( ) 2* =ARango

( ) ( )incógnitasn

ARangoARango

º

2 *p==

El sistema es compatible indeterminado


12

2º paso: Tomamos como referencia las ecuaciones y las incógnitas que representan al determinante que hemos encontrado distinto de cero. Así, eliminamos el resto de ecuaciones del sistema y pasamos al segundo miembro el resto de incógnitas. x y 1ª ecuación →

2ª ecuación →

012

13≠

− →

Eliminamos la 3ª ecuación y pasamos z al segundo miembro.

El nuevo sistema que obtenemos es:

+=+−+=+

zyx

zyx

12

23

3er

paso: Aplicamos la regla de Cramer al nuevo sistema.

5

1

12

13

11

12

=

−

++

=z

z

x 5

75

12

13

12

23

+=

−

+−+

= zz

z

y

La solución de nuestro sistema queda: 5

1=x , 5

75 += λy , λ=z , con ℜ∈λ .

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 2015 Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4


13

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11


14

Ejercicio 12

2014 Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17


15

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Ejercicio 23


16

Ejercicio 24

2013 Ejercicio 25

Ejercicio 26

Ejercicio 27

Ejercicio 28

Ejercicio 29


17

Ejercicio 30

Ejercicio 31

Ejercicio 32

Ejercicio 33

Ejercicio 34

Ejercicio 35


18

Ejercicio 36

2012 Ejercicio 37

Ejercicio 38

Ejercicio 39

Ejercicio 40

Ejercicio 41

Ejercicio 42


19

Ejercicio 43

Ejercicio 44

Ejercicio 45

Ejercicio 46

Ejercicio 47

Ejercicio 48


20

2016 Ejercicio 49

Ejercicio 50

Ejercicio 51

Ejercicio 52

Ejercicio 53

Ejercicio 54


21

Ejercicio 55

Ejercicio 56

Ejercicio 57

Ejercicio 58

Ejercicio 59

Ejercicio 60

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