Simulación hidrológica mediante un sistema de modelación ...
MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE ...
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COORDENADAS POLARES. CURVAS EN COORDENADAS POLARES COORDENADAS POLARES DE UN PUNTO Hay otra forma de determinar un punto del plano usando únicamente una semirecta llamada eje polar. Un punto del plano puede describirse mediante dos números: la
distancia del punto al extremo de la semirecta, llamado polo, y θ el ángulo que forma el eje polar con el segmento que une el punto con el polo, este ángulo debe medirse en sentido opuesto a las agujas del reloj.
A se le llama radio vector o distancia radial y a θ ángulo polar o argumento.
Dado que se usan ángulos es evidente que un mismo punto puede tener distintas coordenadas polares, eso sí todas ellas con el mismo radio vector y con argumentos que
difieran en múltiplos enteros de 2π (dicho de otra forma: al calcular el argumento se pueden dar unas vueltecitas). Además para el polo, y sólo para él, se da la circunstancia de que no tiene sentido hablar de argumento, ya que en este caso el segmento que une el polo consigo mismo se reduce a un punto y por tanto no hay ángulo con el eje polar, así se aceptan como coordenadas
polares del polo cualquier par (0, )θ .
PUNTOS EN COORDENADAS POLARES. Para graficar puntos en coordenadas polares usando DERIVE hay que cambiar el tipo de coordenadas que se usan. En la ventana de gráficos en dos dimensiones en que se quiera dibujar en coordenadas polares, se abre una ventana de gráfica en 2D, se activa seleccionar y luego seleccione sistemas de coordenadas:
y en ella se elige la opción Polares.
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Al cambiar la opción del tipo de sistema de referencia utilizado a coordenadas polares esta opción permanece así hasta que vuelva a ser cambiada. El programa DERIVE informa sobre el tipo de coordenadas en que se hará el dibujo en la parte izquierda de la barra de estado (que si está visible aparece en la parte inferior de la pantalla), si aparece un cuadrado dibujado sobre un sistema de referencia se interpretarán las coordenadas como cartesianas, si aparecen circunferencias se interpretarán como polares.
Ejemplo. Dibujar los puntos de coordenadas polares:
32 2 2 2 6
(0, ), (0, ), (3,0), (1, ), (2, ), (2, ), (4, 2 ), (3, ).(2, )π π π π ππ π π
Para graficar una recta
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De la definición de radio polar se deduce que no puede ser negativo (de hecho casi siempre es positivo, sólo al polo corresponde un radio polar nulo), ya que se ha definido como una distancia. Sin embargo, en algunas ocasiones se abusa del lenguaje y se aceptan radios polares negativos considerando que se deba añadirπ al argumento. Dicho de otra forma,
( , )ρ θ− se considera lo mismo que ( , )ρ θ π+ . Lamentablemente DERIVE acepta este
abuso que puede dar lugar a errores. CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES. El paso de coordenadas cartesianas a polares es muy sencillo si se supone que el polo coincide con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y la recta polar coincide con la parte positiva del eje de abscisas (de hecho esta suposición es la que ha hecho DERIVE al dibujar anteriormente los puntos). Esta suposición no supone ninguna restricción, ya que siempre se puede hacer un cambio previo en el sistema de coordenadas cartesianas para tener esta situación.
Tal como se ha definido previamente, el radio vector es la distancia entre el punto ( , )x y
y el polo, que es el punto (0,0) , de donde se deduce que 2 2x yρ = + (también se
llega a la misma conclusión observando que el radio vector es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x e y respectivamente). Respecto al argumento
es obvio que la tangente del ángulo θ es y
x, por tanto ( )arctan
y
xθ =
Resumiendo ( )2 2 ; arctany
xx yρ θ= + =
Se puede implementar una función DERIVE que automáticamente transforme las coordenadas cartesianas de un punto en las correspondientes polares, de forma que dadas las coordenadas cartesianas de un punto aplique las expresiones anteriores automáticamente. Para definirla, en la ventana de algebra, se abre una ventana de diálogo.
