Matrices y Deterrminantes

1. MATRICES Y DETERMINANTES

1.1 DEFINICION DE MATRIZ

En algunas ocasiones es necesario trabajar con arreglos rectangulares o tablas de

doble entrada, en los cuales la interpretación de los datos es dependiente de su

ubicación en el arreglo. Así por ejemplo, la siguiente tabla muestra la venta diaria de

diferentes tipos de zapatos en una tienda, durante una semana en particular, con el

objeto de determinar el grado de aceptación de cada tipo y los días de mayor venta:

DíaLUNES MARTES MIERC. JUEVES VIERNES SABADO DOM.

zapatilla 1 1 0 3 3 4 3Media bota 1 2 1 2 3 2 2

bota 0 1 2 0 7 3 4Deporti-

vo 0 2 3 3 5 5 3

Los elementos en el arreglo, guardan una posición “fija” de acuerdo con la información

que representan. Por ejemplo, el número 7 ubicado en la columna “de viernes” y fila “de

bota” no podría ubicarse en otra posición, ya que el suceso que representa es “el día

viernes se vendieron siete pares de botas”.

Matemáticamente a este tipo de arreglos se le conoce con el nombre de matriz, cuya

definición, características, tipos, operaciones y aplicaciones a las Ciencias Económicas,

son el objeto de esta unidad.

Notación:

1

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en

filas y columnas, y que generalmente se expresa encerrado entre corchetes o entre

paréntesis. Los elementos de la matriz, pueden ser números reales, números complejos

o funciones, y pueden representar muchas cosas: notas, costos, producción, etc..

Se utilizan letras mayúsculas del alfabeto para nombrar las matrices, y la

correspondiente letra minúscula para nombrar los elementos agregándole

como subíndice la fila y columna de su ubicación.

Al primer elemento en una fila, diferente de cero, se le conoce como

“elemento distinguido” de dicha fila.

Ejemplo: La siguiente es una matriz de m filas y n columnas: matriz de orden

o tamaño mxn

A =

columna 2 columna n

columna 1

o también:

Ejemplo: a23 es el elemento ubicado en la fila 2 y columna 3 .

Una matriz de m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden, dimensión o

tamaño mxn, tal es el caso de la anteriormente ejemplificada matriz A.

Ejemplo:

2

La matriz B es de orden 3x3.

A este tipo de matrices, en que el número de filas es igual al número de columnas, se

le conoce como MATRIZ CUADRADA.

Los elementos de cualquier matriz se pueden identificar por su ubicación

fila-columna, por ejemplo:

aij: es el elemento de la matriz A ubicado en la fila i – columna j.

Ejemplo: Para la matriz B se puede observar que:

En el caso de las matrices cuadradas, los elementos que se ubican en la intersección

de las filas y columnas que tienen el mismo número constituyen la diagonal principal.

Para el caso que la matriz A fuese cuadrada, m = n, la diagonal principal estaría

constituida por los elementos a11, a22 , a33 , ....,ann.

Ejemplo: La diagonal principal de la matriz B está constituida por los elementos:

b11 = 2, b22 = 5, b33 = 6

Ejemplo: La matriz

3

es de orden 4x2 (no es una matriz cuadrada).

Algunos de sus elementos son:

a) c31 = 2 b) c12 = c) c42 = -3

Ejemplo: Construir la matriz A, con las siguientes características:

a) Que sea de orden 3x3

b) Que sus elementos aij sean tales que

Solución:

Sea

Los elementos donde son los correspondientes a la diagonal principal : a11, a22, a33, y su correspondiente valor es , o sea que

a11 = 12 = 1, a22 = 22 = 4, a33 = 32 = 9

Los restantes elementos, donde i j, son:

a12 = 2(1) - 2 a21 = 2(2) - 1 a31 = 2(3) - 1

= 0 = 3 = 5

a13 = 2(1) - 3 a23 = 2(2) - 3 a32 = 2(3) - 2

= -1 = 1 = 4

Luego:

4

Ejemplo: Construir una matriz B, con las siguientes características:

a) De orden 3x4

b) Sus elementos bij sean tales que:

b

La solución se le deja al lector.

Ejemplo: Dadas las matrices

,

encontrar el valor de las incógnitas si se cumple que A = B.

Solución:

Si A = B, entonces deberá ser cierto que los elementos de ambas matrices

son mutuamente iguales en sus mismas posiciones, o sea que:

x1 = 2, x2 = 0, x3 = -1, z1 = -3, z2 = 2, z3 = -1

5

Igualdad de Matrices: se dice que dos matrices son iguales si, y solo si,

son del mismo orden y además sus elementos son mutuamente iguales en

las mismas posiciones.

Ejemplo: Dadas las siguientes matrices:

,

Encontrar los valores de x, y, z, w; que satisfacen la ecuación matricial A = B.

Solución:

A = B

,

Por definición de igualdad de matrices se tiene que:

a) 2x – 1 = x b) y = 2 c) z + 3 = 3z d) 3w – 5 = w,

de donde, resolviendo estas ecuaciones se encuentra la solución:

x = 1, y = 2, z = , w =

1.2 OPERACIONES CON MATRICES

Suma y Resta de Matrices:

Es la adición o sustracción entre los elementos que ocupan las

mismas posiciones en dos o más matrices del mismo orden . Esto

da como resultado una matriz cuyo orden es igual al orden de

las matrices que se suman o restan.

6

Ejemplo: Encontrar la matriz A - B, si

Solución:

Producto de un Número Real por una matriz

En el producto de una matriz por un número real k, dicho número k multiplica a cada

elemento de la matriz. Este producto es conmutativo, o sea que:

kA = Ak,

donde A es una matriz cualquiera.

Ejemplo: Encuentre la matriz resultante kA si:

k = 3 y

Solución:

7

Ejemplo: Encontrar la matriz A, que satisfaga la ecuación matricial:

Solución:

La matriz A deberá ser de orden 2x3, para que pueda efectuarse la resta de

matrices, o sea que:

Al sustituir en la ecuación y efectuar las operaciones indicadas se obtiene:

8

Por igualdad de matrices se obtienen las ecuaciones que propician la solución al

problema propuesto:

3a11 – 2 = 5 a11 = 3a12 – 12 = 3 a12 = 5

3a13 – 10 = 2 a13 = 4 3a21 – 4 = -1 a21 = 1

3a22 – 8 = -2 a22 = 2 3a23 – 6 = 3 a23 = 3

Luego, la matriz A que se busca es:

Producto de Matrices.

El producto AxB de dos matrices, en ese orden, puede efectuarse siempre que el

número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

Si A es una matriz de orden mxn y B es de orden nxp, entonces

el producto AxB , en ese orden, da como resultado una matriz C cuyo

orden es mxp:

No columnas de A = No filas de B

9

mxn x Bnxp = Cmxp

orden de la matriz resultante

O sea que la matriz resultante C tiene el mismo número de filas que A

y el mismo número de columnas que la matriz B,

si el producto es en el orden AxB.

Ejemplos: Si A3x3, B5x4 y C4x6, son matrices, determinar el orden de la matriz

producto resultante en cada caso, si el producto en ese orden es posible:

a) A x B e) A x B x C

b) B x A f) B x A x C

c) B x C g) B x C x A

d) C x B h) C x B x A

Solución:

a) A3x5 x B5x4 = ??

= Dado que el número de columnas de la matriz A es igual

al número de filas de la matriz B, es posible efectuar el producto en ese orden:

A 3x5 x B 5x4 = P3x4

orden

La matriz resultante, será de orden 3x4.

g) B5x4 x C4x5 x A3x5 = ??

10

Asociando puede escogerse cual producto efectuar primero:

(B5x4 x C4x5) x A3x5 =??. Lo anterior indica que primero debe efectuarse

el producto BxC:

B5x4 x C4x5 = ?? =

se observa que sí es posible de llevar a cabo (# columnas de B = # filas de C),

resultando:

B 5x4 x C4x5 = (BxC)5x5

orden

Luego: (BxC)5x5 x A3x5 = ??

(BxC)5x5 x A3x5 = ??

Este producto no es posible de efectuar en ese orden, ya que el número de

columnas de la matriz resultante (B x C)5x5 es diferente al número de filas de la

matriz A.

Nota: Los restantes literales se dejan al lector.

En general, para efectuar el producto mxn x Bnxp = Cmxp, en ese orden, se procede de

la siguiente manera:

AxB = C b11 b12 b13 .......... b1p

b21 b22 b23 .......... b2p

a11 b11 b31 b32 b33 .......... b3p B

11

: : : : a12 b21 : : : : : : : :

a13 b31 bn1 bn2 bn3 .......... bnp

a1n bn1

a11 a12 a13 ......... a1n c11 c12 c13 .......... c1p

a21 a22 a23 ......... a2n c21 c22 c23 .......... c2p

a31 a32 a33 ......... a3n c31 c32 c33 .......... c3p CA : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : :am1 am2 am3 .......... amn cm1 cm2 cm3 .......... cmp

Cada elemento de la matriz resultante C se calcula como sigue:

1) c11 es el resultado de operar los elementos de la fila 1 de la matriz A con los

de la columna 1 de la matriz B, tal como se muestra:

c11 = a11xb11 + a12xb21 + a13xb31 + .............. + a1n xbn1

2) Para calcular cm2 se combinan, de manera similar, la fila m de la matriz A

con la columna 2 de la matriz B:

cm2 = am1x b12 + am2xb22 + am3xb32 + .............. + amn xbn2

3) c 2 3 = a21xb13 + a22xb23 + a23xb33 + .............. + a2nxbn3

columna de B

fila de A

12

O sea que cualquier elemento cij, de la matriz producto resultante, es el resultado

de la sumatoria de los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A, con

su “correspondiente” elemento de la columna j de la matriz B:

cij = ai1 b1 j + ai 2 b2 j + ai 3 b3j + ... + ai n b n j

Nota: En general, se tiene que el producto de matrices no es conmutativo:

AxB BxA

Ejemplo: Dadas las matrices A y B encontrar, si es posible, los productos:

1) AxB 2) BxA

Solución:1) A2x3 x B4x2 = ??

