Matemáticas y sus aplicaciones 7 - FCFM: Facultad de ... · Morgado, Celestino Soriano Soriano,...

Matemáticas y sus aplicaciones 7

Dedicado al Profesor Agustín Contreras Carreto

por su 60 aniversario

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas

Fernando Macías RomeroEditor

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLAJosé Alfonso Esparza OrtizRectorRené Valdiviezo SandovalSecretario GeneralYgnacio Martínez LagunaVicerrector de Investigación y Estudios de PosgradoFlavio Marcelino Guzmán SánchezE. D. Vicerrectoría de Extensión y Difusión de la CulturaAna María Dolores Huerta JaramilloDirectora de Fomento EditorialMartha Alicia Palomino OvandoDirectora de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas

Primera edición, 2016ISBN: 978-607-525-135-6

c� Benemérita Universidad Autónoma de PueblaDirección de Fomento Editorial2 Norte 1404, C.P. 72000Puebla, Pue.Teléfono y fax: 01 222 246 8559

Impreso y hecho en MéxicoPrinted and made in Mexico

Matemáticas y sus aplicaciones 7Selección bajo arbitraje riguroso de algunos trabajos presentados en elSecond International Conference on Mathematics and its Applications

(2CIMA), FCFM, BUAP.

Editor

Fernando Macías Romero

Comité científico internacional

Francisco Cala Rodríguez (UAC, CHL), Jesús Ildefonso Díaz (UCM, ESP), AntonioDíaz Ramos (UMA, ESP), Ermínia de Lourdes Campello Fanti (UNESP, BRA), Gu-delia Figueroa Preciado (UNISON), Miguel Ángel García Ariza (BUAP), AlejandroGarcía Diego (UNAM), David Herrera Carrasco (BUAP), Miguel Antonio JiménezPozo (BUAP), Judy Kennedy (LU, USA), Alejandro Illanes (UNAM), Isabel LlatasSalvador (USB, VEN), Fernando Macías Romero (BUAP), Edgar Martínez Moro(UVA, ESP), Juan Pablo Pinasco (UBA, ARG), Gerardo Raggi Cárdenas (UNAM),José Gregorio Rodríguez Nieto (UNC, CO), Fernando Tohmé (UNS, ARG), CamilloTrapani (UNIPA, ITA), Teresa de Jesús Valerio López (UAQ), Francisco VenegasMartínez (IPN), David Villa Hernández (BUAP), Federico Weinschelbaum (UdeSA,ARG).

Contenido

Presentación 1

Homenaje académico al Profesor Agustín Contreras Carreto por su

60 aniversario

Breve semblanza. David Herrera Carrasco, Fernando Macías Romero 5

Semblanza a Agustín. José Juan Angoa Amador 9

Al maestro Agustín. María de Jesús López Toriz 11

Homenaje al trabajo académico del Dr. Agustín Contreras Carreto

en ocasión de su 60 aniversario. Ángel Tamariz Mascarúa 13

Al Profe Contri. María del Rocío Macías Prado 15

Generosidad. La rayita 17

Caricaturas 1996. Agustín Contreras Carreto 19

Álgebra

Capítulo 1. El Anillo de Burnside 31César Cejudo Castilla, Juan Manuel Ramírez Contreras, David Villa Her-nández

Capítulo 2. El lema de Hensel y el levantamiento de Hensel 53Ángel Raúl García Ramírez, Carlos Alberto López Andrade

Capítulo 3. Una variación del contenido fuerte entre formaciones

localmente definidas 83Ismael Gutiérrez García, Anselmo Torresblanca Badillo

Análisis

v

Capítulo 4. Classification of the continuous translations in spaces

of weighted integrable real functions 109Álvaro Hernández Cervantes, Miguel Antonio Jiménez Pozo

Capítulo 5. Aproximación tipo Korovkin y Sistemas de Chebyshev 123José Margarito Hernández Morales, José Luis Carrasco Pacheco

Filosofia, Divulgación e Historia de las Matemáticas

Capítulo 6. El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hi-

paso de Metaponto 155Agustín Contreras Carreto, Elizabeth de Gante Coronel, María del Rocío

Macías Prado

Probabilidad y Estadística

Capítulo 7. Un portafolio de inversión óptimo bajo un enfoque de

Conditional Value at Risk (CVaR) 177Ambrosio Ortiz Ramírez, Abigail Rodríguez Nava, Luis Alberto Sánchez

Zacateco

Topología

Capítulo 8. Funciones de Whitney admisibles 199José Gerardo Ahuatzi Reyes, David Herrera Carrasco, Fernando Macías

Romero

Capítulo 9. Tercer producto simétrico único 231Vianey Córdova Salazar, David Herrera Carrasco, Fernando Macías Ro-

mero

Capítulo 10. Caracterización de los hiperespacios de un continuo

localmente conexo 249Lázaro Flores De Jesús, David Herrera Carrasco, Fernando Macías Romero

Índice de autores 269

vi

Presentación

Tenemos la fortuna de hacer un recorrido hacia un proceso creativo sin precedentes.Ha llegado el momento de compartir esta sabiduría, de invitar a todo el mundo aembarcarse en el navío que nos conduce hacia la Fuente de todo lo creado. Esta esla razón por la cual editamos el libro que tienen en sus manos. La felicidad que pro-pone este libro por su divulgación, investigación e intercambio de ideas se debe a lagenerosidad de muchísimos matemáticos que participaron en el denominado SecondInternational Conference on Mathematics ant its Applications (2CIMA, 2015), unesfuerzo profesional consolidado que ha permitido la participación de grandes per-sonajes de diversas universidades, nacionales y extranjeras, tanto en el desarrollodel 2CIMA como en su memoria escrita, que es el presente libro. La base ha sido uncomité organizador especializado, entusiasta y vigoroso emanado de la Academiade Matemáticas de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la BUAP. Esteproducto no es ni siquiera sietemesino, es normal, de por lo menos nueve mesesde trabajo constante. Por el amor a la matemática es que ha nacido este ejemplarque nos brinda la sabiduría necesaria para mostrarles parte de nuestros quehacerescotidianos.

Los capítulos de este libro están agrupados por secciones de acuerdo al áreatemática en el 2CIMA. Dichos capítulos fueron sometidos a arbitraje riguroso.

Agradecemos, con toda el alma, a todos los árbitros su amabilidad, gentileza,dedicación y trabajo científico. Un agradecimiento especial a José Gerardo AhuatziReyes por su apoyo en la edición de esta obra. Gracias por dejar huella.

Fernando Macías RomeroEditor

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Homenaje académico al Profesor Agustín

Contreras Carreto por su 60 aniversario

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Breve semblanza

Agustín Contreras Carreto, nacido en el D.F. el 5 de noviembre de 1956, es un pres-tigioso topólogo, geómetra, profesor, investigador, sumo escritor, sumo amanuense ysumo divulgador de la matemática, el mejor conferenciante, imitador, caricaturista,dr. magneto, músico, poeta «y loco». Directo, curioso, sociable, cariñoso, jovial; tocael saxofón, piano, acordeón; le gusta la alegría, las palanquetas, las galletas. Sus fru-tos: Manuel, Carlos, Héctor y Antonio. Busca la felicidad en el ser humano, cree enla bondad de las personas. Detesta las convocatorias BUAP. Es fan de contemplar elatardecer, de celebrar los cumpleaños de la gente, detallista, lector empedernido, leencanta comer y beber. Es un chico que dice que lo mejor de las fiestas se encuentraen la cocina. Buscador de tesoros descabellados. Su película: atrapados sin salida.Su actor: Jack Nicholson. Le emociona el falsete, el aroma, el sabor. Simpatiza conel Chi kung y Tai Chi. Estudió su licenciatura (1975-1979), maestría (1978-1980)y doctorado (1997-2003), todo en Matemáticas, en la Facultad de Ciencias de laUNAM. Fue profesor en la UNAM (1978 - febrero de 1980); profesor en la Univer-sidad de Guanajuato (agosto de 1980 - julio de 1981). Afortunadamente llegó comoprofesor a la entonces Escuela de Ciencias Físico Matemáticas (ECFM) de la Uni-versidad Autónoma de Puebla el 16 de agosto de 1981 y desde entonces a la fecha esProfesor de Tiempo Completo. Ha dirigido 17 tesis de licenciatura, 4 de maestría yuna de doctorado. Es uno de los profesores de la FCFM más populares de todos lostiempos por su pasión y sabiduría. Sus alumnos afirman haber aprendido tanto deél. Sus mejores admiradoras: Hortensia, Pillimba, Delia y Graciela siguen sonriendogustosas, observando todos sus logros desde el cielo.

Publicaciones

Libros

1. Agustín Contreras Carreto (otros autores: Juan Angoa Amador, Manuel Iba-rra Contreras, Raúl Lineras Gracia, Armando Martínez García), «Matemáti-cas Elementales» Textos Científicos. Dirección de Fomento Editorial, BUAP.Primera ed., 2004. 2da ed., 2008. 3a. reimpresión de la 2da ed. 2015, 1000ejemplares, ISBN: 978 607 7541 24 0, 277 páginas.

2. Agustín Contreras Carreto (otros autores: Juan Angoa Amador, Jaime ArroyoGarcía, David Herrera Carrasco Manuel Ibarra Contreras, Raúl Lineras Gra-cia, Fernando Macías Romero, Armando Martínez García, Celestino Soriano

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Soriano, Fernando Velázquez Castillo), «Cálculo Diferencial en una Variable»Fomento Editorial de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, marzode 2005, tiraje de 1000 ejemplares, ISBN: 968 863 817 X, 261 páginas.

3. Agustín Contreras Carreto (otros autores: J. Juan Angoa Amador, JaimeArroyo García, David Herrera Carrasco, Raúl Linares Gracia, Héctor SánchezMorgado, Celestino Soriano Soriano, Fernando Velázquez Castillo), «ÁlgebraI», Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, ISBN: 978 968 9282 412,200 páginas.

4. Agustín Contreras Carreto (otros autores: J. Juan Angoa Amador, ManuelIbarra, María de Jesús López Toriz), « Intoducción a las estructuras algebrai-cas», Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, primera edición, 2007,ISBN: 9789689182917, 97 páginas.

5. Agustín Contreras Carreto (otros autores: J. Juan Angoa Amador, Raúl Lina-res Gracia, María de Jesús López Toriz, Armando Martínez García), «Cálculointegral», Fomento Editorial de la Benemérita Universidad Autónoma de Pue-bla; primera edición, 2015, ISBN: 978 607 487 831 8, 299 páginas.

Capítulos de libros

1. Agustín Contreras, «Los principios de continuidad en los Elementos de Eu-clides» (Capítulo 6), Encuentro de enseñanza e historia de las matemáticas,Textos Científicos, Fomento Editorial de la Benemérita Universidad Autóno-ma de Puebla, págs. 71-77. Primera Edición. ISBN: 978 968 9391 13 5. EditoresJuan Angoa, Manuel Ibarra. Tiraje de 500 ejemplares. 88 págs. Publicado enmarzo de 2008.

2. Juan Angoa, Agustín Contreras, Manuel Ibarra, Ángel Tamariz, «Una intro-ducción a los espacios E-regulares y a la Cp-teoría. Una presentación cate-górica» (Capítulo 5), Topología y Sistemas Dinámicos II, Textos Científicos,Fomento Editorial de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, págs.111-160. Primera Edición. ISBN: 978 698 595 255 2. Editores J. Juan AngoaAmador, José Arrazola, Raúl Escobedo, Alejandro Illanes, Mauricio Osorio,Julio Poisot, Guillermo Sienra, Ángel Tamariz. Tiraje de 500 ejemplares. 214págs. Publicado en febrero de 2009.

3. Ángel Tamariz Mascarúa, Agustín Contreras Carreto, Manuel Ibarra Contre-ras «Algunas generalizaciones de la pseudocompacidad» (Capítulo 3), Topolo-gía y sus Aplicaciones 1, Textos Científicos, Fomento Editorial de la Benemé-rita Universidad Autónoma de Puebla, págs. 53-70. Primera Edición. ISBN:

6

978-607-487-388-7. Editores Juan Angoa, José Arrazola, Raúl Escobedo. Ti-raje de 500 ejemplares. 206 págs. Publicado en febrero de 2012.

4. Juan Angoa, Agustín Contreras, Manuel Ibarra, «Algunas reflexiones sobrela historia de la matemática» (Capítulo 4), Matemáticas y sus aplicaciones 5,Textos Científicos, Fomento Editorial de la Benemérita Universidad Autóno-ma de Puebla, págs. 103-115, Primera Edición 2015, ISBN: 978-607-487-934-6.Editor Fernando Macías Romero. Tiraje de 500 ejemplares. 224 páginas. Pu-blicado el 19 de octubre de 2015.

5. Agustín Contreras Carreto, Elizabeth de Gante Coronel, María del RocíoMacías Prado, «El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipaso deMetaponto» (Capítulo 6), Matemáticas y sus aplicaciones 7, Textos Científi-cos, Fomento Editorial de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla,págs. 155-173, Primera Edición 2016, ISBN: 978-607-525-135-6. Editor Fer-nando Macías Romero. Tiraje de 500 ejemplares. páginas. Publicado el 15 dediciembre de 2016.

Artículos

1. Agustín Contreras-Carreto, Ángel Tamariz-Mascarúa, «On some generaliza-tions of compactness in spaces Cp(X, 2) and Cp(X,Z)», Boletín de la SociedadMatemática Mexicana (3) volumen 9 (2003), 291- 308.

2. Fidel Casarrubias-Segura, Agustín Contreras-Carreto, Alejandro Ramírez-Páramo, «Some new topological cardinal inequalities», Topology and its Ap-plications 154 (2007) 1307-13013.

Agradecemos al «Contri» su amistad y aportaciones a la FCFM.

David Herrera CarrascoFernando Macías Romero

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Semblanza a Agustín

La semblanza a alguien, son pedazos de recuerdos seleccionados desde el presente,uno trata de engañar a los lectores diciendo cosas como fueron antes, pero el presentenos engaña dos veces primero cuando creemos que así pasó y segundo cuando elcómo pensamos ahora, manda imperiosamente el qué recordar.

Hechas estas aclaraciones van mis recuerdos. Un día de una semana de un con-greso de Educación realizado en Atlixco, conocí a Agustín, un joven matemático quedoblando papel pretendía construir con nuestras manos una elipse, algo inusitado,frente a nosotros la matemática tenía un acercamiento manual, nuestros cuerpospueden crear una materialidad del concepto, el concepto regresando a la materia.Pasados algunos días, y también la sorpresa de esta manifestación corpórea de lamatemática, encontré a Agustín buscando a sus alumnos en la Escuela de CienciasFísico Matemáticas, la total invisibilidad de sus alumnos nos permitió conocernosmejor, así entre tarareos de obras clásicas empecé a conocer algunos datos de Agus-tín de viva voz. Prófugo de un doctorado, buscó una vida útil en la provincia comomaestro, la razón de un posgrado mostró la insuficiencia existencial para él, aho-ra me doy cuenta, que la conciencia de este hecho la tenemos muchos pero pocostenemos el valor de abandonar un proyecto tan valioso socialmente.

Al paso de los años, hemos iniciado conjuntamente muchos proyectos matemá-ticos y no matemáticos, ambos igual de importantes. Recuerdo todos los libros quehemos escrito y fundamentalmente vivido intensamente, las primeras versiones deMatemáticas Básicas, Álgebra I y Cálculo Diferencial, él fue el amanuense en granparte, y yo el dictador en otra gran parte. Estas tareas nos permitieron degustar elbolero en todas sus grandes cantantes, el jazz y Ella, el tango y Susana, José Alfre-do y sus profundas dolencias a flor de piel, Cri Cri y muchísimas más curiocidadesmelódicas que su aparato de sonido Fisher no paraba de reproducir mientras tra-bajábamos. Aquí aprovecho para marcar una gran cualidad de Agustín, es un grancreador de ambientes en donde el trabajo, peligrosamente, se convierte en placente-ro. Así mientras desarrollábamos estos textos, Agustín se daba a la tarea de regalarun bolero, tocado por él y “cantado por mi”, en los cumpleaños de nuestros amigos(el JA). Así pasamos por Guty, Agustín Lara, Miguel Prado, José Alfredo, MaríaGreever, Consuelito, todos absolutos desconocidos por las nuevas generaciones queno saben como enamorarse, lo cual no niega que se enamoren.

Como él mismo ha reconocido, un proyecto de posgrado sin los cuates para élno tiene sentido, así que los cuates le propusimos reanudar nuestros estudios deposgrado y ahí tenemos a Agustín reiniciando su doctorado, finalmente concluido

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con el asesoramiento de ese otro gran cuate: Ángel Tamariz. Y henos aquí, doc-tores e ignorantes, revalorando nuestra ingenua y amorosa relación primaria conla matemática, la cual Agustín nunca perdió, y que ahora comprendo lo ha nutri-do existencialmente toda su vida. Si algunos han perdido esta relación amorosa yconvertido a la matemática en sólo la fuente de sus ingresos, lo cual ha situado aAgustín en diletante, para mí ha revalorado su convicción de que la matemáticafundamentalmente nos hace felices.

Juan Angoa

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Al maestro Agustín

Hablando de música, ¿qué sería de los boleros sin el maestro Agustín Lara? . . .¿Qué sería de la música clásica sin Bach o Mozart?, como dice el Maestro Agustín

Contreras acerca de sus preferencias: no puedo decidir, ambos son maximales.¿Qué sería del mundo sin soles? recordando a Graciela Salicrup, por cierto uno

de esos soles es su discípulo Agustín Contreras Carreto.Desde un 16 de agosto de 1981, nuestra Facultad contó en su planta docente

con el maestro Agustín Contreras Carreto, quien día a día, como emulando a lapropiedad Arquimediana, con sus clases (en todo el sentido de la palabra, que hoyen día muchos pasan por alto esta hermosa labor), sus seminarios, sus atencionesa cientos de alumnos y calificando a los mismos, ha colaborado a crear a nuestraFacultad de Ciencias Físico Matemáticas de la BUAP, por cierto sin pedir a cambiola dichosa constancia.

Podemos prescindir de ciertas burocracias y burócratas y en verdad ¡no pasanada!, sin embargo, estoy segura que no podemos prescindir del maestro Contri, noimagino a nuestra facultad con tal vacío.

Como es sabido por muchos de Ustedes la Teoría de los Continuos es un áreaimportante de la matemática en nuestra facultad, por los maestros, por los inves-tigadores que a ella se dedican, por los congresos en que ella se incluye y por losalumnos que por ella se interesan, incluso para el revuelo que la burocracia exige.La llegada de esta bella rama de la topología, también se la debemos al maestroAgustín y, por supuesto, a todos los organizadores de las Jornadas Veraniegas deTopología, ya que a través de Isabel Puga con su plática “Una introducción a los con-tinuos” impartida un jueves 13 de junio de 1996, al seno de las Jornadas, nacieronlos continuos en Puebla.

Recuerdo cuando le pedí al profesor Agustín que por favor me eligiera un cursoa impartir en la asamblea de la academia, pues el día citado tenía que exponer enel seminario de la UNAM, bajo la dirección del profesor Janusz Charatonik. Al díasiguiente me dice: le tengo dos noticias, la mala es que impartirás “Introducción alas estructuras algebraicas” y la buena es que “no hay textos para esta materia”resultado de esta sorpresa nació el primer libro que tenemos en coautoría, porsupuesto no podía faltar su peculiar grito ¡perdón!

Existen tantas cosas maravillosas que nos ha compartido, y sin constancia depor medio, sólo por el gusto que tiene por la bella matemática. Es capaz de realizarmil y una cosa en distantes áreas de la cultura; la música, la literatura, la historia,los que hemos tenido la dicha de ver sus manos atadas a las teclas de un piano, al

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interpretar un bolero o una pieza de Mozart, nos impresiona escuchar todo lo quepuede producir y crear, y no precisamente por estar publicando un paper, caray . . .le agradezco su gentileza, virtud que lo caracteriza, gracias maestro Agustín.

La milagrosa niña doctora de Tepeaca(M. López Toriz)

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Homenaje al trabajo académico del Dr. Agustín

Contreras Carreto en ocasión de su 60 aniversario

Parecieran agotarse los enigmasy de madrugadahay de nuevo aguamiel en el agave...1

Mario Calderón en Hálito de origen.

El mes de noviembre de 2016 se nos presenta una gran oportunidad para ofrecernuestros respetos a uno de los académicos que mayor influencia ha tenido en laformación y en la construcción de la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de laBenemérita Universidad Autónoma de Puebla. Me refiero a nuestro querido amigo,profesor y colega Agustín Contreras Carreto.

Tuve el gusto de conocer a Agustín en el año de 1996, cuando desarrollamosun proyecto de trabajo conjunto con los Profesores Juan Angoa, Manuel Ibarray Armando Martínez. Este evento que narraría Agustín como “Una cálida tardede verano en Huejotzingo, una espumosa y fragante sidra, y cinco matemáticosdisfrutando de la bebida y del paisaje. Con estos ingredientes y una voluntad común,la alegre conversación sólo podía enjendrar algo bueno”. Esta exitosa confabulaciónconsistió en un trabajo que iniciamos los cinco para crear un grupo de estudio,docencia, difusión e investigación en topología general, e incluyó mi tutoría para untrabajo doctoral que llevó a cabo nuestro querido homenajeado.

Así se inició mi relación académica y personal con Agustín. Tuve desde aquelentonces la oportunidad de trabajar y de convivir con una personalidad única quese caracteriza por su responsabilidad, generosidad, y su rigor y talento matemático.Agustín es el matemático-poeta. Su gran sensibilidad humana, su vocación por eltrabajo colectivo2, su preocupación por lo justo, su calidez y determinación porentregar a sus alumnos y colegas su conocimiento y dedicación, construyeron unatrayectoria académica que ha marcado a varias generaciones de estudiantes y aca-démicos de la FCFM-BUAP. Sus clases, seminarios, libros, artículos y conferenciasde divulgación son una muestra del trabajo en equipo, y de la conjunción de loriguroso-matemático con la calidez humana que toma diversas formas amalgama-das por el buen humor omnipresente en Agustín, su sensibilidad por la música y lapoesía, y su crítica a todo lo que significa injusticia.

1Con estos versos dio término Agustín a su tesis doctoral.

2“La sopa de piedras”, como diría el Dr. Oscar Falcón, Profesor de la Facultad de Ciencias,

UNAM, a quien siempre tendremos en la memoria (?-2002)

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¿Quién puede olvidar el espíritu amable y divertido que enmarcó las prime-ras Jornadas Veraniegas de Topología en 1996? Éstas fueron organizadas por estegrupo de los Cinco de Huejotzingo que estaban constituidas por una serie de confe-rencias anunciadas siempre por medio de dibujos memorables que diseñaba Agustín.Estas imágenes reflejaban de manera asombrosa algunas de las características dela personalidad tanto de los conferencistas como de los escuchas. En mi opinión,esas Primeras Jornadas fueron el cimiento del desarrollo académico posterior de latopología en la FCFM.

El trabajo doctoral de Agustín es una conjunción de dos objetivos; por un ladologra construir una síntesis preciosamente concretada de las teorías categóricas delos E-espacios, sus extensiones maximales compactas, y de los espacios de funcio-nes continuas Cp(X,E); y por otro lado, resuelve varios problemas relacionadosa la pseudocompacidad de espacios del tipo Cp(X, 2). Menciono aquí sólo uno desus resultados sobresalientes en esta tesis: Si X es un espacio cero-dimensional ynormal, entonces Cp(X, 2) es �-compacto si y sólo si X es Eberlein-Grothendieky el conjunto de puntos no aislados de X es compacto. Queda aún pendiente laedición de la tesis doctoral de Agustín como libro de texto que servirá mucho, tantoa estudiantes de posgrado como a profesores e investigadores en topología.

Termino aquí mi insuficiente homenaje a mi querido compañero Agustín, quientanto me ha enseñado como matemático y persona. Y junto a sus alumnos, colegas,y sobre todo junto a su queridísima Hortensia, que siempre estará presente, y asus amadísimos hijos, me sumo a este muy merecido homenaje. Mil felicidades ymuchas gracias, Agustín.

Ángel Tamariz Mascarúa

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Al Profe Contri

El profesor Agustín Contreras, mejor conocido como el «Profe Contri» es uno delos mejores profesores de la FCFM. Lo vi unas veces antes de entrar a la facultady me parecía todo un personaje: su bolsa de mandado, sus pelitos en la orejas ysu peculiar forma de ser. Cuando recién entré a la universidad, tuve la fortuna detomar clases con él en el segundo semestre: la materia de geometrías no euclidianas.En ese momento, me enamoré de la geometría.

El Profe Contri, hace sus clases súper divertidas e interesantes. No sólo se apren-den matemáticas sino también la historia detrás de lo que nos está enseñando, ha-ciendo gala de sus dotes histriónicos al encarnar al mismísimo Hipaso o imitar conmaetría inigualable la voz de Gauss, entre otros.

Después de tomar la primera materia con él, ya no pude dejar de tenerlo comoprofesor: fue mi maestro de Geometría Sintética (no puede uno hacerse licenciadoen Matemáticas sin haber tomado esa materia con él, es una joya: actúa la historiadel intento de la demostración del quinto postulado, del descubrimiento de la in-conmensurabilidad de los números racionales, etc.; siempre enfatiza esa parte de lahistoria que todo matemático debe saber) y en otras siete materias.

Cuando conocí otra faceta del Profe Contri fue en la maestría, donde no sólo fuemi asesor, sino mi amigo y mi «médico homeópata» de cabecera. Esos dos años ymedio fueron maravillosos, aprendimos juntos cosas y me presentó el mundo de lascategorías con una emoción indescriptible. Las clases eran de todo, empezábamosa estudiar homología y terminábamos hablando de música, de política, de historia,de su vida, de sus maestros (con sus voces originales)...

Estas breves palabras no son suficientes ni para captar la esencia de tan mara-villoso personaje ni para agradecerle lo que ha hecho por mí y por la facultad, quele debe su inusual amor por las matemáticas y su enseñanza.

María del Rocío Macías Prado

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Generosidad

Cuántas y tantas almas podemos decir: “Agustín Contreras fue mi maestro”. No losé. Puedo hablar de una experiencia personal, del cambio que significó en mi vidaser su alumno.

Sus clases son todo un acontecimiento, una verdadera fiesta. Todo se transforma,ya no son obligaciones o deberes, se trata de auténtico goce, sumergirse en aguastermales. ¡El paraíso terrenal!

Con el Maestro llegó la geometría en medio de una gran algarabía, con músicay danzas. Después de conocerlo uno queda convencido de que debiera celebrarse“El día del quinto postulado de Euclides”, ¡oh maravilla de la transfiguración! Si loaceptamos, la geometría es una tierna y dulce doncella, heroína del romanticismo(parece que escuchamos “La muerte y la doncella” de Schubert); si no, se convierteen una exuberante y voluptuosa mujer de la narrativa latinoamericana (oiga ustedcómo suena el bongó).

Cuántos jóvenes no habrán encontrado su vocación de matemáticos, de geóme-tras, de topólogos, de artistas, en sus clases.

Para mi significó salir del medievo y entrar a la Ilustración. El salón se hizoancho, ancho extendiéndose por días, semanas, meses . . . , descubrimiento de lo me-jor del cultivo de los hombres. Euclides, Lobachevski, Mozart, Beethoven, Britten,Lara, Toñita, Escher, van Gogh, Hendrix, Dylan, José Alfredo, Maupassant, (Ma-zapán, le decía “el Juan”), Eco, Uderzo y Goscinny, Pillimba . . . todos son uno. ConDon Agustín queda demostrado que la enseñanza es una realidad absolutamentehumana. ¿Qué educación a distancia o universidad en línea puede lograr esto?

Hay que dejar bien claro que nuestro ilustre amigo no conoce de “productividad”,sino de fecundidad. No existe en él un deseo desenfrenado de acumular conocimien-tos a como dé lugar, Agustín solo sabe de disfrute en la alegría. Está muy lejos delos que presumen de algo. Él es generoso, para recibir y para dar. Como el príncipeMishkin siempre está dispuesto, abierto en su sencillez, para ayudar a cualquieraque se acerca.

Hoy la burocracia gusta de calificar a los profesores por sus “puntos”, pero no-sotros, los que lo conocemos, sabemos que en él hay una especial capacidad deenamorar a los jóvenes de la matemática. Modelando una mujer de una costilla,como cortés ninfagogo, o amigo, la conduce y se la presenta al novio. El alumnoprorrumpe en canto . . .

La matemática, con él, se hace arte sin dejar de ser ciencia.Pero miro espantado una enorme silueta que se dibuja a través de los vidrios de la

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puerta de mi departamento, aun así la abro, camino hacia atrás . . . es él, ejerce sobremí una poderosa fascinación, es una extraña combinación de emociones, sorpresa,miedo, ¡alegría! Está dotado de una siniestra virtud por medio de su voz que es unaespecie de chillido y lamento, y al mismo tiempo como un canto de ternura que teinvita a imitarlo. ¡El monstruo dada!

El maestro Contri (de cariño) puede dirigir un curso del grado que sea, desdeel básico hasta doctorado, lo mismo que el coro de una parvada de guajolotestlaxcaltecas o al Cuarteto Guarneri interpretando el Razumovsky número 3.

Bueno, basta. Podría seguir al infinito cual canción para coro de niños como la“Old Abram Brown” de Britten.

Choquemos, pues, nuestros vasos como cosacos empedernidos a la salud de nues-tro insigne amigo; brindemos por todos los que hemos tomado sus cursos, por todoslos que los tomarán, pero sobre todo por los que tenemos la fortuna incalculable deser sus amigos.

Muchas gracias Maestro Agustín, le estaré eternamente agradecido.

La Rayita, uno que fue alumno.

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Caricaturas 1996

realizadas por el amanuense Agustín Contreras Carreto

para anunciar las sesiones de las primeras Jornadas de

Topología

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Álgebra

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Matemáticas y sus aplicaciones 7, Textos Científicos, Fomento Editorial de la

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, ISBN: 978-607-525-135-6

Capítulo 1

El Anillo de Burnside

César Cejudo Castilla, Juan Manuel Ramírez Contreras,David Villa Hernández

FCFM, BUAP

Resumen

En este trabajo realizaremos una construcción del anillo de Burnside de ungrupo finito G. Esta construcción se hará de manera detallada para una mejorcomprensión de dicho anillo y con ello, familiarizar al lector con temas rela-cionados. Cabe mencionar que para una mejor comprensión de este texto serequieren conocimientos básicos de la Teoría de Grupos.

1 G-conjuntos

El anillo de Burnside B(G) es uno de los anillos fundamentales de representaciónde G. Además, es el objeto universal a considerar en el estudio de la categoría de G-conjuntos finitos. Es un análogo para los G-conjuntos finitos del anillo Z; de hecho,el anillo Z es isomorfo al anillo de Burnside del grupo trivial.

Por otra parte, el estudio de su espectro primo y de sus idempotentes primitivosconduce a varios teoremas de inducción como el de Artin, Brauer y Dress (teoremasde representación). El anillo de Burnside es un invariante del grupo, el cual detectasolubilidad. Andreas Dress, probó que un grupo es soluble si y sólo si los únicosidempotentes de B(G) son los triviales. También probó el teorema de inducción deDress para B(G), el cual, a partir del hecho de que B(G) actúa en los funtores deMackey, se tradujo en un teorema de inducción para cada uno de estos funtores,ver [2]. El lector puede encontrar más aplicaciones en [1], [2] y [3].

Definición 1.1. Sean X un conjunto y G un grupo, diremos que X es un G�conjuntosi existe una función

⇤ : G⇥X �! X tal que (g, x) 7�! ⇤((g, x)) = g ⇤ x

que satisface:

i) e ⇤ x = x para todo x 2 X, donde e es la identidad en G.

http://www.fcfm.buap.mx/cima/publicaciones/ 31

32 César Cejudo Castilla, Juan Manuel Ramírez Contreras, David Villa Hernández

ii) (gh) ⇤ x = g ⇤ (h ⇤ x) para todo g, h 2 G y x 2 X.

Observación 1.2. A la función ⇤ usualmente se le conoce como la acción de G enX y se dice que G actúa en X.