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Definición de una función, en la ventana NOMBRE DE LA FUNCIÓN Y ARGUMENTOS, se introduce el nombre que se quiera dar a la función y los argumentos que va a tener (x e y, las coordenadas cartesianas del punto), por ejemplo: CARPOL(X,Y)
Y en la ventana DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN: se escribirá [sqrt(x^2+y^2),atan(y,x)]. Después se acepta con el botón «OK» o con <ENTER> Nota: Se podría haber definido la función directamente en la barra de introducir expresiones: CARPOL(X,Y) := [SQRT(X^2+Y^2),ATAN(Y,X)]
La función atan( , )y x está definida en DERIVE y calcula el arco tangente del ángulo que
forma el radio vector del punto ( , )x y con el eje polar. Nótese que se ha de cambiar el
orden de las coordenadas.
Ejemplo: Calcular las coordenadas polares de los puntos usando la función previamente
definida. (0,0); (1,1);( 1,0); (0,1.5);( 3,1);( 2, 1);(0, 4)− − − − −
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Nótese la respuesta al origen. De los ejercicios anteriores se observará que el resultado es correcto aunque la tangente del argumento no esté definida, como ocurre para los puntos sobre el eje de ordenadas (0, )y . También se observará que el argumento se toma en el
intervalo [ ],π π− . Si se prefiere que se haga en el intervalo [ ]0, 2π se puede definir una
nueva función. CARTPOL2(x,y):=[√(x^2+y^2),if(atan(y,x)>=0,atan(x,y),atan(y,x)+2pi, atan(y,x))] Ejemplo. Repetir el ejemplo anterior usando la nueva función.
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CAMBIO DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Para pasar de coordenadas polares a cartesianas, que: cos ;x y senρ θ ρ θ= =
También se puede definir una función en DERIVE que haga el cambio automáticamente POLCAR(ρ,θ):=[ρcosθ,ρsinθ] Ejemplo. Encontrar las coordenadas cartesianas de los puntos de coordenadas polares
52 2 2
(0, );(0, );(2, );(2, )π π ππ
CURVAS EN POLARES Algunas curvas son muy fáciles de describir usando las coordenadas polares. La mayoría
de ellas no tienen una expresión explícita como función de sus coordenadas cartesianas.
Normalmente una curva en polares se describe dando su radio vector como función del
argumento, es decir de la forma ( )ρ ρ θ= . El argumento θ suele variar entonces en el
intervalo [ )0,∞ o bien en el intervalo [ ]0, 2π o algún otro similar.
COORDENADAS POLARES DE LAS RECTAS
Si una recta pasa por el polo y el ángulo que forma con el eje polar es 0θ la ecuación de la
recta es 0θ θ= . Nótese que en la ecuación no aparece ρ y que si sólo se admiten valores
no negativos del radio vector entonces la ecuación debe ser doble 0 0óθ θ θ θ π= = +
Si la recta no pasa por el polo para determinar su ecuación hay que trazar la perpendicular a la misma desde el polo. Si esta perpendicular corta a la recta en el punto ( , )p w (nótese
que p es la distancia del polo a la recta), entonces la ecuación de la recta es cos( )w pρ θ − =
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Conociendo dos puntos 1 1 2 2( , ); ( , )p pθ θ por donde pasa la recta se obtiene la ecuación
1 1 2 2 1 2 2 1( ( ) ( )) ( )p sen p sen p p senρ θ θ θ θ θ θ− + − = −
RECTAS.
RECTAS HORIZONTALES
RECTAS VERTICALES
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN La ecuación de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r es 2 2 2x y r+ =
Se introducirá esta ecuación y se pasará a polares, con el siguiente procedimiento. Se
activa el comando SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLES, y cambiar los valores:
cos( ); sin( )x por y porρ θ ρ θ Simplificar el resultado.
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Teniendo en cuenta que ρ no debe ser negativo y que r es positivo, resulta que la
ecuación de la circunferencia es muy sencilla rρ = .
