Matemáticas II PAU UEXEn un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas...

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Instrucciones: La prueba consta de dos opciones A y B de las cuales el alumno deber´ a elegir una. Cada opci´ on consta de 4 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opciones diferentes, se considerar´ a como elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la soluci´ on de una cuesti´ on se base en un c´alculo, ´ este deber´a incluirse en la respuesta dada. OPCI ´ ON A 1.- Sea la matriz A que depende del par´ ametro a R A = 0 1 1 a 0 a -2 a 0 . (a) Determine el rango de la matriz A seg´ un los valores del par´ametro a. (1,5 puntos) (b) Para a = 1 resuelva, si existe soluci´ on, la ecuaci´on matricial A x y z = 1 1 1 . (1 punto) 2.- Sean los puntos A = (2, 0, 1), B = (2, 0, 3) y la recta r dada por el punto C = (1, 0, 2) y el vector ~v =(-1, 0, 0). Determine los puntos P de la recta r para los cuales el ´area del tri´ angulo [ ABP es 2. (2,5 puntos) 3.- Sea la funci´ on f (x)= |x| = x si x 0 , -x si x< 0 . (a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f (x). (1 punto) (b) Estudie la monoton´ ıa (crecimiento y decrecimiento) de f (x) y justifique si en el punto x =0 la funci´on f (x) tiene un m´ ınimo relativo. (1 punto) (c) Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones f (x)= |x| y g(x)=2 - x 2 y calcule su´area. (1,5 puntos) 4.- En un centro comercial el 35 % de los clientes utiliza carro. El 70 % de los que utilizan carro son hombres y el 40 % de los no que no utilizan carro son mujeres. (a) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer. (0,75 puntos) (b) Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, qu´ e probabilidad hay de que utilice carro. (0,75 puntos)

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Instrucciones: La prueba consta de dos opciones A y B de las cuales el alumno debera elegir

una. Cada opcion consta de 4 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opciones diferentes, se

considerara como elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la

solucion de una cuestion se base en un calculo, este debera incluirse en la respuesta dada.

OPCION A

1.- Sea la matriz A que depende del parametro a ∈ R

A =

0 1 1

a 0 a

−2 a 0

.

(a) Determine el rango de la matriz A segun los valores del parametro a. (1,5 puntos)

(b) Para a = 1 resuelva, si existe solucion, la ecuacion matricial A

x

y

z

=

111

. (1 punto)

2.- Sean los puntos A = (2, 0, 1), B = (2, 0, 3) y la recta r dada por el punto C = (1, 0, 2)y el vector ~v = (−1, 0, 0). Determine los puntos P de la recta r para los cuales el area del

triangulo ABP es 2. (2,5 puntos)

3.- Sea la funcion

f(x) = |x| =

x si x ≥ 0 ,

−x si x < 0 .

(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f(x). (1 punto)

(b) Estudie la monotonıa (crecimiento y decrecimiento) de f(x) y justifique si en el puntox = 0 la funcion f(x) tiene un mınimo relativo. (1 punto)

(c) Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones f(x) = |x| y g(x) = 2 − x2 y calculesu area. (1,5 puntos)

4.- En un centro comercial el 35 % de los clientes utiliza carro. El 70 % de los que utilizancarro son hombres y el 40 % de los no que no utilizan carro son mujeres.(a) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer. (0,75 puntos)

(b) Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, que probabilidad hay de queutilice carro. (0,75 puntos)

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Prueba de Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad de Extremadura

Curso 2016-17

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1 h. 30 min.

Instrucciones: La prueba consta de dos opciones A y B de las cuales el alumno deberá

elegir uua. Cada opción consta de 5 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opcioues diferentes, se considerará corno elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse

en la respuesta dada.

OPCIÓN A

1.- (a) Calcule el determinante de la matriz

A = (~ -~ ~) · 2 o - 1 (0,5 puntos)

(b) Obtenga el determinante de la matriz B mente B.

(e) Calcule la matriz inversa de A.