Ejemplo 1.3. Sean G un grupo y X un conjunto, entonces X es un G�conjuntomediante:

⇤ : G⇥X �! X tal que (g, x) 7�! g ⇤ x = x.

La acción ⇤ es llamada la acción trivial de G en X, y cuando consideramos dichaacción decimos que G actúa trivialmente en X.

Ejemplo 1.4. Sea G un grupo y H G, entonces G/H (el conjunto de las claseslaterales izquierdas de H) es un G�conjunto mediante la multiplicación por laizquierda, es decir:

⇤ : G⇥G/H �! G/H tal que (g, g1H) 7�! g ⇤ (g1H) = (gg1)H

para todo g 2 G y g1H 2 G/H.

Definición 1.5. Sean X y Y conjuntos. Considere los conjuntos X 0= X ⇥ {1} y

Y 0= Y ⇥ {2} donde 1 /2 Y y 2 /2 X, entonces definimos la unión ajena de X y Y

como X t Y = X 0 [ Y 0 . Note que X 0 \ Y 0= ;.

De manera más general, dada {Xi}i2I una familia de conjuntos, la unión ajena dedicha familia es F

i2IXi =

Si2I

X 0i, donde X 0

i= Xi ⇥ {i}.

Ejemplo 1.6. Si {Xi}i2I es una familia de G�conjuntos, entonces Fi2I

Xi es un

G�conjunto mediante:

⇤ : G⇥G

i2IXi �!

G

i2IXi tal que (g, (x, i)) 7�! g ⇤ (x, i) = (g ⇤i x, i)

donde ⇤i es la acción de G en Xi con x 2 Xi, para algún i 2 I.

Ejemplo 1.7. Si {Xi}i2I es una familia de G�conjuntos, entonces el productocartesiano de la familia {Xi}i2I (denotado por Q

i2IXi) es un G�conjunto mediante:

⇤ : G⇥Y

i2IXi �!

Y

i2IXi tal que (g, (xi)i2I) 7�! g ⇤ (xi)i2I = (g ⇤i xi)i2I

donde ⇤i es la acción de G en Xi, para cada i 2 I.

Matemáticas y sus aplicaciones 7, Capítulo 1, páginas 31-52

El Anillo de Burnside 33

Ejemplo 1.8. Si X y Y son dos G�conjuntos, entonces

Hom(X,Y ) = {f : X ! Y | f es función}

es un G�conjunto mediante:

⇤ : G⇥ Hom(X,Y ) �! Hom(X,Y ) tal que (g, f) 7�! g ⇤ f

donde (g ⇤ f)(x) = g ⇤Y

f(g�1 ⇤X

x), para toda x 2 X, f 2 Hom(X,Y ) y g 2 G. Esclaro que ⇤ está bien definida, puesto que f es una función y ⇤

Y

, ⇤X

son las accionesde G en Y y X, respectivamente.

Demostremos que ⇤ es una acción.

i) Sea f 2 Hom(X,Y ), entonces (e ⇤ f)(x) = e ⇤Y

f(e ⇤X

x) = f(x) para todax 2 X, por lo tanto e ⇤ f = f .

ii) Sean g, g0 2 G. Entonces para x 2 X se tiene que:

((g0g) ⇤ f)(x) = (g0g) ⇤Y

[f(g�1g0�1 ⇤X

x)]

= g0 ⇤Y

[g ⇤Y

f(g�1g0�1 ⇤X

x)]

= g0 ⇤Y

[(g ⇤ f)(g0�1 ⇤X

x)]

=�g0 ⇤ (g ⇤ f)

�(x).

Por lo tanto (g0g) ⇤ f = g0 ⇤ (g ⇤ f).

Observación 1.9. Dada ⇤ una acción de G en X se tiene que ⇠ es una relaciónde equivalencia en X, donde y ⇠ x si y sólo si existe g 2 G tal que y = g ⇤ x.

Definición 1.10. De acuerdo a la relación anterior ⇠, denotaremos a la clase deequivalencia de x 2 X por OG(x) y la llamaremos órbita de x en G. Observe queOG(x) = {g ⇤ x : g 2 G} ✓ X.

Definición 1.11. Sean X, Y dos G�conjuntos con acciones ⇤X

y ⇤Y

, respectiva-mente. Diremos que f 2Hom(X,Y ) es un morfismo de G�conjuntos si satisfaceque f(g ⇤

X

x) = g ⇤Y

f(x) para todo g 2 G y x 2 X. Denotamos a la colección demorfismos de G-conjuntos de X a Y por HomG(X,Y ).

Ejemplo 1.12. Sean H K G, entonces

⇧ : G/H �! G/K tal que aH 7�! aK

es un morfismo sobreyectivo de G�conjuntos.



i) Veamos que ⇧ esta bien definida. Sean aH, a0H 2 G/H tales que aH = a0H,así (a0)�1a 2 H K, en consecuencia aK = a0K.

ii) Veamos que ⇧ es un morfismo de G�conjuntos. Primero, notamos que laacción de G en G/H y en G/K es la definida en el Ejemplo 1.4, así

⇧(g ⇤ aH) = ⇧((ga)H) = (ga)K = g ⇤ (aK) = g ⇤⇧(aH).

Ejemplo 1.13. Sea X un G�conjunto, la identidad

IdX : X �! X tal que x 7�! x

es un morfismo de G�conjuntos.

Observación 1.14.i) La composición de morfismos de G�conjuntos es nuevamente un morfismo de

G�conjuntos.

ii) El inverso de un isomorfismo de G�conjuntos es también un isomorfismo deG�conjuntos.

iii) Un morfismo de G�conjuntos manda órbitas en órbitas.

Sean f 2 HomG(X,Y ), x 2 X y OG(x) la órbita de x en G. Luego, f(gx) =g(f(x)), así f(OG(x)) ⇢ OG(f(x)). Por otro lado, gf(x) = f(gx) 2 f(OG(x)),por tanto OG(f(x)) ⇢ f(OG(x)), concluyendo que OG(f(x)) = f(OG(x)).

Definición 1.15. Sean X, Y dos G�conjuntos, diremos que X y Y son isomorfoscomo G�conjuntos si existe f 2 HomG(X,Y ) biyectivo. Si X y Y son isomorfos lodenotaremos por X ⇠=

G

Y .

Definición 1.16. Sean G un grupo, X un G�conjunto y x 2 X. Definimos elestabilizador de x en G como stabG(x) = {g 2 G : g ⇤ x = x}.

Observación 1.17. Note que stabG(x) es un subgrupo de G.

i) Sea e la identidad en G, sabemos que e ⇤ x = x, entonces e 2 stabG(x).

ii) Sean g1, g2 2 stabG(x), sabemos que (g1g2) ⇤ x = g1 ⇤ (g2 ⇤ x) = x, entoncesg1g2 2 stabG(x).

iii) Sea g 2 stabG(x), luego g ⇤ x = x, así x = g�1 ⇤ x, entonces g�1 2 stabG(x).

De aquí en adelante si no hay lugar a confusión, vamos a abreviar la notación yescribiremos gx en lugar de g ⇤ x.



Definición 1.18. Llamaremos a un G�conjunto transitivo si tiene una única órbita;es decir, si para cada x, y 2 X existe g 2 G tal que y = gx.

Teorema 1.19. Si G es un grupo, X un G-conjunto y x0 2 X, entonces

i) stabG(gx0) = g(stabG(x0))g�1.

ii) OG(x0) ⇠=G

G/ stabG(x0).

iii) Si H es un subgrupo de G, entonces G/H es transitivo.

iv) Si X es un G�conjunto transitivo, entonces X ⇠=G

G/H para algún H G.

Demostración. i) Sea a 2 stabG(gx0), así a(gx0) = gx0, de aquí (ag)x0 = gx0,en consecuencia g�1agx0 = x0, de aquí que g�1ag 2 stabG(x0), con lo que a 2g(stabG(x0))g�1, por tanto stabG(gx0) ⇢ g(stabG(x0))g�1. De manera análogag(stabG(x0))g�1 ⇢ stabG(gx0), por lo tanto

stabG(gx0) = g(stabG(x0))g�1.

ii) Definimos f : OG(x0) �! G/ stabG(x0) tal que gx0 7�! g(stabG(x0)).

Sean g1x0, g2x0 2 OG(x0). Entonces g1x0 = g2x0 si y sólo si (g�12 g1)x0 = x0, esto úl-

timo es equivalente a que g�12 g1 2 stabG(x0) y esto pasa si y sólo si g2(stabG(x0)) =

g1(stabG(x0)). Por lo tanto, f está bien definida y es inyectiva.

Ahora, sea g(stabG(x0)) 2 G/ stabG(x0), notemos que gx0 2 OG(x0) y es tal quef(gx0) = g(stabG(x0)), así f es suprayectiva.

Sólo falta demostrar que f es morfismo de G�conjuntos, para ello tomemos g, g0 2 Gentonces

f(g0(gx0)) = f((g0g)x0)) = g0g(stabG(x0)) = g0(g(stabG(x0))) = g0(f(gx0)).

Por lo tanto OG(x0) ⇠=G

G/ stabG(x0).

iii) Como G actúa en G/H mediante la acción del Ejemplo 1.4, tenemos que G/H =

OG(H). Por lo tanto, G/H es transitivo.

iv) Es inmediato de ii).

Teorema 1.20. Si X es un G�conjunto finito, entonces existe un conjunto deíndices I tal que

X ⇠=G

G

i2IG/Hi donde Hi G para cada i 2 I.



Demostración. Sean X un G�conjunto y {xi | i 2 I} un conjunto de representantesde las órbitas de G en X. Entonces X =

Si2I

OG(xi) y por el Teorema 1.19 sabemos

que OG(xi) ⇠=G

G/ stabG(xi) para cada i 2 I; llamemos fi al isomorfismo de OG(xi)

a G/ stabG(xi). Así, definimos

f :

[

i2IOG(xi) �!

G

i2I(G/ stabG(xi)) tal que x 7�! (fi(x), i) para x 2 OG(xi)

el cual es un isomorfismo de G�conjuntos. Finalmente definimos Hi = stabG(xi),con lo cual queda demostrado el teorema.

Definición 1.21. Sea H G un subgrupo, llamaremos conjugado de H por g 2 Gal subgrupo de G definido por gHg�1

=�ghg�1

: h 2 H

.

Observación 1.22. Sea X = {H ✓ G : H G es subgrupo}, entonces X es unG�conjunto mediante

⇤ : G⇥X �! X tal que (g,H) 7�! g ⇤H = gHg�1

i) e ⇤H = eHe�1= H.

ii) g1g2 ⇤H = (g1g2)H(g1g2)�1= g1g2Hg�1

2 g�11 = g1 ⇤ (g2Hg�1

2 ) = g1 ⇤ (g2 ⇤H).

Definición 1.23. Al conjunto de órbitas de X bajo la acción de G (ver Observación1.22) lo denotaremos C (G) y lo llamaremos las clases de conjugación de subgruposde G. Denotamos por [H] 2 C (G) la órbita de H 2 X bajo esta acción, es decir:[H] =

�gHg�1

: g 2 G . Además, [K] = [H] si y sólo si K = gHg�1 para algún

g 2 G, es decir, H y K son subgrupos conjugados.

Lema 1.24. Si H, K G son subgrupos, entonces G/H ⇠=G

G/K si y sólo si[H] = [K].

Demostración. (() Sabemos que [K] = [H], entonces existe g 2 G tal que K =

gHg�1, asíg�1Kg = H.

Luego, definimos f : G/H �! G/K tal que aH 7�! ag�1K. Sean aH, bH 2 G/H.Entonces

aH = bH , ag�1Kg = bg�1Kg

, ag�1K = bg�1K.



Por lo tanto f está bien definida y es inyectiva.

Ahora, sea bK 2 G/K con b 2 G, notemos que bgH 2 G/H, luego f(bgH) =

bgg�1K = bK. De aquí, f es suprayectiva y, por tanto, biyectiva.

Por último, f(g1(aH)) = f(g1aH) = (g1ag�1)K = g1(ag�1

)K = g1f(aH), con loque f es morfismo de G�conjuntos. Por lo tanto, G/H ⇠=

G

G/K.

()) Sea f : G/H �! G/K un isomorfismo de G�conjuntos tal que H 7�! gKpara algún g 2 G. Así, para todo h 2 H, gK = f(H) = f(hH) = hgK, asígK = hgK, luego g�1hg 2 K, de aquí g�1Hg ⇢ K.

Tomemos f�1, el cual sabemos que es un morfismo de G�conjuntos y note que paracada k en K, kg�1H = kf�1

(K) = f�1(kK) = f�1

(K) = g�1H, así gkg�1 2 Hpara todo k 2 K, luego gKg�1 ⇢ H, en consecuencia K ⇢ g�1Hg, por tantoK = g�1Hg, por lo tanto [H] = [K].

Definición 1.25. Sean H, K G subgrupos. Si existe g 2 G tal que gHg�1 ✓ K,diremos que H es subconjugado de K

Teorema 1.26. Si H, K G son subgrupos, entonces HomG(G/H,G/K) 6= ; siy sólo si H es subconjugado de K.

Demostración. ()) Sea f 2 HomG(G/H,G/K), entonces f(eH) = aK para algunaa 2 G. Para cada h 2 H tenemos que hH = H, entonces se tiene que f(hH) =

f(eH) = aK, lo anterior implica que aK = f(hH) = hf(eH) = haK. Por lo tanto(a�1

)ha 2 K, y así tenemos que (a�1)Ha ⇢ K.

(() Sea ↵ : G/H �! G/a�1Ha un isomorfismo de G�conjuntos. Por otro lado,existe a 2 G tal que a�1Ha K, entonces del Ejemplo 1.12 tenemos el morfismode G�conjuntos ⇧ : G/a�1Ha �! G/K. En consecuencia

(⇧ � ↵) 2 HomG(G/H,G/K).

Observación 1.27. Si H es subconjugado de K, entonces todo conjugado de H essubconjugado de cualquier conjugado de K.

Observación 1.28. En C (G) hay una relación de orden parcial. Dados [H], [K] 2C (G), tenemos que

[H] � [K] si y sólo si H es subconjugado de K.



2 Propiedades de la marca

Definición 2.1. Sean G un grupo, H G un subgrupo y X un G-conjunto finito.Definimos XH como el conjunto de todos los puntos de X que quedan fijos bajo laacción de H; es decir,

XH= {x 2 X : h ⇤ x = x para todo h 2 H}.

Definimos la Marca de H en X como el número de elementos de XH y la denotamospor

'H(X) =| XH | .

Teorema 2.2. Si H, K G son subgrupos y X, Y son G-conjuntos finitos, en-tonces

i) 'H(X t Y ) = 'H(X) + 'H(Y ).

ii) 'H(X ⇥ Y ) = 'H(X)'H(Y ).

iii) Si [H] = [K], entonces 'H(X) = 'K(X) para todo G-conjunto finito X.

Demostración. i)

(X t Y )H

= {z 2 X t Y : h ⇤ z = z 8 h 2 H}= {z : (z 2 X ⇥ {1} _ z 2 Y ⇥ {2}) ^ h ⇤ z = z 8 h 2 H}= {z : (z 2 X ⇥ {1} ^ h ⇤ z = z) _ (z 2 Y ⇥ {2} ^ h ⇤ z = z) 8 h 2 H}= {z 2 X ⇥ {1} _ z 2 Y ⇥ {2} : h ⇤ z = z 8 h 2 H}= XH t Y H .

Por lo tanto | (X t Y )H |=| XH t Y H |=| XH | + | Y H | .

ii)

(X ⇥ Y )H

= {(x, y) 2 X ⇥ Y : h ⇤ (x, y) = (x, y) 8 h 2 H}= {(x, y) 2 X ⇥ Y : (h ⇤ x, h ⇤ y) = (x, y) 8 h 2 H}= {(x, y) : x 2 XH y y 2 Y H 8 h 2 H}= XH ⇥ Y H .

Por lo tanto | (X ⇥ Y )H |=| XH ⇥ Y H |=| XH || Y H | .



iii) Sea X un G-conjunto. Supongamos que [H] = [K], esto implica que existeg 2 G tal que H = gKg�1, entonces tenemos que:

XH= {x 2 X : h ⇤ x = x 8 h 2 H}= {x 2 X : gkg�1 ⇤ x = x 8 k 2 K}= {x 2 X : k(g�1 ⇤ x) = g�1 ⇤ x 8 k 2 K}= {x 2 X : g�1 ⇤ x 2 XK}= {x 2 X : x 2 gXK}= gXK .

Del párrafo anterior tenemos que | XH |=| gXK |.

Ahora definimos : XK �! gXK tal que x 7�! gx. Observe que, es unabiyección, por lo que | XK |=| gXK |, y con ello se tiene que | XH |=| XK |. Porlo tanto, para todo G�conjunto X tenemos que 'H(X) = 'K(X).

Lema 2.3. Sean H, K G subgrupos, entonces existe una biyección entre

(G/K)H y HomG(G/H,G/K).

Demostración. i) Supongamos que H no es subconjugado de K, entonces por elTeorema 1.26

HomG(G/H,G/K) = ;.

Por otro lado tenemos que:

(G/K)H

= {gK 2 G/K : (hg)K = gK para todo h 2 H}= {gK 2 G/K : g�1hgK = K para todo h 2 H}= {gK 2 G/K : g�1Hg ⇢ K}= ;.

ii) Supongamos que H es subconjugado de K. Definimos

� : (G/K)H �! HomG(G/H,G/K) tal que aK 7�! �a

donde �a : G/H �! G/K está definida por gH 7�! gaK.

Veamos que �a está bien definida. Sean g1H = g2H, así g1 = g2h para algún h 2 H.Luego, �a(g1H) = g1aK = g2(h(aK)) = g2(aK) = �a(g2H).

Ahora veamos que �a es un morfismo de G�conjuntos. Sean g0 2 G y gH 2 G/H,entonces �a(g0(gH)) = �a((g0g)H) = g0gaK = g0�a(gH).



Veamos que � está bien definida. Sean aK, bK 2 (G/K)H tales que aK = bK.

Entonces b = ak para algún k 2 K. Luego, �b(gH) = gbK = gakK = gaK =

�a(gH) para toda gH 2 G/H, por tanto �a = �b.

Sea�0 : HomG(G/H,G/K) �! (G/K)

H tal que ↵ 7�! ↵(H).

Veamos que �0 está bien definida. Dado h 2 H, tenemos que h↵(H) = ↵(hH) =

↵(H), por lo que ↵(H) 2 (G/K)H .

Ahora, veamos que � � �0 = IdHomG(G/H,G/K).

(� � �0) (↵) = �(�0(↵)) = �(↵(H)) = �(gK) = �g, donde ↵(H) = gK.

Por otro lado ((� � �0)(↵))(xH) = �g(xH) = xgK = x↵(H) = ↵(xH), para todoxH 2 G/H.

Por lo que (� � �0) (↵) = ↵, de aquí

� � �0 = IdHomG(G/H,G/K).

Ahora, sea aK 2 (G/K)H , (�0 � �) (aK) = �0(�a) = �a(H) = aK.

Por tanto�0 � � = Id(G/K)H .

Por lo tanto, � es biyección.

En vista del Lema 2.3 y el Teorema 1.26 tenemos el siguiente corolario.

Corolario 2.4. Sean H, K G subgrupos. Entonces 'H(G/K) 6= 0 si y sólo si Hes subconjugado de K.

Definición 2.5. Dados G un grupo y H G subgrupo. Definimos el normalizadorde H en G como:

NG(H) = {g 2 G : gH = Hg}.

Lema 2.6. Sean H,K G subgrupos, entonces

'H(G/K) =

Ç|NG(K)|

|K|

å↵(H,K) =

Ç|NG(H)|

|K|

å�(H,K)

donde↵(H,K) = |{E G : [E] = [K] y H ✓ E}|

y�(H,K) = |{E G : [E] = [H] y E ✓ K}| .



Demostración. Primero, llamemos A = {E G : [E] = [K] y H ✓ E} . Luego, sa-bemos que

(G/K)H

= {aK : haK = aK para toda h 2 H}=

¶aK : a�1ha 2 K para toda h 2 H

©

=

¶aK : a�1Ha ✓ K

©

=

¶aK : H ✓ aKa�1

©.

Ahora, tomemos f :�aK : H ✓ aKa�1 �! A tal que aK 7�! aKa�1.

Veamos que f está bien definida. Sean aK = bK, entonces existe k 2 K tal quea = bk, por lo tanto aKa�1

= bkKk�1b�1= bKb�1.

Veamos que f es sobreyectiva. Sea E 2 A, así [E] = [K], es decir, existe a 2 Gtal que E = aKa�1. Sólo falta ver que aK 2 (G/K)

H . Sea h 2 H ✓ E, entoncesh = ak0a�1 para algún k0 2 K, por lo que haK = ak0a�1aK = aK.

Por lo tanto,�aK : H ✓ aKa�1

=S

E2Af�1

(E), donde f�1(E) es la imagen inversa

de E bajo f .

Veamos que f�1(E) = {abK : bK 2 NG(K)/K} .

(✓) Sea cK 2�aK : H ✓ aKa�1 tal que f(cK) = aKa�1, de aquí que cKc�1

=

aKa�1, así a�1cKc�1a = K, con lo cual a�1c 2 NG(K), en consecuencia a�1c =

b 2 NG(K), entonces c = ab tal que bK 2 NG(K)/K.

(◆) Sea abK con bK 2 NG(K)/K, en consecuencia f(abK) = abKb�1a�1=

aKa�1= E, entonces abK 2 f�1

(E).

Observemos que si bK, b0K 2 NG(K)/K entonces bK = b0K si y sólo si abK =

ab0K por lo que de la igualdad anterior de conjuntos obtenemos que |f�1(E)| =

|NG(K)/K|. Por lo tanto,

'H(G/K) =

Ç|NG(K)|

|K|

å↵(H,K).

Por otro lado, llamemos A =�a 2 G : a�1Ha ✓ K

y tomemos

f1 : A �!¶aK : a�1Ha ✓ K

©tal que a 7�! aK.

Es claro que f1 está bien definida y es sobreyectiva.



Ahora, tenemos que la imagen inversa de aK bajo f1 es:

(f1)�1

(aK) = {g 2 G : f1(g) = aK}= {g 2 G : gK = aK}=

¶g 2 G : a�1g 2 K

©

= {g 2 G : g = ak para algún k 2 K}= {ak : k 2 K}= aK.

Así,��(f1)�1

(aK)�� = |aK| = |K| , de aquí que |A| = |K|'H(G/K).

Ahora, llamemos B = {E G : [E] = [H] y E ✓ K} y veamos que

|A| = |NG(H)|�(H,K).

Para ello, tomemosf2 : A �! B tal que a 7�! a�1Ha.

Notemos que f2 está bien definida. Luego, sea E 2 B, así [E] = [H] por lo queexiste a 2 G tal que E = a�1Ha ✓ K, en consecuencia a 2 A, por tanto f2 essobreyectiva.

Por otra parte, la imagen inversa de E bajo f2 es:

(f2)�1

(E) =

¶g 2 G : f2(g) = a�1Ha

©

=

¶g 2 G : g�1Hg = a�1Ha

©

=

¶g 2 G : ag�1Hga�1

= H©

=

¶g 2 G : ga�1 2 NG(H)

©

=

¶g 2 G : ga�1

= x para algún x 2 NG(H)

©

= {xa : x 2 NG(H)}= (NG(H))a.

De lo anterior,��(f2)�1

(E)�� = |(NG(H))a| = |NG(H)| . Por lo tanto,

|A| = |NG(H)|�(H,K).

Concluyendo que

'H(G/K) =

Ç|NG(H)|

|K|

å�(H,K).



3 El anillo de Burnside

Dado G un grupo finito, sea A la clase de todos los G-conjuntos finitos; es decir,

A = {X : X es un G�conjunto finito}

Observación 3.1. En A hay una relación de equivalencia ⇠. A saber, dados X,Y 2 A se tiene que X ⇠ Y si y sólo si X ⇠=G Y.

Definición 3.2. Sea X 2 A. Denotaremos por [X] a la clase de equivalencia deX 2 A ([X] = {Y 2 A : X ⇠=G Y }) y la llamaremos la clase de G�isomorfismo deX. Así, definimos

B+(G) = {[X] : X 2 A}.

Teorema 3.3. Sea G un grupo finito, entonces (B+(G),+, ·) es un semianillo con-

mutativo con unidad, con las siguientes operaciones binarias:

i) + : B+(G)⇥B+

(G) �! B+(G) tal que ([X], [Y ]) 7�! [X] + [Y ] = [X t Y ].

ii) · : B+(G)⇥B+

(G) �! B+(G) tal que ([X], [Y ]) 7�! [X] · [Y ] = [X ⇥ Y ].

Demostración. Veamos que la suma está bien definida:Sean [X1], [X2], [Y1] y [Y2] 2 B+

(G) tales que [X1] = [X2] y [Y1] = [Y2]. Entoncesexisten f1 : X1 ! X2 y f2 : Y1 ! Y2 isomorfismos de G�conjuntos los cualesinducen el siguiente isomorfismo de G�conjuntos:

f3 : (X1 ⇥ {1}) [ (Y1 ⇥ {2}) ! (X2 ⇥ {1}) [ (Y2 ⇥ {2})(z, i) 7! (fi(z), i) para i = 1, 2.

Y por lo tanto [X1 t Y1] = [X2 t Y2]. Concluyendo que la suma no depende de losrepresentantes.Por otro lado, con la notación anterior tenemos que f1 y f2 inducen el siguienteisomorfismo de G�conjuntos:

f4 : X1 ⇥ Y1 ! X2 ⇥ Y2

(x, y) 7! (f1(x), f2(y))

Obteniendo que [X1 ⇥ Y1] = [X2 ⇥ Y2], por lo que el producto está bien definido.En lo siguiente podemos considerar, sin pérdida de generalidad, que para elementos[X], [Y ] 2 B+

(G) tenemos que X \ Y = ;; esto debido a que [X] = [X ⇥ {1}],[Y ] = [Y ⇥ {2}], y a que la suma no depende del representante.Veamos que B+

(G) cumple las propiedades de semianillo conmutativo con unidad.Para ello sean [X], [Y ], [Z] 2 B+

(G) donde X,Y y Z son ajenos dos a dos. Por loque las uniones en los siguientes puntos serán ajenas.



i) Asociatividad de la suma.

[X] + ([Y ] + [Z]) = [X] + [Y [ Z]

= [X [ (Y [ Z)]

= [(X [ Y ) [ Z]

= [X [ Y ] + [Z]

= ([X] + [Y ]) + [Z].

ii) Conmutatividad de la suma.

[X] + [Y ] = [X [ Y ]

= [Y [X]

= [Y ] + [X].

iii) Notamos que [;] 2 B+(G), así [X] + [;] = [X [ ;] = [X]. Por tanto, [;] es el

neutro con la suma.

iv) Asociatividad del producto.

[X] · ([Y ] · [Z]) = [X] · [Y ⇥ Z]

= [X ⇥ (Y ⇥ Z)]

= [(X ⇥ Y )⇥ Z]

= [X ⇥ Y ] · [Z]

= ([X] · [Y ]) · [Z].

v) Conmutatividad del producto. Sea

l : X ⇥ Y �! Y ⇥X tal que (x, y) 7�! (y, x).

Claramente l está bien definida, es biyectiva y es de G�conjuntos. Por lotanto [X] · [Y ] = [Y ] · [X].

vi) Distributividad.

[X] · ([Y ] + [Z]) = [X] · [Y [ Z]

= [X ⇥ (Y [ Z)]

= [(X ⇥ Y ) [ (X ⇥ Z)]

= [X ⇥ Y ] + [X ⇥ Z]

= [X] · [Y ] + [X] · [Z].



vii) Notamos que [G/G] 2 B+(G). Tenemos que

f : X ⇥G/G �! X tal que (x, eG) 7�! x

es un isomorfismo de G�conjuntos. Por tanto, [G/G] es la unidad en B+(G).

Por lo tanto, (B+(G),+, ·) es un semianillo conmutativo con unidad.

Observación 3.4. Dados G = {e} y X un conjunto. Entonces X es un {e}�conjuntocon acción trivial. Además, dos G�conjuntos con la acción trivial son isomorfos siy sólo si existe una biyección entre ellos. De aquí que

� : B+({e}) �! N tal que [X] 7�! |X|

es un isomorfismo de semianillos, con lo cual N ⇠= B+({e}). En este capítulo consi-

deramos al cero como un elemento de los números naturales.

Teorema 3.5. Sean [X], [Y ], [Z] 2 B+(G) tales que [X]+[Y ] = [Z]+[Y ], entonces

[X] = [Z]. Es decir, hay cancelación con la suma en B+(G).

Demostración. Sean [X], [Y ] y [Z] 2 B+(G) tales que [X] + [Y ] = [Z] + [Y ]. Como

antes podemos asumir sin pérdida de generalidad que X,Y, Z son ajenos dos a dos,y por consiguiente todas las uniones que aparecen a continuación son ajenas. Sean

X =

mSi=1

OG(xi), Y =

lSj=1

OG(yj) y Z =

nSk=1

OG(zk), puesto que [X [ Y ] = [Z [ Y ]

hay una correspondencia biyecctiva entre las órbitas de X [Y y Z[Y , esto implica

que m+ l = n+ l, por lo que m = n. Por lo tanto Z =

mSi=1

OG(zi).

Demostremos que hay cancelación por inducción sobre 1 l.

i) Para l = 1, existe un isomorfismo de G�conjuntos

f : X [ OG(y1) �! Z [ OG(y1).

Observemos que si f(OG(y1)) = OG(y1) entonces f |X : X ! Z es un isomor-fismo de G�conjuntos, por lo que [X] = [Z].En caso contrario, sin pérdida de generalidad, supongamos que f(OG(y1)) =OG(zm), entonces [OG(y1)] = [OG(zm)]. Por otro lado, sin pérdida de gene-ralidad, podemos suponer que f(OG(xm)) = OG(y1), entonces [OG(xm)] =

[OG(y1)]. Por lo tanto [OG(xm)] = [OG(zm)]. Sea f1 : OG(xm) ! OG(zm) unisomorfismo de G�conjuntos. Por otro lado observemos que

f |m�1Si=1

OG(xi):

m�1[

i=1

OG(xi) !m�1[

i=1

OG(zi)



es un isomorfismo de G�conjuntos, por lo que este junto con f1 inducen unisomorfismo entre

mSi=1

OG(xi) ymSi=1

OG(zi). Por lo tanto [X] = [Z].

ii) Para l > 1 tenemos que [X] + [Y ] = [Z] + [Y ] entonces

([X] + [

l�1[

j=1

OG(yj)]) + [OG(yl)] = ([Z] + [

l�1[

j=1

OG(yj)]) + [OG(yl)]

por lo que utilizando i) podemos cancelar una órbita, en este caso la órbita

OG(yl) obteniendo que [X] + [l�1Sj=1

OG(yj)] = [Z] + [l�1Sj=1

OG(yj)], finalmente

por hipótesis de inducción podemos cancelar l � 1 órbitas, concluyendo que[X] = [Z].

Observación 3.6. El Teorema 3.5 nos permite definir una relación de equivalenciaen B+

(G) ⇥ B+(G). A saber, dados ([X1], [Y1]) y ([X2], [Y2]) 2 B+

(G) ⇥ B+(G)

tenemos que ([X1], [Y1]) ⇠ ([X2], [Y2]) si y sólo si [X1] + [Y2] = [X2] + [Y1]. Denota-remos a la clase de equivalencia de ([X], [Y ]) 2 B+

(G)⇥B+(G) por [X]� [Y ].

Definición 3.7. Definimos el Anillo de Burnside B(G) de un grupo finito G como:

B(G) = {[X]� [Y ] : ([X], [Y ]) 2 B+(G)⇥B+

(G)}

dotado de las siguientes operaciones binarias de suma y producto:

([X1]� [Y1]) + ([X2]� [Y2]) = ([X1] + [X2])� ([Y1] + [Y2])

([X1]� [Y1]) ([X2]� [Y2]) = ([X1][X2] + [Y1][Y2])� ([X1][Y2] + [X2][Y1])

Observación 3.8. B(G) es el anillo de Grothendieck de B+(G), donde

i) El neutro de la suma es [;]� [;] = [X]� [X] con [X] 2 B+(G).

ii) Dado [X]� [Y ] 2 B(G) su inverso aditivo es [Y ]� [X].

iii) En el producto la unidad es [G/G]� [;].