NO columnas de A: 3 NO filas de B: 4 No es posible efectuar el producto AxB , en ese orden

2) B4x2 x A2x3

NO columnas de B: 2 = NO filas de A: 2 Es posible efectuar el producto BxA , en ese orden

Se procede entonces a colocar las matrices en la posición que facilita identificar con

facilidad las operaciones que propician encontrar los elementos de la matriz producto

resultante:

13

a) El elemento de la matriz C ubicado en la fila 1 columna 1, o sea c11 = 9, se

calcula operando los elementos de la fila 1 de B con los elementos de la

columna 1 de A como se muestra:

columna 1 de A

3 (3)(3) (3)(3) + (-2)(0) = 9 = c11

0 (-2)(0)

fila 1 de B 3 -2 9

b) El elemento de la matriz C ubicado en la fila 2 columna 3, o sea c23 = -4, se

calcula con los elementos de la fila 2 de B y los elementos de la columna 3 de

A, operando como se muestra:

columna 3 de A

-2 (0)(-2) (0)(-2) + (-1)(4) = c23

4 (-1)(4)

fila 2 de B 0 -1 -4

14

De igual manera se calculan los demás elementos de la matriz resultante B x A = C.

Propiedades de las Operaciones con Matrices

Sean las matrices A, B, C y D y sean k, m números reales cualesquiera, entonces:

a) Si las sumas es posible efectuarlas, se verifica que:

1) A + B = B + A, “la suma de matrices es conmutativa”

2) A + (B + C) = (A + B) + C, “la suma de matrices es asociativa”

3) Si A + B = A + C, entonces necesariamente B = C

4) (m + k)A = m A + k A, “el producto de una matriz sobre la suma de números reales es distributivo”

5) k (A + B) = k A + k B, “el producto de un número real sobre la suma de matrices es distributivo”

b) Si los productos y sumas es posibles efectuarlos, se verifica que:

1) En general AxB BxA , “ en general, el producto de dos matrices es no conmutativo”

Ejemplo: Si A2x3 y B3x2 son matrices, entonces:

a) el producto A2x3 x B3x2 = C2x2 es de orden 2x2 A2x3xB3x2 B3x2xA2x3

b)el producto B3x2 x A2x3 = D3x3 es de orden 3x3

2) A(B+C) = A x B + A x C, “ Ley distributiva del producto sobre la suma ”

(B + C )A = B x A + C x A.

3) A(BxC) = (AxB)C , “el producto de matrices es

15

asociativo”

4) Si AxB = AxC, no significa que necesariamente B = C.

Ejercicio: Dadas las matrices

, donde B C,

verificar que A x B = A x C, a pesar que B C .

Se deja al lector.

GUÍA DE EJERCICIOS

I. Resolver los siguientes ejercicios:

1. Dada la matriz A =

a) Cuál es su orden ?

b) Cuál es el elemento a21 ?

c) Cuál es el elemento a34 ?

i + j, si i = j

2. Encuentre la matriz A2x4 para la cual aij =

0, si i j

3. Escribir A = [aij ] si A es 3x4 y aij = 2i +3j

4. Escribir B = [bij ] si B es 2x2 y bij = (-1)i+j ( i2 + j2 )

16

5. Si A = [aij ] es 12x10

a) ¿Cuántos elementos tiene A ?

b) Si aij = 1 para i = j y aij = 0 para i j, determine a33, a52,

a10,10 y a12,10

6. Encuentre la diagonal principal de las siguientes matrices:

A = ; B =

3

2

9

1 2 1 3

0 2 3 5

9 8 7 6

4 2 1 0

1 0

5 4

2 1

II. Lea cuidadosamente las instrucciones y resuelva los ejercicios dados:

1. Determine los valores de las variables, para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes son válidas:

a) = 1

3

x

y

2

3

2

9

c) = w -1

5

4 3

1 2

2 3

1 2

x

y

x

z

17

e) + 2

3

1

4

=

6

v +1

7

x

z

y w

1 2 3

4 1 2

1 2

1 2

2 3

1 0

2 7

5 7

0

2. Efectúe las operaciones indicadas.

e)

3 1 4

2 5 3

0 1 2

2 5

2 4

2 1

-

1

2

-3

f) 3 - 2

1

2

-3

2 1

1 3

4 7

2

3

0

g) 2 + 3

0

3

-1

1 2 3

2 1 0

4 5 6

1 2

2 4

0 3

h) 4 - 5

2

1

3

1 0 3 4

2 1 5 1

3 2 0 2

1 2 3

0 3 4

1 0 5

18

3. Si A es una matriz de orden 3x4,

B es una matriz de orden 4x3,

C es una matriz de orden 2x3 y

D es una matriz de orden 4x5,

Determinar el orden de las matrices producto siguientes:

a) A.B c) B.A. e) C.A

b) A.D d) C.A.D f) C.B.A

4. Efectúe las operaciones indicadas.

a) . 4

52 3

b) .

4

5

6

3 0 1

2 4 0

c) .

3

2

-1

1 0 2

0 2 1

2 1 0

2

1

3

d) .

0

1

3

2 0 1

2

1

0

e) .

-1

2

0

. 3

-2

1 2 3

4 5 6

0

4

3

1

1

19

5. En los siguientes ejercicios, encuentre la matriz A que satisface la ecuación matricial dada.

a) 2A - = 3 3

2

1 2 3

2 1 2

0 5

1 4

b) 3A + = 2

2

1

1

1 1

2 3

1 2

1

3

4

c) - 2A =

2

3

1

2 1 3

1 3 2

1 2 1

3 1

1 2

2 1

d) A = 3

-3

2 1

0 3

0

6

e) 2A - 3 = -2

1

2 1 3

3 2 1

3 3

4 3

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Matriz Vector Fila: es aquella que tiene una sola fila y cualquier número de columnas.

Ejemplo:

Matriz Vector Columna: es aquella que tiene una sola columna y cualquier número de filas.

20

Ejemplo:

U =

Matriz cuadrada: es aquella cuyo número de filas es igual a número de columnas.

Ejemplo:

, matriz cuadrada de orden 3x3.

, matriz no cuadrada de orden 3x2.

Nota:Una matriz cuadrada Anxn puede denotarse simplemente por An, por ejemplo:

si la matriz A es de orden 3x3 se puede denotar

A3x3 o simplemente por A3.Matriz Diagonal: es aquella matriz cuadrada en la que todos sus elementos son

ceros, excepto alguno de la diagonal principal.

Ejemplo:

Matriz Unidad o Identidad:

Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal

principal son todos iguales a 1. Por lo general, se designa con la

21

letra “I” y el subíndice que especifica el orden.

Ejemplo:

NOTA: Toda matriz identidad es cuadrada.

Toda matriz identidad cumple que AxI = A e IxA = A,

siempre que estos productos puedan efectuarse.

Matriz Cero o Matriz Nula:

Es aquella en la cual todos sus elementos son ceros. Puede

ser de cualquier orden y no necesariamente cuadrada.

Por lo general se designa con la letra “O” y el subíndice que indica el orden.

Ejemplo: Son matrices nulas.

Es interesante hacer notar que si A x B = O, no significa que necesariamenteA = O ó B = O, donde O es la matriz nula.

Ejemplo: Dadas las matrices:

,

ambas diferentes de la matriz cero o nula, verificar que AxB = O.

La solución se deja al lector.

22

Matriz Traspuesta: Es aquella que resulta de cambiar las filas a columnas y las

columnas a filas, en una matriz dada. Se denota por AT a

la traspuesta de la matriz A.

Ejemplo: Dada la matriz:

Nótese que en la transposición de matrices los elementos

a11, a22, a33, ..............,ann

siempre mantienen su posición en la matriz traspuesta. Para el ejemplo

anterior dichos elementos son a11 = 2, a22 = 3, a33 = -1.

Nótese que ( A T ) T = A Matriz Inversa:

Existen matrices cuadradas A y A-1 para las cuales se verifica que:

A x A-1 = A-1 x A = I, donde I es la matriz unidad.

En estos casos se dice que:

A-1 es la inversa de A,

o bien

A es la inversa de A-1.

Ejemplo:

Verificar que las matrices:

son inversas una de la otra.

La solución se deja al lector.

Nota:

- Ninguna matriz no cuadrada tiene inversa.

23

- No todas las matrices cuadradas tienen inversa.

- Si una matriz cuadrada tiene inversa, ésta es única.

Matriz Escalonada:

Una matriz se encuentra en forma escalonada si se cumplen

las condiciones siguientes:

i) Todas las filas, si las hay, cuyos elementos son en

su totalidad ceros aparecen en la parte inferior de la matriz

ii) La cantidad de elementos iguales a cero situados a la izquierda

del primer elemento no cero, en cada fila, aumenta fila por fila.

Ejemplo:

-2 5 0 3 5

1)A = 0 -12 2) B = 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 2

3) C = 0 0

0 0 0

A los primeros elementos distintos de cero en cada fila se les conoce

como elementos distinguidos (en recuadro en los ejemplos anteriores).

Las siguientes matrices no son escalonadas, ¿porqué?

1 2 3 4 2 4 0 0 0

0 0 3 13 0 0 0 2 0D = E = 0 0 2 6 0 0 0 0 0

24

3

13

5

1

3

1

5

0 0 0 5 0 0 0 0 1

1 2 3 4

2 1 3 2 F = 0 0 3 2

0 0 0 4

Matriz Canónica:

Es una matriz escalonada cuyos elementos distinguidos son

los únicos diferentes de cero en su respectiva columna y son

todos iguales a 1.

Ejemplo:

0 1 0 8 0 0 1 0 0

0 0 1 9 0 2) B = 0 0 0 11) A = 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 2 5

3) I3x3 = 0 1 0 4) C = 0 1 3 6

0 0 1 0 0 0 0

25

La matriz identidad es un caso particular de la matriz canónica (ver matriz I3x3 del

ejemplo anterior).

MATRICES EQUIVALENTES

Definición: se dice que una matriz A es equivalente a otra matriz B

si esta última puede obtenerse a partir de la matriz A, por medio

de una sucesión finita de operaciones elementales entre filas.

Estas operaciones elementales entre filas se pueden resumir así:

1) Intercambio, entre si, de dos filas cualesquiera,

2) Multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar (número)

diferente de cero,

3) Suma de una fila con un múltiplo escalar de otra fila.

Ejemplo: La matriz

A =

3 3 1

1 4 5

0 1 2

,

Es equivalente a las siguientes matrices:

f1f2 f2 f1 En la matriz A se intercambiaron las filas f1 y f2 : “fila 1 a fila 2 y fila 2 a fila 1”.

b)

-3f2 f2 ½f3 f3

En la matriz A se multiplicó la fila 2 por -3 y la fila 3 por ½: “-3 veces fila 2 a fila 2 y ½ fila 3 a fila 3”.

