Matlab Basico Aplicado a Ingenieria Electrica(3)

Objetivo General.Objetivo General.

1.1. Manejar el software de MatLab Manejar el software de MatLab básico.básico.

2.2. Conocer y aplicar los comandos Conocer y aplicar los comandos básicos de MatLab.básicos de MatLab.

3.3. Aplicar los conocimientos a Aplicar los conocimientos a adquiridos a circuitos eléctricos.adquiridos a circuitos eléctricos.

Objetivo Específico.Objetivo Específico.

Aplicar los conceptos básicos de MatLab orientado a la solución de:

a)Ecuaciones Lineales.

b)Ecuaciones Diferenciales.

c)Transformada de Laplace

d)Graficar funciones.

MATLAB BASICO APLICADO A INGENIERIA ELECTRICAMATLAB BASICO APLICADO A INGENIERIA ELECTRICA

¿QUÉ ES MATLAB?

Matlab es una herramienta poderosa usada por ingenieros para resolver diversos problemas que requieren cálculos complejos.

MatLabMatLab es un programa interactivo para computación numérica y visualización de datos.

Es ampliamente usado para resolver problemas de matemática aplicada, física, química, eléctrica, finanzas para su análisis y diseño.


Está basado en un sofisticado software de matrices para el análisis de sistemas de ecuaciones.

El nombre de MATLABMATLAB proviene de la contracción de los términos MATMATrix LABLABoratory


MATLAB C Math Library proporciona una amplia gama de funciones clásicas, proporcionadas como librerías objeto, incluyendo las siguientes categorías de funciones presentes en MATLAB y ficheros M compilados:

· Algebra lineal. ·Funciones matemáticas elementales y

especializadas. · Operadores lógicos y aritméticos. ·Matrices elementales y manipulación de

vectores. · Matrices especiales. · Interpolación. · Gestión de cadenas de caracteres. Etc.


INICIANDO MATLABINICIANDO MATLAB

Después de ejecutar el programa MatLab haciendo doble click sobre el icono de MatLab en ambientes Windows.


Sobre las pantallas que aparecen al abrir el Sobre las pantallas que aparecen al abrir el programa de MatLab.programa de MatLab.

Al abrir MATLAB normalmente aparecen tres pantallas: Al abrir MATLAB normalmente aparecen tres pantallas:

1. La primera de la izquierda (launch pad) en donde se localizan todos los directorios y demos.

2. La segunda abajo a la izquierda (command history) en la parte inferior donde se genera un histórico de los comandos y variables que se usan.

3.3. La tercera de la derecha (command window) se La tercera de la derecha (command window) se considera la pantalla principal y es precisamente considera la pantalla principal y es precisamente donde se declaran las variables y comandos de un donde se declaran las variables y comandos de un programa en la cual se ubica el símbolo ‘»’. Ver programa en la cual se ubica el símbolo ‘»’. Ver Fig.1.Fig.1.

Aparece el indicador de comandos el cual está listo para recibir instrucciones en lenguaje MatLab. Este indicador es de la siguiente forma (prompt):

>>



Comandos Algunos comandos para tener en cuenta en las operaciones

son: clearclear borra toda de la memoria. clcclc borra toda la pantalla pero deja internamente el valor de

las variables. whowho enumera todas las variables usadas hasta el momento. helphelp (tema) proporciona ayuda sobre el tema seleccionado. roundround (operación) redondea al entero más cercano:

>> round(9/4) ans = 2

sqrtsqrt calcula raíz cuadrada. solvesolve resuelve una ecuación o sistema de ecuaciones.

↑ Con este botón se pueden recuperar sentencias anteriormente usadas.

Nota: (Los comando se escriben con minúscula)Nota: (Los comando se escriben con minúscula) symssyms sirve para declarar variables.


Se llama Se llama matrizmatriz de orden de orden m×nm×n a todo a todo conjunto rectangular de elementos conjunto rectangular de elementos aaijij dispuestos en dispuestos en mm líneas horizontales (filas) y líneas horizontales (filas) y nn verticales (columnas) de la forma: verticales (columnas) de la forma:


Abreviadamente suele expresarse Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(en la forma A =(aaij), con i =1, 2, ..., ij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento columna (j). Por ejemplo el elemento aa25 será el elemento de la fila 2 y 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.columna 5.


Introducir una matriz

La primera forma de interactuar con MatLab es a través de la línea de comandos. Puede ejecutarse un comando si este está escrito después del símbolo:

>> y se presiona la tecla Enter.


Si se quiere introducir por ejemplo la matriz

MATLAB trabaja esencialmente con matrices numéricas rectangulares. La manera más fácil de entrar matrices es enumerando los elementos de ésta de tal manera que:

los elementos estén separados por blancos ó comas.

los elementos estén cerrados entre corchetes, [ ]. muestre el final de cada fila con ; (punto y coma).


Se define A como una matriz de cuatro elementos. Estos elementos deben separase con espacios en blanco o comas (,).

Para definir una matriz se deben separar las filas con punto y coma (;) o con

retorno (Enter).


>> A=[4,2;3,3]

También se puede escribir

A=[4 2;3 3]


Si se agrega un punto y coma al final

( A=[4,2;3,3];; ), no sale la matriz en la pantalla quedando grabada en la memoria del programa.


Tipos de matricesTipos de matrices

Matriz fila:Matriz fila: Es una matriz Es una matriz que solo tiene una fila, es que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de decir m =1 y por tanto es de orden orden 1´n1´n. .

