Material Actividad 1 1

5/12/2018 Material Actividad 1 1 - slidepdf.com

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4 .8 A ntid eriv ad as

Antiderivadas

Hemos analizado como encontrar la derivada de una funcion, Sin embargo, muchos

blemas exigen recuperar una funcion a partir de su derivada conocida (es decir, a pa

su razon de cambio conocida). Por ejemplo, podria ocurrir que conocieramos la fu

velocidad de un objeto que cae desde una altura inicial y necesitararnos saber su alt

cualquier instante sobre cierto periodo. De manera mas general, queremos encontra

funcion F a partir de su denvadaf Si tal funcion F exisre, se llama una antiderivada

D ete rm in ac io n d e a n tid er iv ad a s

D E F I N I C I O N Antiderivada

Una funcion F es una antiderivadas de fen un intervalo J si F' (x) = j(x) par

toda x en l.

El proceso de recuperar una funcion F(x) a partir de su denvadaJCx) se llama antide

cion 0 antidiferenciacion. Usamos letras rnayusculas como F para representar una a

rivada de una funci6nf G para representar una antiderivada de una funci6n g, y as! s

vamente.

E JEM PlO 1 D eterm in acio n d e antider ivadas

Encontrar una antiderivada para cada una de las funciones siguientes.

(a) f(x) =2x

(0) g(x) = cosx

(e) hex) = 2x + cosr

Solution

(a) F(x) = xl

(b) G(x) = sen x

(e) H(x) =xl + sen x

Cada una de estas respuestas puede verificarse mediante derivacion, La deriva

F(x) = x 2 es 2~·.La derivada de G(x) = sen).' es cos x, y la derivada de H(x) =x 2 +es 2x + cosx.

La funcion F(x) =x2 no es la unica funcion cuya derivada es 2x. La funci6n x

tiene la misma derivada. De esta manera, x2

+C para cualquier con stante C. (,Hay

El corolario 2 del teorema del alor media que se analizo en la seccion 4.2 da

puesta. Cualesquiera dos antiderivadas de una funcion difieren en una constante. En

secuencia, las funciones x 2 + C, donde C es una constanre arbitraria, forman {ad

antiderivadas de f(x) =2x. En general, tenemos el siguiente resultado ..



Si F es una antiderivada defen un intervalo I, la antiderivada mas general def en

Ies

308 C ap itu lo 4: A plic aciones de la s derivadas

donde C es una constante arbitrana.

F(x) + C

En consecuencia, la antiderivada mas general de f en I es una familia de funciones

F(x) + C cuyas graficas son traslaciones verticales una de otras. Podemos elegir una an-

tiderivada en particular de esta familia, asignando un valor especifico a C . A conrinuacion

se da un ejemplo de como puede hacerse esa elecci6n.

EJEM PlO 2

Encuentre una antiderivada de f(x) = senx que satisfaga FeO) = 3.

D eterm in acion d e un a antiderivada p articu lar

Solucion Como la derivada de - cos .r es sen x, la antiderivada general

F(x) = -cosx + C

da todas las antiderivadas deAx). La condicion F( 0) = 3 determina un valor especifico

para C. Sustituyendo x = 0 en F(x) = -cos x + C no da

F (O ) = +cos 0 + C = -I + C.

Como F( 0) = 3, resolviendo para C obtenernos C = 4. De manera que

F(x) =-cosx + 4

es Ja antiderivada que satisface F( 0) = 3. •Trabajando hacia arras a partir de la lista de reglas de derivaci6n, podemos obtener

f6rmulas y reglas para las antiderivadas. En cada cas0, en la expresion general existe una

constante arbitraria C que representa a todas las antiderivadas de una funcion dada. La ta-

bla 4.2 da formulas de antiderivadas para algunas funciones importaotes.

T AB LA 4.2 form ulas para las an tid erivad as

Funcion Antiderivada general

l. ): ".yn+i

+ C . ~ - 1 . n racional1

11 T"

n +

2 . sen kxcos kx

+ C, k a constante, k e ft 0--

k

3 . cos kxseno

C, k a constante, k ef t 0k

T

4 .)

tan x + Cee- x

5 . esc/ x +cot,r + C

6. sec x tan x secx + C

7 . esc x cot .x -escx + C



4.8 Ant ide r ivadas

Formula 3

con k ; 1'2

Las reglas de la tabla 4.2 son faciles de verificar derivando la formula de la antideri

general para obtener la funcion a Sil izquierda. Par ejemplo, la derivada de tan x +

sec2 x, para cualquier valor de la constante C, y esto establece la formula para la anti

vada mas general de sec- x.

EJEM PLO 3 D e te rm in ac io n d e a ntid er iv ad as usando l a t ab la 4. 2

Encontrar Jas aruiderivadas generales de cada una de las funciones siguientes.

(a) I(x) = 5

1(b) g(x) = y;.

(c) hex) = sen 2x

(d) i (x) =cos ~

Soluci6n

x6

(a) F(x) = '6 + C

(b) g(x) =X-I 2, as!

Formula I

conn = 5

ri: 2 . . rG(x) = '1/2 + C = 2 V x + C

(I:) H(x) = -c~ 2x + C

sen (:'(/2) x(d) lex) = + C = 2 sen - + C

< 1/2 2

Formula Icon It; -\ 2

Formula 2

con k ; 2

Otras reg las de deri adas tambien conducen a las correspondientes regJas de an

rivadas, Pademos sumar 0 restar antiderivadas, y multiplicar por constantes.

Las f6nnulas de la tabla 4.3 son faciles de probar derivando las antiderivadas y v

cando que el resultado coincide Cal l la func ion original. La formula 2 es el caso esp

k =-1 en la formula I.

Funci6n An tlderlvada general

TABLA 4 .3 R eg Las de lin ealidad p ara an tid erivadas

1. Regla del multiplo

constante: kl(x) kF(x) + C , k es constant

2. Regla negativa: -/(x) -F(x) + C,

3 . Regia de fa suma

o fa resta: I(x) ± g(x) F(x) ± G(x) + C

EJEM PlO 4 U sa de las reg las de linealidad para antideriv ad as

Encontrar la anriderivada general de

I(x) = ~ + sen Zr ,



310 C ap itu lo 4 : A plica cio ne s d e las d eriv ad as

La ecuacion diferencial:dy

dx• 2JX La pendieme de la curva es 3x1 .

