UNAM, Fac. de Ing. Dinámica Estructural profr: F. Monroy semetre 2002-1 febrero 2002

Análisis Sísmico Dinámico Modal Espectral (ejemplo Meli Diseño Sísmico de Edificios)

Matriz de masas

W3 200:= W2 400:= W1 400:= g 981:=

m1W1g

:= m2W2g

:= m3W3g

:=

M

m1

0

0

0

m2

0

0

0

m3

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= M

0.4077

0

0

0

0.4077

0

0

0

0.2039

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Matriz de rigidez

k1 200:= k2 200:= k3 80:=

K

k1 k2+

k2−

0

k2−

k2 k3+

k3−

0

k3−

k3

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= K

400

200−

0

200−

280

80−

0

80−

80

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Matriz dinámica del sistema y sus Eigenvalores

A M 1− K⋅:= A

981

490.5−

0

490.5−

686.7

392.4−

0

196.2−

392.4

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

λ eigenvals A( ):= λ

1375.2615

562.8822

121.9563

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Frecuencias y periodos

ω2 sort λ( ):= ω ω2:= T2 π⋅

ω:= f

1T

:= T1 T1:= T2 T2:= T3 T3:=

ω2

121.9563

562.8822

1375.2615

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= ω

11.0434

23.7251

37.0845

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= T

0.569

0.2648

0.1694

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= f

1.7576

3.776

5.9022

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

T2

T10.4655=

T3

T10.2978=

T3

T20.6398=

Eigenvectores de la matriz dinámica

AA eigenvecs A( ):= AA

0.7561−

0.6078

0.2426−

0.4235−

0.361−

0.8309

0.3082

0.5398

0.7833

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 1/13

Las columnas de AA son las formas modales

A1 AA 3⟨ ⟩:= A2 AA 2⟨ ⟩

:= A3 AA 1⟨ ⟩:=

A1

0.3082

0.5398

0.7833

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= A2

0.4235−

0.361−

0.8309

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= A3

0.7561−

0.6078

0.2426−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

A1 1= A2 1= A3 1=

Dibujándo formas modales

z

0

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= i 1 3..:= v1 0:= vi 1+ A1i:= w1 0:= wi 1+ A2i:= y1 0:= yi 1+ A3i:=

3− 0 30

1

2

3

Primer modo

3− 0 30

1

2

3

Segundo modo

3− 0 30

1

2

3

Tercer modo

Verificación de la ortogonalidad con respecto a la matriz de masas y rigideces , masas y rigidecesgeneralizadas

MG AAT M⋅ AA⋅:= MG

0.3957

0

0

0

0.267

0

0

0

0.2827

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

KG AAT K⋅ AA⋅:= KG

544.2507

0−

0−

0−

150.2902

0

0−

0

34.4723

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 2/13

Comprobación k* = w2 m*

diag λ( ) MG⋅

544.2507

0−

0−

0−

150.2902

0

0−

0

34.4723

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Ahora trabajándo las formas modales en forma vectorial, normalizadas respecto al desplazamiento del primernivel

a11

A11A1:= a2

A2A21

:= a3A3A31

:=

a1

1

1.7514

2.5411

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= a2

1

0.8524

1.962−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= a3

1

0.8038−

0.3209

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Dibujándo formas modales

z

0

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= i 1 3..:= v1 0:= vi 1+ a1i:= w1 0:= wi 1+ a2i:= y1 0:= yi 1+ a3i:=

3− 0 30

1

2

3

Primer modo

3− 0 30

1

2

3

Segundo modo

3− 0 30

1

2

3

Tercer modo

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 3/13

Masas generalizadas

M

0.4077

0

0

0

0.4077

0

0

0

0.2039

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

mg1 a1T M⋅ a1⋅:= mg2 a2T M⋅ a2⋅:= mg3 a3T M⋅ a3⋅:=

mg1 2.9749= mg2 1.4889= mg3 0.6922=

1

mg10.5798=

1

mg20.8195=

1

mg31.202=

Desplazamientos normalizados (con respecto a las masas generalizadas)

