Serie 6: Campo magnético. Fuerzas sobre cargas enmovimiento.

Fuerzas magnéticas: Las interacciones magnéticas son fundamentalmente interaccionesentre partículas cargadas en movimiento. Estas interacciones se describen mediante

el campo magnético vectorial, denotado con B

. Una partícula con carga q que se mueva con

velocidad v

en un campo magnético B

experimenta una fuerza perpendicular tanto a v

como

a B

. La unidad del SI para el campo magnético es la tesla: (1 T = 1 N/A·m). 1 G = 10-4 T

Campo y flujo magnético: Un campo magnético se representa gráficamente con líneas decampo magnético. Para un punto cualquiera, una línea de campo magnético es tangente a la

dirección de B

en ese punto. Donde las líneas de campo están muy cercanas entre sí, lamagnitud del campo es grande y viceversa. El flujo magnético ΦB a través de un área sedefine en forma similar al flujo eléctrico. La unidad del SI para el flujo magnético es el weber(1Wb = 1 T · m2). El flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada es igual acero (ley de Gauss del magnetismo). Como resultado, las líneas de campo magnéticosiempre se cierran sobre sí mismas

Fuerza magnética sobre un conductor: Un segmento rectilíneo de conductor que transporta

una corriente I en un campo magnético uniforme B

experimenta una fuerza F

perpendicular

tanto a B

como al vector l

que apunta en la dirección de la corriente y tiene magnitud igual a

la longitud del segmento. Una relación similar da la fuerza dF

sobre un segmento infinitesimal

que transporte corriente dl

.

Sobre un conductor cerrado la fuerza magnética neta es igual a cero.

Par de torsión magnético: Una espira de corriente con área A y corriente I en un campo

magnético uniforme B

no experimenta fuerza magnética neta, pero sí un par de torsión

magnético de magnitud τ. El par de torsión vectorial τ

se expresa en términos del momento

magnético de la espira μ

I A= , igual que la energía potencial U de un momento magnético en

un campo magnético El momento magnético de una espira sólo depende de la corriente y delárea; es independiente de la forma de la espira.

El efecto Hall: El efecto Hall es una diferencia de potencial perpendicular a la dirección de lacorriente en un conductor, cuando el conductor se coloca en un campo magnético. Elpotencial de Hall está determinado por el requerimiento de que el campo eléctrico asociadodebe compensar exactamente la fuerza magnética sobre una carga en movimiento. Lasmediciones del efecto Hall se utilizan para determinar el signo de los portadores de carga ysu concentración n.

1. Si una partícula con carga positiva y velocidad ingresa en un campo de inducción

magnética uniforme B

, demostrar que: a) describe una circunferencia si v

es perpendicular a

B

. b) describe una hélice cilíndrica si v

forma una ángulo con B

.

2. Un electrón que se mueve a lo largo del eje x perpendicularmente a un campo magnéticoexperimenta una desviación magnética en la dirección del eje y. ¿Cuál es la dirección delcampo magnético en esta región?

La dirección del campo magnético es z negativa

3. Una partícula alfa (que es un núcleo del átomo de helio) se mueve hacia el norte con una

velocidad de 3.8 x 105 m/s en una región donde el campo magnético es 1.0 T y está apuntandohorizontalmente hacia el este. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobreesta partícula alfa?

Datos:

v 3.8 105

m

s

B 1T

q 2 1.6 1019

C q 3.2 1019

C

θ 90deg

F q v B( )=

El módulo de la fuerza es

F q v B sin θ( ) 1.216 1013

N La dirección es entrante.

4. El campo magnético sobre cierta región está dado por B =(4i -11j ) T. Un electrón se mueveen el campo con una velocidad v=(-2j +3j -7k ) m/s. Escriba en notación vectorial cuál sería lafuerza ejercida sobre el electrón por el campo magnético

Datos:

B

4 i 11 j

T=

v

2 i 3 j

7 k

m

s=

F

q v

B

=

F

1.6 1019

i

2

4

j

3

11

k

7

0

=

F

1.6 1019

77 i 28 j

10 k

N=

F

12.3 i 4.48 j

1.6 k

10

18N=

5. Demuestre que el trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una partícula cargadamoviéndose en un campo magnético es cero para cualquier desplazamiento de la partícula

Como la fuerza que actúa sobre la partícula es igual a:

F

q v

B

=

Se puede ver que la misma es perpendicular a la velocidad v. La dirección de la velocidadcoincide con la dirección del desplazamiento, lo que quiere decir que la dirección de la fuerzaes perpendicular a la dirección del desplazamiento. Como el trabajo se calcula por

T F

Δ x= F Δx cos θ( )=

Donde con ∆x simbolizamos el desplazamiento y con θ el ángulo entre el desplazamiento y lafuerza. Como ese ángulo será de 90º el trabajo que realiza la fuerza magnétic siempreresultará nulo

6. Un alambre lleva una corriente estacionaria de 2.4 A. Un tramo recto de alambre a lo largo del �eje x, con longitud de 0.75 m se encuentra dentro de un campo magnético uniforme B =(1.6k )

T. Si la corriente fluye en la dirección del eje +x, ¿cuál es la fuerza magnética sobre el tramodel alambre?

Datos:

I 2.4A

l 0.75m

B 1.6T

θ 90deg

F

I l B

=

El módulo es

F I l B sin θ( ) 2.88 N Dirección eje y positivo

7. Una espira rectangular cuyas dimensiones son 10 cm X 20 cm está suspendida por unacuerda y la parte horizontal inferior de la espira está inmersa en un campo magnético confinadoa una región circular (Fig. 29.26). Si una corriente de 3 A se mantiene en la espira en ladirección mostrada, ¿cuál es la dirección y Ia magnitud del campo magnético requerido para

producir una tensión de 4x10-2 N en la cuerda que lo soporta? (Desprecie la masa de la espira.)

