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Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 1/23

Matemáticas DiscretasTC1003

Relaciones entre Conjuntos: PropiedadesDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12


Representación Alternativa para Relaciones

Sea A un conjunto y R una relación de A en A. Eneste caso diremos que R es una relación sobre A

o una relación en A.



Representación Alternativa para Relaciones

Sea A un conjunto y R una relación de A en A. Eneste caso diremos que R es una relación sobre A

o una relación en A. Alternativamente al diagramade flechas del conjunto hacia si mismo:

a

b

c

a

b

c

a

b

c



Ejemplo

Si A = {1, 2, 3, 4} yR = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje eldiagrama de flechas de las relación.



Ejemplo

Si A = {1, 2, 3, 4} yR = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje eldiagrama de flechas de las relación.Soluci on

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Relación Reflexiva

Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice que



Relación Reflexiva

Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice que■ R es reflexiva si :

∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R).



Relación Reflexiva


∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R).

Es decir, toda relación que sea reflexiva debe teneral menos n flechas (suponiendo que n es el númerode elementos de A):



Relación Reflexiva


∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R).

Es decir, toda relación que sea reflexiva debetener al menos n flechas (suponiendo que n es elnúmero de elementos de A): deben estar todaslas parejas (a, a) donde a barre todos loselementos de A.



Ejemplos



Ejemplos

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Relación no Reflexiva



Ejemplos

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Relación Reflexiva



Ejemplos

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Relación Reflexiva

Cada nodo debe tener un cíclo.



Ejemplos

De acuerdo a la mtriz de adyacencia de unarelación:

1 · · ·...

. . .

0. . .

1 · · ·... 1

. . .

1

Relación No reflexiva Relación Reflexiva



Ejemplos


1 · · ·...

. . .

0. . .

1 · · ·... 1

. . .

1


En la diagonal principal debe haber sólo unospara relaciones reflexivas.



Ejemplos


1 · · ·...

. . .

0. . .

1 · · ·... 1

. . .

1


En la diagonal principal debe haber sólo unospara relaciones reflexivas. En las no reflexivas hayal menos un cero.



Relación Simétrica

Definici onSean A un conjunto y R una relación.




Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es simétrica si





∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R).





∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R).

Que no nos engañe la implicación: no dice quetengamos flechas de x a y para todo x y y:





∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R).

Que no nos engañe la implicación: no dice quetengamos flechas de x a y para todo x y y: Diceque en caso de haber una flecha de x a y

debemos de tener una de y a x en las relacionessimétricas.



Ejemplos



Ejemplos

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Relación no simétrica



Ejemplos

1 2

34

Relación no simétrica

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Relación Antisimétrica





Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es antisimétrica si





∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y).





∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y).

Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en larelación, es porque las parejas son (x, x).



Ejemplos



Ejemplos

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Relación no Antisimétrica



Ejemplos

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34

Relación no Antisimétrica

1 2

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Relación Transitiva





Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es transitiva si




Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es transitiva si

∀x, y, z, ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R).



Ejemplos



Ejemplos

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Relación no Transitiva



Ejemplos

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Relación no Transitiva

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Relación de Equivalencia





Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de equivalencia si




Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de equivalencia si R es reflexiva,simétrica y transitiva.



Ejemplos



Ejemplos

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Relación no de Equivalencia



Ejemplos

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Relación no de Equivalencia

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Relación de Orden Parcial





Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de orden parcial si




Definici onSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de orden parcial si R esreflexiva, antisimétrica y transitiva.



Ejemplos



Ejemplos

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Relación que no es Orden Parcial



Ejemplos

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Relación que no es Orden Parcial

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Ejemplo

Considere el conjunto

A = {1, 2, 3}

y la relación:

R =

{

(2, 2) , (2, 3) , (1, 2) ,

(1, 1) , (3, 3)

}

Indique cuáles propiedades tiene la relación.



Ejemplo

Indica cuáles de las siguientes son relaciones deequivalencia:1. mod5 en los enteros2. La relación vecinos en los paises3. Primos en una familia4. ≥ en los enteros



Cerradura Transitiva de una Relación

Definici onSean A un conjunto y R una relación. La cerraduratransitiva de R es una relación R′que cumple:




Definici onSean A un conjunto y R una relación. La cerraduratransitiva de R es una relación R′que cumple:■ R′ es transitiva,




Definici onSean A un conjunto y R una relación. La cerraduratransitiva de R es una relación R′que cumple:■ R′ es transitiva,■ R ⊆ R′ (R′ contiene a R), y




Definici onSean A un conjunto y R una relación. La cerraduratransitiva de R es una relación R′que cumple:■ R′ es transitiva,■ R ⊆ R′ (R′ contiene a R), y■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a

R también contiene a R′.




Definici onSean A un conjunto y R una relación. La cerraduratransitiva de R es una relación R′que cumple:■ R′ es transitiva,■ R ⊆ R′ (R′ contiene a R), y■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a

R también contiene a R′.Es decir, la cerradura transitiva de una relación R

es la más pequeña relación transitiva que contienea R.



Ejemplos



Ejemplos

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Relación



Ejemplos

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Relación

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Cerradura Transitiva



Ejemplos

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Relación

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Cerradura Transitiva

Cuidado: A veces hace falta una segunda pasadapara revisar si ya es transitiva.



Considere el conjunto

A = {1, 2, 3}

y la relación sobre A:

R =

{

(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) ,

(2, 1) , (2, 2) , (3, 3)

}

Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejasdeben aãdirse a R en la cerradura transitiva:1. (2, 3)

2. (3, 1)

3. (3, 2)



Partición de un Conjunto

Definici onSea A un conjunto no vacío. Una partición para A

es una colección de subconjuntos de A, A1,A2,. . . ,Am tal que





es una colección de subconjuntos de A, A1,A2,. . . ,Am tal que■ Ningún subconjunto Ai es vacío:

∀i, Ai 6= ∅






∀i, Ai 6= ∅

■ Los conjuntos no tienen elemento en común:

∀i, j, (i 6= j → Ai ∩ Aj = ∅)






∀i, Ai 6= ∅

■ Los conjuntos no tienen elemento en común:

∀i, j, (i 6= j → Ai ∩ Aj = ∅)

■ La unión de los conjuntos es igual a A:

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = A



Ejemplo

Indica cuáles de las siguientes son particiones delconjunto:

{1, 3, {5, 2}, 4}

1. {∅, {1, 3, {5, 2}, 4}}2. {{1}, {3, {5, 2}, 4}}3. {{{1, 3}}, {5, 2}, {4}}4. {{1}, {3}, {{5, 2}}, {4}}

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