Teorema 3.9. Dado un grupo finito G. Entonces B(G) como grupo abeliano eslibre como Z-módulo, generado por los elementos de la forma [G/Hi], donde Hi

recorre un conjunto de representantes de C (G).



Demostración. Sea G un grupo finito y X un G�conjunto finito. Por el Teorema1.20, X ⇠=G

Fi2I

G/Hi, donde Hi G para cada i 2 I. Así,

[X] =

"G

i2IG/Hi

#

=

X

i2I[G/Hi] 2 B+

(G).

Ahora, por el Lema 1.24 podemos tener repeticiones de algunos [G/Hi], ya que[G/Hi] = [G/Hj ] si y sólo si [Hi] = [Hj ]. Por lo que denotaremos con aHi

2 N alnúmero de veces que se repite el elemento [G/Hi]. En consecuencia, si [X] 2 B+

(G),entonces [X] =

P[H]2C (G)

aH [G/H], con aH [G/H] 2 N[G/H] ✓ B+(G). Por lo que,

abusando de la notación tenemos que los elementos de B(G) son de la forma:X

[H]2C (G)

aH [G/H], con aH [G/H] 2 Z[G/H] ✓ B(G).

Ahora, sólo falta ver que esta expresión es única. Supongamos queX

[H]2C (G)

aH [G/H] = 0

y que no todos los aH son cero, así tenemos la siguiente igualdad en B+(G).

X

aK>0

aK [G/K] =

X

aL<0

(�aL)[G/L].

Llamemos [Y ] =P

aK>0aK [G/K] y [Z] =

PaL<0

(�aL)[G/L]. Ahora, si [Y ] = [;],

entonces ; tendría una órbita distinta del vacío, lo que no es posible. De aquí que,sin pérdida de generalidad, podemos suponer que [Y ] 6= [;] y [Z] 6= [;]. Entoncessi aK0 > 0 existe OG(y0) ✓ Y tal que OG(y0) ⇠=G G/K0. Por otro lado, [Y ] = [Z],entonces OG(y0) ⇠=G OG(z0) para algún z0 2 Z que a su vez OG(z0) ⇠=G G/L0 paraalgún L0 tal que aL0 < 0, en consecuencia G/K0

⇠=G G/L0, así [K0] = [L0], lo queno es posible. Por tanto,

B(G) =

M

[H]2C (G)

Z[G/H].

Observación 3.10. Hay una inclusión

◆ : B+(G) �! B(G) tal que [X] 7�! [X]� [;].



Observación 3.11. Dados G un grupo finito, R un anillo conmutativo y

f : B+(G) �! R

un morfismo de semianillos, tenemos que f se extiende de manera única a B(G); esdecir, existe

F : B(G) �! R

un morfismo de anillos tal que F???B+(G)

= f. Además, F esta dada por:

F ([X]� [Y ]) = f ([X])� f ([Y ]) .

Lema 3.12. Sea

' : B+(G) �!

Y

[H]2C (G)

Z dada por [X] 7�! '([X]) = ('H(X))[H]2C (G),

entonces ' es un morfismo inyectivo de semianillos. De aquí que, ' se extiende demanera única a un morfismo inyectivo de anillos:

⇠' : B(G) �!

Y

[H]2C (G)

Z.

Demostración. Note que Q[H]2C (G)

Z = Z|C (G)| es un anillo conmutativo con suma y

producto definimos de manera usual (entrada a entrada).

Veamos que ' está bien definida. Sea [X] 2 B+(G). Entonces ('H(X))[H]2C (G) no

depende del representante de [H] por el Teorema 2.2 inciso iii). Sea [Y ] 2 B+(G) tal

que [X] = [Y ], esto implica que existe f : X ! Y un isomorfismo de G�conjuntos.Sean [H] 2 C (G) y x 2 XH entonces hx = x para toda h 2 H, esto es equivale aque hf(x) = f(x) para toda h 2 H y esto pasa si y sólo si f(x) 2 Y H . Por lo quetenemos la siguiente biyección

XH ! Y H

x 7! f(x)

obteniendo que 'H(X) = 'H(Y ). Lo anterior se cumple para cada [H] 2 C (G), demodo que '([X]) = ('H(X))[H]2C (G) = ('H(Y ))[H]2C (G) = '([Y ]). Por lo tanto 'está bien definida.Recuerde que 1B(G) = [G/G] y 1Z|C(G)| = (1, ..., 1)

| {z }|C (G)|�veces

.



Ahora, para cada H G subgrupo, tenemos que [H] � [G], así 'H(G/G) 6= 0, demodo que 'H(G/G) = 1. Por tanto, '([G/G]) = ('H(G/G))[H]2C (G) = (1, ..., 1)

| {z }|C (G)|�veces

.

De las propiedades de la marca, es fácil ver que ' preserva la suma y el producto(ver Teorema 2.2 inciso i) y ii)). Por lo tanto ' es un morfismo de semianillos.Ahora veamos que ' es inyectiva. Recordemos que ' es inyectiva si y sólo si paracada 0 6= a 2 B+

(G), se tiene que '(a) 6= 0.Sea a 2 B+

(G) tal que a 6= 0, así a =P

[H]2C (G)aH [G/H] con aH 2 N, donde no

todos los aH son cero. Puesto que G es finito, toda cadena estrictamente creciente[K1] � [K2] � ... se estaciona. Elegimos [K 0

] máximo con respecto a este orden talque aK0 6= 0. Tenemos que

a =

X

[H]2C (G)

aH [G/H] =

"G

i2IG/Hi

#

donde |I| es el número de órbitas y Hi G para cada i 2 I. Entonces

'K0

G

i2IG/Hi

!

=

X

i2I'K0 (G/Hi) .

Ahora, por la buena definición de ' tenemos que si [G/Hi] = [G/Hj ] entonces'K0 (G/Hi) = 'K0 (G/Hj) y esto ocurre si y sólo si [Hi] = [Hj ], por lo tanto

'K0

G

i2IG/Hi

!

=

X

[H]2C (G)

aH'K0 (G/H) ,

ver Teorema 3.9 .Por otro lado sabemos que 'K0(G/H) 6= 0 si y sólo si [K 0

] � [H] y puesto queelegimos [K 0

] máximo con respecto a este orden parcial tal que aK0 6= 0 entonces

'K0

G

i2IG/Hi

!

= aK0'K0�G/K 0�

= aK0 |NG(K0)/K 0| 6= 0.

Así la coordenada [K 0]�ésima de '(a) es distinta de cero y esto implica '(a) 6= 0.

Por tanto ' es un morfismo inyectivo de semianillos.Por último veamos que

⇠' : B(G) �!

Y

[H]2C (G)

Z

es inyectiva:



Sean [X1]� [Y1], [X2]� [Y2] 2 B(G) tales que

⇠'([X1]� [Y1]) =

⇠'([X2]� [Y2])

lo cual ocurre si y sólo si

'([X1])� '([Y1]) = '([X2])� '([Y2])

, '([X1]) + '([Y2]) = '([X2]) + '([Y1])

, '([X1] + [Y2]) = '([X2] + [Y1])

y puesto que ' es inyectiva entonces

[X1] + [Y2] = [X2] + [Y1]

obteniendo que

[X1]� [Y1] = [X2]� [Y2]

ver Observación 3.6. Por lo tanto ⇠' es un morfismo inyectivo de anillos, ver Obser-

vación 3.11.

Corolario 3.13. Sean G un grupo finito y X,Y dos G�conjuntos finitos, entonces[X] = [Y ] si y sólo si 'H(X) = 'H(Y ) para toda [H] 2 C (G).

Demostración. El resultado es inmediato por la buena definición y la inyectividadde ' del lema anterior.

Observación 3.14. En el caso de un grupo abeliano G, puesto que todos sussubgrupos son normales, tenemos que NG(K) = G para todo K G y además siH G entonces

↵(H,K) = | {E G |[E] = [K] y H ✓ E} | =(

0 si H * K

1 si H ✓ K

por lo que la fórmula del Lema 2.6 se reduce a

'H(G/K) =

(0 si H * K

|G/K| si H ✓ K



Ejemplo 3.15. Sea C un grupo cíclico de orden 23. Recordemos que un grupo finito

es cíclico si y sólo si para cada divisor d de su orden existe a lo más un subgrupocíclico de orden d. Entonces tenemos que las clases de conjugación de los subgruposde C son :

C (C) =

¶23C; 2

2C; 2C; C©

por lo que la estructura de B (C) como Z-módulo libre es:

B(C) = ZîC/23C

ó� Z

îC/22C

ó� Z [C/2C]� Z [C/C] .

Por otro lado recordemos que

' : B(C) ! Z4

[X] 7! ('23C(X), '22C(X), '2C(X), 'C(X))

[C/23C] 7! (23, 0, 0, 0)

[C/22C] 7! (22, 2

2, 0, 0)

[C/2C] 7! (2, 2, 2, 0)

[C/C] 7! (1, 1, 1, 1)

Así '(B(C)) ✓ Z4, el cual es un anillo isomorfo a B(C), esta generado por lascolumnas de la matriz:

â8 4 2 1

0 4 2 1

0 0 2 1

0 0 0 1

ì

Agradecimientos

Agradecemos a los árbitros, por sus valiosos comentarios, aportaciones y tiempodedicado a la lectura minuciosa de este trabajo.

Bibliografía

[1] A. Dress,Contributions to the theory of induced representations, Lecture Notesin Math. Algebraic K-theory, Springer-Verlag, 1973.



[2] S. Bouc, Burnside rings, Handbook of algebra, Volume 2, North-Holland, Ams-terdam, 2000, 739-804.

[3] David Villa Hernández, Functional Equations for Zeta functions of Burnsiderings, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications Vol. 29 (2013)No. 1, 1-16.

[4] Alberto G. Raggi Cárdenas and Luis Valero Elizondo, Normalizing isomorp-hisms between Burnside rings, Journal of Algebra 277 (2004) 643–657.

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, BUAPAvenida San Claudio y 18 Sur, Colonia San Manuel,Puebla, Pue. C.P. [email protected]@[email protected]


mailto:[email protected]





Capítulo 2

El lema de Hensel y el levantamiento de Hensel

Ángel Raúl García Ramírez, Carlos Alberto López AndradeFCFM, BUAP

Resumen

El Lema de Hensel es una herramienta utilizada en la teoría de números, geo-metría y topología algebraica, siendo la factorización de polinomios el objetivoprincipal de su uso. Desarrollado por Kurt Hensel quien introdujo los núme-ros p-ádicos, nos muestra un método para hallar factorizaciones de polinomiosmónicos, factorizándolos sobre un campo finito de característica un primo py después “levantando” dicha factorización sobre un anillo de clases residualesmódulo una potencia de ese primo. Recientemente esta herramienta y el le-vantamiento de Hensel se han empleado en la Teoría de Códigos Algebraicos.En este trabajo se exhibe la demostración del Lema de Hensel para polinomiosmónicos sobre el anillo Zps , así como del levantamiento de Hensel.

1 Introducción

En 1904 Kurt Hensel introdujo los números p-ádicos y el lema de Hensel en elartículo Neue Grundlagen der Arithmetik (cf. [6]). Cuatro años más tarde, en sulibro Theorie der algebraischen Zahlen, Hensel mostró una versión más general de sulema. Recientemente, en los años 90 del siglo pasado, esta herramienta ha sido muyútil en el estudio de la caracterización de la estructura algebraica de los códigoscíclicos lineales sobre anillos finitos, por ejemplo; sobre anillos de Galois (cf. [5],[14], [7]) y sobre anillos finitos de cadena (cf. [3], [13], [11]). El levantamiento deHensel está relacionado con la representación p-ádica de los elementos de un anillode Galois ó de un anillo finito de cadena y tal representación es imprescindible enla definición de la función de Gray en esta clase de anillos finitos ([4], [1], [2], [17],[9], [10]). Se demostró en [5] a través de Hammons, et. al., que el código de Kerdockes la imagen de Gray de un código cíclico lineal extendido sobre Z4. Ellos usan estehecho para resolver un problema “viejo” dando la explicación de la dualidad formalentre dos códigos no lineales binarios, los famosos códigos de Kerdock y Preparata.

Definiciones y conceptos fundamentales sobre el anillo Zps , propiedades de lospolinomios y de la divisibilidad en Zps [x] son dados en la sección 2, la demostración


54 Ángel Raúl García Ramírez, Carlos Alberto López Andrade

del Lema de Hensel se encuentra desarrollada en la sección 3 y finalmente la de-mostración del Levantamiento de Hensel se exhibe en la sección 4. Cabe mencionarque este capítulo de libro está inspirado en la lectura de la obra de Wan ([16]).

2 El anillo de polinomios Zps[x]

Sea p cualquier número primo, s 2 N y Zps el anillo de enteros módulo ps, i.e.,

Zps =ZpsZ =

�0, 1, . . . , ps � 1

con la suma y multiplicación usual de clases:

r1 + r2 = r1 + r2

r1 r2 = r1r2(1)

para cada r1, r2 2 Zps .

Observación 2.1. Por la construcción del anillo cociente Zps tenemos que ab = csí y sólo si ab ⌘ c mod ps.

Considérese el conjunto S = {0, 1, . . . , ps � 1} ✓ N [ {0} y la función:

� : Zps �! S

r 7! r

Es claro que � es biyectiva, entonces podemos inducir la estructura de anillo en elconjunto S definiendo las operaciones � y � en S de la manera siguiente:

s1 � s2 := � (r1 + r2)

s1 � s2 := �(r1 · r2)

para cada s1, s2 2 S siempre que s1 = �(r1) y s2 = �(r2) para algunos r1 y r2 enZps .

Dadas estas operaciones, � es un isomorfismo y, con esta identificación, usaremoscuando sea conveniente que:

Zps = {0, 1, . . . , ps � 1} . (2)

Recordar que: (a, b) denota al máximo común divisor de a y b, i.e., (a, b) =

mcd(a, b).

El siguiente lema nos será muy útil más adelante.


El lema de Hensel y el levantamiento de Hensel 55

Lema 2.2. Sean a 2 N y p un número primo. Si (a, p) = 1 y s 2 N, entoncesca ⌘ 1 (mod ps) para algún c 2 Z.

Demostración. Haremos inducción sobre s. Veamos que el resultado es válido paras = 1. Como (a, p) = 1, entonces existen c, d 2 Z tales que ca + dp = 1. Asíca� 1 = �dp es decir, p| (ca� 1), por lo tanto,

ca ⌘ 1 (mod p1).

Supóngase que el resultado se cumple para s y demostremos que se cumple paras+ 1. Por hipótesis, existen k1, k2, l1, l2 2 Z tales que:

k1a+ k2p = 1,

l1a+ l2ps= 1.

Multiplicando las igualdades anteriores tenemos que:

1 = k1l1a2 � k1l2ap

s+ k2l1pa� k2l2p

s+1

= (k1l1a� k1l2ps+ k2l1p) a+ (�k2l2) p

s+1

= ca+ dps+1

donde c = k1l1a� k1l2ps + k2l1p y d = �k2l2. Entonces ca� 1 = �dps+1, es decir,

ca ⌘ 1 (mod ps+1),

lo cual concluye la prueba.

Corolario 2.3. En Zps se satisface:

i) Si a 2 Zps y (a, p) = 1, entonces a es una unidad en Zps .

ii) Para todo x 2 Zps con x 6= 0, existen a 2 Zps e i 2 N[{0} tales que (a, p) = 1

y x = api.

Demostración. Sea a 2 Zps con (a, p) = 1, por el Lema 2.2 existe c 2 N tal queca ⌘ 1 (mod ps) entonces c · a = 1, debido a la Observación 2.1. Por lo tanto,a es una unidad de Zps . Ahora bien, considérese x 2 Zps con x 6= 0, usando laidentificación anterior se sigue que x 2 N. Se tienen dos casos:

• Si (x, p) = 1 entonces sea a = x, de ahí que, x = ap0, lo cual prueba elresultado.



• Si (x, p) = p entonces p|x. Además si q es un primo tal que q|x entoncesq ps � 1 pues x ps � 1. Por el teorema fundamental de la aritmética,existen q1, q2, . . . , qk 2 N números primos y n1, n2, . . . , nk 2 N tales que:

x = qn11 qn2

2 . . . qnk

k

como p|x entonces p = qj para algún j 2 {1, 2, . . . , k}. Sea

i = max {nj | (x, pnj ) = pnj} .

Como (x, p) = p entonces nj � 1 y por consiguiente este conjunto es no vacío,entonces:

x = qn11 qn2

2 . . . qnj�1

j�1 piqnj+1

j+1 . . . qnk

k

=

Äqn11 qn2

2 . . . qnj�1

j�1 qnj+1

j+1 . . . qnk

k

äpi

donde a = qn11 qn2

2 . . . qnj�1

j�1 qnj+1

j+1 . . . qnk

k, entonces x = api y, por lo tanto,

x = api.

Ejemplo 2.4. Sean p = 3, s = 2 entonces Z32 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, si de-finimos el conjunto A := {a 2 Zps : (a, p) = 1}; en este caso tenemos que A =

{1, 2, 4, 5, 7, 8} luego:1� 1 = 1

2� 5 = 1

4� 7 = 1

8� 8 = 1

(3)

como se afirma en el Corolario 2.3. Así Z⇤ps = A, donde Z⇤

ps denota el grupo deunidades del anillo Zps .

El siguiente teorema caracteriza a los ideales en el anillo Zps .

Teorema 2.5. Los ideales principales h1i, hpi, . . . , hps�1i, h0i, son todos los idealesde Zps . hpi es el único ideal maximal de Zps y Zps

hpi ' Fp.

Demostración. Sea I un ideal de Zps . Suponga que I 6= h0i. Sea m el natural máspequeño que es representante de las clases de I, veamos que I = hmi. Sea i 2 Ientonces i 2 Zps . Por el algoritmo euclidiano de la división, existen q, r 2 Z : i =qm + r con 0 r < m, entonces r = i � qm, de ahí que, r = i � q m 2 I, porconsiguiente, r 2 I y r < m lo cual contradice la minimalidad de m, así r = 0, enotras palabras, i = q m, entonces i 2 hmi, en consecuencia, I ✓ hmi. Es claro que



m 2 I, por consiguiente hmi ✓ I, entonces I = hmi, como queríamos. Dado quem 2 I ✓ Zps , por el Corolario 2.3, existe a 2 Z, tal que:

m = api para algún i 2 {0, . . . , s� 1}. (4)

Como (a, p) = 1 tenemos que ca ⌘ 1 (mod ps) para algún c 2 Z, así, ca� 1 = dps

con d 2 Z, entonces capi � pi = dpspi, de ahí que, capi � pi = dpspi, por lo que

0 = capi � pi

= cm� pi

de manera que, cm = pi. Entonces pi 2 hmi luego hpii ✓ hmi, y por (4), hmi ✓ hpii,de ahí que, hmi = hpii. Por consiguiente, queda demostrado que todo ideal I de Zps

es de la forma I = hpii para algún i 2 {0, 1, . . . s� 1}. Además, como pi 2 hpii yp 2 Zps entonces pi · p = pi+1 2 hpii, así, hpi+1i ⇢ hpii, por lo tanto,

h0i ✓ hps�1i ✓ . . . ✓ hp2i ✓ hpi ✓ h1i = Zps . (5)

Ahora veamos que hpi es un ideal maximal. Sea J un ideal de Zps tal que:

hpi ✓ J ✓ Zps , (6)

luego, existe algún i con i 2 {0, 1, . . . , s� 1} tal que J = hpii. Tenemos que: si i = 1

entonces J = hpii = hpi, o bien, si 1 < i s� 1 entonces J = hpii ✓ hpi debidoa (5), entonces, por (6), J = hpi, o bien, si i = 0 entonces J = hp0i = h1i = Zps .En cualquier caso, se concluye que J = hpi o J = Zps . Por lo tanto, hpi es un idealmaximal, y por (5), es el único ideal maximal de Zps , en consecuencia, Zps

hpi es uncampo.

Recordemos que:

i) Zps

hpi = {x+ hpi : x 2 Zps}

ii) hpi = {c p : c 2 Zps}

Sea y 2 Zps

hpi entonces existe x 2 Zps tal que y = x + hpi, dividiendo a x por ptenemos que existen r, s 2 Z tales que x = sp+ r con 0 r p� 1 entonces

y = sp+ r + hpi= r + s p+ hpi= r + hpi



es decir:Zps

hpi = {r + hpi|r 2 {0, 1 . . . , p� 1}}

así, Zps

hpi es un campo finito con p elementos, por lo tanto, Zps

hpi ' Fp.

Lema 2.6. Sean b 2 Z con b > 1 y a 2 N. Entonces existen d0, d1 . . . , dn�1, t 2 Zcon 0 di b� 1 para cada i 2 {0, 1, . . . , n� 1} tales que:

a = d0b0+ d1b

1+ · · ·+ dn�1b

n�1+ tbn

Demostración. Dividiendo a por b tenemos que, existen d0, s0 2 Z tales que a =

s0b + d0 con 0 d0 b � 1. Si dividimos ahora, s0 por b, obtenemos d1, s1 2 Ztales que s0 = s1b+ d1 entonces:

a = (s1b+ d1) b+ d0

= s1b2+ d1b+ d0

con 0 d1 b� 1. Procediendo de esta manera n� 1 veces, tenemos:

a = sn�1bn+ dn�1b

n�1+ dn�2b

n�2+ · · ·+ d1b+ d0

con di 2 {0, 1 . . . , b� 1} para i 2 {0, 1 . . . , n� 1}, observese que la sucesión decocientes satisface:

a > s0 > s1 > . . . � 0

debido a que la sucesión s0, s1, . . . es una sucesión decreciente de enteros no nega-tivos. Tomando, t = sn�1 se concluye que:

a = d0b0+ d1b

1+ · · ·+ dn�1b

n�1+ tbn

como queríamos.

Por el Lema 2.6, dado x 2 {0, 1, . . . , ps � 1} tenemos que:

x = c0p0+ c1p

1+ · · ·+ cs�1p

s�1+ tps

con ci 2 {0, 1 . . . , p� 1} para cada i 2 {0, 1 . . . , s� 1} entonces

x = c0p0 + c1p1 + · · ·+ cs�1ps�1 + tps (7)

= c0p0 + c1p+ · · ·+ cs�1ps�1 + tps

= c0p0 + c1p+ · · ·+ cs�1ps�1,

puesto que ps = 0 2 Zps . Definamos ahora la función:

µ : Zps �! Fp (8)

dada por µ (x) = µÄc0p0 + c1p+ · · ·+ cs�1ps�1

ä= c0, para cada x 2 Zps .



Lema 2.7. La función µ es un homomorfismo de anillos con Ker µ = hpi.

Demostración. Sean x =Ps�1

i=0 cipi, y =

Ps�1i=0 di p

i 2 Zps , entonces

x+ y =

s�1X

i=0

Äci + di

äpi =

s�1X

i=0

Äci + di

äpi,

de ahí que,

µ (x+ y) = µ

s�1X

i=0

Äci + di

äpi!

= c0 + d0

= µ

s�1X

i=0

ci pi!

+ µ

s�1X

i=0

dipi!

= µ (x) + µ (y) ,

esto es, µ (x+ y) = µ (x) + µ (y) para toda x, y 2 Zps . Por otro lado,

µ (x y) = µ

Äc0 + c1 p+ c2p2 + . . .+ cs�1ps�1

ä s�1X

i=0

di pi!

= µ

c0

s�1X

i=0

di pi!

+ . . .+ cs�1

s�1X

i=0

di pi!

ps�1

!

= µ

c0 d0 + c0

s�1X

i=1

di pi!

+ . . .+ cs�1

s�1X

i=0

di pi!

ps�1

!

= µ

c0d0 + c0

s�1X

i=1

di pi!

+ . . .+ cs�1

s�1X

i=0

di pi!

ps�1

!

= c0d0 = µ

s�1X

i=0

cipi!

µ

s�1X

i=0

di pi!

= µ (x)µ (y)

esto es, µ (xy) = µ (x)µ (y) para toda x, y 2 Zps . Por lo tanto, µ es un homomor-fismo.

Sea x 2 hpi, entonces existe c 2 Zps tal que x = c p. Entonces x = 0 p0 + c p +· · · + 0 ps�1, luego µ (x) = 0, por lo tanto x 2 Ker µ, de ahí que, hpi ✓ Ker µ.Ahora bien, sea x 2 Ker µ entonces µ (x) = 0, luego x = 0 + c1 p+ . . .+ cs�1ps�1.Como cipi 2 hpii ✓ hpi, por (5), para cada i 2 {1, . . . , s � 1}, esto es, cipi 2 hpipara cada i 2 {1, 2, . . . , s� 1}, así, x 2 hpi entonces Ker µ ✓ hpi. Por lo tanto,Ker µ = hpi.



R[x] denota el anillo de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en elanillo R, esto es, el conjunto

R[x] =

(

f(x) =nX

i=0

cixi: ci 2 R, i 2 {0, . . . , n} para algún n 2 N

)

(9)

es un anillo con las operaciones habituales de suma y multiplicación de polinomios.

Podemos extender el homomorfismo definido en (8) de la manera siguiente: sea lafunción

· : Zps [x] �! Fp[x] (10)

dada por �(f(x)) =P

n

i=0 µ (ci)xi para cada f(x) 2 Zps [x] y denotamos por f(x)la imagen de f(x) bajo “ � ”.

Como una consecuencia directa del lema anterior tenemos:

Corolario 2.8. La función � es un homomorfismo de anillos.

Demostración. Recordemos que si ci 2 Zps , por (7) tenemos que:

ci = di0 + di1p+ . . .+ di(s�1)ps�1 con dik 2 {0, 1, . . . , p� 1}

Sean f(x), g(x) 2 Zps [x] entonces f(x) =P

n

i=0 cixi y g(x) =

Pm

i=0 dixi, con

ci, di 2 Zps para cada i. Sin pérdida de generalidad, supóngase que m > n entoncesf(x) + g(x) =

Pm

i=0 (ci + di)xi con ci = 0 para cada n < i m. Entonces

f + g(x) =mX

i=0

µ (ci + di)xi

=

mX

i=0

(ci0 + di0)xi

=

mX

i=0

ci0xi+

mX

i=0

di0xi

=

nX

i=0

ci0xi+

mX

i=0

di0xi

=

nX

i=0

µ (ci)xi+

mX

i=0

µ (di)xi

= f(x) + g(x).



Sabemos que f(x)g(x) =P

l

k=0 ekxk donde ek = c0dk + c1dk�1 + . . . + ckd0 y

0 l m+ n, entonces

µ (ek) = µ (c0dk + c1dk�1 + . . .+ ckd0)

= µ(c0)µ(dk) + µ(c1)µ(dk�1) + . . .+ µ(ck)µ(d0).

Por otro lado, tenemos que:

f(x)g(x) =

nX

i=0

µ(ci)xi

! mX

i=0

µ(di)xi

!

= (µ(c0) + µ(c1)x+ . . .+ µ(cn)xn) (µ(d0) + µ(d1)x+ . . .+ µ(dm)xm) ,

pero esto lo podemos expresar como Pl

k=0 µ(uk)xk con

µ(uk) = (µ(c0)µ(dk) + . . .+ µ(ck)µ(d0)) = µ(ek),

de esto se sigue:

fg(x) =lX

k=0

µ(ek)xk=

lX

k=0

µ(uk)xk= f(x)g(x),

por lo tanto, “�” es un homomorfismo.

Definición 2.9. Sea p 2 Zps ✓ Zps [x], el ideal generado por p 2 Zps [x] se denotapor ⌧ p � y se define como:

⌧ p �:= {f(x)p : f(x) 2 Zps [x]} .

Lema 2.10. Ker � =⌧ p �.

Demostración. Sea h(x) =P

n

i=0 cixi. Si h(x) 2 Ker� entonces h(x) = 0 2 Zps .

Pero h(x) =P

n

i=0 µ(ci)xi, es decir µ(ci) = 0 con i 2 {0, 1, . . . , n}, entonces ci 2

Ker µ = hpi, por el Lema 2.8. Así, existen m0,m1, . . . ,mn 2 Zps tales que ci = mi p,de ahí que:

h(x) =nX

i=0

cixi=

nX

i=0

(mi p)xi=

nX

i=0

mixi

!

p = g(x)p

con g(x) =P

n

i=0mixi, luego h(x) 2⌧ p �, por consiguiente, Ker� ✓⌧ p �.Ahora bien, si h(x) 2⌧ p � entonces existe g(x) 2 Zps [x] tal que h(x) = g(x)p,



sea g(x) =P

n

i=0 aixi entonces

h(x) =nX

i=0

aipxi

=

nX

i=0

cixi con ci = aip 2 hpi

aplicando “�” obtenemos:

h(x) =nX

i=0

µ(ci)xi=

nX

i=0

0xi = 0

luego, h(x) 2 Ker�, de ahí que, ⌧ p �✓ Ker�, por lo tanto, Ker� =⌧ p �.

Algunas veces denotaremos a f(x) en Zps [x] o Fp[x] simplemente por f .

Teorema 2.11. El ideal ⌧ p � es un ideal primo de Zps [x], todo ideal primo deZps [x] contiene a ⌧ p �, más aún, si un ideal primo contiene a ⌧ p � propia-mente, entonces dicho ideal es maximal.

Demostración. Sean f(x), h(x) 2 Zps [x] tales que f(x) =P

n

i=0 aixi y h(x) =P

m

i=0 bixi con an 6= 0 6= bm, de ahí que, los grados de f(x) y g(x) son n y m

respectivamente, lo cual denotamos por grad(f(x)) = n y grad(h(x)) = m, enton-ces se tiene que f(x)h(x) =

Pl

k=0 ckxk donde ck =

Pks=0 asbk�s y si f(x)h(x) 6= 0

entonces grad(f(x)h(x)) = l con 0 l m+n. Supóngase, sin pérdida de genera-lidad, que m > n y además, supóngase que f(x)h(x) 2⌧ p � entonces

f(x)h(x) = 0 (11)

dado que Ker� =⌧ p �, pero f(x)h(x) =P

l

k=0 µ(ck)xk entonces µ(ck) = 0

para cada k 2 {0, 1, . . . , l}. Como µ(ck) = µ(a0)µ(bk) + . . . + µ(ak)µ(b0) 2 Fp

para cada k 2 {0, 1, . . . , l} tenemos que para k = 0, 0 = µ(c0) = µ(a0)µ(b0),pero Fp es un dominio entero, así µ(a0) = 0 o µ(b0) = 0. Supóngase que µ(a0) 6=0, entonces µ(b0) = 0. Ahora bien, cuando k = 1, 0 = µ(c1) = µ(a1)µ(b0) +µ(a0)µ(b1) = µ(a0)µ(b1) puesto que µ(b0) = 0 y como µ(a0) 6= 0 tenemos queµ(b1) = 0, procediendo de esta manera, establecemos que µ(bk) = 0 para cadak 2 {0, 1, . . . ,m} de ahí que h(x) = 0, por consiguiente, h(x) 2⌧ p �. Por otrolado, supóngase que µ(b0) 6= 0 entonces µ(a0) = 0 y de manera análoga se tieneque f(x) = 0, en consecuencia, f(x) 2⌧ p �, de ahí que, si f(x)h(x) 2⌧ p �entonces f(x) 2⌧ p � o bien h(x) 2⌧ p �. Por lo tanto, ⌧ p � es un idealprimo de Zps [x]. Sea P un ideal primo de Zps . Como p ·ps�1 = ps = 0 2 P, entonces



p 2 P o ps�1 2 P, ya que P es un ideal primo. Si p 2 P entonces ⌧ p �✓ P, ahorabien, si ps�1 2 P, entonces ps�2 · p = ps�1 2 P, de ahí que, p 2 P o ps�2 2 P,una vez más, si p 2 P concluimos que ⌧ p �✓ P, o bien, si ps�2 2 P se procedecomo antes, y continuando de esta manera se concluye que p 2 P, por lo tanto,⌧ p �✓ P. Ahora probaremos que si P es un ideal primo y ⌧ p �( P entonces P esmaximal. Veamos primero que � es un epimorfismo. Sean g(x) =

Pn

i=0 aixi 2 Fp[x]

y f(x) =P

n

i=0 bixi 2 Zps [x], se establecio en (7) que para cada i 2 {0, 1, . . . , n},

bi = ci0+ci1p+ci2p2+ . . .+ci(s�1)ps�1 donde cij 2 Fp para cada i 2 {0, . . . , n} , j 2

{1, 2, . . . , s� 1}. Sean los bi’s de tal forma que ci0 = ai para cada i 2 {0, 1 . . . , n}entonces

f(x) =nX

i=0

µ(bi)xi=

nX

i=0

ci0xi=

nX

i=0

aixi= g(x)

así, � es sobre y por tanto epimorfismo. Si denotamos por P a la imagen de P bajo� y a ��1

(P) como la imagen inversa de P bajo � entonces ��1(P) = P y por un

teorema de isomorfismos (ver [16, Theorem 12.7, iii)]) la función:

:Zps [x]

P �! Fp[x]

P

es un isomorfismo de anillos. Por lo tantoZps [x]

P ' Fp[x]

P.

