Matrices Omega

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MatricesCurso:Pre-CálculoNairynNobleMarreroElvinO.ValennReyes

EscuelaDr.JuanJoséMaunezPimentel

4demayode2012Sr.Pomales

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Obje-vosdeestapresentación

•Trabajoenequipo.

•Crearunapresentaciônaparrdeunainformacióndada.

•Resolverunsistemadeecuaciónsencillopormediodematrizaumentada.

•PublicarlapresentaciónenlaInternet.

•FormarpartedenuestroPORT@FOLIOSymbaloo

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¿Quéesunamatriz?

Unamatrizesunarreglorectangulardenúmerosescritosenparéntesis.Losnúmerosdematrizsellamanelementos.

elemento

 

3 5

1 7

⎡ ⎣ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ 

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Estructuradeunamatriz

líneas

ncolumnas

A=(Nombrede

lamatriz

siemprevaenletra

mayúscula.)

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Notacióndelaposicióndelos

elementosdeunamatriz

•  Laposicióndeunelementoenunaraízeslafila y la columna donde esta ubicado elelemento. Generalmente se indica de la

forma:b32

Fila3 Columna2

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Tamañodeunamatriz

•  Eltamañouordendeunamatrizsedeterminaenfilasporcolumnas.

F=

LamatrizFesdetamaño2x3

El2yel3sonlasdimensiones.

 

1 2 3

2 3 1

⎡ ⎣ ⎢  ⎤ 

⎦ ⎥ 

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Tiposdematrices

Loselementosdelamatriznulatodossoncero.

Enlamatrizcuadradaelnúmerodefilasesigualaldelascolumnas.

L=

P= 

0 0 0

0 0 0

⎡ ⎣ ⎢  ⎤ 

⎦ ⎥ 

4 2 2

4 6 8

−2 2 4

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 

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Tiposdematrices

Lamatrizfilasoloeneunafila.

Lamatrizcolumnasoloeneunacolumna.

C=

L=

1 2 1[ ]

1

2

1

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 

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Diagonalprincipaldeunamatriz

Sepresentaenlasmatricescuadradas,engeneralladiagonalprincipaldeunamatrizAconsisteenloselementosa11,a22,a33…

A=

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Diagonalsecundariadeunamatriz

Se presenta en las matrices cuadradas. Engeneral ladiagonalsecundariadeunamatriz Cesc13,c22,c31.Ejemplo:

−2 8 0

−3 6 9

4 2 0

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 

C=

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Matricestriangulares

•  La matriz triangular superior ene que sercuadrad. Los elementos que se encuentrandebajodeladiagonalprincipalsoncero.

•  La matriz triangular inferior ene que sercuadrada y los elementos encima de la

diagonalprincipalenenquesercero.

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MatrizDiagonal

Unamatrizdiagonalenequesertriangularinferiorysuperioralavez.Ejemplo:

 

3 0 0

0 7 0

0 0 1

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 

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Matrizaumentada

Unamatrizaumentadaseobenealunirdosmatrices.

MatrizH

MatrizG

Matrizaumentada

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Filaequivalente

•  Dos matrices aumentadas son de filasequivalente,estoquieredecirquetendránelmismo número de filas, se denota con el

símbolo(∼

).

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Teorema3

Se uliza para transformar una matrizaumentada en una renglón equivalenteulizandounadelassiguientesoperacionesfila:

• Dosfilasseintercambian.(RiR j)• Se mulplica una fila por una constantediferentedecero.(kR iRi)(=reemplaza)

• Se suma el múlplo constante de una filaconeldeotrafila.(kR j+RiRi)

 

 

 

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Sistemas

•  Consistenteseindependientes:enenunasolasolución.

•  Consistentesydependientes:enemuchassolucionesinfinitas. 

