Matriks SMK Non Teknik

7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik

1/38

Bab

Pendahuluan

A. Latar Belakang

Ide matriks pertama kali dikemukakan oleh Arthur Cayley (1821-1895)

seorang matematikawan Inggris. atriks merupakan penemuan dalam

matematika yang memudahkan seseorang untuk mengolah data! yang

tentunya akan sangat "erman#aat dalam peker$aan mereka (siswa) kelak.

%iswa akan memperoleh ketrampilan men&ari data! mengolahnya se&ara

le"ih terurut'hierarkis dengan mudah melalui operasi-operasi matriks

hingga diperoleh suatu penyelesaian! sehingga dengan mempela$ari

matriks siswa dapat memperoleh ke&akapan "er#ikir rasional! dan

ketrampilan yang menun$ang ke&akapan keahlian mereka.

mumnya pada materi tentang matriks ini! siswa masih sering

melakukan kesalahan karena kurang memahami konsep-konsep dasar

matriks dan al$a"ar matriks serta kurangnya ketelitian dalam operasi

hitung matriks. adahal matriks "isa dipahami dengan daya nalar dan

&ukup realistis! meskipun dapat dikem"angkan men$adi konsep yang

sangat a"strak. Contoh matriks yang a"strak adalah matriks polinomial

yaitu matriks dengan elemen-elemennya adalah suku "anyak.

ntuk mem"angkitkan minat siswa! perlu dikem"angkan suatu teknik

pem"ela$aran tentang matriks yang menarik! agar siswa dapat

mempela$arinya dan memahaminya dengan mudah. %e"agai &ontoh!

siswa perlu mendapat pen$elasan tentang man#aat mempela$ari matriks!

1


2/38

$uga perlu dikem"angkan tema-tema pem"ela$aran matematika yang

kontekstual! aplikati# pada "idang keahliannya dan mem"eri kesempatan

pada siswa untuk mengem"angkan daya nalar dan kreati#itasnya.

B. Tujuan

odul ini disusun se"agai "ahan a$ar yang "erisi konsep-konsep dasar

tentang matriks dan masih dapat dikem"angkan sesuai keadaan di

lapangan. *iharapkan dapat semakin memantapkan penguasaan materi

sehingga guru dapat meningkatkan ketrampilan siswa menyelesaikan

masalah yang menyangkut matriks khususnya di "idang keahlian masing-

masing.

C. Ruang Lingkup

ateri tentang matriks ini meliputi +

1. engertian matriks dan $enis-$enis matriks

2. ,perasi matriks

. *eterminan dan Iners matriks! serta

/. Contoh-&ontoh penerapannya dalam kehidupan sehari-hari dan dalam

"idang keahlian

2


3/38

Bab

Matriks

A. Pengertian Matriks

1. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks

*alam men$elaskan pengertian matriks! se"aiknya mengangkat

peristiwa kehidupan sehari-hari agar le"ih mudah dipahami oleh siswa.

atriks yang kita $umpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya + ta"el

matrikulasi di sekolah atau kantor! penya$ian data pada suatu media &etak

yang disa$ikan dalam "entuk matriks! dan se"againya.

Contoh + ta"el matrikulasi yang memuat data $umlah siswa di suatu

sekolah

0a"el umlah %iswa

elas 3aki-laki 4anita 2/ 18

22 21

25 25

*ari ta"el di atas! "ila diam"il angka-angkanya sa$a dan ditulis dalam

tanda siku! "entuknya men$adi

2525

2122

182/

. 6entuk sederhana inilah yang

kita se"ut se"agai matriks.

Pengertian Matriks+ %usunan "ilangan "er"entuk persegi pan$ang yang

diatur dalam "aris dan kolom yang diletakkan dalam kurung "iasa atau

kurung siku. (7erry %ukarman! 22 + hal 2)

atriks dinotasikan dengan huru# kapital A! 6! ! dan se"againya.

3


4/38

Contoh+ A

25

-

2:

15

1-

1/

6ilangan;"ilangan yang tersusun dalam "aris-"aris dan kolom-kolom

terse"ut dise"ut elemen'unsur.


5/38

Contoh+ C -?1 [ ]5-1

&. atriks kolom yaitu matriks "erordo n ? 1atau hanya memiliki satu

kolom

Contoh+ < 1?2

/

8

d. atriks tegak yaitu matriks "erordo m ? n dengan m@n

Contoh+ A

-

1

8

/

:

! A "erordo > 2 dan @ 2 sehingga matriks A tampak

tegak

e. atriks datar yaitu matriks "erordo m ? n dengan mn

Contoh+ B

1

5

:

-

/

2! B "erordo 2 > dan 2 sehingga matriks B tampak

datar

6erdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat $enis-$enis matriks +

a. atriks nol yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah

dan dinotasikan se"agai ,.

Contoh+ , -?1 [ ] ! , 2?2

". atriks diagonal yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan

di"awah diagonalnya adalah dan dinotasikan se"agai *.

