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LOS ROBLES EQUIPO TÉCNICO DE MATEMÁTICAS Matemáticas Aplicadas – II 2º BAC Problemas propuestos en las PAU (Universidad de Oviedo) (Versión VII-2018) A continuación, se recogen -clasificados en los tres bloques en que se ha dividido el programa de la asignatura- los problemas propuestos en las Pruebas de Acceso a la Universidad del distrito de Oviedo, durante los últimos años. Cada problema va pre- cedido de un número identificativo y del año en que apareció. Los problemas anteriores al año 1994 se propusieron en la PAU de COU, pero se corresponden con el programa de 2º de BAC. A partir de ese año, los problemas pro- puestos en ambas PAU han sido los mismos con muy pocas excepciones (cuando un problema posterior a 1994 procede sólo de la PAU de COU, se indica con una obser- vación que precede a su enunciado).

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LOS ROBLES EQUIPO TÉCNICO DE MATEMÁTICAS

Matemáticas Aplicadas – II

2º BAC

Problemas propuestos en las PAU (Universidad de Oviedo)

(Versión VII-2018)

• A continuación, se recogen -clasificados en los tres bloques en que se ha dividido el

programa de la asignatura- los problemas propuestos en las Pruebas de Acceso a la Universidad del distrito de Oviedo, durante los últimos años. Cada problema va pre-cedido de un número identificativo y del año en que apareció.

• Los problemas anteriores al año 1994 se propusieron en la PAU de COU, pero se

corresponden con el programa de 2º de BAC. A partir de ese año, los problemas pro-puestos en ambas PAU han sido los mismos con muy pocas excepciones (cuando un problema posterior a 1994 procede sólo de la PAU de COU, se indica con una obser-vación que precede a su enunciado).

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2

I. Álgebra

u I.1. (1989) Hallar la matriz X tal que:

1 22 5

4 62 1

æ

èç

ö

ø÷ × =

èç

ö

ø÷X

• Sol.: ÷÷ø

öççè

æ-

-1363216

u I.2. (1989)

Enunciar el teorema fundamental de la Programación Lineal. Poner un ejemplo (gráfico o analítico) de un problema de Programación Lineal que alcance solución óptima.

u I.3. (1989)

i) Define determinante de orden 2. ii) Obtén la fórmula de Sarrus para los determinan-tes de orden 3, desarrollando los elementos de una línea (fila o columna). iii) Calcula los valores de x tales que:

124225x0x12

det =÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

• Sol.: c) 3 y –7 u I.4. (1989)

Resolver gráficamente el siguiente problema de Programación lineal: Max.F(x1, x2) siendo F(x1, x2) = x1 + x2

- + £

+ £

+ £

³

³

ü

ý

ïïï

þ

ïïï

x xx xx x

xx

1 2

1 2

1 2

1

2

22 6

2 600

• Sol.: (2, 2)

u I.5. (1989) a) Dada la ecuación ax + by + cz = d, donde a, b, c y d son números reales, ¿repre-senta a los puntos de un plano en el espacio? b) Encontrar la ecuación de un plano que pasa por los puntos (0,0,5), (0,3,0) y (–1,2,2). ¿Pertenece el punto P = (1,-2,4) a dicho plano? ¿Y el P = (15,3,–5)?. Justificar las respuestas.

• Sol.: b) x + 5y + 3z – 15 = 0. P1 no; P2 sí u I.6. (1989)

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a, y resolverlo en el caso de que sea compatible:

ax y zx y z

x y z

+ - =

+ + =

+ + =

ü

ýï

þï

03 0

3 10 4 0

• Sol.: Si a = 1, sistema compatible indeterminado de soluciones: x = 2l, y = -l, z = l ("lÎR); si a¹1, sistema compati-ble determinado: x = y = z = 0

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u I.7. (1989) a) Dada una matriz cuadrada A, definir la matriz TA, traspuesta de A. b) ¿Cuándo di-remos que una matriz es simétrica? c) Si A es una matriz cuadrada de orden 4, de-mostrar que la matriz B = A + TA es una matriz simétrica.

u I.8. (1989)

a) Sabiendo que toda ecuación lineal en x, y, z representa a un plano en el espacio, ¿es posible que dos ecuaciones lineales en x, y, z representen siempre a una recta? ¿Por qué? b) Dados los planos 5x – 2y – 23 = 0, 4x – 2z – 16 = 0 ¿Determinan una recta? ¿Y los planos 4y – 5z + 6 = 0, –10x + 4y + 46 = 0, representan a la misma rec-ta? Justificar las respuestas.

• Sol.: b) Si, si u I.9. (1990)

a) En el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, definir las operaciones suma y producto de matrices. b) Dadas las matrices:

A y B=æ

èç

ö

ø÷ =

-

-

æ

èç

ö

ø÷

1 22 3

3 22 1

Calcular:

( )A BA B A B

+- - -

22 1 1; ; ;

• Sol.: b) A B

A B A B+

=-æ

èçç

ö

ø÷÷ - =

æ

èçç

ö

ø÷÷ =

-

-

æ

èçç

ö

ø÷÷ =

æ

èçç

ö

ø÷÷

- -

2

1 2

2 1

16 0

0 16

3 2

2 1

1 2

2 3

2 1 1; ( ) ; ;

u I.10. (1990)

Hallar la ecuación del plano que pase por los puntos (2,1,–3), (1,2,–1) y (0,–1,–1) y calcular los valores del parámetro m para que la recta, definida como intersección de los planos:

P

P1

2

60

º - = - +

º - =

mx y mx z

corte el plano anterior en un punto. • Sol.: –3x + y – 2z = 0; m ¹ 5

u I.11. (1990)

Con el fin de conseguir una dieta equilibrada, un especialista en dietética propone co-mo base de la alimentación, la combinación de dos alimentos con las recomendacio-nes siguientes: - De la mezcla de los dos alimentos no se deben tomar más de 300 g. ni menos de 120. - La cantidad ingerida del primer alimento debe ser al menos doble que la del segun-do. - No se debe tomar más de 150 g. del primer alimento. Cada 100 g. del primer alimento contienen 4g. de proteínas y 2g. de materia grasa y cada 100 g. del segundo contienen 3 g. de proteínas y 2 g. de materia grasa. ¿Cuán-tos g. se deben tomar de cada tipo de alimento para obtener la dieta más rica en pro-teínas? ¿y la dieta menos rica en materia grasa? • Sol.: Vértices de la región solución: (120, 0), (150, 0), (150, 75) y (80, 100); 150g de A y 75 g de B; múltiples solucio-

nes, por ejemplo 120 g de A y 0 g de B. u I.12. (1990)

Basándose en la interpretación geométrica de los sistemas lineales, responder razo-nadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Puede un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tener exactamente dos soluciones? b) ¿Puede un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tener exactamente dos soluciones?, ¿y una sola? c)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 4

¿Puede un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas no tener solución?, ¿y una sola? d) ¿Puede un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas tener exactamente dos soluciones?, ¿e infinitas?

• Sol.: a) No; b) No; c) Si, No; d) No, Sí u I.13. (1990)

a) Definir determinante de orden dos. b) Definir el concepto de determinante de orden tres mediante el desarrollo por los elementos de una línea. c) Dada la matriz:

Am

=

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

1 20 3 52 4 4

calcular el determinante de A, y las condiciones para que dicha matriz tenga inversa. • Sol.: c) det(A) = –6m + 12; m ¹ 2

u I.14. (1990)

a) Definir el concepto de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales. Dados dos sistemas con distinto número de ecuaciones, ¿pueden ser equivalentes?, ¿y con dis-tinto número de incógnitas?. Justificar razonadamente las respuestas. b) Averiguar si son equivalentes los siguientes sistemas:

x y zy z

+ + =

- =

üýþ

02

; x y

x y zx z

+ =

+ + = -

+ = -

ü

ýï

þï

2 23 2 4 2

2 2

• Sol.: b) Sí lo son u I.15. (1990)

Estudiar, según los valores de a, el sistema: x y az a

x y a z ax y a z

- + =

+ + = +

- + = -

ü

ýï

þï

24 68 6

2

2

y resolverlo cuando sea posible. • Sol.: Si a = 0, sistema compatible determinado: x = 2, y = 1; si a = 1 sistema incompatible; si a ¹ 1 y a ¹ 0, sistema

compatible u I.16. (1990)

Una persona puede invertir hasta 1.000.000 de pts. Su asesor fiscal le sugiere que invierta en dos tipos de acciones A y B. Las acciones A implican algo de riesgo pero tienen un rendimiento anual del 10%, y las acciones B son más seguras pero producen solo el 7% anual. Después de ciertas consideraciones decide invertir como máximo 600.000 pts en la compra de acciones A y por lo menos 200.000 en la compra de ac-ciones B. Por otra parte decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo inver-tido en B. ¿Cómo deberá realizar su inversión para que sus ganancias anuales sean máximas?

• Sol.: 6·105 ptas en acciones A y 4·105 en B

u I.17. (1991) Pablo dispone de 12.000 pts. para gastar en libros y discos. A la tienda donde acude, el precio de los libros es de 400 pts. y el de los discos es de 1.200 pts. Suponiendo que desea comprar como mucho doble número de libros que de discos, se pide: a) Formular el problema y representarlo gráficamente. b) Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos. En caso afirmativo, indicar si gasta todo su presupuesto. c) ¿Puede adquirir 15 libros y 5 discos? ¿Cuánto dinero le sobra? Razonar la respues-ta.

• Sol.: b) sí, sí; c) no

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u I.18. (1991)

Cierto supermercado hace el mismo pedido a tres proveedores diferentes A, B y C. Dicho pedido contiene ciertas cantidades de arroz, lentejas y garbanzos (expresadas en Tm). Cada uno de los proveedores marca para los distintos productos los precios recogidos en la tabla siguiente (expresados en cientos de miles de pts/Tm):

ARROZ LENTEJAS GARBANZOS PROVEEDOR A 1,5 3 4 PROVEEDOR B 2 3 3,5 PROVEEDOR C 2 3 4

El pedido que recibe del proveedor A le cuesta 1.600.000 pts, el que recibe del B le cuesta 50.000 pts más que el anterior y el que recibe del C le cuesta 50.000 pts más que este último. a) Formular el problema y determinar la composición del pedido. b) Definir el concepto de sistema lineal compatible. ¿Cuántos tipos de sistemas com-patibles se pueden distinguir? c) El sistema resuelto en el apartado a), ¿de qué tipo es?. Razonar la respuesta. d) ¿Cuándo se dice que un sistema lineal es homogéneo? ¿Un sistema homogéneo es siempre compatible? ¿e indeterminado?. Razonar las respuestas.

• Sol.: a) 2 Tm de arroz, 3 de lentejas y 1 de garbanzos

u I.19. (1991) Sean las matrices:

A y B=æ

èç

ö

ø÷ =

æ

èç

ö

ø÷

4 12 1

2 21 1

a) Calcular el determinante de cada una. ¿A es una matriz regular? ¿lo es B?. ¿Por qué? Determinar, si es posible, la matriz inversa correspondiente. b) Sea c = 3, obtener la matriz cA. A partir de las propiedades de los determinantes, deducir el determinante de cA. c) Hallar la matriz producto AB. Sin desarrollar su determinante, justificar que esa ma-triz no tiene inversa.

• Sol.: a) det(A) = 2, det(B) = 0, A- =-

-

æ

èç

ö

ø÷1 1 2 1 2

1 2/ /

; b) det(cA) = 18; c) AB = 9 95 5æ

èç

ö

ø÷

u I.20. (1991)

En un taller artesanal de calzado se fabrican un modelo de zapatos y otro de zapati-llas. En el taller trabajan dos personas, cada una de las cuales tarda aproximadamente 4 horas en hacer un par de zapatos y 2 horas en hacer un par de zapatillas. Además trabajan cada semana de lunes a viernes con jornada diaria de 8 horas. Por otra parte, para atender adecuadamente al mercado, deben fabricar al menos doble número de pares de zapatos que de zapatillas. a) ¿Cuántas combinaciones de pares de zapatos y zapatillas podrían hacer?. Formular el problema y representarlo gráficamente. Si sólo fabricasen zapatos, ¿cuántos podrían obtener semanalmente? b) Si la ganancia (ex-presada en miles de pts) que obtiene el taller con cada par de zapatos es 3 y con cada par de zapatillas 1, encontrar gráficamente el número de pares de cada tipo que debe-rán hacer para alcanzar la mayor ganancia posible.

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (20, 0) y (16, 8); 20 pares; b) 20 pares de zapatos y 0 de zapatillas u I.21. (1991)

Un examen consta de tres pruebas. Cada una de ellas se califica con una puntuación de 0 a 10. No obstante, debido a su diferente nivel de dificultad, cada prueba tiene una ponderación distinta a la hora de determinar la calificación global del examen; las pon-deraciones son: 0,5 para la prueba 1, 0,3 y 0,2 -respectivamente- para las pruebas 2 y

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 6

3. La calificación global se calcula multiplicando la puntuación obtenida en cada prue-ba por la correspondiente ponderación y sumando estos resultados. Tres alumnos han sacado las puntuaciones siguientes:

Alumno \ Prueba 1 2 3 Juan 4 5 8 María 4 3 6 Pablo 8 7 9

a) Obtener, utilizando el calculo matricial, la calificación global de estos alumnos. b) Calcular el determinante de la matriz cuadrada utilizada en el apartado a). c) ¿Es dicha matriz regular? ¿Por qué? Sustituir la primera columna de esa matriz por otra de forma que se obtenga una matriz singular.

• Sol.: a) Juan: 5.1, María: 4.1 y Pablo: 7.9; b) 32 u I.22. (1991)

Un granjero se dedica a la cría de pavos. La dieta de un animal debe contener al me-nos 1.500 calorías y no más de 2.500; asimismo debe contener por lo menos 5 unida-des de hierro. Para componer la dieta el granjero puede comprar dos tipos de pienso (A y B), cuyos contenidos en calorías y hierro (por cada 100 gr.) se indican en la tabla siguiente:

Fe(un.) calorías pienso A 1 150 pienso B 4 200

Si el precio del kg de pienso A es 100 pts y el del pienso B 200, ¿Qué cantidad debe utilizar de cada pienso con el fin de que la alimentación de los pavos le resulte lo más barata posible?; ¿cuál es su coste?. a) Formular el problema y resolverlo gráficamente. b) ¿El contenido en hierro de la dieta es el mínimo exigido?; ¿y el contenido en calo-rías es máximo? Razonar las respuestas.

• Sol.: a) 1 kg de pienso A y 0 de B, 100 ptas; b) no, no u I.23. (1991)

Sea el sistema: ax y

x a y- =

- + - = -

üýþ

3 12 1 3( ) /

donde a es un parámetro real. Se pide: i) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores de a y resolverlo cuando sea posible. ii) Interpretar geométricamente los distintos casos determinados en el apartado i), indi-cando asimismo el conjunto de soluciones correspondiente. • Sol.: i) Si a = 3 sistema compatible indeterminado: x = l + 1/3, y = l ("lÎR); si a = –1 sistema incompatible; si a ¹ 3 y

–1 sistema compatible determinado: x = 1/(a + 1), y = –1/3(a + 1) u I.24. (1991)

Una dieta para criar pollos se obtiene mezclando tres tipos de pienso en las cantida-des siguientes: 100 gr. del pienso A, 200 gr. del pienso B y 150 gr. del C. Cada tipo de pienso contiene grasas, proteínas y vitaminas según las proporciones que se indican en la tabla siguiente por cada 100 gr.:

Grasas(gr.) Proteínas(gr.) Vitaminas(Unid.) pienso A 1 2 1 pienso B 2 3 1 pienso C 1 1 3

a) Utilizando el calculo matricial, calcular el contenido total de grasas, proteínas y vi-taminas que tiene la dieta. b) Calcular el determinante de la matriz cuadrada obtenida en el apartado anterior.

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c) Definir el concepto de matriz inversa. ¿Tiene inversa la matriz del apartado a)? ¿Por qué? d) En la matriz del apartado a) sustituir la última fila por otra de manera que la matriz resultante no tenga inversa.

• Sol.: a) 6.50 g de grasa, 9.50 de proteínas y 7.50 de vitaminas; b) –3 u I.25.(1992)

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gr. y su precio es de 100 pts; la marca B lo envasa en cajas de 500 gr. y su precio es de 180 pts; y la marca C lo hace en cajas de 1 kg a un precio de 330 pts. El almacén vende a un cliente 2,5 kg de este producto por un importe de 890 pts: Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, se pide: a) Calcular cuántos envases de cada tipo se han comprado. b) El sistema de ecuaciones resuelto en el apartado a), ¿de qué tipo es?

• Sol.: a) 2 de A, 2 de B y 1 de C u I.26. (1992)

Dada la matriz:

M mm

=

-

-

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

1 2 12 4

2 1

donde m es un parámetro real. a) Determina el rango de M según los distintos valores de m. b) Calcula la matriz inversa de M si m = 3. c) Dar un valor de m para que la matriz M sea singular (no sea inversible).

• Sol.: a) Si m = 1 ó m = –2, rg(M) = 2; si m ¹ 1 y m ¹ –2, rg(M) = 3; b) M- =-

--

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

11 2 0 1 2

11 20 1 10 1 42 5 1 5 0

/ // / // /

; c) m = 1 ó m = –2

u I.27. (1992)

Se han comprado tres fincas (A, B y C). La finca B tiene 100 m más de extensión que la finca A, y la extensión de C es igual a la de A y B juntas. El precio pagado por m2 fue de 10000 pts en A, 15000 pts en B y 12000 pts en C, y la compra ha supuesto en total un desembolso de 7600000 pts. a) Calcular la extensión de cada una de las fincas. b) El sistema de ecuaciones resuelto en el apartado a), ¿de qué tipo es?. Obtener la matriz asociada a dicho sistema y proponer un sistema homogéneo que tenga su misma matriz asociada: ¿tiene solución este ultimo sistema?

• Sol.: a) A: 100 m2, B: 200 y C: 300; b) M =-

-

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

1 1 01 1 110 15 12

u I.28. (1992)

Una fábrica se dedica a elaborar lápices y bolígrafos. El coste de fabricación de cada lápiz es de 5 pts y el de cada bolígrafo de 8 pts. Además debe fabricar al menos 100 lápices y dispone de un máximo de 900 pts para hacer frente a todo el proceso de fa-bricación. Los precios de venta son de 25 pts por lápiz y de 33 pts por bolígrafo. a) ¿Puede fabricar 120 lápices y 40 bolígrafos? b) Si sólo fabricase bolígrafos, ¿cuántos podría obtener como máximo? ¿Y si sólo fa-bricase lápices, cuántos? c) Si el empresario quiere maximizar sus beneficios, esto es, la diferencia entre sus ingresos por ventas y los costes de fabricación, encontrar gráficamente el número de lápices y bolígrafos que debe fabricar.

• Sol.: a) no; b) 112 bolígrafos y 180 lápices; c) 180 lápices y 0 bolígrafos

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 8

u I.29. (1992)

Un distribuidor de material escolar ha clasificado 120 lápices en cajas de tres tamaños: 3 de tipo pequeño, 5 mediano y 2 grande. Una vez clasificados han sobrado 6 lápices. Además se sabe que las cajas medianas contienen el doble que las pequeñas y las grandes el triple. Se pide: a) Calcular el número de lápices que contiene cada tipo de caja. b) Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales. ¿A qué tipo pertenece el siste-ma resuelto en a)?

• Sol.: a) Pequeña: 6 lápices, mediana: 12, grande: 18 u I.30. (1992)

Una empresa elabora tres tipos de productos (A, B y C) combinando madera, plástico y pintura. La composición de una unidad de cada tipo de producto es la siguiente:

Producto Madera(gr.) Plástico(gr.) Pintura(gr.) A 150 100 50 B 100 150 25 C 200 80 30

Durante la semana pasada la empresa ha elaborado 3 unidades de producto A, 2 de producto B y 5 de producto C. a) Utilizando el calculo matricial, obtener la cantidad total de madera, plástico y pintura utilizadas. b) Calcular el determinante de la matriz construida en a). ¿Tiene inversa dicha matriz? ¿Por qué? c) En la matriz calculada en a) sustituir la primera columna por otra de forma que la matriz resultante no tenga inversa.

• Sol.: a) 1 650 g de madera, 1 000 de plástico y 350 de pintura; b) –525 000 u I.31. (1992)

Una empresa ha contratado personal de las tres categorías siguientes: especialistas, administrativos y maestros de taller. El número de especialistas contratado es doble que el número de administrativos y maestros de taller juntos. El número total de per-sonas contratadas es 9. El sueldo anual de un especialista es de 1500000, el de un administrativo 2000000, y el de un maestro de taller de 2300000 pts. El coste anual del personal contratado asciende a 15300000 pts. a) Calcular el número de personas con-tratadas de cada categoría. b) Escribir la matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales resuelto en a). c) ¿A qué tipo de sistemas de ecuaciones pertenece?. ¿Se puede proponer otro sistema que tenga su misma matriz asociada y sea incompatible? Razona la respuesta. d) Proponer un sistema homogéneo que tenga la misma matriz asociada que la del apartado b): ¿tiene solución este último sistema?

• Sol.: a) 6 especialistas, 2 administrativos y 1 maestro; b) M*

. . .

=

- -æ

è

çççç

ö

ø

÷÷÷÷

1 2 2 0

1 1 1 9

15 2 2 3 15 3

u I.32. (1992)

Se quiere invertir dinero en dos tipos de acciones (A, B). El precio de una acción A es de 200 pts y el de una tipo B 400 pts. Por otro lado, la ganancia media mensual de una acción tipo A es de 100 pts y la de una tipo B de 150 pts, y se quiere garantizar una ganancia media mensual global de, al menos, 4000 pts. Además se quieren comprar como mínimo 20 acciones de tipo B. a) ¿Se pueden comprar 2 acciones de A y 22 de B? ¿Y 7 acciones de A y 30 de B? b) Si se pretende invertir la menor cantidad posible de dinero, determinar gráficamente cuál es la combinación óptima de acciones que se deben adquirir.

• Sol.: a) no, sí; b) 10 acciones de A y 20 de B

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u I.33. (1992) La granja "Santa Eva" comercializa los productos de su huerta: fresa, melocotón y ci-ruela. Cada uno de ellos lo envasa como mermelada, en dos versiones: normal y ligera en calorías. El pasado año el número de tarros normales envasados fue 400 de fresa, 300 de melocotón y 250 de ciruela; el número de tarros ligeros fue 250 de fresa, 250 de melocotón y 200 de ciruela. Por otra parte, en cada uno de esos tarros se introduce azúcar y edulcorante en diferentes proporciones para los productos normales y los ligeros; así los normales contienen 100 gr. de azúcar y 20 de edulcorante y los ligeros contienen 25 gr. de azúcar y 150 de edulcorante. a) Representar en una matriz la información sobre el número de tarros envasados de cada tipo y en otra la composición de azúcar y edulcorante de los tarros. Utilizando el calculo matricial determinar: b) la cantidad de azúcar que se necesita para producir toda la mermelada de fresa. c) la cantidad de edulcorante que se usa en la fabricación de toda la mermelada de ciruela. d) Representar en una matriz las cantidades de azúcar y edulcorante que se precisa para obtener las mermeladas (con independencia del tipo: normal o ligero).

• Sol.: a) 400 250300 250250 200

100 2025 150

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

æ

èç

ö

ø÷y ; b) 46250 g; c) 35 kg; d)

10020

25150

125350

æ

èç

ö

ø÷ +

æ

èç

ö

ø÷ =

æ

èç

ö

ø÷

u I.34. (1992)

Sea el sistema: 2 41 2x ay

a x y+ =

- + =

üýþ( )

donde a es un parámetro real. Se pide: a) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores de a y resolverlo cuando sea posible. b) Representar gráficamente los distintos casos examinados en el apartado a), seña-lando asimismo el conjunto de soluciones correspondientes.

• Sol.: a) Si a = 2 sistema compatible indeterminado: x = 2 – l, y = l ("lÎR); si a = –1 sistema incompatible; si a ¹ 2 y –1 sistema compatible determinado: x = 2/(a + 1) e y = 4/(a + 1)

u I.35. (1993)

María distribuye su tiempo de ocio entre discoteca y cine. Cada vez que va a la disco-teca gasta por término medio 600 ptas., mientras que si va al cine su gasto es de 400 ptas. En cierto mes su presupuesto para ocio asciende a 12000 ptas. y desea ir a la discoteca al menos tantas veces como al cine. a) ¿Cuántas veces puede ir a cada sitio? Plantear el problema algebraicamente y dar su representación gráfica. b) ¿Puede ir 10 veces a cada uno de los sitios? ¿Gasta todo su presupuesto? c) Si decide ir a la discoteca solamente, ¿cuántas veces podrá hacerlo como máximo? d) Si María quiere maximizar el número total de veces que puede acudir a divertirse, determinar gráficamente cuántas veces irá a la discoteca y cuántas al cine.

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (20, 0) y (12, 12); b) si, no; c) 20; d) 12 veces a cada sitio u I.36. (1993)

En una granja se venden pollos, pavos y perdices a razón de 200, 150 y 400 ptas./kg, respectivamente. En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 570000 ptas. Además se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. b) Expresar ma-tricialmente el problema. c) ¿Cuántos kg se vendieron de cada tipo? d) Calcular el de-terminante de la matriz asociada al sistema. e) ¿Qué rango tiene la matriz ampliada?

• Sol.: c) 1100 kg de pollo, 1000 de pavo y 500 de perdiz; d) –22; e) 3

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 10

u I.37. (1993)

Sean las matrices siguientes:

A B C aa

=

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

=-æ

èç

ö

ø÷ =

-

-

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

2 11 01 1

1 1 10 4 1

2 6 11 1

5 0; :

a) Calcular el producto AxB. b) ¿Se puede obtener la matriz BxA? ¿Por qué? c) Calcular el valor del parámetro a para que se dé la igualdad AxB = C. d) Calcular el determinante de la matriz C. ¿Para qué valores del parámetro a dicha matriz resulta singular, es decir, no admite inversa? Razonar la respuesta.

• Sol.: a) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--

051111162

; b) sí; c) a = 1; d) a = 5 ó 1

u I.38. (1993)

En una confitería elaboran tres tipos de tarta (A, B y C) cuyos ingredientes básicos son harina, almendras y azúcar. Una tarta de tipo A contiene 100 gr. de harina, 200 gr. de almendra y 100 gr. de azúcar; una de la variedad B contiene 150, 120 y 80 gr. de cada ingrediente respectivamente. Una tarta de tipo C contiene 200 gr. de harina, 150 gr. de almendra y 90 gr. de azúcar. Cierto día se consumieron en la elaboración de las tartas 10 kg de harina, 8.9 kg de almendra y 5.3 kg de azúcar. a) Plantear un sistema para determinar el número de tartas elaboradas. b) Expresar este sistema matricialmente. c) ¿Cuántas tartas se elaboraron ese día de cada variedad. d) ¿Cuándo se dice que un sistema de ecuaciones lineales es incompatible? ¿El sis-tema planteado es de ese tipo? ¿Por qué?

• Sol.: c) 10 tipo A, 20 tipo B y 30 tipo C u I.39. (1994)

Un fabricante de coches ha lanzado al mercado tres nuevos modelos (A, B y C). El precio de venta de cada modelo es 1,5; 2 y 3 millones de ptas, respectivamente, as-cendiendo el importe total de los coches vendidos durante el primer mes a 250 millo-nes. Por otra parte, los costes de fabricación son de 1 millón por coche para el modelo A, de 1,5 para el modelo B y de 2 para el C. El coste total de fabricación de los coches vendidos en ese mes fue de 175 millones y el número total de coches vendidos 140. a) Plantear un sistema para determinar el número de coches vendidos de cada mode-lo. b) Resolver el problema.

• Sol.: b) 80 del tipo A, 50 del B y 10 del C u I.40. (1994)

Diego desea repartir su tiempo de vacaciones entre dos lugares (A y B). El día de es-tancia en A le cuesta 10000 ptas mientras que en B 20000 ptas. Su presupuesto global para todas las vacaciones son 200000 ptas. y no desea pasar más de 10 días en A. a) ¿Cuántos días puede pasar en cada sitio? Plantear algebraicamente el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si desea disfrutar del mayor número de días de vacaciones posible, ¿cuántos pasa-rá en cada uno de los lugares? ¿Agotará su presupuesto?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (10, 0), (10, 5) y (0, 10); b) 10 en A y 5 en B u I.41. (1994)

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número

11 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

igualaría al de hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mu-jeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema.

• Sol.: b) 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños u I.42. (1994)

Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de ptas. y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, querien-do vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 6 millones. a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantear el problema y repre-sentar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos?; ¿cuál es su importe?.

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (4, 0), (20, 0), (20, 10), (10, 10) y (7/4, 7/4); b) 20 de A y 10 de B; 50 millones ptas.

u I.43. (1994)

Cierto estudiante obtuvo en un examen que constaba de tres preguntas una califica-ción de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó 2 puntos más que en la primera y 1 punto menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. b) Resolver el problema.

• Sol.: b) 1 punto en la 1ª, 3 en la 2ª y 4 en la 3ª u I.44. (1994)

Sea A la matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus términos independientes:

Aaa a

B=-

-

æ

èç

ö

ø÷ =

æ

èçö

ø÷

21

44

;

a) Plantear algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas. b) Discutir su compatibilidad e interpretar los resultados obtenidos. • Sol.: b) Si a = 0 sistema incompatible; si a = –1 sistema compatible indeterminado; en los demás casos sistema com-

patible determinado u I.45. (1995)

Un ama de casa adquirió en el mercado cierta cantidad de patatas, manzanas y naran-jas a un precio de 100, 120 y 150 ptas./kg respectivamente. El importe total de la com-pra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma 9 kg y además compró 1 kg más de naranjas que de manzanas. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema.

• Sol.: b) 2 kg de patatas, 3 de manzanas y 4 de naranjas u I.46. (1995)

Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 1 millón de ptas y el del mo-delo de lujo 1,5 disponiendo para esta operación de lanzamiento de un presupuesto de 60 millones. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al menos tantos coches del modelo básico como del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de 45 coches del básico. a) ¿Cuántos coches puede fabricar de cada modelo? Plantear el problema y represen-tar gráficamente su conjunto de soluciones.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 12

b) ¿Cuántos le interesa si su objetivo es maximizar el número total fabricado?; ¿agota el presupuesto disponible?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (45, 0), (45, 10) y (24, 24); b) 45 del básico y 10 de lujo; si u I.47. (1995)

La matriz de coeficientes (A) asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales así co-mo la de sus términos independientes (B) son las siguientes:

A B= -

-

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

=

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

1 1 12 1 15 1 2

1262

;

a) Deducir las ecuaciones del sistema indicando las operaciones matriciales hechas. b) Obtener, si es posible, la inversa de las matrices A y B. Razonar las respuestas.

• Sol.: b) A -= -

-

æ

è

çççç

ö

ø

÷÷÷÷

1

1 17 3 17 2 17

9 17 7 17 1 17

7 17 4 17 3 17

/ / /

/ / /

/ / /

u I.48. (1995) Un agricultor estima que el cuidado de cada m2 plantado de lechugas requiere sema-nalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m2 de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de ambas verduras, queriendo plantar al menos 3 m2 más de repollo que de lechuga. El m2 de lechuga le reporta un beneficio de 500 ptas mientras que el de repollo 650, planificando obtener en conjunto al menos 10.000 ptas de beneficio. a) ¿Qué extensión de terreno puede plantar con cada verdura? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuánto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cuidado sea mínimo? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (7, 10), (18.5, 21.5), (0, 40) y (0, 200/13); b) 200/13 m2 de repollo y 0 de lechu-

ga u I.49. (1996)

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr, 500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg de bombones son 4.000 ptas. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas.: a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. b) Resolver el sistema.

• Sol.: b) 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 grandes u I.50. (1996)

Cierta persona dispone de 10 millones de ptas. como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la B. a) ¿Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B, ¿qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?; ¿a cuánto ascenderá?

• Sol.: a) dos cantidades iguales en cada tipo: desde 2 millones a 5; b) 5 millones en cada tipo, 1 050 000 ptas.

u I.51. (1996) Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 6 x – 2y + 2z = 5 2x – y + z = 11

13 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) Obtener su matriz de coeficientes. b) Calcular el determinante de la matriz anterior. c) Sin resolver el sistema, razonar si tendrá una única solución.

• Sol.: b) 6 u I.52. (1996)

Una agencia de viajes realiza a 20 clientes las siguientes ofertas: un viaje a la ciudad A por 50.000 ptas. u otro a la ciudad B por 75.000 (cada cliente podrá elegir, si le in-teresa, solamente una de las dos ofertas). Por razones de programación, la agencia necesita reunir al menos 8 y no más de 12 clientes interesados en el viaje a la ciudad B. a) ¿Cuántos viajes podrá programar la agencia a cada ciudad? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos clientes deberán estar interesados en ir a cada sitio para que la agencia maximice sus ingresos?; ¿a cuánto ascenderán éstos?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 8), (12, 8), (8, 12) y (0, 12); b) 8 en el A y 12 en el B, 1 300 000 ptas.

u I.53. (1997) En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). El pro-pietario consulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encontrando la siguiente información: el número total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; el precio del paquete A 500 ptas. y el importe total de la oferta 440.000 ptas., pero en sus anotaciones no aparece reflejado claramente el precio del paquete B. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar el número de paquetes vendi-dos de cada marca. Discutir su compatibilidad. b) Averiguar si el precio del paquete B fue 400 ó 408 ptas. ¿Cuántos paquetes se ven-dieron?

• Sol.: a) Sistema compatible si el precio del paquete B no es 500 ptas.; b) 400 ptas.; 400 paquetes de A y 600 de B

u I.54. (1997) Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco graba-do por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es 1.750 y 1.800 ptas., respectivamente, siendo editadas 1.500 copias del disco más ca-ro. Par cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro co-mo del más barato. a) ¿Cuántas copias de cada disco puede vender? Plantear el problema y representar

gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas copias deberá vender de cada uno para maximizar sus ingresos? ¿Cuál

será su importe? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 500), (250, 250), (1500, 1500) y (0, 1500); b) 1500 copias de cada tipo,

5 325 000 ptas. u I.55 (1997)

La matriz de coeficientes ampliada asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:

A* = -

-

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

1 1 1 22 1 4 01 1 2 5

a) Obtener las ecuaciones del sistema. b) Calcular la inversa de la matriz formada por los coeficientes del sistema. c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qué nú-mero.

• Sol.: b) A - =-

--

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

16 13 1 13 5 138 13 3 13 2 131 13 2 13 3 13

/ / // / // / /

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 14

u I.56 (1997)

En una granja dedicada a la cría de cerdos, la dieta alimenticia de los animales consis-te en dos tipos de pienso, cuyo precio (ptas./kg) es 100 para el pienso A y 150 para el pienso B. Un animal debe consumir diariamente al menos 2 kg de pienso. Por otra parte, debido a su valor energético, es aconsejable que coma al menos medio kg de la variedad B. Además, el coste de la dieta no puede superar las 300 ptas. por día. a) ¿Qué cantidades de cada tipo de pienso pueden ser utilizadas para componer la dieta? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se desea que la dieta resulte lo más barata posible, ¿cuáles serán las cantidades adecuadas?; ¿qué coste tiene esa dieta?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (1.5, 0.5), (2.25, 0.5) y (0, 2); b) 1.5 kg de A y 0.5 de B, 225 ptas.

u I.57 (1998) Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matricu-lados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los ma-triculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en 2 unidades al doble de los matriculados en la tercera. (a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matricu-

lados en cada sucursal. (b) Calcular el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. ¿Se puede ase-

gurar que el sistema tiene una única solución? (c) Calcular la inversa, si es posible, de la matriz de coeficientes del sistema.

• Sol.: b) 7, Si; c) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--7/17/27/17/57/37/27/47/17/4

u I.58 (1998)

Una confitería es famosa por sus 2 especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 hue-vos y tiene un precio de venta de 1.200 ptas. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azú-car y 8 huevos y tiene un precio de venta de 1.500 ptas. Debido a una mala previsión se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y azúcar, y elabora-dos ya todos los demás productos que ofertan, les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas tartas. (a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? Plantear el problema y

representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor

ingreso por ventas? ¿A cuánto asciende dicho ingreso? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (15, 0), (10, 5) y (0, 10); b) 10 de imperial y 5 de lima; 19 500 ptas.

u I.59 (1998)

La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es 11 2a

a +æ

èç

ö

ø÷ , y la de

los términos independientes es 22-

æ

èç

ö

ø÷.

(a) Plantear las ecuaciones del sistema. (b) Estudiar su compatibilidad en función de los valores de a. ¿En qué casos tiene so-

lución única? (c) Resolverlo si a = 2. • Sol.: b) Si a = –2 sistema compatible indeterminado; si a = 1 sistema incompatible.; si a ¹ 1 y –2 sistema compatible

determinado (solución única); c) x = –2; y = 2

15 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u I.60 (1998) Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es 760 ptas., y el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere las 94.500 ptas. Por otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las noveda-des, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 unida-des. (a) ¿De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el problema

y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo ¿de cuántas unidades de

cada tipo ha de constar el pedido? ¿cuál es entonces el coste del pedido? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (40, 80), (100, 50) y (63, 126); b) 40 estrenos y 80 novedades; 60 000 ptas.

u I.61 (1999)

Sean las matrices ,3/101

D,zz2z

C,y1

B,1x1x21x

A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-=÷÷

ø

öççè

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--= donde x, y, z son

desconocidos. (a) Calcular las matrices (A x B) + C y 3D. (b) Sabiendo que (A x B) + C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar

los valores de x, y, z. (c) Estudiar la compatibilidad del sistema. ¿Cuántas soluciones tiene? (d) Encontrar, si es posible, una solución.

• Sol.: a) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-+-+-++

zyxz2yx2zyx

y ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

103

; c) infinitas; d) x = 0, y = 2, z = 1

u I.62 (1999)

Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica con-sidera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando dos posi-bilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 1 millón de ptas. por anun-cio, y unas cuñas radiofónicas, con un coste estimado de 100 000 ptas. por cuña. No obstante, no pueden gastar más de 100 millones de ptas. para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en 10 000 el número de copias que se venderán por anuncio de tele-visión, y en 2 000 copias por cuña radiofónica emitida. (a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear

el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de

copias posible? ¿Se llegan a gastar los 100 millones de ptas.? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 50), (95, 50), (90, 100) y (0, 100);b) 100 cuñas y 90 anuncios; Si

u I.63 (1999)

En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en tres estaciones de servicio (A, B y C). El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en A ha sido de 120 ptas./litro y el precio en B de 118 ptas./litro, pero ha olvidado el precio en C (supongamos que son m ptas./litro, con m desconocido). Tam-bién recuerda que: • La suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B superó en 4 680

ptas. al gasto en C. • El número de litros consumidos en B fue el mismo que en C. • El gasto en litros en A superó al de B en 1 260 ptas. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) para determinar los litros con-

sumidos en cada gasolinera.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 16

(b) Estudiar la compatibilidad del sistema en función de m. ¿Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en C?

• Sol.: b) Si m ¹ 236 sistema compatible determinado, si m = 236 sistema incompatible ; 236 ptas./litro

u I.64 (1999) Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa de servicios de traducción quiere contratar, a lo sumo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traduc-tor de una lengua es de 200 000 ptas., y de 300 000 a los que son de más de una len-gua. Como poco, y por motivos de demanda, dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. La política de selección de personal de la compañía obliga también a contratar al menos tantos traductores de una lengua como de más de una. Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de 12 millones de pesetas, y que los beneficios que aportan los traductores de una lengua son de 400 000 ptas./traductor, y de 800 000 ptas./traductor los de más de una lengua: (a) ¿Cuántos traductores de cada tipo puede contratar? Plantear el problema y repre-

sentar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuántos contratará para minimizar el gasto en salarios? ¿Qué beneficios totales

tendrá la empresa en este caso? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (28, 1), (49, 1), (25, 25) y (10, 10);b) 10 de cada tipo; 12 millones ptas.

u I.65 (2000)

Sea BI2A6 =+ una expresión matricial, donde B denota una matriz cuadrada de

orden 2 x 2, tal que: ÷÷ø

öççè

æ-

=1316

B e I la matriz unidad de orden correspondiente.

a) ¿Qué dimensión tiene la matriz A? b) Determine los elementos que integran la matriz A, esto es, pxqij Aa Î . c) Calcule A + 2 I.

