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TRIGONOMETRÍA
1
TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 44
IIDDEENNTTIIDDAADDEESS CCIIRRCCUULLOO TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCOO
OO CCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA GGOONNIIOOMMÉÉTTRRIICCAA
Recibe este nombre por tres motivos: a) El radio utilizado es la unidad de la longitud usada. b) Al usar la unidad la función queda simplificada. c) Cuando en una división el divisor es uno, el cociente es el dividendo. Ejemplo: de círculo trigonométrico. El radio también se denomina la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y un punto cualesquiera del círculo.
LLÍÍNNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
Las líneas trigonométricas sirven para mostrarnos gráficamente en el círculo funciones trigonométricas. FUNCIÓN SENO
Seno =Hipotenusa
Opuesto Cateto = ciatanDis
Opuesto Cateto = r
Ordenada = 1y = Y
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TRIGONOMETRÍA
2
Senα = RY Como R = 1 Senα =
1Y = y = ordenada
FUNCIÓN COSENO
Coseno = Hipotenusa
Adyacente Cateto = ciatanDis
Adyecente Cateto = R
Abcisa = 1x
Cos. α = RX =
ciatanDisAbcisa =
1x = x
Cos = RX como R = 1 Cos = x
FUNCIÓN TANGENTE
Tangente ∝ = Adyacente CatetoOpuesto Cateto =
AbcisaOrdenada =
xy =
αCosαSen
A B
C
αy
x
x = Cateto Adyacente
y = Cateto Opuesto
A B
C
α y
x
Coseno
y = seno
α y = Sen
x
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TRIGONOMETRÍA
3
CCOONNCCLLUUSSIIÓÓNN DDEE LLAASS LLÍÍNNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
NOTA Al Seno, Coseno y Tangente se les llama líneas trigonométricas, a la cotangente, secante y cosecante colíneas trigonométricas.
α
Tangente Seno
Coseno
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TRIGONOMETRÍA
4
CCOOLLÍÍNNEEAASS
TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS FUNCIÓN COTANGENTE
Cotangente = Opuesto Lado
Adyacente Lado = Ordenada
Abcisa = yx =
αsenαcos
¡Observe! 1) Observa que “β” es el complemento de α, y, α es el complemento de β.
¡IMPORTANTE! La tangente de un ángulo es la Cotangente de su complemento.
Por tanto la Tan β = OCCB pero OC = 1 y nos queda:
Tan β = OCCB =
1CB = CB De Donde
O A
B C
β α
Cotangente de Alfa
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TRIGONOMETRÍA
5
Cot α = CB FUNCIÓN SECANTE
Secante = Adyacente Cateto
Hipotenusa = Abcisa
Hipotenusa = x
Hipotenusa
Sec α = OAOB pero OA vale uno por ser el radio del círculo y tenemos
que:
Sec α = OAOB =
1OB = OB
NOTA: Recuerde que la definición de Secante es: Es una recta que corta una curva, observe que la Secante de α es OB. ¡IMPORTANTE! La secante se forma como una recta indefinida FUNCIÓN COSECANTE
α
B
A Q O
P Secante de Alfa
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TRIGONOMETRÍA
6
Cosecante = Opuesto Lado
Hipotenusa
NOTA: la secante de β es decir, Cosecante de α porque son complementarios.
Sec β = OBOA pero OB es igual a uno, por lo tanto:
Sec β = OBOA =
1OA = OA
Sec β = Csc α es decir, Sec β = OA y Csc α = OA
CCOONNCCLLUUSSIIÓÓNN
LLÍÍNNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL CCIIRRCCUULLOO
α β
B A
O
Cosencante de Alfa
α
C
D
O A B
Tangente
Seno
Coseno
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TRIGONOMETRÍA
7
CCOOLLIINNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL CCIIRRCCUULLOO
RREELLAACCIIOONNEESS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS EENNTTRREE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRIICCAASS YY FFOORRMMAA DDEE
RREEDDUUCCCCIIÓÓNN
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE UUNN TTRRIIAANNGGUULLOO RREECCTTÁÁNNGGUULLOO
Sen A = RY Csc A =
YR Tan A =
XY
Cos A = RX Sec A =
XR Ctg A =
YX
y
R
Ax
α
T C
P
B
A Q O
Secante
Cosecante
Cotangente
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TRIGONOMETRÍA
8
FFUUNNCCIIOONNEESS RREECCIIPPRROOCCAASS Son aquellas funciones que al multiplicar entre sí su producto es igual a 1. PRIMERA RELACIÓN Sen A • Csc A = 1 Demostración:
Sen A = RY Csc A =
YR
De donde:
Sen A ⋅ Csc A = RY ⋅
YR = 1
Conclusión: Sen A ⋅ Csc A =1
Sen A = CscA
1 y Csc A = SenA
1
SEGUNDA RELACIÓN:
Cos A • Sec A = 1 Demostración:
Cos A = RX y Sec A =
XR
De donde:
Cos A • Sec A = RX •
XR = 1
Conclusión:
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TRIGONOMETRÍA
9
Cos A • Sec A = 1 También:
Cos A = SecA
1 y Sec A = CosA
1
TERCERA RELACIÓN:
Tag A • Ctg A = 1 Demostración:
Tag A = XY y Cot A =
YX
De donde:
Tag A • Ctg A = XY •
YX = 1
Conclusión:
Tag A • Ctg A = 1
Tag A = CtgA
1 y Ctg A = TagA
1
CUARTA RELACIÓN:
Tag A = CosASenA
Demostración:
Sen A = RY ; Cos A =
RX ; Tag A =
XY
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TRIGONOMETRÍA
10
Tag A = CosASenA =
RXRY
= RY ÷
RX =
RY •
XR =
XY
Conclusión: Tag A
XY ó Tag A =
CosASenA
QUINTA RELACIÓN:
Ctg A = SenACosA
Demostración:
Sen A = RY y Cos A =
RX ; Ctg A =
YX
Ctg A = SenACosA =
RYRX
= RX ÷
RY =
RX ⋅
YR =
YX
Conclusión:
Ctg A = YX ó
SenACosA
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TRIGONOMETRÍA
11
SEXTA RELACIÓN:
Sen 2 A ÷ Cos 2 A = 1 Demostración: aplicando Pitágoras
R 2 = X 2 + Y 2 Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones, dividimos todos los términos de la ecuación por R 2 y nos queda.
2
2
RR =
2
2
RX +
2
2
RY
Pero
2
2
RR = 1
2
2
RX = Cos 2
2
2
RY = Sen 2
De donde:
1= Cos 2 + Sen 2 De donde:
Sen 2 + Cos 2 = 1 ó Sen 2 A + Cos 2 A = 1
Pasando Coseno al miembro derecho nos queda:
Sen 2 A = 1 – Cos 2 A Sacando raíz cuadrada a ambos miembros nos queda:
ASen2 = ACos1 2−
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TRIGONOMETRÍA
12
Elaborando la operación en el miembro izquierdo nos queda:
sen A = ACos1 2− SÉPTIMA RELACIÓN:
Sec 2 A = 1 + Tg 2 A Demostración: aplicando Pitágoras.
R 2 = X 2 +Y 2 Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones, dividimos todos los términos de la ecuación por x 2 y nos queda.
2
2
XR =
2
2
XX +
2
2
XY
De donde:
2
2
XR = 1 +
2
2
XY
Pero: 2
2
XR = Sec 2 y
2
2
XY = Tg 2
De donde: Sec 2 = 1 + Tg 2 Conclusión: Sec 2 A = 1 + Tg 2 A Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones, es decir, sacando raíz cuadrada a ambos miembros nos queda:
ASec 2 = ATg1 2+
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TRIGONOMETRÍA
13
Extrayendo la Raíz Cuadrada en el lado izquierdo nos queda:
Sec A = ATg1 2+ OCTAVA RELACIÓN:
Csc 2 A = 1 +Ctg 2 A Demostración: Aplicando Pitágoras.
R 2 = X 2 + Y 2 Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones es decir, dividiendo todos los términos de la ecuación por y 2 nos queda:
2
2
YR =
2
2
YX +
2
2
YY
Pero:
2
2
YR : Csc 2 =
2
2
YX = Ctg 2 ;
2
2
YY = 1
De donde:
csc 2 = Ctg 2 + 1 ó csc 2 = 1 + Ctg 2 Conclusión:
Csc 2 A = 1 + Ctg 2 A Metiendo ambos miembros bajo radical nos queda:
ACsc 2 = Actg1+ Extrayendo Raíz Cuadrada al miembro izquierdo nos queda:
Csc A = ACtg1 2+
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TRIGONOMETRÍA
14
UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN EENN BBAASSEE AA LLAASS OOTTRRAASS CCIINNCCOO
SENO EN BASE A COSECANTE
Recuerde que: Sen A RY = y Csc A =
YR
De donde:
Sen A = RY =
YR1
Pero: YR = Csc por ser complemento
De donde: Sen A = RY =
CscA1
Conclusión: Sen A CscA
1
NOTA Cuando tratamos las líneas trigonométricas establecemos que en un ángulo alfa, cuyo radio vale la unidad, el lado opuesto es el Seno y el lado adyacente es el Coseno.