Como P es un ideal primo entonces P 6= Zps [x]. Si P = Fp[x], por lo anterior,se tiene que: ��1

(P) = ��1(Fp[x]) = Zps [x], la última igualdad debido a que � es

sobreyectiva, de ahí que, P = Zps [x], lo cual es una contradicción, por consiguiente,P 6= Fp[x]. Sean f0(x), g0(x) 2 Fp[x] tales que f0(x)g0(x) 2 P entonces existenf(x), g(x) 2 Zps [x] con f(x) = f0(x) y g(x) = g0(x), luego f(x)g(x) 2 P, de ahíque, f(x)g(x) 2 P, pero P es un ideal primo por lo que f(x) 2 P o g(x) 2 P. Sif(x) 2 P entonces f0(x) = f(x) 2 P o bien, si g(x) 2 P entonces g0(x) = g(x) 2 P,por consiguiente, P es un ideal primo de Fp[x]. Sin embargo, P 6= h0i, debido a que,⌧ p �( P, ya que, existe h(x) 2 Zps [x] tal que h(x) 2 P pero h(x) /2⌧ p �,entonces h(x) 2 P y h(x) 6= 0, por lo tanto, P 6= h0i, en consecuencia, por [16,

Theorem 12.27], P es maximal, asíFp[x]

Pes un campo y como

Zps [x]

P ' Fp[x]

Pse

concluye que P es maximal.

A continuación estudiaremos otro tipo de ideales, estos son los ideales primariosde Zps [x], para este propósito se enuncia la definición siguiente:

Definición 2.12. Sean R un anillo, I ✓ R un ideal y r, s 2 R. Diremos que:

• I es un ideal primario si y sólo si rs 2 I implica que r 2 I o existe un n 2 Ntal que sn 2 I.



• El radical de I se denota porpI y es el conjunto:

pI := {r 2 R | 9n 2 N : rn 2 I} .

Lema 2.13. Sea R un anillo con unidad, e I un ideal tal quepI es un ideal primo.

Entonces I 6= R.

Demostración. Es claropI 6= R, puesto que

pI es un ideal primo. Si I = R, se

sigue que, 1 2 I, luego dado n = 1 2 N, se tiene que, 1n = 1 2 I, de ahí que, 1 2pI

entoncespI = R, lo cual es una contradicción.

Teorema 2.14. Sea Q un ideal de Zps [x].

i) Si Q es un ideal primario de Zps [x] entoncespQ es un ideal primo.

ii) ⌧ p �✓pQ

iii) SipQ es un ideal primo y ⌧ p �(

pQ entonces Q es un ideal primario.

Demostración. Sea Q un ideal de Zps [x].

i) Supongamos que Q es primario, entonces Q 6= Zps [x]. Sean f(x), g(x) 2 Zps [x]tales que f(x)g(x) 2

pQ, entonces existe un n 2 N tal que (f(x)g(x))n 2 Q,

i.e., (f(x))n · (g(x))n 2 Q. Como Q es primario, se sigue que (f(x))n 2 Qo existe m 2 N de manera que ((g(x))nm 2 Q. Si (f(x))n 2 Q entoncesf(x) 2

pQ, o bien, (g(x))nm 2 Q entonces g(x) 2

pQ, pues nm 2 N. Por lo

tanto,pQ es un ideal primo.

ii) Como ps = 0 y Q es un ideal, entonces ps 2 Q, pero (p)s = ps 2 Q, es decir.,existe s 2 N tal que ((p)s 2 Q), por lo tanto, p 2

pQ y, en consecuencia,

⌧ p �✓pQ.

iii) Suponga quepQ es un ideal primo y además que ⌧ p �(

pQ. Por el

Teorema 2.11,pQ es maximal y como

pQ 6= Zps [x], se sigue del Lema 2.13

que Q 6= Zps [x]. Sean f(x), g(x) 2 Zps [x] tales que f(x)g(x) 2 Q. Supongaahora que para todo m 2 N se cumple que ((g(x))m /2 Q) entonces g(x) /2

pQ.

Definimos J (g(x)) :=�t(x)g(x) + q(x) | t(x) 2 Zps [x] y q(x) 2

pQ

y seanl(x), k(x) 2 J (g(x)), entonces existen t1(x), t2(x) 2 Zps [x] y q1(x), q2(x) 2

pQ

tales que l(x) = t1(x)g(x) +q1(x) y k(x) = t2(x)g(x) + q2(x), de ahí que,

l(x)� k(x) = t1(x)g(x) + q1(x)� t2(x)g(x)� q2(x)

= (t1(x)� t2(x)) g(x) + (q1(x)� q2(x))

= t(x)g(x) + r(x)



con t(x) = t1(x) � t2(x) 2 Zps [x] y r(x) = q1(x) � q2(x) 2pQ entonces

l(x) � k(x) 2 J (g(x)), por lo tanto, (J (g(x)) ,+) < (Zps [x],+). Ahora, sih(x) 2 J (g(x)) y k(x) 2 Zps [x], entonces existen q(x) 2

pQ y t(x) 2 Zps [x]

tales que h(x) = t(x)g(x) + q(x), así k(x)h(x) = k(x)t(x)g(x) + k(x)q(x) =s(x)g(x) + r(x) con s(x) = k(x)t(x) 2 Zps [x] y r(x) = k(x)q(x) 2

pQ,

por consiguiente, k(x)h(x) 2 J (g(x)), en consecuencia, J (g(x)) es un ideal.Sea q(x) 2

pQ, es claro que q(x) = t(x)g(x) + q(x) con t(x) = 0 entonces

q(x) 2 J (g(x)), así,pQ ✓ J (g(x)), también tenemos que si t(x) 2 Zps [x] con

t(x) 6= 0 y t(x) /2pQ entonces t(x)g(x) + q(x) /2

pQ, pues de lo contrario,

t(x)g(x) + q(x) � q(x) = t(x)g(x) 2pQ y

pQ es un ideal primo pero ni

t(x) ni g(x) pertenecen a sqrtQ. Así, J (g(x)) 6=pQ y como

pQ es maximal,

entonces J (g(x)) = Zps [x]. Por lo anterior, 1 2 J (g(x)), entonces existent(x) 2 Zps [x] y q(x) 2

pQ tales que 1 = t(x)g(x) + q(x) y como q(x) 2

pQ

entonces existe n 2 N tal que (q(x))n 2 Q entonces

1n= (t(x)g(x) + q(x))n

=

nX

i=0

Çn

i

å(t(x))n�i

(g(x))n�i(q(x))i

= g(x)nX

i=0

Çn

i

å(t(x))n�i

(g(x))n�i�1(q(x))i

= g(x)n�1X

i=0

Çn

i

å(t(x))n�i

(g(x))n�i�1(q(x))i

| {z }T (x)

+(q(x))n ,

esto es, 1 = T (x)g(x)+(q(x))n, multiplicando por f(x) obtenemos que f(x) =T (x)f(x)g(x) + f(x) (q(x))n, luego, como f(x)g(x) 2 Q, (q(x))n 2 Q y Q esun ideal, se sigue que f(x) 2 Q. Por lo tanto, Q es un ideal primario.

Definición 2.15. Sea h(x) 2 Zps . Diremos que h(x) es un polinomio primario siy sólo si hh(x)i es un ideal primario de Zps .

Lema 2.16. Sea f(x) un polinomio de Zps [x], supóngase que f(x) = (g(x))m dondeg(x) es un polinomio irreducible en Fp[x] y m 2 N. Entonces f(x) es un polinomioprimario.

Demostración. Como hf(x)i es un ideal de Zps [x], por ii) del Teorema 2.14, setiene que ⌧ p �✓

»hf(x)i. Dado que (f(x))1 2 hf(x)i entonces f(x) 2

»hf(x)i y

f(x) 6= 0, entonces ⌧ p �(»hf(x)i. Veamos que

»hf(x)i es un ideal primo. Si 1 2

hf(x)i entonces existe h(x) 2 Zps [x] de tal manera que 1 = h(x)f(x) entonces 1 =



h(x)f(x) = h(x) (g(x))m = g(x)Äh(x) (g(x))m�1

äpero esto implica que g(x) es una

unidad, lo cual es una contradicción ya que g(x) es irreducible, entonces 1 /2 hf(x)i,se sigue que, hf(x)i 6= Zps [x] y así

»hf(x)i 6= Zps [x]. Sean ahora a(x), b(x) 2 Zps [x]

y suponga que a(x)b(x) 2»hf(x)i, entonces existe n 2 N tal que (a(x)b(x))n 2

hf(x)i, es decir, existe q(x) 2 Zps tal que (a(x)b(x))n = (a(x))n (b(x))n = q(x)f(x).Aplicando el epimorfismo (10) tenemos que (a(x))n (b(x))n = q(x)f(x), i.e.,

a(x)nb(x)n = q(x)f(x)

= q(x) (g(x))m

de la última igualdad se tiene que g(x) divide al producto a(x)nb(x)n y, comog(x) es irreducible entonces divide a a(x) o bien a b(x). Supóngase que g(x)|a(x)entonces (g(x))m = f(x) divide a (a(x))m, es decir, existe c(x) 2 Fp[x] tal que(a(x))m = c(x)f(x), entonces (a(x))m � c(x)f(x) = 0 y como (10) es epimorfismotenemos que (a(x))m � c(x)f(x) = 0, de ahí que, (a(x))m � c(x)f(x) 2 Ker� =⌧p �. Entonces existe d(x) 2 Zps [x] tal que (a(x))m � c(x)f(x) = d(x)p, por lotanto, (a(x))m = c(x)f(x) + d(x)p. Como ps � 2, elevando la igualdad anterior aps obtenemos que ((a(x))m)

ps

= (c(x)f(x) + d(x)p)ps

y, aplicando el teorema delbinomio tenemos:

(a(x))mps

=

psX

i=0

Çps

i

å(c(x)f(x))p

s�i(d(x)p)i

=

2

4ps�1X

i=0

Çps

i

å(c(x))p

s�i(f(x))p

s�i�1(d(x)p)i

3

5

| {z }k(x)

f(x) + (d(x)p)ps

es decir, (a(x))mps

= k(x)f(x)+(d(x))ps

(p)ps

pero s < ps entonces existe t 2 N talque ps = s + t, luego (a(x))mp

s

= k(x)f(x) + pspt = k(x)f(x) puesto que ps = 0,de ahí que, a(x) 2

»f(x). Análogamente si g(x) divide a b(x) se concluye que

b(x) 2»hf(x)i. Por lo tanto

»hf(x)i es un ideal primo. Luego, por la parte iii)

del Teorema 2.14, hf(x)i es un ideal primario y, por la Definición 2.15, f(x) es unpolinomio primario.

3 El Lema de Hensel

Definición 3.1. Sean f1, f2 2 Zps [x]. Diremos que f1 y f2 son coprimos en Zps [x]si existen �1,�2 2 Zps [x] tales que

�1f1 + �2f2 = 1.



Cabe mencionar que en la Definción 3.1, Zps [x] puede ser reemplazado por Fp[x].

Lema 3.2. Sean f1, f2 2 Zps [x]. Entonces f1 y f2 son coprimos en Zps [x] si y sólosi f1, f2 son coprimos en Fp[x].

Demostración. Sean f1 y f2 polinomios coprimos en Zps [x], entonces por la Defini-ción 3.1 existen �1,�2 2 Zps [x] tales que �1f1+�2f2 = 1 y, aplicando (10) tenemosque �1f1 + �2f2 = 1, es decir, �1 f1+�2 f2 = 1, una vez más, por la Definición 3.1, seconcluye que f1 y f2 son coprimos en Fp[x]. Recíprocamente, sean f1 y f2 coprimosen Fp[x], luego por la Definición 3.1, existen µ1, µ1 2 Fp[x] tales que µ1f1+µ2f2 = 1,pero (10) es un epimorfismo, entonces existen �1,�2 2 Zps [x] con µ1 = �1 y µ2 = �2tales que �1f1 + �2f2 = 1, es decir, �1f1 + �2f2 = 1, luego �1f1 + �2f2 � 1 = 0,de la última igualdad, se sigue que, �1f1 + �2f2 � 1 2 Ker� =⌧ p �, entoncesexiste k 2 Zps [x] tal que �1f1 + �2f2 � 1 = kp, de ahí que, �1f1 + �2f2 = 1 + kp.Definimos � =

Ps�1i=0

Ä�kpi

ä, luego tenemos que, � (�1f1 + �2f2) = � (1 + kp), es

decir,

(��1) f1 + (��2) f2 = � + �kp

= � +

s�1X

i=0

(�kp)i!

kp

= � +

Ä(�kp)0 + (�kp)1 + · · ·+ (�kp)s�1

äkp

= � +

Ä1� kp+ · · ·+ (�1)

s�1 ks�1ps�1äkp

= � + kp� k2p2 + . . .+ (�1)s�2 ks�1ps�1

+ (�1)s�1 ksps

= 1� kp+ k2p2 + · · ·+ (�1)s�1 ks�1ps�1

+ kp� k2p2 + . . .+ (�1)s�2 ks�1ps�1

+ (�1)s�1 ksps

= 1

ya que ps = 0, de ahí que, (��1) f1+(��2) f2 = 1, por lo tanto, f1 y f2 son coprimosen Zps [x].

Lema 3.3. Sea f 2 Zps [x] un polinomio mónico, supóngase que f = g1g2 2 Fp[x],donde g1, g2 2 Fp[x] son polinomios mónicos coprimos. Entonces existen f1, f2 2Zps [x] polinomios mónicos coprimos tales que

i) f = f1f2 2 Zps [x],

ii) f i = gi para i 2 {1, 2}.



Demostración. Sea f 2 Zps [x] un polinomio mónico, tal que f = g1g2, donde(g1, g2) = 1 en Fp[x], entonces f � g1g2 = 0. Como (10) es un epimorfismo, exis-ten h1, h2 2 Zps [x] tales que h1 = g1 y h2 = g2, así f � h1h2 = f � h1h2 = 0;por el Lema 2.10 tenemos que f � h1h2 2⌧ p �, es decir existe k 2 Zps tal quef � h1h2 = kp. Por consiguiente, f = h1h2 + kp. Como g1 y g2 son coprimos enFp[x], se sigue del Lema 3.2 que h1 y h2 son coprimos en Zps [x] luego, por la Defi-nición 3.1, existen �1�2 2 Zps [x] tales que �1h1 + �2h2 = 1. Denotando por v a kptenemos:

f = h1h2 + v. (12)

Definimos en Zps [x] los polinomios siguientes:

h11 = h1 + �2v

h21 = h2 + �1v

Como v 2⌧ p � entonces v = 0; aplicando (10) a cada polinomio, tenemos queh11 = h1 = g1 y h21 = h2 = g2 además, al multiplicar estos polinomios obtenemos:

h11h21 = h1h2 + �1h1v + �2h2v + �1�2v2

= h1h2 + (�1h1 + �2h2) v + �1�2v2

= h1h2 + v + �1�2v2,

puesto que �1h1 + �2h2 = 1 y, usando (12) en la última igualdad se obtiene queh11h21 = f + �1�2v2, de ahí que, f � h11h21 = ��1�2v2, de manera que:

f ⌘ h11h21 (mod v2).1 (13)

Como (g1, g2) = 1, h11 = g1 y h21 = g2, se sigue del Lema 3.2 que h11 y h21 soncoprimos, es decir existen �11, �21 tales que �11h11 + �21h21 = 1. Por (13) tenemosque f = h11h21+k1v2 para algún k1 2 Zps [x], entonces repitiendo el proceso t vecesdefiniendo en cada paso a los polinomios:

h1t = h1t�1 + �2t�1kt�1v2(t�1)

h2t = h2t�1 + �1t�1kt�1v2(t�1)

donde h1t = g1, h2t = g2, �1t�1h1t�1+�2t�1h2t�1 = 1 y f = h1t�1h2t�1+kt�1v2(t�1).Es fácil ver que para t = s al multiplicar los polinomios definidos arriba se tiene:

f ⌘ h1sh2s (mod v2s).

1Usamos la notación de congruencia modular ya que v2|f � h11h21.



Observe que v2s = (kp)2s = k2spsps = 0, es decir, f ⌘ h1sh2s (mod ps), en otraspalabras, f � h1sh2s = 0 y, por lo tanto, f = h1sh2s. Finalmente, renombrandof1 = h1s y f2 = h2s tenemos que: f = f1f2, f1 = g1, f2 = g2 y (f1, f2) = 1, con locual queda demostrado el lema.

A continuación mostraremos un resultado que nos será muy útil en la generali-zación del Lema 3.3.

Lema 3.4. Sea R un anillo euclidiano y sean p1, p2, . . . , pr 2 R coprimos por pares.Entonces, si r � 3 se tiene que

ÄQr�1i=1 pi, pr

ä= 1.

Demostración. Haremos inducción sobre r. Supongamos que r = 3. Sean p1, p2, p3 2R tales que (pi, pj) = 1 para i 6= j con i, j 2 {1, 2, 3} entonces, por la Definición 3.1,tenemos que existen a1, a2, b1, b2 2 R tales que a1p1 + a2p3 = 1 y b1p2 + b2p3 = 1.Multipicando estas igualdades tenemos:

1 = (a1p1 + a2p3)(b1p2 + b2p3)

= a1b1p1p2 + a1b2p1p3 + a2b1p2p3 + a2b2p23

= (a1b1) p1p2 + (a1b2p1 + a2b1p2 + a2b2p3) p3

= �1p1p2 + �2p3

donde �1 = a1b1,�2 = a1b2p1 + a2b1p2 + a2b2p3 2 R, por lo tanto, (p1p2, p3) = 1.Supóngase que este resultado se cumple para r, veamos que es válido para r+1. Seanp1, p2, . . . , pr, pr+1 2 R tales que (pi, pj) = 1 para i 6= j con i, j 2 {1, 2, . . . , r + 1},en particular tenemos que (pr, pr+1) = 1 y, por la hipótesis inductiva, tenemos queÄQr�1

i=1 pi, pr+1

ä= 1 así, por la Definición 3.1 se tiene que existen c1, c2, d1, d2 2 R

tales que:

c1pr + c2pr+1 = 1,

d1p1p2 · · · pr�1 + d2pr+1 = 1,

multiplicando las igualdades obtenemos:

1 = c1d1r�1Y

i=1

pipr + c1d2prpr+1 + c2d1r�1Y

i=1

pipr+1 + c2d2p2r+1

= (c1d1)rY

i=1

pi +

c1d2pr + c2d1r�1Y

i=1

pi + c2d2pr+1

!

pr+1

= µ1

rY

i=1

pi + µ2pr+1



donde µ1 = c1d1, µ2 = c1d2pr+c2d1Qr�1

i=1 pi+c2d2pr+1 2 R, de ahí que, µ1Q

r

i=1 pi+µ2pr+1 = 1, por lo tanto, (Qr

i=1 pi, pr+1) = 1, lo cual queríamos demostrar.

Ahora demostraremos uno de los resultados más importantes de este trabajo, elfamoso Lema de Hensel.

Lema 3.5 (Lema de Hensel). Sea f un polinomio mónico en Zps [x] y supóngaseque f = g1g2 · · · gr 2 Fp[x] donde g1, g2, . . . , gr son polinomios mónicos y copri-mos por pares sobre Fp. Entonces existen polinomios mónicos y coprimos por paresf1, f2, . . . , fr sobre Zps tales que:

i) f = f1f2 · · · fr 2 Zps [x]

ii) f i = gi para cada i 2 {1, 2, . . . , r}

Demostración. Haremos inducción sobre el número de factores, r. Para el casor = 2, ver la demostración del Lema 3.3. Ahora, supóngase que el resultado esválido para r � 1 factores y veamos que es válido para r factores. Sea f 2 Zps [x]un polinomio mónico tal que f = g1g2 · · · gr, donde g1, g2, . . . , gr son polinomiosmónicos y coprimos por pares sobre Fp. Denotemos por h = g1g2 · · · gr�1, es cla-ro que, h 2 Fp[x] y f = hgr. Por el Lema 3.4, tenemos que (h, gr) = 1 además,por el Lema 3.3, tenemos que existen bh, fr 2 Zps [x] polinomios mónicos coprimostales que f = bhfr, donde bh = h y f r = gr. Pero bh = h =

Qr�1i=1 gi, por la hi-

pótesis inductiva existen f1, f2 . . . , fr�1 2 Zps [x] polinomios mónicos coprimos porpares tales que bh = f1f2 · · · fr�1 y f i = gi con i 2 (1, 2, . . . , r � 1), de ahí que,f = f1f2 · · · fr�1fr 2 Zps [x] y f i = gi para cada i 2 {1, 2, . . . , r}, con lo cual quedademostrado el lema de Hensel.

Concluimos esta sección mencionando que el lector interesado puede consultarel libro de McDonald ([12]) para revisar el Lema de Hensel en su versión generalsobre anillos conmutativos finitos locales y los artículos [3] y [13] para ver un parde aplicaciones del Lema de Hensel sobre la clase de anillos conmutativos finitos decadena.

4 Polinomios Básicos irreducibles y el levantamiento deHensel

A continuación, se demostrará un teorema de factorización “única” para polinomioscon coeficientes en el anillo Zps .

Teorema 4.1. Sea f un polinomio mónico en Zps [x] con grad(f) � 1 . Entonces:



i) f puede ser factorizado de la manera siguiente:

f = f1f2 · · · fr

donde f1, f2, . . . , fr son polinomios mónicos, primarios y coprimos por paresen Zps [x], más aún, para cada i 2 {1, 2, . . . , r}, f i es una potencia de algúnpolinomio mónico irreducible en Fp[x].

ii) Esta factorización es única salvo el orden.

Demostración. Sea f 2 Zps [x] entonces f 2 Fp[x], como Fp[x] es un dominio defactorización única existen g1, g2, . . . , gr 2 Fp[x] polinomios mónicos irreduciblescoprimos por parejas tales que

f = ge11 ge22 · · · gerr , (14)

para algunos e1, e2, . . . , er 2 N, por el Lema 3.4 tenemos que si i 6= j entoncesÄgeii, g

ej

j

ä= 1 para i, j 2 {1, 2, . . . , r}, además, debido al Lema de Hensel, tenemos

que existen polinomios mónicos, coprimos por pares f1, f2, . . . , fr 2 Zps [x] tales quef = f1f2 · · · fr y fi = gei

ipara cada i 2 {1, 2, . . . r}, y por el Lema 2.16 se sigue que

para cada i, fi es un polinomio primario en Zps [x], con lo cual queda demostradala primera afirmación. Ahora bien, supóngase que:

f1f2 · · · fr = h1h2 · · ·ht (15)

son dos factorizaciones de f como producto de polinomios primarios, mónicos co-primos por pares en Zps [x]. Se sigue de (15) que f1f2 · · · fr 2 hhii para cadai 2 {1, 2, . . . , t} y como hhii es un ideal primario, existen ki 2 Z con 1 ki ry ni 2 N tales que fni

ki2 hhii. Veamos que ki es único para cada i 2 {1, 2, . . . , t}.

Sean k0i6= ki y n0

i2 N tales que f

n0i

k0i

, fni

ki2 hhii, es claro que

Äfk0

i

, fkiä= 1 entonces

existen a, b 2 Zps [x] tales que afki+bfk0i

= 1, como 1ni+n

0i�1

=

Äafki + bfk0

i

äni+n

0i�1

tenemos que:

1 =

ni+n0i�1X

j=0

Çni + n0

i� 1

j

åajf j

kibni+n

0i�1�jf

ni+n0i�1�j

k0i

al desarrollar la sumatoria siempre tendremos presentes a los factores fni

kiy f

n0i

k0i

los cuales son elementos del ideal hhii, entonces 1 2 hhii lo cual es una contra-dicción pues hi es primario, por lo tanto ki = k0

i. De manera similar, para cada

j 2 {1, 2 . . . , r} existe un único lj con lj 2 {1, 2, . . . , t} tal que hmj

lj2 hfji, así,



para cada ki 2 {1, 2, . . . , r} tenemos que hmj

lj= cfj . Si j = ki entonces h

mki

lki= cfki

así hmkini

lki= cnifni

ki2 hhii, es decir, hmki

ni

lki2 hhii luego existe un � 2 Zps [x] tal

que hmki

ni

lki= �hi, aplicando el epimorfismo (10) tenemos que h

mkini

lki= �hi, en

otras palabras, hmkini

lki2 hhii. Así tenemos que lki = i para cada i 2 {1, 2, . . . r}

pues de lo contrario dado lki existirían j0, i0 distintos tales que j0 = lki = i0 pero(hj0 , hi0) = hj0 6= 1 en contradicción con el Lema 3.2. Usando lo anterior, definimoslas siguiente funciones:

{1, 2, . . . , t} �! {1, 2, . . . , r}i 7�! ki

{1, 2, . . . , r} �! {1, 2, . . . , t}j 7�! lj

las cuales son inyectivas, de ahí que r t y también t r así, r = t y re-enumerando ki = i para cada i 2 {1, 2, . . . , r} tenemos que lj = ki = i entoncesfni

i2 hhii y hmi

i2 hfii. Si j 6= 1 tenemos que (f1, fj) = 1 entonces

Äf1, f j

ä= 1,

luego f2f3 · · · f r y fn1

1 son coprimos y por el Lema 3.4 (f2f3 · · · fr, fn11 ) = 1. Como

fn11 2 hh1i existe algun c 2 Zps [x] tal que fn1

1 = ch1. Veamos que el productof2f3 · · · fr y h1 son coprimos. Dado que (f2, f3 · · · fr, fn1

1 ) = 1 existen ↵,� 2 Zps [x]tales que 1 = ↵f2f3 · · · fr + �fn1

1 = ↵f2f3 · · · fr + �(ch1), sea � = c� entonces

↵f2f3 · · · fr + �h1 = 1, (16)

de ahí que, (f2f3 · · · fr, h1) = 1. Multiplicando (16) por f1 se obtiene que ↵f1f2 · · · fr+�h1f1 = f1, es decir, ↵h1h2 · · ·hr + �h1f1 = f1, usando (15), entonces f1 =

h1 (↵h2h3 · · ·hr + �f1), por lo anterior, se tiene que h1 divide a f1. Procediendo demanera similar con hm1

1 , se establece que f1 divide a h1 y como (f1, h1) = 1 se sigueque f1 = h1, análogamente se concluye que fi = hi para toda i 2 {1, 2, . . . , r}.

Definición 4.2. Sea f(x) un polinomio mónico de grado m � 1 en Zps [x]. Si f(x) 2Fp[x] es irreducible (o primitivo), diremos que f(x) es un polinomio mónicobásico irreducible(o mónico básico primitivo) en Zps [x].

Los siguientes lemas, serán de suma importancia en la demostración de losresultados más relevantes de esta sección.

Lema 4.3. Si Fq es un campo finito con q elementos, entonces todo polinomioirreducible h(x) 2 Fq[x] de grado m divide a xq

m � x.



Demostración. Como h(x) es irreducible con grad (h) = m, entonces el conjunto:

F =Fq[x]

hh(x)i := {[f(x)] = f(x) + hh(x)i|f(x) 2 Fp[x]}

es un campo finito con qm elementos y por [8, Lemma 2.3] se tiene que, [x] 2 Fimplica que [x]q

m

= [x], entonces [0] = [x]qm � [x] = [xq

m � x], es decir, xqm � x 2hh(x)i, por lo tanto, h(x)|xqm � x.

Lema 4.4. Sea f un polinomio no nulo de grado positivo sobre un campo finito F.Si (f, f 0

) = 1 entonces f no tiene factores múltiples.

Demostración. Suponga que f tiene al menos un factor múltiple, dígamos g congrad(g) � 1, es decir, f = g2h para algún h 2 F[x]. Entonces f 0

= 2gg0h + h0g2

factorizando a g tenemos que f 0= g (2g0h+ h0g), de manera que, g divide a f y f 0.

Sea d = (f, f 0) entonces g|d, de ahí que, d 6= 1.

Lema 4.5. Sean F un campo con característica p, i.e., Car (F) = p y n 2 N. Sip - n entonces el polinomio xn � 1 2 Fp[x] no tiene raíces múltiples.

Demostración. Sea r una raíz múltiple de h(x) = xn�1 en Fp[x]. Es claro que r 6= 0

y, por [8, Theorem 1.68], también es raíz de h0(x) = nxn�1. Entonces nrn�1= 0,

esto es, (nr)rn�2= 0 pero Fp es un dominio entero y r 6= 0, de ahí que, nr = 0,

por lo tanto, p|n.

Teorema 4.6. Para cualquier entero m � 1 existe un polinomio mónico básicoirreducible de grado m sobre Zps el cual divide a xp

m�1 � 1 en Zps [x].

Demostración. Sea Fp un campo finito con p elementos. En [8, Corollary 2.11] semuestra que para m � 1 existe f0(x) un polinomio irreducible de grado m sobreFp. Si f0(x) = amxm + am�1xm�1

+ · · · + a1x + a0 entonces f1(x) = a�1m f0(x)

es un polinomio mónico irreducible de grado m en Fp[x]. Por el Lema 4.3, f1(x)divide a xp

m � x en Fp[x]. Como f1(x) es irreducible y xpm � x = x

Äxp

m�1 � 1

ä

entonces f1(x)|x ó f1(x)|xpm�1 � 1. Supongamos que m = 1 y sea f(x) = x � 1 2

Zps [x] tal que f(x) = f1(x) entonces f1(x)|Äxp

m�1 � 1

äen Fp[x] ya que f(x) =

f1(x) = x� 1, así que f(x) = x� 1 en Fp[x] es un polinomio mónico e irreducibletal que f(x)|

Äxp

m�1 � 1

äen Zps [x], como deseabamos. Por otro lado, si m > 1

entonces f1(x) no puede dividir a x entonces f1(x) divide a xpm�1 � 1 en Fp[x].

Así, existe g1(x) 2 Fp[x] tal que xpm�1 � 1 = f1(x)g1(x), observe que la derivada

de xpm�1 � 1 es el polinomio pmxp

m�2 � xpm�2 y como Car (F) = p entonces

pmxpm�2 � xp

m�2= �xp

m�2. Ahora bien, si consideramos los polinomios �1 = �1

y �2 = �x se sigue que �1Äxp

m�1 � 1

ä+ �2

Ä�xp

m�2ä= �xp

m�1+1+ xp

m�1= 1,



así, por la Definición 3.1 y el Lema 4.4, xpm�1 � 1 no tiene factores múltiples.

Supongamos que (f1(x), g1(x)) = d(x) y grad(d) � 1 entonces f1(x) = k1(x)d(x) yg1(x) = k2(x)d(x) para algunos k1(x), k2(x) 2 Fp[x], entonces como xp

m�1 � 1 =

f1(x)g1(x) = k1(x)k2(x) (d(x))2, tenemos que, xpm�1 � 1 tiene a d(x) como factor

múltiple, lo cual es una contradicción, por consiguiente, (f1(x), g1(x)) = d(x) congrad(d) = 1 pero f1(x) es mónico, de ahí que, (f1(x), g1(x)) = 1, entonces porel Lema de Hensel existen polinomios mónicos y coprimos f2(x) y g2(x) en Zps [x]tales que xp

m�1 � 1 = f2(x)g2(x) en Zps [x] con f2(x) = f1(x) y g2(x) = g1(x).Si escogemos f(x) = f2(x) se satisface que f(x) = f1(x) un polinomio mónico eirreducible en Fp[x] y por la Definición 4.2 f(x) es un polinomio mónico básicoirreducible con grad(f) = grad(f1) = m y que divide a xp

m�1 � 1 en Zps comoqueríamos demostrar.

