MATEMÁTICA · MATEMÁTICA 2.° SECUNDARIA CABA #EducandoGeneraciones CC 61075385 ISBN...

PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA2.° SECUNDARIA CABA

#EducandoGeneracionesCC 61075385ISBN 978-950-13-2594-2

III

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

Capítulo3

• Razones y proporciones aritméticas.

• Cálculo de extremos y medios.

• Teorema de Thales.

• División proporcional de un segmento.

• Semejanza de triángulos.

• Consecuencia del teorema de Thales.

• Criterios de semejanza de triángulos.

• Propiedades de las bisectrices de los ángulos

de un triángulo.

• Razones trigonométricas.

• Resolución de triángulos rectángulos.

• Aplicaciones prácticas de las razones

trigonométricas.

Razones y proporciones geométricas


Teoría

Razones y proporciones aritméticas

Hallar el valor de x en cada razón.

Colocar o según corresponda.

Unir cada razón con el intervalo al que pertenece.

a) 0,112

15

b) 14

3 12

19

c) 65

3 5

0, 4

d) 1

2 2

2

e) 4,50,3

32

0,1

f) 2 395

6,6

2 3

a) x 72

5+ =

b) 4x 2

1−=

c) 2x 15

3− =

d) x 154

x+ =

e) 3x 8x

2+ =

f) x 1x 3

5−+=

3

2

1

– Una razón (r) es la expresión del cociente entre dos números reales:

– Una proporción es una igualdad entre dos razones:

• Si los números a, b, c y d son distintos, la proporción es ordinaria, y cada uno de ellos se denomina extremo.

• Si hay dos extremos iguales, se denominan medios, y la proporción es continua.

a) 432

0,8310

⋅ = ⋅4 310

0,8 32

1,2 1,2

b) −

= −53

0,16

925

( )− =− ⋅0,1 . 6 53

925

0,6 0,6

a) 352

2203

= ⋅2 . 2 35

203

4 4

b) − =−

0,51,5

160,5

( )− − = ⋅0,5 . 0,5 1,5 16

0,25 0,25

a) 7,82

3,9 b) − =−0,364

0,09 c) −=−

346

0,125 d) −

−=1,2

53

0,72

{ }= ∧ ∈ ∧ ∈R−r ab

a b∈R ∧

ab

cd

a . d b . c

25

0,8

23

0, 5

− π2

0,834

45

0,5

0,213

2 ; 1

1 ; 0

0 ; 1

1 ; 2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

46


Teoría

Cálculo de extremos y medios

Calcular y completar la tabla de manera que se verifique la proporción azul.

Calcular el valor de x en las siguientes proporciones.

4

5

– Para calcular el extremo de una proporción ordinaria, se aplica la propiedad fundamental de las proporciones.

– Para calcular los medios de una proporción continua, se aplica la propiedad del módulo.

a) −

=x12

34

= −x 12 . 34

=−x 9 b) +=−

10x 3

52

( )

+ =−

x 310 . 2

5 + =−x 3 4 =−x 7

a) 5x

x20

x 5 . 202 x 100 =±x 10 ==−

x 10x 10

1

2

b) − =−

x 43

27x 4

( )− =x 4 3 . 272 − =x 4 81 − =

− =−x 4 9x 4 9

==−

x 13x 5

1

2

Armar una proporción continua con los números 0, 3 ; 0, 06 y 1, 6 .

a) − = −x 10, 4

7,53

b) x 35

x 32

+ = −

c) 3x 2x 4

23

+−

=

d) x 2x 1

x 3x 4

+−= +−

e) 3x4

0,273x

f) 6x 2

x 254+

= +

Desafío

6

AB

CD

A . D B . C A B . CD

AB

BC

B A . C2 B A . C

R P M N

24 15 18

0,5 0,6 0,75

6 3 24

3 15 5

RP

MN

=

47


Teoría

Teorema de Thales

Completar con el segmento que corresponda en cada caso.

Hallar la longitud del segmento ab en cada figura.

Calcular la longitud del segmento azul y del verde de cada figura.

a) =assc

b) =ep

br

c) =smpr

d) =cm

rb

e) =ersm

f) =sc

rp

a) b)

a) b)

7

8

9

Cuando tres o más rectas paralelas (A, B, C y D) son cortadas por dos transversales (E y F), quedan determinados en ambas transversales varios segmentos ( nr , rp , gm , ms , etc.).