• Sol.: a) 2x2; b) ÷÷ø

öççè

æ- 2/12/16/13/2

; c) ÷÷ø

öççè

æ2/32/16/13/8

u I.66 (2000)

Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, “clásico” (C) y “funcional” (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintu-ra. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar? c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de

acuerdo con la relación Bo = 3C + 2F, ¿cuántas unidades de cada línea deben fa-bricarse para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

• Sol.: b) Vértices de la región solución: (0, 0), (5, 0), (4, 3) y (0, 5); c) 4 muebles C y 3 F, 18

u I.67 (2000)

Sean ÷÷ø

öççè

æ-=

53y121

A y ÷÷ø

öççè

æ+

-=

zxz31x1

B dos matrices de orden 2 x 3, en las que x,

z e y denotan valores numéricos desconocidos. a) Determine, razonadamente, los valores de x, y, z Î R de manera que A = B. b) ¿Es posible el cálculo de A x B? Razónese la respuesta.

• Sol.: a) x = 2, y = 3, z = 3; b) No

17 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u I.68 (2000) Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una partida de tela de 5.000 metros. Para la confección de los pantalones se precisan dos metros de tela, y uno para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de confec-cionar al menos el doble de pantalones que de faldas. a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas faldas y pantalones puede ofertar? c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 5.000 pesetas y cada falda a

3.000 pesetas, ¿cuántas faldas y pantalones debe vender para maximizar sus in-gresos? ¿Cuál es el ingreso máximo que puede obtener?

• Sol.: b) Vértices de la región solución: (0, 0), (1 000, 2 000) y (0, 2 500);c) 1 000 faldas y 2 000 pantalones; 13 millo-nes de ptas.

u I.69 (2000) Un producto puede ser adquirido mediante tres procedimientos: o bien por compra directa en el establecimiento (a un precio de 1.000 ptas.), o bien por correo mediante un catálogo que se distribuye por los domicilios (a un precio de 1.250 ptas.), o bien por Internet (a un precio de m ptas.). Se sabe además que este mes: • Por la venta del producto se ha obtenido un total de 157.500 ptas. • El número de unidades vendidas por Internet es 5 veces el de unidades vendidas

directamente en el establecimiento. • Por las ventas en Internet se obtuvieron 80.000 ptas. más que por las ventas direc-

tas en el establecimiento. a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para averiguar el número de

unidades del producto que se han vendido este mes por cada procedimiento. b) Basándote en el estudio de la compatibilidad del sistema, ¿es posible que el precio

por Internet haya sido 750 ptas.? ¿Y 200 ptas.? c) Resuelve el sistema si m = 1.000 ptas.

• Sol.: b) Si, no; c) x = 20, y = 30, z = 100 u I.70 (2000)

Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias: en blanco y negro y en color. Cada fotocopia le supone un cierto coste: 1 pta. por copia para las de blanco y negro, y 3 ptas. por copia para las de color. Asimismo, cada copia en blanco y negro produce un beneficio de 2 ptas. y cada una en color un beneficio de 10. El número de copias en blanco y negro por día es como mínimo igual al número de copias en color, y la copistería tiene que servir a una empresa diariamente al menos 100 en color. Además, por razones técnicas, no puede incurrir en unos costes mayo-res de 6.000 ptas. por día. a) ¿Cuántas copias de cada clase se pueden hacer al día? Plantea el problema y

representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas unidades de cada tipo han de hacer para maximizar los beneficios dia-

rios? ¿Cuál es el máximo beneficio diario? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (100, 100), (5 700, 100) y (1 500, 1 500); b) 1 500 de cada tipo, 18 000 ptas.

u I.71 (2000)

Una empresa manda sus pedidos por correo ordinario o bien utilizando un servicio de mensajeros. Cada paquete enviado por correo ordinario supone un coste a la empresa de 20 ptas., y el coste de cada paquete enviado por mensajero es una cantidad A que establece el servicio de mensajeros cada mes. Cierto mes el número total de paquetes enviados fue de 1.200 y el coste total de los mismos fue de 33.000 ptas. a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar el número de paquetes envia-

dos por correo ordinario y el número de los enviados por mensajero. b) Estudia su compatibilidad. Si se sabe que el coste por mensajero es superior al

coste por correo, ¿el sistema tiene solución única? c) Resuelve el sistema si A = 35 ptas.

• Sol.: b) Si A ¹ 20, sistema compatible determinado; si A = 20, sistema incompatible / Si. C) se han enviado 600 pa-quetes por cada procedimiento.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 18

u I.72 (2000)

Una empresa fabricante de aviones comerciales producirá este año 2 tipos de mode-los. El modelo D–12, cuya venta le proporcionaría unos ingresos de 100 millones de ptas. por unidad, y el C–15, que le proporcionaría 120 millones por unidad. Dicha compañía puede hacer frente como mucho a una producción total de 100 unidades, pero sabe que del modelo D–12 habrá una demanda de al menos 20 unidades y debe ser cubierta, y que no puede producir más unidades del C–15 que del D–12. a) ¿Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar? Plantea el problema y repre-

senta gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinación de unidades de cada modelo debe fabricar para obtener los

mayores ingresos posibles caso de vender toda la producción? ¿A cuánto ascen-derían dichos ingresos?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (20, 0), (100, 0), (50, 50), y (20, 20); b) 50 unidades de cada tipo; 11 000 millo-nes de ptas.

u I.73 (2001)

Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000 ptas. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 60.000 ptas. Se des-conoce la prima cuando la operación es un alquiler. Este mes el número total de operaciones fue 5. La prima total por venta de pisos fue superior en 200.000 ptas. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de ope-

raciones de cada tipo realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler).

(b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan pagado los alquileres. (c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres. (d) Si la prima de alquileres fue de 20.000 ptas., ¿cuántas operaciones de cada tipo se

realizaron? • Sol.: b) 120 000 ptas./piso. c) Múltiples soluciones, por ej.: 1pta, 2ptas y 3 ptas. d) 1 piso nuevo, 2 pisos usados y 2

alquilados.

u I.74 (2001) La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y exterior. El precio que ha de pagar al proveedor de cada planta de interior es de 100 ptas. y de 200 por cada una de exterior. Al día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costes que son de 60 ptas. por cada planta de interior y de 80 ptas. por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen las 4.800 ptas. por pedido se-manal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 60 ptas. por cada planta de inte-rior que venda y 50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo lo pedido sean de al menos 3.000 ptas. (a) ¿Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los

requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el con-junto de soluciones.

(b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido: ¿cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir?; ¿cuánto deberá pagar al proveedor?; ¿cuáles serán los costes de transporte?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (25, 30), (40, 30), (20, 45r) y (20, 36); b) 25 de interior y 30 de exterior; 8 500 ptas.; 3 900 ptas.

19 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u I.75 (2001)

Sean las matrices: ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=÷÷

ø

öççè

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

zzz

D;011

C;yx

B;01a11a

A .

(a) Sabiendo que AB = 2C – D, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) donde a es cierto valor desconocido.

(b) Si se supiera que el sistema tiene solución ¿podríamos descartar algún valor de a? (c) Si se supiera que el sistema tiene solución única ¿podríamos descartar algún valor

de a? (d) ¿Hay algún valor de a para el que el sistema tenga más de una solución?

• Sol.: a) ïî

ïí

ì

=+=++=++

0zx2zayx2zyax

. b) a = 0. c) a = 0 y a = 1. d) a = 1.

u I.76 (2001) Una gestoría financiera que ofrecía hasta ahora tan sólo préstamos personales pre-tende añadir a su cartera de productos los préstamos hipotecarios y se ve en la nece-sidad de rediseñar su política de firmas mensuales en base a los siguientes requeri-mientos: Debe firmar mensualmente al menos 2 préstamos hipotecarios, pero por las dificulta-des que genera la introducción de ese producto no puede superar las 8 firmas men-suales de dichos préstamos. Por la misma razón, el número de firmas mensuales de préstamos hipotecarios ha de ser como máximo la mitad de las firmas mensuales de préstamos personales. Por otro lado, los costes de gestión son de 15.000 ptas. para cada firma de préstamo personal y de 30.000 ptas. para cada una de hipotecario, no pudiéndose superar las 600.000 ptas. de gastos mensuales totales de gestión. Si la comisión a percibir por la firma de cada préstamo personal es de 40.000 ptas. y de 100.000 para cada hipotecario, (a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que puede firmar mensual-

mente cumpliendo los requerimientos de su nueva política de firmas. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Si un mes firma 10 personales y 8 hipotecarios ¿cumple esos requerimientos?

(b) Calcula las unidades de cada producto que ha de firmar un mes para maximizar la comisión total y cumplir todos los requerimientos de su política. ¿A cuánto ascien-de dicha comisión?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (4, 2), (36, 2), (24, 8) y (16, 8); No. b) 24 créditos personales y 8 hipotecarios; 1 760 000 ptas.

u I.77 (2002)

En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vi-taminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades de anticaspa y ninguna de los demás. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú

anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas (x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú.

(b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema?

(c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el re-sultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.

• Sol.: b) ha de valer 3 €; c) 14 del normal y 8 de vitaminas

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 20

u I.78 (2002) Un distribuidor de software informático, que realiza también funciones de servicio téc-nico, tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a los objetivos marcados por el fabricante, al finalizar este año ha de conseguir al menos 20 empresas como clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que consiga deberá ser como mínimo el doble que de empresas. Además, por razones de eficiencia del servicio post-venta, tiene estipulado un límite global de 90 clientes anua-les. Finalmente, cada empresa le produce 286 euros de ingresos anuales y cada parti-cular 179 euros. (a) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su cartera? Plantea

el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el

año? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (20, 40), (30, 60) y (20, 70); b) 30 empresas y 60 particulares; 19 320 €

u I.79 (2002)

Sean las matrices ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

--=

a33211121

A , ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=aa0

B , ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=000

C , donde a es desconocido.

(a) Sea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es A y de términos independientes B. ¿Puede para algún valor de a no tener solu-ción este sistema? ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución única?

(b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de los términos independientes es C, ¿es posible que para algún valor de a el sistema no tenga solución? Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga más de una solución y calcula dos de ellas.

• Sol.: a) no; si 4a ¹ ; b) no; a = 4; solución genérica: ( )Rz;3

y;35x Îl"l=

l-=l-=

u I.80 (2002)

Un representante comercial del sector de las comunicaciones se plantea maximizar la comisión total que obtenga este mes por la venta de dos productos: teléfono móvil con contrato de alta y teléfono móvil con tarjeta. La comisión es de 15 euros por cada móvil con alta y 10 euros por cada uno con tarjeta. La política comercial de la empresa exige que el número de teléfonos vendidos con alta cada mes no puede ser superior al número de teléfonos vendidos con tarjeta. Así mismo, la venta de cada teléfono lleva asociados unos costes administrativos de 1 euro, y la empresa también obliga a cada representante a que el coste total por ventas no supere los 100 euros al mes. Finalmente, la empresa obtiene unos beneficios de 6 euros por cada venta de teléfono con alta y de 2 euros por cada venta de teléfono con tarjeta, y pide a cada representante que los beneficios totales obtenidos por la venta de teléfonos con alta cada mes supere en al menos 120 euros a los beneficios totales obtenidos por la venta de teléfonos con tarjeta. (a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que puede vender este mes

aunque no maximice la comisión total. Plantea el problema y representa gráfica-mente el conjunto de soluciones. ¿Podría vender 60 unidades de cada producto?

(b) Calcula las unidades de cada producto que ha de vender para maximizar la comi-sión. ¿A cuánto asciende dicha comisión?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (30, 30), (50, 50) y (40, 60); No. b) 50 de cada tipo; 1250 €

21 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u I.81 (2003) Las matrices de coeficientes de un sistema y de términos independientes son, respec-

tivamente: ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

1a41aa1121

y ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

a211

.

(a) ¿Para qué valor o valores de a el sistema no tiene solución? (b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto

valía a? ¿Tenía más soluciones el sistema? (c) Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga una única solución y, para

dicho valor, resuélvelo. • Sol.: a) 1; b) 1/2, si; c) por ej. a = 0 Þ x = 1, y = 1/2, z = -1

u I.82 (2003)

Una tienda de moda está preparando su pedido de trajes para la próxima temporada. Para que cierto proveedor le haga unos precios especiales, el pedido debe incluir al menos 10 trajes de fabricación nacional y no sobrepasar los 20 trajes de ese tipo. Además, el número de trajes de fabricación nacional debería ser al menos una tercera parte del número de trajes de importación. Por otro lado, el beneficio que la tienda ob-tendría por la venta de cada traje de fabricación nacional sería de 120 euros y de 200 euros por la venta de uno de importación, y la tienda quiere que el beneficio total que se pueda alcanzar vendiendo todo el pedido sea como mínimo de 3 600 euros. (a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que se pueden pedir al pro-

veedor cumpliendo todos los requerimientos anteriores. Plantea el problema y re-presenta gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría pedir 12 trajes de fabri-cación nacional y 45 de importación?

(b) Calcula las unidades de cada producto que se han de pedir para minimizar ade-más el número total de trajes pedidos. Con ese pedido ¿qué beneficio obtendría si se venden todas las unidades?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (10, 12), (20, 6), (20, 60) y (10, 30); No. b) 10 de fabricación nacional y 12 de importación, 3 600 €

u I.83 (2003)

Sean las matrices ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

110011

A , ÷÷ø

öççè

æ=

0y0z0x

B , ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--=000zy000x

C , ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=111

D , ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=aa0

E .

(a) Sabiendo que E2D)CAB( =- , plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) en función de a.

(b) ¿Para algún valor de a el sistema tiene solución única? (c) Para a = 0 encuentra una solución del sistema con 0z ¹ .

• Sol.: a) ïî

ïí

ì

=++=+=+

a2zyxa2zy0zy

b) No; c) por ejemplo: x = 0, y = -1, z = 1

u I.84 (2003)

Un equipo de fútbol quiere poner a disposición de sus socios al menos 450 plazas en-tre autobuses y microbuses, con el fin de facilitar los desplazamientos para el próximo encuentro. El equipo contratará los vehículos con una empresa que le ofrece un má-ximo de 16 autobuses y de 10 microbuses, y que le exige que el número de microbu-ses que puede contratar sea al menos un 20% del total de vehículos que contrate. Cada autobús tiene una capacidad de 50 plazas y cada microbús de 25. (a) ¿Qué combinaciones de vehículos de cada tipo se pueden contratar cumpliendo

los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 22

(b) Si quiere contratar el menor número posible de vehículos en total ¿cuántos de ca-da tipo ha de contratar? ¿Cuál será el número máximo de socios que se podrán desplazar en ese caso? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (8, 2), (16, 4), (16, 10) y (4, 10); b) 8 autobuses y 2 microbuses; 450 socios

u I.85 (2004)

Un individuo realiza fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre 0´20 megabytes de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 24 fotografías que le han ocupado un total de 9´2 megabytes de memoria. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el

número de fotos de cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sis-tema.

(b) ¿Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de ca-lidad óptima?

(c) La semana pasada también hizo 24 fotos y ocupó 9´2 megabytes de memoria total. ¿Es posible que el número de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta sema-na?

• Sol.: a) Si 20.0a ¹ sistema compatible determinado, si 20.0a = sistema incompatible; b) Sí, 0.20 megabytes; c) No

u I.86 (2004) El jefe de seguridad de un museo estudia combinar dos nuevos sistemas antirrobo: cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igual-mente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente se tiene un presupuesto máximo de 36.000 euros, y cada cámara cuesta 1.000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros. (a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo

los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas?

(b) Si el objetivo es colocar el máximo número de dispositivos entre cámaras y alar-mas, ¿cuántos ha de colocar de cada modalidad? En ese caso, cuál será el coste total? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (6, 6), (15, 6), (15, 42) y (6, 60); Si. b) 6 cámaras y 60 alarmas; 36 000 €

u I.87 (2004)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

m02x

A , ÷÷ø

öççè

æ=y5

B , ÷÷ø

öççè

æ=

x100

C , ÷÷ø

öççè

æ=

m1

10D , ( )m3E = .

(a) Calcula cada uno de los tres productos AB, DE, EB. (b) Si DCAB =+ , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (repre-

sentadas por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Es siempre única?

• Sol.: (a) ÷÷ø

öççè

æ +=

myy2x5

AB , ÷÷ø

öççè

æ= 2m10m30

m1030DE , ( )my15EB += ; (b) 4m ¹ , sí

u I.88 (2004)

Una empresa quiere decidir cuántos ordenadores portátiles y cuántos de sobremesa comprará. Dispone de hasta 88.000 euros y ha aceptado la oferta de un proveedor que le exige comprar por lo menos 30 ordenadores y que al menos un 10% de los que compre sean portátiles. Cada ordenador portátil le sale por 2.000 euros y cada uno de sobremesa por 1.000.

(a) ¿Qué combinaciones de ordenadores de cada tipo puede comprar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

23 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

(b) Si se quiere comprar el mayor número posible de ordenadores, ¿cuántos de cada tipo ha de comprar? ¿Y si lo que se quiere es comprar el menor número posible de portátiles, cuántos de cada tipo tendría que comprar?

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (3, 27), (30, 0), (44, 0) y (8, 72); (b) 8 port. y 72 de sobr., 3 port. y 27 de sobr.

u I.89 (2005)

Sean las matrices: ÷÷ø

öççè

æ=

y0yx

A , ÷÷ø

öççè

æ=1a

B , ÷÷ø

öççè

æ=ayy

C , ÷÷ø

öççè

æ--

=a1ay6

D .

(a) Si DCAB =- , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representa-das por x e y) en función de a.

(b) ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución? ¿es siempre única? Encuen-tra una solución para a = 1 con 1y ¹ .

• Sol.: (a) þýü

-=-=+a1y)a1(6ayax

; (b) a" ;es única si: 1a ¹ ; infinitas soluciones, p.e.: x = 0, y = 6.

u I.90 (2005)

En la despensa de una cafetería se pueden guardar un máximo de 210 paquetes de café. En estos momentos la despensa está vacía. Se va a añadir una nueva remesa de paquetes, de forma que finalmente en la despensa el número de paquetes de café descafeinado sea al menos un 20% del de paquetes de café normal, y el número de paquetes de café normal sea al menos el doble del de paquetes de café descafeinado.

(a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo se pueden añadir? Plantea el problema y re-presenta gráficamente las soluciones.

(b) Calcula los paquetes de cada tipo que hay que añadir para que además la despensa tenga el máximo número posible de paquetes de café descafeinado. ¿Y si lo que queremos es tener el máximo número posible de paquetes de ca-fé normal?

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (0, 0), (70, 140) y (35, 175); (b) 70 descafeinado y 140 normal; 35 y 175 res-pectivamente.

u I.91 (2005)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ-

=0y1x

A , ÷÷ø

öççè

æ-

=1m0m

B , ÷÷ø

öççè

æ=21

C , ÷÷ø

öççè

æ-

=y23

2D , ( )23E = .

(a) Calcula los productos AB, EA, CE. (b) Si DC)AB( = , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas

por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿es siempre única?

• Sol.: (a) ÷÷ø

öççè

æ--

=0my1mmx

AB , ( )3y2x3EA -= , ÷÷ø

öççè

æ=

4623

CE ; (b) þýü

=-=

3y)m2(mmx

, 2y0m ¹ , Si

u I.92 (2005)

En una empresa se está discutiendo la composición del comité para negociar los suel-dos con la dirección. En el comité habrá sindicalistas e independientes. El número total de miembros no deberá ser inferior a 10 ni superior a 20. Al menos un 40% del comité serán sindicalistas. El número de independientes será como poco una cuarta parte del de sindicalistas. (a) ¿Qué combinaciones de miembros de cada tipo puede tener el comité? Plantea el

problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Puede haber 4 sindicalistas y 16 independientes?

(b) Si se quiere que el número de independientes sea el mayor posible, ¿cuál será la composición del comité? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (4, 6), (8, 2) y (16, 4) y (8, 12), No; (b) 8 sindicalistas y 12 independientes.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 24

u I.93 (2006)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=13

A , ( )mxB = , ÷÷ø

öççè

æ=51

C , ÷÷ø

öççè

æ=91

D , ÷÷ø

öççè

æ+--++-

=5myx22m2y

E .

(a) Si E)DC2()AB( =- , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (repre-sentadas por x, y) en función de m.

(b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única? Resuelve el sistema si m = 4.

• Sol.: (a) îíì

=-++=-++

05mmyx302myx3

; (b) 1y,1x;1m =-=¹ .

u I.94 (2006)

En la remodelación de un centro de enseñanza se quiere habilitar un mínimo de 8 nuevas aulas, entre pequeñas (con capacidad para 60 alumnos) y grandes (con capa-cidad para 120). Como mucho, un 25% de las aulas podrán ser grandes. Además, el centro necesita que se habilite al menos un aula grande, y no más de 15 pequeñas. (a) ¿Qué combinaciones de aulas de cada tipo se pueden habilitar? Plantea el pro-

blema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuál es el número mínimo de aulas pequeñas que se pueden habilitar? Si se

quiere que la capacidad total conseguida con las aulas habilitadas sea la mayor posible, ¿cuántas tendría que haber de cada tipo? ¿Cuántos alumnos cabrían en total?

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (6, 2), (15, 5), (15, 1) y (7, 1); (b) 6 aulas pequeñas; 15 aulas pequeñas y 5 grandes; 1 500 alumnos.

u I.95 (2006)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=yx

A , ( )1mB = , ÷÷ø

öççè

æ=11

C ; ÷÷ø

öççè

æ++

=mmymx

D , ÷÷ø

öççè

æ+

=1y2

myE .

(a) Si EDC)AB( -= , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x, y) en función de m.

(b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única? • Sol.: (a)

îíì

-==+1my3mmymx

; (b) RmÎ" , si 0m ¹ .

u I.96 (2006) Una empresa de excavaciones y movimientos de tierras va a realizar un pedido de gasóleo A para sus vehículos de transporte (a un precio de 0´90 euros el litro) y B para la maquinaria (a 0´70 euros el litro). Como poco, se necesitan 1000 litros de gasóleo A, y como mucho 3600 de gasóleo B. En total, entre ambos tipos de gasóleo, no se debe pedir más de 5000 litros. Además, se quiere pedir por lo menos 1000 litros más de gasóleo B que de gasóleo A.

(a) ¿Cuántos litros de cada tipo de gasóleo se pueden pedir? Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones.

(b) ¿Cuál es la composición del pedido más barato? ¿Y la del más caro? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (1000, 3000), (1000, 2000), (2000, 3000) y (1400, 3600); (b) Más barato:

1000 l de A y 2000 l de B, más caro: 2000 l de A y 3000 l de B. u I.97 (2007)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

mx1x

A , ÷÷ø

öççè

æ-

=y1

B , ÷÷ø

öççè

æ--

=m2y

C , ÷÷ø

öççè

æ=

x4x3

D , ( )41E = .

(a) Calcula cada uno de los tres productos AB, ED, DE. (b) Si DAB2C -=- , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas

por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿es siempre única?

• Sol.: (a) ÷÷ø

öççè

æ--myxyx

, ( )x19 y ÷÷ø

öççè

æx16x4x12x3

respectivamente; (b) îíì

=+=+

mmy2x22y3x

; 3m ¹ ; Si.

25 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u I.98 (2007)

Una empresa está seleccionando empleados con contrato eventual por un año y con contrato fijo. El sueldo anual (en miles de euros) de cada empleado eventual es 8 y de cada empleado fijo 15. La empresa tiene un tope máximo de 480 (miles de euros) para pagar los sueldos anuales de los empleados que contrate. Los empleados fijos han de ser por lo menos 10, y no más de 24. Además, el número de eventuales no puede su-perar en más de 14 al de fijos. (a) ¿Qué combinaciones de empleados fijos y eventuales se pueden contratar? Plantea

el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría contratar a 24 fijos y ningún eventual?

(b) Si el objetivo es contratar al mayor número total de empleados, ¿cuántos ha de contratar de cada tipo? ¿Y si el objetivo es contratar el mayor número de eventua-les?

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (15, 24), (38, 24) y (30, 16); No; (b) 38 eventuales y 24 fijos, en ambos casos.

u I.99 (2007)

Sean las matrices: ÷÷ø

öççè

æ=

y2xyx

A , ÷÷ø

öççè

æ=m5

B , ÷÷ø

öççè

æ-

=3y

0C , ÷÷

ø

öççè

æ=31

D .

(a) Si D4CAB += , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x, y) en fun-ción de m.

(b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única? • Sol.: (a)

þýü

=-+=+9y)1m2(x54myx5

; (b) 1m ¹ ; Siempre (para cada 1m ¹ ).

u I.100 (2007)

Un restaurante quiere adecuar, en parte o en su totalidad, una superficie de 1100 m2 para aparcamiento y área recreativa infantil. La superficie de área recreativa ha de ser de al menos 150 m2. El aparcamiento ha de tener como poco 300 m2 más que el área recreativa, y como mucho 700 m2 más que la misma. El aparcamiento le cuesta 15 euros por m2, y el área recreativa 45 euros por m2. (a) ¿Qué combinaciones de m2 dedicados a cada tipo de servicio se pueden adecuar?

Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones. (b) ¿Cuál es la combinación más cara? ¿Coincide con la que dedica más espacio al

aparcamiento? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (700, 400), (450, 150), (850, 150) y (900, 200); (b) La de 700 m2 de aparca-

miento y 400 m2 de área infantil; No.

u I.101 (2008)

(a) Calcula el producto ( ) ÷÷ø

öççè

æ52

31 y el ( )3152÷÷ø

öççè

æ .

(b) Estudia para qué valores de m el sistema, con incógnitas representadas por x e y,

dado por îíì

=---+=--

01m2y)1m(mx02mmx

tiene solución y cuándo es única. Encuentra dos

soluciones para m = 1. • Sol.: (a) ( )17 , ÷÷

ø

öççè

æ15562 ; (b) Tiene solución si 0m ¹ y la solución es única si 1m ¹ ; Las soluciones pedidas son:

y = 1, x = Îl"l ( ú).

u I.102 (2008)

Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de una ciudad, se quieren colocar al me-nos 20 piezas entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 26

de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20% de las piezas que se coloquen sean jardineras. (a) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el proble-

ma y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras

colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colo-can?

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (15, 5), (16, 4), (40, 10), (40, 12) y (36, 12); (b) 40 farolas y 10 jardineras, No (es mayor la correspondiente a 40 farolas y 12 jardineras).

u I.103 (2008)

Una empresa ofrece cierto producto a minoristas (a un precio de 400 euros por unidad) y mayoristas (a un precio desconocido, y que puedes llamar m). Con las ventas de este mes se han obtenido en total 270.000 euros. Por otra parte, la cantidad obtenida con las ventas a minoristas es la misma que la que se habría obtenido vendiendo 480 unidades del producto a los mayoristas. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas (x, y)

sean el número de unidades vendidas a cada tipo de cliente. Basándote sólo en un estudio de la compatibilidad del sistema, ¿es posible que el precio para los mayoris-tas sea de 562´5 euros por unidad?

(b) Resuelve el sistema para m = 562´5. En base a esto, si se vendió alguna unidad a los mayoristas ¿es posible que fuera a un precio de 562´5 euros?

• Sol.: (a) Sí es posible, pues si 0m ¹ el sistema es compatible (determinado); (b) Se vendieron: 675 unidades a ma-yoristas y 0 a minoristas; No es posible.

u I.104 (2008)

Una promotora pretende diseñar una urbanización con a lo sumo 15 edificaciones, entre chalets y bloques de pisos. Los bloques de pisos no deberían ser más de un 40% de las edificaciones que se construyan. La urbanización tendría como mucho 12 chalets y como poco 2 bloques de pisos. (a) ¿Qué combinaciones de cada tipo de vivienda son posibles? Plantea el problema y

representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría construir 10 chalets y 4 bloques de pisos?

(b) ¿Qué combinación hace mayor la diferencia entre el número de chalets y de blo-ques de pisos?

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (3, 2), (9, 6), (12, 3) y (12, 2); Sí, es posible pues el punto (10, 4) está dentro de la región solución; (b) 12 chalets y 2 bloques de pisos.

u I.105 (2009)

Un camión transporta bebida envasada en botellas y latas, y se quiere averiguar el número de cajas que transporta de cada tipo de envase. Cada caja de botellas pesa 20 kilos, pero se desconoce el peso de cada caja de latas. Se sabe además que el peso total de las cajas de botellas es 100 kilos mayor que el de las cajas de latas, y que hay 20 cajas de botellas menos que de latas. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del peso de cada caja de latas, que

puedes llamar m) donde las incógnitas (x, y) sean el número de cajas transportadas de cada tipo de envase. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema, ¿es imposible que cada caja de latas pese lo mismo que la de botellas?

(b) Encuentra el número de cajas de cada tipo de envase sabiendo que m es 10. • Sol.: (a) Es imposible, pues en ese caso (m = 20) el sistema es incompatible; (b) 30 de botellas y 50 de latas.

u I.106 (2009)

Una ONG va a realizar un envío de lotes de alimentos y de medicamentos. Como mí-nimo se han de mandar 4 lotes de medicamentos, pero por problemas de caducidad no pueden mandarse más de 8 lotes de estos medicamentos. Para realizar el transpor-te te emplean 4 contenedores para cada lote de alimentos y 2 para cada lote de medi-

27 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

camentos. El servicio de transporte exige que al menos se envíe un total de 24 conte-nedores, pero que no se superen los 32. (a) ¿Qué combinaciones de lotes de cada tipo pueden enviarse? Plantea el problema y

representa gráficamente las soluciones. ¿Pueden enviarse 4 lotes de alimentos y 5 de medicamentos?

(b) Si al ONG quiere maximizar el número total de lotes enviados, ¿qué combinación debe elegir?

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (4, 8), (4, 4), (6, 0) y (8, 0); Sí, es posible pues el punto (4, 5) está en la fronte-ra de la región solución; (b) 4 lotes de alimentos y 8 de medicamentos.

u I.107 (2009)

Una empresa realizó una venta de aceite de girasol y de oliva. Si el litro de aceite de oliva costara el doble que el de girasol, el dinero total obtenido con la venta de los aceites sería 1800 euros. Si el litro del aceite de oliva fuera 2 euros más caro que el de girasol, el dinero total habría sido 2050 euros. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio del litro de aceite de gira-

sol, que puedes llamar m) donde las incógnitas x e y sean el número de litros ven-didos de girasol y de oliva. De acuerdo a su compatibilidad, ¿es posible que el pre-cio del aceite de girasol fuera de 2 euros?

(b) Encuentra el número de litros vendidos de cada tipo si m = 1´5. • Sol.: (a) No es posible, porque si m = 2 el sistema es incompatible; (b) 500 L de aceite de oliva y 200 de girasol.

u I.108 (2009)

Para cubrir las necesidades de un centro hospitalario en los servicios de corta estancia y planta, se requiere asignar un máximo de 24 auxiliares de enfermería. En corta es-tancia debería haber al menos 4. Como poco, tiene que haber 8 auxiliares más en planta que en corta estancia. (a) ¿Qué combinaciones de auxiliares para cada tipo de servicio se pueden asignar?

Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones. (b) ¿Cuál es la combinación con menos personal? ¿Cuál asigna más auxiliares en cor-

ta estancia? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (4, 20), (4, 12) y (8, 16); (b) 4 en corta estancia y 12 en planta; 8 en corta

estancia y 16 en planta.

u I.109 (2010) Una mueblería fabrica mesas y sillas. La fabricación de una mesa requiere de 1 hora de corte, 4 horas de ensamble y 3 horas de acabado, generando un beneficio de 100 €. La fabricación de una silla requiere de 2 horas de corte, 4 de ensamble y 1 de acabado, generando un beneficio de 50 €. Cada día se dispone de un máximo de 14 horas de corte, 32 horas de ensamble y 18 horas de acabado. a) ¿Cuántos artículos de cada tipo puede fabricar cada día esta mueblería? Plantea el

problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si vende cuanto produce, ¿cuántos artículos de cada tipo debe fabricar diariamente

para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (0, 7), (2, 6), (5, 3) y (6, 0); b) 5 mesas y 3 sillas; 650 €.

u I.110 (2010)

Las toneladas de combustible consumidas por el turno de mañana son igual a m veces las toneladas consumidas por el turno de tarde. Además se sabe que el turno de tarde consume m toneladas de combustible menos que el turno de mañana. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean las toneladas de combustible consumidas en cada turno. Basándote en un es-tudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que el turno de mañana consuma el doble de combustible que el de la tarde?

b) Si se supone que m = 2, ¿Cuánto consume el turno de mañana?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 28

• Sol: a) þýü

=-=-myx0myx , Sí; b) 4 tm.

u I.111 (2010)

El aforo máximo de un circo es de 300 personas. Se exige que cada niño vaya acom-pañado al menos de un adulto. Por otro lado, una subvención recibida obliga a que el número de adultos entre el público sea como mucho el doble que el de niños. El circo gana 30 € por adulto y 15 € por niño. a) ¿Cuántas entradas de adulto y cuántas de niño se podrán vender en total para la

próxima sesión? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de so-luciones.

b) ¿Cuántas entradas de cada tipo debe vender el circo para maximizar sus ganan-cias? ¿Y para maximizar el número de niños entre el público?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (100, 200), (150, 150); b) 100 de niño y 200 de adulto, 150 de cadatipo. u I.112 (2010)

Dos amigos, Ana y Nicolás, tienen en total 60 euros. Además se sabe que Ana tiene m veces el dinero que tiene Nicolás. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el dinero que tiene cada uno. Basándote en un estudio de compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que Ana tenga el triple de dinero que Nicolás?

b) Si se supone que m = 3, ¿cuánto dinero tiene Ana? • Sol.: a)

þýü

=-=+0myx60yx , Sí; b) 45 €

u I.113 (2010)

Fabada Móvil sólo comercializa dos platos: fabada tradicional y light. Cada ración de fabada tradicional lleva 100 g de fabes y 100 g de compango, mientras que cada ra-ción de fabada Light lleva 110 g de fabes y 50 g de compango. Cada día Fabada Móvil dispone de 11000 g de fabes y de 6200 g de compango. Tiene un cliente fijo que com-pra cada día 4 raciones de fabada Light y que Fabada Móvil se ha comprometido a abastecer. a) ¿Cuántas raciones de cada tipo puede preparar Fabada Móvil en un día para cum-

plir con todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa grá-ficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántas raciones de cada tipo debería preparar para maximizar el número total de raciones de fabada que puede poner a la venta? ¿Cuántas tendría que preparar pa-ra maximizar el número de raciones de fabada tradicional que puede poner a la venta?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 110), (0, 4), (60, 4), (22, 80); b) 22 de tradicional y 80 ligth, 60 de tradicional y 0 ligth.

u I.114 (2010)

En una determinada empresa se elige energía eólica o energía eléctrica al principio de cada día para el funcionamiento de una máquina que fabrica coches y motos de jugue-te. Los días que está con eólica, la máquina fabrica 20 coches y 10 motos. Los días que está con eléctrica fabrica 40 coches y 90 motos. La empresa recibe el pedido de un cliente que desea al menos 360 coches y al menos 600 motos y que tiene que ser abastecido como mucho en 20 días. a) ¿Cuántos días deberá utilizar cada tipo de energía para abastecer a dicho cliente

cumpliendo los plazos establecidos? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Si a la empresa le cuesta 100 euros cada día que utiliza la energía eólica y 2500 euros cada día que utiliza la eléctrica, ¿cuántos días debe utilizar cada una para minimizar sus gastos? ¿Y para abastecer al cliente lo antes posible?

29 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 9), (6, 6), (15, 5), (0, 20); b) 15 días la eólica y 5 la eléctrica, 0 días la eólica y 9 la eléctrica.

u I.115 (2010)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ---

=÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ=

y1

Dymx211

C,0x

B,3121

A .

a) Si CDAB = , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Existe algún valor de m para el que el sistema no tenga solución? Encuentra un valor de m para el que tenga más de una solución y calcula dos de ellas.

• Sol.: a) þýü

=+=+2myx21yx , Sí; b) No, m = 2, por ejemplo: x = 1 e y = 0, x = 0 e y = 1.

u I.116 (2010)

Una empresa de alta confitería elabora tartas y bizcochos especiales, disponiendo de 80 horas cada día para la elaboración de dichos productos. Cada tarta requiere de 1 hora para su elaboración y cada bizcocho requiere de 2 horas. Además debe abaste-cer a un restaurante que compra todos los días al menos 20 tartas y al menos 10 biz-cochos. a) ¿Cuántas unidades de cada tipo podrá elaborar en un día? Plantea el problema y

representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si cada tarta le cuesta a la empresa 15 € y cada bizcocho le cuesta 12 €, ¿cuántos

productos de cada tipo debe elaborar en un día para minimizar el coste total? ¿Y para maximizar el número de productos elaborados? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (20, 10), (20, 30), (60, 10); b) 20 tartas y 10 bizcochos, 60 tartas y 10 bizco-

chos,

u I.117 (2010) Un pack de m entradas a un parque de atracciones y m-1 noches en un hotel del par-que cuesta 340 €. Otro pack de 10 entradas y 9 noches de hotel cuesta 740 €. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el precio de una entrada al parque y el precio de una noche en el hotel. Ba-sándote en un estudio de su compatibilidad, ¿existe algún valor de m para el que el sistema tenga infinitas soluciones?

b) Si el primer pack consistiese en 4 noches de hotel, ¿cuánto costaría una entrada al parque?

• Sol.: a) þýü

=+=-+740y9x10340y)1m(mx , No; b) 20 €.

u I.118 (2010)

Un restaurante recibe mensualmente un pedido de x litros de licor e y litros de vino. En Enero el litro de licor costaba m euros, al igual que el litro de vino, lo que supuso que el coste del pedido fue de 220 euros. En Febrero, el precio del licor se duplicó y el del vino se incrementó en un euro, lo que llevó al restaurante a pagar 380 euros por el pedido. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas sean x e

y. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que el precio del litro de licor en Enero haya sido de 1 euro?

b) Resuelve el sistema para m = 2. Utiliza dicho resultado para determinar cuánto cos-taría el pedido en Marzo, si en dicho mes el litro de licor y el de vino costaban 3 eu-ros cada uno.

• Sol.: a) þýü

=++=+

380y)1m(mx2220mymx , No; b) x = 50 e y = 60, 330 €.

u I.119 (2010)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 30

Una empresa especializada organiza un cumpleaños para 10 niños, en el que se van a servir helados y flanes. Puesto que todos los niños tienen que tener postre, el número de helados más el de flanes tiene que ser al menos igual al número de niños en el cumpleaños. El cliente ha exigido que haya al menos 2 helados más que flanes. La empresa dispone como mucho de 14 helados. a) ¿Cuántas unidades de cada tipo puede servir la empresa para cumplir con todos los

requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el con-junto de soluciones.

b) Si la empresa cobra al cliente por cada helado 3 euros y por cada flan 2 euros, ¿cuántas unidades de cada tipo deberá servir para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (6, 4), (14, 12), (14, 0), (10, 0); b) 14 helados y 12 flanes (¡cómo se pondrán los niños!), 66 €.

u I.120 (2010)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ +=÷÷

ø

öççè

æ×

=÷÷ø

öççè

æ+

=÷÷ø

öççè

æ=

0a3

Dyxa2

C,1y1

B,10ax

A .

a) Si DCAB =+ , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro a.

b) ¿Para qué valores de a el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Encuentra una solución para a = 2.

• Sol.: a) þýü

-=+=+1yax1ayx ; b) para 1a ¹ , No, 1ye1x =-= .

u I.121 (2011)

Una costurera dispone de 36 metros de tela para hacer faldas y pantalones. Necesita 1 metro de tela para hacer una falda y 2 metros de tela para hacer un pantalón. Por exigencias del cliente, tiene que hacer al menos la misma cantidad de faldas que de pantalones y al menos 4 pantalones. a) ¿Cuántas unidades puede hacer de cada prenda? Plantea el problema y representa

gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si le cuesta 3 euros cada falda terminada y 9 euros cada pantalón, ¿cuántas unida-

des debe producir de cada tipo para minimizar los costes? ¿Cuánto sería en ese caso el coste total?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (4, 4), (12, 12), (28, 4); b) 4 faldas y 4 pantalones, 48 €.

u I.122 (2011) Tenemos una bolsa con dos tipos de monedas: buenas y falsas. Se sabe que las mo-nedas falsas pesan 2 gramos y las buenas 4 gramos, siendo 100 gramos el peso total de las monedas. También se sabe que el número de monedas falsas más m veces el número de monedas buenas es 70. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de monedas de cada tipo. Basándote en un estudio de la compatibi-lidad del sistema anterior, ¿es posible que m sea igual a 2?

b) Suponiendo que m es igual a 4, ¿cuántas monedas buenas hay? • Sol.: a)

þýü

=+=+70ymx100y2x4 , No; b) 10 monedas buenas.

u I.123 (2011)

Un tenista plantea su entrenamiento para la próxima temporada. Dispone de 48 horas semanales en las que puede entrenar y debe repartir el tiempo entre la preparación física y mejorar su técnica. El entrenador le obliga a dedicar al menos 5 horas semana-les a la parte física y al menos 30 horas semanales en total, entre la preparación física y técnica. Por otra parte, él quiere dedicar al menos el doble de tiempo a la parte téc-nica que a la preparación física.

