INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

EL MÉTODO DEL TRANSPORTE

Es un método de programación lineal que nos permite asignar artículos de un conjunto

de orígenes a un conjunto de destinos de tal manera que se optimice la función objetivo.

Esta técnica se utiliza especialmente en organizaciones que producen el mismo producto

en numerosas plantas y que envía sus productos o diferentes destinos.

La cantidad de orígenes deben ser igual a la cantidad de destinos.

ORÍGENES DESTINOS

FUENTESUNIDADES DE

DEMANDA

UNIDADES DE

OFERTA

a1

a2

am

1

2

m

1

2

m

D1

D2

Dm

1. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado (Rectas)

2. Deben ser uniformes e intercambiables, los coeficientes de todas las variables en

la ecuación deber ser 0 o 1

3. La suma de las capacidades debe ser igual a la suma de los requerimientos de los

destinos, si alguna desigualdad existe una variable de holgura deberá ser

añadida.

Se han desarrollado diferentes enfoques, tales como:

1. Método de la Esquina del Noroeste (celda mínima)

2. Método de aproximación de VOGEL

3. Método de distribución modificada MODI o DIMO

4. Método del trampolín (cruce del arroyo, sleeping Stone)

5. Método simplex

Para que un problema sea solucionado por el método de transporte, este debe reunir

tres condiciones:

a) Las funciones objetivo y las restricciones deben ser lineales

b) Los coeficientes de todas las variables en la ecuación deben ser 0 o 1

c) La suma de las capacidades de las fuentes deben ser igual a la suma de los

requerimientos de los destinos, si alguna desigualdad existe una variable de

holgura deberá ser añadida.

MÉTODO DE LA ESQUINA DEL NOROESTE

Es un método de programación lineal hecho a mano para encontrar una solución inicial

factible del modelo, es el método más fácil al determinar una solución inicial del

modelo, es el método más fácil al determinar una solución acertada bajo costo.

Los pasos para solucionar un problema de programación lineal por este método son:

1. Seleccionar la celda de la esquina noroeste

2. Hacer el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste

3. Corregir los números del suministro y requerimientos para reflejar lo que va

quedando de suministro y requerimiento y regrese al paso 1

EJERCICIO 1

Usted elabore un planeamiento problema para la siguiente tabla, posteriormente

residuo y analice.

Los dueños Enrique Benavides, Ernesto Robles y Víctor Zavala de computadoras y

servicios una empresa líder en ventas de accesorios de computadoras y servicio

técnico necesitan hacer compras de discos duros a la empresa que van a comprar

son: CONTECH, SYSTEMAX, MAXTEL.

La oferta de COMTECH Y SYSTEMAX es de 800 unidades cada una y la de

MAXTEL es de 400 unidades cada una. La demanda de Enrique Benavides es de

600 cada uno y las demandas de Ernesto Robles y Víctor Zavala son de 700

unidades.

Necesitan que tú realices un análisis para minimizar en los costos

3 6 2

2 3 5

6 4 8

DESARROLLO

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA

COMTECH 600 800

SYSTEMAX 800

MAXELL 400

DEMANDA 600 700 700 2000

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA

COMTECH 600 200 200

SYSTEMAX 800

MAXELL 400

DEMANDA 0 700 700 1400

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA

COMTECH 600 200 0

SYSTEMAX 500 800

MAXELL 400

DEMANDA 0 500 700 1200

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA

COMTECH 600 200 0

SYSTEMAX 500 300 300

MAXELL 400

DEMANDA 0 0 700 700

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA

COMTECH 600 200 0

SYSTEMAX 500 300 0

MAXELL 400 400

DEMANDA 0 0 400 400

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA

COMTECH 600 200 0

SYSTEMAX 500 300 0

MAXELL 400 0

DEMANDA 0 0 0 0

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

Z= 600(3)+200(6)+500(3)+300(5)+400(8)

Z= 9.200 UM

CASO Nº 2

Un país está planificando abastecerse por cuatro proveedores de petróleo ALBANIZA,

TEXAS, IRAN y PURMEREND, Nicaragua analiza las formas de envió, para proveer

localmente a la distribuidora UNO, PUMA, PETRONIC y RESERVAS. La tabla

anexada muestra los costos de embarque por cada barril de petróleo crudo. Determine la

cantidad de barriles que debe comprarse a cada proveedor para obtener el mejor costo.