Φ1a1

mg1:= Φ2

a2

mg2:= Φ3

a3

mg3:=

Φ1

0.5798

1.0154

1.4733

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= Φ2

0.8195

0.6986

1.608−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= Φ3

1.202

0.9661−

0.3857

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= Φ1 1.8809= Φ2 1.9353= Φ3 1.5896=

Comprobación

Φ augment augment Φ1 Φ2, ( ) Φ3, ( ):=

Φ

0.5798

1.0154

1.4733

0.8195

0.6986

1.608−

1.202

0.9661−

0.3857

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

ΦT M⋅ Φ⋅

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= ΦT K⋅ Φ⋅

121.9563

0−

0

0−

562.8822

0−

0

0−

1375.2615

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Obtención de los coeficientes de participación (utilizando modos normalizados)

J

1

1

1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

Cp1 Φ1T M⋅ J⋅:= Cp2 Φ2T M⋅ J⋅:= Cp3 Φ3T M⋅ J⋅:=

Cp1 0.9508= Cp2 0.2912= Cp3 0.1748=

Cp12 0.904= Cp22 0.0848= Cp32 0.0306=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 4/13

c1 Cp1 Φ1⋅:= c2 Cp2 Φ2⋅:= c3 Cp3 Φ3⋅:=

c1

0.5513

0.9654

1.4008

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= c2

0.2386

0.2034

0.4682−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= c3

0.2101

0.1689−

0.0674

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

c1 c2+ c3+

1

1

1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Espectro de diseño

Estructuras grupo B, zona I (suelo firme)

c .16:= Ta .2:= Tb .6:= r12

:=

ab1 T( ) 1 3TTa

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

c4

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta<if

c Ta T≤ Tb≤if

cTbT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Tb>if

:=

T 0 .01, 6..:=

0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

Espectro elástico, DF grupo B zona I

Periodo (seg)

a / g

Estructuras grupo B, zona II (suelo de transición)

c .32:= Ta .3:= Tb 1.5:= r23

:=

ab2 T( ) 1 3TTa

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

c4

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta<if

c Ta T≤ Tb≤if

cTbT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Tb>if

:=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 5/13

0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

Espectro Elástico DF grupo B zona II

Periodo (seg)

a / g

Estructuras grupo B, zona III (suelo blando)

c .4:= Ta .6:= Tb 3.9:= r 1:=

ab3 T( ) 1 3TTa

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

c4

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta<if

c Ta T≤ Tb≤if

cTbT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Tb>if

:=

0 2 4 60.1

0.2

0.3

0.4

Espectro elástico DF grupo B zona III

Periodo (seg)

a / g

0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

Zona IZona IIZona III

Espectro elástico DF grupo B

Periodo (seg)

a / g

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 6/13

Factor reductivo (dúctilidad, factor de comportamiento sísmico)

Estructuras grupo B, zona I (suelo firme) Ta .2:=

QP Q T, ( ) 1TTa

Q 1−( )+⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta≤if

Q T Ta>if

:=

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

Q = 1Q = 2Q = 3Q = 4

Factor reductivo Zona I (suelo firme)

Periodo (seg)

Q'

Estructuras grupo B, zona II (suelo de transición) Ta .3:=

QP Q T, ( ) 1TTa

Q 1−( )+⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta≤if

Q T Ta>if

:=

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

Q = 1Q = 2Q = 3Q = 4

Factor reductivo Zona II (Transición)

Periodo (seg)

Q'

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 7/13

Estructuras grupo B, zona III (suelo blando) Ta .6:=

QP Q T, ( ) 1TTa

Q 1−( )+⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta≤if

Q T Ta>if

:=

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

Q = 1Q = 2Q = 3Q = 4

Factor reductivo Zona III (Suelo blando)

Periodo (seg)

Q'

Obtención de desplazamientos en cada modo

Ordenadas espectrales (divididas entre g) en función de los periodos

Estructuras grupo A, zona I (suelo firme)

c .16 1.5⋅:= Ta .2:= Tb .6:= r12

:=

aaI T( ) 1 3TTa

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

c4

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta<if

c Ta T≤ Tb≤if

cTbT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Tb>if

:=

Q 4:=

QP Q T, ( ) 1TTa

Q 1−( )+⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

T Ta≤if

Q T Ta>if

:=

ae1 aaI T1( ):= ae2 aaI T2( ):= ae3 aaI T3( ):=

qp1 QP Q T1, ( ):= qp2 QP Q T2, ( ):= qp3 QP Q T3, ( ):=

ae1 0.24= qp1 4=

ae2 0.24= qp2 4=

ae3 0.2125= qp3 3.5414=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 8/13

