Apuntes y Problemas de Matemticas Especiales 27

Temas 3 y 4: Conjuntos, CombinatoriaElementos de la teora de conjuntos, aplicaciones y funciones, composicin de funciones,

funciones inversas; Variaciones, permutaciones y combinaciones

ConjuntosUn conjunto es una coleccin de elementos. Por ejemplo, V a,e, i,o,u es el conjunto de las letras

vocales. Los nombres de los elementos se escriben con minsculas y entre llaves; los nombres de losconjuntos se escriben con maysculas.

Dos operaciones con conjuntos que nos interesan ahora son la unin ( ) y la interseccin ( ).Supongamos el conjunto de las diez primeras letras del alfabeto, D a,b,c,d,e, f,g,h, i, j , y el conjunto delas vocales V a, e, i,o, u .

La unin de V con D es un nuevo conjunto (que llamaremos en este ejemplo A) cuyos elementos sonlos que estn en V o en D, indistintamente. Hay que entender qu queremos decir con la expresino...indistintamente. Podemos escribir A V D a,b,c,d,e, f,g,h, i, j,o,u . El elemento b, por ejemplo,es un elemento del conjunto unin de V con D (conjunto que hemos llamado A) porque pertenece a V o aD, indistintamente (comprubese que en este caso pertenece a D, lo que se puede escribirsimblicamente: b D, siendo un smbolo de la teora de conjuntos que significa pertenece a); a estambin un elemento del conjunto A porque est en V o en D, indistintamente (en este caso est en losdos, es decir, a V, a D , pero no es una condicin imprescindible: basta que est en uno de ellos,indistintamente). En la prctica, la operacin unin se lleva a cabo tomando todos los elementos de ambosconjuntos, teniendo en cuenta que si algn elemento est en ambos slo se escribe una vez en el conjuntounin.

La interseccin de V con D es un nuevo conjunto (que llamaremos en este ejemplo I) cuyos elementosson los que estn en V y en D, simultneamente. Podemos escribir I V D a,e, i El elemento a,por ejemplo, se dice que es un elemento del conjunto interseccin de V con D (conjunto al cual llamamos I)porque pertenece a V y a D, simultneamente (comprubese). En la prctica, la operacin interseccin sehace tomando slo los elementos que se repiten en los conjuntos que se estn intersectando.

Ejemplos. (Tratar de resolverlos antes de mirar la solucin)

1, 2,3 a, b, c 1, 2, 3,a, b,c

1, 2,3 3, 5 7 1, 2,3, 5,7 2 , , 3.9, r a, b,c , r, a,b, c, 3. 9, 2

1, 2,3 2, 4, 6 2

a, b,c, d d, e, f d

1, 2,3 a, b, c En el ltimo caso no hay elementos que estn simultneamente en ambos conjuntos; se dice entonces

que la interseccin es el conjunto vaco, .

1, 2,3,c 2,4, 6 a, b, c 2, c

1,2, 3,c 2,4, 6 1, 2,3, c a,b,c 2,c En estos dos ltimos casos debe empezar operndose lo que est dentro de parntesis.

Aplicaciones y funciones Establecer una aplicacin entre dos conjuntos es simplemente relacionar los elementos de uno de

ellos con los del otro. Cuando los elementos del conjunto son nmeros, la aplicacin se llamafuncin.

La relacin entre los elementos de un conjunto y los de otro puede expresarse a menudosimblicamente. Por ejemplo, imaginemos los siguientes conjuntos:

28 TREVERIS multimedia

N 1,2, 3,4, 5, 6... (es decir, todos los nmeros naturales)C 1,4, 9,16,25, 36... Puede observarse que los elementos del conjunto C guardan una relacin con los del N : los segundos

son los cuadrados de los primeros (1 es el cuadrado de 1; 4 es el cuadrado de 2, etc) en el orden en queestn escritos. Esto es una funcin, que puede escribirse simblicamente, en este ejemplo, as:f x x2 , donde x representa a los elementos del conjunto N (que se llama original) y f x representaa los del conjunto C (que se llama final o imagen).

Comprobemos que la expresin simblica f x x2 define perfectamente la relacin, aplicacin ofuncin de nuestro ejemplo. Sustituyendo x por un nmero (o sea, un elemento de N, en nuestro ejemplo)podemos conocer cunto vale el elemento f x del conjunto C que le corresponde. Por ejemplo, a x 1 lecorresponde: f x f 1 12 1.