31 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) ¿Cuántas horas puede dedicar a cada tipo de entrenamiento? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Si la hora de preparación física le cuesta 50 euros y la de mejora técnica 80 euros, ¿cuántas horas debe dedicar a cada tipo de entrenamiento para minimizar el coste? ¿A cuánto ascendería dicho coste?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (5, 25), (5, 43), (16, 32), (10, 20); b) 10 h al físico y 20 al técnico, 2100 €.

u I.124 (2011) Para que una encuesta sobre política de inmigración sea fiable, se exige que haya al menos 2300 personas entrevistadas, entre españoles y extranjeros, de las cuales co-mo mucho 1000 serán extranjeros y también se exige que los extranjeros sean por lo menos un 10% del total de personas entrevistadas. a) ¿Cuántos españoles y cuántos extranjeros pueden ser entrevistados? Plantea el

problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si el coste estimado de cada entrevista es de 6 euros, ¿cuál sería el máximo coste

que podría tener la encuesta? ¿A cuántos españoles se habría entrevistado en di-cho caso?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (1300, 1000), (2070, 230), (9000, 1000); b) 60000 €, 9000 españoles.

u I.125 (2011)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=yx

A , ÷÷ø

öççè

æ=

1x1y

B , ÷÷ø

öççè

æ-

=1m

C , ÷÷ø

öççè

æ=00

D .

a) Si DCBA =×- , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra la solución para m = 2.

• Sol.: a) þýü

-=+--=-1ymx1myx ; b) para 1m ¹ , No (si 1m -= hay infinitas soluciones), 1yx == .

u I.126 (2011)

Una compañía minera extrae dos tipos de carbón, hulla y antracita, de forma que todo el carbón extraído es vendido. Por exigencias gubernamentales, debe extraer diaria-mente al menos el triple de camiones de hulla que de antracita. Además, por la propia infraestructura de la compañía, como mucho se pueden extraer 80 camiones de car-bón en un día y al menos 10 de ellos deben ser de antracita. a) ¿Cuántos camiones de cada tipo de carbón se pueden extraer en un día? Plantea

el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría extraer en un día 20 camiones de hulla y 15 de antracita?

b) Si la ganancia por cada camión de hulla es de 4000 € y por cada camión de antraci-ta de 6000 €, ¿cuántos camiones de cada tipo debería extraer para maximizar sus ganancias?

• Sol.: a) vértices de la región solución: (30, 10), (60, 20), (70, 10), No; b) 60 de hulla y 20 de antracita.

u I.127 (2011) Juan y Luis son dos amigos que en total tienen 10 hijos. Un tercer amigo, Javier, tiene m hijos más que Juan y m veces los de Luis. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de hijos de Juan y Luis. ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución?

b) Si Javier tiene el doble de hijos que Luis, ¿cuántos hijos tiene Luis? • Sol.: a)

þýü

-=-=+

mmyx10yx , para 1m -¹ ; b) 4 hijos.

u I.128 (2011)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 32

En cierta quesería producen dos tipos de quesos: mezcla y tradicional. Para producir un queso mezcla son necesarios 25 cl de leche de vaca y otros 25 cl de leche de ca-bra; para producir uno tradicional, sólo hacen falta 50 cl de leche de vaca. La quesería dispone de 3600 cl de leche de vaca y 500 cl de leche de cabra al día. Por otra parte, puesto que los quesos tradicionales gustan más, cada día produce al menos tantos quesos de tipo tradicional como de mezcla. a) ¿Cuántas unidades de cada tipo podrá producir en un día cualquiera? Plantea el

problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si la quesería vende todo lo que produce y obtiene un beneficio de 3 euros por ca-

da queso de tipo mezcla y de 4 euros por cada queso de tipo tradicional, ¿cuántas unidades de cada tipo debe producir diariamente para maximizar beneficios? ¿Qué beneficio obtiene en ese caso?

• Sol.: a) vértices de la región solución: (0, 72), (20, 62), (20, 20), (0, 0); b) 20 unidades de mezcla y 62 de tradicional, 308 €.

u I.129 (2011)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

xyyx

A , ÷÷ø

öççè

æ=

110m

B , ÷÷ø

öççè

æ=

0320

C , ÷÷ø

öççè

æ=11

D y ÷÷ø

öççè

æ=12

E .

a) Si ED)CBA( =×-× , plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (re-presentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Existe algún valor de m para el que el sistema no tenga solución? Encuentra un valor de m para el que tenga más de una solución y calcula dos de ellas.

• Sol.: a) þýü

=+=+4myx24y2mx ; b) No, m = 2, por ejemplo: 1ª) x = 2 / y = 0, 2ª) x = 1 e y = 1.

u I.130 (2011)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

02y4

A , ÷÷ø

öççè

æ=3x

B , ÷÷ø

öççè

æ-=

y1

C y ÷÷ø

öççè

æ-

=ymx3

D .

a) Si DC5BA =×+× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (repre-sentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema no tiene solución? Para el valor de m para el que existe solución, calcula una de ellas con 0y ¹ .

• Sol.: a) þýü

=+=+my6x25y3x ; b) para 10m ¹ , Por ejemplo: x = 2 e y = 1.

u I.131 (2011)

Una fábrica está especializada en dos juguetes: bicicletas y patinetes. Al mes puede fabricar un máximo de 480 bicicletas y 600 patinetes. Para la elaboración de cada bici-cleta son necesarias 2 horas de trabajo y para la elaboración de cada patinete es ne-cesaria una hora de trabajo. Se dispone de un máximo de 1000 horas de trabajo al mes. a) ¿Cuántas bicicletas y patinetes pueden fabricar en un mes para cumplir con todos

los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántas bicicletas y patinetes deberán fabricar para maximizar el número total de juguetes (bicicletas más patinetes) fabricados? ¿Cuántos juguetes fabrica en ese caso? • Sol.: a) vértices de la región solución: (0, 600), (200, 600), (480, 40), (480, 0), (0, 0); b) 200 bicicletas y 600 patines,

800 juguetes.

u I.132 (2011) Una nueva granja estudia cuántas gallinas y ocas puede albergar. Cada gallina con-sume 1 kg de pienso por semana y cada oca 5 kg de pienso por semana. El presu-

33 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

puesto destinado a pienso permite comprar 200 kg semanales. Además, quieren que el número de gallinas sea menor o igual que cinco veces en número de ocas. a) ¿Cuántas gallinas y ocas podrá tener la granja? Plantea el problema y representa

gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se cumplirían los requisitos si albergase 40 gallinas y 20 ocas?

b) Según estos requisitos, ¿cuál es el número máximo de animales que podría alber-gar la granja?

• Sol.: a) vértices de la región solución: (0, 40), (100, 20), (0, 0); b) 120 (100 gallinas y 20 ocas).

u I.133 (2012) Un tren realiza un viaje entre dos capitales. El viaje lo realiza por dos tipos de vías, por la primera circula siempre a 100 Km/h y por la segunda circula siempre a m Km/h. El recorrido total del viaje es de 1240 Km y la duración del mismo es de 11 horas. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de horas que circula por cada tipo de vía. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que la velocidad a la que cir-cula por el segundo tipo de vía sea también de 100 Km/h?

b) Suponiendo que la velocidad a la que circula por el segundo tipo de vía es 120 Km/h, ¿cuánto tiempo ha estado circulando por el primer tipo de vía?

• Sol.: a) þýü

=+=+11yx1240myx100

, No; b) 4 h.

u I.134 (2012)

Una carpintería elabora dos tipos de muebles, A y B. Cada mueble de tipo A requiere 6 días de trabajo para su elaboración, mientras que cada mueble tipo B requiere 3 días. Por la estructura organizativa de dicha empresa, cada mes, que consta de 30 días laborables, se pueden elaborar, a lo sumo, 4 muebles de tipo A y 8 de tipo B. a) ¿Cuántos muebles de cada tipo puede fabricar en un mes para cumplir con todos

los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Si venden todo lo que fabrican y el beneficio proporcionado por cada mueble tipo A vendido es de 500 euros y por cada mueble tipo B es de 200 euros, ¿cuántos mue-bles de cada tipo deberían fabricar para maximizar el beneficio? ¿Cuántos tendrían que fabricar para maximizar el número de muebles elaborados? • Sol.: a) vértices región solución: (0, 0), (0, 8), (1, 8), (4, 2), (4, 0); b) máximo beneficio: 4 tipo A y 2 tipo B, máximo

número: 1 tipo A y 8 tipo B,.

u I.135 (2012) Una fábrica de cerveza produce cerveza negra y rubia. Para la elaboración de un bi-dón de cerveza negra son necesarios 2 Kg de lúpulo, 4 Kg de malta y una hora de trabajo. Para la elaboración de un bidón de cerveza rubia son necesarios 3 Kg de lúpu-lo, 2 Kg de malta y una hora de trabajo. Cada día se dispone de 60 Kg de lúpulo, 80 Kg de malta y 22 horas de trabajo. El beneficio obtenido es de 60 euros por cada bidón de cerveza negra vendido y de 40 euros por cada bidón de cerveza rubia. a) ¿Cuántos bidones de cerveza de cada tipo pueden producir al día para cumplir con

todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Es posible que en un día cualquiera se hayan producido 15 bidones de cerveza negra y 20 de cerveza rubia?

b) Si vende todo lo que produce, ¿cuántos bidones de cerveza de cada tipo deberían producir para maximizar el beneficio?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 0), (0, 20), (6, 16), (18, 4), (20, 0), No; b) 18 negra y 4 rubia.

u I.136 (2012) Una tienda vende bolsas de caramelos a 2 euros cada una y bolsas de gominolas a 4 euros cada una. La recaudación de un determinado día por estos dos conceptos ha

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 34

ascendido a 200 euros y se sabe que el número de bolsas de caramelos que han ven-dido ese día es m veces el número de bolsas de gominolas. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de bolsas de cada tipo que se han vendido ese día. Basándote en un estudio de compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que se hayan vendi-do el doble de bolsas de caramelos que de gominolas?

b) Suponiendo que se han vendido el triple de bolsas de caramelos que de gominolas, ¿cuántas bolsas de gominolas se han vendido?

• Sol.: a) þýü

==+myx200y4x2

, Sí; b) 20 bolsas.

u I.137 (2012)

Una vagoneta de una empresa está destinada a transportar paquetes de tipo A y B y soporta como mucho 1000 Kg de peso. Se sabe además que cada paquete de tipo A pesa 20 Kg y cada uno de tipo B pesa 25 Kg. Por exigencias de la producción, en cada viaje debe transportar al menos 15 paquetes de tipo A y al menos 20 paquetes de tipo B. a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo se pueden transportar en un viaje? Plantea el pro-

blema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría transportar en un viaje 17 paquetes de tipo A y 25 de tipo B?

b) ¿Cuántos paquetes de cada tipo debería transportar en un viaje para maximizar el número total de paquetes transportados?

• Sol.: a) vértices región solución: (15, 28), (15, 20), (25, 20), Si; b) 25 de A y 20 de B.

u I.138 (2012) Una academia de idiomas da clases de español a un total de m alumnos, entre los de nivel básico y los de nivel avanzado, con los que recauda 3000 euros. Los alumnos del nivel básico pagan m euros al mes, mientras que los de nivel avanzado pagan el do-ble. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de alumnos de cada tipo en las clases de español de la academia. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que los alumnos del nivel básico paguen 40 euros al mes?

b) Si los alumnos de nivel básico pagan 50 euros al mes, ¿cuántos alumnos de nivel avanzado hay?

• Sol.: a) þýü

=+=+3000my2mxmyx

, Sí; b) 10 alumnos.

u I.139 (2012)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ-

×=

110xm

A , ÷÷ø

öççè

æ=y1

B , ÷÷ø

öççè

æ=mm

C y ÷÷ø

öççè

æ-

=xy

D .

a) Si DCBA =-× , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra una solución para m = 2.

• Sol.: a) þýü

-=-=-1myxmymx ; b) para 1m ¹ , Sí, x = 1 e y = 0.

u I.140 (2012)

Uma empresa fabrica únicamente tapas y envases. Cada lote de tapas requiere de 1 litro de barniz y 5 minutos en el horno, mientras q cada lote de envases requiere de 2 litros de barniz y 3 minutos en el horno. Semanalmente se dispone de 1000 litros de barniz y 3000 minutos de horno. Por restricciones de su infraestructura, la producción semanal entre los dos productos es, como mucho, de 650 lotes.

35 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) ¿Cuántos lotes de cada tipo puede fabricar la empresa a la semana? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se cumplirían los requisitos si la empresa fabricase 200 lotes de tapas y 100 lotes de envases?

b) Si la empresa vende todo lo que fabrica y gana por cada lote de tapas fabricado 3000 euros y por cada lote de envases 4000 euros, ¿cuántos lotes de cada tipo de-berá fabricar para maximizar sus ganancias? • Sol.: a) vértices región solución: (0, 500), (300, 350), (525, 125), (600, 0), (0, 0), Sí; b) 300 lotes de tapas y 350 de

envases.

u I.141 (2012)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ-

=m08x

A , ÷÷ø

öççè

æ=ym

B , ÷÷ø

öççè

æ=

2m7

C y ÷÷ø

öççè

æ-

=x22

0D .

a) Si DCBA -=× , plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (repre-sentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Encuentra la solución para m = 3.

• Sol.: a) þýü

=+=+0myx2m7y8mx ; b) para 4m ±¹ , Sí, 6ye9x =-= .

u I.142 (2012)

Un empresario dispone un determinado día de 3600 euros para fabricar ratones y te-clados. Cada ratón le cuesta 30 euros y lo vende a 34 euros. En cuanto a los teclados, cada uno tiene asociado un coste de fabricación de 40 euros y un precio de venta de 45 euros. Por restricciones de la empresa, no se pueden fabricar más de 95 aparatos en total en un día. a) ¿Cuántos ratones y cuántos teclados puede fabricar en un día? Plantea el problema

y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría fabricar en un día 15 ratones y 20 teclados?

b) Teniendo en cuenta que el beneficio es la diferencia entre el precio de venta y el coste y que la empresa vende todo lo que fabrica, ¿cuántos aparatos de cada tipo debe fabricar para que el beneficio sea máximo?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 90), (20, 75), (95, 0), (0, 0), Sí; b) 20 ratones y 75 teclados.

u I.143 (2012) Una empresa fabrica dos tipos de piezas: A y B. Cada día debe fabricar al menos 6 piezas, disponiendo para ello de 160 horas de mano de obra. La fabricación de cada pieza de tipo A necesita 8 horas de mano de obra y la de tipo B necesita 16 horas de mano de obra. Existe además la restricción de que no puede fabricar más de 4 piezas de tipo A. a) ¿Cuántas piezas de cada tipo puede fabricar en un día? Plantea el problema y re-

presenta gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si vende todo lo que fabrica y por cada pieza de tipo A obtiene un beneficio de 120

euros y por cada pieza de tipo B obtiene un beneficio de 100 euros, ¿cuántas pie-zas de cada tipo debe fabricar para maximizar su beneficio? ¿A cuánto asciende di-cho beneficio?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 10), (4, 8), (4, 2), (0, 6); b) 4 tipo A y 8 tipo B; 1280 €.

u I.144 (2013)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

1xyx

A , ÷÷ø

öççè

æ-

=3102

B , ÷÷ø

öççè

æ=1m

C y ÷÷ø

öççè

æ-=

mxx2

D .

a) Si DC)ABBA( =××-× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (re-presentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 1.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 36

• Sol.: a) þýü

-=-=-+mymx0y)m1(x2 ; b) { }1,2m -Ï , Sí, x = 0 e y = 1.

u I.145 (2013)

Una empresa constructora dispone de un terreno de 100 dam2 para construir dos tipos de casas. Las casas de tipo A ocuparán una superficie de 4 dam2 y las de tipo B de 2 dam2. Sobre plano ya se han vendido 4 casas de tipo A y 18 de tipo B, por tanto deben construir al menos esas unidades. Además, por estudios de mercado han decidido construir al menos el triple de casas de tipo B que de tipo A. a) ¿Cuántas casas pueden construir de cada tipo? Plantea el problema y representa

gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se cumplirán los requisitos si se constru-yesen 5 casas de tipo A y 11 de tipo B?

b) Si por cada casa de tipo A vendida obtendrán un beneficio de 100 000 euros, por cada casa de tipo B un beneficio de 60 000 euros y venden todo lo que construyen, ¿cuántas casas deben construir de cada tipo para maximizar beneficios?

• Sol.: a) vértices región solución: (4, 42), (10, 30), (6, 18), (4, 18), No; b) 4 de tipo A y 42 tipo B.

u I.146 (2013) Una gran superficie vende dos productos estrella: reproductores de DVD y televisores. Con cada reproductor pierde 200 euros y con cada televisor gana 400 euros, obte-niendo un día determinado unos beneficios de 10 000 euros por la venta de ambos tipos de productos. Se sabe además que el número de reproductores de DVD que se han vendido ese día es m veces el número de televisores. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de televisores y de reproductores de DVD vendidos. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que se hayan ven-dido el doble de reproductores que de televisores?

b) Suponiendo que se han vendido el mismo número de televisores que de reproduc-tores de DVD, ¿cuántos televisores se han vendido?

• Sol.: a) þýü

=-=-0ymx50yx2 , No; b) 50 televisores.

u I.147 (2013)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

m01x

A , ÷÷ø

öççè

æ=ym

B , ÷÷ø

öççè

æ-

=x9

9C .

a) Si CBA =× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 2.

• Sol.: a) þýü

=+=+9myx9ymx ; b) para 1m -¹ , No, x = y = 3.

u I.148 (2013)

Una empresa familiar dispone de dos máquinas, A y B, para confeccionar la pieza que fabrica. Entre las dos deben hacer al menos 30 piezas semanales, que es un pedido fijo, y nunca más de 100 piezas, puesto que no tienen suficiente materia prima para ello. Además, el contrato de mantenimiento les obliga a fabricar con A al menos tantas piezas como con B. a) De acuerdo con las restricciones anteriores, ¿cuántas piezas pueden ser confec-

cionadas semanalmente por cada máquina? Plantea el problema y representa grá-ficamente el conjunto de soluciones.

b) Si por cada pieza que confecciona la máquina A consume 9 kWh y por cada una que confecciona la máquina B consume 4 kWh, ¿cuántas piezas debe confeccionar

37 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

con cada máquina para que el consumo energético sea mínimo? ¿A cuánto ascien-de dicho consumo? • Sol.: a) vértices región solución: (15, 15), (50, 50), (100, 0), (30, 0); b) 15 piezas en A y otras 15 en B, 195 kWh.

u I.149 (2013)

En un teatro hay localidades de dos clases: butacas de patio y butacas de segundo piso, cuyos precios son 20 y 10 euros, respectivamente. Determinado día, la recauda-ción total fue de 4000 euros. Además se sabe que el número de localidades de buta-cas de segundo piso que se vendieron fue m veces el número de localidades de buta-cas de patio. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de localidades vendidas de cada tipo. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que se hayan vendido el triple de localidades de segundo piso que de butacas de patio?

b) Suponiendo que se vendieron el doble de localidades de butacas de segundo piso que de localidades de butacas de patio, ¿cuántas localidades de butacas de patio se vendieron?

• Sol.: a) þýü

==+mxy4000y10x20 , Si; b) 100 localidades.

u I.150 (2013)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ×-

×=

2x221ym

A , ÷÷ø

öççè

æ-

=m1

B , ÷÷ø

öççè

æ=

y21x

C y ÷÷ø

öççè

æ=mm

D .

a) Si DDCBA =×+× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (repre-sentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 1.

• Sol.: a) þýü

-=-=+

2mx2mymmymx ; b) para 2m -¹ , No,

31y,

32x == .

u I.151 (2013)

Un joyero fabrica dos tipos de pendientes. Los de tipo A están compuestos de 2 g de oro y 3 g de plata y los vende a 100 euros cada uno. Los de tipo B están compuestos por 3 g de oro y 2 g de plata y los vende a 200 euros. Al principio de una semana dis-pone de 600 g de cada uno de los metales. a) ¿Cuántos pendientes de cada tipo puede fabricar esa semana? Plantea el problema

y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos pendientes de cada tipo debe fabricar para maximizar los ingresos, si se

supone que vende todo lo que fabrica? ¿Y para que el número de pendientes fabri-cados sea máximo?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 200), (120, 120), (200, 0), (0, 0); b) 200 tipo B y 0 tipo A, 120 de cada tipo.

u I.152 (2013) Una persona debe alimentar a un animal exótico que acaba de comprar. En la tienda de mascotas le comentan que hay dos tipos de pienso, A y B, para dicho animal, con las siguientes composiciones y precios por paquete:

MARCA PROTEÍNAS HIDRATOS DE CARBONO GRASAS PRECIO A 1 g 5 g 3 g 2 euros B 2 g 2 g 2 g 1’7 euros

Dicho animal debe comer diariamente, para estar correctamente alimentado, al menos 8 g de proteínas, 20 g de hidratos de carbono y 16 g de grasas.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 38

a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo puede comer el animal para estar correctamente alimentado? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de solucio-nes.

b) ¿Cuántos tendría que comer de cada tipo para obtener la dieta deseada al mínimo coste? ¿A cuánto ascendería dicho coste?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 10), (2, 5), (4, 2), (8, 0); b) 4 paquetes A y 2 B, 11,4 €.

u I.153 (2013) En una fábrica trabajan a dos turnos diarios. En el turno de mañana se producen m piezas más que en el de la tarde. Además se sabe que el beneficio económico que obtienen por cada pieza fabricada es de m euros y que los beneficios diarios son de 5025 euros. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de piezas producidas en cada turno. b) Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que

el beneficio por pieza sea de 5 euros? En caso afirmativo, ¿cuántas piezas se pro-ducen diariamente en la fábrica?

• Sol.: a) þýü

=++=5025)yx(mymx ; b) Si, 1005 piezas.

u I.154 (2013)

En determinada compañía se sabe que hay al menos tantos delineantes como arqui-tectos. Además se sabe que al menos hay 5 delineantes y que el número total de em-pleados entre los dos grupos es como mucho de 20 personas. a) ¿Cuántos empleados de cada tipo tiene la empresa? Plantea el problema y repre-

senta gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría haber 18 delineantes y 15 arquitectos?

b) Si cada delineante cobra mensualmente 1500 euros y cada arquitecto 3000 euros, ¿cuántos empleados de cada tipo tiene que haber en la empresa para minimizar el coste total de sus salarios?

• Sol.: a) vértices región solución: (5, 5), (10, 10), (20, 0), (5, 0), No; b) 5 delineantes y ningún arquitecto.

u I.155 (2013) En un almacén se quieren tener al menos tantas bombillas de tipo A como de tipo B y nunca más de 40 bombillas de tipo A. Según las especificaciones, las de tipo A duran 1000 horas y las de tipo B 2000 horas y se quiere que la suma de las duraciones de todas las bombillas que haya en el almacén sea al menos de 30000 horas. a) ¿Cuántas bombillas de cada tipo hay en el almacén? Plantea el problema y repre-

senta gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si el coste de cada bombilla de tipo A es de 6 euros y de cada bombilla de tipo B es

de 10 euros, ¿cuántas bombillas de cada tipo deberían tener almacenadas para mi-nimizar el coste total de las mismas? ¿Cuánto sería dicho coste?

• Sol.: a) vértices región solución: (10, 10), (40, 40), (40, 0), (30, 0); b) 10 bombillas de cada tipo, 160 €.

u I.156 (2014) Un bar recibe el pedido diario de refrescos y cervezas, por el que paga 6 euros, siendo el precio de cada refresco de 20 céntimos de euro y el de cada cerveza de m céntimos de euro. Si se intercambiasen los precios unitarios de los refrescos y las cervezas, habría pagado 6 euros y 50 céntimos. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de refrescos y el número de cervezas adquiridos ese día. ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única?

b) ¿Cuántas cervezas habría comprado si cada cerveza costase a 30 céntimos de euro?

39 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

• Sol.: a) þýü

=+=+650y20mx600myx20 , para 20m ¹ , Si; b) 10 cervezas.

u I.157 (2014)

Una empresa fabrica y vende dos modelos de cámaras de fotos: SX230 y WX245. Para la fabricación de cada cámara del modelo SX230 se precisa de 30 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina, mientras que para la fabricación de cada cámara del modelo WX245 se precisa de 40 minutos de trabajo manual y 10 minutos de trabajo de máquina. Además se sabe que para la fabricación de estos dos modelos, la empresa dispone cada semana de 6000 minutos de trabajo manual y 3000 minutos de trabajo de máquina. a) ¿Cuántas cámaras de cada modelo puede fabricar la empresa en una semana?

Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se po-drían fabricar 100 cámaras de cada modelo en una semana?

b) Si el beneficio por unidad vendida es de 50 euros para el modelo SX230 y de 60 euros para el modelo WX245 y la empresa vende todo lo que fabrica, ¿cuántas cá-maras de cada modelo debe fabricar en una semana para maximizar el beneficio?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 150), (120, 60), (150, 0), (0, 0), No; b) 120 cámaras SX230 y 60 WX245.

u I.158 (2014)

Sean las matrices: ÷÷ø

öççè

æ=

m11m

A , ÷÷ø

öççè

æ=yx

B , ÷÷ø

öççè

æ=

365142

C y ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=112

D .

a) Si DCBA ×=× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (represen-tadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 2.

• Sol.: a) þýü

=+-=+1myx1ymx ; b) para 1m ¹ , No, x = -1 e y = 1.

u I.159 (2014)

Una fábrica de tabletas de chocolate ha usado 200 kilogramos de chocolate y 100 li-tros de leche en la producción de dos tipos de tabletas A y B. Cada tableta de tipo A usa 0’2 kilogramos de chocolate y 0’1 litros de leche y cada tableta de tipo B usa m kilogramos de chocolate y 0’2 litros de leche. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de tabletas producidas de tipo A y B, respectivamente. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única?

b) Si cada tableta de tipo B precisa de 0’4 kg de chocolate y se produjeron 200 table-tas de tipo B, ¿cuántas se habrán producido de tipo A?

• Sol.: a) þýü

=+=+100y2,0x1,0200myx2,0 , Î"m R, No; b) 600 tabletas A.

u I.160 (2014)

Una carpintería industrial fabrica tablas de madera de dos grosores: fino y grueso. Se tardan 2 minutos en fabricar un centímetro de tabla fina y 2,5 minutos en fabricar un centímetro de tabla gruesa. Además se sabe que cada día se dispone de 400 minutos para la fabricación de dichas tablas y que hay que fabricar al menos 100 cm de tabla fina y al menos 60 cm de tabla gruesa. a) De acuerdo con las restricciones anteriores, ¿cuántos centímetros de cada tipo de

tabla se pueden fabricar cada día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 40

b) Si los costes de fabricación por centímetro son de 4 € para la tabla fina y 6 € para la gruesa, ¿cuántos centímetros de cada tipo de tabla se deben fabricar en un día pa-ra que el coste de fabricación sea mínimo? ¿A cuánto asciende dicho coste? • Sol.: a) vértices región solución: (100, 60), (100, 80), (125, 60); b) 100 cm de tabla fina y 60 de tabla gruesa, 760 €.

u I.161 (2014)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ-=

31m1

A , ÷÷ø

öççè

æ=yx

B y ÷÷ø

öççè

æ -=

13m

C .

a) Si CABA ×=× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (represen-tadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 2.

• Sol.: a) þýü

=+=+-my3x3myx ; b) Î"m R, No, 1ye1x =-= .

u I.162 (2014)

Una tienda de discos ha vendido en el último mes discos compactos y elepés por un importe de 10200 euros. Cada disco compacto se vendió por 8 euros y cada elepé por 12 euros. Se sabe además que el número de discos compactos vendidos fue m veces el número de elepés. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de discos compactos y elepés vendidos en un mes. b) Basándote en el estudio de compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que se

hayan vendido el triple de discos compactos que de elepés? En caso afirmativo, ¿cuántos discos compactos se vendieron?

• Sol.: a) þýü

==+myx10200y12x8 ; b) Si, 850 CD.

u I.163 (2014)

Una empresa envasa dos tipos de refresco: normal y light. Por cuestiones de la orga-nización de la producción, cada minuto no puede envasar más de 100 botes de refres-co normal, ni más de 150 botes de refresco light, no pudiendo tampoco envasar más botes de tipo normal que de light. Además para que la empresa sea rentable se re-quiere que al menos se envasen 50 botes cada minuto. a) ¿Cuántos botes de cada tipo puede envasar por minuto dicha empresa? Plantea el

problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría envasar 40 botes normales y 100 ligth en un minuto?

b) Si el beneficio obtenido por cada bote envasado es de 5 céntimos de euro para el refresco normal y 4 céntimos de euro para el light y vende todo lo que envasa, ¿cuántos botes de cada tipo debería envasar cada minuto para maximizar su bene-ficio? • Sol.: a) vértices región solución: (0, 150), (100, 150), (100, 100), (25, 25), (0, 50), Si; b) 100 botes normales y 150

ligth.

u I.164 (2014) Una persona alquila una nave industrial para la venta de lavavajillas y lavadoras con alguna tara, teniendo la nave capacidad como mucho para 200 electrodomésticos. Además sólo dispone de 50000 euros para la compra inicial de los electrodomésticos, costándole 400 euros cada lavavajillas y 200 euros cada lavadora. a) ¿Cuántos electrodomésticos de cada tipo puede tener el día de la inauguración?

Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si por cada lavavajillas obtiene un beneficio del 20% del precio de compra y en ca-

da lavadora del 25%, ¿cuántos electrodomésticos de cada tipo debe tener el día de la inauguración para maximizar sus beneficios cuando se haya producido la venta de todos ellos? ¿Cuánto sería dicho beneficio?

41 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 200), (50, 150), (125, 0), (0, 0); b) 50 lavavajillas y 150 lavadoras.

u I.165 (2014) Un cajero automático solo dispone de billetes de 10 € y 20 €. El total de dinero en di-cho cajero es de 4000 €. Se sabe además que el número de billetes de 10 € es m ve-ces el número de billetes de 20 €. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de billetes de 10 € y de 20 €, respectivamente, que hay en el caje-ro.

b) Basándote en el estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que en el cajero haya el triple de billetes de 10 € que de 20 €? En caso afirmativo, ¿cuántos billetes hay en total en el cajero?

• Sol.: a) þýü

==+myx4000y20x10 ; b) Si, 240 billetes de 10 € y 80 de 20 €.

u I.166 (2014)

Una fábrica produce dos tipos de bombillas: halógenas y LED. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000, entre bombillas halógenas y LED, si bien no puede fabricar más de 800 bombillas halógenas, ni más de 600 bombillas LED. a) ¿Cuántas bombillas de cada tipo puede producir en un día? Plantea el problema y

representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría producir 7 bombillas halógenas y 500 bombillas LED?

b) Si cada bombilla halógena le da un beneficio de 2 euros y cada bombilla LED le da un beneficio de 3 euros y la fábrica vende todo lo que produce, ¿cuántas bombillas de cada tipo tiene que producir para maximizar sus beneficios? ¿A cuánto ascien-den tales beneficios?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 600), (400, 600), (800, 200), (800, 0), (0, 0), Si; b) 600 LED y ninguna halógena, 1800 €.

u I.167 (2014)

Una empresa puede usar cada día para la fabricación de tres productos (P1, P2 y P3) la línea de producción A o la B. Cada día de uso de la línea A se produce 1 artículo tipo P1, 3 tipo P2 y 5 tipo P3. Cada día de uso de la línea B se producen 2 artículos de cada uno de los tres productos. La empresa ha firmado un contrato por el que tiene que entregar a un cliente 80 unidades de P1, 180 de P2 y 200 de P3. a) ¿Cuántos días puede usar cada línea de acuerdo con las restricciones anteriores?

Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si el coste diario de producción es de 2000 euros para la línea A y 1000 euros para

la línea B, ¿cuántos días debe usar cada línea para que cumpla los objetivos com-prometidos con el mínimo coste? ¿Cuál sería dicho coste?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 100), (10, 75), (50, 15), (80, 0); b) 10 días en la A y 75 en la B, 95000 €.

u I.168 (2015) Una persona adquiere en el mercado cierta cantidad de manzanas y naranjas a un precio de m y 1’5 euros el kilogramo, respectivamente. El importe total de la compra fue de 9 euros y el peso total de la misma de 7 kg. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean la cantidad, en kg, de manzanas y de naranjas adquiridas en el mercado. ¿Pa-ra qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única?

b) ¿Qué cantidad de naranjas habría comprado si el kilogramo de manzanas costase a 1 euro?

• Sol.: a) þýü

=+=+7yx9y5,1mx , para 5.1m ¹ , Si; b) 4 kg.

u I.169 (2015)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 42

Unos grandes almacenes lanzan una campaña publicitaria con una oferta especial en dos de sus productos, ofreciendo el producto A a un precio de 100 euros y el producto B a 200 euros. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 unidades del producto A y 10 unidades del producto B, queriendo vender al menos tantas unidades del producto A como del B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella para estos dos productos deben ser, al menos, de 600 euros. a) ¿Cuántas unidades de cada producto se podrán vender? Plantea el problema y

representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían vender 15 unida-des de cada producto?

b) ¿Cuántas unidades de cada producto deben vender para maximizar sus ingresos? • Sol.: a) vértices región solución: (2, 2), (10, 10), (20, 10), (20, 0), (6, 0); b) 20 de A y 10 de B.

u I.170 (2015)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ--

=1mm2m

A , ÷÷ø

öççè

æ=yx

B y ÷÷ø

öççè

æ=44

C .

a) Si CBA =× , plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (representa-das por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 2.

• Sol.: a) þýü

=--=-

4y)1m(mx4y2mx ; b) para 0m ¹ , es única si 1m -¹ , 0ye2x == .

u I.171 (2015)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

103m

A , ÷÷ø

öççè

æ=

m001

B , ÷÷ø

öççè

æ-

-=

011m30

C , ÷÷ø

öççè

æ=yx

D y ÷÷ø

öççè

æ=11

E .

a) Si E2D)CBA( ×=×-× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (re-presentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 2.

• Sol.: a) þýü

=+=+2myx2ymx ; b) para 1m -¹ , No, 3/2yx == .

u I.172 (2015)

Una empresa, que abastece los lotes de perfumería de un supermercado, dispone en el almacén de 240 frascos de gel, 95 de champú y 270 de crema de manos. Los lotes son de dos tipos: A y B, de forma que el lote A está compuesto por 2 frascos de gel, 1 de champú y 3 de crema de manos, mientras que el lote B está formado por 3 frascos de gel, 1 de champú y 2 de crema de manos. a) ¿Cuántos lotes de cada tipo pueden prepararse con la mercancía que tiene en el

almacén? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si cada lote de tipo A le produce unos beneficios de 25 € y cada lote de tipo B de

22 €, ¿cuántos lotes de cada tipo debe preparar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor del beneficio máximo que puede obtener?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 80), (45, 50), (80, 15), (0, 135), (0, 0); b) 135 lotes B y 0 lotes A, 2 970 €.

u I.173 (2015) Una empresa de refrescos produce dos tipos de bebidas: normal y ligera. Cada una de ellas necesita pasar por tres procesos productivos de la fábrica, designados por P1, P2 y P3. El número de horas empleado en cada uno de ellos por lote de refresco produci-do, así como los beneficios unitarios por lote de refresco vendido, pueden verse en la siguiente tabla:

43 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

REFRESCO Nº DE HORAS EMPLEADAS BENEFICIOS PROCESO P1 PROCESO P2 PROCESO P3 Normal 6 1 4 650 € Ligera 8 2 4 800 €

Además se sabe que los tiempos de producción disponibles son de 360 horas para P1, 80 horas para P2 y 200 horas para P3. a) ¿Cuántos lotes de cada tipo puede producir? Plantea el problema y representa grá-

ficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos lotes de cada tipo tendría que producir para maximizar el beneficio? ¿A

cuánto ascendería dicho beneficio? • Sol.: a) vértices región solución: (0, 40), (20, 30), (50, 0), (0, 0); b) 20 normal y 30 ligero, 37 000 €.

u I.174 (2015)

Luis tiene ahora mismo m veces la edad de Javier. Dentro de m años, Luis tendrá el triple de años que Javier. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean la edad de Luis y de Javier, respectivamente. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que Luis tenga ahora mismo el tri-ple de años que Javier?

b) Resuelve el sistema para m = 5. ¿Cuántos años tiene Luis en este momento? • Sol.: a)

þýü

=-=-m2y3x0myx , No; b) 25 años.

u I.175 (2015)

Una compañía dispone de 96 000 euros para comprar ordenadores y licencias de un determinado software. Se sabe que necesita adquirir al menos 20 ordenadores y que el número de licencias debe ser mayor o igual que el de ordenadores. Además se tie-ne que el precio de cada ordenador es de 400 euros y el de cada licencia de 800 eu-ros. a) ¿Cuántos ordenadores y cuántas licencias puede comprar para cumplir todos los

requisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos ordenadores y cuántas licencias debe comprar para que el coste de la compra sea mínimo? ¿Y para que el número de licencias sea máximo?

• Sol.: a) vértices región solución: (20, 20), (80, 80), (20, 110); b) 20 ordenadores y 20 licencias, 20 ordenadores y 110 licencias.

u I.176 (2015)

Un instituto de investigación está planificando la compra de proyectores de dos tipos A y B. Por un convenio firmado con el proveedor, deben adquirirse al menos 10 proyec-tores de tipo A y nunca menos de este tipo que del tipo B. Por limitaciones de espacio se pueden adquirir como mucho 100 proyectores en total. a) ¿Cuántos proyectores de cada tipo puede comprar para cumplir con todos los re-

quisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Si cada proyector de tipo A cuesta 3000 euros y cada proyector de tipo B cuesta 7000 euros, ¿cuántos tendría que comprar de cada tipo para minimizar el coste? ¿A cuánto ascendería dicho coste?

• Sol.: a) vértices región solución: (10, 0), (100, 0), (50, 50), (10, 10); b) 10 tipo A y ninguno tipo B, 30 000 €.

u I.177 (2015) Un taller tiene contratados operarios de dos tipos. En una hora cualquiera de trabajo, cada operario de tipo A cobra 10 euros, cada operario de tipo B cobra 2m euros y la empresa paga al total de sus operarios 780 euros por esa hora de trabajo. En el taller, por cada operario de tipo B hay m-1 operarios de tipo A.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 44

a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de operarios de cada tipo contratados en el taller.

b) Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que los operarios de tipo B cobren 6 euros por hora? En caso afirmativo, ¿cuántos ope-rarios de tipo A trabajan en el taller?

• Sol.: a) þýü

=-+-=+

0y)1m(x780my2x10 ; b) Si, 60 operarios.

u I.178 (2015)

Un empresario abrirá en breve una fábrica de mermeladas y debe contratar dos tipos de empleados: personal especializado para elaborar el producto y personal no cualifi-cado para empaquetarlo. Sólo ha recibido el currículum de 12 personas especializa-das, de modo que como mucho podrá contratar a esa cantidad de personas para la fase de producción. Por experiencias previas, el empresario sabe que debe tener al menos el doble de empleados no cualificados que especializados y como mucho, el triple. a) ¿Cuántos empleados de cada tipo puede contratar? Plantea el problema y repre-

senta gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría contratar a 5 empleados es-pecializados y 12 no cualificados?

b) Según la legislación correspondiente, la empresa recibirá una subvención de 100 euros mensuales por cada empleado no cualificado que contrate. La subvención se-rá de 120 euros si el personal es especializado. ¿Cuántos empleados de cada tipo debe contratar para maximizar los ingresos por subvenciones? ¿A cuánto ascien-den tales ingresos?

• Sol.: a) vértices región solución: (0, 0), (12, 24), (12, 36), Si; b) 12 especialistas y 36 no calificados, 5 040 €.

u I.179 (2015) Los empleados de un banco deben rellenar cada tarde el cajero automático de su su-cursal con billetes de 20 y 50 euros. Por motivos de seguridad, la máquina nunca con-tiene más de 20 000 euros. Por otro lado, dado que los clientes prefieren los billetes de 20, deben introducir al menos el doble de billetes de 20 que de 50 euros. Finalmente, siempre incluyen al menos 100 billetes de 50 euros. a) Suponiendo que el cajero está vacío, ¿cuántos billetes de cada tipo puede haber en

el cajero cuando se rellena? Plantea el problema y representa gráficamente el con-junto de soluciones.

b) Si quieren que el cajero contenga el menor número de billetes posible, ¿cuántos deben rellenar de cada tipo? ¿Cuánto dinero habrá en el cajero en ese caso?