!A4 sin calcular previa­(0,5 puntos)

(1,5 puntos)

2 .­

(a) (b) (e)

Considere en JR.3 las rectas r : , s : {x= O { x+ y = l y = O z = O

Obtenga un vector director de la recta s. Obtenga el plano I11 que contiene ar y es paralelo a s. Obtenga el plano I12 que contiene ar y es perpendicular a s.

(0,5 puntos)

(1 punto)

(1 punto)

3.- (a) Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange. (0,75 puntos)

(b) Aplicando a la función f(x) = l /x2 el anterior t eorema, pruebe que cualesquiera que sean los números reales 1 < a < b se cumple la desigualdad a+ b < 2a2b2 . (1 ,25 puntos)

4 .- Calcule una primitiva F{x) de la función

2x 2 f(x) = 2 1

-e- x+2xcos(x ) X +

que cumpla F(O) = O. (2 puntos)

5.- En un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas cont ienen errores. El seg1mdo capítulo, de 80 páginas, tiene 8 con error, y en el tercero, de 50 páginas, el 80 % no tiene ningún error. Calcule la probabilidad de que una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores. (1 punto)

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Prueba de Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad de Extremadura

Curso 2016-17

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1 h. 30 min.

Instrucciones: La prueba consta de dos opciones A y B de las cuales el alumno deberá elegir una. Cada opción consta de 5 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opciones

diferentes, se considerará como elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN B

1.- Considere el sistema de ecuaciones

Obtenga valores de los parámetros a, by e en los siguientes casos: (a) Para que el sistema sea compatible determinado. (b) Para que el sistema sea compatible indeterminado. (e) Para que el sis tema sea incompatible.

(0,75 puntos)

(1 punto)

(0,75 puntos)

2.- Considere en JR3 los puntos A = (1,2,1) , B = (- 2,-1, - 3), C = (O, 1, -1) y D = (O, 3, - 1), y sea r la recta que pasa por A y B.

(a) Calcule ecuaciones paramétricas der. (1 punto)

(b) (1,5 puntos) Obtenga un punto P de la rectar t al que la dist ancia de Ca P sea igual a la distancia de D a P. (1,5 puntos)

3.- Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizon­tales de la función

f(x ) = 2x + 1 x2 +x (2 puntos)

4.- (a) Represente, aproximadamente, la gráfica de la función f (x) = x2 - 1 definida en el intervalo cerrado [O , 2]. (0,5 puntos)

(b) Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f( x ) = x 2 - 1, el eje OX y las rectas x = O, x = 2. (1,5 puntos)

5.- El 40 % de la población activa de una ciudad son mujeres. Se sabe que el 20 % de las mujeres y el 12 % de los varones está en el paro. Elegida al azar una persona entre la población activa que no está en paro, calcule la probabilidad de que dicha persona sea mujer. (1 punto)

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Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2015-16

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de Ja prueba: 1 h. 30 min.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN A

1.- Determine los números reales a y b sabiendo que el sistema de ecua­ciones lineales

ax + by + 3z

~ } . X + 2y z -

3x y + z

tiene al menos dos soluciones distintas.

2.- En JR3, sea I1 el plano de ecuación x - z = 2, y sea r la recta que pasa

por los puntos A= (1, O, O) y B = (O, O, b). (a) (0'5 puntos) Calcule un vector director de la rectar. (b) (0'75 puntos) Determine b para que r y I1 sean perpendiculares. (e) (0'75 puntos) Determine b para que r y I1 sean paralelos. (d) (0'5 puntos) ¿Está r contenida en I1 para algún valor de b? Razone la

respuesta.

3.- (a) (1 punto) Enuncie el teorema de Rolle. (b) (1 punto) Dado un número real ,),, utilice el teorema de Rolle para

probar que el polinomio P(x) = x 3 + x +A no tiene dos raíces distintas. (e) (0'5 puntos) ¿Tiene el polinomio P(x) = x3 + x +A alguna raíz?

Justifique la respuesta.

4.- Calcule el valor de la integral definida

1ª 1 ---dx,

o ft+l

donde a= (e - 1)2• [El cálculo de la integral indefinida puede hacerse con el

cambio de variable t = yÍX (es decir, x = t 2), o también con el cambio de

varia.ble u = yÍX + 1.)