953B


Matriz columna:Matriz columna: Es una matriz Es una matriz que solo tiene una columna, es que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de decir, n =1 y por tanto es de orden orden m ´1m ´1..

4

5

9

2

C


Matriz cuadrada:Matriz cuadrada: Es aquella que tiene Es aquella que tiene el mismo número de filas que de el mismo número de filas que de columnas, es decir columnas, es decir m = nm = n. En estos . En estos casos se dice que la matriz cuadrada casos se dice que la matriz cuadrada es de es de orden norden n, y no n ´ n. , y no n ´ n.

Los elementos Los elementos aaij con i ij con i == j, o sea j, o sea aaii ii forman la llamada diagonal principal de forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos la matriz cuadrada, y los elementos aaijij con i + j con i + j == n +1 la diagonal secundaria. n +1 la diagonal secundaria.


973

412

031

D

La diagonal principal esta formada por (1,1,9) y al diagonal secundaria es (0,1,3)


En MATLAB para determinar la diagonal de En MATLAB para determinar la diagonal de una matriz solo es necesario escribir el una matriz solo es necesario escribir el

comando comando diagdiag de la siguiente manera:de la siguiente manera:

>>diag(D) y se obtendrá:ans =

1

1

9


Matriz traspuesta:Matriz traspuesta: Dada una matriz Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se A, se llama traspuesta de A, y se representa por Arepresenta por Att, a la matriz que se , a la matriz que se obtiene cambiando filas por obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la columnas. La primera fila de A es la primera columna de Aprimera columna de Att , la segunda , la segunda fila de A es la segunda columna de fila de A es la segunda columna de AAtt, etc., etc.

De la definición se deduce que si A De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces Aes de orden m ´ n, entonces Att es de es de orden n ´ m.orden n ´ m.


218

659

374

E

En MATLAB la matriz transpuesta se puede realizar colocando el apostrofe a la matriz que se requiere transponer.

>>F=E’

263

157

894

F


Matriz diagonal:Matriz diagonal: Es una matriz Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.son nulos.

100

030

002

G

7000

0900

0040

0003

H


Matriz escalar:Matriz escalar: Es una matriz diagonal Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.iguales.

200

020

002

I


Matriz unidadMatriz unidad o o identidad:identidad: Es una matriz Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal escalar con los elementos de la diagonal

principal iguales a principal iguales a 11. Se identifica como . Se identifica como II

100

010

001

K


Matriz Triangular:Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior:Triangular Superior: Si los elementos que Si los elementos que

están por debajo de la diagonal principal son están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, todos nulos. Es decir, aaij =0 “ i<j. ij =0 “ i<j.

Triangular Inferior:Triangular Inferior: Si los elementos que Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, todos nulos. Es decir, aaij =0 “ j<i. ij =0 “ j<i.


241

033

001

L

200

530

261

M

Matriz triangular inferiorMatriz triangular inferior

Matriz triangular superiorMatriz triangular superior


Para MATLAB el determinar la parte inferior Para MATLAB el determinar la parte inferior

triangular de la matriz triangular de la matriz EE se denota por el se denota por el comando siguiente:comando siguiente:

>>tril(E)tril(E)

ans =ans =

4 0 04 0 0

-9 5 0-9 5 0

8 1 -28 1 -2


Para MATLAB el determinar la parte Para MATLAB el determinar la parte

superior triangular de la matriz superior triangular de la matriz EE se denota se denota por el comando siguiente:por el comando siguiente:

>>triu(E)triu(E)

ans =ans =

4 7 34 7 3

0 5 60 5 6

0 0 -20 0 -2


Operaciones matriciales básicas : Adición (sustracción) A+B ó A-B Multiplicación A*B Producto por un escalar α*A Cálculo de la inversa inv(A) ó

A^(-1) Cálculo del determinante det(A)La división no existe.


Suma y diferencia de matricesSuma y diferencia de matrices La La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la dos matrices estas han de tener la misma dimensión. misma dimensión.

La suma o diferencia de las matrices A y La suma o diferencia de las matrices A y B se denota por A+B ó A-B B se denota por A+B ó A-B respectivamente respectivamente


>> S=D+E


>> S1=D-E S1=D-E


33

24A + 953B

NO SE NO SE PUEDE PUEDE SUMARSUMAR


Producto de una matriz por un número.Producto de una matriz por un número. El producto de una matriz A = (El producto de una matriz A = (aaij) por un ij) por un

número real k es otra matriz T = (número real k es otra matriz T = (bbij) de ij) de la misma dimensión que A y tal que cada la misma dimensión que A y tal que cada elemento tij de T se obtiene multiplicando elemento tij de T se obtiene multiplicando aaij por k, es decir, ij por k, es decir, ttij = k·ij = k·aaij. ij.

El producto de la matriz A por el número El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este k se le llama también escalar, y a este producto, de escalares por matrices. producto, de escalares por matrices.


33

24A

3*33*3

2*34*3AT=3*A


Producto de matricesProducto de matrices

Dadas dos matrices D y E, su Dadas dos matrices D y E, su producto es otra matriz P producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de D por multiplicando las filas de D por las columnas de E.las columnas de E.


