MatemáticasY_suDidáctica

8/15/2019 MatemáticasY_suDidáctica

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Nº 5

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ColeCCIn: Manuales docentes de Educación PrimariaNº 5 - M A"eME"ICA! % !# DIDEC"ICA I

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#nI$e!IDAD De l A! P AlMA! De GAn C AnAIA

Primera edición, 2005

Segunda edición, 2008

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!e$ICIo De P#blICACIone! % DIf#!In CIen"FfICA De lA #nI$e!IDAD De l A! P AlMA! De GAn C AnAIA

I!bn: 978-84-96971-73-8

D* l*&:

GC 770-2008

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!e$ICIo De ePoGAfFA, enC#ADenACIn % A#"oeDICIn De lA #lPGC

I* * e&@&. Printed in Spain

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PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

GUÍA ACADÉMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Módulo 1. Números naturales y operaciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Módulo 2. Divisibilidad en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Módulo 3. Los números enteros y su didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Módulo 4. Los números racionales e irracionales y su didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Módulo 5. Magnitudes. Medida. Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Módulo 6. Iniciación a la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23Módulo 7. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Módulo 8. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Módulo 9. Historia y educación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

M ATERIAL DIDÁCTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

E VALUACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

MÓDULO 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES ARITMÉTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1. El conjunto de los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1 . 1 . I n t r o d u c c i ó n h i s t ó r i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

1.2. Construcción del número natural. Experiencias prenuméricas . . . . . . . . . . . . . . .50

MANUALES DOCENTES DE EDUCACIÓN PRIMARIA 5

Í ndice


6/451

2. El uso de la secuencia numérica. La técnica de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3. Problemas Aritméticos Estructura Aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

3.1. Clasificación de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

4. La adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605. La sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

6. Problemas Aritméticos Estructura Multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

6.1. Clasificación de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7. La multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

8. La división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

8.1. División exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

8.2. División entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

8.3. Interpretaciones de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

9. Sistemas de Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

9.1. Características del Sistema de Numeración Decimal (SND) . . . . . . . . . . . . . . . . .73

9.2. Características del Sistema Binario de Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

10. Algoritmos de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

10.1. Algoritmo de la adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

10.2. Algoritmo de la sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

10.3. Algoritmo de la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

10.4. Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

10.5. Otros algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7811. Errores en la aplicación de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

11.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

11.2. Multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

12. Algoritmos con los Bloques Multibásicos de Dienes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

12.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

12.2. Multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

13. Algoritmos con el ábaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

13.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

E JERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

GLOSARIO DE TÉRMINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

MÓDULO 2. DIVISIBILIDAD EN N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

Víctor Manuel Hernández Suárez (Coord.)

MANUALES DOCENTES DE EDUCACIÓN PRIMARIA6

Índice


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OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

1. Introducción histórica. Ideas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1091.1. Introducción histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

1.2. Definiciones de términos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

1.3. Propiedad de los números compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

2. Procedimiento para averiguar si un número es primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

3. Descomposición de un número en producto de factores primos . . . . . . . . . . . . . . . .117

4. Cálculo de los divisores de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

5. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

6. Máximo común divisor de dos números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

6.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

6.2. Cálculo del máximo común divisor de dos números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

7. Mínimo común múltiplo de dos números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

7.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

7.2. Cálculo del mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

8. Algunos problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

E JERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144


MÓDULO 3. LOS NÚMEROS ENTEROS Y SU DIDÁCTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149



1. Introducción histórica. Necesidad de su uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

1 . 1 . I n t r o d u c c i ó n h i s t ó r i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0

1.2. Necesidad de su uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

2. El conjunto Z de los números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

2.1. Equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

3. Operaciones con números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

3.1. Ordenación de números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

3.2. Multiplicación y división de números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

4. Orientaciones curriculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

Matemáticas y su Didáctica I


Índice


8/451

5. Desarrollo cognitivo y aprendizaje del número entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

6. Situaciones y recursos para el aprendizaje del número entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165E JERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167



MÓDULO 4. LOS NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES Y SU DIDÁCTICA . . . . . . . .171

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173


EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1751. Fracciones. Introducción histórica. Situaciones de uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

2. Equivalencia de fracciones. El número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

3. Propiedades del número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

4. Operaciones con fracciones y números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

5. Fracciones decimales. Números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

5.1. Obtención de expresiones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

5.2. Operaciones con números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

6. Los números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1857. Orientaciones curriculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

8. Desarrollo cognitivo y aprendizaje del número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

9. Situaciones y recursos para el aprendizaje del número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

E JERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202



MÓDULO 5. M AGNITUDES. MEDIDA . PROPORCIONALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209



1. Aspectos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

1.1. Introducción histórica y didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

1.1.1. Introducción histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210



Índice


9/451

1.1.2. Introducción didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

1.2. Concepto de magnitud. Magnitudes intensivas y extensivas. Proceso deconstrucciónde una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

1.3. Producto de un número natural por una cantidad de magnitud . . . . . . . . . . . . .218

1.4. Medida de magnitudes escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

2. Aspectos psicológicos de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

2.1. Conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

2.2. Transitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

2.3. Desarrollo evolutivo de la idea de medida en el niño según Piaget . . . . . . . . . . .223

2.4. Valoración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224

3. Aspectos didácticos de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

3.1. Etapas para el conocimiento y manejo de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

3.1.1. Percepción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2253.1.2. Conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

3.1.3. Ordenación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

3.1.4. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

3.2. Procedimientos de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228

3.2.1. Comparación directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228

3.2.2. Comparación indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

3.3. Los sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

3.3.1. Concepto de sistema de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2303.3.2. Universalización de los sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232