Aceleraciones de diseño

AD1 ae1g

qp1⋅:= AD2 ae2

gqp2

⋅:= AD3 ae3g

qp3⋅:=

AD1 58.86=

AD2 58.86=

AD3 58.86=

Desplazamientos totales (en cada modo)

U1 AD1 Cp1⋅Φ1ω21

⋅:= U2 AD2 Cp2⋅Φ2ω22

⋅:= U3 AD3 Cp3⋅Φ3ω23

⋅:=

U1

0.2661

0.466

0.6761

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= U2

0.025

0.0213

0.049−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= U3

0.009

0.0072−

0.0029

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

z

0

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= i 1 3..:= v1 0:= vi 1+ U1i:= w1 0:= wi 1+ U2i:= y1 0:= yi 1+ U3i:=

1− 0 10

1

2

3

Primer modo

1− 0 10

1

2

3

Segundo modo

1− 0 10

1

2

3

Tercer modo

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Desplazamientos relativos para la obtención de cortantes en cada modo

i 2 3..:=

ur11 U11:= ur21 U21:= ur31 U31:=

ur1i U1i U1i 1−−:= ur2i U2i U2i 1−−:= ur3i U3i U3i 1−−:=

ur1

0.2661

0.1999

0.2101

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= ur2

0.025

0.0037−

0.0702−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= ur3

0.009

0.0162−

0.0101

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

i 1 3..:= k1 k1:= k2 k2:= k3 k3:=

V1i ki ur1i⋅:= V2i ki ur2i⋅:= V3i ki ur3i⋅:=

V1

53.2106

39.9805

16.8098

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= V2

4.991

0.7365−

5.6188−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= V3

1.7984

3.244−

0.8091

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Cortantes para el primer modo

V1

Cortantes para el segundo modo

V2

Cortantes para el tercer modo

V3

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 10/13

Cortante Dinámico máximo en cada entrepiso, regla RCSC (raiz cuadrada de la suma de los cuadrados)

Vmaxi V1i( )2 V2i( )2+ V3i( )2

+:=

N 3:=

j 1 N 1−..:=Vmax

53.4744

40.1186

17.7424

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Fdj Vmaxj Vmaxj 1+−:= FdN VmaxN:=

Cortantes máximos, criterio RSC (SRSS)

Vmax

Fd

13.3558

22.3762

17.7424

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Desplazamientos totales máximos en cada nivel (contribución de todos los modos)

Umaxi U1i( )2 U2i( )2+ U3i( )2

+:=

Umax

0.2674

0.4665

0.6779

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Desplazamientos relativos máximos en cada entrepiso (contribución de todos los modos)

Urmaxi ur1i( )2 ur2i( )2+ ur3i( )2

+:=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 11/13

Urmax

0.2674

0.2006

0.2218

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Los desplazamientos relativos máximos obtenidos anteriormente NO se deben de obtener como:

i 2 3..:=

ur1 Umax1:=

uri Umaxi Umaxi 1−−:=

ur

0.2674

0.1991

0.2114

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Análisis Sísmico Estático

i 1 3..:=

W1 W1:= W2 W2:= W3 W3:=

Wtotal W∑:= Wtotal 1000=

h

4.58

7.63

10.68

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

hi

4.587.63

10.68

= Wi

400400

200

= Wi hi⋅

18323052

2136

=

wh WT h⋅:= wh 7020=

cQ

0.06=

VbasecQ

Wtotal⋅:= Vbase 60= f1Vbase

wh:= f1 0.0085=

Fi f1 Wi⋅ hi⋅:=

F

15.6581

26.0855

18.2564

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 12/13

FF augment F Fd, ( ):=

Fuerzas máximas, estáticas (atrás) y dinámicas (frente)

FF

F

15.6581

26.0855

18.2564

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Fd

13.3558

22.3762

17.7424

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\ F Monroy Fac. Ing. UNAM 13/13