Contoh+ * -?-

-

2

1

&. atriks skalar yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada

diagonalnya sama.

5


6/38

Contoh+ * /?/

5

5

5

5

d. atriks simetri yaitu matriks persegi yang setiap elemennya! selain

elemen diagonal! adalah simetri terhadap diagonal utama.

Contoh+ 2?2B

/1

1-

e. atriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen-elemennya!

selain elemen diagonal! saling "erlawanan.

Contoh+ -?-

2

25

5

#. atriks Identitas'satuan yaitu matriks diagonal yang semua elemen

pada diagonalnya adalah 1 dan dinotasikan se"agai I.

Contoh+ I 2?2

1

1

g. atriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di

"awah diagonal utamanya adalah .

Contoh+ -?-

:

/2

5-1

h. atriks segitiga "awah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di

atas diagonal utamanya adalah .

Contoh+ 7 -?-

:9/

2:

1

6


7/38

i. atriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan

elemen-elemen "aris men$adi elemen pada kolom dan elemen-elemen

kolom men$adi elemen pada "aris. %e"agai pengingat adalah

transperpindahan dan poseletak. 0ranspose matriks A dilam"angkan

dengan A0

Contoh+ A 2?-

-

1

8

/

:

! maka A0

-

1

/

8

:! perhatikan "ahwa ordo dari A

0 adalah 2 > .

!. "esa#aan Matriks

*ua "uah matriks atau le"ih dikatakan sama "ila dan hanya "ila

mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen penyusun yang seletak

$uga sama.

Contoh+ A -?2

8

/

:

-

/

2! 6 -?2

8

/

:

-

/

2maka A 6

erhatikan "ahwa C -?2

-

/

:

8

/

2 dan C -?2 A -?2 karena ada

elemennya yang seletak dan nilainya tidak sama.

erhatikan $uga "ahwa *

8:

/

/-

2

dan * A karena ordo kedua matriks

terse"ut tidak sama.

B. Operasi Matriks dan $i%atsi%atn&a

*alam men$elaskan operasi hitung pada matriks! kita dapat

mengangkat peristiwa sehari-hari. isalnya dengan mengam"il &ontoh di

7


8/38

suatu toko kelontong. ntuk menun$ukkan operasi pen$umlahan dan

pengurangan kita dapat mengam"il ta"el matrikulasi $umlah "arang yang

ter$ual.

0a"el umlah "arang yang ter$ual pada "ulan ei (0a"el 1)

enis 6arang umlahie instan 2/%a"un &u&i 1asta gigi 8

0a"el umlah "arang yang ter$ual pada "ulan uni (0a"el 2)

enis 6arang umlahie instan 2%a"un &u&i 12asta gigi

ika kita ingin mengetahui "erapa $umlah mie instan yang ter$ual dalam

waktu dua "ulan terse"ut! maka kita harus men$umlahkan "aris 1 ta"el 1

dengan "aris 1 ta"el 2. 0otal mie instan yang ter$ual adalah 2/D2

//. ntuk mengetahui total sa"un &u&i yang ter$ual! kita harus

men$umlahkan "aris 2 ta"el 1 dengan "aris 2 ta"el 2! demikian pula untuk

$enis "arang "erikutnya. 6erdasarkan prinsip yang sama! siswa kita

perkenalkan dengan operasi pen$umlahan dan pengurangan pada matriks.

1. Penju#lahan Matriks

rinsip pen$umlahan dua atau le"ih matriks yaitu men$umlahkan

setiap elemennya yang seletak.

Pengertian penju#lahan #atriks+ ika A D 6 C! maka elemen-elemen

C diperoleh dari pen$umlahan elemen-elemen A dan 6 yang seletak! yaitu

& i$ a i$ D " i$ untuk elemen C pada "aris ke-i dan kolom ke-$.

8


9/38

Aki"atnya! matriks A dan 6 dapat di$umlahkan apa"ila kedua matriks

memiliki ordo yang sama.

Contoh+ A

/-

21! 6

8

:5maka A D 6

/-

21D

8

:5

121

8: C

erhatikan "ahwa C mempunyai ordo sama dengan A dan 6

%i#at-si#at pen$umlahan matriks +

a. AD6 6DA (hukum komutati# untuk pen$umlahan)

". AD(6DC) (AD6)DC (hukum asosiati# untuk pen$umlahan)

&. AD, ,DA

d. (AD6)0 A0 D 60

2. Pengurangan Matriks

,perasi pengurangan pada matriks menggunakan prinsip yang

sama seperti pada operasi pen$umlahan. atriks A dikurangi matriks 6

dengan &ara mengurangi elemen matriks A dengan elemen matriks 6

yang seletak.

Pengertian pengurangan #atriks+ ika A6 C! maka elemen-elemen

C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan 6 yang seletak! yaitu

& i$ a i$" i$ atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang se"agai

pen$umlahan! yaitu A D (-6)

9


10/38

%yarat + atriks A dan 6 dapat dikurangkan $ika ordo kedua matriks

terse"ut sama.

