MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN...

44
MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia: 2008/01/07 Lege Gordailua: B.34343-2007 / B.34344-2007 ISBN: 978-84-8033-508-9 guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 1

Transcript of MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN...

Page 1: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA

GIDA DIDAKTIKOA

Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia: 2008/01/07

Lege Gordailua: B.34343-2007 / B.34344-2007

ISBN: 978-84-8033-508-9

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 1

Page 2: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 2

Page 3: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

DBH 3

1. UNITATEA: ZENBAKI ARRAZIONALAK ETAIRRAZIONALAK: ERREALAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Zatiki baliokideak ezagutzea eta zatiki laburtezinak kalkulatzea.

Zenbaki arrazionalak, irrazionalak eta errealak adieraztea eta ordenatzea.

Kalkuluen algoritmoak zenbaki arrazionalekin zuzen aplikatzea, baitaeragiketen lehentasuna eta parentesien erabilpena ere.

Zuzen erreal baten segmentua tartearen arabera adieraztea eta alderantziz.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Teknologia; Naturaren Zientziak; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

ZENBAKI ARRAZIONALEN MULTZOA.

Zatiki negatiboak aurkeztea, zenbaki arrazionalen kontzeptua lantzen hastea etazenbaki arrazionalen eta hamartarren arteko erlazioa azaltzea.

- Zatiki baliokideak ezagutzea eta edonolako bi zatiki baliokide diren zehaztenikastea.

- Zenbaki arrazionalen kontzeptua bereizi eta nola adierazten eta ordenatzendiren ikastea.

- Zenbaki arrazionalen eta zenbaki hamartarren arteko harremana identifikatzea,eta zenbaki arrunt baten adierazpen hamartarra eta alderantzizkoa kalkulatzekoeman beharreko urratsak ikastea.

ARRAZIONALETATIK ERREALETARA: IRRAZIONALAK.

Zenbaki irrazionalak aurkeztea eta horiekin zenbaki errealen multzoa osatzea.

3

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 3

Page 4: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Onargarritasuna aztertzea eta, ondoren, zenbaki hamartar mugagabe ezperiodikoak ere badaudela erakustea; alegia, zenbaki irrazionalak.

- Zenbaki ezagun guztiak multzo batean biltzea, alegia errealak, eta nolaordenatzen diren gogoratzea.

- Tarte motak ezagutzea.

Orientazio didaktikoak

ZENBAKI ARRAZIONALEN MULTZOA.

Ikur negatiboko zatikiak lantzen hasi baino lehen, kontzeptua eta eragiketakzatiki positiboekin berrikustea komeni da. Ikasleek jada zatikidun eragiketenalgoritmoak ezagutu behar dituztenez, mekanika azaldu ordez, algoritmoa egoerazehatz batetik abiatuta azaldu behar da. Horrek ez du baztertzen ikasleekpraktika hartzeko ariketak egitea.

Zatiki positiboak erabiltzeko modua ikurdun zatikietara (positiboak edonegatiboak) zabaltzeko, eta zenbaki osoekin egin zen modu berean, komeni daikasleak aipatutako zatiki negatiboen erabilpenaren beharraz ohartzea. Zatikihoriek azaltzeko, zenbaki oso negatiboak agertzen diren egoerak erabil daitezke:tenperaturak, kronologiak, natura-behaketak (itsasoaren gaineko altuerak, sestra-kurbak, kokapena, etab.), planisferioa…

Beharrezkoa da ikasleek ulertzea kalkulagailuek eta ordenagailuek zenbakihamartarrekin lan egiten dutela, gehien bat, eta ez zenbaki arrazionalekin.Hortaz, zenbaki hamartarrak zenbaki hamartar zehatz luzeegien eta zenbakihamartar periodiko hutsen zein mistoen hurbilketak izango dira. Hurbilketahoriek biribilketaren edo ebaketaren bidez egingo dira.

ARRAZIONALETATIK ERREALETARA: IRRAZIONALAK.

Unitateko edukiekin hasi baino lehen, zenbaki hamartarren eta zenbakiarrazionalen arteko harremana berrikustea komeni da, eta zenbaki arrazionalbaten bidez adieraz daitezkeen zenbaki hamartar guztiak mugatuak edomugagabeak izanda ere beti periodikoak direla nabarmentzea. Horrela, irakasleakhainbat zenbaki hamartarren (mugatuak, periodiko hutsak eta periodiko mistoak)zatiki sortzailea kalkulatzeko eska diezaieke ikasleei, baita hainbat zenbakiarrazionali dagozkien zenbaki hamartarrak zehazteko ere.

Argi geratu behar da zenbaki irrazionala zifra guztiekin adieraztea ezinezkoadela. Hortaz, sinbolizatu edo hurbildu egin beharko dugu. Hala:

∏ ≈ 3,14 ≈ 3,142 ≈ 3,1416 ≈ 3,14159 ≈ … √2≈ 1,414213562

Irakasleak zenbaki hamartarren biribilketa eta ebaketa gogoraraz diezaieke eta,horretarako, zenbaki irrazionaletan aplikatuko ditu. Ikasleek ikusiko dute, kasuhorretan, zenbaki irrazionalak mugagabeko zifra hamartar ez periodikoakizatearen ondorioz sortutako beharra dela. Hortaz, ezin ditugu zifra hamartarguztiak idatzi, ezta periodo baten bidez sinbolizatu ere.

4

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 4

Page 5: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

√2-ren irrazionaltasuna frogatu ondoren, onargarritasun argudioen etafrogapenen artean diferentziak sor daitezke. Horrela, √2-ren hamartar asko, edoizugarri asko kalkulatzeak aukera ematen du √2 irrazionala den hipotesiaegiteko, baita gertaera hori onargarria dela baina ezin daitekeela ziurtatupentsatzeko ere. Aldiz, frogapenak zalantzarik gabe baieztatzea ahalbidetzendigu.

2. UNITATEA: POLINOMIOAK ETA EKUAZIOAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Hizkuntza aljebraikoaren nomenklatura propioa ezagutzea.

Polinomioak ezagutzea eta haiekin hainbat eragiketa egitea.

Adierazpen aljebraikoekin beharrezko transformazioak egitea, lehen mailakoekuazioak askatzeko.

Problemak lehen mailako ekuazioen bidez ebaztea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste.

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Gaztelania eta Literatura; GizarteZientziak; Geografia eta Historia.

Unitatearen ibiltartea

ADIERAZPEN POLINOMIKOAK

Polinomioen kontzeptua azaldu, eta horiekin eragiketak egiteko estrategiakaurkeztea.

- Monomioaren definizioa analizatu, eta horrekin eragiketak agertzen direnkoadroa aztertzea.

- Polinomioaren definizioa analizatzea, eta horrekin eragiketak agertzen direnkoadroa aztertzea.

EKUAZIOAK

Lehen mailako ekuazioen kontzeptua lantzen hastea, ezezagun batekin etabirekin, eta horiek ebazteko metodoak.

- Ekuazioak ebazteko metodoetan egiten diren urratsak aztertzea, eta zuzenaplikatzea.

Orientazio didaktikoak

ADIERAZPEN POLINOMIKOAK5

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 5

Page 6: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Monomioen eta polinomioen kontzeptuak lantzen hasteko, zientzia fisikoetara jodaiteke eta kontzeptu horiek agertzen diren egoerak erabili. Adibide gisa,mugikor batek, hasierako abiadura nulua eta hasierako abiadura v0 izanda,uniformeki azeleratutako mugimendu zuzenean ibilitako espazioarenadierazpena aurkez daiteke:

Era berean, monomioekin eta polinomioekin eragiketak egiten hasi baino lehen,ikasleak zenbaki arrazionalekin ikasitako batuketaren, biderketaren etaberreketaren ezaugarriak zuzen aplikatzen jakin behar du, baita eragiketakonbinatuetan erabili behar diren lehentasun arauak ere.

EKUAZIOAK

Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioak matematikako ariketa askotanagertzen direnez, ekuazioak ebazteko arauak ikastea garrantzi handikotzat jobehar da. Lehen mailako ekuazioak ebazteko urratsetako bat gaien transposizioada. Ikasleek, mekanika eskuratzeaz gain (gaiak beste aldera eramatea eta ikurrezaldatzea), arau horren zergatia ulertzea ere garrantzitsua da.

Zentzu horretan, metodo informalak erabiltzea ere baliagarria da, esaterako:alderantzizko arrazoibidearen metodoa. Prozedura informalen bidez ekuazioakebazten denbora pixka bat igaro eta gero, ebazpen metodo orokorrera jauzia emanbehar da.

Bi ezezagun dituzten lehen mailako ekuazioetarako ebazpenen taulakegiterakoan, balio osoak hartu ohi diren arren, nabarmendu behar da soluzioakez direla zenbaki osoen bikoitiak soilik.

3. UNITATEA: SISTEMAK: BIGARREN MAILAKOEKUAZIOAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Bi ezezagun dituzten lehen mailako bi ekuazioko sistemak grafikoki etaaljebraikoki ebaztea.

Bigarren mailako ekuazioak aljebraikoki ebaztea.

Problemak sistemak eta bigarren mailako ekuazioak eginez ebaztea.

6

1x = a t2

2+

1

2x = v

0 t a t2

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 6

Page 7: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste.

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak (Fisika eta Kimika); Gaztelania etaLiteratura; Gizarte Zientziak, Geografia eta Historia.

Unitatearen ibiltartea

EKUAZIO SISTEMAK

Bi ezezagun dituzten lehen mailako ekuazio sistemak lantzen hastea, grafikokieta aljebraikoki ebazteko prozedurak erakustea, eta sistemak soluzio kopuruarenarabera sailkatzea.

- Kontuan izan ezezagun bat duten lehen mailako bi ekuazio egin behar direla,eta ekuazio horiek aldi berean egiaztatu behar direla.

- Ebazteko metodo grafikoa aztertzea.

- Metodo aljebraiko bakoitzean sistema bat ebazteko erabiltzen diren urratsakikustea.

- Hiru sistema motak identifikatzea, daukaten soluzio kopuruaren arabera.

Orientazio didaktikoak

EKUAZIO SISTEMAK

Ekuazioen ezaugarriak eta bi ezezaguneko lehen mailako ekuazioen ebazpenaaztertu ondoren, bi ezezagun dituzten lehen mailako bi ekuazioko sistemaklantzen has gaitezke.

Ekuazio sistemaren kontzeptua azaltzeko, bi ekuazio bilakatzen den enuntziatuaerabiliko dugu. Ekuazio biek aldi berean egiaztatu behar diren bi baldintzaadierazten dutela nabarmendu behar da, eta ikasleek sistema horiek beraienartean harremanik gabeko ekuaziotzat hartzeko joera saihestu behar dela.

Ekuazio bakoitzaren ebazpenaren kontzeptua eta ekuazio sistemen ebazpenarenkontzeptua argi eta garbi bereizi behar dira. Kasu guztietan soluzioak egiaztatzeagarrantzitsua da eta, hortaz, baita ikasleek ohitura hori hartzea ere.

Sistemak ebazteko metodo aljebraikoak aztertzen hasi baino lehen, ikasleekohartu behar dute soluzioak zenbaki osoak ez badira metodo grafikoa ez delazehatza. Nabarmendu behar da sistema ebazteko aukeratutako metodoak,printzipioz, ez duela ardurarik. Izan ere, soluzioak ez dira sistema ebaztekoaukeratutako metodoaren araberakoak izango. Halere, ekuazio bakoitzarenarabera, metodo jakin bat aukeratzeak lana erraztu dezake.