Los segmentos homólogos son los que se encuentran entre dos paralelas y uno en cada transversal. Por ejemplo: nr y gm son homólogos, y también lo son ro y ms .

La razón entre cualquier par de segmentos determinados en una de las transversales es igual a la razón de sus homólogos.

nrrp

gmmq

rppo

mqqs

ronp

msgq

noro

gsms

= ∧g

= ∧q

= ∧ms =

Los segmentos homólogos son proporcionales entre sí.

B

A

C

E

D

F

o

p

q

r

s

m

n

g

A B C D

C D E F

as

cm

rebp

A

B

C D E F

A B C

30 cm20 cm

16 cm ba

m

s p rCBA R S

35 cm32 cm

28 cm

o

d

a c

b

R S

A R T

5 cm

7 cm

A

R

T

2x 1 cmx 5 cm

M S T

3 cm 5

cm

x 2

cm x 4

cm

M

S

T

48


Teoría

División proporcional de un segmento

Hallar gráficamente.

a) El punto r, para que or 34

op . b) El punto m, para que smmr

23

.

a) El cuarto proporcional de los tres segmentos. b) El tercero proporcional de los tres segmentos.

10

– En partes iguales.

– En dos partes cuya razón se conoce.

Para dividir un segmento en una cierta cantidad de partes iguales, se aplica el teorema de Thales.Por ejemplo, para dividir el segmento ab en 3 partes iguales:

El segmento ab queda dividido en los segmentos ap, ps y sb y, al aplicar el teorema de Thales,

resulta que ammr

apps

mrrt

pssb

= ∧p

= , por lo tanto, como am mr rtmr , entonces, ap ps sbps .

• Se traza desde el extremo del segmento una semirrecta y se marcan en ella, utilizando el compás, 3 segmentos iguales ( )am mr rtmr .

• Se une el último punto t en la semirrecta con el otro extremo b del segmento. Luego, por los puntos m y r, se trazan las rectas A y B, paralelas al segmento tb .

Para dividir el segmento ab en dos partes cuya razón sea, por ejemplo, 3

4,

se procede de la siguiente manera:

r

t

m

a b p

r

s

t

m

a b

B

A

A B ammb

34

ma bB A

7 segmentos iguales

3 segmentos iguales4 segmentos iguales

Hallar gráficamente.

Desafío

11

o

p s

r

49


Repaso

Hallar dos valores de a y b para cada razón.

Armar una proporción ordinaria y una continua con algunos de los siguientes números.

Calcular el extremo desconocido en cada proporción.

Unir cada proporción continua con el valor de sus medios.

Hallar el valor de x en cada proporción.

a) ab

0,8 b) = −ab

1,6 c) ab

2 d) = −ab

0, 5 3

a) −

=�

35

0,21

10

b) −

= −�7

3 1, 53

c) −−

=−

6

2 48d) −

= −94

12

3

a) −

= −− +

14

x 25

0,20,8 1

b) +−=

−

x 2x 3

29

1 0,5

c) ( )−

=−

−23

2x 12

2x 12

19

2

d)

( )+= −

⋅ −−

0, 4x 2

x 2

14

13

3

12

13

14

15

16

19

16

34

12

13

a)

b)

c)

d)

e)

x5

10x

8x

x4

x5

1x

7x

x28

x6

12x

±x 4= ± 2

±x 5= ±

±x 2= ± 5

±x 5= ± 2

±x 6= ± 2

±x 1= ± 4

50


Plantear y calcular el par de números que cumplen con las siguientes condiciones.

R A F y tm 24 cm

Calcular la longitud de mr y rt .

Hallar la longitud de los segmentos de color en las siguientes figuras.

Dividir gráficamente cada segmento.

a) Su razón es un tercio y su suma, veinte. b) Su diferencia es doce y su razón es dos quintos.

a) En cinco partes iguales. b) En dos partes cuya razón sea un tercio.

a)

or 9 cm

mr 12 cm

ph x 3 cm

sp x 1cm

=== += +

b)

ac 10 cm

ce 6 cm

df x 1cm

bd 2x 1cm

=== += −

c)

ao 2x 4 cm

oc 12 cm

od 4x 1cm

ob 18 cm

= +== +=

d)

= += −= += +

ig x 1cm

ni x 1cm

po x 5 cm

rp x 2 cm

17

18

19

20

o

ps

m

12 cm 20 cm

FAR

m r t

A B C

A

B

C

so

r

m h

p

M S T

M S Ta c e

b d f

D E F

D

E

F

g

i

n

o

p

r

P Q

P

Qb

o

d

ca

51


Teoría

Semejanza de triángulos

Unir pares de triángulos semejantes.

