Matemáticas 1 - ClementeMat · a las Ciencias Sociales para 1.º de Bachillerato es una obra...
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El Solucionario de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales para 1.º de Bachillerato es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana, dirigido por Enric Juan Redal. En su realización han intervenido: M.ª José Rey César Santamaría EDICIÓN Angélica Escoredo José Miguel Escoredo Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Santillana Matemáticas 1 BACHILLERATO aplicadas a las Ciencias Sociales Biblioteca del profesorado SOLUCIONARIO
Transcript of Matemáticas 1 - ClementeMat · a las Ciencias Sociales para 1.º de Bachillerato es una obra...
El Solucionario de Matemáticas aplicadasa las Ciencias Sociales para 1.º de Bachilleratoes una obra colectiva concebida, diseñaday creada en el departamentode Ediciones Educativas de Santillana,dirigido por Enric Juan Redal.
En su realización han intervenido:
M.ª José ReyCésar Santamaría
EDICIÓNAngélica EscoredoJosé Miguel EscoredoCarlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa
Santillana
Matemáticas 1 BACHILLERATO
aplicadas a las Ciencias Sociales
Biblioteca del profesoradoSOLUCIONARIO
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Presentación
2
5
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen.
0,7� −16 685,0091� −0,0201 67−456,89
0,7� es un número decimal periódico puro.
−16 es un número entero.
685,0091� es número decimal periódico mixto.
−0,0201 y −456,89 son números decimales exactos.
67 es un número natural.
son números racionales.
Expresa en forma de fracción.
0,22 −34,03� 25,012� 0,1043� −2,302�
0,22 =25,012� =
−2,302� =
−34,03� =0,1043� =
Obtén el valor absoluto de los números.
7 0 −1 −62 (−6)2
⏐7⏐= 7⏐−1⏐= 1⏐
(−6)2⏐= 36
⏐0⏐= 0⏐−62⏐= 36
Calcula las siguientes potencias.
a) 34
e)
b)
f ) (−5)7
c) (−2)6g)
d)
h) 25
a) 34 = 81e)
b)
f ) (−5)7 =−78.125
c) (−2)6 = 64g)
d)
h) 25 = 325
7
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2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= −4
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729
35
2
3 125
32
5
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= −
.
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= −3
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2⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
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−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
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004
003
521
4 995.−1 123
33
.
−2 300
999.
22 511
900.
11
50
002
27
44
34
8y−
−34
827
44001
1SOLUCIONARIO
4
1SOLUCIONARIO
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El código Da Vinci
El profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su
clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en
la pizarra:
Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus
alumnos.
–¿Alguien puede decirme qué es este número?
Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba
al fondo levantó la mano.
–Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe.
–Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi.
–Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa de
suficiencia.
–Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un nú-
mero muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?
Stettner seguía en su papel de gracioso.
–¿Porque es muy bonito?
Todos se rieron.
–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse co-
mo el número más bello del universo.
Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso.
[…] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió
Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su
papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las
plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían característi-
cas dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón
de Phi a 1.
–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las
luces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, gira-
soles…]– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos
creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del
Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos
dieciocho como «La Divina Proporción». DAN BROWN
1,618
En realidad, el valor del número Phi es Φ=. Los números1,618 y
son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. ¿Por qué? ¿Qué error
se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?
1,618 es un número racional, ya que es un decimal exacto.
Phi es un número irracional, ya que lo es y al sumar o dividir un número irracional
por un entero el resultado es un número irracional.
Como ; el error cometido es menor que una diez milésima.
1 5
21 61803+ = , …
5
1 5
2+
1 5
2+
Números reales
1
El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento depresentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de loscontenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en lavida real.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como unamateria esencialmente procedimental, recogemos en este material la reso-lución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alum-no. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino quepueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisi-ción de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en ellibro del alumno.
45
Demuestra estas igualdades.
a) loga (b · c) = loga b+ loga c b) loga = loga b− loga c
a) Por la definición de logaritmos:
loga (b � c) = x loga b = y loga c = z
ax = b � c ay = b az = c
ay � az = b � c ay + z = b � c loga (b � c) = y + z
Es decir: loga (b � c) = loga b + loga c
b) Por la definición de logaritmos:
loga = x loga b = y loga c = z
ax = ay = b az = c
ay−z = loga = y − z
Es decir: loga = loga b − loga c
Demuestra la siguiente igualdad: log (a2−b2) = log (a+ b) + log (a−b)
log (a + b) + log (a − b) = log [(a+ b)(a − b)] = log (a2 − b2)
Si el área de esta figura es 10 cm2, ¿cuál es su altura?
La longitud de la base mide: 1 + cm
Calculamos la altura: 10 = � h
h = cm
Dos piezas móviles de una máquina se desplazan a lamisma velocidad. La primera pieza describeuna circunferencia de radio 5 cm y la segundase desplaza de un extremo al otro del diámetro de esacircunferencia.
Si ambas piezas parten del mismo punto, ¿coincidiránen algún momento?
Suponemos que ambas piezas parten de A.Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles.La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia en lospuntos A y B es: 5π(k − 1). Siendo k un número natural. La distancia recorrida por elmóvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B: 10(k − 1). Siendo k unnúmero natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplaza por lacircunferencia son números irracionales, mientras que las distancias recorridas porel móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales, por tanto nuncacoincidirán ambos móviles.
150
10
1 2
10 10 2
110 10 2
+=
−−
= − +
1 2+( )2
149
148
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
a
a
b
c
y
z=
b
c
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟
147
A
h
1
1B
CD
5 cmBA
44
Números reales1SOLUCIONARIO
Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son:
Byte = 28 bits Megabyte = 210 Kilobytes
Kilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes
Expresa, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidades deinformación en bits y bytes.
a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb.
b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb.
a) 120 Gb = 120 � 210 � 210 � 210 bytes = 15 � 233 bytes = 15 � 241 bits
120 Gb = 1,2885 � 1011 bytes = 3,2985 � 1013 bits
b) 512 Mb = 29 � 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits
512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 � 1011 bits
c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 � 220 bytes = 1,44 � 228 bits
1,44 Mb = 1,5099 � 106 bytes = 3,8655 · 108 bits
d) 550 Mb = 550 · 210 · 210 bytes = 550 · 220 bytes = 550 · 228 bits
550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 � 1011 bits
PARA FINALIZAR…
Si es una fracción irreducible:
a) ¿Cuándo es equivalente a ? b) ¿Y cuándo es equivalente a ?
a) b)
ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab →b2 = ab
a = b Como b es distinto de cero: b = a
Si una fracción es irreducible, ¿son las fracciones y irreducibles?
Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y los de b.
(a + b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción esirreducible.
Como los divisores de a − b son los divisores comunes de a y los de b.
(a − b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción esirreducible.
Demuestra la siguiente igualdad: = 1.
= + −( ) = −( ) ==
∑1
21
1
2100 1 1
1
99
log( ) log log logk kk
log log log1 1
2
1 1
2
1
1
99
1
99
1
+=
+=
+=
= = =∑ ∑k
k
k
k
k
kk k k
999
∑
log1
1
99 +
=∑ k
kk
146
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a
b145
a b
b b
a
b
++
=a
b
a
b
++
=1
1
a
b
a b
b b
++
a
b
a
b
++
1
1
a
b144
143
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3
ÍndiceUnidad 1 Números reales 4
Unidad 2 Aritmética mercantil 46
Unidad 3 Polinomios y fracciones algebraicas 82
Unidad 4 Ecuaciones, inecuacionesy sistemas 118
Unidad 5 Funciones 178
Unidad 6 Funciones elementales 210
Unidad 7 Límite de una función 258
Unidad 8 Derivada de una función 308
Unidad 9 Estadística unidimensional 368
Unidad 10 Estadística bidimensional 400
Unidad 11 Probabilidad 434
Unidad 12 Distribuciones binomial y normal 460
Tablas de distribución 493
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Números reales1SOLUCIONARIO
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El código Da VinciEl profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en suclase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido enla pizarra:
Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de susalumnos.–¿Alguien puede decirme qué es este número?Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentabaal fondo levantó la mano.–Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe.–Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi.–Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa desuficiencia.–Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un nú-mero muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?Stettner seguía en su papel de gracioso.–¿Porque es muy bonito?Todos se rieron.–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse co-mo el número más bello del universo.Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso.[…] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguióLangdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era supapel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Lasplantas, los animales e incluso los seres humanos poseían característi-cas dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razónde Phi a 1.–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando lasluces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, gira-soles…]– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguoscreían que ese número había sido predeterminado por el Creador delUniverso. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientosdieciocho como «La Divina Proporción».
DAN BROWN
1,618
En realidad, el valor del número Phi es Φ= . Los números 1,618 y
son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. ¿Por qué? ¿Qué error se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?
1,618 es un número racional, pues es un decimal exacto.Phi es un número irracional, ya que lo es y, al sumar o dividir un número irracional y un entero, el resultado es un número irracional.
Como ; el error cometido es menor que una diezmilésima.1 5
21 61803
+= , …
5
1 5
2
+1 5
2
+
Números reales1
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ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen.
0,7�� −16 685,0091�� −0,0201 67 −456,89
0,7� es un número decimal periódico puro.
−16 es un número entero.
685,0091� es número decimal periódico mixto.
−0,0201 y −456,89 son números decimales exactos.
67 es un número natural.
son números racionales.
Expresa en forma de fracción.
0,22 −34,03�� 25,012�� 0,1043�� −2,302��
0,22 = 25,012� = −2,302� =
−34,03� = 0,1043� =
Obtén el valor absoluto de los números.
7 0 −1 −62 (−6)2
⏐7⏐ = 7 ⏐−1⏐ = 1 ⏐(−6)2⏐ = 36
⏐0⏐ = 0 ⏐−62⏐ = 36
Calcula las siguientes potencias.
a) 34 e)
b) f ) (−5)7
c) (−2)6 g)
d) h) 25
a) 34 = 81 e)
b) f ) (−5)7 = −78.125
c) (−2)6 = 64 g)
d) h) 25 = 325
7
25
49
2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
4
9
64
729
3
5
2
3 125
32
5
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
.
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
3
5
27
125
3
5
7
2⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
4
9
3
5
2
5
−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
3
5
3
004
003
521
4 995.
−1 123
33
.
−2 300
999
.22 511
900
.11
50
002
27
44
34
8y
−
−34
8
27
44
001
1SOLUCIONARIO
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6
Números reales
Simplifica y expresa el resultado como potencia.
a) b)
a)
b)
ACTIVIDADES
Calcula el representante canónico de estos números.
a) b) c)
a) b) c)
Escribe dos representantes de los números racionales.
a) b) c)
Respuesta abierta.
a)
b)
c)
Halla cuántos números racionales distintos hay en esta secuencia.
1,6��
Hay dos números racionales distintos, que son:
1,6�
Una fracción que tenga un término negativo y otra que tenga sus dos términospositivos, ¿pueden ser representantes del mismo número racional?
No pueden representar el mismo número racional, puesto que si una fraccióntiene un término negativo, el cociente es negativo; y si sus dos términos son positivos, el cociente es positivo.
004
− =−
=−
5
3
5
3
5
3
5
3
10
6= =
5
3
5
3
5
3
5
3
10
6− −
−
003
8
25
16
50
24
75=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
… …, , ,
9
2
18
4
27
6=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
… …, , ,
7
12
14
24
21
36=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
… …, , ,
8
25
9
2
7
12
002
−−
=24
60
2
518
39
6
13=
−= −
16
24
2
3
−−
24
60
18
39
−16
24
001
23
4
2
3
3
8
2 3
2 3
3
2
3
2
2 3
11 2 10⋅ ⋅ ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅⋅
=−
5 3 6
6 3 5
6 5 5 3 3
6
57 3 4
2 3 14
2 14 7 3 3
4
21⋅ ⋅
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
−
− − −
⋅⋅=
⋅3
6
5 3
2
6
2
21 4
2
23
4
2
3
3
8
3
2
2
⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−5 3 6
6 3 5
7 3 4
2 3 14
⋅ ⋅⋅ ⋅
−
− − −
005
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7
1SOLUCIONARIO
Escribe 4 números irracionales, especificando su regla de formación.
Respuesta abierta.
Tras la coma, se sitúan todos los múltiplos de 3: 0,3691215…
Tras la coma se sitúan todos los múltiplos de 4: 0,481216…
Al número irracional se le suma el número 1: + 1
Al número irracional se le suma el número 2: + 2
Decide si los siguientes números son irracionales.
a) 0,51015202530… c) 2 −π
b) d)
a) Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica.
b) Es un número decimal exacto, luego no es un número irracional.
c) Es un número irracional, porque si a un número irracional se le resta un númeroentero, el resultado es un número irracional.
d) No es un número irracional, puesto que es una fracción.
Encuentra, sin hacer operaciones con decimales, un número irracional
comprendido entre .
Respuesta abierta.
Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones.
a) La raíz de un número irracional es irracional.
b) Un número irracional al cuadrado no es racional.
a) Cierta, ya que sigue teniendo infinitas cifras decimales no periódicas.
b) Falsa, por ejemplo:
Indica el conjunto numérico mínimo al que pertenece cada número.
a) 8,0999… c) e) 2,5
b) 1,223334444… d) 6,126�� f ) −11
a) Q d) Qb) I e) Qc) I f ) Z
15
009
2 22( ) =
008
2 1−
− 2 2y
007
10
17
3
4
ππ
006
22
22
005
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8
Números reales
Representa las raíces.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Coloca, en la recta real, el número:
Representa, en la siguiente recta real, los números 1 y 2.
Aplica la propiedad distributiva y opera.
a) b)
a)
b)3
4
2
7
2
5
2
73
2
7
2
7
3
4
2
53
2
7
67⋅ − ⋅ + ⋅ = − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅
220
67
70=
3
4
2
7
2
5
3
4
2
7
3
4
2
5
30 42
140
1⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ − ⋅ =
−= −
22
140
3
35= −
3
4
2
7
2
5
2
73
2
7⋅ − ⋅ + ⋅
3
4
2
7
2
5⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
013
0 1 2
0 3
012
0 1
1
1 5
2
+
5 1 5+
�����������
Φ = +1 5
2011
0 1 360 1 10 101
0 1 5
0 1 11
36510111
010
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9
1SOLUCIONARIO
Ordena, de menor a mayor, los siguientes números racionales e irracionales.
π
Con ayuda de la propiedad distributiva, calcula 992 y 9992 sin realizar las operaciones.
992 = 99 ⋅ 99 = 99(100 − 1) = 9.900 − 99 = 9.801
9992 = 999 ⋅ 999 = 999(1.000 − 1) = 999.000 − 999 = 998.001
Representa los siguientes conjuntos numéricos de todas las formas que conozcas.
a) Números menores que π.
b) Números mayores que y menores o iguales que 7.
c) Números menores o iguales que 2 y mayores que −2.
d) Números comprendidos entre los dos primeros números pares, ambos incluidos.
a) (−�, π) = {x: x < π}
b) =
c) (−2, 2] = {x: −2 < x ≤ 2}
d) [2, 4] = {x : 2 ≤ x ≤ 4}
Escribe, de todas las maneras que conozcas, estos intervalos de la recta real.
a) c)
b) d)
a) (−�, −3) = {x: x < −3} c) (3, +�) = {x: x > 3}
b) [−3, 2) = {x: −3 ≤ x < 2} d) (−1, 1) = {x: ⏐x⏐ < 1}
Representa el conjunto {x: ⏐x −3⏐ ≤1} de todas las formas posibles.
[2, 4] = {x: 2 ≤ x ≤ 4}
42
018
1−12−3
3−3
017
42
2−2
73
{ : }x x3 7< ≤( , ]3 7
π
3
016
015
2 827
900
22
7
.< <π
2 827
900
.22
7
014
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10
Números reales
Con ayuda de la calculadora, escribe en forma decimal y sus aproximaciones por exceso y por defecto.
a) A las diezmilésimas.
b) A las cienmilésimas.
c) A las millonésimas.
a) Aproximación por exceso: 1,7321
Aproximación por defecto: 1,7320
b) Aproximación por exceso: 1,73205
Aproximación por defecto: 1,73205
c) Aproximación por exceso: 1,732051
Aproximación por defecto: 1,732052
Calcula los errores absoluto y relativo al redondear el número 1,3456 a las décimas.
Vreal = 1,3456
Vaproximado = 1,3
Ea = ⏐1,3456 − 1,3⏐ = 0,0456
Piensa en una situación en la que dos mediciones tengan los mismos erroresabsolutos, pero distintos errores relativos.
Respuesta abierta.
Vreal = 12,5
Valores aproximados, 12 y 13. En ambos casos, el error absoluto es 0,5; pero los errores absolutos son distintos:
Indica dos ejemplos de medida y da sus correspondientes cotas de error.
Respuesta abierta.
Velocidad en autopista: 120 km/h; edad de jubilación: 65 años.
Calcula las cotas de error absoluto y relativo al redondear el número :
a) A las centésimas. b) A las milésimas.
a)
b) Ea = 0,0005 Er =−
=0,0005
1,414 0,00050,00035
Er =−
=0,005
1,41 0,0050,0035Ea =
⋅=
1
2 1020,005
2023
022
Er = =0,5
0,038513
Er = =0,5
0,041712
021
Er = =0 0456
1 34560 0338
,
,,
020
3 1 73205080= , …
3019
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11
1SOLUCIONARIO
La población de un pueblo, redondeada a las decenas, es de 310 habitantes.¿Puedes indicar los errores? ¿Sabrías dar las cotas de error cometido?
Para calcular los errores relativos y absolutos es necesario conocer el valor real;por tanto, no se pueden calcular.
Calcula una cota de error absoluto cuando truncamos un número a las décimas. ¿Y si fuera a las centésimas?
Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 0,0000085 c) 31.940.000.000
b) 5.000.000.000.000 d) 0,000000000479
a) 0,0000085 = 8,5 ⋅ 10−6 c) 31.940.000.000 = 3,194 ⋅ 1010
b) 5.000.000.000.000 = 5 ⋅ 1012 d) 0,000000000479 = 4,79 ⋅ 10−10
Opera y expresa el resultado en notación científica.
a) (5,2 ⋅ 103 + 4,75 ⋅ 10−2) : 8,05 ⋅ 10−4
b) 3,79 ⋅ 108 ⋅ (7,73 ⋅ 104 −6,54 ⋅ 10−2)
a) (5,2 ⋅ 103 + 4,75 ⋅ 10−2) : 8,05 ⋅ 10−4 = 6,465968 ⋅ 10−2
b) 3,79 ⋅ 108 ⋅ (7,73 ⋅ 104 − 6,54 ⋅ 10−2) = 2,92966 ⋅ 1013
Decide si son ciertas estas igualdades. Razona la respuesta.
a) c)
b) d)
a) Falsa: (−2)4 = 16 c) Falsa: (−1.000)3 = −1.000.000.000
b) Falsa: 48 = 65.536 d) Falsa: (−2)5 = −32
Calcula el valor numérico, si existe, de los siguientes radicales.
a) c)
b) d)
a) c) No existe ninguna raíz real.
b) d) 243 35 =− = −8 23
16 24 =
2435−83
−10 0004 .164
029
32 25 = ±256 48 = ±
1 000 000 1 0003 . . .= ±− = −16 24
028
027
026
Ea =⋅
=1
2 1020,05
Ea =⋅
=1
2 1010,5
025
Er =−
=5
310 50,016
Ea =⋅
=−
1
2 105
1
024
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12
Números reales
Transforma los radicales en potencias, y viceversa.
Indica si son equivalentes los siguientes radicales.
a) Son equivalentes. c) Son equivalentes.
b) No son equivalentes. d) No son equivalentes.
Efectúa estas operaciones.
Opera y simplifica.
d)3 3
3
3 3
33
3
4
6 4
312 712· ·
= =
c) 2 3 4 27 1083 6 6 6· ·= =
b)32
8
32
8
2
2
1
4
63
3
5
9
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
= = =
a) 4 27 5 6 20 162 180 2· = =
d)3 3
3
3
4
⋅b)
32
8
63⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
c) 2 33 ⋅a) 4 27 5 6⋅
033
b) 7 81 2 33
521 3 2 3
3
5
96 3
53 26
33 3
3 3
− + = − + =
a) 20 3 125 2 45 2 5 15 5 6 5 7 5− + = − + = −
b) 7 81 2 33
53 26
3
− +a) 20 3 125 2 45− +
032
d) y5 5104 4b) y2 2105
c) y36 64a) y3 364 3
031
f ) 5 5747
4=c) 2 21
6 6=
e) 10 102
7 27=b) 5 52
3 23=
d) 7 73
5 35=a) 3 31
4 4=
f ) 574c) 21
6
e) 102
7b) 52
3
d) 73
5a) 31
4
030
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13
1SOLUCIONARIO
Racionaliza las siguientes expresiones.
Racionaliza y opera.
Racionaliza y opera.
Racionaliza estas expresiones.
b)12 6
2 3 3 2
24 18 36 12
6
72 2 72 3
612 2 12 3
−=
+−
=+
−= − −
a)3 5
3 6
5 5
3 73 3 15 3 6 30
3
5 15 5 35
41
+
++
+=
=− − + +
+− +
=
=− 22 3 12 6 4 30 19 15 15 35
12
+ + − +
b)12 6
2 3 3 2−a)
3 5
3 6
5 5
3 7
+
++
+
037
c)5 3
9 5
45 3 5 15
76−=
+
b)8 2
3 7
8 6 56 2
46
4 6 28 2
23+=
−−
=− +
a)1
1 2
1 2
11 2
+=
−−
= − +
c)5 3
9 5−b)
8 2
3 7+a)
1
1 2+
036
b)−
+ =−
+ =− +7
3 2
5
4 7
7 2
6
5 7
28
98 2 15 7
84
a)3
5
4
6
3 5
5
4 6
6
18 5 20 6
30+ = + =
+
b)− +7
3 2
5
4 7a)
3
5
4
6+
035
c)2 3
6 7
2 3 7
4235
25+= +( )
b)−
=−3
5 2
3 2
1034
4
a)2
5
2 5
5=
c)2 3
6 735
+b)−3
5 234a)
2
5
034
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14
Números reales
Calcula, mediante la definición, estos logaritmos.
a) log2 8 c) log 1.000 e) ln e33 g) log4 16b) log3 81 d) log 0,0001 f ) ln e−4 h) log4 0,25
a) log2 8 = 3 e) ln e33 = 33b) log3 81 = 4 f) ln e−4 = −4c) log 1.000 = 3 g) log4 16 = 2d) log 0,0001 = −4 h) log4 0,25 = −1
Halla, mediante la definición, los siguientes logaritmos.
a) log3 243 c) log 1.000.000 e) ln e2 g) log7 343b) log9 81 d) log 0,00001 f ) ln e−14 h) log4 0,0625
a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2b) log9 81 = 2 f) ln e−14 = −14c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3d) log 0,00001 = −5 h) log4 0,0625 = −2
Calcula los logaritmos y deja indicado el resultado.
a) log4 32 c) log3 100 e) log32 4b) log2 32 d) log5 32 f ) log2 304
b) log2 32 = 5
Sabiendo que log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771 y log 7 = 0,8451; determinalos logaritmos decimales de los 10 primeros números naturales. Con estos datos, ¿sabrías calcular log 3,5? ¿Y log 1,5?
log 4 = log (2 · 2) = log 2 + log 2 = 2 · 0,3010 = 0,6020
log 5 = log = log 10 − log 2 = 1 − 0,3010 = 0,6990
log 6 = log (3 · 2) = log 3 + log 2 = 0,4771 + 0,3010 = 0,7781
log 8 = log (4 · 2) = log 4 + log 2 = 0,6020 + 0,3010 = 0,9030
log 9 = log (3 · 3) = log 3 + log 3 = 0,4771 + 0,4771 = 0,9542
log 10 = 1
log 3,5 = log = log 7 − log 2 = 0,8451 − 0,3010 = 0,5441
log 1,5 = log = log 3 − log 2 = 0,4771 − 0,3010 = 0,17613
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
7
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
10
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
041
f )log 304
log 28,2479log2 304 = = …c)
log 100
log 34,1918log3 100 = = …
e) loglog
log32
2
44
32
2
52= =
d)log 32
log 52,1533…log5 32 = =a) log
log
log4
2
2
3232
4
5
2= =
040
039
038
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15
1SOLUCIONARIO
Halla, sin ayuda de la calculadora, log2 5 y log5 2. Comprueba que su producto es 1.
En el ejercicio anterior, se ha visto que log 2 = 0,3010.
Si se utilizan cambios de base, resulta:
log2 10 = log2 (2 · 5) = log2 2 + log2 5 → log2 5 = 2,32
Como los dos números son inversos, su producto es 1.
También se puede comprobar de este modo:
Halla el valor de x en las siguientes igualdades.
a) logx 256 = −8 c)
b) d) logx 3 = 2
b) 2,0801… d)
Calcula cuánto vale loga b ⋅ logb a.
Calcula la fracción irreducible de:
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
Indica cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles.
Son fracciones irreducibles: , y 18
7
12
5
10
13
2
8
15
12
18
7
12
5
9
6
10
13
15
18
3
15
046
104
216
13
27=
72
243
8
27=
−=
−702
1 053
2
3.
−=
−1 080
432
45
18
.
88
176
1
2=
12
400
3
100=
26
130
1
5=
5
200
1
40=
104
216
72
243
−702
1 053.
−1 080
432
.
88
176
12
400
26
130
5
200
045
log · loglog
log·
log
loga bb a
a
b
b
a= = 1
044
3c)2
3a)
1
2
log32
3x =
log56 625 = x
043
log · loglog
log·
log
log2 55 2
5
2
2
51= =
loglog
log log5
2
2 2
22
5
1
5= = = 0,43
log2 101
= = =log 10
log 2 0,30103,32
042
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16
Números reales
¿Cuántos números racionales hay en el siguiente grupo?
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción, luego todos los números del grupo lo son.
Halla x para que las fracciones sean equivalentes.
a) b)
a) b)
¿Puedes escribir una fracción equivalente a cuyo denominador sea 10? ¿Por qué?
No, porque 10 no es múltiplo de 3.
Realiza estas operaciones.
¿Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles no lo son? Razona tu respuesta.
a) 2,555… b) 2,525 c) 2,5255555… d) 2,525522555222…
a) Es un número racional, ya que es periódico, y cualquier número periódicose puede expresar como fracción.
b) Es un número racional, puesto que es un decimal exacto y los decimalesexactos se pueden expresar como fracción.
c) Es un número racional, ya que es periódico.
d) Es un número irracional, puesto que tiene infinitas cifras decimales que no son periódicas.
051
b)5
2
2
5
7
3
4
3
1 1
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜
− −
: ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =
=
−
2
125
10
4
10
3
7
16
9
21
:
110
3
7
16
910
21
3
7
16
970
63
1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − =
= −
−
:
:
116
942
63
=
=−
a)5
6
4
5
2
3
1
2
2 1
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜
− −
· ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =
=
−
2
225
30
24
30
3
2
1
4
1
3
·
00
3
2
1
4
9003
2
1
41
4
2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =
= + =
= + =
−
·
·
1.350
==5 401
4
.
b)5
2
2
5
7
3
4
3
1 1
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜
− −
: ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
a)5
6
4
5
2
3
1
2
2 1
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜
− −
· ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
050
2
3049
−=
−=
−=
−5
2
20
8
10
4
25
10
3
5
6
10
9
15
21
35= = =
− = = =5
2 8
10 25x
x x
3
5
6 9 21= = =x x x
048
150
200
25
100
6
8
4
24
−4
20
1
6
8
12
−1
5
2
3
1
4
047
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17
1SOLUCIONARIO
Indica el tipo de decimal, en cada caso, y calcula si es posible su fracción generatriz.
a) 15,3222… c) 15,32 e) 15,333
b) 15,233444… d) 15,323232… f) 15
a) Es un número decimal periódico mixto:
b) Es un número decimal periódico mixto:
c) Es un número decimal exacto:
d) Es un número decimal periódico puro:
e) Es un número decimal exacto:
f ) Es un número natural:
Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
a) 0,2 d) 8,0002 g) 0,01
b) 3,�5 e) 42,78� h) 5,902�
c) 2,3�7 f) 10,523� i) 0,0157�
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
i)157 1
9 900
156
9 900
13
825
−= =
. .
5 902 5
999
5 897
999
. .−=
1
100
10 523 105
990
10 418
990
5 209
495
. . .−= =
4 278 42
99
4 236
99
1 412
33
. . .−= =
80 002
10 000
40 001
5 000
.
.
.
.=
237 23
90
214
90
−=
35 3
9
32
9
−=
2
10
1
5=
053
15
1
15 333
1 000
.
.
1 532 15
99
1 517
99
. .−=
1 532
100
383
25
.=
152 334 15 233
9 000
137 101
9 000
. .
.
.
.
−=
1 532 153
90
1 379
90
. .−=
052
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18
Números reales
Efectúa, utilizando las fracciones generatrices.
a) 1,�3 + 3,4 c) 1,�36 + 8,�25 e) 3,�46 + 4,2�95
b) 10,2�5 −5,�7 d) 4,�5 + 6,�7 f) 3,�21 + 4,3�12
a)
b)
c)
d)
e)
f )
Realiza las siguientes operaciones.
a) 1,25 ⋅ 2,�5 b) 0,0�3 : 2,9�2 c) 3,7�6 ⋅ 4,�8 d) 1,25 : 2,2�5
a) c)
b) d)
Utilizando las fracciones generatrices, comprueba si son verdaderas o falsas las igualdades.
a) 1,�9 = 2 b) 1,�3 : 3 = 0,�4 c) 1,8�9 + 0,1�1 = 2 d) 0,�3 + 0,�6 = 1
a) Verdadera:
b) Verdadera:
c) Falsa:
d) Verdadera:
Escribe la expresión decimal de tres números racionales y otros tres irracionales.Explica cómo lo realizas.
Respuesta abierta.
La expresión decimal de un número racional debe ser finita o periódica:
2,3 2,3� 5,32
La expresión decimal de un número irracional debe ser infinita y no periódica:
2,1010010001000… 1,1234567891011… 2,23233233323333…
057
3
9
6
9
9
91+ = =
189 18
90
11 1
90
171
90
10
90
181
902
−+
−= + = �
13 1
93
12
93
12
27
4
9
−= = =: :
19 1
92
–=
056
5
4
203
90
450
812
225
406: = =
1
30
263
90
90
7 890
9
789:
.= =
113
30
44
9
4 972
270
2 486
135·
. .= =
5
4
23
9
115
36· =
055
318
99
4 269
990
3 180
990
4 269
990
7 449
990
2+ = + = =
. . . . ..483
330
343
99
4 253
990
3 430
990
4 253
990
7 683
990
2+ = + = =
. . . . ..561
330
41
9
61
9
102
9+ =
135
99
817
99
952
99+ =
923
90
52
9
923
90
520
90
403
90− = − =
4
3
17
5
20
15
51
15
71
15+ = + =
054
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19
1SOLUCIONARIO
Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor.
2,999 2,95 2,955 2,59 2,599 2,559
Se ordenan los números, de menor a mayor:2,559 < 2,59 < 2,599 < 2,95 < 2,955 < 2,999
Ordena estos números decimales, de menor a mayor.
a) 2,9�95 2,�9 2,�95 2,9�59 2,9�5
b) 4,75 4,�75 4,7�5 4,775 4,757 4,7�57
Se ordenan los números, de menor a mayor:
a) 2,9�5 < 2,959� = 2,95� < 2,995� < 2,9�
b) 4,75 < 4,7�5 < 4,757 < 4,75� = 4,757� < 4,775
Da un número racional y otro irracional comprendidos entre:
a) 3,4 y 3,400�23 c) 1 y 2 e) −2,6�8 y −2,�68
b) 2,5�2 y 2,�52 d) 5,6 y 5,�68 f) 0,2 y 0,25
Respuesta abierta.
a) Racional: 3,40022 d) Racional: 5,62Irracional: 3,4002201001… Irracional: 5,6201001…
b) Racional: 2,523 e) Racional: −2,67Irracional: 2,52301001… Irracional: −2,6701001…
c) Racional: 1,1 f ) Racional: 0,21Irracional: 1,101001… Irracional: 0,2101001…
¿Es cierto que 3,�2 = 3,222? Si no lo es, escribe dos números, uno racional y otro irracional, situados entre ellos.
No es cierto, ya que un número es decimal exacto y el otro es periódico.
Respuesta abierta.
Racional: 3,2221Irracional: 3,222101001…
Clasifica en racionales e irracionales las raíces cuadradas de los números naturalesmenores que 20.
Son racionales las raíces de los cuadrados perfectos (1, 4, 9 y 16). Las demás raíces son irracionales.
Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.
Solo es irracional , ya que las demás raíces son exactas.5
2
4
2
5
2
9
3
16
5
36
3
063
062
061
060
059
058
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20
Números reales
Deduce cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.
Son irracionales y , pues las demás raíces son exactas.
¿Qué números representan sobre esta recta numérica los puntos A, B, C y D, donde n es un segmento cualquiera?
Representa en la recta real.
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
a) e)
b) f )
c) g)
d) h)
0 1
1
2
300 1
3
18
0 1
1
2
14
0 1 10
0 1 7
0 1 5
0 1 3
0 1 2
307185
143102
066
C B D A= = + =+
= +5 1 51 5
22 5
−1 0 1 2 4D C B An
n
1 1
3
��� 1���
065
8 10+1 2+
5 493 168 10+5 9−3 4+1 2+
064
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21
1SOLUCIONARIO
Ordena y representa, de forma exacta o aproximada, los siguientes números reales.
1,65 1,6�57
Se ordenan los números, de menor a mayor:
Representa estos números en la recta real.
Ordena y representa los siguientes números.
0,5 2
Se ordenan los números, de menor a mayor:
0 20,5 1−3
2
1
43
22 3
− < < < < <3
2
1
40 5
3
22 2,
3
2
1
42− 3
2
069
0 12
2
5
32 5 1 2+ 1 5+ 2 2+
5
3
2
21 5+2 2+1 2+5
068
5
21 3 1 2
5
2
1
3
< < < < +
=
==
=
=
1,65 ,657
1,65
,657
�
�
A
B
C
D
E 11 2+
0 1 A B C D E
1 2+5
23
067
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22
Números reales
Opera y clasifica el tipo de número real.
a) b) c)
a) Es un número racional:
b) Es un número irracional:
c) Es un número racional:
Describe y representa los siguientes intervalos.
a) (0, 10) e) [5, 10)
b) (3, 7] f ) [−4, +�)
c) (−�, −2) g) (−�, 6]
d) [2, 5] h) (100, +�)
a) {x: 0 < x < 10}
b) {x: 3 < x ≤ 7}
c) {x: x < −2}
d) {x: 2 ≤ x ≤ 5}
e) {x: 5 ≤ x < 10}
f ) {x: −4 ≤ x}
g) {x: x ≤ 6}
h) {x: 100 < x}
100
6
−4
105
52
−2
73
100
071
1,3
3
12
27
4
9
2
3= = = ±
4,9
= =45
95
2 725
9
5
3,
= = ±
1 3
3
,�
4 9,�
2 7,�
070
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23
1SOLUCIONARIO
Escribe el intervalo que corresponde a estas desigualdades.
a) 1 < x < 3 b) 6 < x ≤ 7 c) 5 ≤ x < 9 d) 10 ≤ x ≤ 12
a) (1, 3) b) (6, 7] c) [5, 9) d) [10, 12]
Escribe el intervalo que corresponde a:
a) x ≤−2 c) x >−3 e) x <−9
b) x <5 d) x ≥7 f) x ≥−6
a) (−�, −2] c) (−3, +�) e) (−�, −9)
b) (−�, 5) d) [7, +�) f ) [−6, +�)
Representa, mediante intervalos, los números:
a) Mayores o iguales que 5. d) Mayores que 2 y menores que 4.
b) Menores o iguales que −8. e) Mayores que −5 y menores que −2.
c) Mayores que −2. f ) Comprendidos entre 0 y 10, incluidos estos.
a) d)
b) e)
c) f )
Representa (−�, 8) y [2, +�) en la misma recta, y señala mediante un intervalolos puntos que están en ambos.