26

c)

f2 +f 1 f2 f3 - 3f2 f3

En la matriz A se sumó la fila 2 con la fila 1 y El resultado se ubicó en la fila 2.

Se efectuó la fila 3 menos 3 veces la fila 2 El resultado se ubicó en la fila 3 :“fila 2 más fila1 va a fila2 y fila 3 menos tres veces fila 2 va a fila 3”

Esta equivalencia basta con expresarla de manera directa a partir de la

matriz original escribiendo por debajo de ella las operaciones

elementales entre filas que se están llevando a cabo, tal como se muestra

para las mismas matrices del ejemplo anterior:

a) B : “ es equivalente a B”

~

1 4 5

3 3 1

0 1 2

f1f2 f2 f1

b) C: “ es equivalente a C”

~

3 3 1

3 12 15

0 1 2 1

/

3f2 f2 1/2f3 f3

c) también se puede representar la equivalencia D: “A es equivalente a D”

Con este método es posible transformar una matriz cualquiera en otra

equivalente con características particularmente especiales que se requieran.

27

Por ejemplo: Transformar cada uno de las matrices dadas en una matriz

equivalente cuyos elementos a11 , a22 , a33, ............,ann

sean iguales a 1 y cuyos elementos por debajo de éstos sean ceros.

Solución:

A =

3 3 2

1 4 5

0 1 2

~

f2 f1 f1 f2

Con estas primeras operaciones se logra que el primer elemento, a11 = 3, se “transforme” en 1 . (En recuadro en la matriz equivalente).

A ~ ~

f2f3 f3f2

Estas operaciones propician que el elemento a22 = -3 se “transforme” en 1 y a21 = 3 se transforme en cero (en recuadro en la nueva matriz equivalente).

A ~ ~

f3 - 3f1 f3

Esta operación, transforma en cero al elemento a31 = 3 (en recuadro en la nueva matriz equivalente).

A ~

1 4 5

0 1 2

0 15 13

~

28

1

1

0

0

0

f3 +15 f2 f3

Esta operación transforma en cero al elemento a32 = 3 (en recuadro en la nueva matriz equivalente).

A ~ ~

1/17 f3 f3

Finalmente esta operación propicia que el último elemento, a32 = 17, se transforme en 1 (en recuadro en la matriz equivalente).

La última matriz equivalente encontrada tiene las características de la matriz que se

busca:

los elementos a 11, a22, a33 son “unos” y los elementos por debajo de éstos, son “ceros”.

Se tiene entonces que:

A =

3 3 2

1 4 5

0 1 2

~

1 4 5

0 1 2

0 0 1

Los ejercicios b) c) se dejan al lector.

Algunas aplicaciones de las operaciones elementales entre filas son:

Reducir una matriz cualquiera a otra equivalente con cualesquiera

características que se requieran (escalonada, canónica, etc.)

Resolver sistema de ecuaciones lineales

Encontrar la inversa de una matriz.

El Método del Pivote:

Esta es una forma mecánica y abreviada de aplicar las operaciones elementales entre filas.

Propicia reducir matrices a las formas escalonada y canónica, mediante productos cruzados

sucesivos iniciados desde un elemento de referencia o “pivote” escogido apropiadamente

dentro de la matriz.

29

1

De preferencia se toman como pivote los elementos a11, a22 , a33 ,...........

¡¡ El pivote no debe ser cero

En el siguiente ejemplo se resume e ilustra la operatividad de este método

para una matriz A cualquiera.

Ejemplo: Reduzca las matrices A y P a una equivalente que tenga la forma:

a) Escalonada,

b) Canónica.

Solución:

Paso 1 :

Se toma el elemento a11 = - 2 como pivote.

Paso 2:

La fila del pivote se mantiene igual y los elementos de la columna del pivote se transforman en ceros, excepto el pivote:

~

Paso 3:

30

Los elementos que faltan, en las demás filas, se encuentran calculando

los determinantes de orden 2 que resultan alrededor del pivote; estos

determinantes son tales que su diagonal principal está constituida por

el elemento pivote y el elemento que se va a sustituir, así:

~

de donde resulta:

~

Al final del paso 3 se obtiene esta matriz equivalente B, cuyos elementos de la

primera columna son ceros excepto el pivote que se utilizó : -2; y la fila del pivote

permanece intacta (no sufrió cambios).

Con esta matriz B se repiten los pasos del 1 al 3 tomando como nuevo pivote

el elemento b22. Ya que b22 es cero, se hace necesario efectuar una operación

entre filas para eliminar dicho inconveniente:

~ : la matriz escalonada que se busca

f2 f3 f3 f2

Utilizando como pivote el elemento c22 = 1 de la nueva matriz equivalente C

y repitiendo los pasos del 1 al 3 se tiene que:

31

0

~ ,

o bien:

~ ,

Nótese que la fila del pivote permanece inalterable mientras que en su columna todos se vuelven “cero”, excepto el pivote.

Calculando los determinantes de orden 2 que resultan alrededor del

pivote, se obtiene:

d11 = -2; d13 = 6; d14 = 0; d31 = 0; d33 = 10; d34 = -6

de donde:

Repitiendo el procedimiento, tomando el último elemento d33 = 10 como pivote

se obtiene:

~

Los elementos que faltan, en las demás filas, se encuentran calculando

los determinantes de orden 2 que resultan alrededor del pivote, tal como

en el caso ya visto:

e11 = -20; e12 = 0; e14 = 36; e21 = 0; e22 = 10 ; e24 = -54,

32

1

10

1

de donde

E =

20 0 0 36

0 10 0 54

0 0 10 6

Para obtener la matriz canónica, a partir de esta última matriz

equivalente, se divide cada fila por el valor de su

elemento distinguido:

~

-1/20 f1 f1 ٨ 1/10 f2 f2

1/10 f3 f3

Las dos matrices que se buscan, equivalentes a la matriz A, son:

Escalonadas)

La solución para la matriz P se deja al lector.

Matriz aumentada: La matriz aumentada de A es el arreglo matricial:

( A I ),

donde A es una matriz cuadrada de orden n e I es la matriz identidad del

mismo orden que A.

Ejemplo:

33

su matriz aumentada es el arreglo matricial:

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ: METODO DE GAUSS.

Recordar que:

- Solamente las matrices cuadradas tienen inversa

- No todas las matrices cuadradas tienen inversa

- Si una matriz cuadrada tiene inversa, ésta es única

- Toda matriz identidad es cuadrada.

Descripción del método:

El método de Gauss se basa en la aplicación de las operaciones elementales entre

filas para llegar de la matriz aumentada:

( A I )

a la matriz equivalente:

( I A-1 ),

34

donde I es la matriz identidad del mismo orden que A y, obviamente, A -1 es la matriz

inversa de A, o sea, ¡la matriz que se busca!

Ejemplo:

Encontrar la inversa, si es que existe, de las matrices:

¡¡Recordar que solamente las matrices cuadradas tienen la posibilidad de tener inversa

Solución:

a) Partiendo de la correspondiente matriz aumentada y utilizando operacione

elementales entre filas:

( A I )

~

f1 f3 f3 f1 f2 + 4f1 f2 f3 -2f1 f3

~ ~

f2 f3 f3 f2 f3 + 2f2 f3

35

~ ~

-1/5 f3 f3 f1 - 3f3 f1 f2 + 9f3 f2

~ ~

-f1 f1

La inversa es entonces:

b) Partiendo de la correspondiente matriz aumentada y utilizando

el método del pivote:

( A I )

~

~

f2 f3 f3 f2

36

~

~

~

-1/20 f1 f1 1/10 f2 f2

1/10 f3 f3 ( I A-1)

La inversa es entonces:

El resultado es el mismo, ¡lo cual era de esperarse ¡

La solución 2) se deja al lector.

GUIA DE EJERCICIOS

I. Resolver los siguientes ejercicios:

1. Dadas las matrices:

A = ; B = 1

0 ; C =

4

-5

2 7 6

5 9 3

4 0

1 6

5 1

2 4

,

comprobar las siguientes propiedades:

a) A +B = B + A b) (A+B)+C = A+(B+C)

37

1

10

c) 5(A+B) = 5A +5B d) 3A+2A = 5A e) -5(3A) = -15A

3. Dadas las siguientes matrices:

A = ; B = 6

4 ; C =

3

5

3 4

5 8

7 6

7 9

3 1

4 7

6 8

,

comprobar que:

a) A(B+C) = AxB + AxC b) (B+C)A = BxA. + CxA


A = ; B =

4

5

-1

; C =

3

4

5

3 4 5

6 7 8

2 3

4 1

6 0

4

1

0

,

compruebe que :

a) A(BxC) = (AxB)C b) 5(AxB) = (5A)B = A(5B) c) AxC CxA

4. Un laboratorio farmacéutico produce un cierto medicamento. Los costos por la

compra y transporte de cantidades específicas de las sustancias necesarias para

su elaboración, adquiridos en dos localidades distintas, son dados por los arreglos

matriciales siguientes:

LOCALIDAD 1

Sustancia Precio de compra Costo de transporte

a 5 12

38

b 17 4

c 3 1

LOCALIDAD 2

Sustancia Precio de compra Costo de transporte

a 7 13

b 15 3

c 2 2

a) Determinar la matriz C que representa los costos totales de compra y

transporte de cada una de las sustancias a, b, y c.

b) En la matriz resultante ¿Qué representa la primera columna?

¿ y la segunda?

c) ¿Qué representa el elemento C22 ?

d) ¿ Qué representa cada una de las filas?

10. Un fabricante de zapatos, los produce en color negro, blanco y café, para niños,

damas y caballeros.

La capacidad de producción (en miles de pares) en laS plantaS de Soyapango y San

Marcos está dada por la matriz siguiente:

SOYAPANGO SAN MARCOS

hombres mujeres niños hombres mujeres niños

negro 30 34 20 35 30 26

gris 45 20 16 52 25 18

blanco 14 26 25 23 24 32

a) Determine la representación matricial de la producción total de cada

tipo de zapato en ambas plantas.

39

b) Si la producción en Soyapango se incrementa en un 50 % y la de San

Marcos en un 25%, encuentre la matriz que representa la nueva

producción total de cada tipo de calzado.

