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Matemáticas

1. La magia de losnúmeros

¿Quieres ser un matemago?

¿Te has preguntado alguna vez qué hay detrás de los trucos demagia? ¿Crees que los magos tienen una habilidad especial?¿Por qué siempre realizan sus trucos con éxito?

En esta unidad aprenderás a realizar varios trucos en los que losnúmeros naturales juegan un papel esencial. ¡Te convertirás en ungran matemago!

El espectáculo está a punto de comenzar...

¿Por qué son importantes los números naturales? ¿Los suelesutilizar a menudo? ¿Y las potencias y las raíces? ¿Sabes qué esel sistema binario? ¿Te imaginas qué relación pueden tener lasmatemáticas y la magia?

2——

1. Los números naturales¿Qué son los números naturales? ¿Por qué son tan importantes? ¿Cómo se llegó a su representaciónactual? ¿Cuál fue su evolución?

La evolución del número escritoLos números naturales surgieron porque el hombre tenía la necesidad de enumerar objetos. En susinicios, se cree que las tribus prehistóricas solo manejaban los conceptos de uno, dos y muchos; ¿teimaginas no saber contar más de tres objetos?, ¡nos daría igual tener 10 € que 100 €!

Los primeros indicios de numeración escrita se encuentran en Mesopotamia sobre el año 4000 a.C. Poraquel entonces los números se representaban con muescas en tablas o palos aunque, poco a poco, fueronevolucionando y su representación fue cada vez más compacta. Esta evolución estaba generada por lanecesidad de operar con ellos, ya que no era suficiente el poder contar objetos, y las representacionesmás básicas no les permitían realizar operaciones de forma sencilla.

Hasta llegar a la notación actual, los sistemas de numeración más utilizados fueron los siguientes:

3——

Los números naturales

Un número natural es cualquier número que nos permite contar los elementos de unconjunto. El conjunto de todos estos números se denota por y se representa como:

= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Los números naturales se utilizan para:

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Actividades1. Indica qué uso de número natural se utiliza en cada una de las siguientes situaciones:

a. Los alumnos se sientan en función de sus apellidos.

b. El peso de María es de 59 kg.

c. El código postal de mi calle es 15706.

d. Coger un tique en la carnicería y esperar mi turno.

e. El cupo de participantes aún no está lleno, disponemos de 50 plazas y solo están cubiertas 20.

f. Javier está haciendo una tarta y comprueba las proporciones de los ingredientes de la receta de sumadre.

g. Lucía calcula el dinero que le sale a devolver en la declaración de la renta.

Los sistemas de numeración. El sistema decimal

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que nos permiten leer yescribir cualquier número.

Podemos clasificar los sistemas de numeración en dos categorías:

1. Sistemas de numeración no posicionales: son aquellos que acumulan tantos símbolos comosean necesarios hasta completar el número. El ejemplo más conocido es el sistema romano, enel cual se introduce una regla sobre el orden de los símbolos. Otros sistemas de numeración noposicionales son el egipcio y el griego.

2. Sistemas de numeración posicionales: son aquellos en los que el valor de un dígito depende dela posición que ocupa al escribir el número, es decir, según sea el orden de las cifras, el número esdistinto.

¿Sabes a cuál de los anteriores pertenece nuestra forma de contar? Hagamos una prueba.

Los números 632 y 236 tienen ambos las mismas cifras, es decir, en ambos aparecen el 2, el 3 y el 6.Pero, ¿cuánto vale el número dos en 632?, ¿y cuánto en 236? Como puedes comprobar, en el primer casovale 2 y en el segundo caso vale 200.

5——

¿Cuál es la diferencia entre estos dos valores de 2? Que están colocados en lugares distintos, es decir,una cifra tiene un valor distinto según su posición, por este motivo nuestro sistema es posicional.

Además, como las cifras que usamos son 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) también se llama sistemadecimal.

Para nombrar los lugares donde se colocan las cifras (también llamadas dígitos porque, al igual que losdedos, son 10) se empieza a contar de derecha a izquierda en el número y reciben los nombres de:

• Unidades.

• Decenas. Grupos de diez unidades.

• Centenas. Se forman con un grupo de diez decenas.

• Unidades de millar. Son diez centenas.

• Decenas de millar. Es un grupo de diez unidades de millar.

• Centenas de millar. Formadas por diez decenas de millar.

Por ejemplo, en el número 167 093, los valores de sus cifras serían los siguientes:

CENTENASDE MILLAR

DECENASDE MILLAR

UNIDADESDE MILLAR

CENTENAS DECENAS UNIDADES

1 6 7 0 9 3

Actividades2. Responde a las siguientes cuestiones:

a. Escribe con letra el número 52 133.

b. Escribe el número sesenta mil cuatrocientos noventa y ocho.

c. Indica el valor posicional que tiene el 7 en estos números:

• 15 476

• 734 568

• 77 007

• 20 708

d. 58 centenas, 42 decenas y 8 unidades, ¿a qué número equivale? Pista: Para dar solución a laactividad, piensa primero en qué valor tiene el 4 de las 42 decenas.

3. Teniendo en cuenta lo visto en la explicación anterior, completa la siguiente tabla:

NÚMERO DECENAS DEMILLAR

UNIDADESDE MILLAR

CENTENAS DECENAS UNIDADES

13 282

7952 0 0

102 645

3 0 13 8 7

6——

1 4 8 12 2

2. El sistema binario

Las tarjetas mágicas

¡Trucos de Matemagos!

¿Crees que es posible adivinar el número exacto que ha elegido tu compañero de entre lassiguientes tarjetas? ¿Cómo lo harías?

¡A continuación te vamos a dar las claves para poder hacer este truco todas las veces quequieras!

Descarga e imprime estas tarjetas.

Para realizar este juego es necesario que os agrupéis de dos en dos. Dile a tu pareja queescoja un número que se encuentre en cualquiera de las tarjetas. Ese número es secreto y túno puedes saberlo, pero ¡lo vas a adivinar!