Es evidente que el número de Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión tiene dimensión mm´ ´ nn y B dimensión y B dimensión nn´ ´ pp, la matriz P será de orden , la matriz P será de orden mm´́ p p. Es . Es decir:decir:

n

kkjikij edP

1

*


T=D*ET=D*E


Multipliquemos las siguientes matrices:Multipliquemos las siguientes matrices:

218

659

374

E

6

4

2

U

218

659

374

E 953B


INVERSA DE UNA MATRIZINVERSA DE UNA MATRIZ..Una matriz cuadrada que posee inversa se dice Una matriz cuadrada que posee inversa se dice

que es inversible o regular; en caso contrario que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. recibe el nombre de singular.

Propiedades de la inversión de matrices Propiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única La matriz inversa, si existe, es única AA-1*-1*A=I A=I (A*B)(A*B)-1-1=B=B-1*-1*AA-1-1 (A(A-1-1))-1-1=A=A (kA) (kA) -1-1=(1/k*A=(1/k*A-1-1 (A(Att))–1–1=(A=(A-1-1))tt


Hay varios Hay varios métodos para calcular la métodos para calcular la matriz inversamatriz inversa de una matriz dada. de una matriz dada.

En MATLAB la inversa de una matriz se En MATLAB la inversa de una matriz se realiza rápidamente con el comando realiza rápidamente con el comando invinv::

Por ejemploPor ejemplo:

>> inv(A)o con o con ^̂

Por ejemploPor ejemplo

>> A^-1


FUNCIONES TRIGONOMETRICASFUNCIONES TRIGONOMETRICAS Seno sin Coseno cos Seno hiperbólico sinh Coseno hiperbólico cosh Tangente tan Tangente hiperbólico tanh Secante sec Secante hiperbólico sech Cosecante csc Cosecante hiperbólico csch Cotangente cot Cotangente hperbólico coth


Para graficar se requieren una serie Para graficar se requieren una serie de puntos los cuales debemos unir de puntos los cuales debemos unir con una línea.con una línea.

En MATLAB se grafica muy sencillo, En MATLAB se grafica muy sencillo, primeramente determinando un rango.primeramente determinando un rango.

El rango lo determinamos como sigue:El rango lo determinamos como sigue:


Ejemplo:Ejemplo:

Deseamos graficar la onda senoidal.Deseamos graficar la onda senoidal.

La función seno esta evaluada en radianes, La función seno esta evaluada en radianes, ángulo.ángulo.

Determinamos primero el rango, como t.Determinamos primero el rango, como t.

>>t=(0:2:10);

Después definimos la función a evaluar.Después definimos la función a evaluar.

>>y=sin(t);


El comando para graficar en El comando para graficar en MATLAB es MATLAB es plot plot y definiremos y definiremos cuales son las variables que cuales son las variables que queremos graficar.queremos graficar.

>>plot(t,y)

Aparecerá una ventana donde Aparecerá una ventana donde simula la grafica de la función simula la grafica de la función seno.seno.


Para que la grafica salga mas definida los Para que la grafica salga mas definida los puntos de los rangos deben ser mas cortos.puntos de los rangos deben ser mas cortos.

El ejemplo podemos evaluarlo con un El ejemplo podemos evaluarlo con un intervalo de:intervalo de:

>>t=(0:0.01:10);>>y=sin(t);>>plot(t,y)La grafica será más definida.La grafica será más definida.


Los datos en MATLAB se pueden graficar Los datos en MATLAB se pueden graficar con marcas, sin estar conectados en líneas.con marcas, sin estar conectados en líneas.

PuntoPunto ..MásMás ++

EstrellaEstrella **

CirculoCirculo oo

Marca xMarca x xx


Se pueden disponer de 4 líneas:Se pueden disponer de 4 líneas:ContinuaContinua --GuionesGuiones - -- -PunteadaPunteada ::Guiones y puntosGuiones y puntos -.-.

Se dispone de los siguientes colores:Se dispone de los siguientes colores:RojoRojo rrAmarilloAmarillo yyMagentaMagenta mmTurquesaTurquesa ccVerdeVerde ggBlancoBlanco wwAzulAzul bbNegroNegro kk


Si se desea graficar con un tipo de marca Si se desea graficar con un tipo de marca y/o color, coloque el símbolo y/o letra de la y/o color, coloque el símbolo y/o letra de la marca y/o del color como una cadena marca y/o del color como una cadena después de las coordenadas en los después de las coordenadas en los argumentos de argumentos de plot plot por ejemplo:por ejemplo:

>>t=(0:0.01:10);

>>y=sin(t);

>>plot(t,y,’+r’)


Una vez que se tiene la grafica en la Una vez que se tiene la grafica en la pantalla, se puede cuadricular o poner una pantalla, se puede cuadricular o poner una

rejilla, con el comando rejilla, con el comando gridgrid.. Se puede colocar título a la grafica con el Se puede colocar título a la grafica con el

comando comando titletitle por ejemplo: por ejemplo:

>>title(‘Grafica del seno’)


En MATLAB se puede colocar En MATLAB se puede colocar etiquetas para el eje etiquetas para el eje xx y para el eje y para el eje yy con los comandos:con los comandos:

>>xlabel(‘segundos’) para el eje x

>>ylabel(‘y=seno de (t)’) para el eje y


También se pueden colocar textos También se pueden colocar textos dentro de las graficas con el dentro de las graficas con el comando comando texttext seguido de las seguido de las coordenadas a colocar y el texto coordenadas a colocar y el texto que se quiera introducir:que se quiera introducir:

>>text(3,0.4,’Seno de (t)’)


Resolver el siguiente circuitoResolver el siguiente circuito


SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALESSOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Dado el siguiente sistema de ecuaciones linealesDado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111


Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse en Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse en forma matricialforma matricial