Contoh+ A

9

/

:

5

! 6

2

/

:

1

5

-

A6

9

/

:

5

2

/

:

1

5

-

2:

51

22

atau A6 AD(-6)

9

/

:

5

D

21

/5

:-

2:

51

22

aidah ilmu hitung yang "erlaku pada pengurangan adalah +

a. AA ,

". A , A

!. Perkalian Matriks

,perasi perkalian pada matriks ada dua ma&am yaitu perkalian

matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks. %e"elum

memperkenalkan perkalian matriks dengan matriks! siswa terle"ih dahulu

diperkenalkan perkalian matriks dengan "ilangan'skalar.

a. Perkalian Matriks dengan skalar

atriks A dikalikan dengan & suatu "ilangan'skalar maka &A

diperoleh dari hasilkali setiap elemen A dengan &. *engan demikian!

matriks ;A dapat dipandang se"agai hasil kali matriks A dengan skalar

(-1). adi ;A (-1)A.

10


11/38

6erikut ini adalah &ontoh perkalian matriks dengan "ilangan skalar!

Contoh+

158- maka / /

158-

/2-212

ika a dan " "ilangan real dan 6! C dua matriks dengan ordo

sedemikian hingga dapat dilakukan operasi hitung "erikut! maka "erlaku

si#at-si#at perkalian matriks dengan skalar +

1) a(6DC)a6DaC

2) a(6C) a6aC

) (aD")C aCD"C

/) (a-")C aC"C

5) (a")C a("C)

:) (a6)0 a60

b. Perkalian #atriks dengan #atriks

ntuk le"ih memahami perkalian matriks dengan matriks! kita

perhatikan kem"ali &ontoh di se"uah toko kelontong. isalnya da#tar

harga "arang disa$ikan pada ta"el "erikut ini!

0a"el 7arga "arang

enis 6arang ie instan %a"un &u&i asta gigi7arga (rupiah) 1 22

0a"el umlah "arang yang ter$ual

enis 6arang umlah

ie instan 22%a"un &u&i 1asta gigi 8

11


12/38

ntuk mengetahui total pendapatan! kita akan menghitung dengan &ara +

(?22) D(1?1) D (22?8) /:. erhitungan itu dapat

ditun$ukkan dalam "entuk perkalian matriks se"agai "erikut +

[ ]221

8

1-

22

[ ])8?22()1-?1()22?( ++

[ ]/:

*ua matriks A6 dapat dikalikan "ila dan hanya "ila $umlah kolom

matriks A sama dengan $umlah "aris matriks 6. adi Am?n6n?p "isa

dide#inisikan! tapi 6n?pAm?n tidak dapat dide#inisikan.

A 6 A6

m?n n?p m?p

erhatikan "ahwa hasil kali matriks A6 "erordo m?p

ntuk mengu$i apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan $uga

untuk menentukan ordo hasil perkaliannya! dapat $uga menggunakan

aturan memasang kartu domino se"agai "erikut +

sama

1 ? 2 2 ?

1? (7asil)

12


13/38


14/38

1) A(6C) (A6)C

2) A(6DC) A6 D AC

) (6DC)A 6A D CA

/) A(6C) A6AC

5) (6C)A 6ACA

:) a(6C) (a6)C 6(aC)

) AI IA A

erlu diingat "ahwa "ila A6 dapat dide#inisikan! maka 6A "elum tentu

dapat dide#inisikan! sehingga A6 "elum tentu sama dengan 6A.

C. 'eter#inan Matriks

ntuk setiap matriks persegi terdapat suatu "ilangan tertentu yang

dise"ut determinan.

Pengertian 'eter#inan #atriks adalah $umlah semua hasil perkalian

elementer yang "ertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A).

(7oward Anton! 1991 + hal :)

Eang diartikan dengan se"uah hasil perkalian elementer "ertanda dari

suatu matriks A adalah se"uah hasil perkalian elementer pada suatu

kolom dengan D1 atau -1. ntuk le"ih $elasnya! "erikut ini diuraikan &ara

men&ari determinan matriks "erordo 2?2 dan matriks "erordo ?.

1.'eter#inan #atriks berordo 2 ( 2

ika matriks A

d&

"amaka det (A) A

d&

"a ad"&

14


15/38

%e"agai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari

d&

"a

Contoh+

/-

/8! maka det() )

/-

/8 (8?/)-(/?) 2

2. 'eter#inan #atriks berordo ! ( !

ntuk men&ari determinan matriks "erordo > dapat digunakan

dua metode! se"agai "erikut +

a. etode %arrus

ika matriks 6

?w

uts

rFp

maka det(6) 6 ?w.

uts

rFp

pt? D Fu Drsw ; rt ; Fs?-puw

%e"agai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari

?w

uts

rFp

w.

ts

Fp

erlu diperhatikan "ahwa &ara demikian tidak berlaku"ila matriks

"erordo /?/ dan yang le"ih tinggi lagi.