Sistema bateragarri zehaztugabeak eta bateraezinak hasieran ebazpen grafikoarenbidez ikasten dira. Horregatik, ekuazio sistemen ebazpen aljebraikoa ere erahorretako sistemekin lotu beharra dago. Horrela, zehaztugabeko sistemabateragarriak eta bateraezinak ebaztea proposatu behar zaie ikasleei, eta ez garasistema bateragarri zehatzak ebaztera mugatu behar.

7

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 7

Page 8: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

4. UNITATEA: SEGIDAK ETA PROGRESIOAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Segidak ezagutzea.

Progresio aritmetikoak identifikatzea.

Progresio geometrikoak identifikatzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste.

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia etaHistoria; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

SEGIDAK

Korrespondentziaren kontzeptua zenbaki arruntekin lantzen hastea eta, ondoren,zenbaki-segidak eta segiden gai nagusia zehaztea.

- Zenbaki naturalekin bat datozen zenbaki multzo ordenatuek segidak adieraztendituztela ikustea.

- Segida baten gaiak eta, ondorioz, segida nola adierazten den ikustea.

- Segida baten gai nagusia nola lor daitekeen ikustea.

PROGRESIO ARITMETIKOAK

Progresio aritmetikoaren kontzeptua definitzea eta horren ezaugarrietakoren batgaratzea.

- Progresio aritmetiko baten gai nagusiaren adierazpena ondorioztatzekoarrazonamendua ikustea.

- Progresio aritmetiko baten lehen N gaien batuketaren adierazpena lortzekoprozedura jarraitzea.

- Gai aritmetikoak interpolatzeko adierazpena lortzeko prozedura jarraitzea.

PROGRESIO GEOMETRIKOAK

Progresio geometrikoaren kontzeptua definitzea eta haren ezaugarrietakoren batgaratzea.

- Progresio geometriko baten gai nagusiaren adierazpena ondorioztatzekoarrazonamendua ikustea.

8

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 8

Page 9: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Progresio aritmetiko baten lehen N gaien batuketaren, eta progresio geometrikobeherakor mugarik gabeko baten batuketaren adierazpena lortzeko prozedurajarraitzea.

- Progresio geometriko baten lehen N gaien biderkaduraren adierazpena lortzekoprozedura jarraitzea.

- Gai geometrikoak interpolatzeko adierazpena lortzeko prozedura jarraitzea.

Orientazio didaktikoak

SEGIDAK

Segidak lantzean, gai bakoitzak hartzen duen tokia sarri nahasten da daukatenbalioarekin. Horregatik, segidaren ordena kontuan izatea komeni da. Zentzuhorretan, irakasleak ondoren deskribatzen diren egoerak aurkez diezazkiokeikasleari, eta jarraipena emateko eska diezaieke.

- Atarien zenbakikuntza kalearen aldeetako batean, esaterako, alde bikoitian:

1. ataria ⇒ 2. zk. 2. ataria ⇒ 4. zk. 3. ataria ⇒ 6. zk. ……a1 = 2 a2 = 4 a3 = 6 ……

- Amebak denbora tarte erregularretan bi zelula alabatan zatikatuz ugaltzen dira:

t1 = ameba 1 t2 = 2 ameba t3 = 4 ameba ……a1= 1 a2 = 2 a3 = 4 ……

PROGRESIO ARITMETIKOAK

Progresio aritmetikoak lantzen hasteko modu erraza segmentuen bidezkointerpretazio grafikoa ematea da. Adierazpen hori bereziki baliagarria da ikasleeiprogresio aritmetikoen ezaugarriak erakusteko, esaterako: osatzeko legea edo gaidistantziakideen batuketaren propietatea.

9

a2 = a1 + d:a2 = a1 + d:

a3 = a1 + 2d:

a4 = a1 + 3d:

a1 :

a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4

a4a3

a6a1

a5a2

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 9

Page 10: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Gai nagusiaren eta progresio aritmetiko baten zein gai aritmetikoeninterpolazioaren lehen N gaien batuketaren adierazpenak lortzen ikasteagarrantzitsua dela nabarmendu behar da. Helburua arrazoibide eta dedukziogaitasuna lantzea da.

PROGRESIO GEOMETRIKOAK

Ikasleek progresio aritmetikoen eta geometrikoen artean bereizten ikasi behar dute.Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke, esaterako, 5 cm-kosegmentua marraztea, eta honako ariketa hauek gauzatzea:

a) Segmentu segida egitea, marraztutakotik abiatuta; marraztuko den segmentuberri bakoitzak aurrekoak baino 2 cm gehiago ditu. Zer progresio mota osatzen dutesegmentu horiek?

b) Segmentu segida egitea, marraztutakotik abiatuta, marraztuko den segmentuberri bakoitzak aurrekoak baino bi aldiz luzera handiagoa izan dezan. Zer progresiomota osatzen dute segmentu horiek?

Gai nagusiaren eta progresio geometriko baten lehen N gaien batuketaren etabiderkaduraren adierazpenak lortzen ikastea garrantzitsua dela nabarmendu beharda, baita progresio geometriko beherakorren eta gai geometrikoen interpolazioarenmugagabeko batuketa ere. Helburua arrazoibide eta dedukzio gaitasuna lantzea da.

Ezagutu behar duten formula kopurua kontuan izanik, komeni da laburpen gisataula moduan jartzen ikastea, eta problemak ebazteko buruz aplikatzen jakitea.

5. UNITATEA: IRUDI PLANOAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Erregelarekin eta konpasarekin poligono erregular bat marraztea.

Triangeluen inguruko hiru teorema nagusien enuntziatuak zuzen ezagutzea etainterpretatzea: altuerarena, katetoarena eta Pitagorasena.

Irudi planoen azalerak kalkulatzeko hainbat metodo erabiltzea, eta hurbilketalortzea, azalera ezin denean doitasunez zehaztu.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Teknologia; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

POLIGONOAK

Poligonoaren kontzeptua gogoraraztea, baita haren ezaugarriak ere, eta poligonoerregularra egiteko metodoa azaltzea.

10

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 10

Page 11: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Poligono baten diagonal kopurua eta haren angeluen batuketa nolakalkulatzen diren gogoraraztea.

- Poligono erregularrak egiteko prozedura irakurtzea.

TRIANGELUAK

Triangeluen sailkapenak lantzen hastea, baita zuzen nagusiak ere, etatriangelu angeluzuzenen hiru teoremak azaltzea.

- Triangelu angeluzuzenen inguruko hiru teorema nagusien enuntziatuakirakurtzea: altuerarena, katetoarena eta Pitagorasena.

- Altueraren eta katetoaren teorema aplikatzearen bidez, luzera ezaguneko bisegmenturen arteko batez besteko segmentu proportzionalaren grafikoaegiteko adierazitako prozesua jarraitzea.

Orientazio didaktikoak

POLIGONOAK

Ikasleek poligono erregularren elementuak zuzen bereiztea komeni da. Izanere, hori ondoren erabiltzen da, esaterako: azaleren kalkuluan.

Ikasleek poligonoen honako sailkapen hauek ezagutzea ere egokia da:

• Aldeen kopuruaren arabera: triangeluak, laukiak, pentagonoak, hexagonoak…

• Angeluen arabera: ganbilak eta ahurrak.• Angeluen eta aldeen arabera: erregularrak eta irregularrak.

Poligono erregularrak egiten hasi baino lehen, ikasleek Talesen teoremaberrikusi eta aplika dezakete segmentu bat hainbat zati berdinetan zatitzeko.

TRIANGELUAK

Atal honi ekin baino lehen, triangeluen antzekotasun-irizpideak berrikusteakomeni da. Ikasleek aipatutako irizpideak argi dituztenean, altueraren etakatetoaren teoremen frogapenetan erabiltzen diren hiru triangeluak antzekoakdirela ikasi beharko dute.

Ebazteko triangelu angeluzuzenen teoremak erabiltzea beharrezkoa denproblemetan, zer datu dituzten eta zeren bila dabiltzan argi izan beharko dute.Datuak eta ezezaguna identifikatu ondoren, formula bat aplikatzea bakarrikfalta da, eta formula horretan bilatutako datua izango da ezezagun bakarra.

11

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 11

Page 12: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

6. UNITATEA: GORPUTZ GEOMETRIKOEN AZALERAK ETABOLUMENAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Gorputz geometrikoen azalerak kalkulatzea.

Gorputz geometrikoen bolumenak kalkulatzea.

Bolumena doitasunez zehaztu ezin daitekeen gorputz geometrikoen kasuan,balioespena egitea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Plastikaren eta Ikusizkoen Hezkuntza; NaturarenZientziak; Teknologia; Gizarte Zientziak; Geografia eta Historia.

Unitatearen ibiltartea

GORPUTZ GEOMETRIKOAK

Poliedroak, biraketa-gorputzak eta Pitagorasen teorema espazioan kokatzea.

- Gorputz geometrikoak eta haien elementu nagusiak identifikatzea.

- Pitagorasen teoremaren erabilgarritasunaz jabetzea, hainbat gorputzgeometrikoren elementuak zehazteko.

Orientazio didaktikoak

GORPUTZ GEOMETRIKOAK

Gorputz geometrikoak aztertzen hastea komeni da. Horretarako, hainbatadibide jarriko dira, garapen planoen bidez. Horrela, ondoren, haienelementuak sailkatu eta zehaztu ahal izango dira. Gainera, ondorengoataletan, haien neurriak hartu eta azalerak eta bolumenak kalkulatu ahalizango dira.

Poliedro erregularren ideia lantzen hasteko, irakasleak poligonoerregularraren kontzeptua erabil dezake. Horrela, poligono erregularrak aldeeta angelu berdinak dituen bezala, poliedro erregularrak alde berdinak etaerregularrak eta angelu poliedro berdinak ditu.

12

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 12

Page 13: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

7. UNITATEA: PLANO BARRUKO TRANSFORMAZIOAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Irudi planoei transformazio isometrikoak edo mugimenduak aplikatzea.

Planoan hainbat mugimendu osatzea, frisoak eta mosaikoak sortzeko.

Irudi planoei transformazio isomorfikoak aplikatzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Teknologia; Plastikaren eta Ikusizkoen Hezkuntza;Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia eta Historia.

Unitatearen ibiltartea

ERALDAKETA ISOMETRIKOAK EDOTA MUGIMENDUAK

Transformazio geometriko, bektore eta irudi plano baten noranzkoarenkontzeptuak lantzen hastea eta, ondoren, transformazio isometrikoak definitzea.

- Irudi planoa tokiz aldatzeko urratsak ikustea eta horiek errepikatzea.

- Aurrez emandako irudi simetriko baten bidez irudi simetrikoa lortzeko urratsakikustea eta horiek errepikatzea.

- Irudi planoa biratzeko urratsak ikustea eta errepikatzea.

Orientazio didaktikoak

ERALDAKETA ISOMETRIKOAK EDOTA MUGIMENDUAK

Solido zurrun edo deformaezin bat hartzen badugu, intuizioak antzematendituen aldaketa bakarrak posizio aldaketak dira, alegia, mugimenduak. Egia damugimendu batek, zentzu fisikoan, denbora behar duela, eta posizioen segidadela; baina geometrian, mugimenduak lantzerakoan, ez dira kontuan hartzen ezdenbora, ez bitarteko posizioak. Hasierako eta azkeneko posizioa soilik.