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TRIGONOMETRÍA
15
EN BASE A COSENO Elaboramos la figura: De la figura establecemos que:
Sen 2 A + Cos 2 A = 1 De donde:
Sen 2 A = 1 – Cos 2 A De donde:
Sen A = ACos1 2− EN BASE A COTANGENTE Vimos que:
Csc A = ACtg1 2+ También vimos que:
Csc A = SenA
1
De donde:
SenA1 = ACtg1 2+
Despejando seno nos queda:
ACtg11
2+ = Sen A
A
B
C A
Seno
Coseno
1
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TRIGONOMETRÍA
16
Organizando nos queda:
Sen A =ACtg1
12+
EN FUNCIÓN DE SECANTE 1) Cos A . Sec A = 1 De donde
2) Sec A = CosA
1
Pero en la relación sexta vimos que: 3) Cos A = ASen1 2− Por tanto reemplazando en dos tenemos que:
Sec A = ASen1
12−
Multiplicando cada miembro por si mismo nos queda:
Sec A . Sec A = Sec 2 A
ASen1
12−
• ASen1
12−
= ASen1
12−
De donde:
Sec 2 = ASen1
12−
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TRIGONOMETRÍA
17
De donde: Sec 2 A ( 1 – Sen 2 A ) = 1 De donde: Sec 2 A – Sec 2 A ⋅ Sen 2 A = 1 De donde.
-Sec 2 A ⋅ Sen 2 A = 1 - Sec 2 A Multiplicando todos los términos por menos uno nos queda Sec 2 A ⋅ Sen 2 A = -1 + Sec 2 A Organizando nos queda: Sec 2 A . Sen 2 A = Sec 2 A – 1 Despejando Sen 2 A queda:
Sen 2 A = 2
2
Sec1Sec −
Metiendo ambos miembros bajo radical queda:
ASen2 = ASec
1ASec2
2 −
Extrayendo Raíz Cuadrada en el miembro izquierdo nos queda:
Sen A = ASec
1ASec2
2 −
EN BASE A COSECANTE Ya vimos que:
Sen A = CscA
1
De la ecuación establecemos que:
Sen A • Csc A = 1
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TRIGONOMETRÍA
18
EN FUNCIÓN DE TANGENTE Sabemos que:
1) Tan A = A Cosa Sen
También sabemos que: 2) Cos A ASen1 2− Reemplazando en (1) a Coseno nos queda:
3) Tan A = ASen1
SenA2−
Multiplicando ambos miembros por un valor igual nos queda:
Tan A . Tan A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− ASen1SenA
2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− ASen1SenA
2
De donde nos queda:
Tan 2 A = ASen1
ASen2
2
−
De donde: Tan 2 A (1 - Sen 2 A) = Sen 2 A Tan 2 A – Tan A . Sen 2 A = Sen 2 A Tan 2 A = Sen 2 A + Tan 2 A . Sen 2 A Factorizando tenemos:
Tan 2 A = sen 2 A (1 + Tan 2 A) De donde: Sen 2 A (1 + Tan 2 A) = Tan 2 A
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TRIGONOMETRÍA
19
De donde:
Sen 2 A = ATan1
ATan2
2
+
Sacando Raíz Cuadrada a ambos miembros nos queda:
ASen2 = ATan1
ATan2
2
+
De donde:
Sen A = ATan1
TanA+
RREESSUUMMEENN DDEELL CCAALLCCUULLOO DDEELL SSEENNOO EENN FFUUNNCCIIÓÓNN DDEE LLAASS RREESSTTAANNTTEESS
Sen A = CscA
1
Sen A = ACos1 2−
Sen A = ACtg1
12+
Sen A = ASec
1ASec2
2 −
Sen A = ATan1
TanA2+
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TRIGONOMETRÍA
20
TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 55
((CCOONNTTIINNUUAACCIIÓÓNN IIDDEENNTTIIDDAADDEESS))
CCOOSSEENNOO EN BASE AL SENO Vimos que: Sen 2 A + Cos 2 A = 1 De donde: Cos 2 A = 1 - Sen 2 A Manteniendo ambos miembros bajo radical queda:
ACos2 = ASen1 2− Extrayendo Raíz Cuadrada al miembro de la izquierda queda:
Cos A = ASen1 2− EN BASE A LA SECANTE
Cos A =SecA
1
EN BASE A TANGENTE
Vimos que 1) Tan A = CosASenA
2) pero Sen A = ACos1 2−
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TRIGONOMETRÍA
21
Reemplazando Seno en uno nos queda:
Tan A= CosA
ACos1 2−
Multiplicando cada miembro por si mismo queda:
Tan A ⋅ Tan A = CosA
ACos1 2− ⋅ CosA
ACos1 2− Haciendo la operación:
Tan 2 A = ACos
ACos12
2−
Quitando el denominador queda:
Tan 2 A ⋅ Cos 2 A = 1 - Cos 2 A Pasando Coseno al lado izquierdo queda:
Tan 2 A ⋅ Cos 2 A + Cos 2 A = 1 Factorizando queda:
Cos 2 A (Tan 2 A + 1) = 1 Despejando Coseno nos queda:
Cos 2 A = 1ATan
12 +
Organizando el Denominador queda:
Cos 2 A = ATan1
12+
Sacando Raíz Cuadrada a ambos miembros queda:
Cos A = ATan1
12+
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TRIGONOMETRÍA
22
EN BASE A COSECANTE Vimos que:
1) Csc A = SenA
1
También vimos: 2) Sen A = ACos1 2− Reemplazando Seno en uno nos queda:
Csc A = ACos1
12−
Elevando al cuadrado ambos miembros nos queda:
Csc A . csc A = ACos1
12−
• ACos1
12−
De donde:
Csc 2 A = ACos1
12−
De donde:
1 – Cos 2 A ACsc
12
De donde:
− Cos 2 A = 1ACsc
12
−
De donde multiplicando cada término por menos uno queda:
Cos 2 A = - 1ACsc
12
+
Organizando el segundo miembro:
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TRIGONOMETRÍA
23
Cos 2 A = ACsc
112
−
Convirtiendo la unidad en Csc 2 A sobre Csc 2 A queda:
Cos 2 A = ACsc
1ACscACsc
22
2
−
Elaborando la suma de fraccionarios con igual denominador queda:
Cos 2 A = ACsc
1ACsc2
2 −
Extrayendo Raíz Cuadrada a ambos miembros queda:
Cos A = ACsc
1ACsc2
2 −
EN BASE A COTANGENTE Vimos que:
1) Cot A = SenACosA
También vimos que: 2) Sen A = ACos1 2− Reemplazando Seno en Uno nos queda:
3) Cot = ACos1
CosA2−
Elevando al cuadrado cada miembro nos queda:
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TRIGONOMETRÍA
24
Cot A • Cot A = ACos1
CosA2−
• ACos1
CosA2−
Elaborando la operación queda:
Cot 2 A = ACos1
ACos2
2
−
Quitando el denominador nos queda: Cot 2 A (1- Cos 2 A) = Cos 2 A Elaborando la operación nos queda: Cot 2 A - Cot 2 A . Cos 2 A = Cos 2 A Despejando Cotangente nos queda: Cot 2 A = Cos 2 A + Cot 2 A . Cos 2 A De donde: Cot 2 A = Cos 2 A (1 + Cot 2 A) Despejando Coseno nos queda:
ACot1
ACot2
2
+ = Cos 2 A
Cambiando todos los términos queda:
Cos 2 A = ACot1
ACot2
2
+
Sacando Raíz Cuadrada a ambos miembros nos queda:
ACos2 = ACot1
ACot2
2
+
Elaborando la operación.