So ludon Tenemos que f(x) =3g(x) + he x ) para las funciones gy h del ejemplo 3. Co-

mo G(x) = 2~ es una antiderivada de g(x) del ejernplo 3b, de acuerdo con la regIa de

multiple constante para antiderivadas, resulta que 3G(x) = 3 ..2Vx = 6Vx es una anti-

derivada de 3g(x) = 3/\h. De la misma manera, a partir del ejemplo 3c sabemos que

H(x) = (-1/2) cos 2x e s una antiderivada de he x ) = sen 2x. De acuerdo con la regia de

la suma para antiderivadas, resulta que

F(x) = 3G(x) + H(x) + C

= 6V x - ~ cos 2x + C

es la f6rmula genera] de la antider ivada deftx), donde C es una co ns tan te a rb itra ria , _

Las antiderivadas juegan varios papeles importantes, y los metodos y tecnicas para

encontrarlas son una de las partes clave del calculo. (Este es el tema del capitulo 8).

P r ob Lema s d e v a lo r i ni ci al y e cu ac io ne s d if er en cia le s

Encontrar una auriderivada de una funclonf(x) constituye el mismo problema que encon-

trar una funcion yex) que satisfaga la ecuacion

dv

d".·=!(x).:c

A esto se Ie llama eeuacion diferencial, ya que es una ecuacion que involucra una funcion

desconocida y que esta siendo derivada. Para resolverla, necesitamos una y(x) que satisfa-

ga la ecuacion. Esta fun c ion se encuentra tomando la antiderivada de f (x). Fijamos la

constante arbitraria que surge en el proceso de antiderivacion dando una condicion inicial

Esta condicion significa que la funcion vtx) tiene el valor Yo cuanda x = Xo. La combina-

cion de una ecuacion diferencial y una condicion inicial se llama problema de valor ini-

cial. Tales problemas juegan papeles irnportantes en tadas las ramas de la ciencia. He aqui

un ejemplo de un problema de valor iniciaL

EJEM PL O 5 D eterm inacion de una cu rva a pa rtir de-su . incion pendiente y un punto

Encontrar la curva cuya pendiente en el punta C t, y) es 3x2 si la curva debe pasar par el

punto (I, - 1) .

So ludo l l En lenguaje matematico, estamos pidiendo resolver el problema de valor ini-

cial que consiste de 1 0 siguiente,

La ecuacion inicial: y(l) = -1

1. Resolver fa ecuacion diferencial: La funci6n yes una an r ide r ivada de I(x) = 3x2, de

rnanera que

Este resultado nos dice que y es igual a ,3+ C para algun valor de C . Encontramos

ese valor a partir de la condicion inicial y (1) = -1.

''''-



4.8 Antiderivadas 31

2. Evaluar C:

C=2

c= j

c = 0

C= -I

-] = (1)3 + C

C = -2.

Condicion inicial .1"(1) = - 1

La cur a que querernos es v = .\3 - 2 (figura 4.54).

La antiderivada general F(x} + C (que es x 3 + C en el ejemplo 5) de la funcionj'(x)

da la solucion general y = F(x) + C de la ecuacion diferencial dyf dx = I(x). La sol

cion general da todas las soluciones de la ecuaci6n (hay una infinidad, una por cada valo

de C). Resolvemos la ecuacion diferencial encontrando su solucion general. Despues r

solvemos el problema de valor inicial encontrando la solution particular que satisface

condicion inicial y(xo ) =1'0·

Ant iderivadas y movimiento

FIGURA 4.54 Las cur /as y = ,,3 + C

llenan el plano coordenado sin traslaparse.

En el ejemplo 5, idenrificamos la curva

_I I = x3 - 2 como una que pasa par el

punta dado ( I,- l ) .

Hemos visto que la derivada de la posicion de un objeto da su velocidad, y la derivada

la velocidad da su aceleracion. Si conocemos la aceleracion de un objeto, encontrando un

antiderivada podemos recuperar la velocidad y, a partir de la antiderivada de [a velocidad

podemos recuperar su funcion posicion. Este procedirniento se u a como una aplicacion

del corolario 2 que se menciono en la seeei6n 4.2. Ahara que tenemos una terrninologia

un marco de trabajo conceprual en terrninos de las antiderivadas, nos ocuparemos nueva

mente del problema desde el punto de vista de ecuaciones diferenciales.

EJEMPLO 6 L anzam iento d e un paquete desde un qlobo en ascenso

Un globo que esta subiendo a raz6n de 12 pies/seg est'! a una altura de 80 pies sobre

suelo cuando se lanza un paquete desde el. i,Cminto tiernpo tarda el paquete en llega

at suelo?

Solucien ea v(t) la velocidad del paquete en el tiempo t, y sea set) su altura sobre

suelo. La aceleracion de la gravedad cerca de [a superficie de la Tierra es 32 pies/seg",

Suponiendo que no actuan otras fuerzas en el paquete lanzado, tenemos

dv

dt

Es negative. porque la gravedad

actua en la direccion de

decrecimiento de s.

-32

Esto conduce al problema de valor inicial,

Ecuacion diferencial:dv

dt

v(Ol = 12,

-32

Condicion inicial:

que es nuestro modelo maternatico para el movimiento del paquete. Resolvemos este pro

blema de valor inicial para obtener la velocidad del paquete,

1. Resolver la ecuacion diferencial: La formula general para la antiderivada de - 32 es

v =-32t + C.

Habie.ndo encontrado la solucion general de la ecuacion diferencial , usamos la condi

cion inicial para determinar la solucion particular que resuelva nuestro problema.

2. E valuar C:

12= -32(0) + C

C = l2.

Condici6n inicial v(O) = 12



312 C ap itu to 4: A plic ac io ne s d e la s d eriv ad as

La solucion del problema de valor inicial es

v=-32t+12.

Como la velocidad es la derivada de la altura, y dado que la altura del paquete es 80

pies en el tiempo t = 0 wando se lanza, ahora tenernos un segundo problema devalores

iniciales.