UNO PUMA

PETRONI

C

RESERV

AS

ALBANIZA 35 28 31 33

TEXAS 29 32 33 39

IRÁN 32 35 36 27

PURMERE

ND 34 31 35 18

DESARROLLO

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 520

TEXAS 485

IRAN 400

PURMEREN 235

DEMANDA 610 210 310 200 310 1640

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 485

IRAN 400

PURMEREN 235

DEMANDA 90 210 310 200 310 1120

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 210 395

IRAN 400

PURMEREN 235

DEMANDA 0 210 310 200 310 1030

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 210 185 185

IRAN 400

PURMEREN 235

DEMANDA 0 0 310 200 310 820

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 210 185 0

IRAN 125 400

PURMEREN 235

DEMANDA 0 0 125 200 310 635

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 210 185 0

IRAN 125 200 275

PURMEREN 235

DEMANDA 0 0 0 200 310 510

DESDE EL

ORIGEN

AL DESTINO

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 210 185 0

IRAN 125 200 75 75

PURMEREN 235

DEMANDA 0 0 0 0 310 310

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 210 185 0

IRAN 125 200 75 0

PURMEREN 235 235

DEMANDA 0 0 0 0 235 235

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA

ALBANIZA 520 0

TEXAS 90 210 185 0

IRAN 125 200 75 0

PURMEREN 235 0

DEMANDA 0 0 0 0 0 0

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

2

5

8

6 4 8 8

0

0

0

0

Z= 520(35)+90(29)+210(32)+185(33)+125(36)+200(27)+75(0)+235(0)

Z= 43.535 UM

MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (MAV o VAM)

Es un método heurístico es capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un numero generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo, produce mejor resultados iniciales que los mismos.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE VOGEL

1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.

2. Escoger la fila o columna con mayor penalización determinada anteriormente se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate se escoge arbitrariamente.

3. De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menos costo, caso de empate se tachara 1, la restante quedara con oferta o demanda igual a 0.

4. Excepciones:Si quedara sin tachar una fila o columna con cero, detenerse.Si quedara sin tachar determinar las variables básicas en la fila o columna.Si todas las filas y columnas que no se tacharon tiene cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método de costos mínimos, detenerse.Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.

CASO Nº1

DESARROLLO

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTAPENALIDAD

FILA

COMTECH 700 800 1

SYSTEM 800 1

MAXELL 400 2

DEMANDA 600 700 700 2000

PENALIDAD COLUMNA

1 1 3

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTAPENALIDAD

FILA

COMTECH 100 700 100 3

SYSTEM 800 1

MAXELL 400 2

DEMANDA 600 700 0 1300

PENALIDAD COLUMNA

1 1

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA

COMTECH 100 700 0

SYSTEM 500 300 0 1 2 2

MAXELL 400 0 2 4 2

DEMANDA 0 0 0 0

4 3

4 3

4 3

PENALIDAD FILA

AL DESTINO

PENALIDAD COLUMNA

DESDE EL

ORIGEN

3

2

6

6

3

4

2

5

8

Z= 2.000 UM

CASO Nº 2

Una empresa energética colombiana dispone de 4 plantas de generación para satisfacer

la demanda diaria eléctrica en 4 ciudades Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla las

plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80,30,60 y 45 millones de KW al día

respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y

Barranquilla son de 70, 40,70 y 35 millones de KW al día respectivamente. Los costos

asociados al envió del suministro por cada millón de KW entre cada planta y cada

ciudad son los siguientes:

CALI BOGOTÁ MEDELLÍN BARRANQUILLAPLANTA 1 5 2 7 3PLANTA 2 3 6 6 1PLANTA 3 6 1 2 4PLANTA 4 4 3 6 6

DESARROLLO

CALI BOGOTA MEDELLIN BARRANQUILLA OFERTAPENALIDAD

FILA

PLANTA 1 80 1

PLANTA 2 30 2

PALNTA 3 60 60 1

PLANTA 4 45 1

DEMANDA 70 40 70 35 215

PENALIDAD COLUMNA

1 1 4 2

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

5

3

6

2

6

1

7

6

2

4 3 6

3

1

4

6

CALI BOGOTA MEDELLIN BARRANQUILLA OFERTA

PLANTA 1 25 40 10 5 0 1 1 1 1 4

PLANTA 2 30 0 2

PALNTA 3 60 0

PLANTA 4 45 0 1 1

DEMANDA 0 0 0 0 0

1 1 1 2

1 1 1 1

2 1 1 1

1 1 1

1 1

1

PENALIDAD COLUMNA

DESDE EL

ORIGEN

PENALIDAD FILA

AL DESTINO

5

3

6

2

6

1

7

6

2

4 3 6

3

1

4

6

Variable de

Decisión

Variable de

Actividad

Costo por Unidad

Contribución Total

X11 35 5 175

X12 40 2 80

X14 5 3 15

X24 30 1 30

X33 60 2 120

X41 35 4 140

X43 10 6 60TOTAL: 620

Z= 620 UM

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO (MCM)

P1

P2

P3

P4

CALI

BOGOTÁ

MEDELLÍN

BARRANQUILLA

El método del costo mínimo o de los mínimos costos es desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte, arrojando mejores resultados que el método de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menos costos.

ALGORITMO DE SOLUCIÓN

PASO 1:

De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

PASO 2:

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.

PASO 3:

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".

La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1".

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 20 100

DEPOSITO 2 120

DEPOSITO 3 80

DEPOSITO 4 105

DEMANDA 125 50 130 80 20 405

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 20 80

DEPOSITO 2 120

DEPOSITO 3 80 80

DEPOSITO 4 105

DEMANDA 125 50 130 80 0 385

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 20 80

DEPOSITO 2 120 120

DEPOSITO 3 80 0

DEPOSITO 4 105

DEMANDA 125 50 50 80 0 305

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 20 80

DEPOSITO 2 120 0

DEPOSITO 3 80 0

DEPOSITO 4 80 105

DEMANDA 5 50 50 80 0 185

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 20 80

DEPOSITO 2 120 0

DEPOSITO 3 80 0

DEPOSITO 4 25 80 25

DEMANDA 5 50 50 0 0 105

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 50 20 80

DEPOSITO 2 120 0

DEPOSITO 3 80 0

DEPOSITO 4 25 80 0

DEMANDA 5 50 25 0 0 80

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 5 50 25 20 30

DEPOSITO 2 120 0

DEPOSITO 3 80 0

DEPOSITO 4 25 80 0

DEMANDA 5 0 25 0 0 30

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 5 50 25 20 0

DEPOSITO 2 120 0

DEPOSITO 3 80 0

DEPOSITO 4 25 80 0

DEMANDA 0 0 0 0 0 0

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

Variable de Decisión

Variable de

Actividad

Costo por Unidad

Contribución Total

X1A 5 4 20

X1B 50 3 150

X1C 25 4 100

X2A 120 1 120

X3C 80 1 80

X4A 25 3 75

X4D 80 3 240

Z= 785

MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES

Este método comienza con una solución inicial factible.

En cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no se haya usado en la solución factible actual, en tanto se elimina una ruta usada actualmente.

En cada cambio de ruta debe cumplirse que:

1. La solución siga siendo factible y

2. Que mejore el valor de la función objetivo

El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor de la función.

ALGORITMO

1. Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para crear una trayectoria única del paso secuencial. Usar estas trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a la solución cada ruta no usada.

2. Si todos los costos marginales son iguales o mayores que cero, terminar; se tendrá la solución óptima. Si no, elegir la celda que tenga el costo marginal más negativo (empates se resuelven arbitrariamente)

3. Usando la trayectoria del paso secuencial, determine el máximo número de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajustar la distribución adecuadamente.

4. Regrese al paso 1

DEPOSITO 1

DEPOSITO 2

DEPOSITO 3

DEPOSITO 4

A

B

C

D

E

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 100 . .. 100

DEPOSITO 2 25 50 45 … 120

DEPOSITO 3 …… ….. 80 …. 80

DEPOSITO 4 ……. …….. 5 80 20 105

DEMANDA 125 50 130 80 20 405

. .. … …. ….. …… ……. ……..3 3 3 4 7 9 4 6

-4 -4 -2 -1 -5 -1 -1 -51 1 3 3 2 2 2 2

-5 -2 -3 -3 -1 -1 -3 -3-5 -2 1 3 3 9 2 0

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

3

A B C D E OFERTA

DEPOSITO 1 50 50 . 100

DEPOSITO 2 75 .. 45 … 120

DEPOSITO 3 …. 80 ….. 80

DEPOSITO 4 …… 5 80 20 105

DEMANDA 125 50 130 80 20 405

. .. … …. ….. ……3 5 3 9 4 4

-4 -1 -2 -1 -1 -11 4 3 2 3 2

-2 -3 -3 -1 -3 -3-2 5 1 9 3 2

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN

4

1

9

4

3

5

7

6

4

2

1

3

6

3

4

3

0

0

0

0

3

MÉTODO DE ASIGNACIÓN O MÉTODO HÚNGARO (MH)