Contoh+ G

98

5-1

:/2

! maka det(G) G adalah

98

5-1

:/2

98

5-1

:/2

8

-1

/2

(2??9)D(/?5?)D(:?1?8)-(:??)-

(2?5?8)-(/?1?9) 2/2-2/2

". etode o#aktor

15


16/38

0erle"ih dahulu siswa di$elaskan tentang su" matriks atau minor

dari suatu matriks. inor suatu matriks A dilam"angkan dengan i$

adalah matriks "agian dari A yang diperoleh dengan &ara menghilangkan

elemen-elemennya pada "aris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-$.

Contoh+ G

98

5-1

:/2

! maka 11

98

5-1

:/2

98

5-

12

98

5-1

:/2

9

51! 1-

98

5-1

:/2

8

-1

11 ! 12 dan 1- merupakan su"matriks hasil ekspansi "aris ke-1 dari

matriks G.

o#aktor suatu elemen "aris ke-i dan kolom ke-$ dari matriks A

dilam"angkan dengan i$ (-1) $i+ i$ (-1) $i+ det ( i$ )

ntuk men&ari det(A) dengan metode ko#aktor &ukup mengam"il satu

ekspansi sa$a misal ekspansi "aris ke-1

Contoh+ G

98

5-1

:/2

! untuk mendapatkan det(G) dengan metode

ko#aktor adalah men&ari terle"ih dahulu determinan-determinan minornya

yang diperoleh dari ekspansi "aris ke-1 diatas! yaitu det( 11)-1 ! det(

12 )-2: dan det(1- ) -1! maka +

G F11 .k11 DF12 .k12 D F1- .k1-

16


17/38

F11 .(-1) 11+ det(11)DF12 (-1) 21+ det( 12 )DF1- (-1) -1+ det(1- )

2.1/.2: D :.1

!. Adjoin Matriks

Adjoin #atriks A adalah transpose dari ko#aktor-ko#aktor matriks

terse"ut! dilam"angkan dengan ad$ A (k i$ ) t

Contoh+ G

98

5-1

:/2

telah diketahui dari hitungan se"elumnya "ahwa

k111! k12 2: dan k1- 1 sekarang kita hanya men&ari ko#aktor dari

ekspansi "aris ke-2 dan ekspansi "aris ke-! yaitu +

k21(-1) 12+ 98:/

12! k22(-1) 22+ 9:2

2/! k2-(-1) -2+ 8/2

12

k-1(-1) 1-+ 5-:/

2! k-2 (-1) 2-+ 51:2

/! k-- (-1) --+ -1/2

2

Ad$ A

--2-1-

-22212

-12111

kkk

kkk

kkk

2121-

/2/2:

2121-

7al yang menarik dalam men&ari ad$oin matriks "erordo 2?2

ditun$ukkan se"agai "erikut +

17


18/38

ika A 2?2

d&

"a! maka ko#aktor-ko#aktornya adalah k11d! k12 -&! k

21-" dan k22a. emudian Ad$ A

2212

2111

kk

kk

a&

"d

7al ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal

utamanya dan mengu"ah tanda pada elemen-elemen pada diagonal

lainnya

'. )n*ers Matriks

ntuk men$elaskan iners matriks! perhatikan &ontoh dalam kehidupan

se"agai "erikut +

*i koperasi sekolah Ana mem"eli 5 "uah "uku tulis dan : "uah pensil! Ani

mem"eli : "uah "uku tulis dan 8 "uah pensil. ntuk itu Ana mem"ayar

Hp. 8!- dan Ani mem"ayar se"esar Hp. 1.!-. 6erapakah harga

"uku tulis per-"uah dan pensil per-"uah =

%oal kehidupan sehari-hari di atas dapat diselesaikan dengan model

al$a"ar yaitu menggunakan persamaan linear. isalkan ?harga "uku tulis

per-"uah dan yharga pensil per-"uah. %istem persamaan linearnya+

5?D:y8

:?D8y1

oe#isien persamaan di atas $ika di tulis dalam "entuk matriks adalah

se"agai "erikut+

18


19/38

8:

:5

y

?

1

8 atau A 2?2

y

? 6 1?2 ! untuk mengetahui nilai ?

dan y kita perlu men$elaskan pada siswa adanya iners matriks.

Pengertian )n*ers #atriks+ 3awan atau ke"alikan suatu matriks dalam

perkalian yang dilam"angkan dengan A 1 .

6erlaku AA 1 A 1 A I! I matriks identitas.

ntuk soal diatas + A 2?2

y? 6 1?2 ! maka A 1 .A

y? A 1 .6

I.

y

? A 1 .6

y

? A 1 .6

ita tun$ukkan "ahwa hasil kali C 2?2

/

5

2

-2

-2

dengan A 2?2 adalah I

2?2 (matriks identitas)! se"agai "erikut+

/

5

2

-2

-2

8:

:5

1

1.

aka C 2?2 adalah iners matriks A 2?2 atau C A 1 .