El intervalo es [2, 8).
Representa los intervalos (0, 5) y (−2, 3) en la misma recta, y señala el intervalointersección.
El intervalo es (0, 3).
Escribe dos intervalos cuya intersección sea el intervalo [−1, 1].
Respuesta abierta: (−3, 1] y [−1, 5)
077
5
(0, 5)
(−2, 3)
−2 0 3
076
82
(−�, 8)
[2, +�)
075
100
[0, 10]
−2
(−2, +�)
−2−5
(−5, −2)
−8
(−�, −8]
42
(2, 4)
5
[5, +�)
074
073
072
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24
Números reales
Opera y redondea el resultado a las décimas.
a) 3,253 + 8,45 e) 13,5 ⋅ 2,7
b) 52,32 −18,93 f ) 40,92 : 5,3
c) 4,72 + 153,879 g) 62,3 −24,95
d) 7,8 ⋅ 12,9 h) 100,45 : 8,3
a) Redondeo: 11,7 e) Redondeo: 36,5
b) Redondeo: 33,4 f ) Redondeo: 7,7
c) Redondeo: 158,6 g) Redondeo: 37,4
d) Redondeo: 100,6 h) Redondeo: 12,1
Halla la aproximación por redondeo hasta las diezmilésimas para cada caso.
a) b) c) d)
a) 3,1463 b) 3,5029 c) 0,5040 d) 3,0951
¿Qué error absoluto cometemos al aproximar el resultado de 45,96 + 203,7 + 0,823por el número 250,49?
45,96 + 203,7 + 0,823 = 250,483
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐250,483 − 250,49⏐ = 0,007
Si aproximamos 10,469 por 10,5; ¿qué error absoluto se comete? ¿Y si lo aproximamos por 10,4? ¿Cuál es la mejor aproximación? Razónalo.
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐10,469 − 10,5⏐ = 0,031
Si se aproxima por 10,4; el error absoluto es: Ea = ⏐10,469 − 10,4⏐ = 0,069
Es mejor aproximación 10,5; porque el error absoluto cometido es menor.
Desde la antigüedad aparece con frecuencia, el número de oro, Φ, en proporcionesde la naturaleza, así como en las medidas de construcciones, o en obras de artecomo la Gioconda.
a) Escribe la aproximación por redondeo hastalas centésimas del número de oro.
b) ¿Puedes hallar los errores absoluto y relativo?
a) La aproximación por redondeo a lascentésimas es 1,62.
b) No se pueden hallar los errores absoluto y relativo, ya que el número de oro es un número irracional y, por tanto,tiene infinitas cifras decimales noperiódicas.
Φ = + =1 5
21,61803…
082
081
080
4
158+5 3−
6
77+2 3+
079
078
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25
1SOLUCIONARIO
Un truncamiento de 8,56792 es 8,56. Calcula el error absoluto y el error relativo.
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐8,56792 − 8,56⏐ = 0,00792
El error relativo cometido es:
Aproxima el número para que el error sea menor que una centésima.
Para que el error absoluto cometido sea menor que una centésima, hayque calcular el cociente con dos cifras decimales. La aproximación pedida es 0,14.
Aproxima el número 12,3456 de forma que el error absoluto sea menor que 0,001.
Para que el error absoluto sea menor que una milésima, se escribe el númerocon tres cifras decimales. Por tanto, la aproximación pedida es 12,345.
Escribe los 5 primeros intervalos encajados dentro de los cuales se halla ,e indica qué error máximo cometes en cada uno.
(5, 6) Error < 6 − 5 = 1
(5,5; 5,6) Error < 5,6 − 5,5 = 0,1
(5,65; 5,66) Error < 5,66 − 5,65 = 0,01
(5,656; 5,657) Error < 5,657 − 5,656 = 0,001
(5,6568; 5,6569) Error < 5,6569 − 5,6568 = 0,0001
¿Se puede escribir ? Justifica la respuesta y di cuál es el orden de error
cometido.
Al ser un número irracional es imposible escribirlo con una fracción, ya que todas las fracciones son números racionales.
π = 3,1415926…
El error cometido es menor que una millonésima.
¿Para qué número sería 5.432,723 una aproximación a las milésimas por defecto?¿Es la respuesta única? ¿Cuántas respuestas hay?
Respuesta abierta.
Una aproximación a las milésimas es 5.432,7231.
La respuesta no es única, ya que hay infinitos números.
Indica cuáles de los números están escritos en notación científica.
a) 54 ⋅ 1012 c) 243.000.000 e) 7,2 ⋅ 10−2 g) 0,01 ⋅ 10−30
b) 0,75 ⋅ 10−11 d) 0,00001 f ) 0,5 ⋅ 1014 h) 18,32 ⋅ 104
El número 7,2 ⋅ 10−2 está escrito en notación científica.
089
088
355
113= 3,1415929…
π = 355
113087
32 = 5,65685…
32086
085
1
7084
Er = =0 00792
8 567920 00092
,
,,
083
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26
Números reales
Escribe en notación científica los siguientes números, e indica su mantisa y su orden de magnitud.
a) 5.000.000.000 c) 31.940.000 e) 4.598.000.000 g) 329.000.000
b) 0,00000051 d) 0,0000000009 f) 0,0967254 h) 111.000
a) 5.000.000.000 = 5 · 109 Mantisa: 5 Orden de magnitud: 9
b) 0,00000051 = 5,1 · 10-7 Mantisa: 5,1 Orden de magnitud: −7
c) 31.940.000 = 3,194 · 107 Mantisa: 3,194 Orden de magnitud: 7
d) 0,0000000009 = 9 · 10-10 Mantisa: 9 Orden de magnitud: −10
e) 4.598.000.000 = 4,598 · 109 Mantisa: 4,598 Orden de magnitud: 9
f ) 0,0967254 = 9,67254 · 10−2 Mantisa: 9,67254 Orden de magnitud: −2
g) 329.000.000 = 3,29 · 108 Mantisa: 3,29 Orden de magnitud: 8
h) 111.000 = 1,11 · 105 Mantisa: 1,11 Orden de magnitud: 5
Desarrolla estos números escritos en notación científica.
a) 4,8 ⋅ 108 b) 8,32 ⋅ 10−11 c) 6,23 ⋅ 10−18 d) 3,5 ⋅ 10−12
a) 4,8 ⋅ 108 = 480.000.000 c) 6,23 ⋅ 10−18 = 0,00000000000000000623
b) 8,32 ⋅ 10−11 = 0,0000000000832 d) 3,5 ⋅ 10−12 = 0,0000000000035
Realiza las operaciones.
a) 1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104
b) 8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103
c) 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3
d) 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2
e) 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102
a) 1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104 = 3,89 ⋅ 104
b) 8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103 = 1,0335 ⋅ 104
c) 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3 = 3,620000585 ⋅ 104
d) 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2 = 2,303975 ⋅ 102
e) 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102 = 5,93830346 ⋅ 104
Halla el resultado de estas operaciones.
a) 9,5 ⋅ 104 −3,72 ⋅ 104
b) 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102
c) 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6
d) 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102
e) 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2
a) 9,5 ⋅ 104 − 3,72 ⋅ 104 = 5,78 ⋅ 104
b) 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102 = 8,055 ⋅ 103
c) 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6 = 7,887 ⋅ 10−4
d) 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102 = 4,652610 ⋅ 106
e) 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2 = 4,997 ⋅ 102
093
092
091
090
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27
1SOLUCIONARIO
Efectúa las siguientes operaciones.
a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3 c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102
b) 8,91 ⋅ 10−5 ⋅ 5,7 ⋅ 1014 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103
a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3 = 3,8325 ⋅ 102 c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102 = 1,545623836 ⋅ 104
b) 8,91 ⋅ 10−5 ⋅ 5,7 ⋅ 1014 = 5,0787 ⋅ 1010 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103 = 2,96875 ⋅ 10−9
Simplifica el resultado de estas operaciones.
a) b)
Halla el valor numérico de estos radicales.
a) b) c) d) e) f )
Indica los radicales equivalentes.
Simplifica los siguientes radicales.
a) b) c) d) e) f ) g) h)
h) 625 5 5 5 58 484
8
1
2= = = =
g) 27 3 3 3 36 363
6
1
2= = = =
f ) 128 2 2 2 2 2 25 757
5
2
5 25= = = =·
e) 75 3 5 3 5 5 321
2= = =· ·
d) 27 3 3 3 3 3 333
2
1
2= = = =·
c) 32 2 2 2 2 2 24 545
4
1
4 4= = = =·
b) 54 3 2 3 2 3 2 3 23 33
3
3
1
3
1
3 3= = = =· · ·
a) 16 2 2 2 2 2 23 434
3
1
3 3= = = =·
625827612857527324543163
098
7 7 7 7232
3
8
12 812= = =3 3 3 3252
5
4
10 410= = =
2 2 2 2 2686
8
3
4
15
20 1520= = = =2 2 2 2343
4
9
12 912= = =
21520291234107812268723325234
097
f ) − = −128 27d) − = −216 63b) − = −27 33
e) 625 54 = ±c) − = −100 000 105 .a) 81 34 = ±
−12876254−2163−100 0005 .−273814
096
b)3,92 5,86
9,2
2,29712· · ·
· · ·
10 10
7 10 10
4 6
8 13
−
−=
··
··
10
1010
1
6
8−
−=6,44
3,566956522
a)6,147 4,6
7,9 6,57
2,827· · ·
· · ·
10 10
10 10
2 3
8 5
−
−=
662
5,19035,447893185
·
··
10
1010
2
4
3= −
3 92 10 5 86 10
7 10 9 2 10
4 6
8 13
, ,
,
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
−
−
6 147 10 4 6 10
7 9 10 6 57 10
2 3
8 5
, ,
, ,
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
−
−
095
094
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28
Números reales
Escribe como potencias de exponente fraccionario estos radicales.
Expresa mediante un solo radical.
f )1
5
1
5
1
5
51
51
2
1
2
1
4
1
44
=
( )= = =
−
e) 2 2 2 2431
4
1
3 1
12 12= ( ) = =
d)1
2
1
2
2 21
2
1
2 1
2
1
2 1
=⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) =
− −
444
1
2=
c) 3 3 3 31
2
1
2
1
21
8 8= ( )⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
b)2
2
2
2
23
1
2
1
3
1
21
6
1
2
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) = 22 2
1
12 12=
a) 3 5 3 5 3 5 3 5 3 551
2
1
5 1
5
1
10
2
10
1
10 210= ( ) = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
f)1
5e) 243d)
1
2c) 3b)
2
23a) 3 55
100
h)1
3
1
3
aa=
−
e)1 1
1
2
1
2
aa
a= =−
g) a a( ) =3 3
2d) a a−−
=545
4
f )1 1
4 1
4
1
4
aa
a= =−
c)a
a
a
a
a a=⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) =
1
2
1
2 1
2
1
2 1
4
b) a a a a a a a a31
2
1
2
1
33
2
1
2
= ( )⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ( )
⎛
⎝⎜⎜
⋅ ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ( ) = ( ) =
1
33
4
1
3 7
4
1
3 7
12a a a a⋅
a) a a a a a a= ( ) = ( ) = 1
2
1
2 3
2
1
2 3
4
h)1
3
af )
14 a
d) a−54b) a a a3
g) a( )3e)
1
ac)
a
aa) a a
099
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:27 Página 28
29
1SOLUCIONARIO
Extrae los factores que puedas de la raíz.
Extrae factores de los radicales.
Simplifica las siguientes expresiones.
f )a
a
a a
1
2
3
2
1
2
11
2
1⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) =
−
− −22 = a
e) 36729 37 126 7 126 2 6a b a b ab a− − −= =
d)2 25
−
−=
−
−=
− −8
32
23 5 23
6 43
3 3 5 23
6 43
a b c
a b
a b c
a b
b22 22a c a
b
c3 23
23
1=
c)81
2
3
3
4
8 2
3 3
4
33
4
33 3
a
b
a
b
a
b
a= =
b) 32 2 2 25 8 124 5 5 8 124 2 3 4a b c a b c ab c a− − − − − −= =
a)a
aa a a
a
12
183 63
6
2
1
31 1
= = ( ) = =−−
−
f )a
a
1
2
3
2
1
2⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−
d)−
−
−8
32
3 5 23
6 43
a b c
a bb) 32 5 8 124 a b c− −
e) 729 7 126 a b−c)8
81
4
33
a
ba)
a
a
12
183
103
f ) 15 625 5 54 33 6 4 33 2 3. x y x y x y x= =c) 2 26 4 8 3 2 4a b a b=
e) a b ab a6 105 2 5=b) 16 2 274 4 74 34a a a a= =
d) a b c abc a bc6 5 94 2 24=a) 8 2 253 3 53 23a a a a= =
f ) 15 625 4 33 . x yd) a b c6 5 94b) 16 74 a
e) a b6 105c) 26 4 8a ba) 8 53 a
102
h) 40 2 5 2 53 33 3= =⋅d) 98 2 7 7 22= =⋅
g) 1 000 2 5 2 5 103 3 33. = = =⋅ ⋅c) 50 2 5 5 22= =⋅
f ) 75 3 5 5 32= =⋅b) 18 2 3 3 22= ⋅ =
e) 12 3 2 2 32= =⋅a) 8 2 2 23= =
h) 403f ) 75d) 98b) 18
g) 1 0003 .e) 12c) 50a) 8
101
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30
Números reales
Introduce los factores bajo el radical.
Introduce los factores dentro del radical, si es posible.
e) No es posible introducir factores, puesto que 5 no es factor.
Opera y simplifica.
h) 2 5 10 2 5 10−( ) ⋅ +( )d) 5 2 3 5 2 3−( ) ⋅ +( )g) 6 7 5 6 7 5+( ) ⋅ −( )c) 3 2 3 2+( ) ⋅ −( )f ) 7 2 3 5 3 2−( ) ⋅ +( )b) 2 7 3 2 5 2 2+( ) ⋅ −( )e) 7 5 4 5 5 3 6+( ) ⋅ −( )a ) 3 2 5 4 2 3−( ) ⋅ −( )
106
f ) − = − = −a a a a a2 3 63 73
d) 2 23 3− = − = −2 2 3 3 63 4 73ab ab a b ab a b
c)2
2
2
3
2 3
8
3 3
22a
a a
a a⋅ = =
b)4 2
2
4
4
8
3
4
8 8
24
4 4 24
4 5 2
44
ab
c
c b
a
a b c b
c a
a b c
ac⋅ = = ==
25 a b
c
3 5
24
a) aa
a
a a
a
a a⋅
−=
−=
−4 1
2
4 1
2
4
2
2 2( )
f ) −a a2 3d) −2 2 3ab abb)4
8
2
4ab
c
c b
a⋅
e) 5 2+c)2 3
8a
a⋅a) aa
a⋅ −4 1
2
105
j)1
7
3
4
3
7 4
3
21 952
3
3 33 3⋅ = =
⋅ .e)
1
26
1 6
2
6
16
3
84
44 4 4= = =
⋅
i)23
5
2
3
3
5 3
18
1253
3
33 3= =
⋅
⋅d)
323
52
2
5
18
252= =
⋅
h) 51
5
5
55 253
3
3 23 3= = =c) 3 15 3 15 3 6455 55 5= =⋅ .
g) 2 7 2 7 563 33 3= =⋅b) 4 20 4 20 5 1204 44 4= =⋅ .
f )1
2
1
2
1
2 2
1
324
44 4= =
⋅a) 2 5 2 5 403 33 3= =⋅
j)1
7
3
4
3
⋅h) 51
53f )
1
2
1
24d)
3
52b) 4 204
i)3
5
2
33g) 2 73e)
1
264c) 3 155a) 2 53
104
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:27 Página 30
31
1SOLUCIONARIO
Calcula.
Efectúa y simplifica.
c) 3 5 4 7 3 5 4 73 15 4 21 15 5 4 35 4 21
+ −( ) − +( ) == − + + − + − +
⋅44 35 112 109 8 35− = +
b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5 9 5 4 80 72+( ) −( ) + −( ) +( ) = − + − = −⋅ ⋅
a) 2 3 2 3 2 3 4 4 3 3 4 3 6 4 32
+( ) − +( ) −( ) = + + − + = +⋅
c) 3 5 4 7 3 5 4 7+ −( ) ⋅ − +( )b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5+( ) ⋅ −( ) + −( ) ⋅ +( )a) 2 3 2 3 2 3
2+( ) − +( ) ⋅ −( )
108
d) ab a b ab a b a b a b3 31
2
1
3 1
3
1
2 1
6
1
6
1
2
1
⋅ ⋅= ( )( ) ( )( ) = 66
2
3
1
3 23= =a b a b
c) :2 4 2 4 23 45 23 3 41
5 21
3 3 43
1a b ab a b ab a b= ( ) ( ) = ( ): 55 25
15
9 12
5 1015
9 12
5
4: ab
a b
a b
a b
a
( ) =
= =2
4
2
2
3
5
3
10 bb
a b10
154 2
715
2=
b) 3 2 3 2 3 223 3 21
3 31
2 22
6a b ab a b ab a b ab⋅ ⋅ ⋅= ( ) ( ) = ( ) 333
6
2 4 2 3 3 96 3 2 7 1163 2 2 3
( ) == =a b a b a b
a) a a a a a a a a a a34 53 463
4
5
3
4
6
9
12
20
12
8
12⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =227
12 3712 312= =a a a
d) ab a b3 3⋅b) 3 223 3a b ab⋅
c) 2 43 45 23a b ab:a) a a a34 53 46⋅ ⋅
107
h) 2 5 10 2 5 10 4 5 2 50 2 50 1020 1
2 2−( ) +( ) = ( ) + − −( ) =
= −⋅
00 10=
g) 6 7 5 6 7 5 36 7 6 35 6 35 5252 5
2 2+( ) −( ) = ( ) − + −( ) =
= − =⋅
2247
f ) 7 2 3 5 3 2 35 6 14 2 15 3 6−( ) +( ) = + − −⋅
e) 7 5 4 5 5 3 6 35 5 21 30 20 5 12 6175 2
2+( ) −( ) = ( ) − + − =
= −⋅
11 30 20 5 12 6+ −
d) 5 2 3 5 2 3 25 2 15 2 15 2 9 50 9 412
−( ) +( ) = ( ) + − − = − =⋅
c) 3 2 3 2 3 6 6 2 3 2 12 2
+( ) −( ) = ( ) − + −( ) = − =⋅
b) 2 7 3 2 5 2 2 10 7 4 14 15 2 6 210 7 4 14
2+( ) −( ) = − + − ( ) =
= −⋅
++ −15 2 12
a) 3 2 5 4 2 3 12 2 9 2 20 2 15 29 2 392
−( ) −( ) = ( ) − − + = − +⋅
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32
Números reales
Halla el resultado.
Efectúa y simplifica.
Expresa el resultado como potencia.
d) 8 81 2 3 2 353 3 41
5
1
3 4
15= ( )( ) = ⋅
c) 2 2 2 2 2 2232
3
1
2 1
2
1
2
1
21
3
1
⋅ ⋅ ⋅= ( ) ( )⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 88
11
242=
b) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 251
5 21
2
1
5 1
5
2
5
1
10
7
10⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ( ) = =·
a) 5 5 5 5 5 536 1
3
1
2
6 5
6
6
5·( ) = ( ) = ( ) =⋅
d) 8 8153b) 3 3 35 25⋅
c) 2 223 ⋅a) 5 536
⋅( )
111
d)a a a a
9 16
16 9
144
2
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
−
⎟⎟⎟⎟=
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
− −2 225
144
5
12
aa ⎟⎟ =
−2144
25a
c) 14 7 81 14 7 3 14 2 44
1
21
21
2
1
2+ −( ) = + −( ) = +( ) = =− − − − 11
4
1
2=
b) 811
3
1
33 3 3 3
1
4 48
1
4
1
8⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=
⎛
⎝
− −: ⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟= = =: :3 3 3 3 3
1
2
5
8
1
2
1
8 8
a)2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
34 4 3
25
2
3
4 41
3
21
2
5
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
−
−=
22
13
12
4
13
12
48
12
35122
2
2
2
2= = =
d)a a
9 16
2
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
b) 811
3
1
33
1
4 48
⋅ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ :
c) 14 7 814
1
2+ −( )−
a)2 2 2
2 2 2
34 4 3
252
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
110
c) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 14 4 4 4+ − = +( ) −( ) = − =⋅
b) 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 75 1 743 3 3 3 3− + = +( ) +( ) = − =⋅
a) 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 49 24 25 5− + = −( ) +( ) = − = =⋅
c) 3 2 3 24 4+ ⋅ −
b) 5 3 1 5 3 13 3− ⋅ +
a) 7 2 6 7 2 6− ⋅ +
109
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33
1SOLUCIONARIO
Racionaliza y simplifica.
j)7 2
3
7 2 3
3 3 3
7 2 3
9
3
54
3 34
4 34
4 912
= =⋅
⋅
⋅
i)5 3 4
3
5 3 4 3
3 3
5 3 4 3
323
3
23 3
56 3−=
−( )=
−
⋅
h)9
5 5
9 5
5 5 5
9 5
2557
27
57 27
27
= =⋅
g)6 6 6
6
6 6 6 6
6 6
6 6 6 6
66 6 6
3
23
3 23
6 236 2−
=−( )
=−( )
= −⋅
33
f )7 5
3
7 5 3
3 3
7 3 675
34
34
4 34
34 4+=
+( )=
+
⋅
e)−
=−
=−
=−6
2 7
3
7
3 7
7 7
3 7
74 4
34
4 34
34
d)5 3 4
3
5 3 4 3
3 3
15 3 4 325
35
25 35
10 35−
−=
−( ) −
− −=
− + −
⋅ −−=
− −3
15 3 4 3
3
10 35
c)1 2
2
1 2 2
2
2 2
22
−=
−( )
( )=
−
b)−
=−
( )=
−=
−5
2 5
5 5
2 5
5 5
10
5
22
a)6 6 6
6
6 6 6 6
6
6 6 6 6
6
6 6 6
66 6
2
−=
−( )
( )=
⋅ −=
−( )= −
j)7 2
3
3
54e)
−6
2 74
i)5 3 4
323
−d)
5 3 4
325
−
−
h)9
5 557c)
1 2
2
−
g)6 6 6
63
−b)
−5
2 5
f )7 5
34
+a)
6 6 6
6
−
112
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34
Números reales
Elimina las raíces del denominador.
Racionaliza las siguientes expresiones.
Racionaliza y simplifica el resultado.
a)1
3 6
3 6
3 6 3 6
3 6
3 6
3 6 3 6
3 6 3 6+=
+
+ +=
+
+=
+ −( )
+( ) −( )⋅==
=+ − +
−=
+ − +3 3 6 18 6 6
9 6
3 3 6 18 6 6
3
d)4 3 7
12
+c)
5 6 2
18
−b)
1
1 5 7− +a)
1
3 6+
115
d)−
⋅ +( )=
− −( )
+( ) −( )=
− −( )7
9 6 3
7 6 3
9 6 3 6 3
7 6 3
27
c)8
5 10 6
8 10 6
5 10 6 10 6
8 10 6
20⋅ −( )=
+
−( ) +( )=
−( )=
( ) 22 10 6
5
−( )
b)5
3 7 2
5 7 2
3 7 2 7 2
5 7 2
15
7 2
3⋅ +( )=
−
+( ) −( )=
−( )=
−( )
a)−
⋅ −( )=
− −
−( ) +( )=
− −1
2 5 3
5 3
2 5 3 5 3
5 3
4
d)−
⋅ +( )7
9 6 3c)
8
5 10 6⋅ −( )b)
5
3 7 2⋅ +( )a)−
⋅ −( )1
2 5 3
114
f )−
+=
− −( )
+( ) −( )=
− +−
= −5
6 7
5 6 7
6 7 6 7
5 6 5 7
6 75 6 5 7
e)7
11 3
7 11 3
11 3 11 3
7 11 21
11 9
7 11
−=
+( )−( ) +( )
=+
−=
+ 221
2
d)4 2
3 2 5
4 2 3 2 5
3 2 5 3 2 5
24 4 10
18 5
24
−=
+( )−( ) +( )
=+
−=
++ 4 10
13
c)−
−=
− +( )−( ) +( )
=− −
−= +
5
3 2
5 3 2
3 2 3 2
5 3 10
3 45 3 10
b)3
2 3
3 2 3
2 3 2 3
3 2 3
2 33 2 3
+=
−( )
+( ) −( )=
−( )−
= − −( )
a)1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 12 1
+=
−
+( ) −( )=
−−
= −
f )−
+
5
6 7d)
4 2
3 2 5−b)
3
2 3+
e)7
11 3−c)
−
−
5
3 2a)
1
2 1+
113
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35
1SOLUCIONARIO
Racionaliza las siguientes expresiones.
d)−
=−
=−
=−
=−4
3 2
4
3 2
4
3 2
4
3 24 3 1
4
1
3
3
12
4
123 412⋅
⋅ ⋅ ⋅
44 3 2
3 2 3 2
4 3 2
6
2 3 2
9 812
3 412 9 812
9 812 9 8
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
=−
=− 112
3
c)−
+( )=
− −( )
+( ) −( )=
−2
2 125 2
2 125 2
2 125 2 125 23 3⋅ ⋅
2250 2 2
121 2
250 2 2 2
121 2 2
5 2
3
23
3 23
9 76
+=
=− +( )
=−
⋅
⋅ ++=
− +=
=−
2 2
121 2 2
5 2 5 2 2 2
242
2 5 5 2
76
3 23
36 2 6
36
⋅
⋅ ⋅
⋅ ++( )=
− +2 2
242
5 5 2 2 2
121
6 36 6⋅
b)−
−( )=
− +( )−( ) +( )
=− +2
4 5 3 1
2 5 3 1
4 5 3 1 5 3 1
2 5 33 3⋅ ⋅
11
74 4
5 3 1
37 4
5 3 1 4
37 4 4
5 3
3
3
23
3 23
3
( )=
=− −
=− −( )
=−
⋅
⋅⋅ 4 4
148
46 23−
a)3
3 2 5 4 2 3
3
24 9 2 20 2 15
3
39 29 2
3 39
−( ) −( )=
− − +=
−=
=
⋅
++( )−( ) +( )
=+−
=29 2
39 29 2 39 29 2
117 87 2
1 521 1 682. .
1117 87 2
161
+−
d)−
⋅
4
3 24 3b)
−
⋅ −( )2
4 5 3 13
c)−
⋅ +( )2
2 125 23a)
3
3 2 5 4 2 3−( ) ⋅ −( )
116
d)4 3 7
12
4 3 7 12
12
24 84
12
2 12 21
6 22
+=
+( )
( )=
+=
+( )⋅
=112 21
6
+
c)5 6 2
18
5 6 2 18
18
5 3 2 6
18
5 3 2 3 6
2
3 2−=
−( )
( )=
−=
=−
⋅
⋅ ⋅118
6 5 3 1
6 3
5 3 1
3=
−⋅
=−( )
b)1
1 5 7
1 5 7
1 5 7 1 5 7
1 5 7
1 5 7 5
− +=
+ −
− +( ) + −( )=
=+ −
+ − − −55 35 7 35 7
1 5 7
11 2 35
1 5 7 11 2 35
+ + + −=
+ −
− +=
=+ −( ) − −( )
−− +( ) − −( )=
− − + − − +
11 2 35 11 2 35
11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 2445
121 140
11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 245
19
−=
=− − + − − +
−
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36
Números reales
Realiza estas operaciones.
Efectúa las operaciones.
Calcula, mediante la definición, los logaritmos.
a) log3 243 e) ln e2
b) log9 81 f ) ln e−14
c) log 1.000.000 g) log7 343
d) log 0,00001 h) log4 0,0625
a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2
b) log9 81 = 2 f ) ln e−14 = −14
c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3
d) log 0,00001 = −5 h) log4 0,0625 = −2
Sabiendo que log3 2 = 0,63; halla log3 24 mediante las propiedades de los logaritmos.
log3 24 = log3 (23 · 3) = log3 23 + log3 3 = 3 log3 2 + log3 3 = 3 · 0,63 + 1 == 1,89 + 1 = 2,89
Calcula log4 128, utilizando las propiedades de los logaritmos, e intenta dar unresultado exacto.
log4 128 4x = 128 22x = 128 22x = 27 x =
Halla el resultado de las expresiones, mediante las propiedades de los logaritmos.
a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49
b) log2 8 + log3 27 + log5 125
c) log5 625 − log9 81 + log8 64
a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49 = 2 · 2 + 5 − 3 · 2 = 3
b) log2 8 + log3 27 + log5 125 = 3 + 3 + 3 = 9
c) log5 625 − log9 81 + log8 64 = 4 − 2 + 2 = 4
122
7
2
121
120
119
b)1
3
1
9
9 3
39 3
3 9
79− =
−
a)1
5 5
1
5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5 53
3
3
3
56 3+− =
− −
+( )=
− −
+
b)1
3
1
99 3−a)
1
5 5
1
53+−
118
b)1
6
6
2
2 6
6 29 3
3 1118
39+ =
+
⋅a)
1
2
1
2
2 2
23
3
56+ =
+
b)1
6
6
29 3+a)
1
2
1
23+
117
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37
1SOLUCIONARIO
Desarrolla las siguientes expresiones.
Determina, utilizando la calculadora.
a) log5 362 b) c) log6 100 d) log4 315
d) log log 31log 31
log 412,38554 431 5 55 = = ⋅ =
c) log log 10log 10
log 62,57016 6
2100 2= = ⋅ =
b) log log 31log 31
log 22,47712 231
1
2
1
2= = ⋅ =
a) log 36 log 36 2log 36
log 54,45315
25= = ⋅ =2
log2 31
124
d) ln.
ln ln .
ln ln
e ae a
e
3 643
6
4
3
1 0001 000
⋅⋅= ( )− =
= + aa
e a
3
2 310
33
23 10
− =
= + −
ln
ln ln ln
c) log log log
lo
102 35
10 102 35x x
y zx x y z
⋅
⋅⋅ ⋅= ( )− =
= gg log
log log
10
1
210
2
5
3
5
10 10
1
2
x x y z
x x
⋅ ⋅( )− ( ) =
= + −− − =
= + −
log log
log log log
10
2
510
3
5
10 10 11
2
2
5
y z
x x 00 103
5y z− log
b) log log log
log
2
3 65
732
3 652
73
2
a b
ca b c
a
⋅⋅= ( )− =
= 332
6
52
7
3
2 2 236
5
7
3
+ − =
= + +
log log
log log log
b c
a b c
a) log log ( ) log
log
3
2 5
2 32 5
32
3
a b c
da b c d
a
⋅ ⋅⋅ ⋅= − =
= 223
53 3
2
3 3 32 5
+ + − == + +
log log log
log log log
b c d
a b c −− 2 3log d
d) ln.
e a3 64
1 000
⋅b) log2
3 65
73
a b
c
⋅
c) log102 35
x x
y z
⋅
⋅a) log3
2 5
2
a b c
d
⋅ ⋅
123
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38
Números reales
Si log e = 0,4343; ¿cuánto vale ln 10? ¿Y ln 0,1?
Halla el valor de los logaritmos decimales, teniendo en cuenta que log 2 = 0,3010.
a) log 1.250 c) log 5 e) log 1,6
b) log 0,125 d) log 0,04 f ) log 0,2
Calcula el valor de x.
a) log3 x = 5 c) log2 x = −1 e) log3 (x − 2) = 5 g) log2 (2 − x) = −1
b) log5 x = 3 f) log5 (x + 2) = 3 h) log23 (3 + x) = 4
Halla cuánto vale x.
a) logx 3 = −1 b) logx 5 = 2 c) logx 3 = −2 d) logx 2 = 5
d) logx x x2 5 2 25 5= = =→ →
c) logx x x x3 2 31
3
1
32 2= − = = =−→ → →
b) logx x x5 2 5 52= = =→ →
a) logx x x3 1 31
31= − = =−→ →
128
h) log ( ) . .2343 4 23 3 279 841 3 279 838+ = = + = − =x x x→ →
g) log ( ) , ,212 1 2 2 0 5 2 1 5− = − = − = − + =−x x x→ →
f ) log ( )532 3 5 2 125 2 123x x x+ = = + = − =→ →
e) log ( )352 5 3 2 243 2 245x x x− = = − = + =→ →
d) log 2
3
4
42
3
16
81x x x=
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =→ →
c) 0,5log211 2x x x= − = =−→ →
b) log533 5 125x x x= = =→ →
a) log355 3 243x x x= = =→ →
d) log 2
3
4x =
127
f ) 0,2 0,3010 0,699log log log log= = − = − = −2
102 10 1
e) 0,3010 0,2log , log log log1 62
104 2 10 4 1
4
= = − = − =⋅ 004
d) 0,04 0,3010log log log log= = − = − =2
1002 2 2 10 2 2
2
⋅ −−1,398
c) 0,3010 0,6990log log log log510
210 2 1= = − = − =
b) 0,125 0,3010 0,90log log log log= = − = − =1
81 2 0 33 ⋅ 33
a) 1.250 0log log.
log . log= = − = −10 000
810 000 2 4 33 ⋅ ,,3010 3,097=
126
lnlog
log0,1
0,1
0,43432,3025= =
−= −
e
1ln
log
log10
10
0,43432,3025= = =
e
1
125
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39
1SOLUCIONARIO
Calcula el valor de x.
a) log3 9 x = 2 e) log3 9 x+3 = 3
b) f ) log 2x/2
c) ln 3x = −1 g) ln 3x+6 = 3
d) log2 4x+4 = −2 h) log3 273x+4 = −2
Determina el valor de x.
a) 8x = 1.024 e) 8x−2 = 1.024
f ) (3x)2 = 27
d) 10 x−1 = 103
h) 2 1 2 2 2 1 0 12 22 1 2 1 0 2x x x x x x x− + − += = − + = =→ → →
g) 3 18 27 3 9 3 3 2 22 2 2 2 2x x x x x+ = = = = =→ → → →
f ) ( )3 27 3 3 2 33
22 2 3x x x x= = =→ → → →
e) 8 1 024 2 2 3 6 1016
32 3 2 10x x x x− −= = − = =. ( )→ → →
d) 10 10 1 3 41 3x x x− = − = =→ →
c) 3 27 3 3 6 3 9 32 26 6 3 2x x x x− −= = − = = = ±→ → →
b) 3 27 3 33
2
2 2 3x x x= = =→ →
a) 8 1 024 2 210
33 10x x x= = =. → →
h) 2 12 2 1x x− + =
g) 3 18 272x + =c) 3 27
2 6x − =b) 3 27
2x =
130
h) log ( ) log33 4
327 2 3 4 27 2 3 42
3
3
x x x
x
+ = − + = − + =−→ →
→ ==− −
=−2 12
3
14
9→ x
g) 3,2693ln ( ) lnln
3 3 6 3 33
366x x x x+ = + = = − = −→ → →
f ) 9,9658log loglog
23
2 22
3
2
3
22
x xx x= = = =→ → →
e) log33 3 3 3 3 99 3 3 9 3 3 3 3 9 2x x x x x+ + += = = = + = −→ → → →
d) log24 2 4 2 2 84 2 2 4 2 2 2 2 8x x x x x+ − + − += − = = − = + =→ → → → −−5
c) 0,9102ln lnln
3 1 3 11
3x x x x= − = − =
−= −→ → →
b) 4,9829log loglog
23
22
3
2
3
2 2x x x x= = = =→ → →
a) log log3 39 2 9 2 2 2 1x x x x= = = =→ → →
= 3
2log 2
3
2x =
129
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40
Números reales
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta.
a) Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción.b) Todos los números reales son racionales.c) Cualquier número irracional es real.d) Hay números enteros que son irracionales.e) Existen números reales que son racionales.f) Todo número decimal es racional.g) Cada número irracional tiene infinitas cifras decimales.h) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten.i) Todos los números racionales se pueden escribir mediante fracciones.
a) Falsa, pues los números irracionales tienen infinitas cifras decimalesno periódicas y no se pueden escribir como fracción.
b) Falsa, porque hay números reales que son irracionales.
c) Verdadera, ya que los números racionales y los irracionales forman el conjuntode los números reales.
d) Falsa, porque si son enteros no pueden tener infinitas cifras decimales noperiódicas.
e) Verdadero, pues todos los números que se pueden expresar como fracción,son números reales, que además son racionales.
f ) Falsa, porque los números decimales con infinitas cifras decimales noperiódicas son irracionales.
g) Verdadero, ya que tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
h) Falsa, pues los decimales exactos también son racionales.
i) Verdadero, por definición.