Definición 4.7. Sea g(x) un polinomio mónico sobre Fp. Un polinomio mónicof(x) en Zps [x] con f(x) = g(x) es llamado un Levantamiento de Hensel parag(x) si y sólo si existe n 2 N tal que si p - n entonces f(x)| (xn � 1) en Zps [x].

En el Teorema 4.6, tenemos que f(x) = f1(x) y si p|pm � 1 entonces existirá unk 2 N tal que pm � 1 = kp entonces pm � kp = 1, en otras palabras, (p, pm) = 1 locual es absurdo, así existe n = pm � 1 2 N tal que p - n y f(x)| (xn � 1) en Zps [x].por lo tanto, f(x) es el levantamiento de Hensel de f1(x).

Sin embargo, no todo polinomio mónico básico irreducible es un levantamientode Hensel. Por ejemplo, para el polinomio x+ 2 2 Z4[x] se tiene x+ 2 = x 2 F2[x].Veamos que x + 2 no es un levantamiento de Hensel para x. Sea n 2 N, si 2 - nentonces existe k 2 N tal que n = 2k+1, como x2k+1�1 = (x2k�2x2k�1

)(x+2)�1

tenemos que el residuo de la división de x2k+1�1 por x+2 es �1, esto es, x2k+1 � 1 ⌘�1 (mod x+ 2), por lo tanto, x+ 2 - xn � 1, lo cual contradice la Definición 4.7.

Teorema 4.8. Sea s 2 N. Un polinomio mónico g(x) 2 Fp[x] tiene un levanta-miento de Hensel f(x) 2 Zps si y sólo si g(x) no tiene raíces múltiples y x - g(x)en Fp[x].

Demostración. Supóngase que f(x) es un levantamiento de Hensel para g(x) sobreZps , entonces f(x) = g(x) y existe n 2 N tal que p - n y f(x)|xn � 1, así, tenemosque, xn � 1 = f(x)h(x) para algún h(x) 2 Fp[x] entonces

xn � 1 = xn � 1 = f(x)h(x) = g(x)h(x). (17)

Como p - n, xn � 1 no tiene raíces múltiples en Fp[x], por el Lema 4.5, y de(17) se sigue que g(x) no tiene raíces múltiples pues de tenerlas entonces seríantambien raíces de xn � 1, lo cual no puede ocurrir. Más aún, si x|g(x) tenemos que



x|xn � 1, por (17), es decir, 0 es raíz de xn � 1 lo cual tampoco puede ocurrir. Porlo tanto, x - g(x). Recíprocamente, supongamos que g(x) no tiene raíces múltiplesy que x - g(x) en Fp[x], entonces g(0) 6= 0. Por [8, Lemma 3.1], existe n 2 N talque g(x)|xn � 1 con n pgrad(g)�1. Tenemos que (n, p) = 1 o bien p|n, entoncesexisten m 2 N y e 2 N [ {0} con (m, p) = 1 tales que n = mpe. Como p|

�pe

i

�para

i 2 {1, 2, . . . , pe � 1} y Car(Fp) = p entonces�pe

i

�= 0 para i 2 {1, 2, . . . , pe � 1} en

Fp, aplicando el teorema del binomio para a, b 2 Fp se tiene que:

(a+ b)pe

=

peX

i=0

Çpe

i

åap

e�ibi

= ape

+

pe�1X

i=1

Çpe

i

åap

e�ibi + bpe

= ape

+ bpe

.

Por lo anterior, (xm)pe

= ((xm�1)+1)pe

= (xm�1)pe

+1, i.e., (xm)pe

= (xm�1)pe

+

1, de ahí que, (xm � 1)pe

= (xm)pe � 1 = xmp

e � 1 = xn � 1. Como g(x)| (xn � 1)

entonces g(x)h(x) = (xm � 1)pe

para algún h(x) 2 Fp[x] y grad (g) + grad (h) =

n = mpe � 1. Si grad (g) = 1 entonces g(x) = x� 1, ya que g(x) es mónico y 1 esraíz común de g(x) y xn�1, además x�1|xm�1, por consiguiente, g(x)|xm�1. Porotro lado, como g(x)h(x) = (xm � 1) (xm � 1)

pe�1 y g(x) no tiene raíces múltiples,

si grad (g) = l > 1 entonces g(x)|xm � 1, ya que de lo contrario, tendría a 1 comoraíz múltiple. En ambos casos tenemos que existe m 2 N tal que p - n y g(x)|xm�1

en Fp[x], es decir, existe g0(x) 2 Fp[x] de tal manera que xm � 1 = g(x)g0(x) ycomo p - m, xm � 1 no tiene factores múltiples, así (g(x), g0(x)) = 1 en Fp[x], porel Lema de Hensel, existen f(x), f0(x) 2 Zps [x] polinomios mónicos, coprimos entresi tales que

xm � 1 = f(x)f0(x) (18)

en Zps [x] con f(x) = g(x) y f0(x) = g0(x). Por (18) se deduce que f(x)|xm � 1 enZps [x] con p - m, por lo tanto, f es el levantamiento de Hensel de g(x).

Este teorema y el siguiente lema son fundamentales en la demostración de launicidad del levantamiento de Hensel.

Lema 4.9. Sean m,n 2 N. xm � 1|xn � 1 si y sólo si m|n.

Demostración. Por el algoritmo de la división, existen s, r 2 Z tales que n = sm+rcon 0 r < m. Es faćil verificar, mediante la división larga de xn � 1 por xm � 1,que:

xn � 1 =

Äx(s�1)m+r

+ x(s�2)m+r+ · · ·+ xr

ä(xm � 1) + xr � 1,



dado que n = sm+ r con grad(xr � 1) < grad(xm � 1), por consiguiente, xn � 1 ⌘xr � 1 (mod xm � 1). Si m|n entonces r = 0, luego, xr � 1 = 0 y de lo anterior sesigue que xm � 1|xn � 1. Por otro lado, si xm � 1|xn � 1 tenemos que xr � 1 = 0,es decir, xr = 1 entonces r = 0, por lo tanto. m|n, como queríamos demostrar.

Teorema 4.10. Sea s 2 N y g(x) un polinomio mónico en Fp[x] sin raíces múltiplestal que x - g(x) en Fp[x]. Entonces g(x) tiene un único levantamiento de Hensel enZps [x].

Demostración. Por el Teorema 4.8, g(x) tiene un levantemiento de Hensel en Zps [x],así que sólo probaremos la unicidad. Sean f (1)

(x) y f (2)(x) dos levantamientos de

Hensel de g(x) en Zps [x] entonces

i) f (1) y f (2) son polinomios mónicos.

ii) f (1)(x) = g(x) = f (2)(x).

iii) Existen n1, n2 2 N tales que p - n1, p - n2 con f (1)(x)|xn1 �1 y f (2)

(x)|xn2 �1

en Zps [x].

De ii) y iii) se sigue que g(x)|xn1�1 y g(x)|xn2�1 en Fp[x]. Así, tenemos dos casos:n1 = n2 y n1 6= n2 . Supóngase que n = n1 = n2, como Fp[x] es un dominio defactorización única tenemos que existen h1(x), h2(x), . . . , hr(x) polinomios mónicose irreducibles en Fp[x] y e1, e2 . . . , er 2 N tales que xn�1 = he11 (x)he22 (x) · · ·herr (x).Sea gi(x) = hei

i(x) para cada i 2 {1, 2, . . . , r} entonces

xn � 1 = g1(x)g2(x) · · · gr(x) (19)

en Fp[x] con (gi, gj) = 1 para cada i 6= j, luego, por el Lema de Hensel, existenf1(x), f2(x), . . . , fr(x) 2 Zps [x] tales que xn�1 = f1(x)f2(x) · · · fr(x) en Zps [x] confi(x) mónico, (fi(x), fj(x)) = 1 si i 6= j, y fi(x) = gi(x) = hi(x)ei 2 Fp[x] para cadai 2 {1, 2, . . . , r}. Por el Lema 2.16, fi es un polinomio primario sobre Zps [x] paracada i. Como g(x)|xn� 1, (gi(x), gj(x)) = 1 si i 6= j y por (19) tenemos que g(x) =g1(x)g2(x) · · · gt(x) para algún 1 t r, salvo el orden de g1(x), g2(x), . . . , gr(x)en (19). Finalmente, nombrando a f(x) = f1(x)f2(x) · · · ft(x), f(x) es el únicopolinomio tal que f(x) = f (1)(x) = f (2)(x) = g(x) y f(x)|xn � 1, por el Teorema4.1, en otras palabras, f (1)

(x) = f (2)(x). Por otro lado, si n1 6= n2, sea n = [n1, n2]

2,entonces n1|n y n2|n, de ahí que, existen k1, k2 2 N tales que n = k1n1 y n = k2n2.Nuevamente ocurre que (p, k1) = 1 o k1 = kpe y (p, k2) = 1 o k2 = k0pe

0 con(p, k) = (p, k0) = 1 y e, e0 2 N. Sea t = kk0n1n2 entonces p - t pero n1|t y n2|t

2El mínimo común múltiplo de n1 y n2



entonces xn1 � 1|xt � 1 y xn2 � 1|xt � 1 en Zps [x], por el Lema 4.9, y por elprimer caso, debemos concluir que f (1)

(x) = f (2)(x). Esto prueba la unicidad del

levantamiento de Hensel.

Algoritmo 1 Hensel’s Step [15, Algorithm 15.10]Entrada: p un número primo, polinomios f 2 Zp2 [x] y g, h, s, t 2 Fp[x] tales

que: f = gh, g, h mónicos, grad(f) = grad(g) + grad(h), grad(t) < grad(g),grad(s) < grad(h) y sg + th = 1 en Fp[x].

Salida: Polinomios g⇤, h⇤, s⇤, t⇤ 2 Zp2 [x] tales que: f = g⇤h⇤ con g⇤, h⇤ mónicos,g⇤ = g, h⇤ = h, s⇤ = s y t⇤ = t.

1: Calcule el polinomio e = f � gh en Zp2 .2: Hallar polinomios q, r 2 Zp2 [x] tales que se = qh+ r.3: Defina los polinomios g0 = g(q + 1) + te, h0 = h+ r y u = sg0 + th0 � 1.4: Hallar polinomios v.w 2 Zp2 [x] tales que: su = vh0 + w.5: Obtener g⇤ = g0, h⇤ = h0, s⇤ = s� w y t⇤ = t(1� u)� vg0.

En el siguiente ejemplo aplicamos el Algoritmo 1 para factorizar el polinomiodado.

Ejemplo 4.11. Factorizar el polinomio f = x3 + 4x+ 8 2 Z32 [x].

Es claro que f = x3 + x + 2 2 F3[x] y además 2 es una raíz de f , entonces x � 2

divide a f en F3[x], realizando la división se obtiene que f = (x� 2)(x2 + 2x+ 2),de ahí que, g = x�2 y h = x2+2x+2. Aplicando el algoritmo de Euclides se tieneque

(2x+ 2)(x� 2) + (1)(x2 + 2x+ 2) = 1

así s = 2x + 2 y t = 1. Calculamos en Z9[x] el polinomio e = f � gh = x3 + 4x +

8��x3 � 2x� 4

�= 6x+3. Entonces se = 3x2+6 y, al dividir por h se obtiene que

se = 3

Äx2 + x+ 2

ä� 6x,

de ahí, se sigue que q = 3 y r = �6x 2 Z9. Luego se calculan los polinomiosg0 = x�5 y h0 = x2�4x+2 y definimos u = sg0+ th0�1 = 3x2�3x. Nuevamenteal dividir su por h0 tenemos que

su = (6x+ 6)(x2 � 4x+ 2) + (6x� 3)

Finalmente, se concluye que v = 6x + 6 y w = 6x � 3. Realizando los últimos



calculos se obtiene que

g⇤ = x� 5 g⇤ = x� 2

h⇤ = x2 � 4x+ 2 h⇤ = x2 � x+ 2 = x2 + 2x+ 2

s⇤ = �4x+ 5 s⇤ = �x+ 2 = 2x+ 2

t⇤ = 4 t⇤ = 1

Además,

s⇤g⇤ + t⇤h⇤ = (�4x+ 5)(x� 5) + (4)(x2 � 4x+ 2)

= �4x2 + 7x� 7 + 4x2 � 7x+ 8

= 1

como esperabamos.

Algoritmo 2 Método de Graeffe [16, Theorem 13.12]Entrada: Un polinomio f2(x) 2 F2[x] de grado n sin raíces múltiples y tal que

f2(0) 6= 0.Salida: Un polinomio f(x) el levantamiento de Hensel de f2(x).1: Escriba f2(x) = e(x)� d(x) donde e(x) sólo contiene términos de f2 con expo-

nenete par y d(x) con los de exponenete impar.2: Calcule en Z4[x] el polinomio

f(x2) =

(+

î(e(x))2 � (d(x))2

ósi grad(e) > grad(d)

�î(e(x))2 � (d(x))2

ósi grad(e) < grad(d)

3: Cambie x2 por x en f(x2).

En los siguientes dos ejemplos se emplea el Algoritmo 2 para realizar el levan-tamiento de Hensel del polinomio dado.

Ejemplo 4.12. Calcular el levantamiento de Hensel para el polinomio f2(x) =

x3 + x+ 1 2 F2[x]. Obsérvese que e(x) = 1 y d(x) = x3 + x entonces tenemos quegrad(d) > grad(e), así

f(x2) = �h(1)

2 �Äx3 + x

ä2i

= �î�x6 � 2x4 � x2 + 1

ó

= x6 + 2x4 + x2 � 1.



Luego, haciendo el cambio de x2 por x en f(x2) tenemos que f(x) = x3+2x2+x�1.Veamos que es el levantamiento de Hensel de f2.

f(x) = x3 + 2x2 + x� 1 = x3 + x� 1 = x3 + x+ 1 = f2(x).

Además, se tiene tras hacer la división larga que

x3 + 2x2 + x� 1 ⌘ 0 (mod x7 � 1)

como queríamos probar.

Ejemplo 4.13. Calcular el levantamiento de Hensel para g2(x) = x4+x3+x2+x+1.Tenemos pues que e(x) = x4+x2+1 y d(x) = x3+x así grad(e) > grad(d) entonces

g(x2) =hÄx4 + x2 + 1

ä2 �Äx3 + x

ä2i

=

îx8 + 2x6 + x4 + 2x4 + 2x2 + 1� x6 � 2x4 � x2

ó

= x8 + x6 + x4 + x2 + 1

de ahí que g(x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1. Tenemos que

g(x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1 = x4 + x3 + x2 + x+ 1 = g2(x)

Además, se tiene tras hacer la división larga que

x4 + x3 + x2 + x+ 1 ⌘ 0 (mod x5 � 1)

por lo tanto, g es el levantamiento de Hensel de g2.

Concluimos esta sección invitando al lector interesado a consultar el artículo[13, Definición 3.4]) para ver una aplicación del Levantamiento de Hensel sobre laclase de anillos conmutativos finitos de cadena.

Agradecimientos

Agradecemos al árbitro su amable revisión y valiosos comentarios al trabajo.

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Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, BUAPAvenida San Claudio y 18 Sur, Colonia San Manuel,Puebla, Pue. C.P. [email protected]@fcfm.buap.mx






Capítulo 3

Una variación del contenido fuerte entre formacioneslocalmente definidas

Ismael Gutiérrez García, Anselmo Torresblanca BadilloDepartamento de Matemáticas, Universidad del Norte

Resumen

En este capítulo presentamos inicialmente una recopilación de resultados sobreclases de grupos finitos solubles, en particular las formaciones, e introducimosla relación de contenido fuerte entre formaciones. Esta define un orden parcialsobre la clase de todas las formaciones de grupos finitos solubles. Finalmentese introduce una variación de esta relación y establecemos condiciones sobrela formación localmente definida H, que contiene G-fuertemente a la formaciónF = NX, donde N denota la clase de todos los grupos nilpotentes finitos y X esuna formación local cualquiera.

1 Introducción

El estudio de los grupos finitos solubles ha ocupado un lugar preponderante en elavance de esta parte del álgebra. Uno de los temas más investigado es el de las clasesde grupos y esto ha permitido la generalización de resultados importantes como losteoremas de Sylow y la factorización de grupos, entre otros, [1], [4], [6], [11], [13].

En este capítulo nos ocuparemos de presentar algunos resultados conocidos sobreclases de grupos finitos solubles y un resultado reciente sobre la relación de contenidofuerte entre formaciones localmente definidas o saturadas, ver Teorema 6.8. Caberesaltar que el Teorema 6.8 es un resultado novedoso y se presenta por primera veza través de este capítulo. La notación usada en este capítulo es la estándar, paraello puede consultarse [1] o [4].

En el universo soluble, los conceptos de formación localmente definida y for-mación saturada son equivalentes. Este hecho fué demostrado por U. Lubeseder,bajo la orientación de W. Gaschütz, [7]. Posteriormente P. Schmid demostró que lacondición de solubilidad en los grupos no era necesaria [12].

Este capítulo está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 introduci-remos los conceptos de grupos solubles, supersolubles y nilpotentes. En la sección3 introduciremos los conceptos de clases de grupos, el producto de clases de grupos


84 Ismael Gutiérrez García, Anselmo Torresblanca Badillo

y operadores clausura. Mostraremos que el producto de clases de grupo no siem-pre es asociativo y conmutativo y probaremos además las condiciones necesariaspara que el producto de clases de grupos sea asociativo. Tambíen en esta secciónenumeramos los distintos operadores clausura que utilizaremos con más frecuen-cia a lo largo del capítulo. En la sección 4 inicialmente daremos los conceptos deformación, formación saturada, subgrupo X-máximo, X-proyector, y X-residuo deun grupo. Al final de esta sección se definen los conceptos de formación productode clases de grupos, función formación, formación local y definición canónica local.En la sección 5 introduciremos el concepto de contenido fuerte entre formacionessaturadas y mostraremos que este concepto define un orden parcial sobre la clasede las formaciones saturadas. Posteriormente mostraremos algunos resultados queserán cruciales para la sección siguiente. En la sección 6 intoduciremos una varia-ción del concepto de contenido fuerte la cual llamaremos G-contenido fuerte entreformaciones locales y la denotaremos ⌧G.

El contenido fuerte entre formaciones localmente definidas fue introducido por E.Cline [2]. Este trabajo fue extendido por P. D’Arcy [3] y posteriormente se introdujouna variación del concepto por I. Gutiérrez en [8] y [9]. Uno de los resultadoscentrales de este capítulo y que trataremos en la sección 6, consiste en determinarla formación local H que contiene G-fuertemente a la formación F = NX, donde N

es la clase de todos los grupos nilpotentes finitos y X es cualquier formación local.

2 Grupos solubles, supersolubles y nilpotentes

Definición 2.1. Sean G un grupo, M ✓ G y U G.

(a) Una cadena o una serie C de G es cualquier sucesión finita de subgrupos deG, totalmente ordenada por inclusión, cuyo primer elemento es h1i y cuyoelemento final es G. Esto es

(C) h1i = U0 ✓ U1 ✓ . . . ✓ Un = G.

h1i denota un grupo trivial multiplicativo con un sólo elemento.

(b) La cadena C se denomina subnormal si para todo i 2 {0, . . . , n�1} se verificaque Ui EUi+1. Si además para todo i 2 {0, . . . , n� 1} se verifica que Ui EG,entonces decimos que C es una cadena normal de G y los grupos cocientesUi/Ui+1 se denominan factores de la serie.

(c) Si en la serie normal anterior, cada grupo cociente Ui/Ui+1 está contenido enZ(G/Ui+1), la serie se llama central. Cada factor de la serie se llama central.


Una variación del contenido fuerte entre formaciones localmente definidas 85

(d) Una cadena normal de G, digamos (C), se denomina una serie principalde G, si para todo i 2 {1, . . . , n � 1} se verifica que Ui+1/Ui es un subgruponormal mínimo de G/Ui. Los grupos cocientes Ui+1/Ui se denominan factoresprincipales de G. Se dice que un factor principal H/K de G es central enG, si H/K Z(G/K).

Definición 2.2. Sean G un grupo, ⇡ ✓ P y ⇡0 = P \ ⇡.

(a) Diremos que G es un ⇡-grupo si y solo si �(G) ✓ ⇡, donde �(G) denota elconjunto de todos los divisores primos de |G|.

(b) Definimos el subgrupo O⇡(G) de la siguiente manera:

O⇡(G) := hN | N EG, N es un ⇡-grupoi.

(c) G se llama ⇡-soluble si se verifican:

(S1) Cada factor principal de G o es un ⇡-grupo o un ⇡0-grupo, y(S2) Los ⇡-factores principales de G son abelianos.

(d) Llamamos a H G un ⇡-subgrupo de Hall de G si todos los divisores primosde |H| pertenecen a ⇡ y los divisores primos de [G : H] pertenecen a ⇡0. Elconjunto de los ⇡-subgrupos de Hall de G se notará con Hall⇡(G).

Definición 2.3. Un grupo finito G es soluble si y solo si G es ⇡-soluble para ⇡ = P.Es decir, cada factor principal de G es abeliano.

Ejemplo 2.4. (a) Todo grupo abeliano es soluble.

(b) Los grupos simétricos Sym(3) y Sym(4), y los grupos alternantes Alt(3) yAlt(4), son solubles. Para verificarlo basta exhibir las series normales

h1i Alt(3) Sym(3)

h1i h(12)(34), (13)(24)i Alt(4) Sym(4),

cuyos factores son abelianos.

(c) Para n � 5 los grupos Sym(n) y Alt(n) no son solubles.

(d) Si p 2 P, entonces todo p-grupo finito es soluble.

Teorema 2.5 ([5] (5.1.2)). El producto de dos subgrupos solubles normales de ungrupo es soluble.



Definición 2.6. Un grupo finito G se denomina supersoluble si admite una serienormal, digamos

h1i = U0 ✓ U1 ✓ . . . ✓ Un = G.

donde cada factor Ui+1/Ui es un grupo cíclico.

Ejemplo 2.7. (a) Todo grupo abeliano es supersoluble.

(b) Para el 4-grupo de Klein V4 = {1, g, h, k} se tiene la serie normal

h1iE hgiE V4

con factores cíclicos.

(c) Del Ejemplo 2.4 tenemos que el grupo Sym(4) es soluble, sin embargo no essupersoluble. En efecto, el grupo h(12)(34), (13)(24)i no es cíclico. En formasimilar se tiene que el grupo Alt(4) no es supersoluble.

Teorema 2.8 ([10] (10.5.1), [5] (9.4.5)). Sea G es un grupo finito, U G y N EG.

(a) Si G es supersoluble, entonces U y G/N son supersolubles.

(b) Si G/�(G) es supersoluble, entonces G es supersoluble, donde �(G) denota elgrupo de Frattini de G.

Teorema 2.9 ([4] VII (2,2)). Sea G un grupo finito soluble. Entonces cualquierade las dos siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) G es un grupo supersoluble.

(b) Todos los factores principales de G son cíclicos.

(c) Todo subgrupo máximo de G tiene índice primo.

Definición 2.10. Un grupo finito G se denomina nilpotente si admite una seriecentral

(C) h1i = U0 ✓ U1 ✓ · · · ✓ Un = G.

Ejemplo 2.11. (a) Todo grupo abeliano es nilpotente.

(b) Si p 2 P, entonces todo p-grupo finito es nilpotente.

(c) Dado que el centro de Sym(3) es trivial, se tiene que Sym(3) no es un gruponilpotente.

(d) El grupo Sym(4) no es nilpotente.



3 Clases de grupos y operadores clausura

Asumiremos que el lector está familiarizado con la notación y terminología de lateoría de grupos finitos. Asumiremos además que todos los grupos considerados eneste capítulo son finitos y solubles.

Definición 3.1. Una clase de grupos X es una clase que satisface las siguientespropiedades:

(a) X contiene un grupo de orden 1.

(b) Si G 2 X, entonces cualquier grupo isomorfo a G pertenece a X.

Si G es un grupo, denotaremos por (G) la clase formada por todos los gruposisomorfos a G. Es decir

(G) = (H | H es un grupo y H ⇠= G).

Sean X y D dos clases de grupos. Si G 2 X diremos que G es un X-grupo y si X ✓ D

diremos que X es una subclase de D.En la siguiente lista se presentan las clases de grupos que más se citarán a lo

largo del capítulo.

; la clase vacía de grupos;A la clase de todos los grupos abelianos;N la clase de todos los grupos nilpotentes;U la clase de todos los grupos supersolubles;S la clase de todos los grupos solubles;Sp la clase de todos los p-grupos, con p 2 P;S⇡ la clase de todos los ⇡-grupos, con ⇡ ✓ P;C la clase de todos los grupos cíclicos;E la clase de todos los grupos finitos;J la clase de todos los grupos simples;

Las siguientes contenciones son inmediatas:

C ✓ A ✓ N ✓ U ✓ S.

Si X es una clase de grupos y ⇡ ✓ P, denotaremos por X⇡ la clase de todoslos grupos en X cuyos órdenes involucran solamente primos en ⇡. Si ⇡ = {p},escribiremos Xp en lugar de X{p}. Por lo tanto se tiene en particular que Ep = Sp esla clase de todos los p-grupos, y Sp0 es la clase de los grupos solubles cuyos órdenesinvolucran solamente primos que pertenecen a P \ {p}.



Definición 3.2. Si X y D son dos clases de grupos, definimos el producto XD dela siguiente manera:

G 2 XD () 9N EG tal que N 2 X y G/N 2 D.

Los siguientes dos ejemplos muestran que el producto de clases de grupos nosiempre es conmutativo y asociativo respectivamente.

Observación 3.3. Consideremos las clases de grupos S2 y S3 y el grupo Sym(3).Tenemos que Sym(3) posee un subgrupo normal de orden 3 pero no posee subgruposnormales de orden 2. Por lo tanto tenemos que Sym(3) 2 S3S2 y Sym(3) 62 S2S3.Luego tenemos que S3S2 6= S2S3.

Observación 3.4. Sea G = Alt(4). Entonces tenemos que el grupo cuatro de Klein

V4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}

es el único subgrupo normal propio de G. Si H = h(12)(34)i, entonces H es unsubgrupo de V4, el cual es cíclico y además |H| = 2, por lo tanto H 2 C. Además|V4/H| = 2 por lo que V4/H 2 C. Esto trae como consecuencia que V4 2 CC. Dadoque |G/V4| = 3, se tiene que G/V4 2 C, por lo tanto, ya que V4 2 CC se verifica queG 2 (CC)C.

Por otra parte, supongamos que G 2 C(CC), puesto que h1i E G es el únicosubgrupo normal y cíclico de G, por definición G 2 C(CC) si y sólo si h1i 2 C yG/h1i 2 CC, lo cual implica que G 2 CC, y similarmente, esto implica que G 2 C,lo cual no es posible. En consecuencia (CC)C 6= C(CC).

Definición 3.5. (a) Una función de clases c, es una función que envía clases degrupos en clases de grupos. c es llamada operador clausura, si para cuales-quiera X y D clases de grupos, se cumplen las siguientes condiciones:

(OC1) X ✓ cX (c es expansiva).(OC2) cX = c(cX) (c es idempotente).(OC3) Si X ✓ D, entonces cX ✓ cD (c es monótona).

(b) Una clase de grupos X se llama c-cerrada si X = cX. Es claro que si c es unoperador clausura, de (OC2) se tiene que cD es c-cerrado para cualquier clasede grupo D. La clase vacía de grupos ; es c-cerrada para cualquier operadorclausura c.

(c) El producto AB de dos funciones de clases se define por composición así

AB(X) = A(BX), para toda clase de grupos X.



Sean G y H dos grupos tales que G ✓ H. En lo sucesivo , GE EH indica queG es un subgrupo subnormal de H.

La siguiente lista contiene algunos de los operadores clausura de uso más fre-cuente. Para una clase de grupos X definimos:

sX = (G | G H para algún H 2 X);

QX = (G | 9 H 2 X y un epimorfismo ' : H ! G);

snX = (G | GEEH para algún H 2 X);

RoX = (G | 9 Ni EG, i = 1, ..., r con G/Ni 2 X yr\

i=1

Ni = h1i);

NoX = (G | 9 Ki EEG i = 1, ..., r con Ki 2 X y G = hK1, ...,Kri);E�X = (G | 9 N EG con N �(G) y G/N 2 X).

Observación 3.6. Sean X una clase de grupos y G un grupo.

(a) Si la clase X es s-cerrada, entonces, siempre que G 2 X y N G, se cumpleque N 2 X.

(b) Si la clase X es Q-cerrada, entonces, siempre que G 2 X y N EG, se cumpleque G/N 2 X.

(c) Si la clase X es sn-cerrada, entonces, siempre que G 2 X y N EEG, se cumpleque N 2 X.

(d) Si la clase X es Ro-cerrada, entonces, siempre que N1, N2 EG con G/Ni 2 X

para i = 1, 2 y N1 \N2 = h1i, se cumple que G 2 X.

(e) Si la clase X es No-cerrada, entonces, siempre que N1, N2 E G y N1, N2 2 X

con G = N1N2, se cumple que G 2 X.

(f) Si la clase X es E�-cerrada, entonces, siempre que G/�(G) 2 X, se cumpleque G 2 X.

Lema 3.7 ([4], II, 1.6). Los operadores definidos anteriormente son operadoresclausura.

Ejemplo 3.8. La clase S de los grupos solubles es Q-cerrada. Dado que Q esexpansiva se sigue inmediatamente que S ✓ QS. Sea G 2 QS, entonces existeH 2 S y un epimorfismo ' : H �! G.

Sea N = ker(')EH, como H es soluble se tiene que N y H/N también lo son.Por el primer teorema de isomorfismo para grupos se cumple que H/N ⇠= G. Asíque G 2 S. Luego se tiene que QS ✓ S y en consecuencia QS = S.



Lema 3.9 ([4], II, 1.10). Si X, D y B son clases de grupos, entonces cada una delas siguientes dos condiciones son suficientes para asegurar que X(DB) = (XD)B.

(a) X = NoX y D = QD.

(b) X = snX y D = RoD.

Definición 3.10. Sean A y B operadores clausura, diremos que A está contenidoen B, que denotaremos con A B, si AX ✓ BX, para toda clase de grupos X.

Ejemplo 3.11. Consideremos los operadores clausura sn y s. Mostremos que sn s.Sean X una clase de grupos cualquiera y G 2 snX. Entonces por definición deloperador sn se tiene que existe H 2 X tal que GEEH. Luego por la definición degrupo subnormal y del operador clausura s se tiene que G H, y entonces G 2 sX.Dado que G fue arbitrario se tiene que snX ✓ sX y en consecuencia sn s.

4 Formaciones saturadas o localmente definidas

Definición 4.1. Una clase de grupos F es llamada formación, si es Q-cerrada yRo-cerrada. Si además F es E�-cerrada, se denomina una formación saturada.

Ejemplos de formaciones son C, A, N, U y S.

Ejemplo 4.2. La clase S es una formación saturada.

Demostración. En el Ejemplo 3.8 se probó que la clase de grupos S es Q-cerrada.Sea G 2 R0S arbitrario, entonces existen N1, . . . , Nr E G con Tr

i=1Ni = h1i talesque G/Ni 2 S, y en consecuencia

G ⇠= G/h1i ⇠= G/r\

i=1

Ni 2 S.

Es inmediato que S ✓ R0S, por lo tanto, la clase de grupos S es R0-cerrada. Todolo anterior demuestra que S es una formación.

Mostremos ahora que S es E�-cerrada. Sea G 2 E�S arbitrario, entonces existeN EG con N �(G) tal que G/N 2 S, y dado que �(G) es nilpotente, se cumpleque N 2 S. En consecuencia G 2 S. Por otra parte, es claro que S ✓ E�S. Lasdos contenencias anteriores demuestran que E�S ✓ S.

Proposición 4.3. Sea X una clase de grupos. Son equivalentes:

(1) R0X = X.