3.3.3. Establecimiento del SMD. Su interés pedagógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232

3.3.4. Definiciones de unidades del SMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

3.3.5. Relación entre el SMD y el SND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

3.3.6. El sistema anglosajón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235

3.3.7. Unidades de medida utilizadas en Canarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

4. La magnitud tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

5. La estimación en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239

6. La medida en la educación primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

7. Proporcionalidad de magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

7.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

7.2. Propiedad de las MDP. Regla de tres directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

7.3. Propiedad de las MIP. Regla de tres inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

7.4. Errores habituales en la relación con la proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

8. Magnitud proporcional a varias. Proporcionalidad compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

9. Repartos proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

9.1. Repartos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247



Índice


10/451

9.2. Repartos inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

10. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

11. Variaciones porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

12. Aritmética comercial. Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25013. La enseñanza de la proporcionalidad en la escuela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258




MÓDULO 6. INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267



1. Hacia la Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

2. Sentido de la Geometría en el ámbito escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270

3. Breve recorrido histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276

4. Naturaleza de los entes geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278

5. Actividad espacial en los entornos natural, científico-técnico y artístico . . . . . . . . . .2786. La representación en Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

7. El modelo de aprendizaje de Van Hiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281

7.1. Niveles de razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

7.2. Características del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

7.3. Fases de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

8. Situaciones y recursos didácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

8.1. Juegos de Psicomotricidad (nivel 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

8.2. Descripción y clasificación de objetos (nivel 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

8.3. Construcción y exploración de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2849. El software de Geometría Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290




MÓDULO 7. ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299



Índice


11/451

OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299



1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3001.1. Recorrido histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300

1.2. La Estadística en las Ciencias de la Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302

1.3. Etapas de un estudio estadístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302

1.4. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303

1.4.1. Muestra y población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303

1.4.2. Caracteres de los elementos de una población o de una muestra . . . . . . . .304

1.4.3. Estadística descriptiva y Estadística inferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

1.5. Aplicaciones de la Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305

1.6. La Estadística como materia cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305

1.7. Estadística y Evaluación. Funciones y Análisis de las tareas del profesor . . . . . .3052. Tablas y gráficas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306

2.1. Tablas de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307

2.2. Gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309

2.2.1. Gráficos para caracteres cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310

2.2.2. Gráficos para caracteres cuantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315

2.2.2.1. Variables discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315

2.2.2.2. Variables continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3173. Medidas de centralización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318

3.1. La media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319

3.2. La media aritmética ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322

3.3. La moda (Mo ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323

3.4. La mediana (Me) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

3.5. Cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334

3.5.1. Cuartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335

3.5.2. Deciles y Percentiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335

4. Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336

4.2. Recorrido o rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .337

4.3. Recorrido intercuartílico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .337

4.4. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338

4.5. Desviación típica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339

4.6. Propiedades de la desviación típica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339

4.7. Coeficiente de variación de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

5. Recursos Informáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340



Índice


12/451

5.1. Diseño de una práctica en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

5.2. Internet como herramienta didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342

6. Orientaciones Curriculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344

6.1. Diseño Curricular Base (MEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3446.2. Principios y Estándares (NCTM - SAEM THALES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356




MÓDULO 8. PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367



1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368

1.1. Recorrido histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368

1.2. El azar en la realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369

1.3. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .371

2. Enfoques de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3732.1. Clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373

2.2. Frecuentista o Empírico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374

2.3. Bayesiano o Subjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .375

2.4. Axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .377

2.5. Reflexiones sobre los diferentes enfoques probabilísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .378

3. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379

3.1. Definiciones. Teoremas Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379

3.2. Los diagramas de árbol como herramienta didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385

3.3. La renormalización en diagramas arbóreos como alternativa al Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .386

4. Razonamiento Combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387

4.1. El papel de la Combinatoria en la Enseñanza y Aprendizaje de laProbabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387

4.2. Análisis Combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .390

5. Orientaciones Curriculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392

5.1. Diseño Curricular Base (MEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393

5.2. Principios y Estándares (NCTM - SAEM THALES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .394

6. Materiales y Recursos Didácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395



Índice


13/451

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .405


SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .410GLOSARIO DE TÉRMINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411

MÓDULO 9. HISTORIA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415

OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415



1. Contextos Históricos de la Ciencia en el Aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416

2. La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4183. Etapas Educativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425

4. Principios Didácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426

5. La Historia en la Formación del Maestro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432

ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437




ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .446



Índice


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Hace mil años se fundaron las primeras universidades en Europa y algunas de ellas aún

perduran, demostrando su capacidad de pervivencia y adaptación a lo largo del tiempo. La

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, sin embargo, no es una institución de enseñan-

za superior que hunda sus raíces en el Medievo. Desde su creación en 1989, la ULPGC se ha

convertido en una universidad pública consolidada, en cuyas aulas se pueden estudiar todas

las grandes áreas del saber, como muestra la amplia oferta académica de títulos de grado,

posgrado y doctorado.

La relativa juventud de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria le ha permitido

avanzar con paso decidido en la implantación de las Tecnologías de la Información y la Co-municación (TIC). Mientras otras universidades españolas con mayor tradición aún no han

hecho más que tímidos avances en la incoporación de las TIC como apoyo a la enseñanza

presencial, nuestra Universidad, desde hace ya varios años, no sólo ha apostado por su uti-

lización, sino que incluso, ha sabido aprovechar estos progresos tecnológicos para ofertar

algunas enseñanzas en modo no presencial.