¿Por qué la raíz cuadrada de cualquier número terminado en 2 es un númeroirracional? ¿Existe otro conjunto de números con esta característica?
Porque no hay ningún número que, al multiplicarlo por sí mismo, dé un númeroterminado en 2.
Todas las familias de números terminadas en 3, 7 y 8 tienen esta característica.
Escribe en notación científica las siguientes cantidades.
a) Distancia Tierra-Luna: 384.000 kmb) Distancia Tierra-Sol: 150.000.000 kmc) Diámetro de un átomo: 0,0000000001 md) Superficie de la Tierra: 500 millones de km2
e) Longitud de un virus (gripe): 0,0000000022 mf ) Peso de un estafilococo: 0,0000001 gg) Un año luz: 9.500.000.000.000 kmh) Distancia a la galaxia más lejana: 13.000 millones de años luz
a) 384.000 = 3,84 · 105 e) 0,0000000022 = 2,2 · 10−9
b) 150.000.000 = 1,5 · 108 f ) 0,0000001 = 1 · 10−7
c) 0,0000000001 = 1 · 10−10 g) 9.400.000.000.000 = 9,4 · 1012
d) 500.000.000 = 5 · 108 h) 13.000.000.000 = 1,3 · 1010
133
132
131
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41
1SOLUCIONARIO
Con ayuda de las propiedades de los números reales, prueba que el productode cero por cualquier número real da como resultado cero. En cada caso, indicala propiedad que estás utilizando.
Por la unicidad de los elementos neutros para la suma y la multiplicación se tiene que:
Propiedad distributiva
0 · a + a = a · (0 + 1) = a · 1 = a
Como 0 · a + a = a → 0 · a = 0
¿Qué tipo de decimal se obtiene de la fracción , siendo a un número entero?
Como nuestro sistema de numeración es decimal, al dividir un número enteroentre un número que sea potencia de 2 o 5, o de ambos, se obtiene un decimal exacto. Si el numerador es múltiplo del denominador, se obtiene unnúmero entero.
¿Existe algún caso en que la aproximación por exceso y por defecto coincidan?
Y si consideramos el redondeo, ¿puede coincidir con la aproximación por excesoo por defecto?
No pueden coincidir, ya que para aproximar por defecto se eliminan las cifrasa partir del orden considerado, y para aproximar por exceso se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero se aumenta en una unidad la últimacifra que queda.
La aproximación por redondeo coincide con la aproximación por defecto si la cifraanterior al orden considerado es menor que cinco, y coincide con la aproximaciónpor exceso en el resto de casos.
Razona cómo se racionalizan las fracciones del tipo:
Multiplicamos el denominador por el conjugado:
Por tanto, multiplicando por el conjugado n veces:
a b a b a b
a b
n n n n2 2 2 21 1
+( ) +( ) +( )−
− −
�
a b
a b a b
a b
a b
n n
n n n n
n n
n n
2 2
2 2 2 2
2 2
2 21
+
−( ) +( )=
+
−− −11
1 1
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
a b a b
a b a
n n n n
n n n
+( ) +( )−( ) +
− −
− − −
bb
a b a b
a bn
n n n n
n n2
2 2 2 2
2 21
1 1
2 2−
− −
− −( )=
+( ) +( )−
12 2a b
n n
−137
136
a
2 52 3·135
8
134
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42
Números reales
Racionaliza las siguientes expresiones.
a) b) c)
Indica un procedimiento general para racionalizar expresiones del tipo:
teniendo en cuenta que b1, b2, …, bn son números reales.
Se multiplica el denominador por una expresión que resulta al cambiar de signoa todos los elementos del denominador menos a uno.
Al realizar la operación el número de raíces disminuye, se repite este procesotantas veces como sea necesario hasta que la expresión quede racionalizada.
Considera que A, B, C y D son cuatro pueblos. La distancia medida entre A y Bha sido de 48 km, con un error de 200 m, y la distancia entre C y D ha sido de 300 m,con un error de 2,5 m. ¿Qué medida es mejor? ¿Por qué?
Se calcula el error relativo:
Es mejor la medida tomada entre las ciudades A y B, ya que el error relativocometido es menor.
Er = =2 5
3000 00833
,,Er = =
0 2
48
,0,00416
140
1
1 2b b bn+ + +…
139
c)2
6 5 5 6 3
2 6 5 5 6 3
6 5 5 6 3 6 5 5 6 3
3 3
− −=
+ +( )− −( ) + +( )
=
=22 6 5 5 6 3
227 60 15
2 6 5 5 6 3 137 60 153 3+ +( )− −
=+ +( ) − −( ))
−=
=+ +( ) − +( )
−
2 471
2 6 5 5 6 3 137 60 15
2 471
3
.
.
b)2
2 2 3 3 4
2 2 2 3 3 2
2 2 3 3 2 2 2 3 3 2
2 2
− +=
+ −( )− +( ) + −( )
=
=++ −( )
− +=
+ −( ) − −
− +(3 3 2
23 12 3
2 2 2 3 3 2 23 12 3
23 12 3
( )
)) − −( )=
=− − − − + +
=
=−
23 12 392 2 48 6 138 3 216 92 48 3
97922 2 48 6 90 3 124
97
− − −
a)2
2 3 4
2 2 3 2
2 3 2 2 3 22 2 3 2
5
+ +=
− −( )
+ + − −=
=− −( )
−
( )( )
−−=
− −( ) − +
− − − +=
=−
2 12
2 2 3 2 5 2 12
5 2 12 5 2 1210
( )
( )( )22 4 24 10 3 24 20 8 12
25 4810 2 8 6 10 3 4 16 3
+ + − − −−
=
=− − + +
223
10 2 8 6 4 6 3
23=
− + +
2
6 5 5 6 3
3
− −
2
2 2 3 3 4− +
2
2 3 4+ +
138
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43
1SOLUCIONARIO
Comprueba las siguientes igualdades.
a) e)
b) f )
c) g)
d) h)
a) Falso: e) Verdadero:
b) Falso: f ) Falso:
c) Falso: g) Falso:
d) Falso: h) Falso:
Escribe 2500 en notación científica.
a) Sabiendo que log 2 = 0,3010 y que .
b) ¿Podrías hacerlo con una calculadora científica?
c) Expresa 5500 en notación científica, teniendo en cuenta el primer apartado.
a) Llamamos x al número: 2500 = x
Tenemos que encontrar y tal que 10 y = x.
2500 = x 500 = log2 x =
Por otro lado, como log x = y:
y = 500 � log 2 = 150,5
10150,5 = 100,5 � 10150 = 3,1622 � 10150
b) No se puede hallar con calculadora, ya que es un número demasiado grande.
c) Llamamos x al número: 5500 = x
Tenemos que encontrar y tal que 10 y = x:
5500 = x 500 = log5 x =
Por otro lado, como log x = y:
y = 500 � log 5 = 349,5
10349,5 = 100,5 � 10349 = 3,1622 � 10349
log
log
x
5
log
log
x
2
10 3 1622= ,
142
3 4 53 4 5
2 2+ =+ �
2 3 18
2 3 18
63
63
=
( · ) �
a b a b a b a b
a b a b
8 24 8 21
4
8
4
2
4 21
2
2
= ( ) = = =
= �
5 3 2
5 3 2
3
3 3
+ =
+ �
2 15 1 8
2 15 2 1 8
+ =
+· · �
4 8 4
4 8 4
3
5
·
·
=
�
a a a b a b
a a b
· · · ·
·
= =
=
34 8 4
4 8 4
3
12
·
·
=
�
a b a b2 2+ = +a b a bmn mn= ⋅( )
a b a b8 24 =a b a bn n n+ = +
a b c ab ac+ = +a b a bn m n m· ·= +
a a a b a a b⋅ ⋅ ⋅ = ⋅a b abn m n m· = ⋅
141
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:28 Página 43
44
Números reales
Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son:
Byte = 28 bits Megabyte = 210 Kilobytes
Kilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes
Expresa, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidadesde información en bits y bytes.
a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb.b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb.
a) 120 Gb = 120 � 210 � 210 � 210 bytes = 15 � 233 bytes = 15 � 241 bits
120 Gb = 1,2885 � 1011 bytes = 3,2985 � 1013 bits
b) 512 Mb = 29 � 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits
512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 � 1011 bits
c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 � 220 bytes = 1,44 � 228 bits
1,44 Mb = 1,5099 � 106 bytes = 3,8655 · 108 bits
d) 550 Mb = 550 · 210 · 210 bytes = 550 · 220 bytes = 550 · 228 bits
550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 � 1011 bits
PARA FINALIZAR...
Si es una fracción irreducible:
a) ¿Cuándo es equivalente a ? b) ¿Y cuándo es equivalente a ?
a) b)
ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab → b2 = ab
a = b Como b es distinto de cero: b = a
Si una fracción es irreducible, ¿son las fracciones y irreducibles?
Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y b:
(a + b) y a · b no tienen divisores comunes, y la fracciónes irreducible.
Como los divisores de a − b son los divisores comunes de a y b:
(a − b) y a · b no tienen divisores comunes, y la fracciónes irreducible.
Demuestra la siguiente igualdad: = 1
= + −( ) = −( ) ==
∑1
21
1
2100 1 1
1
99
log ( ) log log logk kk
log log log1 1
2
1 1
2
1
1
99
1
99
1
+=
+=
+=
= = =∑ ∑k
k
k
k
k
kk k k
999
∑
log1
1
99 +
=∑ k
kk
146
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a
b145
a b
b b
a
b
++
=a
b
a
b
++
=1
1
a
b
a b
b b
++
a
b
a
b
++
1
1
a
b144
143
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45
Demuestra estas igualdades.
a) loga (b · c) = loga b + loga c b) loga = loga b − loga c
a) Por la definición de logaritmos:
loga (b � c) = x loga b = y loga c = z
a x = b � c a y = b a z = c
a y � a z = b � c a y + z = b � c loga (b � c) = y + z
Es decir: loga (b � c) = loga b + loga c
b) Por la definición de logaritmos:
loga = x loga b = y loga c = z
a x = a y = b a z = c
ay−z = loga = y − z
Es decir: loga = loga b − loga c
Demuestra la siguiente igualdad: log (a2 −b2) = log (a + b) + log (a −b)
log (a + b) + log (a − b) = log [(a + b)(a − b)] = log (a2 − b2)
Si el área de esta figura es 10 cm2, ¿cuál es su altura?
La longitud de la base mide: 1 + cm
Calculamos la altura: 10 = � h
h = cm
Dos piezas móviles de una máquina se desplazan a la misma velocidad. La primera pieza describeuna circunferencia de radio 5 cm y la segunda se desplaza de un extremo al otro del diámetro de esa circunferencia.
Si ambas piezas parten del mismo punto, ¿coincidiránen algún momento?
Suponemos que ambas piezas parten de A. Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles.La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia en los puntos A y B es: 5π(k − 1), siendo k un número natural. La distancia recorridapor el móvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B es: 10(k − 1),siendo k un número natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplazapor la circunferencia son números irracionales, mientras que las distanciasrecorridas por el móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales. Por tanto, nunca coincidirán ambos móviles.
150
10
1 2
10 10 2
110 10 2
+=
−−
= − +
1 2+( )2
149
148
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
a
a
b
c
y
z=
b
c
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
147
1SOLUCIONARIO
A
h
1
1B
CD
5 cmBA
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:28 Página 45
46
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
Juanita la Larga –Pues mira, Juanita –contestó don Ramón–: yo digo que no, porqueno quiero ser cómplice de tu locura y porque un pagaré firmado porti, que eres menor de edad, no vale un pitoche.–El pagaré, aunque apenas tengo aún veinte años, valdría tanto comosi yo tuviese treinta. Nunca he faltado a mi palabra hablada: menosfaltaré a mi palabra escrita. Para cumplir el compromiso que contraje-se, me vendería yo si no tuviese dinero.A don Ramón se le encandilaron algo los ojos, a pesar de que doñaEncarnación estaba presente, y dejó escapar estas palabras:–Si tú te vendieses, aunque en el lugar son casi todos pobres, yo nodudo de que tendrías los ocho mil reales; pero yo no quiero que tú tevendas.–Ni yo tampoco –replicó la muchacha–. Lo dije por decir. Fue unaponderación. Los bienes de mi madre son míos: ella me quiere con to-da su alma y hará por mí los mayores sacrificios. No dude usted,pues, de que dentro de seis meses tendrá los ocho mil reales que aho-ra me preste, sin necesidad de que yo me venda para pagárselos. […]–Está bien. No hay más que hablar –dijo don Ramón.Y yendo a su escritorio, redactó los dos documentos en un periquete.En el pagaré se comprometía Juanita a pagar, en el término de seis me-ses, la cantidad de diez mil reales.–Ya ves mi moderación –dijo el tendero murciano al presentar a lamuchacha el documento para que le firmase–. Me limito a cobrartesólo un 25 por 100, a pesar del peligro que corro de quedarme sin midinero, porque, a despecho de todos tus buenos propósitos, no tengasun ochavo dentro de los seis meses y tengamos que renovar el pagaré,lo cual me traería grandísimos perjuicios.–Ya lo creo –dijo doña Encarnación–; como que ahora andamos en-golfados en negocios tan productivos, que ganamos un ciento porciento al año. Créeme, Juanita; prestándote los ocho mil reales nos ex-ponemos a quedarnos sin ellos y además a perder otro veinticinco porciento, o sea otros dos mil reales, que hubiéramos ganado dando a losocho mil más lucrativo empleo; pero en fin, ¿qué se ha de hacer? Miseñor esposo pierde la chaveta cuando ve un palmito como el tuyo.
JUAN VALERA
El «tipo de interés» se refiere siempre a un año. ¿Qué tipo deinterés le aplicaron los usureros al préstamo de Juanita? ¿Quétipo de interés se aplica actualmente en los préstamos bancarios?
Como el préstamo dura seis meses, es decir, medio año, significaque a Juanita le aplicaron un tipo de interés del 50 %.
Al tratarse de un préstamo personal, la ley establece que no sepuede aplicar un interés superior al 34 %. Si fuese así, se cometeríausura, y esto está penado por el código penal.
Aritmética mercantil2
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ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Di cuáles son los términos a1, a3 y a6 de las siguientes sucesiones.
a) 6, 7, 8, 9, 10, …
b) 0, −2, −4, −6, −8, …
c) 0; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …
d) −1, −1, −1,−1, −1, …
e) −2, −4, −8, −16, −32, …
f) 1, 2, 3, 5, 8, …
a) a1 = 6, a3 = 8, a6 = 11 b) a1 = 0, a3 = −4, a6 = −10 c) a1 = 0; a3 = 0,01; a6 = 0,00001 d) a1 = −1, a3 = −1, a6 = −1 e) a1 = −2, a3 = −8, a6 = −64 f ) a1 = 1, a3 = 3, a6 = 13
Invéntate el término general de una sucesión, y calcula el valor de los términos 13, 25 y 64.
Respuesta abierta. Por ejemplo: an = 2n + 1 a13 = 27, a25 = 51, a64 = 129
En una progresión geométrica, a1 = 51,2 y a2 = 40,96.
a) Calcula su razón y halla el término a5.
b) Escribe su término general.
a5 = 51,2 ⋅ 0,84 = 20,97
b) an = 51,2 ⋅ 0,8n – 1
Dada una progresión geométrica con a1 = 5 y r = 1,2:
a) Calcula el término general.
b) Halla la suma de los 8 primeros términos.
c) ¿Cuántos términos de la progresión tenemos que sumar para que dé 37,208?
a) an = 5 ⋅ 1,2n – 1
c)1,2
1,237,208 1,2 7,4416
5 1
15 1 1
( )( ) ,
nn−
−= − =→ → 22 1 1 48832n
n n
− =
= =
,
ln ln→ →1,2 2,48832 1,2 2,48832 →→
→
n
n
⋅ =
= =
ln , lnln ,
ln ,
1 22 48832
1 25
2,48832
términnos
b)1,2
1,282,49S8
85 1
1=
−−
=( )
004
a)40,96
51,20,8r = =
003
002
001
2SOLUCIONARIO
47
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 47
48
Resuelve estas ecuaciones.
a) 32x = 45,3 b) c) (3,05)2x = 4.586,02
Insertar anuncios en un periódico cuesta 10 € por 3 líneas de texto y cobran 3 €más por cada nueva línea. Construye la tabla que relaciona las magnitudes. ¿Son magnitudes directamente proporcionales?
No son magnitudes directamente proporcionales, porque .
Un comerciante compró 40 camisas a un fabricante por 250 €. ¿Cuánto le costaríacomprar 75 camisas más?
€
Un coche que va a 120 km/h realiza un trayecto en 5 horas. ¿Cuánto hubiese tardado circulando a 100 km/h?
En un restaurante han pagado 42 € por 70 barras de pan. ¿Cuánto pagarán por 85 barras?
€
ACTIVIDADES
Una fábrica de muebles facturó 900.000 € el año pasado. Este año ha incrementadolas ventas y ha obtenido una subida del 2 % sobre el total de la facturación del añoanterior. ¿Cuánto dinero ha facturado este año? Si la subida se mantiene, ¿cuántofacturará el próximo año?
900.000 ⋅ 0,02 = 18.000Este año ha facturado: 900.000 + 18.000 = 918.000 €918.000 ⋅ 0,02 = 18.360El próximo año facturará: 918.000 + 18.360 = 936.360 €
001
70
85
4251= =
xx→
009
100
120
56= =
xx→ horas
008
40
75
250= =
xx→ 468,75
007
10
3
13
4�
Líneas 3 4 5 6 7 8 9 10
Precio (€) 10 13 16 19 22 25 28 31
006
c) 3,05 4.586,02 3,05 4.586,02( ) ln ( ) ln2 2 2x x= =→ → xx
x
⋅ =
= =
ln lnln
ln
3,05 4.586,024.586,02
3,057,→ 2 556 3,78→ x =
b) 2 32 2 324
2 324
32
24 4
x x x x= = ⋅ = = =→ → →ln ln ln ln
ln
ln55 20→ x =
a) 45,3 45,3 45,33 3 2 3 22 2x x x x= = ⋅ = =→ → →ln ln ln lnln 445,3
3,47 1,73ln 3
= =→ x
2 324x
=005
Aritmética mercantil
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49
2SOLUCIONARIO
El sueldo de una persona tiene dos componentes: el sueldo base y los complementos. En el primero tiene una subida del 3 %, mientras que los complementos suben el 5 %. ¿Puede afirmarse que la subida global del sueldo es del 4 %?
No es cierto, ya que si el sueldo es: b + c, una subida del 4 % supone: 0,04(b + c)Sin embargo, una subida del 3 % en el sueldo base y una subida del 5 % en loscomplementos significan: 0,03b + 0,05c � 0,04b + 0,04c
La igualdad es cierta cuando el sueldo base es igual a los complementos.
Un electrodoméstico cuesta 464 €, con el IVA incluido. Si el porcentaje del IVA es del 16 %, ¿cuál es el precio sin ese impuesto?
€
Una camisa, tras la rebaja de un 20 %, cuesta 32 €. ¿Cuál era el precio de la camisaantes de rebajarla?
€
Un comerciante rebaja un producto un 15 %. Después, decide reducir el precio un 10 %. Cuando le llegan nuevas mercancías del producto, aplica una rebaja del 25 % sobre el precio que tenía inicialmente, y se da cuenta de que los preciosfinales no coinciden. ¿Por qué no son iguales las rebajas?
No son iguales, porque si el precio se reduce primero un 15 % y después un 10 %
el porcentaje es: , es decir, el precio se rebaja un 23,5 %.
Por una cantidad de dinero, invertida en un depósito financiero a un interés del 3,5 % anual durante 3 años, hemos recibido 735 € como intereses. ¿Qué cantidad inicial era?
¿Qué interés ofrece una cuenta bancaria en la que, invirtiendo 5.000 € durante dosaños, obtienes unos intereses de 400 €?
Un banco tiene dos clases de depósitos.
• Uno con un interés del 4,75 % anual durante 5 años.
• Otro que tiene también una duración de 5 años, con un interés del 6 % anualdurante los 3 primeros años, y en el que regalan un televisor valorado en 580 €por los 2 últimos años.
Si invierto 5.000 €, ¿qué depósito es más ventajoso?
008
4005 000 2
1004=
⋅ ⋅=
.%
rr→
007
7353
1007 0000
0=⋅ ⋅
=C
C3,5 → . €
006
85
100
90
100 100⋅ =
76,5
005
32100
8040⋅ =
004
464100
116400⋅ =
003
002
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 49
50
Un depósito en el primer banco produce:
Y en el segundo banco produce:
En total, se generan: 900 + 580 = 1.480 €.Por tanto, el segundo depósito es más ventajoso.
Una empresa recibe un crédito al 8 % anual, con la condición de devolver en un solopago la cantidad prestada más los intereses. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la deuda?
La deuda, independientemente de la cantidad prestada, se duplicará en 9 años.
Depositamos 5.000 € en un banco al 4 % de interés compuesto anual. Di cuál será el capital que obtendremos al cabo de 3 años si recibimos los intereses:
a) Cada semestre. b) Cada trimestre.
A Alberto le ingresan en una cuenta bancaria 500 € cada año durante 10 años. Si la cuenta le aporta un 4,5 % anual, ¿qué capital se acumulará al cabo de ese tiempo?
€
Un plan de jubilación al 3 % anual implica aportaciones de 960 € al año. Si tengo 48 años, ¿qué capital obtendré a las siguientes edades de jubilación?
a) A los 60 años. b) A los 65 años.
Un ayuntamiento obtiene un préstamo al 2,5 % de interés de 10 millones de eurospara efectuar diversas obras. El préstamo ha de devolverse en 10 anualidades. ¿Cuál será el importe de cada una?
10 000 0001 1
10
10
10. .
( )
( )=
+ −+
C0,025
0,025 0,025→ CC0 = 1.142.587,63 €
013
b) 0,030,03
0,0321.517,86Cf = +
+ −=960 1
1 117
( )( )
€
a)0,03
0,0314.033,08Cf = +
+ −=960 1 0 03
1 112
( , )( )
€
012
Cf = ++ −
=450 11 110
( )( )
0,0450,045
0,0455.778,53
011
b) 5.634,12Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =5 000 1
4
400
12
. €
a) Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =5 000 1
4
2005 630 81
6
. . , €
010
C C C Cf
t
t= = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =2 2 1
8
1002 1 08 20 0 0→ → →, ln == ⋅ =
= =
ln ln ln
ln
ln ,
1,08 1,08t t
t
→
→
2
2
1 089
009
I =⋅ ⋅
=5 000 6 3
100900
.€
I =⋅ ⋅
=5 000 5
100
. 4,751.187,50 €
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 50
51
Compramos una vivienda por un valor de 240.000 €. Damos una entrada de 20.000 € y el resto se financia mediante una hipoteca al 5 % de interés anualdurante 20 años. ¿Cuál será el importe de cada cuota anual?
Elabora la tabla de amortización correspondiente a las 6 anualidades de un préstamode 20.000 € al 6 % de interés anual.
La cuota anual será de 4.067,25 €.
Tenemos un préstamo de 60.000 € al 4,5 % a 15 años. Al cabo de 5 cuotas anualescancelamos el préstamo. ¿Cuál es el capital pendiente en ese momento?
La cuota anual será de 5.586,83 €.
El capital pendiente es 44.206,99 €.
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 60.000,00
1 2.700,00 2.886,83 5.586,83 57.113,17
2 2.570,09 3.016,74 5.586,83 54.096,43
3 2.434,34 3.152,49 5.586,83 50.943,94
4 2.292,48 3.294,35 5.586,83 47.649,59
5 2.144,23 3.442,60 5.586,83 44.206,99
60 0001 1
10
15
15 0.(
( )=
+ −+
=C C0,045)
0,045 0,0455→ ..586,83 €
016
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 20.000,00
1 1.200,00 2.867,25 4.067,25 17.132,75
2 1.027,97 3.039,29 4.067,25 14.093,46
3 845,61 3.221,64 4.067,25 10.871,82
4 652,31 3.414,94 4.067,25 7.456,88
5 447,41 3.619,84 4.067,25 3.837,04
6 230,22 3.837,03 4.067,25 0
20 0001 1
10
6
6 0.( )
( )=
+ −+
=C C0,06
0,06 0,064.067,→ 225 €
015
220 0001 1
110
20
20 0.( )
( )=
+ −+
=C C0,05
0,05 0,057.→ 6653,37 €
014
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 51
52
Aritmética mercantil
Julia ha ingresado 70.000 € a los 60 años, para recibirlos, a partir de los 65 años, en mensualidades durante el resto de su vida. Si el banco efectúa la operación al 5 % anual, ¿cuánto dinero recibirá cada mes?
Al depositar 70.000 € a los 60 años se acumula durante 5 años el capital correspondiente al 5 % anual con pagos mensuales:
Así, la cantidad mensual que recibirá Julia durante el resto de su vida es:
€
Daniel ha hecho un plan de jubilación al 4 % anual en el que ingresa 600 €anuales durante 15 años. Tras este período, el banco le pagará mensualmente una cantidad durante toda su vida. ¿Cuál es esa cantidad?
Si se ingresan 600 € anuales, durante 15 años al 4 % anual, la cantidad acumulada es:
A partir de los 65 años el pago mensual del banco durante el resto de su vida es:
€
Halla la Tasa Anual Equivalente de un depósito financiero que ofrece el 4,75 % de interés anual con abonos de intereses trimestrales.
Una entidad bancaria abona intereses mensuales. En su publicidad se destaca que la TAE es del 4 %. ¿Cuál es el interés anual de la operación?
El interés anual es del 3,9 %.
Con base 2002, elabora la tabla de números índice de la evolución de la población en cuatro autonomías.
2002 2004 2006 2008
7.403.968 7.606.848 7.849.799 8.059.461
1.187.546 1.230.090 1.269.027 1.296.655
4.202.608 4.470.885 4.692.449 4.885.029
1.073.381 1.073.094 1.083.879 1.089.990
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
021
112
1 100 4 112
12
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ = +
⎛i i→⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
12 12
1 0 04 112
1 0, ,→ i44
112
1 003312
0 0033 0 039→ → →+ = = =i i
i, , ,
020
TAE = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ =1
0 0475
41 100 4
4,
,, %84
019
12.494,72
0,04
0,=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C0
12 1719
112
1,
004 0,04
0,04
121
12
112
12 1719 0
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+
⋅ ,C
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
206 28
1
121
12
,
0,04 0,04⎟⎟⎟
=206 28 0,
→ C 83,86
Cf = ++ −
=600 11 115
( )( )
0,040,04
0,0412.494,72 €
018
89.835,11=+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C0
12 2112
10 05
121
0
,
,
,
005
121
0 05
12
10 05
1212 2112 0
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+
⋅,
,
,C
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
253 44
1
0 05
121
0 05
12
,
, ,⎟⎟⎟
=253 44 0,
→ C 574,64
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =70 000 1
5
1 200
60
..
89.835,11 €
017
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 52
53
Elabora una tabla de números índice a partir de los datos de la tabla de la actividadanterior, tomando los datos de 2004 como índice 100.
a) ¿Qué diferencias sustanciales aprecias con respecto a la tabla de números índice de la actividad anterior?
b) Representa gráficamente la nueva tabla de números índice.
a) Los números índice del año 2006 son los que más varían de una tabla a otra según el año que se toma como referencia.
b)115110
105100
959085
2002 2004 2006 2008
AndalucíaAragónC. ValencianaExtremadura
2002 2004 2006 2008
97 100 103 106
97 100 103 105
94 100 105 109
100 100 101 102
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
1 089 990
1 073 094100
. .
. .⋅ = 101,57
1 083 879
1 073 094100
. .
. .⋅ = 101,01
1 073 381
1 073 094100
. .
. .⋅ = 100,03
4 885 029
4 470 885100
. .
. .⋅ = 109,26
4 692 449
4 470 885100
. .
. .⋅ = 104,96
4 202 608
4 470 885100
. .
. .⋅ = 93,99
1 296 655
1 230 090100
. .
. .⋅ = 105,41
1 269 027
1 230 090100
. .
. .⋅ = 103,17
1 187 546
1 230 090100
. .
. .⋅ = 96,54
8 059 461
7 606 848100
. .
. .⋅ = 105,95
7 849 799
7 606 848100
. .
. .⋅ = 103,19
7 403 968
7 606 848100
. .
. .⋅ = 97,33
022
2002 2004 2006 2008
100 103 106 109
100 104 107 109
100 106 112 116
100 100 101 102
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
1 089 990
1 073 381100
. .
. .⋅ = 101,55
1 083 879
1 073 381100
. .
. .⋅ = 100,98
1 073 094
1 073 381100
. .
. .⋅ = 99,97
4 885 029
4 202 608100
. .
. .⋅ = 116,24
4 692 449
4 202 608100
. .
. .⋅ = 111,66
4 470 885
4 202 608100
. .
. .⋅ = 106,38
1 296 655
1 187 546100
. .
. .⋅ = 109,19
1 269 027
1 187 546100
. .
. .⋅ = 106,86
1 230 090100
. .
1.187.546103,58⋅ =
8 059 461
7 403 968100
. .
. .⋅ = 108,85
7 849 799
7 403 968100
. .
. .⋅ = 106,02
7.606.848
7.403.968102,74⋅ =100
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 53
54
Tomando solo los 5 primeros grupos, con sus respectivas ponderaciones, y las variaciones correspondientes de la tabla del ejemplo, calcula el IPC de ese mes.
0,4 ⋅ 0,2028 + 0,9 ⋅ 0,0267 + 0,1 ⋅ 0,0881 + (−1) ⋅ 0,1026 + 0,1 ⋅ 0,0667 = 0,01803
El aumento de los precios fue, aproximadamente, del 0,02 %.
Halla el valor equivalente en 2007 a 100 € del año 2001 con los datos del IPC de la tabla anterior. Halla el valor equivalente en 2004 de 100 €del 2007.
IPC acumulado = 2,7 + 4 + 2,6 + 3,2 + 3,7 + 2,7 = 18,9 %
Así, el valor equivalente a 100 € del año 2001 en 2007 es 118,90 €.
IPC acumulado = 3,2 + 3,7 + 2,7 = 9,6 %
Por tanto, 100 € de 2007 equivalen a 90,40 € de 2004.
A partir de la EPA del último trimestre de 2007, realiza un diagrama de barrasreferido a las comunidades autónomas.
Deduce, en la tabla anterior de la EPA, qué filas y columnas se pueden obtener a partir de otras filas y columnas, respectivamente.
Como los valores totales de la población se distribuyen entre los activos y los inactivos, y este dato no se da en la tabla, no se pueden obtener los valorescorrespondientes.
Los porcentajes de tasa de actividad se obtienen calculando:
Como las personas que trabajan y las personas que se encuentran en paro formanel colectivo de los activos, para calcular los porcentajes de la tasa de paro se calcula:
Tasa de paroParados
Activos= ⋅ 100
Tasa de actividadActivos
Población= ⋅ 100
026
25
20
15
10
5
0
025
024
023
Aritmética mercantil
Castill
a-La M
anch
a
Andalucía
Aragón
Asturia
sBale
ares
Canari
asCan
tabria
Castill
a y Le
ón
Catalu
ñaC. V
alencia
naEx
trem
adura
Galicia
Mad
ridM
urcia
Navarr
aPaís
Vasco
La RiojaCeu
taM
elilla
ESPAÑA
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55
En una empresa hay 420 empleados. El 30 % trabaja en las oficinas, el 55 % en el taller, y el resto en las tiendas. Halla el número de empleados de cada departamento.
0,3 ⋅ 420 = 126 personas trabajan en las oficinas.
0,55 ⋅ 420 = 231 personas trabajan en el taller.
0,15 ⋅ 420 = 63 personas trabajan en las tiendas.
El 25 % de los coches de una empresa es de color azul, el 30 % es rojo y los 144 coches restantes son verdes. ¿Cuántos coches tiene la empresa?
100 − 25 − 30 = 45 % de los coches son verdes.
0,45 ⋅ x = 144 → x = 320 coches
María ha comprado una maceta, una mesa de terraza y un juego de herramientas. La maceta ha supuesto el 20 % de la compra, mientras que la mesa de terraza ha sido el 45 %. Si el juego de herramientas costaba 238 €, ¿a cuánto ascendía la compra?
100 − 20 − 45 = 35 % de la compra corresponde al juego de herramientas.
0,35 ⋅ x = 238 → x = 680 € es el importe total.
Juan ha realizado hoy las siguientes operaciones en su cuenta de valores bursátiles.
• Vendió las acciones de la empresa A por 650 €, que el año pasado le habíancostado 520 €.
• La semana pasada compró acciones de la empresa B por 1.200 € y hoy ha decididovenderlas por 1.056 €.
¿Qué porcentajes ganó y perdió en las dos operaciones?
En la oficina de recaudación de impuestos del ayuntamiento hay un cartel que indica:
a) Pilar tiene un recibo por un importe de 46 €. ¿Qué recargo van a cobrarle?
b) Teresa ha pagado 86,40 € por un recibomás su recargo. ¿A cuánto ascendía elrecibo inicialmente?
c) Jesús ha tenido que pagar 25,20 € de recargo por retrasarse en el pago. ¿De cuánto era el recibo?
a) 46 ⋅ 1,15 = 52,90 €
b) x ⋅ 1,15 = 86,40 → x = 75,13 €
c) x ⋅ 0,15 = 25,20 → x = 168 €
Los recibos que se abonen fuera
de plazo tendrán un recargo del 15 %
031
1 056
1 2000 88
.
.,= → Ha perdido un 12%.
650
520= 1,25 Ha ganado un 25%.→
030
029
028
027
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 55
56
Daniel compró una plaza de garaje por 18.000 €. El año pasado se la vendió a Miguel ganando un 15 %. Esta semana Miguel ha cerrado un trato con Eva por el que le vende la plaza, ganando en el negocio un 20 %. Determina los precios a los que Miguel y Eva compraron la plaza. ¿Es cierto que entre el precio que pagóDaniel y el que pagó Eva existe una diferencia de un 15 % + 20 % = 35 %? Si no es cierto, explica las razones.
Si Daniel ganó un 15 %, significa que vendió la plaza de garaje por: 18.000 ⋅ 1,15 = 20.700 €
Y si Miguel obtiene un 20 % de beneficio es porque le vende la plaza a Eva por:20.700 ⋅ 1,20 = 24.840 €
No es cierto, ya que la diferencia entre los precios que pagaron Daniel y Eva es:
; es decir, el aumento ha sido del 38 %, ya que el incremento
del 20 % corresponde al precio pagado por Miguel, y no por Daniel.