AA matriz de m filas y n columnas matriz de m filas y n columnas xx es un vector que contiene las n incógnitas del es un vector que contiene las n incógnitas del

problema.problema. bb es un vector columna de m coeficientes es un vector columna de m coeficientes Cuando el sistema es homogéneoCuando el sistema es homogéneo

Cuando el sistema es no homogéneoCuando el sistema es no homogéneo Un sistema lineal puede ser: Un sistema lineal puede ser:

consistente (solución única o infinitas soluciones) consistente (solución única o infinitas soluciones) inconsistente (no posee solución) inconsistente (no posee solución)

bAx

0b

0b


Supongamos que , si existe Supongamos que , si existe matriz inversa matriz inversa

tal que entonces tal que entonces podemos multiplicar ambos miembros podemos multiplicar ambos miembros de la ecuación para obtenerde la ecuación para obtener

la solución buscada: la solución buscada:

nm1A

IAAAA 11

bAx

bAAxA1

11


DETERMINANTES.DETERMINANTES.

Asociado a cada matriz cuadrada Asociado a cada matriz cuadrada AA hay hay un número llamado determinante de un número llamado determinante de AA..

Determinante de Determinante de AA se puede escribir se puede escribir de dos formas: determinante de A (no lo de dos formas: determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto confundan con el signo del valor absoluto de un número real).de un número real).

Det A; esta se utiliza a veces en lugar de Det A; esta se utiliza a veces en lugar de para evitar la confusión. para evitar la confusión.

A

A


Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que:2 x 2 de modo que:

Para hallar el determinante de esta matriz Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:se realiza de la siguiente manera:

2221

1211

aa

aaA

2221

1211

aa

aaA a11*a22-a21*a12


mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

Regla de CRAMERRegla de CRAMERSe un sistema tal que:Se un sistema tal que:


Sea Sea el determinante de la matriz de el determinante de la matriz de coeficientes.coeficientes.


Sean: Sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ nΔ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n

Los determinantes que se obtiene al Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.enésima columna respectivamente.


Un Un sistema de Cramersistema de Cramer tiene tiene unauna sola sola soluciónsolución que viene dada por las que viene dada por las siguientes expresiones:siguientes expresiones:


Número ComplejoNúmero Complejo.-Es el que esta .-Es el que esta representado por un número en dos partes, representado por un número en dos partes, una parte real y otra imaginaria.una parte real y otra imaginaria.

Número imaginarioNúmero imaginario.- Son raíces indicadas .- Son raíces indicadas pares de cantidades negativas.pares de cantidades negativas.

Ejemplos de cantidades imaginarias: Ejemplos de cantidades imaginarias:

4 8;1


Unidad ImaginariaUnidad Imaginaria.- Cantidad .- Cantidad imaginaria imaginaria es llamada unidad es llamada unidad imaginaria. imaginaria.

La unidad imaginaria se representa por La unidad imaginaria se representa por la letra la letra ii designado por la mayor parte designado por la mayor parte de matemáticos, pero se acostumbra de matemáticos, pero se acostumbra emplear emplear jj en la Ingeniería Eléctrica, en la Ingeniería Eléctrica, para evitar confusiones con el símbolo para evitar confusiones con el símbolo de la corriente. Por lo tanto de la corriente. Por lo tanto

1

1j


Potencias de la unidad imaginariaPotencias de la unidad imaginaria.- Hallar .- Hallar las potencias de las potencias de 1

111

1j

112

12 j

11*11*1123

13 j

11*11*11224

14 j

11*11*1145

15 jj


Simplificación de las imaginarias puras.Simplificación de las imaginarias puras. Toda raíz imaginaria puede reducirse a la Toda raíz imaginaria puede reducirse a la

forma de una cantidad real multiplicada por forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria la unidad imaginaria 1

bjbbbb 11*1* 222

j2121*41*44

3*31*31*33 jj

j221*2*21*2*21*81*88 2


Operaciones con imaginarias puras.Operaciones con imaginarias puras.

Suma y restaSuma y resta Se reducen a la forma de una cantidad real Se reducen a la forma de una cantidad real

multiplicada por y se reducen como multiplicada por y se reducen como radicales semejantes.radicales semejantes.

94

.121*44

.131*99

j515132131294


1225362

11216*2362

1525

13*21*3*41*1212

j3271327132512

132151121225362


Multiplicación.Multiplicación. Se reducen las imaginarias a la forma Se reducen las imaginarias a la forma

típica y se procede como se indica típica y se procede como se indica a continuación, teniendo muy presente a continuación, teniendo muy presente las potencias de la unidad imaginaria.las potencias de la unidad imaginaria.

1a

61*613*213*129*42

101*1011012*152*52


224*259

12212

12513

22121016

22120126

12012416

241420246


Dividir: Dividir:

7/84

32127

84

7

84

17

184

7

84


Cantidades Complejas conjugadasCantidades Complejas conjugadas.. Son dos cantidades complejas que difieren Son dos cantidades complejas que difieren

solamente en el signo de la parte solamente en el signo de la parte imaginaria, así y son imaginaria, así y son cantidades complejas conjugadas. Del cantidades complejas conjugadas. Del propio modo la conjugada de ypropio modo la conjugada de y

jyxz jyxz

j25 .25 j


Operaciones con cantidades complejas.Operaciones con cantidades complejas.

Suma y Resta.Suma y Resta. Para sumar cantidades complejas se suman Para sumar cantidades complejas se suman

las partes reales entre sí y las partes las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí.imaginarias entre sí.