11. Una compañía tiene plantas en tres localidades X, Y, Z, y cuatro bodegas en los

lugares A, B, C y D. El costo en colones de transportar cada unidad de su producto de

una planta a una bodega, esta dada por la matriz siguiente.

X Y ZA

B

C

D

10 12 15

13 10 12

8 15 16

16 9 10

Si a los costos de transporte se les aplica el IVA (13%) escriba los nuevos costos en

forma matricial.

II. Leer detenidamente cada cuestionamiento y resolver


40

A) Exprese el orden de cada matriz.

B) Identifique las matrices que son:

a) Vector Fila e) Identidad

b) Vector Columna f) nula

c) cuadradas g) Escalonada

d) Diagonal h) Canónica


encuentre los productos que estén definidos:

a) AxB d) A² g) AxAT

b) BxA e) B² h) AT x A

c) AxBxC f) BxCxA i) CxAxB

Nota: A2 = A x A y B2 = B x B

41

3. Sean

Verificar que:

a) (A+B)T = AT + BT b) (3A)T = 3 (AT )

c) A+ O = O + A = A, donde O es la matriz nula de orden 2x3

4. Sean

Verificar que: (AxB)T = BT x AT

5. Dadas:

a)

2 -3 -5 -1 -3 5

b) A = -1 4 5 y B = 1 -3 -5 ,

1 4 5 -1 3 5

comprobar en ambos casos que AxB = O, donde O = matriz nula, a pesar de que ni A

ni B son matrices nulas.


1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 -2

42

A = 2 1 -3 ; B = 2 1 1 1 ; C = 3 -2 -1 -1

4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0

donde B C, verificar que A x B = A x C

7. Un comerciante de televisores a color tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho

de 20; cuatro de 18 y diez de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en

5,650.00 Colones cada uno, los de 20 a 4,550.00 Colones cada uno, los de 18 en

3,500.00 Colones cada uno y los de 12 en 2,300.00 Colones cada uno. Exprese el

precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de dos matrices.

8. En un curso de matemática se hacen seis evaluaciones denotadas como N1, N2, N3,

L1, L2, L3 cuyas respectivas ponderaciones son 20%, 25%, 25%, 10%, 10% y 10% .

Las notas obtenidas por cuatro alumnos de este curso son:

Pedro: 5.0, 6.0, 8.0, 4.0, 7.0, 5.0

Fran : 3.0, 2.0, 5.0 6.0, 7.0, 5.0

Luis : 7.0, 10.0, 6.0, 8.0, 5.0, 9.0

Carmen: 6.0 7.0, 6.0, 8.0, 4.0, 7.0

A) Determinar las representaciones matriciales de:

i) Las notas obtenidas por los cuatro estudiantes

ii) Las ponderaciones correspondientes a cada evaluación

B) Exprese la nota final de los estudiantes como el producto de dos matrices

C) Encuentre la nota final de cada estudiante

III. Utilizando cada uno de los elementos a11 , a22 , a33 ....... como pivote,

encuentre la matriz equivalente canónica de:

43

7

1 1 6

4 2 2

5 1 0

2 5 1 1

1 1 1 1

2 4 2 1

1 3 2 2

1 1 3

1 1 0

3 4 1 8

)

1

3

2

8)

1

2

3

1

9)

1

2

IV. Resolver los siguientes ejercicios:

1. Determine cuales de los siguientes pares de matrices son inversas una de

la otra:

2. Utilizando el método de Gauss, calcule la inversa de las siguientes matrices,

si existen (se puede utilizar operaciones por fila o el pivote)

a) A = 2

3 b) B =

1

-3 c) A =

3

-6

d) B =

1

0

2

e) B =

2

5

f) C =

2

3

4

5

4

2

4

2

4

0 2

3 1

1 0

3 4

1 2 0

4 6

1 1

2 0

3 1

44

g) B =

-1

2

3

h) C =

1 -1

2 -3

1 1

3 0

2 3

1 1

1 2

1 2

0 3

1 1

1 2

3. Dadas la matrices:

, verifique que (AxB)-1 = B-1 x A-1

1.6 SOLUCION DE SISTEMAS DE m ECUACIONES LINEALES CON n INCÓGNITAS

Un sistema de dos ecuaciones lineales con 3 incógnitas (sistema 2x3)

3x – 2y + z = 1 -2x + y – 2z = -3

se puede escribir en forma matricial como “el producto de la matriz de coeficientes por la matriz de incógnitas igual a la matriz de terminos independientes”.

Asi:

3 -2 1 x 1y =

-2 1 -2 z -3

Esto se puede verificar multiplicando las dos matrices del miembro izquierdo:

3x - 2y + z 1=

-2x + y -2z -3

Luego por igualdad de matrices, se obtiene el sistema original:

3x – 2y + z = 1 -2x + y – 2z = -3

Un recurso para resolver sistemas nxn de ecuaciones lineales no homogéneas es utilizar la matriz inversa y su definición:

A- 1 A = I.

Así, si se tiene un sistema de ecuaciones de este tipo cuya representación matricial es:

An x n Xn x 1 = Bn x 1 ,

45

Matriz de Coeficientes Matriz de términos Independientes

Matriz de Incógnitas

Al multiplicar ambos miembros por la matriz inversa de A se obtiene:

A A X A B

I X = A B

X = A B

n x n n x n n x 1 n x n n x 1

n x n n x 1 n x n -1

n x 1 n x 1

n x 1 n x n- 1

n x 1 n x 1

1 1

de donde, por igualdad de matrices, se obtiene la solución de manera directa.

Ejemplo: Resolver el sistema 3 x 3 de ecuaciones lineales no homogéneo:

- 2x + y - 3z = 4 4x - 2y + z = 2- x + 3z = - 10

La representación matricial de este sistema de ecuaciones

46

Solución: Utilizando la matriz inversa de A, la cual está calculada en el ejemplo anterior, se tiene:

A A X = A B

-6 / 5

- 13 / 5

-2

4

-1

x

y

z

=

-6 / 5

4

2

-10

1

x

y

z

= - 1

- 1 - 1

3 5 1

9 5 2

2 5 1 5 0

1 3

2 1

0 3

3 5 1

13 5 9 5 2

2 5 1 5 0

0 0

0 1 0

0 0 1

/

/

/ /

/

/ /

/ /

/ 5

6

13

2

4

2

-10

3 5

9 10

1 0

x

y

z

= - 1 / 5

-20

-30

10

x = 4

y = 6

z = - 2

Esta manera de resolver sistemas de ecuaciones es muy poco utilizada tanto por lo tedioso que resulta calcular la inversa de una matriz como también por el hecho que se limita solo a sistemas nxn. Una manera más versátil y menos trabajosa se describe a continuación:

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sistema mxn) es de la forma.

a11 x1 + a12 x2 + ............. + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ............. + a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + ............. + a3n xn = b3

: : : :: : : : am1 x1 + am2 x2 + ............. + amn xn = bm ,

y puede escribirse en forma matricial así:

47

( A ) ( X ) = ( B )

donde:

= matriz de terminos independientes

b

b

b

bm

1

2

3

:

:

:

Ejemplo:

48

Escribir en forma matricial el sistema

-2x + y - 3z = 0 4x - 2y + z = 3

2x + y - z = 1 - x + 3z = 0

Solución:

En la última ecuación el coeficiente de la variable “y” es cero.

2 1 3

4 2 1

2 1 1

1 0 3

0

3

1

0

=

x

y

z

matriz de término independientes

matriz de incógnitas

matriz de coeficientes

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen cada una de las ecuaciones de dichos sistema.Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Ejemplo:

Los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x + 2y + z = 2 b) x + 2y + z = 23x + y - 2z = 1 y + z = 14x - 3y - z = 3 -11 y - 5z = - 52x + 4y + 2z = 4

son equivalentes, ya que para ambos la solución es la misma: x = 1 , y = 0 , z = 1 .

Verificando la solución para el sistema a) se tiene:

- sustituyendo en la primera ecuación del sistema

49

(1) + 2 (0) + (1) = 2 2 = 2

- sustituyendo en la segunda ecuación

3 (1) + ( 0 ) - 2 (1) = 1

1 = 1

- sustituyendo en la tercera ecuación

4 (1) - 3 ( 0 ) - 1 = 3

3 = 3

- sustituyendo en la cuarta ecuación

2 ( 1 ) + 4 ( 0 ) + 2 ( 1 ) = 4

4 = 4

Todas las ecuaciones del sistema a) se satisfacen.

Se deja al lector verificar la solución para el sistema b).

Si todos los términos independientes b1 , b2 , b3 , ................, bm de un sistema mxn son ceros, se dice que el sistema es homogéneo. Si al menos uno de ellos es diferente de cero se dice que el sistema es no homogéneo.

Ejemplo:

1) x + 2y - z = 0 sistema homogéneo 4 x 3 de ecuaciones-9x - y + 5z = 0 lineales. 4x - y - 3z = 0 x + y = 0

2) 2x + 3y - z = 0 sistema no homogéneo 3 x 3 de ecuaciones 3x - y - 2z = 3 lineales. 4x - y = -1

Solución de Sistemas mxn no Homogéneos.

50

Un sistema mxn no homogéneo de ecuaciones lineales puede ser que tenga:

a) Solución única,b) Múltiples soluciones,c) Ninguna solución.

Si el sistema tiene solución única o múltiples soluciones, se dice que es un sistema compatible de ecuaciones. En caso de no tener solución se dice que el sistema es incompatible.

Método de la Matriz Aumentada para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales mxn.

Una descripción de este método es como sigue:

a) Se parte de la matriz aumentada

( A B )

matriz de coeficientes matriz de términos independientes

b) Mediante operaciones elementales entre filas o por el método del pivote se reduce la matriz aumentada a una equivalente en la cual la matriz de coeficientes se ha llevado a la forma canónica.

c) De la matriz equivalente se obtiene el sistema de ecuaciones equivalente del cual se puede obtener la solución del sistema original, si la hay.

Sistemas mxn que no tienen solución. (sistemas incompatibles).

Si al efectuar el paso c), en alguna de las ecuaciones del sistema equivalente se llega a un “absurdo” de la forma 0 = k , donde k es cualquier número real distinto de cero, el sistema no tiene solución (es incompatible).

Ejemplo de un sistema mxn no homogéneo que no tiene solución.