Hallar el valor de x e y para que cada par de triángulos sea semejante.

21

22

Dos triángulos son semejantes cuando tienen todos sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

acmr

12cm30cm

25

abmp

8cm20cm

25

bcpr

10cm25cm

25

= = ∧ = = ∧ = = acmr

abmp

bcpr

≈abc mpr

a b p c r= ∧m ∧p∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

30°

12 cm

10 cm

A

70°

30°

B

12 cm

9 c

m

C

80°

30° D

70°

E

30°60°

F

8 cm

6 cm

G

30°18 cm

15 cmH

60°

N

a) b)

80°

40°60°

20 cm

30 cm

25 cm

mr

p

80°

40°60°8 cm

12 cm

10 cm

a

b

c

70°

50°

60°

70°

2x 3 cm

3x 2 cm

18 c

m

21 cm

y

24 cm

y

40°

x 2

cm

x 1 cm

x 6 cm

x 2 cm

52


a)

====

sp mo

sp 9 cm

mo 12 cm

mr 20 cm

or 16 cm

b)

===

ae cg

ag 44 cm

ab 20 cm

cg 18 cm

Teoría

Consecuencia del teorema de Thales

Escribir todos los triángulos semejantes que hay en cada figura.

Calcular el perímetro de los triángulos de color.

Trazar una recta que determine un triángulo semejante al verde y cuyos lados sean sus dos terceras

partes.

23

24

25

Toda recta paralela a cualquier lado de un triángulo determina dos triángulos semejantes. Los ángulos interiores de los pares de triángulos determinados son iguales por las propiedades de los ángulos entre paralelas.

mpop

rpsp

mros

≈mrp osp aead

abac

ebdc

≈abe adc gtrt

tpot

gpor

≈gtp ort

a) b)

Desafío

A mr

A

m r

so

p

B eb

B

a

eb

cd

C gp

Cor

t

gp

ae bf cg

a

e

b

f

c

g

d rp mo tv

r

p

s

m

t

vo

mo

ps

ra

e

b

c

g

53


Teoría

Criterios de semejanza de triángulos

Indicar si cada par de triángulos es semejante y explicar qué criterio lo justifica.

Colocar V (verdadero) o F (falso).

26

27

Existen tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de conocer todos sus ángulos y lados.

a) c) e)

b) d) f)

a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.

b) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes entre sí.

c) La diagonal de cualquier cuadrilátero determina dos triángulos semejantes.

d) La base media de un triángulo determina dos triángulos semejantes.

Lado – lado – lado (LLL)Si tienen sus lados homólogos

proporcionales, son semejantes.

Lado – ángulo – lado (LAL)Si tienen dos lados

proporcionales y el ángulo comprendido igual,

son semejantes.

Ángulo - ángulo (AA)Si tienen dos

ángulos iguales, son semejantes.

a

b

c

a'

b'

c'

a'b'ab

a'c'ac

c'b'cb

abc a'b'c' abc a'b'c'

a'b'ab

a'c'ac

α∧ β

∧α

∧ β

∧ δ

∧ γ

∧

abc a'b'c'

a

b c

a'

b' c'

a

b

c b'

a'c'

o

p

a

b

4 cm6 cm

9 cm

o

r

s

t

m

ot ms

o

p

q

r

op rq o

p

r s

n

on rs

pr ns

54


a) b) c)

Teoría

Propiedades de las bisectrices de los ángulos de un triángulo

Pensar y responder.

¿En qué tipo de triángulos y en cuál de sus ángulos es imposible aplicar la propiedad de la bisectriz del

ángulo exterior?

Hallar el perímetro de los siguientes triángulos.

a) ar bisectriz de a∧

= += −

br 2x 1cm

rc 3x 1cm

b) os bisectriz exterior de o∧

= += +

ms 5x 3 cm

mr x 2 cm

Decidir si la semirrecta om es la bisectriz interior o exterior de o∧

en cada triángulo.