Sumar: ySumar: y 52 j 23 j

3525322352 jjjjj


Restar: Restar:

dede75 j 24 j

5127452475 jjjjj


MultiplicaciónMultiplicación Las cantidades complejas se multiplican Las cantidades complejas se multiplican

como expresiones compuestas, pero como expresiones compuestas, pero teniendo presente que teniendo presente que 11

2

34

53

j

j

2012 j2159 jj

)1(151112 j 1127151112 jj


DivisiónDivisión Para dividir expresiones complejas, se Para dividir expresiones complejas, se

expresa el cociente en forma de fracción y expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del la fracción por la conjugada del denominador.denominador.

25

2314

916

2314

1*916

2314

34

62320

34

34*

34

25

34

2522

jjj

j

j

j

j

j

j

j

j


La evaluación de límites es de primordial interés La evaluación de límites es de primordial interés en cálculo. MATLAB nos proporciona el comando en cálculo. MATLAB nos proporciona el comando

limitlimit para este fin. para este fin. LA sintaxis para calcular el límite de una función LA sintaxis para calcular el límite de una función

f(x) cuando x tiende a xf(x) cuando x tiende a x00 es: es:

limit(f,x,x0)limit(f,x,x0)

Ejemplo: f(x)=xEjemplo: f(x)=x22, límite cuando x tiende , límite cuando x tiende a 3, se obtiene con:a 3, se obtiene con:

>>syms x

>>limit(x^2,x,3)


DerivadasDerivadas Podemos evaluar las variables.Podemos evaluar las variables.

Si deseamos evaluar la derivada de f(x)=2xSi deseamos evaluar la derivada de f(x)=2x22, lo , lo podemos realizar primero escribir syms x y la podemos realizar primero escribir syms x y la evalúa como una variable y no evalúa como una variable y no numéricamente. La podemos escribir así:numéricamente. La podemos escribir así:

>>syms x>>f=2*x^2;>>diff(f)

ans =4*x


Para determinar la segunda derivada la Para determinar la segunda derivada la instrucción es:instrucción es:

>>diff(f,2) En el caso de que otra función

este dada por g(x,y) y deseamos derivar primero con respecto a xx y luego con respecto a yy. Para esto tenemos que definir las variables x,y.


>>syms x y

>>g=2*x^3*y;

>>g1=diff(g,x)

>> 6*x^2*y

>>g2=diff(g,y)

>> 2*x^3


IntegraciónIntegración De igual forma podemoos evaluar las variables.De igual forma podemoos evaluar las variables.

Si deseamos evaluar la integración de f(x)=4*x, lo Si deseamos evaluar la integración de f(x)=4*x, lo podemos realizar primero escribir syms x y la evalúa podemos realizar primero escribir syms x y la evalúa como una variable y no numéricamente. La podemos como una variable y no numéricamente. La podemos escribir así:escribir así:

>>syms x>>f=4*x;>>int(f)

ans =2*x^2


Para integrales definidas debemos Para integrales definidas debemos escribir en MATLAB de la siguiente forma:escribir en MATLAB de la siguiente forma:

>>syms x

>>f=2*x;

>>int(f,0,1) ans =

1

1

0

2xdx


ECUACIONES DIFERENCIALES.ECUACIONES DIFERENCIALES. Una Una ecuación diferencialecuación diferencial es una ecuación en la es una ecuación en la

que intervienen derivadas de una o más que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinariasEcuaciones diferenciales ordinarias: aquellas : aquellas que contienen derivadas respecto a una sola que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parcialesEcuaciones en derivadas parciales: aquellas : aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más que contienen derivadas respecto a dos o más variables. variables.

MATLAB BASICO APLICADO A INGENIERIA ELECTRICAMATLAB BASICO APLICADO A INGENIERIA ELECTRICAEjemplos:Ejemplos:

es una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria donde:ordinaria donde:

es la variable dependiente.es la variable dependiente.

xx la variable independiente.la variable independiente.es la derivada de es la derivada de yy con respecto a con respecto a

x.x.

es una ecuación en derivadas es una ecuación en derivadas parciales.parciales.

A la variable dependiente también se le A la variable dependiente también se le

llama función incógnita.llama función incógnita.


Tipos de soluciones.Tipos de soluciones.

Una solución de una ecuación Una solución de una ecuación diferencial es una función que al diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. correspondientes, verifica la ecuación. Existen tres tipos de soluciones:Existen tres tipos de soluciones:

Solución General.Solución General. Solución Particular.Solución Particular. Solución Singular.Solución Singular.


En MATLAB también nos permite resolver En MATLAB también nos permite resolver ecuaciones diferenciales.ecuaciones diferenciales.

Cuando se describe una ecuación Cuando se describe una ecuación diferencial en MATLAB, la primera derivada diferencial en MATLAB, la primera derivada se representa como se representa como DyDy. Si aparece la . Si aparece la segunda derivada se representa como segunda derivada se representa como D2YD2Y..

Para resolver una ecuación diferencial el Para resolver una ecuación diferencial el comando es comando es dsolvedsolve..


Sea la expresión siguiente:

>>dsolve(‘D2y+y=4’)ans =

4+C1*sin(t)+C2*cos(t)

Donde:

C1 y C2 son constantes.

Si se tienen las condiciones iniciales,

y(0)=1y(0)=1 y’(0)=0y’(0)=0

42

2

ydt

yd


>>dsolve(‘D2y+y=4’,y(0)=1’,’Dy(0)=0’)ans =

4-3*cos(t)


MATLAB proporciona, aparte de dsolve otros MATLAB proporciona, aparte de dsolve otros comando para resolver ecuaciones comando para resolver ecuaciones diferenciales.diferenciales.