• Sol.: a) vértices región solución: (200, 100), (750, 100), (444, 222); b) 200 de 20 € y 100 de 50 €, 9 000 €. u I.180 (2016)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

12m1

A , ÷÷ø

öççè

æ=

11m0

B , ÷÷ø

öççè

æ--

=1mm1m

C , ÷÷ø

öççè

æ=yx

D y ÷÷ø

öççè

æ=21

E .

a) Si ED)CBA( =×-× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (repre-sentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 3.

Sol.: a) þýü

=++=+

2my2x)m1(1myx ; b) m" , No, x = 0, y = 1/3.

u I.181 (2016)

Una familia desea invertir 6500 euros en acciones de la compañía A y de la compañía B. Cada acción de la compañía A cuesta 100 euros y tiene unos beneficios esperados de 22 euros. Cada acción de la compañía B cuesta 600 euros y tiene unos beneficios

45 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

esperados de 108 euros. Además se sabe que está obligada a comprar al menos 5 acciones de cada compañía. a) ¿Cuántas acciones de cada tipo puede comprar con el dinero disponible? Plantea el

problema y representa gráficamente en conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas debe comprar para maximizar el beneficio esperado? ¿Cuánto vale dicho

beneficio esperado máximo? Sol.: a) vértices región solución: (5, 5), (5, 10), (35, 5); b) 35 tipo A y 5 tipo B, 1310 €.

u I.182 (2016)

Una empresa dedicada a la fabricación de trofeos deportivos recibe el encargo de un ayuntamiento de elaborar una serie de trofeos para la Semana Deportiva Municipal. Los trofeos que se han de entregar corresponden a las modalidades de fútbol y balon-cesto. Cada trofeo requiere una serie de materiales para su fabricación: madera para la base, acero para la estructura y oro para los dorados y embellecedores. Estos da-tos, junto con los ingresos para la empresa por cada tipo de trofeo, aparecen en la tabla:

TROFEO KILOGRAMOS EMPLEADOS INGRESOS MADERA ACERO ORO Fútbol 0.4 0.6 0.4 1200 €

Baloncesto 0.5 0.3 0.1 750 € Además se sabe que las disponibilidades de la tienda son: 56 kilogramos de madera, 39 kilogramos de acero y 16 kilogramos de oro. a) ¿Cuántos trofeos de cada tipo puede fabricar? Plantea el problema y representa

gráficamente en conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos trofeos de cada tipo tendría que hacer para maximizar los ingresos? ¿A

cuánto ascenderían dichos ingresos? Sol.: a) vértices región solución: (0, 0), (15, 100), (40, 0); b) 15 de fútbol y 100 de baloncesto, 93000 €.

u I.183 (2016)

En una fábrica envasan los bombones en cajas de tamaño pequeño y mediano. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo m cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de cajas de cada tipo envasadas ese día. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única?

b) Si ese día se envasan 4 cajas más de bombones de tamaño pequeño que de tama-ño mediano, ¿cuántas se habrán envasado de cada tipo?

Sol.: a) þýü

=-=+myx60yx

, m" , Si; b) 32 pequeñas y 28 medianas.

u I.184 (2016)

Una fábrica va a lanzar al mercado dos nuevos productos A y B. El coste de fabrica-ción del producto A es de 100 € por unidad y el del producto B es de 150 € por unidad, disponiendo para esta operación de 6000 €. Para evitar riesgos, es necesario fabricar al menos tantas unidades del producto A como del producto B y, en todo caso, no fa-bricar más de 45 unidades del producto A. a) De acuerdo con las restricciones anteriores, ¿cuántas unidades de cada producto

puede fabricar? Plantea el problema y representa gráficamente en conjunto de so-luciones.

b) Si su objetivo es maximizar el número total de productos fabricados, ¿cuántas uni-dades de cada producto debe fabricar? ¿A cuánto asciende el coste total de fabri-cación de dichas unidades?

Sol.: a) vértices región solución: (0, 0), (24, 24), (45, 10). (45, 0); b) 45 tipo A y 10 tipo B, 6000 €.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 46

u I.185 (2016)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ -=

212m1

A , ÷÷ø

öççè

æ-

-=

0m20

B , ÷÷ø

öççè

æ=yx

C y ÷÷ø

öççè

æ=105

D .

a) Si DC)BA( =×- , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (repre-sentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 3.

Sol.: a) þýü

=++=+

10y2x)m1(5myx ; b) 2m ¹ , No, x = 2, y = 1.

u I.186 (2016)

Una empresa tiene dos factorías en Madrid y Barcelona. En el año 2012, ingresaron entre las dos 100 millones de euros. En el año 2013, debido a la crisis, los ingresos en la factoría de Madrid se redujeron a la mitad respecto a los del año anterior y los ingre-sos de la factoría de Barcelona se dividieron entre m, también respecto al año anterior. En total, los ingresos entre las dos factorías en el año 2013 fueron de 40 millones de euros. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean los ingresos en 2012 de las factorías de Madrid y Barcelona, respectivamente. ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única?

b) ¿Cuánto ingresaron en Madrid en 2013, si en Barcelona ingresaron la tercera parte de lo que habían ingresado en 2012?

Sol.: a) ïþ

ïýü

=+

=+

40my

2x

100yx, para 2m ¹ , Sí; b) 40 millones.

u I.187 (2016)

Un distribuidor va a la cooperativa de agricultores a comprar naranjas y manzanas con un vehículo en el que puede transportar como mucho 900 kg de carga. Dispone de 400 euros para dicha compra, y observa que las naranjas le cuestan a 0’5 euros el kilogramo y las manzanas a 0’4 euros el kilogramo. a) ¿Cuántos kilogramos de cada fruta puede adquirir? Plantea el problema y represen-

ta gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría comprar 450 kg de cada fruta? b) Si luego él vende el kilogramo de naranjas a 1’2 euros y el kilogramo de manzanas

a 1 euro, ¿cuántos kilogramos de cada fruta debería comprar para conseguir que los beneficios (beneficio = precio de venta – precio de compra) sean lo más altos posibles una vez que haya conseguido vender toda la fruta adquirida? Sol.: a) vértices región solución: (0, 0), (0, 900), (400, 500). (800, 0), No; b) 400 kg de naranjas y 500 de manzanas.

u I.188 (2016)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=

1132

A , ÷÷ø

öççè

æ=yx

B , ÷÷ø

öççè

æ=8m

C y ÷÷ø

öççè

æ=40

D .

a) Si DAC2BA2 ×=×-× , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (re-presentadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solu-ción, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 17.

Sol.: a) þýü

=++=+20y4x3m212y9x7 ; b) para Î"m R, Si, 2y,4x -=-= .

u I.189 (2016)

En un almacén hay una caja de 140 dm3 de capacidad, cuyo contenido pesa 100 kg. Dentro de esta caja hay dos tipos de paquetes perfectamente encajados, unos con

47 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

carpetas que ocupan 4 dm3 cada paquete y otro con folios de papel que ocupan 6 dm3 cada paquete. Además, se sabe que cada paquete de carpetas pesa 2 kg y cada pa-quete de folios pesa m kg. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de paquetes de cada tipo que hay en la caja. Basándote en un es-tudio de compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que el peso de cada pa-quete de folios sea de 3 kg?

b) Suponiendo que cada paquete de folios pesa 6 kg, ¿cuántos paquetes de carpetas hay?

Sol.: a) þýü

=+=+100myx270y3x2 , No; b) 20 paquetes.

u I.190 (2016)

Un estudiante tiene dos exámenes el mismo día, de matemáticas y de economía. An-tes de ese día podrá estudiar 32 horas y calcula que cada uno de los 20 temas de ma-temáticas le lleva 1 hora de estudio, mientras que cada uno de los 10 temas de eco-nomía le lleva 2 horas. Además sabe que para tener alguna oportunidad de aprobar, debe estudiar al menos 5 temas de matemáticas y al menos 2 de economía. a) ¿Cuántos temas puede estudiar de cada asignatura teniendo en cuenta las restric-

ciones anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Si, independientemente de la asignatura, quiere estudiar el mayor número de temas posible, ¿cuántos temas debe estudiar de cada asignatura? ¿Cuántos temas estu-dia en total en ese caso?

Sol.: a) vértices región solución: (5, 10), (5, 2), (20, 2), (20, 6), (12, 10), No; b) 20 temas de Matemáticas y 6 de Econo-mía, 26 temas.

u I.191 (2016)

Una fábrica posee un stock de 1200 coches de dos modelos A y B, siendo el número de coches del modelo A igual a m veces el número de coches del modelo B. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y

sean el número de coches de cada tipo que hay en la fábrica. Basándote en un es-tudio de compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que haya el doble de co-ches del modelo A que del B?

b) Suponiendo que hay el triple de coches del modelo A que del B, ¿cuántos coches hay del modelo A?

Sol.: a) þýü

=-=+

0myx1200yx , Sí; b) 900 coches.

u I.192 (2017)

Sean las matrices ÷÷ø

öççè

æ=yx

A , ÷÷ø

öççè

æ=

1x1y

B , ÷÷ø

öççè

æ-

=1m

C y ÷÷ø

öççè

æ=00

D .

a) Si DCBA =×- , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (represen-tadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra la solución para m = 2:

Sol.: a) þýü

-=+--=-1ymx1myx ; b) Para 1m ¹ , No, x = y = 1.

u I.193 (2017)

Para que una encuesta sobre política de inmigración sea fiable, se exige que haya al menos 2300 personas entrevistadas, entre españoles y extranjeros, de las cuales co-mo mucho 1000 serán extranjeros, y también se exige que los extranjeros sean por lo menos un 10% del total de personas entrevistadas.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 48

a) ¿Cuántos españoles y cuántos extranjeros pueden ser entrevistados? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podrían ser entre-vistados 1000 españoles?

b) Si el coste estimado de cada entrevista es de 6 euros, ¿cuál sería el máximo coste que podría tener la encuesta? ¿A cuántos españoles se habría entrevistado en di-cho caso?

Sol.: a) vértices región solución: (1300, 1000), (2070, 230), (9000, 1000), No; b) 60 000 €, 9000 españoles. u I.194 (2017)

Una persona compró acciones de dos compañías A y B a un precio de 1 y m euros la acción, respectivamente. El importe total de la compra fue de 90 euros y el número total de acciones compradas fue de 47 acciones.

a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de acciones compradas de cada compañía.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? ¿Qué cantidad de acciones de la compañía B habría comprado si cada una costase 2 euros?

Sol: a) ! + #$ = 90! + $ = 47 ; b)" ≠ 1, &í ()* . 43 acciones.

u I.195 (2017)

Un centro comercial tiene en existencias 750 reproductores de DVD en el almacén A y otros 600 en el almacén B. Si se quiere tener al menos 900 reproductores en tienda,

a) ¿Cuántas unidades se podrían enviar desde cada almacén? Plantea el proble-ma y representa gráfica- mente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían enviar 400 unidades desde cada almacén?

b) Si los costes unitarios de envío son 0,30 euros por unidad para el almacén A y 0,25 euros por unidad para el almacén B, ¿cuántas unidades se deben enviar desde cada almacén para minimizar el coste de transporte? ¿a cuánto ascen-dería dicho coste?

Sol: a) Vértices de la región solución: 750, 150 ; 750, 600 ; (300,600) . No; b) 300 desde A y 600 desde B, 240€

u I.196 (2017)

Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 5m euros y otros a 4m euros, obteniendo por la venta 3105 euros.

a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de libros de cada tipo vendidos.

b) Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que el precio de los libros fuese 45 y 36 euros, respectivamente? Resuelve el sistema para m = 9. ¿Cuántos libros vendió de cada tipo?

Sol: a) ! + # = 845(! + 4(# = 3105 ; b) Si. 9 libros de 45€ y 75 libros de 36€

u I.197 (2017)

Una empresa fabrica dos productos A y B con tres ingredientes distintos I1, I2 e I3. Para fabricar el producto A necesita 3 unidades del ingrediente I1 y 1 unidad del ingre-diente I2. Para fabricar el producto B necesita 2 unidades del ingrediente I1 y otras 2 del ingrediente I3. Un día concreto, tiene en el almacén 18 unidades del ingrediente I1, 4 del I2 y 12 del I3. Se sabe además que el beneficio obtenido con cada producto A es de 30 euros y con cada producto B es de 50 euros.

a) ¿Cuántos productos de tipo A y cuántos de tipo B puede fabricar ese día para

49 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

cumplir todos los requisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráfi-camente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían fabricar 2 productos de cada tipo en ese día?

b) ¿Cuántos debe fabricar para maximizar el beneficio? ¿y para maximizar el nú-mero total de productos fabricados?

Sol: a) Vértices de la región solución: 0,0 , 4,0 , 4,3 , 2,6 , (0,6) . Sí; b) 2 de A y 6 de B. 2 de A y 6 de B u I.198 (2018)

En una cafetería, la mesa A pide 6 cafés y 3 tostadas por lo que paga 12 euros y la mesa B pide 6 cafés y m tostadas por lo que paga 13,6 euros.

a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el precio de un café y el precio de una tostada, respectivamente.

b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir, ¿es siempre única? ¿Es posible que en la mesa B se hayan pedido 4 tostadas? En caso afirmativo, ¿cuánto cuesta cada café?

Sol: a) 6" + 3% = 126" +)% = 13,6 ; b) ! ≠ 3, %í ()* . Sí, 1,2€.

u I.199 (2018)

Una pintura se comercializa en dos colores ! y ! que se obtienen a partir de los tres colores primarios: rojo, azul y amarillo. Para obtener un bote de color ! se necesitan 3 unidades de rojo y 2 unidades de azul. Para obtener un bote de color ! se necesitan 5 unidades de rojo y 1 unidad de amarillo. Un día concreto, la empresa de pinturas tiene en el almacén 45 unidades de rojo, 20 de azul y 6 de amarillo.

a) ¿Cuántos botes de color ! y cuántos de color ! puede obtener ese día para cumplir todos los requisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráfi-camente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían obtener 2 botes de cada co-lor?

b) Si el beneficio obtenido con cada bote de color ! es de 100 euros y con cada bote de color B es de 200 euros y se supone que vende todo lo que fabrica, ¿cuántos botes de cada tipo debe fabricar para maximizar el beneficio? ¿y para maximizar el número total de botes fabricados?

Sol: Vértices de la región solución: 0,0 , 0,6 , 5,6 , 10,3 , (10,0) . Sí; b) 5 de A y 6 de B; 10 de A y 3 de B

u I.200 (2018)

Sean las matrices ! = −1 %-% − 1 3% ,) = *

+ , , = 412 .

a) Si ! ∙ # = %, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (represen-

tadas por x e y) en función del parámetro m. b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir

solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 1.

Sol: a) -" + $% = 4

- $ + 1 " + 3$% = 12 ; b) ! ≠ 0 %& ; %í, *+,-.!á*! ≠ 2 %&1 . ! = 0; & = 4

u I.201 (2018)

Una empresa fabrica dos tipos de lápices. En la producción diaria se sabe que: el nú-mero de lápices de tipo B producidos supera como mucho en 500 unidades a los de

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 50

tipo A; entre los dos tipos no superan las 2000 unidades y de tipo B se producen al menos 500 unidades.

a) ¿Cuántos lápices de cada tipo puede producir al día? Plantea el problema y re-presenta gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría producir 1000 lápices de tipo A y 600 de tipo B?

b) El coste de fabricación de cada lápiz de tipo A es de 0,25 euros y el de cada lápiz de tipo B es de 0,2 euros. ¿Cuántos lápices de cada tipo debe producir para minimizar el coste total de fabricación? ¿a cuánto asciende dicho coste mínimo?

Sol: Vértices de la región solución: 0,500 , 1500,500 , 750,1250 . Sí; b) 0 de A y 500 de B; 100€

51 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

II. Análisis

u II.1 (1989) a) Definir máximos y mínimos absolutos y relativos de una función. b) Sea la función y = 3x + 7. Calcular los máximos y mínimos absolutos y relativos en el intervalo [–2, 4].

• Sol.: b) Mín. (-2,1), Máx. (4,19)

u II.2 (1989) Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte superior por un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es igual a P. ¿Cuál debe ser la base del rectán-gulo para que la ventana tenga la mayor superficie posible? Justificar la respuesta.

• Sol.: ÷øöç

èæ -- P42

32

u II.3 (1989)

Durante la realización de un examen de matemáticas, a Pepito se le agotaron las pilas de la calculadora y necesitaba conocer el valor de log 7. a) Pepito sabía que log 2 = 0,3 y que log 10 = 1. A partir de estos datos, ¿qué valor puede asignar a log 7? b) Posteriormente, Pepito recordó que podía calcular el log 4 a partir del log 2. Con este nuevo dato, ¿qué valor pudo obtener del log 7? Justificar la respuesta y comprobar ambos casos.

• Sol.: a) 0.7375; b) 0.8002

u II.4 (1989) a) Enunciar la regla de Barrow para calcular áreas. b) Por aplicación de la regla de Barrow, calcular el área del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (2, 1) y (3, 3).

• Sol.: b) 3/2

u II.5 (1989) Hallar un polinomio de segundo grado P(x), tal que P(0) = P(1) = 0; y además sea tal

que: ôõó =1

01dx)x(P .

• Sol.:P(x) = –6x2 + 6x

u II.6 (1989) a) Definir composición de funciones. La función f(x) está definida en el intervalo [0,1]. ¿Cuál es el dominio de la función f(2x + 3)? Justificar la respuesta. b) Definir función inversa de una dada. Calcular la inversa de la función y = k/x, con k¹0. Interpretar geométricamente el resultado.

• Sol.: a) Dominio: [ ]1,0 ; b) y = x/k

u II.7 (1989)

Hallar una curva de segundo grado que pase por los puntos (0,6), (–2,4) y (1,8). Hallar su máximo o mínimo. Representarla gráficamente y calcular el área limitada por dicha curva y el eje OX.

• Sol.: 6x35x

31y 2 ++= ; Mín.: ÷÷

ø

öççè

æ-

1247,

25 ; No hay área limitada por la curva y el eje OX

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 52

u II.8 (1989) a) Definición de derivada de una función en un punto. b) Interpretación geométrica. c) ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x2-7x + 3 es paralela a la recta y = 3 - 5x?. Justificar las respuestas.

• Sol.: c) (1,–3)

u II.9 (1990) a) Definir los conceptos de continuidad y continuidad lateral de una función en un pun-to. Interpretar gráficamente dichos conceptos. b) Obtener la expresión y dibujar la grá-fica de una función y = f(x) continua que cumpla las siguientes condiciones: - pasa por el punto (0,2); - en el intervalo [0,5], cada vez que x aumenta su valor en una unidad, y aumenta su valor en una cantidad constante c; - para x = 5, y vale 12; - en el intervalo [5,10], cada vez que x aumenta su valor en dos unidades, y disminu-ye el suyo en tres. Razonar todos los pasos realizados.

• Sol.: b) ïî

ïíì

£<+-

££+= 10x5si

239x

23

5x0si2x2)x(f

u II.10 (1990)

a) Obtener la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto, siendo y = f(x) la función que la define y suponiendo f derivable en dicho punto. b) ¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1,0) y (e,1)? (ln x = logaritmo neperiano de x).

• Sol.: b) [e–1,ln(e-1)]

u II.11 (1990) a) Expresar las ecuaciones de la recta definida por dos puntos y de la recta en la for-ma punto-pendiente, explicando en esta última los elementos que en ella aparecen. b) Hallar, por integración, el área del triángulo rectángulo de catetos a y b.

u II.12 (1990) a) Definir función creciente y decreciente en un intervalo. b) Si la función es derivable en un intervalo, ¿cómo puedes reconocer si es creciente o decreciente en dicho inter-valo?. c) ¿Para qué valores de k la función f(x) = 7x + k sen 2x es siempre creciente?

• Sol.: c) 27k

27

<<-

u II.13 (1990)

Una empresa productora de motocicletas pretende construir una nueva fábrica. Exper-tos en técnicas de ventas estiman que la función f(x) que expresa la producción de motocicletas en función del tiempo, debe ser tal que su función derivada (es decir el ritmo de crecimiento de la producción), venga dada por:

¢ =£ £³

ìíî

f xx si x

si x( )

2 0 510 5

expresada en miles de motocicletas/año. a) Representar f´(x) e interpretar su significado en términos del enunciado del proble-ma. b) ¿Qué cantidad de motocicletas se habrán producido en los tres primeros años? ¿Y entre el segundo y el octavo? c) ¿Durante cuántos años deberá mantener su actividad la fábrica hasta producir 75.000 motocicletas?

• Sol.: b) 14 000 y 189 000 motos respectivamente; c) 5 años y pico

53 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.14 (1990) Para realizar el transporte público entre dos puntos de una ciudad, una compañía ofre-ce sus servicios en las siguientes condiciones: -Si el número de viajeros es menor o igual a 20, el billete valdrá 40 pts. por persona. -Si el número de viajeros es mayor que 20, cada uno deducirá de las 40 pts. tantas como viajeros superen las 20 plazas. a) Obtener y representar gráficamente la función ingresos de la compañía según el número de viajeros; ¿admite función inversa? ¿Por qué?. b) Encontrar el número de viajeros que proporciona el mayor beneficio a la compañía. c) Si la compañía estima que en cada viaje debe ingresar al menos 875 pts., determi-nar el número mínimo y máximo de pasajeros que deben utilizar el transporte.

• Sol.: a) îíì

<-£

=x20six6020xsi40

y ; b) 30 viajeros; c) Entre 25 y 35 viajeros (a.i.)

u II.15 (1990) En una cierta región, un río tiene la forma de la curva:

y x x x= - +14

3 2

y es cortado por un camino dirigido según el eje OX. a) Dibuja la posición del río y el camino, calculando para la curva: dominio de defini-ción, asíntotas no oblicuas, corte con los ejes coordenados, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. b) Tomando como unidad el kilómetro y sabiendo que el precio del terreno es de 300.000 ptas. por hectárea, calcular el valor de la porción del terreno comprendido entre el río y el camino.

• Sol.: b) 107 ptas.

u II.16 (1990) Una empresa editorial ofrece dos tipos de contrato a sus técnicos en ventas, de la for-ma siguiente: Primer tipo de contrato: 5.000 pts. diarias más 100 pts. de comisión por cada ejemplar vendido. Segundo tipo de contrato: 4.000 pts. diarias más 200 pts. de comisión por cada ejem-plar vendido. a) Determinar, en función del número de ejemplares vendidos, cuál de los dos tipos de contrato es más ventajoso para el vendedor durante el primer mes de trabajo (20 días laborables). b) Calcular el número de ejemplares que ha de vender para que los dos tipos de con-trato le proporcionen los mismos ingresos. c) Interpretar gráficamente los resultados anteriores (solución gráfica del ejercicio).

• Sol.: b) 200 libros

u II.17 (1991) Se ha comprobado empíricamente que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo que se esté jugando a través de la expresión:

G(x) = 100x/(x2 + 400) (donde x representa el tiempo de juego expresado en minutos). Se pide: a) ¿Cuanto más tiempo se permanezca jugando es mayor la ganancia que se obtiene? Justificar la respuesta. b) Determinar el tiempo de juego que proporciona la mayor ganancia. c) ¿Puede ocurrir que si se sobrepasa cierto tiempo, el juego dé pérdidas (ganancia negativa)? ¿Por qué?

• Sol.: b) 20 min; c) no

u II.18 (1991) a) Definir el concepto de función primitiva. Sea:

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 54

f x x x( ) cos( )= +2 4 encontrar una función F(x) tal que ¢ ºF x f x( ) ( ) . b) Proponer otra función distinta de F(x) que sea también primitiva de f(x). c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular la siguiente integral:

ôõóp 2/

0dx)x(f

• Sol.: a) x44x2cos

2x2senx

++ ; b) 1x44x2cos

2x2senx

+++ c) 212 -p

u II.19 (1991)

El consumo mensual de naranjas (expresado en kg) de cierta familia se relaciona con el precio de dicho producto (representado por la variable x en pts./kg) según la función:

f x

xx

si x

xsi x

xsi x

( ) =

+< <

- +£ £

-<

ì

í

ïïï

î

ïïï

500 450 100

7 310060

100 400

300250

400

2

a) Estudiar la continuidad de f(x) en (0,+¥). b) Deducir razonadamente que el consumo de naranjas es siempre decreciente con el precio. c) Hallar: lím f x y lím f x

x x® ®+¥+0( ) ( ) .

d) Basándose en los apartados anteriores, representar gráficamente la curva de con-sumo. • Sol.: a) Presenta dos discontinuidades inevitables de salto finito: en x = 100 (salto: 34.9955) y x = 400 (salto: 3); c) +¥

y 0 respectivamente

u II.20 (1991) El gasto mensual en alimentación de las familias de cierta ciudad depende de su renta monetaria según la relación siguiente:

G xx si xx

xsi x( )

,=

+ £ £

+<

ìíï

îï

0 6 10 0 10010024

100

donde la renta y el gasto vienen expresados en miles de pts. a) Basándose en la con-tinuidad, el crecimiento y la existencia de asíntota no oblicua, representar gráficamente G(x). b) Sin hacer ningún calculo, contestar razonadamente si hay alguna familia cuyo gasto mensual en alimentación sea de 66.666 pts.; ¿y de 75.000 pts? c) ¿Hay alguna familia con un gasto mensual en alimentación de 105.000 pts.? ¿Por qué? (NOTA.- Si se precisa trabajar con 100/124, tomar la aproximación 0,80).

• Sol.: b) sí, no; c) no

u II.21 (1991) Los datos de población registrados en Asturias en los años 1976, 1981 y 1986 fueron los siguientes:

Años Habitantes(miles) 76 1143 81 1129 86 1112

Además se sabe que el 70% de la población tenia más de 18 años. Si en el año 1987 hubo elecciones autonómicas, calcular a partir de los datos anteriores el número de electores (personas con más de 18 años).

• Sol.: 775 720 electores

55 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.22 (1991)

Un agricultor tiene una parcela de terreno, uno de cuyos límites es la curva f(x) dada por:

f xx si xx

si x( )

( , ),

/

=+ £+

>

ìíï

îï

0 9 27 20144 78

3020

1 3

Otro límite está situado sobre el eje de abscisas a partir del punto de corte de f(x) y tiene una longitud de 80 m. en sentido positivo. El tercer límite de la parcela está sobre la recta que une los puntos (50,0) y (50,5). a) Representar gráficamente la parcela. b) Si se divide el terreno en dos partes trazando la perpendicular al eje de abscisas en el punto (20,0), para dedicar la más grande a cultivar cereales y la otra patatas; hallar por medio del cálculo integral la superficie que dedica a cada cultivo. c) Enunciar la regla de Barrow. (NOTA: si se precisa calcular (45)1/3 tomar la aproximación 3,56).

• Sol.: b) 133.4 u.s. a cereales y 128.4 a patatas

u II.23 (1991) La tasa de rendimiento de cierto tipo de inversión depende de la cantidad invertida (representada por la variable x en miles de pts.) según la siguiente ley:

r x

xx

si x

xsi x

( ) = +£ £

+<

ì

íïï

îïï

21200

0 100

1001

100

2

2

a) Estudiar la continuidad de la función r(x). ¿Si la cantidad invertida es "ligeramente" superior a 100.000 pts., la tasa de rendimiento que se obtiene es "ligeramente" dife-rente de 1,785? Razonar la respuesta. b) Determinar, si es posible, una asíntota no oblicua de r(x). ¿Hay alguna cantidad a partir de la cual no interesa invertir porque se obtendría una tasa de rendimiento nega-tiva?. Razonar la respuesta.

• Sol.: a) no ;b) y = 0, no

u II.24 (1991) Una parcela de terreno está limitada por la función f(x) = (x + 2)2, por la función g(x) = (490 – 49x)/5 y el eje de abscisas en el intervalo [–2,10]. a) Representar gráficamente la parcela. b) Se parte el terreno siguiendo la recta que pasa por los puntos (5,0) y (5,49). El trozo con un limite curvilíneo se sembrará de trigo con un coste de 500 pts. por m de siem-bra; el otro se sembrará de centeno con un coste de 300 pts./m . Determinar, utilizan-do el cálculo integral, el coste total de la siembra.

• Sol.: b) 93 900 ptas.

u II.25 (1992) Dada la función f(x) = 4x3 + 10x + 8, se pide: a) Calcular una primitiva, F(x), que cum-pla la condición F(1) = 20. b) Aplicar la regla de Barrow para calcular la integral de la función del enunciado, f(x), en el intervalo [1,2].

• Sol.: a) x4 + 5x2 + 8x + 6; b) 38

u II.26 (1992) Un vendedor de enciclopedias recibe como sueldo mensual una cantidad fija de 50.000 pts. más una comisión que depende del número de enciclopedias que venda según la expresión 1000x – 0,25x3 (donde x representa el número de enciclopedias). El vendedor debe correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de 10.000 pts. men-

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 56

suales más otros variables, que estima en 700 pts. por cada enciclopedia vendida. Se pide: a) Obtener la función que recoge el sueldo mensual del vendedor. b) Determinar la función de gastos. c) Obtener la función de beneficios (sueldo menos gastos) del vendedor. d) ¿Cuántas enciclopedias debe vender para obtener el máximo beneficio mensual? Calcular dicho beneficio. • Sol.: a) –0.25 x3 + 1000 x + 50 000; b) 700 x + 10000; c) –0.25 x3 + 300 x + 40000; d) 20 enciclopedias, 44 000 ptas.

u II.27 (1992)

Sea f(x) = 2x4 + sen x + 5. Se pide: a) Calcular la función de la cual f(x) es primitiva. b) Enunciar la regla de Barrow. c) Sea g(x) = 8x3 + cos x. Basándose en los apartados anteriores, calcular la integral de g(x) en el intervalo [0,p/2].

• Sol.: a) 8x3 + cos x; c) p4 8

8

+

u II.28 (1992)

El consumo de bebidas alcohólicas está gravado con cierto impuesto. Empíricamente se ha obtenido que el impuesto pagado, T(x) pts., depende de la cantidad de bebida (x en litros) según la relación siguiente:

T(x) = 1000x/(x + 100) Se pide: a) Deducir razonadamente que el impuesto pagado es creciente con el consumo de bebida. b) Comprobar que la segunda derivada de la función T(x) tiene signo negativo. c) Calcular lím

x®¥T(x). ¿Puede ocurrir que se paguen 3000 pts. de impuesto?

d) Teniendo en cuenta los apartados anteriores, representar gráficamente T(x). • Sol.: c) 1000 ptas., no

u II.29 (1992)

Las ganancias (pts.) que se obtienen en cada momento del tiempo con cierto juego vienen dadas por:

g tt si t

t si t( )

( / )=

£ £

+ <

ìíî

10 0 3010 3 200 30

donde t representa el tiempo (minutos). Se pide: a) Representar gráficamente g(t). b) Calcular el total ganado en los 30 primeros minutos de juego. c) Si se juega durante una hora, ¿cuál es la ganancia total que se consigue?

• Sol.: b) 4500 ptas.; c) 15000 ptas.

u II.30 (1992) Para resolver un problema de Estadística, el estudiante Gandolfo necesita calcular el valor de la función de distribución en el punto 1,645. Cuando consulta las tablas, en-cuentra en ellas la siguiente información:

F(1,64) = 0.9495 ; F(1,65) = 0.9505 ¿Cómo plantea y resuelve Gandolfo su problema?

• Sol.: F(1.645) = 0.95

u II.31 (1992) Un fabricante de ordenadores estima que el precio al que puede vender cada unidad viene dado (en pts) por la expresión 100000 – 0,1x2 , donde x representa el número de ordenadores vendidos mensualmente. Además, el fabricante tiene unos costes fijos de

57 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

3100000 pts y otros variables, que ascienden a 73000 pts por unidad fabricada. Supo-niendo que puede vender todas las unidades que fabrica, se pide: a) Obtener la función de ingresos del fabricante. b) Calcular la función de costes. c) Obtener la función de beneficios (ingresos menos costes). d) Determinar el número de unidades que debe fabricar para hacer máximo su benefi-cio mensual y calcular este beneficio. ¿Cuál es el precio de venta de cada una de las unidades?

• Sol.: a) (105 – 0.1 x2) x; b) 31·105 + 73·103 x; c) –(1/10) x3 + 27·103 x – 31·105; d) 300 ordenadores, 2.3·106 ptas, 91·103 ptas

u II.32 (1992)

El gasto mensual en alimentación (expresado en miles de pts.) de cierto conjunto de familias se relaciona con sus ingresos mensuales (representados por la variable x en miles de pts.) según la función siguiente:

ïî

ïí

ì

<++££+

<£+=

x250si)x/10000(5,32x25,0250x100si35x4,0

100x0si20x5,0)x(G

Se pide: a) Estudiar la continuidad de G(x). b) Explicar razonadamente si el gasto es siempre creciente con los ingresos. c) Hallar lím

x®¥ G(x).

d) Basándose en los apartados anteriores, representar gráficamente la función de gas-to.

• Sol.: c) ¥

u II.33 (1992) El consumo de agua (litros) de cierta fabrica en cada momento del día viene dado por:

C tt si tt si tt si t

( ),

( / )( / )

=

+ £ £

+ < £

- < £

ì

íï

îï

10 0 5 0 66 7 6 6 1230 5 6 12 24

donde t representa el tiempo (horas). Se pide: a) Representar gráficamente C(t). b) Calcular el consumo total de agua que se realiza entre las 8 y las 12 horas. c) Obtener el consumo de agua entre las 12 y las 20 horas. d) ¿Cuál es el consumo total correspondiente al periodo comprendido entre las 8 y las 20 horas?

• Sol.: b) 70.7 l; c) 133.3 l, d) 204 l

u II.34 (1992) El horario de los grandes almacenes "Par de dos" es desde las 10 hasta las 22 horas; la caja registra al cierre unos ingresos de 2500000 pts. ¿Cuál sería el volumen de in-gresos registrados a las 16,2 horas? Justifíquese la respuesta.

• Sol.: 1 291 667 ptas.

u II.35 (1993) Los costes de fabricación (C(x) en ptas.) de cierta variedad de galletas dependen de la cantidad elaborada (x en kg) de acuerdo con la siguiente expresión:

C(x) = 10 + 170x El fabricante estima que el precio de venta de cada kg de galletas viene dado por:

p xx

( ) = -20025

10000

2

en pts

a) ¿El precio de venta disminuye con la cantidad?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 58

b) Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtener la función que recoge sus ga-nancias. c) ¿Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias? d) En la situación óptima, ¿cuál es el precio de venta? ¿qué ganancia obtiene?

• Sol.: b) –(1/400) x3 + 30 x – 10; c) 63.2 kg; d) 190 ptas., 1254.9 ptas.

u II.36 (1993) a) Explicar el concepto de función primitiva. b) Relacionar dicho concepto con la regla de Barrow. c) Sea f(x) = 3x2 + cos x, ¿cuál de las siguientes funciones es primitiva de f(x): F(x) = 3x3 – sen x; G(x) = x3 + sen x + 2? Razonar la respuesta. d) Aplicar los re-sultados anteriores para calcular la integral de f(x) en el intervalo [0,p].

• Sol.: c) G(x); d) p3

u II.37 (1993) La paga mensual que un padre da a su hijo (P(x) en ptas.) depende de su sueldo (x en miles de ptas.), de acuerdo con la siguiente expresión:

P xx

x( ) =

+

100002 50

a) Justificar que la paga del hijo aumenta a medida que lo hace el sueldo del padre. b) Calcular lím P x

x®¥( ). ¿En algún caso la paga superará las 5000 ptas.?

c) Calcular la segunda derivada de P(x). Teniendo en cuenta toda la información ante-rior, representar gráficamente dicha función.

• Sol.: b) 5·103 ptas., no

u II.38 (1993) Un camión tarda habitualmente 8 horas en llevar cierta mercancía desde la ciudad A hasta la ciudad B, estando ambas ciudades unidas por una carretera de 850 km. En el próximo viaje, el camión tiene que servir parte de la mercancía a un cliente de otra ciudad C situada entre aquéllas y que dista de A 425 km. por la misma carretera. Se quiere determinar aproximadamente la hora a la que el cliente de C recibirá su mer-cancía, si el camión sale de A las 6 de la mañana. a) ¿Qué herramienta de cálculo podemos aplicar para resolver el problema? b) Representar gráficamente la solución. c) Calcular dicha hora.

• Sol.: c) 10 a.m.

u II.39 (1994) El rendimiento que se obtiene con cierta inversión -R(x) expresado en miles de ptas.- depende de la cantidad de dinero invertida (x en miles de pesetas) según la función siguiente:

R xx si x

x si xx x si x

( )/,/ ( , )

=

£ £

- < £

+ <

ì

íï

îï

100 0 100012 10 100 50010 0 01 95 500

a) Estudiar los puntos de discontinuidad de R(x). b) Justificar que el rendimiento aumenta a medida que lo hace la cantidad invertida.

• Sol.: a) En x = 100: discontinuidad inevitable de salto finito (1)

u II.40 (1994) En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G(x) en miles de pta., está relacionado con sus ingresos mensuales, x en miles de pta., a través de la siguiente expresión:

G xx si xx

xsi x( )

,

.=

- £ £

+<

ìíï

îï

0 02 1 0 10030

2 2 300100

59 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) Estudiar la discontinuidad del gasto. ¿El gasto en ocio de una familia es sensible-mente distinto si sus ingresos son "ligeramente" inferiores o superiores a las 100.000 pta.? b) Justificar que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos. c) Justificar que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a las 15.000 pta.

• Sol.: a) En x = 100 discontinuidad inevitable de salto finito (0.2), si

u II.41 (1994) Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x) en miles de pta., viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en miles de pta., por medio de la expresión siguiente:

R(x) = –0,001x2 + 0,5x + 2,5 a) Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan. b) ¿Qué rentabilidad obtendría?

• Sol.: a) 250 000 ptas.; b) 65 000 ptas.

u II.42 (1994) La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparación (x expresado en horas) en los siguientes términos:

P x

xsi x

xx

si x( )

,

=£ £

+<

ì

íï

îï3

0 15

20 2 3

15

a) Estudiar el crecimiento de la función. Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar un examen, justificar que no aprobará, esto es, que obtendrá menos de 5 puntos. b) Justificar que la puntuación nunca puede ser superior a 10 puntos.

u II.43 (1994) Sea f(x) una función continua en un cierto intervalo [a, b]. a) Explicar el enunciado de la regla de Barrow y su aplicación. b) Sea f(x) = 3x2 – 6x, justificar cuál de las siguientes funciones:

U(x) = 3x3 + 3x2 ; V(x) = x3 – 3x2 es primitiva de la anterior.

c) Calcular ( )ôôõ

ó-

4

0

2 dxx6x3 .

• Sol.: b) V(x); c) 16

u II.44 (1995) La producción de cierta hortaliza en un invernadero -Q(x) en kg.- depende de la tem-peratura -x en ºC- según la expresión: Q(x) = (x + 1)2/(32 – x). a) Calcular razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernade-ro. b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

• Sol.: a) 32 oC; b) ¥

u II.45 (1995) a) Enunciar la regla de Barrow y comentar su aplicación. b) Sea F(x) = x4 + ax3 + bx; calcular a y b sabiendo que: 1) el punto (1,2) pertenece a la gráfica de F(x); y 2) F(x) es función primitiva de cierta función f(x) cuya integral en el intervalo [1,2] es igual a 10.

• Sol.: a = –1, b = 2

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 60

u II.46 (1995) El tipo de interés anual -I(t) en %- ofrecido por una entidad financiera depende del tiempo -t en años- que se esté dispuesto a mantener la inversión a través de la si-guiente expresión:

I tt

t( ) =

+

9092

a) Calcular razonadamente cuántos años le conviene pactar a un inversor que trate de optimizar el tipo de interés. b) Si una inversión se mantiene a muy largo plazo, ¿el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justificar la respuesta.

• Sol.: a) 3 años; b) no

u II.47 (1995) a) Explicar el concepto de función primitiva. b) Sea f(x) = e2x – 2x2 + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funcio-nes:

g(x) = e2x – 4x + 8 h(x) = 2e2x – 4x c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular:

ôõ

ó-

1

0

x2 dx)x4e2(

• Sol.: b) sí, de h(x); c) e2 – 3

u II.48 (1996) En un colectivo se ha observado que el gasto en cierto producto -G(x) en miles de ptas.- está relacionado con el salario -x en miles de ptas.- por medio de la siguiente expresión:

G xx

x( ) =

+

2012

a) Calcular razonadamente la cuantía del salario a la que corresponde el mayor gasto. b) ¿Cómo se comporta el gasto cuando el salario es suficientemente alto? Razonar la respuesta.