30

29

28

• La bisectriz de cualquiera de los ángulos interiores de un triángulo determina sobre el lado opuesto dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.

Desafío

• Si la bisectriz de cualquiera de los ángulos exteriores de un triángulo corta la recta que contiene al lado opuesto, el punto de intersección forma con los extremos de este, segmentos proporcionales a los otros dos lados.

am bisectriz de a∧

abbm

accm

br bisectriz del exterior a b∧

abar

bccr

m

a

b

c

ra

b

c

3,75

cm

2,4 cm

1,6 cm2,5 cm

o

m

3,2

cm

0,2 cm0,75 cm

1,2 cm

o

m 3,6

cm

2,4 cm

1,6 cm3,2 cm

o

m

24 cm

18 cm

a

b

c

r

12

cm

15 cm

sm r

o

55


Repaso

a) b) c)Indicar si los pares de triángulos son o no semejantes.

Hallar el perímetro de cada uno de los siguientes triángulos.

Calcular la longitud de cada segmento.

a)

≈= +=== +

mp 4x 2 cm

mr 18 cm

gt 15 cm

ft 3x 4 cm

mrp gtf b)

= += −= −= +

ac bd

ao x 8 cm

bd x 3 cm

ob x 2 cm

ac x 5 cm

31

32

33

18 cm 8 cm

12

cm

8 cm

6 cm

10 cm

15 cm

9 c

m

12 cm

a) La longitud de bo y of .

ab eo 6 cm

oc 9 cm

de 5 cm

b) La longitud de op , tp y pr .

tr 25 cm

ps 18 cm

mr 5 cm

ms 6 cm

pm bisectriz de p∧

.

o

p

r

m or mp

RM

H

P

T

o

a

b

cde

f

o

p

r

s

t

m

40°

m

rp

50°

f

g t a

c

o

b

d

rs ot

56


a

b

c

x −

1 c

mx

+ 1

cm

12 cm

20 cm

n

Hallar la longitud del segmento azul en cada figura.

Hallar el perímetro de cada uno de los siguientes triángulos.

34

35

a) cn bisectriz de c∧

b) ao bisectriz del exterior a a∧

n

a

b

c

4,5 cm

6 cm

7,4 cm

o

a

b

c

5,5 cm

3 cm

4,5 cm

a) cn bisectriz de c∧

c) br bisectriz de b∧

b) ao bisectriz del exterior a a∧

d) mp bisectriz del exterior a m∧

o

r

n

a

x + 4 cm

20 cm

2x +

2 c

m

12 cm

pt

m

g5x9x + 7 cm

42 cm

28

cm

o

p

b

x − 3 cm

x − 6 cm

x − 2 cm

x + 2 cm

r

57


Teoría

Razones trigonométricas

Completar y calcular el valor de las siguientes razones trigonométricas.

Completar con los datos que correspondan en cada caso.

37

36

En cualquier triángulo rectángulo, se verifica que:

• α∧ + β∧ = 90° Relación entre sus ángulos agudos

• A2 = B2 + C2 Relación entre sus lados

Respecto de α∧: C es el cateto opuesto y B el cateto adyacente.

Respecto de β∧: B es el cateto opuesto y C el cateto adyacente.

Respecto de ambos ángulos, A siempre es la hipotenusa.

a) sen α∧

b) sen β∧

c) cos α∧

d) cos β∧

e) tg α∧

f) tg β∧

a) b)

Las razones trigonométricas relacionan la amplitud de los ángulos agudos con la longitud de los lados.Se definen de la siguiente manera:

• Seno de un ángulo agudo: cateto opuestott

hipotenusa sen α

∧ C

A sen β

∧ B

A

• Coseno de un ángulo agudo: cateto adyacentett

hipotenusa cos α

∧ B

A cos

β

∧ C

A

• Tangente de un ángulo agudo: cateto opuestott

cateto adyacentett tg α

∧ C

B tg β

∧ B

C

sen φ∧

sen δ∧

cos φ∧

cos δ∧

tg φ∧

tg δ∧

sen M sen G

cos M cos G

tg G tg G

AB

C

D

E

F

M

H

G

12 cm

13

cm

5 cm

58


a) b) c)

Teoría

Cálculo de un ángulo agudo, conocidos dos lados

Cuando se conoce la longitud de, por lo menos, dos lados de un triángulo rectángulo, se puede hallar la amplitud de sus ángulos agudos utilizando las razones trigonométricas y la calculadora científica.