%ehingga kita dapat memperoleh nilai ? dan y! se"agai "erikut+

y

?

A 1

.6

/

5

2

-2

-2

1

8

5

1

19


20/38

Cara men&ari iners matriks "erordo 2?2 dan iners matriks "erordo ?

dipaparkan "erikut ini.

1. )n*ers #atriks berordo 2+2

ika A

d&

"a! maka A 1

)Adet(

1.Ad$ (A)

)Adet(

1

a&

"d

Contoh+ A

2-

-5! tentukan A 1

awa"+ det(A) (5?2) (?) 1

A 1 1

1

5-

-2

5-

-2

2. )n*ers #atriks berordo !+!

ika 6 -?- ! maka 6 1 )6det(

1.Ad$(6)

Contoh + 6

:

5/

-21

!tentukan iners dari matriks segitiga terse"ut

awa" + ntuk men&ari determinan matriks 6! &ara paling praktis adalah

dengan metode ko#aktor dengan mengekspansi "aris yang memuat nol

ter"anyak yaitu "aris ke-! maka det(6):(1?/-?2) 2/

Ad$ 6

++

+

++

/

21

21

/

5

-1

:

-1

:

5

5/

-2

:

-2

:

5/

/

5:

2122/

20


21/38

6 1 2/

1

/

5:2122/

2/

/

2/

5

2/

:

2/

2

2/

121

%i#at-si#at iners matriks +

1. (A6) 1 6 1 A 1

2. ika A6 6A I! maka A dan 6 dikatakan se"agai matriks yang saling

iners karena A 6 1 dan 6 A 1

6ila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A)

maka matriks A tidak mempunyai iners. %uatu matriks yang tidak

mempunyai iners dise"ut matriks singular. 6ila det(A)! maka matriks A

pasti mempunyai iners. %uatu matriks persegi yang mempunyai iners

dise"ut matriks non singular.

Bab

Aplikasi Matriks

mumnya aplikasi matriks yang dapat dia$arkan di % adalah untuk

menyelesaikan soal kehidupan sehari-hari atau yang "erkaitan dengan

"idang keahlian dengan langkah +

1. engu"ah soal &erita dalam "entuk ta"el lalu diselesaikan dengan

matriks! atau

2. enyatakan nilai yang akan di &ari dalam aria"el! menyusun sistem

persamaan linearnya dan menyelesaikannya dengan matriks.

21


22/38

Contoh $oal Aplikasi Matriks

1. 0oko J%em"ada ArtK Eogyakarta men$ual kera$inan tangan pada Lnik

aleryK akarta yang dituliskan dalam nota pen$ualan "erikut +

M, enis 6arang umlah 7arga %atuan

(Hp)

0otal

(Hp)1 atung 3ilin 2 1. 2..

2 atung keramik 5 15. 5.25.

6oneka akar wangi 5 2. 1..

umlah 8.25.

ertanyaan+

a. 6uatlah dua ta"el "erdasarkan nota pen$ualan di atas! yaitu ta"el yang

memuat $umlah "arang dan ta"el yang memuat harga "arang

". 6erdasarkan ta"el pada $awa"an a! u"ahlah kedalam "entuk matriks

perkalian untuk memperoleh total harga pen$ualan

awa"+

a. 0a"el umlah 6arang

enis 6arang atung 3ilin atung eramik 6oneka Akar 4angi

umlah 2 5 5

0a"el 7arga 6arang

enis 6arang 7arga %atuan (Hp)

22

S e m b a d a A r tYogyakarta

M,0A


23/38

atung 3ilin 1

atung eramik 15

6oneka Akar 4angi 2

". 6entuk perkalian matriksnya adalah +

[ ]5-52

2

15

1

[ ])2?5()15?-5()1?2( ++

[ ]825

2. erusahaan garmen LIndahK tiap "ulannya mengekspor ma&am model

"usana ke-/ negara tu$uan. 6erikut ini adalah ta"el da#tar "arang pesanan

pada "ulan Moem"er 2 dalam satuan lusin.

enis Megara 0u$uan

odel epang orea Cina 0aiwanA 25 1 6 2 11 2/C 15 12 1:

0a"el "erikut adalah da#tar harga masing-masing model "usana dalam

satuan % N.

odel 7arga per lusinA 12

6 1//C 18

ertanyaan+

a. 6erapakah pemasukan yang akan diperoleh perusahaan terse"ut dari

negara orea pada "ulan Mopem"er terse"ut =

23


24/38

". ika pada "ulan *esem"er 2 pesanan dari epang meningkat

kalinya dan pesanan dari Cina meningkat 2 kalinya! sedangkan pesanan

dari orea dan 0aiwan tetap! "erapakah total pesanan "a$u masing-

masing model pada "ulan *esem"er 2 terse"ut =

awa"+

a. 7asil matriks perkalian "erikut ini merupakan nilai pemasukan yang

akan diperoleh perusahaanKIndahK

[ ]181//12

1:1215

2/11-2

125

emasukan dari negara orea diperoleh dari hasil kali "aris ke-1 matriks

harga dengan kolom ke-2 matriks pesanan! yaitu +

(12?25)D(1//?)D D/2 2. adi pemasukan yang akan

diperolehnya adalah % N 2.