El resultado es ya bien conocido por los cientos de estudiantes, tanto nacionales como

extranjeros, que están cursando algunas de las titulaciones oficiales que la Universidad de

Las Palmas de Gran Canaria oferta a través de su Estructura de Teleformación. En la actua-

lidad, la ULPGC oferta cinco titulaciones oficiales en la modalidad no presencial, que han

permitido acercar a nuestra Universidad a aquellos estudiantes que, por razones geográficaso por falta disponibilidad horaria, no pueden acercarse de forma presencial a nuestras aulas.

Paralelamente, se ha ido incrementado la oferta de estudios de posgrado y los títulos pro-

pios, también en la modalidad de enseñanza no presencial.

A pesar de los avances tecnológicos en el acceso a la información por parte de los estu-

diantes, somos conscientes de que los manuales y las guías docentes constituyen una pieza

clave en el sistema de enseñanza universitaria no presencial. Nuestra Universidad ha sabido

apostar por la edición de estos materiales didácticos, realizados por los expertos universita-

rios que imparten estas materias en el Campus Virtual de la ULPGC. No quiero dejar pasar

la oportunidad para agradecer a sus autores la profesionalidad y el empeño que han puesto

en la realización de estas obras.

Nadie puede asegurar cuántas de las universidades actuales pervivirán, no ya dentro de mil

años, sino siquiera dentro de unas decenas de años. Pero no me cabe la menor duda de que,

en el inmediato futuro que nos aguarda, aquellas instituciones universitarias que no sepan renta-

bilizar la utilización de las Tecnologías de la Información y la Comunicación, pueden compro-

meter seriamente su desarrollo inmediato. En este sentido, desde la Universidad de Las Palmas

de Gran Canaria, podemos sentirnos satisfechos por el trabajo realizado hasta la fecha, aun-

que somos conscientes de que el camino por recorrer en los próximos años es prometedor.

José Regidor García

Rector

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA I 15

P resentación


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PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA

Matemáticas y su didáctica es una asignatura troncal que se imparte en primer curso de la ti-tulación de Maestro, especialidad de Educación Primaria. Con una carga lectiva total de 9créditos (4,5 teóricos y 4,5 prácticos), está orientada a consolidar y profundizar la formacióndel futuro profesor de Educación Primaria en los contenidos de las Matemáticas básicas y de los procesos implicados en su enseñanza y aprendizaje.

Los contenidos se han organizado en torno a nueve módulos. Los cuatro primeros tratansobre los Sistemas Numéricos; los módulos cinco y seis están referidos al estudio de laMedida y la Geometría; en los módulos siete y ocho se trabaja la Estadística y Probabilidad,y finalmente el módulo nueve está dedicado a la Historia y Educación Matemática.

Los módulos se desarrollarán con una orientación que integre el conocimiento de concep-tos y destrezas con la actividad práctica y el uso de las Matemáticas en contextos concretos,así como el estudio de las dificultades de aprendizaje que plantean y las implicaciones curri-culares que conllevan.

Se propone una metodología activa, que tome en consideración los principios didácticosque orientan actualmente la didáctica de las Matemáticas.

Se formulan actividades didácticas significativas y se tienen en cuenta las concepcionesde los estudiantes; se fomenta la participación del alumnado en un proceso de reflexión sobreel conocimiento matemático, y sobre los métodos de enseñanza y aprendizaje de las Ma-temáticas.

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

• Consolidar la formación matemática necesaria que permita dominar los contenidos mate-máticos básicos que conforman el currículo de la Educación Primaria.

• Conocer y ejemplificar el carácter interdisciplinario y constructivo de las Matemáticas y la utilidad del conocimiento matemático.

• Integrar los aspectos científicos, culturales y sociales de las Matemáticas

• Capacitar para consultas y trabajo documental sobre el currículo de Matemáticas en la

Educación Primaria y aspectos generales de la Didáctica de las Matemáticas.


G uía académica


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• Fomentar el espíritu crítico e investigador y la capacidad de expresarse con claridad, pre-cisión y rigor; lograr el desarrollo de competencias de autoformación y de trabajo coope-rativo.

• Conocer los medios, materiales, y recursos didácticos usuales en la Enseñanza/Apren-

dizaje de las Matemáticas.• Adquirir destrezas en el empleo de instrumentos, técnicas y material didáctico en el área

de Matemáticas.

• Capacitar al futuro profesor para realizar propuestas didácticas a partir del currículo basede Matemáticas en Educación Primaria.

• Impulsar los recursos informáticos y el uso de Internet como una poderosa herramientadidáctica.

• Reconocer el importante papel que representan los materiales didácticos, tanto realescomo virtuales, en la Enseñanza / Aprendizaje de las Matemáticas.

CONTENIDOS

Los módulos desarrollados en este manual son:

Módulo 1. Números naturales y operaciones aritméticas

Módulo 2. Divisibilidad en N

Módulo 3. Los números enteros y su didáctica

Módulo 4. Los números racionales e irracionales y su didáctica

Módulo 5. Magnitudes. Medida. Proporcionalidad

Módulo 6. Iniciación a la geometría

Módulo 7. Estadística

Módulo 8. Probabilidad

Módulo 9. Historia y educación matemática

MÓDULO 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES ARITMÉTICAS

En este módulo hacemos una introducción al estudio de los contenidos matemáticos y didácticos relacionados con los números naturales y operaciones aritméticas elementales.