Dada la funcin f x x2 ; cunto valen f 2 , f 2 y f 10 ?f 2 22 4 f 2 2 2 4 f 10 102 100

Dada la funcin g x x3 2 ; cunto valen g 3 , g 3 y g 10 ? (Sol.: 1, 3 y 43 , respectivamente) Operaciones con funciones. Dos funciones se pueden sumar ( ), restar ( ), multiplicar ( ), dividir

(:) y componer ( ), entre otras operaciones. Tambin a menudo nos piden el clculo de la funcininversa de una funcin dada. Veamos estas operaciones (excepto la divisin) con algunosejemplos.

Ejemplos. Sean f x x2 x y g x x23 x 2. Efectuar: f x g x x2 x x23 x 2 43 x2 2 f x g x x2 x x23 x 2 23 x2 2x 2 f x g x x2 x x23 x 2 13 x4 23 x3 3x2 2x f g x f g x g x 2 g x x23 x 2 2 x

2

3 x 2 19 x

4

23 x

3

23 x

2 3x 2

g f x g f x f x 23 f x 2 x2 x 2

3 x2

x 2 13 x4

23 x

3

43 x

2 x 2

Los dos ltimos ejercicios trataban de componer funciones ( ). Su significado es el siguiente. Porejemplo, compongamos f g x , siendo f x y g x las funciones sealadas anteriormente. En primerlugar, escribir f g x es lo mismo que poner f g x . Pero cmo entender lo que quiere decir estaltima expresin? Hay que admitir que si hemos escrito f x x2 x esto implica que f 2 22 2, o quef a a2 a, o que (llegando a un grado mayor de abstraccin): f 2 . Por lo tanto, y siguiendoel mismo mtodo de construccin, f g x g x 2 g x , y ahora basta sustituir el valor de g x .

Por otro lado, con estos dos ejercicios hemos comprobado que el resultado de f g x es distinto queel de g f x ; se dice por ello que que la composicin de funciones no tiene la propiedad conmutativa, esdecir, el orden en que se escriban las funciones influye normalmente en el resultado.

Sean f x x2 x , g x x23 x 2 y h x x 1 ; efectuar f g h x . Cuando hay quecomponer tres funciones se empieza con las dos ltimas escritas: g h x g h x x! 1 23 x 2 x2 ! 5x 5

3 y esta funcin resultante, que podemos llamar r x se compone con f x : f r x f r x

r x 2 r x x

2!

5x 53

2

x2 ! 5x 53

x4 ! 10x3 ! 12x2 65x! 409 .

Dada la funcin f x 2x 2, calcular su funcin inversa, f 1 x . Para resolver este problema seiguala la expresin a v y se despeja x : 2x 2 v; 2x v 2; x v2 1 El segundo miembrode esta expresin, pero escribiendo x donde aparezca v, es la funcin inversa de f x , es decir:f 1 x x2 1 Las funciones inversas tienen una propiedad interesante, que es:

f f 1 x f 1 f x x (comprubese para este caso concreto).

" CombinatoriaLos elementos de un conjunto se pueden agrupar entre s formando distintos tipos de subconjuntos o

formando distintos tipos de ordenaciones. Por ejemplo, sea el conjunto de letras que forma la palabraROMA, es decir: L r,o, m, a . Estas cuatro letras se pueden ordenar de distintas formas para formarnuevas palabras: AMOR, RAMO, OMAR, RMAO, etc. Pues bien, el objeto de la combinatoria es contarsubconjuntos u ordenaciones de este tipo.

Hay, bsicamente, dos clases de problemas de combinatoria: los de variaciones y los de

Apuntes y Problemas de Matemticas Especiales 29

combinaciones. Para decidir de qu tipo es el problema hay que saber si los resultados son simplessubconjuntos de un conjunto que nos dan o se trata de ordenaciones diferentes de los elementos de eseconjunto.