Horregatik, zenbait ikaslek geometrian mugimenduaren kontzeptuabereganatzeko zailtasunak dituzte, bereziki simetrien kasuan. Horiekgainditzeko, oso erabilgarria da kartoi mehean moztutako irudi planoakerabiltzea. Zentzu horretan, manipulatzeko erraza den material horrektransformazio prozesuaren bitarteko uneak ikusten uzten du, eta geometrian ezdirela kontuan hartzen nabarmentzen da.

Horrela, irakasleak planoan mugimenduak egiterakoan beren esperientziaktaldeka partekatzeko ariketak proposa diezazkieke ikasleei, moztutako hainbatirudirekin.

13

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 13

Page 14: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Era berean, komeni da ardatz-simetriei islapen ere deitzen zaiela jakinarazteairakasleak, eta ispiluekin esperimentu errazak egitea proposatzea.

Esperientzia mota horiek ardatz-simetrien zenbait ezaugarri errazago ulertzenuzten dute, esaterako: islapen baten alderantzizko transformazioa islapen beradela. Eta hortik aurrera, irakasleari komeni dela iruditzen bazaio, alderantzizkotransformazioaren kontzeptua lantzeari ekingo dio jada.

8. UNITATEA: FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Funtzioaren kontzeptua bi aldagairen arteko dependentzia harremanabezala ulertzea, eta kontzeptu horri lotutako hiztegia zuzen erabiltzea:

eremua, ibiltartea, irudia…

Funtzio baten grafikoa adieraztea.

Grafiko funtzionalen informazioa lortzea, beren alderdietako batzukaztertuz, esaterako: puntu maximoak eta minimoak, gorakortasuna,

beherakortasuna, etab.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia etaHistoria; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

FUNTZIOAK

Funtzioaren kontzeptua eta kontzeptu horri lotutako hiztegia lantzen hastea.

- Funtzioaren kontzeptuari lotutako kontzeptuak irakurtzea: irudia, aurreirudia,eremua, ibiltartea, adierazpen aljebraikoa, etab.

- Adierazten diren urratsak jarraitzea irudiak eta aurreirudiak analitikokiaurkitzeko.

FUNTZIO BATEN GRAFIKOA

Funtzio baten grafikoa egiteko prozedura adieraztea.

- Koordenatu-ardatzetan funtzio erraz bat adierazteko urratsak irakurtzea, etaprozesu hori edozer funtzioren adierazpen grafikoa lortzeko orokortu daitekeelaikustea.

- Adibide batean zatika definitutako funtzioa adierazteko urratsak ikustea.

14

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 14

Page 15: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Adierazten diren urratsak jarraitzea irudiak eta aurreirudiak grafikokiaurkitzeko.

- Funtzio baten eremua eta ibiltartea grafikoki nola lortzen diren ikustea.

Orientazio didaktikoak

FUNTZIOAK

Funtzioaren kontzeptua finkatzeko, funtzioak ahozko hizkuntzan, balioentaulan, grafikoetan edo adierazpen aljebraikoetan adierazita agertzen direnartikuluak biltzea proposa diezaieke ikasleei. Horrela, funtzioen azterketaeguneroko bizitzan ohikoa dela ikusiko dute eta, hortaz, funtzioak aztertzeariekiteko motibazio handiagoa izango dute. Gainera, praktika horrekin,aurkitutako artikuluetatik ateratako zeharkako hainbat irakaspen ere landaitezke.

Era berean, ikasleei hainbat egoeratan funtzioa adierazteko modurikkomenigarrienari buruzko iritzia ematea proposatu behar zaie (tarifak adieraztea,enpresa baten urteko balantzeak egitea, etab.), eta iritzi horien zergatia ematekoeskatu. Horrela, funtzioak hainbat modutara adierazi behar direla ikusiko dute.

FUNTZIO BATEN GRAFIKOA

Hizkuntza grafikoa balio handiko elementua da gaur egungo munduaninformazioa transmititzeko. Horregatik da garrantzitsua ikaslea hizkuntza horiinformazioa transmititzeko erabiltzeko gai izatea, baita hizkuntza horren bidezjasotzen dituen hainbat informazio interpretatzeko ere.

Ildo horretan, grafiko kartesiarrak bi aldagairen arteko dependentzia adieraztekomodutzat jo daitezke. Irakasleak honako eskema hau erabil dezake aipatutakokontzeptua lantzen hasteko.

Adibide bezala, irakasleak ikasleei zinematika fenomeno bat aurkez diezaieke,esaterako, plano inklinatu baten mugimendua, eta fenomeno fisikoarenintuiziozko pertzepziotik, fenomenoaren adierazpen grafikoraino etamugimenduaren ekuazioak ematen duen abstrakzio maximoraino gida ditzakeikasleak.

Grafiko kartesiarrak egiteari ekin baino lehen, ikasleek koordenatu kartesiarretanpuntuen adieraztean zer akats egin dezaketen antzematea komeni da.

Era berean, ikusten dugu ikasle askoren ustez grafikoa zenbait puntu lotzendituen marrazkia dela. Uste hori okerra da, eta grafikoak balio tauletatik abiatutaegitearen ondorioz sortu da. Horrela, ikasleak jarraitutasun ideia ezbereganatzeko arriskua dago; alegia, ez ulertzea grafikoa funtzio batenadierazpena dela eta puntu bakoitzak balio pare bat zehazten duela, aldagaibakoitzeko bana.

15

Eredu fisikoa Ahozkoa Balioen taula Grafikoa

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 15

Page 16: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Hortaz, irakasleak puntu hori nabarmendu egin behar du. Honako ariketa hauinteresgarria da, zentzu horretan: grafiko jakin bat emanda, balio taulak egitea.

9. UNITATEA: ZUZENEKO ETA ALDERANTZIZKOPROPORTZIONALTASUN FUNTZIOAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Funtzio linealak, kideak eta konstanteak identifikatzea, funtzio horiengrafikoa erabilita. Horretarako, maldaren eta ordenatuaren jatorriaren

esanahia interpretatuko ditugu.

Magnitude zuzenei eta alderantziz proportzionalei dagozkiengrafikoak ezagutzea eta marraztea.

Zuzen baten ekuazioa lortzea, bere grafikoa, igarotzeko bi puntuedo igarotzeko puntu bat eta bere malda emanda.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia etaHistoria; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

ZUZENEN BIDEZ ADIERAZITAKO FUNTZIOAK

Zuzeneko proportzionaltasunaren edo proportzionaltasun linealaren funtzio,funtzio afinen eta funtzio konstanteen kontzeptuak definitzea.

Zuzeneko proportzionaltasunaren edo proportzionaltasun linealarenfuntzioen, funtzio afinaren eta funtzio konstantearen definizioak irakurtzea.

- Ordenatuaren esanahia interpretatzea, jatorrian eta maldan.

- Funtzio linealen, afinen eta konstanteen adierazpen aljebraikoa lortzea, taulabaten edo bere grafikoaren bidezko adierazpenetik abiatuta.

ALDERANTZIZKO PROPORTZIONALTASUN FUNTZIOAK

Alderantzizko proportzionaltasun funtzioen kontzeptua adieraztea.

- Alderantzizko proportzionaltasun funtzioaren definizioa irakurtzea, etaproportzionaltasun konstantearen esanahia interpretatzea.

Orientazio didaktikoak

ZUZENEN BIDEZ ADIERAZITAKO FUNTZIOAK

16

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 16

Page 17: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Proportzionaltasun zuzenaren funtzioen definizioari ekin baino lehen,komeni da ikasleek nolabaiteko trebetasuna hartzea proportzionaltasunzuzenaren presentzia eguneroko bizitzan identifikatzen. Horretarako, honakoariketa hauek proposa diezazkieke irakasleak:

• Bi magnituderen arteko hainbat harreman kontuan izanik, zuzeneko proportzionaltasun harremanak identifikatzea.

• Bi magnituderen artean zuzeneko proportzionaltasun harremana zer egoeratan sortzen den adieraztea.

• Zuzeneko proportzionaltasuna ehunekoekin, interesekin edo deskontuekin, banaketa proportzionalekin... lotzea.

Zientzia fisikoetatik ateratako kasu zehatzak proposa daitezke, ekonomia edopopulazio ikerketen adibideekin batera:

• Ohmen Legeak korrontearen intentsitatearen eta diferentzia potentzialaren artean egiten duen lotura.

• Populazioa, jaiotza-tasen eta heriotza-tasen indizeen arabera.

Ikasleek funtzio linealak, afinak eta konstanteak beren grafiko eta adierazpenaljebraiko motarekin lotu behar dituzte.

ALDERANTZIZKO PROPORTZIONALTASUN FUNTZIOAK

Alderantzizko proportzionaltasun funtzioaren definizioa landu aurretik,komeni da ikasleak alderantzizko proportzionaltasunak eguneroko bizitzanduen erabilpena identifikatzea. Horretarako, honako ariketa hauek egindaitezke:

- Bi magnituderen arteko hainbat harreman kontuan izanik, alderantzizkoproportzionaltasun harremanak identifikatzea.

- Bi magnituderen artean alderantzizko proportzionaltasun harremana dutenegoerak adieraztea.

Alderantzizko proportzionaltasuneko funtzio baten adierazpen aljebraikoalortzeko prozedura lantzea komeni da, funtzioa balioen taula baten edo beregrafikoaren bidez adierazita baldin badago. Adierazpen aljebraikoa lortzeko,alderantzizko proportzionaltasunaren konstantearen (k) balioa aurkitzeanahikoa dela ikus daiteke. Horretarako, honako hau egin behar da:

• Funtzioa balioen taula batekin adierazita baldin badago, k balioa xaldagaiaren edozein balioren eta dagokion y aldagaiaren balioaren arteko biderkadura da: k = x · y.

• Funtzioa grafikoki adierazita baldin badago, k balioa aldagai independentearen x = 1 balioaren irudiari dagokiona da.

17

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 17

Page 18: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

10. UNITATEA: ESTATISTIKA

UNITATEAREN HELBURUAK

Estatistikarekin lotutako kontzeptuen esanahia ulertzea: populazioa, lagina,aldagai estatistikoa, etab.

Behaketen, esperientzien eta inkesten datuak eta emaitzak argi eta ordenatukiaurkeztea, taulen edo grafiko estatistikoen bidez.

Hizkuntza estatistikoak eguneroko bizitzako eta ezagutza zientifikokoproblemak adierazteko eta ebazteko duen erabilpena aintzat hartzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: bi aste.

Diziplinartekotasuna: Gaztelania eta Literatura; Gizarte Zientziak; Geografia etaHistoria.

Unitatearen ibiltartea

KONTZEPTU NAGUSIAK

Estatistikaren oinarrizko kontzeptuak eta bere harremanak azaltzea.

- Estatistika zer den eta inplikatutako kontzeptuak zeintzuk diren aztertzea, etaedozer estatistika-ikerketan nola zehaztu behar diren azaltzea.

- Aldagai estatistikoak sailkatzea eta datu-bilketa nola egin daitekeen eta laginaknoiz hartu behar diren ikustea.

TAULA ESTATISTIKOAK

Aldagai diskretuetarako (kualitatiboak eta kuantitatiboak) eta jarraituetarakoestatistika taulak nola egiten diren adieraztea, adibideen bidez.