Pídele que seleccione las tarjetas en las que aparece dicho número, las demás las puedesdescartar.

A continuación, busca cuál es el número más pequeño que aparece en las esquinas de cadatarjeta (fíjate que está marcado con un pequeño puntito para buscarlo rápidamente). ¡Consolo sumar los números más pequeños de cada tarjeta, tendrás el número escogido por tupareja!

7——

Para que lo entiendas bien y puedas sorprender a tu amigo, vamos a realizar un ejemplopráctico. Supón que las tarjetas elegidas son estas:

Los números más pequeños son el 8 en la azul, el 16 en la roja y el 32 en la verde. Observaque podemos descomponer estos números en producto de doses:

Si sumamos estos tres números tenemos que 8 + 16 + 32 = 56.

Comprueba que este número aparece en las tres tarjetas, ¿lo encuentras? Este será elnúmero que había escogido la persona que seleccionó estas tres tarjetas.

Realiza este juego con tu compañero. ¿Has sido capaz de acertar su número?

Intercambiad los papeles, ahora te toca a ti pensar un número.

El sistema binario¿Te ha gustado el truco? Ya sabes como hacerlo, pero, ¿te gustaría saber qué hay detrás de él?, ¿magia omatemáticas?

Para poder llevar a la práctica este juego tenemos que recurrir al sistema binario, que es un sistema denumeración posicional, pero en el que solo se utilizan las cifras 0 y 1. Este sistema es la base del lenguajede los ordenadores y en él cada cifra de un número se llama bit.

8——

Los números 0 y 1 se escriben de la misma forma que en el sistema decimal, sin embargo, a partir del 1debemos combinar estas cifras para obtener los diferentes números (recuerda que ahora solo tenemos doscifras, 0 y 1). ¿Cómo escribimos un número en el sistema decimal cuando se nos acaban las cifras?

En el sistema decimal, empezamos escribiendo las cifras de las unidades:

0, 1, 2, 3, 4, …, 9

Cuando se acaban las cifras para las unidades, escribimos un 1 en las decenas y un cero en las unidades:10. El siguiente número continúa teniendo un 1 en las decenas y un 1 en las unidades, el siguiente tambiéntiene un 1 en las decenas y un 2 en las unidades, …

10, 11, 12, 13, 14, …, 19

¿Ves la regla? ¿Cómo hacemos cuando pasamos de 19? Ponemos un 2 en las decenas y vuelta aempezar.

20, 21, 22, 23, …, 29

Así hasta que llegamos a 99, donde se nos acaban las combinaciones, por lo que tenemos que repetir elprocedimiento anterior colocando un 1 en las centenas y un 0 en la posición de las decenas y unidades,100.

100, 101, 102, ..., 109

El sistema binario, al ser posicional, utiliza el mismo sistema que el decimal, pero con solo 2 cifras, el 0 yel 1. Veamos cómo escribimos los números:

Para escribir el cero y el uno, lo hacemos igual que en el sistema decimal, pero, ¿cómo escribimos el dossi no tenemos una cifra distinta para él? Al igual que hacíamos con el sistema decimal, colocamos un 1 enel lugar de orden superior (el lugar de las decenas) y un cero en las unidades.

El dos lo representamos en binario como: 10.

¿Y el tres? Un 1 en las decenas y otro en las unidades: el tres se representa en binario como 11.

9——

Ya hemos agotado las posibilidades con dos lugares, así que para escribir el 4 tendremos que subirun nivel y colocar un 1 en el tercer lugar (el lugar que ocupan las centenas en el decimal). El cuatro seescribirá: 100.

Continuando este procedimiento, los 10 primeros números en sistema binario se escribirían así:

NÚMERO DECIMAL NÚMERO BINARIO

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

¿Serías capaz de continuar escribiendo los números del 11 al 15? Fíjate en lo siguiente:

NÚMERO DECIMAL NÚMERO BINARIO

3 11 = 1 · 2 + 1 · 1 = 3

4 100 = 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = 4

5 101 = 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 5

8 1000 = 1 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = 8

¿Te has dado cuenta? El número binario se obtiene de multiplicar el uno o el cero por 1, 2, 4, 8..., es decir,por potencias de 2, dependiendo del lugar donde se encuentre el 0 o el 1.

Es lo mismo que se hace en el sistema decimal con 1, 10, 100... Que se multiplica la cifra (de 0-9) por lasanteriores cantidades, dependiendo del lugar que ocupe.

Un 1 en el lugar de las centenas en el sistema decimal significa que tenemos que multiplicar por 100(10 · 10) mientras que un 1 en el lugar de las centenas en el sistema binario significa que tenemos quemultiplicar por 4 (2 · 2).

Algo parecido pasa para las unidades de millar, en el sistema decimal multiplicamos la cifra de ese lugarpor 1000 (10 · 10 · 10) y en el binario por 8 (2 · 2 · 2). ¿Entiendes el procedimiento?

Mira como descomponemos el número 35 en el sistema decimal:

35 = 3 ·10 + 5 · 1

10——

Observa como se descompone en el sistema binario:

35 = 1 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 =

1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 + 0 · 2 · 2 · 2 · 2 + 0 · 2 · 2 · 2 + 0 · 2 · 2 + 1 · 2 + 1 · 1 = 10011

Ahora piensa en los números utilizados en el truco de las tarjetas mágicas. ¿Crees que serías capaz deobtener el númerio binario de cada uno?

¡Por supuesto que sí! Pero también es cierto que llevaría mucho tiempo. El procedimiento que acabamosde ver solo nos resulta útil cuando el número que queremos expresar en el sistema binario no es muygrande.

En otro caso, tendremos que utilizar otro método.

Sigue los siguientes pasos para encontrar la expresión de 56 en sistema binario:

1. Dividimos el número entre 2.

2. Dividimos el cociente obtenido entre 2 y así sucesivamente hasta que no podamos seguir más (esdecir, hasta que el cociente sea 1).

3. Escribimos el último cociente obtenido (siempre es 1) y a continuación los sucesivos restos en elorden inverso al orden de obtención.