Los contenidos desarrollados en este módulo son:

1. El conjunto de los Números Naturales

1.1. Introducción histórica

1.2. Construcción del número natural. Experiencias prenuméricas

2. El uso de la secuencia numérica. La técnica de contar

3. Problemas Aritméticos Estructura Aditiva

3.1. Clasificación de los problemas

4. La adición

5. La sustracción



Guía


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6. Problemas Aritméticos Estructura Multiplicativa

6.1. Clasificación de los problemas

7. La multiplicación

8. La división8.1. División exacta

8.2. División entera

8.3. Interpretaciones de la división

9. Sistemas de Numeración

9.1. Características del Sistema de Numeración Decimal

9.2. Características del Sistema Binario de Numeración

10. Algoritmos de las operaciones

10.1. Algoritmo de la adición

10.2. Algoritmo de la sustracción

10.3. Algoritmo de la multiplicación

10.4. Algoritmo de la división

10.5. Otros algoritmos

11. Errores en la aplicación de los algoritmos

11.1. Adición y sustracción

11.2. Multiplicación y división

12. Algoritmos con los Bloques Multibásicos de Dienes

12.1. Adición y sustracción12.2. Multiplicación y división

13. Algoritmos con el ábaco

13.1. Adición y sustracción

MÓDULO 2. DIVISIBILIDAD EN N

Comenzamos el módulo que nos ocupa haciendo un repaso de los conceptos básicos dela divisibilidad, insistiendo en algunos aspectos de su enseñanza-aprendizaje. Presentamos

algunos criterios de divisibilidad de manera que el alumnado ponga en práctica la búsquedade regularidades y la generalización. Asimismo, en los apartados dedicados al estudio delmáximo común divisor y del mínimo común múltiplo, trataremos la diferencia que existeentre el concepto y el método de cálculo.


1. Introducción histórica. Ideas básicas


1.2. Definiciones de términos básicos

1.3. Propiedad de los números compuestos

2. Procedimiento para averiguar si un número es primo

Matemáticas y su didáctica I


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3. Descomposición de un número en producto de factores primos

4. Cálculo de los divisores de un número

5. Criterios de divisibilidad

6. Máximo común divisor de dos números6.1. Concepto

6.2. Cálculo del máximo común divisor

7. Mínimo común múltiplo de dos números

7.1. Concepto

7.2. Cálculo del mínimo común múltiplo

8. Algunos problemas resueltos

MÓDULO 3. LOS NÚMEROS ENTEROS Y SU DIDÁCTICA

El bloque de los números con signo tiene su punto de partida didáctico en la necesidadde ampliación del número natural para dar sentido matemático a muchas de las actividadescotidianas propias del ser humano, por ejemplo el control de sus cuentas bancarias. Algunosde los aspectos matemáticos de estos números hacen que su comprensión y su tratamientoeducativo resulten muchas veces complejos. Por ello, es conveniente conocer aspectos rela-cionados con las dificultades y los errores más frecuentes encontrados en los procesos deenseñanza y aprendizaje de los números enteros, así como disponer de algunas orientacio-nes curriculares y de recursos educativos para trabajar con ellos.

A continuación se exponen los contenidos referidos a este bloque, que comienzan conuna introducción a las necesidades de uso de los números enteros, para pasar a continua-ción a conocer aspectos sobre el concepto de número entero y las propiedades relacionadascon él. Posteriormente se presentan y se trabajan las diferentes operaciones en las que inter-

vienen los números con signo.

En un segundo apartado se mencionan los aspectos curriculares sobre orientaciones quese dan para abordar el bloque de los números enteros en la Educación Primaria, y se pre-sentan y trabajan algunas situaciones y recursos como apoyo para la enseñanza y el apren-dizaje de los números con signo.


1. Introducción histórica. Necesidad de su uso


1.2. Necesidad de su uso

2. El conjunto Z de los números enteros

2.1. Equivalencias

3. Operaciones con números con signo.

3.1. Ordenación de números con signo

3.2. Multiplicación y división de números con signo

4. Orientaciones curriculares



Guía


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5. Desarrollo cognitivo y aprendizaje del número entero

6. Situaciones y recursos para el aprendizaje del número entero

MÓDULO 4. LOS NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES Y SU DIDÁCTICA

El bloque que abordamos a continuación resulta ampliamente conocido debido a la enor-me cantidad de situaciones cotidianas en que aparece, aunque su introducción en la EducaciónObligatoria puede resultar más compleja. Por ello, es importante establecer el punto de par-tida para iniciar el trabajo con las fracciones en este nivel, utilizando para ello las ideas intui-tivas con que los alumnos llegan al aula, dándoles la posibilidad de investigar, cuestionarse,reflexionar, emitir y contrastar juicios, y aprender.

Inicialmente se presentan aspectos sobre las formas y situaciones de uso de las fracciones,y sobre conceptos y propiedades relacionados con el número racional. Posteriormente se

dan a conocer y se trabajan las diferentes operaciones en las que intervienen las fracciones.Se presentan también las fracciones decimales como caso particular y habitual de uso de

las fracciones, además de los modos de obtener expresiones decimales y de operar con ellas;para terminar se hace mención de los números irracionales y de algunas notas históricas deéstos.

En los últimos apartados del bloque se abordan cuestiones curriculares tales como algunasorientaciones para trabajar el bloque de los números racionales en la Educación Primaria ola presentación de situaciones y recursos de apoyo para la enseñanza y el aprendizaje de losmismos.