Resolver el sistema 4x3 de ecuaciones lineales

- 2 x + y - 2z = 7 1/3x + y + 1/3z = 10/3 - 4x + 4y + 8z = 4 x + 2y = 9

Solución:

a) Se escribe el sistema en forma matricial

51

A X = B

=

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / /x

y

z

y se identifica la matriz aumentada

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / /

b) Por medio de operaciones elementales entre filas, o por medio del método del pivote, se llega de la matriz aumentada a la matriz equivalente en la cual la matriz de coeficientes está en forma canónica:

i) Por medio de operaciones elementales entre filas

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / / ~

2 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 0

7

10

1

9

3f2 f2 ¼f3 f3

2 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 0

7

10

1

9

~

0 7 0

1 3 1

0 4 3

0 1 1

27

10

11

1

f1 + 2f2 f1

f3 + f2 f3

f4 - f2 f4

0 7 0

1 3 1

0 4 3

0 1 1

27

10

11

1

~

1 3 1

0 1 1

0 4 3

0 7 0

10

1

11

27

f2 f1 , f2 f4,

f4 f2

52

1 3 1

0 1 1

0 4 3

0 7 0

10

11

27

-1~

1 0 2

0 1 1

0 0 1

0 0 7

7

1

7

20

f1 + 3f2 f1 , f3 + 4f2 f3,

f4 + 7f2 f4

1 0 2

0 1 1

0 0 1

0 0 7

7

7

20

-1

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

7

2

7

29

f1 - 2f3 f1 , f2 - f3 f2,

f4 - 7f3 f4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

7

7

29

-8

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

7

8

7

29

- f2 f2 - f3 f3

matriz de coeficientes llevada a la forma canónica.

c) Se obtiene el sistema de ecuaciones

x + 0y + 0z = - 7 x = -70x + y + 0z = 8 o bien y = 80x + 0y + z = -7 z = -70x + 0y + 0z = -29 0 = -29

¡¡absurdo!

Se ha llegado a un absurdo, 0 = - 29, por lo que se concluye que el sistema original

- 2x + y - 2z = 71/3x + y + 1/3z = 10/3- 4x + 4y + 8z = 4 x + 2y = 9

no tiene solución ( es un sistema incompatible de ecuaciones lineales).

53

El lector puede verificar que la aparente solución, x = - 7 , y = 8, z = - 7, no satisface a todas las ecuaciones del sistema.

Es importante notar que no es imprescindible ni obligatorio llegar a la matriz aumentada equivalente, cuya matriz de coeficientes es canónica, para determinar que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. Por ejemplo, de la última fila de la penúltima matriz se puede obtener la ecuación lineal correspondiente

0x + 0y + 0z = - 29 0 = - 29 ¡¡absurdo!!

ii) Utilizando el método del pivote

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / / ~

2 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 0

7

10

1

9

3f2 f2 ¼ f3 f3

Estas operaciones es obvio que harán más fácil la aplicación del método del pivote:

2 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 0

7

10

1

9

~

2 1 2

0 7 0

0 1 6

0 5 2

7

-27

5

-25

~

14 0 14

0 7 0

0 0 42

0 0 14

-22

-27

-62

40

~

588 0 0

0 294 0

0 0 42

0 0 0

56

1134

62

812

1/588 f1 f1 , 1/-294 f 2 f 2

1/42 f3 f3 , 1/812 f 4 f 4

54

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

2 21

63 13

31 21

1

/

/

/

matriz de coeficientes llevada a la forma canónica.

c) Se obtiene el sistema de ecuaciones.

x + 0y - 0z = - 2/21 x = - 2/210x + y + 0z = 63/13 o bien y = 63/130x + 0y + z = -31/21 z = - 31/210x + 0y + 0z = 1 0 = 1

¡¡absurdo!!

Nuevamente se ha llegado a un absurdo, 0 = 1, por lo que se concluye que el sistema original de ecuaciones lineales

- 2 x + y - 2z = 71/3x + y + 1/3z = 10/3- 4x + 4y + 8z = 4 x + 2y = 9

es incompatible.

Se puede verificar que la aparente solución, x = - 2/21 , y = 63/13 . z = - 31/21 , no satisface a todas las ecuaciones del sistemas.Nótese que las “aparentes soluciones”, obtenidas por operaciones entre filas y por el método del pivote, no tienen por qué ser iguales precisamente porque no son soluciones del sistema.

Obsérvese que la incompatibilidad del sistema pudo determinarse a partir de la última fila de la penúltima matriz equivalente:

0x + 0y + 0z = 812 0 = 812¡¡absurdo!!

b) Sistemas mxn que tienen solución (sistemas compatibles)

55

Si en la matriz obtenida en el paso b), “Mediante operaciones elementales entre filas o por el método del pivote se reduce la matriz aumentada a una equivalente en la cual la matriz de coeficientes se ha llevado a la forma canónica”,el número de filas diferente de cero es igual al número de incógnitas el sistema tiene solución única, si es que no resulta algún “absurdo”. Si dicho número de filas diferente de cero es menor que el número de incógnitas el sistema tiene infinito número de soluciones, si es que no resulta algún “absurdo”.Ejemplo de un sistema mxn no homogéneo que tiene solución única:

Resolver el sistema 3x3 de ecuaciones lineales.

- 2 x + y - 3z = 0 4x - 2y + z = 3 - x + 3z = 0

Solución:

a) Se escribe el sistema en su forma matricial


2 1 3

4 2 1

1 0 3

0

3

0

b) Por medio de operaciones elementales entre filas, o por medio del método del pivote, se llega a la matriz equivalente en la cual la matriz de coeficientes está en forma canónica:

i) Por operaciones elementales entre filas:

56

2 1 3

4 2 1

1 0 3

0

3

0

-1 0 3

4 -2 1

-2 1 -3

0

3

0

-1 0 3

0 -2 13

0 1 -9

0

3

0

f1 f3 f3 f1 f2 + 4f1 f2 f3 f2 f2 f3

f3 - 2 f1 f3

-1 0 3

0 1 -9

0 -2 13

0

0

3

-1 0 3

0 1 -9

0 0 -5

quinta matriz equivalente0

0

3

f3 + 2 f2 f3 - 1/5 f3 f3 , - f1 f1

1 0 -3

0 1 -9

0 0 1

0

0

3 5 /

~ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

9 5

27 5

3 5

/

/

/

f2 + 9 f3 f2 ,

f1 + 3 f3 f1 Matriz de coeficientes llevada a la forma canónica

En la última matriz aumentada equivalente se observa que el número de las filas diferentes de cero ( 3 filas ) es igual al número de incógnitas (x,y,z) y que el sistema de ecuaciones obtenido de dicha matriz aumentada no presentará algún “absurdo”. De lo anterior se concluye que el sistema tiene solución única.

ii) Utilizando el método del pivote

-2 1 -3

4 -2 1

-1 0 3

0

3

0

-2 1 -3

0 0 10

0 1 -9

0

6

0

f2 f3 , f3 f2

-2 1 -3

0 1 -9

0 0 10

3 matriz equivalentea0

0

6

57

~

-2 0 6

0 1 -9

0 0 10

0

0

-6

~

-20 0 0

0 10 0

0 0 10

36

54

6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

9 5

27 5

3 5

/

/

/

-1/20 f1

f1 , 1/10 f2 f2 1/10 f3 f3 Matriz de coeficientes llevado

a la forma canónica.

Nótese que esta última matriz aumentada equivalente es exactamente igual a la obtenida por operaciones entre filas, lo cual era de esperarse ya que el sistema tiene solución única.


x + 0y + 0z = - 9/5 x = - 9/5 0x + y + 0z = - 27/5 o bien y = - 27/50x + 0y + z = -3/5 z = - 3/5

El lector puede verificar que ésta, x = -9/5 , y = - 27/5 , z = - 3/5 , es la solución del sistema original

-2x + y - 3z = 0 4x - 2y + z = 3- x + 3z = 0

sustituyendo los valores de las incógnitas en cada una de las ecuaciones.

Obsérvese que en este caso también ocurre que no es imprescindible ni obligatorio llegar a la matriz aumentada equivalente descrita en el paso b), para obtener la solución del sistema.

Por ejemplo, en la solución por operaciones elementales entre filas, a partir de la quinta matriz equivalente encontrada se puede obtener fácilmente la solución por álgebra:

quinta matriz equivalente Sistema de ecuaciones equivalente al original

- x + 0y + 3z = 0 (1)

1 0 3

0 1 9

0 0 5

0

0

3

0x + y - 9z = 0 (2)

0x + 0y - 5z = 3 (3)

De la ecuación (3):

58

-5z = 3 z = -3/5

Sustituyendo en (2)

y - 9z = 0

y - 9(- 3/5) = 0 y = -27/5

Sustituyendo en (1)

- x + 3z = 0

- x + 3(- 3/5) = 0 x = -9/5

De manera similar, en la solución por medio del pivote, a partir de la tercera matriz equivalente se puede obtener las solución algebraicamente. Se sugiere al lector que lo resuelva a manera de ejercicio.

Ejemplo de un sistema mxn no homogéneo que tiene múltiples soluciones:

Resolver el sistema 3x3 de ecuaciones lineales

3x - 4y + 10z = 9 -2x + y + z = 1

5x - 5y + 9z = 8

Solución:

a) Se escribe el sistema en su forma matricial

y se identifica la matriz aumentada (A | B )

3 4 10

2 1 1

5 5 9

9

1

8

59

b) Por operaciones elementales entre filas o por el método del pivote se lleva la matriz aumentada a una equivalente en la cual la matriz de coeficientes es canónica.

Combinando ambos métodos, operaciones entre filas y el pivote, se tiene:

3

-2

5

4 10

1 1

5 9

9

1

8 ~

3 -4 10

0 -5 23

0 5 -23

9

21

21~

f3 + f2 f3

~ ~

-1/15 f1 f1 , -1/5 f2 f2

Matriz de coeficientes llevada a la forma canónica

El sistema tiene múltiples soluciones, ya que en la última matriz aumentada equivalente se observa que el número de filas diferentes de cero (dos filas) es menor que el número de incógnitas (tres incógnitas), y no surgió “absurdo” alguno.

c) Se tiene el sistema de ecuaciones.

x + 0y - 14/5 z = - 13/5 0x + y - 23/5 z = - 21/5

o bien,

x - 14/5 z = - 13/5 x = 14/5 z - 13/5

y - 23/5 z = - 21/5 y = 23/5 z - 21/5

La solución del sistema es la que está en recuadro y se ve que tanto x como y dependen del valor que se le asigne a z; por ejemplo:

i) Si z = 0 , entonces x = 14/5 z - 13/5

x = - 13/5

y = 23/5(0) - 21/5

60

y = - 21/5

ii) Si z = 1 , entonces x = 14/5(1) - 13/5

x = 1/5

y = 23/5(1) - 21/5

y = 2/5

Así sucesivamente se puede obtener tantas soluciones como se quiera, asignando diferentes valores a z.