- Aldagai kualitatibo eta kuantitatibo diskretuetarako estatistika taulakinterpretatzea eta egitea.

- Aldagai kuantitatibo jarraituetarako estatistika taulak interpretatzea eta egitea.

GRAFIKO ESTATISTIKOAK

Aldagai diskretuetarako edo jarraituetarako estatistika-grafiko motenadierazpena egitea.

- Hainbat estatistika grafiko interpretatzea eta egitea: barren diagrama, sektoreendiagrama, piktograma, histograma, maiztasun poligonoa, arku zorrotza,kartograma, eboluzio-grafikoa eta konparazio-grafikoa.

- Populazio piramideak ezagutzea eta interpretatzea.

18

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 18

Page 19: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Orientazio didaktikoak

KONTZEPTU NAGUSIAK

Irakasleak unitatean landuko diren estatistikaren kontzeptuak aurrekoikasturteetan jada ikasi direnekin lotzea komeni da. Ikasleei esan diezaiekekontzeptu berak direla, baina sakonago ikasiko dituztela.

Hainbat kontzeptu estatistikoren definizioa buruz ikasi baino gehiago, ulertuegin behar dituzte eta aurrez emandako edozer azterketa estatistikoetanidentifikatzen jakin. Horrela, ikasleak edozer azterketa estatistikotan populazioa,ikasitako aldagai estatistikoa, aldagai mota... adierazteko gai izan behar du.

Oso garrantzitsua da ikasleak eguneroko bizitzan ikustea estatistikaren azalpena.Horrela, ez du bere ingurutik urruti dagoen gertakaritzat hartuko, eta berauaztertzeko motibazio handiagoa izango du. Horretarako, estatistika azterketakikaslearen inguruko eremuen testuinguruan kokatu behar dira.

Nabarmendu behar da edozer lan estatistiko argi eta ordenatuki egiteagarrantzitsua dela, bai datuen ugaritasunagatik, bai sailkapenarengarrantziagatik. Horrela, tauletan ordenatzeko beharra ere sortzen da, ondorioakerrazago lortzeko.

TAULA ESTATISTIKOAK

Irakasleak datu estatistikoak ordenatzeko eta sailkatzeko taulak erabiltzekobeharra nabarmentzea garrantzitsua da, baita taula egokia egiteko aldagaiestatistiko mota ongi identifikatzeak duen garrantzia ere.

Datuak biltzeak eta antolatzeak adiskidetasuna sortzen eta taldeko lanak egitenlaguntzen du. Horrela, atal honetan eta ondokoan irakasleak Hezkuntza Moralaeta Gizabidezkoa zeharkako irakasgaia lan dezake.

GRAFIKO ESTATISTIKOAK

Grafiko estatistiko motak aztertu ondoren, komeni da komunikabideetan grafikoitxurarekin agertzen diren informazioak interpretatzeko erabiltzea.

Ikasleei egunkarien, aldizkarien, eta abarren (ekonomia atalean sarri agertzendira) estatistikak lortzea eska diezaieke irakasleak, eta klasean talde txikiak osaditzakete, informazioa interpreta dezaten eta ondorioak atera ditzaten. Lehendikjasotako grafikoak ere erabil daitezke, unitatea ikasten hasterakoan ariketa horiegin baldin bazuten.

Ondoren, talde bakoitzeko bozeramaileak ondorioak komunikatuko dizkiebesteei.

19

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 19

Page 20: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

11. UNITATEA: ESTATISTIKA-PARAMETROAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Hainbat estatistika-parametroren esanahia ulertzea: moda, batez bestekoa,mediana, ibiltartea, bariantza…

Hainbat estatistika-parametroren kalkulu algoritmoak aplikatzea eta lortutakobalioak zuzen interpretatzea.

Kalkulagailua erabiltzea kalkulu estatistikoak egiteko.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Gizarte Zientziak; Geografia eta Historia; Gaztelania etaLiteratura.

Unitatearen ibiltartea

SAKABANATZE-PARAMETROAK

Sakabanatze-parametro nagusiak adieraztea eta kalkuluaren adibideak ematea.

- Ibiltarte, batez besteko desbiderapen, bariantzaren eta desbiderapen tipikoarenkontzeptuak manipulatzea.

- Sakabanatze-parametro nagusiak kalkulatzeko prozedura eraikitzea etabarneratzea.

Orientazio didaktikoak

SAKABANATZE-PARAMETROAK

Irakaslea dispertsio-parametroak irakasten has daiteke eta, horretarako, banaketaaztertzeko batez besteko aritmetikoa ez dela nahikoa nabarmenduko du. Izan ere,banaketa hori desbiderapen tipikoarekin osatu behar da. Horrek datuensakabanatzeari buruzko informazioa emango digu.

Zentzu horretan, adibide errazak jar daitezke, honako hau esaterako:

Familia batek bi ibilgailu baldin baditu eta besteak bakar bat ere ez badu,batez bestekoaren informazioa da familia bakoitzak ibilgailu bana duela,baina horrek ez du errealitatea islatzen. Beste parametro bat gehitu behar dadatuen dispertsioa neurtzeko. Lehenengo kasuan (bi ibilgailu dituen familiaeta ibilgailurik ez duen familia) dispertsioa oso handia da; aldiz, bigarrenkasuan, nulua.

20

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 20

Page 21: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Estatistika-parametroak eta parametro horiek datuak interpretatzeko dutenerabilpena aztertzerakoan, irakasleak honako ariketa hauek proposa ditzake:

- Lantaldeak antolatzea eta klaseari buruz ezagutu nahi duten ezaugarriren batiburuzko estatistika-azterketa prestatzea: ikasturteko irakasgaien inguruko iritzia,ikasleek beren gurasoekin duten harremana… Ikerketak honako urrats hauekizan behar ditu: inkesta egitea, datuak taulan jartzea; grafikoak egitea, estatistika-parametroak kalkulatzea, lortutako emaitzak interpretatzea eta ondorioakateratzea.

Inkestaren galderen erantzunak zenbakizkoak izaten saiatu behar da; bestela,erantzunak kuantifikatzeko baremoa ezar daiteke. Adibidez, galdera gurasoenaginpidea bada, erantzunak 0-1-2-3-4 izan daitezke, batere ez, gutxi, normala,asko eta gehiegizkoa adierazteko.

- Prentsan maiz agertzen dira estatistika-ikerketak (galdeketak eta inkestak,hauteskundeetako emaitzak…). Horrelako informazioa jasotzeko lantaldetanantola daitezke, gero klasean komentatzeko. Aurreko unitatean bilatutakoestatistika-azterketek ere oinarri gisa balio dezakete, ariketa hori egin baldinbazuten.

12. UNITATEA: PROBABILITATEA

UNITATEAREN HELBURUAK

Esperimentu aleatorioaren eta esperimentu deterministarenarteko bereizketa egitea.

Esperimentu aleatorio baten laginaren espazioa ezartzea.

Esperimentu aleatorio baten gertaera motak ezagutzea, eta bere maiztasunabsolutuak eta erlatiboak eta probabilitatea kalkulatzea.

Ordenagailua erabiltzea esperimentu aleatorioak simulatzeko.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Plastikaren eta Ikusizkoen Hezkuntza; Teknologia;Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

ALDEZ AURREKO KONTZEPTUAK

Esperimentu aleatorioak eta probabilitatearen oinarrizko kontzeptuak aurkeztea.

- Esperimentu aleatorioak eta esperimentu deterministak bereiztea.

21

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 21

Page 22: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Oinarrizko gertaerak eta edozer esperimentu aleatorioren lagin-espazioaidentifikatzea.

- Gertaerak, gertaera seguruak eta ezinezko gertaerak ezagutzea.

PROBABILITATE KALKULUAK

Probabilitatearen kontzeptua erakustea, baita ekiprobabilitatearenkontzeptuaren, Laplaceren erregelaren eta zuhaitz diagramen bidez nolakalkulatzen den ere.

- Probabilitate hitzaren esanahiaren inguruan hausnarketa egitea eta oinarrizkogertaeren maiztasun erlatiboen portaera aztertzea, definizioa emateko.

- Laplaceren erregela eta zuhaitz diagramak erabiltzea esperimentu sinpleetaneta konposatuetan probabilitateak kalkulatzeko.

Orientazio didaktikoak

ALDEZ AURREKO KONTZEPTUAK

Irakasleak zoria egunerokotasunean presente dagoela nabarmendu behar duunitatearen hasieratik. Horretarako, erabilgarria da probabilitatearen oinarrizkokontzeptuak bizitza errealeko egoeretan kokatzea. Adibidez, honako ariketa hauproposa daiteke:

• Jolas-orduan klasetik ateratzen den lehen neskaren jertsearen kolorea begiratzeko esperimentua egingo dugu. Esperimentua aleatorioa edo determinista da?

Erabilgarria da ikasleek talde txikitan edozer esperimentu aleatorioren emaitzakaurkitzea. Izan ere, aleatoriotasuna errazago hautemango dute errealitatean ikusbaldin badezakete. Horrela, gelan egiteko moduko ariketa eta jolas errazak egingodituzte: kartak, dadoak jaurtitzea, bolak kutxetan, erruleta…

Adibidez:

Karta-sorta espainiarretik karta bat ateratzeko esperimentu aleatorioan, aurkiitzazu honako gertaera hauei dagozkien emaitzak:

a) Zenbaki bikoitiko karta bat ateratzea c) Urrea ateratzea

b) Irudia ateratzea d) Bateko pika ateratzea

Ariketa horiei esker, oinarrizko gertaeraren eta lagin-espazioaren kontzeptuetaranaturalki hurbil daitezke. Gainera, Hezkuntza morala eta gizabidezkoa zeharkakoirakasgaia lantzen lagunduko du, ikasleek taldeko eta klaseko beste kideen iritziakerrespetatzen eta balioztatzen badituzte.

Gertaera baten maiztasun absolutuak eta erlatiboak ikertu baino lehen, ikasleekehunekoak hainbat eratan nola adierazten diren gogoratu behar dute. Ikasleek ikusibehar dute maiztasun absolutuen batuketak egite kopuruarekin bat egiten duela.

22

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 22

Page 23: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

PROBABILITATE KALKULUAK

Probabilitateak gertaera bat jazotzeko ziurtasun maila neurtzen duelanabarmendu behar du irakasleak, eta probabilitatearen inguruko hiztegia zuzeneta zehazki erabili behar dela.

Zenbait ikaslek ezinezkoaren eta nekez gerta daitekeenaren artean bereiztekoarazoak dituzte. Zailtasun hori gainditzeko, ezinezko egoeren eta balizkoak direnbaina nekez gerta daitezkeen egoeren artean bereizteko ariketak proposadaitezke.

Beharrezkoa da ikasleek Laplaceren erregela intuitiboki ulertzea baita, zenbaitkasutan, probabilitatea Laplaceren erregelaren eta maiztasun erlatiboaren bidezkalkulatzea ere.

Hainbat adibideren bidez, esperimentu aleatorio bateko oinarrizko gertaeraguztien probabilitatearen batuketa 1 dela ikusi behar dute.

Komeni da azaltzea honako pauso hauek eman behar direla egite bat bainogehiagoko esperimentu aleatorioen gertaeren probabilitatea kalkulatzeko:

a) Zuhaitz-diagrama egin.b) Lagin-espazioaren emaitza kopurua zenbatu.c) Laplaceren erregela aplikatu, probabilitatea kalkulatzeko.