1. Fracciones. Introducción histórica. Situaciones de uso

2. Equivalencia de fracciones. El número racional

3. Propiedades del número racional

4. Operaciones con fracciones y números racionales

5. Fracciones decimales. Números decimales

5.1. Obtención de expresiones decimales

5.2. Operaciones con números decimales

6. Los números irracionales

7. Orientaciones curriculares8. Desarrollo cognitivo y aprendizaje del número racional

9. Situaciones y recursos para el aprendizaje del número racional

MÓDULO 5. M AGNITUDES. MEDIDA . PROPORCIONALIDAD

Con este módulo deseamos que los alumnos comprendan que los conocimientos que abor-da son de tipo social. La escuela no se suele ocupar de que los alumnos realicen medicionescon instrumentos y objetos reales en el conocimiento de que ese tipo de cosas las aprenderáel alumno por su cuenta en un futuro. Por otra parte se trata de un tema considerado difícil,



Guía


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tanto para los alumnos como para los maestros. Muchas veces se pone el énfasis en un cono-cimiento abstracto del Sistema Métrico Decimal y se considera que lo principal es que elalumno domine rápidamente el cambio de unidades, aunque lo haga de forma mecánica y,por tanto, poco significativa. Como resultado, los alumnos no llegan a adquirir un conoci-

miento que les sea útil para su vida presente y futura.Hemos intentado presentar un enfoque actualizado de este tema práctico, tratando los

aspectos matemáticos, psicológicos y didácticos. Particular importancia entendemos que tieneel apartado relativo a la estimación por entender que está muy desatendido en la escuelaactual, cuando su importancia en la vida diaria está fuera de duda.

También entendemos que son especialmente útiles para la vida diaria todo lo que con-cierne a la proporcionalidad de magnitudes y, en concreto, los porcentajes y las variacionesporcentuales, a todo lo cual le hemos dado un enfoque muy práctico.


1. Aspectos matemáticos1.1. Introducción histórica y didáctica

1.1.1. Introducción histórica

1.1.2. Introducción didáctica

1.2. Concepto de magnitud. Magnitudes intensivas y extensivas. Proceso de construcciónde una magnitud

1.3. Producto de un número natural por una cantidad de magnitud

1.4. Medida de magnitudes escalares

2. Aspectos psicológicos de la medida

2.1. Conservación y Transitividad

2.2. Desarrollo evolutivo de la idea de medida en el niño según Piaget. Valoración.

3. Aspectos didácticos de la medida

3.1. Etapas para el conocimiento y manejo de una magnitud

3.2. Procedimientos de comparación

3.2.1. Comparación directa

3.2.2. Comparación indirecta

3.3. Los sistemas de medida

3.3.1. Concepto de sistema de medida3.3.2. Universalización de los sistemas de medida

3.3.3. Establecimiento del SMD. Su interés pedagógico

3.3.4. Definiciones de unidades del SMD

3.3.5. Relación entre el SMD y el SND

3.3.6. El sistema anglosajón

3.3.7. Unidades de medida utilizadas en Canarias

4. La magnitud tiempo

5. La estimación en medida



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6. La medida en la educación primaria

7. Proporcionalidad de magnitudes

MÓDULO 6. INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA

Si observamos la situación actual nos daremos cuenta que aquellos intentos que se pre-tendieron hacer con el fin de rescatar a la Geometría del olvido a que había estado sometidano han dado el fruto esperado. El campo numérico parece ejercer el dominio en el currículumde Matemáticas en la etapa de la Educación Obligatoria.

Este hecho produce que los alumnos presenten serias carencias en su formación mate-mática entre las que destacamos la ausencia de la capacidad de generalizar, la desapariciónde los métodos de razonamiento, pobreza en el vocabulario empleado, olvido de otras geo-metrías no euclídeas como son la Proyectiva y la Topología, la dificultad en establecer clasi-ficaciones y dar definiciones que conduce a un estado de inseguridad tanto en las relacionesintrafigurales como transfigurales.

Resulta especialmente importante la reducción de los contenidos geométricos a lo quepodríamos llamar su aritmetización, es decir a la simple aplicación de fórmulas para el cál-culo de áreas y volúmenes con la consiguiente pérdida de conceptos que esto produce.

En este tema se pretende presentar un acercamiento a la didáctica de la Geometría quepermita a los alumnos de Primer Curso comprender la necesidad de proceder de otra mane-ra a la hora de enseñar Geometría en la escuela.


1. Hacia la Geometría2. Sentido de la Geometría en el ámbito escolar

3. Breve recorrido histórico

4. Naturaleza de los entes geométricos

5. Actividad espacial en los entornos natural, científico-técnico y artístico

6. La representación en Geometría

7. El modelo de aprendizaje de Van Hiele

7.1. Niveles de razonamiento

7.2. Características del modelo7.3. Fases de aprendizaje

8. Situaciones y recursos didácticos

8.1. Juegos de Psicomotricidad (nivel 1)

8.2. Descripción y clasificación de objetos (nivel 2)

8.3. Construcción y exploración de polígonos

9. El software de Geometría Dinámica



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MÓDULO 7. ESTADÍSTICA

Iniciamos este módulo con un recorrido histórico y dando algunas definiciones de con-ceptos básicos y fundamentales para una comprensión intuitiva y real de lo que es la Esta-

dística. Asimismo, resaltamos las aplicaciones que la Estadística tiene en todos los ámbitosde nuestra sociedad.

Pretendemos introducir al estudiante en los primeros pasos sobre el uso y manejos dedatos numéricos: distinguir y clasificar las características en estudio, enseñarle a organizar y tabular las medidas obtenidas mediante la construcción de tablas de frecuencia y por últimolos métodos para elaborar imágenes que sean capaces de mostrar gráficamente los resultados.