Esta tabla muestra el número de infracciones urbanísticas denunciadas durante los últimos años.
a) ¿Cuál fue el porcentaje de aumento entre 2003 y 2004? ¿Y entre 2004 y 2005?
b) ¿En qué porcentaje disminuyó el número de denuncias entre 2005 y 2006?
c) ¿Cuántas denuncias hubo en 2007 si las denuncias respecto a 2006 aumentaronun 13 %?
a) Entre 2003 y 2004: El aumento fue del 20 %.
Entre 2004 y 2005: El aumento fue del 43 %.
b) La disminución fue del 11 %.
c) Si el aumento fue del 13 %, entonces:
Por tanto, en 2007 hubo 104 denuncias.
¿Cuánto dinero producen 15.000 € al 6 % de interés en un año? ¿Y si tenemos que retirar el dinero tres meses antes del plazo, pero nos entregan la parte proporcional?
En un año:
€
Como 9 meses = 0,75 años, a los nueve meses:
€I =⋅ ⋅
=15 000 6
100675
. 0,75
I =⋅ ⋅
=15 000 6 1
100900
.
034
xx
921 13= =, → 103,96
92
1030 89= , →
103
721 43= , →
72
601 2= , →
Año 2003 2004 2005 2006
N.o de infracciones 60 72 103 92
033
24 840
18 0001 38
.
.,=
032
Aritmética mercantil
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57
2SOLUCIONARIO
¿A qué rédito anual se invirtieron 1.250 € si al cabo del año han producido 30 € de interés?
Belén invierte en Letras del Tesoro una cantidad de 35.600 €. Esta inversión producecada año un 3,2 % de interés que le ingresan en su cuenta bancaria. ¿Cuánto dinerotendrá al cabo de 8 años?
€
Andrés le pidió un préstamo a Jesús de 15.000 €, y se comprometió a devolvérseloen cinco años y pagarle, al final de cada año, un 2,8 % de intereses del dinero que le prestó. Completa la tabla, en la que Jesús ha ido anotando los pagos que le ha hecho Andrés.
€
María le ha prestado dinero a su hermana Beatriz con un interés del 3 %. Con los datos reflejados en la tabla, deduce la cantidad que María le ha prestado a Beatriz.
4.635 − 135 = 4.500
Por tanto, María le ha prestado 4.500 €.
Esther consiguió que un banco le prestara 25.000 €con la condición de que devolvería en un solo plazo todo el dinero, más el 5 % por cada año que tardase en devolverlo. Después de varios años, ha pagado35.000 € y ha cancelado su deuda. ¿Cuántos años ha tardado en cancelar su deuda?
35.000 − 25.000 = 10.000
25 000 5
10010 000 8
..
⋅ ⋅= =
tt→ años
039
135
4 5003
.%= 0,03 →
Año 2004 2005 2006 2007
Cantidad 135 135 135 4.635
038
Año 2003 2004 2005 2006 2007
Cantidad 420 420 420 420 15. 420
I =⋅ ⋅
=15 000 2 8 1
100420
. ,
037
I =⋅ ⋅
=35 600 8
100
. 3,29.113,60
036
1 250 1
10030
. ⋅ ⋅= =
rr→ 2,4 %
035
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58
Calcula en qué se convertirán 1.200 € si los ingresamos:
a) Durante 8 años, a un interés compuesto del 4 %.
b) Durante 6 años, a un 6 % de interés compuesto.
c) Durante 4 años, a un 8 % de interés compuesto.
El capital final de una inversión es de 31.633 €. ¿Cuánto dinero ingresé hace 6 años a un 4 % anual, pagando los intereses y acumulándolos al capital al final de cada año?
¿A qué rédito anual estaba sometida una operación bancaria por la que 120 €se convirtieron, al cabo de 5 años, en 146 €?
Ingreso 20.000 € en un banco y se comprometen a pagarme un 3 % anual,abonando los intereses semestralmente. ¿Cuánto dinero tengo al cabo de 5 años?
Un banco que opera por Internet ofrece su cuenta verde a un 4,5 % anual de interés que se paga mensualmente. Si abro una cuenta con 12.000 € y acumulo en esa cuenta los intereses mensuales que me pagan, ¿cuánto dinero tendré al cabo de 2 años?
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
12 000 11 200
2 12
..
4,513.127,888 €
044
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
20 000 13
200
5 2
. 23.210,82 €
043
146 120 1100
1100
5
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
r r→55
1100
4= + = =1,22 1,04→ →rr %
042
31 633 14
10025 0000
6
0. .= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =C C→ €
041
c) 1.632,59Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 200 1
8
100
4
. €
b) .702,22Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 200 1
6
1001
6
. €
a) 1.642,28Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 200 1
4
100
8
. €
040
Aritmética mercantil
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59
Jacinto acude a una caja de ahorros con el propósito de abrir una cuenta con 1.400 €y mantenerla durante 4 años. Le ofrecen tres alternativas:
a) Un rédito del 3,49 % anual, con pago trimestral de intereses.
b) Un rédito del 3,5 % anual, pagando los intereses cada semestre.
c) Un rédito del 3,51 % anual, pagando los intereses anuales.
¿Cuál es la opción que más le interesa?
La opción más interesante es la del apartado a).
Germán abrió tres cuentas hace cinco años, cada una de ellas con 2.000 €. Las condiciones eran:
a) Rédito anual: a %. Pago trimestral de intereses.
b) Rédito anual: b %. Pago semestral de intereses.
c) Rédito anual: c %. Pago trimestral de intereses.
Actualmente tiene en las cuentas: 2.322,37 €, 2.378,89 € y 2.433,31 €,respectivamente.
¿Qué valor tienen a, b y c?
Calcula a cuánto ascenderá la anualidad que hay que pagar para amortizar un crédito de 120.000 € en 10 años al 6 % de interés.
120 0001 1
10
10
10 0.( )
( )=
+ −+
=C C0,06
0,06 0,0616.→ 3304,15 €
047
c) 2.433,31= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⋅
2 000 1400
1400
5 4
.c c→
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ = =
20
1 22
1400
,
→ →cc1,0099 3,94 %
b) 2.378,89 = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⋅
2 000 1200
1200
5 2
.b b→
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ = =
10
1 19
1200
,
→ →bb1,0175 3,5 %
a) 2.322,37 = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⋅
2 000 1400
1400
5 4
.a a→
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ = =
20
1400
3
1,16
1,0075→ →aa %
046
c)3,51
1.607,15Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 400 1
100
4
. €
b) .608,43Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
1 400 13 5
2001
4 2
.,
€
a) 1.608,76Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
1 400 13 49
400
4 4
.,
€
045
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 59
60
Un plan de jubilación exige que quien lo suscriba aporte 2.400 € cada año. Si le aplican un 4 % de interés, ¿qué capital se habrá formado al cabo de 15 años?
Marta quiere comprarse un piso, pero necesita pedir dinero prestado a su banco.
Si ella puede pagar un máximo de 7.200 € anuales, y el banco presta dinero al 4 %para hipotecas de 25 años de duración, ¿cuánto dinero puede pedir prestado, como máximo?
Matías quiere formar en 20 años un capital de 60.000 €. Una caja de ahorros le ofreceinvertir al 3,5 %. ¿Qué cantidad anual deberá aportar?
Carmen se va a comprar un coche, y para ello va a pedir un préstamo de 12.000 €que devolverá en cinco años.
a) ¿Cuál será la anualidad que pagará si le piden un 8 % de interés?
b) ¿Y si le hacen una rebaja del tipo y se lo dejan en el 6,5 %?
b)0,065
0,065 0,065212 000
1 1
10
5
5 0.( )
( )=
+ −+
=C C→ ..887,61 €
a)0,08
0,08 0,083.0012 000
1 1
10
5
5 0.( )
( )=
+ −+
=C C→ 55,48 €
051
60 000 11 1
0
20
0. ( )( )
= ++ −
=C C0,0350,035
0,0352.0→ 449,92 €
050
Cf = ⋅+ −
+=7 200
1 1
1
25
25.
( )
(
0,04
0,04 0,04)112.478,,98 como máximo€
049
Cf = ++ −
=2 400 11 115
. ( )( )
0,040,04
0,0449.978,87 €
048
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 60
61
Andrés está pagando 220 € al año al amortizar un crédito que el banco le concedió para comprarse un ordenador. Las condiciones eran que deberíadevolver el dinero en 4 años y que le aplicaban un 5 % de interés. ¿Cuánto dinero pidió prestado?
Julián ha firmado un contrato por el que se compromete a vender una casa por 120.000 € dentro de 6 años a su amigo Juan. Este decide aportar dinero cadaaño para constituir el capital que necesita. Un banco le ofrece pagarle un 3 % de interés. ¿Cuánto dinero tendrá que aportar anualmente para conseguir los 120.000 €?
Calcula la mensualidad que hay que pagar para amortizar un crédito de 120.000 €al 5 % durante 30 años.
€
Determina la deuda contraída por una persona que está pagando 180 €al mes durante 20 años, sabiendo que es una hipoteca con un tipo de interés del 6 %.
€
Halla el tiempo que tardaría en pagar un préstamo de 105.000 € al 6 % anual si abono una cuota anual de 8.500 €.
105 000 8 5001 1
1. .
( )
( )= ⋅
+ −+
0,06
0,06 0,0612,3
t
t→ 55
1,06
0,06 1,060,74 1,06 1,06
0,2
=−
⋅⋅ = −
t
t
t t11→
→ 66 1,06 1,06 3,86 1,06 3,863,
⋅ = = = =t t t t1 → → →ln lnln 886
1,0623,2 años
ln=
056
Cf = ⋅
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+
180
112
1
121
2400,06
0,06 0,06
112
240⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= 25.124,54
055
120 000
112
1
121
0
360
. =
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+
C
0,05
0,05 0,,05644,19
12
3600
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=→ C
054
120 000 11 1
0
6
0. ( )( )
= ++ −
=C C0,030,03
0,0318.011→ ,,36 €
053
Cf = ⋅+ −
+=220
1 1
1
4
4
( )
( )
0,05
0,05 0,05780,11 €
052
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 61
62
Determina el tiempo que tardaría en pagar un préstamo de 88.000 € al 4,75 % anual,si pago una cuota mensual de 955 €.
Haz la tabla de amortización anual de un crédito bancario de 183.000 €, a un interésdel 5,25 % anual, durante 20 años.
€
La cuota anual será de 14.997,27 €.
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 183.000,00
1 9.607,50 5.389,77 14.997,27 177.610,23
2 9.324,54 5.672,73 14.997,27 171.937,50
3 9.026,72 5.970,55 14.997,27 165.966,95
4 8.713,26 6.284,01 14.997,27 159.682,94
5 8.383,35 6.613,92 14.997,27 153.069,02
6 8.036,12 6.961,15 14.997,27 146.107,87
7 7.670,66 7.326,61 14.997,27 138.781,26
8 7.286,02 7.711,25 14.997,27 131.070,01
9 6.881,18 8.116,09 14.997,27 122.953,92
10 6.455,08 8.542,19 14.997,27 114.411,73
11 6.006,62 8.990,65 14.997,27 105.421,08
12 5.534,61 9.462,66 14.997,27 95.958,42
13 5.037,82 9.959,45 14.997,27 85.998,97
14 4.514,95 10.482,32 14.997,27 75.516,65
15 3.964,62 11.032,65 14.997,27 64.484,00
16 3.385,41 11.611,86 14.997,27 52.872,14
17 2.775,79 12.221,48 14.997,27 40.650,66
18 2.134,16 12.863,11 14.997,27 27.787,55
19 1.458,85 13.538,42 14.997,27 14.249,13
20 748,08 14.249,19 14.997,27 0
183 0001 1
10
20
20.
( )
( )=
+ −+
C0,0525
0,0525 0,0525→ CC0 = 14.997,27 €
058
88 000 955
112
112
. = ⋅+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
0,0475
0,0475
t
1121
12
12
12
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−
0,047592,15
1,004t
t
→ 11
1
12
12 12
0,004 1,004
0,37 1,004 1,004 0
⋅
⋅ = −
t
t t→ → ,,63 1,004 1,004 1,58
1,004
⋅ = =
=
12 12
12
1t t
t
→
→ ln ln 11,581,58
1,004115,18 9,6 año→ → →12 12t t t= = =
ln
lnss
057
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 62
63
Elabora la tabla de amortización mensual de un crédito bancario de 86.000 €,a un interés del 6,75 % anual, durante 15 años.
La cuota anual será de 761,02 €.
¿En cuánto se ha valorado la vivienda de un hombre de 75 años que ha contratado una hipoteca inversa al 4 % y que recibe anualmente 6.122 €?
€C Cf = ⋅+ −
+6 122
1 1
1
10 37
10 37.
( )
( )
,
,
0,04
0,04 0,04→ ff = 51.144,50 €
060
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 86.000,00
1 483,75 277,27 761,02 85.722,73
2 482,19 278,83 761,02 85.443,90
3 480,62 280,40 761,02 85.163,50
4 479,04 281,98 761,02 84.881,53
5 477,46 283,56 761,02 84.597,97
6 475,86 285,16 761,02 84.312,81
7 474,26 286,76 761,02 84.026,05
8 472,65 288,37 761,02 83.737,68
9 471,02 290,00 761,02 83.447,68
10 469,39 291,63 761,02 83.156,05
11 467,75 293,27 761,02 82.862,79
12 466,10 294,92 761,02 82.567,87
… … … … …
172 37,47 723,55 761,02 5.937,53
173 33,40 727,62 761,02 5.209,91
174 29,31 731,71 761,02 4.478,20
175 25,19 735,83 761,02 3.742,37
176 21,05 739,97 761,02 3.002,40
177 16,89 744,13 761,02 2.258,27
178 12,70 748,32 761,02 1.509,95
179 8,49 752,53 761,02 757,42
180 4,26 756,76 761,02 0
86 000
112
1
0
15 12
. =+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C
0,0675
0,0675
1121
12
15 12 0
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=⋅
0,0675761,02→ C €
059
2SOLUCIONARIO
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64
Consulta la tabla de esperanza de vida, para determinar la cuota mensual que el banco abonará a un hombre de 70 años, que aporta una vivienda valorada en 248.000 € a un interés del 3,5%.
a) ¿Cuánto dinero perdería el banco si el hombre sobrepasase su esperanza de vida en 5 años?
b) ¿Y si muriera 5 años antes de superar su esperanza de vida?
→ C0 = 1.910,94 € mensuales
a) El banco perdería: 1.910,94 ⋅ 5 ⋅ 12 = 114.656,40 €
b) El banco no tendría que pagar la misma cantidad del apartado anterior, es decir, ganaría 114.656,40 €.
En el contrato de mi tarjeta de crédito figura que, por el aplazamiento de los pagos,me cobran un 3,5 % mensual. Determina la Tasa Anual Equivalente (TAE).
Una entidad bancaria oferta un depósito a plazo fijo, para un año, al 5,1 % anual a favor del cliente, liquidable y abonable trimestralmente en otra cuenta del mismocliente y asociada a esta. Calcula la TAE de este tipo de depósito.
Esta tabla muestra la evolución de la población en dos comarcas.
Tomando como base 1990, construye una tabla de números índice.
721 250
689 357100
.
.⋅ = 104,63
682 239
689 357100
.
.⋅ = 98,97
690 951
689 357100 100 23
.
.,⋅ =
305 804
308 445100
.
.⋅ = 99,14
278 841
308 445100 9
.
.⋅ = 0,40
298 004
308 445100
.
.⋅ = 96,61
415 446
380 912100
.
.⋅ = 109,07
403 398
380 912100
.
.⋅ = 105,90
392 947
380 912100
.
.⋅ = 103,16
Los Ángeles de San Lorenzo
San Amador Total
380.912 308.445 689.357
392.947 298.004 690.951
403.398 278.841 682.239
415.446 305.804 721.250
1990
1995
2000
2005
064
TAE0,051
5,= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ =1
41 100
4
22 %
063
TAE0,035
= +⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅1
12
121 1
12
000 = 51,11%
062
248 000
112
1
0
12 13 61
.
,
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C
0,035
0,0335 0,035
0,035
121
12
1
12 13 610
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=
+
⋅ ,C
1121
121
12
163 32⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
,
0,035 0,035 ⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
163 32,
061
Aritmética mercantil
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65
Esta tabla muestra el número de defunciones en una ciudad durante las últimasdécadas.
a) Elabora una tabla de números índice, tomando los datos correspondientes al año 1950 como referencia 100.
b) ¿En qué año hubo mayor número de defunciones? ¿Y en qué año hubo menos?Estudia la evolución del número de defunciones a lo largo de estas décadas.
b) En 1960 hubo el mayor número de defunciones, y en 2000, el menor. La evolución después de crecer en 1960 fue un descenso en 1970 y 1980, un aumento en 1990 y un nuevo descenso en el año 2000.
Año Población N.o de defunciones
1950 100 100
1960 90 104
1970 105 83
1980 118 84
1990 143 92
2000 140 81
315
389100⋅ = 80,98
50 345
35 940100
.
.⋅ = 140,08
358
389100⋅ = 92,03
51 256
35 940100 142 62
.
.,⋅ =
325
389100⋅ = 83,55
42 358
35 940100
.
.⋅ = 117,86
322
389100 82 78⋅ = ,
37 659
35 940100
.
.⋅ = 104,78
404
389100⋅ = 103,86a) 89,96
32 330
35 940100
.
.⋅ =
Año Población N.o de defunciones
1950 35.940 389
1960 32.330 404
1970 37.659 322
1980 42.358 325
1990 51.256 358
2000 50.345 315
065
Los Ángeles de San Lorenzo
San Amador Total
100 100 100
103 97 100
106 90 99
109 99 105
1990
1995
2000
2005
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 65
66
El índice bursátil INFOREX ha tenido, el día 1 de cada mes, en este añolos siguientes valores.
a) Toma como base 100 la cotización del 1 de enero, y establece los números índicecorrespondientes a las demás fechas.
b) Estudia la evolución del índice bursátil, y determina los máximos y mínimosde cotización durante este período.
Evolución del índice bursátil INFOREX
01-enero 100
01-febrero 106
01-marzo 112
01-abril 103
01-mayo 91
01-junio 101
01-julio 114
01-agosto 117
01-septiembre 119
01-octubre 125
01-noviembre 128
01-diciembre 126
182
145100⋅ = 125,52
186
145100⋅ = 128,28
181
145100⋅ = 124,83
172
145100⋅ = 118,62
169
145100⋅ = 116,55
166
145100⋅ = 114,48
147
145100⋅ = 101,38
132
145100⋅ = 91,03
150
145100⋅ = 103,45
162
145100⋅ = 111,72a) 105,52
153
145100⋅ =
Evolución del índice bursátil INFOREX
Enero 145
Febrero 153
Marzo 162
Abril 150
Mayo 132
Junio 147
Julio 166
Agosto 169
Septiembre 172
Octubre 181
Noviembre 186
Diciembre 182
066
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 66
67
b) El índice creció en los meses de febrero y marzo, descendió en abril y mayo,volvió a subir en los meses siguientes hasta noviembre y descendió en diciembre. El máximo de cotización se alcanzó en noviembre y el mínimoen mayo.
La evolución del Índice de Precios de Consumo (IPC) en Extremadura ha sido:
Se ha establecido como base los datos de noviembre de 2006. Reelabora la tablaestableciendo como base los datos de enero de 2002.
El IPC medido en enero durante los últimos años en España es:
Completa la tabla estableciendo como base el año 2007.
a) ¿Cuánto valdría en 2000 un producto que cuesta 120 € en 2007?b) ¿Cuánto deberemos pagar en 2008 por un producto que en el año 2003 valía 65 €?
Año IPC Índice base 2000 Índice base 2007
2000 2,9 100
2001 3,7 103,7
2002 3,1 106,9147
2003 3,7 110,870544
2004 2,3 113,420566
2005 3,1 116,936604
2006 4,2 121,847941
2007 2,4 124,772292
068
Índice de Precios de Consumo. Extremadura
Enero
2002 2003 2004 2005 2006 2007
100 103 105 108 112 114
100 202
88 004100
,
,⋅ = 113,86
98,167
88,004111,55⋅ =100
94 803
88 004100
,
,⋅ = 107,73
92,379
88,004104,97⋅ =100
90,757
88,004103,13⋅ =100
Índice de Precios de Consumo. Extremadura
Enero
2002 2003 2004 2005 2006 2007
88,004 90,757 92,379 94,803 98,167 100,202
067
2SOLUCIONARIO
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68
a) IPC acumulado = 3,7 + 3,1 + 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 22,5 %
x ⋅ 1,225 = 120 → x = 97,96 €
b) IPC acumulado = 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 12 %
En 2008 el producto vale: 65 ⋅ 1,12 = 72,80 €
Las subidas del IPC en un país han sido durante los últimos cuatro años del 5 %, 6 %, 7 % y 5 %. A un trabajador le han mantenido el sueldo sin variacionesdurante estos cuatro años. Para recuperar el poder adquisitivo al cabo de los cuatro años le suben un 24 % el sueldo. ¿Pierde o gana poder adquisitivo?¿Cuánto dinero es?
IPC acumulado = 5 + 6 + 7 + 5 = 23 %. Si la subida es del 24 % el trabajador gana un 1 % más de poder adquisitivo. Si su sueldo es x la cantidad de dinero es el 1 % de x
069
Año IPC Índice base 2000 Índice base 2007
2000 2,9 100 80
2001 3,7 103,7 83
2002 3,1 106,9147 86
2003 3,7 110,870544 89
2004 2,3 113,420566 91
2005 3,1 116,936604 94
2006 4,2 121,847941 98
2007 2,4 124,772292 100
121,847941
124,772292100 97,66⋅ =
116,936604
124,772292100 93,72⋅ =
113,420566
124,772292100 90,90⋅ =
110,870544
124,772292100 88,86⋅ =
106,9147
124,77229285,69⋅ =100
103,7
124,77229283,11⋅ =100
100100
124,77229280,15⋅ =
Aritmética mercantil
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69
La tabla presenta el número de trabajadores y trabajadoras en activo por grupos de edad. Complétala.
En un país han presentado su Encuesta de Población Activa (EPA) correspondiente al último año. Los datos se han organizado por trimestres y referidos a su poblaciónmayor de 16 años.
a) Tomando como referencia 100 los datos del primer trimestre, estudia la evolución de la población mayor de 16 años en ese país.
b) Halla el porcentaje por cada 1.000 habitantes de personas desocupadas por trimestre.
Los activos y los ocupados disminuyeron en el segundo trimestre, aumentaron en el tercero y volvieron a disminuir en el cuarto. Al contrario, los parados y los inactivos aumentaron en el segundo trimestre, disminuyeron en el tercero y volvieron a aumentar en el cuarto.
Trimestre Activos Ocupados Parados Inactivos
Primero 100 100 100 100
Segundo 97 96 103 104
Tercero 107 112 77 96
Cuarto 104 104 106 101
a)
Trimestre Activos Ocupados Parados Inactivos
Primero 3.652.040 3.104.180 547.860 2.970.045
Segundo 3.543.982 2.980.456 563.526 3.096.550
Tercero 3.893.218 3.471.443 421.775 2.839.436
Cuarto 3.796.766 3.217.786 578.980 3.001.034
071
Fuente: INE, 2007.
Encuesta de Población Activa
Activos (Miles de personas)
EdadesValor absoluto Porcentaje
2005 2006 2005 2006
De 16 a 19 538,90 541,10 2,58 2,51
De 20 a 24 1.955,80 1.932,90 9,36 8,95
De 25 a 29 3.125,60 3.154,10 14,97 14,61
De 30 a 34 3.192,00 3.325,70 15,28 15,41
De 35 a 39 2.964,70 3.092,50 14,19 14,33
De 40 a 44 2.732,90 2.837,80 13,09 13,15
De 45 a 49 2.333,00 2.467,80 11,17 11,43
De 50 a 54 1.820,60 1.905,30 8,72 8,83
De 55 a 59 1.364,60 1.419,60 6,53 6,58
De 60 a 64 714,70 758,10 3,42 3,51
De 65 a 69 92,50 101,00 0,44 0,47
De 70 y más 50,50 48,80 0,24 0,23
Total 20.885,70 21.584,80 100 100
070
2SOLUCIONARIO
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70
Determina, por grupos de edades, los índices que relacionan la población ocupadaextranjera con la española.
Compara las tasas de paro de estas tresregiones. Halla la tasa de inactividad en cada región.
Región Inactivos Totales Tasa de inactividad
Freeland 43.090 96.498 44,65
Happyland 115.954 220.886 52,49
Endland 99.652 222.871 44,71
Región Parados Totales Tasa de paro
Freeland 12.428 96.498 12,88
Happyland 6.886 220.886 3,12
Endland 38.276 222.871 17,17
Región Activos Ocupados Parados Inactivos
Freeland 53.408 40.980 12.428 43.090
Happyland 104.932 98.046 6.886 115.954
Endland 123.219 84.943 38.276 99.652
073
Ocupados por nacionalidad, sexo y grupo de edad(Miles de personas)
Edades Extranjera Española
De 16 a 24 19 100
De 25 a 34 20 100
De 35 a 44 15 100
De 45 a 54 8 100
De 55 y más 4 100
Ocupados por nacionalidad, sexo y grupo de edad(Miles de personas)
Edades Extranjera Española Total
De 16 a 24 328,00 1.702,70 2.030,70
De 25 a 34 989,50 4.899,50 5.889,10
De 35 a 44 733,10 4.780,70 5.513,80
De 45 a 54 320,00 3.793,20 4.113,30
De 55 y más 90,40 2.110,40 2.200,90
Total 2.461,10 17.286,60 19.747,70
072
Trimestre Parados TotalesPorcentaje de desocupadospor cada 1.000 habitantes
Primero 547.860 6.622.085 82,73
Segundo 563.526 6.640.532 84,86
Tercero 421.775 6.732.654 62,65
Cuarto 578.980 6.797.800 85,17
b)
Aritmética mercantil
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71
Observa los datos publicados por el Ministerio de Educación y Ciencia.
Completa la tabla con una columna en la que se reflejen los porcentajes de los alumnos de Bachillerato por edades.
En la tabla se refleja la población adulta (mayores de 18 años) y el número de estas personas que tienen estudios medios o superiores en dos comarcas.
Completa la tabla siguiente con las tasas por 1.000 habitantes (porcentaje por cada 1.000 habitantes).
Tasas por 1.000 habitantes
Estudiosmedios
Estudiossuperiores
382,32 60,08
302,62 87,94
353,06 70,31
San Lorenzo
San Amador
Total
Total de adultos
Estudiosmedios
Estudiossuperiores
320.456 122.516 19.254
185.880 56.251 16.346
506.336 178.767 35.600
San Lorenzo
San Amador
Total
075
Alumnado matriculado por edad Porcentaje
De 16 y menos años 205.720 33,53
De 17 años 234.151 38,16
De 18 años 92.693 15,11
De 19 años 41.757 6,81
De 20 y más años 39.260 6,39
Total 613.581 100
Fuente: Ministerio de Educación y Ciencia.
Alumnado matriculado por edad
De 16 y menos años 205.720
De 17 años 234.151
De 18 años 92.693
De 19 años 41.757
De 20 y más años 39.260
Total 613.581
074
2SOLUCIONARIO
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72
La tabla presenta la población y el número de automóviles matriculados en cada comunidad autónoma española.Determina el porcentaje del número de automóvilespor cada mil habitantes (tasa)en cada comunidad y en eltotal de España, y completa la tabla.
La población de cinco provincias españolas el 1 de enero de 2002 y de 2007 se muestra en la tabla.
Determina los índices de crecimiento de la población de cada provincia en 2007respecto a 2002.
1 de enero de 2002 1 de enero de 2007
100 103
100 115
100 123
100 99
100 97
Burgos
Castellón
Guadalajara
León
Lugo
1 de enero de 2002 1 de enero de 2007
348.786 359.582
484.585 557.205
174.998 215.246
488.013 483.752
357.050 348.062
Burgos
Castellón
Guadalajara
León
Lugo
077
Autonomía PoblaciónN.o de
automóvilesTasa
Andalucía 7.340.052 3.625.986 494
Aragón 1.189.909 622.322 523
Asturias 1.076.567 505.986 470
Baleares 845.630 678.195 802
Canarias 1.716.276 796.352 464
Cantabria 531.159 272.485 513
Castilla-La Mancha 1.734.261 900.081 519
Castilla y León 2.479.118 1.271.788 513
Cataluña 6.261.999 3.938.797 629
Ceuta 75.241 48.305 642
C. Valenciana 4.120.729 2.480.679 602
Extremadura 1.069.420 516.530 483
Galicia 2.731.900 1.436.979 526
La Rioja 220.729 115.441 523
Madrid 5.205.408 3.305.434 635
Melilla 66.263 35.252 532
Murcia 1.149.328 729.823 635
Navarra 543.757 325.710 599
País Vasco 2.098.596 1.051.397 501
España 40.456.342 22.657.543 560,05
076
Aritmética mercantil
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74
Una persona ha ganado 120.000 ! en la Lotería Primitiva. Acude a un banco aingresarlos y le ofrecen dos productos.
a) Con esa cantidad de dinero se compran cuatro plazas de garaje por un períodode diez años. El banco alquilará las plazas de garaje. Al cabo de los diez años,volverá a comprar las plazas de garaje por 120.000 ! y pagará 188 ! por cadames y por cada plaza.
b) Ingresar esa cantidad al 6 % de interés anual con capitalización anual.
¿Cuál de los dos productos te parece más interesante?
a) 188 ! 12 ! 10 ! 4 = 90.240 !
El segundo producto es más interesante que el primero.
Un banco ofrece un depósito que te remunera la inversión al 12 % de interés el primer mes y el resto al 3,7 %.
a) ¿Cuántos beneficios se obtendrían con una inversión de 100 ! al cabo de un año?
b) ¿Cuál es la Tasa Anual Equivalente (TAE) de esta operación?
Al final del primer mes, el beneficio es:
Por tanto, los beneficios al cabo de un año son 4,80 ".Así, el interés producido por 1 euro en un año es 0,0480; luego la TAE es del 4,8 %.
El sueldo de un trabajador se refleja en la tabla.
a) ¿Qué porcentaje de subida ha tenido su sueldo en los cinco años?
b) ¿Cuál ha sido la subida acumulada del IPC?
c) ¿Ha ganado o ha perdido poder adquisitivo en estos cinco años?
a) La subida ha sido del 14 %.
b) IPC acumulado = 5 + 3 + 2 + 3,2 + 2,5 = 15,7 %
c) Ha perdido poder adquisitivo, porque el IPC acumulado es mayor que la subida salarial.
23 24620 350
.
.= 1,14 →
Año Salario IPC (%)
2003 20.350 5
2004 21.045 3
2005 21.678 2
2006 22.034 3,20
2007 23.246 2,50
083
Cf = +"
#$$$
%
&'''' =101 1
3 71 100
11,
.104,80 #
10012
1 2001! =
.#
082
b) 214.901,72Cf = +"
#$$$
%
&'''' =120 000 1
6100
10
. → 2214.901,72 120.000 94.901,72( = #
081
Aritmética mercantil
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74
Una persona ha ganado 120.000 € en la Lotería Primitiva. Acude a un banco aingresarlos y le ofrecen dos productos.
a) Con esa cantidad de dinero se compran cuatro plazas de garaje por un períodode diez años. El banco alquilará las plazas de garaje. Al cabo de los diez años,volverá a comprar las plazas de garaje por 120.000 € y pagará 188 € por cadames y por cada plaza.
b) Ingresar esa cantidad al 6 % de interés anual con capitalización anual.
¿Cuál de los dos productos te parece más interesante?
a) 188 ⋅ 12 ⋅ 10 ⋅ 4 = 90.240 €
El segundo producto es más interesante que el primero.
Un banco ofrece un depósito que te remunera la inversión al 12 % de interés el primer mes y el resto al 3,7 %.
a) ¿Cuántos beneficios se obtendrían con una inversión de 100 € al cabo de un año?
b) ¿Cuál es la Tasa Anual Equivalente (TAE) de esta operación?
Al final del primer mes, el beneficio es:
Por tanto, los beneficios al cabo de un año son 4,80 €.
Así, el interés producido por 1 euro en un año es 0,0480; luego la TAE es del 4,8 %.
El sueldo de un trabajador se refleja en la tabla.
a) ¿Qué porcentaje de subida ha tenido su sueldo en los cinco años?
b) ¿Cuál ha sido la subida acumulada del IPC?
c) ¿Ha ganado o ha perdido poder adquisitivo en estos cinco años?
a) La subida ha sido del 14 %.
b) IPC acumulado = 5 + 3 + 2 + 3,2 + 2,5 = 15,7 %
c) Ha perdido poder adquisitivo, porque el IPC acumulado es mayor que la subida salarial.
23 246
20 350
.
.= 1,14 →
Año Salario IPC (%)
2003 20.350 5
2004 21.045 3
2005 21.678 2
2006 22.034 3,20
2007 23.246 2,50
083
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =101 1
3 7
1 100
11,
.104,80 €
10012
1 2001⋅ =
.€
082
b) 214.901,72Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =120 000 1
6
100
10
. → 2214.901,72 120.000 94.901,72− = €
081
Aritmética mercantil
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La evolución del IPC en la economía española durante los últimos años (medida en enero) ha sido:
a) ¿Qué valor tiene en 2007 un producto que valía el equivalente a 50 €en 1996?
b) En 2007 hacemos la compra por 180 €. ¿Cuánto nos habría costado esa compra en 2002? ¿Y en 1996?
a) IPC acumulado = 2,9 + 2 + 1,5 + 2,9 + 3,7 + 3,1 + 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 == 31,8 %
50 ⋅ 1,318 = 65,90 €
b) IPC acumulado desde 2002 = 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 15,7 %
x ⋅ 1,157 = 180 → x = 155,57 €
Como el IPC acumulado desde 1996 es del 31,8 %:
x ⋅ 1,318 = 180 → x = 136,57 €
Los datos reflejados en la tabla se refieren a la variación del IPC a principios de cadaaño en Guipúzcoa, y tomando como base los datos del año 1994.
Guipúzcoa
Año IPC Año IPC
1994 100 2001 125,7191
1995 104,9 2002 129,9935
1996 109,7254 2003 134,5433
1997 112,688 2004 137,5032
1998 114,9417 2005 140,9408
1999 118,0452 2006 146,5784
2000 121,3504 2007 149,8032
085
Año IPC
1996 3,9
1997 2,9
1998 2
1999 1,5
2000 2,9
2001 3,7
2002 3,1
2003 3,7
2004 2,3
2005 3,1
2006 4,2
2007 2,4
084
2SOLUCIONARIO
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76
Fijándote en los datos relativos a 2005, calcula:
a) El porcentaje de variación sobre el año anterior.
b) El porcentaje de variación desde 1999.
c) El porcentaje de variación en la década que acaba en 2005.
a) El IPC ha aumentado un 2,5 %.
b) El IPC ha crecido un 19,4 %.
c) El IPC ha aumentado un 34,36 %.
En esta tabla se muestra el coste de un producto que en 1998 valía 1 peseta y el coste de otro producto que en 2006 valía 1 euro. ¿Serías capaz de completarla?
Año Pesetas Euros
1996 1 0,76353268
1998 1,037322 0,79202925
2000 1,07704832 0,82236159
2002 1,15926373 0,88513574
2004 1,22385095 0,93445019
2006 1,30970164 1
1,037322
11,037322 1,037322 0,79202925= ⋅ = =→ →x x 00,76353268
1,07704832
1,0373221,038297 1,038297 0,82= ⋅ =→ x 2236159 0,79202925→ x =
1,15926373
1,077048321,076334 1,076334 0,= ⋅ =→ x 888513574 0,82236159→ x =
1
0,934450191,0701 1,0701 1,22385095 1,3097= ⋅ =→ 00164
0,93445019
0,885135741,056 1,056 1,15926373= ⋅→ == 1,22385095
Año Pesetas Euros
1996 1
1998 1,037322
2000 1,07704832
2002 1,15926373 0,88513574
2004 0,93445019
2006 1
086
140,9408
104,9134,36⋅ =100 →
140,9408
118,0452119,40⋅ =100 →
140,9408
137,5032102,5⋅ =100 →
Aritmética mercantil
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77
Completa la tabla en la que se refleja la transformación del valor en el tiempo de una unidad monetaria.