ODE23 y ODE45 que utilizan el método de ODE23 y ODE45 que utilizan el método de Runge-Kuta.Runge-Kuta.

ODE23 la solución se calcula usando primero ODE23 la solución se calcula usando primero un método de segundo orden y luego de tercer un método de segundo orden y luego de tercer orden.orden.

ODE45 usa métodos de cuarto y quinto orden.ODE45 usa métodos de cuarto y quinto orden.


La sintaxis de estas funciones es:La sintaxis de estas funciones es:

[t,y]=ode23(F,[t_incial.t_final],y0)[t,y]=ode23(F,[t_incial.t_final],y0)

[t,y]=ode45(F,[t_incial.t_final],y0)[t,y]=ode45(F,[t_incial.t_final],y0)

Donde:Donde:

F F es una cadena de texto, que indica dónde es una cadena de texto, que indica dónde está definida la ecuación diferencial.está definida la ecuación diferencial.

t_inicial y t_finalt_inicial y t_final son los tiempos inicial y son los tiempos inicial y final de la simulación.final de la simulación.

y(0)y(0) es la condición inicial es la condición inicial


Consideremos el siguiente ejemplo:Consideremos el siguiente ejemplo:

Generando la sintaxisGenerando la sintaxis

>>y0=2>>[t,y]=ode45(‘dy’,[0,2],y0);>>plot(t,y)

La solución exacta es La solución exacta es

El resultado de la grafica es la siguiente.El resultado de la grafica es la siguiente.

ytdt

dy2

2

*2 tety

MATLAB BASICO APLICADO A INGENIERÍA ELÉCTRICAMATLAB BASICO APLICADO A INGENIERÍA ELÉCTRICA

Aplicación de la solución de ecuacionesAplicación de la solución de ecuaciones

diferenciales a los circuitos eléctricosdiferenciales a los circuitos eléctricos..Sea el siguiente circuito R-LSea el siguiente circuito R-L

..


De acuerdo a la ley de voltajes De acuerdo a la ley de voltajes de Kirchhoff tenemosde Kirchhoff tenemos::

Esta es una ecuación diferencial Esta es una ecuación diferencial homogénea lineal de primer homogénea lineal de primer orden con coeficientes orden con coeficientes constantes.constantes.

0 Ridt

diL


Se puede resolver si es posible Se puede resolver si es posible separar las variables.separar las variables.

Reordenando la ecuación anterior Reordenando la ecuación anterior tenemos:tenemos:

dtL

R

i

di


La ecuación se puede integrar:La ecuación se puede integrar:

Quedando como sigue:Quedando como sigue:

dtL

R

i

di

KtL

Ri ln


Para simplificar la forma de esta ecuación, Para simplificar la forma de esta ecuación, la constante K se vuelve a definir por el la constante K se vuelve a definir por el logaritmo de otra constante, como sigue:logaritmo de otra constante, como sigue:

La ecuación integrada se puede expresar La ecuación integrada se puede expresar como:como:

De acuerdo con la definición de logaritmo:De acuerdo con la definición de logaritmo:

kK ln

xe x ln xx 1010log

Kei lRt

lnlnln


La ecuación final se expresa como:La ecuación final se expresa como:

Sacando a la ecuación anterior antilogaritmo Sacando a la ecuación anterior antilogaritmo se obtiene:se obtiene:

Esta ecuación es la respuesta o solución Esta ecuación es la respuesta o solución de la red, expresa la relación entre las de la red, expresa la relación entre las variables dependientes e independientes.variables dependientes e independientes.

Esta ecuación se conoce como Esta ecuación se conoce como Solución Solución GeneralGeneral

)ln(ln LRt

kei

LRt

kei


A partir de la ecuación diferencial obtenida del A partir de la ecuación diferencial obtenida del circuito tenemos:circuito tenemos:

Tomando valores de las constantes L=1, R=1, nos queda:

La solución de esta ecuación es:La solución de esta ecuación es:

0 Ridt

diL

0 tdt

di

tkei


Utilizando MATLAB para la solución de Utilizando MATLAB para la solución de ecuaciones diferenciales tenemos:ecuaciones diferenciales tenemos:>>dsolve(‘Dy+y=0’)>>dsolve(‘Dy+y=0’)

ans =ans =C1*exp(-t)C1*exp(-t)

Comparando las dos ecuaciones Comparando las dos ecuaciones tenemos:tenemos:C1=kC1=kexp(-t)=eexp(-t)=e-t -t , teniendo en cuenta que R=1 y , teniendo en cuenta que R=1 y L=1L=1


Si evaluamos la constante de Si evaluamos la constante de integración (integración (kk), se convierte en ), se convierte en solución solución particularparticular, para evaluar la constante , para evaluar la constante k k se se debe saber algo nuevo respecto al debe saber algo nuevo respecto al problema, cuando se hace la conmutación problema, cuando se hace la conmutación se sabe que la corriente es la misma que se sabe que la corriente es la misma que antes del cambio.antes del cambio.

