Matrices

ÁLGEBRA

01.-1997-Jun-Opción AResolver la ecuación matricial, PX + 3I = Q, donde I es la matriz identidad de orden 2 y P y Q son las matrices:

02.-1997-Jun-Opción BDiscutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro . Resolver, si es posible, para =10

03.-1997-Set-Opción A Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro . Resolver el sistema para = -2

04.-1997-Set-Opción BCalcular en forma binómica los números complejos ( el conjugado de )

a) b)

05.-1998-Jun-Opción Aa) Sea z = a+bi un número complejo. Demostrar que se verifica la desigualdad: , ( es el conjugado de z) ¿para que valor de z se da esta igualdad?

b) Siendo z un número complejo. Resolver la ecuación:

06.-1998-Jun-Opción B a) En un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas se conocen tres soluciones. ¿Existen más soluciones? ¿Qué valores puede tomar el rango de la matriz asociada al sistema y el de la matriz ampliada?b) Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro . Si es posible, resolverlo para =0

07.-1998-Set-Opción A

Dado el número complejo . Calcular en forma binómica: a) El número complejo

b) Las raíces cúbicas de z

08.-1998-Set-Opción BHallar para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga soluciones distintas de la trivial. Resolverlo e interpretarlo geométricamente.

09.-1999-Jun-Opción A Discutir el siguiente sistema según los valores de y resolverlo para = 1. Interpretar geométricamente el sistema.

1

10.-1999-Jun-Opción B Calcular en forma binómica las raíces cuartas del número complejo . Representarlas gráficamente.

11.-1999-Set-Opción Aa) Sean P y Q dos matrices cuadradas . ¿Bajo qué condiciones se verifica la igualdad ?b) Comprobar si se verifica la igualdad anterior para las matrices:

12.-1999-Set-Opción B a) ¿Puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineal homogéneo no tenga solución? y, ¿puede ocurrir que tenga infinitas soluciones? Razonar las respuestas.b) Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro .

13.-2000-Jun-Opción A Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden , son semejantes si existe una matriz inversible, P, tal que

, donde denota la matriz inversa de P. Determine si son semejantes las matrices

y

14.-2000-Jun-Opción B Discuta, según los valores de α, el siguiente sistema de ecuaciones lineales e interprételo geométricamente:

15.-2000-Opción Aa) ¿Qué relación existe entre el conjugado del opuesto de un número complejo, z = a+bi, y el opuesto del conjugado del mismo número? Razone la respuesta.

b) Calcule los números reales x e y de modo que

16.-2000-Set-Opción B a) Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas, ¿puede ser compatible y determinado? En caso afirmativo ponga un ejemplo.b) Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema:

17.-2001-Jun-Opción A a) Propiedades del producto de matrices (sólo enunciarlas).

2

b) Sean y N = M + I, donde I denota la matriz identidad de orden n, calcule N2 y M3 . ¿Son M o N

inversibles? Razone la respuesta.

18.-2001-Jun-Opción B a) Propiedades de los determinantes (sólo enunciarlas).b) Sean F1, F2, F3 y F4 las filas de una matriz cuadrada P de orden 4x4, cuyo determinante vale 3. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa de P, el valor del determinante de la matriz αP, donde α denota un número real no nulo, y el valor del determinante de la matriz cuyas filas son: 2F1- F4 , F3 , 7F2 y F4

19.-2001-Set Opción ACalcule α para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor de α y dé una interpretación geométrica del sistema de ecuaciones y de su solución.

20.-2001-Set-Opción B Calcule los valores del parámetro α para los que la matriz M no tiene inversa. Calcule la matriz inversa de M para α = 2, si es posible.

21.-2002-Jun-Opción A a) Definición de producto de matrices.b) Dadas tres matrices A, B y C se sabe que es una matriz de orden 2x3 y que es una matriz de orden 4x3, ¿cuál es el orden de A? Justifíquelo.

22.-2002-Jun-Opción B a) Enunciado del teorema de Rouché-Frobenius.

b) ¿Es compatible determinado el sistema de ecuaciones ?

Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene una, ninguna o más de una solución ese sistema.

23.-2002-Set-Opción A Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α y resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.

24.-2002-Set-Opción B

Halle, si existe, una matriz X que verifique la ecuación: , siendo

25.-2003-Jun-Opción A

Se consideran dos matrices A y B que verifican . Calcule la matriz A2 – B2 .

26.-2003-Jun-Opción B Calcule, por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante:

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Demuestre que la matriz verifica una ecuación del tipo A2 + αA + βI = 0 , determinando α y β (I denota la matriz

identidad). Utilice este hecho para calcular la inversa de A.

28.-2003-Set-Opción B Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro α el sistema de ecuaciones:

29.-2004-Jun-Opción A Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del primero le restamos seis nos queda la suma del segundo y el tercero y, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho.

30.-2004-Jun-Opción B Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

31.-2004-Jun-Opción C*a) Explique BREVEMENTE (en no más de cinco líneas) como se aplica el método de Gauss para calcular el rango de una matriz.

b) Determine, utilizando el método de Gauss, el rango de la matriz .

32.-2004-Set-Opción A a) Enunciado de la regla de Cramer.b) Determine los coeficientes del polinomio de grado dos cuya gráfica pasa por los puntos (0,5) , (1,7) y (-1,5). ¿Puede haber otro polinomio de segundo grado, que pase por esos tres puntos? Razone su respuesta.

33.-2004-Set-Opción B a) Exprese la condición que tienen que cumplir dos matrices M y N para que pueda realizarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, ¿qué condición deben cumplir las matrices?.

b) Dadas las matrices , halle una matriz X tal que AX + B = 0

34.-2005-Jun-Opción A Halle todas las matrices A = (aij), cuadradas de orden 3, tales que a21 = a32 = 0 y A + At = 4I, siendo I la matriz identidad de orden tres y At la matriz traspuesta de A, de las que además se sabe que su determinante vale 10.