1,154
1,121,03 1,03 1,019 1,05= ⋅ =→
1,12
1,0991,019 1,019 1 1,019= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 0,94 0,911= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 0,977 0,94= ⋅ = =→ →x x
1,099
1,0731,024 1,024 1 0,977= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1,043 1,074= ⋅ =→
1,12
1,0991,019 1,019 1,024 1,043= ⋅ =→
1,099
1,0731,024 1,024 1 1,024= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 0,962 0,932= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 1 0,962= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1,085 1,118= ⋅ =→
1,12
1,0991,019 1,019 1,065 1,085= ⋅ =→
1,099
1,0731,024 1,024 1,0397 1,065= ⋅ =→
1,073
1,0321,0397 1,0397 1 1,0397= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 1 0,969= ⋅ = =→ →x x
U. M. del año
2002 2003 2004 2005 2006 2007
1
1,032 1
1,073 1
1,099 1
1,12 1
1,154 1
Vale
en
el a
ño
2002
2003
2004
2005
2006
2007
087
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 77
78
PARA FINALIZAR...
¿Cuál de estos depósitos financieros a interés compuesto produce más intereses?
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital C0, a un rédito r % duranteun tiempo 2t.
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital 2C0, a un rédito r %durante un tiempo t.
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital C0, a un rédito 2r % duranteun tiempo t.
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el primer depósito es el que produce más intereses.
C Cr
C Cr
f
t
f= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠0
2
01100
2 1100
⎟⎟⎟⎟⎟ = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
t
f
t
C Cr
0 12
100
088
U. M. del año
2002 2003 2004 2005 2006 2007
1 0,969 0,932 0,911 0,893 0,867
1,032 1 0,962 0,94 0,922 0,895
1,073 1,0397 1 0,977 0,958 0,93
1,099 1,065 1,024 1 0,981 0,953
1,12 1,085 1,043 1,019 1 0,971
1,154 1,118 1,074 1,05 1,03 1
Vale
en
el a
ño
2002
2003
2004
2005
2006
2007
1,032
11,032 1,032 0,895 0,867= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 0,93 0,895= ⋅ = =→ →x x
1,099
1,0731,024 1,024 0,953 0,93= ⋅ = =→ →x x
1,12
1,0991,019 1,019 0,971 0,953= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1 0,971= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1 1,03= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 0,922 0,893= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 0,958 0,922= ⋅ = =→ →x x
1,099
1,0731,024 1,024 0,981 0,958= ⋅ = =→ →x x
1,12
1,0991,019 1,019 1 0,981= ⋅ = =→ →x x
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 78
79
¿Cuál de estas opciones produce un mayor beneficio?
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización C0, a un rédito r %durante 2t años.
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización 2C0, a un rédito r %durante t años.
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización C0, a un rédito 2r %durante t años.
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el primer fondo de pensiones es el que produce más beneficios.
¿Cuál de estas opciones produce un mayor beneficio?
• Un préstamo con una anualidad de amortización C0, a un rédito r % durante 2t años. • Un préstamo con una anualidad de amortización 2C0, a un rédito r % durante t años.• Un préstamo con una anualidad de amortización C0, a un rédito 2r % durante t años.
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el segundo préstamo es el que ofrecemayor cantidad de dinero prestado:
Entonces, si suponemos que la cantidad de dinero prestado es el mismo en los tres casos, al duplicar la cuota pagamos antes el préstamo.
2
1100
1
1001
100
0
2
C
r
r r
t
>
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
2t
C C
r
r rf
t
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠
2
1100
1
1001
100
0
⎟⎟⎟⎟⎟
t
C C
r
r rf
t
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
0
12
1001
2
1001
2
100
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
tC C
r
r rf
t
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠
0
2
1100
1
1001
100⎟⎟⎟⎟⎟
2t
090
C Cr
r
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
2 1100
1100
1
0 rr
100
C Cr
r
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
0 12
100
12
10011
2
100
rC C
r
r
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
0
2
1100
1100
1
rr
100
089
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 79
80
La cesta básica de la compra de un país está formada por las cantidades mínimas de alimentos para satisfacer las necesidades de calorías de una persona. Las familias cuyos ingresos son inferiores al coste total de dicha cesta por mes son consideradas familias de extrema pobreza.
Esta tabla muestra los datos de dos países:
Considerando que los valores de la inflación se mantienen invariantes y que el nivel de pobreza de los dos países aumenta en la misma proporción que la inflacción, ¿en qué momento se espera que Nortelandia tenga un mayor nivel de pobreza?
Considerando x como el número de años que transcurren, en Nortelandiatenemos:
Primer año: x = 1
Segundo año: x = 2
Tercer año: x = 3
Nivel de pobreza = 0,12(1 + 0,15)3
Podemos definir la función nivel de pobreza de Nortelandia como:
f(x) = 0,12 ⋅ 1,15x
De la misma manera, la función nivel de pobreza en Surlandia es:
g(x) = 0,18 ⋅ 1,08x
Veamos cuándo se iguala el nivel de pobreza en los dos países:
Después de los seis años y medio, el nivel pobreza se igualará entre los dos países.A partir de ese momento será mayor el nivel de pobreza de Nortelandia.
Llevo dos años pagando un crédito a 10 años de 210.000 € con un interés anual del 7,5 %. Me acaban de ofrecer, en otra entidad bancaria, renegociar la deuda que me queda al 6 % durante 8 años.
092
0,12 1,15 0,18 1,080,12
0,18
1,08
1,15⋅ = ⋅ =
⎛
⎝⎜⎜x x → ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ =
x
x x→ →ln ln0,67 0,94 6,67
Nivel de pobreza 0,12 1 0,15 0,15 0,12 1 0,1= + + +( ) ( ( 55 0,12 1 0,15 2)) ( )= +
Nivel de pobreza 0,12 0,15 0,12 0,12(1 0,15)= + ⋅ = +
Precio de lacesta básica
Nivel depobreza
Inflación anualesperada
31,80 € 12 % 15 %
39,30 € 18 % 8 %
Nortelandia
Surlandia
091
Aritmética mercantil
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81
El banco en el que inicialmente pedí el crédito me cobra un 2 % de la deuda que aún queda por pagar por gastos de cancelación, y el banco que me ofrece el nuevo crédito me cobra 368 € por gastos de apertura del crédito. ¿Me convienecambiar de banco?
La cuota anual del primer crédito es de 30.594,04 €.
Los intereses generados el primer año son: 210.000 ⋅ 0,075 = 15.750 €
Así, el capital amortizado es: 30.594,04 − 15.750 = 14.844,04 €
Por tanto, el capital pendiente después del primer pago asciende a:
210.000 − 14.884,04 = 195.155,96 €
Los intereses del segundo año son: 195.155,96 ⋅ 0,075 = 14.636,70 €
El capital amortizado es: 30.594,04 − 14.636,70 = 15.957,34 €
Por tanto, el capital pendiente es: 195.155,96 − 15.957,34 = 179.198,62 €
Si se cancela el préstamo con la primera entidad los gastos son: 179.198,62 ⋅ 0,02 = 3.583,97 €
Teniendo en cuenta los gastos de apertura del crédito en la segunda entidad, la deuda que queda es: 179.198,62 + 3.583,97 + 368 = 183.150,59 €
La cuota anual del segundo crédito es de 29.493,83 €. Al ser menor que la cuotadel primer crédito es más conveniente cambiar de banco y renegociar la deuda.
183.150,590,06
0,06 0,0629=
+ −+
=C C0
8
8 01 1
1
( )
( )→ ..493,83 €
210 0001 1
0 075 10
10
10 0.( )
, ( )=
+ −+
=C C0,075
0,075→ 330.594,04 €
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 81
82
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
La máquina de leer los pensamientos –Dumoulin, ¿conoce usted al profesor Windbag? –Vagamente... Sólo le vi el día que le devolvimos la visita... Me parecióbrillante, untuoso y mediocre. –Todos sus calificativos son justos... Windbag es, en efecto, un sermediocre que enseña aquí Pedagogía. Da clases sobre el arte de «me-dir» las aptitudes de un estudiante o el valor profesional de un maes-tro. Sabe revestir con sabiduría un asomo de pensamiento. Fue élquien inventó, para determinar la ecuación personal de un alumno, lasiguiente fórmula:
T significa el número de horas de las clases semanales; N, el númerode alumnos del grupo; S, se me ha olvidado lo que era; A, la edad delos padres del alumno; P1, el tiempo que duró la educación del padre,y P2, el tiempo de educación de la madre. –Está usted de broma, Hickey. –¡Ojalá, amigo mío, fuera una broma, pero no es así! Estas locuras seenseñan seriamente a los futuros profesores, que luego preparan, bajo lavigilancia del profesor Windbag, cualquier tesis increíble sobre «El pa-pel de la mujer de hacer faenas en los cursos superiores de las jóvenesestudiantes...». Y no solamente se enseñan estas cosas, sino que inspiranla mayor admiración a ciertos señores y bienhechores nuestros.
ANDRÉ MAUROIS
XT T N I S
A IP
IP
=− −
− −
( )( )2 2 2
1 2
Opera en esa expresión hasta convertirla en una fracciónalgebraica con varias variables.
XT T N I S
AI
P
I
P
T T N I S P P=
− −
− −=
− −( )( ) ( )( )2 2 2
1 2
2 2 2 1 22
1 2 2 1AP P IP IP− −
Polinomios y fracciones algebraicas3
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 82
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios.
a) x d) −4f 8 g) 7xyz 5
b) 5y e) 2xy 2 h) −4ydf 8
c) 7z 5 f ) 5yzd 3
a) Coeficiente: 1 Parte literal: x Grado: 1
b) Coeficiente: 5 Parte literal: y Grado: 1
c) Coeficiente: 7 Parte literal: z 5 Grado: 5
d) Coeficiente: −4 Parte literal: f 8 Grado: 8
e) Coeficiente: 2 Parte literal: xy 2 Grado: 3
f ) Coeficiente: 5 Parte literal: yzd 3 Grado: 5
g) Coeficiente: 7 Parte literal: xyz 5 Grado: 7
h) Coeficiente: −4 Parte literal: ydf 8 Grado: 10
Indica si los monomios son o no semejantes, y determina su opuesto.
a) xyz , xy e y b) ab, a 2b y 7b c) 87xy2 y 7x 2y
a) No b) No c) No
Haz estas operaciones.
a) 3xy + 8xy + 9xy c) 10xy 2 ⋅ 6x 2y
b) 11a 2b − 15a 2b + 7a 2b d) 15x 8 : 3x 3
a) 20xy c) 60x 3y 3
b) 3a 2b d) 5x 5
Aplica la propiedad distributiva en las siguientes expresiones.
a) 7(x + 2) c) (−2x )(3x 2 −4x + 7)
b) 3x(x −5) d) 9(x −4)
a) 7x + 14 c) −6x3 + 8x 2 − 14x
b) 3x2 − 15x d) 9x − 36
Saca factor común en las expresiones.
a) (2n + 2)3n + (2n + 2)6 b) 4(7n −7) − (7n −7)(4n −8)
a) (2n + 2)(3n + 6)
b) (7n − 7)(4 − (4n − 8)) = 7(n − 1)(12 − 4n)
Desarrolla las siguientes igualdades notables.
a) (x + 3y )2 b) (3x 3 −a 2)2 c) (x + x 3)(x −x 3)
a) x 2 + 6xy + 9y 2
b) 9x 6 − 6x 3a 2 + a 4
c) x 2 − x 6
006
005
004
003
002
001
3SOLUCIONARIO
83
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 83
84
ACTIVIDADES
Dado P (x) = 4 −3x 2 + x −x 2 −1 −3x, reduce este polinomio y halla su valornumérico para:
a) x = 0 c) x = −1
b) x = 1 d) x = 3
P (x ) = −4x 2 − 2x + 3
a) P (0) = 3
b) P (1) = −4 − 2 + 3 = −3
c) P (−1) = −4 + 2 + 3 = 1
d) P (3) = −36 − 6 + 3 = −39
Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numérico para x = 2.
a) P (x) = 4 −3x 2 + x −x 2 + 1
b) P(x) = x 4 −4 −3x 2 + x −x 2 + 1 −3x 4 −3x
a) P (x ) = −4x 2 + x + 5 → P (2) = −16 + 2 + 5 = −9
b) P (x ) = −2x 4 − 4x 2 − 2x − 3 → P (2) = −32 − 16 − 4 − 3 = −55
Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 1.
a) P (x) = x + 1 c) P (x) = x 3 + 1
b) P (x) = x 2 + 1 d) P (x) = x 4 + 1
a) P (1) = 2 c) P (1) = 2
b) P (1) = 2 d) P (1) = 2
Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x n + 1 para x = −1. ¿Qué observas?
P(x) = x n + 1 → P (−1) = (−1)n + 1
Si n es par, entonces: P (−1) = 1 + 1 = 2
Si n es impar, entonces: P (−1) = −1 + 1 = 0
Suma y resta cada par de polinomios.
a) P (x ) = 3x 3 −x −4 Q (x ) = x 3 −x 2 + 3
b) P (x ) = x 7 −8x 4 + 3 Q (x ) = x 5 + 3x 3 −6
c) P (x ) = 10x 4 + x 2 + 1 Q (x ) = x 5 + 7x 2 −x
a) S (x ) = (3x 3 − x − 4) + (x 3 − x 2 + 3) = 4x 3 − x 2 − x − 1
R (x ) = (3x 3 − x − 4) − (x 3 − x 2 + 3) = 2x 3 + x 2 − x − 7
b) S (x ) = (x 7 − 8x 4 + 3) + (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 + x 5 − 8x 4 + 3x 3 − 3
R (x ) = (x 7 − 8x 4 + 3) − (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 − x 5 − 8x 4 − 3x 3 + 9
c) S (x ) = (10x 4 + x 2 + 1) + (x 5 + 7x 2 − x) = x 5 + 10x 4 + 8x 2 − x + 1
R (x ) = (10x 4 + x 2 + 1) − (x 5 + 7x 2 − x) = −x 5 + 10x 4 − 6x 2 + x + 1
005
004
003
002
001
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 84
85
Halla la suma, la resta y el producto de cada par de polinomios.
a) R (x ) = x 4 −x + 1 S (x ) = x 2 + 1
b) R (x ) = x + 1 S (x ) = x 2 + x −1
c) R (x ) = 5x 7 −x 8 + 1 S (x ) = x 2 + x 6 −1
a) P (x ) = (x 4 − x + 1) + (x 2 + 1) = x 4 + x 2 − x + 2
Q (x ) = (x 4 − x + 1) − (x 2 + 1) = x 4 − x 2 − x
b) P (x ) = (x + 1) + (x 2 + x − 1) = x 2 + 2x
Q (x ) = (x + 1) − (x 2 + x − 1) = −x 2 + 2
c) P (x ) = (5x 7 − x 8 + 1) + (x 2 + x 6 − 1) = −x 8 + 5x 7 + x 6 + x 2
Q (x ) = (5x 7 − x 8 + 1) − (x 2 + x 6 − 1) = −x 8 + 5x 7 − x 6 − x 2 + 2
Calcula el resultado de multiplicar los siguientes polinomios.
a) R (x ) = x 3 + x + 1 S (x ) = 2x
b) R (x ) = x 3 −1 S (x ) = x
c) R (x ) = x 4 + x S (x ) = x + 3
d) R (x ) = x 5 + 6x + 2 S (x ) = x 3 + x 2
a) P (x ) = (x 3 + x + 1)2x = 2x 4 + 2x 2 + 2x
b) P (x ) = (x 3 − 1)x = x 4 − x
c) P (x ) = (x 4 + x)(x + 3) = x 4(x + 3) + x(x + 3) == x 5 + 3x 4 + x 2 + 3x
d) P (x ) = (x 5 + 6x + 2)(x 3 + x 2) = x 5(x 3 + x 2) + 6x(x 3 + x 2) ++ 2(x 3 + x 2) = x 8 + x 7 + 6x 4 + 6x 3 + 2x 3 + 2x 2 == x 8 + x 7 + 6x 4 + 8x 3 + 2x 2
007
−x 8 + 5x 7 + 1× x 6 + x 2 − 1
x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1− x 10 + 5x 9 − x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 −x 10 + 5x 9 x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 − x 10 + 5x 9 + x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
x 2 + x − 1× x + 1
x 2 + x − 1x 3 + 1x 2 − x + 1
x 3 + 2x 2 + 2 − 1
x 4 − x + 1× x 2 + 1
x 4 − x 3 + x 2 − x + 1x 6 − x 3 − x 3 + x 2 − x + 1
x 6 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
006
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 85
86
Indica el grado del polinomio resultante de esta operación.
(x 4 −2x + 1)(2x 2 −x + 1)
Es la suma de los grados: 4 + 2 = 6.
Realiza las siguientes divisiones de polinomios, y señala las que son exactas.
a) (x −1) : x
b) (x 2 −1) : (x + 1)
c) (x 2 −5x + 6) : (x −2)
d) (x 3 + 2x 2 + 1) : (x 2 + 1)
Halla las divisiones y luego comprueba que P (x ) = Q (x ) ⋅ C (x ) + R (x ).
a) (x 3 −1) : x
b) (x 3 −1) : (x + 1)
c) (x 3 −1) : (x 2 −2)
d) (x 3 −1) : x 3
x 3 − 1 = x ⋅ x 2 − 1
−x 3 − 1 x
−x 3 x 2
−x 3 − 1
a)
010
−x 3 + 2x 2 − x + 1 x 2 + 1
−x 3 + 2x 2 − x x + 2 → No es exacta
−x 2 − 2x 2 − x + 1−x 2 − 2x 2 − x − 2
−x 3 + 2x 2 − x − 1
d)
−x 2 − 5x + 6 x − 2
−x 2 + 2x x − 3 → Es exacta
−x 2 − 3x + 6−x 2 + 3x − 6
−x 2 − x 0
c)
−x 2 − x − 1 x + 1
−x 2 − x x − 1 → Es exacta
−x 2 − x − 1−x 2 + x + 1
−x 2 − x + 0
b)
−x − 1 x
−x 1 → No es exacta
−x − 1
a)
009
008
Polinomios y fracciones algebraicas
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87
x 3 − 1 = (x + 1) (x 2 − x + 1) − 2 = x 3 + 1 − 2
x 3 − 1 = (x 2 − 2)x + 2x − 1 = x 3 − 2x + 2x − 1
x 3 − 1 = x 3 ⋅ 1 − 1
Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) (x 4 + x 3 −5x 2 + 2x −5) : (x + 3)
b) (x 3 −10x 2 + 23x −10) : (x −3)
c) (x 5 −x 4 −x 3 + 2) : (x −1)
d) (−x 6 −x 5 −6x 3 + 10) : (x + 1)
e) (−x 7 + 2x 6 + x 4 −4x 2 + 7x −5) : (−x + 2)
f ) (2x 5 + 6x 4 −x 2 + 9) : (−x −3)
Cociente: x 3 − 2x 2 + x − 1. Resto: −2
Cociente: x 2 − 7x + 2. Resto: −4
Cociente: x 4 − x 2 − x − 1. Resto: 1
1 1 −1 −1 −0 −0 −21 1 −1 −0 −1 −1 −1
1 1 −0 −1 −1 −1 −1
c)
3 1 −10 − 23 −103 1 − 3 −21 −16
3 1 −7 21 −4
b)
−3 1 −1 −5 −2 −5−3 1 −3 −6 −3 −3
−3 1 −2 −1 −1 −2
a)
011
−x 3 − 1 x 3
−x 3 1
−x 3 − 1
d)
−x 3 + 2x − 1 x 2 − 2
−x 3 + 2x x
−x 3 + 2x − 1
c)
−x 3 − x 2 − 1 x + 1
−x 3 − x 2 x 2 − x + 1
−x 2 − x 2 + x − 1−x 2 + x 2 + x
−x 2 − x 2 + x − 1−x 2 − x 2 − x − 1
−x 2 − x 2 − x − 2
b)
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 87
88
Cociente: −x 5 − 6x 2 + 6x − 6. Resto: 16
Cociente: x 6 − x 3 − 2x 2 − 7. Resto: −9
Cociente: −2x 4 + x − 3. Resto: 0
Calcula el valor de m para que las divisiones sean exactas.
a) (x 4 + m) : (x −1)
b) (2x 5 + x 3 + m) : (x + 2)
c) (6x 3 + x 2 + 4x + m) : (x + 1)
d) (2x 7 −4x 6 −2x 3 + x + m) : (x −4)
Una vez que obtengas el valor de m, escribe el dividendo como producto de dos factores.
m + 1 = 0 → m = −1
Descomposición: (x − 1)(x 3 + x 2 + x + 1)
m − 72 = 0 → m = 72
Descomposición: (x + 2)(2x 4 − 4x 3 + 9x 2 − 18x + 36)
m − 9 = 0 → m = 9
Descomposición: (x + 1)(6x 2 − 5x + 9)
m + 16.260 = 0 → m = −16.260, Descomposición: (x − 4)(2x 6 + 4x 5 + 16x 4 + 64x 3 + 254x 2 + 1.016x + 4.065)
3 2 −4 00 00 −2 000.0 000.1 m4 −8 16 64 256 1.016 4.064 16.260
3 2 −4 16 64 254 1.016 4.065 m + 16.260
d)
−3 6 −1 4 m−1 −6 5 −9
−3 6 −5 9 m − 9
c)
−3 2 −0 1 −00 00 m−2 −4 8 −18 36 −72
−3 2 −4 9 −18 36 m − 72
b)
3 1 0 0 0 m1 3 1 1 1 1
3 1 1 1 1 m + 1
a)
012
−3 −2 −6 0 1 −0 −9−3 −1 −6 0 0 −3 −9
−3 −2 −0 0 1 −3 −0
f )
1 1 −2 0 −1 −0 −4 −7 −052 1 −2 0 −0 −2 −4 −0 −14
1 1 −0 0 −1 −2 −0 −7 0−9
e)
−3 −1 −1 0 −6 0 −0 10−1 −1 −1 0 −0 6 −6 06
−3 −1 −0 0 −6 6 −6 16
d)
Polinomios y fracciones algebraicas
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89
Calcula, mediante el teorema del resto, el valor numérico del polinomio P(x) para los valores de x indicados en cada apartado.
P(x) = x3 − 7x2 + x − 7a) x = 1 c) x = −1 e) x = 3b) x = 5 d) x = 7 f ) x = −5
a)
b)
c)
d)
e)
f )
Dado P(x) = x4 −3x + 2, halla, utilizando la definición de valor numérico y medianteel teorema del resto, su valor para:
a) x = 2 b) x = −1
a) P (x ) = x 4 − 3x + 2 → P (2) = 12
b) P (x ) = x 4 − 3x + 2 → P (−1) = 6
Determina cuánto vale a, sabiendo que el valor numérico de P(x) = x3 −2x2 −3x + a,para x = 2, es nulo: P(2) = 0.
1 2 32 2 0 6
1 0 3 6 6 0 6
− −−
− − − = =
a
a a a→ →
015
1 0 0 3 21 1 1 1 4
1 1 1 4 6 2 12
−− − −
− − =→ P( )
1 0 0 3 22 2 4 8 10
1 2 4 5 12 2 12
−
=→ P( )
014
→ P (−5) = −312
1 −7 1 −7−5 −5 60 −305
1 −12 61 −312
→ P (3) = −40
1 −7 − 1 −73 −3 −12 −33
1 −4 −11 −40
→ P (7) = 0
1 −7 1 −77 −7 0 −7
1 −0 1 0
→ P (−1) = −16
1 −7 1 −7−1 −1 8 −9
1 −8 9 −16
→ P (5) = −52
1 −7 −1 −75 −5 −10 −45
1 −2 −9 −52
→ P (1) = −12
1 −7 −1 −71 −1 −6 −5
1 −6 −5 −12
013
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 89
90
Calcula estos números combinatorios.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Desarrolla las siguientes potencias, utilizando el binomio de Newton.
a) (2x −5)3 b) (x3 + 2x)5
a) (2x − 5)3 = 8x3 − 60x2 + 150x − 125
b) (x3 + 2x)5 = x15 + 10x13 + 40x11 + 80x9 + 80x7 + 32x5
Comprueba si los siguientes números son raíces del polinomio P(x) = x4 + 3x3 −2x2 + 6x −8.
a) x = 1 b) x = 2 c) x = −1 d) x = −4
a) P(1) = 14 + 3 ⋅ 13 − 2 ⋅ 12 + 6 ⋅ 1 − 8 = 0
Por tanto, x = 1 es una raíz del polinomio.
b) P(2) = 24 + 3 ⋅ 23 − 2 ⋅ 22 + 6 ⋅ 2 − 8 = 36
c) P(−1) = (−1)4 + 3 ⋅ (−1)3 − 2 ⋅ (−1)2 + 6 ⋅ (−1) − 8 = −18
d) P(−4) = (−4)4 + 3 ⋅ (−4)3 − 2 ⋅ (−4)2 + 6 ⋅ (−4) − 8 = 0
Por tanto, x = −4 es una raíz del polinomio.
Calcula las raíces enteras de estos polinomios.
a) P(x) = x3 −1
b) Q(x) = x3 −9x2 −x + 105
La raíz entera del polinomio es 1. Las raíces enteras son {−3, 5, 7}.
Factoriza estos polinomios.
a) 2x3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
a) 2x3 − 8x2 + 2x + 12 = 2(x + 1)(x − 2)(x − 3)
b) 3x3 − 8x2 − 20x + 16 = (x + 2)(x − 4)(3x − 2)
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x = x(x + 3)(x + 4)(2x + 1)
020
1 0 01 1 1
1 1 1
110
− 1 97 7
1 25 5
1 3
11415150
105105
0
−
−
−−−
−
a) b)
019
018
017
87
8
7 18
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
!
! · !
75
7
5 221
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
!
! · !
123
12
3 9
12 11 10
3 2 1220
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = =
!
! · !
· ·
· ·72
7
2 5
7 6
2 121
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = =
!
! · !
·
·
87
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
123
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
75
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
72
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
016
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 90
91
Encuentra las raíces enteras de los polinomios.
a) 12x + 2x3 + 4 + 9x2
b) x4 −8x2 −9
c) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2
Esta raíz no es entera.
c) Sacamos factor común: 2x2(x3 + 5x2 + 14x + 16)
Simplifica estas fracciones algebraicas.
Reduce a común denominador.
b) , y4
4 1
12 1
4 1
12
2
2
2
2x
x x
x
x x
x x x
( )
( )
( )
( ) (
−− −
−− − + 11
4 1 2
)
( )x x −
a) y( )( )
( )
( )
( )
x y
x y y
x y x
x y y
− −−
+−
1 1
1
2
1
b) yx
x x
x
( ),
−− − −
1
3 1
42
a) yx
xy
x
y
− +−
1 2
1
023
b)( )( )( )( )
( )( )
( )(x x y y
x y x y
x+ − + −− +
=+3 3 4 4
2 3 4
32
yy
x y y
−+
4
2 4
)
( )
a)( )
( )
x
x x
x
x
++
=+1
1
12
b)( )( )
( )( )
x y
xy x y
2 2
2
9 16
2 6 4
− −− +
a)x x
x x
2 2 1
1
+ ++( )
022
1 5 142 2 6
1 3 8
1616
0− − − −
Las raíces enteras son {−2, 0}.
1 0 83 3 9
1 3 13 3 0
1 0 1
03330
990
−− −
−−−
−b)
Las raíces enteras son {−3, 3}.
2 1 01
2x x+ = = −→
2 92 4
2 52 4
2 1
1210
220
440
− −
− −
−
−
−a)
La única raíz entera es −2.
021
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 91
92
Resuelve las operaciones y simplifica el resultado.
Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
c)2 2 1 1
12 2 1 1
1
6
( )( )
( )( )
x x
x x
+ ++ +
=
b)x y x
y x
x
x
( )
( ) ( )
−−
=−
1
3 1 3 12
a)4 1 4 12
2 2
x y
x y
x y
y
( ) ( )−=
−
c) ( ) ( )2 41
6 34 4+ +
+
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ +x
x
xx⋅ :
b)xy
x
y
x( )− −1
3
12:
a)4 12x
y
y
xy⋅
−
025
f )6
2
6 4
2
1
2
5 1
2
3
2
3
2 2 2
x
x
x x
x
x
x
x
x−
−+
+=
+
e)( )( ) (x x
x
x x
x
x x
x
x x+ −−
+− +
−=
−−
=−1 1
1
3 1
1
2 3
1
2 32 2 ))
x −1
d)−
−−
=+ −3 2 42 2x
x
x
x
x x
x
( )
c)y
y
y
y
y
y+
−=
−2 2 1( )
b)−
+ =−3 3
2 2
3
2 2
3
2 2
y
x y
x
x y
x y
x y
a)x
x y
x
x y
x x
x y
3 37 7 7 7+
−=
+ −
f ) 33 2 1
2
2
2x
x
x
x
x− − + −
c) 12+ −y
y
e) ( )xx x
x+ + − +
−1
3 1
1
2
b) − +32 2x y
x
y
d) − − −3
2 2( )x
xa)
x
y
x
xy
2 7 1+ −( )
024
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 92
93
Sean los polinomios P(x) = x3 −5x2 + 2x −3, Q(x) = −x3 + 5x +1 y R(x) = −2x2 −x + 2.
Determina los siguientes valores numéricos.
a) P(2)
b) Q(−1) e) R(−1) + Q(2)
Encuentra el valor de a y b de modo que, para P(x) = 8x3 + ax2 + bx + 1, se cumple
que P(−1) = −29 y .
Realiza las siguientes operaciones.
a) (3x + 5)(x −2)
b) (4x −1)(4x + 1)
c) (2x −3)2
d) (−3a + 6)2
e) (2p2 −3q)2
f ) (−3x2 −1)2
g) (5a3b −2ab2)(5a3b + 2ab2)
g) ( )( )5 2 5 2 25 43 2 3 2 6 2 2 4a b ab a b ab a b a b− + = −
f ) ( )− − = + +3 1 9 6 12 2 2x x x
e) ( )2 3 4 12 92 2 4 2p q p pq q− = − +
d) ( )− + = − +3 6 9 36 362 2a a x
c) ( )2 3 4 12 92 2x x x− = − +
b) ( )( )4 1 4 1 16 12x x x− + = −
a) ( )( )3 5 2 3 102x x x x+ − = − −
028
P a b a b( ) ( ) ( ) ( )− = − − + − + − + = − − = −1 29 8 1 1 1 1 29 223 2→ →
PP a1
24 8
1
2
1
2
3⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞→
⎠⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + = + =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
21
21 4 2 12b a b→
⎪⎪⎪
= −
=
a
b
32
334
3
P1
24
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
027
f ) Q −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
2
3
55
27
e) R Q( ) ( )− + = + =1 2 1 3 4
d) P 2 4 2 13( ) = −
c) R x x x R( ) = − − +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =2 2
1
212 →
b) Q x x x Q( ) ( )= − + + − = −3 5 1 1 3→
a) P x x x x P( ) ( )= − + − = −3 25 2 3 2 11→
f ) Q −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
2
3c) R
1
2
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
d) P 2( )
026
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 93
94
Efectúa y compara los resultados de estas operaciones.
a) 5(x2 −x + 1) −2(x2 + 3)
b) 5(x2 −x) + 1 −2x2 + 3
c) 5(x2 −x) + 1 − (2x2 + 3)
d) 5x2 − (x + 1)(−2x2 + 3)
e) (5x2 −x + 1)(−2x2 + 3)
Los resultados son diferentes según el orden de las operaciones determinado por los paréntesis.
Efectúa y simplifica lo máximo posible.
a) (3x2 −5)(−x + 3) −x2 + 3x
b) (−x + y)2 + (x −y)2
c) 3a2 −5a(a2 −2a)
d) (3a2 −5a)(a2 −2a)
Realiza las operaciones, siendo:
P(x) = x2 −3x + 5 Q(x) = 2x2 + 5 R(x) = 4x −3
a) P(x) + Q(x) −R(x)
b) P(x) −Q(x) ⋅ R(x)
c) (P(x) −Q(x)) ⋅ R(x)
d) 3Q(x) − (x + 1) ⋅ R(x)
e) −P(x) + 2Q(x)
f ) P(x) −R(x)2
f ) P x R x x x( ) ( )− = − + −2 215 21 4
e) − + = + +P x Q x x x( ) ( )2 3 3 52
d) 3 1 6 15 1 4 3 22 2Q x x R x x x x x x( ) ( ) ( ) ( )( )− + ⋅ = + − + − = − ++ 12
c) ( ( ) ( )) ( )P x Q x R x x x x− ⋅ = − − +4 9 93 2
b) P x Q x R x x x x( ) ( ) ( )− ⋅ = − + − +8 7 23 203 2
a) P x Q x R x x x( ) ( ) ( )+ − = − +3 7 72
031
d) ( )( )3 5 2 3 11 102 2 4 3 2a a a a a a a− − = − +
c) 3 5 2 5 132 2 3 2a a a a a a− − = − +( )
b) ( ) ( )− + + − = − +x y x y x x y y2 2 2 22 4 2
a) ( )( )3 5 3 3 3 8 8 152 2 3 2x x x x x x x− − + − + = − + + −
030
e) ( )( )5 1 2 3 10 2 13 3 32 2 4 3 2x x x x x x x− + − + = − + + − +
d) 5 1 2 3 2 7 3 32 2 3 2x x x x x x− + − + = + − −( )( )
c) 5 1 2 3 3 5 52 2 2( ) ( )x x x x x− + − + = − −
b) 5 1 2 3 3 5 42 2 2( )x x x x x− + − + = − +
a) 5 1 2 3 3 5 12 2 2( ) ( )x x x x x− + − + = − −
029
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 94
95
Haz estas divisiones y comprueba su resultado.
a) (x3 −2x2 + 4x −3) : (x2 + 3x −1)
b) (2x3 −5x + 2) : (x2 −2x + 1)
c) (x4 + 4x3) : (x2 −2)
d) (x3 + x2 −14x −16) : (2x −4)
Comprueba si esta igualdad es cierta.