32 16 8 4 2 1

56 1 1 1 0 0 0

4. El número obtenido es el número 56 escrito en el sistema binario: 111000

Actividades1. Completa la siguiente tabla usando el algoritmo anterior:

NÚMERO DECIMAL NÚMERO BINARIO

45

122

1010

11010

11——

¿Bits, bytes, kilobytes...?Dado que el bit es la unidad de medida más pequeña en el sistema binario, es necesario considerarunidades de medida superiores que nos permitan expresar cantidades grandes de forma sencilla. Las másutilizadas son las siguientes:

• 1 bit (unidad más pequeña)

• 1 byte = 8 bits

• 1 kilobyte = 1024 bytes

• 1 megabyte = 1024 kilobytes

• 1 gigabyte = 1024 megabytes

Actividades2. Seguro que todas estas unidades te suenan pero, si te proponemos la siguiente actividad, ¿serías capazde asociar a cada dispositivo la unidad en la que se mide su capacidad? Ten en cuenta que en algunosdispositivos puede medirse en varias unidades.

• Un mp3

• Una película en DivX

• Un archivo de texto

• Una canción

3. A diferencia de lo que sucede con las unidades del sistema métrico decimal, para pasar de unasunidades a otras en el sistema binario, no multiplicamos por 10 o por sus potencias. Observa que un byteson 8 bits, y no 10, como podrías esperar.

Fíjate bien. ¿No te parece un poco raro el hecho de que de una unidad a otra no haya que operar conpotencias de 10?, ¿cuál crees que es el motivo? ¿Qué relación hay entre 2, 8 y 1024?

¿Sabes cuál es el motivo? ¡Seguro que has acertado! El paso de unas unidades a otras se hacemultiplicando por 2 un cierto número de veces.

Sabiendo que un kilobyte son 1024 bytes, ¿cuántas veces tienes que multiplicar 2 por sí mismo paraobtener 1024? Ayúdate de un compañero para buscar la respuesta juntos.

Te proponemos que busques ahora en internet imágenes de tarjetas de memoria y observes cuáles sonsus capacidades. ¿Qué relación tienen con el 2 los números que aparecen?

3. Los números y sus reglas

Método gráfico para la multiplicación¿Has pensado alguna vez que existen otras formas de multiplicar distintas a la que tú has aprendido?¿Todas las culturas han usado los mismos métodos?

Te presentamos un modo diferente de multiplicar números de dos cifras en el que utilizaremos unarepresentación gráfica.

12——

Supongamos que queremos calcular 12 · 23. En primer lugar, representamos las decenas y las unidadesdel primero de los factores (en nuestro ejemplo, el 12) trazando tantas líneas como indiquen las decenas(1) y las unidades (2), dejando una separación entre ellas, como se ve en la imagen:

Repetimos el mismo proceso con el otro número (23), trazando ahora las nuevas líneas del siguientemodo:

Por último, se marcan con círculos los puntos de corte, se separan las zonas (izquierda, centro y derecha)mediante dos arcos, como se muestra en la imagen, y pasamos a contar los puntos de corte de izquierda aderecha.

El resultado de la multiplicación tiene 6 unidades (los puntos más a la derecha), 7 decenas (los centrales) y2 centenas (los de la izquierda), formándose así el número 276.

13——

Si en algún caso nos quedasen 10 o más puntos en una de las zonas tenemos que tener en cuenta lo queestudiamos anteriormente: 10 unidades forman 1 decena, 10 decenas forman 1 centena… Haríamos losintercambios necesarios para poder hallar correctamente el número que buscamos.

Actividades1. Calcular por el método anterior los siguientes productos:

• 22 · 11

• 15 · 23

• 43 · 61

2. Ahora, comprueba con la calculadora los resultados. ¿Cómo multiplicarías un número que tuviese uncero en alguna de sus cifras?

Propiedades de los números naturalesAhora que ya conoces cuáles son y cómo surgieron los números naturales, es el momento de que sepasmanejarlos. ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Cómo se llaman? ¿Para qué sirven? Atrévete a descubrirlo.

Hemos visto al inicio de la unidad la necesidad de operar con números naturales. Es por ello que debemosconocer las propiedades de la suma y el producto de dichos números. Veámoslo con ejemplos:

Suma y resta de números naturalesSi un amigo te da 2 euros y otro amigo te da 3, ¿cómo escribirías la operación de la cantidad que recibes?

Si cambian el orden, ¿cómo lo escribirías?, ¿influirá en el resultado final?

La primera operación sería 2 + 3 = 5 y la segunda sería 3 + 2 = 5. Cuando se suman dosnúmeros naturales el resultado es independiente del orden en que los sumemos. Esapropiedad se conoce como propiedad conmutativa.

14——Javier, María y Silvia van a juntar dinero para un regalo, aportarán 5, 7 y 3 euros, respectivamente.

a. Javier y María juntan su parte y le dan el total a Silvia para que lo junte con su dinero. Escribe laoperación correspondiente y calcula el dinero que cuesta el regalo.

b. Si son María y Silvia las que juntan su dinero primero y luego le dan el total a Javier para que lojunte con el suyo, ¿que operación realizarías?, ¿qué observas en relación al apartado anterior?

En el caso a) la operación sería (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.

En el caso b) la operación sería 5 + (7 + 3) = 5 + 10 = 15.

Como cabe esperar, el resultado es el mismo. Da igual el orden en que agrupemoslos sumandos. Es lo que se llama propiedad asociativa y puede generalizarse a mássumandos.

Además de las anteriores propiedades, existe un número que sumado con cualquierotro siempre da ese otro. ¿Adivinas cuál es? Seguro que lo has acertado, es el 0, y se ledenomina elemento neutro de la suma.

Multiplicación de números naturalesTenemos un rectángulo cuyos lados miden 4 cm y 2 cm. Calcula su área escribiendo previamente laoperación que realizas. ¿Podrías escribirlo de otra forma?

El área del rectángulo es .

También se puede escribir .