El problema de asignación es una variedad especial del problema de transporte, el enfoque general de este algoritmo consiste en “reducir la matriz de costos” mediante una serie de operaciones aritméticas.

ALGORITMO

1. Reducción de filas

2. Reducción de columnas

3. Determinación de la matriz reducida, encuentre el número mínimo de líneas restas que se pueden trazar sobre las columnas y las filas para cubrir todos los 0 ceros, si este número es igual al de renglones (columnas) se dice que la matriz es reducida y continúe con el paso 5. Si el número de rectas es menor que el número de filas (columnas) continúe con el paso 4

4. Reducciones posteriores: encuentre la menor de las celdas no cubiertas, reste el valor a todas las otras celdas no cubiertas y sume este valor a las intersecciones de las rectas. Y regrese al paso 3

5. Solución Óptima: se puede encontrar una asignación usando celdas que tengan costos.

1 2 3 4

A 3 5 3 3 3

B 5 14 10 10 5

C 12 6 19 17 6

D 2 17 10 12 2

VENDEDOR

LOCALREDUCCION

FILA

1 2 3 4

A 0 2 0 0

B 0 9 5 5

C 6 0 13 11

D 0 15 8 10

0 0 0 0

LOCAL

VENDEDOR

REDUCCION COLUMNA

1 2 3 4

A 0 2 0 0

B 0 9 5 5

C 6 0 13 11

D 0 15 8 10

LOCAL

VENDEDOR

1 2 3 4

A 1 2 0 0

B 0 8 4 4

C 7 0 13 11

D 0 14 7 9

LOCAL

VENDEDOR

1 2 3 4

A 2 2 0 0

B 0 7 3 3

C 8 0 13 11

D 0 13 6 8

LOCAL

VENDEDOR

1 2 3 4

A 3 2 0 0

B 0 6 2 2

C 9 0 13 11

D 0 12 5 7

LOCAL

VENDEDOR

1 2 3 4

A 4 2 0 0

B 0 5 1 1

C 10 0 13 11

D 0 11 4 6

LOCAL

VENDEDOR

1 2 3 4

A 5 2 0 0

B 0 4 0 0

C 11 0 13 11

D 0 10 3 5

VENDEDOR

LOCAL

1 2 3 4

A 5 2 0 3

B 0 4 10 10

C 11 6 13 11

D 2 10 3 5

LOCAL

VENDEDOR

Z= 21

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

FORMULA:

Z=(x1−a)2+(x2−b)2

Mínimo:

Z=(x1−2)2+(x2−2)2

Sujeto a:

x1+2 x2 ≤3

8 x1+5 x2 ≥10

x i≥ 0

x1+2 x2 ≤3 8 x1+5 x2 ≥10

x1 x2 x1 x2

0 1,5 0 23 0 1,25 0

(x1−2)2+(x2−2)2=K

C(2,2) formula r=√k

Tengo que escoger el mas cercano a la circunferencia q en este caso seria

x1+2 x2 ≤3

Se realiza el despeje de esta ecuación

−12

x1+32

m2=−12

formula: m1 m2=−1

m1( 12 )=−1

m1=2

formula lineal: ( x2−a )=m1(x1−b)

( x2−2 )=2(x1−2)

( x2−2 )=2 x1−4¿

2 x1−x2=2

4x1-2x2= 4x1+2x2= 3

x1 = 7/5

75+2x2=3

x2

3−75

2

x2=45

Valor Óptimo

Z=( 75−2)

2

+( 45−2)

2

z= 925

+ 3625

z=1.8

d=|Ax+By+C

√A2 B2 |d=|1 (2 )+2 (2 )−3

√12+22 |d= 3

√5

C (2, 2)