# Variaciones (y permutaciones)1. Supongamos un conjunto E fomado por m elementos Supongamos que queremos tomar n de

esos elementos (siendo n $ m) De cuntas formas distintas podemos tomarlos? Si el orden enque los vayamos tomando es un factor importante, entonces se trata de un problema devariaciones, que se resuelve por la siguiente frmula:

V % m,n & ' m!(m) n * ! siendo m! ' m + % m , 1 & + % m , 2 & + % m , 3 & + ... + 3 + 2 + 1; por ejemplo, en el caso

concreto de 6! (que se lee factorial de 6): 6! ' 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 ' 7202. Si el orden influye y podemos tomar cualquiera de los elementos ms de una vez, entonces se

trata de un problema de variaciones con repeticin, que se resuelve por la siguiente frmula:VR % m,n & ' mn

3. Si el orden influye y cada vez debemos tomar todos los elementos, sin repetir (dicho de otromodo: m ' n), es un problema de permutaciones, aunque puede equipararse al problema devariaciones V % m, m & . Se resuelve por:

P % m & ' m! (comprobar que V % m,m & ' m!, lo que demuestra que las permutacionessin repeticin son un caso particular de las variaciones. Nota: para hacer esta comprobacin noshace falta saber que 0! ' 1)

4. Si el orden influye y debemos tomar todos los elementos de un conjunto algunos de los cuales serepite un nmero determinado de veces, se trata de un problema de permutaciones conrepeticin. La frmula general es:

PR % n & p,q,r,s,t... ' n!p!q!r!s!t!... donde p,q, r, s, t... es el nmero de veces que se puede repetir cadaelemento.

# Combinaciones

1. Supongamos un conjunto E fomado por m elementos Supongamos que queremos tomar n deesos elementos (siendo n $ m) De cuntas formas distintas podemos tomarlos? Si el orden enque los vayamos tomando no es un factor importante, entonces se trata de un problema decombinaciones, que se resuelve por la siguiente frmula:

C % m,n & ' mn 'm!

n!(

m) n * ! , donde la expresinmn se llama nmero combinatorio m sobre n y se

resuelve precisamente por la frmula sealada: mn 'm!

n!(

m) n * ! .

2 Si el orden no influye y podemos tomar cualquiera de los elementos ms de una vez, entonces setrata de un problema de combinaciones con repeticin, que se resuelve por la siguiente frmula:

CR % m,n & ' m - n , 1n

Entenderemos mejor todo esto con ejemplos.Ejemplos. Sea el conjunto E de los nmeros 1, 2, 3, 4, es decir: E ' . 1,2,3,4 /

0 Cuntas cifras de tres dgitos sin que se repita ninguno pueden formarse con esos cuatro dgitos?Ejemplos vlidos: 123, 321, 124...; ejemplos no vlidos: 113, 135, 1234. El orden en que se coloquen los

dgitos es importante (pues 123 es una cifra distinta de 321); adems, dice el enunciado que no se puedenrepetir. Es un problema, por tanto, de variaciones sin repeticin:

V % 4,3 & ' 4!3! ' 24. Pueden obtenerse, pues, 24 cifras de tres dgitos con 1, 2, 3 y 4 sin que se repitaninguno.

0 Cuntas cifras de tres dgitos pueden formarse con esos cuatro dgitos pudiendo repetirse cualquierade ellos cualquier nmero de veces (con la nica limitacin de que hay que tomar slo tres dgitos cadavez)?

Ejemplos vlidos: 123, 112, 111, 222, 144...; ejemplos no vlidos: 135, 1112.... El orden en que secoloquen los dgitos es importante (pues 131 es una cifra distinta de 311); adems, dice el enunciado que se

30 TREVERIS multimedia

pueden repetir. Es un problema, por tanto, de variaciones con repeticin:VR 1 4,3 2 3 43 3 64

4 Cuntas cifras de cuatro dgitos pueden formarse con esos cuatro dgitos sin repetir ninguno deellos?

Ejemplos vlidos: 1234, 4321...; ejemplos no vlidos: 123, 1112, 12345. Ntese que hay que construircifras con todos los elementos que nos dan (ni uno ms ni uno menos) y que influye el orden; estos dosrequerimientos indican que se trata de un problema de permutaciones, en este caso sin repeticin:

P 1 4 2 3 4! 3 24 (O bien: V 1 4,4 2 3 4!0! 3 24)4 Cuntas cifras de 10 dgitos pueden formarse con esos cuatro dgitos (1,2,3,4) de manera que el 1

se repita exactamente tres veces, el 2 cuatro veces, el 3 dos veces y el 4 slo una vez? Represe en quesiempre hay que utilizar todos los dgitos que nos dan (es un problema, entonces, de permutaciones,puesto que adems influye el orden en que se escriban los dgitos) y ms importante an: en que cada unode ellos hay que repetirlo siempre el mismo nmero de veces en cada ordenacin, nmero de veces queviene indicado por el enunciado. As, son ejemplos vlidos:

1112222334, 1122122343,... y no vlidos: 1234, 1111111234, 1234123412341234,...Estas condiciones son precisamente las necesarias para constituir un problema de permutaciones con

repeticin teniendo en cuenta que el n que aparece en la frmula no es en este caso el nmero de dgitosde los que disponemos, sino el nmero de dgitos que forman la cifra (en este caso, 10) :

PR 1 10 2 3,4,2,1 3 10!3!4!2!1! 3 126004 Supongamos ahora que los nmeros 1, 2,3,4 del conjunto E que estamos considerando a lo largo de

todos estos ejemplos han sido asignados a cuatro trabajadores que deben hacer guardias en grupos detres en tres Cuntos posibles tros de guardia se pueden formar?

Ejemplos vlidos: 1,2, 3, 1, 2,4,...; ejemplos no vlidos: si es vlido el tro 1,2,3, no lo es el 3,2,1, porqueen realidad es el mismo; tampoco son vlidos: 1,1,2, 1,2,3,4,... Como el orden en que escriba losnmeros no importa (tro 1,2, 3 3 trio 3,2, 1), se trata de un problema de combinaciones, que adems sonsin repeticin, obviamente:

C 1 4, 3 2 3 43 3 44 Supongamos, finalmente, que los nmeros 1,2,3,4 corresponden a instrumentos musicales: 1 3 violn;

2 3 viola; 3 3 violonchelo; 4 3 contrabajo. Cuntos tipos de cuartetos de cuerda se pueden formar con estosinstrumentos pudiendo repetirse los mismos un nmero cualquiera de veces (con la nica limitacin de queconstituyan siempre un cuarteto)?

Ejemplos vlidos: 1,1, 1, 1, 1, 2, 3,4, 1,1,2,2,...; ejemplos no vlidos: si ya hemos contado comovlido el cuarteto 1,2, 3, 4, no podemos contar como uno diferente el 4,3,2,1, puesto que ambos son elmismo tipo de cuarteto (es decir, un cuarteto formado por violn, viola, violonchelo y contrabajo es el mismoque el formado por contrabajo, violonchelo, viola y violn). Otro ejemplo no vlido: 1,1,2,3,4 (eso es unquinteto). Como no influye el orden en que escribamos los elementos, se trata de un problema decombinaciones, y como se pueden repetir, de combinaciones con repeticin:

CR 1 4,4 2 3 4 5 4 6 14 374 3 35

7 Algunas recomendaciones8 No debe tratarse de identificar tipos de elementos de un conjunto con tipos de problemas; por

ejemplo, si los elementos de un conjunto son personas, no debe pensarse que el problema se hace porcombinaciones y no por variaciones; puede hacerse por uno u otro medio. Lo importante no es el tipo deobjetos, sino si es importante el orden en que se toman o no.

8 No todos los problemas se pueden resolver de forma directa aplicando una de las seis frmulasvistas. De hecho, a veces es necesario utilizar productos de esas frmulas. Pero es ms fcil tratar dedespiezar, analizar el problema en subproblemas ms simples e ir haciendo cmputos parciales, a vecesincluso sin utilizar la combinatoria. Por ejemplo, si nos preguntan cuntos nmeros impares hay entre 0 y1348 es til considerar cuatro categoras: los de un dgito, los de dos, los de tres y los de cuatro:

-De un dgito hay 5 cifras (no hace falta aplicar ninguna frmula de combinatoria; son: 1, 3, 5, 7, 9).-Para saber cuntas hay de dos dgitos observemos que a su vez hay cinco subcategoras que

considerar:_ 1 _ 3 _ 5 _ 7 _ 9

Apuntes y Problemas de Matemticas Especiales 31

(es decir, lo que acaban en 1, en 3, en 5, en 7 y en 9) y que cada subcategora consta de 9 nmeros (laprimera est formada por el 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91); siendo fcil comprobar que cada una de lasotras cuatro est formada por igual nmero de cifras, por lo que hay en total 45 cifras de dos dgitos.