• Sol.: a) 1000 ptas.; b) tiende a anularse

u II.49 (1996) Dada la función f(x) = (x + 1)(3x – 2): a) Calcular una primitiva de f(x). b) Justificar que la función F(x) = x3 + 2x2 + 2 no es primitiva de f(x).

c) Enunciar la regla de Barrow y calcular ôõó -+1

2dx)2x3)(1x( .

• Sol.: a) x3 + (x2/2) – 2x + C; c) –13/2

u II.50 (1996) Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación -C(x) en ptas.- están relacionados con el número de juguetes fabricados -x- a través de la siguiente expresión:

C(x) = 10x2 + 2.000x + 250.000 El precio de venta de cada juguete es 8.000 ptas. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y cos-tes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios?; ¿a cuánto ascenderán estos beneficios?

• Sol.: a) 8 000 x; b) –10 x2 + 6 000 x – 250 000; c) 300 juguetes, 650 000 ptas.

61 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.51 (1996)

Dada la función f(x) = 2xe2x + 1: a) Calcular una primitiva de f(x). b) Justificar que la función F(x) = xe2x + 1 no es primitiva de f(x).

c) Calcular ôõ

ó

-

+

0

2/1

1x2 dxxe2 .

• Sol.: a) C21xe 1x2 +÷÷ø

öççè

æ-+ ; c)

- +e 22

u II.52 (1997) Una recta se corta con la ecuación x = 2 en el punto A(2,8) y su ordenada en el origen es -1. a) Determinar la ecuación de dicha recta. b) Calcular el valor de k para que el punto (k,-10) esté situado sobre la misma.

• Sol.: y = (9/2) x – 1; b) k = –2

u II.53 (1997) En cierto colectivo de hogares se ha observado empíricamente que el gasto mensual en alquiler de películas de vídeo -G(t) en miles de ptas.- depende del tiempo dedicado mensualmente a ver TV -t, en horas- en los siguientes términos:

G tt

t ttt

t

( ) ,.

=

£ <

£ £-

+<

ì

íïï

îïï

0 0 2001 20 10040 10002 100

100

a) Justificar que la función G(t) es discontinua en t = 20. ¿Existe una diferencia impor-tante entre el gasto de los hogares según que el tiempo dedicado a ver TV sea “lige-ramente” inferior o superior a 20 horas? Razonar la respuesta. b) Justificar que en cualquier hogar en que se vean más de 100 horas de TV al mes, el gasto en alquiler de videos supera las 10.000 ptas.

• Sol.: a) sí

u II.54 (1997) a) Explicar el concepto de función primitiva. b) Dada la función f(x) = ax3 + bx + c; calcular los valores de a, b y c sabiendo que: i) F(x) = x4-2x2 + cx es una primitiva de f(x); y ii) la integral de f(x) en el intervalo [ ]01, es igual a 1.

• Sol.: b) a = 4, b = –4, c = 2 u II.55 (1997)

En una empresa, la relación entre la producción (x, expresada en miles de toneladas) y los costes medios de fabricación (C(x), expresados en miles de ptas.) es del tipo

cbxax)x(C 2 ++= . a) Sabiendo que dichos costes ascienden a 43.000 ptas. si la producción es de 1.000

tm, que son 36.000 ptas. si se producen 2.000 tm, y que la derivada segunda de dicha función es igual a 2, determinar la función de costes medios.

b) Obtener razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de C(x). c) A la vista de los resultados del apartado anterior, calcular razonadamente la pro-

ducción óptima de la empresa y sus costes medios. • Sol.: a) 52x10x)x(C 2 +-= ; b) Creciente: (5, ¥), decreciente: [ )5,0 ; c) 5 000 Tm, 27 000 ptas.

u II.56 (1997)

Una parábola corta a la recta x = 4 en el punto A(4,3), a la recta x = 6 en B(6,3) y atra-viesa el eje de ordenadas a la altura 27.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 62

a) Hallar la ecuación de dicha parábola. b) ¿El punto (5,8) pertenece a esa curva?

• Sol.: a) y = x2 – 10 x + 27; b) no

u II.57 (1997) Dada la función f(x) = 2x cos x: a) Calcular una primitiva de f(x). b) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para obtener la integral de f(x) en el intervalo [0,p/2].

• Sol.: a) 2 (x sen x + cos x); b) p – 2

u II.58 (1998) Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15,5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deterio-rando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión (F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años):

F xx x

xx

x( ), ,

=- £ £++

>

ìíï

îï

15 5 11 0 55 45

25

(a) Estudiar la continuidad de la función F. (b) Comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de

la máquina. Justificar que si tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotocopias por minuto.

(c) Justificar que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por minuto.

• Sol.: a) es continua en todo su dominio

u II.59 (1998)

Dada la función 3xax)x(f += , donde a es una constante,

(a) Encontrar una primitiva de f. (b) Si F es una primitiva de f, ¿puede serlo también x2)x(F)x(G += ?

(c) Encontrar a sabiendo que ôõó =2

15.1dx)x(f .

• Sol.: a) 2

2

x2a

2x

- ; b) No; c) a = 0

u II.60 (1998)

Dada la función f(x) = (x + a) cos x, donde a es una constante, (a) Encontrar una primitiva de f. (b) Si F es una primitiva de f ¿puede serlo también G(x) = F(x) + 2x?

(c) Encontrar a sabiendo que f x dx( )/

= -óõô

pp

21

0

2

.

• Sol.: a) (x + a) sen x + cos x; b) No; c) a = 0

u II.61 (1998) Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de manteni-miento diarios son una función de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada. Tales costes (en ptas.) vienen dados por la siguiente expresión (C(x) representa el coste si el volumen de agua (en millones de metros cúbicos) es x):

C(x) = x3 + x2 – 8x + 73 (a) Encontrar el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar

costes.

63 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

(b) Calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación. Si un día la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua ¿cuánto se ha gastado de más respecto del coste mínimo?

• Sol.: a) 4/3 millones m3; b) 66.48 ptas.; 18.52 ptas.

u II.62 (1998) Dada la función ae4)x(f x4 += , donde a es una constante, (a) Justificar si las siguientes funciones son o no primitivas de f:

axe4)x(F x41 += ; axe)x(F x4

2 += .

(b) Encontrar a sabiendo que ôõ

ó=

1

0

4edx)x(f .

• Sol.: a) Si:)x(F;No:)x(F 21 ; b) a = 1.

u II.63 (1998)

Dada la función f(x) = sen (2x) + x sen x, (a) Encontrar una primitiva de f. ¿Existe otra distinta a ella? (b) Justificar que sen x – x cos x – cos (2x) no es primitiva de f.

(c) Encontrar f x dxo

( )/p 2ó

õô .

• Sol.: a) (–1/2) cos 2x – x cos x + sen x; c) 2

u II.64 (1999) Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días), obte-niéndose que:

ïïî

ïïí

ì

>+--

££+=

30x2)15x)(5x(

1251

30x030x

300

)x(T

(a) Justificar que la función T es continua en todo su dominio. (b) ¿Se puede afirmar que cuanto más se entrene un deportista menor será el tiempo

en realizar la prueba? ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba?

(c) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en me-nos de 1 minuto? ¿Y en menos de 2?

• Sol.: b) Si, No; c) No, No

u II.65 (1999)

Dada la función )0x(x1ea)x(f 2

3/x ¹+= , donde a es una constante,

(a) Calcular ò21 dx)x(f en función de a. (b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcular a si F(1) = 0 y F(2) = 1/2

• Sol.: a) 21eea3 33 2 +÷

øö

çèæ - ; b) a = 0

u II.66 (1999)

Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10 años. El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido más beneficios obtenidos, en miles) viene dado por la siguiente expresión (x en años):

10x0116x252)x21()2x()x(F 2 ££++--=

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 64

(a) Determinar los intervalos de tiempo en que el valor de la cartera creció y aquéllos en que decreció.

(b) El individuo retira sus ingresos transcurridos los 10 años. ¿Cuál hubiera sido real-mente el mejor momento para haberlo hecho? ¿Cuánto pierde por no haberlo reti-rado en el momento óptimo?

• Sol.: a) Creció los 8 primeros años, y decreció los 2 siguientes; b) A los 8 años; 172 000 ptas.

u II.67 (1999) Dada la función 2/xex)x(f = , (a) Calcular una primitiva de f.

(b) Calcular ôôõó2

0dx)x(f .

(c) Si F y G son dos primitivas de f, y H = F – G, ¿es posible que la derivada de H sea la función x2?

• Sol.: a) 2 ex/2 (x – 2); b) 4; c) No

u II.68 (2000) El saldo (positivo o negativo) que ha tenido durante los últimos meses una de las cuentas bancarias que posee cierto individuo, viene dado por la expresión (el tiempo, x, en meses; el saldo, f(x), en miles de ptas.):

9x010x84x27x2)x(f 23 ££++-= a) Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en que el saldo creció, y aquél o

aquéllos en que decreció. b) ¿En qué momentos se obtuvieron el saldo más alto y el más bajo? ¿Cuáles fueron

esos saldos? c) ¿Tiene la función de saldo algún punto de inflexión? Esboza un dibujo de dicha

función sin detallar el valor exacto de los puntos de corte con el eje de abscisas. • Sol.: a) Creció: [ )2,0 y ( ]9,7 , decreció: (2,7); b) Más alto: al cabo de 2 meses, 86 000 ptas.; Más bajo: a los 7 meses, •

Sol.: a) creciente: [0, 2) y (7, 9]; decreciente: (2, 7); b) 2 meses: 86 000 ptas.; 7 meses: 39 000 ptas.; c) Sí: ÷÷ø

öççè

æ247,

29

u II.69 (2000)

Sea f(x) = ax cos(x2) + b, donde a y b son constantes. Encontrar a y b sabiendo que la derivada de f en el 0 vale 1, y que:

ôô

õ

ó=

p2

021dx)x(f .

• Sol.: a = 1 y b = 0

u II.70 (2000) Enuncie la regla de Barrow y aplíquela a la función ( )1xe)x(f x += en el intervalo [ ]1,0 .

• Sol.: e u II.71 (2000)

Dada la función îíì

>-£+

=1xsiax31xsi1x

)x(F 2 responda razonadamente las siguientes

cuestiones: a) ¿Para qué valores de a, la función F(x) es continua en x = 1? b) Si F(x) es continua cuando 0xx® entonces no existe )x(Flím

0xx®, ¿es cierto?

• Sol.: a) a = 1; b) No

65 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.72 (2000)

Determine la función primitiva y el área bajo la curva en el intervalo [ ]e,1 , de la fun-ción f(x) = Ln(x).

• Sol.: ( )[ ] c1xLnx +- ; 1

u II.73 (2000)

Determine e identifique los valores óptimos de la función f(x) = x42 ex3 - .

• Sol.: Máximo: ÷÷ø

öççè

æ2e43,

21 ; mínimo: (0, 0)

u II.74 (2000)

Dada la función bexa)x(f 3x2

+= , donde a y b son constantes,

a) Encuentra a y b sabiendo que la derivada de f en el 1 vale 31e35 , y que además:

( )ôõó -=1

0

31 1e23dx)x(f .

b) Encuentra, si existen, dos primitivas de f tales que su diferencia valga 7. • Sol.: a) a = 1; b = 0. b) 32x

1 e23)x(F = y 7e

23)x(F 32x

2 +=

u II.75 (2000)

Una empresa de muebles dispone de un modelo de escritorio de lujo cuya producción es completamente artesanal. El precio de venta de cada escritorio es (en miles de ptas.) de 365. Por otra parte, los gatos de fabricación mensuales dependen del núme-ro de escritorios producidos por la empresa según la siguiente expresión (G(x) repre-senta los gastos mensuales en miles de ptas. si se producen x escritorios):

10x2x)x(G 3 ++= Cada mes la empresa vende todos los escritorios que produce. a) Obtén la expresión de los beneficios mensuales como función del número de escri-

torios producidos, es decir, los ingresos obtenidos por las ventas menos los gastos de fabricación.

b) Encuentra el número óptimo de escritorios que la empresa debería producir men-sualmente para maximizar beneficios.

c) Calcula el máximo beneficio mensual que la empresa puede obtener. Si un mes produce 12 escritorios, ¿cuánto dinero ha dejado de ganar con respecto a un mes en que maximiza beneficios?

• Sol.: a) 10x363x)x(B 3 -+-= . b) 11; c) 2 652 000 ptas. y 34 000 ptas.

u II.76 (2001)

El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en función del tiempo de uso (x, en años) viene dado por la siguiente expresión:

0xx1x35,8)x(f 2 ³

++=

(a) ¿Hay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿Y en que decrece? ¿Cuáles son?

(b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿Cuánto vale? (c) Por mucho que pase el tiempo ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el

producto tenía cuando era nuevo? • Sol.: a) creciente en [0, 1); decreciente en (1, ¥). b) En x = 1; 10. c) No

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 66

u II.77 (2001) Sea bxx)x(f 2 += donde b es una constante. (a) Encuentra b sabiendo que hay una primitiva F de f con F(0) = 2 y F(3) = 20. En-

cuentra también la expresión de F. (b) Dibuja la curva f(x) cuando b = –1 y halla el área delimitada por dicha curva y el eje

de abscisas entre los puntos de abscisa x = 0 y x = 2.

• Sol.: a) b = 2; Cx2b

3x)x(F 23

+×+= . b) 1 u.s.

u II.78 (2001)

La cotización en pesetas de cierta moneda en los últimos 5 años y medio se ajusta bastante bien a la siguiente función (C(t) indica la cotización en el tiempo t medido en años):

( ) ( ) 5,5t059t169t1t)t(C 2 ££+--+-= (a) Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en que la cotización creció, y aquél o

aquéllos en que decreció. (b) ¿En qué momentos hubo una cotización más baja y más alta? ¿Cuáles fueron

esas cotizaciones? (c) ¿Tiene la función C(t) algún punto de inflexión? Esboza un dibujo de dicha función.

• Sol.: a) creció: (1, 5); decreció: [0, 1) y (5, 5.5]. b) 1 año: 43 ptas.; 5 años: 75 ptas. c) Sí: (3, 59)

u II.79 (2001)

Dada la función ( )÷ø

öçè

æ ++=

12x

eax)x(f , donde a es una constante, (a) Encuentra una primitiva de f.

(b) Calcula a sabiendo que ôõó =-

2

28dx)x(f . Justificar que, para ese valor de a,

÷ø

öçè

æ +12x

xe2 no es primitiva de f. • Sol.: a) ( )2axe2

12x

-++

. b) a = 0

u II.80 (2002)

El porcentaje de ocupación de una cafetería entre las 13 y las 21 horas se explica bas-tante bien por la siguiente función (P(x) representa el porcentaje de ocupación a las x horas):

( ) ( ) 21x135542x10151xx55x)x(P 2 ££-++-= (a) Indica los intervalos de tiempo en que la ocupación crece y aquéllos en que decre-

ce. (b) Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanza el porcentaje de ocupación más alto? ¿Y el

más bajo? ¿Cuánto valen? (c) ¿La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto?

• Sol.: a) Crece: [ ) ( ]21,2016,13 È , decrece: (16, 20); b) Máximo a las 16 h (90%), mínimo a las 13 h (9%); c) mínimo relativo en (20, 58) y máximo relativo en (21, 65)

u II.81 (2002)

Dada la función 5xa2ax3)x(f 3

2 ++= (x>0), donde a es una constante,

(a) Encuentra el valor de a sabiendo que cierta función F es una primitiva de f y verifi-ca que F(1) = 6 y F(2) = 42.

(b) Dibuja la función f para el valor de a obtenido en el apartado anterior y encuentra también en ese caso el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2.

• Sol.: a) a = 4; b) 36

67 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.82 (2002)

Según cierta teoría médica el peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo mediante la siguiente expresión (P(t) es el peligro para un tiempo de t minutos):

ïïî

ïïí

ì

>+

-

££

=5t

5t5´05´62t50

5t0t)t(P

2

(a) Estudia la continuidad del peligro como función del tiempo. (b) El peligro del virus ¿crece a medida que permanece más tiempo en el organismo? (c) Por mucho tiempo que lleve en el organismo, ¿puede superar el virus una peligro-

sidad de 95? ¿Y de 100? • Sol.: a) es continua; b) Sí; c) Sí, no

u II.83 (2002)

Dada la función 2x3 exa27x)x(f +-= , donde a es una constante,

(a) Encuentra una primitiva de f. (b) Si a = 0, dibuja la función f para x ³ 0 y encuentra el área limitada por la curva y el

eje X entre x = 2 y x = 4. • Sol.: a)

2x4

e2ax27

4x

+- ; b) 255

u II.84 (2003)

El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma según la siguiente función (el peso P en toneladas; t representa la edad en años de la plancha):

ïî

ïíì

>+

-

££-= 3t

1tt2056

3t0t50)t(P

2

(a) ¿Es el peso una función continua de la edad? Según vaya pasando el tiempo ¿la plancha cada vez aguantará menos peso?

(b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas. ¿Estás de acuerdo?

(c) Esboza un dibujo de la gráfica de P(t) cuidando la concavidad y convexidad de la función.

• Sol.: a) Sí, sí; b) No

u II.85 (2003)

(a) Dada la función )0x(xax25)x(f 2

2 ¹+-= , donde a es una constante, encuentra

una primitiva de f. Posteriormente, encuentra a para que si f ¢ es la derivada de f, entonces 2)1(f -=¢ .

(b) Dibuja la función 2x25)x(f -= , y halla el área limitada por la curva y el eje de abs-cisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 6.

• Sol.: a)xa

3xx253

-- , a = 0; b) 64 u.s.

u II.86 (2003)

La gráfica de velocidad de un autobús en los 6 minutos previos a un accidente quedó recogida en el tacómetro, y se ajusta bastante bien a la siguiente función. V(t) es la velocidad en el tiempo t (t en minutos, de 0 a 6):

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 68

6t0100t2t15t24)t(V 32 ££++-= (a) Especifica los intervalos de tiempo en que la velocidad aumentó y aquéllos en que

disminuyó. (b) Dibuja la gráfica de velocidad, especificando, si los hay, los puntos de inflexión.

¿En qué momentos se alcanza la mayor y menor velocidad? (c) Especifica (si los hay) los máximos y los mínimos relativos y absolutos.

• Sol.: a) Aumentó en: (0, 1) y (4, 6); disminuyó en: (1, 4); b) punto de inflexión: (5/2, 195/2); mayor velocidad: t = 6; menor: t = 4; c) máximo absoluto: en t = 6, relativo: t = 1; mínimo absoluto: t = 4, relativo: t = 0

u II.87 (2003)

(a) Encuentra la primitiva de la función )0x(ex27x)x(f

12x

2 >+-=÷øö

çèæ +

que en el 2 valga

15´5.

(b) Dibuja la función )0x(x27x)x(f 2 >-= y encuentra el área limitada por la curva y el

eje X entre x = 1 y x = 5. • Sol.: a) 21

2x2

e2e2x27

2x

-+++

; b) 92/5 u.s.

u II.88 (2004)

El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pre-tende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la si-guiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:

ïïî

ïïí

ì

>-

££+-=

10tt4´0100t38

10t050t8t)t(P

2

(a) ¿A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no llegará nunca?

(b) Haz un esbozo de la gráfica de la función P a lo largo del tiempo. • Sol.: a) 4° mes; 95%

u II.89 (2004)

(a) Encuentra la primitiva de la función 1x23 e3x27)x(f -+-= que en el 1 valga 26´75. (b) Dibuja la función 3x27)x(f -= y calcula el área limitada por la curva y el eje X

entre 3x -= y 5x = . • Sol.: a) e

23e

23

4xx27 1x24

-+- - ; b) 244 u.s.

u II.90 (2004)

Una cadena de televisión ha presentado un nuevo programa para la franja horaria de las 11 a las 15 horas. El share o porcentaje de audiencia de la primera emisión vino dado por la siguiente función, donde S(t) representa el share en el tiempo t, en horas:

1596t420t36t)t(S 23 +-+-= 15t11 ££ Para que el programa siga emitiéndose el share ha tenido que alcanzar en algún mo-mento el 30%.

(a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció. ¿El programa seguirá emi-tiéndose?

(b) Dibuja la gráfica del share. • Sol.: (a) Creció: [ )14,11 , decreció: ( ]15,14 , no

69 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.91 (2004)

(a) Dada la función 32 xx3xa)x(f -+= , encuentra a para que si f ¢ es la derivada

de f, entonces 10)1(f -=-¢ . (b) Dibuja la función 32 xx3)x(f -= . Encuentra el área limitada por la curva y el

eje X entre x = -1 y x = 2. • Sol.: a) a = 1; b) 21/4 u.s.

u II.92 (2005)

Cada mes, una empresa decide el gasto en publicidad en base a los beneficios que espera obtener dicho mes. Para ello usa la siguiente función, donde G es el gasto en publicidad (en cientos de euros) y x los beneficios esperados (en miles de euros):

ïï

î

ïï

í

ì

>+

+

££-+

=

9xx105400x753

9x06xx26

)x(G

2

2

(a) ¿Es el gasto en publicidad una función continua del beneficio? (b) Indica cuándo crece y cuándo decrece el gasto. (c) Por muchos beneficios que espere ¿el gasto llegará a ser inferior a 4 (cientos

de euros)? • Sol.: a) Si; b) Crece: (0, 6), decrece: (6, ¥); c) Si

u II.93 (2005)

Dada la función 2x4x)x(f += (x>0),

(a) Encuentra la primitiva de f que en el 2 valga 5. (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre

los puntos de abscisa x = 1 y x = 4. • Sol.: a) 5

x4

2x2

+- ; b) 21/2 u.s.

u II.94 (2005)

Un dirigente de cierto partido político afirma que dimitirá si el porcentaje de votantes del partido no alcanza el 20%. Se estima que el porcentaje de participación en la con-sulta será al menos del 40% y que el porcentaje de votantes al partido dependerá del porcentaje de participación según esta función (P indica el porcentaje de votantes al partido y x el de participación):

100x4050x42́x0450́x000250́)x(P 23 ££+-+-= (a) Indica cuándo crece el porcentaje de votantes al partido y cuándo decrece. Según

la función, ¿es posible que el dirigente no tenga que dimitir? (b) Dibuja la gráfica de la función.

• Sol.: a) Crece en (40, 80) y decrece en (80, 100], No; b)

u II.95 (2005) (a) Encuentra )2(f ¢ donde f ¢ es la derivada de la función f dada por:

)0x(12xx8x4)x(f 22 ¹--+=

(b) Dibuja la función 12xx8)x(f 2 --= y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre 1x -= y 2x = .

• Sol.: a) 3)2(f =¢ ; b) 43 u.s.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 70

u II.96 (2006)

Un ayuntamiento está realizando un estudio sobre el nivel de contaminación acústica en la ciudad. Un primer plan de choque afectará a aquellos lugares donde se llegue a los 65 decibelios en horario diurno. En un barrio de la ciudad se han realizado medi-ciones del nivel de ruido en la franja horaria más conflictiva, modelándose el nivel de ruido mediante la siguiente función (R indica el ruido en decibelios y x el tiempo entre las 9 y las 14 horas de un día laborable):

14x9x2x69x7802943)x(R 32 ££-+-= (a) Indica cuándo crece el nivel de ruido y cuándo decrece. (b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Se debería iniciar un plan de choque en ese ba-

rrio? (c) Puesto que para x = 11.5 la segunda derivada de R vale 0, ¿qué le sucede a la

gráfica en x = 11.5? • Sol.: a) crece de 10 a 13 y decrece de 9 a 10 y de 13 a 14; b) si; c) tiene un P.I.

u II.97 (2006)

(a) Si f ¢ es la derivada de la función dada por )0x(150x53x1x)x(f 2

2 ¹+-+= ,

calcula )5.0(f -¢ . (b) Dibuja la función 150x53x)x(f 2 +-= y calcula el área limitada por la curva y el

eje X entre x = 2 y x = 4. • Sol.: a) 38)5.0(f -=-¢ ; b) 47 u.s.

u II.98 (2006)

Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obte-nido es x (tanto la cantidad como el capital en euros):

ïî

ïíì

³++

+

<£= 600x

x1́01640x5640040

600x00)x(R

(a) ¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido? (b) ¿Decrece alguna vez la cantidad reinvertida al aumentar el capital obtenido?

Por muy grande que sea el capital obtenido ¿puede la cantidad reinvertida su-perar los 1000 euros?

(c) Dibuja la gráfica de la función.

• Sol.: a) No (discontinuidad de salto finito en 600x = ); b) No, no

u II.99 (2006)

Dada la función 23 x81x)x(f -= , (a) Si f ¢ representa la derivada de f, encontrar una primitiva de f verificando que

)54(f)4(F ¢= . (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = -4 y

x = 4. • Sol.: a) 1664x27

4x)x(F 34

+-= ; b) 3456 u.s.

u II.100 (2007)

La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función (P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la cons-

71 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

trucción). Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo.

ïî

ïíì

>--

££+=

1tt2

1tt81t0t2

)t(P2

2

2

(a) ¿Es la profundidad una función continua del tiempo? (b) ¿Disminuirá alguna vez la profundidad? Por mucho tiempo que pase ¿será necesa-

rio elevar la altura del paseo por causa de la profundidad de la capa de arena? (c) Dibuja la gráfica de la función.

• Sol.: (a) Si; (b) No, No.

u II.101 (2007) (a) Encuentra )2(f -¢ donde f ¢ es la derivada de la función dada por

)0x(x2xx4)x(f 3

2 ¹+-= .

(b) Dibuja la función 2xx4)x(f -= y calcula el área limitada por la curva y el eje X en-tre x = 3 y x = 5.

• Sol.: (a) 61/8; (b) 4 u.s.

u II.102 (2007) La cantidad que ingresa mensualmente una empresa en una entidad bancaria depen-de del saldo que presente su cuenta a fin de mes, y la calcula de acuerdo a la siguien-te función. I(x) es el ingreso cuando el saldo es x (ambas cantidades en miles de eu-ros):

ïî

ïíì

>++

££-=

60xx1020x3750

60x0x025´04)x(I

(a) ¿Es la cantidad ingresada una función continua del saldo a fin de mes? (b) ¿Decrece alguna vez la cantidad ingresada al aumentar el saldo a fin de mes?

Aunque el saldo a fin de mes crezca mucho. ¿ingresará alguna vez la empresa me-nos de 100 euros? ¿Y menos de 400?

(c) Dibuja la gráfica de la función. • Sol.: (a) No, presenta una discontinuidad inevitable, de salto finito, en x = 60; (b) Sí, siempre; No; Sí.

u II.103 (2007)

Sea la función 12x7x)x(f 2 -+-= . Si f ¢ representa su derivada, (a) Encontrar una primitiva F de f verificando que )6(f)6(F ¢= . (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y

x = 4´5. • Sol.: (a) 13x12x

27

3x)x(F 23

+-+-= ; (b) 1/3 u.s.

u II.104 (2008)

En la construcción de un túnel el porcentaje de roca fragmentaria o de mala calidad viene dado por el siguiente modelo matemático. R(x) representa dicho porcentaje cuando la distancia a la boca del túnel es x (en kilómetros). Si en algún tramo de la perforación el porcentaje supera el 40%, se deberán reforzar las medidas de sosteni-miento y seguridad de la estructura.

7x015x18x5,43x)x(R 23

££++-=

(a) Indica en qué tramos de la perforación el porcentaje crece y en cuáles decrece. (b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Será necesario reforzar las medidas mencionadas?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 72

(c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de infle-xión de la curva.

• Sol.: (a) Crece: [ ) ( )7,6y3,0 , Decrece: (3, 6); (b) No; (c) Máximo: (3, 37.5), Mínimo: (6, 33), Punto inflex.: (4.5, 32.25).

u II.105 (2008)

(a) Si f ¢ es la derivada de la función dada por )0x(x3x6x2)x(f 4

23 ¹+-= , calcula

)2(f -¢ . (b) Dibuja la función 23 x6x2)x(f -= . Obtén el área que limitan la curva y el eje X entre

x = 2 y x = 4. • Sol.: (a)

8387 ; (b) 19 u.s.

u II.106 (2008)

Un pueblo está sumergido bajo las aguas de un embalse. Si el volumen de agua baja hasta un nivel del 15%, es posible ver la torre de la iglesia. V(x) representa dicho nivel (en %) en los últimos 4 meses y medio (x es tiempo, en meses, desde el inicio de la medición):

5´4x034x24x9x)x(V 23 ££+-+-= (a) Indica en qué intervalos de tiempo el volumen de agua crece y en cuáles decrece. (b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Llegó a verse la torre? (c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de infle-

xión de la curva. • Sol.: (a) Crece: (2, 4), Decrece: [ ) ( ]5.4,42,0 ! ; (b) Sí; (c) Máximo absoluto: (0, 34), máximo relativo: (4, 18), mínimo

absoluto: (2, 14), mínimo relativo: (4.5, 17.125), punto inflexión: (3, 16).

u II.107 (2008) Sea la función x6x3)x(f 2 -= . Si f ¢ representa su derivada, (a) Encuentra una primitiva F de f verificando )3(f)2(F ¢= . (b) Dibuja la función f. Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3.

• Sol.: (a) 16x3xF 23 +-= ; (b) 6 u.s.

u II.108 (2009) La temperatura de una habitación entre las 17 horas y las 20 horas de cierto día queda descrita bastante bien a partir de la siguiente función (T(x) representa la temperatura a las x horas):

20x1721243xx342

2x37)x(T

32££+--=

(a) Indica los intervalos de tiempo en que la temperatura subió y aquellos en que bajó. (b) Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanzan la temperatura más alta y la más baja?

¿Cuánto valen? (c) ¿La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto? • Sol.: (a) Subió: (18, 19), Bajó: )20,19()18,17( ! ; (b) Más alta (18.8º) a las 17h, más baja (17.3º): a las 20h; (c) máxi-

mo relativo: (19, 18.17), mínimo relativo: (18, 18).

u II.109 (2009)

Dada la función 22 xxa)x(f += (x>0), donde a es una constante,

(a) Si se supiera que 1)2(f =¢ , donde f ¢ es la derivada de f, ¿cuánto valdría a? (b) Dibuja la función f si a = 16 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre

x = 2 y x = 3. • Sol.: (a) a = 3; (b) 9 u.s.

73 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.110 (2009) Entre 2000 y 5000 revoluciones por minuto, la potencia de un motor viene dada apro-ximadamente por la siguiente función. P(x) es la potencia en caballos de vapor para x miles de revoluciones por minuto:

5x284x144x90x12)x(P 23 ££+-+-= (a) ¿Crece siempre la potencia cuando las revoluciones del motor aumentan? (b) Dibuja la gráfica de la función. ¿A qué revoluciones se alcanza la mayor potencia? (c) ¿Tiene la curva de potencia algún punto de inflexión?

• Sol.: (a) No, a partir de 4000 rpm la potencia disminuye; (b) 4000 rpm; (c) Sí: ÷ø

öçè

æ 99,25 .

u II.111 (2009)

Sea la función 2x15)x(f += (x>0). Si f ¢ representa su derivada,

(a) Calcula )2(f ¢ . (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2.

• Sol.: (a) 41

- ; (b) .s.u211

u II.112 (2010)

Dada la función 1x)x(f 2 -= . a) Encuentra la primitiva F de f verificando que 10)3(F = . b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y

x = 2. • Sol.: a) 4x

3x)x(F3

+-= ; b) 2 u.s.

u II.113 (2010)

Si f(x) representa el coste medio (en €) por kg de alimento preparado en una determi-nada empresa para una jornada en la que se han producido x kg de alimento, se tiene que:

x9x2)x(f ++= , x > 0

a) Dibuja la gráfica de la función. ¿Aumenta alguna vez el coste medio? ¿Cuál debe ser la cantidad de producto que se debe preparar en una jornada para minimizar el coste medio por kg de alimento?

b) Será necesario un reajuste del proceso si no es posible conseguir un coste medio menor de 10 €. ¿Se necesita reajustar el proceso?

• Sol.: a) Sí, 3 kg; b) No.

u II.114 (2010) La temperatura de un plato viene dada en función del tiempo que lleva elaborado a través de la expresión (f(x) representa la temperatura en ºC a los x minutos):

ïî

ïíì

>+

££-= 5xsi

x3020

5x0six656)x(f

a) Dibuja la gráfica de la función. ¿En qué instante de tiempo la temperatura del plato es máxima?

b) El plato debe ser recalentado si su temperatura baja de los 20ºC. Por mucho tiempo que pase desde su elaboración, ¿será necesario recalentar el plato?

• Sol.: a) 0 s; b) No.

u II.115 (2010)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 74

Dada la función x4x)x(f 2 -= . a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 0. b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 1 y x = 7. • Sol.: a) 9x2

3x)x(F 23

+-= ; b) 40 u.s.

u II.116 (2010)

Dada la función 2xx340)x(f --= con 0x ³ . a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(3) = 100. b) Dibuja la función f y calcula el área comprendida por la curva y el eje X entre x = 4 y

x = 6. • Sol.: a)

25x40x

23

3x)x(F 23

++--= ; b) 13 u.s.

u II.117 (2010)

Un depósito de agua tiene un ciclo de llenado y vaciado que dura 120 minutos. Si f(x) representa la altura del agua (en metros) si han transcurrido x minutos del ciclo, se tiene que:

( )

ïïî

ïïí

ì

££-

<£-

=

120x60si10x

1200

60x0sixx1203601

)x(f

2

a) ¿Es la altura una función continua del tiempo? b) ¿En qué momento del ciclo la altura del agua empieza a decrecer?

• Sol.: a) Sí; b) 60 min.

u II.118 (2010) La ganancia que produce una máquina que dura 9 años depende del tiempo que lleva funcionando, a través de la siguiente expresión (f(x) representa la ganancia en euros a los x años):

9x0,x30x270)x(f 32 ££-= a) La ganancia producida por la máquina, ¿crece siempre a medida que va pasando el

tiempo? b) Determina el tiempo en el que la máquina produce la mayor ganancia a la empresa.

¿Cuánto vale dicha ganancia? • Sol.: a) No; b) 6º año, 3 240 €.

u II.119 (2010)

Dada la función 1x)x(f 2 += . a) Encuentra una primitiva F de f verificando que F(3) = 10. b) Representa la función f(x) y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre

x = 3 y x = 6. • Sol.: a) 2x

3x)x(F3

-+= ; b) 66 u.s.

u II.120 (2011)

La velocidad de un coche de carreras viene dada por la siguiente expresión:

ïî

ïíì

>-

££++=

3xsix450350

3x1six6x12110)x(f

2

75 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

donde x representa el tiempo, en segundos, y f(x) representa la velocidad del coche, medida en Km/h. a) ¿Es la velocidad una función continua del tiempo? b) ¿Disminuye la velocidad del coche en algún instante? ¿Se podrían alcanzar los 350

Km/h de velocidad con este coche? • Sol.: a) Si; b) No, No.

u II.121 (2011)

Dada la función 8x6x)x(f 2 +-= , a) Encuentra la primitiva F de f verificando que 10)3(F = . b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 3 y x = 5. • Sol.: a) 4x8x3

3x)x(F 23

++-= ; b) 2 u.s.

u II.122 (2011)

Un proveedor cobra el aceite según el volumen del pedido. Así, la función que relacio-na el importe del pedido con el volumen del mismo es (f(x) representa el importe, en euros, de un pedido de x litros de aceite):

îíì

£+<<

=x30si30x230x0six3

)x(f

a) ¿Es el importe una función continua del volumen del pedido? b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y represéntala

gráficamente. • Sol.: a) Si; b) Siempre creciente (de 0x = a ¥=x ).

u II.123 (2011)

Dada la función 10x6x3)x(f 2 +-= , a) Encuentra la primitiva F de f verificando que 10)1(F = . b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 2 y x = 3. • Sol.: a 8x10x3x)x(F 23 -+-= ; b) 14 u.s.

u II.124 (2011)

Dada la función x2x)x(f 2 -= , a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(6) = 40. b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 0 y x = 4. • Sol.: a) 4x

3x)x(F 23

+-= ; b) 4 u.s.

u II.125 (2011)

Para un determinado modelo de coche la relación existente entre la velocidad a la que circula y el consumo viene dada a través de la siguiente expresión (f(x) representa el consumo en litros cada 100 km a una velocidad de x km/h):

x90

90x2)x(f ++= , x>10

a) Dibuja la gráfica de la función. ¿Cuál es la velocidad óptima a la que se debe circu-lar para consumir la menor cantidad de combustible posible?

b) ¿En algún instante el consumo aumenta al aumentar la velocidad? ¿Es posible conducir con un consumo de 3 litros cada 100 km?

• Sol.: a) 90 km/h; b) Sí, No.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 76

u II.126 (2011) Según un estudio sobre la evolución de las reservas de petróleo en el mundo, pode-mos estimar la cantidad de petróleo disponible en los próximos años, en millones de toneladas, mediante la función:

1x140)x(f+

= , x>0,

donde x representa el tiempo transcurrido, en años, desde el momento actual. a) ¿Aumentará en algún momento la cantidad de petróleo disponible? Dibuja la gráfica

de la función. b) Calcula la reserva actual (x = 0) de petróleo y la prevista para dentro de 13 años.

• Sol.: a) No; b) 140 y 10 millones toneladas, respectivamente.

u II.127 (2011)

Dada la función 2x11)x(f -= ,

a) Encuentra la primitiva F de f verificando que 3)1(F = . b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 1 y x = 2. • Sol.: a) 1

x1x)x(F ++= ; b) 1/2 u.s.

u II.128 (2012)

La energía que produce una placa solar viene descrita por la siguiente curva en fun-ción del tiempo transcurrido desde que amanece (f(x) representa la energía producida a las x horas de haber amanecido):

ïî

ïíì

£<

££-= 12x8si

x1024

8x0sixx10)x(f

2

2

a) Estudia la continuidad de la función f en su dominio. b) ¿En qué momento del día la placa produce más energía? ¿Cuánto produce en ese momento?

• Sol.: a) Es continua en todo su dominio; b) A las 5 h, 25 unidades.

u II.129 (2012) Dada la función x12x)x(f 3 -= , a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1. b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X

entre 2x -= y 2x = . • Sol.: a) 21x6

4x)x(F 24

+-= ; b) 40 u.s.

u II.130 (2012)

Dada La función 4xx5)x(f 2 --= , a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 2. b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje

X entre 2x = y 6x = . • Sol.: a)

21x4x

31x

25)x(F 32 +--= ; b) 12 u.s.

u II.131 (2012)

El tiempo que un empleado tarda en realizar una tarea varía durante los cuatro prime-ros meses de contrato según su experiencia. Así, la función que relaciona el tiempo empleado en realizar la tarea con la experiencia del operario es (f(x) representa el

77 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

tiempo, en horas, que tarda en realizar la tarea un empleado que lleva contratado un tiempo x, medido en meses):

ïî

ïíì

£<+-

£<-= 4x2si4)4x(

2x0six12)x(f 2

2

a) Representa gráficamente la función f. ¿Es el tiempo necesario para realizar la tarea una función continua del tiempo de experiencia?

b) ¿En qué momento el tiempo necesario para realizar la tarea es mínimo? ¿Cuánto tiempo le lleva finalizar la tarea en ese instante? ¿Consigue el empleado finalizar la tarea en menos de 3 horas en algún momento durante los primeros cuatro meses de contrato?

• Sol.: a) Sí; b) A los 4 meses, 4 h, No.

u II.132 (2012) Un dispositivo de 10 años de duración tiene una tasa de fallos que depende del tiempo que lleve en funcionamiento a través de la expresión (f(x) representa la tasa de fallos en el instante x, medido en años):

10x0,200x69x103x)x(f 23

££+-+= .

a) Indica el intervalo de tiempo en el que la tasa de fallos crece y aquel en el que de-crece.

b) ¿Cuándo se alcanza la tasa de fallos más baja? ¿Cuánto vale? • Sol.: a) Crece: [ )3,0 , decrece: ( ]10,3 ; b) 3 años, 92 u.

u II.133 (2012)

Dada la función x3)x(f -= , se pide: a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) = 2. b) Representar la función f y calcular el área limitada por la curva f y el eje X entre

x = 0 y x = 2. • Sol.: a) 2

2xx3F2

+-= ; b) 4 u.s.

u II.134 (2012)

Dada la función 2x4)x(f -= , se pide: a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(3) = 5. b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 1 y x = 3. • Sol.: a) 2

3xx4F3

+-= ; b) 4u.s.

u II.135 (2012)

Un modelo simplificado de la altura a la que se encuentra un proyectil conduce a la siguiente expresión (f(x) representa la altura, en metros, a la que se encuentra el pro-yectil a los x segundos de ser lanzado):

24x0,x101x

250250)x(f ££-+

-=

a) Dibuja la gráfica de la función. ¿En qué instante el proyectil empieza a caer? b) ¿Podríamos derribar con él un objeto que vuela a 250 m de altura?