Ecuacion diferencial:ds

dt

Hacicndo

t' - tis dt en la

ultima ecuacion- 32t + 12

Condicion inicial: 5(0) =80

Resolvemos el problema de valor inicial para encontrar la altura como funcion de t.

1. Resolver la ecuacion diferencial: Encontrar la antiderivada general de - 32t + 12

s = -l6t2 + 12t + C.

2. Evaluar C:

80 = -16(0)2 + 12(0) + C

C = 80.

Condici on inic ial s(OI = 80

La altura que tiene el paquete sobre el suelo en el tiempo t es

5 = -l6t2 + 12 t + 80.

Use la solucion: Para encontrar cuanto tiernpo tarda el paquete en rocar el suelo, ha-

cemos 5 igual a 0 yresolvemos para t:

- 16t2 + 12t + 80 = 0

-4,1 + 3t + 20 = 0

t = -3 ± V 3 2 9-8

Formula cuadratica

t;:,,-1.89, t"" 2.64.

El paquete pega en el suelo alrededor de 2.64 segundos despues de ser lanzado desde el

globo. (La raiz negativa no tiene significado fisico). •

I nt eg ra te s i nd e fi ni da s

Se usa un simbolo especial para denotar al conjunto de todas las anriderivadas de una fun-

cion!

D E f 1 N I C I O N I nt eg ra l in d ef in id a, i nt eg ra nd o

EI conjunto de todas las antiderivadas de f es la integral indefinida de f con res-pecto a x, denotada mediante

Jf(x) dx.

El simbolo Ies un signo de integral. La funcionj es el integrando de la inte-

gral, y xes la variable de Integracion,

--o t , . ,. ~ __ ~ __ ~-~~ •• - - ~ _. __ = - - = = - . . : : . . _ ~ _ ' _ _ ' c J l "",, 1:1



4.8 Antiderivadas 3

Usando esta notacion, reescribirnos las soluciones del ejemplo 1 como sigue:

J 2x dx = x2 + C,

f cos x dx = sen x + C,

\ j (2x + cos x) dx =\1 + senx + C.

Esta notaci6n se relaciona can la aplicacion principal de las antiderivadas, que sera an

zada en el capitulo 5. Las antiderivadas juegan un papel clave en el calculo de limites

sumas infinitas, illl papel inesperado y sumamente uti] que se describe en un resulta

central del capitulo' Ilamado el teorema fundamental del calculo.

EJEM PLO 7 In teqraricn indefin ida hecha terrn ino a terrn ino, y reescritura

de la constan te de in tegrac i6n

Evaluar

j (xl - 2x + 5) dx .

Soluci6n Si reconocemos que (x3/3) - Xl + 5x es una antiderivada de x2 - 2x +podemos evaluar la integral como

j(X2 - 2" + 5) dx =x,3 - x2 + 5 x + C ..J ~

consrante arbitraria

Si no reconocemos la antiderivada enseguida, podemos generarla termino a termi

con las reglas de la suma, de la diferencia y del multiple constante:

j ( x 2 - 2x + 5) dx =/ X 1dx - j 2 x dx + j 5 dx

=X 2dx - 2 / X dx + 5 / 1 dx

Esta formula es mas complicada de 1 0 que deberia. Si combinamos C], - 2C2, Y 5C3

una sola constante arbitraria C = C1 - 2C1 + 5C3, la formula se simplifica a

.c ' ) ,.. I

~ - x- + )x T C.J



314 C ap itu lo 4: A plica ciones de las derivadas

\

E J E R C I C a s 4 . 8

y todavia da todas las antiderivadas. Por e ta razon, Ie recomendarnos que vaya directo

hasta la forma final aunque haya elegido integrar terrnino a terrnino Escriba

J (x l - 2x + 5) dx = f x2 dx - f 2x dx + f 5 dx

= .~3 _ x2 + 5 x + C..J

Encuentre, para cada part , la antiderivada mas sencilla que pueda, y sume la constante de

integracion arbitraria al final. _

Det erm in ac io n d e a nt id er iv ad as

E ll los ejercicios J a 16, encuenrre una antidenvada de cada funcion.

Haga todo 10 que pueda mentalmente. Verifique sus respuesta me-

diante derivacion.

L a. 2: r

2. a. 6x

3. a. -3x-4

4. a. 2 .<-3

6. a.

7 l,I".. 3. 2 V x

8. a. ~~J

2 -1,39. a. ~X

j

10 _ l_ , .- 1/2. a. 2'

11. a. =tt sen 7TX

12. 3. 7T COS "X

13. 3. sec2 x

14. 3. esc/ X

15. 3. es c x co t x

16. 3. sec .r tan x

Il. x7

b, x-4

-3

bx ...L J·T' x-

b.2x3

b. 2V :;:

b. 1

3~

bI .-213· ~.\-'

b _ _ l_ ,,-3/2

· 2 A

b. 3sen x

7f 1TXb. "2eos 2'

b 2 2 X

· 3"see 3"

3 ) 3x

b. -"lese- '2

b. + csc 5x cot 5x

b. 4 sec 3-, tan 3x

C. x2 - 2x + I

C. x1 - 6x + 8

C. x-4 + 2x + 3

c. -x-3+x.-

c. 25,.r

D ete rm in acion d e in te gr ale s in de fin id as"n los ejcrcicios I a 54, encuentre la anriderivada mas general 0 la

integra l indefinida. Verifique su respuestas mediante derivacion,

17. J (x + l)dx

1.9. J ( 3 1 2 + ~) dt

21. J (2;(3 - 5x + ' 7) dx

2 3 . / ( -. \ - x2

- + ) dx. r: .)

25.. / x - 1/3dv

27.

J(V:; : + V\) dx

29. / ( s v - _ l _ _ ) dy. y!' .

35. J ( - 2cos 1) dt

3 7 . / 7 sen} d8

39. /(-3Csc2X)dX

18./(5 - 6x) dx

20. / (~ + 4(3) dt

22. / 0 - x 2 - 3x 5 ) dx

f ( ' f + ~ J d A '30. / ( t - ) / 4 ) dy

28.