Por ejemplo, para dibujar la circunferencia de radio 2, hay que introducir la expresión 2ρ = , abrir una ventana de dibujo en dos dimensiones, cambiar el sistema de
coordenadas a polares, y aceptar el rango propuesto por DERIVE
Si este es[ ]0,π , para el ángulo polar θ . El resultado es el mismo que se obtuvo al dibujar
la circunferencia en curvas definidas paramétricamente.
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL EJE POLAR TANGENTE AL EJE 2
π
Una ecuación polar de la circunferencia de radio a unidades, tangente al eje 2
π, y con su
centro en el eje polar o en su prolongación, viene expresada por la ecuación 2 cosr aρ θ= =
Si 0a > , la circunferencia está a la derecha del polo Si 0a < , la circunferencia está a la izquierda del polo
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CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL EJE2
π TANGENTE AL EJE POLAR
La ecuación polar de la circunferencia de radio b unidades, con su centro sobre el eje2
πo
en su prolongación, y es tangente al eje polar tiene como ecuación: 2r bsenρ θ= =
Si 0b > , la circunferencia está por arriba del polo Si 0b < , la circunferencia se encuentra debajo del polo.
LAS ECUACIONES DE LAS CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES
La ecuación polar de una cónica es de la forma1 cos
p
eρ
θ=
−donde “e” es la
excentricidad de la cónica. Si e < 1 se trata de una elipse, si e = 1 es una parábola y si e > 1 una hipérbola. Además el polo es uno de los focos de la cónica descrita. Esta observación permite
interpretar el parámetro p como la abscisa correspondiente al polo, ya que para 2
πθ = se
tiene pρ = y por tanto la cónica pasa por el punto de coordenadas polares ( , )2
pπ
Se
observa también que la circunferencia es un caso particular de la elipse, concretamente cuando la excentricidad e es 0. DIBUJAR LAS SIGUIENTES CURVAS
LA ELIPSE. Ejemplo. 2
1 0.5cosρ
θ=
−
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LA HIPÉRBOLA. 2
1 2cosρ
θ=
−
LA PARÁBOLA 2
1 cosρ
θ=
−
LA LEMNISCATA DE BERNOUILLI 2 cos2ρ θ=
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LA CARDIOIDE 2(1 cos )ρ θ= +
LA ESPIRAL LOGARÍTMICA 0.5e θρ =
LA ROSA DE TRES PÉTALOS 2 (3 )senρ θ=
LA ROSA DE CUATRO PÉTALOS 3 (2 )senρ θ=
Como se habrá observado estas curvas suelen tener muchas simetrías. Si ( ) ( )ρ θ ρ θ− = se tendrá simetría respecto al eje de abscisas.
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Si ( ) ( )ρ π θ ρ θ− = se tendrá simetría respecto al eje de ordenadas, y
Si ( ) ( )ρ π θ ρ θ+ = se tendrá simetría respecto al origen.
Ahora vamos a graficar algunas de esas curvas, pero tomando en cuenta las restricciones dadas.
LA ROSA DE TRES PÉTALOS cos(3 ); , 02
πρ θ θ
− = ∈
LA CARDIOIDE [ ]2(1 cos ); 0,ρ θ θ π= + ∈
LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES [ ]3 ; 0,10ρ θ θ π= ∈
LA ESPIRAL HIPERBÓLICA [ ]2; ,100ρ θ π π
θ= ∈
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En general si se tiene ( ) ( )ρ π θ ρ θ+ = se tendrá que si el punto ( , )ρ θ es de la curva,
también lo son los puntos ( , )k dondek Nρ θ α+ ∈ . Esto permite dibujar la curva haciendo
rotaciones y, sobre todo, permite simplificar cálculos en los que hay que usar integrales,
como cálculos de longitudes, áreas, etc.
