Matrices

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVARFACULTAD DE INGENIERÍAMATEMÁTICAS IIng. WILLIAM MEJÍA

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUTILIZANDO SCIENTIFIC NOTEBOOK

Raúl Francisco Paredes PorresCarnet : 1159607

Guatemala, 2 de mayo de 2007

INTRODUCCIÓN

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos utilizar varios métodos algebraicos, como el método de sustitución el método de eliminación. Este último es el as breve y fácil de hallar soluciones, pero además contamos con la técnica de matrices, la cual se estudia en el siguiente documento.

MARCO TEÓRICO

Para poder resolver correctamente los sistemas, contamos con operaciones que nos permiten modificar las filas y columnas sin alterar el resultado. Estas son las siguientes:

1) Intercambiar dos renglones2) Multiplicar o dividir un renglón por una constate diferente de 03) Multiplicar por una constante un renglón y luego sumarlo a otro

También es necesario saber ciertos conceptos básicos:

Matriz Escalonada: es aquella que el primer numero diferente de 0 en cada renglón es 1, la columna que contiene el primer numero diferente de 0 en cualquier renglón esta a la izquierda de la columna con el primer numero distinto de cero del renglón de abajo. Los renglones formados enteramente por ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz

Inversa de una Matriz: Es aquella que multiplicada por la matriz original da como resultado una matriz identidad (la diagonal principal esta formada por unos y todos los demás elementos son 0)

Determinante: Es un número asociado con una matriz cuadrada, se define como: |A|

Capítulo 3:Método de Reducción

a)

1 1 0 5 18

1 0 1 2 12 , row echelon form:

1 -1 4 -7 -6

0 1 -1 -3 0

1 0 0 0 13

0 1 0 0 0

0 0 1 0 -3

0 0 0 1 1

Solución:

W= 13 X=0 Y=-3 Z=1

b)

1 6 -2 0 , row echelon form:

2 -3 4 0

1 0 (6/5) 0

0 1 -(8/(15)) 0

Solución

X=-(6/5)z Y=(8/(15))z Z= {Cualquier Número}

c)

1 4 2 1 4 1

0 1 1 -3 0 -2 , row echelon form:

4 -3 5 13 16 10

1 2 4 -5 4 -3

1 0 0 7 4 5

0 1 0 0 0 0

0 0 1 -3 0 -2

0 0 0 0 0 0

X₁=5-7X₄ + 4X₅

X₂=0

X₃=3X₄-2

X₄=CUALQUIER NUMERO

X₅=CUALQUIER NUMERO

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA

A)

4 7

5 9 , inverse:

9 -7 25 = 1

-5 4 32 3

SOLUCION:

X=1

Y=3

B)

1 2 1

3 0 1 , inverse:

1 -1 -1

(1/6) (1/6) (1/3) 4 (4/3)

(2/3) -(1/3) (1/3) 2 = (7/3)

-(1/2) (1/2) -1 1 2

SOLUCION:

X=(4/3)

Y=(7/3)

Z=-2

C)

1 0 1 1

0 1 0 1 , inverse:

1 1 1 0

0 1 1 0

0 0 1 -1 2 3

-(1/2) (1/2) (1/2) 0 0 1

(1/2) -(1/2) -(1/2) 1 4 = 0

(1/2) (1/2) -(1/2) 0 1 -1

SOLUCION:

X=3

Y=1

Z=0

W=-1

CAPÍTULO 6

REGLA DE CRAMMER

1)

Matriz de Coeficientes:

3 2 -7 1

0 -5 -6 3

4 0 2 9 , determinant: 2869

7 -2 4 5

Hallando W:

11 2 -7 1

8 -5 -6 3

3 0 2 9 , determinant: 5384/2869= ((5384)/(2869))

9 -2 4 5

Hallando X:

3 11 -7 1

0 8 -6 3

4 3 2 9 , determinant: -1711/2869= -((1711)/(2869)

7 9 4 5

Hallando Y:

3 2 11 1

0 -5 8 3 , determinant: -2806/2869= -((2806)/(2869))

4 0 3 9

7 -2 9 5

Hallando Z:

3 2 -7 11

0 -5 -6 8 , determinant: -813/2869= -((813)/(2869))

4 0 2 3

7 -2 4 9

CAPÍTULO 7

APLICACIONES

1)

2 1 1 10

3 3 0 9 , row echelon form:

5 4 1 19

1 0 1 7

0 1 -1 -4

0 0 0 0

SOLUCIÓN:

X=7-Z

Y=Z-4

Z=ℝ2)

1 1 1 600

0.30 0.20 0.15 150 , row echelon form:

0 1 -1 100

1 0 0 340.0

0 1 0 180.0

0 0 1 80.0

SOLUCION

X=340 libras

Y=180 libras

Z=80 libras

3)

1 1 1 50

5 0 20 375

0 1 -3 0

, row echelon form:

1 0 4 0

0 1 -3 0

0 0 0 1

SOLUCIÓN:

0Z=1 ; FALSO

El sistema no tiene solución

4)

1 1 1 100

600 400 200 30000 , row echelon form:

2 1 0 50

1 0 -1 -50

0 1 2 150

0 0 0 0

SOLUCIÓN:

X=Z-50

Y=150-2Z

Z=ℝ

5)

1 1 1 14


45 20 10 420

1 0 0 0

0 1 0 28

0 0 1 -14

6)

560 240 480 4000


1 1 1 10

1 0 (3/4) 0

0 1 (1/4) 0

0 0 0 1

SOLUCIÓN

0Z=1; FALSO

El sistema no tiene solución

7)

1 3 2 25000

1 4 1 20000, row echelon form:

2 5 5 55000

1 0 5 40000

0 1 -1 -5000

0 0 0 0

SOLUCIÓN

x=40,000-5z

y= z-5000

z=ℝ8)

30 20 20 340


10 10 10 140

1 0 0 6

0 1 0 4

0 0 1 4

SOLUCIÓN

El Salvador: 6 días

Honduras: 4 días

Nicaragua 4 días

9)

1 1 60 , row echelon form:

6 2 250

1 0 ((65)/2) , row echelon form:

0 1 ((55)/2)

Falso, No puede haber "medios aviones"


1 -2 0

1 0 40

0 1 20

SOLUCIÓN

Aviones de Combate: 40

Bombarderos:20

La información del agente relacionada con los misiles es falsa

10)


24 35 4205

1 0 95

0 1 55

SOLUCIÓN

Almacén Poniente: 95 escritorios

Almacén Oriente: 55 escritorios

11)

-(1/2) 0 (1/3) 0

(1/2) -(1/5) 0 0 , row echelon form:

0 (1/5) -(1/3) 0

1 0 -(2/3) 0

0 1 -(5/3) 0

0 0 0 0

A= (2/3)C

B=(2/3)C

C=ℝ A+B+C=100

(2/3)C + (2/3)C + C = 100

((10)/3)C = 100

C=30

SOLUCIÓN

A = 50

B = 20 C = 30

12)

1 1 1 100

0.1 0.2 0.4 18

-1 0 4 0

, row echelon form:

1 0 0 40.0

0 1 0 50.0

0 0 1 10.0

SOLUCIÓN

Solución al 10%: 40 ml



CONCLUSIONES

Existen diferentes métodos para solucionar ecuaciones simultáneas

Las matrices son de gran ayuda para solucionar ecuaciones simultáneas que contienen muchas variables y ecuaciones

El uso de computadoras facilita el trabajo con matrices

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