1 0 m

0 1 n

⎡ ⎣ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ 

1 m n

0 0 0⎡ ⎣ ⎢  ⎤ 

⎦ ⎥ 

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Sistemas

•  Inconsistente:noenesolución

 

1 m n

0 0 p

⎡ ⎣ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ 

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Solucióndeunsistemamediante

métodosdematricesaumentadas

 

2 −3 7

3 4 2

⎡ ⎣ ⎢  ⎤ 

⎦ ⎥ Paso1:

Senecesitaun

uno(1)aquí

 

1 −3

2

7

2

3 4 2

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 

Paso2:Senecesitauncero(0)aquí

½R1 R1

(-3)R1+R

2R2

-39/2-21/2

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Solucióndeunsistemamediante

métodosdematricesaumentadas

 

1−3

2

7

2

017

2

−17

2

⎡ 

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 

⎤ 

⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 

Paso3:Senecesitaununo(1)aquí

2/17R2R2

 

1−3

2

7

2

0 1 −1

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Se

necesita

uncero(0)aquí

1 0 2

0 1 −1

⎡ ⎣ ⎢  ⎤ 

⎦ ⎥ 

3/2R2+R1R1

x1=2yx2=1

03/2-3/2

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Ejercicios

 

3 −2 0

4 1 −6

⎡ ⎣ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ A=

 

−2 8 0

−3 6 9

4 2 0

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ B=

 

3 −2 0[ ]C=

 

−4

7

⎡ ⎣ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ D=

1.¿CuáleseltamañodeAyeldeC?EltamañodeAes2x3yeldeCes1x3.

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Ejercicios

2.Idenfiquetodaslasmatricesdefila.

LamatrizCesunamatrizfila.

3.Idenfiquetodaslasmatricescuadradas.

LamatrizBesunamatrizcuadrada.

4.ParalamatrizA,encuentrea12ya23.

a12=-2 a23=-6

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Ejercicios

5.EncuentreloselementosenladiagonalprincipaldelamatrizB.

 

−2 8 0

−3 6 9

4 2 0

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 

B=

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Ejercicios

6.3x1-6x2=-9

-2x1+4x2=6

 

3 −6 −9

−2 4 6

⎡ ⎣ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ 

1 −6

3

−9

3

−2 4 6

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 

2-12/3-18/3

1 −6

3−

9

3

0 0 0

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 

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1−6

3

−9

3

0 0 0

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 

0F2 F2 Estafunciónalceronoselepuedeencontrarelrecíproco.

06/3-6/3

 

1 0 −5

0 0 0

⎡ ⎣ ⎢ 

⎤ ⎦ ⎥ 

x1=-5y x2=noenesoluciónporque:

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OpinióndeElvinO.ValennReyes

Mediante este trabajo pude desarrollardestrezas matemácas para mi futurouniversitario. Este me ayudo a entender un

amplio tema deMatrices. Aprendí sobre todoslos pos de matrices y resolverlos de diversasmaneras.Esasícomoaplicandoloaprendido,enlauniversidadpodréactuaranteelprimertema

de precalculo que me den. Ya que tengo unamplioconocimientoydestrezasquedesarrollé

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OpinióndeElvinO.ValennReyes

en el curso de Pre-Cálculo. El trabajo fuemuyagradableyaquepudimosrealizarloengrupoyasí pudimos comparr ideas y ayudarnos

mutuamente.

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OpinióndeNairynNobleMarrero

Este fue un buen trabajo que se nos fueasignado en parejas, lo que de cierta manerafacilitaeltrabajo.Paraunparejahacerunbuen

trabajo debe haber colaboración de ambaspersonas. Pudeampliarmi conocimiento sobrelasmatricesmientrashiceestapresentación,séquetodo loaprendidoduranteeste trabajome

será de gran ayuda en mi vida universitaria.Deboaceptarqueeltrabajonosdiodificultad,

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OpinióndeNairynNobleMarrero

peroesunasumadelostemasqueheaprendidoanteriormente.Esperoqueestapresentaciónlesirvaamuchaspersonas.

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Referencia

PRE-CÁLCULOFUNCIONESYGRÁFICAS

Autores:Barne,ZiegleryByleen

(cuartaedición)