Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de...
Transcript of Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de...
![Page 1: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematiques aplicades a la vida quotidiana
Merce Llabres
UOM, 2013
![Page 2: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/2.jpg)
L’aritmetica del rellotge: els codis decontrol
2 de 28
![Page 3: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/3.jpg)
L’aritmetica del rellotge
3 de 28
![Page 4: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/4.jpg)
L’aritmetica del calendari
Si consideram els dies de la setmana, si estam a divendres ipassen 3 dies, on estarem?
Si miram els numerets d’abaix resulta que 5+3=1
4 de 28
![Page 5: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/5.jpg)
Aritmetica modular
Fixem enter N > 1:
Congruencies
• a, b ∈ Z congruent modul N si N |a− b o, equivalentment si elresidu de dividir a i b per N es el mateix
• Notacio: a ≡ b (mod N)
Exemple
53 ≡ 5 (mod 8) 42 ≡ 9 (mod 11)
5 de 28
![Page 6: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/6.jpg)
ExemplePrenem N = 6; aleshores Z6 te 6 elements:
[0] = {. . . ,−6, 0, 6, 12, . . . }[1] = {. . . ,−5, 1, 7, 13, . . . }[2] = {. . . ,−4, 2, 8, 14, . . . }[3] = {. . . ,−3, 3, 9, 15, . . . }[4] = {. . . ,−2, 4, 10, 16, . . . }[5] = {. . . ,−1, 5, 11, 17, . . . }
6 de 28
![Page 7: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/7.jpg)
Calcul de la lletra de control de DNI
Pel calcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritmeticamodular a Z23:
• es consideren 23 lletres de l’alfabet per fer la identificacio ambel residu, una vegada eliminades aquelles que no existeixen enl’alfabet internacional (com la n) o les dobles (com Ll o Ch)
• es calcula el residu de la divisio del numero de DNI entre 23 is’assigna una lletra, segons la taula seguent
7 de 28
![Page 8: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/8.jpg)
Calcul de la lletra de control de DNI
Residu Lletra Residu Lletra0 T 12 N1 R 13 J2 W 14 Z3 A 15 S4 G 16 Q5 M 17 V6 Y 18 H7 F 19 L8 P 20 C9 D 21 K10 X 22 E11 B
Exemple: 55555555-K
55555555 = 23× 2415458 + 21
ExerciciComprova la lletra del teu DNI
8 de 28
![Page 9: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/9.jpg)
9 de 28
![Page 10: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/10.jpg)
10 de 28
![Page 11: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/11.jpg)
Calcul del dıgit de control d’un codi de barres
Exercici
Cerca codis de barres de productes que no tenguin el prefixespanyol
11 de 28
![Page 12: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/12.jpg)
Operacions amb classes de congruencia
Sobre ZN : operacions de suma i de producte:
[a] + [b] = [a + b]
[a] · [b] = [a · b]
12 de 28
![Page 13: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/13.jpg)
Aplicacio: la prova del 9
Divisio:
13 de 28
![Page 14: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/14.jpg)
Aplicacio: la prova del 9
Multiplicacio:
14 de 28
![Page 15: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/15.jpg)
ExempleLa taula de la suma a Z6 es:
+ [0] [1] [2] [3] [4] [5][0] [0] [1] [2] [3] [4] [5][1] [1] [2] [3] [4] [5] [0][2] [2] [3] [4] [5] [0] [1][3] [3] [4] [5] [0] [1] [2][4] [4] [5] [0] [1] [2] [3][5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]
15 de 28
![Page 16: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/16.jpg)
ExempleLa taula del producte a Z6 es:
· [0] [1] [2] [3] [4] [5][0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5][2] [0] [2] [4] [0] [2] [4][3] [0] [3] [0] [3] [0] [3][4] [0] [4] [2] [0] [4] [2][5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]
16 de 28
![Page 17: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/17.jpg)
Proposicio[a] ∈ ZN invertible ⇐⇒ mcd(a, N) = 1
Exemple
Z∗6 = {[1], [5]}
Maxim comu divisorDonats a, b ∈ Z :
• mcd(a, b) major divisor comu positiu de a i b
Mınim comu multiple
• mcm(a, b) menor multiple comu positiu de a i b
17 de 28
![Page 18: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/18.jpg)
Algoritme d’Euclides
• Donats a, b ∈ Z>0 l’altoritme d’Euclides serveix per calcular elmcd(a, b)
• A mes, l’algoritme extes d’Euclides serveix per trobar dosenters x , y tals que
mcd(a, b) = x · a + y · b
• L’algortime d’Euclides es bassa en el seguent fet:el residu r de dividir a entre b es el mateix que el de dividir bentre r
Com ho feim?...