32

3

2

1

1

DERIVADAS.

dcdx

=0

dxdc

=1

dc . vdx

=c .dvdx

dcdx

=vn=n vn−1

Ejemplo:

Y=2

Y =0

Y=X

Y ´=1

Y=X4

Y ´=4 X 3

Y=6 X5

Y ´=6(5) X4

Y ´=30 X4

f ( x )=4 x4+5 x3−2 x2+10

f ( x )=16 x3+15 x2−4 x

f ( x )=48 x2+30 x−4

2. f ( x )=x7−7 x4

f ( x )=7 x6−28 x3

y=3 x6−2 x2+ 5

x3

y ´=18 x5−4 x−15 x−4

y ´=18 x5−4 x−15

x4

Cuando hay coordenadas

m=∆ y∆ x

m=y2− y1

x2−x1

m=f ´ ( x )

Ejemplo:

x2+ y2=5

C (0,0) r=√5

r = 2,2

MODELO DE REDES

RED: Es el conjunto grande de modelos de programacion lineal.

• El problema del transporte y el problema de asignación, forman parte de un

tipo más general de modelos, conocidos como modelos de red.

• Los modelos de red son aplicaciones muy importantes para la logística y la

distribución en la administración, además de tener múltiples aplicaciones en ingeniería

y computación.

• Un modelo de red es un modelo de transbordo con capacidades, el cual puede

adoptar diversas formas, como el modelo de la ruta más corta y el modelo del flujo

máximo y mínimo, el problema de árbol de alcance mínimo, método de camino crítico,

entre otras aplicaciones de la planeación financiera y de producción.

• La principal característica de un modelo de transbordo con capacidades es que es

una red donde las ofertas están en los puntos de origen específicos, las demandas en los

puntos de destino específicos y las alternativas de embarque se ofrecen por medio de los

nodos intermedios, de manera que siguen rutas con capacidades definidas desde los

orígenes hasta los destinos.

EJERCICIO

El gerente de distribucion de una empresa que distribuyer artefactos electricos en 6 provincias.

El gerente tiene 100 aparatos electricos en la provincia 1 y estos deben ser enviados a la provincia 3, 4 y 5; 30, 20 y 50 aparatos respectivamente.

1. Elabore el diagram de red2. Establezca las capacidades y costos agregados3. Formule el problema (resuelva)4. Construya la matriz de insidecia ( nodo – arco)5. Establezca la tabla del transporte

Si luego del estudio el grafico es el siguiente:

3

4

5

6

21

+100

+30

-20

-50

C12

U12

C23

U23

C24

U24

C25U25

C26

U26

C65 U65

C63 U63

U34C34

Min

Z= C12 x X12 + C23 x X23 + C24 x X24 + C25 x X25 + C26 x X26 + C34 x X34 + C45 x X45 +

C54 x X54 + C63 x X63 + C65 x X65

S.A.

X12 = 100

-X12 + X23 + X24 + X25 + X26 = 0

-X25 +X34 +X63 = -30

-X24 +X34 + X45 - X54 = -20

-X45 +X54 -X65 = -50

-X26 +X63 + X65 = 0

0 ≤ Xij ≤ Uij

1,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,4 4,5 5,4 6,3 6,51 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1002 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 03 0 -1 0 0 0 1 0 0 -1 0 -304 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0 0 -205 0 0 0 -1 0 0 -1 1 0 -1 -506 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0

NODOS

ARCOSVALOR

3 4 5 OFERTAm12 m14 m15

30 20 50

DEMANDA 30 20 50 100

1 100

DESTINOS

ORIGEN

Z= 30 (M12) + 20 (M14) + 50 (M15)

EL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

Recordemos algunos conceptos básicos como son:

GRAFO. Es una serie de nodos unidos por arcos, ramas o aristas

Red. Es una grafo con algún tipo de flujo en sus ramales. Ejemplo: Eléctrica, transporte.

Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena

EJERCICIO

Una empresa que reparte vinos a 7 localidades diferentes tiene que decidir lac minimización de la totalidad de sus costos asegurándose que cualquier reparto futuro z cualquiera de las localidades se haga a través de la ruta mas corta.