-Para saber cuntas cifras impares hay de tres dgitos reparemos en que sern de uno de los siguientessubtipos:

_ _ 1 _ _ 3 _ _ 5 _ _ 7 _ _ 9Consideremos el primero de ellos: el primer hueco lo pueden ocupar los dgitos del 1 al 9 (no el 0), y el

segundo, cualquier dgito. Hay, entonces, 90 cifras del primer subtipo (ya que por cada uno de los nuevedgitos que pueden ir en el primer hueco, pueden ir 10 en el segundo), y habr otras tantas de los otroscuatro; en total, 450. Otro mtodo hubiera sido considerar todos los casos, incluidos aquellos que tengan enel primer hueco un 0. Ello se hara por VR 9 10,2 : ; 102 ; 100, restando luego los 10 casos que empiezanpor 0 (011, 021, 031, 041, etc.). Quedan 90, entonces, que multiplicado por 5 subtipos da 450.

-Finalmente, para saber cuntos impares hay entre 1000 y 1348 debemos considerar que las cifras encuestin slo podrn empezar por

10 _ _ 11 _ _ 12 _ _ y 13 _ _olvidmonos en principio de los del tipo 13 _ _. Hay, pues, 3 formas de empezar las cifras:10 _ _, 11 _ _ y 12 _ _. Cada una de esas tres permite cualquier dgito en la tercera posicin (10 dgitos

distintos) y cinco en la cuarta (1,3,5,7,9), lo que hace un total de 3 < 10 < 5 ; 150 cifras (esto se llama reglade la multiplicacin, que vemos ms abajo); finalmente, hay que contar 24 cifras impares que hay entre1301 y 1347.

-En total, pues, hay 5 = 45 = 450 = 150 = 24 ; 674 cifras impares entre 0 y 1038.

> Regla de la multiplicacin. La veremos con un ejemplo. Tengo 10 libros, tres de ellos demetamticas, dos de lengua y cinco de economa, y los quiero colocar en una estantera de manera quequeden juntos los de la misma materia. De cuntas formas puedo ponerlos si me importa el orden en quequeden? Llamaremos a cada libro con la inicial el tema y un subndice.

Ejemplos vlidos: M1M2M3L1L2E1E2E3E4E5, M1M3M2L1L2E5E2E3E4E1, E5E2E3E4E1M1M3M2L1L2,etc.; ejemplos no vlidos: L1M3M2E1L2E5E2E3E4M1 (pues tienen que ir juntos los del mismo tipo),M3M2E1L2E5E2E3, (pues en esta faltan libros) etc...

Una forma de solucionar este problema es considerar slo tres bloques: M, L y E, y ver de cuntasformas pueden ir. Por ejemplo: M,L,E; M,E,L, etc. Sern P 9 3 : ; 3! ; 6. Consideremos cada una de estasformas, por ejemplo la M,L,E, es decir, primero irn los de matemticas, luego los de lengua y luego los deeconoma. Los de matemticas, entre s, se pueden ordenar de P 9 3 : ; 3! ; 6 formas diferentes; los delengua, de P 9 2 : ; 2! ; 2 formas diferentes entre s (estas son: L1L2 y L2L1), y los de economa deP 9 5 : ; 5! ; 120 formas diferentes. Reparemos ahora en que por cada forma de colocar los dematemticas hay 2 formas de poner los de lengua y por cada forma de poner los de matemticas y los delengua hay 120 formas de poner los de economa; el nmero total de formas es de 6 < 2 < 120 ; 1440maneras distintas. sta ha sido una aplicacin de la llamada regla de la multiplicacin.

Finalmente, para terminar el problema, recordemos que hemos obtenido 1440 formas de poner loslibros manteniendo el orden de bloque M,L,E; pero como haba 6 ordenaciones de los bloques, en totaltenemos 6 < 1440 ; 8640 formas de poner los libros.

Si no se entiende este problema es til ponerse un ejemplo ms simple (dos tipos de libros y porejemplo 2 libros de un tipo y tres de otro, y trate de contarse el nmero de ordenaciones por la regla de lamultiplicacin y por la cuenta de la vieja).