Datos:

l 10cm

I 3A

F 4 102

N

θ 90deg

Las fuerzas en los lados verticales son salientes y se cancela entre sí. La fuerza en la parte inferior debe ser iguala la tensión de la cuerda

F I l B sin θ( )=

BF

I l sin θ( )0.133 T

Para que se origine una fuerza hacia abajo, el campo debe ser entrante.

El segmento de conductor de la figura 29.27 Ileva una corriente I=0.2 A el tramo corto delsegmento tiene 0.80 m de longitud, y el tramo largo tiene 1.6 m de longitud. Determine lamagnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre el conductor si existe un campomagnético uniforme dado por B=1.9T en esa región

Datos:

I 0.2A θ1 45deg

l1 0.8mθ2 30deg

l2 1.6m

B 1.9T

F1 I l1 B sin θ1 0.215 N saliente

F2 I l2 B sin θ2 0.304 N entrante

FT F1 F2 0.089 N

Una espira rectangular que consta de 100 vueltas, tiene dimensiones de 0.4 m x 0,3 m. Laespira esta articulada a lo largo del eje y y el plano de la bobina forma un ángulo de 30° con eleje x (Fig. 20.29). ¿Cuál es la magnitud del momento ejercido sobre la espira por un campomagnético de 0.8 T dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente en las espiras tiene un valorde 1.2 A en la dirección mostrada. ¿En qué dirección se espera que gire la espira?

Datos:

LOP 0.4m B 0.8T LRO 0.3m

LPQ 0.3m I 1.2A A LOP LPQ 0.12 m2

θ 30deg

Ne 100 φ 60degLQR 0.4m

Las fuerzas sobre cada lado de la espira son:

Lado OP:

Magnitud de la fuerza:

FOP I LOP B sin 90deg( ) 0.384 N

Sentido hacia adentro

En los lados PQ y RO las fuerzas son iguales y de sentidos contrarios y se anulan

Lado QR:

Magnitud de la fuerza:

FQR I LQR B sin 90deg( ) 0.384 N

FQR I LQR B 0.384 N

Sentido hacia afuera

El momento respecto del eje y será en módulo

M FQR LPQ cos 30deg( )

M N I LQR B LPQ cos 30deg( ) 0.1 N newton m

Aplicando directamente la fórmula:

τ Ne I B A sin φ( ) 9.977 N m

En cierto lugar el campo magnético de la Tierra está dirigido verticalmente hacia abajo y tiene

una magnitud de 0.5 X 10-4 T. un protón se mueve horizontalmente hacia el oeste en este

campo con una velocidad de 6.2 X 106 m/s. a) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerzamagnética ejercida por el campo sobre la carga? b) cuál es el radio del arco circular seguido porel protón?

Datos:

q 1.6 1019

CmP 1.67 10

27kg

B 0.5 104T

v 6.2 106

m

s

F q v B 4.96 1017

N

F mPv

2

r=

r mPv

2

F 1.294 10

3 m

Considere el espectrómetro de masas que se muestra esquemáticamente en la figura. Elcampo eléctrico entre las placas del selector de velocidades es de 950 V/m y el campornagnético tanto en el selector de velocidades como en la cámara de desviación tiene unamagnitud de 0.93 T. Calcule el radio de la trayectoria en el sistema para un ion simplemente

cargado con masa m = 2.18 X 10-26 kg

Datos:

E 950V

m

B 0.93T

mi 2.18 1026

kg

La velocidad con la que pasa el ion

vE

B1.022 10

3

m

s

El radio de la trayectoria

FB q v B0=m v

2

r=

De donde

rmi v

q B1.497 10

4 m

50. Una placa de plata de espesor t = 0.20 mm se utiliza para medir e1 efecto Hall de uncampo magnético uniforme que es perpendicular a la placa, como se muestra en la figura

29.30. El coeficiente Hall para la plata es RH = -0.84 X 10-10m3/C. a) cuál es la densidadefectiva de los portadores de carga n, en la plata. b) Si una corriente I = 20 A produce unvoltaje Hall VH = 15µV ¿cuál es la magnitud del campo magnético aplicado?

Datos:

t 0.20mm 2 104

m

RH 0.840 1010

m

3

coul

I 20amp

ΔVH 15μV 1.5 105

volt

q 1.6 1019

coul

a)

RH1

n q=

n1

q RH7.44 10

28

1

m3

b)

ΔVH

RH I B

t=

BΔVH t

RH I1.786 T

47 Un ciclotrón diseñado para acelerar protones está provisto de un campo magnético de 0.45T y tiene un radio de 1.2m. a) ¿Cuál es la frecuencia del ciclotr6n? b) ¿cuál es la máximarapidez adquirida por los protones?

Datos:

B 0.45T

r 1.2m

qP 1.6 1019

C

mP 1.67 1027

kg

FB q v B=m v

2

r=

vq B r

m=

ωv

r=

ωqP B

mP4.311 10

7

1

s

v ω r 5.174 107

m

s

59.- Una carga positiva q = 3.2 X 10-19 � � � � C se mueve con una velocidad v =(2i +3j -k ) m/s através de una región donde existen tanto campo magnético como eléctrico, a) Calcule la fuerza

� � � � � � �total sobre la carga en movimiento (en notación vectorial) si B =(2i +4j +k ) T y E =(4i -j -2k) V/m. b) ¿Qué ángulo forma la fuerza con el eje x?