Julio

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®···· u EX

Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2015-16

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1h. 30 min.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro cuestiones de la opción elegida puntuará 2'5 puntos como máximo. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN B

( 1 -1 ) ( 2 1.- Dadas las matrices A = 0 1

Y B = _ 1 ~ ) , obtenga las

matrices X que cumplen la igualdad AX+ B 2 - 2A = O.

2.- En JE.3 , considere el punto P = (1, O, 1) y los planos II1 = x + z =O, II2 - y - z = O. Obtenga un plano II3 que cumpla a la vez las siguientes condiciones: (i) P E II3 ; (ii) II1 corta a II3 en una recta; (iii) los planos II1

II2 y II3 no tienen puntos en común.

3.- (a) (2 puntos) Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la función

j(x) = 2x- l -x2 +x

(b) (0'5 puntos) Utilizando los datos obtenidos en el apartado anterior, represente, aproximadamente, la gráfica de la función J(x).

4.- (a) (0'5 puntos) Escriba la "regla de la cadena" para la derivación de funciones compuestas.

(b) (1 punto) Calcule la derivada de la función

f(x) =In (cos2 x) , 7í 7í

--<x<-. 2 2

(c) (1 punto) Obtenga, utilizando el apartado (b), una primitiva G(x) de la función g(x) = tgx que cumpla G(O) =l.

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Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2015-16

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1 h. 30 min.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN A

1.- Considere la función f(x) = sen2 x (tenga en cuenta que el ángulo x se mide en radianes).

(a) (1'25 puntos) Estudie los extremos relativos de f(x) en el intervalo O<x<1r.

(b) ( l '25 puntos) Estudie los puntos de inflexión de f ( x) en el intervalo Ü <X<~·

2.- Calcule una primitiva F(x) de la función

f(x) = -2x 2 --

2- - 2xe1-x + 2xcos(x2 )

e-x

que cumpla F(ü) = l.

3.- Discuta, en función del parámetro b, el sistema de ecuaciones

3y + bz bx +by

-x +z

(no es necesario resolverlo en ningún caso).

4.- Considere en IR.3 los puntos A= (1, 1, -1) y B =(O, 1, 1), y los planos Il¡ : X+ y= o y II2: X - z =o.

(a) (1 punto) Calcule las ecuaciones paramétricas de la rectar que pasa por los puntos A y B.

(b) (1'5 puntos) Obtenga un punto P de la rectar cuya distancia al plano II1 sea el doble de su distancia al plano II2 , esto es, d(P, II1 ) = 2 d(P, II2 ).

Junio

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Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2015-16

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1 h. 30 mín.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2 '5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN B

1.- Considere la siguiente función definida a partir de los parámetros o:JJ E IR:

{ x 2 -3x+o:

f(x) = -x2 + (3x + (3 + 1 si x 2:: O.

si X< 0,

(a) (1 punto) Obtenga la relación que debe haber entre o: y (3 para que f sea continua en x = O.

(b) (1 punto) Calcule o: y (3 para que f sea derivable en x =O. (e) (0'5 puntos) Para los valores o: y (3 obtenidos en el apartado (b), ¿es

f' derivable en x = O? Razone la respuesta.

2.- (a) (0'5 puntos)_ Calcule los puntos en los que la recta y= x - 1 y el eje OX cortan a la parábola y= -x2 + 6x - 5.

(b) (0'5 puntos) Dibuje, aproximadamente, el recinto plano limitado entre la parábola y = -x2 + 6x - 5 y la recta y = x - l.

(e) ( l '5 puntos) Calcule el área de dicho recinto plano.

3.- Considere las matrices A= ( ~ -~ -~), B = ( ~ ~ ~l ) · 2 2 o -1 o

(a) (1 punto) Calcule la matriz C = 2A - B 2 .

(b) (1'5 puntos) Halle la inversa A-1 de la matriz A.

4.- Sean en JR.3 los vectores u= (1, 1,0) y v= (-1,0,1). (a) (0'75 puntos) Calcule el producto vectorial i1 x v. (b) (0'75 puntos) Obtenga un vector e1 de ffi.3 que cumpla cos L(ei, u)= O. (e) (1 punto) Obtenga un vector e2 de JR.3 que cumpla senL(ez, v) =O.