15——

El producto es igual aunque se cambie el orden de los factores, como ocurría en la suma, ytambién recibe el nombre de propiedad conmutativa.

Dos jugadas antes de terminar el juego, María tiene 5 puntos y Juan 2. En la penúltima jugada Maríaduplica sus puntos y Juan los triplica. En la última jugada María triplica sus puntos y Juan los quintuplica.¿Cuántos puntos tendrá cada uno al finalizar la partida?

Los puntos de Ana tras la penúltima jugada son 5 · 2 y tras la última serán

(5 · 2) · 3 = 10 · 3 = 30 puntos.

Los puntos de Juan tras la penúltima jugada son 2 · 3 y tras la última serán

(2 · 3) · 5 = 5 · (2 · 3) = 5 · 6 = 30 puntos.

Por lo tanto, se tiene que (5 · 2) · 3 = 5 · (2 · 3).

En un producto, el orden en que se agrupen los factores no afecta al resultado. Es lapropiedad asociativa.

Una madre le dice a sus dos hijos que les doblará la cantidad de euros que tengan si cortan el césped estatarde.

16——

Si uno tiene 4 euros y otro 5, ¿cuánto dinero tendrán en total los dos hermanos una vez les haya dado sumadre el doble de lo que tienen?, ¿cómo lo escribirías?, ¿habría otra forma de escribirlo?

Hay dos formas de resolverlo:

a. Los dos hermanos juntan primero su dinero y luego la madre les dobla dicha cantidad: (4 + 5) · 2 =9 · 2 = 18 euros.

b. La madre dobla el dinero de los dos hermanos por separado y después juntan el dinero: 4 · 2 + 2 · 5= 8 + 10 = 18 euros.

Esta propiedad se conoce con el nombre de propiedad distributiva, que dice que elproducto de un número por una suma es igual a la suma de los productos parciales delnúmero por cada uno de los sumandos.

¿Recuerdas que la suma de números naturales tenía un elemento especial, el elementoneutro?

Para la multiplicación de números naturales también existe un elemento neutro, quemultiplicado por cualquier otro obtenemos como resultado el otro número. ¿Sabes ya cuál es?Es el 1, que es el elemento neutro de la multiplicación.

Actividades3. Resuelve de dos maneras distintas:

a. 2 + 5

b. 2 · 3

c. 3 · (5 + 2)

d. 3 · 4 · 5

e. 6 + 7 + 10

4. Lucía tiene 5 años, David tiene 8 y Pedro el doble de la suma de la edad de ambos. ¿Cuántos añostiene Pedro?

5. Una empresa de accesorios para ropa empaqueta cremalleras en bolsas de 3 unidades que se metenen cajas de 40 bolsas. Las bolsas se envían a los talleres de confección en palés de 80 cajas.

Otra empresa empaqueta las cremalleras en bolsas de 80 unidades, que se meten en cajas de tres bolsas.El envío a los talleres se hace en palés de 40 cajas. ¿Envían las dos empresas el mismo número decremalleras en cada palé? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades estudiadas anteriormente.

17——

¡Trucos de Matemagos!

Ya has visto antes que la magia está presente en las matemáticas. Volvamos a verlo:

¿Crees que tu profesor sería capaz de adivinar un número al que tú habrás llegado trasrealizar operaciones con un número que has escogido y que él no conoce? ¡Atrévete aretarlo!

Antes de comenzar, tenéis que agruparos por parejas. Los pasos que debemos seguir son lossiguientes:

1. El profesor escribirá un número en un papel, lo meterá en un sobre, lo cerrará y se loentregará a uno de vosotros. Para que no haya trampa ni cartón.

2. Ahora, escribid un número de tres cifras que no sea capicúa, es decir, que el númerode las unidades sea distinto del de las centenas.

3. Escribid el número que resulta de cambiar de orden las unidades y las centenas.

4. Al mayor de los dos números restadle el otro.

5. Al número obtenido se le vuelven a intercambiar las unidades y las centenas.

6. Sumad ambos números.

7. Comparad el número que habéis obtenido con el resto de vuestros compañeros.

Ahora abrid el sobre... ¿La magia ha hecho efecto? ¿Vuestro profesor es un matemago?

¿Eres capaz de explicar cómo funciona este truco?

4. Las potencias

¿Cómo y para qué se usan las potencias?¿Para qué se usan las potencias? ¿Cuál es su principal ventaja? ¿Con qué cantidad te parece más

cómodo trabajar: 150 000 000 km o km?

18——Una potencia es la forma abreviada de escribir el producto de números iguales. Por ejemplo:

Al 2 se le llama base y es el número que se multiplica varias veces por sí mismo.

Al 4 se le llama exponente y es el número de veces que se multiplica un número por sí mismo.

Además, debes tener en cuenta otras propiedades de las potencias:

• a0 = 1 (siendo a cualquier número)

• a1 = a (siendo a cualquier número)

Actividades1. Escribe en forma de potencia:

a. 3 · 3 · 3 · 3

b. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

c. 8

d. 16

e. 27

2. Calcula:

a. 22

b. 53

c. 31

d. 34

e. 72

19——

f. 40

Propiedades de las potenciasEn muchas ocasiones es necesario realizar operaciones con potencias, para ello es útil saber manejar suspropiedades.

Por ejemplo, si tenemos , ¿cómo operarías? Fíjate:

Si te das cuenta, hemos escrito el producto de dos potencias de la misma base como otra potencia conesa base y un único exponente. ¿Sabes cómo lo hemos obtenido? ¿No? Veamos otro ejemplo:

¿Qué observas?

Si multiplicamos dos potencias con la misma base, obtenemos otra potencia con lamisma base y con exponente igual a la suma de los exponentes.

Pensemos ahora en una división (también llamada cociente) de potencias de la misma base.

Resolvamos la operación

¿Te aventurarías a decir qué propiedad se da? ¡Mira el siguiente ejemplo para asegurarte!

Ahora sí, ¿verdad?

Si dividimos dos potencias de la misma base, obtenemos otra potencia con la misma basey de exponente, la resta de los exponentes.