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TRIGONOMETRÍA
25
Cos A = ACot1
CotA2+
Resumiendo: Cos A = ASen1 2−
Cos A = SecA
1
Cos A = ATan1
12+
Cos A = CscA
1ACsc 2 −
Cos A = ACot1
CotA2+
TTAANNGGEENNTTEE EN BASE A COTANGENTE Ya vimos que
Tan A = ACtg
1
EN BASE A SENO
1) Tan A = ACos ASen
También vimos que:
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TRIGONOMETRÍA
26
2) Cos A = ASen² - 1 Reemplazando Seno en uno nos queda:
3) Tan A = A² Sen - 1
ASen
EN BASE A COSENO Vimos que:
1) Tan A = ACos ASen
También vimos que: 2) Sen A = ACos² - 1 3) Reemplazando Seno en uno nos queda:
Tan A = ACos
ACos² - 1
EN BASE A SECANTE Vimos que:
1) Tan A = ACos ASen
Ya vimos que:
2) Sen A = ASec
1 - A ²Sec
Ya vimos que:
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TRIGONOMETRÍA
27
3) Cos A = Sec A
1
Reemplazando en uno nos queda:
Tan A =
ASec1
ASec1 - A Sec²
Quitando Denominadores por ser iguales nos queda que:
Tan A = 1
1 - A Sec²
De donde: Tan A = 1 - A Sec² EN BASE A COSECANTE Ya vimos que:
1) Tan A = ACos ASen
También sabemos que:
2) Sen A = Csc A
1
También sabemos que:
3) Cos A = ACsc
1 - A Csc²
![Page 29: Matemáticas Interactivasaula.capacitacion2000.edu.co/mat/trigonometria_ciclo5_unidad3.pdf · UNIDAD 3 Material tomado de y ejercicios elaborados por el Profesor Matemáticas Interactivas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022011820/5ea211234bd43519727190ca/html5/thumbnails/29.jpg)
TRIGONOMETRÍA
28
Reemplazando en uno nos queda que:
Tan A =
ACsc1 - A Csc²
Csc A1
Anulando Denominadores queda:
Tan A = 1 - A ²Csc
1
RREESSUUMMEENN
Tan A = ACtg
1
Tan A = ASen² - 1
ASen
Tan A = ACos
ACos² - 1
Tan A = 1 - ASec 2
Tan A = 1 - A ²Csc
1
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TRIGONOMETRÍA
29
CCOOTTAANNGGEENNTTEE EN BASE A SENO Ya vimos que:
1) Cot A = ATan
1
Sabemos que:
2) Tan A = ACos ASen
Pero Cos A = ASen² - 1 Reemplazando en dos a Coseno nos queda:
3) Tan A = A² Sen - 1
ASen
Reemplazando Tangente en uno nos queda:
Cot A =
ASen² - 1 ASen
1
Elaborando la operación correspondiente nos queda:
Cot A = ASen
ASen² - 1
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TRIGONOMETRÍA
30
EN BASE A COSENO Sabemos que:
1) Cot A = ATan
1
Pero sabemos que:
2) Tan A = ACos ASen
También sabemos que: 3) Sen A = ACos² - 1 Reemplazando Seno en dos nos queda:
Tan A = ACos
ACos² - 1
Reemplazando Tangente en uno nos queda:
Cot A =
ACos ACos² - 1
1
Elaborando la operación nos queda:
Cot A = ACos² - 1
ACos
EN BASE A TANGENTE
Cot A = ATan
1
EN BASE A SECANTE
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TRIGONOMETRÍA
31
Sabemos que:
1) Cot A = ATan
1
También sabemos que: 2) Tan A = 1 - A Sec² Reemplazando en uno nos queda:
3) Cot A = 1 - A Sec²
1
EN BASE A COSECANTE
1) Cot A = ATan
1
Pero sabemos que:
2) Tan A = 1 - A Csc²
1
Reemplazando tangente en uno nos queda:
3) Cot A =
1 - A ²Csc11
Elaborando la operación queda: 4) Cot A = 1 - A ²Csc
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TRIGONOMETRÍA
32
RREESSUUMMEENN
Cot A = ASen
ASen² - 1
Cot A = ACos² - 1
AosC
Cot A = AanT
1
Cot A = 1 - A ²Sec
1
Cot A = 1 - ACsc 2
SSEECCAANNTTEE EN BASE A SENO Sabemos que:
1) Sec A = ACos
1
Sabemos que: 2) Cos A = ASen² - 1 Reemplazando Coseno en uno nos queda:
3) Sec A = A² Sen - 1
1
EN BASE A COSENO
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TRIGONOMETRÍA
33
Sec A = ACos
1
EN BASE A TANGENTE Sabemos que:
1) Sec A = ACos
1
También sabemos que:
2) Cos A = ATan² 1
1+
Reemplazando Coseno en uno nos queda:
3) Sec A =
ATan² - 111
Elaborando la operación queda: 4) Sec A = ATan² 1+ EN BASE A COTANGENTE Sabemos que:
1) Sec A = ACos
1
Sabemos que:
2) Cos A = ACot² 1
ACot+
Reemplazando Coseno en uno nos queda:
![Page 35: Matemáticas Interactivasaula.capacitacion2000.edu.co/mat/trigonometria_ciclo5_unidad3.pdf · UNIDAD 3 Material tomado de y ejercicios elaborados por el Profesor Matemáticas Interactivas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022011820/5ea211234bd43519727190ca/html5/thumbnails/35.jpg)
TRIGONOMETRÍA
34
3) Sec A =
ACot² 1 ACot
1
+
Elaborando la operación nos queda:
4) Sec A = ACot
ACot² 1+
EN BASE A COSECANTE Sabemos que:
1) Sec A = ACos
1
Sabemos que:
2) Cos A = Csc A
1 - A Csc²
Reemplazando Coseno en uno nos queda:
3) Sec A =
Csc A1 - A Csc²
1
Elaborando la operación correspondiente nos queda:
4) Sec A = 1 - A Csc²
Csc A
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TRIGONOMETRÍA
35
RREESSUUMMEENN
Sec A = ASen² - 1
1
Sec A = ACos
1
Sec A = ATan² 1+
Sec A = ACot
ACot² 1+
Sec A = 1 - A Csc²
Csc A
CCOOSSEECCAANNTTEE
EN BASE A SENO Sabemos que:
Csc A = ASen
1
EN BASE A COSENO Sabemos que:
1) Csc A = ASen
1
Pero: Sen A = ACos² - 1 Reemplazando en uno por Coseno queda:
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TRIGONOMETRÍA
36
2) Csc A = ACos² - 1
1
EN BASE A TANGENTE Sabemos que:
1) Csc A = ASen
1
Sabemos que:
2) Sen A = ATan² 1
ATan+
Reemplazando Seno en uno nos queda:
3) Csc A =
ATan² 1 ATan
1
+
Elaborando la operación queda:
4) Csc A = ATan
ATan² 1+
EN BASE A COTANGENTE Sabemos que:
1) Csc A = ASen
1
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TRIGONOMETRÍA
37
Sabemos que:
2) Sen A = ACot² 1
1+
Reemplazando Seno en uno nos queda:
3) Csc A =
ACot² 111
+
Elaborando la operación nos queda: 4) Csc A = ACot² 1+ EN BASE A SECANTE Sabemos que:
1) Csc A = ASen
1
Sabemos que:
2) Sen A = Sec A
1 - A Sec²
Reemplazando Seno en uno nos queda:
3) Csc A =
Sec A1 - A Sec²
1
Elaborando la operación queda:
4) Csc A = 1 - A Sec²
Sec A
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TRIGONOMETRÍA
38
RREESSUUMMEENN
Csc A = ASen
1
Csc A = ACos² - 1
1
Csc A = AanT
ATan² 1+
Csc A = ACot² 1+
Csc A = 1 - A Sec²
Sec A
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TRIGONOMETRÍA
39
TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 66
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
DDEE LLAA SSUUMMAA YY DDEE LLAA DDIIFFEERREENNCCIIAA DDEE DDOOSS ÁÁNNGGUULLOOSS
FUNCIÓN SENO Si llamamos aun ángulo “a” y a otro ángulo “b” se presenta que:
Sen (a + b) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen b
La demostración generalmente se presenta a través de la figura Pitagórica: NOTA: Para que entienda que ∠ a = ∠ a, recuerde que en Geometría se demostró que ángulos agudos con lados correspondientes perpendiculares, con iguales. Es la norma que aplicamos en este caso. Observe que GH es perpendicular a OH ; observe que GF es perpendicular a OI por tanto ∠ a = ∠ a
H
I E O
G
F a
a
b
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TRIGONOMETRÍA
40
DEMOSTRACIÓN
1) Sen (a + b ) = OGGE
2) Pero GE = FE + FG 3) Pero FE = HI 4) Sustituyendo en 2 FE por HI queda: 5) GE = HI + FG 6) Sustituyendo 5 en uno queda:
7) Sen (a + b) = OG
FG HI + = OGHI +
OGFG
Es decir:
Sen (a + b) = OGHI +
OGFG
Multiplicando la primera fracción por OH y la segunda fracción por GH nos queda:
8) Sen (a + b) = OGHI •
OHOH +
OGFG •
GHGH
El orden de los factores no altera el producto y nos queda:
9) Sen (a + b) = OHHI •
OGOH +
GHFG •
OGGH
Observando cada fracción tenemos:
10) OHHI = Sen a
OGOH = Cos b
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TRIGONOMETRÍA
41
GHFG = Cos a
OGGH = Sen b
En otras palabras
11) Sen (a + b) = OHHI •
OGOH +
GHFG •
OGGH
Sen (a + b) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen b
FUNCIÓN COSENO
Cos (a + b ) = OGOE
Pero: OE = OI – EI
EI = FH Sustituyendo en OE por OI – EI y EI por FH Nos queda:
Cos (a + b) = OG
FH - OI = OGOI −
OGFH
H
I E O
G
F a
a
b
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TRIGONOMETRÍA