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Julio

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Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2013-14

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1h. 30 min.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN A

1.- (a) (1'5 puntos) Estudie cómo es el sistema de ecuaciones:

X +y -4z 2x -y -z X - 2y + 3z

~ } . -1

(b) (1 punto) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones.

2 . 3 {X=0 {x+y=l .- Considere en lR las rectas r : 0

, s : 1

· z= x-y=

(a) (0'5 puntos) Obtenga un vector director de la recta s. (b) (1 punto) Obtenga el plano II que contiene ar y es paralelo a s. (e) (1 punto) Obtenga el plano II que contiene ar y es perpendicular a s.

3.- (a) (0'5 puntos) Enuncie la condición que se debe cumplir para que una recta x = a sea asíntota vertical de una función f ( x).

(b) (2 puntos) Calcule las asíntotas verticales y horizontales (en -oo y en +oo) de la función

4.- Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cosx, el eje OX y las rectas x =O, x = 27r.

javier
Texto escrito a máquina
Junio
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Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1h. 30 min.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN B

1.- (a) (0'5 puntos) Calcule el determinante de la matriz

A= ( ~ ~1 ~). (b) (1'5 puntos) Calcule la matriz inversa de A. (e) (0'5 puntos) Calcule el determinante de la matriz B = ~A3 sin obtener

previamente B.

2.- (a) (2 puntos) Dado el plano II1 de ecuac10n z = O, escriba las ecuaciones de dos planos II2 y II3 tales que los planos II 1 , II2 y II3 se corten dos a dos pero no exista ningún punto común a los tres.

(b) (0'5 puntos) Clasifique el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos Ili, II2 y IIa.

3.- (a) (1 punto) Enuncie el teorema de Bolzano. (b) (0'75 puntos) Aplique el teorema de Bolzano para probar que la ecua­

ción cos x = x 2 - 1 tiene soluciones positivas.

(c) (0'75 puntos) ¿Tiene la ecuación cosx = x2 -1 alguna solución nega­tiva? Razone la respuesta.

4.- Calcule la siguiente suma de integrales definidas

12 2 ¡2n -

3 dx + (- senx · esenx + cos2 X· esenx) dx,

1 X n

cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas.

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Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2012-13

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1h. 30 min.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN A

1.- (a) (1'25 puntos) Encuentre, razonadamente, un valor del parámetro a para el que sea compatible determinado el sistema de ecuaciones

ax + 2y + z = a + 1 } (a+ 1)x - y - az = -1 .

- x + y + z = 2a

(b) ( 1 '25 puntos) Resuelva el sistema para el valor de a encontrado.

2.- Sean en JR3 los vectores e= (2, O, O), i1 = (1, O, -1) y iJ = ( -2, 3, -2). (a) (1 punto) Calcule el producto vectorial ex il. (b) (0'75 puntos) Calcule el seno del ángulo e que forman e y il. (e) ( 0'75 puntos) Calcule el ángulo cp que forman i1 y iJ.

3.- Estudie si la recta r de ecuación y = 4x - 2 es tangente a la gráfica de la función f ( x) = x3 + x2 - x + 1 en alguno de sus puntos.

4.- (a) (1 punto) Halle, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de la función f(x) = 1 + lnx.

(b) (1'5 puntos) Calcule el área de la región plana limitada por la curva y = ln x, la recta horizontal y = -1, y las rectas verticales x = 1 y x = e.

javier
Texto escrito a máquina
javier
Texto escrito a máquina
javier
Texto escrito a máquina
javier
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Junio
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Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2012-13

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1 h. 30 m in.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN B

1.- Dadas las matrices

(

1 o A= -~ -~

-1) 1 ' 1

o 1 o

pruebe que la matriz inversa de A es A-1 = -A2 +A+ 2 J.

2.- (a) (1'5 puntos) Calcule las ecuaciones implícitas de la rectar que pasa por el punto p = (1, -1, O) y es paralela a los planos rrl = X+ y= 2 y rr2 = x - y + z = 1.