¿Y si tenemos la potencia de un producto?

20——

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.

Del mismo modo, podemos calcular la potencia de un cociente:

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias de cada factor.

Para terminar veamos qué pasa cuando tenemos una potencia de una potencia:

Al elevar una potencia a otra potencia, obtenemos una potencia con la misma base y deexponente el producto de los exponentes.

Actividades3. Efectúa las siguientes operaciones utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado enforma de potencia:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

4. Simplifica las siguientes operaciones dejando el resultado en forma de potencia. Observa que parahacer algunas operaciones debes primero modificar las bases para que sean iguales:

a.

21——

b.

c.

d.

5. Usa las propiedades de las potencias para operar y dejar el resultado en forma de una única potencia.

a.

b.

c.

d.

6. Completa los espacios que faltan para que se verifique la igualdad de potencias:

a.

b.

c.

Las potencias en la calculadora¿Conoces la tecla de la calculadora que te permite calcular potencias de forma rápida y sencilla? ¿Cómocalcularías 76 con calculadora?

Con la calculadora podrás hallar potencias con exponentes grandes sin necesidad de multiplicar losfactores uno por uno, con el riesgo que conllevaría el poder equivocarte. Explicaremos brevemente cómohacerlo. ¡Es muy fácil!

Imagina que queremos calcular 210.

Introducimos la base (en este caso 2), luego pulsamos la tecla y, por último, tecleamos el número del

exponente (en nuestro caso es 10). Al darle a la tecla “ = ” ya tenemos el resultado de la potencia 210.

¿Qué resultado obtienes?

22——

No en todas las calculadoras la tecla de potencia es la misma. En otras calculadoras tenemos quepulsar otra tecla distinta para introducir una potencia. Por ejemplo, en la calculadora que se muestra acontinuación tenemos que pulsar el número de la base, luego la tecla “ ” y finalmente el exponente de

nuestra potencia. Si la tuya es distinta a estas, pregúntale a tu profesor cómo se hace.

9. ¿Te atreverías a ponerlo en práctica? Calcula, con la ayuda de la calculadora, las siguientes potencias:

a.

b.

c.

Números triangulares y cuadradosEn la antigüedad, los números y sus propiedades eran objeto de estudio por grandes matemáticos como,por ejemplo, Pitágoras y sus discípulos. Entre ellos, los más conocidos son los números triangulares ycuadrados.

23——

¿Te imaginas cómo se pueden construir cada uno de ellos?

Actividades10. Números triangulares

Por parejas, debéis construir pequeñas bolas de papel que nos permitirán realizar la primera parte de laactividad,

Comenzad representando los tres primeros números triangulares con la ayuda de las bolitas de papel.

Siguiendo este patrón, ¿sois capaces de construir el cuarto y el quinto número?, ¿cuáles son?

Representa estos números en tu cuaderno y completa la siguiente tabla:

ORDEN REPRESENTACIÓNTRIANGULAR

VALOR DEL NÚMERO

1º

2º

3º

4º

5º

6º

11. Números cuadrados.

Los números cuadrados son aquellos que se expresan como el producto de dos números iguales. ¿Seríaiscapaces de representar los 6 primeros números cuadrados en papel y completar la tabla siguiente?, ¿quéfigura nos aparece cuando los representamos?

ORDEN NÚMERO CUADRADO REPRESENTACIÓN

1º 1 · 1 = 1

2º 2 · 2 = 4

3º 3 · 3 = 9

24——

4º

5º

6º

Ahora, observa lo siguiente:

1 = 1 · 1 = 1

1 + 3 = 2 · 2 = 22 = 4

1 + 3 + 5 = 3 · 3 = 32 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 4 · 4 = 42 = 16

Efectivamente, al sumar consecutivamente los números impares ¡obtenemos un número cuadrado!

Completa la tabla anterior añadiendo una columna más en la que aparezca la suma de los númerosimpares correspondientes.

5. La raíz cuadrada

La raíz cuadrada exacta

Elsa quería cerrar su finca cuadrada pero no sabía cuántos metros de valla necesitaba, por lo fue alayuntamiento a consultar cuánto medía su terreno.

25——

Allí le dijeron que el único dato del que disponían era la superficie: 400 m2.

¿Puedes ayudarla a saber cuánto mide el borde de su finca?

El lado del terreno cuadrado mide L, por lo que su superficie viene dada por L2 = 400. Queremos obtenerel valor de L para saber cuánto mide cada lado del terreno. El número que busca Elsa es aquel que, alelevarlo al cuadrado, nos da 400.

A este número se le llama raíz cuadrada de 400. ¿Cuál es ese número?

La raíz cuadrada exacta de un número es otro número que, al elevarlo al cuadrado, es igualal número dado.

Es decir, es la operación inversa de elevar al cuadrado.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 49, que se escribe como , es 7, ya que .

• Al símbolo se le llama radical.

• Al número que está dentro del radical se le llama radicando, en este caso el radicando es 49.

Actividades1. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno:

Raízcuadrada

Resultado

¡Trucos de Matemagos!

¡Hola de nuevo, matemagos! Este viaje está a punto de terminar, por lo que en este apartadoos presentaremos un truco que no está al alcance de todos, solo los grandes de la magiaserán capaces de aplicarlo con éxito sin que nadie se dé cuenta de la misteriosa resoluciónmatemática que se esconde tras él. Para ello necesitaréis la ayuda de vuestro profesor.

¿Cómo hacer este truco?

1. El alumno más joven de la clase pensará en un número de dos cifras, lo anotará en unpapel y os lo pasará a todos los compañeros para que lo veáis.

26——

2. Todos los alumnos calcularéis la potencia quinta de dicho número en la calculadora.¡Es muy importante que todos utilicéis la calculadora bien para obtener el resultadocorrecto!

3. Tenéis que decirle el número obtenido al profesor y pedirle que calcule el número quehabía pensado vuestro compañero.

4. Podéis probar con un par de números; ¡este truco siempre sale bien!

¿Ha acertado el profesor? ¿Siempre? ¿Cómo es posible que lo haga a tal velocidad?