42
Multiplicando la primera fracción por OH y la segunda fracción por GH nos queda:
Cos (a + b) = OGOI •
OHOH −
OGFH •
GHGH
El orden de los factores no altera el producto y nos queda:
Cos (a + b) = OHOI •
OGOH −
GHFH •
OGGH
Pero:
OHOI = Cos a
OGOH = Cos b
GHFH = Sen a
OGGH = Sen b
En otras palabras
Cos (a + b) = OHOI •
OGOH −
GHFH •
OGGH
Cos (a + b) = Cos a • Cos b − Sen a • Sen b FUNCIÓN TANGENTE 1) Sabemos que
Tan = Coseno
Seno
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TRIGONOMETRÍA
43
Por tanto
2) Tan (a + b) = b)(a Cosb)(a Sen
++ =
b Sen a Sen b Cos a Cosa Cos b sen b Cos a Sen
•+••+•
Aplicando la ley básica de los fraccionarios dividimos numerador y denominador por Coseno a · Coseno b y nos queda:
3) Tan (a + b) =
bCosaCosb Sen a Sen - b Cos a Cos
b Cos a Cosa Cos b Sen b Cos a Sen
•••
••+•
De lo anterior queda:
4) Tan (a + b) =
b Cos aCosa Cos b Sen
bCos aCosb Cos a osC
b Cos a Cosa Cos b Sen
b Cos a Cosb Cos a Sen
••
−••
••
+••
Simplificando queda:
5) Tan (a + b) =
bCos aCosb Sen a Sen - 1
b Cosb Sen
a Cosa Sen
••
+
Pero:
6) a Cosa Sen = Tan A
b Cosb Sen = Tan B
a Cosa Sen = Tan A
b Cosb Sen = Tan B
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TRIGONOMETRÍA
44
Reemplazando en 5 nos queda:
Tan (a + b) = b Tan a Tan - 1 b Tan a Tan
•+
FUNCIÓN COTANGENTE Sabemos que
Cot = Seno
Coseno
De donde:
Cot (a + b) = b)(a enSb)(a Cos
++ =
a Cos b Sen b Cos a Senb Cos a Sen b Cos a osC
•+••−•
Aplicando la característica básica de los fraccionarios dividimos numerador y denominador por Sen a · Sen b y nos queda:
Cot (a + b) =
b Sen aenSa Cos b Sen
bSen aSenb Cos a enS
b Sen a enSb Sen a Sen
b Sen a Senb Cos a osC
••
−••
••
+••
Simplificando queda:
Cot (a + b) =
aSena Cos
bSenb Cos
1 - b Sen a enSb Cos a Cos
+
••
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TRIGONOMETRÍA
45
Pero:
a Sena osC = Cot a
b Senb osC = Cot b
Reemplazando nos queda:
Cot (a + b) = a Cot b otC
1 - b Cot a Cot••
FUNCIÓN SECANTE Sabemos que:
Sec = Cos
1
Aplicando este principio, para Secante se aplica la relación:
Sec (a + b) = b) (a Cos
1+
FUNCIÓN COSECANTE Sabemos que:
Csc = Sen
1
Aplicando este principio para Cosecante se aplica la relación:
Csc (a + b) = b) (a enS
1+
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TRIGONOMETRÍA
46
FFUUNNCCIIÓÓNN TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAA DDEE LLAA DDIIFFEERREENNCCIIAA DDEE DDOOSS ÁÁNNGGUULLOOSS
NOTA: Coseno a = Cos – a DEMOSTRACIÓN CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Cos a = R
OA Cos – a = R
OA
Deducción Cos a = Cos – a FUNCIÓN SENO 1) Sen (a + b ) = Sen a • Cos b + Sen b • Cos a 2) Sen [a + (-b)] = Sen a • Cos (-b) + Sen (-b) • Cos a NOTA Los valores dentro de un signo de agrupación precedido del signo más (+) salen conservando su signo. Por otra parte tenemos: Cos (-b) = Cos b Por lo ya explicado en el círculo Trigonométrico
Sen (-b) = - Sen b 3) Sustituyendo en dos nos queda:
a
B
R
O R
A -a
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TRIGONOMETRÍA
47
Sen (a-b) = Sen a • Cos b – Sen b • Cos a FUNCIÓN COSENO Sabemos que Cos (a-b) = Cos a • Cos b – Sen a • Sen b Cos [a + (-b)] = Cos a • Cos (-b) - Sen a • Sen (-b) Pero Cos (-b) = Cos b : Por lo ya visto. - Sen b = Sen (-b) y tenemos: Cos [a + (-b)] = Cos a • Cos (-b) - Sen a • Sen (-b) Cos (a-b) = Cos a • Cos b + Sen a • Sen b CONCLUSIÓN Cos (a – b) = Cos a • Cos b + Sen a • Sen b FUNCIÓN TANGENTE Sabemos que:
Tan (a + b) = b Tan a Tan - 1 b Tan a Tan
•+
Porque menos por menos arroja más.
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TRIGONOMETRÍA
48
Tan [a + (-b) ] = (-b) Tan a Tan - 1
(-b) Tan a Tan•
+
Pero: Tan (-b) = - Tan b De donde:
Tan (a – b) = b Tan a Tan 1 b Tan a Tan
•+−
FUNCIÓN COTANGENTE Sabemos que:
Cot (a + b) = b Cot a otC
1 - b Cot a Cot+•
Cot [a + (-b)] = (-b) Cot a otC
1 - (-b) Cot a Cot+•
Cot (-b) = - Cot b De donde:
Cot (a – b) = b Cot a otC
1 - b Cot a Cot−•−
Multiplicando numerado y denominador por (-1) nos queda:
Cot (a – b) = (-1) b) Cot a otC(
(-1) 1) - b Cot a Cot (−•−
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TRIGONOMETRÍA
49
De donde:
Cot (a – b) = b Cot a otC
1 b Cot a Cot+−
+•+
De donde:
Cot (a – b) = a Cot b otC
1 b Cot a Cot+
+•
FUNCIÓN SECANTE Sabemos que:
Sec = Cos
1
También sabemos que:
Sec (a + b) = b) (a osC
1+
De donde:
Sec (a – b) = b) (a osC
1−
Uniendo los dos conceptos nos queda:
Sec (a ± b) = b) (a osC
1±
FUNCIÓN COSECANTE Sabemos que:
Csc = Sen
1
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TRIGONOMETRÍA
50
Csc (a + b) = b) (a enS
1+
Csc (a – b) = b) (a enS
1−
Uniendo los dos conceptos nos queda:
Csc (a ± b) = b) (a enS
1±
RREESSUUMMEENN DDEE LLAASS FFOORRMMUULLAASS VVIISSTTAASS
Sen (a ± b) = Sen a • Cos b ± Sen b • Cos a Cos (a ± b) = Cos a • Cos b m Sen b • Sen a
Tan (a ± b) = bTanaTan 1 b Tan a Tan
•±
m
Cot (a ± b) = aCot bCot
1 b Cot a otC±
±•
Sec (a ± b) = b) (a Cot
1±
Csc (a ± b) = b) (a enS
1±
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TRIGONOMETRÍA
51
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDUUPPLLOO
FUNCIÓN SENO Sabemos que:
Sen (a + b ) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen b Al ángulo duplo se le llama ángulo 2a. Para logarlo “b” se iguala a “a” y nos queda b = a Por tanto:
Sen (a + b ) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen a Observe que el segundo miembro está compuesto por términos semejantes, por tanto los reducimos y tenemos: Sen a • Cos a + Sen a • Cos a 2 Sen a • Cos a Es decir: Sen (a + a) = 2 Sen a • Cos a En otras palabras Seno de 2a o Seno del ángulo duplo queda: Sen 2a = 2 Sen a • Cos a FUNCIÓN COSENO Sabemos que:
Cos (a + b ) = Cos a • Cos b – Sen a • Sen b Haciendo b = a nos queda:
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TRIGONOMETRÍA
52
Cos (a + a ) = Cos a • Cos a – Sen a • Sen a
De donde: Cos 2a = Cos² a – Sen² a FUNCIÓN TANGENTE Sabemos que:
Tan (a + b) = b Tan a Tan - 1
b Tan a Tan•
+
Haciendo b = a nos queda:
Tan (a + a) = a Tan a Tan - 1
a Tan a Tan•
+
De donde:
Tan 2a = a²Tan - 1
a Tan 2
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TRIGONOMETRÍA
53
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO MMIITTAADD
Ya vimos que: 1. Sen 2a = 2 Sen a • Cos a También sabemos que: 2. Cos 2a = Cos² a – Sen² a También sabemos: 3. Cos² a = 1 – Sen² a También sabemos que: 4. Cos 2a = 1 – Sen² a – Sen² a De donde: 5. Cos 2a = 1 – 2 Sen² a Pero: 6. Sen² a = 1 – Cos² a De donde: reemplazando queda: 7. Cos 2a = 1 – 2 (1 – Cos² a) Resolviendo queda: 8. Cos 2a = 1 – 2 + 2 Cos² a De donde: 9. Cos 2a = -1 + 2 Cos² a De donde: 10. Cos 2a = 2 Cos² a – 1
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TRIGONOMETRÍA
54
También sabemos que:
11. Tan 2a = aTan²-1
a Tan 2
CÁLCULO DE SEN 2X
Ya sabemos que: 1) Cos 2a = 1 – 2 Sen² a
Si reemplazamos “a” por 2X nos queda:
2) Cos 2 2X = 1 – 2 Sen²
2X
Simplificando nos queda:
3) Cos x = 1 – 2 Sen² 2X
Despejando 2 Sen² 2X nos queda:
De donde: 4) 2 Sen² 2X = 1 – Cos x
De donde: 5) Sen² 2X =
2 xCos - 1
6) 2x ²Sen =
2 xCos - 1
7) Sen 2X = ±
2 xCos - 1
CÁLCULO DEL COSENO DE 2X
Ya sabemos que: 1) Cos 2a = 2 Cos² a – 1
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TRIGONOMETRÍA
55
Si reemplazamos “a” por 2X nos queda:
2) Cos 2 2X = 2 Cos²
2X – 1
Simplificando nos queda:
3) Cos x = 2 Cos² 2X – 1
Cambiando el signo a todos los términos nos queda:
4) − Cos x = − 2 Cos² 2X + 1
Despejando Cos² nos queda:
5) 2 Cos² 2X = Cos x + 1
De donde: 6) Cos² 2X =
21 x Cos +
De donde: 7) 2x ²Cos =
21 x Cos +