".

1:1215

2/11-2

125

1

2

1

-

85

1-:

/5

adi da#tar pesanan dari / negara pada "ulan *esem"er 2 adalah /5

lusin model A! 1: lusin model 6 dan 85 lusin model C.

. *ewi dan teman-temannya memesan mangkok "akso dan 2 gelas es

$eruk di kantin sekolahnya. 0ak lama kemudian! datang *oni dan teman-

temannya memesan 5 mangkok "akso dan gelas es $eruk. *ewi

menantang Amir! seorang siswa % non 0eknik! untuk menentukan

harga "akso per mangkok dan harga es $eruk per gelas $ika *ewi harus

24


25/38

mem"ayar Hp. ! untuk semua pesanannya! dan *oni harus

mem"ayar Hp. 11.5! untuk semua pesanannya itu. aka "erapakah

harga "akso per mangkok dan es $eruk per gelasnya=

etun$uk + 6uatlah sistem persamaan linearnya lalu selesaikan dengan

matriks.

awa"+

isalkan ? harga "akso per mangkok

y harga es $eruk per gelas

%istem persamaan linearnya + ? D 2y

5? D y 115

*alam "entuk matriks adalah se"agai "erikut +

-5

2-

y

?

115

atau A

y

? 6! maka

y

? A 1 6

A 1 )2.5-.-(

1

-5

2-

-5

2-

y

?

-5

2-

115

+

)-/5-5(

)2-21(

5

2

7arga "akso Hp. 2! per mangkok dan harga es $eruk Hp. 5! per

gelas.

/. %e"uah perusahaan roti donat selalu men&atat $umlah tiap $enis donat

yang ter$ual di tiga tokonya! sehingga perusahaan itu dapat terus

memantau penyaluran produknya tanpa harus memproduksi ekstra.

6erikut adalah data pen$ualan selama 2 hari +

%enin+

Coklat a&ang e$u %traw"erry

25


26/38

0oko 6ig *onat 12 9 :/ 5

0okoCalOs *onat 8 59 : :0oko *onats In& 2 8/ 29 /8

%elasa +

Coklat a&ang e$u %traw"erry

0oko 6ig *onat 112 8 5: /

0okoCalOs *onat 8/ :5 9

0oko *onats In& 88 98 / :

ertanyaan+

a. 0ulislah dalam "entuk matriks dan "eri nama untuk masing-masing

hari. 7itunglah total donat yang ter$ual pada kedua hari itu dalam "entuk

matriks

". %etiap $enis donat memerlukan kira-kira/

1&awan tepung. ika ada /

&awan dalam 1 pon tepung! "erapa pon tepung yang diperlukan untuk

memproduksi pada dua hari terse"ut =

awa"+

a. atriks pen$ualan pada hari %enin

/8298/2

:-:598

5:/912

atriks pen$ualan pada hari %elasa 0

:/-9888

-9:58/

/5:8112

umlah total donat yang ter$ual selama dua hari D 0

/8298/2

:-:598

5:/912

D

:/-9888

-9:58/

/5:8112

1821821:

1-512/1:/

1/91218/2-2

26


27/38

". 1 pon tepung dapat dipakai untuk mem"uat /?/ 1: donat . 0otal

donat yang ter$ual pada dua hari untuk masing-masing toko adalah

1:

1:/

2-2

D

182

12/

18/

D

2

5

12

D

18

1-

1/9

522

/9-

:85

0otal donat yang ter$ual dari ketiga toko adalah :85D/9D522 1! $adi

tepung yang di"utuhkan untuk memproduksi donat se$umlah 1 adalah

1 + 1: 1:! 25.

5. %e"uah pa"rik tekstil hendak menyusun ta"el aktia mesin dan

penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 1P dari

harga perolehan se"agai "erikut+

enis

Aktia

7arga

erolehan (Hp)

enyusutan

tahun (Hp)

7arga 6aku

(Hp)

esin A 25.. 2.5.

esin 6 :5.. :.5.

esin C /8.. /.8.

ntuk melengkapi ta"el terse"ut! hitunglah harga "aku masing-masing

mesin dengan menggunakan matriks

awa"+

7arga "aku harga perolehan-penyusutan tahun

27


28/38

../8

..:5

..25

-

.8./

.5.:

.5.2

.2./-

.5.58

.5.22

adi! ta"el Aktia esin se&ara lengkap adalah+

enis

Aktia

7arga

erolehan (Hp)

enyusutan

tahun (Hp)

7arga 6aku

(Hp)

esin A 25.. 2.5. 22.5.

esin 6 :5.. :.5. 58.5.

esin C /8.. /.8. /.2.