Solución de sistemas mxn homogéneos.

Cualquier sistema mxn homogéneo de ecuaciones lineales:

a11 x1 + a12 x2 + ............... + a1n xn = 0a21 x1 + a22 x2 + ............... + a2n xn = 0: : : :: : : :am1 x1 + am2 x2 + ............... + amn xn = 0

siempre se satisface con la solución:

x1 = 0 , x2 = 0 , ................ , xn = 0 , de lo cual se concluye que todo sistema mxn homogéneo de ecuaciones lineales es compatible.

A esta solución, x1 = 0 , x2 = 0 , ........ , xn = 0 , se le conoce como solución trivial. A cualquier otra solución, si la hay, se le conoce como solución no trivial.Un sistema mxn homogéneo de ecuaciones lineales puede ser que tenga:

a) Solución única (la solución trivial),b) Múltiples soluciones (entre ellas está la trivial).

Las condiciones para solución única o múltiples soluciones , son las mismas que se consideran para los sistemas mxn no homogéneos.

61

Ejemplo: Resolver el sistema mxn homogéneo de ecuaciones lineales

- 2x + y - 2z = 0 1/3x + y + 1/3z = 0

-4x + 4y + 8z = 0 x + 2y = 0

Solución:

a) Se escribe el sistema en forma matricial

A X O-2 1

1 / 3 1

-4 4

1 2

x

y

z

=

2

1 3

8

0

0

0

0

0

/


O1 -2

1 1 / 3

4 8

2 0

2

1 3

4

1

0

0

0

0

/

b) Combinando operaciones entre filas y el método del pivote se llega de la matriz aumentada a la matriz equivalente cuya matriz de coeficientes está en forma canónica:

2

1 3

4

1

0

0

0

0

1 -2

1 1 / 3

4 8

2 0

/ ~

2 1 -2

1 3 1

-1 1 2

1 2 0

0

0

0

0

3 f2 f2 , 1/4f3 f3

~

-2 1 -2

0 -7 0

0 -1 -6

0 -5 2

0

0

0

0

~

14 0 14

0 -7 0

0 0 42

0 0 -14

0

0

0

0

62

~

588 0 0

0 -294 0

0 0 42

0 0 0

0

0

0

0

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

0

0

1/588 f1 f1 , 1/-294 f2 f2 1/42 f3 f3 Matriz de coeficientes llevado a la forma canónica.

En la última matriz aumentada equivalente se observa que el número de filas diferentes de cero ( 3 filas ) es igual el número de incógnitas (x,y,z ) y que el sistema que se obtenga de dicha matriz aumentada no presentará algún “absurdo”. De lo anterior se concluye que el sistema tiene solución única (la solución trivial)


x + 0y + 0z = 0 x = 00x + y + 0z = 0 o bien y = 00x + 0y + z = 0 z = 00x + 0y + 0z = 0

En efecto, la solución resultante resultó ser la solución trivial.

GUIA DE EJERCICIOS:

I. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de la matriz aumentada ( Puede utilizar operaciones elementales entre filas o el método del Pivote)

1) 2x + 3y = -2 2) 5x + 2y - z = - 7 x + y = 1 x - 2y + 2z = 0 x - 2z = 13 3y + z = 17

3) 1/3x + 2/3y = 0 4) 2x - z = 2 2/3x + 1/3y = 1 3x - 2y - 4z = 10

5) 2x - 3y + 2z = -3 6) x + 2y - 3z = 0 -3x + 2y + z = 1 -2x - 4y + 6z = 1 4x + y - 3z = 4

63

7) x + 2y + z = 4 8) 3x - 4y = 0 3x + 2z = 5 x + 5y = 0

4x - y = 0

9) 2x - y = 5 10) x + y = 0 5y + 3z = - 2 3x - 4y = 0 x - 7z = 3

11) x + 3y + z = 0 12) x + y + z = 0 x + y - z = 0 - z = 0 x - 2y - 4z = 0 x - 2y - 5z = 0

13) x + 2y - z - 3w = 2 3x + y - 2z - w = 6 x + y + 3z - 2w = -3 4x - 3y - z - 2w = -8

14) x + y + z = 0 15) 2x - 4z = 8 5x - 2y - 9z = 0 x - 2y - 2z = 14 3x + y - z = 0 x + y - 2z = - 1 3x - 2y - 7z = 0 3x + y + z = 016) x - y = 0 17) w - x - y + 4z = 5 2x + 2y = 3 2w - 3x - 4y + 9z = 13 5x - y = 1 2w + x + 4y + 5z = 1

18. Las ecuaciones de oferta y demanda de cierto artículo son: 3p + 5x = 200 y 7p - 3x = 56, respectivamente. Determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado.

19. Resuelva y comente la solución, cuando las ecuaciones de demanda y de oferta de cierto artículo son: 2p + x = 5 y 3p - 2x = 11, respectivamente.

20. Una compañía constructora ofrece tres tipos de casas: El primer tipo de casa requiere 3 unidades de concreto, 2 unidades de madera para cancelaría y 5 unidades de madera para estructurar. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5 y 4, 2, 6 unidades, respectivamente, de concreto, madera para cancelaría y madera para estructura. Sí cada

64

mes la compañía dispone de 150 unidades de concreto, 100 unidades de madera para cancelaría y 250 unidades de madera para estructuras, calcule el número de diferentes tipos de casas que la compañía podría construir al mes si usa todos los materiales de que dispone.

21. Una empresa fabrica tres productos X,Y,Z y cada una requiere cierto tiempo en el departamento de ensamble, acabado y en el de empaque. El producto X requiere cinco horas de ensamblado, dos horas de acabado y dos horas de empaque, el producto Y requiere tres horas de ensamblado, cuatro de acabado y dos de empaque y el producto Z requiere siete horas de ensamblado, tres horas de acabado y tres horas de empaque. La empresa mensualmente dispone de 420 horas en el departamento de ensamble, 280 horas en el de acabado y 200 horas en el de empaque. Determine el número de cada artículo que puede producir en base a la disponibilidad de tiempo.

22. Una empresa produce tres productos A, B, C los que procesa en tres máquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas, esta dado por:

A B C

M1 1

M2 2

M3 1

3 2

1 4

2 1

El tiempo disponible de la máquina 1 de 850 horas, de la máquina 2 de 1200 horas y de la máquina 3 de 550 horas ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

23. Cuando las plantas A, B, C operan a un mismo tiempo, pueden producir 7400 camisas, cuando solo las plantas A y B están trabajando, se pueden producir 4700 camisas. En cambio, cuando sólo las plantas B y C en operación, se producen 5200 camisas. ¿ Cuantas camisas se pueden producir en cada planta ?

24. Un carpintero invierte $ 615 en madera, clavos, pega, etc. Para elaborar sillas y mecedoras. El costo total de cada silla terminada es de $ 6.00 y el de cada mecedora es de $ 9.00 . Si el precio de venta es de $ 8.50 cada silla y de $ 12.00 cada mecedora, ¿Cuantas sillas y cuantas mecedoras deberán venderse para obtener una ganancia de $230 ?.

65

25. Si se compra al contado una cocina, una refrigeradora y un televisor a colores, el precio total de la compra asciende a $ 1,500.00 . Si los tres aparatos se compran al crédito, entonces habrá que pagar, en concepto de intereses, el 20% del precio original de la cocina, el 15% de la refrigeradora y el 10% del televisor, ascendiendo en este caso los intereses a $ 180.00. Se sabe que dos cocinas y dos refrigeradoras cuestan en conjunto, lo mismo que un televisor. Determine el precio de cada aparato.

26. A una presentación deportiva asisten 10,000 personas. Por entrada los niños pagan $4.00 , las mujeres $6.00 y los hombres $11.00. La recaudación total asciende a $70,000,00. Si el numero de niños que asisten es igual al número de hombres mas el número de mujeres, determine cuántos niños, mujeres y hombres han asistido a dicho espectáculo deportivo.

27. Cinco libras de café y tres libras de queso cuestan $12.50; mientras que tres libras de café y siete de queso cuestan $ 20.50. ¿Cuánto cuesta la libra de café y cuánto la libra de azúcar?

28. El 40% de las mujeres mas el 50% de los hombres de una empresa da un total de 87 empleados. El salario diario de cada mujer es de $ 4.50, mientras que el de los hombres es de $5.50. Si la empresa paga diariamente $ 965.00 en los salarios de sus empleados, determine cuantas mujeres y cuantos hombres trabajan en dicha empresa.

29. Para poder elaborar tres productos A, B y C , una fábrica incurre en costos fijos por un total de $ 17,000.00 . A parte de esto, la elaboración de cada unidad cuesta $4.00, $5.00 y $7.00 respectivamente. Mientras que la ganancia por cada uno de los productos es de $1.00, $2.00 y $3.00 respectivamente. Si la producción total de los tres artículos en conjunto es de 11,000 unidades al año y los costos totales de producción ascienden a $80,000.00, determine cuántas unidades de cada uno de los productos deberán elaborarse para obtener una ganancia de $25,000.00.

30. El número total de propietarios agrícolas en un distrito específico es de 542. Las parcelas pequeñas pagan al fisco, un impuesto de $150.00, las medianas $600.00 y las grandes $15,000.00. Los 542 propietarios producen un total de $129,000.00 en concepto de impuestos. Las propiedades pequeñas poseen una extensión de 3 hectáreas, las medianas de 50 hectáreas y las grandes de 200 hectáreas. Si el total de tierras que poseen en conjunto los propietarios agrícolas de dicho distrito es de 3,900 hectáreas , determine cuántos propietarios pequeños, medianos y grandes hay.

31. Un tostador compra 190 quintales de café, entre “perico”, “bajío” y “estrictamente altura”. Los precios que paga por quintal son: $20.00, $35.00 y $40.00 respectivamente. En los 190 quintales invirtió la cantidad de $5,100.00. Para obtener 80 quintales de café molido “estrictamente exportación”, mezcla la mitad del total de café “perico”, la

66

tercera parte del “bajío” y la cuarta parte del total de café “estrictamente altura”, determine cuántos quintales de cada clase compró el exportador.