(b) (1 punto) Calcule tambi~n las ecuaciones paramétricas de r y un vector director de r.

3.- (a) (1 punto) Enuncie el teorema de Bolzano. (b) (0'75 punto) Demuestre que alguna de las raices del polinomio P(x) =

x4 - 8x - 1 es negativa. (e) (O' 75 puntos) Demuestre que P ( x) tiene también alguna raíz positiva.

4.- Calcule la siguiente integral de una función racional:

J 3x d x2 +x- 2 x.

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Prueba de Acceso a la Universidad de E:x:tremadura Curso 2012-13

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1h. 30 min.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN A

1.- Dadas las matrices A = ( ~ ~ - ~ ) y B = ( - ~ ~ -; ) ,

0 1 1 2 X y

estudie si existen números reales x e y tales que la matriz B es la inversa de la matriz A.

2.- En JR3, calcule la distancia del punto P = (1, -1, 2) a la recta T que

pasa por los puntos A= (0, -1, 1) y B = (1, O, 1).

3.- (a) (1 punto) Defina a trozos la función f(x) = 2- x·lxl y represéntela gráficamente.

(b) (1 punto) Estudie la derivabilidad de f(x) en toda la recta real. (e) (0'5 puntos) Calcule la función derivada f'(x) para los valores de x que

exista.

4.- Calcule el valor de la integral definida

11

( ~ 2 ) 2

+ (2x -1)ex -x + 27rsen(27rx) dx. 0 X + 1

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Septiembre
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Prueba de Acceso a la Universidad de Extremadura Curso 2012-13

Asignatura: MATEMÁTICAS 11 Tiempo máximo de la prueba: 1 h. 30 m in.

Instrucciones: El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.

OPCIÓN B

1.- (a) (1'25 puntos) Estudie para cuáles valores del parámetro m es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones:

(1-2m)x- y- z = -1} (m- 1)x + y - z = 2 .

m2x + y + z = 3

(b) (1'25 puntos) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones para m= O.

2.- Fijados los puntos A= (1, 1, O) y B = (1, O, 1), calcule todos los puntos de la forma X= (0, >., J-L) para los que el triángulo ABX es equilátero.

3.- (a) (1'75 puntos) Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función

x3

f(x) = (x -1)2

(b) (0'75 puntos) Represente la función f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado (a).

4.- (a) (1 punto) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y=1-x2

, elejeOX, larectax=O ylarectax=2. (b) (1'5 punto) Calcule el área de dicho recinto.

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Junio 2011

Instrucciones: El alumno elegira una de las dos opciones propuestas.Cada una de las cuatro cuestiones de la opcion elegida puntuara 2’5 puntoscomo maximo. Cuando la solucion de una cuestion se base en un calculo, estedebera incluirse en la respuesta dada.

OPCION A

1.- (a) (1 punto) Enuncie el Teorema de Rolle.

(b) (1’5 puntos) Pruebe que cualquiera que sea la constante a la funcionf(x) = x3 − 5x2 + 7x+ a cumple las hipotesis de dicho teorema en el intervalo[1, 3]. Calcule un punto del intervalo abierto (1, 3) cuya existencia asegura elTeorema de Rolle.

2.- (a) (1’5 puntos) Represente, de forma aproximada, la figura planalimitada por la curva y = −2(x− 1)3, su recta tangente en el punto (1, 0) y larecta x = 0. (Puede ser util calcular los cortes de la curva y = −2(x− 1)3 conlos ejes coordenados.)

(b) (1 punto) Calcule el area de dicha figura plana.

3.- Calcule las matrices de la forma X =

(x 1y 0

)que cumplen la

ecuacion

X ·X t =

(1 00 1

),

donde X t es la matriz traspuesta de X.

4.- (a) (1’5 puntos) Estudie, en funcion de los parametros a y b, la

posicion relativa de la recta r :

{x = 0y = 0

y el plano Π ≡ x+ y + az = b.

(b) (1 punto) Para cada una de las posiciones obtenidas, diga como es elsistema formado por las tres ecuaciones

x = 0 , y = 0 , x+ y + az = b .