Contoh penyelesaian aplikasi matriks pada soal-soal di atas

"ukanlah satu-satunya &ara. %iswa hendaknya diper"olehkan men&ari

penyelesaian lain selama penyelesaian di"uat dengan logis dan mengikuti

kaidah al$a"ar matriks serta memperoleh hasil sama. ntuk tahap

selan$utnya kepada siswa dapat dia$arkan tentang persamaan dan

pertidaksamaan! "aik yang linear atau kuadrat! $uga relasi dan #ungsi.

28


29/38

Le#bar "erja

1. ika A

8-:

9/

:812

! tentukan ordo A dan a 2-

2. %e"utkan $enis matriks "erikut ini +

a.

15

1-

".

/9

-:8

9:25

851

&.

11

11

11

. ika A

51

--! 6

-/

212 dan A D 6 C0 ! tentukanlah

matriks C

/. ika A

:9

28dan (A6) 1

1/12

/-! maka +

a. 0entukan A 1

". 0entukan 6 1

5. ika

/

-

2

1

dan G

98

112

a. 0entukanlah G

". 0entukan (2

1G)

:. ntuk sem"arang nilai a &arilah nilai ? yang memenuhi "ila diketahui

det(A) untuk matriks +

a. A

2a

a?". A

?a

/a

29


30/38

. ika

-5

1/dan G

22

1-! hitunglah +

a. *et() ". *et(G) &. *et(G)

Apa kesimpulan anda setelah melakukan perhitungan di atas =

8. ika -?-

:5

2-/

1

&arilah det() dengan menggunakan +

a. etode %arrus

". etode o#aktor

9. 6iro trael L3intas K mengelola per$alanan antar kota. 6erikut adalah

&atatan per$alanan trael L3intasK pada tanggal 22 Mopem"er 2!

se"uah mo"il yang "erangkat dari kota A tu$uan kota 6 mem"awa 8

penumpang! dan mo"il tu$uan kota C mem"awa 12 penumpang! mo"il

yang "erangkat dari kota 6 ke kota A mem"awa 1 penumpang dan

mo"il tu$uan kota C mem"awa 9 penumpang! dari kota C "erangkat

se"uah mo"il tu$uan kota A "erpenumpang 11 dan tu$uan kota 6

"erpenumpang orang. 6ila harga tiket antar kota A ke 6 Hp./2.!

per orang! antar kota 6 dan kota C Hp. /5.! per orang dan antar

kota A ke kota C Hp./.! per orang. "ahlah soal ini dalam

"entuk matriks 6agaimana &ara menghitung pendapatan "iro hari itu

dengan matriks yang anda "uat =

1. erusahaan roti L 7arumK mempunyai tiga pa"rik yang masing-masing

memproduksi $enis roti yang "er"eda. 0iap harinya perusahaan itu

memasarkan produknya antar tiga &a"ang pa"rik se$umlah 5 kotak

30


31/38

(tiap kotak "erisi 5 "ungkus roti) dan mengem"alikan roti yang sudah

rusak ke pa"rik pem"uatnya. 6erikut ini adalah da#tar pengem"alian roti

per kotak +

0u$uan

engirim

Ca"ang I Ca"ang II Ca"ang III

Ca"ang I 2 Ca"ang II / 2Ca"ang III 1

7itunglah $umlah roti yang diterima masing-masing &a"ang setelah

dikurangi roti yang rusak

Rangku#an

1. atriks adalah susunan dari "ilangan-"ilangan dalam "aris dan kolom

yang disa$ikan dalam kurung siku-siku.

31


32/38

,rdo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam "anyaknya

"aris kali "anyaknya kolom.

%e&ara umum! matriks Am?n

mn-m2m1m

n----2-1

n22-2221

n11-1211

a...aaa

...............

a...aaa

a...aaa

a...aaa

amn menyatakan elemen matriks A pada "aris ke-m dan kolom ke-n

2. enis-$enis matriks + matriks "u$ursangkar'persegi! matriks "aris! matriks

kolom! matriks tegak! matriks datar! matriks nol! matriks diagonal!

matriks skalar! matriks identitas! matriks segitiga "awah dan segitiga

atas! matriks transpose! matriks simetri! dan matriks simetri miring

. atriks 0ranspose merupakan matriks hasil perpindahan elemen-

elemen "arisnya men$adi elemen pada kolom dan elemen-elemen

kolomnya men$adi elemen pada "aris.

Am?n A0 n?m ! dengan a i$ a t $i

/. esamaan matriks menyatakan "ahwa dua "uah matriks atau le"ih

dikatakan sama "ila + mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen

penyusun yang seletak $uga sama.

5. ,perasi pen$umlahan dan pengurangan matriks A dan matriks 6 hanya

dapat dilakukan $ika ordo kedua matriks terse"ut sama.