36. . I(-5 sen t) dt

38 . J 3 cos 58 de

40./(sec2x)

--- dx3 .'

4 1 . /-r-': J 7, 42. ssecetaned8

3 1c. x - x3

c. V; + _I_

-r :c. 3x+_ ' -

« :

c _l~-5/2. 2"

c. sen TTX - 3sen 3x

7TX

c. cosT + 7T COSX

, 3 xc. +sec: '2

71X r, x

C. -1rcsc2'cotT

7TX 'IT.Xc. secTtanT



- 1 3 . ./ (4 secr tan x - 2 sec2 .r) dx 44. ./t (esc!x - cscr cotr) dx

45 . / (sen 2x -: esc2 x) dx 46. / C 2 C O S 2 X - 3sen3x)dx

- 1 7 . / 1+ cosJr I 48. /1- cos 61 d

-~(I 2 t, _.

49.

/ ( I+ tarr' e ) d e · 50. 1(2 + tan

l el d e

iSugcrencta: 1+ tarr' e = sec2 e )

52. / ( 1 - cor' x ) dx

iSugerencia: 1 + co~ x = esc/ x)

5 3 . . I cos e (tan 0 + seg 0 ) d e 54.1sc e e s ~~en e a o

V er ifica cio n d e fo rmul as d e a ntid er iv ad as

Lrilicc derivaci6n para verificar las formulas en los ejercicios 55 a 60,

j, (7x - 2) 4

55. (7x - 2)' elf = 2 + C

/

__ , (3-, + 5rl

, (3x + : : » - ell' = - 3 + C

,- jseC2(5X - I)dx = itanCsx - I) + C

Iesc2 (-'. ; I ) dx = - 3 cot (~ ; I ) + C

j. . J I

. (x + 1) 2 dx = - x + 1 + C

1 1 d x, C. (x +1 )2 x = x + I' T

Determine si eada una de las siguientes formulas es cierta 0 falsa,

y argumente brevernente el porque de su respuesta.

a. l=': = fsenx + C

b.. / x senx d x = -x cosr + C

c. , / x sen.v d x = -x cos r + senx + C

, Determine si cada una de las siguientes formulas es cierta 0 falsa,

~ argumente brevemente el porque de su respuesta,

j' , sec? e

a. tan (I sec- e d e =~ + c

b. , f tan o sec' 0 d e = i tan' e + C

c, j ' tan f! sec' 0 df! = i see' o + C

4.8 Antiderivadas 31

63. Determine si cada una de la siguientes f6rmulas es eierta 0 fal

y argumente brevemente el porq ue de su respuesta.

J' (2\: + 1)3

a. (2,' + 1)- dx = 3 + C

b. 13(21: + 1)2dx = (21' + I)' + C

c. 16(2 , + 1) 2 dx = (2< + 1) 3 + C

64. Determine icada una de las siguientes formulas es cierta 0 fal

y argumente brevernente el porque de su respuesta.

a . / ~ dx = Y x ' + x + C

b. / Y 2 . x + I dx = ~ + C

c. J Vh+l dx = t ( v S - + 1 Y + C

P roblem as de va lor in id al

65. i,Cu: 'd de las siguientes graficas muest ra la solucion del problem

de valor inicial

dydx = 2x, y = 4 cuando x = I?

y y

(1,4)

3

2

.\ X _X

-1 -1 0

(a) (b) (e)

66..

J ustifique sus respuestas,

i,ewII de las siguientes graficas rnuestra la solucion del problem

de valor inicial '

dydx = -x, J I c ua nd o x = - I ?

\-. (_~'1)' < - W . 1 ) y

( x x ' xo 0

(a) (b) (e)

J u s ti fi qu e S 1: iS 'T e Sp li e t as , .



r

316 Capitulo 4: Aplicaciones de las derivadas

Resuel a los problemas de alor inicial de los ejercicios 67 a 86.

(/1' ~7. -t' =2x - 7, v(2) = 0ex .

dy68.

dx10-x, y(O)=-1

dv I69 .. - = - + T, X > 0; . 1 ' ( 2 ) = 1

dx x2

dv70. d Y =9x~ - 4.1 + 5, v( -1) = 0

(~r_ " .-2.]71.,[,-')X ,11(-1)=-5

dv 172. dx = -- y(4) = 0

1\;;:,

ds73. dt 1 + cost, 5(0)=4

ds () 174. df = cos l + sen t, s -tt =

dr

75. de -7T sen 7Te. r(O) = 0

dr76. d8 = cos , ,13, ,.(0) = 1

du I77. dl = Isecttanr, v(O) = I

78. du = 81 + csc2 Idr ' ( 7 1 )"2 =-7

dl)!79. d.;~ = 2 - 6,: y ' (O) = 4. .1' (0) =

dly80. -, = 0; ~'(O) = 2, y (O) = 0

dx-

81 .d2r 2 d r l l. r( l) = 1df2 ,3 .

dll=1

82.d2s 3 1 d s l = 3, 5(4) = 4dt? dt r=4

d3v83. ~ = 6: .1'' '(0) = -8, y ' (O) = 0, ) i tO) = 5

ere

dJ8 I. '-84. -. = 0: 13"(0) = -2, 8'(0) = - -2' 0(0) = v 2

dt'

85. V(4) =-sen 1 + cos I;

y " ' ( O ) = 7, . 1 ' ' ' ( 0 ) = . 1 " ( 0 ) = -I, . 1 ' ( 0 ) = 0

86. yl4J = + cos x + 8 sen 2x ;

y W ( O ) = 0, .1' ' '(0) = y'(O) = 1. yeO) = 3

D eterm in acio n d e c urvas

87. Eneuentre, en el plano xy, la curva J' = f(x) que pasa por el pun-

to (9 , 4) Y cuya pendiente en cada punto es 3 - v . ; ; .

88. a. Encuentre una CUTv a .j' = f(x) con las s igu ientes

dades:

dl"i) -) =6x

dx-

ii) Que SlI grafica pase por el punto (0 , I) Y tenga una

gente horizontal ahi.

b. i.Cuimta curvas como esta hay? i,Como 10 s abe?