Por lo tanto, cuando t=0 se sabe que Por lo tanto, cuando t=0 se sabe que la corriente tiene el valor de:la corriente tiene el valor de:

R

Vi 0


El valor anterior se denomina El valor anterior se denomina condiciones condiciones inicialesiniciales del circuito. Cuando se substituye del circuito. Cuando se substituye esta condición en la solución de la ecuación esta condición en la solución de la ecuación diferencial, se obtiene:diferencial, se obtiene:

La solución particular de este ejemplo se La solución particular de este ejemplo se convierte en:convierte en:

kkeR

V 0

LRt

eR

Vi

0t

R

Vi 0t


Con estas condiciones se puede Con estas condiciones se puede realizar análisis del circuito inicial realizar análisis del circuito inicial con valor de los parámetros V y R con valor de los parámetros V y R constantes y se varia L;constantes y se varia L;

R variable con V y L constantes, R variable con V y L constantes, con MATLAB es mas rápidocon MATLAB es mas rápido..

Las instrucciones son:Las instrucciones son:


» t=0:0.001:3;» t=0:0.001:3;» V=12;» V=12;» R=10;» R=10;» L1=1;» L1=1;» L2=10;» L2=10;» k=V/R;» k=V/R;» I1=k*exp(-R*t/L1);» I1=k*exp(-R*t/L1);» I2=k*exp(-R*t/L2);» I2=k*exp(-R*t/L2);» plot(t,I1,t,I2)» plot(t,I1,t,I2)» title('Respuesta de la corriente en un circuito R-L')» title('Respuesta de la corriente en un circuito R-L')» text(0.1,1.2,'V/R')» text(0.1,1.2,'V/R')» text(0.25,0.21,'Con L pequeña')» text(0.25,0.21,'Con L pequeña')» text(1.25,0.5,'Con L grande')» text(1.25,0.5,'Con L grande')» xlabel('Segundos')» xlabel('Segundos')» ylabel('Corriente')» ylabel('Corriente')


Forma exponencial decreciente con L variable, V y R constantes

MATLAB BASICO APLICADO A INGENIERÍA ELÉCTRICAMATLAB BASICO APLICADO A INGENIERÍA ELÉCTRICA» t=0:0.001:3;» t=0:0.001:3;» V=12;» V=12;» L=1;» L=1;» R1=0.5;» R1=0.5;» R2=1;» R2=1;» k1=V/R1;» k1=V/R1;» k2=V/R2;» k2=V/R2;» I1=k1*exp(-R1*t/L);» I1=k1*exp(-R1*t/L);» I2=k2*exp(-R2*t/L);» I2=k2*exp(-R2*t/L);» plot(t,I1,t,I2)» plot(t,I1,t,I2)» title('Respuesta de la corriente en un circuito R-L')» title('Respuesta de la corriente en un circuito R-L')» text(0.01,12,'V/R2')» text(0.01,12,'V/R2')» text(0.01,24,'V/R1')» text(0.01,24,'V/R1')» text(0.5,8,'Con R grande')» text(0.5,8,'Con R grande')» text(1.25,16,'Con R pequeña')» text(1.25,16,'Con R pequeña')» xlabel('Segundos')» xlabel('Segundos')» ylabel('Corriente') » ylabel('Corriente')


CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN:

La interpretación de las graficas, la La interpretación de las graficas, la energía almacenada en el inductor se disipa energía almacenada en el inductor se disipa por medio de la resistencia a una velocidad, por medio de la resistencia a una velocidad, esta velocidad del decrecimiento lo esta velocidad del decrecimiento lo determina la relación R/L y la corriente se determina la relación R/L y la corriente se hace cero.hace cero.


TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE Definición de la TransformadaDefinición de la Transformada

Sea Sea f f una función definida para , la una función definida para , la transformada de Laplace de transformada de Laplace de f(t)f(t) se define se define como como

cuando tal integral cuando tal integral convergeconverge


NotasNotas La letra La letra ss representa una nueva variable, representa una nueva variable,

que para el proceso de integración se que para el proceso de integración se considera constante considera constante

La transformada de Laplace convierte una La transformada de Laplace convierte una función en función en tt en una función en la variable en una función en la variable ss

Condiciones para la existencia de la Condiciones para la existencia de la transformada de una función: transformada de una función:

De orden exponencial De orden exponencial


Tabla de TransformadasTabla de Transformadas


Tabla de TransformadasTabla de Transformadas

0'02 ysytyLstyL

Transformada de la Laplace de la derivada

Transformada de la Laplace de la 2ª derivada.

Transformada de la Laplace de la integral


MATLAB nos permite evaluar la Transformada de MATLAB nos permite evaluar la Transformada de Laplace directa e inversa usando los comandos Laplace directa e inversa usando los comandos laplacelaplace e e ilaplaceilaplace respectivamente, sean las respectivamente, sean las funciones:funciones:

ff11(t)=t(t)=t22

ff22(t)=e(t)=e-st-st

Las transformadas de Laplace las obtenemos Las transformadas de Laplace las obtenemos con:con: >>syms t a w>>syms t a w >>f1=t^2;>>f1=t^2; >>F1=laplace(f1)>>F1=laplace(f1)F1 =F1 =

2/s^32/s^3


>>F2=laplace(f2)>>F2=laplace(f2)F2 =F2 =

1/(s+a)1/(s+a)Para la Para la transformada inversatransformada inversa es: es: >>>>g1=ilaplace(F1)g1=ilaplace(F1)g1 =g1 =

t^2t^2 >>>>g2=ilaplace(F2)g2=ilaplace(F2)g2 =g2 =

exp(-a*t)exp(-a*t)


Aplicación de la Transformada de la Aplicación de la Transformada de la Laplace a la solución de circuitos Laplace a la solución de circuitos eléctricoseléctricos..