(2) Si N1, N2 EG con N1 \N2 = 1 y G/Ni 2 X para i = 1, 2, entonces G 2 X.

Demostración. (1) ) (2). Se sigue de la definición de R0X.(2) ) (1). Supongamos que (2) es válido y que X 6= R0X. Dado que X ⇢ R0X se

tiene que R0X \ X 6= ;.Sea A 2 R0X \ X con orden mínimo. Entonces existen K1, . . . ,Kr E A conT

r

i=1Ki = h1i tales que A/Ki 2 X, para i = 1, . . . , r. Sin perdida de generalidadsupongamos que para todo subconjunto propio L de {K1, . . . ,Kr} se verifica queT

K2LK 6= h1i. Si r = 1, entonces se tendría K1 = h1i y por lo tanto A 2 X, lo cuales una contradicción. Por lo tanto r > 1

Los subgrupos N1 :=Tr�1

i=1 Ki y N2 :=T

r

i=2Ki son subgrupos normales notriviales de A tal que

(N1 \N2) r\

i=1

Ki = h1i.

Dado que(A/N1)/(Ki/N1)

⇠= A/Ki 2 X, para i = 1, . . . , r � 1,

yr�1\

i=1

(Ki/N1) = N1/N1,

se sigue que A/N1 2 R0X y además A/N1 2 X por la elección de A.Similarmente se demuestra que A/N2 2 X. Entonces por (2) se tiene que A 2 X,

lo cual es una contradicción. Esto demuestra que R0X = X .

Proposición 4.4. Sea X una clase de grupos. Son equivalentes:

(1) Q(X) = X.

(2) Si G 2 X y N EG entonces G/N 2 X.

Demostración. (1) ) (2). Sea G 2 X y N E G. Entonces tomando el epimorfismocanónico ' : G �! G/N se tiene que G/N 2 QX = X.

(2) ) (1). Es inmediato que X ✓ Q(X). Sea H 2 Q(X) cualquiera. Entoncesexiste M 2 X y un epimorfismo : M �! H. Si tomemos S := ker( ) EM setiene que M/S 2 X.

Por otra parte, por el primer Teorema de isomorfismo para grupos se verificaque H ⇠= M/S. Por lo tanto, H 2 X y así Q(X) ✓ X.

Observación 4.5. Teniendo en cuenta las Proposiciones 4.3 y 4.4 se puede definiruna formación como una clase de grupos F que satisface las siguientes propiedades:



(F1) Si G 2 F y N EG, entonces G/N 2 F.

(F2) Si N1, N2 EG con N1 \N2 = h1i y G/Ni 2 F para i = 1, 2, entonces G 2 F.

Proposición 4.6. Sea F una formación. Entonces, F es saturada si y sólo si,siempre que G/�(G) 2 F se cumple que G 2 F.

Demostración. Supongamos que F es una formación saturada. Sea G un grupocualquiera tal que G/�(G) 2 F. Entonces, teniendo en cuenta que �(G) E G,�(G)E �(G) y G/�(G) 2 F, se cumple que G 2 E�F = F.

Recíprocamente, sea G un grupo y supongamos que de G/�(G) 2 F se siguesiempre que G 2 F. Dado que F ✓ E�F, sólo restaría probar que E�F ✓ F.

Si H 2 E�F, entonces existe N E H con N E �(H) tal que H/N 2 F. Como�(H)EH, se tiene que �(H)/N EH/N . Por lo tanto

H/�(H) ⇠= (H/N)/(�(H)/N) 2 F

y así H 2 F.

Definición 4.7. Sea X una clase de grupos. Un subgrupo U de un grupo G esllamado X-máximo en G, si se verifican:

(a) U 2 X

(b) Si U V G y V 2 X, entonces U = V .

Ejemplo 4.8. Sean ⇡ ✓ P, X = S⇡, la clase de los grupos ⇡-solubles y G un gruposoluble. Sea además H 2 Hall⇡G cualquiera. Entonces H G y �(H) ✓ ⇡. Enconsecuencia H 2 X.

Supongamos que existe F 2 X tal que se cumple H F < G. Entonces, dadoque cualesquiera dos ⇡-subgrupo de Hall de G son conjugados, se tiene que H ⇠= F ,es decir H = F . Por lo tanto H es X-máximo en G.

Entonces, si X = S⇡, se verifica que los subgrupos S⇡- máximos de un gruposoluble G son sus ⇡-subgrupos de Hall. Más aún, si H es un ⇡-subgrupo de Hall deG y K EG, entonces HK/K es un ⇡-subgrupo de Hall de G/K.

Definición 4.9. Sea X una clase de grupos. Un subgrupo U de un grupo G esllamado un X-proyector de G si

UK/K es X-máximo en G/K para todo K EG.

Usaremos el símbolo ProjX(G) para denotar el conjunto (probablemente vacío) detodos los X-proyectores de G.



Ejemplo 4.10. (a) Sea G un grupo finito soluble. Es inmediato que

ProjS⇡(G) = Hall⇡(G) 6= ;

En particular ProjSp(G) = Sylp(G), donde Sylp(G) es el conjunto de los

p�subgrupos de Sylow de G.

(b) Sean G un p-grupo no abeliano y A la clase de los grupos abelianos finitos.Entonces ProjA(G) = ;. Veamos:Sea G un grupo tal que |G| = pa, con a 2 N y 2 < a. Supongamos queU 2 ProjA(G). Entonces U es abeliano. Si U = G, entonces se contradice lahipótesis que G es no abeliano, así que podemos suponer que U < G.

Sea G0= [G,G]EG. Como G/G0 es abeliano, se tiene entonces que G/G0 2 A

y además UG0/G0 es A-máximo en G/G0, consecuentemente UG0/G0 G/G0,y por lo tanto UG0 G. Dado que U es un A-proyector de G, se tiene que Ues A-máximo en G, así que como U UG0 se concluye que G = UG0.

Sea MlG arbitrario, esto es, M es un subgrupo máximo de G. Entonces dadoque G es nilpotente se tiene que M E G, y como cada factor principal H/Kde G cumple que H/K Z(G/K), se tiene entonces que G/M es abeliano,luego para cada x, y 2 G se satisface que

x�1My�1M = y�1Mx�1M , x�1y�1M = y�1x�1M

, xyx�1y�1M = M

, xyx�1y�1 2 M,

por lo tanto como M fue arbitrario se tiene que G0 �(G).

Por otra parte, existe SlG tal que U S. Además, se tiene que G0 �(G) S por lo cual se cumple que G = G0U S, lo cual es una contradicción. Porlo tanto se tiene que ProjA(G) = ;.

Teorema 4.11. Sean X = QX una clase de grupos y G un grupo finito. Si U 2ProjX(G) y N EG, entonces UN/N 2 ProjX(G/N).

Demostración. Dado que U 2 ProjX(G), se tiene que UM/M es X-máximo en G/Mpara todo M EG. Además es inmediato que UN/N 2 X.

Sea L/N EG/N cualquiera. Entonces LEG y así UL/L es X-máximo en G/L.Usando un Teorema de isomorfismo tenemos

[(UN/N)(L/N)]/(L/N) = (UL/N)/(L/N) ⇠= UL/L



y(G/N)/(L/N) ⇠= G/L.

Por lo tanto UN/N es un X-proyector de G/N .

Definición 4.12. Sea X una clase de grupos no vacía y G un grupo. Definimos ydenotamos el X-residuo de G de la siguiente manera:

GX:=

\{H EG | G/H 2 X}.

Consecuentemente GX= h1i, si y sólo si G 2 X.

Ejemplo 4.13. El residual abeliano GA de un grupo G está dado por su subgrupoderivado, el cual denotaremos por G0. Para demostrarlo, sea N EG cualquiera talque G/N 2 A. Entonces

G/N es abeliano , (aN)(bN) = (bN)(aN) 8a, b 2 G

, aba�1b�1N = N 8a, b 2 G

, [a, b] 2 N 8a, b 2 G

, G0 N 8a, b 2 G.

Dado que N fue arbitrario se sigue que G0 ✓ GA. Recíprocamente, dado que G0EGy que G/G0 es un grupo abeliano, se sigue que GA ✓ G0. Por lo tanto GA

= G0.

Definición 4.14. Sean X una clase de grupos y F una formación. Definimos

X � F := (G : GF 2 X),

y llamaremos X � F la formación producto de X con F.

Ejemplo 4.15. Supongamos que X = (1) y F = S. Si G 2 S entonces GF 2 X.Por lo tanto, para cualquier grupo soluble G, se tiene que G 2 X �S.

Lema 4.16 ([4], II, 2.7). Sea F una formación. Entonces\

p2PEp0SpF = NF.

Definición 4.17. Una función f que a cada número primo p asigna una formaciónf(p) se llama función formación. Si f es una función formación, entonces un factorprincipal H/K de un grupo G se llama f -central si, G/CG(H/K) 2 f(p), para todonúmero primo p que divide a |H/K|. El soporte de la función formación f se denotay define como

Supp(f) := {p 2 P : f(p) 6= ;}.



Ejemplo 4.18. Sea f : P ! {Formaciones} una función definida por

f(p) = S.

Tenemos entonces que f es una función formación. Ahora, dado G 2 S cualquiera,se tiene que dado un factor principal H/K de G se cumple que

G/CG(H/K) 2 S = f(p)

para todo p que divide a |H/K|. Así que cualquier factor principal H/K de G esf -central. Es inmediato que

Supp(f) = P.

Definición 4.19. Dada la función formación f , definiremos y denotaremos por

LF (f) := (G | todo factor principal de G es f -central).

Diremos que la formación F es local o que está definida localmente por f , si F =

LF (f).

En el siguiente ejemplo presentamos la función formación que define localmentela clase de los grupos nilpotentes.

Ejemplo 4.20. Si definimos f(p) = (1), para todo p 2 P, entonces LF (f) = N.

Demostración. Sea G 2 N. Entonces todo factor principal H/K de G es central. Esdecir H/K Z(G/K). Luego, dado cualquier factor principal H/K de G y p 2 Pcon p | |H/K| se tiene

CG(H/K) = {g 2 G | hgK = hK 8h 2 H}= {g 2 G | hKg�1K = g�1KhK 8h 2 H}= {g 2 G | hKg�1K = hKg�1K 8h 2 H}= {g 2 G | hg�1K = hg�1K 8h 2 H}= G

Recíprocamente, sea G 2 LF (f) y H/K un factor principal de G. Entonces

G/CG(H/K) 2 f(p) = (1) 8p | |H/K|.

Así que G = CG(H/K), en consecuencia H/K Z(G/K). Por lo tanto G 2 N.

Definición 4.21. Si F es una formación local, definimos su característica, denotadaChar(F), como el conjunto de números primos p para los cuales se verifica que elgrupo cíclico de órden p, digamos Cp pertenece a F.



Sea p un número primo y A(p � 1) := A \ E(p � 1), la formación de todos losgrupos abelianos finitos cuyos exponentes dividen a p� 1. Es un ejercicio mostrarque la formación de los grupos finitos supersolubles U está definida localmente porla función formación f definida por

f(p) = A(p� 1), para todo p 2 P.

Ejemplo 4.22. Sea F una formación, y sea f(p) = F para todo p 2 P. Entoncesdel Lema 4.16 se tiene que

LF (f) =\

p2PEp0SpF = NF.

Definición 4.23. Sea F una formación.

(a) Si F está definida localmente por f y además para todo p 2 P se cumple quef(p) ✓ F entonces diremos que F se define local e inclusiva mediante f .

(b) Si Sp denota la clase de los p-grupos finitos y se cumple que Spf(p) = f(p)para todo primo p, entonces se dice que f es completa y diremos que ladefinicón local de F es completa.

(c) Una función formación F es llamada definición canónica local para F si esinclusiva y completa. En éste caso usaremos la notación F = LF (F ).

Observación 4.24. Cada formación local F = LF (f) puede definir una funciónformación inclusiva y completa g dada por

g(p) = F \Spf(p), para todo p 2 P,

y es claro que como f es una función formación, entonces g también lo es.

Teorema 4.25 ([4], IV (3,7)). Sea F = LF (f), y definamos una función formación

F : P �! {Clases de grupos}

como sigue:

F (p) =

(Q(G 2 F : Op0(G) = h1i) para p 2 Char(F)

; para p /2 Char(F).

Entonces F es la única función formación inclusiva y completa tal que F = LF (F ).

Teorema 4.26 ([4], IV (4,6)). (Gaschütz - Lubeseder - Schmid). Una formaciónde grupos finitos es saturada si y sólo si ésta es local.



Proposición 4.27. Sea F = LF (F ) donde F es una definición canónica local deF, y sea f una función formación. Si F = LF (f), entonces

F (p) = Spf(p) \ F = Sp(f(p) \ F), para todo p 2 P.

Demostración. Dado que la función formación definida en la Observación 4.24 esinclusiva y completa, se deduce de la unicidad de F en el Teorema 4.25 que F (p) =Spf(p) \ F, así que, F (p) ✓ Spf(p) y F (p) ✓ F.

Luego, dado G 2 F (p) se tiene que existe NEG con N 2 Sp tal que G/N 2 f(p),pero F (p) ✓ F y F es una formación, así que G 2 F y en consecuencia G/N 2 F.Por lo tanto, dado G 2 F (p) existe N EG con N 2 Sp tal que G/N 2 f(p)\F, asíque F (p) ✓ Sp(f(p) \ F). Es claro que f(p) \ F ✓ F (p) y de éste hecho se deduceque Sp(f(p) \ F) ✓ SpF (p) = F (p). En consecuencia, F (p) = Sp(f(p) \ F).

Teorema 4.28 ([4], IV (3,13)). Sea F = LF (F ), y sea G una formación no vacía.Asumamos que:

(i) G = LF (G) o

(ii) SpG = G para todo p /2 Char(F).

Entonces F �G = LF (H), donde

H(p) =

8>><

>>:

F (p) �G si p 2 Char(F),

G(p) si p /2 Char(F) en el caso (i),G si p /2 Char(F) en el caso (ii).

Proposición 4.29 ([4] IV (3,8)(b)). Sea F = LF (F ) donde F es una definicióncanónica local de F, y sea f una función formación. Si f(p) ✓ S y F (p) = Sp(f(p)\F) para todo p 2 P, entonces F = LF (f).

Definición 4.30. Sea F una formación saturada y H una formación. Definamos laclase (F # H) como sigue:

(F # H) := (G 2 S : ProjF(G) ✓ H).

Proposición 4.31. Sean F y H dos formaciones. Entonces (F # H) es una forma-ción.

Demostración. Sean G 2 (F # H) y N E G arbitrarios. Sin perdida de generali-dad supongamos que ProjF(G) 6= ;. Luego por definición de (F # H) se tiene queProjF(G) ✓ H. Sea H 2 ProjF(G). Entonces tenemos que H 2 H y del Teorema



4.11 se tiene que HN/N es un F-proyector de G/N . Además como H es Q-cerradase sigue que HN/N ⇠= H/(H \N) 2 H. Por lo tanto, como los F-proyector de G/Nson conjugados entre sí se tiene que cualquier F-proyector de G/N está en H, porlo tanto se cumple que G/N 2 (F # H). Luego, como G y N fueron arbitrariostenemos que (F # H) es Q-cerrado. Probemos ahora que (F # H) es Ro-cerrado.

Sean N1, N2EG 2 S tales que G/Ni 2 (F # H) (i = 1, 2) y N1 \N2 = h1i. SeaH 2 ProjF(G) arbitrario, entonces se tiene que

H/(H \Ni)⇠= HNi/Ni 2 ProjF(G/Ni) (i = 1, 2).

Por lo tanto como G/Ni 2 (F # H) (i = 1, 2) se sigue que H/(H\Ni) 2 H (i = 1, 2)y en consecuencia como H es una formación se cumple que H 2 RoH = H. Luego,como H fue arbitrario se tiene que G 2 (F # H). Así hemos probado que (F # H) esQ y Ro-cerrada, y por lo tanto es una formación.

Proposición 4.32. Sean F y H dos formaciones. Entonces (H # F) satisface lasiguiente propiedad:

H \ F = H \ (H # F).

Demostración.

G 2 H \ (H # F) , G 2 H ^G 2 (H # F)

, G 2 H ^ ProjH(G) ✓ F

, G 2 H ^G 2 F

, G 2 H \ F.

Teorema 4.33. Sea F = LF (F ), y para todo p 2 P sea f⇤(p) := (F # F (p)).

Entonces f⇤(p) es una definición canónica local completa para F.

Demostración. Mostremos inicialmente que f⇤(p) es una función formación. Para

todo p 2 P se tiene que (F # F (p)) es una formación, así que claramente se cumpleque f⇤

(p) es una función formación. Probemos ahora que f⇤(p) es completa y que

F = LF (f⇤(p)). Sean p 2 P y G 2 Spf⇤

(p) arbitrarios pero fijos. Entonces existeN E G con N 2 Sp tal que G/N 2 f⇤

(p). Sea E un F-proyector de G arbitrario.Se sigue entonces que EN/N ⇠= E/(E \ N) es un F-proyector de G/N . Luego secumple que EN/N ⇠= E/(E \N) 2 F (p). Como E \N N y N es un p-grupo, setiene que E \N 2 Sp y además E \N EE, así que E 2 SpF (p) = F (p). Como Efue un F-proyector arbitrario, se concluye que G 2 f⇤

(p). Así que Spf⇤(p) ✓ f⇤

(p)y dado que f⇤

(p) ✓ Spf⇤(p) se tiene entonces que Spf⇤

(p) = f⇤(p). Por lo tanto



f⇤(p) es una función formación completa. Por otra parte, como F es inclusiva se

tiene por la Proposición 4.32 que

f⇤(p) \ F = (F # F (p)) \ F = F \ (F # F (p)) = F \ F (p) = F (p),

de lo cual se sigue que Sp(f⇤(p) \ F) = SpF (p) = F (p), luego se tiene por la

Proposición 4.29 que F = LF (f⇤(p)). Por lo tanto, como p y G fueron arbitrarios

se prueba lo deseado.

5 La relación de contenido fuerte entre formaciones lo-cales

Definición 5.1. Sean F y H dos formaciones saturadas. Diremos que F está con-tenido fuertemente en H, denotado F ⌧ H, si, para cada grupo soluble G, todoF-proyector de G está contenido (como subgrupo) en un H-proyector de G.

Ejemplo 5.2. Sean ⇡ y ⌧ ✓ P tales que ⇡ ✓ ⌧ , y G un grupo soluble cualquiera.Sea H 2 ProjS⇡

(G) arbitrario. Como ⇡ ✓ ⌧ , tenemos que existe H00 2 Hall⌧ (G)

tal que H H00 . Dado que todo ⌧ -subgrupo de Hall de G es un ⌧ -proyector de G,

se tiene que H00 2 Proj⌧ (G). Por lo tanto, como H y G fueron arbitrarios tenemos

que S⇡ ⌧ S⌧ .

Observación 5.3. Se verifica que ⌧ define un orden parcial sobre la clase S de lasformaciones saturadas. En efecto,

(a) Para todo F 2 S es inmediato que F ⌧ F. Así que ⌧ es reflexiva.

(b) Sean F,H 2 S tales que F ⌧ H y H ⌧ F.Sea H G, con H un F-proyector de G. Entonces existe M G con M unH-proyector de G tal que H M . Para éste M , existe N G tal que N es unF-proyector y M N . Sea K EG arbitrario, entonces tenemos que HK/K yNK/K son F-máximos en G/K con HK/K NK/K. En consecuencia porla definición de F-máximo se tiene que H = N y dado que H M N seconcluye que H = M = N . Por lo tanto, como H 2 ProjH(G) fue arbitrario,tenemos que ProjF(G) ✓ ProjH(G). La prueba que ProjH(G) ✓ ProjF(G)

es similar. En consecuencia ProjF(G) = ProjH(G). Luego considerando laigualdad anterior se tiene lo siguiente:

G 2 F , G 2 ProjF(G)

, G 2 ProjH(G)

, G 2 H.



Con lo cual queda probado que F = H.

(c) Sean F1,F2,F3 2 S tales que F1 ⌧ F2 y F2 ⌧ F3. Entonces es inmediato dela transitividad entre subgrupos finitos que F1 ⌧ F3.

Observación 5.4. Para las clases de grupos N y U se tiene que N no está contenidafuertemente en U a pesar que N ⇢ U. Analicemos el siguiente contraejemplo: Elgrupo Sym(4) es soluble, ya que posee la serie normal

{1} V4 =< (12)(34), (13)(24) > Alt(4) Sym(4)

cuyos factores son abelianos. Se tiene además que Sym(4) no es supersoluble yaque el factor V4/{1} ⇠= V4 no es cíclico, en forma similar se tiene que Alt(4) no essupersoluble. Dado que todo grupo nilpotente es supersoluble, se tiene que Alt(4)

y Sym(4) no son nilpotentes.El grupo diedrico de orden 8, denotado con D4, es un N-proyector de Sym(4).

Si D4 fuese un U-proyector de Sym(4) se tendría que |Sym(4)/D4| /2 P lo cual escontradictorio. Los U-proyectores de Sym(4) son isomorfos a Sym(3). Así que noes posible que un N-proyector de Sym(4) esté contenido como subgrupos en algúnU-proyector de Sym(4), con lo cual se prueba que la clase de grupos N no estacontenida fuertemente en la clase de grupos U.

Lema 5.5 ([3], II (2,2)). Sean F = LF (F ) y H = LF (H⇤), donde F y H⇤ son las

definiciones canónicas locales de F y H respectivamente. Entonces F ⌧ H si y sólosi para cada H 2 H un F-proyector E de H satisface

HH⇤(p) EF (p),

para cada p 2 Char(F).

Lema 5.6 ([4], VII (5,3)). Sea LF (F ) = F ⌧ H = LF (H⇤) con F y H⇤ definiciones

canónicas locales de F y H respectivamente. Sea ⇡ ✓ P, si X es una formacióntal que F (p) = SpX para todo p 2 ⇡, entonces existe una formación D tal queH⇤

(p) = SpD para todo p 2 ⇡.

Teorema 5.7. Sean F y H formaciones saturadas con F ⌧ H. Si F = NX paraalguna formación X, entonces H tiene la forma H = ND para alguna formación D.

Demostración. Sean F y H⇤ las definiciones canónicas locales de F y H respecti-vamente, cuyas existencias están garantizadas por los Teoremas 4.25 y 4.26. SeaF = NX para alguna formación X. Si definimos la función formación f(p) = X para



todo primo p, se tiene por el Ejemplo 4.22 que LF (f) = NX = F. Luego por laProposición 4.27 se cumple que

F (p) = Spf(p) \ F = SpX \NX = Sp(X \NX) = SpX

para todo p 2 P. Por el Lema 5.6 existe una formación D tal que H⇤(p) = SpD para

todo primo p. Como H⇤ es una función formación completa se tiene que H⇤(p) =

SpH⇤(p) para todo p 2 P, en consecuencia se cumple que SpD = SpH⇤

(p) paratodo p 2 P, lo cual implica que H⇤

(p) = D para todo primo p. Luego por el Ejemplo4.22 se tiene que LF (H⇤

) = H = ND.

Lema 5.8 ([4], IV (5,20)). Sea F la definición canónica local de una formaciónsaturada F = LF (F ), y sea ⇡ ✓ Char(F) un conjunto de primos. Cualquiera de lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) S⇡ ⌧ F (esto es, en cada grupo G los F-proyectores tienen índice ⇡0);

(b) F (q) ✓ F (p) para todo p 2 ⇡ y todo q 2 P;

(c) F (p) = F para todo p 2 ⇡;

(d) f⇤(p) = S para todo p 2 ⇡;

(e) S⇡F = F.

6 Una variación del contenido fuerte entre formacioneslocales

Definición 6.1. Sean F y H = LF (H⇤) dos formaciones saturadas con H⇤ una

definición canónica local de H y sea Char(F) ✓ Char(H). Diremos que F está conte-nido G-fuertemente en H, que denotaremos F ⌧G H, si para cada elemento H 2 H

un F-proyector E de H satisface que HH⇤(p) E para cada p 2 Char(F).

Observación 6.2. Sean F y H = LF (H⇤) dos formaciones saturadas.

(a) Si F ⌧ H entonces se tiene por el Lema 5.5 que para cada H 2 H un F-proyector E de H satisface HH

⇤(p) EF (p) E para cada p 2 Char(F). Porlo tanto se sigue que F ⌧G H.

(b) Si H ✓ F, entonces dado H 2 H se tiene que H 2 F y por lo tanto H 2ProjF(H). Además, para todo r 2 Char(F) es claro que HH

⇤(r) H. En con-secuencia F ⌧G H. Como cualquier grupo supersoluble es soluble, se tiene que



S ⌧G U, sin embargo S no está contenido fuertemente en U, ya que por ejem-plo, Sym(4) 2 S y Sym(4) /2 U. Así que Sym(4) 2 ProjS(Sym(4)), y comoU = SU, se tiene que no existe un subgrupo H 2 U con H 2 ProjU(Sym(4))

tal que Sym(4) ✓ H.

Lema 6.3. Sea F una formación saturada con F = sF, esto es, F es cerrada bajosubgrupos. Sea H = LF (H⇤

) con H⇤ la definición canónica local de H, y supongamosque

% := Char(F) ✓ Char(H).

Si F ⌧G H, entoncesH ✓

\

r2%FH⇤

(r).

Demostración. Sea H 2 H. Entonces un F-proyector E de H satisface que HH⇤(r)

E para todo r 2 %. Por la definición de F-proyector se tiene que E 2 F = sF, luegose cumple que HH

⇤(r) 2 F para todo r 2 %. Entonces se tiene que H 2 FH⇤(r) para

todo r 2 %. Con lo cual se prueba que H ✓ Tr2% FH

⇤(r).

Lema 6.4. Sea H = LF (H⇤) con ⇡ ✓ Char(H). S⇡ ⌧G H si y sólo si H ✓T

r2⇡ S⇡H⇤(r).

Demostración. Supongamos que H ✓ Tr2⇡ S⇡H⇤

(r). Sea H 2 H, entonces porhipótesis H 2 S⇡H⇤

(r) para todo r 2 ⇡. En consecuencia para todo r 2 ⇡, existeNr E H con Nr 2 S⇡ tal que H/Nr 2 H⇤

(r). Luego, de la definición de H⇤(r)-

residuo de H (HH⇤(r)) se tiene que HH

⇤(r) Nr para todo r 2 ⇡ y en consecuenciaHH

⇤(r) es un ⇡-grupo para todo r 2 ⇡. Sea E 2 Hall⇡(H). Entonces E es un ⇡-subgrupo máximo de H, y dado que HH

⇤(r) H se cumple que HH⇤(r) E para

todo r 2 ⇡. Por lo tanto S⇡ ⌧G H. El recíproco es inmediato, se sigue del Lemaanterior.

Observación 6.5. Sea H = LF (H⇤) con ⇡ ✓ Char(H). Definamos X :=

Tr2⇡ H

⇤(r).

Entonces \

r2⇡S⇡H

⇤(r) = S⇡X.

Veamos:

(a) Es claro que X ✓ H⇤(r) para todo r 2 ⇡. Entonces S⇡X ✓ S⇡H⇤

(r) paratodo r 2 ⇡. De lo cual se sigue que S⇡X ✓ T

r2⇡ S⇡H⇤(r).

(b) Sea H 2 Tr2⇡ S⇡H⇤

(r). Entonces HH⇤(r) es un ⇡-subgrupo normal de H,

para todo r 2 ⇡, y por la definición de O⇡(H) se tiene que HH⇤(r) ✓ O⇡(H)

para todo r 2 ⇡. Por lo tanto H/O⇡(H) 2 H⇤(r) para todo r 2 ⇡, así que

H/O⇡(H) 2 X. Esto demuestrra que H 2 S⇡X.



Teorema 6.6. Sea H una formación saturada y ⇡ ✓ Char(H). S⇡ ⌧G H si y sólosi existe una formación X tal que H ✓ S⇡X.

Demostración. La prueba se sigue del Lema 6.4 y la Observación 6.5.

El siguiente teorema prueba que en el caso ⇡ = {p} los conceptos de contenidofuerte y G-contenido fuerte son equivalentes, si p pertenece a la característica de H.

Teorema 6.7. Sea H = LF (H⇤) una formación saturada con H⇤ una definición

canónica local de H y p 2 Char(H). Entonces dos cualesquiera de las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(a) Sp ⌧ H;

(b) H⇤(q) ✓ H⇤

(p) para todo q 2 P;

(c) H⇤(p) = H;

(d) h⇤(p) = S;

(e) SpH = H;

(f) Sp ⌧G H.

Demostración.

Sp ⌧G H , H ✓ SpH⇤(p) Por Lema 6.4

, H ✓ H⇤(p)

, H = H⇤(p)

, Sp ⌧ H Por Lema 5.8

El Lema 5.8 garantiza la equivalencia entre (a), (b), (c), (d) y (e).

Teorema 6.8. Sea X una formación y N la clase de los grupos nilpotentes. Si Hes una formación saturada tal que LF (H⇤

) = H ✓ X con H⇤ la definición canónicalocal de H, entonces NX ⌧G H.

Demostración. Definamos la función formación f(p) = X, para todo p 2 P. En-tonces se tiene que LF (f) = NX y además del teorema de Gaschütz - Lubesedercumple que LF (f) es una formación saturada. Como H ✓ X se sigue de formainmediata que H ✓ NX. Ahora, dado H 2 H, tenemos que H 2 NX y por lo tantoH 2 ProjNX(H). Además para todo r 2 Char(NX) se tiene que HH

⇤(r) H. Enconsecuencia NX ⌧G H.



Observación 6.9. El recíproco del Teorema anterior en general no se cumple yaque por ejemplo la clase de grupos U ✓ N

2= NN y en consecuencia NN ⌧G U

pero U " N.

Corolario 6.10. NX ⌧G (1) para cualquier formación X.

Demostración. La prueba se sigue en forma inmediata del Teorema anterior te-niendo en cuenta que la clase de grupos (1) esta contenida en cualquier formaciónX.

Bibliografía

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Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad del Norte,Km 5 vía a Puerto Colombia,Barranquilla Atlántico, [email protected]@hotmail.com




Análisis

107



Capítulo 4

Classification of the continuous translations in spaces ofweighted integrable real functions

Álvaro Hernández Cervantes1, Miguel Antonio Jiménez Pozo2,⇤

1CIMAT. 2FCFM, BUAP

Abstract

We classify the usual weights !(x), x � 1, for which the positive translationst f(x+ t) are well defined and are continuous for every f 2 L1

(!(x)dx).

Keywords: Bernstein problem, Hölder space, Plessner problem, weighted inte-gration.

1 Introduction

To state the problem we are dealing with, consider a Banach space E of functionsf defined on a topological semigroup G such as Rk, the circle T, Tk, the additivesemigroup R+ of non negative real numbers, or the multiplicative strictly positivereal numbers R⇤

+ = R+ \{0}. The translation (sometimes also called shift) operator⇤t, t 2 G, is defined by

⇤t : E �! E

f ft(x) := f(x+ t),

whenever ft 2 E.In dealing with many function spaces such as Lp, 1 p < 1, C, Lip, and so on,

a fundamental property required for developing the usual mathematic works is thecontinuity of this translation operator. However it could be not only that ft /2 E,but that kft � fkE 9 0 even in the case that ⇤t is well defined for every t 2 G anda fixed f 2 E.

Thus, a better reformulation of the problem in hands is to identify the f 2 Efor which the mapping t ⇤tf is well defined and continuous. Or equivalently,to find the largest ⇤�invariant subspace F ⇢ E on which the operator t ⇤t iscontinuous. Of course, not only F is a subspace but also closed in E as well.

⇤To whom any communication must be addressed


110 Álvaro Hernández Cervantes, Miguel Antonio Jiménez Pozo

Historically, the first remarkable paper on this subject is the one by Plessner[12] in 1929. He proved that F is the space of absolutely continuous functions whenE is the space of 2⇡�periodic functions of bounded variation that vanish at a fixedpoint, and the norm of a function is its total variation.