(x2 −3x + 2)(2x −1) + (3x −2) = 2x3 −7x2 + 10x −4
( )( ) ( ) ( )x x x x x x x x2 3 23 2 2 1 3 2 2 7 7 2 3 2− + − + − = − + − + − === − + −2 7 10 43 2x x x
033
x x x x
x x x x
x x
3 2
3 2 2
2
14 16 2 4
21
2
3
24
3 14 16
+ − − −
− + + −
− −−− +
− −−−
− + −⎛
⎝⎜⎜⎜
3 6
8 168 16
32
2 41
2
3
24
2
2
x x
xx
x x x( )⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− = + − −32 14 163 2x x x
d)
x x x
x x x x
x xx x
x
4 3 2
4 2 2
3 2
3
2
4 2
2 4 2
4 24 8
2 8
+ −− + + +
+− +
+ xxx
x
x x x x x x
− ++
− + + + + = +
2 4
8 4
2 4 2 8 4 4
2
2 2 4 3( )( )
c)
2 5 2 2 1
2 4 2 2 4
4 7 24
3 2
3 2
2
2
x x x x
x x x x
x xx
− + − +− + − +
− +− + 88 4
2
2 1 2 4 2 2 5 22 3
x
x
x x x x x x
−−
− + + + − = − +( )( )
b)
x x x x x
x x x x
x xx
3 2 2
3 2
2
2
2 4 3 3 1
3 5
5 5 35
− + − + −− − + −
− + −+ 115 5
20 8
3 1 5 20 8 2 4 32 3 2
x
x
x x x x x x x
−−
+ − − + − = − + −( )( )
a)
032
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 95
96
Encuentra P(x), Q(x), R(x) y S(x), tales que:
a) P(x) + (x2 −3x + 5) = x3 −6x + 2
b) 2x3 −6x + 3 − Q(x) = x2 + 5x −2
¿Cuánto deben valer a y b para que se cumplan estas igualdades?
a) (x −3)(ax + b) = 2x2 −7x + 3 c) a(x −2) + b(2x + 1) = 13x −1
b) (ax + 3)(4x −b) = 8x2 + 6x −9 d) a(x2 + 2x) + b(3x + 7) + x2 = 5x2 −x −21
Realiza estas divisiones, empleando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto.
a) (x3 −3x2 + 5x −1) : (x −2) c) (2x4 + 3x2 + 5) : (x + 1)
b) (2x3 + x2 −4) : (x + 3) d) (x3 −2x ) : (x −3)
a) 1 3 5 12 2 2 6
1 1 3 5 3 52
− −−
= − + =– ( ) ( )→ C x x x R x
036
d) a x x b x x x xab
( ) ( )2 2 22 3 7 5 21 43
+ + + + = − − == −
⎧⎨⎪⎪⎩
→⎪⎪⎪
c) a x b x xab
( ) ( )− + + = − ==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 2 1 13 1 35
→
b) ( )( )ax x b x xab
+ − = + − == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 4 8 6 9 23
2 →
a) ( )( )x ax b x xab
− + = − + == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 2 7 3 21
2 →
035
2 5 5 4 2 1
2 3 4
6 5
3 2
3 2 2
2
x x x x
x x x x S x
x x
− + + +− − − + =
− + +( )
446 3
8 48 4
0
2x x
xx
++
− −
d) S x x x x x( ) ( ) : ( )= − + + +2 5 5 4 2 13 2
c) R x x x x x x( ) ( ( ))( ) ( )( )= − + − = − − − + = −1 3 2 1 2 4 4 1 42 2 xx x x3 24 7 2− + −
b) Q x x x x x x x x( ) ( )= − + − + − = − − +2 6 3 5 2 2 11 53 2 3 2
a) P x x x x x x x x( ) ( )= − + − − + = − − −3 2 3 26 2 3 5 3 3
d)2 5 5 4
2 13 2x x x
S xx
− + + = +( )
c) 12 1
32
−−
= +R x
xx
( )
( )
034
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 96
97
Completa las siguientes divisiones.
Determina el valor de m.
Utiliza la regla de Ruffini para decidir si el primer polinomio es divisible por el segundo.
a) P(x) = x4 −3x3 + 2x2 −10x + 3 y Q(x) = x −3
b) P(x) = 2x3 + 5x2 −10x + 8 y Q(x) = x + 5
b)
No es divisible
2 5 10 85 10 25 75
2 5 15 67
−− − −
− − →
a)
No es divisible
1 3 2 10 33 3 0 6 12
1 0 2 4 9
− −−
− − →
039
1 3 04 4 16 4 16 52
1 4 13 4 20 16 52 20
mm m
m m m
−− − − −
− − − − = −→ →→ m = 2
1 m −3 0−4
−20
038
c) 2 0 4
6 3 15
1 5
−5 1
3 9
2 3 16
−
b) 2 2
2
2 5
4 7
1 2 5
2 7
−−− − −
−
a) 1 2
2 2
5 15
−3 5
8 10
1 2
037
d) 1 0 2 03 3 9 21
1 3 7 21 3 7 212
−
= + + =→ C x x x R x( ) ( )
c) 2 0 3 0 51 2 2 5 5
2 2 5 5 10 2 2 5 53 2
− − −− − = − + −→ C x x x x R( ) (xx) = 10
b) 2 1 0 43 6 15 45
2 5 15 49 2 5 152
−− − −
− − = − +→ C x x x R x( ) ( ) == −49
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 97
98
Polinomios y fracciones algebraicas
Comprueba, sin emplear la regla de Ruffini, si el primer polinomio es divisible por el segundo.
a) P(x) = 2x3 −3x2 −14x + 15 y Q(x) = x −3
b) P(y) = y3 + 2y2 −6y −9 y Q(y) = y + 2
a) P (3) = 54 − 27 − 42 + 15 = 0 → Es divisible
b) P (−2) = −8 + 8 + 12 − 9 = 3 → No es divisible
Calcula el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas ni emplear la regla de Ruffini.
a) P(x) = x4 + 2x3 −x2 + 4x −6 y Q(x) = x −3 c) P(x) = x3 −10x + 3 y Q(x) = x −1
b) P( t) = 2t3 + 4t −8 y Q( t) = t + 5 d) P(x) = 3x −x3 −10x2 y Q(x) = x + 2
a) R = P (3) = 81 + 54 − 9 + 12 − 6 = 132 c) R = P (1) = 1 − 10 + 3 = −6b) R = P (−5) = −250 − 20 − 8 = −278 d) R = P(−2) = −6 + 8 − 40 = −38
¿Qué valor debe tomar a para que el resto de dividir x3 + ax2 −3x −a entre x −4 sea 67?
Determina a y b de manera que el polinomio x3 + ax2 + bx −6 sea divisible por x −2 y por x + 3.
Comprueba si M(x) = 2x3 −5x2 + 4x −4 es divisible por x −2 y, en caso afirmativo,encuentra un polinomio N(x) que permita escribir M(x) de la forma: M(x) = (x −2) ⋅ N(x).
Calcula x para que se cumplan las siguientes igualdades.
a) x = 2 b) x = 10 c) x = a − 5
Desarrolla y simplifica.
a) (x + 3)4 c) (3p + 2)4 i) (x2y −3)5
b) (x −y)5 d) (−p + 2p2)4 f ) (−3p −5p2)3 j) xx
2
61+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟h) 5 2 2
5−( )
g) 3 24
+( )e)1
32
5
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟x
046
c) ax
a⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟5
b) x x3 7
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟a) 8 8
6x
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
045
2 5 4 42 4 2 4
2 1 2 0 2 22
− −−
− = − +→ N x x x( )
044
2 13 11
25
a ba b
ab
+ = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
Si es divisible por x P a b+ − = − + − − =3 3 0 27 9 3 6 0 9→ → →( ) aa b− =3 33
Si es divisible por x P a b a− = + + − = +2 2 0 8 4 2 6 0 4 2→ → →( ) bb = −2
043
R P a a a a= = + − − = = =( )4 67 64 16 12 67 15 15 1→ → →
042
041
040
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 98
99
j) xx
x2
6
2 61 60
61
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝
( ) ⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜( ) ( )x
xx
x2 5 2 41 6
21
⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
2 363
1( )x
x
33
2 2
464
1 65
+
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜( )x
x⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
xx x
2
51 6
61
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + + + ⋅ +
6
12 9 6 3
36 15 20 15 6
1 1x x x x
x x 66
i) ( ) ( )x y x y2 5 2 53 50
51
− =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 4 2 3 23 5
23 5
3⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
( ) ( )
(
x y
x y
2 2 3
2
3
54
−− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
3 55
3
15 90
4 5
10 5 8 4 6
) ( )
x y x y x yy x y x y3 4 2 2270 405 243− + −
h) 5 2 2 50
5 51
55 5
−( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )) ⋅ −( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ −( ) +
+⎛⎝⎜⎜⎜
4 3 22 2 5
25 2 2
53
⎞⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ −( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −( ) +5 2 2 5
45 2 2 5
5
2 3 4 ⎛⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −( ) =
= − + − +
2 2
25 5 250 2 400 5 800 2 320 5
5
−−128 2
g) 3 2 40
3 41
34 4
+( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )33 2 2
2 42
3 2
43
⋅ ( ) +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ ( ) +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ ( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) =
= + + + +
3 2 44
2
9 12 6 36 8 6 4
3 4
== +49 20 6
f ) ( ) ( )− − =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟3 5 3
03 3
12 3 3p p p ⎟⎟⎟⎟ − ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ −( ) ( ) ( ) ( )3 5 3
23 52 2 2p p p p 22 2 3
3 4 5
33
5
27 135 225
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − − − −
( )p
p p p 1125 6p
e)1
32 5
01
3
5
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟x ⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛5 451
1
32 5
2( )x
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟1
32 5
3
3
2( )x ⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
1
32
54
1
3
2
3( )x
(( ) ( )− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
2 55
2
1
243
10
81
40
2
4 5x x
x77
80
9
80
3322 3 4 5x x x x− + −
d) ( ) ( )− + =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟p p p2 4
041
2 4 4
⎟⎟ − ⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ +
⎛⎝⎜( ) ( ) ( )p p p p3 2 2 2 22 4
22 4
3⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
( ) ( )
( )
p p
p p
2
44
2
2 3
2 4 44 5 6 7 88 24 32 16− + − +p p p p
c) ( ) ( ) (3 2 40
3 41
4 4p p+ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 33 2 4
23 2 4
33 2 2p p) ( )⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟33 2 4
42
81 216 216 96
3 4
4 3 2
p
p p x
⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + xx + 16
b) ( ) (x y x x− =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −5 5 45
051
yy x y x) ( ) (+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5
253
3 2 2 −− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
y x y) ( )
(
3 454
55
yy x x y x y x y x y y)5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5= − + − + −
a) ( )x x x+ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +3 4
041
34 4 3 442
3 43
3 44
2 2 3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜x x ⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + +
3
12 54 108 81
4
4 3 2x x x x
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 99
100
Determina en los desarrollos los términos que se indican.
a) Séptimo término de (x + 2y)10.
b) Décimo término de (x2 −3)15.
c) Decimosexto término de (2p + q2)28.
d) Decimocuarto término de (−a + 2)21.
Encuentra los términos indicados de los siguientes desarrollos.
a) El término central de (3p2 −2q)12.
b) El término que contiene x12 en (2x2 + 1)9.
c) El término que contiene x11 en .
Calcula, empleando la fórmula del binomio de Newton, el valor de 5,13 y 0,992;teniendo en cuenta que:
5,1 = 5 + 0,1 0,99 = 1 −0,01
0,99 0,012 2 21 20
1 21
= − =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟( ) ⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
1 22
1
2( ) ( )0,01 0,01
0,02 00,0001 0,9801=
5,1 0,13 3 35 30
5 31
= + =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) 55 3
25 3
32 2⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟0,1 0,1 0,11
7,5 0,15 0,001 132,651
3
125
=
= + + + =
049
c) 103
2120
3
2 7⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − = − ⋅
xx( )
88960
3
14 11
xx x⋅ −
b) 96
2 1 5 3762 6 3 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =( ) .x x
a) 126
3 2 43 110 1442 6 6 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − =( ) ( ) . .p q p qq6
2 2
10
xx−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
048
d) 2113
2 1 666 990 0808 13 8⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ =( ) . . .a a
c) 2815
2 306 726 17413 2 15⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =( ) ( ) . . .p q 7720 13 30p q
b) 159
3 98 513 4152 6 9 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − = −( ) ( ) . .x x
a) 106
2 13 4404 6 4 6⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =x y x y( ) .
047
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 100
101
Estas expresiones se obtienen al desarrollar algunas potencias. Hállalas.
a) 4x2 + 20x + 25
b) 4a2 −12a + 9
c) 27x3 −54x2 + 36x −8
d) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16
a) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2
b) 4a2 − 12a + 9 = (2a − 3)2
c) 27x3 − 54x2 + 36x − 8 = (3x − 2)3
d) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16 = (3p + 2)4
El séptimo y el octavo términos del desarrollo de una potencia son 1.792x2y12
y 1.024xy14, respectivamente. Calcula la potencia.
Al ser dos monomios consecutivos y positivos, la potencia corresponde a un bino-mio con dos términos positivos.
Como las potencias de x en los monomios conocidos corresponden al antepenúltimo y al penúltimo términos del desarrollo del binomio de Newton, y se trata de los términos séptimo y octavo, entonces la potencia correspondientees 8.
La potencia es (x + 2y2)8.
Factoriza estos polinomios.
a) 2x3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
d) x3 −5x2 + 3x + 9
e) 12x + 2x3 + 4 + 9x2
f ) x4 −8x2 −9
g) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2
g) 2 10 28 32 2 2 3 85 4 3 2 2 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )
f ) x x x x x4 2 28 9 3 3 1− − = − + +( )( )( )
e) 12 2 4 9 2 2 13 2 2x x x x x+ + + = + +( ) ( )
d) x x x x x3 2 25 3 9 3 1− + + = − +( ) ( )
c) 2 15 31 12 3 4 2 14 3 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )( )
b) 3 8 20 16 4 2 3 23 2x x x x x x− − + = − + −( )( )( )
a) 2 8 2 12 2 3 2 13 2x x x x x x− + + = − − +( )( )( )
052
86
28 1 792 28 64 86
2 12 2 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = ⋅ =
⎛⎝
→ . x y x y ⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
x y
xy
2 2 6
1
2
87
8 1 024
( )
.→ 44 14 2 78 128 87
2= ⋅ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅x y x y( )
051
050
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 101
102
Determina las raíces de los siguientes polinomios.
a) (x −3)(x + 5)(x −2) e) x3 + 8x2 + 17x + 10
b) x(x −2)2 (2x + 1) f ) 3x3 + 7x2 −22x −8
c) (2x −1)(3x + 2)(x + 3)2 g) 2x4 −11x3 + 21x2 −16x + 4
d) x3 −3x2 −6x + 8 h) x4 −4x3 −12x2 + 32x + 64
De un polinomio de segundo grado, P(x), se sabe que P(1) = −6, que P(0) = −3 y que una de sus raíces es 3. Determina ese polinomio.
Por ser de segundo grado, el polinomio es de la forma: P (x) = ax2 + bx + c
Si P (1) = −6 → a + b + c = −6
Como P (0) = −3 → c = −3
Si 3 es una raíz del polinomio: P (3) = 0 → 9a + 3b + c = 0
Entonces, tenemos que:
Así, el polinomio es: P (x) = 2x2 − 5x − 3
Obtén el valor de m para que el polinomio P(x) = mx3 −6x2 −4x + 8 tenga 2 como raíz.
Si 2 es una raíz del polinomio:
P (2) = 0 → 8m − 24 − 8 + 8 = 0 → 8m = 24 → m = 3
Halla el valor de n para que el polinomio P(x) = 2x3 + 2x2 + nx + 3 tenga −3 como raíz.
Si −3 es una raíz del polinomio:
P (−3) = 0 → −54 + 18 − 3n + 3 = 0 → −3n = 33 → n = −11
056
055
a ba b
ab
+ = −+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
39 3 3
25
054
h) x x x x x x4 3 2 2 24 12 32 64 4 2 4 2− − + + = − + −( ) ( ) { , }→
g) 2 11 21 16 4 2 1 2 1 2 14 3 2 2x x x x x x x− + − + = − − −( ) ( )( ) ,→ ,,1
2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
f ) 3 7 22 8 2 4 3 1 2 41
33 2x x x x x x+ − − = − + + − −
⎧⎨( )( )( ) , ,→ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
e) x x x x x x3 28 17 10 1 2 5 1 2 5+ + + = + + + − − −( )( )( ) { , , }→
d) 4, 1x x x x x x3 23 6 8 4 1 2 2− − + = − − + −( )( )( ) { , }→
c) ( )( )( ) , ,2 1 3 2 31
2
2
332x x x− + + − −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪
→⎪⎪
b) 0, 2x x x( ) ( ) ,− + −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 2 11
22 →
a) { 5, 2( )( )( ) , }x x x− + − −3 5 2 3→
053
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 102
103
Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 2, 3 y 5, y otro polinomio con el mismo grado que tenga como raíces −2, −1 y 4.
Encuentra un polinomio P(x) de segundo grado cuyas raíces sean 1 y −2, y tal que P(3) = 30.
Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 3, −1 y −1 y tal que Q(2) = −18.
Descompón estos polinomios y calcula su máximo común divisor.
a) 6x2y 12x3y2z 18xy3z2
b) 3x −6 5x −10 7x −14
c) 8x + 24 12x + 36 20x + 60
d) x2 + x −6 2x2 −3x −2
e) 3x2 + 9x −12 2x2 + 4x −16
f ) 4x2 + 16x + 16 6x2 + 42x + 60
g) 24x2 −12x 90x2 + 135x −90
h) x3 −2x2 −5x + 6 2x3 −7x2 + 2x + 3
i) x3 + 5x2 + 6x 3x3 + 9x2
j) 3x3 −7x2 + 5x −1 x3 −3x2 + 3x −1
d) x x x xx x x x
2
2
6 2 32 3 2 2 2 1
+ − = − +− − = − +
⎫⎬⎪⎪( )( )
( )( )⎭⎭⎪⎪+ − − − = −m.c.d. 6, 2( )x x x x x2 2 3 2 2
c) 8 24 8 312 36 12 320 60 20 3
x xx xx x
+ = ++ = ++ = +
⎫( )( )( )
⎬⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + + = +m.c.d. 24, 12 36, 20( )8 60 3x x x x
b) 3 6 3 25 10 5 27 14 7 2
x xx xx x
− = −− = −− = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭
( )( )( )
⎪⎪⎪⎪
− − − = −m.c.d. 6, 5 10, 7( )3 14 2x x x x
a) m.c.d. ( , , )6 12 18 62 3 2 3 2x y x y z x y z x y=
060
Por tanto, el polinomio es: Q x x x x( ) = − − −2 2 10 63 2
Si Q a a( ) ( )2 18 9 18 2= − ⋅ − = − =→ →
Q x a x x a x x x( ) ( )( ) ( )= − + = − − −3 1 5 32 3 2
059
Luego, el polinomio es: P x x x( ) = + −3 3 62
Si P a a( )3 30 10 30 3= ⋅ = =→ →
P x a x x a x x( ) ( )( ) ( )= − + = + −1 2 22
058
Q x x x x x x x( ) ( )( )( )= + + − = − − −2 1 4 10 83 2
P x x x x x x x( ) ( )( )( )= − − − = − + −2 3 5 10 31 303 2
057
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 103
104
Obtén el valor numérico de estas fracciones algebraicas en los valores que se indican.
Simplifica, si es posible, estas fracciones algebraicas.
j)9 27
18 54
3 2
4 3
x x
x x
++
e)2
3 2
2
+ x
x
i)6 3
4 2
2ab a
b a
−−
d)3 2
3
+ x
x
h)20 8 4
12 8
2− ++a a
ac)
3
6
2 3
5 3
a b d
b a
g)3 5
3
2a a
a
−b)
12
8
2 3
2 3
a b c
b c
f )3 6
3
+ x
xa)
x yz
z x
2
2
062
d)( ) ( )
( )
− − ⋅ −+ −
=1 2 3 1
3 2 17
2
b)2 3 8 3 6
3 10
2⋅ − ⋅ +−
=
c)2 2 2
6 21
2( ) ( )
( )
− − −− −
= −a)3 1
3 3 2
10
11
2 +⋅ +
=
d) para ey xy
x yx y
2 2
23 1
−+
= = −b) para2 8 6
13
2x x
xx
− +−
=
c) para2
62
2a a
aa
−−
= −a) parax
xx
2 1
3 23
++
=
061
j) 3 7 5 1 1 3 13 3 1 1
3 2 2
3 2
x x x x xx x x x
− + − = − −− + − = −
( ) ( )( ))
( , )33 2 3 23 7 5 1 3 3 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + − − + − =m.c.d. x x x x x x
== − = − +( )x x x1 2 12 2
i) x x x x x xx x x x
3 2
3 2 2
5 6 2 33 9 3 3
+ + = + ++ = +
⎫⎬⎪⎪( )( )
( ) ⎭⎭⎪⎪+ + + =
= + = +
m.c.d. ( , )
( )
x x x x x
x x x x
3 2 3 2
2
5 6 3 9
3 3
h) x x x x x xx x x
3 2
3 2
2 5 6 3 1 22 7 2 3
− − + = − − +− + + =
( )( )( )(xx x x
x x x− − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − +3 1 2 1
2 5 6 23 2
)( )( )( ,m.c.d. xx x x x x x x3 2 27 2 3 3 1 4 3− + + = − − = − +) ( )( )
g) 24 12 12 2 190 135 90 45 2 2
2
2
x x x xx x x x
− = −+ − = +
( )( )( −−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + − =
=1
24 12 90 135 90
3
2 2
)( , )m.c.d. x x x x
(( )2 1 6 3x x− = −
f ) 4 16 16 4 26 42 60 6 2 5
2 2
2
x x xx x x x
+ + = ++ + = + +
⎫( )( )( )
⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ + + + =
= +
m.c.d. 16, 6( )
(
4 16 42 60
2 2
2 2x x x x
x )) = +2 4x
e) 3 9 12 3 1 42 4 16 3 2 4
2
2
x x x xx x x x
+ − = − ++ − = − +
( )( )( )( ))
( )(
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ − + − == +
m.c.d. 12, 23 9 4 163 4
2 2x x x xx )) = +3 12x
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 104
105
3SOLUCIONARIO
Realiza estas operaciones y simplifica.
f )3
2
4
9
6 2
9
+⋅
−=
+−
x
x
x
x
e)a b
c
a
b
b
ac
2 3 2
2
8
6
3
8: =
d)3
2
8
9
4
3
2 3x
y
x y x⋅ =
c)a a a a a a a a2 2 2 23
8
3 11
12
2 1
6
3 9 6 22 8 4
2
−−
−−
−=
− − + − +44
3 14 5
24
2
=
=− + −a a
b)3 2
5
7
2
3 12
10
6 4 35 5 3 12
10
a a a a a a a−−
−−
− +=
− − + + −=
− −− 36
10
a)x x x x x x x+
+−
−+
=+ + − − −
=− +2
3
5 3
4
3 1
6
4 8 15 9 6 2
12
11 211
12
f )3
2
4
9
+ ⋅−
x
x
e)ab
c
a
b
2 3
2
8
6:
d)3
2
8
9
2x
y
xy⋅
c)a a a a2 23
8
3 11
12
2 1
6
− − − − −
b)3 2
5
7
2
3 12
10
a a a− − − − − +
a)x x x+ + − − +2
3
5 3
4
3 1
6
063
j)9 27
18 54
9 3
18 3
1
2
3 2
4 3
2
3
x x
x x
x x
x x x
++
=++
=( )
( )e)
3 2
2 2
+ x
x
i)6 3
4 2
3 2
2 2
3
2
2ab a
b a
a b a
b a
a−−
=−−
=( )
( )d)
3 2
3
+ x
x
h)20 8 4
12 8
5 2
3 2
2 2− ++
=− +
+a a
a
a a
ac)
3
6 2
2 3
5 3 2
a b d
b a
d
ab=
g)3 5
3
3 5
3
2a a
a
a−=
−b)
12
8
3
2
2 3
2 3
2
2
a b c
b c
a b
c=
f )3 6
3
1 2+=
+x
x
x
xa)
x yz
z x
x y
z
2
2=
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 105
106
Efectúa estas operaciones y simplifica.
Realiza estas sumas y restas, y simplifica el resultado.
d)4
3 3 18
3
2 2 42 2x x x x− −−
+ −b)
x
x x
x
x x
++ −
− −+
1
6
2 3
32 2
c)2 3
4 4
1
2 4
1 2
42 2
−+ +
−+
− +−
a
a a a
a
aa)
3
3 6
1 2
6 122x x x
x
x++ + −
+
065
g)3 1
4 12
2
4 12
3 9 3 3 2 6
4
2 2x
x
x
x
x x x x x x−+
−+−
=− − + − − − −
(( )( )x xx x
x
+ −=
=− −
−
3 32 15 3
4 36
2
2
f )3
2 6
1
3
3 2
2 6
1
2 6a a a a−+
−=
−−
=−
e)3 2
2
1
3
3 9 2 6 2 2
2
2 2−+
+++
=+ − − + + + +
+p
p
p
p
p p p p p p
p( )(( )p
p
p p+=
− ++ +3
11
5 6
2
2
d)3
2
1
2 4
2
3 6
18 3 4
6 2
11
6 12a a a a a+−
+−
+=
− −+
=+( )
c)a
a
a a
a
a a a a a2 3
2
3 33
8
3 11
12
2 1
6
3 9 6 22 8−−
−−
−=
− − + − aa a
aa a
a
3 2
2
2
4
2411 4 13
24
+=
=− + +
b)1 2 5 3 2 2 5 3
2
2 2 2 3 2+−
−−
−=
+ − + −y
x
y x
y
x y x
x y
y y x y x x y ++=
=− + +
2
3 8 2
3
2
3 2 2
2
x
x yx x y y y
x y
a)2 5 3 2 5 3 2 3
a b
a b
ab
b a a b
ab
a b
ab− +
+=
− + +=
− +
d)3
2
1
2 4
2
3 6a a a+−
+−
+
g)3 1
4 12
2
4 12
x
x
x
x
−+
− +−
c)a
a
a a
a
a2 3
2
3
8
3 11
12
2 1
6
− − − − −
f )3
2 6
1
3a a−+
−b)
1 2 5 3 22
2+ − − − −y
x
y x
y
x y x
xy
e)3 2
2
1
3
−+
+ ++
p
p
p
pa)
2 5 3
a b
a b
ab− + +
064
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 106
107
Calcula y simplifica el resultado.
f )6 28
6
4
2
1
3
6 282 2
x
x x x x
x
x
−− − +
−−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−−
:xx
x
x x
x
x−−
− −=
−−
=6
3 14
6
6 28
3 142
2:
e)x
x
x
x
x
x
x x
x
+−
⋅++
−−−
=+ ⋅ +
+2
9
2 6
3 6
1
2 6
2 2 3
32
( ) ( )
( ))( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x
x
x
x
x
x
− ⋅ +−
−−
=
=−
−−−
3 3 2
1
2 32
3 3
1
2 3==
+−
1 3
6 18
x
x
d) 3 31
21
3
22 3−
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = −
aa 33
1
2
3 2
22
33 3
23 2
6 3 3 6 4
2
⋅−
++
⋅ =
= −−
+ + =
=− + + +
a a
aa
a a==
+a 15
2
c)1
21 2
2
3
2−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−−x
x
x
x:
xx
x
x
x x
x x
x
x:
( )( )
( )( )
−−
=− −− −
=−−
4
2
3 2
2 4
3
4
b)x
yy
xx y y x
2 2
2
2
2−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−⋅
−22
5 2 2
4
2 2
=− −x y x y
a)1
12
11 2
2x
x x
x
x−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
− +: : ==
−+
2 2
22
x
x x
f )6 28
6
4
2
1
32
x
x x x x
−− − +
−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:c)
1
21 2
2−+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟x
x
x:
e)x
x
x
x
x
x
+−
++
− −−
2
9
2 6
3 6
1
2 62·b)
xy
yx
2 2−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
d) 3 31
21
3
22− + −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
aa ·a)
11
21
x
x−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:
066
d)4
3 3 18
3
2 2 4
8 8 9 27
6 3 22 2x x x x
x x
x x− −−
+ −=
− − +− +( )( )) ( )2
4 2
119
6 54 24 72
xx
x x x
−=
=− +
− − +
c)2 3
4 4
1
2 4
1 2
44 6 8 12
2 2
2
−+ +
−+
−+
−=
=− − + −
a
a a a
a
aa a a aa a a a
a aa a
a
2 2
2
2
4 2 4 4 8
2 2 211 6 8
2
+ − − − −+ −
=
=− + −
( ) ( )
33 2 24 8 16 8 16− + − + −a a a a
b)x
x x
x
x x
x x x x x
x x
++ −
−−+
=+ − + + −
+1
6
2 3
3
2 4 3 6
32 2
2 2
( ))( )x
x x
x x x−=
− ++ −2
4 7 4
6
2
3 2
a)3
3 6
1 2
6 12
6 6 12 2
6 22
2
x x x
x
x
x x x
x x++ +
−+
=+ + + −
+=
( )
−− + ++
x x
x x
2
2
8 18
6 12
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 107
108
Demuestra esta igualdad.
Halla los valores de A y de B para que se cumpla la igualdad.
La relación entre el dividendo (D), el divisor (d ), el cociente (C ) y el resto (R) en una división se puede expresar como:
Es decir, si al dividir x2 + 3x + 5 entre x + 2 obtenemos como cociente x + 1 y resto 3,podemos escribir:
Expresa de esta manera las siguientes fracciones algebraicas.
→ 2 3
22 3
9
2
2x x
xx
x
− +−
= + +−
2 3 2
2 4 2 3
3 33 6
9
2
2
x x x
x x x
xx
− + −− + +
+− +
b)
→ x x
xx
x
x
2 3
4 4
++
= −+
x x x
x x x
x
2
2
3 4
4
+ +− −
−
a)
d)2 2
1
3
2
x
x x
+− +
c)x x x
x x
3 2
2
2 5 1
2
− + −− +
b)2 3
2
2x x
x
− +−
a)x x
x
2 3
4
++
x x
xx
x
2 3 5
21
3
2
+ ++
= + ++
D
dC
R
d= +
069
→ →A BA B
A BA B
A+ =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14 2 16
12 8
=== −
32B
A
x
B
x
A x B x
x x
A B x A
++
−=
− + ++ −
=+ −
2 4
4 2
2 4
4( ) ( )
( )( )
( ) ++− −
=−
− −2
2 8
16
2 82 2
B
x x
x
x x
A
x
B
x
x
x x++
−= −
− −2 4
16
2 82
068
1
1
1
11
1 1 12x x x
x
x−+
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ −22 1
1 1
1 1
1
1−⋅
−=
−− +
=+
x
x
x
x x x( )( )
1
1
1
11
1 1
12x x x x−+
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
+
067
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 108
109
La igualdad (3x + 5)2 = 9x2 + 25 es falsa, porque: (3 ⋅ 2 + 5)2 � 9 ⋅ 22 + 25
Usa el mismo procedimiento para comprobar que las siguientes afirmaciones son falsas, y después escríbelas correctamente.
a) (3 −2p)2 = 9 −4p2
b) (2x −1)2 = 2x2 −4x + 1
c) (5 −3x)(5 + 3x) = 25 −6x2
a) Respuesta abierta: (3 − 2 ⋅ 3)2 � 9 − 4 ⋅ 32
(3 − 2p)2 = 9 − 12p + 4p2
b) Respuesta abierta: (2 ⋅ 2 − 1)2 � 2 ⋅ 22 − 4 ⋅ 2 + 1
(2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1
c) Respuesta abierta: (5 − 3 ⋅ 1)(5 + 3 ⋅ 1)2 � 25 − 6 ⋅ 12
(5 − 3x)(5 + 3x) = 25 − 9x2.
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x2 −2x −15, sabiendo que es múltiplo de 4x + 5?
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x2 −10x −3, sabiendo que una
de sus raíces es ?
Si es una raíz, entonces 2x − 3 es un factor del polinomio.
→ 8 10 3 2 3 4 12x x x x− − = − +( )( )
8 10 3 2 3
8 12 4 1
2 32 3
0
2
2
x x x
x x x
xx
− − −− + +
−− +
3
2
32
072
→ 8 2 15 4 5 2 32x x x x− − = + −( )( )
8 2 15 4 5
8 10 2 3
12 1512 15
0
2
2
x x x
x x x
xx
− − +− − −
− −+
071
070
→ 2 2
12 2
3
2
x
x xx
+− +
= +
2 2 1
2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
3 2
3 2
2
2
x x x
x x x x
x xx x
+ − +− + − +
− +− + −
00
d)
→ x x x
x xx
x
x x
3 2
2 2
2 5 1
21
2 1
2
− + −− +
= − ++
− +
x x x x x
x x x x
x xx x
3 2 2
3 2
2
2
2 5 1 2
2 1
3 12
− + − − +− + − −
− + −− +
22 1x +
c)
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 109
110
Divide por medio de la regla de Ruffini el polinomio P(x) = x3 −2x2 + 3x + 1 entre:
Determina un polinomio del que sabemos que:
a) Es de tercer grado. c) Se anula para x = 1.
b) Solo tiene dos términos. d) P(2) = 28
Al ser un polinomio de tercer grado es de la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Si se anula para x = 1: P(1) = 0 → a + b + c + d = 0
Como P(2) = 28 → 8a + 4b + 2c + d = 28
Si solo tiene dos términos, hay tres posibilidades:
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea ab2c y cuyo mínimo comúnmúltiplo sea a3b2c2d.
Respuesta abierta.
P(x) = a3b2c
Q(x) = ab2c2d
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea 2(x −3)(x + 5)3 y cuyomínimo común múltiplo sea 2 ⋅ 32(x −3)3(x + 5)3(x + 7).
Respuesta abierta.
P(x) = 18(x − 3)(x + 5)3(x + 7)
Q(x) = 2(x − 3)3(x + 5)3
076
075
3) Si yd b ca d
a dac
� 0 0 08 28
44
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬⎪→ ⎪⎪⎭⎪⎪
= −→ P x x( ) 4 43
2) Si yc b da c
a c
a
c� 0 0 0
8 2 28
14
31
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=
= −→
44
3
14
3
14
33
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −→ P x x x( )
1) Si yb c da b
a bab
� 0 0 08 4 28
77
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬→ ⎪⎪⎪⎭⎪⎪
= −→ P x x x( ) 7 73 2
074
1 2 3 12 2 2 2 2 5 2 4
1 2 2 5 2 2 5 2 3
2 2 52
−− −
− − −
= + −( ) +C x x x( ) −− = −2 2 5 2 3R x( )
b)
1 2 3 11
2
1
2
3
4
9
8
13
2
9
4
17
8
3
2
9
42
−
−
− = − + =→ C x x x R x( ) ( )117
8
a)
b) x − 2a) x − 1
2
073
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 110
111
Calcula estas raíces, sabiendo que los dos polinomios son cuadrados perfectos.
Comprueba con varios ejemplos que si m y n son dos números naturalesconsecutivos, entonces:
m2 + n2 + m2n2 es un cuadrado perfecto.
Encuentra una demostración general de esta propiedad.
En general:
El término general de la progresión aritmética: 5, 8, 11, 14, 17, 20, … es an = 3n + 2.
Calcula la expresión del término general de estas progresiones.
a) 1, 5, 9, 13, 17, …
b) −5, −3, −1, 1, 3, …
c) 8, 3, −2, −7, −12, …
d) −1, −4, −7, −10, …
a) an = 4n − 3
b) an = 2n − 7
c) an = −5n + 13
d) an = −3n + 2
Completa esta tabla y determina el polinomio que expresa el número de diagonalesde un polígono convexo en relación con su número de lados.
Si x es el número de lados, entonces: P xx x
x x( )( )
=−
= −3
2
1
2
3
22
N.o de lados 3 4 5 6 7
N.o de diagonales 0 2 5 9 14
080
079
n m m m m m m m m m m= + + + + + = + + + + + +1 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2 4 3→ ( ) ( ) mmm m m m m m
2
4 3 2 2 22 3 2 1 1=
= + + + + = + +( )
Si ym n m n m n= = + + = =3 4 169 132 2 2 2 2→
Si ym n m n m n= = + + = =2 3 49 72 2 2 2 2→
Si ym n m n m n= = + + = =1 2 9 32 2 2 2 2→
078
b) x x x x x x x x4 3 2 2 2 26 7 6 1 3 1 3 1− + + + = − − = − −( )
a) 9 12 4 3 2 3 22 2x x x x− + = − = −( )
b) x x x x4 3 26 7 6 1− + + +
a) 9 12 42x x− +
077
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 111
112
El director de un supermercado ha observado que el número de clientes atendidos cada hora por un dependiente está relacionado con suexperiencia. Ha estimado que ese númeropuede calcularse de forma aproximada
con la función: , donde d
es el número de días que el dependiente lleva trabajando y C es el número de clientesatendidos en una hora.
a) ¿Cuántos clientes por hora atendería undependiente que lleve trabajando dos días?
b) El director sabe que un dependiente empieza a ser rentable a la empresa cuandoatiende a 32 clientes por hora. ¿Cuándo sucede eso?
c) Investiga lo que sucede con el número de clientes atendidos por dependientesque tienen mucha experiencia. ¿Puedes constatar alguna característica especial?