¿Habéis descubierto cuál es el truco? Si queréis saberlo, pulsad sobre la solución, ¡pero no lo hagáis hastarealizar el truco en el aula! Eliminaríais la intriga.

Después de conocer el truco, ¿por qué no practicáis entre vosotros? Uno de vosotros deberá escoger unnúmero y el otro deberá adivinarlo siguiendo el procedimiento explicado en el truco.

Solución del trucoVamos a explicaros cómo podéis acertar el número de dos cifras utilizando solo potencias. Tendréis quehacer uso de vuestra calculadora.

Antes de comenzar completa esta tabla. ¿Encuentras alguna peculiaridad en los resultados obtenidos?

05 = 15 = 25 = 35 = 45 =

55 = 65 = 75 = 85 = 95 =

Utilizando esta tabla, vamos a intentar acertar el número en el que ha pensado nuestro compañero.Supongamos que es el 24. Tenemos que adivinar dos cifras, el 2 y el 4.

El número que nos daría nuestro compañero después de calcular 245 sería 7 962 624. A partir de él,vamos a obtener el número inicial.

Nos fijamos en el valor de las unidades de este número (7 962 624). Observando la tabla, ¿en qué cifracrees que tiene que acabar el número buscado?

¡Eso es! Cualquier número elevado a su quinta potencia termina en ese mismo número. Ya sabemos quela cifra de las unidades del número original es 4.

Para calcular la cifra de las decenas, eliminamos los cinco dígitos de la derecha (7 962 624), es decir, nosquedamos con el número 79. Volvemos a la tabla superior y comprobamos entre qué valores se encuentrael 79.

El 79 está entre el resultado de 25 y 35, por lo que nos quedaremos con la base de la potencia menor, esdecir, 2. Este será el número de las decenas.

¡Ya tenemos el número buscado! ¡Es el 24!

Cálculo de la raíz cuadrada por aproximacionesTodas las raíces calculadas en el ejercicio anterior son exactas, no obstante, algunos números no tienenraíz cuadrada exacta, por ejemplo, pensemos en el número 20. Buscamos un número que al elevarlo alcuadrado nos dé 20. Probamos con 4 y con 5 y observamos que con el 4 nos quedamos cortos y con el 5nos pasamos.

27——Una posible representación del número 20 sería:

Ya vemos que no se puede expresar como otro número que, al elevarlo al cuadrado, sea igual a 20. Comoobservamos arriba, el número 20 está entre los cuadrados de 4 y de 5, así que la raíz de 20 estará entre 4y 5.

Diremos que 4 es la raíz cuadrada entera de 20, ya que 4 es el mayor número cuyo cuadrado (16) esmenor que 20. A la diferencia entre 20 y 16 la llamaremos resto. Observamos que la raíz cuadrada enteracoincide con el lado del mayor cuadrado que podemos formar con 20 puntos y el resto coincide con lospuntos verdes fuera del cuadrado.

La raíz cuadrada entera de un número a es el mayor número b cuyo cuadrado es menor quea.

Para aproximar la raíz cuadrada, buscamos un número que al elevarlo al cuadrado dé 20; probemos con4,5.

Como , vamos a probar con 4,4:

La raíz de 20 está entre 4,4 y 4,5 por lo que vamos a probar con 4,45:

28——

Probemos con 4,47:

Continuaremos así hasta obtener la aproximación deseada.

Para obtener la raíz cuadrada aproximada de un número seguiremos el siguiente procedimiento:

1. Número de cifras. Hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha. El número de gruposque obtenemos nos indica el número de dígitos que tendrá la raíz cuadrada. Por ejemplo, vamos a

aproximar el valor de , agrupando los dígitos de la siguiente forma:

Así, obtenemos dos grupos, por lo que la raíz cuadrada de 156 tendrá dos dígitos.

2. Aproximación de las unidades, decenas… Vamos a buscar entre qué dos números de dos cifras

está .

La cifra buscada está entre 10 y 20, pero esta aproximación no es muy precisa. Vamos a aproximar la cifrade las unidades, por lo que vamos a elevar al cuadrado 11, 12, etc.

Ya sabemos que la cifra buscada está entre 12 y 13.

3. Aproximación de las décimas, centésimas... Para obtener un valor lo más precisa posible, esnecesario aproximar el número buscado por las décimas, centésimas y milésimas.

Aproximación a las décimas:

De aquí obtenemos que el número que buscamos está entre y .

Aproximación a las décimas:

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Como podéis ver, en este último paso hemos pasado de calcular a ya que intuimos que,

para llegar a 156 desde 154,0081, tendríamos que elevar varios números al cuadrado, por lo que resultaríauna pérdida de tiempo calcular los primeros cuadrados.

Por lo tanto, la raíz cuadrada aproximada a las centésimas de 156 es 12,48.

Y si lo aproximamos a las milésimas es 12,489.

Actividades2. Indica el número de dígitos que tendrán las raíces cuadradas de los siguientes números y calcúlalas,aproximando la raíz a las milésimas:

a. 5

b. 12

c. 122

d. 201

3. Por parejas, responded a las siguientes cuestiones:

a. Si tenemos 50 monedas y las queremos colocar de manera que formen un cuadrado lo más grandeposible, ¿cuántas monedas sobrarían?

b. ¿Es posible construir un suelo en forma cuadrada si dispongo de 144 baldosas cuadradas?

c. Escribid todos los números que tengan como raíz cuadrada entera 3.

4. En el apartado de potencias se calcularon los cuadrados hasta el 10. Calcula ahora los cuadrados de losnúmeros del 11 al 20.

ORDEN CUADRADO

11º 121

12º

13º

14º

15º

16º

30——

17º

18º

19º

20º

¿Qué observas en las terminaciones de los cuadrados?, ¿podría el número 623 tener raíz cuadradaexacta?, ¿y el 117?, ¿por qué?