El siguiente ejemplo muestra cómo las simetrías y rotaciones pueden utilizarse para representar gráficamente una curva en polares. Hay que comprobar con DERIVE las afirmaciones que se harán a continuación. Considérese la curva de ecuación polar cos(3 )ρ θ= Para 0θ = se obtiene el punto de
coordenadas polares (1, 0), luego ρ va disminuyendo de valor hasta anularse para6
πθ =
Entre este ángulo y 2
πθ = no hay gráfica de la función, pues corresponderían valores
negativos del radio vector, luego volvería a hacerse positivo y se podría seguir dibujando la gráfica. Sin embargo es más fácil completar la figura una vez dibujado el primer arco si se tiene en cuenta que el coseno es una función par, es decir tal que cos( ) cos( )θ θ− = , lo
que implica que la gráfica es simétrica respecto al eje de abscisas (o semieje polar), esto permite «cerrar» el primer pétalo. Como la función coseno es periódica de periodo 2π se
tendrá que cos(3 )ρ θ= es periódica de periodo 2
3
π (es decir 120 grados), con lo cual se
obtendrá la gráfica completa girando el pétalo 2
3
πy a su vez éste otra vez.
Si se pide ahora calcular la superficie encerrada por esta curva o la longitud de la misma
bastaría con resolver el problema correspondiente a un (o a medio) pétalo y multiplicar
por 3 (o por 6).
LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CURVAS DE ECUACIÓN POLAR CONOCIDA A partir de la ecuación polar ( ); Iρ ρ θ θ= ∈ , donde I es un intervalo (cerrado, abierto,
semiabierto, acotado o no) es relativamente sencillo obtener una expresión cartesiana
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paramétrica de la curva usando como parámetro el ánguloθ , Se tiene así que una
parametrización de la curva es ( ) ( ) cos , ( ) ( )x y sen Iθ ρ θ θ θ ρ θ θ θ= = ∈
A partir de aquí puede obtenerse la expresión para la pendiente de la recta tangente a la
curva en un punto. Teniendo en cuenta la expresión para la derivada a una curva a partir
de sus coordenadas paramétricas
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA EN UN PUNTO.
Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función ( )r fρ θ= = diferenciable (o derivable) dada por Para encontrar la pendiente en
forma polar, se usan las ecuaciones paramétricas: cos( ) ( ) cos( ); ( ) ( ) ( )x r x f y rsen y f senθ θ θ θ θ θ= ⇒ = = ⇒ = Mediante el uso de la
forma paramétrica de dy
dx, se obtiene
dy
dy ddxdx
d
θ
θ
= , entonces, sí f es una función
diferenciable (o derivable) deθ entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
en el punto ( , )r θ es ( ) ( ) ( ) cos( )
cos( ) ( ) ( ) ( )
dy sen f fm
dx f f sen
θ θ θ θθ θ θ θ
′ += =
′ −
Las rectas tangentes horizontales ocurren cuando se iguala a cero el numerador de m y el
denominador es diferente de cero.
Las rectas tangentes verticales ocurren cuando el denominador de m es cero y el
numerador es diferente de cero.
1. De las soluciones 0dy
dθ= se tiene una tangente horizontal, siempre que 0
dx
dθ≠
2. De las soluciones 0dx
dθ= se tiene una tangente vertical, siempre que 0
dy
dθ≠
Si y dy dx
yd dθ θ
simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecto a
las rectas tangentes. Rectas tangentes en el polo Supóngase que la gráfica de ( )r fρ θ= = pasa por el polo
cuando ( ) 0y fθ α α′= ≠ Entonces la recta θ α= es tangente a la gráfica de ( )r f θ= en el
polo. Ejemplo. Determine los puntos en los que la cardioide ( ) 1 cos( )rρ θ θ= = − tiene rectas
tangentes horizontales y verticales. Dibuje la gráfica y muestre los puntos por donde
pasan sus rectas tangentes.
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Colocamos en la barra de expresiones:
M ≔ (2·COS(θ)^2 - COS(θ) - 1)/(SIN(θ)·(1 - 2·COS(θ)))
Para determinar las rectas tangentes horizontales se iguala el numerador a cero
Esto nos indica los puntos de tangente horizontal que se obtienen, ahora se sustitruyen en la expresión #70 ( ) 1 cos( )rρ θ θ= = − para determinar los puntos donde la curva tiene
rectas tangentes horizontales.