• Sol.: a) A los 4 s; b) No.

u II.136 (2013) La temperatura de un horno viene descrita por la siguiente curva en función del tiempo que lleva encendido (f(x) representa la temperatura en ºC a los x minutos):

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 78

0x,10x200x900)x(f >

++

= .

a) Representa gráficamente la función f. ¿Disminuye la temperatura del horno en al-gún instante?

b) Sabiendo que los materiales del horno se deterioran si ésta alcanza los 1000ºC, ¿habría que apagar el horno en algún momento para que no sufra daños?

• Sol.: a) No; b) No.

u II.137 (2013) Dada la función 2x2x4)x(f -= , se pide: a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(6) = 0. b) Dibujar la gráfica de la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X

entre x = 0 y x = 4. • Sol.: a) 72x

32x2F 32 +-= ; b) 16 u.s.

u II.138 (2013)

Dada la función 3/xe)x(f = , se pide: a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(0) = 4. b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 0 y x = 1. • Sol.: a) 1e3F 3/x += ; b) 19.13e3 3 @- u.s.

u II.139 (2013)

La temperatura (en ºC) de una pieza viene dada por la función:

0xcon,5x24x310)x(f >

++

= .

donde x representa el tiempo en horas desde su fabricación. a) Representa gráficamente la función f. ¿Disminuye la temperatura de la pieza en

algún instante? b) ¿Cuál es la temperatura inicial a la que se fabrica la pieza? Sabiendo que la pieza

se deteriora si alcanza los 20ºC, ¿hay riesgo de que la pieza se deteriore? • Sol.: a) No; b) 8ºC, No.

u II.140 (2013)

Se lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de una torre. La trayectoria que describe la pelota viene dada por la siguiente expresión (f(x) representa la altura a la que se encuentra la pelota, en metros, y x es el tiempo transcurrido, en segundos, desde su lanzamiento):

60x5x20)x(f 2 +-= , 0x ³ . a) Dibuja la gráfica de la función f. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y

en qué momento lo hace? b) ¿Desde qué altura se lanza la pelota? ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en caer al

suelo? • Sol.: a) 80 m, a los 2 s; b) 60 m, 6 s.

u II.141 (2013)

Dada la función x2)x(f = , se pide:

a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) = 2. b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje

X entre x = e y x = e2. • Sol.: a) 2xL2F += ; b) 2 u.s.

79 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.142 (2013)

Dada la función 3x2x8)x(f -= , se pide: a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(2) = 9. b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 1 y x = 3. • Sol.: a) 1

2xx4F4

2 +-= ; b) 17 u.s.

u II.143 (2013)

El rendimiento de un estudiante en un examen de una hora de duración viene dado por la siguiente expresión (f(x) representa el rendimiento, en tanto por ciento, en el instante x, medido en horas):

îíì

£<-££-

=1x6'0si)x1(1806'0x0si)x1(x300

)x(f .

a) ¿Es el rendimiento una función continua del tiempo? b) ¿En qué momentos aumenta y en qué momentos disminuye el rendimiento?

¿Cuándo obtiene el mayor rendimiento y cuál es ese rendimiento? • Sol.: a) Si; b) Aumenta: (0, 1/2), disminuye: (1/2, 1), a la media hora, 75%.

u II.144 (2014)

Sea la función definida por:

ïïï

î

ïïï

í

ì

³-

<£+×

<-+

=

1xsi3x1

1x0sibxa

2

0xsix2x1

)x(f2

a) Determina los valores de a y b para que sea una función continua en todo su domi-nio.

b) Considerando los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f y represéntala gráficamen-te.

• Sol.: a) 1a -= , b = 4; b) Creciente: )1,(-¥ , decreciente: ),1( ¥ .

u II.145 (2014)

Dada la función 1)x2(

9)x(f 2 -+= , se pide:

a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(1) = 1. b) Dibujar la gráfica de la función f en el intervalo [ )¥- ,1 y calcular el área limitada por

la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2. • Sol.: a) 5x

x29F +-+

-= ; b) 43 u.s.

u II.146 (2014)

Dada la función 1x1)x(f-

-= , se pide:

a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(5) = 1. b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el

eje X entre x = 2 y x = 5. • Sol.: a) 51x2F +--= ; b) 2 u.s.

u II.147 (2014)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 80

La función de costes de una factoría se puede estimar mediante la expresión: 100x12x10x)x(f 23 ++-=

Donde x representa la cantidad producida de determinado artículo, con lo que 0x ³ . a) ¿Disminuye el coste alguna vez? Representa gráficamente la función f. b) Determina la cantidad de artículo producida cuando el coste es mínimo. ¿Cuánto

vale dicho coste? c) ¿Cuánto vale el coste si no se produce nada de ese artículo?

• Sol.: a) Disminuye en el intervalo: (2/3, 6); b) 6 u., 28 u.; c) 100 u.

u II.148 (2014) Dada la función 3xax2)x(f ×+×= , se pide: a) Encontrar el valor de a que verifica que 4)1(F = y F(2) = 22, donde F denota una

primitiva de f. b) Suponiendo que a = 4, representar gráficamente la función f y calcular el área limi-

tada por la curva y el eje X entre 1x -= y x = 1. • Sol.: a) 2xxF 42 ++= ; b) 4 u.s.

u II.149 (2014) La producción (f) de cierta hortaliza en un invernadero depende de la temperatura (x, en ºC) según la función:

)x32()1x()x(f 2 -+= con 32x0 ££ . a) Dibuja la gráfica de la función f. ¿Cuál es la temperatura óptima que debe tener el

invernadero para maximizar la producción? ¿A cuánto asciende la producción de hortalizas a dicha temperatura?

b) ¿Llegaría alguna vez la producción a sobrepasar el valor 5500? • Sol.: a) 21ºC, 5324 u.; b) No.

u II.150 (2014)

Dada La función )5x2()1x()x(f 2 --= , se pide: a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(2) = 1. b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje

X entre x = 0 y x = 2. • Sol.: a) 3x5x6x3

2xF 234

+-+-= ; b) 2 u.s.

u II.151 (2014) La atención ante un anuncio de televisión (en una escala de 0 a 100) de 3 minutos de duración se comporta según la función:

40x40x10)x(f 2 ++-= Donde x representa los minutos emitidos de anuncio, con lo que 3x0 ££ . a) Representa gráficamente la función f en el intervalo [ ]3,0 . b) ¿A cuántos minutos de comenzar el anuncio se presta la máxima atención? ¿Y

cuándo se presta la mínima? c) ¿Qué nivel de atención se tiene justo al final del anuncio?

• Sol.: b) 2 min y 0 min respectivamente; c) 70 u.

u II.152 (2015) El banco Ahorrando ha hecho un estudio sobre el tiempo (en minutos) que dedican sus empleados a los clientes en función de la edad y ha obtenido la siguiente función para clientes entre 18 y 70 años:

îíì

£<-+-££+-

=70x50si3750x134x50x18si300x210/x)x(f 2

2

a) Estudia y representa la función f. ¿Es continua para x = 50?

81 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

b) ¿A qué edad los clientes requieren más tiempo de atención? ¿A qué edad requie-ren el menor tiempo?

• Sol.: a) Si; b) 67 y 18 años respectivamente.

u II.153 (2015) Si x representa el volumen de producción de una fábrica, el coste marginal de la mis-ma viene dado por la función 2x15x83)x(f ++= . Se pide: a) Encontrar la función del coste total de F, si se sabe que dicha función viene dada

por la primitiva F de f que verifica que F(0) = 100. b) Estudiar y representar gráficamente la función f en el intervalo [ )¥,0 . Calcular el

área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 1. • Sol.: a) 100x3x4x5F 23 +++= ; b) 12 us.

u II.154 (2015)

El salario de un trabajador se relaciona con el tiempo que ha realizado cursos de for-mación tal como sigue:

ïïî

ïïí

ì

£++

+

<£+<£

=

x3si2x5x691890

3x1six1009001x0si1000

)x(f

Donde x representa el tiempo, en meses, que ha realizado dichos cursos y f(x) el suel-do mensual que cobra. a) Estudia y representa gráficamente la función f. Comenta dicha gráfica indicando

cuál es el sueldo mínimo que cobra y cómo va evolucionando (aumentando o dis-minuyendo) el sueldo con los meses de formación.

b) Un trabajador ¿puede llegar alguna vez a cobrar 1500 €? ¿Y 1600 €? En caso de que alcance alguno de estos dos sueldos, indica cuántos meses de formación ha-bría recibido. • Sol.: a) 1 000 €, aumenta de forma continua excepto en x = 3 donde se produce un salto de 105.6 €; b) Si, no, 15

meses para cobrar 1 500 €.

u II.155 (2015)

La función de costes marginales de una empresa es 2)1x(10)x(f+

= , se pide:

a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(4) = 0. b) Estudiar y representar gráficamente la función f. Calcula el área limitada por la cur-

va y el eje X entre x = 0 y x = 1. • Sol.: a) 2

1x10F ++

-= ; b) 5 us.

u II.156 (2015) La temperatura de cierto proceso químico se puede relacionar con el tiempo mediante la siguiente expresión (f(x) representa la temperatura, en grados centígrados, y x es el tiempo transcurrido, en minutos, desde que se inicia el proceso):

0x,x2x)x(f 2 >+= . a) Estudia y representa gráficamente la función f. ¿Disminuye en algún momento la

temperatura? b) El proceso se detendrá por razones de seguridad si la temperatura sube de 120 ºC.

¿Será necesario detener el proceso en algún instante de tiempo? • Sol.: a) No; b) Si: en el minuto 10.

u II.157 (2015)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 82

Dada la función 2x3x)x(f 2 +-= , se pide: a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(3) = 2. b) Estudiar y representar gráficamente la función f. Calcular el área limitada por la cur-

va y el eje X entre x = 1 y x = 3. • Sol.: a)

21x2x

23

3xF 23

++-= ; b) 1 u.s.

u II.158 (2015)

Dada la función xx)x(f 2 -= , se pide: a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(6) = 50. b) Estudiar y representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la

curva y el eje X entre x = 0 y x = 2. • Sol.: a) 4

2x

3xF

23

--= ; b)1 u.s.

u II.159 (2015)

En un restaurante han estudiado el dinero que los clientes gastan en cenas en función de la edad. El gasto estimado en euros viene dado por la siguiente función:

65x18,5x330x)x(f2

££-+-=

Donde x representa la edad, en años, del cliente. a) ¿Disminuye el gasto estimado a alguna edad? b) ¿A qué edad los clientes tiene un gasto estimado mayor? ¿Cuánto se estima que

gastan a esa edad? ¿A qué edad tienen un gasto estimado menor? c) Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [ ]65,18 .

• Sol.: a) Si, a los 45 años; b) 45 años, 62.5 €, 18 años.

u II.160 (2016) El beneficio mensual de una empresa (f), en miles de euros, se relaciona con las tone-ladas de producto vendido (x) tal como sigue:

ïï

î

ïï

í

ì

<

£<+-

=x10si1805

10x0si18004x5x10

)x(f

2

a) Estudia y representa gráficamente la función f. Comenta dicha gráfica indicando cuál es el beneficio mensual mínimo y cómo evoluciona (aumenta o disminuye) el beneficio según la cantidad de producto vendido.

b) ¿Puede llegar alguna vez a tener unos beneficios de 1900 miles de euros? ¿Y de 1815 miles de euros? En caso de que alcance alguno de estos dos beneficios, indi-ca cuántas toneladas de producto habría vendido.

Sol.: a) 1775 miles €, ),10(://)10,4(://)4,0(: ¥®¯­ ; b) No, Si: 2 y 6 t.

u II.161 (2016)

La función de costes marginales de una empresa es 2)2x(

20)x(f+

= , se pide:

a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(3) = 0. b) Estudiar y representar gráficamente la función f. Calcular el área limitada por la cur-

va y el eje X entre x = 0 y x = 3. Sol.: a) 4

2x20)x(F ++

-= ; b) 6 u.s.

83 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.162 (2016) La propensión marginal al consumo viene dada por la función f con x01'06'0)x(f -= , donde x representa los ingresos. Se pide: a) Encontrar la función de consumo F, si se sabe que dicha función viene dada por la

primitiva F de f que verifica que F(0) = 0’2. b) Estudiar y representar gráficamente la función f en el intervalo [ ]60,0 . Calcular el

área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2. Sol.: a) 2.0x6.0x005.0)x(F 2 ++-= ; b) 0.585 u.s..

u II.163 (2016)

La función de costes de una factoría, se puede estimar mediante la expresión: 2xx640)x(f +-= ,

donde x representa la cantidad producida de determinado artículo, con lo que 0x ³ . a) ¿Disminuye el coste alguna vez? Determina la cantidad producida de dicho artículo

cuando el coste es mínimo. ¿Cuánto vale dicho coste? b) ¿Cuánto vale el coste si no se produce nada de ese artículo? c) Estudia y representa gráficamente la función f.

Sol.: a) Si, 3 unidades, 31 unidades monetarias; b) 40 u.m.. u II.164 (2016)

Tras un estudio detallado de la producción de una fábrica se ha determinado que el rendimiento de un obrero, medido en %, dentro de su turno de trabajo se puede apro-ximar por la función 2t6t48)t(f -= , donde t representa el tiempo, en horas, que el obrero lleva trabajando en esa jornada, con lo que 8t0 ££ . a) ¿Es alguna vez el rendimiento nulo? ¿En qué momentos? b) ¿Cuándo aumenta y/o disminuye el rendimiento? ¿Cuándo se obtiene el rendimien-

to máximo y qué porcentaje está rindiendo en ese momento? c) Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [ ]8,0 .

Sol.: a) Antes de empezar la jornada (t =0) y al acabar la misma (t = 8); b) )4,0(:­ y )8,4(:̄ , máximo: a las 4 h, 96%.

u II.165 (2016)

Dada la función x4x5x)x(f 23 +-= , se pide: a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(2) = 1. b) Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [ ]5,0 . Calcular el área

limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2. Sol.: a)

37x2

3x5

4xF 2

34

++-= ; b) 15/6 u.s.

u II.166 (2016)

Dada la función 3xx4)x(f -= , se pide: a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(2) = 7. b) Estudiar y representar gráficamente la función f. Calcular el área limitada por la cur-

va y el eje X entre x = 0 y x = 4. Sol.: a)

42037

4xx2F4

2 +-= ; b) 32 u.s.

u II.167 (2016)

En un determinado proceso industrial, la relación existente entre la temperatura del horno y el tiempo que lleva funcionando viene modelizada a través de la siguiente ex-presión (f(x) representa la temperatura en ºC a los x minutos de funcionamiento):

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 84

ïî

ïíì

£<+

££-=

30x10six50010

10x0sixx16)x(f

2

a) ¿Es la temperatura una función continua del tiempo? ¿En qué momento se alcanza la temperatura máxima? ¿Cuál es dicha temperatura?

b) Estudia y representa gráficamente la función f. Sol.: a) Sí, A los 8 minutos, 64 ºC.

u II.168 (2017)

Dada la función x6x3)x(f 2 -= , a) (0.75 puntos) Encuentra una primitiva F de f verificando que F(1) = 10. b) (2.25 puntos) Estudia y representa gráficamente la función f. Calcula el área limita-

da por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3. Sol.: a) ; b) .

u II.169 (2017)

El beneficio mensual de una empresa (f), en miles de euros, se relaciona con las tone-ladas de producto vendido (x) tal como sigue:

ïî

ïíì

<

£<+-=x10si1805

10x0si18004x5x10)x(f2

a) (1 punto) ¿Es el beneficio una función continua de la cantidad de producto vendi-do?

b) (1.25 puntos) Estudia y representa gráficamente la función f. c) (0.75 puntos) ¿Cuál es el beneficio mensual mínimo? ¿Puede llegar alguna vez a

tener unos beneficios de 1900 miles de euros? ¿Y de 1815 miles de euros? Sol.: a) ; b) ; c) .

u II.170 (2017)

El salario de un trabajador durante los primeros tres años en determinada empresa se ajusta a la siguiente función, donde x representa el tiempo, en años, que lleva contra-tado:

! " =1500()0 ≤ " < 11300 + 200"()1 ≤ " < 2-"0 + 5,5" + 1693()2 ≤ " ≤ 3

a) ¿Es continua para ! = 2? b) Estudia y representa la función f. ¿En qué momento el trabajador cobra más?

¿y menos? Sol: a) ! es continua en ! = 2 ; b) Max en 2,75 años y min (0,1)

u II.171 (2017) Si x representa el volumen de producción de una fábrica, el coste marginal de la mis-ma viene dado por la función ! " = 5 + 6" + 24"). Se pide:

a) Encontrar la función del coste total F, si se sabe que dicha función viene dada por la primitiva F de f que verifica que F(2) = 90.

b) Estudiar y representar gráficamente la función f en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x=0 y x=2.

Sol: a) ! " = 5" + 3"' + 8") + 4 ; b) 86 u.s.

85 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u II.172 (2017) Dada la función ! " = "$ − 3"' + 2", se pide:

a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(2) = 1. b) Estudiar y representar gráficamente la función f. Calcular el área limitada por la

curva y el eje X entre x = 0 y x = 2.

Sol: a) ! " = $%

& -() + (+ + 1 ; b) !"

u II.173 (2017)

La temperatura de un laboratorio se puede relacionar con el tiempo desde que co-mienza la jornada laboral mediante la siguiente expresión (f(x) representa la tempera-tura, en grados centígrados, y x es el tiempo transcurrido, en minutos, desde que co-mienza la jornada laboral):

! " = 20 − 54" + 5 ," ≥ 0.

a) ¿Disminuye en algún momento la temperatura? Estudia y representa gráfica-mente la función f.

b) El sistema de aire acondicionado comenzará a funcionar si la temperatura sube de los 21 grados. ¿Se encenderá el sistema de aire acondicionado en algún instante de tiempo?

Sol: a) !´($) ≥ 0, la temperatura no disminuye ; b) No

u II.174 (2018) El directivo de una empresa cobra cada mes un sueldo fijo de 4000 euros, más una comisión de 30 euros por cantidad de producto vendido, en toneladas. Además, si un mes las ventas superan las 200 toneladas, el directivo recibe un suplemento de 1000 euros.

a) Si ! " representa el sueldo mensual del directivo en función de las toneladas vendidas x, obtén la expresión de dicha función ! y estudia su continuidad en el punto ! = 200.

b) Estudia y representa la función para valores de ! en el intervalo 0,∞ . Consi-dera un mes en el que no se han superado las 200 toneladas de producto ven-dido, si el directivo ha cobrado el sueldo máximo posible, ¿cuántas ventas ha habido? ¿Y si el directivo ha cobrado el sueldo mínimo posible?

Sol: a) 4000 + 30 ∙ &()0 ≤ & ≤ 200,

5000 + 30 ∙ &()& > 200 , ! discontinua de salto finito en ! = 200 ; b) max en 200T, min en 0T

u II.175 (2018)

Dada la función !(#) = 10(#+1)2

, se pide:

a) Encontrar la primitiva ! de ! verificando que !(4) = 0 b) Estudiar y representar gráficamente la función ! en todo su dominio. Calcular

el área limitada por la curva y el eje ! entre ! = 1 y ! = 3.

Sol: a) ! " = -%&'(% + 2; b) 2,5 u.s.

u II.176 (2018)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 86

La cotización de las acciones (en euros) de una determinada sociedad suponiendo que la bolsa funcionó de continuo todos los días de un mes de 30 días, respondió a la siguiente ley:

! " = "$ − 45"( + 243" + 30000100 ,con0 ≤ " ≤ 30,

donde x representa el tiempo (en días).

a) Determina el período de tiempo en el que la cotización descendió. ¿En qué momento la cotización fue máxima? ¿A cuánto ascendió dicha cotización? ¿En qué momento la cotización fue mínima?

b) Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [0,30].

Sol: a) Descendióenintv 3,27 ;maxen 4 = 3, 6789:;69ó< = 303,51€,min en4 = 27 u II.177 (2018)

Dada la función ! " = 4"%-36" , se pide:

a) Encontrar la primitiva ! de ! verificando que ! 1 = 0 b) Estudiar y representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la

curva y el eje X entre x = 1 y x = 1.

Sol: a) ! " = "$-18"( + 17 ; b) 34 u.s.

87 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

III. Estadística y Probabilidad

u III.1 (1994) En cierto barrio urbano se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de activi-dades de ocio que más gustan a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. a) Explicar qué procedimiento de selección sería el más adecuado utilizar: muestreo

con o sin reposición. ¿Por qué? b) Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2500 niños,

7000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando muestreo estratificado. b.1) Definir estratos. b.2) Determinar el tamaño muestral correspondiente a cada estrato.

• Sol.: b.2) 25 niños, 70 adultos y 5 ancianos

u III.2 (1994) En cierta floristería recibieron cantidades iguales de rosas y gladiolos, cuyos colores son blanco y amarillo. El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el 70% de las rosas son de color blanco. a) Si elegimos una rosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color amarillo? b) Si escogemos dos gladiolos, ¿cuál es la probabilidad de que sean del mismo co-

lor? c) ¿Qué proporción de flores son de color blanco?

• Sol.: a) 3/10; b) 25/49; c) 55%

u III.3 (1994) Cierto museo ha organizado una exposición sobre la obra de un pintor contemporá-neo. Al objeto de poder evaluar dicha muestra con posterioridad, se pide a cada visi-tante que rellene un pequeño cuestionario. a) En lugar de examinar todas las respuestas recibidas una vez clausurada la exposi-

ción, para obtener conclusiones con mayor rapidez, se quieren analizar sólo 60: indicar un modo de selección adecuado.

b) La dirección del museo sospecha que el interés de la exposición es distinto según la edad del visitante. Se han clasificado los cuestionarios por tramos de edad, con los siguientes resultados:

EDAD NÚMERO Menores de 25 200

25 – 40 1000 40 – 60 500

Más de 60 300 b.1) Describir cómo se elegirá la muestra aplicando el muestreo estratificado. b.2) Calcular el tamaño de la muestra correspondiente a cada estrato.

• Sol.: b.2) < de 25: 6 encuestas; 25–40: 30 enc.; 40–60: 15 enc.; > de 60: 9 enc.

u III.4 (1994) En una juguetería el 30% de los clientes adquieren juguetes de importación. a) Si cierto cliente ha comprado un juguete, ¿cuál es la probabilidad de que sea de

fabricación nacional? b) Si hay dos personas en la tienda, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas ad-

quiera un juguete de importación? • Sol.: a) 0.70; b) 21/50

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 88

u III.5 (1995)

Una asociación deportiva está interesada en conocer los deportes preferidos por niños y adolescentes. Se plantea realizar una encuesta a 100 escolares en un colegio que cuenta con 1000 en total. a) Comentar las características de la muestra si el encuestador entrevista a los 100

primeros niños que localice a la entrada. ¿Se puede proponer algún otro método de selección más adecuado? Razona la respuesta.

b) La dirección del colegio facilita los datos siguientes sobre edades (X) de los estu-diantes:

EDAD Número de alumnos X £ 5 50

5 < X £ 10 200 10 < X £ 14 400 14 < X £ 18 350

¿Cómo se podría utilizar esta información para mejorar la selección? ¿Cuál sería la composición de las edades de la muestra?

• Sol.: b.2ª: X£5: 5 niños; 5<X£10: 20 niños; 10<X£14: 40 niños y 14<X£18: 35 niños

u III.6 (1995) En una máquina se han fabricado 100 piezas, de las cuales 15 presentan algún defec-to. a) Calcular la proporción de piezas no defectuosas. b) Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas resulten defec-

tuosas. c) Si probamos dos piezas y la primera es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de

que la segunda no lo sea? • Sol.: a) 85%; b) 7/330; c) 85/99

u III.7 (1995)

Un cosechero produce vino que etiqueta bajo tres marcas diferentes A, B y C, siendo etiquetada un 35% de la producción bajo la marca A y un 40% bajo la marca B. Parte de la cosecha la vende en el mercado nacional; la otra es exportada: concretamente el 70% de la marca A, el 40% de la marca B y el 20% de la marca C. a) Si se escoge al azar una botella, ¿qué probabilidad se tiene de que la marca sea

C? b) ¿Qué proporción de botellas de la marca A se venden en el mercado nacional? c) Si seleccionamos una botella cualquiera, ¿qué probabilidad tenemos de que se

destine a la exportación? • Sol.: a) 1/4; b) 30%; c) 0.455

u III.8 (1995)

Ante un próximo referéndum en una población de 120 000 personas, de las que sólo pueden votar 80 000, se desea efectuar un sondeo mediante una encuesta a 40 per-sonas. a) Comentar, brevemente, cómo podrá seleccionarse una muestra aleatoria para lle-

var a cabo dicha encuesta. ¿La selección se hará en toda la población o sólo en la de posibles votantes? ¿Deberá efectuarse un muestreo con reposición o sin repo-sición? ¿Por qué?

b) Si de las 40 personas encuestadas, 25 han respondido que votarán "SI", 10 que votarán "NO" y 5 han manifestado su intención de abstenerse, ¿cuál será la esti-mación obtenida para el porcentaje de votos afirmativos?, ¿y del total de votos afirmativos?

• Sol.: b) 62,5% y 50 000 votos

89 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u III.9 (1996) Un estuche contiene 15 lápices de color rojo y 10 de color azul. a) Si elegimos uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea rojo? b) Si extraemos dos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean azules? c) Si elegimos dos, calcular la probabilidad de que el primero sea azul y el segundo

rojo. • Sol.: a) 3/5; b) 3/20; c) 1/4

u III.10 (1996)

La empresa de transportes urgentes "El Rápido" asegura que entrega el 80% de sus envíos antes de las 12 de la mañana. Para contrastar la calidad de este servicio, la asociación de consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos en diversos días. a) Establecer la hipótesis nula y alternativa. b) Describir, en este caso, en qué consistirían los errores tipo I y tipo II. ¿Cómo se

denomina la probabilidad de confundirnos de modo que la asociación acuse injus-tamente a la empresa de no cumplir sus compromisos publicitarios?

c) A partir de los datos de la encuesta, el informe encargado por la asociación afirma que el valor obtenido es significativo. ¿Cómo debe ser interpretado el resultado?

• Sol.: a) 80.0p:H0 ³ y 80.0p:H1 <

u III.11 (1996)

En una pandilla de 20 amigos, 15 pasaron las vacaciones de Semana Santa en la nie-ve y los demás estuvieron en la playa. En ambos casos, el tiempo de vacaciones fue-ron 5 ó 7 días; concretamente, el 40% de los que fueron a la nieve disfrutó de 7 días, mientras que el 20% de los que estuvieron en la playa disfrutó de 5. a) Calcular la proporción de amigos que estuvieron en la playa. b) Si preguntamos a dos amigos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos hayan elegi-

do ir a la nieve? c) Calcular la probabilidad de que un miembro de la pandilla haya disfrutado de 7

días de vacaciones. • Sol.: a) 25%; b) 21/38; c) 1/2

u III.12 (1996)

La empresa empaquetadora de mariscos "El Centollu" afirma que el peso medio de sus productos supera los 400 gramos. Un restaurante consumidor habitual desea con-trastar esta información. a) Enunciar la hipótesis nula y la alternativa. b) Describir los errores de tipo I y II en este caso. c) Sobre una muestra de 10 envases se ha observado un peso medio de 300 gra-

mos. ¿Es posible con esta información rechazar el supuesto de la empresa "El Centollu"?, ¿sería necesaria alguna información adicional para resolver el contras-te?

• Sol.: a) 400:H0 >µ y 400:H1 £µ

u III.13 (1997)

La probabilidad de que un aficionado al fútbol acuda al campo municipal a ver un par-tido es del 90% cuando se celebra en fin de semana (sábado o domingo) y del 50% si tiene lugar un día laborable (lunes a viernes). a) Si el próximo fin de semana hay partido, ¿cuál es la probabilidad de que ese afi-

cionado no vaya al campo a verlo? b) Cierto partido se celebrará la próxima semana en un día aún por determinar. Cal-

cular la probabilidad de que el aficionado acuda a verlo al campo. • Sol.: a) 0.10; b) 43/70

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 90

u III.14 (1997) Con el objeto de controlar la calidad de sus productos, la fábrica de conservas "PEZ" ha decidido seleccionar parte de su producción para un análisis detallado. a) Comentar, brevemente, cómo podrían seleccionarse muestras aleatorias de esa

producción. ¿Debería efectuarse un muestreo con o sin reposición? ¿Por qué? b) La producción diaria es de 6000 latas de las que el 80% son de tamaño normal y el

20% restante corresponden a la lata "familiar". Sabiendo que el tamaño muestral es n = 30, justificar cuántas latas de cada tipo "deberían" estudiarse.

• Sol.: b) 24 latas normales y 6 familiares

u III.15 (1997) La compañía suministradora de gas desea estimar el número de viviendas de la ciu-dad que tienen contratado su servicio, realizando una encuesta a 800 de las 10 000 viviendas que existen en la misma. a) La compañía dispone de un listado completo de las viviendas para realizar la se-

lección, ¿qué diferencias hay si la muestra se toma con o sin reposición? ¿Qué método es más adecuado? Razonar las respuestas.

b) Una vez realizada la encuesta, la empresa se encontró con que 640 viviendas en-trevistadas tenían contratado su servicio. ¿En cuánto se puede estimar el número total que lo tienen contratado en la ciudad?

• Sol.: b) 8000 viviendas

u III.16 (1997) En una caja están guardados 20 relojes, de los cuales 15 funcionan correctamente. a) Si se extrae un reloj al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcione bien? b) Si se extraen dos relojes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos funcionen

bien? c) Si se extraen dos relojes al azar sucesivamente y el primero no funciona correcta-

mente, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo sí funcione bien? • Sol.: a) 3/4; b) 21/38; c) 15/19

u III.17 (1998)

El 25% de las familias de cierta Comunidad Autónoma española no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65% veranea por el resto de España, y el 10% restante se va al extranjero. De los que se quedan en su Comunidad, sólo un 10% no utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta cantidad aumenta al 30% entre los que salen por el resto de España, y al 90% entre los que viajan al extranjero. a) Calcula el porcentaje de familias de esa Comunidad que utiliza el coche en sus

desplazamientos de vacaciones de verano. b) Una familia no usa el coche en sus vacaciones de verano, ¿cuál es la probabilidad

de que salga de su Comunidad moviéndose por el resto de España? • Sol.: a) 69%; b) 39/62

u III.18 (1998)

En los últimos tiempos las ventas medias de un comercio rondaban las 120 000 ptas diarias. Sin embargo, hace unos meses se abrió una superficie comercial cerca del mismo. El establecimiento defiende que las ventas medias se mantienen o incluso han aumentado, pero que no han disminuido. Para contrastar estadísticamente este su-puesto, se ha seleccionado una muestra de las ventas diarias realizadas después de la apertura de la superficie comercial. a) Establecer las hipótesis nula y alternativa. b) ¿Qué nombre recibe la probabilidad de que el establecimiento concluya errónea-

mente que las ventas medias han disminuido? Explica cómo se denomina y en qué consiste el otro error posible.

c) El establecimiento ha encargado el estudio a un especialista, quien en su informe afirma, textualmente, que "el valor obtenido al realizar el contraste es significativo",

91 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

pero el establecimiento no entiende el significado de la frase. ¿Significa que el es-tablecimiento debe concluir que sus ventas medias disminuyeron, o es lo contra-rio?

• Sol.: a) 120000:H0 ³µ y 120000:H1 <µ

u III.19 (1998)

Un grupo de 40 personas acaba de tomar un autobús. De los 40 sólo 10 son fumado-res. Entre los fumadores el 70% se marea y entre los no fumadores esta cantidad baja al 40%. (a) Como el trayecto es largo, se permite fumar a quien lo desee. Dos individuos se

han sentado juntos y no se conocen, ¿cuál es la probabilidad de que ambos no sean fumadores?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajero no se maree? • Sol.: a) 29/52; b) 21/40

u III.20 (1998)

Un ayuntamiento va a realizar una encuesta para averiguar si los ciudadanos están a favor de las últimas medidas urbanísticas que se han tomado. (a) Para tal fin ha contratado a 2 personas que realizarán llamadas telefónicas al azar

durante una semana, todos los días laborables y en horario de oficina (de 10 a 14 horas). ¿Qué opinión te merece el procedimiento? Independientemente de que el método propuesto anteriormente sea correcto o no, propón un muestreo (telefónico o no) alternativo.

(b) El ayuntamiento pretende que la muestra contenga información de distintas zonas de la ciudad. Si se tiene la siguiente distribución de habitantes:

Zona Centro Barrios periferia Resto Nº de habitantes 14 910 34 293 99 897

¿cómo distribuirías una muestra de 200 habitantes? • Sol.: b) 20 ciudadanos del Centro, 46 de la Periferia y 134 del Resto

u III.21 (1999)

En una oficina el 70% de los empleados son asturianos. De entre los asturianos, el 50% son hombres, mientras que de los no asturianos sólo son hombres el 20%. (a) ¿Qué porcentaje de empleados no asturianos son mujeres? (b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer. (c) Fernando trabaja en dicha oficina, ¿cuál es la probabilidad de que sea asturiano?

• Sol.: a) 80%; b) 0.59; c) 35/41

u III.22 (1999) La Concejalía de Juventud de un Ayuntamiento maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de sus padres es una variable Normal con media 29 años y desviación típica 3 años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, sí se sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la política de ayuda al empleo que ha lle-vado a cabo el Ayuntamiento. Así, de un estudio reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de 28.1 años de edad. (a) Con un nivel de significación del 1% ¿puede defenderse que la edad media no ha

disminuido, frente a que sí lo ha hecho como parecen indicar los datos? Plantear el contraste o test de hipótesis y resolverlo.

(b) Explicar, en el contexto del problema, en qué consisten cada uno de los errores del tipo I y II.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(100) = 1; F(3) = 0.999; F(2.33) = 0.99; F(0.01) = 0.504).

• Sol.: a) La edad media ha disminuido

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 92

u III.23 (1999) Una ciudad ha remodelado su paseo marítimo, y en un periódico ha aparecido una encuesta realizada a 200 personas sobre si el resultado ha sido satisfactorio o no. De los 200 encuestados, 120 viven en la ciudad. Además, el porcentaje de los que viven en la ciudad y les han gustado las obras es del 30%, el mismo de los que no viven en la ciudad y también les han gustado. (a) Si se elige una encuesta de las 200 y ésta se ha hecho a un habitante de la ciu-

dad, ¿cuál es la probabilidad de que le gusten las obras? (b) Si se elige una encuesta de las 200 y el individuo afirma que le gustan las obras,

¿qué probabilidad hay de que viva en la ciudad? • Sol.: a) 3/10; b) 3/5

u III.24 (1999)

El 42% de los escolares de cierto país suelen perder al menos un día de clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela que en el último curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades sanitarias defienden que el porcentaje del 42% para toda la población de escolares se ha mantenido. (a) Contrastar con un nivel de significación del 5% la hipótesis defendida por las auto-

ridades sanitarias, frente a que el porcentaje ha aumentado como parecen indicar los datos, explicando claramente a qué conclusión se llega.

(b) ¿Cómo se llama la probabilidad de concluir erróneamente que el % ha aumenta-do?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1000) = 1; F(1.645) = 0.95; F(1.92) = 0.9726; F(0.05) = 0.5199).

• Sol.: a) El porcentaje ha aumentado

u III.25 (2000) En un país de la antigua Europa del Este se ha constituido una comisión parlamentaria integrada por diez miembros, de los cuales siete pertenecen al partido gobernante y el resto al partido de la oposición. Entre los siete miembros del partido gobernante hay cuatro varones y dos, entre los del partido de la oposición. El presidente de la comisión se elige por sorteo entre sus integrantes. Celebrado el sorteo se sabe que el presiden-te elegido ha sido un hombre, ¿qué partido tiene más probabilidades de dirigir la comi-sión?

• Sol.: El del gobierno (probabilidad: 2/3, frente a 1/3 del de la oposición)

u III.26 (2000) La empresa informática DEPALE S.A. lanza al mercado un nuevo producto cuya vida útil se estima en 4,6 años, en promedio, con una desviación típica de 1,6 años. La em-presa decide realizar una promoción inicial con objeto de estimular las ventas. La pro-moción consiste en ofertar una garantía de sustitución del producto, sin coste adicio-nal, si se detectase algún defecto durante el primer año de vida. Suponiendo que la duración de este producto sigue una distribución normal, determine la probabilidad de tener que reclamar su sustitución después de adquirirlo. { }9878,0)25,2(F)1,0(N =®»x

• Sol.: 0.0122

u III.27 (2000) A partir de la información que recoge las pautas de consumo de cigarrillos de la pobla-ción femenina, las autoridades sanitarias desean adoptar las medidas oportunas con objeto de reducir dicho consumo.

Consumo de cigarrillos diarios

0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 25 25 – 35

Población femenina (miles de habitantes) 2 10 15 7 2

93 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) Determine el consumo más frecuente. b) Calcule el consumo medio y su desviación típica. c) La media y la desviación típica del consumo masculino ha sido de 15 y 4, respecti-

vamente. Un consumo de 17 cigarrillos ¿en qué población destaca más? ¿por qué?

• Sol.: a) 11.92 cigarrillos; b) 13.46 y 6.38 cigarrillos respectivamente; c) en la de las mujeres

u III.28 (2000) Dos jóvenes aficionados a los juegos de azar se encuentran realizando un solitario con una baraja española de 40 cartas. Extraen una carta de dicha baraja y desean saber cuál es la probabilidad de “obtener rey” condicionado al suceso “obtener figura”. Ca-racterice ambos sucesos

• Sol.: p(R)=1/10; p(F)=3/10; p(R/F)=1/3

u III.29 (2001) Se ha hecho un estudio de un nuevo tratamiento sobre 120 personas aquejadas de cierta enfermedad. 30 de ellas ya habían padecido esta enfermedad con anterioridad. Entre las que la habían padecido con anterioridad, el 80% ha reaccionado positiva-mente al nuevo tratamiento. Entre las que no la habían padecido, ha sido el 90% el que reaccionó positivamente. (a) Si elegimos 2 pacientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los 2 hayan pade-

cido la enfermedad? (b) Si elegimos un paciente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no reaccione posi-

tivamente al nuevo tratamiento? (c) Si un paciente ha reaccionado positivamente, ¿cuál es la probabilidad de que no

haya padecido la enfermedad con anterioridad? • Sol.: a) 29/476; b) 1/8; c) 27/35

u III.30 (2001)

Una empresa de automóviles está estudiando las mejoras que ha incluido en la nueva generación de su gama de utilitarios. Hasta ahora, los kilómetros que uno de estos automóviles podía recorrer –con un uso normal– sin que fueran necesarias reparacio-nes importantes seguía una Normal con media 220 (en miles de kilómetros) y desvia-ción típica 15 (en miles de kilómetros). Las mejoras parecen haber surtido efecto, puesto que con 100 automóviles de la nueva generación se ha obtenido una media de 225 (en miles de kilómetros) sin ningún tipo de problema grave. Suponiendo que la desviación típica se ha mantenido: (a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que las mejoras no han surtido efec-

to o incluso que han empeorado la situación, frente a que sí han surtido efecto, como parecen indicar los datos. Si se concluyera que la media sigue igual o inclu-so bajó, y sin embargo esta conclusión fuera falsa ¿cómo se llama el error cometi-do?

(b) Con un nivel de significación del 1% ¿a qué conclusión se llega? (Algunos valores de la función de distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F(100) = 1; F(3,33) = 0,999; F(2,33) = 0,99; F(0,01) = 0,504).

• Sol.: a) Tipo II; b) la media ha aumentado (las mejoras introducidas han sido eficaces)

u III.31 (2001) Se ha realizado una pequeña encuesta a un grupo de estudiantes de informática. En-tre sus conclusiones está que un 40% ha recibido ya algún cursillo de informática. Además, el 20% de quienes recibieron con anterioridad algún cursillo de informática tiene ordenador en casa. Un 10% de estudiantes tiene ordenador en casa y no recibió con anterioridad un cursillo de informática. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga ordenador en casa y haya

recibido un cursillo de informática con anterioridad? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga ordenador en casa?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 94

(c) Si un estudiante tiene ordenador en casa, ¿cuál es la probabilidad de que ya haya recibido un cursillo de informática?

• Sol.: a) 2/25; b) 9/50; c) 4/9

u III.32 (2001) Una de las entradas a cierta ciudad sufría constantemente retenciones de tráfico, de forma que el tiempo de espera en la cola formada por el semáforo allí instalado seguía una Normal de media 10 minutos y desviación típica 4 minutos. Con el fin de descon-gestionar ese punto y bajar la media de tiempo de espera, se habilitó una vía de acce-so auxiliar. Transcurrida una semana se hizo un pequeño estudio sobre 36 vehículos y se obtuvo que el tiempo medio de espera en el citado semáforo fue de 8,5 minutos. Las autoridades municipales mostraron su satisfacción y dijeron que la medida había funcionado, pero la opinión pública, sin embargo, defiende que la situación sigue igual. Suponiendo que la desviación típica se ha mantenido: (a) Plantea un test para contrastar la hipótesis defendida por la opinión pública frente

a la de los responsables municipales. Si se concluye que la media de tiempo de espera bajó y realmente no lo hizo, ¿cómo se llama el error cometido?