The Plessner paper generated a long series of different researches (Bochner [2],Hardy-Littlewood [8], Shilov [15], Mirkil [11], and others). We shall resume severalof them in section 2, to explain the connexion of Plessner problems with Hölderspaces, although the Plessner problem has its own interest in an independent way.Section 3 shows several general results on the continuity of the translation operatorsto be used in section 4, that presents the answer to the Plessner problem in L1

(!)when ! represents different weight functions on R+. To complete the informationgiven in section 2 on the problem of polynomial approximation in Hölder spaces, thereader may see the general papers [3], [4], [5] and [6]. Further it could be wishfullyto extend these results on polynomial approximation to Hölder spaces of functionson unbounded intervals where Bernstein weights appear from ([1], [9], [13], [14]).Then results of section 4 need to be applied when ! is a Bernstein weight. We shallsummarize this point at the end of the paper.

2 Hölder spaces and the Plessner problem

Many of the results quoted here for 2⇡�periodic functions can be found in Mirkil[11].

There are different ways of associating Lipschitz spaces to Lp(T), 1 p 1.

Here we follow (although not always) the tradition of using p = 1, to representthe continuous functions with sup-norm. To this aim the translation given byft(x) = f(x + t), f 2 Lp

(T), x, t 2 R is needed. Then Lipp1(T) is conformed withthe functions f 2 Lp

(T), for which

✓1(f)p = sup{kft � fkp/|t|, t 6= 0} < 1. (1)

In the case Lp([a, b]), we have a similar definition with the agreement ft(x) =

f(x), if x+ t /2 [a, b]. So let X be T or [a, b].The functional ✓1(�)p is a semi-norm. Thus Lipp1(X) is a normed space (actually

Banach) with the norm

kfkLip

p

1(X) = kfkp + ✓1(f)p. (2)

Now fix 0 < ↵ 1, a semi-norm ✓↵(f)p can be defined by (1) with the changeof |t| by |t|↵. This allows the introduction of the so called Hölder spaces Lipp↵(X),normed by (2) with ✓↵(f)p instead of ✓1(f)p. Since definitions of Lipschitz and


Classification of the continuous translations in spaces of weighted integrable realfunctions 111

Hölder norms coalesce for ↵ = 1, both names are used indistinctly to denominatethe spaces Lipp↵(X), for any ↵ > 0. Since these Banach spaces Lipp↵(X) are notseparable, one cannot approximate all their functions by polynomials. It happensthis is very closely related to the Plessner problem.

In fact, let us take X = T for simplicity. The translation

t ⇤t(f)

for each f fixed, is well defined in Lipp↵(T), 0 < ↵ 1, 1 p 1, but it is notcontinuous.

The theory was developed as follows. For any 0 < ↵ < 1, f 2 Lipp↵(T), � > 0,set

✓↵(f, �)p = sup{kft � fkp|t|↵ : 0 < |t| �}.

Of course,

✓↵(f)p = sup{✓↵(f, �)p : � > 0}.

Then for 0 < ↵ < 1, introduce the linear subspace lipp↵(T) of Lipp↵(T) conformedby the functions f 2 Lipp↵(T) such that

lim�!0

✓↵(f, �)p = 0.

If we extend this definition to ↵ = 1, we get that lipp1(T), 1 p 1, onlycontains the (a.e) constant functions. So nothing is new in this case and anotherdefinition for ↵ = 1 needs to be considered (we skip this situation). For the momentbeing define the linear spaces F p

↵ of functions f 2 Lipp↵(T), 1 p 1, 0 < ↵ 1,for which

limt!0

kft � fkLip

p

↵(T) = 0.

From Hardy and Littlewood [8], F 11 is the space of functions of bounded variation

on T, F11 = D1

1 (T) the space of differentiable functions, and for 1 < p < 1, F p

1is the space of antiderivatives of the functions in Lp

(T). In [15], Shilov proved thatfor any 1 p 1, 0 < ↵ 1, F p

↵ is exactly the closure in the norm of Lipp↵(T)of all trigonometric polynomials. Finally Mirkil [11] closed the circle of ideas byproving that for any 0 < ↵ < 1 and 1 p 1, F p

↵ = lipp↵(T). Thus for 0 < ↵ < 1,the set of trigonometric polynomials is dense in lipp↵(T).

Now suppose we are studying similar problems on X = R, or for simplicityX = R+ = {x 2 R : x � 0}. Not all the starting points assumed by Mirkil hold inthis case.



First, the non constant polynomials are not bounded on R. Then, traditionallya weight function ! on R+ such that !(x) �! 0, when x �! 1, is used to defineC!

B(R+) to be the functions f : R+ �! R (or C) continuous, such that

kfk! = supx2R+

|f(x)!(x)| < 1.

Also define C!

l(R+) as the linear subspace of f 2 C!

B(R+), for which lim

x�!+1f(x)

exists, and C!o (R+) the subspace of C!

l(R+), for which the limit is zero.

We can equally consider the function spaces Lp,!(R+), 1 p < 1, defined by

f : R+ �! R (or C) such that

kfkp,! =

ÇZ

R+

|f |p!å 1

p

< 1.

Denoting C!

B(R+) = L1,!

(R+) we unify the notation. In order to study polynomialapproximation in these spaces, one needs that they contain all polynomials p.

Any weight ! for which polynomials are dense in Lp,!(R+), 1 p 1, is

denominated a Bernstein weight for the corresponding p ([1], [9], [13], [14]).If we want to introduce a Hölder subspace in Lp,!, we need first of all to know

those Lp,!, for which the translation operator is well defined and is continuous.This situation is different to the ones considered by Mirkil [11]. In fact, when Xwas finite, the translation was well defined in all the spaces Lp

(X), 1 p 1.But the general situation is different as we show with the following example.

Suppose for simplicity of calculation that X = [x | x � 1] ⇢ R+ and !(x) =

e�x2 . Of course for any algebraic polynomial p,

kp!kL1 =

Z 1

1|p(x)|e�x

2dx < 1.

But taking f(x) = ex2

x2 , while

kf!k1,! =

Z 1

1f(x)!(x)dx =

Z 1

1

dx

x2< 1,

we observe that for t > 0,

kft!k1,! =

Z 1

1

e(x+t)2

(x+ t)2e�x

2dx �

Z 1

1

e2xt

(x+ t)2dx = 1.

Then the translation operator is not well defined in L1,e�x2

(R+).



3 Some general results on the continuity of the transla-tion operator in L1(!)

Many general results on the properties of the translation operators have been deeplystudied and are well known. For instance, in the already quoted Mirkil paper [11]and the Butzer-Berens book [6], among many others. So we shall present here onlythe general result given by theorem 3.3, that we need for the particular cases treatedin section 4.

The following results can be extended to more general topological groups andsemi-groups. Let (G, �) be one of the classical groups (Rk,+), (Tk,+) or (R⇤

+, ·), andµ the corresponding Haar measure. For any fixed t 2 G, the translation operator

⇤t : L1(G) �! L1

(G)

f ft(x) := f(x � t),

is a linear isometry. Moreover, the function

G ! L1(G) (3)

t ft

is continuous for any fixed f 2 L1(G).

This result on continuity in (3) is a consequence of the good topological pro-perties of G and the invariant translation property of the Haar measure µ. The newquestion concerns to know whether it still holds in some form for L1

(!), where ! is areal valued weight function on G. Since the question involves continuity properties,it is reasonable to suppose from the very early that ! is a continuous function.

Remember L1(!) is the Banach space of µ�measurable complex valued func-

tions f on G, such that f! 2 L1(G), with the norm

kfk! =

Z

G

|f(x)|!(x)dµ(x).

Following the integration rules we must consider that two functions f, g 2 L1(!)

are equal (in the same equivalence class) if and only if

µ[f! 6= g!] = 0. (4)

But it may be that there exist µ�measurable functions f, g : G ! C that satisfy(4), while µ[f 6= g] > 0. On the other hand, if !(x) = 0 at some x0 2 G, it is easy toconstruct f 2 L1

(!), such that ft /2 L1(!) for some t 2 G. Both of these problems

disappear as soon as we assume by hypothesis that !(x) > 0 at any x 2 G. Of



course it may occur that !(x) ! 0 as x ! 1, when G = Rk or R⇤+, for instance,

but this is only an apparent problem because 1 /2 G.Organizing ideas, first we shall restrict ourselves to the particular groups Rk,Tk

and R⇤+, and strictly positive continuous weight functions !. In this situation L1

(!)is exactly L1

(!dµ), where µ is the Lebesgue measure dx = d(x1, x2, ..., xk) whenG = Rk, dx/(2⇡)k = d(x1, x2, ..., xk)/(2⇡)k when G = Tk, or dx/x when G is themultiplicative group R⇤

+.As the considered measure !du is regular, by Luzin theorem the space CK(G)

of continuous complex valued functions on G with compact support is a densesubspace of L1

(!).

Lemma 3.1. Let u 2 CK(G), then

G ! L1(G)

t ut,

is a well defined and continuous map.

Proof. Any continuous function of compact support is uniformly continuous.

Lemma 3.2. Let u 2 CK(G), then

G ! L1(!)

t ut,

is a well defined and continuous map.

Proof. Let t0 2 G and ✏ > 0 be given. Using Lemma 1, we get any open neighbor-hood V of t0 whose closure V is compact, and such that

supt2V

kut � ut0k1 < ✏.

Let K be the compact support of u, and

K0= {x � t : x 2 K, t 2 V }.

Since K0 is compact, the bound

M = sup

x2K0|ut � ut0 |,

is finite. Then for any t 2 V,Z

G

|ut � ut0 |!dµ Mµ(K0)✏.



Theorem 3.3. Suppose for any t 2 G the linear operators

⇤t : L1(!) ! L1

(!)

f ft

are well defined and bounded. Then for each f 2 L1(!), the map

G ! L1(!)

t ft

is continuous.

Proof. Since L1(!) is a Banach space, the “uniform bound” theorem applies. Then

there exists a number M > 0 such that

supt2G

k⇤tk M.

Now let f 2 L1(!) and ✏ > 0 be given. Choose u 2 CK(G) such that

kf � uk! ✏.

Fix any t0 2 G. Using Lemma 3.2, get a neighborhood V of t0, such that

8t 2 V, kut � ut0k! < ✏.

Then for every t 2 V , we have

kft � ft0k! kft � utk! + kut � ut0k! + kut0 � ft0k! 2Mkf � uk! + kut � ut0k! (2M + 1)✏.

4 On the continuity of the translation operator for par-ticular given weights on R+

The general results of section 3 can be easily adapted for the semigroup R+. Butthe given example of the function f(x) =

e�x

2

1+x2 2 L1(e�x

2), where the positive

translation ft is not well defined in this space for any t > 0, shows it is worthwhileto classify the main weights ! for which the translation operators are well definedand continuous. This is the goal of this section.

Usually the examination of weighted spaces of functions in R can be reduced toR+ and positive parameters t for the translation. Moreover, since ft0+t = (ft0)t and



the analysis of the continuity property can be reduced to t0 = 0, we shall supposethat t 2 [0, 1], what is another convenient hypothesis.

Finally, since 0 2 R+, several weights as 1xp , p > 0, must be written as 1

1+xp . Asimplification that facilitates the calculations but does not affect the study on handis to consider X = [1,1), instead of the whole semi-axis R+.

Using the general theorem 3.3 of the last section, to find the weights ! for whichthe translation is well defined and continuous in L1

(!), we only need to prove that⇤t, is defined and uniformly bounded for t 2 [0, 1].

From now on ! 2 C(X) is a strictly positive weight. Since it is not possible toconsider all kind of weights we choose now the main ones.

Theorem 4.1. Let p a real number and !(x) = xp. Then L1(!) is translation

invariant and continuous in the parameter t for every fixed f 2 L1(!).

Proof. Let be 0 t 1 and f 2 L1(xp) fixed. Then

kftk! =

Z 1

1+t

|f(u)|(u� t)pdu kfkL1(!),

whenever p > 0.If p = 0, then L1

(!) is the classical Lebesgue space L1(X).

Now suppose p < 0. Set M > 0 such that M � (u�t

u)p, for every u � 1 + t,

0 < t 1. Then

kftk! =

Z 1

1|ft(x)|xpdx =

Z 1

1+t

|f(u)|(u� t)pdu

MZ 1

1+t

|f(u)|updu

MkfkL1(!).

Of course, the case p > 0 is not interesting enough but it was included to givea complete description of the case !(x) = xp, p real.

We need the following lemma.

Lemma 4.2. Let f 2 L1(!) and 2 < b < 1. If

Z 1

b

|ft(x)|!(x)dx < 1.

Then ft 2 L1(!).



Proof. We need to prove that

I =

Zb

1|ft(x)|!(x)dx < 1.

Since ! is continuous and strictly positive there exists a constant C, depending onb, such that !(u� t) C!(u). Thus

It =Z

b+t

1+t

|f(u)|!(u� t)du CZ 1

1|f(x)|!(x)dx = CkfkL1(!).

Suppose now !(x) = a0xm + a1xm�1+ a2xm�2

+ · · ·+ am is a strictly positivepolynomial of real variables. Then there exists b > 2 such that for every x � b,!(x) 2a0xm.

ConsequentlyZ 1

1|f(x)|!(x)dx ⇡ cte+ 2a0

Z 1

b

|f(x)|xmdx,

applying the lemma above f 2 L1(!) if and only if f 2 L1

(xm). In particularft 2 L1

(!) whenever f also belongs to this space. A similar argument can be usedin the analysis of algebraic rational weights !(x) = p(x)

q(x) .From ex�t

= ex · e�t easily follows directly the next result.

Let !(x) be the exponential weight e�x. Then ft 2 L1(e�x

) for every f 2L1

(e�x) and the mapping t ft is continuous.

Now we wish to consider other exponential weights of type e�xp .

Theorem 4.3. Let be !(x) = e�xp , 0 < p < 1.

If f 2 L1(!) and 0 < t 1, then ft 2 L1

(!) and t ft is continuous.

Proof. Suppose

kfk! =

Z 1

1|f(x)|!(x)dx =

Z 1

1|f(x)|e�x

p

dx < 1.

Fix any 0 < t 1.Z 1

1|ft(x)|e�x

p

dx =

Z 1

1|f(x+ t)| dx

exp.

Let g(x) be such that exp · g(x) = ex. Then

g(x) = ex·(1�xp�1).



Since 0 < p < 1, g(x) is an increasing and strictly positive function on X = [1,1).Thus the right hand integral above is written as

Z 1

1|f(x+ t)| dx

exp=

Z 1

1|f(x+ t)|g(x)dx

ex. (5)

Since Z 1

1|f(x)|g(x)dx

ex=

Z 1

1|f(x)| dx

exp< 1,

then f · g 2 L1(e�x

). This implies for t > 0, that (f · g)t 2 L1(e�x

), where

(f · g)t(x) = ft(x) · gt(x) = f(x+ t) · g(x+ t).

From the properties of g,

|f(x+ t)g(x+ t)| � |f(x+ t)|g(x) = |ft(x)|g(x). (6)

Using (5) and (6),Z 1

1|f(x+ t)|g(x)dx

exZ 1

1|f(x+ t)|g(x+ t)

dx

ex

=

Z 1

1|(f · g)t(x)|

dx

ex< 1.

Then ft 2 L1(!).

To complete the proof we use the monotone property of g to get that k⇤tfk!,0 < t 1 is uniformly bounded.

We already know that translation fails for the weight e�x2 . But we wish to

analyse others values of p. Suppose p > 1 and set !(x) = e�xp and f(x) =

exp

x2 .Obviously f 2 L1

(!), becauseZ 1

1|f(x)|!(x)dx =

Z 1

1

exp

x2e�x

p

dx =

Z 1

1

dx

x2< 1.

However, we shall prove that ft /2 L1(!), for any t > 0. To do that we consider

the Taylor Formula of the function g(u) = up, u � 1, p > 0;

(x+ t)p = xp + ptxp�1+

p(p� 1)

2⇠p�2t2,

where ⇠ 2 (x, x+ t). Then

(x+ t)p > xp + ptxp�1.



From this inequality follows the next one,

e(x+t)p > exp · eptxp�1

.

Now we can finish the proof of our claim,Z 1

1|ft(x)|!(x)dx =

Z 1

1

e(x+t)p

(x+ t)2dx

exp

�Z 1

1

exp · eptxp�1

(x+ t)2dx

exp

=

Z 1

1

eptxp�1

(x+ t)2dx = 1.

Main results of this section are included in the following scheme:

Weights Exponentialparameters

f 2 L1(w) ) ft 2 L1

(w)Continuity of the

translation

!(x) = xp p 2 R Yes Yes!(x) = e�x

p

0 < p 1 Yes Yes!(x) = e�x

p

1 < p No ��

Final remark. The asymptotic behaviour of a Bernstein weight in L1(!(x)dx),

x � 0, must be “close” to !(x) = e�xp , with p � 1 (see [9], for instance). But the

translation operator in L1(e�x

p

) is only well defined for p 1. This reduces anypossible extension of results in section 2 with exponential weights to the case givenby L1

(e�x).

Acknowledgment

This paper have be written under the support of the SEP-VIEP projects of BUAP,Puebla, Mexico.

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Centro de Investigación en Matemáticas, A. C.Calle Jalisco s/n, Colonia Valenciana,Guanajuato, Gto. C.P. [email protected]

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, BUAPAvenida San Claudio y 18 Sur, Colonia San Manuel,Puebla, Pue. C.P. [email protected]






Capítulo 5

Aproximación tipo Korovkin y Sistemas de Chebyshev

José Margarito Hernández Morales, José Luis Carrasco PachecoUniversidad Tecnológica de la Mixteca

Resumen

Este trabajo gira en torno a la relación entre los espacios de Chebyshev y lossubespacios de Korovkin en el espacio de funciones continuas, mencionando ydemostrando algunos de los teoremas más importantes de ambas teorías. Semuestra el desarrollo de dos teorías de aproximación diferentes. Señalamos queeste es un capítulo de divulgación cuyo principal objetivo es resaltar la relaciónexistente entre las dos teorías mencionadas.

1 Introducción

Algunas veces podemos aproximar funciones complicadas mediante una sucesiónde funciones más simples (con las cuales es más fácil de trabajar en la solución deun determinado problema) que dan una solución satisfactoria en ciertas aplicacio-nes. Hoy en día existe bastante teoría sobre tipos de aproximación de funciones,algunos de estos son: aproximación lineal, aproximación no lineal, aproximaciónuniforme, aproximación de Chebyshev, aproximación tipo Korovkin, aproximaciónde Lipschitz, aproximación con peso, aproximación sensible al signo, etc.

El matemático ruso P. L. Chebyshev, en 1854, desarrolló los conceptos que sien-tan las bases de la Teoría de Aproximación, mediante el problema: dada una funcióncontinua f, encontrar un polinomio algebraico p de grado n, tal que el máximode su desviación con respecto a f sobre un intervalo dado, sea más pequeño queel de los otros polinomios con las mismas características. En el problema mencio-nado, los sistemas de Chebyshev juegan un papel muy importante, ya que tienenuna caracterización interesante del polinomio de mejor aproximación. De hecho, unteorema clásico de Haar establece que toda función f 2 C(X) tiene un polinomiode mejor aproximación en el subespacio generado por h0, ...hn 2 C(X) y, ademáséste es único si y sólo si h0, ...hn es un sistema de Chebyshev de orden n+ 1, [5].

Por otra parte, en 1953 Korovkin (otro matemático ruso) estableció un teo-rema que con el tiempo se haría muy célebre. Por su simplicidad y al mismotiempo su poder han despertado el interés de muchos matemáticos. Se trata de


124 José Margarito Hernández Morales, José Luis Carrasco Pacheco

un criterio que permite decidir cuándo una sucesión de operadores lineales po-sitivos Kn : C([0, 1]) * C([0, 1]) converge uniformemente al operador identidadId : C([0, 1]) * C([0, 1]). Korovkin estableció que basta con verificar la conver-gencia uniforme para f 2 {1, x, x2}, este último es llamado un subconjunto deKorovkin. Después se han encontrado otros subconjuntos con las mismas propieda-des que {1, x, x2} y se les ha llamado también subconjuntos de Korovkin, mientrasque a los espacios generados por estos conjuntos se les llama subespacios de Korov-kin, [1].

En tiempos recientes se ha encontrado una relación muy interesante entre lossubespacios de Chebyshev (espacios generados por un sistema de Chebyshev) y lossubespacios de Korovkin, [1].

2 Sistemas de Chebyshev

En todo el capítulo supondremos que X es un espacio de Banach con escalaresreales o complejos, a menos que se se indique lo contrario. Sea Y un subespaciovectorial de X. Si f 2 X, el error de aproximación E(f) de f por elementos de Yse define por

E(f) := E(f, Y )X := ınfP2Y

||f � P ||.

En particular si {x1, . . . , xn} ⇢ X se tiene el subespacio generado

Y = gen{x1, . . . , xn}

y, a la combinación lineal y =P

n

i=1 �ixi se le llama polinomio de grado n. Elgrado de aproximación (o error de grado n) En de f por polinomios de Y estádado por En(f) = ınfP2Y ||f � P ||. Si existe un polinomio P0 2 Y para el cualE(f) = ||f � P0||, entonces decimos que P0 es un elemento de mejor aproximaciónde f en Y . La función error E es una función que se comporta muy bien, pues esuna función continua, más aún es sublineal.

Teorema 2.1. Si X es un espacio y E : X ! R es la función error, entonces Ees continua.

Demostración. Sean f, g 2 X fijos y p 2 Y , entonces por la desigualdad triangulary la definición de ínfimo se sigue que:

E(f) ||f � p|| ||f � g||+ ||g � p|| para toda p 2 Y, luegoE(f)� ||f � g|| ||g � p|| y aplicando ínfimo sobre toda p 2 Y se sigue que

E(f)� E(g) ||f � g|| para cualesquiera f, g 2 X.


Aproximación tipo Korovkin y Sistemas de Chebyshev 125

Como la última desigualdad es arbitraria indistintamente del orden de f y g se tiene

E(f)� E(g) ||f � g||E(g)� E(f) ||f � g||

por tanto|E(f)� E(g)| ||f � g||. (1)

Así dado ✏ > 0, tomemos 0 < � < ✏, para obtener:

||f � f0|| < � implica |E(f)� E(f0)| ||f � f0|| < � < ✏.

Por tanto E es continua.

Ahora nos centramos en analizar las propiedades de los elementos de mejor apro-ximación, y como se muestra en [7, pag.59], la existencia de la mejor aproximaciónestá garantizada cuando Y es un subespacio de X de dimensión finita, es decir, elconjunto denotado por

B(f) = {P 2 Y | E(f) = ||f � P ||} 6= ;,

más aún este conjunto tiene propiedades interesantes como se mostrará más ade-lante.

Proposición 2.2. E es una función sublineal.

Demostración. Probemos que E cumple

i) E(f + g) E(f) + E(g).

ii) E(↵f) = |↵|E(f).

Sean P (f) 2 B(f) y P (g) 2 B(g) (pues B(f), B(g) 6= ;, pero no necesariamenteúnicos), luego

E(f + g) ||(f + g)� (P (f) +P (g))|| ||f �P (f)||+ ||g�P (g)|| = E(f) +E(g).

Por otro lado, sea ↵ 2 R. Si ↵ 6= 0, entonces

E(↵f) = ||↵(f � 1↵P (↵f))|| = |↵|||f � 1

↵P (↵f))|| � E(f)

por tanto E(↵f) � |↵|E(f). Inversamente

|↵|E(f) = |↵|||f � P (f)|| = ||↵f � ↵P (f))|| � E(↵f).

Las desigualdades anteriores son válidas ya que toda combinación lineal de elemen-tos de mejor aproximación están en Y y para el caso ↵ = 0 es obvio, así se tiene laigualdad y por tanto E es sublineal.



Notemos por ii) de la proposición anterior que E(�f) = E(f), es decir, el errorE es simétrico con respecto a el inverso aditivo de X.

Proposición 2.3. Si Y es un subespacio vectorial de X, entonces el conjunto B(f)es cerrado, acotado y convexo.

Demostración. Se tiene los siguientes dos casos.

a) Si f 2 Y , entonces E(f) = 0, por tanto B(f) = {f} el cual es cerrado, acotadoy convexo.

b) Sean f 2 X � Y , p 2 Y y ✏ > 0.Si d(p,B(f)) = ınfq2B(f) ||q � p||, entonces existe un q 2 B(f) tal que

||q � p|| < d(p,B(f)) + ✏,

dado que E(f) = ||f � q||, luego se sigue que

||f � p|| ||f � q||+ ||q � p|| < E(f) + d(p,B(f)) + ✏,

es decir, ||f � p|| < E(f) + d(p,B(f)) + ✏, para todo ✏ > 0. Por tanto se tiene ladesigualdad

E(f) ||f � p|| E(f) + d(p,B(f)) para toda p 2 Y. (2)

Por otro lado, recordemos que p 2 B(f) si y sólo si d(p,B(f)) = 0. Así, afirmamosque B(f) ⇢ B(f). Si p 2 B(f), entonces d(p,B(f)) = 0 y por (2) se sigue que||f � p|| = E(f), es decir, p 2 B(f) y por tanto B(f) es cerrado. Más aún, de

E(f) + ||f || = ||f � p||+ ||f || � ||p||

para todo p 2 B(f), se sigue que B(f) es acotado. Finalmente, B(f) es convexo.Sean ↵ y � no negativos con ↵+ � = 1 y p, q 2 B(f), se deduce que,

||↵f + �f � (↵p+ �q)|| ↵||f � p||+ �||f � q|| = ↵E(f) + �E(f)

y factorizando se tiene ||f � (↵p+ �q)|| E(f). Además como Y es un subespaciovectorial, entonces ↵p+ �q 2 Y , así E(f) = ||f � (↵p+ �q)||, donde ↵+ � = 1, esdecir, B(f) es convexo.

Si Y es de dimensión finita, entonces Y es topológicamente isomorfo a Rn,es decir, con {x1, . . . , xn} y {e1, . . . , en} bases, respectivamente de Y y de Rn, lafunción

�(y) = �

nX

i=1

�ixi

!

:=

nX

i=1

�iei,



es un isomorfismo de espacios vectoriales y un homeomorfismo de espacios topoló-gicos, luego se sigue que �(B(f)) es cerrado y acotado en Rn y por tanto compacto.Por otro lado como la compacidad es un invariante topológico se sigue que B(f) escompacto en Y y más aún es compacto en X, pues Y es cerrado en X. Así se tieneel siguiente resultado.

Corolario 2.4. B(f) es compacto y convexo para cada f 2 X.

Una observación importante es que � preserva la convexidad por ser isomorfismode espacios vectoriales (note que la convexidad no es invariante topológico).

En muchos casos prácticos es importante saber que existe un único polinomio demejor aproximación. Decimos que un espacio es estrictamente convexo, si dado f1 6=f2 donde ||f1|| = ||f2|| = 1 y ↵1,↵2 > 0 con ↵1+↵2 = 1, entonces ||↵1f1+↵2f2|| < 1.Está es una condición suficiente para la unicidad del mejor aproximante y comoejemplo de espacio estrictamente convexo se tiene Lp con 1 < p < 1. En estosespacios el polinomio de mejor aproximación es único.

Definición 2.5. Si Y es un subespacio de X tal que para cada f 2 X existe unúnico polinomio de aproximación en Y , entonces se dice que Y es un conjunto deunicidad de X.

Proposición 2.6. Sea Y un subespacio de unicidad de dimensión finita de X. SiP : X �! Y es el operador de mejor aproximación definido por f �! P (f),entonces P es continua.

Demostración. Como P (f) es único, entonces el operador P está bien definido.Para la continuidad basta con demostrar que P es acotado. De la desigualdad (1)y haciendo g = 0 se sigue que E(f) ||f || para toda f 2 X, así

||P (f)|| ||f � P (f)||+ ||f || = E(f) + ||f || 2||f ||,

por tanto ||P || 2.

En algunos espacios especiales existen los subespacios de unicidad, uno de elloses cuando el espacio es de Hilbert, es decir, cuando el espacio tiene definido unproducto interno. En estos espacios una caracterización del mejor aproximante esel siguiente.

Teorema 2.7. Sea (H, hi) un espacio de Hilbert y sea H0 un subespacio de H,un elemento g 2 H0 es de mejor aproximación para f 2 H si y sólo si cumple lasiguiente condición de ortogonalidad.

hf � g, hi = 0 para toda h 2 H0. (3)



Demostración. Procedemos por contradicción. Supongamos que g es un elementode mejor aproximación a f y que existe un h 2 H0 para el cual no se cumple (3),es decir, hf � g, hi 6= 0 para algún h 2 H0. Sin perdida de generalidad se puedeescoger h tal que ||h|| = 1 pues el vector normalizado también es no ortogonal, dehecho todos los vectores sobre la recta generada por h. Además puede escoger ah o �h según sea el caso para suponer hf � g, hi = � > 0. Luego sea el vectork = g + �h 2 H, así se tiene

||f � (g + �h)||2 = ||f � g||2 � hf � g, �hi � h�h, f � gi+ ||�h||2 (4)= ||f � g||2 � hf � g, �hi � h�h, f � gi+ �2. (5)

Como hf�g, hi = �, entonces �hf�g, hi = hf�g, �hi = �2; de manera semejantese tiene h�h, f � gi = �2, se sigue que

||f � k||2 = ||f � (g + �h)||2 = ||f � g||2 � �2 � �2 + �2

= ||f � g||2 � �2 < ||f � g||2,

por tanto ||f�k|| < ||f�g||, pero esto no puede ser pues g es de mejor aproximación,entonces hf � g, hi = 0 para toda h 2 H0.

Recíprocamente, como H0 es un subespacio de H, entonces H0 = H0 + g. Sedefinen los conjuntos

A = {||f � (g + h)|| : h 2 H0} y B = {||f � k|| : k 2 H0},

respectivamente. Afirmamos que A = B; si ||f � k|| 2 A y como k = g + h paraalguna h 2 H0, entonces se sigue que ||f � k|| = ||f � (g + h)|| 2 B, luego B ⇢ A.La otra contención es clara, pues g + h 2 H0, por tanto

E(f) = ınfk2H0

||f � k|| = ınfb2B

b = ınfa2A

a = ınfh2H0

||f � (g + h)|| � ||f � g||.

Utilizando la ecuación (4) con � = 1 y la hipótesis hf�g, hi = 0, E(f) = ||f�g||.

Un producto interior define un funcional lineal real o complejo según sea el pro-ducto interior, así la ecuación (3) se puede interpretar como sigue: para el funcional�(h) := hf � g, hi se tiene �(h) = 0 para toda h 2 H0, luego podemos tomar loanterior como motivación para la siguiente definición en espacios de Banach.Sea X un espacio y Y un subespacio vectorial de X, decimos que un funcional linealreal o complejo � es ortogonal a Y si �(h) = 0 para toda h 2 Y y denotamos porY ? al conjunto de todos los funcionales lineales ortogonales a Y .



Teorema 2.8. Sea Y un subespacio cerrado de X y f 2 X � Y . Entonces f0 2 Yes elemento de mejor aproximación a f en Y si y sólo si existe un funcional linealacotado � tal que � 2 Y ?, ||�|| = 1 y ||f � f0|| = �(f). Más aún

E(f) = sup

�2Y ?

||�||=1

�(f). (6)

Demostración. Sea f 2 X � Y y f0 el mejor aproximante a f en Y , es decir,||f � f0|| = E(f). Definimos el funcional lineal � : H �! R por

�(y +mf) = mE(f), donde H = Y � gen{f}. (7)

Notemos que H es un subespacio vectorial de X y � está bien definido puestoque para cada h 2 H existen únicos y 2 Y y m 2 R tales que h = y+mf , más aúnes lineal ya que si h = y +mf , h0 = y0 +m0f y ↵ 2 R, entonces

�(h+ ↵h0) = �((y + ↵y0) + (m+ ↵m0)f) = (m+ ↵m0

)E(f)

= mE(f) + ↵m0E(f) = �(y +mf) + ↵�(y0 +m0)

= �(h) + ↵�(h0).

Con lo anterior demostraremos las propiedades para el � del teorema. Primeronotemos que h 2 Y si y sólo si m = 0, entonces �(h) = 0 para toda h 2 Y , es decir,� 2 Y ?. Además se tiene que

|�(y +mf)| = |m|E(f) ||mf + y|| para toda y 2 Y y m 2 R.