Curvas solucion ( in tegraLes)

En los ejercicios 89 a 92. se muestran las curvas solucion de la

ciones diferenciales. Encuenrre, en cada ejercicio. una ecuacion

la curva que pasa por el punta marcado.

ApL icadones

93. Encuentre el desplazarniento a partir de una antiderlvad

la velocidad

a. Suponga que la velocidad de un cuerpo que se mueve a

go del cje s es

d5 = V = 9. 1-3dt

i) Encuentre el desplazamiento del cuerpo en el interv

tiempo de t = 1 a t = 3, dado que s = 5 cuando t

, ~_. ii) Encuentre el desplazamiento del cuerpo, de I= I

1= 3, dadoques = -2 cuando r = O.

ill) Ahora encuenrre el desplazamiento del cuerpo, de

a t = 3, dado que s = So cuando t = 0

91.dv-- =sen.t - cosxdx

\..



de

lar-

ode

o .

b. Suponga que la posicion 5 del cuerpo que se mueve a 1 0 largo

de una recta coordenada es una funcion diferenciable del

tiempo t. {.Es cierto que una vez que se conoce una ant ideriva-

da de la funcion velocidad d5/dt es posible encontrar el des-

plazamiento del cuerpo de t ' 1 a at = b. aun si no se cono-

ce la posicion exacta del cue~o en ninguno de esos tiempos?

Justifique su respuesta.

94. Elevaclon desde la Tierra Un cohete se eleva desde la superfi-

ci e de la Tierra con una aceleraci6n con rante de 20 m/seg'.i.Que tan rapido ir a cl cohete 1 min despues?

95. Frenado OPOrtll110 de un automovil USLed esta conduciendo

su automovil a 60 milia /hora (88 pies/seg) constantes por una

carretera, cuando ·eun accidente adelante y frena de golpe. i ,Que

desaceleracion constante e requiere para detener su autom6vil en

242 pies? Para averiguarlo, lleve a cabo 10 pasos siguientes.

1. Resuelva el problema de valor inicial

d2s

dfEcuacion diferencial: (k constante)k

Condiciones iniciales:dsdt = 88 y 5 = 0 cuando t = o.

Moon el tiempo y la distancia desde

que se pisaron los frenos,

2. Encuenrre los valores de t que hacen d s] d t = o . (La respuesta

involucrara a k).

3. Encuenrre el valor de k que haee s = 242 para el valor de Ique

encontro en el pa 02.

96. Frenado de una motocicleta EL programa "Motociclista segu-

ro" que pusieron en pnicrica la autoridades del estado de Illinois

exige a los morociclistas que sean capaces de frenar de 30 millas-

'uora (44 pies/seg) a 0 en 45 pies. i,Que desaceleracion constante

se rcquiere para lograrlo?

:vIovimiento a 10 largo de una recta coordenada Una particu-

la se mueve sobre una recta coordenada con aceleraci6n a =

dCs/df = 15\,0 - (3jVt) , sujeta a las condiciones ds/dt = 4

Y 5 = 0 cu ando t = 1 . E n c u en t re

a. la velocidad v = dsld: en terminos de I.

b. la POSiCl6n 5 en terminus de t.

EI martilio y la pluma Cuando el astronauta del Apolo 15 Da-

vid Scott dej6 caer un martillo Y Lina pluma en la Luna para

dernostrar que en el vacio todos los cuerpos caen con la misma

accleracion (constanre), 10h izo desde una airura aproximada de 4

pies respecto del nivel del suelo. La pelicula del evento que se ex -

hibio par television mue tra que el rnartillo y la pluma caen mas

despacio que en LaTierra .. e n donde tales objetos tardarian 5610

medio segundo en caer los 4 pies en el vacio. i,Cuanto tiempo tar-

daron en caer los 4 pies el martillo y la pluma en la Luna" Para

averiguarlo, resuelva el problema de valor inicial siguiente para s

como una funcion de t. De pues encuentre el valor de 1 que haec a

J iguai a o .

Ecuacion diferenc ial: - 5.2 pies/seg"

Condiciones iniciales:ds

dto y s = 4 cuando I = 0

4.8 Antiderivadas

99) Movirnteuto con aceleracien constante La ecuacion estand

para la posicion s de un cuerpo que se mueve con aceleracio

constante a 10 largo de una recta coordenada es

donde V o Y S o son la velocidad Y la posicion del cuerpo en

tiernpo [ = o . Deduzca esta ecuacion resolviendo el problem

de v a lo r i ni ci a l

Ecuacion diferencial:d's-=a

dr

ds .eft = Vo Y 5 = So cuando t = oondiciones iniciales:

100. Caida Iibre cerca de la superficie de un planeta En el ca

de una caida libre cerca de la superficie de un planeta donde

aceleracion debida a la gravedad tiene una magnitud constan

de 0unidades de longuud/seg'', la ecuacion (I) del ejercicio

101113 [a forma

I )s = -"2 gr + vol + 50,

donde 5 es la altura del cuerpo por encima de la superficie.ecuacion tiene un signo menos porque la aceleracion actua hac

abajo, en la direccion de decrecimiemo de s. La velocidad vo

positiva Sl el objero se eleva en e! tiempo t =" 0, y negativa si

objeto cae.

En lugar de usar el resultado del ejerc-cio 99, puede obten

la ecuacicn (2) di.rectamente resol iendo un problema de va

init ial apropiado. i,Cmil seria dicho problema? Resuelvalo pa

asegurarse de que es correcta, y explique Lospasos que a rea

zando para encontrar la solucion.

Teoria y e jemptos

101. Suponga que

f ( . r ) =!1 - ~ )d

g(x) = -d. (x + 2)x

Encuentre

a. j f ( . 1 ' ) dx

c _ j[-f(X)] dx

e. jU(x) + g(x)] dx

b. J g(x) dx

d. jr-g(.t)] dx

f. . I [J(x) - g(x)] dx

]02. lnicidad de las soJuciones Si tanto La funci6n diferenciabl

r= F( .r ) como la funcion diferenciable y = G(x) resuelven

problema de alor inicial

dvd , . = f(x}- Y ( X O ) = )"0·

en un intervalo I, (,debe F(x) = G(x} para toda x en I? Justifiqu

5 1 . 1 respuesta.