(b) ¿A qué conclusión se llega a un nivel de significación del 5%? (Algunos valores de la función de distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F(10) = 1, F(2´33) = 0´99, F(1´85) = 0´95, F(1,28) = 0,90, F(0.01) = 0.50).

• Sol.: a) Tipo I; b) la media ha disminuido (las medidas introducidas han sido eficaces)

u III.33 (2002) En cierto curso de un centro de enseñanza el 62´5% de los alumnos aprobaron Mate-máticas. Por otro lado, entre quienes aprobaron Matemáticas el 80% aprobó también Física. Se sabe igualmente que sólo el 33´3% de quienes no aprobaron Matemáticas aprobaron Física. (a) ¿Qué porcentaje consiguió aprobar ambas asignaturas a la vez? (b) ¿Cuál fue el porcentaje de aprobados en la asignatura de Física? (c) Si un estudiante no aprobó Física ¿qué probabilidad hay de que aprobara Matemá-

ticas? • Sol.: a) 50%; b) 62.49%; c) 0.3365

u III.34 (2002)

En un hospital se observó que los pacientes abusaban del servicio de urgencias, de forma que un 30% de las consultas podían perfectamente haber esperado a concertar una cita con el médico de cabecera, porque no eran realmente urgencias. Puesto que esta situación ralentizaba el servicio, se realizó una campaña intensiva de conciencia-ción. Transcurridos unos meses se ha recogido información de 60 consultas al servi-cio, de las cuales sólo 15 no eran realmente urgencias: (a) Hay personal del hospital que defiende que la campaña no ha mejorado la situa-

ción. Plantea un test para contrastar esta hipótesis frente a que sí la mejoró. Si se concluye que la situación no ha mejorado y realmente lo hizo ¿cómo se llama el error cometido?

(b) ¿A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior con un nivel de significación del 1%?

(Algunos valores de la función de distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0) = 0´5, F(0´01) = 0´5, F(0´85) = 0´80, F(2,33) = 0,99, F(60) = 1).

• Sol.: a) Tipo II; b) la situación no ha mejorado

u III.35 (2002) El 70% de los solicitantes de un puesto de trabajo tiene experiencia y además una formación acorde con el puesto. Sin embargo, hay un 20% que tiene experiencia y no una formación acorde con el puesto. Se sabe también que entre los solicitantes que tienen formación acorde con el puesto, un 87´5% tiene experiencia. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante no tenga experiencia?

95 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

(b) Si un solicitante tiene experiencia, ¿cuál es la probabilidad de que su formación sea acorde con el puesto?

(c) Calcula la probabilidad de que un solicitante tenga formación acorde con el puesto. • Sol.: a) 0.10; b) 7/9; c) 0.80

u III.36 (2002)

El alcalde de una ciudad prometió en su programa oponerse a la construcción de una central de tratamiento de ciertos residuos, puesto que en aquel momento sólo un 10% de los ciudadanos estaban a favor de la central. En los últimos días se ha encuestado a 100 personas de las cuales 14 están a favor de la central. El alcalde afirma sin em-bargo que el porcentaje de ciudadanos a favor sigue siendo del 10% o incluso ha dis-minuido. (a) Plantea un test para contrastar la hipótesis defendida por el alcalde, frente a que

sucedió lo contrario, como parecen indicar los datos. Si se concluye que el % ha aumentado y esta conclusión fuera falsa, ¿cómo se llama el error cometido?

(b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 5%.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(100) = 1, F(1´33) = 0´91 F(1´645) = 0´95, F(0,05) = 0,5199).

• Sol.: a) tipo I; b) no ha aumentado la proporción de ciudadanos a favor de la central

u III.37 (2003) Un grupo de amigos ha estado hablando de sus gustos musicales. La música clásica gusta al 20% de ellos. Se sabe también que el porcentaje de los que les gusta la músi-ca moderna entre quienes les gusta la clásica es del 75% y el porcentaje de los que les gusta la música moderna entre quienes no les gusta la clásica es del 87,5%. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un individuo del grupo le guste la música mo-

derna? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que a un individuo del grupo le guste tanto la música

clásica como la moderna? (c) Si a un individuo le gusta la moderna ¿cuál es la probabilidad de que también le

guste la clásica? (d) Si a un individuo no le gusta la moderna ¿cuál es la probabilidad de que sí le guste

la clásica? • Sol.: a) 0.85; b) 0.15; c) 0.18; d) 0.33

u III.38 (2003)

Un 43% de la población adulta de cierta ciudad sabía realizar el cambio entre euros y pesetas correctamente. Mediante una campaña informativa se ha pretendido elevar ese porcentaje y parece que se han cumplido sus objetivos a la vista del resultado de una encuesta a 110 personas: de ellas 55 sabían realizar bien tales operaciones. Sin embargo hay quien duda de la efectividad de la campaña. (a) Plantear un test para contrastar que la campaña no ha surtido efecto frente a que

sí lo ha hecho. Si se concluye que el porcentaje se mantuvo y realmente subió ¿cómo se llama el error cometido?

(b) ¿A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior a un nivel de significación del 1%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(110) = 1, F(2´33) = 0´99 F(1´48) = 0´93, F(0,01) = 0,504).

• Sol.: a) Tipo II; b) la campaña no ha surtido efecto

u III.39 (2003) En un grupo de matrimonios se ha observado que en el 50% la mujer tiene estudios universitarios. En un 30% de los matrimonios tanto el hombre como la mujer los tienen. Finalmente, en el 37.5% de los matrimonios en los que el marido tiene estudios uni-versitarios la mujer los tiene.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 96

(a) ¿Qué probabilidad hay de que en un matrimonio el marido tenga estudios universi-tarios?

(b) ¿En qué porcentaje de matrimonios en los que la mujer tiene estudios universita-rios el marido también los tiene?

(c) ¿En qué porcentaje de matrimonios el marido no tiene estudios universitarios y la mujer sí?

• Sol.: a) 0.80; b) 60%; c) 0.18; d) 20%

u III.40 (2003) Una cadena de establecimientos comerciales lleva unos meses ofreciendo a sus clien-tes un descuento en sus compras siempre que estas se realicen utilizando la tarjeta propia de la cadena. Hasta que comenzaron los descuentos, la proporción de compras que se efectuaban con tarjeta era del 18%. Recientemente, se ha tomado una muestra de 150 compras de las cuales 39 han sido realizadas con la tarjeta. (a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que los descuentos no han tenido

efecto en el uso de la tarjeta, frente a que han aumentado su uso, como parecen indicar los datos. Si se concluyera que la proporción de compras realizadas con la tarjeta se mantuvo y esta conclusión fuera falsa, ¿cómo se llama el error cometi-do?

(b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 1%.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(150) = 1, F(39) = 1, F(2´55) = 0´995, F(2,33) = 0,99, F(0´26) = 0´603).

• Sol.: a) tipo II; b) ha aumentado la proporción de compras con la tarjeta

u III.41 (2004) En un grupo de personas, al 50% les han puesto alguna vez una multa de tráfico. Por otro lado, al 12´5% no les han puesto nunca una multa pero sí han sufrido alguna vez un accidente. Finalmente, al 60% de quienes nunca han tenido un accidente, no les han puesto nunca una multa. (a) ¿Qué porcentaje no han tenido nunca un accidente ni les han puesto nunca una

multa? (b) ¿Qué porcentaje no han tenido nunca un accidente? (c) Entre las personas que nunca han tenido una multa, ¿qué porcentaje no han teni-

do nunca un accidente? • Sol.: a) 37.5%; b) 62.5%; c) 75%

u III.42 (2004)

En los últimos años el consumo familiar diario de cierta ciudad en electricidad (en Kw) seguía una Normal de media 6´3 con desviación típica de 1´2. Sin embargo, desde hace unos meses las tarifas eléctricas han experimentado varias reducciones, y se piensa que esto ha podido repercutir en un aumento del consumo. Recientemente, para una muestra de 47 familias se ha obtenido un consumo medio diario de 6´8. Su-poniendo que el consumo sigue siendo aproximadamente Normal y que la desviación típica se ha mantenido: (a) Plantea un test para contrastar que el abaratamiento de las tarifas no ha influido en

el consumo, frente a que ha tenido la repercusión que se piensa, como parecen in-dicar los datos. Si se concluyera que la media de consumo se ha mantenido y realmente subió, ¿cómo se llama el error cometido?

(b) ¿A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior con un nivel de significación del 1%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(6´8) = 1, F(2´86) = 0´998, F(2´33) = 0´99, F(0,01) = 0,504).

• Sol.: a) Tipo II; b) Ha aumentado el consumo eléctrico familiar

97 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u III.43 (2004) En un grupo de amigos el 80% están casados. Entre los casados, el 75% tiene trabajo. Finalmente, un 5% no están casados y tampoco tienen trabajo.

(a) ¿Qué porcentaje no tiene trabajo? (b) Si uno tiene trabajo, ¿qué probabilidad hay de que esté casado? (c) ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tienen trabajo?

• Sol.: a) 25%; b) 4/5; c) 80% u III.44 (2004)

Se cree que el comportamiento de ciertos microorganismos marinos se ha visto afec-tado por un vertido de residuos, reduciéndose en particular el tiempo de vida de dichos microorganismos. Antes del vertido ese tiempo seguía una Normal de media 45 días y desviación típica 4 días. Unas semanas después del vertido se contabilizó el tiempo de vida de una muestra de 50 microorganismos, obteniéndose una media de 43 días de vida. Suponiendo que el tiempo de vida sigue siendo aproximadamente Normal y que la desviación típica se ha mantenido,

(a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el vertido de residuos no les ha afectado frente a que ha influido en la forma en que se cree. Si se concluye-ra que sí afectó y esta conclusión fuera falsa, ¿cómo se llama el error cometi-do?

(b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el aparta-do anterior para un nivel de significación del 3%.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3´54) = 1, F(1´82) = 0´97, F(0´03) = 0´51).

• Sol.: a) Tipo II; b) la vida ha disminuido u III.45 (2005)

El 25% de los aparatos que llegan a un servicio técnico tienen garantía. Entre los que no tienen garantía, un 20% ya fueron reparados en otra ocasión. Finalmente, el 5% de los aparatos tienen garantía y además ya fueron reparados en otra ocasión.

(a) ¿Qué porcentaje de los aparatos que llegan al servicio ya fueron reparados en otra ocasión?

(b) ¿Qué porcentaje no fueron reparados en otra ocasión y además no tienen ga-rantía?

(c) Un aparato que acaba de llegar ya fue reparado en otra ocasión, ¿qué probabi-lidad hay de que tenga garantía?

• Sol.: a) 20%; b) 60%; c) 1/4 u III.46 (2005)

El control de calidad de una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una Normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Supo-niendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica,

(a) Plantear un test para contrastar que la duración de las pilas no se ha visto afec-tada frente a que las sospechas del control de calidad son ciertas. Si se con-cluye que las sospechas son falsas y realmente no lo son, ¿cómo se llama el error cometido?

(b) ¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas con un nivel de significación del 2%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(2´58) = 0’99, F(1´96) = 0´98, F(0´02) = 0´51).

• Sol.: a) Tipo II; b) Si

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 98

u III.47 (2005) En un grupo de personas el 75% están pagando una hipoteca. El 10% de los que es-tán pagando una hipoteca están pagando un préstamo. El 60% de los que están pa-gando un préstamo están pagando una hipoteca. (a) ¿Qué porcentaje de personas están pagando a la vez un préstamo y una hipote-

ca? (b) ¿Qué probabilidad hay de que una persona esté pagando un préstamo? (c) Entre las personas que no están pagando una hipoteca, ¿qué porcentaje están

pagando un préstamo? • Sol.: a) 7.5%; b) 0.125; c) 20%

u III.48 (2005)

Un 10% de quienes utilizan cierto analgésico sufren pequeñas molestias gástricas. Un nuevo producto tiene un mayor poder analgésico, pero sin embargo parece que es más fácil que ocasione esos pequeños efectos secundarios. De hecho, 21 personas afirmaron haberlos sufrido, de una muestra de 140 que habían utilizado el nuevo me-dicamento. (a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se

corre el mismo riesgo de padecer efectos secundarios que con el otro, frente a que, como parece, el riesgo es mayor. Explica qué tipo de errores se pueden co-meter al obtener las conclusiones y cómo se llaman.

(b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para el nivel de significación del 2%.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0´04) = 0´516; F(1´97) = 0´976; F(2´06) = 0´98; F(21) = 1)

• Sol.: b) el riesgo no ha aumentado u III.49 (2006)

Un 30% de los trabajadores de una empresa trabajan a media jornada y tienen contra-to temporal. En dicha empresa, el 40% de los trabajadores trabajan a media jornada. Además, de los trabajadores con contrato temporal un 40% trabajan a media jornada. (a) ¿Qué probabilidad hay de que un trabajador tenga contrato temporal? (b) ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen contrato temporal y no trabajan a media

jornada? (c) De los trabajadores que no trabajan a media jornada, ¿qué porcentaje tienen con-

trato temporal? • Sol.: a) 0.75; b) 45%; c) 75%

u III.50 (2006)

Una fábrica de muebles se encarga también del transporte y montaje de los pedidos a sus clientes. Sin embargo, recibía aproximadamente un 16% de reclamaciones por dicho servicio. En los últimos meses, ha contratado una empresa especializada. De 250 servicios realizados por la empresa contratada, 30 han tenido una reclamación. (a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con la empresa contratada la

situación sigue igual, frente a que, como parece, ha mejorado. ¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación del 5%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de servicios recla-mados con la empresa contratada.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0´05) = 0’52, F(0´95) = 0´83, F(1´64) = 0´95, F(1´73) = 0´96, F(1´96) = 0´975).

• Sol.: a) las reclamaciones han disminuido; b) (0.075, 0.165)

99 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u III.51 (2006) En el último pedido a una fábrica de coches, el 7´5% de los coches tienen cierre cen-tralizado y llantas de aleación. El 67´5% de los coches tiene cierre centralizado y no tienen llantas de aleación. El 87´5% de los coches no tienen llantas de aleación.

(a) ¿Qué porcentaje de coches tienen cierre centralizado? (b) Entre los coches con cierre centralizado ¿qué porcentaje tienen llantas de

aleación? (c) ¿Qué probabilidad hay de que un coche no tenga ni cierre centralizado ni llan-

tas de aleación? • Sol.: a) 75%; b) 10%; c) 0.20.

u III.52 (2006)

El consumo de carne de pollo parece haberse disparado desde que hace unos meses cundió la alarma sobre otros tipos de carne. En cierta carnicería, las ventas de carne de pollo seguían hasta entonces una Normal de media 19 kilos y desviación típica 3 kilos. En una muestra de 35 días posteriores a la citada alarma, se obtuvo una media de 21 kilos de carne de pollo vendidos al día. Suponiendo que las ventas siguen sien-do una Normal con la misma desviación típica,

(a) Plantear un test para contrastar que la venta de pollo no ha aumentado, frente a que sí lo ha hecho, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se lle-ga a un nivel de significación del 5%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 95% para la venta diaria de carne de pollo después de la alarma.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0´05) = 0´52, F(0´95) = 0´83, F(1´64) = 0´95, F(1´96) = 0´975, F(3´9) = 1).

• Sol.: a) las ventas han aumentado; b) (20.00, 21.99)

u III.53 (2007) En una comunidad de vecinos el 30% tienen vídeo y DVD. El 50% tienen vídeo y no DVD. Finalmente, de los que tienen DVD el 75% tienen vídeo.

(a) ¿Qué porcentaje de vecinos tienen vídeo? (b) Entre los vecinos que tienen vídeo ¿qué porcentaje tiene DVD? (c) ¿Qué porcentaje de vecinos tienen DVD?

• Sol.: (a) 80%; (b) 37.5%; (c) 40%.

u III.54 (2007) A principios de año, un estudio en cierta ciudad indicaba que un 15% de los conducto-res utilizaban el móvil con el vehículo en marcha. Con el fin de investigar la efectividad de las campañas que se han realizado desde entonces para reducir estos hábitos, recientemente se ha hecho una encuesta a 120 conductores y 12 hacían un uso inde-bido del móvil. (a) Plantea un test para contrastar que las campañas no han cumplido su objetivo,

frente a que sí lo han hecho, como parecen indicar los datos. ¿A que conclusión se llega con un nivel de significación del 4%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de conductores que usan indebidamente el móvil después de las campañas.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0´04) = 0´52, F(0´96) = 0´83, F(1´53) = 0´94, F(1´75) = 0´96, F(1´99) = 0´98.)

• Sol.: (a) Las campañas no han surtido efecto positivo; (b) (0.035, 0.165).

u III.55 (2007) Un grupo de antiguos compañeros de estudios se reencuentra pasados unos años. Un 38% están casados y tiene hijos. Un 22% no están casados. Entre los que tienen hijos, un 95% están casados. (a) ¿Qué porcentaje tienen hijos?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 100

(b) ¿Qué porcentaje no están casados y tienen hijos? (c) ¿Qué porcentaje no están casados y no tienen hijos?

• Sol.: (a) 40%; (b) 2%; (c) 20%.

u III.56 (2007) Según cierto estudio realizado el año pasado, un 35% de las familias con conexión a Internet utilizaban habitualmente este medio para realizar sus operaciones bancarias. El estudio pronosticaba también que ese porcentaje aumentaría en los próximos me-ses. De una encuesta realizada recientemente a 125 usuarios de Internet, 50 declara-ron utilizarla habitualmente para realizar las citadas operaciones. (a) Plantear un test para contrastar que la proporción del año pasado se ha manteni-

do, frente a que, como parece, se ha cumplido el pronóstico del estudio. ¿A qué conclusión se llega a un nivel de significación del 10%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 90% para la proporción actual de usuarios de Internet que la usan habitualmente para realizar sus operaciones bancarias.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1´60) = 0´95, F(1´26) = 0´90, F(1´17) = 0´88, F(0´90) = 0´82, F(0´10) = 0´54.)

• Sol.: (a) No ha aumentado la proporción de quienes realizan operaciones bancarias por Internet; (b) (0.33, 0.47).

u III.57 (2008) En un grupo de familias, un 10% ha cambiado de coche y también ha cambiado de piso. Un 50% no ha cambiado de coche y sí de piso. Entre los que han cambiado de coche, un 25% ha cambiado de piso. (a) ¿Qué porcentaje de familias ha cambiado de piso? (b) ¿Qué probabilidad hay de que una familia del grupo haya cambiado de coche? (c) De las familias que no han cambiado de piso, ¿qué porcentaje ha cambiado de co-

che? • Sol.: (a) 60%; (b) 0,40; (c) 75%.

u III.58 (2008)

Antes de la puesta en marcha del carnet o puntos, la velocidad en cierta carretera se-guía una Normal de media 80 kilómetros por hora y desviación típica 10. Pasados unos meses de la introducción de dicha medida, sobre 40 vehículos observados a dife-rentes horas del día, se obtuvo una media de 75 kilómetros por hora. Si la velocidad sigue siendo una Normal con la misma desviación típica, (a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con dicha medida la situación

sigue igual, frente a que, como parece, ha mejorado. ¿A qué conclusión se llega pa-ra un nivel de significación del 5%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 95% para la velocidad en ese tramo después de la introducción del carnet por puntos.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3´16) = 1, F(1´96) = 0´975, F(1´64) = 0´95, F(0´95) = 0´83, F(0´05) = 0´52.)

• Sol.: (a) La velocidad ha disminuido tras la puesta en marcha del carnet por puntos; (b) (71.90, 78.10).

u III.59 (2008) De un grupo de estudiantes, sólo un 5% tienen buena ortografía y no tienen hábito de lectura. Un 75% del grupo no tienen hábito de lectura. Finalmente, un 20% del grupo tienen hábito de lectura y buena ortografía. (a) ¿Qué probabilidad hay de que un estudiante tenga buena ortografía? (b) ¿Qué porcentaje no tienen hábito de lectura y no tienen tampoco buena ortografía? (c) De los que tienen hábito de lectura, ¿qué porcentaje tienen buena ortografía?

• Sol.: (a) 0,25; (b) 70%; (c) 80%.

101 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u III.60 (2008) En los últimos meses una cadena comercial ha intentado potenciar con precios más atractivos y publicidad la venta de productos con la marca genérica de la cadena, fren-te a los de otras marcas más conocidas por los consumidores. Antes, un 15% de los productos que vendían eran de la marca de la cadena. Recientemente, en una mues-tra de 200 productos vendidos, 36 eran de dicha marca. (a) Plantea un test para contrastar que las medidas no han surtido efecto, frente a que

sí lo han hecho, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega con una significación del 10%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 90% para la proporción de productos vendidos con la marca genérica.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0´10) = 0´54, F(0´90) = 0´82, F(1´19) = 0´88, F(1´26) = 0´90, F(1´60) = 0´95.)

• Sol.: (a) No ha aumentado la proporción de productos genéricos vendidos; (b) (0.14, 0.22).

u III.61 (2009) En un comedor infantil al 40% de los niños no les gusta ni la fruta ni la verdura. Al 20% les gusta la fruta pero no la verdura y al 15% les gusta la verdura pero no la fruta. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un niño le guste tanto la fruta como la verdura? (b) ¿A qué porcentaje les gusta la verdura? (c) Si a un niño le gusta la fruta, ¿qué probabilidad hay de que le guste la verdura?

• Sol.: (a) 0,25; (b) 40%; (c) 0,56.

u III.62 (2009) Una superficie comercial recibe abundantes quejas por el tiempo que pasaba desde que los clientes encargaban sus productos hasta que eran servidos. Este tiempo se-guía, aproximadamente, una Normal de media 15 días y desviación típica 7 días. En los últimos meses ha intentado reducirlo, y en una muestra de 32 pedidos recientes, el tiempo medio es de 12 días de espera. Suponiendo que el tiempo sigue siendo Normal y que la desviación típica se ha mantenido: (a) Plantea un test para contrastar que las medidas no han mejorado la situación, fren-

te a que sí lo han hecho como parecen indicar los datos. ¿Cuál es la conclusión a un nivel de significación del 5%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 95% para el tiempo de espera en la actuali-dad.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0´05) = 0´52, F(0´95) = 0´83, F(1´65) = 0´95, F(1´96) = 0´975, F(2´42) = 0´99.)

• Sol.: (a) El tiempo de espera para ser servidos ha disminuido; (b) (12.57, 17.43).

u III.63 (2009) De un grupo de jóvenes, el 60% viven en casa de sus padres. De los que no viven en casa de sus padres, un 25% no trabajan. Entre los que no trabajan, un 20% no viven en casa de sus padres. (a) ¿Qué porcentaje de ese grupo de jóvenes no viven en casa de sus padres y no

trabajan? (b) ¿Qué porcentaje de ese grupo de jóvenes no trabajan? (c) Si un joven del grupo trabaja, ¿qué probabilidad hay de que no viva en casa de sus

padres? • Sol.: (a) 10%; (b) 50%; (c) 0,60.

u III.64 (2009)

Cierta comunidad autónoma estima que, en ella, el tiempo diario (en minutos) que los niños de 4 a 12 años pasan viendo televisión sigue una Normal de media 120 y des-viación típica 35. Otra comunidad presume de realizar una buena política de concien-

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 102

ciación. Así, una muestra de 32 niños dio una media de 105 minutos diarios. Si el tiempo ante el televisor sigue siendo Normal con desviación típica similar, (a) Plantea un test para contrastar que la situación en la segunda comunidad es en

realidad igual que en la primera, frente a que, como parece, la política de concien-ciación llevó a un mejor resultado. ¿A qué conclusión se llega para un nivel de sig-nificación del 4%?

(b) Calcula un intervalo de confianza del 95% para el tiempo ante el televisor en la se-gunda comunidad.

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(2´42) = 0´99, F(2´05) = 0´98, F(1´75) = 0´96, F(0´96) = 0´83, F(0´04) = 0´52.)

• Sol.: (a) En la segunda Comunidad los niños ven menos la televisión; (b) (92.32, 117.63).

u III.65 (2010) Una cadena de televisión tiene un 10% de programación infantil. Dentro de dicha pro-gramación infantil, el 20% de los intermedios son largos. Dentro de la programación de intermedios largos, el 2´5% es programación infantil. Si se selecciona un programa al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea infantil y con intermedios largos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga intermedios largos?

• Sol.: a) 0.02; b) 0.80.

u III.66 (2010) El consumo semanal medio de alcohol entre la juventud de una determinada ciudad era de 9´5 dl. Para intentar reducir dicho consumo se realiza una campaña informativa. Tras ella, se toma una muestra aleatoria de 900 jóvenes, para los cuales el consumo medio de alcohol en una semana fue de 9´3 dl. Suponiendo que el consumo semanal de alcohol sigue una distribución normal con desviación típica 9, a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la campaña no ha surtido efecto,

frente a la alternativa de que sí ha surtido efecto. b) ¿A qué conclusión se llega en el test anterior para un nivel de significación del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1´96) = 0´975, F(1´64) = 0´95, F(0´95) = 0´83, F(0´67) = 0´75, F(0´05) = 0´52.)

• Sol.: b) El consumo de alcohol no ha disminuido.

u III.67 (2010) El porcentaje de piezas defectuosas en una empresa era del 2%. Tras unos cursos de formación, se tomó una muestra de 1000 piezas elegidas al azar y se obtuvo que 18 de ellas eran defectuosas. a) Plantea un test para contrastar que los cursos de formación no han conseguido que

el porcentaje de defectuosos baje del 2% inicial, frente a la alternativa de que sí lo han conseguido.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 3%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(2´17) = 0´985, F(1´88) = 0´97, F(0´97) = 0´83, F(0´45) = 0´67, F(0´03) = 0´51.)

• Sol.: b) Los cursos no han surtido efecto.

u III.68 (2010) En una empresa el 75% del personal son mujeres. De las mujeres, un 4% están divor-ciadas, mientras que de los hombres, el 28% están divorciados. a) Si se selecciona al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad de que esté divorcia-

da?

103 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

b) De entre las personas que están divorciadas, ¿qué porcentaje son mujeres? • Sol.: a) 0.10; b) 0.30.

u III.69 (2010)

El 40% de los clientes de un centro comercial son hombres. Dentro de los hombres, el 90% está menos de dos horas, mientras que dentro de las mujeres, sólo el 65% está menos de dos horas. a) ¿Qué porcentaje de clientes están menos de dos horas en el centro comercial? b) Si se selecciona un cliente al azar de entre los que están menos de dos horas,

¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? • Sol.: a) 75%; b) 13/25.

u III.70 (2010)

En las pasadas elecciones el porcentaje de participación fue del 75%. Después de emitir un spot para fomentar la participación en las próximas elecciones, se realiza una encuesta seleccionando al azar a 3025 personas del censo electoral, de las cuales 2541 dicen que irán a votar y el resto responden que no lo harán. a) Plantea un test para contrastar que el spot no ha surtido el efecto esperado, frente a

la alternativa de que sí lo ha hecho, tal como parecen indicar los datos. b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior a un nivel de significación del

4%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(11´43) = 1, F(2´05) = 0´98, F(1´75) = 0´96, F(0´96) = 0´83, F(0´04) = 0´52.)

• Sol.: b) El spot publicitario ha surtido efecto

u III.71 (2010) Se sabe que el 40% de los acusados se declaró culpable y tuvo pena de cárcel. Den-tro de los que se declararon culpables, el 50% tuvo pena de cárcel. Si se selecciona un acusado al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya declarado culpable? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya declarado culpable y no haya tenido pena

de cárcel? • Sol.: a) 0.80; b) 0.40.

u III.72 (2010)

El 40% de los créditos concedidos por un banco fueron a empresas y el resto a parti-culares. Dentro de los concedidos a empresas, un 5% fueron créditos morosos y den-tro de los concedidos a particulares, el 30% fueron morosos. a) Si se selecciona un crédito al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea moroso? b) De entre los créditos morosos, ¿qué porcentaje son de empresas?

• Sol.: a) 0.20; b) 0.10.

u III.73 (2010) Inicialmente la sección de electrónica de un determinado supermercado era visitada por un 20% de los clientes. Tras una reordenación del espacio, se seleccionaron alea-toriamente 1225 clientes, de los cuales 294 visitaron dicha sección. a) Plantea un test para contrastar que la reordenación no ha surtido el efecto esperado

de aumentar el porcentaje de visitantes de la sección, frente a la alternativa de que sí lo ha hecho.

b) ¿A qué conclusión se llega con el test anterior para un nivel de significación del 1%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3´5) = 1, F(2´58) = 0´995, F(2´33) = 0´99, F(0´99) = 0´84, F(0´01) = 0´50.)

• Sol.: b) La reordenación sí ha surtido el efecto deseado.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 104

u III.74 (2010) De los entrevistados para un puesto de trabajo, un 96% son españoles, un 87% tienen carnet de conducir y un 84% son españoles y tienen carnet de conducir. a) ¿Qué porcentaje son españoles y no tienen carnet de conducir? b) Dentro de los españoles, ¿qué porcentaje tiene carnet de conducir?

• Sol.: a) 12%; b) 87.5%. u III.75 (2010)

De los viajes vendidos en una agencia, el 75% fueron a España y el resto al extranje-ro. De entre los viajes a España, el 40% era en media pensión. De entre los viajes al extranjero, el 80% era en media pensión. a) ¿Qué porcentaje de los viajes vendidos fueron en media pensión y al extranjero? b) ¿Qué porcentaje de los viajes vendidos fueron en media pensión?

• Sol.: a) 20%; b) 50%. u III.76 (2010)

Antes de la puesta en marcha de un plan de prevención de riesgos laborales, el tiempo medio perdido por bajas laborales era de 30 horas al año. Para comprobar si el plan ha sido efectivo se tomó una muestra aleatoria de 225 trabajadores, obteniéndose que el tiempo medio perdido por bajas laborales fue de 27 horas al año. Si el tiempo anual perdido por trabajador en accidentes laborales sigue una distribución normal con des-viación típica 10, a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el plan no ha dado los resultados

esperados, frente a que, como parece, la media ha bajado de las 30 horas. b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación

del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(4´5) = 1, F(1´96) = 0´975, F(1´64) = 0´95, F(0´95) = 0´83, F(0´05) = 0´52.)

• Sol.: b) El plan de prevención sí ha dado el resultado esperado.

u III.77 (2011) El 35% de los alumnos de un colegio practica algún deporte como actividad extraesco-lar. De ellos, el 20% acude además a clases extraescolares de inglés. Entre los que no practican deporte, el 40% acude a clases extraescolares de inglés. a) ¿Qué porcentaje de los alumnos no practica deporte, pero va a clase de inglés? b) ¿Qué porcentaje de alumnos va a clase de inglés?

• Sol.: a) 26 %; b) 33 %.

u III.78 (2011) En una plantación de kiwis han decidido probar un nuevo fertilizante en la última cose-cha. Anteriormente el peso medio de los kiwis cosechados era de 180 gramos. Para estudiar si el nuevo fertilizante permite obtener piezas más grandes, se ha tomado una muestra aleatoria de 100 kiwis de la última cosecha, obteniéndose un peso medio de 184’5 gramos. Se sabe además que el peso de los kiwis sigue una distribución normal con desviación típica 15 gramos. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el fertilizante no ha dado los re-

sultados esperados frente la alternativa de que sí ha conseguido aumentar el peso medio.

b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’95) = 0’83, F(1’64) = 0’95, F(1’96) = 0’975, F(3) = 0’999.)

• Sol.: b) El fertilizante ha sido eficaz.

u III.79 (2011)

105 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

El 42% del vino que oferta una vinatería es tinto y de origen español. Entre los de ori-gen español, un 60% es vino tinto. Si se selecciona un vino al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de origen español? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de origen español y no sea vino tinto?

• Sol.: a) 0.70; b) 0.28.

u III.80 (2011) De los turistas que visitaron Asturias el año pasado, el 5% eran españoles y viajaban en avión. Además se sabe que un 20% eran extranjeros y que el 25% de los que viaja-ron en avión eran españoles. a) Si se selecciona un turista al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en

avión? b) Si seleccionamos un turista al azar entre los extranjeros, ¿cuál es la probabilidad de

que haya viajado en avión? • Sol.: a)0.20; b) 0.75.

u III.81 (2011)

Tras unos programas educativos para intentar reducir el porcentaje de fumadores en la universidad, que estaba en el 10%, se toma una muestra aleatoria de 400 universita-rios, de los que se obtiene que 36 son fumadores. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que los programas educativos no han

producido el efecto deseado, frente a la alternativa de que sí lo han hecho. b) ¿A qué conclusiones se llega en el contraste anterior para un nivel de significación

del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’67) = 0’75, F(0’95) = 0’83, F(1’64) = 0’95, F(1’96) = 0’975.)

• Sol.: b) la campaña no ha surtido el efecto deseado.

u III.82 (2011) El gasto medio diario por turista era inicialmente de 65 €. Tras una campaña para in-tentar aumentar dicho gasto, se tomó una muestra aleatoria de 3600 turistas, para los que su gasto medio fue de 68 €. Suponiendo que el gasto diario sigue una distribución normal con desviación típica 40, a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la campaña no ha surtido efecto,

frente a la alternativa de que sí ha surtido efecto, tal como parecen indicar los da-tos.

b) ¿A qué conclusión se llega con este contraste para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’95) = 0’83, F(1’64) = 0’95, F(1’96) = 0’975, F(4’5) = 1’00.)

• Sol.: b) Se ha incrementado el gasto medio por turista.

u III.83 (2011) En una determinada jornada, el 70% de los clientes de un restaurante tomó el menú. De ellos, el 80% tomó café. Entre los que no pidieron menú, sólo el 60% tomó café. a) ¿Qué porcentaje de clientes tomó menú y café? b) ¿Qué porcentaje de clientes tomó café?

• Sol.: a) 56%; b) 74%.

u III.84 (2011) En unos grandes almacenes, el 60% de las compras de un determinado mes se paga-ron con tarjetas de crédito. De ellas, el 10% fueron posteriormente devueltas. Además se sabe que entre las compras devueltas de las realizadas ese mes, un 50% habían sido pagadas con tarjeta. Elegida una compra de ese mes al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya pagado con tarjeta y posteriormente de-

vuelto?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 106

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya devuelto posteriormente? • Sol.: a) 0.06; b) 0.12.

u III.85 (2011)

Según un fabricante, el peso medio de los yogures que vende es de 125 gramos. Un cliente sospecha que últimamente vienen menos llenos. Para contrastarlo, toma una muestra aleatoria de 36 yogures y obtiene un peso medio de 124 gramos. Suponiendo que el peso de los yogures sigue una distribución normal con desviación típica 3 gra-mos, a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el peso medio es el que dice el

fabricante, frente a la alternativa de que es menor, tal como parecen indicar los da-tos.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,05) = 0,52; F(0,95) = 0,83; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2) = 0,977).

• Sol.: b) El peso medio de los yogures ha bajado.

u III.86 (2011) En los cursos anteriores el porcentaje de alumnos universitarios que se traían comida de casa estaba en torno al 20%. Tras la imposición este año de un cambio en los hora-rios, se sospechó que dicho porcentaje había aumentado significativamente, lo que obligaría a la instalación de más microondas y mesas en el comedor universitario. Pa-ra estudiar esto, se tomó una muestra de 1000 estudiantes elegidos al azar y se obtu-vo que 310 de ellos traían comida de casa. a) Plantea un test para contrastar que el cambio en los horarios no ha cambiado el

porcentaje de estudiantes que traen su comida de casa, frente a la alternativa de que sí ha hecho que dicho porcentaje sea mayor del 20%, tal como parecen indicar los datos.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(8,70) = 1,000; F(1,64) = 0,95; F(1,95) = 0,975; F(0,95) = 0,83; F(0,05) = 0,52).

• Sol.: b) No ha aumentado la proporción de estudiantes que trae su comida de casa.

u III.87 (2011) Una población está formada por dos grupos étnicos: un 40% de la población es del grupo A y un 60% del grupo B. Una empresa de alimentación sabe que el porcentaje de personas que compran un determinado producto es del 20% para los individuos del grupo A y del 40% para los del grupo B. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar compre el producto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar no compre el producto

y sea del grupo B? • Sol.: a) 0.32; b) 0.36.

u III.88 (2011)

En un centro universitario el gasto medio mensual en fotocopias por alumno hace cin-co años era de 50 euros. En la actualidad la mayor parte del profesorado ha colgado una copia electrónica del material de clase en la página web del centro, lo que hace sospechar que dicho gasto habrá disminuido. Para comprobar esta hipótesis se selec-cionan al azar 100 alumnos actuales, para los que se obtuvo que su gasto medio men-sual en fotocopias era de 49 euros. Suponiendo que el gasto mensual en fotocopias sigue una distribución normal con desviación típica 4 euros,

107 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el gasto medio no ha cambiado, frente a la alternativa de que sí es menor de 50 euros, tal como parecen indicar los datos.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1,96) = 0,975; F(1,64) = 0,95; F(0,95) = 0,83; F(2,5) = 0,994; F(0,05) = 0,52).

• Sol.: b) El gasto en fotocopias ha disminuido.

u III.89 (2012) En una empresa la máquina A produce el 60% de las piezas y otra máquina B el 40% restante. Además se sabe que son defectuosas el 5% de las piezas producidas por A y el 30% de las producidas por B. Si se elige una pieza al azar, a) ¿Cuál es a probabilidad de que sea defectuosa? b) Si es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máqui-

na A? • Sol.: a) 3/20; b) 1/5.

u III.90 (2012)

Una compañía de seguros tiene un 75% de sus clientes en la zona norte y el 25% res-tante en la zona sur. Por estudios anteriores considera que el 4% de los clientes de la zona norte no pagan su póliza, mientras que en la zona sur este porcentaje se eleva hasta un 8%. Si se eligió un cliente al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la zona norte y no haya pagado su póliza de

seguros? b) Si se comprueba que no ha pagado su póliza, ¿cuál es la probabilidad de que sea

de la zona norte? • Sol.: a) 3/100; b) 3/5.

u III.91 (2012)

Para determinar si más de un 50% de la población está de acuerdo con una nueva medida del gobierno, se tomó una muestra aleatoria de 900 personas, de las cuales 495 declararon estar de acuerdo con dicha medida y el resto declararon no estar de acuerdo. a) Plantea un test para contrastar que el porcentaje de la población que está de

acuerdo no es mayor del 50%, frente a la alternativa de que sí es mayor, tal como parecen indicar los datos.

b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3) = 0,999; F(1,64) = 0,95; F(1,95) = 0,975; F(0,95) = 0,83; F(0,05) = 0,52).

• Sol.: b) El porcentaje de población de acuerdo con la medida es menor del 50%.

u III.92 (2012) La emisión diaria de un determinado gas en una empresa era de 50 mg/Nm3. El equi-po medioambiental instala un nuevo filtro con el objetivo de reducir dicha emisión. Para comprobar su eficacia se tomó una muestra aleatoria de 36 días, para los que se obtu-vo que la emisión media diaria fue de 48 mg/Nm3. Suponiendo que la emisión diaria de dicho gas sigue una distribución normal con desviación típica 4 mg/Nm3, a) Plantea un test para contrastar que el filtro no ha surtido efecto, frente a la alternati-

va de que sí ha surtido efecto, tal como parecen indicar los datos. b) ¿A qué conclusión se llega con este test para un nivel de significación del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,05) = 0,52; F(0,95) = 0,83; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(3) = 0,999.)

• Sol.: b) El filtro ha surtido efecto.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 108

u III.93 (2012)

De los correos electrónicos recibidos en una empresa el último mes, el 14% eran spam y estaban escritos en inglés. Además se sabe que un 70% de los correos recibidos no eran spam y que el 40% de los que estaban escritos en inglés eran spam. a) Si se selecciona un correo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté escrito en

inglés? b) Si se selecciona un correo que no es spam, ¿cuál es la probabilidad de que esté

escrito en inglés? • Sol.: a) 7/20; b) 3/10.

u III.94 (2012)

El porcentaje de billetes de una compañía aérea emitidos por Internet estaba en el 30%. Se realizó una reestructuración total de la web de dicha compañía para hacerla más accesible y así aumentar el porcentaje anterior. Para comprobar si dicha reestruc-turación ha sido efectiva, se tomó una muestra aleatoria de 1000 billetes, de los que se obtiene que 310 fueron emitidos por Internet. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la reestructuración de la página

web no ha producido el efecto deseado, frente a la alternativa de que sí lo ha he-cho.

b) ¿A qué conclusión se llega en el test anterior con un nivel de significación del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,05) = 0,52; F(0,69) = 0,75; F(0,95) = 0,83; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975.)

