TALLER DE SISTEMA SEXAGESIMAL. CÍCLICO. FUNCIÓN COORDENADA Y FUNCIÓN CIRCULAR

SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CÍCLICO. Recuerda que la unidad de medida del sistema sexagesimal es el grado y sus unidades van de 60 en 60. Se debe tener en cuenta que: 1° = 60’. (un grado = 60 minutos) 1’ = 60’’. (un minuto = 60 segundos. Ejemplo 01. Expresar en grados, minutos y segundos el siguiente ángulo: 125°234’128’’. Solución. Observa que los minutos y segundos no están expresados en unidades menores de 60. Luego, observamos que 128’’ = 2’ y sobran 8’’. El resultado equivale a 125°236’8”. A los minutos se le sumaron los 2’ que se obtienen de los segundos. Ahora 236’’ = 3° y sobran 56’ porque 3x60+56 = 236. Los 3° se le suman a 125 y el resultado final es: 125°234’128’’ = 125°236’8’’ = 128°56’8’’. Para comprobar con su calculadora científica, realiza el siguiente proceso: 125 234 128 128°56’8’’

Tener presente que una revolución o una vuelta equivale a 360°. Recuerda que la unidad de medida del sistema cíclico es el radián. Un Radian es la medida del ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia (ángulo central) y sus lados determinan un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la misma . Una revolución o una vuelta en el sistema cíclico equivale a 2 radianes.

Ejemplo 02. Expresar en grados

Radianes.

Solución.

Ejemplo 03. Expresar en radianes 170°.

Solución. 170°x

.radianes

La ecuación para resolver problemas sobre Longitud de arco (S), Radio (R) y ángulo ( ) expresado en Radianes es: R S S = R. Lc = 2. .R R Ver video : http://www.youtube.com/watch?v=m9YIlssBRjU

FUNCIÓN COORDENADA(P). Es una función que asocia a cada número real un punto de la circunferencia. Entonces: Y

P: R-C= P(x,y) X

α P (α)=(x,y)

En esta definición vemos que el dominio de P son los R, y el recorrido es:

° ’ ’’ ° ’ ’’ ° ’ ’’ =

También se cumple que la longitud C de la circunferencia unitaria es de 2 , luego la longitud del arco de dos giros es de 4 , de tres giros es de 6 ,y asi sucesivamente; por lo tanto, la función coordernada P es periodica y su periodo es de 2 . Es decir: P( . Y

P(

X P( P(0) = P(2 ) = (1,0)

P(

) = (0 , -1)

Recuerda. P(

. P(

. P(

Ejemplo 04. Hallar el punto que corresponde a la función coordenada:

a) P(

. b) b) P(

. c) P(

.

Solución. a) Recuerda que

. Luego el círculo unitario se divide en

ángulos correspondientes a

. Se concluye que P(

=

b) Recuerda que

45°. Luego el círculo unitario se divide en ángulos

correspondientes a

. Se concluye que P(

( - )

c) Recuerda que

. Luego el círculo unitario se divide en ángulo

correspondientes a

. Se concluye que P(

.

FUNCIONES SENO, COSENO, TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE.

La función coordenada P asocia a cada número real un par ordenado (x , y). El número real asocia nuevas funciones para el par ordenado (x , y).

Para Y = Seno( ); X = Coseno( );

Tangente( ); X

Las funciones inversas son las siguientes:

La función inversa del seno es la cosecante:

Cosecante( ); Y

La función inversa del coseno es la secante:

Secante( ); X 0.

La función inversa de la tangente es la cotangente:

Cotangente( );

Y 0.

Ejemplo 05. Hallar las 6 funciones circulares correspondientes al punto P(

.

Solución. En el ejemplo 04 vimos que P(

=

; de donde se puede

concluir que X =

y Y =

.

Sen(

) =

; su inversa que es la Csc(

) =

.

Cos(

) =

; su inversa que es la Sec(

) =

.

Tan(

) =

; su inversa que es la

Cotan(

) =

.

RECUERDA QUE:

Csc(

; Sec(

; Cotan(

CUADRANTE SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE

I POSITIVO POSITVO POSITIVO POSITIVO POSITIVO POSITIVO

II POSITIVO NEGANTIVO NEGATIVO NEGATIVO NEGATIVO POSITIVO

III NEGATIVO NEGATIVO POSITIVO POSITIVO NEGATIVO NEGATIVO

IV NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO

Ejemplo 06. Hallar el valor de la función circular Csc(240°) sin calculadora:

Solución. Recuerda que 240° =

y que P(

) =

; se concluye

que: Csc(240°) =

.

Ejemplo 07. Hallar el valor de la expresión sin utilizar calculadora:

–

.

Solución. Lo primero que debes hacer es hallar los puntos que corresponden a las funciones coordenadas de:

P(

. P(

. P(

P(

.

Para luego reemplazarlas según la función circular dada:

.

CÁLCULO DE FUNCIONES CIRCULARES UTILIZANDO LA CALCULADORA. Ejemplo 08. Halla el valor de las siguientes funciones circulres para el ángulo

expresado en radianes y ubica el cuadrante: a) Sen(-3). b) Cos(

.

c)Sec(

.

Solución.

0 (+) - 0 (-)

a) Para hallar Sen(-3) coloca el cursor de la calculadora en rad:

Sen(-3) = -0.141. El ángulo (-3radianes) está ubicado en el tercer cuadrante (III C). Ver figura 2.

b) Cos(

=

Si recuerda que

, analizando la figura 2 una vuelta

equivale a

= -2 ; luego sería 8 vueltas negativas equivalente a -16

más

resultaría el ángulo en el cuarto cuadrante (IV C).

c) Sec(

. Realizar en la calculador lo que está dentro del paréntesis:

Sec( =

. Observando la figura 1 el ángulo

(8.11radianes) está ubicado en el segundo cuadrante (II C)

Ejemplo 09. Encuentra el valor de para cada función circular para 0 < <

a) Sen( = 0.57. b) Sec( = 1.45. Solución. Para hallar le ángulo puede utilizar el cursor de la calculadora en deg o rad.

a) = Sen-1(0.57). Esa operación en la calculadora se realiza de la siguiente

manera: shift Sen(0.57) = 34.75°

b) Sec( = 1.45. Como la calculadora no tiene la función secante, entonces,

se realiza el siguiente proceso:

.

Cos( =

. = Cos-1(

) = 46.39°.