Esperimentu aleatorio berean egiten diren probak independenteak direla ohartubehar dute.

23

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 23

Page 24: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

DBH 4

1. UNITATEA: ZENBAKI ERREALAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Zuzen erreal baten segmentua tarte bezala adieraztea, eta alderantziz.

Zenbaki errealak ezagutzea, adieraztea eta ordenatzea, eta horiekin eragiketakegitea.

Eskatutako zehaztasunaren araberako hurbiltze hamartarrak egitea, zenbakierreal baten zifra esanguratsuak ezagutzea eta zenbakizko problemak ebazteko

errorearen hedapena kontrolatzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Teknologia; Naturaren Zientziak; Gaztelania etaLiteratura.

Unitatearen ibiltartea

HURBILKETAK ZENBAKI ERREALETAN

Zenbaki errealak hurbiltzeko hainbat forma garatzea, eta kasu bakoitzeanegindako errorea nola kalkulatzen den irakastea.

- Tarte motak ezagutzea.

- Zenbaki errealen hurbilketak bereiztea, hurbilketa horien ordena zehaztea,hurbilketak ebaketa edo biribilketa bidez egitea, eta egindako errorea edoerrore absolutuaren bornea kalkulatzen ikastea.

Orientazio didaktikoak

HURBILKETAK ZENBAKI ERREALETAN

Zenbaki errealen hurbilketa aztertzen hasi baino lehen, zifra hamartarrenkopuru handiaren ondorioz kalkuluak egitea ia ezinezkoa den ariketakproposatu beharko lirateke. Hurbilketa hamartarrak maneiatzeko beharradagoela sinetsi ondoren, honako ariketa hauek proposa daitezke:

24

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 24

Page 25: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Zenbaki baten hainbat hurbilketa ematea eta zehaztugabeena zein den esatea.

- Zenbaki bat handiagora eta txikiagora hurbiltzea eta hurbilketarik onenaaukeratzea.

- Zenbakiak orden zehatz bateraino biribiltzea.

Hainbat motatako tresnekin neurketak egitea, eta egindako errorearen etaerrore horrek probleman edo egoeran duen garrantziaren ingurukohausnarketa egitea oso interesgarriak da.

Zehaztasun tresnak erabili ahal izatea komeni da, esaterako: kronometroak,kalibreak, etab. Horrek ariketak taldean egiteko aukera ematen du, baitaariketak beste sail batzuekin batera egiteko ere, esaterako: Teknologiasailarekin edo Naturaren Zientziak sailarekin.

2. UNITATEA: BERREKETA ETA ERROKETA.

UNITATEAREN HELBURUAK

Errotzailea oinarri errealeko eta berretzaile arrazionaleko berretura gisaadieraztea.

Oinarri errealeko eta berretzaile arrazionaleko berreturekin eragiketak egitea,baita errotzaileekin ere.

Logaritmo hamartarrekin eragiketak egitea eta haien ezaugarriak ezagutzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Teknologia.

Unitatearen ibiltartea

OINARRI ERREALEKO BERREKETAK

Oinarri errealeko eta berretzaile naturaleko edo osoko berreturak eta haienezaugarriak azaltzea.

- Oinarri arrazionaleko eta berretzaile naturaleko edo osoko berreturen ezaugarriaketa propietateak gogoraraztea.

- Oinarri errealeko eta berretzaile naturaleko edo osoko berreturak ezagutzea, horiekkalkulatzen jakitea eta haiekin eragiketak egiten ikastea.

ERROTZAILEAK

25

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 25

Page 26: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Zenbaki errealen ene-erroak aurkeztea, eragiketak errotzaile koadratikoekinadieraztea eta lan hori guztia oinarri errealeko eta berretzaile arrazionalekoberreturak definitzeko aprobetxatzea.

- Ene-erroak, haien ikurra eta haiekin egiten diren eragiketak aztertzea.

- Errotzaile koadratikoan biderkagaiak sartzeko eta ateratzeko prozeduraidentifikatzea.

- Oinarri errealeko eta berretzaile arrazionaleko berreturak, horien ezaugarriaketa haiekin eragiketak nola egin aztertzea.

- Edozer zatikiren izendatzailea nola arrazionalizatzen den ikustea.

LOGARITMOAK

Logaritmoaren kontzeptua eta horren propietateak aurkeztea.

- 10eko oinarria duen berreturaren eta logaritmo hamartarraren arteko harremanaulertzea, hainbat adibidetatik abiatuta.

- Logaritmoen propietateak eta horien aplikazioa ikustea.

Orientazio didaktikoak

OINARRI ERREALEKO BERREKETAK

- Unitatearen hasieran, berretzaile naturaleko berreturak berrikusi egin behardira. Horretarako, zientzia fisikoetako egoerak balia daitezke; zehazki, berreturakmagnitudeak zehazteko, legeak adierazteko, eta abarrerako erabiltzen direnegoerak.

- Horrela, honako adibide hauek erakuts daitezke:

• Uniformeki azeleratutako mugimendu zuzenaren ekuazioa:

s = s0 + v0t + 1/2 a t2

m · m’• Grabitazio unibertsalaren legea: F = G ·

d2

• Erresistentzia elektrikoan kontsumitutako berretura:

P = R · L2

Adierazpen horietako batzuek berretzaile osoko berreturak lantzen hastekoaukera ematen dute, adibidez:

m · m’F = G ·

d2F = G · m · m’ · d-2

26

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 26

Page 27: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

ERROTZAILEAK

Erroketa berreketaren alderantzizko eragiketa gisa lantzen hastea erabakitzenda. Horrela, honako galdera hauek egin daitezke:

- � 1eko erresistentziarekin xahututako potentzia 4 W-koa bada, zenbatekointentsitatea dauka erresistentzia horrek?

Mundu fisikoan oinarritutako egoerak, gainera, oso egokiak dira diziplinartekotratamendu didaktikorako, beste zenbait ezagutza eremurekin dauzkankonexio anitzei esker. Aurreko adibidea erabil daiteke ikasleak erroketareninguruko ikuspegia jasotzeko, eta ikuspegi horren ondorioz naturalki honakoadierazpen hau sortzeko:

n√a = a 1/n.

Kalkulagailuarekin lan egiteak errotzaileak kalkulatzerakoan ezagutza berriakesperimentatzeko aukera ematen du. Halere, errore-hedapeneko fenomenoekokerreko emaitzak sor ditzakete. Hortaz, ikasleak ohartu behar du emaitzafidagarriak lortzeko errotzaileak dituzten eragiketak erraz menderatzeagarrantzitsua dela, eta kalkulagailua kalkuluaren azken urratsean erabiliko dusoilik.

Fenomeno hori egiaztatzeko, ikasleei eragiketak bi erara egitea proposatudiezaieke irakasleak: kalkulagailuarekin errotzaileen propietateak aplikatzeaeta lortutako emaitzak lotzea. Adibidez:

- Egin ezazu honako eragiketa hau zure kalkulagailuarekin, errotzaileenpropietateak aplikatuz, eta hausnar ezazu lortutako emaitzen inguruan.

Kalkulagailua: (√2) 2⇒ Propietateak: (√2) 2 = …

LOGARITMOAK

Ikasleek logaritmoen beharra eta erabilgarritasuna uler dezaten, dezibelenerabilera arrunteko eskala logaritmikoa eman dakieke adibide bezala. Horrela,dB soinu intentsitatearen erlazio-unitatea dela azaldu behar da. Logaritmoarenpropietateak dezibeletan neurtutako soinuaren propietateekin lotu behar dira;adibidez, 3 dB-ko murrizketa egiteak soinu intentsitatearen erdia murrizteaesan nahi du; 10 dB-ko aldakuntzak soinu-intentsitatearen 1etik 10era artekoaldakuntza adierazten du. Hortaz, 120 dB-ko zarata egiten duen hegazkina 110dB-ko zarata egiten duen hegazkina baino hamar aldiz zaratatsuagoa da.Entzumenak hauteman dezakeen zaratarik txikiena 0 dB-koa dela onartzenbada, entzumen-minaren muga 140 dB-koa da. 1.000 Hz-ra, muga hori 1.014-ko intentsitatekoa da (entzumen-muga baino 100 bilioi handiagoa). Iruzkinhoriek dagozkien formulekin justifika daitezke.

27

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 27

Page 28: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

3. UNITATEA: POLINOMIOAK ETA ZATIKI ALJEBRAIKOAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Polinomioen kontzeptua eta polinomioekin egiteko hainbateragiketa ezagutzea.

Aurrez emandako polinomio baten multiploak eta zatitzaileak aurkitzea.Bi polinomioren edo gehiagoren z.k.h. (zatitzaile komunetako handiena)

eta m.k.t. (minimo komunetako txikiena) kalkulatzea.

Zatiki aljebraikoen kontzeptua ezagutzea eta zatiki aljebraikoekineragiketak egitea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Teknologia; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

ERAGIKETAK POLINOMIOEKIN

Polinomioen elementuak eta polinomioekin egiteko eragiketak aurkeztea.

- Polinomioari eta horren elementuei dagozkien oinarrizko definizioak ikustea.

- Polinomioen arteko batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa egiteko prozedurakjarraitzea, eta zuzen aplikatzea.

- Ruffiniren erregela jarraitzea, polinomioen arteko zatiketak egiteko, eta erregelahori zuzen aplikatzea, kasu egokietan.

POLINOMIOEN ZATIGARRITASUNA

Polinomio baten multiploen eta zatitzaileen kontzeptuak eta hondarrarenteorema aurkeztea, baita polinomioa faktorizatzeko hainbat metodo ere.

- Polinomioen multiploen eta zatitzaileen definizioak ikustea.

- Hondarraren teoremaren eta horren aplikazioen inguruan hausnarketa egitea.

- Polinomio laburtezinaren eta bi polinomio edo gehiagoren z.k.h.-ren eta m.k.t.-ren definizioak irakurtzea.

ZATIKI ALJEBRAIKOAK

Zatiki aljebraikoak eta zatiki aljebraikoen arteko eragiketak aurkeztea.

- Zatiki aljebraikoaren eta zatikien baliokidetasunaren definizioak ikustea.

28

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 28

Page 29: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Zatiki aljebraiko baten sinplifikazioa adibideetan ikustea, eta ariketetanaplikatzea.

- Zatiki aljebraikoen arteko batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa egitekoprozedurak jarraitzea, eta zuzen aplikatzea.

Orientazio didaktikoak

ERAGIKETAK POLINOMIOEKIN

Ikurren erabilpena eta manipulazioa ezinbestekoak dira polinomioekin lanegiteko, baina ikasle gehienentzat zaila izaten da. Horregatik, hizkuntzaaljebraikoaren asimilazioa erraztu behar da: zenbaitetan, letra zehaztugabea aldadaiteke, ez dadin beti x izan; polinomioen kontzeptua ere lantzen has gaitezke.Horretarako, adibide fisikoak erabiliko ditugu, esaterako: abiadura konstantekomugimenduaren formulak (x = v · t), edo gorputz baten erortze libreko formulak:

1(x = gt2)

2

Polinomioen elementuen izendapena (koefizienteak, gaiak…) behin eta berrizesan behar da, polinomioen edo horien zenbait elementuren aipamena erraz etaazkar egin ahal izateko.

Polinomioekin eragiketak lantzen hasi baino lehen, zenbaki arrazionalduneragiketen propietateak gogoratu behar dira eta, behar izanez gero, berrizzerrendatu behar dira.