31



/

318 C ap itu lo 4: A plic acion es de la s d er iv ad as

E XP LO RA CIO NES C ON C OM PU TA DO RA

Use un software matematico para ?e50\ver los pwb\e.mas de valor ini-

cia! de los ejercicios 103 a 106. Trke las curvas solucion.

103. v' = cos ' .r + en x, y( 1 7 )

1"4 I = l_ ~ I'v . Y : r ' " 1"(1) =-1

105.. ' ~' y(O) =2

_ I _ l _106 . . 1 '' ' - x ' \/;, )'(1) = 0, y'( I) o

Capitulo P reguntas de rep aso

1. i,QUe se puede decir acerca de los valores extremes de una fun-

cion continua en un intervalo cerrado?

2. i,Que significa que una funcion tenga un valor extrema local en

su dominio? i,Que quiere decir que tenga un valor extremo abso-

luto? i,Como se relacionan los valores extremes locales y absolu-

tos si es que exisre tal relacion? De ejemplos.

3. i,Como se encuentran los extrernos absolutos de una funcion con-

t inua en un intervale cerrado? De ejemplos,

4. i,Cuiiles SOI1 las hipotesis y las conclusiones del teorema de Ro-

lle? £Las hipotesis son realmente necesarias? Explique.

5. ( ,Cuales son las hipotesis y l as concJusiones del teorema del valor

media? i,QUe imerpretaciones fisicas puede tener dicho teorema?

6. Forrnule los tres corolano del teorema del alor medio.

7. i ,Como es po ible idenrificar (algunas veces) una funci6nfix) co-

nociendo r y el valor dejen un punta x = xo ? De ejemplos.

8. (,Cual es la prueba de la primera derivada para valores extremes

locales" De ejemplos de su aplicacion,

9. i .COmo se puede exarninar una funcion dos veces diferenciable

para determiner el punto en donde su grafica es concava nacia

arriba 0 hacia abajo? De ejemplos.

10. (.Que es un punto de inflexion? De un ejemplo. i,Que significadofisico pueden tener 10 puntas de inflexion?

11. L Cual es la prueba de la segunda derivada para valores extremes

locales? D e ejemplos de su aplicacion.

12. (,Que DOS dice la derivada de una funcion respecto de la forma de

su grafica?

13. Haga una lista de los pasos que deben seguirse para graficar

funcion polinomiai. I lustre con un ejernplo.

14. i,Que es una cuspide? De ejemplos.

15. Haga una lista de los pasos que debcn seguirse para graficar

funcion racional. l1ustre can lIl1 ejcmplo.

16. Describa una esrrategia general para re 01 er problemas de

mos y minimos. De ejemplos.

17. Describa la regla de Ul-lopitai. i,Como sabemos cnando us

eha regIa y cuando detenernos? D e un ejemplo.

18. "Como se pueden manipular los limites que nos conducen

formas indeterminadas =/00, . 0, y oo - oo? De ejemp

19. Describa el metodo de Ewton para resolver ecuaciones. D

ejemplo. i,Cual es la teoria que esta detras del metodo? i,E

debe tenerse cuidado al usaf este rnetodo?

20. ,:,Una funcion puede tener mas de una antiderivada? De se

"como se relacionan las antiderivadas? Explique.

21. .:,Que es una integral indefinida? i,C6mo se puede evaluar?

formulas generales conoce para encontrar las integra le ind

das?

22. i,Como se puede resolver una ecuacion diferencial de la

dyl dx = j (x)?

23. "Que es un problema de valor inicial? i,Como se resuelve?

ejernplo.

24. Adernas de la aceleracion de un cuerpo que se mueve a 10 l ar

una recta coordenada como una funcion del tiempo, i,que se

situ saber para encontrar la funcion posicion del cuerpo? D

ejemplo.

Capitulo E jercicios de practica

Exis t enc ia de valores extremos

1. J(x) = x' + 2x + tan x tiene algun valor maximo 0 minirno

local? Justifique su respuesta.

2. (,g(x) = esc x + 2 coo; t iene algun valor maximo local? Justi fi-

qne su re puesta.

3. J(x) = (7 + x)(ll - 3 X ) l f 3 tiene algun valor minima ab

to? i,Tiene un maxirno absolute? De ser asi, encuentrelos 0

que por que no existen. Haga una iista de rodos 10 puntos

ncos.



4. Encuentre los valores de a y b tales que la funcion

en + b

f~') Xl - I

tenga un valor extremo lo~al de 1 en x = 3 .. EI valor extrerno es

un maximo local 0 un minimo local? Justi fique su respuesta.

5. La funcion mayor entero f(x) = l J ' definida para todo valor de

.r, a l canza un valor maximo local de 0 en cada punto de [0. I) .

i.Alguno de estos valores maximos locales puede ser tarnbien va-

lor rninirno local dej~ Justifique su respuesta.

6. <I. D e un ejernplo de una funcion diferenciablejcuya primera de-

rivada sea cera en algun punto c, a pt::sar de quejno tenga ni

maximo ni minirno local en c.

b. I~Por que esto es consistente con el teorema 2 de la seccion

4.l? Justifique su respuesta

7. La funcion v = I/xno alcanza un maximo ni un rninnno en el in-

tervalo ° < x < I a pesar de que la funci6n es continua en este

intervalo "Contradice esto el teorerna del valor extremo para fun-

ciones continuas? i,Por que?

8. i.Cuales son los valores maximo y rninimo de Lafuncion y = Ix len el intervale -I"" < I? Observe que el intervalo no es ce-

rrado. ~Contradice esto el teorema del valor extremo para funcio-

nes continuas? i,Por que?