32. Un sastre y su esposa, que es costurera, compran $100 de tela para elaborar pantalones, $ 60 de tela para elaborar faldas y $20 de otros materiales, como botones, hilos, agujas, etc. El costo por pantalón es de $ 8.00; mientras que el costo por falda es de $6.00. Si los pantalones se venden a $12.00 y las faldas a $8.5, ¿Cuantos pantalones y cuantas faldas deberán venderse para poder obtener una ganancia de $85.00?

1.7 DETERMINANTES, DEFINICION Y NOTACION

A cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado “el determinante de la matriz”.

Si

A =

el determinante de A se denota así:

67

det. (A) =

y se dice que es un determinante de orden n.

Notación:

- Puede escribirse det. (A) o simplemente | A |- También se puede designar con el símbolo , que se lee “delta”.

Es importante aclarar que a partir de este momento, cuando se haga referencia a los términos “fila” o “columna” de un determinante nos estaremos refiriendo, realmente, a la “fila” o “columna” de la matriz a la cual se asocia dicho determinante.

I.8 CALCULO DE DETERMINANTES

El cálculo de determinantes se lleva a cabo como sigue:

a) Si el determinante es de orden 2:

a a

a a a a

a a

11 12

11 22 21 12

21 22

= -

Ejemplo: Evaluar los determinantes:

1) 2) 6

2 - 3

3 2

1 6

0

6

68

Solución:

1) 3 2

-1 -6 = (3) (-6) - (-1) (2)

= -16

El ejercicio 2) se deja al lector.

b) El método de Sarrus para evaluar determinantes de orden 3.

Se agregan a la derecha del determinante las primeras dos columnas y se efectúan los productos en diagonal. Luego se suman y restan dichos resultados, como se ilustra a continuación:

det.(A) =

- ( ( ( - ( ( ) ( - ( ) ( ) (

( ( ( ( ( ) ( ( ) ( ) (

32

13

22

32

12

a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a

31 22 13 23 11 33 21 12

11 12 11 12

21 23 21 22

31 33 31 32

11 22 33 23 31 13 21 32

) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

o sea que

det.(A) = (a11)(a22)(a33) + (a12)(a23)(a31) + (a13)(a21)(a32)-(a31)(a22)(a13) - (a32)(a23)(a11) - (a33)(a21)(a12)

Ejemplo: Evaluar por Sarrus los determinantes

69

a) =

2 -5 6

7 3 -1

-4 3 5

b) =

-3 6 -2

-1 3

-2 51 2 4

7

Solución :

(-) (-) (-)

a) =

2

7

-41

2 5 6

7 3 1

4 3 5

5

3

3

(+) (+) (+)

o sea que :

= (2) (3) (5) + (-5) (-1) (-4) + (6) (7) (3) - (-4) (3) (6) - (3) (-1) (2) - (5) (7 ) (-5)

= 389

El ejercicio b) se deja al lector.

c) El método de Cofactores para evaluar determinantes de Orden 3 y mayor que 3.

Antes de pasar a describir este método es necesario definir lo que se entiende por menor de un elemento aij y cofactor de un elemento aij .

Definición: El menor de un elemento cualquiera aij del determinante |A| es el determinante que se obtiene al suprimir en |A| la i-ésima fila y la j-ésima columna, y se denota por Mij.Mij se lee: “el menor del elemento aij”

Ejemplo:. Si

70

A = , encontrar :

2 3 1 0

6 5 3 2

1 2 1 2

3 0 1 0

a) M b) M c) M d) M e) M21 32 43 44 13

Solución:

a) M21 : “el menor del elemento a21”

a21 es el elemento ubicado en la intersección de la fila 2 y columna 1, o sea que a21 = 6.

Al suprimir la fila 2 y la columna 1, como se muestra

s e obt i e ne : M =

3 1 0

2 - 1 - 2

0 - 1 021

2 3 1 0

6 5 3 2

1 2 1 2

3 0 1 0

Los restantes literales los resuelve el lector.

Definición: El cofactor del elemento aij , denotado por cij , es el determinante definido en términos del menor Mij así:

Mij , si i + j es par

cij = (-1)i+j Mij = -Mij , si i +j es impar

cij se lee: “el cofactor del elemento ija ”

Ejemplo: Para el mismo determinante |A| del ejemplo anterior encontrar;

Solución:

71

b) : " el cofactor del elemento 32 32c a ”

32a es el elemento ubicado en la intersección de la fila 3 y la columna 2, o sea que

32a = 2

Al suprimir la fila 3 y la columna 2 se encuentra el menorM32 , el cual al ser afectado por el signo ( ) 1 3 2 da como resultado el cofactor que se busca:

32c = ( ) 1 3 2 M32

32c = ( ) 1 5

2 1 0

6 3 2

3 -1 0

32c =

2 1 0

6 3 2

3 -1 0

Los restantes literales los resuelve el lector

En general, el método de cofactores para evaluar determinantes de cualquier orden es como sigue:

Si |A| es cualquier determinante de orden n 3

A =

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

n

n

n

n n n nn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

El valor de |A| es igual a la suma del producto de cada elemento de una fila cualquiera ( o columna) por su correspondiente cofactor.

Por ejemplo:

a) Si se escogiera la fila 2 el valor de |A| estaría dado por

A = C C C Ca a a a n n21 21 22 22 23 23 2 2 .......

72

b) Si se escogiera la columna 3 el valor del determinante estaría dado por

Ejemplo: Evaluar los determinantes dados, por el método de cofactores

1) =

2 -5 6

7 0 -1

-4 3 5

2) =

-3 6 -2

-1 3

-2 51 2 4

0

3) =

-3

1

3

4

3

0 0 3

4 1 2

2 5 0

1 0 3

Solución:

1) =

2 -5 6

7 0 -1

-4 3 5

1

a) Si se escoge la fila 1

= C C C 1 a a a11 11 12 12 13 13

= (2) (-1)1+1 M11 + (-5) (-1)1+2 M12 + (6) (-1)1+3 M13

= 2 + 5 7 -1

-4 5 + 6

7 0

-4 3

0 1

3 5

= 2 [(0)(5) - (3)(-1)] + 5 [(7)(5) - (-4)(-1)] + 6 [(7)(3) - (- 4)(0)]

= 2[3] + 5 [35 - 4] + 6[21 - 0]

73

1 = 287

b) Si se escoge la columna 2

1 = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23

= (-5)(-1)2+1 M21 + (0) (-1)2+2 M22 + (3) (-1)2+3 M23

= 5 + 0 - 3 2

7

7 1

4 5

6

1

= 5 [(7)(5) - (-4)(-1)] - 3 [(2)(-1) - (7)(6)]

1 = 287

Nótese que cualquier fila o columna que se escoja el resultado debe ser el mismo.

1.9 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Estas propiedades permiten evaluar, de manera más fácil los determinantes.

P1 ) El valor de un determinante no se altera si se intercambian todas las filas y columnas correspondientes.

Ejemplo: Verificar que:

1 2 3

4 5 6

0 7 8

4 0

5 7

6 8

=

1

-2

3

Se deja al lector!!

P2 ) Si todos los elementos de una columna (o fila) de un determinante se multiplican por un mismo número k, el valor del determinante se multiplica por k.

74

Ejemplo: Verificar que si

= = 2872 5 6

7 0 1

4 3 5

Entonces

3 2 3 5 3 6

7 0 1

4 3 5

3 5 6

3 0 1

3 3 5

5 6

0 1

3 5

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=

2

7

-4

= 3

2

7

-4

Se deja al lector!!

Nótese que esta propiedad también permite escribir como factor(es) de un determinante a cualquier factor(es) de una fila o columna.

Ejemplo:

Si verificar que:

P3 ) Si se intercambian dos columnas (o dos filas) cualesquiera de un determinante, el signo del determinante cambia.

Ejemplo:. Verificar que

4 0 1

2 3 6

7 8 2

0 1

8 2

3 6

= -

4

-7

2

Se deja al lector!!

P4 ) Si todos los elementos de cualquier columna (o fila ) de un determinante son cero, el valor del determinante es cero.

75

Ejemplo: Verificar que

1 2 1

0 0 0

3 5 4

= 0 Se deja al lector!!

P5 ) Si dos columnas (o dos filas) de un determinante son iguales, el valor del determinante es cero.

Ejemplo: Verificar que

4 1 1

3 2 2

2 3 3

= 0 Se deja al lector!!

P6 ) Si todos los elementos ubicados arriba (o abajo) de la diagonal principal de un determinante son ceros, el valor del determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.

Ejemplo: Verificar que:

Se deja al lector!!

P7) Si los elementos de cualquier columna (o fila) de un determinante se multiplican por el mismo número y se suman o se restan correspondientemente a los elementos de otra columna (o fila), el valor del determinante no cambia.

Ejemplo:.

a)

3 col. 2 + col.1 col.1

b)

5 3 6

1 1 10

18 5 7

2 0 36

1 1 10

13 0 57

=

-5f2 + f3 f3

76

3f2 + f1 f1

Nota:

La propiedad 7 es muy importante para evaluar determinantes de orden mayor que 3, haciendo ceros la mayor cantidad posible de elementos de una fila ( o columna) y luego calcular el determinante utilizando dicha fila ( o columna) .

Ejemplo: Evaluar el determinante

=

2 3 4 5

2 4 6 8

0 5 6 8

3 7 5 2

Solución:

i) Haciendo ceros la mayor cantidad de elementos de la fila 2

= =

2 1 -2 13

2 0 0 0

0 -5 6 8

-3 1 4 -10

2 3 4 5

2 4 6 8

0 5 6 8

3 7 5 2

2col.1 + col.2 col.2 -3col.1 + col.3 col.3

4col.1 + col.4 col.4

ii) Resolviendo este último determinante “por cofactores” utilizando la fila 2 se tiene:

= - 2

1 2 13

5 6 8

1 4 10

iii) Aplicando nuevamente la propiedad 7 se llega a un determinante de orden 2, cuyo cálculo es inmediato:

= - 2 = - 2

1 -2 13

0 -4 73

0 6 -23

= (-2)(1) -4 73

6 -23

1 2 13

5 6 8

1 4 10

5f1 + f2 f2 Por cofactores - f1 + f3 f3 utilizando col.1

77

= (-2)(1) [(-4)(-23) - (6)(73)]

= 692

Nótese que al llegar al determinante de orden 3, pudo haberse calculado “por Sarrus”.