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Instrucciones: El alumno elegira una de las dos opciones propuestas.Cada una de las cuatro cuestiones de la opcion elegida puntuara 2’5 puntoscomo maximo. Cuando la solucion de una cuestion se base en un calculo, estedebera incluirse en la respuesta dada.

OPCION B

1.- (a) (1 punto) Enuncie el Teorema del Valor Medio del Calculo Integral.(b) (1’5 puntos) Calcule el punto al que se refiere dicho teorema para la

funcion f(x) = ex + 1 en el intervalo [0, 1].

2.- (a) (2 punto) Estudie las asıntotas, los extremos relativos y los puntosde inflexion de la funcion f(x) = xe−x.

(b) (0’5 puntos) Represente, utilizando los datos obtenidos en el apartadoanterior, la grafica de la funcion f(x) = xe−x.

3.- Discuta, en funcion del parametro a, el sistema de ecuaciones

− x + 2y + z = ax + (a− 1)y + az = 0ax + 2y + z = − 1

(no es necesario resolverlo en ningun caso).

4.- Considere las rectas r :

{x+ y = 0x− z = 1

y s :

x = 1y = λz = λ

.

(a) (2 puntos) Determine el plano Π que contiene a la recta r y cortaperpendicularmente a la recta s.

(b) (0’5 punto) Calcule el punto donde se cortan el plano Π y la recta s.

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CRITERIOS GENERALES DE EVALUACION

Los criterios esenciales de valoracion de un ejercicio seran el planteamientorazonado y la resolucion correcta del mismo.

La presentacion clara y ordenada del ejercicio y el uso correcto de la notacionse valoraran positivamente.

No se descartara ningun metodo que conduzca a la resolucion de un ejercicio,si bien no todos deben valorarse por igual.

En los ejercicios de naturaleza practica se concedera especial importanciaal planteamiento correcto del problema, cuyo peso en el total de la nota nuncasera inferior al 30%.

Las respuestas correctas pero sin justificacion (o una comprobacion en uncaso simple, . . . ), cuando explıcita o implıcitamente se exija una justificacionrazonada, se calificaran a lo sumo con el 40% de la puntuacion maxima quecorresponda.

Los errores de calculo tendran mayor o menor importancia segun se debana deficiencias conceptuales o a fallos mecanicos.

Se valorara positivamente la coherencia, de modo que si un alumno arrastraun error sin entrar en contradicciones, este error no se tendra en cuenta en lacalificacion de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempreque resulten ser de una complejidad equivalente.

Si un alumno realiza ejercicios de las dos opciones, solo se evaluaran losejercicios de la misma opcion del primero que aparezca fısicamente en el papelde examen.

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CRITERIOS ESPECIFICOS DE CORRECCION

OPCION A

1.- (a) : 1 punto por el enunciado. (b) (1’5 puntos) : 0’5 puntos por lacomprobacion de las hipotesis y 1 punto por la determinacion del punto pedido(0’5 puntos el calculo de la derivada, f ′(x) = 3x2 − 10x + 7, y 0’5 puntos elcalculo del punto x = 7/3).

2.- (a) (1’5 puntos) : 0’5 puntos por el calculo de la recta tangente (y = 0),y 1 punto por la representacion de la figura plana pedida. (b) (1 punto) :0’5 puntos por el planteamiento de la integral para calcular el area

(A =∫ 1

0−2(x− 1)3 dx

), y 0’5 puntos por el calculo del area (A = 1/2).

3.- (2’5 puntos) : 1 punto por cualquier planteamiento correcto, y 1’5

puntos por la resolucion(X =

(0 11 0

)o X =

(0 1

−1 0

)).

4.- (a) (1’5 puntos) : 0’75 puntos por un planteamiento correcto y 0’75puntos por la resolucion (si a = 0, entonces π y r se cortan en un unico punto;cuando a = 0 y b = 0 tenemos que r esta contenida en π; si a = 0 y b = 0,entonces r y π son paralelos). (b) : 1 punto (si a = 0 el sistema es compatibledeterminado; si a = 0 y b = 0 el sistema es compatible indeterminado; si a = 0y b = 0 el sistema es incompatible.)