La afirmación una imagen vale más que mil palabras se puede aplicar al ámbito de la EstadísticaDescriptiva, señalando que un gráfico bien elaborado vale más que mil tablas de frecuencias . Cada vezes más habitual el uso de gráficos o imágenes para representar la información obtenida. Sin

embargo, debemos ser prudentes al confeccionar o interpretar gráficos, puesto que unamisma información se puede representar de formas muy diversas, y no todas ellas soncorrectas o válidas. Nuestro objetivo consiste en establecer los criterios y normas mínimasque deben verificarse para construir y presentar adecuadamente los gráficos en el campo dela Estadística Descriptiva.

Analizaremos los estadísticos que nos van a orientar sobre cada uno de estos niveles deinformación, como las medidas de centralización, valores en torno a los cuales se agrupa lamuestra; y las medidas de dispersión, la mayor o menor oscilación alrededor de esos valorescentrales.


1. Generalidades1.1. Recorrido histótico

1.2. La Estadística en las Ciencias de la Educación

1.3. Etapas de un estudio estadístico

1.4. Conceptos básicos

1.4.1. Muestra y población

1.4.2. Caracteres de los elementos de una población o de una muestra

1.4.3. Estadística descriptiva y Estadística inferencial

1.5. Aplicaciones de la Estadística1.6. La Estadística como materia cultural

1.7. Estadística y Evaluación. Funciones y Análisis de las tareas del profesor2. Tablas y gráficas estadísticas

2.1. Tablas de frecuencias

2.2. Gráficos estadísticos

2.2.1. Gráficos para caracteres cualitativos

2.2.2. Gráficos para caracteres cuantitativos

2.2.2.1. Variables discretas



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2.2.2.2. Variables continuas

3. Medidas de centralización

3.1. La media aritmética

3.2. La media aritmética ponderada3.3. La moda (Mo )

3.4. La mediana (Me)

3.5. Cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles)

3.5.1. Cuartiles

3.5.2. Deciles y Percentiles

4. Medidas de dispersión

4.1. Introducción

4.2. Recorrido o rango

4.3. Recorrido intercuartílico

4.4. Varianza

4.5. Desviación típica

4.6. Propiedades de la desviación típica

4.7. Coeficiente de variación de Pearson

5. Recursos Informáticos

5.1. Diseño de una práctica en Excel

5.2. Internet como herramienta didáctica

6. Orientaciones Curriculares6.1. Diseño Curricular Base (MEC)

6.2. Principios y Estándares (NCTM - SAEM THALES)

MÓDULO 8. PROBABILIDAD

En este módulo abordamos los conceptos de incertidumbre y probabilidad en la EducaciónPrimaria. Para ello, proponemos algunos modelos de ejercicios que los introducen.

Además se analizan los diferentes enfoques sobre el tema, y las líneas didácticas generalespara orientar el proceso. Por otra parte, se trata de provocar más debate acerca de la impor-tancia de la Enseñanza y Aprendizaje de la Combinatoria y Probabilidad en estos niveles.

El concepto de aleatoriedad se debe incluir en los programas oficiales. Asimismo, enseñaruna serie de teorías que posibiliten a los estudiantes el aprendizaje de los elementos básicosde probabilidades, que le permitan tomar decisiones en su vida cotidiana y contar con unaformación mínima para que puedan desarrollarse desde esa perspectiva en cualquier campoprofesional o científico. La probabilidad tiene la enorme cualidad de representar adecuada-mente la realidad de muchos procesos sociales y naturales. Por lo tanto, su conocimientopermite comprender y predecir mucho mejor el mundo que nos rodea, de donde se infiere

su gran trascendencia didáctica.



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1. Generalidades

1.1. Recorrido histórico

1.2. El azar en la realidad1.3. Conceptos básicos

2. Enfoques de la probabilidad

2.1. Clásico

2.2. Frecuentista o Empírico

2.3. Bayesiano o Subjetivo

2.4. Axiomático

2.5. Reflexiones sobre los diferentes enfoques probabilísticos

3. Probabilidad condicionada

3.1. Definiciones. Teoremas Fundamentales

3.2. Los diagramas de árbol como herramienta didáctica

3.3. La renormalización en diagramas arbóreos como alternativa al Teorema de Bayes

4. Razonamiento Combinatorio

4.1. El papel de la Combinatoria en la Enseñanza y Aprendizaje de la Probabilidad.

4.2. Análisis Combinatorio

5. Orientaciones Curriculares

5.1. Diseño Curricular Base (MEC)

5.2. Principios y Estándares (NCTM - SAEM THALES)6. Materiales y Recursos Didácticos

MÓDULO 9. HISTORIA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA

La Historia de las Matemáticas facilita al profesorado una visión más completa de lamateria y una formación científica más extensa. El uso de problemas históricos en el aulabrinda al estudiante una perspectiva más general de las Matemáticas y mejora la enseñanza/

Aprendizaje de determinados conceptos matemáticos. Las contribuciones que la Historia de

las Matemáticas puede hacer a la enseñanza de éstas son múltiples y dependen de muchosfactores. Por un lado, es imprescindible que los profesores se formen e investiguen en Historiade la Matemática; por otro, se precisan recursos apropiados para no caer en la anécdota fácilexenta de contenido matemático. No obstante, las diferentes posibilidades de utilización dela Historia de la Matemática, como recurso implícito y explícito, nos revelan que es un ins-trumento útil para perfeccionar la enseñanza de las Matemáticas y la formación integral delalumnado. Es muy importante seleccionar textos históricos relevantes en la Historia de lasMatemáticas que ayuden al estudiante a asimilar los conceptos más fácilmente. El uso decuestiones históricas en clase es una de las técnicas a las que se puede recurrir para mejorarla transmisión y adquisición de los contenidos matemáticos y también actúa como revulsivo

en aquellos casos en los que el estudiante no esté adecuadamente motivado.