Am?nD6m?n Cm?n ! dengan & i$ a i$ D" i$

Am?n6m?n Cm?n ! dengan & i$ a i$" i$

32


33/38

:. ,perasi perkalian matriks A dengan skalar & diperoleh dari mengalikan

setiap elemen A dengan &

. ,perasi perkalian matriks A dengan matriks 6 dapat dide#inisikan hanya

$ika $umlah kolom matriks A sama dengan $umlah "aris matriks 6.

Am?nBn?p= Cm?p , dengan & i$ a in " $n untuk n1!2!!Q!n

8. %i#at-si#at operasi hitung matriks +

a. omutati# + AD6 6DA

". Assosiati# + AD(6DC) (AD6)DC

(A6)C A(6C)

&. *istri"uti# + A(6DC) A6DAC

(AD6)C ACD6C

d. Identitas + AD, ,DA A

A.I I.A A

9. *eterminan matriks adalah $umlah semua hasil perkalian elementer

yang "ertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A).

*eterminan matriks A 2?2 d&"a

(ad-"&)

*eterminan matriks "erordo ? dapat di&ari dengan 2 metode! yaitu +

a. etode %arrus! atau

". etode o#aktor

1. inor suatu matriks A dilam"angkan dengan i$ adalah matriks

"agian dari A yang diperoleh dengan &ara menghilangkan elemen-

elemennya pada "aris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-$.

11. o#aktor suatu elemen "aris ke-i dan kolom ke-$ dari matriks A

dilam"angkan dengan i$ (-1) $i+ i$ (-1) $i+ det ( i$ )

33


34/38

12. Ad$oin matriks A adalah transpose dari ko#aktor-ko#aktor matriks

terse"ut! dilam"angkan dengan ad$ A (k i$ ) t

1. Iners matriks adalah 3awan atau ke"alikan suatu matriks dalam

perkalian yang dilam"angkan dengan A 1 .

ika A 2?2

d&

"a! maka A 1

)Adet(

1

a&

"d

ika 6 -?- ! maka 6 1 )6det(

1.Ad$(6)

Bab IV

Penutup

atriks merupakan salah satu metode dalam matematika untuk

menyelesaikan soal-soal yang "erkaitan dengan "e"erapa data atau

"e"erapa aria"el. *ata-data yang tersa$ikan dalam "entuk ta"el dapat

34


35/38

dianalisa dengan menggunakan matriks. Raria"el-aria"el dalam masalah

persamaan linier $uga dapat diselesaikan dengan matriks.

*alam pem"ela$aran matriks hendaknya+

1. *ikaitkan dengan realitas kehidupan! dekat dengan alam pikiran siswa

dan relean dengan masyarakat . 7al-hal yang "erkaitan dengan "idang

keahlian siswa atau kehidupan sehari-hari diangkat se"agai masalah yang

dapat diselesaikan dengan matriks.

2. em"eri kesempatan pada siswa se&ara "ersama-sama untuk akti#

men&ari dan menemukan konsep dasar matriks.

. *apat mem"erikan keterampilan yang menun$ang ke&akapan hidup

"agi siswa! mem"antu "erkem"angnya ke&akapan personal dalam diri

siswa yaitu dengan mengenal diri le"ih "aik se"agai "agian dari suatu

kelompok atau masyarakat! $uga dapat meningkatkan kemampuan siswa

untuk "er#ikir rasional dan kreati# untuk men&ari peme&ahan masalah.

Ba,aan &ang 'isarankan

aman A"durrahman. 2. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen

Tingkat I. 6andung+ Armi&o

35


36/38

'a%tar Pustaka

Bad$ar %hadiF. 21. Diklat Matematika Guru SMK (Non Teknik)embelajaran Matriks. Eogyakarta+ atematika

7oward Anton S alih "ahasa oleh antur %ila"an. 1991. Aljabar !inier"lementer. akarta+


37/38

. C

85

-1

85

/. a. A 1

-

8

-

9

-

2

-

:

". 6 1

:-

-:

5. a. 2?/ G -?2

-:-228

--:

181:1/

112

". (2

1G)

181:1/2

-

2

--

98

2

1

2

11

:. a. ? 2

1a 2

". ?/ untuk sem"arang nilai a.

. a. *et()

". *et(G) /

&. det(G) 28

esimpulan + det(G) det(). det(G)

8. a. etode %arrus

det() 9

". etode o#aktor

37


38/38

det() 9

9. matriks penumpang

11

91128

!

7matriks harga

/

/5

/2

Cara menghitung pendapatan pada hari itu adalah kali 7! apa"ila

ingin mengetahui total pendapatan dari ke- &a"ang kita tinggal

men$umlahkan elemen-elemen matriks 7.

1.

/8/

//8

/9/:

! elemen i$ menyatakan $umlah kotak roti yang dikirim

pa"rik i ke $ setelah dikurangi yang rusak.

Matriks SMK Non Teknik

Documents

Transcript of Matriks SMK Non Teknik