Organizando nos queda:
8) Cos 2X = ±
2 xCos 1 +
CÁLCULO DE LA TANGENTE DE 2X
Sabemos que:
1) Tan x = xCoseno
xSeno
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TRIGONOMETRÍA
56
Por tanto:
2) Tan 2x =
2x Cos
2x Sen
Pero:
3) Sen 2x = ±
2 xCos - 1
4) Cos 2x = ±
2 xCos 1 +
Por tanto:
5) Tan 2x =
2 xCos 1
2 xCos - 1
+
Simplificando denominadores queda:
6) Tan 2x =
xCos 1 xCos - 1
+
Si multiplicamos numerador y denominador del miembro derecho por
xCos 1+ nos queda:
7) Tan 2x =
xCos 1 xCos - 1
+ •
xCos 1 xCos 1
++
8) Tan 2x =
x)²Cos (1 x)Cos (1 x)Cos - 1(
+
+
9) Tan 2x =
xCos 1 xCos² - 1
+
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TRIGONOMETRÍA
57
10) Tan 2x =
xCos 1 x² Sen
+
11) Tan 2x =
xCos 1 xSen
+
Multiplicando numerado y denominador por xCos - 1 nos queda que:
12) Tan 2x =
xCos 1 xCos - 1
+ •
xCos 1 xCos -1
−
13) Tan 2x =
x)Cos - (1 x)Cos 1( x)²Cos - (1
+
14) Tan 2x =
xCos² 1 xCos - 1
−
15) Tan 2x =
xSen² xCos - 1
16) Tan 2x =
xSen xCos - 1
CONCLUSIÓN
Tan 2x =
xSen xCos - 1 Ò Tan
2x =
xCos 1 xSen
+
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TRIGONOMETRÍA
58
CÁLCULO DE LA COTANGENTE DE 2X
Sabemos que:
1) Tan 2X =
xSen xCos - 1
Sabemos que:
2) Cot 2X =
2x Tan
1
De donde: 3) Cot 2X =
2x Tan
1 =
xSen xCos - 1
1
Pero: 4)
xSen xCos - 1
11
= 11 •
xCos - 1 xSen =
xCos - 1 xSen
CONCLUSIÓN:
Cot 2X =
xCos - 1 xSen
CÁLCULO DE LA SECANTE DE 2X
1) Sec 2X =
2x Cos
1 =
2 xCos 1
1+
2) Sec 2x =
2x Cos
1 =
2 xCos 1
1+
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TRIGONOMETRÍA
59
CÁLCULO DE LA COSECANTE DE 2X
Csc 2X =
2x Sen
1 =
2 xCos 1
1−
CONCLUSIÓN:
Csc 2x =
2 xCos 1
1−
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TRIGONOMETRÍA
60
TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 88 FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
EENN EELL CCÍÍRRCCUULLOO TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCOO
DEFINICIÓN Toman este nombre las razones por cocientes que se dan en trigonometría. También se les llama relaciones de dependencia establecidas en el círculo, por ser funciones trigonométricas, que dependen de un ángulo perteneciente a este círculo. FUNCIONES CIRCULAR TRIGONOMÉTRICA Toma este nombre cuando se toma como base el círculo para obtener las razones por cocientes. CARACTERÍSTICAS DEL CÍRCULO El círculo trigonométrico se caracteriza por tener el ángulo en el centro de la circunferencia y el radio de dicho círculo es igual a la unidad. Observe la figura. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
α Y
X
Lado opuesto
Lado adyacente
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TRIGONOMETRÍA
61
FUNCIONES RECÍPROCAS Toman este nombre las funciones trigonométricas del ángulo agudo tales, que su producto arroja la unidad.
EJEMPLO:: 1) Sen α • Csc α = 1 porque RY •
YR = 1
De donde 2) Sen α = α Csc
1
3) Csc α = α enS
1
4) Cos α • Sec α = 1 porque RX •
XR = 1
De donde 5) Cos α = αec S
1
6) Sec α = α osC
1
SIGNOS ALGEBRAICOS DE LAS FUNCIONES
NOTA a) El radio vector siempre se considera como positivo b) El signo de las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante lo definen los signos de “X” y “Y”
ORDEN DE LOS CUADRANTES EN EL PLANO
I = Primer cuadrante II = Segundo cuadrante III = Tercer cuadrante IV = Cuarto cuadrante
Y
Y1
X X1 I II
III IV
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TRIGONOMETRÍA
62
SSIIGGNNOO DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS SSEEGGÚÚNN EELL CCUUAADDRRAANNTTEE
SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PRIMER CUADRANTE 1) NOTA: Observe que “X” y “Y” son positivos, por tanto el resultado, es decir, la función es positiva. 2) NOTA: Se dice que un ángulo está o pertenece a cierto cuadrante Cuando el Radio Vector o lado final esta en este cuadrante.
1) Sen α = RY = +
2) Cos α = RX = +
3) Tan α = XY = +
4) Cot α = YX = +
5) Sec α = XR = +
Y
Y1
X X1
B
C A x
Y R
α
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TRIGONOMETRÍA
63
6) Csc α = YR = +
SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL SEGUNDO CUADRANTE
1) Sen α = RY = +
2) Cos α = RX− = −
3) Tan α = X
Y−
= −
4) Cot α = YX− = −
5) Sec α = X
R−
= −
6) Csc α = YR = +
Y
Y1
X X1 −X
Y R
α
B
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TRIGONOMETRÍA
64
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TERCER CUADRANTE
1) Sen α = RY− = −
2) Cos α = RX− = −
3) Tan α = XY
−− = +
4) Cot α = YX
−− = +
5) Sec α = X
R−
= −
6) Csc α = YR = −
Y
Y1
X X1 −X
−Y R
α
B
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TRIGONOMETRÍA
65
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CUARTO CUADRANTE
1) Sen α = RY− = −
2) Cos α = RX = +
3) Tan α = XY− = −
4) Cot α = Y
X−
= −
5) Sec α = XR = +
6) Csc α = Y
R−
= −
Y1
X X1 X
−Y R
α
B
Y
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TRIGONOMETRÍA
66
TTAABBLLAA DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS DDEE CCAADDAA FFUUNNCCIIÓÓNN TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAA SSEEGGÚÚNN EELL CCUUAADDRRAANNTTEE
QQUUEE PPEERRTTEENNEECCEENN
CUADRANTE SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE
I + + + + + + II + − − − − + III − − + + − − IV − + − − + −
El lado final de un ángulo puede terminar en cualquier cuadrante dependiendo del tamaño del ángulo. EJEMPLO: Demostrar que el lado final de un ángulo de 250º está en el tercer cuadrante. SOLUCIÓN 1) 180º es el final del segundo cuadrante 2) Los 70º restantes se encuentran en el tercer cuadrante De acuerdo a los puntos uno y dos elaboremos la figura
Y1
X X1
250º
Y
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TRIGONOMETRÍA
67
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANGULARES (En el límite de los cuadrantes)
1) NOTA: Los ángulos cuadrangulares se conocen como ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º. 2) NOTA: Se dice que un ángulo es cuadrangular cuando el lado terminal coincide con uno de los ejes del plano cartesiano. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 0º NOTA: Cuando el ángulo es de 0º, el lado terminal coincide con el semi-eje positivo de las “X” y la ordenada, es igual a cero porque no hay abertura. La distancia “R” es la misma abscisa, o por lo menos coinciden en la longitud de la distancia que por ser círculo trigonométrico se considera como la unidad, por tanto, podemos decir que en 0º, “X” = 1 y “R” = 1 y “Y” = 0. Observe la figura:
Sen 0º = RY =
10 = 0
Cos 0º = RX =
11 = 1
Tan 0º = XY =
10 = 0
Cot 0º = RX =
01 = Indef = α
Sec 0º = XR =
11 = 1
Csc 0º = YR
= 01 = Indef = α
Y1
X X1
Y X = 1 R = 1 Y = 0
0º
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TRIGONOMETRÍA
68
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDEE 9900ºº
NOTA: Cuando el ángulo es de 90º el lado terminal o Radio Vector coincide con el semi-eje positivo de las “Y” y la abscisa se convierte en cero, es decir, X = 0. El radio Vector y la ordenada coinciden y son iguales a la unidad. CONCLUSIÓN: Cuando el ángulo es de 90º se presenta que:
X = 0 Y = 1 y R = 1 Observe la figura:
Sen 90º = RY =
11 = 1
Cos 90º = RX =
10 = 0
Tan 90º = XY =
01 = Indef = α
Cot 90º = YX =
10 = 0
Sec 90º = XR =
01 = Indef = α
Csc 90º = YR =
11 = 1
Y1
XX1
YX = 0 Y = 1 R = 190
0
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TRIGONOMETRÍA
69
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDEE 118800ºº
NOTA: Cuando el ángulo es de 180º el lado terminal coincide con el semi-eje negativo de las “X” por tanto la ordenada Y = 0 la distancia “R” es positiva en todos los cuadrantes y es igual a la unidad y la abscisa “X” = -1.
