Matriz asociada[1]
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MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICION DE FUNCIONES
Sea la siguiente composición de funciones: f W g V Z
VB1
f(v)=w B2
g(w)=z B3
gof
Base B1 Base B 2
Base B3
dimV =n dimW =m dimZ = k SB
B
B
S
B ffoff 1
1
21_
21_
23BBg
MATRIZ CAMBIO DE BASE DE UNA COMPOSICION DE FUNCIONES
DATO: = [ f]B1B2
CALCULO: = [ f]S1S2
[ f]S1S2 = [Id]B2
S2[ f]B1
B2 [Id]S1B1
v
S1
v
B1
F(v)
B2
F(v)
S2[Id]S1B1 [ f]B1
B2 [Id]B2S2
fId
Id
)()()()(:4
)()()(
)()()(:3
)()()()()(:2
)(:
)(::11_
1_
uhofouguofugohTeorema
ufougugof
uofugugofTeorema
ufohufoguhugoufTeorema
wwffWw
vuffVvTeorema
Matriz asociada a la aplicación lineal inversa
V W V
U
S
f(u)
B1
U
B2
1_ff
SBB
B
S
B ffoff 1
1
21_
21_
off 1_
SBf 1 121_ B
Bf
EJERCICIOS:
Comprobar que la matriz
es diagonalizable, utilizando como la matriz de paso
SOLUCIÓN Definiendo en DERIVE dichas matrices
biyectivaesfsiinvertibleesf
VenWdelinealcióntransformaunaesf
invertiblelinealcióntransformaunaesfSi
wwffWw
vuffVvTeorema
1_
1_
1_
)(:
)(::1
Como A=P.D.P-1 , siendo D la matriz diagonal, entonces despejando matricialmente se obtiene que D=P-1.A.P, de tal forma que efectuando esta operación en DERIVE resulta
Donde obtenemos la matriz diagonal
Sea la aplicación lineal Donde f(x,y,z)=(6x-6y+2z, -x-y+z,
7x+3y+z) ¿Cuál es la matriz asociada respecto de
las bases canónicas?
Por tanto la matriz asociada respecto de las bases canónicas se obtiene con:
Consideremos ahora una nueva base de R3 determinada por los vectores
Para obtener la matriz asociada a la aplicación lineal f1 respecto de dicha base tendremos que calcular la coordenadas de las imágenes de dichos vectores en la citada base, es decir realizaremos las siguientes operaciones
Para v1 se obtiene:
Para v2 resulta que:
Y para v3 obtenemos:
Por tanto la nueva matriz asociada es:
Que se trata de una matriz diagonal.