a) Para calcular α∧: cos α

∧ 5 cm

7 cm α

∧ arc cos 5

7 α

∧ 44° 24' 55"

Para calcular β∧: sen β

∧ 5 cm

7 cm β

∧ arc sen 5

7

β

∧ 45° 35' 5"

b) Para calcular α∧: tg α

∧ 11 cm

6 cm α

∧ arc tg 11

6 α

∧ 61° 23' 22"

Para calcular β∧: tg β

∧ 6 cm

11 cm β

∧ arc tg 6

11 β

∧ 28° 36' 38"

Hallar el valor de x en cada uno de los siguientes triángulos.38a) b) c)

En un triángulo rectángulo, el valor del seno y del coseno es el mismo para todos sus ángulos agudos.

Plantear y responder.

a) ¿Qué característica tiene dicho triángulo?

b) ¿Cuál será el valor de la tangente de sus ángulos agudos?

Hallar el valor de los ángulos agudos de los siguientes triángulos.

40

39

Desafío

7 cm

5 cm

11 cm

6 cm

9 cm

12 cm

11 cm

17 cm

7,5 cm

9,6 cm

56°

7 cm

x

38°

6 cm

x47°

10 cm

x

59


Teoría

Aplicaciones prácticas de las razones trigonométricas

El uso de las razones trigonométricas permite resolver múltiples problemas sobre el cálculo de longitudes que se pueden presentar a menudo en la vida cotidiana.

Cuando se debe hacer mediciones relacionadas con objetos que se encuentran a diferentes alturas, se debe conocer y recurrir a los ángulos de elevación o depresión.

Si se considera un punto a, que se encuentra a una distancia d de la base de una torre, dicho punto con el punto más alto de la torre b determinan el segmento ab . Dicho segmento determina 2 ángulos con las horizontales correspondientes a los puntos a y b. Al ángulo α

∧ se lo

denomina de elevación y al ángulo β∧, de depresión.

Ambos ángulos, por ser alternos internos entre paralelas, son iguales.

Observar la figura, plantear y responder.41a) ¿Cuál es la longitud de la escalera? c) ¿A qué distancia de su pie se observa la torre?

b) ¿A qué altura está el avión? d) ¿Con qué ángulo se observa la punta del árbol?

b

a

d

80°

1,5 m

53°

3 000 m

60°

18

0 m

30 m

10

m

60


Calcular los ángulos interiores de las siguientes figuras.

Realizar la figura de análisis, plantear y resolver.

a) Desde el balcón de un edificio, se observa un

automóvil que se encuentra a 15 m del pie del

edificio, con un ángulo de depresión de 68°.

¿Cuál es la altura del balcón?

b) Una persona recorre 320 m en una aerosilla

que sube por la ladera de una montaña con

una inclinación de 28°. ¿A qué altura de la

montaña llegará?

c) Una escalera de 12 m está apoyada en una

pared con un ángulo de elevación de 86°.

¿A qué distancia de la pared está el pie de la

escalera?

d) Una rampa con una inclinación de 17° termina a

una altura de 80 m. ¿Cuánto mide la rampa?

e) El tensor de una antena de 105 m de altura está

clavado a 35 m del pie de la antena. ¿Cuál es el

ángulo de inclinación del tensor?

f) La base de un rectángulo es igual a las dos

terceras partes de su diagonal. ¿Qué ángulo

forma la diagonal con la base del rectángulo?

43

42

Desafío

a) b)18 cm

10

cm

21 cm

15 cm

61


Repaso

a) sen α∧

b) sen φ∧

c) cos β∧

d) cos ε∧

e) tg φ∧

f) tg ε∧

a) b) c)

Completar las razones con los segmentos que correspondan.

Completar y calcular el valor de las siguientes razones trigonométricas.

Unir con el valor que corresponda.

Hallar el valor de x en cada uno de los siguientes triángulos.

44

45

46

47

x = α∧

x = β∧

x = ω∧

x = δ∧

sen x

cos x

tg x

3

23

33

32

12

22

1

o

m r s

12

cm

9 cm

15 cm

sen 30°

sen 90°

sen 45°

cos 45°

cos 60°

cos 30°

tg 60°

tg 45°

tg 30°

a)

b)

c)

i)

d)

e)

f)

g)

h)

23°x

7 cm

55°x

13 cm

x

21 cm

15 cm

62


Calcular utilizando siempre los datos del enunciado.

a) Hallar ab, cb y b∧

.