CONCLUSIÓN:
X = -1 Y = 0 y R = 1 Observe la figura:
Sen 180º = RY =
10 = 0
Cos 180º = RX− =
11− = −1
Tan 180º = X
Y−
= 1
0−
= 0
Cot 180º = YX− =
01− = Indef = α
Sec 180º = X
R−
= 1
1−
= −1
Csc 180º = YR =
01 = Indef = α
Y1
X X1
YX = -1 Y = 0
180º 0
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TRIGONOMETRÍA
70
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDEE 227700ºº
NOTA: En el ángulo de 270º el lado terminal coincide con el semi-eje negativo de las “Y” se presenta que la abscisa “X” = 0, el Radio Vector o distancia es positiva y coincide con el semieje negativo de las “y”.
CONCLUSIÓN:
En 270º, X = 0 Y = -1 y R = 1 Observe la figura:
Sen 270º = RY =
11− = −1
Cos 270º = RX =
10 = 0
Tan 270º = XY =
01− = Indef = α
Cot 270º = YX =
10−
= 0
Sec 270º = XR =
01 = Indef = α
Csc 270º = YR =
11−
= −1
Y1
X X1
Y
X = 0 Y = -1 R = 1
270º 0
270º
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TRIGONOMETRÍA
71
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDEE 336600ºº
NOTA: Los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 360º son los mismos vistos para el ángulo de 0º porque el lado final del ángulo de 360º vuelve a la posición inicial de 0º.
TABLA DE VALORES DE LOS ÁNGULOS CUADRANGULARES
CUADRANTE SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE
0º 0 1 0 ∞ 1 ∞ 90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1 180º 0 -1 0 ∞ -1 ∞ 270º -1 0 ∞ 0 ∞ -1
EJEMPLO: VISTO EJEMPLO: Demostrar que: Sen 90º + Cos 90º + Csc 90º + Ctg 90º = 2 Observando en las tablas establecemos que: Sen 90º = 1 Cos 90º = 0 Csc 90º = 1 Cot 90º = 0 Resultado = 2 EJEMPLO: Demostrar que: Cos 180º + Sec 180º + Sen 180º +Tan 180º = −2 Observando en las tablas establecemos. Cos 180º = −1 Sec 180º = −1
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TRIGONOMETRÍA
72
Sen 180º = 0 Tan 180º = 0 Resultado = −2 EJEMPLO: Mostrar que: (a² − b²) Cos 360º - 4ab Sen 270º = a² + 4ab − b² Observando las tablas establecemos que: 1) Cos 360º = 1 Sen 270º = −1 y nos queda: 2) [(a² − b²) · 1] − 4ab. (−1) = a² + 4ab – b² De donde: 3) a² − b² + 4ab = a² + 4ab − b² Ordenando nos queda: 4) a² + 4ab − b² = a² + 4ab − b²
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS NNEEGGAATTIIVVOOSS
NOTA: Hasta el momento hemos hallado las funciones trigonométricas de ángulos positivos, es decir, cuando al formar un ángulo el lado termina se desplaza en forma contraria a las manecillas del reloj. En este capítulo pasamos a considerar cuando el lado terminal se desplaza en la misma forma de las manecillas del reloj. PROCEDIMIENTO El procedimiento responde a las mismas Reglas utilizadas en los ángulos positivos.
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TRIGONOMETRÍA
73
CCOOMMPPAARRAACCIIÓÓNN DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS EENN EELL PPRRIIMMEERROO YY CCUUAARRTTOO CCUUAADDRRAANNTTEE
Observe la figura 1) 2) OBSERVACIONES a) La abscisa (X) es la misma para ambos ángulos, positivo y
negativo. b) “R” es igual para ambos ángulos. c) La ordenada “Y” difiere en el signo.
Y1
XX1 α
Y
α
ÁNGULO POSITIVO
ÁNGULO NEGATIVO
Y1
X X1 α
Y
α
Y
-Y
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TRIGONOMETRÍA
74
TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 99 FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
TTEENNIIEENNDDOO EENN CCUUEENNTTAA LLAASS OOBBSSEERRVVAACCIIOONNEESS VVIISSTTAASS EELL TTEEMMAA AANNTTEERRIIOORR
CCUUAADDRRAANNTTEE 11 YY 44
Y1
X X1 α
Y
β X
R
R
P (x,y)
−Y
Sen α = RY
Cos α = RX
Tan α = XY
Cot α = YX
Sec α = XR
Csc α = YR
Sen (β) = RY−
Cos (β) = RX
Tan (β) = XY−
Cot (β) = Y
X−
Sec (β) = XR
Csc (β) = Y
R−
P (x,y)
FUN
CIO
NE
S D
EL
ÁN
GU
LO P
OS
ITIV
O
FUN
CIO
NE
S D
EL
ÁNG
ULO
NEG
ATI
VO
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TRIGONOMETRÍA
75
CCUUAADDRRAANNTTEE 22 YY 33
Y1
X X1 α
Y
β−
−X
R
R
P (x,y)
−Y
Sen α = RY
Cos α = RX−
Tan α = X
Y−
Cot α = YX−
Sec α = X
R−
Csc α = YR
Sen (β) = RY−
Cos (β) = RX−
Tan (β) = XY
−−
Cot (β) = YX
−−
Sec (β) = X
R−
Csc (β) = Y
R−
P1 (x,y)
FUN
CIO
NE
S D
EL
ÁN
GU
LO P
OS
ITIV
O
FUN
CIO
NES
DEL
Á
NG
ULO
NE
GA
TIVO
Y
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TRIGONOMETRÍA
76
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS
Nota: Dos ángulos son complementarios por defecto, cuando la suma de sus arrojan 90º. SENO Y COSENO El seno de un ángulo, es igual al coseno del complementario. Observe la figura
Sen 40º = RY1 ; Cos (90 – 40) =
RY ; Luego:
Sen 40º = Cos (90 – 40) Sen 40º = 0.64278 Cos 50º = 0.64278 CONCLUSIÓN
Sen α = Cos β También podremos decir que:
Cos β 0 Sen α
Y1
X1 X
Y
X
Y1
(x,y)
α = 40
β
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TRIGONOMETRÍA
77
CONCLUSIÓN El Seno de un ángulo es igual al Coseno de su complemento o por el contrario, coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento. TANGENTE Y COTANGENTE Tangente de un ángulo es igual a cotangente de su complemento. Observe la figura
Sen α = XY1 ; Cos β =
1XY
Pero X = X1
Y = Y1
De donde XY1 =
1XY
Y1
X1 X
Y
X1
Y1
(x,y)
α = 40 β
X
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TRIGONOMETRÍA
78
CONCLUSIÓN La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento. SECANTE Y COSECANTE
Sen α = XR ; Cos β =
1XR
Pero R = R
X = X1
De donde XR =
1XR
CONCLUSIÓN La secante de un ángulo es igual a la cosecante de su complemento.
Y1
X1 X
Y
X1
Y1
(x,y)
α β
X
40º
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TRIGONOMETRÍA
79
FFOORRMMAA AABBRREEVVIIAADDAA DDEE VVEERR LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS
CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS Observe la figura Nota: se debe tener en cuenta α + β = 90º
Sen (α) = ABBC = Cos β
Cos (α) = ABAC = Sen β
Tan (α) = ACBC = Cot β
Cot (α) = BCAC = Tan β
Sec (α) = ACAB = Csc β
Csc (α) = BCAB = Sec β
B
C A α
β
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TRIGONOMETRÍA
80
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS
Nota: Dos ángulos son suplementarios cuando su suman arrojan 180º. Dos ángulos son suplementarios por exceso cuando su diferencia arroja 180º.