El grafo es el siguiente:

1

H

5

6

2

3

4

7

8

7

4 1

6

1

2

3

3

3

1

(0 , H)

(4 , H)

(8 , H)

(6 , 3)

(5 , 1)

(6 , 3)

(8 , 2)

(9 , 5)

RUTA MAS CORTA DISTANCIA

1 H -1 42 H - 1 - 3 - 2 63 H - 1 - 3 54 H - 1 - 3 - 4 65 H - 1 - 3 - 2 - 5 86 H - 1 - 3 - 2 - 5 - 6 97 H - 7 8

ARBOL DE EXPANSION MINIMA

La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los nodos de la red con un

costo total mínimo

El algoritmo que nos permite resolver este tipo de problemas es el ALGORITMO

GLOTÓN y se puede hacer de dos formas: el método gráfico y el método Tabular.

MÉTODO GRÁFICO.

1. Empiece en cualquier nodo. Seleccione el arco más barato que parta de ese nodo.

Este es su primer enlace. Forma un segmento de conexión entre dos nodos. Los

nodos restantes se llaman NODOS DESCONECTADOS.

1

H

5

6

2

3

4

7

2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los nodos

desconectados. Seleccione el más barato como enlace. Si hay empates rompa de

manera arbitraria. Esto agrega un nuevo nodo al segmento de conexión. Repita este

paso hasta que todos los nodos estén conectados lo cual requiere n -1 pasos.

MÉTODO TABULAR.

1. Comience con cualquier nodo, se designa este nodo como conectado y se coloca un

V al lado del renglón correspondiente a este nodo. Se tacha el índice de la columna

que corresponde a él.

2. Considerando todos los renglones que tienen V, busque el valor mínimo en las

columnas cuyo índice aún no haya sido tachado y se encierra ese valor en un círculo.

Se rompe arbitrariamente los empates. La columna que contenga a ese elemento

encerrado en un círculo designa al nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de esta

columna y se coloca una marca en el renglón correspondiente a este nodo. Se repite

este paso hasta que todos los nodos sean conectados.

3. Una vez que todos los nodos hayan sido conectados, se identifica el árbol expandido

mínimo mediante los elementos circundados.

EJERCICIOS

MÉTODO GRAFICO

9

6

3

8

5

2

7

4

14 9

3 8 4

7 2

5 6 3

4 5

MÉTODO TABULAR

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 4 3

2 4 9 8

3 9 4

4 3 7 5

5 8 7 2

6 4 2

7 5 4

8 6 4 5

9 3 5

DESTINOS

ORIGEN

9

6

3

8

5

2

7

4

14

3

5

4 5

2

4

3

FLUJO MAXIMO

En este problema hay un solo nodo FUENTE ( origen, entrada) y un solo nodo

DESTINO ( sumidero, salida), El problema consiste en determinar el máximo flujo

que se puede enviar desde el nodo fuente al nodo destino, teniendo en cuenta las

capacidades kij sobre el flujo de cada arco (i,j) y que el flujo se debe conservar. Se

utiliza para saber cuál es la cantidad máxima de vehículos, peatones, líquidos o

llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema, para reducir los

embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.

El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el destino)

la relación de equilibrio debe cumplirse:

flujo que sale = flujo que entra

La cantidad de flujo a lo largo de dicho recorrido es FACTIBLE si:

1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.

2. A excepción de los nodos de entrada y salida se debe cumplir la condición de

conservación:

flujo que sale = flujo que entra

ALGORITMO PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA.

1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a

cero en el sentido deseado.

2. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf) del camino seleccionado en el paso

anterior y programar el envío de dicha capacidad (Pf).

3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad Pf en las ramas involucradas

y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.

4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.

5. Si la capacidad final es menor que la capacidad inicial, calcule la diferencia y esta es

la cantidad de flujo a través del arco.

CORTE. Partición del conjunto de nodos en dos clases ajenas, digamos C1 y Cn

donde la fuente está en C1 y el destino en Cn.

CAPACIDAD DE CORTE. Considérense todos los arcos que conectan

directamente un nodo de C1 a un nodo Cn. La suma de las capacidades de esos arcos, en

la dirección C1 – Cn se llama capacidad de corte.

TEOREMA DE FLUJO MÁXIMO Y CORTE MÍNIMO. El flujo máximo

de cualquier red es igual a la capacidad del corte mínimo.

EJERCICIOS

61

53

42

61

53

424

4

2

6

2

6

8

8 8