• Sol.: b) La campaña no ha surtido efecto.

u III.95 (2012) Se ha entrevistado a 400 mujeres elegidas de forma aleatoria y se ha obtenido que el tiempo medio semanal que dedican a trabajos domésticos es de 1815 minutos. Hace un par de décadas, dicho tiempo era de 2000 minutos. Si el tiempo semanal dedicado por las mujeres a trabajos domésticos sigue una distribución normal con desviación típica 950 minutos, a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el tiempo semanal sigue siendo

de 2000 minutos, frente a la alternativa de que se redujo. b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del

1%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3,89) = 1,000; F(2,58) = 0,995; F(2,33) = 0,99; F(0,99) = 0,84; F(0,01) = 0,50.)

• Sol.: b) el tiempo ha disminuido.

u III.96 (2012) Se sabe que un 40% de los graduados en una carrera son mujeres, de las cuales el 25% ha repetido algún curso. Además se sabe que un 30% de los hombres graduados ha repetido algún curso. a) ¿Qué porcentaje son mujeres y ha repetido algún curso? b) ¿Qué porcentaje de las personas graduadas ha repetido algún curso?

• Sol.: a) 10%; b) 28%.

u III.97 (2012) Un canal de televisión considera que un programa es rentable cuando más del 16% de los televisores encendidos están sintonizando dicho canal durante su emisión. Coinci-diendo con el episodio piloto de una nueva serie, se seleccionan aleatoriamente 4000 de los televisores encendidos y se obtiene que 720 de ellos están sintonizando el ca-nal.

109 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) Plantea un test para contrastar que el episodio piloto no ha sido rentable, frente a la alternativa de que sí lo ha sido, tal como parecen indicar los datos.

b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3,45) = 1,000; F(1,96) = 0,975; F(1,64) = 0,95; F(0,95) = 0,83; F(0,05) = 0,52.)

• Sol.: ; b) El episodio ha sido rentable.

u III.98 (2012) El año pasado sólo el 15% de los tomates cultivados en un invernadero alcanzó el tamaño adecuado para ser considerado “extra”. Tras cambiar el método de cultivo, se han tomado al azar 400 unidades de la nueva cosecha y se ha comprobado que 72 de ellos entran en la categoría “extra”. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el nuevo método de cultivo no ha

surtido efecto, frente a la alternativa de que sí ha aumentado el porcentaje de toma-tes “extra”.

b) A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 3%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,03) = 0,512; F(0,95) = 0,83; F(1,68) = 0,95; F(1,88) = 0,97; F(2,17) = 0,985.)

• Sol.: b) El nuevo método no ha surtido efecto.

u III.99 (2012) El 40% de de los trabajadores de una empresa son mujeres. De ellas, sólo el 15% lleva más de 10 años en la empresa. Además se sabe que un 18% de los trabajadores son hombres y llevan más de 10 años en la empresa. a) ¿Qué porcentaje de todos los trabajadores lleva más de 10 años en la empresa? b) Entre los trabajadores que llevan más de 10 años en la empresa, ¿qué porcentaje

son mujeres? • Sol.: a) 24%; b) 25%.

u III.100 (2012)

Se han entrevistado 200 jóvenes seleccionados al azar y se ha obtenido que el tiempo medio que dedican cada día al ordenador es de 2 horas. Hace unos años, el tiempo medio diario que la juventud dedicaba al ordenador era de hora y media. Se supone además que el tiempo diario dedicado por los jóvenes al ordenador sigue una distribu-ción normal con desviación típica 0’5 horas. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el tiempo diario dedicado al or-

denador sigue siendo de hora y media, frente a la alternativa de que ha aumentado. b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación

del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,05) = 0,52; F(0,95) = 0,83; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(14,14) = 1,00.)

• Sol.: b) El tiempo dedicado al ordenador ha aumentado y es más de 1h y media.

u III.101 (2013) En un día determinado, el 20% de los clientes de una estación de servicio repostó ga-solina y el resto gasoil. Entre los que repostaron gasolina el 30% compró algo en la tienda de la estación. Entre los que repostaron gasoil, sólo el 5% compró algo en la tienda. a) De entre los clientes que repostaron ese día, ¿qué porcentaje compró algo en la

tienda?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 110

b) De entre los clientes que repostaron ese día y compraron en la tienda, ¿qué por-centaje repostó gasolina?

• Sol.: a) 10%; b) 60%.

u III.102 (2013) De los empleados de una empresa se sabe que el 40% acude al trabajo en transporte público, que el 75% come en la empresa y que el 30% acude al trabajo en transporte público y come en la empresa. a) ¿Qué porcentaje acude al trabajo en transporte público y no come en la empresa? b) Dentro de los que comen en la empresa, ¿qué porcentaje usa el transporte público?

• Sol.: a) 10%; b) 40%.

u III.103 (2013) Inicialmente el porcentaje de usuarios no satisfechos con el software en pruebas era del 30%. Tras unas medidas de mejora, se tomo una muestra aleatoria de 800 usua-rios y se observó que 208 manifestaron no estar satisfechos con el software. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que las medidas de mejora no han

surtido efecto, frente a la alternativa de que sí se ha reducido el porcentaje de usua-rios no satisfechos.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 4%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,04) = 0,516; F(0,96) = 0,831; F(1,75) = 0,96; F(2,05) = 0,98; F(2,47) = 0,993.)

• Sol.: b) Las medidas sí han surtido efecto.

u III.104 (2013) Ciertas ayudas gubernamentales fueron destinadas a intentar que más del 30% de las casas de determinado país tengan ordenador. Para ver si dichas ayudas han sido efectivas, se toma una muestra de 400 casas, de las cuales resultan tener ordenador 142 de ellas. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que las ayudas no han sido efectivas,

frente a la alternativa de que sí lo han sido, habiendo conseguido que el porcentaje de casas con ordenador sea mayor del 30%.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,05) = 0,52; F(0,95) = 0,829; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2,4) = 0,992.)

• Sol.: b) Las ayudas han sido efectivas.

u III.105 (2013) En un congreso el 30% de los asistentes habla francés, el 60% habla inglés y el 80% habla al menos uno de los dos idiomas. Elegido un asistente al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable tanto francés como inglés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés, si se sabe que habla al menos uno de

los dos idiomas? • Sol.: a) 1/10; b) 3/4.

u III.106 (2013)

Un fabricante asegura que sus botellas de agua tienen un volumen medio de llenado de al menos 250 cl. Para comprobar si dicha afirmación es cierta, una oficina de con-sumidores selecciona al azar 200 botellas de dicho fabricante, para las que obtiene un volumen medio de llenado de 248 cl. Suponiendo que el volumen de llenado sigue una distribución normal con desviación típica 10 cl,

111 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el volumen medio de llenado coincide con el especificado por el fabricante, frente a la alternativa de que es me-nor.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 1%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,01) = 0,504; F(0,99) = 0,839; F(2,33) = 0,99; F(2,58) = 0,995; F(2,83) = 0,998.)

• Sol.: b) El volumen es menor del indicado por el fabricante.

u III.107 (2013) El 60% de los empleados de una empresa son mujeres. De ellas, un 10% ocupa pues-tos directivos, mientras que el 25% de los hombres ocupa puestos directivos. a) De entre los empleados de esa empresa, ¿qué porcentaje son directivos? b) De entre los que son directivos, ¿qué porcentaje son mujeres?

• Sol.: a) 16%; b) 37.5%.

u III.108 (2013) Una Escuela Universitaria tiene el presente curso 900 alumnos españoles y 100 alum-nos del programa Erasmus. Se sabe además que aprobaron el primer examen de ma-temáticas el 65% de los estudiantes españoles y el 80% de los estudiantes del pro-grama Erasmus. Si se elige un alumno al azar de dicha Escuela: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea Erasmus y haya aprobado el primer examen de

matemáticas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado el primer examen de matemáticas?

• Sol.: a) 2/25; b) 133/200.

u III.109 (2013) Un laboratorio farmacéutico afirma que el tratamiento con uno de sus productos es capaz de eliminar los problemas de insomnio en al menos un 80% de los pacientes. Para contrastar dicha afirmación, un laboratorio de la competencia realiza un estudio con 100 personas con problemas de insomnio a los que les suministra el tratamiento con dicho fármaco y observa que 78 de ellos han dejado de sufrir esa patología. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el laboratorio decía la verdad,

frente a la alternativa de que el porcentaje de pacientes que dejan de padecer in-somnio es menor del 80%.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,05) = 0,52; F(0,5) = 0,69; F(0,95) = 0,83; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975.)

• Sol.: b) El laboratorio decía la verdad.

u III.110 (2013) Se sabe, por estudios anteriores, que el 1% de los niños de una región sufre determi-nada patología y además no habla. Entre los que sufren dicha patología, un 20% no habla. Si se selecciona un niño al azar de dicha región: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sufra dicha patología? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sufra dicha patología y hable?

• Sol.: a) 1/20; b) 1/25.

u III.111 (2013) En una escuela de esquí, el 30% de las clases son particulares y el resto son clases de grupo. De las clases particulares, el 50% son a niños, mientras que de las clases de grupo, el 60% son a niños. a) ¿Qué porcentaje de las clases son de grupo y a niños? b) ¿Qué porcentaje de las clases son a niños?

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 112

• Sol.: a) 42%; b) 57%.

u III.112 (2013) El tiempo medio empleado por un operario para ensamblar una pieza era de 3 minu-tos. Para analizar si su eficacia ha mejorado después de haber asistido a un curso de formación, se ha tomado una muestra aleatoria de 36 piezas, obteniéndose que el tiempo medio empleado por dicho operario para ensamblar estas piezas fue de 2’5 minutos. Se sabe además que el tiempo de ensamble sigue una distribución normal con desviación típica 1 minuto. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el curso de formación no ha da-

do los resultados esperados, frente a la alternativa de que sí ha conseguido reducir el tiempo medio de ensamblado.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0,05) = 0,52; F(0,95) = 0,83; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(3) = 0,999.)

• Sol.: b) El curso ha dado los resultados esperados.

u III.113 (2014) Un gobierno ha dedicado una partida presupuestaria a intentar conseguir que más del 80% de sus colegios públicos tengan al menos una sala de ordenadores. Para averi-guar si los objetivos se han cumplido, se seleccionó una muestra aleatoria de 225 co-legios, y se observó que 195 de ellos disponía de sala de ordenadores. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la partida presupuestaria no ha

conseguido el objetivo propuesto, frente a la alternativa de que sí loo ha hecho. b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del

3%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’03) = 0’512; F(0’97) = 0’834; F(1’88) = 0’97; F(2’17) = 0’985; F(2’5) = 0’994.)

• Sol.: b) La inversión ha conseguido el objetivo propuesto.

u III.114 (2014) De los usuarios de móvil de un país, se sabe que un 30% tiene un móvil marca Sanso con sistema operativo Andry. De los que tienen un móvil marca Sanso, el 40% usa el sistema operativo Andry. Si se selecciona al azar una persona con móvil de ese país: a) ¿Cuál es la probabilidad de que su móvil sea de marca Sanso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que su móvil sea de marca Sanso, pero no use el sis-

tema operativo Andry? • Sol.: a) 3/4; b) 7/20.

u III.115 (2014)

Según la normativa vigente, los equipos de aire acondicionado no deben emitir más de 1000 ppm (partes por millón) de CO2. Un auditor realiza un estudio con 49 equipos fabricados por determinada empresa, para los que encuentra una emisión media de CO2 de 1025 ppm. Se supone además que la emisión de CO2 de estos equipos sigue una distribución normal con una desviación típica de 50 ppm. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que los equipos fabricados por esta

empresa cumplen, en media, la normativa sobre contaminación por CO2, frente a la alternativa de que la emisión media es mayor de lo permitido.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 1%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’01) = 0’504; F(0’99) = 0’839; F(2’33) = 0’99; F(2’58) = 0’995; F(3’5) = 1.)

• Sol.: b) Los equipos no cumplen la normativa.

113 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

u III.116 (2014) Un portal de ventas por Internet consideraba que como mucho el 40% de sus visitan-tes compraban. Sin embargo, en la dirección del portal se piensa que en el último año, el porcentaje de visitantes que compra ha aumentado. Para contrastar este hecho se tomó una muestra aleatoria de 500 visitantes y se observó que 225 compraron. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el porcentaje de visitantes del

portal que compraron no ha aumentado, frente a la alternativa de que sí lo ha he-cho, siendo dicho porcentaje mayor del 40%.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 4%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’04) = 0’52; F(0’96) = 0’83; F(1’75) = 0’96; F(2’05) = 0’98; F(2’28) = 0’99.)

• Sol.: b) Ha aumentado el porcentaje de visitantes que compran.

u III.117 (2014) Se estima que el 20% de los clientes de una superficie comercial roban algún producto en su compra. La probabilidad de que suene la alarma si se ha producido un robo es de 0’9 y la de que suene por error si no se ha producido es de 0’025. Si se elige un cliente al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que le suene la alarma? b) Si le ha sonado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que realmente haya cometido

un robo? • Sol.: a) 1/5; b) 9/10.

u III.118 (2014)

Un banco quiere analizar si las comisiones que cobra a sus clientes por operaciones en el mercado bursátil son mayores que las que cobra la competencia, que están alre-dedor de los 12 € mensuales. Para ello toma una muestra aleatoria de 64 operaciones bursátiles realizadas por dicho banco y observa que la comisión promedio es de 13’6 €. Se supone además que la comisión sigue una distribución normal con desvia-ción típica 4’3 €. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la comisión media es menor o

igual que la de la competencia, frente a la alternativa de que es mayor de los 12 € que cobra la competencia.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 2%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’02) = 0’51; F(0’98) = 0’84; F(2’05) = 0’98; F(2’33) = 0’99; F(2’98) = 0’999.)

• Sol.: b) La comisión media es superior a la de la competencia.

u III.119 (2014) La intención de voto de un partido político hace unos meses era del 10%. Se cree que con la reciente crisis las expectativas de dicho partido han mejorado y si se celebrasen elecciones ahora su porcentaje de votos aumentaría. Para contrastar esto se toma una muestra aleatoria de 225 votantes, de los cuales 36 afirman que votarían a dicho parti-do. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la crisis no ha tenido el efecto

considerado, frente a la alternativa de que sí ha hecho aumentar el porcentaje de votantes potenciales del partido.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 4%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’04) = 0’516; F(0’96) = 0’831; F(1’75) = 0’96; F(2’05) = 0’98; F(3) = 0’999.)

• Sol.: b) La intención de voto al partido ha aumentado.

u III.120 (2014)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 114

En un bar el 80% de las personas que toman café lo hacen con azúcar y el resto sin azúcar (con otros edulcorantes o sin nada). De las personas que lo toman con azúcar, el 70% son hombres, mientras que de las que lo toman sin azúcar, el 40% son hom-bres. Si se selecciona al azar una persona que toma café en dicho bar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y lo tome con azúcar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

• Sol.: a) 14/25; b) 16/25.

u III.121 (2014) El peso medio de los cerdos adultos de una granja es de 200 kg. Para intentar aumen-tar dicho peso, se consideró la posibilidad de alimentarlos con una nueva dieta. Para probar dicha dieta se seleccionaron al azar 100 cerdos al nacer, se les aplicó dicha dieta y se anotó su peso al llegar a la edad adulta, obteniéndose un peso medio de 202 kg. Se supone además que el peso del cerdo adulto sigue una distribución normal con desviación típica de 16 kg. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la dieta no ha dado los resulta-

dos esperados, frente a la alternativa de que sí ha conseguido aumentar el peso medio de los cerdos.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52; F(0’95) = 0’83; F(1’25) = 0’89; F(1’64) = 0’95; F(1’96) = 0’975.)

• Sol.: b) La nueva dieta no ha dado los resultados esperados

u III.122 (2014) En una determinada población, se sabe que: § el 40% de los individuos son rubios, § el 25% de los individuos son de ojos azules, § el15% de los individuos son rubios y de ojos azules. Si se elige un individuo al azar: a) Si es rubio, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos azules? b) Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no sea rubio?

• Sol.: a) 3/8; b) 2/5.

u III.123 (2014) Se sortea un crucero entre los últimos 200 clientes de una agencia de viajes. De ellos se sabe que 140 clientes son mujeres, 100 clientes tienen hijos y 60 clientes son muje-res con hijos. a) Si la persona afortunada se sabe que tiene hijos, ¿cuál será la probabilidad de que

sea mujer? b) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el crucero a un hombre sin hijos?

• Sol.: a) 3/5; b) 1/10.

u III.124 (2014) Cuando las ventas medias por establecimiento autorizado de una marca de coches caen por debajo de las 150 unidades anuales, se considera razón suficiente para lan-zar una campaña publicitaria que active las ventas de esa marca. Para conocer la evo-lución de las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 100 esta-blecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de una venta media de 144 coches de esa marca durante el último año. Se supone además que las ventas anuales por establecimiento se distribuyen normalmente con una des-viación típica de 30 coches. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que no es necesario lanzar la cam-

paña publicitaria, frente a la alternativa de que sí lo es, puesto que las ventas me-dias han bajado de las 150 unidades anuales.

115 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52; F(0’95) = 0’83; F(1’64) = 0’95; F(1’96) = 0’975; F(2) = 0’98.)

• Sol.: b) Sí es necesario lanzar la campaña.

u III.125 (2015) El candidato A se presenta a unas elecciones. En un sondeo previo se preguntó a 500 personas seleccionadas al azar de la población de votantes y 265 de ellas manifesta-ron su intención de votar a dicho candidato A. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el candidato A no va a sacar más

del 50% de los votos, frente a la alternativa de que sí lo va a hacer. b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del

3%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’03) = 0’512, F(0’97) = 0’834, F(1’34) = 0’91, F(1’88) = 0’97, F(2’17) = 0’985.)

• Sol.: b) No va a sacar más del 50% de los votos.

u III.126 (2015) Se sabe que en una ciudad el 50% de la población son hombres, el 30% de la pobla-ción consume aceite de girasol y el 20% son hombres que consumen aceite de girasol. Se elige una persona al azar de dicha ciudad. a) Si es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que consuma aceite de girasol? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y consuma aceite de girasol?

• Sol.: a) 2/5; b) 1/10.

u III.127 (2015) Una empresa de suministros electrónicos ha publicitado ampliamente su negocio. El gerente de la misma espera que como resultado de dicha campaña publicitaria las ventas medias semanales pasen a ser mayores de los 7880 € que la empresa ingresó en el pasado. Para comprobar si esto es así, el gerente considera una muestra aleato-ria de 36 semanas para las que la media de ventas ha sido de 8023 €. Se supone además que las ventas semanales de esta empresa siguen una distribución normal con una desviación típica de 286 €. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la publicidad no ha surtido efec-

to, frente a la alternativa de que sí lo ha hecho. b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del

1%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’01) = 0’504, F(0’99) = 0’839, F(2’33) = 0’99, F(2’58) = 0’995, F(3) = 0’999.)

• Sol.: b) Las ventas sí han aumentado.

u III.128 (2015) El 60% de los pedidos de una empresa son realizados por organismos públicos y el resto por organismos privados. En los organismos públicos, el 10% de los pedidos son pagados al contado, mientras que en los organismos privados este porcentaje es del 25%. a) De entre los pedidos de esa empresa, ¿qué porcentaje se paga al contado? b) De entre los pedidos que se pagan al contado, ¿qué porcentaje son de organismos

privados? • Sol.: a) 4/25; b) 5/8.

u III.129 (2015)

Según un estudio de audiencia, en el último mes se sintonizaron cadenas públicas el 20% del tiempo y el resto cadenas privadas. Dentro de las públicas, el 30% del tiempo

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 116

se dedica a emisión de películas o series, mientras que dentro de las privadas el por-centaje de emisión de películas o series es del 50%. Según estos datos, si se hubiese seleccionado una televisión al azar entre las encendidas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que estuviese sintonizando un canal público en el que

se estuviese emitiendo una película o serie? b) ¿Cuál es la probabilidad de que estuviese sintonizando una película o serie?

• Sol.: a) 3/50; b) 23/50.

u III.130 (2015) Una asociación asegura que al menos el 45% de las familias tiene problemas para llegara fin de mes. Para comprobar dicha afirmación un periódico realiza un estudio con 1000 familias, de las cuales 410 aseguran tener problemas para llegar a fin de mes. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la afirmación de la asociación es

correcta, frente a la alternativa de que el porcentaje de familias con problemas para llegar a fin de mes es menor del 45%.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’95) = 0’83, F(1’64) = 0’95, F(1’96) = 0’975, F(2,54) = 0’994.)

• Sol.: b) La afirmación de la asociación es falsa.

u III.131 (2015) Hace un año el 20% de los niños de cierta región tenía colesterol. Se hizo entonces una campaña educativa sobre hábitos alimenticios saludables. Para contrastar si fue efectiva, se ha tomado una muestra aleatoria de 500 niños y se ha obtenido que 80 de ellos padecen colesterol. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la campaña no ha sido efectiva,

frente a la alternativa de que sí ha disminuido el porcentaje de niños con colesterol. b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del

5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’2) = 0’579, F(1’64) = 0’95, F(1’96) = 0’975, F(2,24) = 0’987.)

• Sol.: b) el nivel de colesterol ha disminuido.

u III.132 (2015) El 30% del café que vende un determinado supermercado es descafeinado. De éste, el 20% es de marca blanca, mientras que del café vendido que no es descafeinado, sólo un 10% es de marca blanca. a) ¿Qué porcentaje del café vendido es de marca blanca y descafeinado? b) ¿Qué porcentaje del café vendido es de marca blanca?

• Sol.: a) 6%; b) 13%.

u III.133 (2015) La edad media de los adictos a una determinada droga en cierta región era de 18 años. Después de cinco años de campañas de concienciación social en colegios e institutos, se ha tomado una muestra aleatoria de 100 personas adictas a dicha droga y se ha obtenido que su edad media es de 19’5 años. Se supone además que la edad de este tipo de personas sigue una distribución normal con desviación típica 1 año. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que las campañas no han sido efecti-

vas, frente a la alternativa de que sí lo han sido al aumentar la edad de los adictos. b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del

5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’95) = 0’83, F(1’64) = 0’95, F(1,96) = 0’975 y F(15) = 1’00.)

117 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

• Sol.: b) la edad media ha aumentado.

u III.134 (2015) El 30% de los clientes de una compañía de seguros tiene asegurado su coche. De ellos, el 45% tiene además asegurada su vivienda. Entre los que no tienen asegurado su coche, el 70% tiene asegurada su vivienda. Si se elige un cliente al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga asegurado su coche y su vivienda en la

compañía? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga asegurada su vivienda en la compañía?

• Sol.: a) 0.135; b) 0.625.

u III.135 (2015) En un banco saben que el 60% de los clientes tienen contratado algún tipo de présta-mo. De ellos, el 20% ha tenido alguna vez un descubierto. Por otra parte, saben que el 8% de los clientes no tienen contratado ningún préstamo y han tenido alguna vez un descubierto. a) ¿Qué porcentaje de los clientes del banco ha tenido alguna vez un descubierto? b) Dentro del grupo de clientes que ha tenido alguna vez un descubierto, ¿qué porcen-

taje no tiene contratado ningún préstamo? • Sol.: a) 20%; b) 40%.

u III.136 (2015)

El contrato laboral de un empleado exige que el tiempo medio de procesado por pieza sea menor de 40 minutos. Para comprobar si el empleado está cumpliendo con dicho contrato, el gerente consideró una muestra aleatoria de 49 piezas fabricadas por él y obtuvo que en ellas el tiempo medio de procesado fue de 37’5 minutos. Se supone además que el tiempo de procesado de dicho empleado se distribuye normalmente con una desviación típica de 5 minutos. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el empleado no cumple el contra-

to frente a la alternativa de que sí lo cumple, puesto que el tiempo medio de proce-sado por pieza es menor de 40 minutos.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’95) = 0’83, F(1’64) = 0’95, F(1,96) = 0’975 y F(3’5) = 0’9998.)

• Sol.: b) el empleado sí cumple el contrato. u III.137 (2016)

El 80% de los clientes de un hotel viaja por motivos laborales. De ellos, el 50% son españoles. Para los que no viajan por motivos laborales, el porcentaje de españoles es el 25%. a) De entre los clientes del hotel, ¿qué porcentaje son españoles? b) De entre los españoles, ¿qué porcentaje no viaja por motivos laborales?

Sol.: a) 45%; b) 11.1%. u III.138 (2016)

El gerente de una empresa sabe que históricamente el 40% de los nuevos productos lanzados ha sido un éxito y el resto ha sido un fracaso. De entre los que fueron un éxito, el 80% había recibido un informe previo favorable y de entre los que fueron un fracaso, el 30% habían recibido un informe previo favorable. Según estos datos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo producto tenga un informe favorable y

sea un éxito? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo producto sea un éxito si tiene un informe

favorable? Sol.: a) 8/25; b) 16/25.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 118

u III.139 (2016)

Un líder político afirma que menos de una quinta parte de los egresados universitarios españoles encuentran trabajo antes de un año. Para contrastar dicha afirmación un periódico realizó un estudio con 3600 egresados universitarios de los cuales 420 ha-bían encontrado trabajo en el primer año. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la afirmación del líder político no

es correcta, frente a la alternativa de que el porcentaje de egresados que encuen-tran trabajo el primer año es menor del 20%.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’95) = 0’83, F(1’64) = 0’95, F(1,96) = 0’975 y F(12’5) = 1.)

Sol.: b) La afirmación del político es corecta. u III.140 (2016)

Una encuesta realizada hace una década reveló que el 78% de quienes respondieron consideraron que estaban económicamente mejor que sus padres. Se ha repetido re-cientemente dicha encuesta y se obtuvo que 370 de las 500 personas encuestadas respondieron que estaban económicamente mejor que sus padres. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el porcentaje de personas que

consideran que están económicamente mejor que sus padres no ha descendido en la última década, frente a la alternativa de que sí lo ha hecho, siendo dicho porcen-taje menor de del 78%.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 4%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’04) = 0’52, F(0’96) = 0’83, F(1’75) = 0’96, F(2,05) = 0’98 y F(2’16) = 0’985.)

Sol.: b) El porcentaje ha descendido. u III.141 (2016)

De las ventas de una empresa, el 60% se hace por internet y el resto en tienda. De quienes compran por Internet, el 80% son hombres, mientras que de los que compran en tienda solo el 40% son hombres. Si se elige un cliente al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? b) Si es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado por internet?

Sol.: a) 16/25; b) 3/4. u III.142 (2016)

Un partido político de determinada región considera que el gasto medio por estudiante en dicha región está por debajo del promedio nacional que es de 5536 euros. Para contrastar esta afirmación se toma una muestra aleatoria de 1200 estudiantes de la región, para los que se obtiene que el gasto medio ha sido de 5102 euros. Se supone además que el gasto por estudiante en esa región sigue una distribución normal con desviación típica 1253 euros. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el gasto medio por estudiante en

esa región es mayor o igual que el nacional, frente a la alternativa de que es menor de los 5536 euros nacionales.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 2%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’02) = 0’51, F(0’98) = 0’84, F(2’05) = 0’98, F(2,33) = 0’99 y F(12) = 1.)

Sol.: b) El partido tiene razón. u III.143 (2016)

119 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

Se sabe que el 20% de la población de determinado barrio se puede clasificar como de clase media y el resto como de clase baja. Tras realizar un estudio, se sabe que dentro de los de clase media, el 70% acude periódicamente al dentista, pero ese por-centaje baja hasta el 45% entre los de clase baja. a) Seleccionado un individuo al azar de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que

sea de clase media y no acuda al dentista periódicamente? b) Si un individuo de dicho barrio acude al dentista periódicamente, ¿cuál es la proba-

bilidad de que sea de clase media? Sol.: a) 3/50; b) 7/25.

u III.144 (2016)

Al comenzar un mes, un supermercado va a poner en marcha una de las dos medidas de marketing siguientes: regalar bonos de descuento con cada compra o hacer una campaña publicitaria en los autobuses de la ciudad. Por cuestiones económicas, la probabilidad de que opte por la campaña publicitaria es de 0’4, con lo que con probabi-lidad 0’6 optaría por regalar bonos. Por otro lado, se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas es 0’1 si regala los bonos y 0’5 si realiza la campaña de publici-dad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese mes el supermercado haga la campaña

publicitaria y además consiga aumentar las ventas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el supermercado aumente las ventas en ese mes?

Sol.: a) 0.2; b) 0.26. u III.145 (2016)

El gobierno afirma que al menos el 70% de la población está de acuerdo con ciertas medidas que ha tomado. Para analizar si esto es verdad, un periódico realiza una en-cuesta a la que responden 3000 individuos mayores de edad elegidos al azar en dicha población, de los cuales 1800 dicen estar de acuerdo con las medidas adoptadas por el gobierno y el resto estar en desacuerdo. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el gobierno tiene razón frene a la

alternativa de que menos del 70% de la población está de acuerdo con las medidas tomadas.

b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(-11’95) = 0’000, F(0’05) = 0’520, F(0’95) = 0’829, F(1’64) = 0’95 y F(1’96) = 0’975.)

Sol.: b) El gobierno no tiene razón. u III.146 (2016)

De las pernoctas en una estación de esquí, el 75% son en apartamento y el resto en hotel. De los apartamentos, el 80% tiene DVD, mientras que de los hoteles sólo el 60% tiene DVD en las habitaciones. a) ¿Qué porcentaje de pernoctas se hace en apartamento con DVD? b) ¿Qué porcentaje de pernoctas se hace en alojamientos (hoteles o apartamentos)

con DVD? Sol.: a) 60%; b) 75%.

u III.147 (2016)

Una compañía envasa únicamente botellas de 33 y 50 cl. De su producción, un 20% de las botellas son de 33 cl y el resto son de 50 cl. Dentro de las botellas de 33 cl, un 10% tienen un llenado defectuoso. Además se sabe que entre las botellas que tienen un llenado defectuoso, un cuarto de ellas son de 33 cl. Elegida una botella al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 33 cl y tenga un llenado defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un llenado defectuoso?

Sol.: a) 0.02; b) 0.08.

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 120

u III.148 (2016)

El consumo medio mensual por familia en una determinada región hace 10 años era de 1000 euros. Para analizar los efectos de la crisis financiera se considera una mues-tra aleatoria de 400 familias de dicha región y se obtiene un consumo medio mensual de 900 euros. Se supone además que el consumo mensual familiar en dicha región sigue una distribución normal de desviación típica 1600 euros. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el consumo medio no ha des-

cendido, frente a la alternativa de que sí lo ha hecho. b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del

5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0’05) = 0’52, F(0’95) = 0’83, F(1’25) = 0’894, F(1’64) = 0’95 y F(1’96) = 0’975.)

Sol.: b) El consumo no ha diminuído. u III.149 (2017)

El 80% de los clientes de un hotel viaja por motivos laborales. De ellos, el 50% son españoles. Para los que no viajan por motivos laborales, el porcentaje de españoles es el 25%. a) De entre los clientes del hotel, ¿qué porcentaje son españoles? b) De entre los españoles, ¿qué porcentaje no viaje por motivos laborales?

Sol.: a) ; b) u III.150 (2017)

En un estudio sobre el gasto diario por turista en determinada región, se tomó una muestra aleatoria de 3600 turistas, para los que su gasto medio diario fue de 68 euros. Suponiendo que el gasto diario sigue una distribución normal con desviación típica 40, se pide: a) Construir un intervalo de confianza para el gasto medio diario de los turistas de esa

región, al 95% de confianza. b) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para que pueda estimarse el ver-

dadero gasto medio diario a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 1 euro y un nivel de confianza del 95%?

Sol.: a) ; b)

u III.151 (2017) En una fábrica el 40% de la producción es realizada por la línea A y el 60% restante por la línea B. De las piezas fabricadas por la línea A, el 5% son defectuosas, mientras que de las fabricadas por la línea B solo el 2% son defectuosas.

a) ¿Cuál es el porcentaje de piezas defectuosas de las producidas en dicha fábri-ca?

b) Si una pieza elegida al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que ha-ya sido producida por la línea A?

Sol: a) ! " = 0,032 ≈ 3,2% ; b) !(#/%) = 0,625

u III.152 (2017) En una muestra aleatoria de 250 personas en edad laboral de una determinada zona se encuentra que 35 de ellas están en paro.

a) Halla, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo para estimar la propor-ción de personas en paro en esa zona.

b) En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? Considerando di-cha muestra, ¿qué le ocurriría al error de estimación si disminuye el nivel de

121 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

confianza?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1,28) = 0,90; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2,33) = 0,99; F(2,58) = 0,995.)

Sol: a) (0,097; 0,183) ; b) ! = 0,043 . El error de estimación sería más pequeño.

u III.153 (2017) En una empresa se sabe que el 80% de sus trabajadores son de nacionalidad españo-la y el resto no. También se sabe que el 30% de sus trabajadores son mujeres de na-cionalidad española. Se elige una persona al azar de dicha empresa.

a) Si es de nacionalidad española, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y de nacionalidad española?

Sol: a) ! "

# = 0,375 ; b) ! " ∩ $ = 0,5

u III.154 (2017) Se considera una muestra aleatoria de 81 personas del mismo rango de edad de la ciudad A para las que el rendimiento medio de un test conductual ha sido de 16,8 pun-tos. Se supone adema ́s que el rendimiento sigue una distribución normal con una desviación típica de 4,2 puntos.

a) Construir un intervalo de confianza para el rendimiento medio de las personas de ese rango de edad en esa ciudad, al 99% de confianza.

b) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero rendimiento medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 1,5 puntos y un nivel de confianza del 99%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1,28) = 0,90; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2,33) = 0,99; F(2,58) = 0,995.)

Sol: a) (15,60; 18,00); b) ! ≥ 52,19 ≈ 53 personas

u III.155 (2017) El 30% de los estudiantes de un instituto practica fútbol. De entre los que practican fútbol, el 40% practica además baloncesto. De entre los que no practican fútbol, un cuarto practica baloncesto. Elegido un estudiante de ese instituto al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que practique ambos deportes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que practique el baloncesto?

Sol: a) ! " ∩ $ = 0,12 ; b) ! " = 0,295

u III.156 (2017)

En una piscifactoría se desea estimar el porcentaje de peces pequeños. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 700 peces y se encuentra que exactamente 70 de ellos son pequeños.

a) Halla, con un nivel de confianza del 99%, un intervalo para estimar la propor-ción de peces pequeños en la piscifactoría.

b) En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? Considerando di-cha muestra, ¿qué le ocurriría al error de estimación si aumentase el nivel de confianza?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1,28) = 0,90; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2,33) = 0,99; F(2,58) = 0,995.)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 122

Sol: a) (0,071; 0,129) ; b) ! = 0,029 . El error de estimación sería más grande.

u III.157 (2017)

En una empresa, el 30% de los empleados son mujeres y el 70% restante son hom-bres. De las mujeres, el 80% pasa un determinado test, mientras que, del grupo de los hombres, solo el 70 % pasa dicho test.

a) Obtener el porcentaje de personas de dicha empresa que pasa el test. b) Si una persona pasa el test, obtener la probabilidad de que sea mujer.

Sol: a) ! " = 0,73 ≅ 73% ; b) !(#/%) = ()

*+ ≈ 0,33 u III.158 (2017)

Un consumidor está convencido de que el peso escurrido medio de un producto es menor que el que indican las latas. Para estudiar este hecho, el consumidor toma una muestra aleatoria simple de 100 latas en las que se ha observado un peso escurrido medio de 245 g. Se supone adema ́s que el peso escurrido por lata sigue una distribu-ción normal con desviación típica 9 g.

a) Construir un intervalo de confianza para el peso medio escurrido de las latas de ese producto, al 90% de confianza.

b) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero peso medio escurrido a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 2 g y un nivel de confianza del 90%?

(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(1,28) = 0,90; F(1,64) = 0,95; F(1,96) = 0,975; F(2,33) = 0,99; F(2,58) = 0,995.)

Sol: a) (243,52; 246,48) ; b) ! ≥ 54,46 ≈ 55 latas.

u III.159 (2018)

En una empresa trabajan 10 hombres y 20 mujeres. La mitad de los hombres y la mi-tad de las mujeres tienen titulación superior. Si se sabe que un día asisten al trabajo 29 personas, encuentra la probabilidad de que la persona que falta sea:

a) Hombre y tenga titulación superior. b) Hombre o tenga titulación superior.

Sol: a) !(# ∩ %&) = 1/6 ; b) !(# ∪ %&) = 2/3

u III.160 (2018)

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 10% son economis-tas, no habiendo empleados con dos titulaciones. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 80% de los economistas también, mientras que de los no ingenie-ros y los no economistas solamente el 10% ocupan un puesto directivo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea directivo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar entre los directi-

vos sea ingeniero?

Sol: !(#) = 0,3 ; b) !(#/%) = 0,5

u III.161 (2018) a) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para que pueda estimarse la

verdadera proporción de mujeres que ocupan cargos ministeriales en el mundo a

123 Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles

partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0,03 y un nivel de confianza del 95%?

b) En una muestra aleatoria de 550 ministerios de distintos países realizada en enero de 2017 se obtuvo que solo 99 de los cargos ministeriales estaban ocupados por mujeres. En función de esta muestra obtén, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo para estimar la proporción de mujeres que ocupan cargos ministeriales en el mundo.

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: ! 1,28 = 0,90; ! 1,64 = 0,95; ! 1,96 = 0,975; ! 2,33 = 0,99; !(2,58) = 0,995. )

Sol: a) ! ≥ 1067,11 ≅ ! = 1068 ; b) (0,1479; 0,2121)

u III.162 (2018)

Un grupo de psicólogos desea conocer el comportamiento de los cocientes intelectua-les de un colectivo de individuos con cierta patología común. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 400 de ellos, obteniendo que la suma de los cocientes inte-lectuales de estas 400 personas es 36690. Se supone además que el cociente intelec-tual sigue una distribución normal con desviación típica 2,6.

a) Construye un intervalo de confianza para el cociente intelectual medio de este colectivo, al 99% de confianza. b) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero co-ciente intelectual medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0,8 y un nivel de confianza del 99%?

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: ! 1,28 = 0,90; ! 1,64 = 0,95; ! 1,96 = 0,975; ! 2,33 = 0,99; !(2,58) = 0,995. )

Sol: a) (91,39; 92,06) ; b) ! ≥ 70,31 ≅ ! = 71

u III.163 (2018)

En un determinado banco, el 90% de los clientes tienen fondos. De ellos, el 40% tiene talonario de cheques. En cambio, entre los clientes sin fondos, el porcentaje de ellos que tienen talonario de cheques pasa a ser del 100 %. Si se elige un cliente al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga fondos y talonario de cheques? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga talonario de cheques?

Sol: a) !(# ∩ %) = 0,36 ; b) !(#) = 0,46

u III.164 (2018)

En una clase formada por 10 chicos y 10 chicas, el 40% de los chicos tienen francés como asignatura optativa. Además, se sabe que el 5% de la clase son chicas que tie-nen francés como asignatura optativa.

a) ¿Qué porcentaje de la clase tiene francés como asignatura optativa? b) Dentro del grupo de estudiantes que tiene francés como asignatura optativa,

¿qué porcentaje son chicas?

Sol: ! " = 0,25; 25% ; b) ! "/$ = 0,2; 20%

u III.165 (2018)

Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 124

Para estimar la altura media de los hombres de un país, se considera una muestra aleatoria de 1600 hombres para la que se obtiene que la estatura media es de 180,3 cm. Se supone además que la estatura sigue aproximadamente una distribución nor-mal con desviación típica 4 cm.

a) Construye un intervalo de confianza para la altura media de los hombres de ese país, al 95% de confianza.

b) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la verdadera al-tura media de los hombres a partir de la media muestral con un error de esti-mación máximo de 1 cm y un nivel de confianza del 95%?

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: ! 1,28 = 0,90; ! 1,64 = 0,95; ! 1,96 = 0,975; ! 2,33 = 0,99; !(2,58) = 0,995. )

Sol: a) 180,104; 180,496 ; b), ≥ 61,47 ≅ , = 62

u III.166 (2018) Para estimar la proporción de personas adultas que tienen determinada enfermedad en un país se considera una muestra aleatoria de 1000 adultos de dicho país, de los cuales 100 personas padecen dicha enfermedad.

a) Halla, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la propor-ción de personas que padecen dicha enfermedad en ese país.

b) En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese aumentado el tamaño muestral?

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: ! 1,28 = 0,90; ! 1,64 = 0,95; ! 1,96 = 0,975; ! 2,33 = 0,99; !(2,58) = 0,995. )

Sol: a) 0,084; 0,116 ; b) ! = 0,016 ; disminuye el error de estimación.