Un método ingenioso para calcular raíces cuadradas A continuación, te proponemos un método alternativo y original para calcular la raíz cuadrada de unnúmero. Vamos a calcular la raíz cuadrada de 156, ¿obtendremos el mismo valor que con el procedimientoanterior?

1. Escogemos un número que al elevarlo al cuadrado esté próximo a 156, por ejemplo, el 13, ya que

. Esta será la primera aproximación de .

2. Dividimos 156 entre 13 → .

3. Sumamos y lo dividimos entre dos ( ).

4. La nueva aproximación de será 12,5. ( ).

5. A continuación, repetimos el procedimiento de nuevo. Dividimos 156 entre 12,5( ).

6. Sumamos y lo dividimos entre dos ( ).

7. La nueva aproximación de será 12,49. ( ).

8. Como el número obtenido está muy próximo a 156, podemos considerarlo como su raíz.

Recuerda que la aproximación de que obteníamos con el anterior método era 12,489.

Actividades6. Realiza el procedimiento anterior para obtener la aproximación más cercana de .

Raíces cuadradas en la calculadora

31——

Al igual que con las potencias, podemos obtener el valor de las raíces cuadradas mediante la calculadora.El procedimiento es muy sencillo, veámoslo con un ejemplo.

Quiero calcular la raíz de 1681, es decir, . Primero introduzco el radicando en la calculadora, a

continuación pulso el botón con el signo de raíz cuadrada que se muestra en la imagen y, por último, ledamos a la tecla “ = ” para obtener el resultado.

Actividades7. Calcula el valor de las siguientes raíces con ayuda de la calculadora:

a.

b.

c.

d.

Regla de prioridad de las operacionesCuando tenemos que realizar varias operaciones es necesario seguir un cierto orden, que es el siguiente:

1. Resolver las operaciones que se encuentran en el interior de los paréntesis, en el caso de que loshaya.Por ejemplo:

2. Operar las potencias y las raíces.

Ejemplo:

3. Después, resolver multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.Ejemplo:

32——

4. Por último, resolver sumas y restas.Ejemplo:

8. Resuelve las siguientes expresiones teniendo en cuenta las reglas de prioridad de las operaciones:

a.

b.

c.

6. Cálculo mental¿Estás preparado para ser un mago del cálculo? Al igual que les sucede a los grandes magos, lo quenecesitas es practicar y practicar. Existen un montón de formas distintas de hacer un cálculo y la mássencilla para ti no tiene por qué ser la más sencilla para otro compañero.

En este apartado conocerás distintas estrategias que, con un poco de práctica, harán que calculesmás rápido y mejor. Es muy importante que no utilices nunca papel para resolver estos ejercicios. Asídesarrollarás tus destrezas de cálculo mental. Aunque al principio te cueste un poco, comprobarás quepronto comenzarás a calcular con más facilidad y rapidez.

Lo primero será repasar la tabla de multiplicar, imprescindible para cálculos posteriores:

Como puedes comprobar, saber los números de una cifra que suman 10 te puede ayudar a sumarnúmeros más grandes con más rapidez y eficacia.

Reflexionamos¿Has cambiado el orden de alguno de los anteriores números para sumarlos másrápidamente?, ¿cuál te parece el orden más fácil para sumar estos números: 32 + 8 o 8 + 32?

En general, resulta más sencillo colocar el número más grande primero y sumarle el máspequeño después.

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ReflexionamosPara sumar también puedes usar otras estrategias como la de partir uno de los números quese están sumando en otros dos que sean más fáciles de sumar, o sumar usando “redondeos”.

Fíjate en los ejemplos siguientes:

• 55 + 8 = 55 + 5 + 3 = 60 + 3 = 63 Sumar 8 es lo mismo que sumar 5 y después sumar3.

• 43 + 9 = 43 + 10 – 1 = 53 – 1 = 52 Sumar 9 es lo mismo que sumar 10 y despuesrestar 1.

Por parejas comentad cuál ha sido la estrategia que habéis utilizado para hacer los cálculos.

¡Ah!, y un aviso importante. Utilizaremos las soluciones de los ejercicios 6 y 7 para descifrar un mensajesecreto en la siguiente unidad, así que copiad las soluciones en vuestro cuaderno.

¡Trucos de Matemagos!

Y para acabar..., ¡otro truco!

Para llevarlo a cabo necesitaréis tres dados. El profesor se pondrá de espaldas y uno devosotros tirará los dados. Con los tres números que obtengáis debéis hacer los siguientescálculos:

1. Tomad el primer dado y multiplicad por 2 el valor de la cara superior. Al resultadosumadle 5 y lo que da multiplicadlo por 5.

2. A ese resultado se le suma la cara superior del segundo dado y luego se multiplica por10 el resultado.

3. Por último, al resultado anterior, se le suma el valor de la cara superior del tercer dado.

¿Obtenéis todos el mismo resultado? Si no es así, quizá haya que repetir alguna de lasoperaciones. Anotad el resultado en la pizarra y ¡el profesor os dirá cuáles son los númerosque han salido en los dados!

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7. Al cierre

¿Qué has aprendido?¿Cuáles son los principales usos de los númerosnaturales?

...

¿Cómo podemos clasificar los sistemas denumeración?, ¿podrías poner un ejemplo de cadauno?

...

¿Cuáles son las principales características delsistema binario?

...

¿Qué propiedades de las operaciones connúmeros naturales conoces?

...

¿Para qué se usan las potencias? ...

¿Podrías decir cuál es la relación entre laspotencias y las raíces?

...

¿Qué estrategias de cálculo mental hasaprendido?

...

EvalúateTe mostramos a continuación algunas actividades para evaluarte. Dispones de tres intentos para superarcada actividad.

Refuerza

Amplía1. Los cuatro cuatros

En grupos de cuatro personas, intentad obtener los números del 0 al 9 utilizando únicamente cuatrocuatros (tienen que usarse todos). Las operaciones permitidas son todas las que hemos estudiado a lolargo de la unidad (suma, resta, división, multiplicación, potencias y raíces cuadradas).

Te damos un ejemplo:

El grupo que más números obtenga en el tiempo dado, será el ganador.