OPCION B

1.- (a) : 1 punto por el enunciado. (b) (1’5 puntos) : 0’5 puntos por elcalculo de una primitiva de f(x) (F (x) = ex+x+C), 0’5 puntos por el calculode la integral definida (F (1)−F (0) = e), y 0’5 puntos por el calculo del puntoc ∈ (0, 1) tal que f(c) · (1− 0) = e (c = ln(e− 1)).

2.- (a) (2 puntos) : 1 punto por el estudio de las asıntotas (hay solo una,y = 0 es asıntota horizontal en +∞); 0’5 puntos por el estudio de los extremosrelativos (solo hay un maximo en x = 1); 0’5 puntos por el estudio de los puntosde inflexion (solo hay uno en x = 2). (b) : 0’5 puntos.

3.- (2’5 puntos) : 1 punto por el calculo del determinante de la matrizA de coeficientes del sistema y de los valores del parametro que lo anulan(|A| = (a+1)2

), 0’5 puntos por la discusion del caso a = −1, y 1 punto por la

discusion del caso a = −1 (el rango de A es 1 y el rango de la ampliada es 2).

4.- (a) (2 puntos) : 1 punto por un planteamiento correcto y 1 puntopor la resolucion (Π ≡ y + z = −1). (b) : 0’5 puntos (el punto pedido es(1,−1/2,−1/2)).

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Instrucciones: El alumno elegira una de las dos opciones propuestas.Cada una de las cuatro cuestiones de la opcion elegida puntuara 2’5 puntoscomo maximo. Cuando la solucion de una cuestion se base en un calculo, estedebera incluirse en la respuesta dada.

OPCION A

1.- (a) (1’25 puntos) Diga, razonadamente, si la tercera columna de lamatriz A siguiente es combinacion lineal de las dos primeras columnas:

A =

1 2 −3 0

0 1 −1 1

−1 0 1 −1

.

(b) (1’25 puntos) Calcule el rango de la matriz A.

2.- Sea r la recta que pasa por los puntos A = (1, 0, 0) y B = (1,−1, 0),y sea s la recta que pasa por los puntos C = (0, 1, 1) y D = (1, 0,−1).

(a) (1’5 puntos) Calcule el plano Π que contiene a s y es paralelo a r.(b) (1 punto) Calcule la distancia entra las rectas r y s.

3.- Determine valores de los parametros a y b para que la funcionf(x) = a cos2 x + b x3 + x2 tenga un punto de inflexion en x = 0.

4.- Calcule, utilizando la formula de integracion por partes, una primitivaF (x) de la funcion f(x) = x2 · lnx2 que cumpla F (1) = 0.

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Instrucciones: El alumno elegira una de las dos opciones propuestas.Cada una de las cuatro cuestiones de la opcion elegida puntuara 2’5 puntoscomo maximo. Cuando la solucion de una cuestion se base en un calculo, estedebera incluirse en la respuesta dada.

OPCION B

1.- Discuta, en funcion del parametro b, el sistema de ecuaciones

y + bz = 1 + b

x + z = 3− b

bx − by = 1− b

(no es necesario resolverlo en ningun caso).

2.- (a) (0’75 puntos) Calcule las ecuaciones implıcitas de la recta r quepasa por los puntos A = (1, 0, 0) y B = (−1, 0,−1).

(b) (1’75 puntos) De todos los planos que contienen a la recta r, obtengauno cuya distancia al punto C = (0,−1, 0) sea igual a 1.

3.- Calcule el lımite

limx→0

ex − e−x − 2x

sen2 x.

4.- (a) (1’25 puntos) Represente, de forma aproximada, la grafica de lafuncion f(x) = xex

2−1. Senale el recinto plano limitado por dicha grafica, eleje OX, la recta x = −1 y la recta x = 1.

(b) (1’25 puntos) Calcule el area del recinto del apartado anterior.

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CRITERIOS GENERALES DE EVALUACION

Los criterios esenciales de valoracion de un ejercicio seran el planteamientorazonado y la resolucion correcta del mismo.

La presentacion clara y ordenada del ejercicio y el uso correcto de la notacionse valoraran positivamente.