1.10 METODO DEL PIVOTE PARA EL CALCULO DE DETERMINANTES.

El método del pivote se utiliza para evaluar determinantes de orden 3 o mayor que 3.

Este método propicia, con cada aplicación, reducir en 1 el orden del determinante hasta llegar a la evaluación de un último determinante de orden 2.

Consideremos el determinante de orden 4:

=

4

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44 4

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

Nota: La propiedad 2 de los determinantes indica que si todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplican por un mismo número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

Al multiplicar las filas 2, 3 y 4 por el mismo número a11 resulta:

a = 11

3

4

a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

11 12 13 14

11 21 11 22 11 23 11 24

11 31 11 32 11 33 11 34

11 41 11 42 11 43 11 44 4

Efectuando las operaciones:

f2 - a21 f1 f2 f3 - a31 f1 f3

f4 - a41 f1 f4 ,

se obtiene

78

Si se escoge la columna 1 y se resuelve por cofactores resulta:

a = a 11

3

4 11

3

a a a a a a a a a a a



a

a

a

11 22 21 12 11 23 21 13 11 24 21

11 32 31 12 11 33 31 13 11 34 31

11 42 41 12 11 43 41 13 11 44 41

14

14

14

Pasando a311 a dividir y considerando que cada elemento del determinante de la derecha se puede

expresar como un determinante de orden 2 , resulta:

a a

a a

a a

a a

a a

a a11 12

21 22

11 13

21 23

11 14

21 24

4 3 =

1

a

11

2 a a

a a

a a

a a

a a

a a11 12

31 32

11 13

31 33

11 14

31 34

a a

a a

a a

a a

a a

a a11 12

41 42

11 13

41 43

11 14

41 44

3

Simplificando la fracción a11 y denotando por |B|3 al determinante de orden 3 se puede escribir: a3

11

4 3 =

1

a

11

2

Nótese que:

a) El determinante original |A| de orden 4 se ha expresado en términos de un determinante |B| de orden 3 (el orden se redujo en 1).

b) Los elementos de |B| son todos los determinantes de orden 2 que se pueden formar tomando a11 como pivote.

c) El mismo proceso se puede aplicar al determinante |B|3 .

79

En general, se puede verificar que:

n n =

(-1)

(a )

i+ j

ij

n-2 1

donde:

a) aij es cualquier elemento de |A|n , diferente de cero, escogido como pivote,

b) |B|n-1 es el determinante que se obtiene de |A|n , cuyos elementos son todos los posibles determinantes de orden 2 tales que el elemento superior de cada uno es el pivote aij .

Nota : Se recomienda escoger como pivote el elemento a11 .

Ejemplo:. Evaluar el determinante de orden 4

= 4

3 0 0 3

1 4 1 2

3 2 5 0

4 1 0 3

Escogiendo como pivote el elemento a11 = -3

y sustituyendo en la fórmula se obtiene:

n n =

(-1)

(a )

i+ j

ij

n-2 1 4 4 3 =

(-1)

(a )

1+1

11

4-2

3 0

1 4

3 0

1 1

3 3

1 2

4 =

(-1)

(-3)

2

2 3 0

3 2

3 0

3 5

3 3

3 0

3 0

4 1

3 0

4 0

3 3

4 3

3

=

80

| B| 3

Tomando ahora el elemento b11 = - 12 como pivote, el determinante |B|3 se puede expresar en términos de un determinante de orden 2 si se repite el proceso:

=

= 1

9

(-1)

(12)

198 279 9 54

El mismo determinante del ejemplo anterior, se puede resolver tomando como pivote otros elementos diferentes de la posición ij = 11:

-3 0 0 3

1 4 -1 2

| A |4 = 3 2 5 0

4 -1 0 3

Escogiendo como pivote el elemento a21 = 1; (i = 2, j = 1)1 y sustituyendo en la fórmula se obtiene:

| A |n = (-1) i + j | B | n - 1

(aij) n - 2

| A |4 = (-1) 2 + 1 | B | 4 - 1

(1) 4 - 2

81

| B |3Tomando ahora como pivote el elemento b32 = 4 ( i = 3; j = 2 ), el determinante | B |3 se puede escribir en términos de un determinante de orden 2, si se repite el proceso:

| A |4 = (-1) . | B | 3

Nótese que en ambos casos, se obtiene el mismo resultado.

1.11 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO DE CRAMER.

El método de Cramer se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas nxn ( n ecuaciones con n incógnita), se puede describir en dos pasos:

a) Sabemos que la forma escalar de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas nxn

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n n

n n

n n

n n n nn n n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

.......

.......

.......

: : : :

: : : :

.......

tiene su representación matricial o forma matricial:

A X = B

82

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

n

n

n

n n n nn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

.........

.........

..........

: : : :

: : : :

..........

x

x

x

:

:

x

=

b

b

b

:

:

b

1

2

3

n

1

2

3

n

matriz de coeficientes

matriz de incógnitas

matriz de “términos independientes”

b) Si el determinante D de la matriz A es diferente de cero.

D = Det(A) 0 ,

el sistema tiene solución única y está dada por :

1 1

22

33

kk

nn=

D

D , =

D

D , =

D

D , ......, =

D

D , ...... , =

D

D,

donde Dk es el determinante obtenido de D al reemplazar la columna k por la matriz B.

Ejemplo: Resolver por el método de Crámer

a) 3x + y - z = 2 b) 3x - 3y - z = 2

x - 2y + z = - 9 2x - 2y - 4z = 0

4x + 3y + 2z = 1 6x - 2z = 1

Solución para el sistema a):

3x + y - z = 2

x - 2y + z = -9

4x + 3y + 2z = 1

83

i) Se escribe el sistema en su forma matricial

3 1 1

1 2 1

4 3 2

2

9

1

x

y

z

matriz de términos independientes

ii) Se calcular el determinante D = det(A)

D =

3 1 1

1 2 1

4 3 2

Al calcular por Sarrus se obtiene

D =

3 1 1

1 2 1

4 3 2

3 1

1 2

4 3

| D | = (3)(-2)(2) + (1)(1)(4) + (-1)(1)(3) - (4)(-2)(-1) - (3)(1)(3) - (2)(1)(1)

| D | = -12 + 4 - 3 - 8 - 9 - 2

| D | = -30

Ya que D 0 , se concluye que el sistema tiene solución única la cual está dada por

x = D

D , y =

D

D , z =

D

D , 1 2 3

donde: 1)

84

Al calcular D1 resulta

D1 = 30

o sea que x = D

D1

x = 30

30 x = -1

2)

D = Determinante obtenido al sustituir en D la segunda

columna por la matriz de terminos independientes.

2

3 2 1

1 9 1

4 1 2

Al calcular D2 resulta

D2 = -90

o sea que y = D

D2

y = -90

-30 y = 3

3)

D = Determinante obtenido al sustituir en D la tercera columna

por la matriz de terminos independientes.

3

3 1 2

1 2 9

4 3 1

A calcular D3 resulta

D3 = 60

o sea que z = D

D3

85

z =60

-30 z = -2

Esta solución, x = -1 , y = 3 , z = - 2 se puede verificar sustituyendo en cada una de las ecuaciones del sistema.

La solución del sistema b) se deja al lector.

Algunas consideraciones acerca del método de Crámer:

1) Solo es aplicable para sistemas nxn

2) Si el determinante D es cero, puede suceder solo una de las siguientes situaciones:

i) Si al menos uno de los determinantes D1 , D2 , D3 , ....., Dn es diferente de cero, el sistema no tiene solución.

ii) Si todos los determinantes D1 , D2 , D3 , ....., Dn son iguales a cero, el sistema tiene múltiples soluciones, en cuyo caso es necesario recurrir al método de la Matriz Aumentada.

GUIA DE EJERCICIOS:

I.

1 2 3

1) Si A = 4 5 6 determine:

7 8 9

a) El menor de a31

b) El menor de a22

c) El cofactor de a32

d) El cofactor de a23

86

2) Si |A| = |aij| es un determinante de orden 9, y el menor de a67 es 12 ¿Cuánto vale el cofactor de a67?

3) Si |A| es un determinantes de orden 4 y |A| = 15, ¿Cuál es el valor del determinante que se obtiene cuando cada uno de los elementos de |A| se multiplica por 2?.

4) Encuentre el valor de x en cada caso:

a)

II. Calcule del valor del determinante de cada una de las siguientes matrices ( utilice si es posible las propiedades. )

87

III. Explique, sin hacer el desarrollo, la razón por la que los enunciados siguientes son verdaderos o falsos. (Hacer uso de las propiedades de los determinantes).

IV. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer, cuanto sea posible.

1) x - 2y - 3z = 1 2) 5x + 2y - z = - 72x + y + z = 6 x - 2y + 2z = 0 x + 3y - 2z = 13 3y + z = 17

3) 2x + 6y - 4z = 1 4) 2x - y = 5 x + 3y - 2z = 4 5y + 3z = - 2 2x + y - 3z = -7 x - 7z = 3

5) 2y - z - 3w = 2 6) 5x + 2z = 1 3x + y - 2z - w = 6 y - 3z = 2 x + y + 3z + 2w = -3 2x + y = 3

7) 2x - 5y = 4 8) x - 2y - 5z + w = - 1 3y + 2z = - 3 2x - y + z + w = 1

7x - 3z = 1 3x - 2y - 4z - 2w = 1 x + y + 3z - 2w = 2

9) x - 2z + 2w = 1 10) x + 3y - z = - 3 -2x - 3y + 4z = - 1 3x - y + 2z = 1

y + z = 0 2x - y + z = - 1 3x + y - z - w = 3

11) x + 3y + 3z = 7 12) 2x + 6y = 2

88

2x + y + z = 4 3x + 9y = 3 x + y + z = 4

13) x + y + z = 0 14) 4x + 3y + 2z = 0 x + - z = 0 x + 2y + 3z = 0 x - 2y - 5z = 0 x + y + z = 0

15) x + y + z = 0 16) w - x - y + 4z = 5 5x - 2y - 9z = 0 2w - 3x - 4y + 9z = 13 3x + y + z = 0 2w + x + 4y + 5z = 1 3x - 2y - 7z = 0

89

Matrices y Deterrminantes

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