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS
SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS PPOORR DDEEFFEECCTTOO ((118800 −− αα)) Observe la figura Y = Y1 |X| = |-X| R = R Los ángulos alfa son iguales
SENO
Sen α = RY y Sen (180 - α) =
RY1
Pero Y = Y1 y R = R
α α
Y1 Y
A A1
−X X
α
Nota: Las Rayitas en “X” indica que los valores son iguales con respecto al valor absoluto es decir, no tenemos en cuenta el signo
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TRIGONOMETRÍA
81
De donde
Sen (180 – α) = Sen α
COSENO
Cos α = RX y Cos (180 - α) =
RX−
Por tanto: Cos (180 – α) = – Cos α
TANGENTE
Tan α = XY y Tan (180 - α) =
RX1
− = −
XY
Por tanto: Tan (180 – α) = – Tan α
COTANGENTE
Cot α = XY y Cot (180 - α) =
1YX− = −
XY
De donde: Cot (180 – α) = – Cot α
SECANTE
Sec α = XR y Sec (180 - α) =
XR−
= − XR
De donde: Sec (180 – α) = – Sec α
COSECANTE
Csc α = YR y Csc (180 - α) =
1YR =
YR
De donde: Csc (180 – α) = – Csc α
Por tanto:
Csc (180 – α) = – Csc α
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TRIGONOMETRÍA
82
CONCLUSIÓN Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto a las funciones trigonométricas del ángulo suplementario por defecto pero con signo contrario, con excepción del seno y la cosecante que tienen el mismo signo. Elaboremos una tabla de lo visto Sen (180 – α) = Sen α Cos (180 – α) = − Cos α Tan (180 – α) = − Tan α Cot (180 – α) = − Cot α Sec (180 – α) = − Sec α Csc (180 – α) = Csc α
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO
SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOO PPOORR EEXXCCEESSOO
Observe la figura
OBSERVE Que únicamente el
Sen y Csc son positivos el resto es negativo
Y
X −Y1
−X1
α
α
α
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TRIGONOMETRÍA
83
Se debe tener en cuenta que:
R = R Y = −Y1 X = −X1
SENO
Sen α = RY y Sen (180º + α) =
RY1− = −
RY1−
Por tanto Sen (180º + α) = −Sen α
COSENO
Cos α = RX y Cos (180º + α) =
1
1
RX− = −
RX
Por tanto: Cos (180º – α) = – Cos α
TANGENTE
Tan α = XY y Tan (180º + α) =
XY1
−− =
XY
De donde: Tan (180º + α) = Tan α
COTANGENTE
Cot α = XY y Tan (180º + α) =
YX
−− =
YX
Por tanto: Cot (180º + α) = Cot α
En cuanto a valor absoluto se refiere
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TRIGONOMETRÍA
84
SECANTE
Sec α = XR y Sec (180º + α) =
1
1
XR−
= − XR
De donde: Sec (180º + α) = – Sec α
COSECANTE
Csc α = YR y Csc (180º + α) =
1
1
YR = −
YR
De donde: Csc (180º + α) = – Csc α
CONCLUSIÓN Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto, a las funciones del ángulo suplementario por exceso pero de signo contrario excepto la tangente y la cotangente que presentan el mismo signo. Elaboremos la tabla correspondiente de acuerdo a lo visto Sen (180º + α) = − Sen α Cos (180º + α) = − Cos α Tan (180º + α) = Tan α Cot (180º + α) = Cot α Sec (180º + α) = − Sec α Csc (180º + α) = − Csc α
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TRIGONOMETRÍA
85
EJEMPLO: Expresar Coseno de un ángulo de 200º como una función de un ángulo y hallar su valor. DESARROLLO 1) Observe que es un ángulo suplementario por exceso 2) Observe que el exceso es de 40º porque 220º − 180º = 40º 3) Observe la tabla, observe que Cos (180 + α) = − cos α Es decir a igual a menos. Coseno de alfa que en este caso es 40º Respuesta
Cos 220º = − Cos 40º = − 0,766044 Nota: Al ángulo de 40º se le llama ángulo relacionado.
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO
SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOO ((336600ºº)) PPOORR DDEEFFEECCTTOO
Observe la figura R = R1 X = X Y = Y1 α = − α
α −X
R
−Y1
Y
−α
R1
(en valor absoluto)
(en valor absoluto)
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TRIGONOMETRÍA
86
SENO
Sen α = RY y Sen (360º + α) =
1
1
RY− = −
RY
De donde Sen (360º + α) = −Sen α
COSENO
Cos α = RX y Cos (360º + α) =
RX
De donde: Cos (360º – α) = Cos α
TANGENTE
Tan α = XY y Tan (360º − α) =
XY1−
De donde: Tan (360º + α) = −Tan α
COTANGENTE
Cot α = XY y Cot (360º − α) =
1YX−
Por tanto: Cot (360º − α) = − Cot α
SECANTE
Sec α = XR y Sec (360º − α) =
XR1 = −
XR
De donde: Sec (360º − α) = Sec α
COSECANTE
Csc (360º − α)
Csc α = YR y Csc (360º + α) =
1
1
YR−
= − YR
De donde: Csc (360º − α) = – Csc α
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TRIGONOMETRÍA
87
Elaboremos la tabla correspondiente de acuerdo a lo visto Sen (360º − α) = − Sen α Cos (360º − α) = Cos α Tan (360º − α) = − Tan α Cot (360º − α) = − Cot α Sec (360º − α) = Sec α Csc (360º − α) = − Csc α CONCLUSIÓN Las funciones trigonométricas de un ángulo de 360º por defecto son iguales en valor absoluto a las funciones del ángulo suplementario pero de un signo contrario. Excepto el coseno y la secante que son del mismo signo. EJEMPLO: Expresar Sen 330º como función de un ángulo agudo y hallar su valor. DESARROLLO 1) 330º es menor que 360º en 30º 2) Según la tabla: Sen (360º - 30º) = − Sen 30º 3) − Sen 30 = −0,5 RESPUESTA: Sen 330º = −0,5 EN SÍNTESIS 1) Cuando un ángulo sea de 180º ± α sus funciones son numéricamente iguales, en valor absoluto, a las funciones, funciones del mismo nombre de α 2) Cuando el ángulo sea de 180º ± α o de 270º ± α sus funciones son numéricamente iguales a las funciones de α 3) En todos los casos el signo del resultado es el que corresponde a la función buscada en el cuadrante en que se encuentre el lado final del ángulo.
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TRIGONOMETRÍA
88
TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 1133
EECCUUAACCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
DEFINICIÓN Ecuación trigonométrica es aquella ecuación cuyos términos son funciones trigonométricas. Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación.
IIDDEENNTTIIDDAADDEESS
CONOCIMIENTOS PRIMARIOS 1) Se recomienda conocer las elaciones básicas y conocer las formas y alternativas de cada una. 2) Reconocer Factorización. 3) Es conveniente iniciar el trabajo en el miembro más complicado de la ecuación. 4) Si un miembro contiene una o más operaciones indicadas se deben efectuar como primer paso.
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TRIGONOMETRÍA
89
5) Si el primer miembro contiene más de una función mientras que el otro miembro contiene una, se convierten las funciones del primer miembro en término de la función que esta en el segundo miembro, de acuerdo con las relaciones fundamentales. 6) De ser posible uno de los miembros debe ser factorizado. 7) Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores. Las funciones del miembro más complicado se convierten en Senos y Cosenos y se simplifican. EJEMPLO: Demostrar que la ecuación siguiente es una identidad.
1) αSec 1
α Tan+
− αSec 1
α Tan−
= α Sen
Sen
Como el miembro de la izquierda es el más complicado iniciamos con el. Elaboramos la diferencia de fracciones. 2) Se halla el denominador común que en este caso es el producto de los denominadores. 3) Denominador Común = (1 + Sec α) ( 1 – Sec α) 4) Pasamos cada fracción al denominador común.