Si los dependientes tienen mucha experiencia, el número de clientes atendidosse aproxima a 40, sin llegar a superarlo.
Una plancha de cartón mide 30 ×40 cm. En cada uno de sus vértices recortamos un cuadrado de x cm de lado. Doblando las solapas que quedanse forma una caja.
a) Expresa su volumen en función de x.
b) Calcula el volumen si x mide 2, 4, 6 y 8 cm.
c) Determina la medida de x para que el volumen de la caja sea máximo.
40 cm
30 cm
x
x
082
N.o de días 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
N.o de clientes 38,83 39,88 39,99 39,99 39,99
c)
b) días40
332 40 32 96 8 96 12
d
dd d d d
+= = + = =→ → →
a) clientesC ( )240 2
2 316=
⋅+
=
C dd
d( ) =
+40
3
081
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 112
113
a) V(x) = x(40 − 2x)(30 − 2x)
b) V(2) = 1.872 cm3 V(4) = 2.816 cm3 V(6) = 3.024 cm3 V(8) = 2.688 cm3
c) V(5) = 3.000 cm3 V(7) = 2.912 cm3
Suponiendo que el lado tiene como longitud un número entero, el volumen esmáximo cuando x = 6 cm.
Determina A, B y C para que se cumpla que:
Fíjate en la descomposición que hemos hecho de la fracción, para expresar estas fracciones algebraicas como la suma de otras fracciones más sencillas.
19 2
6
5
3
3
22
−+ −
=−+
+−
x
x x x x
19 2
6 3 2
19 2 2 3
2
−+ −
=+
+−
− = − + + =
x
x x
A
x
B
x
x A x B x A( ) ( ) ( ++ − + + = −− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −=
B x A BA BA B
AB
) 2 3 22 3 19
53
→
b) x x x x2 6 3 2+ − = + −( )( )
x x
x x x x x
2
3 2 2
9
2 9
2
3
1
3
+ ++ +
=− +
++
A CA B C
B C
C AA B A
+ =+ − =
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −+ − + =
13 1
3 3 9
13 1 11
3 3 3 9
4 23 3 6
B A
A BA B
A
+ − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= 0021
BC
==
x x
x x
Ax B
x x
C
xx x Ax B
2
3 2 2
2
9
2 9 3 39
+ ++ +
=+
− ++
++ + = +( )(( ) ( )x C x x
Ax Ax Bx B Cx Cx C+ + − + =
= + + + + − + ==
3 33 3 3
2
2 2
(( ) ( ) ( )A C x A B C x B C+ + + − + +2 3 3 3
a) x x x x x3 2 22 9 3 3+ + = + − +( )( )
A CA B C
B C
C AA B
+ =− + + =
− + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −− + + −
72 0
2 7
72 7 AA
B A
A BA B
A=
− + − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
− + =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02 7 7
3 02 0
=== −=
21
5BC
7 7
2
2 12
3 2
2
3 2
x
x x x
Ax B x C x x
x x x
+− − −
=+ − + + +
− −( )( ) ( )
−−+ = + − + + + =
= − + −
27 7 2 1
2
2 2
2
x Ax B x C x xAx A x Bx( )( ) ( )
222 2
2
2
B Cx Cx CA C x A B C x B C
+ + + == + + − + + + − +( ) ( ) ( )
b)19 2
62
−+ −
x
x xa)
x x
x x
2
3 2
9
2 9
+ ++ +
7 7
2 1 2
2
3 2 2
x
x x x
Ax B
x x
C
x
+− − −
= ++ +
+−
083
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 113
114
PARA FINALIZAR...
Demuestra la propiedad que cumplen los números combinatorios.
Los números combinatorios verifican que:
Así, para n = 4:
Análogamente, si para n la suma es 2n, entonces para n + 1 la suma es: 2n ⋅ 2 = 2n + 1
Demuestra, utilizando el método de inducción, las siguientes igualdades.
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
a) Si 1n = =+→ 1
1 1 1
2
( )
c) …(
1 2 31
23 3 3 3
2
+ + + + = +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥n
n n )
b) …( )(2
1 2 31 1
62 2 2 2+ + + + = + +
nn n n )
a) …(
1 2 31
2+ + + + = +
nn n )
085
550
552
5554
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛
⎝⎜⎜⎜… ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
551
553
…55555
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
b)n
m
n
n m
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜→55
0⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
55
55
55
2 ⎟⎟=
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝
55
53
55
1
55
54⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟55
3
55
52⎟⎟⎟⎟
40
41
42
4⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
3344
40
3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
0031
31
3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
2232
33
4⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
44
30
31
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
=⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + 33
233
40
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + 33
132
44
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
== + = ⋅ =8 8 8 2 24
n nn
nm0
1⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = nn
mn
m−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
11
1
Si n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
3 30
31
32
→ ⎟⎟⎟⎟⎟ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + + + = =3
31 3 3 1 8 23
Si 2n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
→ 20
21
22⎟⎟⎟⎟⎟ = + + = =1 2 1 4 22
a) Si 1n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + =→ 1
011
1 1 2
b) …550
552
5554
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +55
1553
555
…55
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
a) n n n0 1 2
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ++ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =… n
nn2
084
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 114
115
Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
Dados los polinomios:
P(x) = 3x4 + 8x3 − 15x2 − 32x + 12
Q(x) = 2x4 + x3 − 16x2 + 3x + 18
determina los polinomios A(x) y B(x) de menor grado que cumplan que:
P(x) ⋅ A(x) + Q(x) ⋅ B(x) = 0
Así, A(x) = −2x2 + x + 3 y B(x) = 3x2 + 5x − 2.
A x
B x
Q x
P x
x x x x
x
( )
( )
( )
( )
( )( )( )( )
(= − = −
− + + −2 1 3 2 3
−− + + −= −
+ −+ −2 2 3 3 1
1 2 3
2 3 1)( )( )( )
( )( )
( )(x x x
x x
x x ))
Q x x x x x x x x x( ) ( )( )( )(= + − + + = − + + −2 16 3 18 2 1 3 2 34 3 2 ))
P x x x x x x x x x( ) ( )( )( )(= + − − + = − + +3 8 15 32 12 2 2 3 34 3 2 −−1)
P x A x Q x B x P x A x Q x B x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ + ⋅ = ⋅ = − ⋅0 → → AA x
B x
Q x
P x
( )
( )
( )
( )= −
086
1 2 3 11
213 3 3 3 3
2
+ + + + + + =+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ + +… k k
k kk( )
( )( )33
2 23 2
4 3 2 32 1
43 3 1
2 4
=
=+ +
+ + + + =+ + + +k k k
k k kk k k k( ) 112 4
46 13 12 4
4
1 2
4
2
4 3 2 2 2
k
k k k k k k
+=
=+ + + +
=+ +
=( ) ( ) (( )(( ) )k k+ + +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
1 1 1
2
2
c) Si 1n = =+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥→ 1
1 1 1
23
2( )
1 2 3 11 2 1
612 2 2 2 2 2+ + + + + + =
+ ++ + =
=
… k kk k k
k( )( )( )
( )
22 3
62 1
2 9 13 6
61
3 22
3 2
k k kk k
k k k
k k
+ ++ + +
+ + +=
=+
→
( )( ++ +=
=+ + + +
2 2 3
61 2 2 1 1
6
)( )
( )( )( ( ) )
k
k k k
b) Si 1n = =+ ⋅ +→ 1
1 1 1 2 1 1
62 ( )( )
1 2 3 11
21
3 2
21
2
+ + + + + + =+
+ + =+ +
=
=+
… k kk k
kk k
k k
( )
( )( ++=
+ + +2
2
1 1 1
2
) ( )(( ) )k k
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 115
116
Demuestra que, para cualquier número entero n, la siguiente expresión es múltiplode 24.
n4 + 2n3 − n2 − 2n
n4 + 2n3 − n2 − 2n = (n − 1)n(n + 1)(n + 2)
Como el polinomio es el producto de cuatro números enteros consecutivos, al menos uno de ellos ha de ser múltiplo de 3.
Siendo n un número entero, hay dos posibilidades:
1) Si n es impar, entonces n − 1 y n + 1 son pares y, además, son pares consecutivos; por tanto, uno de ellos es múltiplo de 4. Así, (n − 1)(n + 1) es múltiplo de 8, luego el polinomio es múltiplo de 24.
2) Si n es par; entonces n + 2 también es par, y como en el caso anterior, uno de ellos es múltiplo de 4. Por tanto, n(n + 2) es múltiplo de 8 y el polinomio es múltiplo de 24.
Un polinomio P(x) verifica que:
P(2) = 3
es divisible por x + 1.
Al dividirlo entre x − 5, el resto es 15.
Calcula el resto de la división P(x) : Q(x), siendo:
Q(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 5)
P(x) = C(x) ⋅ Q(x) + R(x), siendo grado R(x) < grado Q(x) = 3
R(x) = ax2 + bx + c
P(2) = C(2) ⋅ Q(2) + R(2) → 3 = C(2) ⋅ 0 + R(2) → 3 = 4a + 2b + c
P(−1) = C(−1) ⋅ Q(−1) + R(−1) → 0 + C(−1) ⋅ 0 + R(−1) → 0 = a − b + c
P(5) = C(5) ⋅ Q(5) + R(5) → 15 = 25a + 5b + c
Así, el resto es:
Completa la siguiente fila del triángulo de Tartaglia.
1................3.003 2.002 1.001.................1
nk
n
k n k−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
− − −=
13 003
1 13.
!
( )!( ( ))!.→ 0003 3 003 1 1→ n k n k
nk
! . ( )!( ( ))!= − − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = 22 002 2 002 2 002.
!
!( )!. ! . !( )!→ →n
k n kn k n k
nk
−= = −
+ 111 001
1 11 00
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ − +=.
!
( )!( ( ))!.→ n
k n k11 1 001 1 1→ n k n k! . ( )!( ( ))!= + − +
089
R x x x( ) ( )= +1
21
4 2 30
25 5 0
1
2
1a b ca b ca b c
a b+ + =− + =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= =→22
0c =
088
087
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 116
117
Igualando cada par de expresiones:
Entonces la fila del triángulo está compuesta por:
Haz esta suma.
1
1
1 1
1
11
1
99
1
99
n n n nn n( )+∑ = −
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟∑ =
= −
= =
22
1
2
1
3
1
3
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟+ + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − =
…1
99
1
100
11
100
99
100
1
1 11 1 0
n n
A
n
B
nA n Bn A B n A
A BA( )
( ) ( )+
= ++
= + + = + + + =→ →==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −1
11
AB
1
11
99
n nn ( )+∑=
090
140
1 141
14 142
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =91 14
3364 14
41.0001
145
2 002 146
3 00⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =. . 33 14
73 432 14
83 003 1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =. . 44
92 002
1410
1 001 14
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
.
.111
364 1412
91 1413
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =14 14
141
2 002 3 003 1 12 002
. !( )! . ( )!( ( ))!
. !(k n k k n kk
− = − − −nn k k n k
k n k− = + − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −)! . ( )!( ( ))!
(1 001 1 1
2 3 ++− = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12 1
5 3 32 3 1
)( )n k k
k nn k
n ===
149k
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 117
118
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El último CatónEl calor era infernal, apenas quedaba aire y ya casi no veía, y no sólopor las gotas de sudor que me caían en los ojos, sino porque estabadesfallecida. Notaba un dulce sopor, un sueño ardiente que se apode-raba de mí, dejándome sin fuerza. El suelo, aquella fría plancha dehierro que nos había recibido al llegar, era un lago de fuego que des-lumbraba. Todo tenía un resplandor anaranjado y rojizo, inclusonosotros. […] Pero, entonces, lo comprendí. ¡Era tan fácil! Me bastó echar una últi-ma mirada a las manos que Farag y yo teníamos entrelazadas: en aquelamasijo, húmedo por el sudor y brillante por la luz, los dedos se ha-bían multiplicado… A mi cabeza volvió, como en un sueño, un juegoinfantil, un truco que mi hermano Cesare me había enseñado cuandoera pequeña para no tener que aprender de memoria las tablas demultiplicar. Para la tabla del nueve, me había explicado Cesare, sólohabía que extender las dos manos, contar desde el dedo meñique de lamano izquierda hasta llegar al número multiplicador y doblar ese de-do. La cantidad de dedos que quedaba a la izquierda, era la primeracifra del resultado, y la que quedaba a la derecha, la segunda. Me desasí del apretón de Farag, que no abrió los ojos, y regresé frenteal ángel. Por un momento creí que perdería el equilibrio, pero me sos-tuvo la esperanza. ¡No eran seis y tres los eslabones que había que de-jar colgando! Eran sesenta y tres. Pero sesenta y tres no era una com-binación que pudiera marcarse en aquella caja fuerte. Sesenta y tresera el producto, el resultado de multiplicar otros dos números, comoen el truco de Cesare, ¡y eran tan fáciles de adivinar!: ¡los números deDante, el nueve y el siete! Nueve por siete, sesenta y tres; siete pornueve, sesenta y tres, seis y tres. No había más posibilidades. Solté ungrito de alegría y empecé a tirar de las cadenas. Es cierto que desvaria-ba, que mi mente sufría de una euforia que no era otra cosa que el re-sultado de la falta de oxígeno. Pero aquella euforia me había propor-cionado la solución: ¡Siete y nueve! O nueve y siete, que fue la claveque funcionó. […] La losa con la figura del ángel se hundió lentamen-te en la tierra, dejando a la vista un nuevo y fresco corredor.
MATILDE ASENSI
Justifica algebraicamente por qué funciona el truco para la tablade multiplicar por 9 y demuestra que no existe un truco parecidopara multiplicar por un número distinto de 9.
En la tabla del nueve, a medida que vamos multiplicando por un número mayor, sumamos una unidad en las decenas y restamos otra unidad en las unidades:
9 · n = n(10 − 1) = 10n − n
Por este motivo funciona el truco.
En las tablas de multiplicar, desde la tabla del uno hasta la tabla del ocho, a medida que vamos multiplicando por un númeromayor no siempre sumamos una unidad en las decenas.
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas4
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 118
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
a) El doble de un número menos 9.
b) La tercera parte de un número más 8.
c) El cuadrado del triple de un número.
d) El triple del doble de un número.
e) La cuarta parte de un número más 6.
a) 2x − 9 c) (3x)2
d) 3 · 2x
Clasifica estas igualdades algebraicas.
La expresión corresponde a una identidad.
La expresión es una ecuación.
Representa estas rectas.
a) y = x −2 b) y = −x + 1 c) 2x −y = 3
Y
1
1
X
b)
Y
1
1
X
c)Y
1
1
X
a)
003
b) x = − ⋅ + ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −0 0 6 0
1
20 2 0 32→ �
x = + ⋅ − ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟3 3 3 3
1
23 3
7
232 2 2→ ⎟⎟⎟⎟
a) x = + ⋅ − ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞0 0 3 0
1
20 0
7
202 2 2→⎠⎠⎟⎟⎟⎟
b) x x x x− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −6
1
22 3a) x x x x x2 2 23
1
2
7
2+ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
002
b)x
38+
e)x
46+
001
4SOLUCIONARIO
119
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 119
120
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Indica los elementos de esta ecuación: (x + 2) ⋅ (x −5) + 2 = 7 −x2
Términos: x2; −3x; −8; 7; −x2
Primer miembro: (x + 2) ⋅ (x − 5) + 2
Multiplicando el primer miembro: x2 − 3x − 8
Segundo miembro: 7 − x2
Incógnita: x
Grado: 2
Soluciones: x1 = −2,09; x2 = 3,59
¿Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la ecuación ?
a) x = 1
b) x = 5
c) x = −2
d) x = 2
La solución de la ecuación es la del apartado d), x = 2.
Resuelve las siguientes ecuaciones.
d) 32
34 2 1
4
72 4 21x x
xx x−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + − =
+− + −( ) ( ) → 114 56 28
4 14 561
9
+ − =
= + − − = −
x
x x x→
c)4 3
2
5 8
66 3 2 12 36 5 40
36
( ) ( )( )
x xx x x
−−
+= + − − − − =
=
→
xx x+ − = −108 12172
29→
b)3 2
22 1 0 3 6 4 2 0 4
( )( )
xx x x x
−− − = − − + = = −→ →
a)2 1
3
1
7 228 14 6 6 21 8
x x xx x x x
−−
−= − − + = =→ →
d) 4(2 2(32
31
4
74x x
xx−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + − = + − +) )
c)4( 3) 5( 8)
6( 3)x x
x−
−+
= + −2 6
2
b)3( 2)
(2x
x−
− − =2
1 0)
a)2x x x−
−−
=1
3
1
7 2
006
x x+ − = −4
3
1
2
5
2005
004
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 120
121
ACTIVIDADES
Clasifica y resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x2 −10x + 21 = 0 f ) 3x2 −18x = 0
b) 3x2 + 20x + 12 = 0 g) 4x2 −36 = 0
c) 3x2 + 9x − 4 = 0 h) −8x2 + 40 = 0
d) 4x2 −12x + 9 = 0 i) −5x2 + 30x = 0
e) −2x2 + 5x −8 = 0 j) 3x2 = 2x2
a) Ecuación completa:
b) Ecuación completa:
c) Ecuación completa:
d) Ecuación completa:
e) Ecuación completa:
No tiene soluciones reales.
f ) Ecuación incompleta: 3x2 − 18x = 0 → 3x(x − 6) = 0 → x1 = 0 x2 = 6
g) Ecuación incompleta: 4x2 − 36 = 0 → x = → x1 = −3 x2 = 3
h) Ecuación incompleta: −8x2 + 40 = 0 → x =
i) Ecuación incompleta: −5x2 + 30x = 0 → 5x(−x + 6) = 0 → x1 = 0 x2 = 6
j) Ecuación incompleta: 3x2 = 2x2 → x2 = 0 → x = 0
5
9
− + − = =− ± − ⋅ − ⋅ −
⋅ −=
− ±2 5 8 0
5 5 4 2 8
2 2
522
x x x x→ →( ) ( )
( )
−−−
39
4
4 12 9 012 12 4 4 9
2 412
8
22
x x x
x
− + = =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
= =
→
→
( ) ( )
33
2
3 9 4 09 9 4 3 4
2 3
9 129
6
22
1
x x x
xx
+ − = =− ± − ⋅ ⋅ −
⋅
=− ±
→
→ →
( )
==− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
9 1296
9 1296
3 392
0,39
x ,
3 20 12 020 20 4 3 12
2 3
20 16
6
22
x x x
x
+ + = =− ± − ⋅ ⋅
⋅
=− ±
→
→ → xx
x
1
2
2
36
= −
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
x x x
x
22
10 21 010 10 4 1 21
2 110
− + = =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
=±
→
→
( ) ( )
44
2
71
2→ x
x==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 3
001
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 121
122
Resuelve estas ecuaciones.
a) 3(x2 −1) + 2(x −5) −20 = 0
b) (2 −x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x2−15x + 3 = 0
c) (x + 2)(x −3) −x(2x + 1) + 6x = 0
d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) −2 = 3x(x + 4)
e) (2 −x)(2x + 2) −4(x −3) −5x = 0
a) 3(x2 − 1) + 2(x − 5) − 20 = 0 → 3x2 + 2x − 33 = 0
b) (2 − x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x2− 15x + 3 = 0
c) (x + 2)(x − 3) − x(2x + 1) + 6x = 0 → −x2 + 4x − 6 = 0
No tiene solución real.
d) 3x(x − 2) + 2(1 + 9x) − 2 = 3x(x + 4)
0 = 0 → No es una ecuación, es una identidad.
e) (2 − x)(2x + 2) − 4(x − 3) − 5x = 0 → −2x2 − 7x + 16 = 0
Determina, sin resolver la ecuación, el número de soluciones que tiene.
a) −2x2 + 5x −8 = 0 d) 2x2 −x −3 = 0
b) 9x2 + 30x + 25 = 0 e) −x2 + 9x −2 = 0
c) −5x2 + 9x −6 = 0 f) 0,34x2 + 0,5x −1 = 0
Calculamos el discriminante:
a) Δ = b2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−8) = −39 < 0. No tiene solución real.
b) Δ = b2 − 4ac = 302 − 4 ⋅ 9 ⋅ 25 = 0. Tiene una solución.
c) Δ = b2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−5) ⋅ (−6) = −39 < 0. No tiene solución real.
d) Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−3) = 25 > 0. Tiene dos soluciones.
e) Δ = b2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) = 73 > 0. Tiene dos soluciones.
f ) Δ = b2 − 4ac = 0,52 − 4 ⋅ 0,34 ⋅ (−1) = 1,61 > 0. Tiene dos soluciones.
003
→x
x
1
2
7 177
41 58
7 177
45 08
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
,
,⎪⎪⎪
x =− − ± − − ⋅ − ⋅
⋅ −=
±−
( ) ( ) ( )
( )
7 7 4 2 16
2 2
7 177
4
2
x =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± −( ) ( )4 4 4 1 6
2 1
4 8
2
2
2 8 8 08 64 64
422x x− + =
± −=→
x x
x=
− ± − ⋅ ⋅ −
⋅=
− ± = −
=
⎧⎨⎪⎪2 2 4 3 33
2 3
2 20
6
11
33
21
2
( )→ ⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
002
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 122
123
¿Cuántas soluciones pueden tener estas ecuaciones bicuadradas? Resuélvelas.
a) 4x4 −37x2 + 9 = 0 c) 25x2(x2 −1) + 11(x4 + 1) −7 = 0
b) x2(x2 −1) = 16(x2 −1)
Como las ecuaciones son de cuarto grado, pueden tener un máximo de cuatrosoluciones.
a) 4x4 − 37x2 + 9 = 0 ⎯⎯→z = x2
4z2 − 37z + 9 = 0
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = → x3 = x4 =
b) x2(x2 − 1) = 16(x2 − 1) → x4 − 17x2 + 16 = 0 ⎯⎯→z = x2
z2 − 17z + 16 = 0
z1 = 1 → x1 = −1 x2 = 1
z2 = 16 → x3 = −4 x4 = 4
c) 25x2(x2 − 1) + 11(x4 + 1) − 7 = 0
→ 36x4 − 25x2 + 4 = 0 ⎯⎯→z = x2
36z2 − 25z + 4 = 0
z1 = → x1 = x2 =
z2 = → x3 = x4 =
Halla la solución de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas.
z1 = −1 → No tiene solución real.z2 = 4 → x1 = 2 x2 = −2
zzz
=− ± − ⋅ − ⋅
⋅ −=
− ±−
= −=
⎧⎨⎪⎪3 3 4 1 4
2 1
3 5
2
14
21
2
( )
( )→
⎩⎩⎪⎪
b)4 3
0 3 4 0 3 4 04
2
2
4 22
2
x
x
xx x z z
z x+
−= − + + = − + + =
=→ ⎯⎯→
xxx
=− − ± − − ⋅ ⋅ −
⋅=
± == −
⎧⎨⎪( ) ( ) ( )1 1 4 1 6
2 1
1 5
2
32
21
2→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
a) xx
x
xx x+
+=
+
+− − =
1
1
2 7
16 02→
b)4 3
04
2
2x
x
x+ − =a)
2x
x
x
x+
+=
++
1
1
7
1
005
2
3−
2
3
4
9
1
2−
1
2
1
4
zz
z=
− − ± − − ⋅ ⋅⋅
=± =
=
( ) ( )25 25 4 36 4
2 36
25 7
72
1
44
2 1
2
→
99
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
zzz
=− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± ==
⎧( ) ( )17 17 4 1 16
2 1
17 15
2
116
21
2→ ⎨⎨
⎪⎪⎩⎪⎪
1
2−
1
2
1
4
zz
z=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± =
=
⎧⎨
( ) ( )37 37 4 4 9
2 4
37 35
8
91
4
2 1
2
→⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
004
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 123
124
Resuelve estas ecuaciones con radicales.
La solución es x = 5.
⎯⎯→z = x2
z2 − 11z + 18 = 0
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = 2 → x3 = x4 =
Las soluciones son x1 = −3 y x2 = 3.
La solución es x = 4.
La solución es x = 3.
Estas ecuaciones aparecen factorizadas. Encuentra su solución.
a) 3(x −1)(x + 2)(x −4) = 0 d) 2x2(x −3)2(3x + 4) = 0
b) x(x −2)(x + 3)(x −12) = 0 e) 5x(x −1)2(2x + 7)3 = 0
c) (2x −1)(4x + 3)(x −2) = 0
a) x1 = 1 x2 = −2 x3 = 4 d) x1 = 0 x2 = 3 x3 =
b) x1 = 0 x2 = 2 x3 = −3 x4 = 12 e) x1 = 0 x2 = 1 x3 =
c) x1 = x2 = x3 = 2−3
4
1
2
−7
2
−4
3
007
x x=− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
±( ) ( )249 249 4 64 171
2 64
249 135
256
2
→ 11
2
57
643
=
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪x
d) 2 1 3 4 3 5 0 2 1 3 4 3 5
6 32
2 2x x x x
x
+ − − + = + = − −−
→→
( ) ( )
( )22 2 230 4 3 64 249 171 0= − − − + =( )x x x→
x x
x=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± =
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩
( ) ( )9 9 4 2 4
2 2
9 7
4
1
24
21
2
→⎪⎪⎪⎪
c) x x x x x x x xx x
+ + = + + + + + = ++ =
12 8 4 2 12 12 8 44 48 3
2
2
→→ 66 96 64 2 9 4 02 2x x x x− + − + =→
− 22
zzz
=− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± ==
⎧⎨⎪( ) ( )11 11 4 1 18
2 1
11 7
2
92
21
2→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
b) x x x x x x x2 2 4 2 2 4 23 2 4 8 16 3 2 11 18 0− − = − + = − − + =→ →
xx=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± =( ) ( ) .226 226 4 1 1 105
2 1
226 216
2
21→ 55
2212x =⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
a) x x x x x
x
+ + − = − = + − + +
− = −
4 2 1 6 2 1 4 12 4 36
41 122
→
→ ( ) ( xx x x+ − + =4 226 1 105 02 2) .→
d) 42 1 3 3 5 0x x+ − − + =b) 3x x2 2 2 4− − =
c) 8x x x+ + = +12 4a) 2x x+ + − =4 1 6
006
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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125
Factoriza las ecuaciones y resuélvelas.
a) x4 −2x3 −13x2 + 38x −24 = 0
b) x5 −6x4 + 10x3 −6x2 + 9x = 0
c) x4 + 8x3 + 17x2 + 8x + 16 = 0
a) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 4) = 0
x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = −4
b) x(x − 3)2(x2 + 1) = 0
x1 = 0 x2 = 3
c) (x + 4)2(x2 + 1) = 0
x = −4
Escribe una ecuación que tenga como soluciones: x = 3, x = 2 y x = −7.¿Cuál es el mínimo grado que puede tener?
Respuesta abierta.
(x − 3)(x − 2)(x + 7) = 0
El mínimo grado que puede tener es 3.
Resuelve estos sistemas de ecuaciones.
Escoge el método que consideres más adecuado.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
b) Resolvemos el sistema por reducción:
Sumamos las ecuaciones:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
5p p+ ⋅−
= =21
21
2
5→
− − = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = = −
15 6 315 10 11
16 81
2
p qp q
q q→
5 2 115 10 11
15 6 315 1
3p qp q
p qp
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − = −−
⋅⎯→00 11q =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
63
29 6
1
3
31
32
1
2⋅
−− = − = =
− ⋅= −
yy y x→ →
4 6 06 9 6
3
2
x yx y
xy+ =
− = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
b) 5 215 10
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
111
a) 4 66 9
x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
06
010
009
008
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 125
126
Halla las soluciones de estos sistemas.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
Resolvemos por reducción:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
−2x + 3 = 2 → x =
Resolvemos por reducción:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
5x + 6 ⋅ 8 = 58 → x = 2
Clasifica estos sistemas de ecuaciones, y resuélvelos por el método más adecuado.
Sistema compatible indeterminado: y = 4x − 2.
b) Resolvemos el sistema por reducción:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
Sistema compatible determinado.
p p− = =16
71
23
7→
p qp q
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − = −− =
⋅ −2 1
3 113 6 33 11
3⎯→( )
−− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −7 88
7q q→
a) 8 2 412 3 6
4 2x yx y
y x− =
− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
b) 23
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1112
a) 8 212 3
x yx y
− =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
46
012
5 6 583 4 26
15 18 1743
5x yx y
x y+ =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =⋅⋅
⎯→⎯→ −− + =
=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=15 20 130
38 304 8x y
y y→
b)x y
x y
x−
+−
=
− + + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+5
3
2 1
52
3 2 4 1 36
5
( ) ( )→ 66 58
3 4 26y
x y=
− + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1
2
− + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − =
2 22 5 14
4 12 3
x yx y
y y→
3 2 1 6 4 153 2 6 4
( ) ( )( )
x y x yx y x y
+ − − − =− + + − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→→ − + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 22 5 14
x yx y
b)2
3(2 4(
x y
x y
− + − =
− + + =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
5
3
1
52
1 36) )
a) 3(2 6(43( 2
x y x yx y x y
+ − − − =− + + − + =
⎫⎬⎪⎪⎭
1 156 4
) )) ⎪⎪⎪
011
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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127
Decide de qué tipo son estos sistemas de ecuaciones, y representa gráficamente su solución.
a) Sistema incompatible. b) Sistema compatible determinado.
Expresa en forma de ecuación.
a) La diferencia de dos números es 10.
b) El doble de la suma de dos números es 36.
c) La suma de dos números es igual a su producto.
a) x − y = 10 b) 2(x + y ) = 36 c) x + y = x ⋅ y
La suma de las edades de Fernando y su padre es 40 años. Además, la edad del padrees 7 veces la edad del hijo. ¿Qué edades tienen ambos?
Llamamos x a la edad de Fernando e y a la de su padre.
→ x � 7x � 40 → x � 5, y � 35
Fernando tiene 5 años y su padre, 35 años.
Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada acierto le dan 2 puntos, y por cada fallo le quitan 1 punto. Si la calificación final fue de 8 puntos, ¿cuántos aciertos y fallos tuvo?
Llamamos x al número de aciertos e y al de fallos.
→ x � 10 � y
2(10 � y)� y � 8 → 20 � 2y � y � 8 → y � 4, x � 6
Tuvo 6 aciertos y 4 fallos.
En un hotel de 120 habitaciones hay habitaciones dobles e individuales. Si el número de camas es 195, ¿cuántas habitaciones son de cada tipo?
Llamamos x al número de habitaciones dobles e y al de individuales.
→ x � 120 � y
2(120 � y) + y � 195 → 240 � 2y � y � 195 → y � 45, x � 75
Son 75 habitaciones dobles y 45 Individuales.
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1202 195
017
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
102 8
016
x yy x
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
407
015
014
Y
X1
1
Y
X0,3
0,3
b) 21 1412 81
a ba b
− =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3520
a) 12 98 6
− + = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
20
013
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 127
128
Resuelve estos sistemas.
Resuelve los sistemas.
Resuelve los sistemas.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
Sustituimos en la ecuación:
x1 = 20 − 11 = 9
x2 = 20 − 9 = 11
( )20 202 20 99 0 119
2 2 2 1
2− + = − + = =
=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
y y y yyy
→ →
x yx y
x y2 2 202
2020+ =
+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
b)2
x xyx y
2 2413
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a) x yx y
2 2 20220
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
020
b) x y zx y z
x y z
E− − =+ − =
+ + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 82 3 11
2 3 5⎯⎯⎯→22 2 1
3 3 1
22 8
3 53 5
= −
= −
+ − =+ =−
+ =−
E E
E E E
x y zy z
y z⎯⎯⎯→ 33
2 83 5
4 23 3 2
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ − =+ =−
=
⎫
= −⎯⎯⎯→E E E
x y zy z
z⎬⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
x
y
z
43
611
61
2⎪⎪
a) x y zx y
x y zE E
+ + =− =
+ − =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
23 1
5 7 3 33 3⎯⎯⎯→
++ =
+ + =− =
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
3 1 3
23 1
8 10 9E E
x y zx y
x y ⎯⎯⎯⎯→EE E
x y zx y
x
x
y3 210
23 1
38 19
1
2+
+ + =− =
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
=→ 11
21z =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
b) x y zx y z
x y z
− − =+ − =
+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 82 3 11
2 3 5
a) x y zx y
x y z
+ + =− =
+ − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
23 1
5 7 3 3
019
b) x y zx y zx y z
+ + =+ − =+ + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 02 5 6 03 4 0
⎯⎯⎯⎯→EE E E
E E E
x y zy z
y
2 2 1
3 3 1
2
3
2 03 10 0
5
= −
= −
+ + =− =−⎯⎯⎯⎯→ zz
x y zy zE E E
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =− ==− +
0
2 03 10
3 3 23⎯⎯⎯⎯→
005 0
000z
xyz=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→
a) x yx yx y
E E− =
+ =+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −3
3 2 192 3 16
2 2⎯⎯⎯⎯→33
21
3 3 1
35 105 10
E
E E E
x yyy
x
⎯⎯⎯⎯→= −
− ===
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
52y
b) x y zx y zx y z
+ + =+ − =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 02 5 6 03 4 0
a) x yx yx y
− =+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
33 2 192 3 16
018
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 128
129
b) Resolvemos el sistema por sustitución:
(13 − 2y)2 + (13 − 2y)y = 24 → 2y2 − 39y + 145 = 0 →
Sustituimos en la ecuación:
x1 = 13 − 2 ⋅ 5 = 3 x2 = 13 − 2 ⋅ = −16
Calcula dos números, sabiendo que su suma es 42 y la suma de sus inversos es .
Planteamos el sistema de ecuaciones:
Resolvemos el sistema por sustitución:
72y + 72(42 − y) = 7(42 − y)y → y2 − 42y + 432 = 0 →
x1 = 42 − 18 = 24
x2 = 42 − 24 = 18
Los números pedidos son 18 y 24.
Resuelve la siguiente inecuación:
Razona los pasos realizados para resolverla.
• Resolvemos la ecuación: x − 4 = 3x + 1 → x = −2
• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:x = −4 de (−�, −2) x = 0 de (−2, +�)
• Comprobamos si esos puntos son soluciones:
Si x = −4 → → (−�, −2) es solución.
Si x = 0 → −4 ≥ 1 → (−2, +�) no es solución.
• Comprobamos si el extremo es solución:
Si x = −2 → → x = −2 es solución.
Por tanto, la solución de la inecuación es el intervalo (−�, −2].
Encuentra el error cometido en la resolución de esta inecuación.
2x ≤8x −12
−6x ≤−12 → 6x ≤12 → x ≤2 → (−�, 2)
Al pasar del segundo al tercer paso, se ha multiplicado la ecuación por −1, y se debería haber cambiado el sentido de la desigualdad, por las relaciones de orden que cumplen los números reales.
023
− =−
− ≤ ⋅ − + = −52
24 3 2 1 5( )
− =−
− ≤ ⋅ − + = −64
24 3 4 1 11( )
1
2
1
24 1x x− ≤ +3022
yy
1
2
1824
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x y
x y
x yy x x
+ =
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= −+ =
421 1 7
72
4272 72 7
→yy
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7
72021
29
2
y
y
1
2
529
2
=
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
x xyx y
x y2 24
2 1313 2+ =
+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 129
130
Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
a) x2 −3x + 2 ≤0 f ) (x −3)(x + 4) ≥0b) x2 −3x + 2 ≥0 g) (x + 3)x <4c) x2 −9x >0 h) x2 −30 >xd) x2 −9 <0 i) x2 + x + 3 <0e) x2 + 2 ≤0 j) 4x2 −4x + 1 <0
a) Resolvemos la ecuación: x2 − 3x + 2 = 0 →
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 0 x = 1,5 x = 3
Si x = 0 → 02 − 3 ⋅ 0 + 2 > 0 → (−�, 1) no es solución de la inecuación.