Guía


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En este módulo analizaremos, fundamentalmente, las repercusiones didácticas que poseela Historia de las Matemáticas en la Enseñanza y Aprendizaje de las mismas.


1. Contextos Históricos de la Ciencia en el Aula

2. La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza

3. Etapas Educativas

4. Principios Didácticos

5. La Historia en la Formación del Maestro

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

Para desarrollar los objetivos y contenidos de la asignatura y, debido a las pautas que sigue

la educación en línea, los recursos didácticos poseen un componente teórico y uno práctico.El componente teórico, está basado en los contenidos desarrollados en el manual docente,

que está impreso en papel y preparado en línea y por las explicaciones que se puedan realizaren las sesiones presenciales.

El factor práctico, se encuentra marcado por el desarrollo de actividades propuestas parala mejor comprensión de los contenidos de la asignatura. Para ello, impulsaremos los recur-sos informáticos y el uso de Internet como una poderosa herramienta didáctica, mediantela búsqueda de información, realización de comentarios y reseñas sobre material existenteen la Red.

MATERIAL DIDÁCTICO

Los materiales vienen determinados por la propia condición de la titulación. En las sesionespresenciales, para cada uno de los Bloques de contenido se realizarán prácticas con el materialdidáctico, que complementarán en todo momento la teoría. Así, por ejemplo, en el bloquede Numeración, trabajaremos con las Regletas de Cuisenaire, los Bloques Multibásicos deDienes, y los ábacos, entre otros materiales. En el Bloque de Geometría, se trabajará con losgeoplanos.

Estas sesiones se realizarán en el Laboratorio de Matemáticas de la Facultad de Forma-ción del Profesorado (FFP).

Además, se utilizarán documentos, artículos, libros electrónicos y mucho software edu-cativo disponible en Internet, relacionado con la Didáctica de las Matemáticas.

Asimismo, con los ordenadores del Laboratorio, se harán algunas prácticas con progra-mas Informáticos como el Excel y el Cabri Géomètre II Plus. Ello nos hará ver el impor-tante papel que representan los materiales didácticos, tanto reales como virtuales, en laEnseñanza/Aprendizaje de las Matemáticas.



Guía


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Madrid: Síntesis.SOCAS, M.; AFONSO, M.; CAMACHO, M.; GARCÍA, M. y PLASENCIA, I. (2000). La Geometría en la Educación Primaria. Las Palmas de Gran Canaria: Consejería de Educación,Cultura y Deportes del Gobierno de Canarias. Dirección General de Ordenación eInnovación Educativa.

SOCAS, M. y otros (2003). La Medida en la Educación Primaria. La Laguna: Consejería deEducación, Cultura y Deportes del Gobierno de Canarias. Dirección General deOrdenación e Innovación Educativa.

SOCAS, M.; BRUNO, A.; LORENZO, R. y PALAREA, M. (2003). Números y operaciones en la Educación Primaria. La Laguna: Consejería de Educación, Cultura y Deportes del

Gobierno de Canarias. Dirección General de Ordenación e Innovación Educativa.UDINA, F. (1989). Aritmética y calculadoras. Madrid: Síntesis.

VILLA, A. y POBLETE, M. (2007). Aprendizaje basado en Competencias. Una propuesta para la evaluación de las competencias genéricas . Bilbao: Mensajero.

ANEXOS

Fichas de materiales: Geoplano ortométrico, geoplano circular y geoespacio. Trama cua-drada de 5 mm, trama cuadrada de 1 cm, trama cuadrada de puntos de 1cm y trama isomé-trica de puntos de 1,25 cm.



Guía


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EVALUACIÓN

La evaluación de la asignatura incluye la realización de trabajos prácticos, la participaciónen las actividades en línea (foros de discusión, charlas, aportaciones, iniciativas y propuestas delalumnado) y dos pruebas escritas presenciales.

Parte I . La participación en las actividades en línea y la realización de las tareas programa-das aporta el 40% de la nota final y se evaluará a partir de la participación en las actividadesen línea y la realización de los trabajos previstos. La nota oscila entre 0 y 4. Será necesarioobtener una nota mínima de 2 puntos para superar esta parte de la asignatura.

Parte II . La parte teórica de la asignatura aporta el 60% de la nota final y se evaluarámediante dos pruebas escritas que constan de 30 preguntas de respuesta múltiple cada una.La nota del examen oscila entre 0 y 6. La nota mínima necesaria para superar esta parte dela asignatura es de 3 puntos, en cada una de las dos pruebas.

La asignatura se considera superada cuando el estudiante ha conseguido los mínimos ne-cesarios (2 puntos en la parte I y 3 puntos en la parte II). La nota final consiste, superadoslos mínimos señalados anteriormente, en la suma de las puntaciones de la parte I y de laparte II.



Guía


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Módulo 1

Números naturales y operaciones aritméticas

Manuales docentes de

Edu c ac i ó n P rim a r i a


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PRESENTACIÓN

En este primer módulo hacemos una introducción de los contenidos matemáticos y didácticos relacionados con los números naturales y con las operaciones aritméticas elemen-tales.

Comenzamos con una introducción histórica y recordando qué se entiende por el con-junto de los números naturales, hacemos un breve repaso del concepto de aplicación biyec-tiva entre dos conjuntos y del de conjuntos equipotentes con el fin de poder definir el númeronatural como la clase de los conjuntos finitos equipotentes entre sí y describimos las expe-riencias de J. Piaget: la conservación de la cantidad discreta y la inclusión de clases, cuyasuperación se considera imprescindible para la adquisición, por parte del niño, del conceptode número natural.