Esos son los puntos donde existe RECTAS TANGENTES HORIZONTALES. Para determinar las rectas tangentes VERTICALES se iguala el denominador a cero
Los valores positivos calculados se sustitruyen la expresión #70 ( ) 1 cos( )rρ θ θ= = − para
determinar los puntos donde la curva tiene rectas tangentes verticales.(el valor negativo carece de sentido)
Por tanto, la curva tiene una RECTA TANGENTE VERTICAL en esos puntos PARA GRAFICAR:
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CÁLCULO DE ÁREAS DE UNA REGIÓN POLAR El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos se usa como elemento básico del área sectores circulares. Sí f es continua y no negativa en el intervalo dado por ; 0 2α θ β β α π≤ ≤ < − ≤ entonces
el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de ( )r f θ= entre las rectas radiales
yθ α θ β= = está dada por: 2 21 1( ( ))
2 2A f d r d
β β
α αθ θ θ= =∫ ∫
NOTA La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si f toma valores tanto positivos como negativos en el intervalo α θ β≤ ≤
Ejemplo. Determinar el área de la región de la cardioide α θ β≤ ≤
Para calcular el área, debemos activar del fichero de utilidades del programa DERIVE: INTEGRATIONAPPLICATIONS.MTH, para realizar los cálculos de áreas, y GRAPHICSFUNCTIONS.MTH, para graficar las áreas a cálcular, mediante el siguiente procedimiento: ARCHIVO, LEER, UTILIDADES y luego seleccionar esos ficheros.
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Debe aparecer esta información:
Ahora copiamos la ecuación: 1cos( )ρ θ=
Definimos el comando para graficar el área entre curvas (ver guía primeros pasos con DERIVE)
Esto significa lo siguiente: AreaBetweenCurves(u,v,x,a,b): representa el área entre u(x) y v(x) desde x = a a b (a < b) Ahora sólo sustituimos, las curvas, la variable, y los límites de integración, (que representan los cortes entre las curvas)
Luego la rutina para graficar, y obtenemos:
Definimos otro comando, para cálcular el área buscada: POLAR_AREA(r, r1, r2, θ, θ1, θ2) ≔ ∫(∫(r, r, r1, r2), θ, θ1, θ2) Donde: (radio vector,curva(1), curva(2),argumento, límite inf,límite sup)
Sustituimos los valores y resolvemos
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CÁLCULO DE ÁREAS DE GRÁFICAS POLARES. PUNTOS DE INTERSECCIÓN Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras, tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Por ejemplo, considérense los puntos de intersección de las gráficas de 1 2cos 1r y rθ= − =
Se trata de hallar los puntos de intersección resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea, se obtiene:
Ésta es una de las razones por las que es necesario trazar una gráfica cuando se busca el área de una región polar. Para graficar esas curvas y ver los puntos de intersección
CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE GRÁFICAS Ejemplo: Determinar el área de la región encerrada por la cardioide 1 cosr θ= − y a la
izquierda de la recta 3
4x = − .
Se hace la conversión de la RECTA DE FORMA CARTESIANA A FORMA POLAR, definiendo este comando: RectaV(x, θ) ≔ x/COS(θ)
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En caso que la recta sea horizontal se utiliza este comando:
Se determina los cortes entre las curvas:
Graficamos:
Y ahora graficamos ambos resultados
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Y por último calculamos el área solicitada:
Otra forma de hacer los cáculos de áreas es programando otros comandos: POLAR_AREA2(r, α, a, b) ≔ 1/2∫(r^2, α, a, b) POLAR_ENTREAREA(r, ρ, α, a, b) ≔ 1/2·∫(r^2 - ρ^2, α, a, b)
Ejercicio propuesto: Hallar el área de la región común a las dos regiones limitadas por las curvas siguientes. 6cos 2 2cosr y rθ θ= − = − (Circunferencia, Cardioide)