No se descartara ningun metodo que conduzca a la resolucion de un ejercicio,si bien no todos deben valorarse por igual.

En los ejercicios de naturaleza practica se concedera especial importanciaal planteamiento correcto del problema, cuyo peso en el total de la nota nuncasera inferior al 30%.

Las respuestas correctas pero sin justificacion (o una comprobacion en uncaso simple, . . . ), cuando explıcita o implıcitamente se exija una justificacionrazonada, se calificaran a lo sumo con el 40% de la puntuacion maxima quecorresponda.

Los errores de calculo tendran mayor o menor importancia segun se debana deficiencias conceptuales o a fallos mecanicos.

Se valorara positivamente la coherencia, de modo que si un alumno arrastraun error sin entrar en contradicciones, este error no se tendra en cuenta en lacalificacion de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempreque resulten ser de una complejidad equivalente.

Si un alumno realiza ejercicios de las dos opciones, solo se evaluaran losejercicios de la misma opcion del primero que aparezca fısicamente en el papelde examen.

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CRITERIOS ESPECIFICOS DE CORRECCION

OPCION A

1.- (a) (1’25 puntos) : la tercera columna SI es combinacion lineal de las dosprimeras. (b) (1’25 puntos) : el rango de A es 3 porque tiene menores de orden 3que no se anulan.

2.- (a) (1’5 puntos) : 0’75 puntos por cualquier planteamiento correcto, y0’75 puntos por obtener la solucion correcta

(la ecuacion de Π es 2x + z = 1

).

(b) (1 punto) : 0’5 puntos por un planteamiento correcto, y 0’5 puntos por la solucioncorrecta

(la distancia entre r y s es 1/

√5).

3.- (2’5 puntos) : 1 punto por exponer que las condiciones f ′′(0) = 0 y f ′′′(0) = 0son suficientes para que f(x) tenga inflexion en x = 0; 1 punto por hacer correcta-mente las derivadas f ′(x), f ′′(x) y f ′′′(x); 0’5 puntos por concluir que si a = 1 yb = 0 entonces f tiene un punto de inflexion en x = 0.

4.- (2’5 puntos) : 0’75 puntos por la expresion correcta de la formula de in-tegracion por partes; 1’25 puntos por la aplicacion correcta de dicha formula parallegar a la expresion de las primitivas

(F (x) = 1

3x3 · lnx2− 2

9x3 +C

); 0’5 puntos por

el caso particular(F (1) = 0 ⇒ C = 2

9

).

OPCION B

1.- (2’5 puntos) : 1 punto por el calculo del determinante de la matriz de coefi-cientes del sistema y de los valores del parametro que lo anulan

(|A| = b · (1 − b)

);

0’5 puntos por la discusion de cada uno de los tres casos (si b = 0 y b = 1 el sistemaes compatible determinado; si b = 0 el sistema es incompatible; si b = 1 el sistemaes compatible indeterminado).

2.- (a) (0’75 puntos) : ecuaciones implıcitas de r son x − 2z = 1, y = 0.(b) (1’75 puntos) : 0’5 puntos por la descripcion del haz de planos determinadopor la recta r

(α(x − 2z − 1) + βy = 0 con (α, β) = (0, 0)

); 0’75 puntos por un

planteamiento correcto; 0’5 puntos por una solucion (el plano y = 0, o el planox+ 2y − 2z = 1).

3.- (2’5 puntos) : 1 punto por la aplicacion correcta de la regla de l’Hopital cadavez que se utiliza (2 veces), y 0’5 puntos por obtener que el lımite vale 0.

4.- (a) (1’25 puntos) : 0’75 puntos por la representacion de la grafica, y 0’5puntos por senalar el recinto. (b) (1’25 puntos) : 0’5 puntos por el planteamientocorrecto de la integral para calcular el area

(A =

∫ 0−1−xex

2−1dx +∫ 10 xex

2−1dx),

0’5 puntos por la primitiva de xex2−1, y 0’25 puntos por sustituir y simplificar para

obtener A = 1− e−1.

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Junio Fase Específica
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IES Norba
Nota adhesiva
Junio Fase General
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