==

ac 8,63 cm

34° 47' 12"c∧

b) Hallar ef , e∧

y d∧

.

ed 17,25 cm

df 12,78 cm

a) Una escalera de 8 m se apoya en una pared con

un ángulo de 78°. ¿A qué altura llega la escalera

y a qué distancia de la pared está su pie?

b) El piloto de un avión que está a 850 m de

altura observa el aeropuerto con un ángulo

de depresión de 27°. ¿A qué distancia del

aeropuerto se encuentra el avión?

c) El carrito de una montaña rusa recorre 78 m

con una inclinación de 65° hasta llegar a la

altura máxima de la montaña. ¿Cuál es la altura

máxima?

d) Si una persona observa la cima de una montaña

de 1.580 m de altura con un ángulo de

elevación de 43°, ¿a qué distancia del pie de la

montaña se encuentra?

Observar la figura, plantear y responder.

¿Cuál es el ángulo de depresión con el que se observa desde la terraza del edificio, el pie de un árbol

que se encuentra a 200 m del pie del edificio?

Realizar la figura de análisis, plantear y resolver.

48

49

50

b

a

c

d

f

e

200 m

70

m

63


Integración

Hallar el valor de x en cada razón.

Hallar el valor de x en cada proporción.

Hallar gráficamente el segmento pedido.

a) x 20,757

0,0000 33++ == b) 77

2x 3355

−== c) 0,88

355

3x 11−−== 3x3x

a) − === +

+++++−−0,0 4

2

2x 1122222

250,2,21

b) ==++

0,757

0,09,

x 2−−4x 1

c) == ++88x 7−−

x 7x ++4

d) ++ ==++

x 2++5588888

0,44x 2++

e) ++ == ++x 2++x 3−−

x 1++x 1−−

f) +==

−

−0,0 2

3x 22

223

556

10xx 3

a) El cuarto proporcional. b) El tercero proporcional.

51

52

53

64


a)

= −= −==

on 2x 1cm

pn 3x 3 cm

nr 8 cm

ns 6 cm

c)

= +===

on 2 4 cm

or x 3− cm

rp x 4− cm

pn 2x

Completar con el segmento que corresponda en cada caso.

Hallar la longitud del segmento azul y del rojo en cada figura.

Decidir si los siguientes pares de triángulos son semejantes y justificar.

54

55

56

a) =rtos

b) =op

rs

c) =boao

d) =os

ab

e) =mbor

f) =orrm

g) =rsot

h) =ab

tr

i) =aoap

j) =tsob

a) b) c)

o

r

mb

p

s

ta

S

R

A

B

C

om bisectriz de rob∧

A B C

b)

ro 28 cm

ao 7 cm

rp 5x 3 cm

mr 8x

=== +=

d)

=== −= +

ac 18 cm

ab 6 cm

ad 5x 1cm

bd 2x 6 cm

AB

C

D

o

p

r

s

n

A B

o

p

r n

nr bisectriz de n∧

o

r

mp

aap om a

b

c

d

dc bisectriz exterior de d∧

A B

A

B

M R

MR

65


Integración

a) b) c)Calcular el valor de x en cada figura.

Calcular utilizando siempre los datos del enunciado.

Observar la figura y calcular.

Plantear y responder.

a) og , po y p∧

.

==

gp 21 cm

51° 17' 36"o∧

b) ms , s∧ y m∧

.

rs 11 cm

mr 18 cm

a) A 3 500 m del pie de una montaña, se observa

la cima con un ángulo de elevación de 46°.

¿Cuál es la altura de la montaña?

b) Cada uno de los lados iguales de un triángulo

isósceles mide 13 cm y cada uno de sus ángulos

iguales tiene una amplitud de 67°. ¿Cuál es el

perímetro del triángulo?

57

58

59

60

a) ¿A qué distancia (d) del pie de la antena se

encuentra el agarre del tensor?

b) ¿Cuál es el ángulo de elevación (α∧

) del avión?

t

d

83°

14

m

1 38

0 m

94

6 m

51°

8 cm

x

29°

9 cm

x 7 cm

12 cm

x

o

g

p

m

s

r

66


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