9. Una grafica 10 sufrcienrernente grande para mostrar el comporta-

rmento global de una funcion podria no revelar caracteristicas lo-

cales importantes. La grafica de f(x) = (xs/8) - ( . - . : 6 /2) - . \ " 5

+ 5 x 3 es un ejemplo de esra siruacion,

3. Grafiquejen el intervale -2.5 .:S x -s 2.5. i,En d6nde pare-

ee que la grafica tiene valores extremos locales 0 puntos de in-

flexion?

b. Ahora factorice r(x y dernuestre quejtiene un maximo local

en x = Y / :: : " " 1.70998 Y un minima local en .r = ±v3 ""± 1.73205.

c. Haga un acercarniento a la grafica para encontrar una ventana

de visuahzacion que rnuestre la presencia de valores exrremos

en x = \ Y s y x =v3.La rnoraleja es que, in calculo, la ex istencia de dos de los

tres val ores extremos pod ria haber pasado inadvertida, En cual-

quier grafica normal de la funcion, los valores estaran suficiente-

mente Juntos para c~er en las dimensiones de un solo pixel de 1 3

pantalla

(Fuente: Uses of Technology in the Mathematics Curricu-

hI/H. de Benny Evans y Jerry Johnson, Oklahoma State Univer-

sity, publicado en J 990 bajo el auspicio de I arional Science

Foundation Grant USE-89'0044).

10. (Continuacion del ejercicio 9).

a. Grafique f(x) = (x 8/8 ) - (2 /5 )x : - 5 x - (5 /x 2 ) + II en

cl inrervalo -2 :s x :s 2. (,En donde parece que la grafica

t iene valores ext remes locales a puntos de inflexion?

b. Pruebe que j tiene un valor maximo local en x = - 0 '5 ' "1.2585 Y U1 1 valor minimo local en x = V i. "" 1.2599.c. Ilaga un acercamiento en la grafica para encontrar una venia-

na de visualizacion que muestre la presencia de valores exrre-

Il1()S en x = - 0 ' 5 y .r = Vi..

Capitulo 4 Ejercicios de practica

T eorem a d el va lor m ed io

11. a. Demuesrre que get) = sen"/ - 31 decrece en todo inter

de su dom.inio.

"Cuantas soluciones tiene la ecuacion sen2t - 3t = 5?

fique su respuesta.

Pruebe que v = tan e crece en todo intervale de su dornin

Si la conclusion a que lIeg6 en el incise (a) realmente e

rrecta, (,c6mo explica el heche que tan 'IT = 0 es menor

tan tan (rr/4) = l ?

Dernuestre que la ecuacion x4 + 21:2 - 2 = 0 bene ex

mente una solucion en [0, I].

Encuentre la soluci6n con tantos lugares decirnales c

pueda.

Dernuesrre que l(x) = x/(x + 1) erece en todo intervale

su dominic.

b. Pruebe que /(x) = x' + 2.no tiene valores maximo ni

ma locales.

15. Agua en un deposito Como resultado de una Iluvia intens

volumen de agua en un deposito crecio 1400 acres-pie en 24

ras. Pruebe que en a lgun instante durante ese periodo el volu

del dep6sito estaba creciendo a una razon mayor def25,000nes/rnin. (Un acre-pie equivale a 43,560 pies ', el volumen

cuhriria L acre con una profundidad de I pie. Un pie cubic

igual a 7.48 galones).

16. La formula F(x) = 3 x + C da una funcion distinta por cada

lor de C. Sin embargo, todas estas funciones tienen la rnisma

vada respecto dex, a saber, F' (x ) = 3. i,Estas son las unicas

ciones diferenciables cuya derivada es 3? i,Podria haber o

Justifique sus respuesta

17. Pruebe que

b.

12. a.

b.

1 3 . a.

0 b.

14. a.

d ( X ) d ( 1 )dx x + 1 =d, - x + I

a pesar de que

x 1--+---x+l~ x+l'

(_Contradice esto el corolario 2 del teorerna del valor media?

tif ique u respuesta.

18. Calcule las prirneras derivadas de fC.) = X 2 /( X 2 + 1) Yg(x)

-1/(x2 + I). .Que puede concluir acerca de las graficas d

tas funciones?

C ondusiones a partir d e la s graticas

En 10 ejercicios 19 y 20, use la grafica para contestar las pregunta

19. ldent ifique cualesquiera val ores extremos locales def, y los

res de x en donde. aquellos se alcanzan.

, =/(x)

--0::+-----+ X



320 C ap itu lo 4 : A plica cio ne s de la s de riv ad as

20. Estime los intervalos en los que la funcion y = f(x) es

a. creciente.

b. decrecienre

c. se la grafica dada de j' para indicar en donde se alcanzan

10 valores ex.tremos locales de la funcion, y diga si cada ex-

tremo es un maximo 0 un minima relative.

-2

Cada una de las graficas de los ejercicios 21 y 2 2 es la grafica de la

funcion posicion s = f(t) de Ull cuerpo en movimiento sobre una rec-ta coordenada (I representa el tiernpo). En qu e momenta aproximada-

mente (a) l,la velocidad del cuerpo es igual a cero?, (b) 1.Ia aceleracion

del euerpo es igual a cero? i,Durante que intervalos se mueve el cuer-

po (c) hacia adelante", (d) l.haeia arras?

21. 5

o

12.

~(')

0 1 4 6 8)(

Gratlcas y qraf tcac ton

Grafique las curvas de los ejercicios 23 a 32.

23. y = x 2 - (x 3/6) 24. y = x3 - 3x2 + 3

25. Y .=-x + 6x2 - 9x + 3

26. Y = (1/8)(x) + 3x2 - 9x - 27)

27 . y = x3 (8 - .t) 28. y = x2(2 ,2 - 9)

29 . y = x - 3y 2 3 30. Y = xlp(x - 4)

31. Y = x\13 - .Y 32. v = xv'4='?

Cada Lil lO de los ejercicios 33 a 38 da la primera derivada de una fun-cion y = f(x). (a) i ,En que puntas, 51 hay alguno, la grafica de r riene

u n m a xim o local, un minima local 0 un punta de inflexion? (b ) Dibu-

Je la forma general de la grafica.

33. y' = ]6 - .12 34. y' = xl - x - 6

35. y = 6x(x + 1)(x -2) 36. vr

= x2(6 - 4x)

37. =~- 2.1'2 38. . . v ' = 4x

1 -x4·

En los ejercicios 39 a 42, grafique cada funcion. Despues use 1 3

mera derivada de la funci6n para explicar 10 que observa.