Seguidamente, consideramos los cinco niveles, descritos por Fuson, que pueden consi-derarse en el dominio de la secuencia numérica, así como los cinco principios que hay quelograr en el aprendizaje de la técnica de contar y los estadios de desarrollo del concepto denúmero natural en los niños según Schaeffer, Eggleston y Scott.

Nos ocupamos posteriormente de los problemas de estructura aditiva de una sola ope-ración, mostramos una clasificación de éstos cuyo conocimiento consideramos fundamentalen la formación de un Maestro, pasamos a considerar las operaciones de adición y sustrac-ción y sus propiedades; estudiamos los problemas de estructura multiplicativa, también deuna sola operación, y presentamos, como en el caso de los de estructura aditiva, una clasifi-

cación de éstos.Consideraremos también las operaciones de multiplicación y división, el estudio de suspropiedades, y presentaremos un esquema en el que se muestran las relaciones que puedenestablecerse entre las cuatro operaciones aritméticas básicas.

Para poder expresar, verbal y gráficamente, los infinitos números naturales con el menornúmero de palabras y de signos se hace imprescindible estudiar los sistemas de numeración.En nuestro caso, trataremos solamente los sistemas decimal y binario.

El estudio de los algoritmos de las cuatro operaciones citadas, los errores más usualesque se suelen cometer en su aplicación y el empleo de materiales didácticos que se puedenmanipular (Bloques aritméticos de base diez y ábaco) para la enseñanza-aprendizaje de loscitados algoritmos serán objeto de nuestra atención.



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Para terminar, en el apartado de actividades, propondremos algunas “búsquedas inductivas”con las que se pretende, a partir de la consideración de casos particulares (n = 1, 2, 3,…),generalizar para cualquier valor natural, n, es decir, obtener una fórmula que corresponda ala situación presentada.

OBJETIVOS

• Comprender la importancia de la competencia numérica, dada su incidencia en el res-to de los contenidos matemáticos y en la vida cotidiana.

• Conocer algunas experiencias prenuméricas básicas para la adquisición del conceptode número.

• Valorar y utilizar las primeras experiencias numéricas del alumnado como punto departida del proceso de enseñanza-aprendizaje.

• Comprender la necesidad de fomentar la habilidad para comunicar información, nosólo mediante la notación simbólica, sino utilizando las formas de comunicación ver-bal y gráfica.

• Valorar que los algoritmos de cálculo constituyen una herramienta importante para larealización de cálculos, pero que no son un fin en sí mismo.

• Conocer los diferentes tipos de problemas aritméticos y las estrategias que usa elalumnado para resolverlos.

• Favorecer y valorar la elaboración de estrategias informales para la resolución de pro-blemas.

María Dolores Moreno Martel

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA I34

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ESQUEMA DE CONTENIDOS

EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS

1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES


Presentamos aquí una introducción histórica sobre los sistemas de numeración, basadafundamentalmente en el libro de Ifrah, G. (1987). Las cifras: historia de una gran invención . Ma-drid: Alianza Editorial.


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El concepto de base

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones,nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. Amedida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución; cuan-do se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todosellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzarpor segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando sealcanza un número determinado de estas unidades de segundo orden, las decenas en casode base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 por ser, según todas lasapariencias, el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como

es la numeración babilónica, que usaba 60 como base y la numeración maya que usaba 20,aunque con alguna irregularidad.

La forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impe-dido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. Casitodos los sistemas utilizados representan con exactitud los números naturales, aunque enalgunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capacesde representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hacenpoco prácticos. Pero, sobre todo, no permiten en general efectuar operaciones tan sencillascomo la multiplicación, pues para ello requerían procedimientos muy complicados que sóloestaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho, cuando se empezó a utilizar en

Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas (profesionales del cálculo) se opu-sieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicadoen sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las opera-ciones de forma tan sencilla.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Delorigen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opi-nión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistemaen la Europa de 1202. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero,lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier núme-ro por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

A continuación efectuamos un recorrido histórico por los principales sistemas de nume-ración.



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El sistema de numeración egipcio

Desde el tercer milenio a. C., los egipcios usaron un sistema de escribir los números debase diez en el que utilizaban los jeroglíficos de la tabla adjunta para representar los distintosórdenes de unidades.



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Los jeroglíficos egipcios representan la flora y la fauna del Nilo. Su numeración estababasada en una base decimal y se reproducían sobre monumentos de piedra. Podían ser escritosen ambas direcciones, de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, incluso verticalmente.

Por ejemplo, la imagen siguiente muestra el número 4633 escrito de izquierda a derechay de arriba a abajo:

La suma y la resta no presentan ninguna dificultad; por ejemplo, para la primera bastacon yuxtaponer o sobreponer las representaciones cifradas de los números que hay quesumar y después agrupar las cifras idénticas, sustituyendo cada 10 signos de una categoríapor la cifra de la clase decimal inmediatamente superior. Esto se puede ver claramente en elsiguiente dibujo:


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Para multiplicar por 10, les basta con sustituir, en la escritura del número de que se trate,cada símbolo por la cifra de su décuplo. Así, por ejemplo, si multiplicamos por 10 el número1464:



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se obtiene el 14640:

El sistema de numeración griego

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 a. C. Era un sistemade base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades.Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario, según el principio de las numeracionesaditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5,

10, 100, 1000 y 10000, las letras correspondientes a la

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