18 de 28
![Page 19: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/19.jpg)
Exemplemcd(4864, 3458):
i r q x y
0 4864 − 1 01 3458 − 0 12 1406 1 1 −13 646 2 −2 34 114 2 5 −75 76 5 −27 386 38 1 32 −457 0 2 −91 128
rk−2 = rk−1qk + rk xk = xk−2 − qkxk−1 yk = yk−2 − qkyk−1
Per tant, mcd(4864, 3458) = 38 = 32 · 4864 + (−45) · 3458.19 de 28
![Page 20: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/20.jpg)
Calcul d’inversosSi [a] invertible, es pot trobar l’invers [a]−1 amb algorismed’Euclides estes:
mcd(a, N) = 1 =⇒ ∃x , sy : xa + yN = 1 =⇒
=⇒ [x ][a] = 1 =⇒ [a]−1 = [x ]
ExempleInvers de 35 modul 2452: 1 = (−17) · 2452 + 1191 · 35
[35]−12452 = [1191]2452.
ExerciciCalcular l’invers de [8]3520 de 28
![Page 21: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/21.jpg)
El sistema criptografic RSA
Teorema petit de FermatSi p es primer, aleshores np ≡ n modul p
Per exemple:
• n2 ≡ n modul 2, perque o tots dos son parells o tots dos sonimparells
• 133 ≡ 13 modul 3: 133 − 13 = 2184 = 728× 3
Teorema d’EulerSi p, q son primers i n ∈ N, aleshores n · n(p−1)(q−1) ≡ n modulp · q
21 de 28
![Page 22: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/22.jpg)
El sistema criptografic RSA
El sistema d’encriptat RSA (R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman,1977) te 3 parts:
• Generacio de claus
• Encriptat
• Desencriptat
22 de 28
![Page 23: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/23.jpg)
El sistema criptografic RSA
Generacio de claus:
• Trio dos primers grans de mida semblant p, q
• Faig N = p × q
• Calcul (p − 1)(q − 1)
• Trio 1 < e < (p − 1)(q − 1) coprimer amb (p − 1)(q − 1)
• Trob d ∈ N tal que d · e ≡ 1 modul (p − 1)(q − 1)
• Faig publics els valors de N i de e, guard els valors de p, q, d .
A banda, hem de disposar d’un metode convingut per codificartextos en nombres naturals (comunicam nombres)
23 de 28
![Page 24: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/24.jpg)
El sistema criptografic RSA
Generacio de claus:
• Jo trio dos primers grans de mida semblant: 5 i 7
• Calcul N = 5× 7 = 35
• Calcul (p − 1)(q − 1) = 4× 6 = 24
• Trio 1 < e < 24 coprimer amb 24: e = 7 (mal fet!)
• Trob d ∈ N tal que 7d ≡ 1 modul 24: d = 7(7× 7− 1 = 48 = 2× 24)
• Faig publics els valors de N = 35 i de e = 7, guard els valorsde p = 5, q = 7, d = 7.
24 de 28
![Page 25: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/25.jpg)
El sistema criptografic RSA
Encriptat: Quan em voleu comunicar un missatge:
• El tranformau en un nombre natural M (suposam M < N ; sino, el feu a bocinets)
• Calculau Me modul N
• M’enviau aquest valor M
Exemple:
• Em voleu comunicar el numero 8
• Calculau 87 modul 35: es 22(87 = 2.097.152 = 59.918× 35 + 22)
• M’enviau el 22
25 de 28
![Page 26: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/26.jpg)
El sistema criptografic RSA
Desencriptat: Per llegir el missatge:
• Calcul Md modul N
• Dona M
• Ho traduesc a text
Exemple:
• Calcul 227 modul 35:227 = 2.494.357.888 = 71.267.368× 35 + 8
• El missatge que rep es 8, com volıeu
26 de 28
![Page 27: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/27.jpg)
El sistema criptografic RSA
Per que el consideram segur?
• Es considera molt difıcil descompondre n = p · q en els seusfactors p, q. Els nombres mes grans que s’han pogutdescompondre amb algoritmes generals son ∼ 10230, i ara p, qs’agafen ∼ 10300
(100 milions d’ordinadors com aquest tardarien mes de 1000 anys, demitjana, en descompondre el p · q resultant)
• Sense coneixer una factoritzacio de n, es considera molt difıcilel problema d’extreure arrels modul n; es a dir, donat X ,trobar Y tal que Y e = X modul n
Pero no son problemes impossibles de resoldre: simplement no sesaben resoldre prou aviat27 de 28
![Page 28: Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana · 2019-03-10 · C alcul de la lletra de control de DNI Pel c alcul de la lletra de control del DNI, s’utilitza l’aritm etica modular](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022041516/5e2b4a549649f01f321d0233/html5/thumbnails/28.jpg)
Codificacio missatges
Xifrat de Cesar
• Missatges: M = Z26 (blocs de 1 caracter llatı)
• Criptogrames: C = Z26
• Funcions d’encriptacio i desencriptacio:
E (m) = m + 3 mod 26, D(c) = c − 3 mod 26
ExempleATAQUEU s’encripta en DWDTXHX
28 de 28