35.-2005-Jun-Opción B Discuta e interprete geométricamente, según los diferentes valores del parámetro m, el siguiente sistema:

36.-2005-Set-Opción A Resuelva la ecuación matricial: , siendo:

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37.-2005-Set-Opción B Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de ecuaciones. Interprételo geométricamente en cada caso:

38-2006-Jun-Opción A

Dada la matriz

a) Calcula los valores del parámetro m para los cuales A tiene inversa.b) Para m = 0, calcula A3 y A25.c) Para m = 0, calcula la matriz X que verifica , siendo B = (0 -1 -1)

39.-2006-Jun-Opción B a) Discute e interpreta geométricamente, según los valores del parámetro m, el sistema:

b) Resuélvelo, si es posible, para los casos m = 0 y m = 2.

40.-2006-Set-Opción A a) Sean A , B y C tres matrices tales que el producto es una matriz 3x2 y el producto es una matriz cuadrada, siendo Ct la traspuesta de C. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de A , B y C.

b) Dada , obtén todas las matrices X que conmutan con M, es decir, verifican

c) Calcula la matriz Y que verifica , siendo M la matriz dada en b), M-1 la matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2.

41.-2006-Set-Opción B a) Si en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, el rango de la matriz de los coeficientes es 3, ¿podemos afirmar que el sistema es compatible? Razona la respuesta.b) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales:

c) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0.

42.-2007-Jun-Opción A a) Sean F1, F2, F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada M de orden 3, con det(M) = -2. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas F1-F2, 2F1, F2+F3.

b) Dada la matriz C = , halla dos matrices X e Y que verifican: siendo la matriz traspuesta de .

43.-2007-Jun-Opción B a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

b) Resuélvelo, si es posible, en el caso m = 2.


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Dada la matriz

a) Estudia, según los valores de m, el rango de A.b) Para m = -1, Calcula la matriz X que verifica , siendo I la matriz unidad de orden 3.

45.-2007-Set-Opción B a) Discute, según los valores del parámetro m , el sistema de ecuaciones:

b) Resuélvelo, si es posible, en el caso m = 1.


Dada la matriz

a) Calcula los valores de m para los que A tiene inversa.b) Para m = -1, calcula la matriz X que verifica:


b) Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso m = - 1


a) Estudia, según los valores de m, el rango de la matriz M =

b) Para el valor m = 1, resuelve la ecuación matricial , siendo A = (1 0 1).

Para este valor de m, ¿cuánto valdrá el determinante de la matriz ?

49.-2008-Set-Opción B a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

b) Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso m = 0


a) Dada la matriz , calcula los rangos de y de , siendo la matriz transpuesta de . Para el valor

a=1, resuelve la ecuación matricial , siendo .

b) Sea M una matriz cuadrada de orden 3 con det(M)= -1 y que además verifica , siendo I la matriz unidad de

orden 3. Calcula los determinantes de las matrices: .

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51.-2009-Jun-Opción B a) Resuelve, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

b) Calcula el valor de m, para que al añadir al sistema anterior la ecuación:

Resulte un sistema compatible indeterminado.


a) Estudia según los valores de m, el rango de la matriz

b) Resuelve la ecuación matricial , siendo


b) Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso m = 0.


Dada la matriz ,

a) Si I es la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que A + λI no tiene inversa. Calcula, si existe, la matriz inversa de A - 2I.b) Calcula la matriz X tal que , siendo la matriz traspuesta de A.

55.-2010-Jun-Opción B a) Discute, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

b) Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso a = 0.

56.-2010-Set-Opción A a) Pon un ejemplo de matriz simétrica de orden 3 y otro de matriz antisimétrica de orden 3.b) Sea M una matriz simétrica de orden 3, con det(M) = -1. Calcula, razonando la respuesta, el determinante de ,

siendo la matriz traspuesta de M.

c) Calcula una matriz X simétrica y de rango 1 que verifique:

57.-2010-Set-Opción Ba) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales:

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b) Resuélvelo, si es posible, en los casos m = 0 y m = -1.

58.-2011-Jun-Opción A a) Sean C1 , C2 , C3 las columnas primera, segunda y tercera de una matriz cuadrada M de orden 3 con det(M) = 4. calcula, enunciando las propiedades de determinantes que utilices, el determinante de la matriz cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, - C2 , 2C1 – C3 , C2 + C3 .

b) Dada la matriz A = , calcula todos los valores de a y b para los que A-1 = At



60.-2011-Set-Opción A a) Si A es una matriz tal que , siendo I la matriz identidad y O la matriz nula de orden 3, ¿cuál es el rango de A?

Calcula el determinante de . Calcula A en el caso de que sea una matriz diagonal verificando la igualdad anterior.

b) Dada la matriz , calcula una matriz X tal que




Dada la matriz

a)Estudia, según los valores de m, el rango de la matriz A.

b) Resuelve, si es posible, el sistema para el valor m = 1.

63.-2012-Jun-Opción B

Dado el sistema:

a) Calcula el valor de α para que al añadirle la ecuación , resulte un sistema compatible indeterminado. Resuélvelo, si es posible, para α = 0.b) ¿Existe algún valor de α para el cual el sistema con estas 3 ecuaciones no tiene solución?


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a) Calcula, según los valores de , el rango de . Para , calcula el determinante de la matriz

.

b) Sea . Calcula x e y para que se cumpla que . (Nota: , representan respectivamente las

matrices transpuestas de A y de B).

65.-2012-Set-Opción Ba) Discute, según los valores de m, el sistema

b) Resuélvelo, si es posible, para m = 2.

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