Polinomioen arteko zatiketa egiteko Ruffiniren erregela lantzen hastean, zatitzaileakpolinomioa izan behar duela nabarmendu behar da, eta polinomio horrenadierazpenak x – a erakoa izan behar duela. Horretarako, prestatzeko ariketak egindaitezke, erregela azaldu baino lehen. Ikasleak, Ruffiniren erregelaren bidez egindaitekeen zatiketaren bat antzeman ondoren, zatikizunaren a aurkitu behar du.

POLINOMIOEN ZATIGARRITASUNA

Multiploaren eta zatitzailearen zenbakizko kontzeptuak nabarmendu behar dira,polinomioen artean multiploen eta zatitzaileen kontzeptuak definitu bainolehen. Kontzeptu horiek aurrekoekin alderatuz lantzen hasiko gara. Polinomiobat bestearen multiploa edo zatitzailea noiz den jakitea konplexuagoa izan arren,kontzeptua zenbakizko kasuan bezain erraza dela nabarmendu behar da.Ondorioz, ikasleek hondarraren teorema bizkorrago ulertuko dute, baitapolinomio baten eta x – a erako beste polinomio baten arteko zatigarritasunaezagutzeko nola aplika daitekeen ere. Horretarako, lehenak x-ren balio zehatzbaterako daukan zenbakizko balioan oinarritu behar da.

ZATIKI ALJEBRAIKOAK

Atal horretan, halaber, zenbakizko kontzeptuen eta kontzeptu aljebraikoenarteko paralelotasunak nabarmendu behar dira. Horretarako, kontzeptu horienbaliokidetasunak barne hartzeko taula landu daiteke:

29

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 29

Page 30: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

4. UNITATEA: EKUAZIOAK. EKUAZIO SISTEMAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Lehen mailako ekuazioak ezezagun batekin, lehen mailakoak bi ezezagunekin,bigarren mailakoak ezezagun batekin eta lehen mailako sistemak bi

ezezagunekin ebazteko prozedurak finkatzea.

Ekuazioen eta ekuazio sistemen azterketa zabaltzea, eta ekuazio bikarratuak,irrazionalak eta sistema ez-linealak lantzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste.

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Fisika eta Kimika; Gaztelania etaLiteratura.

Unitatearen ibiltartea

BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK

Bigarren mailako ekuazioaren kontzeptua eta ebazpenaren formula gogoratzea,eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen ekuazioak erakustea.

- Bigarren mailako ekuazioaren ebazpenaren adibideak jarraitzea.

- Ekuazio bikarratuen eta irrazionalen ebazpena aztertzea.

EKUAZIO SISTEMAK

Ekuazio sistemaren kontzeptua eta hainbat ebazpen sistema berrikustea.

- Ekuazio sistemen ebazpen grafikoaren adibidea aztertzea.

30

Zenbakizko zatikia

Definizioa:

Baliokidetasuna:

Biderketa:

etab.

Zatiki aljebraikoa

con b = 0a

b

a

b= a . d = b . c

c

d

a

b . =

c

d

a . c

b . d

P (x)

Q (x)Q(X) = 0-kin

P (x) . S (x) = Q (x) . R (x)P (x)

Q (x)=

R (x)

S (x)

P (x)

Q (x)=

R (x)

S (x)

P (x) . R (x)P (x)

Q (x)=

R (x)

S (x)= =

Q (x) . S (x)

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 30

Page 31: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Hainbat ebazpen sistema aljebraiko ezagutzea eta zuzen aplikatzea.

- Sistema ez lineal baten ebazpena aztertzea, eta ariketetan aplikatzea.

Orientazio didaktikoak

BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK

Bigarren mailako ekuazioaren ebazpena lehen mailako ekuazioarena baino eramekanikoagoan egin behar da. Izan ere, ebazteko formularen azalpena atal honenoinarrizko helburuetatik urrundu egiten baita. Horregatik, formula buruz ikasibeharra eta formula horren elementuak ongi interpretatu beharra nabarmendubehar dira. Aldiz, aipatutako formulak eskaintzen dituen soluzioen ingurukohausnarketa sustatu behar da, baita soluzioak egiaztatzeko ohitura hartzea ere,kalkulu erroreak saihesteko.

Azken horrek lagunduko du ikusten ekuazio bikarratuen eta ekuazio irrazionalensoluzioak beti ez datozela bigarren mailako ekuazio kideen soluzio guztietatik(izan ere, agertzen diren erroek eta karratuek ez dute ikur negatiboko soluziorikonartzen). Ekuazio mota horietan, kasu bakoitzerako soluzio posibleen kopurumaximoa eta minimoa nabarmendu behar da.

EKUAZIO SISTEMAK

Ekuazio sistema baten soluzioak zenbaki bikote batez osatuta egon behar du, batx-ri dagokiona, eta bestea y-ri dagokiona, eta ez zenbaki bakarrez osatuta,ezezagun bateko ekuazioen kasuan bezala. Horretarako, honelako ariketakproposa daitezke:

2x – 2y = 1x = 1 al da sistema horren soluzioa?

2x + 6y = 2

Hainbat metodorekin ebazpena egiteko gai teknikoari dagokionez, ikasleekurratsak ulertu eta metodoak bereizten ikasi ondoren, metodoen mekanizazioanabarmendu beharra dago prozedura finkatzeko. Hori ariketa asko egin ondorenlortuko dute.

5. UNITATEA: INEKUAZIOAK. INEKUAZIO SISTEMAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Hizkuntza aljebraikoan desberdintasun harremanak dauden hainbategoera adieraztea.

Inekuazioak eta inekuazio sistemak ebaztea, eta soluzioa geometrikokiinterpretatzea.

Hizkuntza aljebraikoa erabiltzea eta eguneroko bizitzaren hainbat egoeraadierazteko duen balioa kontuan hartzea.

31

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 31

Page 32: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Teknologia; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

INEKUAZIOAK

Inekuazioaren kontzeptua aurkeztea eta ezezagun bateko eta biko lehen mailakoinekuazioak, eta ezezagun bateko bigarren mailako inekuazioak ebaztekoprozedura azaltzea.

- Ikasitako inekuazioak ebazteko prozedura jarraitzea.

INEKUAZIO SISTEMAK

Inekuazio sistemaren kontzeptua eta ezezagun bateko eta biko lehen mailakosistemak ebazteko prozedura lantzen hastea.

- Aurrez emandako inekuazio sistema motak ebazteko prozedura irakurtzea.

Orientazio didaktikoak

INEKUAZIOAK

Sinbolo aljebraikoak ez dira adierazpide formalak soilik; aldiz, esanahihartzaileak dira. Hizkuntza aljebraikoaren erabilpena sustatzeko, irakasleakeztabaidarako elementuak lan ditzake klasean, esaterako: egoera problematikoeninguruko eztabaidak. Izan ere, azken horiek, dagokien testuinguruan kokatzenbadira, ikasleak motibatzen dituzte.

Irakasleak klasean hizkuntza arrunta erabiltzen saiatu behar du. Hortaz, ikasleeninguru sozialaren eta kulturalaren hurbileko esanahiak erabiliko ditu, horienbitartez sinbologia eta formalismo aljebraikoak etengabe hurbiltzen eta ulertzenjoateko.

Inekuazioen ebazpenari ekin baino lehen, ikasleek zuzen errealean mugatugabeko hainbat tarte adierazi behar dituzte, tarte mota horiek lehen aldiz sartzenbaitira unitate honetan.

Inekuazioei lotutako eta aljebraren gehiegizko interpretazioan, esaterako,aritmetika orokortuan, jatorria duten hainbat ulermen zailtasun identifikadaitezke. Zentzu horretan, ohikoa da ikasleek pentsatzea problema batebaztearen helburua erantzun bakarra eta zehatza lortzea dela. Horrela, oso zailaizaten da zuzenaren tarte batean dauden balio infinituak ongi adierazitakosoluzioa direla onartzea. Errore mota horiek oso barneratuta daude ikasleenartean, eta irakasleak unean-unean zuzentzea askotan ez da nahikoa izaten.

Errore horiek gainditzeko zenbait ariketa baliagarri honako hauek dira:problemen soluzioak sistematikoki egiaztatzea, irakasleak proposatutakofikziozko ariketetan erroreak aurkitzea edo soluzioek interpretazio gatazkatsuaduten problemak klasean eztabaidatzea.

32

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 32

Page 33: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Aurreko orientabideetan azaldu dugun modura, klasean eztabaidatzea osoeraginkorra da. Izan ere, horri esker ikasleek beren kontraesanak gaindiditzakete, gainerako ikaskideekin elkarrekintzan arituta.

INEKUAZIO SISTEMAK

Inekuazio sistemaren kontzeptua hobeto ulertzeko, irakasleak ikasleei honakoariketa hauek proposa diezazkieke:

- Lor ezazu honako soluzio tarte hau duen ezezagun bateko lehen mailako biinekuazioren sistema:[-10, +∞�). Nolakoak dira sistema osatzen duten inekuazioak?

- Bi ezezaguneko lehen mailako inekuazioak izan al ditzake soluzio gisakoordenatu sistema baten lehen koadrantearen puntuak?

6. UNITATEA: GEOMETRIA LAUA

UNITATEAREN HELBURUAK

Edozer angeluren arrazoi trigonometrikoak ezagutzea.

Angelu berdinaren edo angelu ezberdinen arrazoi trigonometrikoen artekoharremanak ezartzea.

Kalkuluak egiteko arrazoi trigonometrikoak edo bektoreak beharrezkoak direnproblemak ebaztea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Teknologia; Plastikaren eta Ikusizkoen Hezkuntza;Naturaren Zientziak; Fisika eta Kimika; Gizarte Zientziak; Geografia eta Historia.

Unitatearen ibiltartea

TRIGONOMETRIA

Angelu zorrotz baten eta edozer angeluren arrazoi trigonometrikoak aurkeztea,baita zirkunferentzia goniometrikoa eta horren propietateak eta aplikazioak ere.

- Angelu zorrotz baten sinu, kosinu eta tangente definizioak irakurtzea etaaplikatzen jakitea. Horien bidez, alderantzizko arrazoi trigonometrikoakondorioztatzea.

- Angeluen eta horien bihurketaren bi unitateak ezagutzea, baita kalkulagailuakangeluak adierazteko erabiltzen duen modua ere.

- Triangelu baten ebazpenaren kontzeptua ezagutzea eta arrazoi trigonometrikoenlaguntzarekin aplikatzea, horretarako ezarritako adibideei jarraiki.

33

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 33

Page 34: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Edozer angeluren eta zirkunferentzia goniometrikoren arrazoi trigonometrikoendefinizioak aztertzea.

- Arrazoi trigonometrikoen propietateak eta erlazioak behatzea, baita arrazoihoriek manipulazio angeluarrean duten aplikazioa ere.

BEKTOREAK

Bektore finkoen eta bektore libreen kontzeptuak definitzea, eta bektoreduneragiketaren eta bektoreen konbinazio linealaren kontzeptuak aurkeztea.Azkenik, planoko puntu baten koordenatuak definitzea.

- Bektore finko baten elementuak eta bektore librearekin dituen diferentziakaztertzea.

- Bektore libreekin egin daitezkeen hainbat eragiketa ikustea eta zuzenaplikatzea.

- Askotariko bektoredun eragiketak zuzen egitea, horien osagaiak erabilita.