αSec 1)α (Tan )αSec - (1 )αSec 1(
++
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TRIGONOMETRÍA
90
Resolviendo el numerador queda: 5) Tan α (1 – Sec α) Elaborando la operación queda: 6) Tan α − Tan α • Sen α Dejamos el denominador común y nos queda:
αSec 1α Tan
+ =
)αSec - (1 )αSec 1(αSec α Tan - α Tan
+•
Pasamos la segunda fracción al denominador común
7) )αSec - (1 )αSec (1
Sec 1)αSec - (1 )αSec (1 α Tan
+
+−
Resolviendo el numerador queda 8) = − Tan α (1 + Sec α) 9) = − Tan α – Tan α • Sec α
10) − αSec 1
α Tan−
= )αSec - (1 )αSec 1(αSec α Tan - α Tan
+•−
Uniendo las dos nos queda
11) Sec -1α Tan
Sec1α Tan
−+
= )αSec - (1 )αSec (1
αSec α Tan - α Tan - αSec α Tanα Tan+
••−
Observe que reduciendo términos semejantes el numerador nos queda que: 12) Tan α - Tan α • Sec α - Tan α • Sec α = -2 Tan α • Sec α
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TRIGONOMETRÍA
91
Resolviendo el denominador queda: 13) (1 + Sec α) (1 – Sec α) = 1² - Sec² α 14) = 1 – Sec² α Uniendo numerador y denominador nos queda:
15) )αSec - (1 )αSec (1
αSec α Tan - α Tan - αSec α Tanα Tan+
••− = α Sec² - 1
αSec α Tan 2 •
Pero 16) 1 – Sec² α = - Tan² α De donde:
17) α Sec² - 1
αSec α Tan 2 •− = α ² Tan
αSec α Tan 2 •−
Por lo tanto:
18) α Sec² - 1
αSec α Tan 2 • = α Tan α Tan-
αSec 2•
De donde:
19) α Sec² - 1
αSec α Tan 2 •− = α Tan-αSec 2
Pasemos la expresión a Senos y Cosenos y simplifiquemos
20) α Tan
Sec 2 =
α Cosα Senα Cos
1 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
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TRIGONOMETRÍA
92
21) Simplificando nos queda:
α Cosα Senα Cos
1 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
1α Sen
1 1 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= α Sen
2
22) Tomando el dato original vemos que:
α Sen
2 = α Sen
2
23) αSec 1
α Tan+
− αSec 1
α Tan−
= α Sen
2 Si es una identidad
EJEMPLO: Demostrar que:
1) α Cos
α Tan α Cos αSec •+ = 2 Tan α
Resolviendo el miembro izquierdo podemos decir que:
2) α Cos
α Tan α Cos αSec •+ = α Cosα Sen +
α Cosα Tan α Cos •
Pero:
3) α Cosα Sen = Tan α
Además:
α Cos
α Tan α Cos • = Tan α
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TRIGONOMETRÍA
93
4) α Cos
α Tan α Cos αSec •+ = Tan α + Tan α = 2 Tan α
5) α Cos
α Tan α Cos αSec •+ = 2 Tan α
EECCUUAACCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
NOTA: Aunque siempre trabajemos con ecuaciones en este caso buscamos el valor del ángulo. EJEMPLO: Resolver la ecuación siguiente: 1) 3 Tan α − 2 Cos α = 0 Como:
Tan α = α Cosα Sen
Por tanto:
2) 3 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α Cosα Sen – 2 Cos α = 0
De donde:
3) 3 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α Cosα Sen – 2 Cos α
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TRIGONOMETRÍA
94
De donde:
4) 3 Sen α = 2 (Cos α • Cos α) De donde:
5) 3 Sen α = Cos² α De donde:
6) 3 Sen α – 2 Cos² α = 0 Pero:
7) Cos² α = -2 (1 – Sen² α) Por tanto:
8) -2 Cos² α = -2 (1 – Sen² α) De donde:
9) - 2 Cos² α = -2 + 2 Sen² α = 0 De donde:
10) 3 Sen α - 2 + 2 Sen² α = 0 Volviendo a multiplicar queda:
11) 2 Sen² α + 3 Sen α − 2 = 0 Multiplicando por 2 queda:
12) 2² Sen² α + 3 (2 Sen α) − 4 = 0 De donde
13) (2 Sen α + 4) (2 Sen α - 1) Uniendo los factores Queda: 14) 2 (2 Sen α + 2) (2 Sen α - 1)
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TRIGONOMETRÍA
95
Nos queda:
15) 2
1) - α Sen (2 2) α Sen (2 2 +
Nos queda:
16) (Sen α + 2) (2 Sen α − 1) Igualando a cero cada factor queda: 17) Sen α + 2 = 0 Sen α = −2 2 Sen α − 1 = 0 Sen α = 1
Sen α = 21
NOTA: La única solución real es la segunda, puesto que no existe ningún
ángulo cuyo Seno sea −2, por tanto los ángulos cuyo Seno vale 21 son:
30º y 150º
EJEMPLO: Resolver la ecuación
1) 8 Sen α − 3 = 0
Despejando 2) 8 Sen α = 3
3) Sen α = 83
4) Sen α = 0.375 NOTA: Pero 0,375 es el Seno de 22º Por tanto: α = 22º, α = 158º
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TRIGONOMETRÍA
96
EJEMPLO: Resolver la ecuación
1) 2 Cos α = 1 – Sen α Elevamos ambos miembros al cuadrado y nos queda:
2) (2 Cos α)² = (1 – Sen α)² De donde:
3) 4 Cos² α = 1 – 2 Sen α + Sen² α Pero:
4) Cos² α = 1 – Sen² α Reemplazando nos queda:
5) 4 (1 – Sen² α) = 1 – 2 Sen α + Sen² α Elaborando la operación queda:
6) 4 – 4 Sen² α = 1 – 2 Sen α + Sen² α Pasando todos los términos al miembros izquierdo 7) 4 – 4 Sen² α = 1 – 2 Sen α + Sen² α = 0 8) 3 – 5 Sen² α + 2 Sen α = 0 Ordenando queda:
9) – 5 Sen² α + Sen α + 3 = 0 Cambiándole el signo a todos los términos nos queda:
10) 5 Sen² α − 2 Sen α − 3 = 0 Observe que la expresión trigonométrica comprende a un trinomio algebraico de la forma ax² + bx + c = 0
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TRIGONOMETRÍA
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Multiplicando por 5 queda: 11) 5² Sen² α − 2 (5 Sen α) − 15 = 0 Convirtiendo en factores queda: 12) (5 Sen α − 5) (5 Sen α + 3) = 0 Simplificando queda:
13) 5
3) α Sen (5 5) - α Sen (5 +
De donde: 14) (Sen α − 1) (5 Sen α + 3) = 0 Igualando cada factor a cero queda: 15) Sen α − 1 = 0 Sen α = 1 Tomando la segunda ecuación queda: 5 Sen α + 3 = 0 5 Sen α = −3
Sen α = 53− = − 0.600
Pero, Sen 90º = 1 y − 0.600 es el Seno de 216º52’11’’ y 3253º7’48’’ por tanto α = 90º, 216º 52’ 44’’; 323º 7’ 48’’
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TRIGONOMETRÍA
98
IIDDEENNTTIIDDAADDEESS
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Para la solución de identidades es necesario conocer las identidades y los casos de factorización. 1) Probar la identidad Tan α • Cot α = 1 Solución: a) Tan α • cot α = 1 Reemplazando por 4 identidades básicas tenemos
b) α Cosα Sen •
α Senα osC = 1
Cancelando llegamos a 1 = 1 2) Probar la identidad Tan α + Cot α = Sec α • Csc α Solución Tan α + Cot α = Sec α • Csc α
- Reemplazando por identidades básicas tenemos:
a) α Cosα Sen +
α Senα osC =
α Cos1 •
α enS1
- Realizando la operación de fracciones del miembro izquierdo de
la ecuación, tenemos:
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TRIGONOMETRÍA
99
b) α Sen α Cosα Cos α ²Sen
⋅+ =
α Sen α Cos1⋅
NOTA: Observe que se halló el denominador común y se multiplicó en cruz en el miembro izquierdo. En el miembro derecho de la ecuación, se multiplicó numerador por numerador y el denominador por denominador. c) Reemplazamos por la identidad pitagórica: Sen² α + Cos² α = 1.
Y obtenemos:
α Sen α Cos
1⋅
= α Sen α Cos
1⋅
3) Probar la identidad α Cos - α Senα Cos² - α Sen² = Sen α + Cos α
Solución:
α Cos - α Senα Cos² - α Sen² = Sen α + Cos α
- Aplicando el caso de factorización diferencia de cuadrados
“a² − b² = (a – b) (a + b)”, al numerador del miembro izquierdo de la identidad tenemos:
a) α Cos - α Sen
)α Cos α (Sen )α Cos - α Sen( + = Sen α + Cos α
- Simplificando tenemos
Sen α + Cos α = Sen α + Cos α
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TRIGONOMETRÍA
100
4) Probar la identidad
α Cos α Senα Cos³ α ³Sen
++ = 1 – Sen α Cos α
Solución
α Cos α Senα Cos³ α ³Sen
++ = 1 – Sen α Cos α
- Aplicando el caso de factorización suma de cubos a³ + b³ = (a +
b) (a² - ab + b²) al numerador de el miembro izquierdo de la identidad tenemos:
a) α Cos α Sen
)α Cos² α Cos α Sen - α (Sen² )α Cos α (Sen+
++ = 1 – Sen α Cos α
- Simplificando tenemos
b) Sen² α - Sen α Cos α + Cos² α = 1 – Sen α · Cos α
- Reemplazando en el miembro izquierdo la identidad pitagórica Sen² α + Cos² α = 1, tenemos
c) 1 – Sen α Cos α = 1 – Sen α · Cos α 5) Probar la identidad:
)α Cos - (1 )α Cos1()1α(Sec )1 α Sec(
+−+ = Sec² α
Solución
- Aplicando diferencia de cuadrados en el numerador y denominador de el miembro izquierdo tenemos:
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TRIGONOMETRÍA
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a) α Cos² - 11α ²Sec − = Sec² α
- Aplicando las identidades pitagóricas Sec² α - 1 = Tan² α y
1 – Cos² α = Sen² α, tenemos:
b) α²Senα²Tan = Sec² α
- Teniendo en cuenta las identidades básicas Tan α = α Cosα Sen y
Sec α = α Cos
1
c)
1α Sen²α Cos²α Sen²
= α Cos²
1
- Multiplicando extremos y medios tenemos
d) α Cos² α Sen²
α Sen²⋅
= α Cos²
1
- Simplificando obtenemos
α Cos²1 =
α Cos²1