39. y = xl 3 + (x 1)1,3 40. Y =21 3 + (x - ])13

41. Y = xl 3 + {x ])1/3 42. Y = x2/3 - (x _ 1)1/3

Grafique las funciones de los ejercicios 43 a 50.

43.x + I

44.2x

Y = v =x - 3 x + 5

)

I)

- +- + x- x45. \. = 46. Y =x .r

x3 + 2 x4 - 147. i:

2.48. Y ,

x-

)

-4,

_C .1 -

49. Y = 50. y =0

x2 -3 );-- - 4

A p Lic ac i6 n d e L a re g L a d e t 'H o pi ta l

Use la regia de L'Hopiral para encontrar los limites en los ejerci

51 a 62.,+ 3 x -4 x" - 1-' lim1. lim

I52.

_ > I '-l x - x~1 - I

53. limtan x

54. limtan x

X---+"iTX

.\"---+0 X + sen . .

,55. lim

sen- .v56. Hm

senmx

.:1"-0 tan (,, ') x- osen nx

57. !lm see 7x cos 3x 58. lim V;secxXIi 2- x-o-

59. lim (csc x -calx) 60. lim ( l _ -~)r r - e - D .'1:-0 :(4

\/,? - x )1. lim (\/'? + x + Ix-x

I. ( . \ ' 3 , , J )m -,-- - -,-,--

x-co .r - 1 .r + 162.

Optimfzac ien

63. La suma de dos numeros no negatives es 36. Encuentre los nu

ros SI

a. la diferencia de sus rakes cuadradas debe ser 10mas grand

posible.

b. la suma de sus raices cuadradas debe ser 10 mas grande po

SIble.

64. La surna de dos mnneros no negatives es 20. Encuenrre los

meros

a. si el produeto de uno de e1los multiplicado por la raiz cuad

da del orro debe ser 10m as grande posible.

b. si la suma de uno de ell os mas 1a r aiz cuadrada del otro de

ser 1 0 mas grande posible.

65. Un triangulo isosceles tiene un vertice en el origen y su base

lela al eje x con los vertices arriba del eje ell la c

v = 27 - x2. Encuentre el area maxima que puede tener el t

gulo.



I. .66. Un cliente le pide que disene un recipiente rectangular abierto de

acero.Este debe tener base cuadrada y un volurnen de 32 pies:' .

debe construirse usando una placa de un cuarto de pulgada, y

110 debe pesar mas de 10necesario. i ,Que dimensiones recomienda?

67. E ncue itre L a altu ra y el radio d e l c il in d ro circular rec to mas gran-

de que se pueda colocar en una esfera de radio · V 3 .

68. La figura muestra dos conos circulates rectos, uno boca abajo

denrro del otro. Las dos bases son paralelas, y el vertice del can a

menor cae en el centro de la base del cono mayor. i,Que valores de

r y h daran al cono menor el mayor volumeu posible?

12'

J69. Fabricacirin de Ilanras La cornpariia en donde usted trabaja

puede fabricar x cientos de Ilantas de calidad A y y cientos de

llantas de cali dad B al ilia, donde 0 :s x :s 4 y

40 - lO xy=

5-x

La utilidad que recibe L a compania par la venta de las llamas de

cal idad A es dos veces la que obtiene por la venta de lIantas de ca-

lidad B. i,Cwiles son las cantidades de cada una que rnaximizan la

ganancia?

O. Movimiento de UDa particula Las posiciones de dos particulas

en el eje s son SI = cos iY 52 = COS (I + 7f/4).

a. (~Cual es la mayor distancia que puede haber entre las

particulas?

b. i,Cmindo chocan Las dos part iculas?

71. Caja abierta Una caja abierta rectangular se construye COIl una

pieza de carton de 1 0 por 16 pulgadas, cortando cuadrados con la

rnisma longitud de lado de las esquinas, y doblando los lados ha-

cia arriba. Encuentre analiricarnente las dimensiones de la caja

del mayor volumen y el maximo volumen. Justifique sus respues-

las graficarnente.

72. EI problema de la Escalera i,Cual es la longitud (en pies) apro-

ximada de la escalera m as la rga que se puede transportar horizon-

tal m ente airededor de la csquina del corredor que se muestra

aqui? Redondee su respuesta hacia abajo, al pie mas cercano.

LOL-----~8~--------4X

Capitulo 4 Ejercicios de practice

M e tod o de N ew ton

73. Sea j(x) = 3, - .\3. Demuestre que 13 ecuacion I(x) -4

ne una soluci6n en el intervale [2, 3), Y use el rnetodo de ewt

para encontrarla.

74. Sea I(x) = x~ - ,,3. Pruebe que L a ecuaci6n lex) = 7S tie

una solucion en el intervalo [3, 4], Y use el metoda de NeV \1 0n

ra encontrarla.

D ete rm in acion d e in te gr al es in de fin id as

Encuentre las integrates indefinidas ( las ant ider ivadas mas generale

en los ejercicios 75 a 90. Verifique sus respuestas mediante deriv

cion.

75. J (x 3 + 5,. - 7) dx

76. J ( 8 1 3 - ~ + I ) dt

77. J ( 3 \ ; ; + ~) dt

78. J C I t - ~ ) dt

79. J ir ! r ' ) lJ

6dr80. . r:( r - v 2 ) 3

81 . J 38Ye1+l de

82. J _8__ d8

+ e 2

32

84. J (2 - . 1 ) 3 / > dx

86. J esc? TT S ds

88.

Jsec~tan~d8

.) -'

83. JX 3(l + x4)-114 dx

85. J sec ' t o ds

87. J c s c V 2 e cot Vie d8

89 . J sen2

~ dx

J ? X ( 2 I+ ~os 2 E 1 )90. cos- ' 2 dx Sugerencia: cos e =

P rob le mas d e va lor in ic ia l

Resueiva los problemas de valor inicial de los ejercicios 91 a 94.

dy ~ x2 + 191 - y(1) = -I. dx x2

92. d . : = ( x + ~ y , y(l) = I

93.d2r

15vt + 2._; 1 " ( 1 ) = 8, r (J )= 0dr'

94.d'r

1'''(0) = 1"(0) = 0, 1'(0) = -Idt'

-cos t:

Material Actividad 1 1

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