- Erreferentzia sistemaren kontzeptua aztertzea eta hortik puntu batenkoordenatuak ondorioztatzea.

Orientazio didaktikoak

TRIGONOMETRIA

Arrazoi trigonometrikoen definizioan, arrazoi horiek aipatutako triangeluangeluzuzenaren mendekoak ez direla nabarmendu behar da. Horretarako,ariketa praktikoren bat egitea komeni da, antzeko bi triangeluen angeluberdinaren sinu eta kosinu balioak berdin-berdinak direla egiaztatzeko.

Era berean, hasieratik zenbait propietate erraz eta intuitibo, gehienez erePitagorasen teorema ezagutzea eskatzen dutenak, adierazi behar dira.

• Sinua eta kosinua 0 eta 1 arteko balioak dira.• Arrazoi trigonometrikoak zenbakiak dira soilik, eta ez daukate

magnitude kiderik. Hortaz, inoiz ez zaie neurri unitaterik jarri behar.

Arrazoi trigonometrikoen kalkuluan erroak agertzen badira, haiei eutsi eginbehar zaiela gogorarazi behar da eta, gehienez, hurbilketa kalkulatu daiteke,errodun adierazpena ahal den guztia sinplifikatu ondoren. Hori berezikigarrantzitsua da problemetan. Izan ere, sinplifikazioak erroreak sor ditzake.Edozer kasutan ere, hurbilketa egiten bada, zifra esanguratsuenak eman behardira, gutxienez.

Trigonometriaren ikerketak izaera grafiko argia duenez, tresna informatikoindartsuekin egin behar da, azaldutako kontzeptuak osatzeko edota zabaltzeko.Zentzu horretan, arrazoi trigonometrikoak eratzeko programak, funtziotrigonometrikoak lantzen hasteko beste hainbat programa eta funtzio horiekmanipulatzeko beste programa batzuk erabil daitezke.

34

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 34

Page 35: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

BEKTOREAK

Bektore finkoen eta bektore libreen arteko ezberdintasuna nabarmendu behar da,baita erreferentzia sistema zehatz bateko puntu baten koordenatuen oinarrizkokontzeptua ere. Gaiaren lehortasun aljebraikoa leundu egin behar da definizioaeta bektoredun eragiketak egiteko ordenagailu bidezko zenbait simulazioerabilita.

7. UNITATEA: KONIKAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Leku geometrikoen kontzeptua ulertzea.

Zenbait leku geometriko aurkitzea eta konikak leku geometrikoak direlaohartzea.

Konika bakoitzaren elementuak zehaztea eta grafikoki adieraztea.

Hainbat konikaren ekuazio murriztua aurkitzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Plastikaren eta Ikusizkoen Hezkuntza; Teknologia;Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia eta Historia.

Unitatearen ibiltartea

LEKU GEOMETRIKOA

Leku geometrikoen kontzeptua aurkeztea eta, horren adibide gisa, erdibitzaileaeta erdikaria ere bai.

- Segmentu baten erdibitzaile eta erdikari definizioak gogoratzea.

- Aurreko definizioetan leku geometrikoen kontzeptua ezagutzea.

KONIKAK

Distantzia konikoak, horien elementu nagusiak eta propietateak aurkeztea.

- Konika moten definizioa eta adierazpena ikustea, eta horiek egiteko gai izatea.

- Konika bakoitzaren oinarrizko elementuak ezagutzea eta elementu horiekkalkulatzeko gai izatea.

Orientazio didaktikoak

LEKU GEOMETRIKOA35

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 35

Page 36: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Lehenengo eta behin, erdibitzaile eta erdikari definizioak gogoraraztea komenida; baita definizio horiek grafikoki lortzeko modu praktikoa ere. Zenbaiterdibitzaile eta erdikari lortu ondoren, askoz ere errazagoa izango da lekugeometrikoen kontzeptua lantzen hastea. Horretarako, egindako adierazpenetanzuzen bakoitzaren puntuen propietate zehatza ikusi behar da: erdibitzailean,bere muturren distantziakidetasuna eta, erdikarian, angeluen aldeendistantziakidetasuna.

KONIKAK

Konika motak lantzen hasi baino lehen, ikasleek horietako bakoitzaren adibidebat adieraz dezakete, haiek egiteko argibideak jarraituta. Irakasleak lortu beharden formako modeloa adieraz dezake, ikasleei lana errazteko. Honako figuramota hauen adibide praktikoak ere eman diezazkieke:

- Zenbait barrutiren bobeda elipsoidala.

- Lente hiperboliko baten irudia, hiperbolarako islapen-teleskopio batean.

Marrazki horien gainean, irudi horiek aztertzeko beharrezko elementuak etaneurriak nabarmen daitezke.

8. UNITATEA: LEHEN ETA BIGARREN MAILAKOFUNTZIOAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Funtzioaren kontzeptua eta horren ezaugarriak ulertzea.

Lehen eta bigarren mailako funtzioak grafikoki bereiztea eta adieraztea.

Parabolaren elementuak zehaztea.

Bigarren mailako inekuazioak eta ekuazio linealen sistemak grafikoki ebaztea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Teknologia; Plastikaren eta Ikusizkoen Hezkuntza; GizarteZientziak; Geografia eta Historia; Naturaren Zientziak.

Unitatearen ibiltartea

FUNTZIOAREN KONTZEPTUA

Funtzioaren kontzeptua aurkeztea, baita ikasi beharrekoak diren funtzioenezaugarri nagusiak ere.

- Funtzioaren kontzeptua eta horren adierazpen grafikoa gogoratzea.

36

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 36

Page 37: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Edozer funtzioren ikasi beharreko ezaugarriak irakurtzea.

- Funtzio adibideak aztertzea eta horien ezaugarrien inguruan hausnarketaegitea.

LEHEN MAILAKO FUNTZIOA

Lehen mailako funtzioa, maila horretako funtzio motak eta adierazten duenzuzenaren ekuazioa aurkeztea.

- Funtzio linealaren eta funtzio afinaren arteko ezberdintasunak ulertzea.

- Zuzen baten maldaren kontzeptua angelu baten tangentearen kontzeptuarekinlotzea.

- Adibideen bidez, zuzena lortzeko hainbat era aztertzea.

BIGARREN MAILAKO FUNTZIOA

Bigarren mailako funtzioa aurkeztea, baita parabola adierazteko elementuak ere.Kontzeptu horiek aplikatzea bigarren mailako inekuazioak eta sistema ez-linealak ebazteko.

- Funtzio koadratiko baten ekuazioa horren adierazpen grafikoarekin lotzea,alegia, parabolarekin.

- Parabola moten oinarrizko elementuak aztertzea eta elementu horiekekuazioaren bidez aurkitzea.

Bigarren mailako inekuazioak eta sistema ez-linealak grafikoki ebaztea.

Orientazio didaktikoak

FUNTZIOAREN KONTZEPTUA

Funtzioaren kontzeptua, matematika modernoaren funtsezko kontzeptua izaki,xehetasun handiz definitu behar da, eta kontzeptua zein ezaugarri nagusiakargitzeko adibide asko eman behar dira. Horretarako, oso erabilgarria da Vennendiagramekin lan egitea, funtziotzat zer harreman mota jo daitekeen eta zer ezargitzeko. Adibideak era askotakoak izan daitezke, zenbakizkoak zein praktikoak(bi magnituderen arteko erlazioak, interesen kalkulua edo grafiko batetik edobalioen taula batetik atera daitekeen beste edozer erlazio).

Bikote ordenatu baten planoan adierazpena nola egiten den gogoratu behar da,funtzio baten adierazpena lantzen hasi baino lehen. Ondoren, grafiko batenpuntuen jarraitutasunaren kontzeptua lantzeari ekin, intuitiboki, aipatu gabe.Azkenik, funtzio jarraituaren grafikoaren puntua nola aurkitzen den gogoratubehar da. Une horretan, ikasleek edozer funtzioren ezaugarriak ulertu behardituzte, betiere, adibide grafiko batetik abiatuta.

LEHEN MAILAKO FUNTZIOA

37

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 37

Page 38: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Funtzio linealak landu ondoren, ikasleek hainbat ariketa egin ditzakete,ezaugarri aljebraikoak funtzio baten grafikoekin ahalik eta errazen erlazionatzealortzeko. Hobe da galderak ikasleen intuiziora zuzentzea, eta kalkulu zehatzik ezeskatzea, esaterako:

• Lehen mailako funtzioaren grafikoa emanda, adieraz itzazu ebakidura puntuak.

• Funtzio baten malda positiboa edo negatiboa den esan. Hainbat funtzio haien maldaren arabera ordenatu.

• Malda eta gai independentea kalkulatu, baita ebakidura puntuak ere (azken hori grafikoan soilik).

BIGARREN MAILAKO FUNTZIOA

Bigarren mailako ekuazioak eta horien soluzioak berrikusi behar dira atala hasibaino lehen eta, ondoren, ebazpen horiek funtzioen adierazpenarekinerlazionatu.

Ikasleek aztertutako kontzeptuak zuzen ikasi dituztela egiaztatzeko, kalkulurikbehar ez duten ariketa errazak egin ditzakete, edo buruko kalkulua eta hurbilduabehar dutenak, esaterako:

• Parabola bat kontuan izanik, funtzio horri dagozkion hainbat puntu, erpina eta ebakidura puntuak adieraz itzazu.

• Ordena itzazu hainbat funtzio horien gaien koefizienteen arabera.• Idatz ezazu zeroak parabola baten X ardatzaren ebakidurak diren

bigarren mailako ekuazio bat.

Zuzenak eta parabolak adierazteko programa informatiko erraz bat erabiltzeakomeni da, ikasleak zuzen eta parabola horiekin ohitzen joan daitezen. Oro har,edozer kalkulu orrik erraz eta eraginkorki egiteko aukera emango digu eta,horretarako, testuan ematen diren pausoak errepikatuta: taulak egitea eta,ondoren, grafikoak.

9. UNITATEA: FUNTZIO ESPONENTZIALAK, LOGARITMIKOAKETA TRIGONOMETRIKOAK

UNITATEAREN HELBURUAK

Funtzio esponentzialak, logaritmikoak eta trigonometrikoakgrafikoki bereiztea eta adieraztea.

Alderantzizko funtzioaren kontzeptua ulertzea eta funtzio esponentzialekin etalogaritmikoekin erlazionatzea.

Ekuazio esponentzialak, logaritmikoak eta trigonometrikoak ebaztea.

38

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 38

Page 39: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia etaHistoria; Musika; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

FUNTZIO ESPONENTZIALAK

Funtzio esponentzialak eta horien adierazpen grafikoa aurkeztea, adibidepraktikoen bidez, eta ekuazio eta ekuazio sistema esponentzialak nola ebaztendiren erakustea.

- Funtzio esponentzialaren grafikoaren forma ikustea eta kasu zehatzetanaurkitzea.

- Ekuazioen eta ekuazio esponentzialen sistemen ebazpena ikustea, eta ariketetanaplikatzea.

FUNTZIO LOGARITMIKOAK

Funtzio logaritmikoak eta beren adierazpen grafikoa aurkeztea, adibidepraktikoen bidez, eta ekuazio eta ekuazio sistema esponentzialak nola ebaztendiren erakustea.

- Funtzio logaritmikoaren grafikoaren forma ikustea, eta kasu zehatzetanaurkitzea.

