MATEMÁTICAS PUNTOS: ACIERTO +1,66; ERROR -0,4; SIN...
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MATEMÁTICAS (CÓDIGO: 0012851) MODELO A PUNTOS: ACIERTO +1,66; ERROR -0,4; SIN CONTESTAR 0. 1. Calcule el coeficiente que acompaña a ! ! ! ! al desarrollar 2! + ! ! A) 10. B) 20. C) 40. Solución: Aplicando el Teorema del binomio de Newton: 2! + ! ! = 2! ! + 5 1 2! ! ! + 5 2 2! ! ! ! + ! ! !" ! ! ! + 5 4 2!! ! + 5 5 ! ! El término que nos interesa es ! ! !" ! ! ! = !! !!!! 4! ! ! ! = !·!·!· ! !· !·! 4! ! ! ! = 40! ! ! ! . Por lo tanto, el coeficiente de ! ! ! ! es 40. 2. Sea x un valor real positivo. ¿Existe un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4, y cuya hipotenusa mida 5x? A) Sí, para cualquier valor de x. B) Únicamente cuando x = 1. C) No, para ningún x. Solución: Aplicando el Teorema de Pitágoras: (5x) 2 = 3 2 + 4 2 25x 2 = 9 + 16 25x 2 = 25 x 2 = 25/25 x 2 = 1 x = ± 1 x = 1 ; x = - 1 Luego el enunciado nos dice que x es un valor real y positivo. 3. Si ! = 1 4 1 −1 −2 0 1 4 1 . ¿Qué afirmación es cierta? A) ! = ! ! . B) ! ! = ! ! . C) ! ! = ! ! . Solución: ! = 1 4 1 −1 −2 0 1 4 1 5x 4 3
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MATEMÁTICAS (CÓDIGO: 0012851) MODELO A PUNTOS: ACIERTO +1,66; ERROR -0,4; SIN CONTESTAR 0.
1. Calcule el coeficiente que acompaña a !!!! al desarrollar 2! + ! ! A) 10. B) 20. C) 40.
Solución: Aplicando el Teorema del binomio de Newton:
2! + ! ! = 2! ! + 51 2! !! + 5
2 2! !!! + !! !" !!! + 5
4 2!!! + 55 !!
El término que nos interesa es !! !" !!! = !!!!!!
4!!!! = !·!·!·!!·!·!
4!!!! = 40!!!!.
Por lo tanto, el coeficiente de !!!! es 40.
2. Sea x un valor real positivo. ¿Existe un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4, y
cuya hipotenusa mida 5x? A) Sí, para cualquier valor de x. B) Únicamente cuando x = 1. C) No, para ningún x.
Solución: Aplicando el Teorema de Pitágoras: (5x)2 = 32 + 42
25x2 = 9 + 16 25x2 = 25 x2 = 25/25 x2 = 1 x = ± 1 x = 1 ; x = - 1 Luego el enunciado nos dice que x es un valor real y positivo.
3. Si ! =1 4 1−1 −2 01 4 1
. ¿Qué afirmación es cierta?
A) ! = !!. B) !! = !!. C) !! = !!.
Solución:
! =1 4 1−1 −2 01 4 1
5x
4
3
!! = ! · ! =1 4 1−1 −2 01 4 1
·1 4 1−1 −2 01 4 1
=−2 0 21 0 −1−2 0 2
.
!! = !! · ! =−2 0 21 0 −1−2 0 2
·1 4 1−1 −2 01 4 1
=0 0 00 0 00 0 0
.
!! = !! · ! =0 0 00 0 00 0 0
·1 4 1−1 −2 01 4 1
=0 0 00 0 00 0 0
.
Luego, !! = !!.
4. ¿Cuándo el sistema !" + ! + ! = 1 !" + ! = 1 !" = 1
es compatible determinado?
A) Si ! = 0. B) Si ! ≠ !. C) Para ningún valor de ! es compatible determinado.
Solución: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. ! 1 10 ! 10 0 !
= !! !"#$"%!& !! = 0 ↔ ! = 0
Conclusión, si ! ≠ 0, el sistema es compatible determinado.
5. ¿Qué recta pasa por el punto (1, 1) y es perpendicular a la recta ! = 7+ !! = 3+ !?
A) !+ ! = !. B) ! − ! = 0. C) 7! − 3! = 4.
Solución: El vector director de la recta es el (1, 1), entonces un vector perpendicular es el (-1, 1).
! − 1 −1! − 1 1 = 0
! − 1+ ! − 1 = 0 → ! + ! − 2 = 0 → !+ ! = !.
6. ¿Cuál es la distancia del punto A = (1, 1, 1) al plano ! + ! + ! = 0?
A) 1. B) !. C) 3.
Solución: Aplicamos la fórmula de distancia de un punto a una recta.
! !, ! =1+ 1+ 11! + 1! + 1!
=33=
33·33=3 33 = !.