Sea un circuito R-L con una fuente de corriente Sea un circuito R-L con una fuente de corriente directa y un interruptor, cuando se cierra es en el directa y un interruptor, cuando se cierra es en el tiempo t=0.tiempo t=0.

De acuerdo con la ley de voltajes de Kirchhoff, la De acuerdo con la ley de voltajes de Kirchhoff, la ecuación diferencial es:ecuación diferencial es:

La ecuación correspondiente de transformada es:La ecuación correspondiente de transformada es:

)(tVRidtdi

L

s

VsRIissIL 0


La condición inicial por la última ecuación La condición inicial por la última ecuación es i(0-). Puesto que la inductancia no tiene es i(0-). Puesto que la inductancia no tiene flujo, i(0-)=0. Ahora se puede manejar la flujo, i(0-)=0. Ahora se puede manejar la ecuación para resolver en función de I(s). ecuación para resolver en función de I(s). Además considerando los parámetros de Además considerando los parámetros de R=1 ohms , L=1 henrios, V=12 volts, R=1 ohms , L=1 henrios, V=12 volts, tenemos:tenemos:

Y nos queda:Y nos queda:

s

sIssI12

101

s

sIssI12


Resolviendo en función de I(s), tenemos:Resolviendo en función de I(s), tenemos:

Pero esta transformada no aparece en la Pero esta transformada no aparece en la tabla de la inversa de Laplace, tenemos que tabla de la inversa de Laplace, tenemos que evaluarla por fracciones parciales, los cual evaluarla por fracciones parciales, los cual nos queda:nos queda:

sssI

1

12

1

1212)(

ss

sI


Buscando en la inversa de Laplace nos queda:Buscando en la inversa de Laplace nos queda:

Utilizando MATLAB podemos encontrar el valor de Utilizando MATLAB podemos encontrar el valor de Laplace con la siguiente sintaxisLaplace con la siguiente sintaxis

» syms t a w s» syms t a w s

» I=12/s-12/(s+1);» I=12/s-12/(s+1);

» ilaplace(I)» ilaplace(I)

ans =ans =

12-12*exp(-t)12-12*exp(-t)

Este valor es igual al encontrado manualmente.Este valor es igual al encontrado manualmente.

teti 1212)(


Para un mejor análisis grafiquemos el resultado Para un mejor análisis grafiquemos el resultado anterior:anterior:

» t=0:0.01:10;» t=0:0.01:10; » I=12-12*exp(-t);» I=12-12*exp(-t); » plot(t,I)» plot(t,I) » title('Respuesta de la corriente en un circuito R-» title('Respuesta de la corriente en un circuito R-

L con una fuente de C.D.')L con una fuente de C.D.') » xlabel('Segundos')» xlabel('Segundos') » ylabel('Amplitud de la Corriente')» ylabel('Amplitud de la Corriente') » text(6,11.85,'Llega en este tiempo')» text(6,11.85,'Llega en este tiempo') » text(6,11.00,'a su voltaje nominal')» text(6,11.00,'a su voltaje nominal')


CONCLUIMOS:CONCLUIMOS:

Del circuito podemos analizar que cuando se cierra el interruptor “K” en el tiempo t=0, va tomando valores poco a poco hasta que la corriente toma valores de hasta12 amperes en un tiempo de casi 6 segundo, decimos que en estos instantes la corriente a alcanzado su estado permanente


BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA1.1. David Báez López, MATLAB con aplicaciones a la Ingeniería David Báez López, MATLAB con aplicaciones a la Ingeniería

y Física, Alfaomega, 2007.y Física, Alfaomega, 2007.2.2. Katsuhiko Ogata, Problemas de Ingeniería de Control Katsuhiko Ogata, Problemas de Ingeniería de Control

utilizando MATLAB, Prentice Hall, 1999.utilizando MATLAB, Prentice Hall, 1999.3.3. Shoichiro Nakamura, Análisis Numérico y Visualización Shoichiro Nakamura, Análisis Numérico y Visualización

Gráfica con MATLAB, Prentice Hall, 1997.Gráfica con MATLAB, Prentice Hall, 1997.4.4. Ma. Inmaculada Zamora Belver, Ángel Javier Mazón Sainz-Ma. Inmaculada Zamora Belver, Ángel Javier Mazón Sainz-

Maza, Simulación se Sistemas Eléctricos, Prentice Hall, Maza, Simulación se Sistemas Eléctricos, Prentice Hall, 2005.2005.

5.5. Tesis Profesional, Alejandro Osorio, Luis Javier Luna Tesis Profesional, Alejandro Osorio, Luis Javier Luna Carrasco, Aplicación del Programa MATLAB a Ingeniería Carrasco, Aplicación del Programa MATLAB a Ingeniería Eléctrica,1994.Eléctrica,1994.

6.6. Van Valkenburg, Análisis de Redes, LIMUSA 1996.Van Valkenburg, Análisis de Redes, LIMUSA 1996.7.7. Norman S. Nise, Control Systems Engineering, John Wiley & Norman S. Nise, Control Systems Engineering, John Wiley &

Sons 2006.Sons 2006.8.8. Richard C. Dorf, Introduction to Electric Circuits, John Wiley Richard C. Dorf, Introduction to Electric Circuits, John Wiley

& Sons 1998.& Sons 1998.

Matlab Basico Aplicado a Ingenieria Electrica(3)

Documents

Transcript of Matlab Basico Aplicado a Ingenieria Electrica(3)