- Ekuazioen eta ekuazio logaritmikoen sistemen ebazpena ikustea, eta ariketetanaplikatzea.

FUNTZIO TRIGONOMETRIKOAK

Funtzio trigonometrikoak angelu baten arrazoi trigonometrikoen bidez lantzenhastea eta horien adierazpen grafikoa aurkeztea.

- Funtzio trigonometrikoak ezagutzea horien arrazoietan oinarrituta.

- Horiek grafikoki adieraztea eta propietateak ikustea.

- Ekuazio trigonometrikoen ebazpena kontuan izatea, eta ebazpen hori ariketetanaplikatzea.

Orientazio didaktikoak

FUNTZIO ESPONENTZIALAK

Atal honetan, Bakerako eta osasunerako hezkuntzarekin lotutako alderdiak landaitezke, adibidez: gai erradioaktiboen deskonposizioak beheratzeesponentzialaren legea betetzen duela adierazi; alegia, gai horiendeskonposizioak funtzio esponentziala betetzen duela. Normalean, lege horrendatuek elementu erradioaktibo bakoitzak erradioaktibitate erdia galtzeko behar

39

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 39

Page 40: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

duen denbora ematen dute (erdibizitza). Ondorengo taulan, datu horietakobatzuk daude.

Elementua Uranio 238 Torio 234 Radio 226 Polonio 214

Erdibizitza 4, 51 x 109 urte 24,1 egun 1.620 urte 1, 64 x 10-4 segundo

FUNTZIO LOGARITMIKOAK

Funtzio logaritmikoek Osasunerako Hezkuntzarekin eta GizabidezkoHezkuntzarekin lotutako alderdiak ere jorratzeko aukera ematen dute; soinu-intentsitatearen kasua azter daiteke (dezibeletan neurtzen da), neurrilogaritmikoa baita. Mundu osoko agintari publikoek dB(A) eskala, edo dezibelak(A) eskala, erabiltzen dute soinuaren neurriak kuantifikatzeko. Honako haueskala intuitibo bat da:

Eskala logaritmikoa den heinean, 3 dB bakoitzeko, gutxi gorabehera, zaratabikoiztu egiten dela azaldu behar da; adibidez, 40 dB-tik 43 dB-ra igaroz gero,soinu maila bikoitza da. Horrela, zarataren eta zaratak sortzen dituen arazoen(lokalen, zaraten aurkako legeen, eta abarren) inguruko azterketak egin daitezke.Horretarako, komunikabideak erabiliko ditugu datuak aurkitzeko, eta baimendubeharreko muga maximoen (dB-tan) inguruan eztabaidatu dezakegu.

FUNTZIO TRIGONOMETRIKOAK

Oso garrantzitsua da ikasleek funtzio horiek nola egiten diren ikusi ahal izatea,arrazoi trigonometrikoen definizioen bidez. Horretarako, angelua zirkunferentziagoniometrikoan adieraz daiteke, baita beharrezko arrazoi trigonometrikoaaurkitu ere, eta horren adierazpen grafikoa egin (angelua radianetan).

40

Entzungarritasun muga

Soinu maila Xuxurla Elkarrizketa Hirikozirkulazioa

Rockkontzertua

Erreakzio-hegazkina10 m-ko

distantziara

dB(A) 0 30 60 90 120 150

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 40

Page 41: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

10. UNITATEA: ESTATISTIKA DIMENTSIOBAKARRA ETA BIDIMENTSIOTAKOA.

UNITATEAREN HELBURUAK

Aldagai kualitatiboen, kuantitatibo diskretuen eta jarraituen artean bereizketaegitea.

Ikerketa estatistiko batean jasotako datuak aztertzea eta interpretatzea.

Bi aldagai estatistikoren arteko korrelazioaren kontzeptua aplikatzea.

Korrelazioan dauden bi dimentsiotako aldagai estatistikoen ingurukoiragarpenak egitea eta horien baliozkotasuna interpretatzea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia etaHistoria; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

ESTATISTIKA DIMENTSIOBAKARRA

Estatistikaren oinarrizko kontzeptuak gogoratzea, baita taula eta grafikoestatistikoak egiteko modua ere, eta datuak aztertzeko funtsezko elementuakematea.

- Ikerketa estatistikoa definitzen duten hainbat elementu kontuan izatea.

- Taula estatistiko baten osagaiak eta horren eratzea gogoratzea.

- Aldagai estatistiko motak bereiztea.

- Grafiko estatistikoak taulen bidez ulertzea eta lantzea, eta ariketetan aplikatzea.

- Zentralizazio eta sakabanatze parametro motak gogoratzea eta horiek laginbaten datuak aztertzeko daukaten garrantzia balioztatzea.

BI DIMENTSIOTAKO ESTATISTIKA

Bi dimentsiotako estatistikaren eta horren taulen eta grafikoen oinarrizkokontzeptuak aurkeztea, eta datuak aztertzeko elementuak ematea; bereziki,korrelazioa eta erregresio lineala.

- Bi dimentsiotako estatistikaren oinarrizko kontzeptuak ikustea.

- Kalkulagailuaren laguntzarekin, taula eta grafiko estatistikoak lantzea etainterpretatzea, baita banaketa diskretuei eta etengabekoei dagozkien parametroestatistiko ohikoenak ere.

41

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 41

Page 42: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

- Korrelazioaren kontzeptua ulertzea eta ariketetan aplikatzea.- Erregresio lineala egiteko prozedura ulertzea eta zuzen aplikatzea.

Orientazio didaktikoak

ESTATISTIKA DIMENTSIOBAKARRA

Eguneroko bizitzan matematikaren diziplinarik zabalduena estatistika denez,komeni da diziplina horren adibideak eta erabilgarritasun praktikoak erakustea.Gainera, Hezkuntza Moral eta Gizabidezkoa eta Kontsumitzailearen Hezkuntzazeharkako irakasgaietarako helburu gisa, estatistika erara emandako (edo asmohori duen) informazio guztiaren inguruan begirada kritikoa sustatu behar da,gure gizartean gero eta gehiago erabiltzen baita; Komunikabideetan estatistikakbilatu eta horien elementuak aztertu daitezke (taulak, grafikoak, erakutsdaitezkeen parametroak eta, bereziki, ondorioak). Horretarako, grafikoendimentsioak aztertu behar dira, baita tauletan datu garrantzitsu guztiak agertzendiren edo zenbait parametro ezkutatzen diren ere, eta ondorioak aztertzeariarreta berezia jarri behar zaio. Azkenik, zenbait estatistikaren egokitasuna edoegokitasun eza azter daiteke, informazio gutxi ematen badute edo iragartzekogaitasun nulua baldin badaukate.

BI DIMENTSIOTAKO ESTATISTIKA

Estatistika dimentsiobakarraren kasuan bezala, bi dimentsiotako estatistikalantzerakoan, ikasleentzako oztopo nagusia ez da kontzeptuala, praktikoa baizik: bidimentsiotako datuen zerrendak manipulatzea eta lantzea aspergarria da eta,gainera, erroreak eragin ditzake. Horregatik, datuen tratamenduari eta datu horiektauletan adierazteari arreta handia jarri behar zaiola nabarmendu behar da.

Datuak aztertzeko atalean, nabarmendu behar da ikerketa deskribatzailea eginondoren datuak interpretatzea zaila dela; grafikoek eta parametroek ondorioeztabaidaezinak ateratzea ahalbidetzean dutenean izan ezik, kasu gehienetan,aldagaiek harreman konplexuak izaten dituzte eta ezin izaten dira ñabardurarikgabeko baieztapenetara murriztu. Gertaera hori nabarmentzeko, sakabanatze-diagrama eta Pearsonen koefizientea har daitezke adibide gisa, muturrekokasuetan soilik daukatelako interpretazio eztabaidaezina; kasurik gehienetan,interpretazioak ñabardura asko behar ditu eta, batzuetan, inolako ondoriorikatera ezin denean, gerta daiteke beste ikerketa batzuk egin behar izatea (bestalde,ondorio hori oso ohikoa izaten da estatistika ikerketetan, eta gertaera horinabarmendu egin behar da).

Atal horretan zein aurrekoan, oso interesgarria eta ia ezinbestekoa da aplikazioedo programa motaren bat aurkeztea, kalkulu estatistiko sortak egitea aspergarriabaita. Edozer kalkulu orrik eskaintzen dituen tresnak erabil daitezke (korrelaziokoefizietearen kalkulua, erregresio zuzena, grafikoak, etab.). Taldeka edoprograma informatikoekin lanak egitea eta horiek aurkeztea proposa dakiekeikasleei, taldea edo institutu osoa defini dezaketen bi dimentsiotako aldagaiakikasi ahal izateko, esaterako hauek:

• Ikasteko orduak asteko eta gaikako emaitzak.• Adina eta altuera (institutu osoan)• Anai-arreba kopurua eta irakasgaietako emaitzak.

42

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 42

Page 43: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

11. UNITATEA: ZENBATZEKO TEKNIKAK.

UNITATEAREN HELBURUAK

Zuhaitz-diagrama eta printzipio biderkatzailea erabiltzea, konfigurazioenzenbaketa grafikoetarako.

Formula konbinatorioak ezagutzea eta problemak ebazteko aplikatzen jakitea.

Konfigurazio motak arrazoituta bereiztea.

Gutxi gorabeherako iraupena: hiru aste

Diziplinartekotasuna: Naturaren Zientziak; Gizarte Zientziak; Geografia etaHistoria; Musika; Gaztelania eta Literatura.

Unitatearen ibiltartea

KONBINATORIA

Zenbatzeko problemetan erabilitako konfigurazio ohikoenen motak lantzenhastea.

- Konfigurazio motak definitzen dituzten ezaugarriak bereiztea, zuhaitzdiagramen erabilpenaren bidez.

- Zenbaki faktorialen eta zenbaki konbinatorioen kontzeptuak ezagutzea.

- Balizko konfigurazio kopurua kalkulatzeko hainbat formula ezagutzea.

Orientazio didaktikoak

KONBINATORIA

Ikasleen zailtasunetako bat konfigurazio bakoitza bereiztea da. Horretarako,beharrezkoa da hasieran, adibide baten bidez, zuhaitz-diagrama egitea berriz ere,ikasitako konfigurazio mota bakoitza bereizteko (aldakuntza arruntak,errepikatuzko aldakuntzak, permutazio arruntak eta konbinazio arruntak).

Kontzeptu berri horiek lantzen hasteak ulermen arazoak eragin diezazkiekeikasleei. Irakasleak klasean hizkuntza komuna sortzen saiatu behar du eta,horretarako, ikaslearen inguru sozialaren eta kulturalaren hurbileko esanahiakerabili behar ditu. Hala, kontzeptu berriak gero eta gertukoagoak etaulergarriagoak izango dira.

Azkenik, konfigurazio bakoitzerako behar diren formulak ezagutu behar dituzteikasleek. Irakasleak formula horiek kalkulatu beharra eta zuhaitz-diagrametanerabilitako arrazonamendu logikoaren bidez egiaztatu beharra nabarmendubehar du. Egiaztapen horri esker, formulak errazago gogoratuko dituzte.

43

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 43

Page 44: MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA … eso 3.pdf · MATEMATIKA. DBH-KO HIRUGARREN ETA LAUGARREN MAILA GIDA DIDAKTIKOA ... Horretarako, horiek bereizteko ariketak proposa dakizkieke,

guía3 ESO eusk 21/1/08 17:50 Página 44