Si x = 1,5 → 1,52 − 3 ⋅ 1,5 + 2 < 0 → (1, 2) es solución de la inecuación.
Si x = 3 → 32 − 3 ⋅ 3 + 2 > 0 → (2, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son también de la inecuación.
Por tanto, la solución es [1, 2].
b) Se deduce del apartado anterior que las soluciones de la inecuación son: (−�, 1] ∪ [2, +�)
c) Resolvemos la ecuación: x2 − 9x = 0 →
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −1 x = 1 x = 10
Si x = −1 → (−1)2 − 9 ⋅ (−1) > 0 → (−�, 0) es solución de la inecuación.
Si x = 1 → 12 − 9 ⋅ 1 < 0 → (0, 9) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 9 ⋅ 10 > 0 → (9, +�) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, 0) ∪ (9, +�).
d) Resolvemos la ecuación: x2 − 9 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 − 9 > 0 → (−�, −3) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 9 < 0 → (−3, 3) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 9 > 0 → (3, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−3, 3).
e) El primer miembro de la inecuación siempre será positivo. Por tanto, la inecuación no tiene solución.
f ) Resolvemos la ecuación: (x − 3)(x + 4) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10 − 3)(−10 + 4) > 0 → (−�, −4) es solución de la inecuación.
Si x = 0 → (0 − 3)(0 + 4) < 0 → (−4, 3) no es solución de la inecuación.
→ xx
1
2
43
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ xx
1
2
33
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
xx
1
2
09
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
xx
1
2
12
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
024
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 130
131
Si x = 10 → (10 − 3)(10 + 4) > 0 → (3, +�) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son también de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, −4] ∪ [3, +�).
g) Resolvemos la ecuación: (x + 3)x = 4
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10 + 3) ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−�, −4) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → (0 − 3) ⋅ 0 − 4 < 0 → (−4, 1) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → (10 − 3) ⋅ 10 + 4 > 0 → (1, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−4, 1).
h) Resolvemos la ecuación: x2 − x − 30 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 −10 − 30 > 0 → (−�, −5) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 0 − 30 < 0 → (−5, 6) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 10 − 30 > 0 → (6, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−5, 6).
i) El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuación no tiene solución.
j) El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuación no tiene solución.
Resuelve estas inecuaciones de grado superior, siguiendo el método utilizado para las inecuaciones de segundo grado.
a) (x −2)(x −3)(x2 −2) ≥0 c) x3 + 2x2 + 3x −6 <0b) x(x −4)(x + 1)(x3 −1) ≤0 d) x4 −5x3 + 4x2 + 9x −9 >0
a) Resolvemos la ecuación: (x − 2)(x − 3)(x2 − 2) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 1,5 x = 2,5 x = 10
Si x = −10 → (−10 − 2)(−10 − 3)((−10)2 − 2) > 0 → es solución.Si x = 0 → (0 − 2)(0 − 3)(02 − 2) < 0 → no es solución.
Si x = 1,5 → (1,5 − 2)(1,5 − 3)(1,52 − 2) > 0 → es solución.Si x = 2,5 → (2,5 − 2)(2,5 − 3)(2,52 − 2) < 0 → (2, 3) no es solución.Si x = 10 → (10 − 2)(10 − 3)(102 − 2) > 0 → (3, +�) es solución.Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .− − ∪ ∪� �, 2 2 2 3( ⎤⎦⎡⎣
⎤⎦ +, [ , )
2 2,( )2 2, −( )
− −�, 2( )
→
x
xxx
1
2
3
4
22
23
= −===
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
025
→ xx
1
2
56
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ xx
1
2
41
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 131
132
b) Resolvemos la ecuación: x(x − 4)(x +1)(x3 − 1) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = −0,5 x = 0,5 x = 2 x = 10
Si x = −10 → −10 ⋅ (−10 − 4)(−10 + 1)((−10)3 − 1) > 0 → (−�, −1) no es solución.
Si x = −0,5 → −0,5 ⋅ (−0,5 − 4)(−0,5 + 1)((−0,5)3 − 1) < 0 → (−1, 0) es solución.
Si x = 0,5 → 0,5 ⋅ (0,5 − 4)(0,5 + 1)(0,53 − 1) > 0 → (0, 1) no es solución.
Si x = 2 → 2 ⋅ (2 − 4)(2 + 1)(23 − 1) < 0 → (1, 4) es solución.
Si x = 10 → 10 ⋅ (10 − 4)(10 + 1)(103 − 1) > 0 → (4, +�) no es solución.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es [−1, 0] ∪ [1, 4].
c) Resolvemos la ecuación: x3 + 2x2 + 3x − 6 = 0 → x = 1
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = 0 x = 10
Si x = 0 → 03 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 − 6 < 0 → (−�, 1) es solución.
Si x = 10 → 103 + 2 ⋅ 102 + 3 ⋅ 10 − 6 > 0 → (1, +�) no es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, 1).
d) Resolvemos la ecuación: x4 − 5x3 + 4x2 + 9x − 9 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 2 x = 2,5 x = 10
Si x = −10 → (−10)4 − 5 ⋅ (−10)3 + 4 ⋅ (−10)2 + 9 ⋅ (−10) − 9 > 0
→ es solución.
Si x = 0 → 04 − 5 ⋅ 03 + 4 ⋅ 02 + 9 ⋅ 0 − 9 < 0 → no es solución.
Si x = 2 → 24 − 5 ⋅ 23 + 4 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 − 9 > 0 → es solución.
Si x = 2,5 → 2,54 − 5 ⋅ 2,53 + 4 ⋅ 2,52 + 9 ⋅ 2,5 − 9 < 0 →no es solución.
Si x = 10 → 104 − 5 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 9 ⋅ 10 − 9 > 0 → (3, +�) es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .− ∪ ∪�,1 13
21
1 13
2
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
, (( , )3 +�
1 13
23
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟,
11 13
2,
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1 13
21
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟,
−�,1 13
2
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
→
x
x
x
x
1
2
3
4
1 13
211 13
23
=−
=
=+
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
xxxx
1
2
3
4
1014
= −===
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 132
133
Representa en el plano la región solución de estas inecuaciones.
a) x + y <0 c) 2x −y >1
b) x −y ≤0 d) y −2 ≥0
a) c)
b) d)
Dibuja las siguientes regiones del plano.
a) Los puntos del plano con abscisa positiva.b) Los puntos del plano con ordenada mayor o igual que cero.
Encuentra una inecuación que tenga cada una de esas regiones como conjuntosolución.
a) x > 0 b) y ≥ 0
Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: (2, +�).
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: .− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
6
11, �
b) 73 1415 8
6
16
11
+ ≥< +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
≥ −
> −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
xx x
x
x→
⎪⎪
a)2x
xxx
+ >− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
>>
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 51 11
26
→
b) 73 14
15 86
+ ≥< +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
xx x
a)2
xx
+ >− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 51 11
028
Y
1
1 X
Y
1
1 X
027
Y
1
1 X
Y
1
1 X
Y
1
1 XX
Y
1
1
026
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 133
134
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones:
Son ciertas para todos los números reales.
Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.
a) b)
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
a) b) Y
2
2 X
Y
2
2 X
b) 4x yx
− ≥<
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02
a) 2 32
x yx y
− + >+ <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 011
031
Y
2
2 X
Y
2
2 X
b) 12 32
x yx y
− ≥− + ≤
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
712
a) 22
x yx y
+ <− + ≥
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
43
030
b) 37 2
Siempre se cum2 46
2 2
2
x x xx x x
+ < ++ ≥ −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→ pplen.
− − − +⎡
⎣⎢⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥⎥
2 22
6
2 22
6,
a) 36 4x x
x x
x2
2
63
3 33
2
3 33
22 22
− <+ ≥
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−< <
+
− −→
66
2 22
6≤ ≤
− +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪x
b) 2 37 2x x x
x x x+ < +
+ ≥ −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 2
2
46
a) 36 4
x xx x
2
2
63
− <+ ≥
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
029
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 134
135
Comprueba si el número indicado en cada apartado es solución de la ecuación.
a) 2(x2 −x −2) + 6(3 −x) −2(x −3) −8 = 0x = −2
b) 2(−x −2)(1 −x) −2(x + 1) = 0
c) (2 + x)5x − (3x −4) + 3(x −1) −x2 + 2(x + 4) = 0
d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) + 11 = 0
a) No, las soluciones son x1 = 2 y x2 = 3.
b) Sí, las soluciones son x1 = − y x2 = .
c) Sí, la solución es x = .
d) No, esta ecuación no tiene solución real.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con denominadores.
No tiene solución real.
x(7x + 12) = 0 → x1 = x2 = 0−12
7
d)( 2)
2 2 5 10 7 12x x x x
x x x x x x2
2 2 2
5 20 0
++
+= + + + = + =→ → 00
x x=− − ± − −
=± −( 5) ( 5)
6
2 4 3 4
2 3
5 23⋅ ⋅
⋅→
c)2 3
2 4 3 3x x x x
x x x x x x−
= −+
− = − − − + =2 2
2 2 2
21
44 5 4 0→ →
x x=− ± − ⋅
= −2 2 4 1 1
2 11
2 ⋅
⋅→
b)3 2 19 3 6 4 192
2 3 60
6
6 6 60
2 2−+
−+ =
−+
−+ =
x x x x x x x x→ → xx x2 1 0+ + =2
xx
x
=− − ± − − −
−
=− −
=
( 3) 4)
4)
3 4 40
2
3 649
82 1
2
) ( (
(
⋅ ⋅
⋅→
−− +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪3 649
8
a) 4 4 32
3
3
4
23
120 8 9 3 23 0
22 2−
+−
+ = − + − + = − −x x
x x x x→ → ++ =40 0
d)( 2)x x x x2
5 20
+ + + =b)3 2 192
2 3 60
2− + − + =x x x x
c)2 3x x x x− = − +2 2
21
4a)
2
3
3
4
23
120
2− + − + =x x
033
−3
2
33
x = 1
2
x = − 3
2
x = 3
032
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 135
136
Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicasy comprueba, al menos, una de las soluciones.
Resuelve las ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula correspondiente.
a) x(x + 3) −2(x2 −4) −8 = 0 b) (2x + 3)2 −8(2x + 1) = 0
a) x(x + 3) − 2(x2 − 4) − 8 = 0
Operamos: −x2 + 3x = 0
Es una ecuación incompleta cuyas soluciones son x1 = 0 y x2 = 3.
b) (2x + 3)2 − 8(2x + 1) = 0
Operamos: 4x2 − 4x + 1 = 0
Factorizamos el primer miembro de la ecuación utilizando las igualdades notables:(2x − 1)2 = 0
La solución es x = .1
2
035
2 1
2 1
5
6
3 1 2 1
3 1
1
2
5
6
1
30
2−− +
−= − + =
⋅
⋅ ⋅
⋅
x x=− − ± − −
=( 2) ( 2)2 4 1 1
2 11
⋅ ⋅
⋅→
c)2
3 2
33 5 6 4 2
2 5
66 1
22 2−
= −−
− = − + − + =x
x
x x
xx x x x x x→ → 00
5 4
5
1 4 5
3
8
15
29
5
19
3
8
150
2 ++
−+ = − + =
⋅
x x x=− ± − −
−=
− ±−
= −13 13 4 60
2
13 37 12 ⋅ ⋅
⋅
( 5)
( 5) 101→ →
22
552x =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
b) 15 5 20 8
5
x
x
xx x x x
22 24 1 4
3
8
150 60 0
++
−+ = + + − + =
−
→
→ xx x2 60 0+ + =13
1 3
3
3 3 1
4
1
6
8
3
10
4
1
60
2−+
++ =
−+ + =
⋅
x x x
x=
− ± − −
−=
− ±−
= −
=
5 5 4 12
2
5 13 4
3
2
2
⋅ ⋅
⋅
(
(
3)
3) 61→ →
33
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
a)3
12 9 3 2 31 1
4
1
60 12 0
22 2 2−
++
+ = − + + + = −x
x
xx x x x x→ → ++ + =5x 12 0
c)2
3 2
3
2 5
6
2− = − −x
x
x x
x
b)4x
x
x2 4 1
3
8
150
+ + − + =
a)31 1
4
1
60
2− + + + =x
x
x
034
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 136
137
La suma de las dos raíces de una ecuación de segundo grado es 4 y su producto es −21.
a) Escribe la ecuación correspondiente.
b) Determina dichas soluciones.
a) x(4 − x) = −21
b) −x2 + 4x + 21 = 0
Las soluciones son −3 y 7.
Calcula k en cada caso.
a) x2 + kx + 25 = 0 tiene una solución.b) x2 −4x + k = 0 no tiene soluciones.c) kx2 + 8x + 5 = 0 tiene dos soluciones.
a) k2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 0 → k = 10
b) (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k < 0 → (4, 8)
c) 82 − 4 ⋅ k ⋅ 5 > 0 →
Resuelve la ecuación de segundo grado utilizando las igualdades notables. Relaciona el resultado con el número de soluciones.
¿Qué valor debe tomar k para que los números indicados sean soluciones de las ecuaciones?
a) 2x2 + 5x + k = 0 b) k(x2 −5x + 1) −6(x + 2) + 4(k −x) −65 = 0
x = −2
b) k[(−2)2 − 5 ⋅ (−2) + 1] − 6 ⋅ ((−2) + 2) + 4 ⋅ (k − (−2)) − 65 = 0 → k = 3
a) 23
25
3
20 12
2
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + + = = −⋅ k k→
x = 3
2
039
Si Tiene dos soluciones.b ac2 4 0− > →
Si Tiene una solución.b ac2 4 0− = →
Si No tiene solución.b ac2 4 0− < →
xb
a
b ac
ax
b b ac
a=
−±
−=
− ± −2
4
4
4
2
2
2
2
→
xb
a
b
a
c
ax
b
a
b
a
c
a+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − + = ± −
2 4 2 4
2 2
2
2
2→
xbx
a
c
ax
bx
a
b
a
b
a
c
a2 2
2
2
2
24 4+ = − + + = −→
ax bx c xbx
a
c
a2 20 0+ + = + + =→
038
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
16
5
037
→ →xxx
=− ± − −
−= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
4 4 4 21
2
37
2
2
⋅ ⋅
⋅
( 1)
1)1
(
036
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 137
138
¿Qué valores deben tomar a y b para que la ecuación ax2 + bx −30 = 0 tengados soluciones, x1 = 5 y x2 = −3?
Sustituimos las dos soluciones en la ecuación y formamos un sistema donde las incógnitas son a y b:
Di, sin resolverlas, cuál es la suma y el producto de las raíces de las siguientesecuaciones, y luego calcúlalas para comprobarlo.
a) x2 + 5x −14 = 0 c) 9x2 + 9x −10 = 0
b) x2 + x = 0 d) 4x2 −4x + 1 = 0
Partimos de una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a y b: (x − a)(x − b) = 0
Después, multiplicamos: x2 − ax − bx + ab = 0 → x2 − (a + b)x + ab = 0
Por tanto, el producto de las raíces es el término independiente y la suma de las raíces es el opuesto al coeficiente del término de primer grado.
a) El producto de las raíces es −14 y la suma es −5.
Las raíces son x1 = −7 y x2 = 2.
b) El producto de las raíces es 0 y la suma es −1.
Las raíces son x1 = −1 y x2 = 0.
c) El producto de las raíces es − y la suma es −1.
Las raíces son x1 = y x2 = .
d) El producto de las raíces es y la suma es 1.
La raíz es x = .
Escribe ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones sean:
a) x1 = −4 y x2 = 2 c) x1 = 3 y x2 = −3
b) x1 = 0 y x2 = −7 d) x1 = y x2 =
Respuesta abierta.
a) (x + 4)(x − 2) = 0
b) x(x + 7) = 0
c) (x − 3)(x + 3) = 0
d) x x−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
3
2
1
20
1
2
3
2
042
1
2
1
4
2
3−
5
3
10
9
041
25 59 3
75 15a ba b
a b+ − =− − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+30 030 0
3
5⎯→⎯→
·
·==
− ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=− −
90150240 2
9 2 3
45 15120
3
a ba a
b→→ ⋅ 00 0 4= = −→ b
040
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 138
139
Resuelve las ecuaciones.
x1 = 0 x2 = 2
No tiene solución real.
xxx
=− ± −
=− ± = −
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
8 8 4 1 7
2 1
8 6
2
17
21
2
⋅ ⋅
⋅→
e)2
6 2 8x
x
x
x xx x x x x
+
−−
−
− −= + + − + = + +
4
3
1
60 8 1 0
2
2 2→ → 77 0=
xx
x=
− − ± − − −=
± =
= −( 5) ( 5) ( 12)2 1
2
4 3
2 3
5 13
6
34
3
⋅ ⋅
⋅→
⎧⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
d) 3 3 2x
x
x
x xx x x x x
2
2 2
4
1
2
3
22 2 6 8
−+
−+
=−
− + − + = + − +→
→ 33 5x x2 12 0− − =
x =− − ± − −
=± −( )3 4 1 6
2 1
3 15
2
2( 3) ⋅ ⋅
⋅
c) 2 3− +
−−
−−
= − + + − + = − + =x
x
x
xx x x x x
3
1
9
10 3 9 0 6
2
2 2→ → 00
x x1 27 7= − =
b) 3 33
2
5
10 3 10 0 7 02 2
x
x
xx x x x
+−
−+
= + + − − = − =→ →
a)2
2 4 2x
x
x
xx x x x x
−−
−−+
= − + − + = − =3
1
3
10 3 3 0 0
2
2 2→ →
e)2x
x
x
x x
+−
− −− −
=4
3
1
60
2
d)x
x
x
x x2 4
1
2
3
22
−+ −
+=
−−
c)− +
−− −
−=x
x
x
x
3
1
9
10
2
b)3
2
5
10
x
x
x+− −
+=
a)2x
x
x
x
−−
− −+
=3
1
3
10
2
043
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 139
140
Estas ecuaciones tienen menos de cuatro soluciones. Determínalas.
a) 8x4 + 26x2 + 15 = 0
b) 9x4 + 80x2 −9 = 0
d) 9(1 −x2)(1 + x2) + 80x2 = 0
No tiene solución real.
z2 = −9 → No tiene solución real.
No tiene solución real.
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = → No tiene solución real.
Obtén las soluciones de las ecuaciones.
d)2
39
12
2
xx= −
c) 8xx x
+ =12 203
b) 3 ( 2)x xx2 2
2 2
3− = −
a)2 ( 7
2
x x x
x
3
2 126
−−
=)
045
−1
9
zz
z=
− ± − −
−=
− ±−
=
= −80 80 4 9
2
80 82
18
92 1
2
⋅ ⋅
⋅
( 9)
( 9)→ 11
9
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
d) 9(1 )(1 80 9 80− + + = − + + ==
x x x x xz x2 2 2 4 20 9 0
2
) → ⎯⎯→ −− + + =9 80z z2 9 0
z =− − ± − −
=± −( 5) ( 5)
6
2 4 6 2
2
5 23
12
⋅ ⋅
⋅
c) 6 5 6 565 2
0 2 0 2 02 4
4 2 22
− + = − + = − + ==
x xx x z z
z x→ ⎯⎯→
z x x1 1 211
3
1
3= = − =→
z z
z=
− ± − −=
− ± =
= −
⎧⎨
80 80 4 9
2 9
80 82
18
1
99
21
2
⋅ ⋅
⋅
( 9)→
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
b) 9 80 9 80x x z zz x4 2 29 0 9 0
2
+ − = + − ==⎯⎯→
zz
z=
− ± −=
− ± = −
= −
⎧
⎨26 26 4 8 15
2 8
26 14
16
3
45
2
2 1
2
⋅ ⋅
⋅→
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
a) 8 26 8 26x x z zz x4 2 215 0 15 0
2
+ + = + + ==⎯⎯→
c) 65 2
02 4
− + =x x
044
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 140
141
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = 4 → x3 = −2 x4 = 2
z1 = 1 → x1 = −1 x2 = 1
z2 = → No tiene solución real.
No tiene solución real.
Completa las siguientes ecuaciones escribiendo un número en el segundo miembro,de manera que tengan estas soluciones.
b)4
1 1
5
13
12
1
x x x+
+= −
a) x x+ − + = −7 2 4 1 3
b)4
4
1 1
5
1
x x xx
++
= −
=
a) 4x x
x
+ − + ==
7 2 12
046
z =− − ± − −
=± −( ) ( )2 2 4 6 9
2 6
2 212
12
2 ⋅ ⋅
⋅
d)9
21 3 6 2 9 0 6 2 9 0
2
2 4 2 22
xx x x z zz x= − − + = − + ==→ ⎯⎯→
−5
2
zz
z=
− ± − −=
− ± =
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪
3 3 4 2 5
2 2
3 7
4
15
2
2 1
2
⋅ ⋅
⋅
( )→
⎪⎪⎪
c) 8 2xx x
x x z zz x+ = + − = + − ==12 203 5 0 2 3 5 0
3
4 2 22
→ ⎯⎯→
z x x2 3 41
9
1
3
1
3= = − =→
z x x1 12= = − =→ 2 22
zz
z=
− − ± − −=
± =
=
⎧( 19) ( 19)2 1
2
4 9 2
2 9
19 17
18
21
9
⋅ ⋅
⋅→ ⎨⎨
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
b) 3 2) 9 19x xx
x x zz x2 22
4 2 22
39 19 2 0
2
( − =−
− + = −=→ ⎯⎯→ zz + =2 0
zzz
=− − ± − −
=± =
=⎧⎨⎪( 13) ( 13)2
1
2
4 1 36
2 1
13 5
2
94
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
a)2 ( 7 )
213 1
x x x
xx x z
z x3
2
4 2 2
126 36 0
2−
−= − + = −
=→ ⎯⎯→ 33z + =36 0
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 141
142
Resuelve y comprueba las soluciones.
Estas ecuaciones tienen cero, una o dos soluciones. Determínalas.
a) No tiene solución.
b) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 = 6
c) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 = −4
d) Tiene una solución: x = 4
e) No tiene solución.
c) 3x x x2 8 0+ − + =
e) 2x x− − − + =2 5 1 0b) 3x x− − − =2 2 2
d)3
1
5
3+= −
x
xa) 42 1 3 3 5 0x x+ − − − =
048
x = + − − − = − − =7 7 2 7 6 2 3 1 2 0→
d) x x x x x x+ − − − = + = − + − + = −2 6 2 0 2 6 4 6 4 1 6→ →
x =−
−=
−3
2 3 2
3 5
2
21→
⋅�
x =−
−= =9
2 9 2
9 5
4
41→
⋅
xxx
=− − ± − −
=± =
=⎧⎨⎪( ) ( )12 12 4 1 27
2 1
12 6
2
93
21
2
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
c)2 2
51 12 27 02x
xx x
−−
= − + =→
x = + − + = +0 2 3 0 1 2 0 2 2 1 2 0→ ⋅ ⋅ ⋅ �
x = + − + = − + =5 2 3 5 1 2 5 2 2 4 10 2 0→ ⋅ ⋅ ⋅
b) 2 3 1 2 2 0 4 20 02x x x x+ − + = − =→
x = + +11 11 2 11 3 6→ ⋅ �
x = + + =3 3 2 3 3 6→ ⋅
xxx
=− − ± − −
=± =
=⎧⎨
( ) ( )14 14 4 1 33
2 1
14 8
2
311
21
2
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
a) x x x x x x x+ + = + = − + − + =2 3 6 2 3 12 36 14 33 02 2→ →
d) x x+ − − − =2 6 2 0b) 3 22 1 2 0x x+ − + =
c)2x
x
−−
=2
51a) 2x x+ + =3 6
047
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 142
143
Las ecuaciones tienen tres soluciones. Dada una solución, calcula las otras dos soluciones.
a) (x + 3)(x2 −2x −3) = 0 b) (2a −1)(4a2 + 20a + 25) = 0x = −3
a) Resolvemos la ecuación x2 − 2x − 3 = 0:
b) Resolvemos la ecuación 4a2 + 20a + 25 = 0:
Halla la solución de estas ecuaciones.
a) x3 + 4x2 + x −6 = 0 c) x2(x2 + 1) + 2x3 + 36 = 12x(x + 1)
b) x2(x + 6) = 32 d) 2x3 −5x2 −14x + 8 = 0
x1 = −3 x2 = −2 x3 = 1
x1 = −4 x2 = 2
x1 = −3 x2 = 2
12
12
13
13
1
224263330
1183
12990
126
181
−
−
−
−
−
−
−
−−
−880
3636
0−
c) x x x x x x x x x2 2 3 4 3 21 2 36 12 1 2 11 12( ) ( )+ + + = + + − − +→ 336 0=
12
14
14
1
6284440
0161616
0
3232
0−
−
−
−
−
−b) x x x x2 3 26 32 6 32 0( )+ = + − =→
a) 11
12
13
1
4152330
15660
660
−
−
−
−
−
−
050
a a=− ± −
= =20 20 4 4 25
2 4
20
8
5
2
2 ⋅ ⋅
⋅→
xxx
=− − ± − − −
=± = −
=⎧⎨⎪( ) ( ) ( )2 2 4 1 3
2 1
2 4
2
13
21
2
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
a = 1
2
049
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 143
144
x1 = x2 = −2 x3 = 4
Escribe ecuaciones factorizadas que tengan las soluciones y el grado indicados.
a) Grado 3 y soluciones 5, −2 y 7. b) Grado 4 y soluciones 1, −3 y −4.
Respuesta abierta.
a) (x + 2)(x − 5)(x − 7) = 0 b) (x − 1)2(x + 3)(x + 4) = 0
Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a) 6x3 −7x2 −x + 2 = 0
b) 4x3(x −3) + 2x2 + 30(x + 1) = 23x(x −1)
c) x4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0
Resolvemos la ecuación 6x2 − x − 2 = 0:
Resolvemos la ecuación 4x2 − 8x − 5 = 0:
x x x x1 2 3 41
22
5
23= − = − = =
xx
x=
− − ± − − −=
± = −
=
( ) ( ) ( )8 8 4 4 5
2 4
8 12
8
1
25
2
2 1
2
⋅ ⋅
⋅→
⎧⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
4 12 212 8 40
4 20 193 12 24
4 8 5
533815150
30− −− −
−−
− −
−
−
−−300
b) 4 3 2 30 1 23 1 4 12 213 2 4 3x x x x x x x x( ) ( ) ( )− + + + = − − −→ xx x2 53 30 0+ + =
x x x1 2 31
2
2
31= − = =
xx
x=
− − ± − − −=
± = −
=
( ) ( ) ( )1 1 4 6 2
2 6
1 7
12
1
22
3
2 1
2
⋅ ⋅
⋅→
⎧⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
a) 6 7 1 21 6 1 2
6 1 2 0
− −− −
− −
052
051
1
2
2 1 0
1
2
x
x
− =
=
d) 2 52 4
2 94 8
2 1
1418
440
880
−− −
−
−
−
−
−
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 144
145
c) x4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0 → x(x3 + 3x2 − 11x + 2) = 0
Resolvemos la ecuación x2 + 5x − 1 = 0:
Resuelve estas ecuaciones.
x x x1 2 341
42= − = =
4 1 0
1
4
x
x
− =
=
4 7 342 8 30
4 15 44 16 4
4 1 0
880
−
−− −
−
−
b) 3 47 6 17 4
4 7 342 3 2xx
x
xx x x+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−+ − +
( ) → 88 0=
x x x1 2 32 13
2= − = − =
2 3 0
3
2
x
x
− =
=
21
22
2
32143
51660
660
−
−
−
−−
−−−
−
a)x x
xx
x x x x3 2
3 2
3
1
61 2 3 5 6 0
++
+= + + − − =→
c)x
x x2
167 1 0( )+ + + =
e)2 4x x x
x
2
2
2
13
( )− ++
=b) 317
xx
x
x2 4
7 6 4+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −( )
d)3
1
2
1
1 5
2x x x++
−− =a)
x xx
xx
3 2
3
1
61
+ + + = +
053
x x x x1 2 3 45 29
2
5 29
20 2=
− −=
− += =
x =− ± − −
=− ±5 5 4 1 1
2 1
5 29
2
2 ⋅ ⋅
⋅
( )
1 3 112 2 10
1 5 1
220
−
−−
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 145
146
Resolvemos la ecuación x2 + 3x + 4 = 0:
x = −4
Resolvemos la ecuación −5x2 − 2x − 1 = 0:
x = 2
Resolvemos la ecuación 2x2 − x + 1 = 0:
x = 3
Del sistema de ecuaciones se sabe que x = −1 forma parte de su solución.Determina el valor de y.
− + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=25
x yx y
y2
2 20→
3(2 1) 6(43( 2
x y x yx y x y
+ − − − =− + + − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
))
156 4
054
x =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± −( ) ( )1 1 4 2 1
2 2
1 7
4
2
→ No tiene soluciónn real.
2 7 43 6 3
2 1 1
330
−−
−
−
e)2 2 4
13 2 7 4 3 0
2
2
3 2x x x
xx x x
( )− ++
= − + − =→
x =− − ± − − ⋅ − ⋅ −
⋅ −=
± −−
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 4 5 1
2 5
2 16
10
2
→ No ttiene solución real.
−− −
− − −−
5 8 32 10 4
5 2 1
220
d)3
1
2
1
1 5
25 8 3 2 03 2
x x xx x x
++
−− = − + + + =→
x =− ± − ⋅ ⋅
⋅=
− ± −3 3 4 1 4
2 1
3 7
2
2
→ No tiene solución real..
1 7 164 4 12
1 3 4
16160
− − − −
c)x
x x x x x2
3 2
167 1 0 7 16 16 0( )+ + + = + + + =→
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 146
147
Resuelve los siguientes sistemas.
Sistema compatible indeterminado.
Sistema incompatible.
Dada la ecuación 2x −5y = 14, encuentra otra ecuación para que juntas formenun sistema de dos ecuaciones que:
a) Tenga una sola solución. c) Tenga infinitas soluciones.
b) No tenga soluciones.
Respuesta abierta.
a) 3x − 7y = 1 b) 2x − 5y = 0 c) 4x − 10y = 28
Halla, si es posible, un valor de a para que el sistema:
a) Sea incompatible.
b) Sea compatible indeterminado.
c) Sea compatible determinado.
a) No es posible. b) a = 6 c) a � 6
Encuentra, si es posible, un valor de b para que el sistema:
a) Sea incompatible.
b) Sea compatible indeterminado.
c) Sea compatible determinado.
El sistema es siempre compatible determinado.
8
4
12
9�
−
8 124 9
x yx y b
− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
20
058
6
9
4
6 36 6−
=−
= =a
a a→
6 4 129 18
x yx ay
− =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
057
056
b) 6 2 3 3 2 3 7 03 6 2
( ) ( )( ) ( )
x y x y xx y x y y
− − − + − + + =− − − + ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪0
15 215 0
→ x yx y
a) − + + − − =+ − + − + =
2 4 3 3 2 1 125 4 1 2 10 0
( ) ( )( ) ( )
x yx y x y
⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= − −→ →2 6 123 6 0
3 6x yx y
x y
b) ( 2 3) 3(2 3)3( 6 ) 2(
6 7 0x y x y xx y x y y
− − − + − + + =− − − +) ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪0
a) 22
− + + − − =+ − + − + =
2 4 3 3 1 125 4 1 10 0
( ) ( )( ) ( )
x yx y x y
⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
055
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 147
148
Resuelve los siguientes sistemas con tres ecuaciones y dos incógnitas, y representa las soluciones.
x = 1 y = −3
Las soluciones de las dos primeras ecuaciones son x = 3 e y = 4, que no verifican la tercera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.
x = 1 y = −2
Las soluciones de la segunda y tercera ecuaciones son x = e y = 6,
que no verifican la primera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.
Simplifica estos sistemas de ecuaciones, y utiliza el método de Gauss para obtener su solución.
b) 5 2 115 10 11
52 2 13
p qp q
pE E E
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+= −
⎯⎯⎯⎯→22 1
16 8
2
51
2
p
q
=− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→
a) 4 6 06 9 6
4 62 2 12 3
x yx y
xE E E
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+= −
⎯⎯⎯⎯→yyy
x
y
=− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
036 12
1
21
3
→
d)x y
x y
− + − =
− + + =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
53
2 15
2
24
13
3
b) 5 2 115 10 11
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
c)3
3 2 1 6 4 152 6 4
( ) ( )x y x yx y x y+ − − − =
− + + − + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a) 4 6 06 9 6
x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
060
10
3
d) − + =− =− = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
4 2 06 3 23 2 2
x yx yx y
c) 2 03 2 1
3 7
4 2 02x yx yx y
x y+ =
− − =− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ =−
⋅⎯→33 2 1
1 4 1 2 0 2x y
x y y− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= ⋅ + = = −→ → →
b) x yx yx y
+ =− =− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
72 23 2 0
a) 2 14
4 1
44
x yx yx y
x y+ = −
− + = −− − = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
− + = −−
→xx y
x y y− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= − + = − = −1
1 1 4 3→ → →
d) 4 26 33 2
− + =− =− = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
x yx yx y
02
2
b)23 2
x yx yx y
+ =− =− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
720
c) 23 2
3
x yx yx y
+ =− − =
− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
017
a) 2
4
x yx yx y
+ = −− + = −
− − = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
141
059
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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149
Resuelve estos sistemas de ecuaciones, aplicando el método de Gauss.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado.
d) 6 2 3 5 2 3 1 3 6
163
1
( ) ( )x y x yy
x
+ − − − + − + =
=−
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=−→ →16 3 16
16 3 1616 16
3
x yx y
yx
c) − + − − − + = −+ − − + = −
( ) ( )( ) ( )
2 3 2 6 1 154 3 12 3
x y x yx x y 332
8 3 118 12 8
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + = −− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→
⎯⎯⎯⎯→
x yx y
EE E Ex y
y
x
y2 2 1
8 3 119 3
3213
= − − + = −=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=
=
⎧
⎨
⎪⎪→
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
b)x y
x y x y
+−
−=
− +−
+ −=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
3
9
5
80
2 1
2
2 3
50
→→ →8 24 9 45 010 5 5 2 4 6 0
8x yx y x y
x+ − + =− + − − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−− =−− =−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− == −
9 698 9 11
8 92 2 1
yx y
x yE E E
⎯⎯⎯⎯→−−
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
690 58
a)2 3
3
1
53
5
2
2 1
30
10x y
x yx
++
+=
−−
−=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→ ++ + + =− − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =15 3 3 453 15 4 2 0
10 3 273
yx y
x yx
→−− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =−
= −
4 13
10 3 27492 2 110 3
y
x yy
E E E⎯⎯⎯⎯→ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪49
31
→ xy
d) 2 2 33
6 3 5 1 3 6
161
( ) ( )x y x yy
x
+ − − − + − + =
=−
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
b)x y
x y x y
+ − − =
− + − + − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
3
9
5
80
2 1
2
2 3
50
c) − + − − − + = −+ − − + = −
( ) ( )( ) ( )
2 3 2 6 1 154 3 12 3
x y x yx x y 332
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a)2
2
x y
x y
+ + + =
− − − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
3
3
1
53
5
2
1
30
061
d)x y
x yx
−+
−=
−+
+=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
−5
3
2 1
52
2
4
1
33
5 2→ 55 6 3 306 3 4 4 36
5 6 583 4
+ − =− + + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =− +
yx y
x yx
→yy
x yy
E E E
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ ==
⎫= +
26
5 6 5838 3042 2 15 3
⎯⎯⎯⎯→ ⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
xy
28
c) 3 2 1 6 4 153 2 6 4
( ) ( )x y x yx y x y+ − − − =
− + + − + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→→ − + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=18 9 182 2
2x yx y
y x
4SOLUCIONARIO
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