35——

2. ¿Qué distancia crees que hay entre la Tierra y la Luna? ¿Qué distancia hay al punto más lejano de tisobre la tierra? ¿El número 1015 te parece muy grande?

En general, para comprender si una cantidad es grande o pequeña, sobre todo si es muy grande o muypequeña, necesitamos compararla con otra de referencia. Gracias a las potencias podemos expresarde forma muy corta un número, lo que hace que números muy grandes no nos lo parezcan tanto. Lacantidad 1 000 000 se expresa con la potencia 106 y un billón (¡un millón de millones!) sería 1012. ¿Teparecen muy grandes estas cantidades?

Observa los datos siguientes:

• Dar una vuelta a la Tierra por su ecuador serían 40 000 km aproximadamente.

• La distancia media de la Tierra a la Luna es de 384 000 km aproximadamente.

• La distancia media de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km (15·107 km) aproximadamente.

• En un cuadrado de 1013 m = 10 000 millones de km, caben todos los planetas del sistema solar.

Te proponemos que midas algunas distancias usando Google Maps (http://www.google.es/maps/) y quecompruebes por ti mismo lo grandes o pequeñas que son. Para medir una distancia debes hacer clic encualquier zona del mapa, pulsar con el botón derecho del ratón y seleccionar la opción "Medir distancia".Después, basta con arrastrar el ratón por el mapa y pulsar en el lugar de destino para calcular la distancia.

Ahora, busca e indica en tu cuaderno el nombre de:

• Una ciudad o pueblo que esté a 1 km (1000 m) de donde vives.

• Una ciudad o pueblo que esté a 10 km de donde vives.

• Una ciudad o pueblo que esté a 102 km de donde vives.

• Una ciudad o pueblo que esté a 103 km de donde vives.

• Una ciudad o pueblo que esté a 104 km de donde vives.

• Por último, ¿qué distancia nos separa de nuestras antípodas (http://es.wikipedia.org/wiki/Ant%C3%ADpodas)?

p. Nuestro proyecto

¡El espectáculo va a comenzar!

¿Qué os han parecido los trucos de magia que hemos aprendido a lo largo de esta unidad?¿A que son impresionantes?

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¿Os gustaría mostrárselos a vuestros compañeros? Vamos a proponeros un proyectopara realizar durante este primer trimestre: preparar una gran cantidad de material (trucos,juegos de mesa… ) en el que las matemáticas serán las protagonistas. En el tercer trimestrerealizaremos una exposición de todos los trucos y vuestros compañeros competirán con losjuegos propuestos, actuaréis como mate magos y ¡dejaréis a vuestros profesores y amigoscon la boca abierta!

Vuestra primera tarea será recopilar todos los trucos de magia que habéis hecho. Debéispreparar por parejas unas tarjetas similares a la que os mostramos a continuación. De estaforma, cuando tengáis que presentar todas las actividades, no os olvidaréis de ningún paso.

Recordad que los trucos que se han realizado son:

1. Las tarjetas mágicas

Encontrarás este truco en el segundo bloque de la unidad. En él tenías que adivinar unnúmero utilizando una serie de tarjetas.

2. ¡Adivina el número!

Este truco se expuso al final del tercer bloque de la unidad. En él, el profesor conseguíaadivinar un número al que vosotros llegabais después de realizar algunas operaciones.

3. El gran truco de la potencia quinta

Este truco está en el quinto bloque. En él se adivina un número conociendo su potenciaquinta sin usar la calculadora.

4. Los tres dados

El último truco se encuentra en el bloque 6 y en él, el profesor adivinaba los números quehabían salido al tirar tres dados.

Ahora que ya tenéis las fichas cubiertas, ¿os animaríais a realizar una exposición delos trucos realizados? Cuanto más los practiquéis más convincentes resultaréis a losespectadores que os estén viendo.

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GlosarioAlgoritmoConjunto ordenado de operaciones que permite obtener la solución de un determinadoproblema.

Base de una potenciaNúmero que multiplicamos por sí mismo tantas veces como indique otro número,denominado "exponente". Ejemplo: 23. El número 2 es la base de la potencia 23.

CapicúaNúmero que se escribe del mismo modo tanto de izquierda a derecha como de derechaa izquierda.

CifraCada uno de los símbolos que se utilizan para representar números.

Cociente1. Cantidad que resulta de la operación de dividir.

2. Operación que consiste en determinar cuántas veces un número está contenido enotro.

CuadruplicarMultiplicar un número por 4.

DígitoCada uno de los símbolos que se utilizan para representar números.

DuplicarMultiplicar un número por 2.

Exponente de una potenciaNúmero que nos indica cuántas veces es necesario multiplicar otro número, denominado"base", por sí mismo. Ejemplo: 23. El número 3 es el exponente de la potencia 23.

FactorCada uno de los números que se multiplican para obtener un producto.

NúmeroConjunto de cifras que representa una determinada cantidad.

Número naturalCualquier número que nos permite contar los elementos de un conjunto.

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Producto1. Cantidad que resulta de la operación de multiplicar.

2. Operación que consiste en calcular el resultado de sumar un mismo número(multiplicando) tantas veces como indica otro número.

Sistema binarioSistema de numeración posicional en el que todo número se expresa únicamente con lascifras 0 y 1.

Sistema decimalSistema de numeración posicional que utiliza 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) pararepresentar los números.

Sistema de numeraciónConjunto de reglas y símbolos que nos permite leer y escribir cualquier número.

QuintuplicarMultiplicar un número por 5.

Radical

Símbolo que denota el cálculo de una raíz .

RadicandoNúmero cuya raíz queremos obtener.

TriplicarMultiplicar un número por 3.

EnlacesCómo medir en Google Maps (http://computerhoy.com/paso-a-paso/apps/como-medir-distancia-dos-lugares-google-maps-16369)

Cómo medir en Google Earth (https://support.google.com/earth/answer/148134?hl=es)

Créditos© Netex Knowledge Factory S.A. 2019 (http://www.netexlearning.com/editoriales/)

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