Por tanto ||�|| = 1 sobre H y

�(f) = �(f � y) = E(f) = ||f � f0||.

Por otro lado notemos que � es un funcional lineal sobre H el cual está acotado porun funcional sublineal E continuo sobre H (por la proposición (2.2)), más aún �coincide con E sobre H, por el teorema de Hahn-Banach (ver [1], pag.48) existe unaextensión � a todo X con ||�|| = 1 sobre X, además � mantiene la ortogonalidadsobre Y .

Recíprocamente, como �(f�y) ||�|| ||f�y|| y por hipótesis ||�|| = 1, � 2 Y ?

y ||f � f0|| = �(f), entonces

�(f) = �(f)� �(y) = �(f � y) ||f � y|| para todo y 2 Y,

así se sigue que

||f � f0|| = �(f) ınfy2Y

||f � y|| = E(f) para cada f 2 X. (8)



Por tanto ||f � f0|| = E(f), es decir, f0 es el mejor aproximante de f en Y . Másaún, de la desigualdad (8), si fijamos f , entonces para toda � 2 Y ? y ||�|| = 1,E(f) es una cota superior, luego

sup

�2Y ?

||�||=1

�(f) E(f).

Finalmente, como f0 es el mejor aproximante de f sobre Y y por (7) existe unfuncional ortogonal sobre Y tal que ||�|| = 1, se sigue la desigualdad contraria

E(f) = ||f � f0|| = �(f) sup

�2Y ?

||�||=1

�(f).

Ahora nuestro interés es la caracterización del mejor aproximante en C(X)

donde X es compacto Hausdorff, pues estos espacios en la práctica son unos delos más usados por las propiedades que tienen. En el desarrollo de este capítulo semostrará la fuerza del siguiente teorema ya que al final se caracterizará el polinomiode mejor aproximación de la manera más simple con el teorema de alternancia deChebyshev.

Teorema 2.9 (Kolmogorov). Si Y es un subespacio de dimención finita de C(X),entonces P es un elemento de mejor aproximación de f 2 C(X) sobre Y si y sólosi para cada Q 2 Y se tiene

maxx2A0

<e{[f(x)� P (x)]Q(x)} � 0, (9)

donde A0 denota el conjunto (el cual depende de f y P ) de todos los x 2 X paralos cuales |f(x)� P (x)| = ||f � P ||.

Demostración. Procedemos por contradicción, en efecto, supongamos que existeQ 2 Y tal que

maxx2A0

<e{[f(x)� P (x)]Q(x)} = �2✏ < 0,

para algún ✏ > 0. Por la continuidad de la parte real <e,

|<e{[f � P ]Q(x)}�<e{[f � P ]Q(x0)}| < ✏

para toda x 2 B�(x0), para algún � y x0 2 A0. Por lo tanto,

<e{[f � P ]Q(x)} < ✏+ <e{[f � P ]Q(x0)}



para toda x 2 B�(x0). Además como

<e{[f � P ]Q(x0)} maxx2A0

<e{[f(x)� P (x)]Q(x)} = �2✏,

entonces<e{[f(x)� P (x)]Q(x)} < ✏� 2✏ = �✏

para toda x 2 B�(x0). Tomando ahora el conjunto abierto G :=S

x2A0B�(x), se

tiene que G contiene a A0 (notemos que �(✏, x) y x 2 A0), luego

<e{[f(x)� P (x)]Q(x)} < �✏ para todo x 2 G ◆ A0. (10)

Por otro lado, supongamos la función P1 = P ��Q donde � > 0 y M = max |Q(x)|,entonces para cada x 2 G se sigue que

|f(x)� P1(x)|2 = |f(x)� P (x) + �Q(x)|2

= |f(x)� P (x)|2 + 2�<e[(f � P )(x)Q(x)] + �2|Q(x)|2

E(f)2 � 2�✏+ �2M2.

Ahora tomando � < M�2✏, se sigue que �2M2 < �✏ y entonces se tiene la desigual-dad |f(x)� P1(x)|2 < E(f)2 � �✏ < E(f)2, es decir,

|f(x)� P1(x)| < E(f) para toda x 2 G. (11)

Por otro lado

|f(x)� P (x)| ||f � P || = E(f) = ınfP2Y

||f � P ||, x 2 X,

así se tiene la desigualdad estricta

|f(x)� P (x)| < E(f), x 2 Gc.

Sea � > 0 tal que |f(x)� P (x)| < E(f)� �, x 2 Gc, entonces se tiene que,

|f(x)� P1(x)| |f(x)� P (x)|+ �|Q(x)| E(f)� � + �M

y tomando � de tal manera que � < (2M)�1� se deduce que

|f(x)� P1(x)| < E(f)� � +1

2� < E(f), x 2 Gc

De está última desigualdad y de (11) se sigue

|f(x)� P1(x)| < E(f) para todo x 2 X (12)



Por lo anterior, como P1 2 Y se obtiene que ||f � P1|| < E(f), es decir, existe unmenor error al que se tiene inicialmente, es una contradicción y por tanto.

maxx2A0

<e{[f(x)� P (x)]Q(x)} � 0, Q 2 Y.

Recíprocamente, sea P1 2 Y . Si P � P1 := Q y x0 2 X, entonces

|f(x0)� P1(x0)|2 = |f(x0)� P (x0)|2 + 2<e{[f(x0)� P (x0)]Q(x0)}+ |Q(x0)|2,

donde <e{[f(x0 � P (x0)]Q(x0)} � 0. Luego

|f(x0)� P1(x0)| � |f(x0)� P (x0)| = ||f � P ||,

por tanto P1 no es de mejor aproximación, pues si lo fuera se tendría |f(x)�P1(x)| ||f � P1|| = E(f) para todo x 2 X, así P es el mejor aproximante.

En adelante A0 siempre denotará el conjunto utilizado en la hipótesis del teo-rema anterior. Como consecuencia del Teorema de Kolmogorov y considerando elespacio de funciones continuas reales C(X) se tiene.

Corolario 2.10. Si Y es un subespacio de dimensión finita de C(X) y P 2 Y ,entonces P es un elemento de mejor aproximación de f 2 C(X) si y sólo si paracada Q 2 Y se tiene

maxx2A0

{[f(x)� P (x)]Q(x)} � 0.

Los teorema anteriores son caracterizaciones del elemento de mejor aproxima-ción, utilizando funcionales lineales ortogonales. El Teorema de Rivlin-Shapiro quedemostraremos utiliza el Teorema de Kolmogorov, así como el Teorema de Carat-héodory, cuya prueba se puede ver en ([1], pag.46). Además el Teorema de Hanh-Banach en su versión geométrica que también se utiliza en el desarrollo de la pruebadel Teorema Rivlin-Shapiro, se puede ver en ([8], pag.204).

Teorema 2.11. Sean G y G0 conjuntos disjuntos convexos en un espacio linealnormado X. Si G0 es abierto, entonces existe un funcional lineal � en X y un� 2 R que cumplen

�(g) < � �(f) para toda f 2 G, g 2 G0.

Teorema 2.12 (Carathéodory). Si B ⇢ Rn y r n, entonces el casco convexocov B consta de todos los elementos de la forma

x =

rX

i=0

pixi, con xi 2 B, pi � 0 yrX

i=0

pi = 1

para r 2 {1, 2, . . . , n}.



Teorema 2.13 (Rivlin-Shapiro). Sea Y un subespacio lineal de C(X) de dimensiónn. Una función P 2 Y es de mejor aproximación a f 2 C(X) si y sólo si existenpuntos xi 2 A0, i = 0, . . . , r y números pi � 0 tal que

rX

i=0

pi = 1 yrX

i=0

pi[f(xi)� P (xi)]Q(xi) = 0,

para todo Q 2 Y con r n.

Demostración. Note que todo funcional lineal � : Rn �! R, está definido en Rn

si y sólo si está definido sólo en la base canónica de Rn, es decir, � es funcionallineal en Rn si y sólo si �(x) =

Pn

i=1 aixi, donde x = (x1, . . . , xn) 2 Rn y a =

(�(e1), . . . ,�(en)). Si {�1, · · · ,�n} es una base para Y ⇢ C(X), entonces para todaQ 2 Y , se tiene Q =

Pn

i=1 ci�i, con ci 2 R, para i = 1 · · · , n.Por otro lado sea la función continua � = ((f�P )�1, . . . , (f�P )�n) : X �! Rn

definida por�(x) = ((f � P )(x)�1(x), . . . , (f � P )(x)�n(x)).

Como A0 es un subconjunto cerrado (A0 es la imagen inversa del escalar ||f � p||bajo la función continua |f � p| ) en un espacio X compacto y Hausdorff, entoncesA0 es compacto, luego entonces �(A0) es un subespacio compacto de Rn. Más aún,el casco convexo cov �(A0) es compacto.

Por otro lado afirmamos:

i) P es de mejor aproximación a f en Y si y sólo si maxx2�(A0) �(x) � 0 paratoda � funcional lineal.

ii) Si maxx2�(A0) �(x) � 0 para toda � funcional lineal, entonces 0 2 cov �(A0).

Probemos i), supongamos que P es de mejor aproximación a f y sea � un funcionallineal. Luego

(��)(x) = �(�(x)) =nX

i=0

�(ei)(f � P )(x)�i(x) = (f � P )(x)

nX

i=0

�(ei)�i(x))

!

,

es decir, ��(x) = (f � P )(x)Q(x), donde

Q(x) =nX

i=0

�(ei)�i(x) 2 Y.

Por el Teorema de Kolmogorov se sigue que

0 maxx2A0

(f � P )(x)Q(x) = maxx2A0

��(x) = maxx2�(A0)

�(x). (13)



Recíprocamente, supongamos que 0 maxx2�(A0) �(x). Sea

Q(x) =nX

i=0

ci�i(x) 2 Y

y el funcional lineal definido por

�(x) =nX

i=0

cixi,

por (13) y el Teorema de Kolmogorov se tiene el resultado. Para la prueba de ii),procedemos por contradicción. Supongamos que 0 /2 cov �(A0), como cov �(A0) escompacto, este es cerrado en Rn, luego sea la bola abierta B�(0) en el complementode cov �(A0), ahora si hacemos G := cov �(A0) y G0 = B�(0), entonces se cumplela hipótesis del teorema (2.11) y por tanto existe un funcional lineal � en Rn y un� 2 R que cumplen

�(g) < � �(f) para toda f 2 G, g 2 G0.

En particular, 0 = �(0) < � �(f) para toda f 2 �(A0), es decir, ��(f) < 0 paratoda f 2 �(A0) ✓ cov �(A0), luego maxf2�(A0)��(f) 0, lo cual contradice lahipótesis.

Finalmente, por i), ii) y aplicando el Teorema de Carathéodory, se sigue quePr

i=0 piyi = 0, donde yi = �(xi) para algún xi 2 A0 y los pi � 0 son tal quePr

i=0 pi = 1, con r n. Ahora sea

Q =

rX

j=0

cj�j 2 Y

y el correspondiente funcional lineal �, donde �(ej) = cj , j = 1, · · · , n, entonces

0 = �(0) =rX

i=0

pi�(yi) =rX

i=0

pi

ÑnX

j=0

�(ej)(f � P )(xi)�j(xi)

é

=

rX

i=0

pi

ÑnX

j=0

(f � P )(xi)cj�(xi)

é=

rX

i=0

pi(f � P )(xi)

ÑnX

j=0

cj�(xi)

é

=

rX

i=0

pi(f � P )(xi)Q(xi),



por tanto, existen puntos xi 2 A0, i = 0, . . . , r y números pi � 0 tal querX

i=0

pi = 1 yrX

i=0

pi[f(xi)� p(xi)]Q(xi) = 0

para todo Q 2 Y con r n.Para el recíproco del teorema, supongamos que

rX

i=0

pi[f(xi)� p(xi)]Q(xi) = 0.

Así [f(xi)� p(xi)]Q(xi) � 0, para algún xi 2 A0 con 0 i r, pues pi � 0, y portanto

maxx2A0

[f(x)� p(x)]Q(x) � [f(xi)� p(xi)]Q(xi) � 0,

para todo Q 2 Y . Finalmente, por el Teorema de Kolmogorov se sigue el resultado.

Corolario 2.14. Si P es de mejor aproximación a f en X, entonces P es de mejoraproximación a f en algún subconjunto {x0, · · · , xr} ✓ A0.

Como motivación del Teorema Rivlin-Shapiro surge la siguiente definición quees importante porque permite caracterizar de otra forma a los elementos de mejoraproximación en términos de funcionales lineales ortogonales como se verá másadelante.

Definición 2.15. Sea Y un subespacio lineal de C(X) de dimensión finita n, �⇤ sellama funcional lineal de aproximación de f y P en Y , si dados {x0, · · · , xr} ✓ A0

y r n, se tiene

�⇤(g) =rX

i=0

↵ig(xi),

donde ↵i = pi sign [f(xi)� P (xi)], pi � 0, i = 0, · · · , r, Pr

i=0 pi = 1.

Corolario 2.16. Sea Y un subespacio lineal de C(X) de dimensión finita n. Sif /2 Y , entonces P es de mejor aproximación a f en Y si y sólo si existe unfuncional lineal de aproximación de f y P , para algunos puntos {x0, · · · , xr} ✓ A0

y r n, el cual es ortogonal en Y .

Demostración. Supongamos que P es de mejor aproximación a f en Y . Por elTeorema de Rivlin-Shapiro, existen puntos xi 2 A0, i = 0, . . . , r y números pi � 0

tal querX

i=0

pi = 1 yrX

i=0




para todo Q 2 Y con r n, luego se define el funcional lineal ortogonal de f y Pen Y por

�⇤(g) =rX

i=0

↵ig(xi)

donde ↵i = pi sign [f(xi)� P (xi)], pi � 0 y Pr

i=0 pi = 1. Como

||f � P ||�⇤(Q) = �⇤(||f � P || Q)

=

rX

i=0

↵i||f � P ||Q(xi)

=

rX

i=0


se sigue que �⇤(Q) = 0 para todo Q 2 Y , es decir, �⇤ es ortogonal en Y . Recí-procamente, por el teorema (2.8), basta probar que el funcional lineal ortogonal �⇤cumple ||�⇤|| = 1 y ||f � P || = �⇤(f). Como

|�⇤(g)| =��

rX

i=0

↵ig(xi)

�� rX

i=0

pi|g(xi)| rX

i=0

pi||g|| = ||g||,

luego ||�⇤|| = 1. Por otro lado, como �⇤ es ortogonal en Y se sigue que

�⇤(f) = �⇤(f � P ) =

rX

i=0

pi sign [f(xi)� P (xi)][f(xi)� P (xi)]

=

rX

i=0

pi( sign [f(xi)� P (xi)])2||f � P || = ||f � P ||.

3 Sistemas de Haar

En la sección anterior todos los teoremas son caracterizaciones del mejor aproxi-mante, finalizando con el teorema y corolario que caracteriza de la manera mássencilla tal polinomio. Ahora necesitamos garantizar la unicidad del polinomio demejor aproximación. Para ello definimos los subespacios de Haar y en particular lossubespacios de Chebyshev en espacios de Hausdorff.

Definición 3.1. Sea X un espacio Hausdorff con al menos n + 1 puntos y seanh0, h1, . . . , hn funciones reales continuas. Decimos que el conjunto de funciones� := {h0, h1, . . . , hn} es un sistema de Haar de orden n + 1 en X, si cada com-binacion lineal �0h0 + �1h1 + · · · + �nhn con coeficientes �0,�1, . . . ,�n 2 R no



simultaneamente todos ceros, no tienen más de n ceros distintos en X. El subespa-cio generado H = gen{h0, . . . , hn} de X por el sistema de Haar de orden n+ 1 enX es llamado subespacio de Haar de orden n + 1 en C(X). En particular si X escompacto Hausdorff decimos que � es un Sistema de Chebyshev, respectivamenteH es llamado subespacio de Chebyshev.

De la definición y el hecho que X tiene cardinalidad n + 1, si � es un sistemade Haar, entonces � forma un conjunto linealmente independiente en C(X). Elconjunto {1, x, · · · , xn} en [a, b] es un sistema de Chebyshev.

Proposición 3.2. Sean X un espacio Hausdorff de cardinalidad n+1 y h0, h1 . . . hn 2C(X). � = {h0, h1 . . . hn} forma un sistema de Haar de orden n + 1 en C(X) si ysólo si det(hi(xj)) 6= 0 para cualesquiera puntos distintos {x0, . . . , xn} 2 X.

Demostración. Sean x0, . . . , xn puntos distintos de X. Evaluando hi en xj paraj = 0, . . . , n y i = 0, . . . , n se tiene el sistema de ecuaciones líneal homogéneo deorden n+ 1:

�0h0(x0) + �1h1(x0) + · · ·+ �nhn(x0) = 0

�0h0(x1) + �1h1(x1) + · · ·+ �nhn(x1) = 0

...�0h0(xn) + �1h1(xn) + · · ·+ �nhn(xn) = 0

(14)

que tiene como única solución a �0 = �1 = · · · = �n = 0, pues de lo contrariocontradice que � es un sistema de Haar, ya que la combinación lineal Pn

i=0 �ihi = 0

tendría n+1 ceros, así det(hi(xj)) 6= 0. Recíprocamente, si existe una combinaciónlineal Pn

i=0 �ihi = 0 con coeficientes �0,�1, . . . ,�n 2 R no simultaneamente todosceros, tal que tiene almenos n+ 1 ceros, entonces el sistema de ecuaciones linealeshomogéneo (14) de orden n+1 tiene una solución no trivial (�0, . . . ,�n), por tantodet(hi(xj)) = 0 contradiciendo la hipótesis, así � es un sistema de Haar de ordenn+ 1.

El teorema anterior es importante porque nos permite encontrar una única fun-ción en el subespacio de Haar, cuya gráfica pase por algunos puntos determinados,es decir, se tiene el siguiente corolario.

Corolario 3.3. Sean x0, . . . , xn 2 X y ↵0, . . . ,↵n 2 R. Si � forma un sistema deHaar en X, entonces existe una única combinación lineal h =

Pn

i=0 �ihi tal queh(xi) = ↵i con i = 1, . . . , n.



Demostración. Por el teorema anterior se tiene det(hi(xj)) 6= 0 y por tanto elsistema

�0h0(x0) + �1h1(x0) + · · ·+ �nhn(x0) = ↵1

�0h0(x1) + �1h1(x1) + · · ·+ �nhn(x1) = ↵2

...�0h0(xn) + �1h1(xn) + · · ·+ �nhn(xn) = ↵n.

tiene solución única, �0, . . . ,�n, así se tiene que h =P

n

i=0 �ihi tal que h(xi) =

↵i.

De está forma decimos que hay una interpolación h de los {h0, . . . hn} conh(xi) = ↵i para i = 0, . . . , n.

Proposición 3.4. Si � es un sistema de Chebyshev de orden n + 1 en [a, b] yx1, . . . , xn 2 (a, b), entonces la función definida por

D(x, x1, . . . , xn) :=

��

h0(x) h0(x1) . . . h0(xn)

h1(x) h1(x1) . . . h1(xn)...

......

hn(x) hn(x1) . . . hn(xn)

��

(15)

tiene exactamente por ceros los puntos xi, para i = 1, . . . , n. Más aún, en cada xicambia de signo D(x, x1, . . . , xn).

Demostración. La primera parte es clara. Por las propiedades de los determinantesse sigue que D(xi, x1, . . . , xn) = 0 para i = 1, . . . , n. Más aún, como D(x, x1, . . . , xn)es una combinación lineal del sistema de Chebyshev �, entonces D(x, x1, . . . , xn)tiene a lo más n ceros, y por tanto tiene exactamente n ceros. Sea 0 < � lo sufi-cientemente pequeño tal que (x1 � �, x1 + �) ⇢ [a, b]. Definimos la función continuag� : [0, �] �! R por

g�(t) :=

��

h0(x1 � � + t) h0(x1 + t) . . . h0(xn)

h1(x1 � � + t) h1(x1 + t) . . . h1(xn)...

......

hn(x1 � � + t) hn(x1 + t) . . . hn(xn)

��

Afirmamos que g�(t) 6= 0 para toda t 2 [0, �]. En efecto, supongamos que existet0 2 [0, �] tal que g�(t0) = 0, entonces

lım�!t0

g�(t0) = 0 = �D(x1 + t0, x1, . . . , xn)



contradiciendo la primera parte de la proposición, así g�(t) 6= 0 para toda t 2 [0, �].Finalmente observemos que

g(0) = D(x1 � �, x1, . . . , xn) y g(�) = �D(x1 + �, x1, . . . , xn),

luego D(x1��, x1, . . . , xn) y D(x1+�, x1, . . . , xn) tienen signos opuestos, pues g 6= 0

en todo el intervalo [0, �], de está misma forma se prueba que también cambia designo D(x, x1, . . . , xn), para x2, . . . , xn.

Se tiene un resultado más general de la proposición anterior, de hecho la funciónD(x, x1, . . . , xn) genera a todas las funciones en un subespacio de Chebyshev quecambian de signo exactamente en n puntos de un intervalo cerrado [a, b].

Proposición 3.5. Sean � un sistema de Chebyshev de orden n + 1 en [a, b] y Hel subespacio de Chebyshev de orden n + 1. Si h 2 H tiene exactamente n cerosdistintos x1, . . . , xn en (a, b), entonces h necesariamente cambia de signo en cadaxi, para i = 1, . . . , n.

Demostración. Si h 2 H y x1, . . . , xn son los ceros de h, entonces h =P

n

i=0 �ihi,pues H es un subespacio diferente del trivial y por tanto existe algún �i 6= 0. Sinperdida de generalidad supongamos que �0 6= 0, así usando la propiedad de losdeterminantes y multiplicando a los �i diferentes de cero con el renglón i-ésimocorrespondiente y sumando al primer renglón en la función D(x, x1, . . . , xn), sesigue que

D(x, x1, . . . , xn) =1

�0

��

Pn

i=0 �ihi 0 . . . 0

h1(x) h1(x1) . . . h1(xn)...

... . . . ...hn(x) hn(x1) . . . hn(xn)

��

=D1

�0h(x),

donde

D1 =

��

h1(x1) h1(x2) . . . h1(xn)

h2(x1) h2(x2) . . . h2(xn)...

... . . . ...hn(x1) hn(x2) . . . hn(xn)

��

Entonces h tiene los mismos ceros que D(x, x1, . . . , xn), luego por la proposición(3.4), h cambia de signo en cada xi si y sólo si lo hace D(x, x1, . . . , xn) en cadaxi.



Lema 3.6. Sean X un espacio Hausdorff que tiene al menos n + 2 puntos, � unsistema de Haar de orden n+1 y P un polinomio de mejor aproximación a la funcióncontinua f , entonces el subconjunto A0 para el cual |f(x)�P (x)| = ||f�P || = E(f)contiene al menos n+ 2 puntos.

Demostración. Supongamos que A0 = {x0, . . . , xs} con s n + 1, entonces existeun punto x 2 X, tal que

0 |f(x)� P (x)| < ||f � P || = E(f),

luego entonces 0 < E(f). Por otro lado, por el sistema de ecuaciones lineales de(s+ 1)⇥ (n+ 1)

�0�0(x0) + �1�1(x0) + · · ·+ �n�n(x0) = �[f(x0)� P (x0)]

�0�0(x1) + �1�1(x1) + · · ·+ �n�n(x1) = �[f(x1)� P (x1)]

...�0�0(xs) + �1�1(xs) + · · ·+ �n�n(xs) = �[f(xs)� P (xs)]

se tiene un polinomio Q =P

n

i=0 �i�i (no necesariamente único) tal que

Q(xk) = �[f(xk)� P (xk)]

con k = 0, . . . , s. Luego aplicando el Teorema de Kolmogorov se tiene

maxx2A0

[f(x)� P (x)]Q(x) = max0ks

[f(xk)� P (xk)]Q(xk) = max0ks

�[f(xk)� P (xk)]2

= �E2(f) < 0,

pero esto no puede ser ya que contradice la caracterización del polinomio de mejoraproximación.

De forma inmediata se prueba la unicidad del polinomio de mejor aproximaciónusando el teorema anterior.

Teorema 3.7. Si � es un sistema de Haar de orden n + 1 en X, entonces todafunción continua f tiene un único polinomio de mejor aproximación P .

Finalmente, si en X está definido un sistema de Haar se garantiza la unicidad delmejor aproximante. El teorema principal en está sección es el teorema de Alternanciade Chebyshev que se pueden consultar en ([7], pag.74).



Teorema 3.8 (de Alternancia de Chebyshev). Sean � un sistema de Haar deorden n en [a, b] y A ✓ [a, b] de al menos n + 1 puntos. Si f 2 C(A), entonces Pes el polinomio de mejor aproximación a f en A si y sólo si existen n + 1 puntosx0 < . . . < xn en A0 y un número ✏ = 1 o �1, para el cual f(xi)�P (xi) = d(�1)

i✏con i = 0, . . . , n y donde d = ||f � P ||.

Notemos que el teorema de alternancia de Chebyshev sigue siendo un teorema decaracterización del polinomio de mejor aproximación y para calcular tal polinomiose puede utilizar el algoritmo de Remez.

4 Medida de Radon

Las medidas de Radon son utilizadas en muchas áreas del analisis, como es en lateoría de la probabilidad, la teoría del potencial o la teoría de la representaciónintegral. En está sección supondremos, al igual que antes, que X es un espaciolocalmente compacto y Hausdorff, C(X) es el espacio normado de las funcionescontinuas de X en R con la norma suprema, K(X) el espacio de las funcionescontinuas y de soporte compacto (f 2 K(X), si f 2 C(X) y f se anula en elcomplemento de un subconjunto compacto de X) y finalmente C0(X) es el espacio delas funciones continuas que se anulan en el infinito. Por las propiedades del soportecompacto (sop(f + g) ✓ sop(f) [ sop(g), sop(fg) ✓ sop(f) \ sop(g)) se tiene queK(X) es un subespacio vectorial de C(X), más aún K(X) ⇢ C0(X) y K(X) es densoen C0(X). Por otro lado, si X es compacto, entonces K(X) = C0(X). Si el espaciotopológico (X, ⌧) no es compacto, entonces podemos tomar la compactificaciónpor un punto X⇤ y tomar los espacios correspondientes mencionados arriba. Unamotivación importante para definir una medida de Radon es la proposición siguiente.

Proposición 4.1. Si µ es un funcional lineal positivo en K(X), entonces para cadaK ⇢ X existe una constante MK tal que |µ(f)| MK ||f || para todo f 2 K(X) consop(f) ⇢ K.

Demostración. Por el lema de Urysohn, podemos encontrar una función continuag : X �! [0, 1] tal que g(x) = 1 para todo x 2 K. Si f 2 K(X) con sop(f) ⇢ K,entonces |f(x)| ||f ||g(x) para todo x 2 X. Así se tiene

�||f ||g(x) f(x) ||f ||g(x)

para toda x 2 X. Luego ||f ||g� f � 0 y ||f ||g+ f � 0, y por ser µ lineal y positivose sigue

�||f ||µ(g) µ(f) ||f ||µ(g),

es decir, |µ(f)| MK ||f ||, donde MK = µ(g).



La definición siguiente resulta ser una generalización natural del resutado ante-rior cuando estamos tratando funcionales lineales positivos en espacios localmentecompactos Hausdorff, pues la constante positiva MK siempre existe para cada com-pacto K, utilizando el lema de Urysohn.

Definición 4.2. Un funcional lineal µ : K(X) ! R es llamado una medida deRadon si para cada K compacto, existe una constante MK > 0 tal que |µ(f)| MK ||f || para toda f 2 K(X) con sop(f) ⇢ K.

Unas referencia donde se prueban algunas propiedades importantes sobre medi-das de Radon son ([6], pag.151 y ([3]). El espacio de todas las medidas de Radon sedenota por µ(X). En nuestro caso nos centramos en el conjunto de las medidas deRadon acotadas µb(X), aquellas que son continuas con respecto a la norma supremadefinida por

||µ|| = sup

||f ||1|µ(f)|.

Además, una medida de Radon µ es positivo si µ(f) � 0 para toda f � 0 conf 2 K(X), o equivalentemente si f g, entonces µ(f) µ(g).

Observemos que el conjunto de las medidas de Radon positivas forma un conolineal y es denotado por µ+

(X), así se define una norma en µ+(X) por restricción

de la norma suprema definida en C(X). Al conjunto de medidas de Radon posi-tivas y acotadas lo denotamos por µ+

b(X). Una medida de Radon acotada es una

contracción si ||µ|| 1 y µ+1 (X) es el conjunto de medidas de Radon positivas con

norma 1, llamadas probabilidades.El ejemplo más simple de medida de Radon en X son las medidas de Dirac.

Dado un x 2 X la medida de Dirac en x es la medida de Radon ✏x definida por

✏x(f) = f(x) para cada f 2 K(X). (16)

Notemos que |✏x(f)| = |f(x)| ||f || para todo f 2 K(X), luego ||✏x|| = 1 y comoconsecuencia inmediata tenemos que ✏x 2 µ+

1 (X). Más aún como ✏x es positivo, siK es compacto, entonces |✏x(f)| ✏x(g)||f || para todo f 2 K(X), con sop(f) ✓ Ky ✏x(g) = g(x) por la proposición (4.1). Una combinación lineal de medidas deDirac es llamada medida discreta en X, así una medida discreta es descrita comouna medida de Radon acotada en X de la forma

µ =

nX

i=1

�i✏xidonde n � 1, x1 . . . xn 2 X y �1, . . .�n 2 R. (17)

Se observa que

|µ(f)| ||µ|| =��

��

nX

i=1

�i✏xi

��

�� =nX

i=1

|�i| ||f(xi)|| ||f ||nX

i=1

|�i|,



luego afirmamos que µ es positiva si y sólo si �i � 0 para i = 0, . . . , n, más aún setiene ||µ|| =P

n

i=1 |�i|.Una forma de construir medidas de Radon a partir de una de ellas es la siguiente.

Sea µ 2 µ(x) y consideremos g 2 C(X), entonces el funcional lineal v : K(X) �! Rdefinido por

v(f)(x) := µ(f · g) para cada f 2 K(X) (18)

es una medida de Radon en X.Se puede ver por medio de la densidad de K(X) en C(X) que si µ 2 µb(X)

(repectivamente µ 2 µ+b(X)), entonces µ se puede extender (de manera única) a un

funcional continuo (respectivamente positivo) eµ sobre C0(X).Si X es compacto, entonces toda medida de Radon es acotada, es decir, µ(X) =

µb(X), y por tanto también se sigue que µ+(X) = µ+

b(X). Existen otras propie-

dades de las medidas de Radon que operacionalmente son importantes como es ladesigualdad de Cauchy-Schwarz y que se pueden generalizar sobre sublatices vecto-riales de funcionales lineales arbitrarias, es decir, si µ 2 µ+, entonces se sigue que(µ(|fg|))2 µ(f2

)µ(g2) para toda f, g 2 K(X).

Definición 4.3. Sea µ 2 µ(X), decimos que la medida de Radon µ es cero en unsubconjunto U ⇢ X, si µ(f) = 0 para toda f 2 K(X) con Sop(f) 2 U . Denotamospor U(µ) al conjunto {U ⇢ X| µ es cero en U con U abierto en X}, así el Soportede µ es definido por el subconjunto Sop(µ) = X �SU2U U .

Notemos de la definición que Sop(µ) es un subconjunto cerrado, más aun, es elcomplemento del mayor subconjunto abierto en X para el cual µ es cero.

Observación 4.4.

i) Si x 2 Sop(µ), entonces para cada vecindad V de x existe una f 2 K(X) talque Sop(f) ⇢ V y µ(f) 6= 0, inversamente x /2 Sop(µ) si existe una vecindadabierta de V de x en la cual µ es cero.

ii) Sop(µ) = ; si y sólo si µ = 0.

El siguiente teorema muestra algunas propiedades importantes que se utilizanen lo sucesivo (la prueba se puede ver en ([1], pag.23)).

Teorema 4.5. Si X es un espacio localmente compacto Hausdorff y µ 2 µ(X),entonces

i) Sop(µ + ⌫) ⇢ Sop(µ) [ Sop(⌫) para toda µ, ⌫. La igualdad se da si µ, ⌫ sonpositivos.



ii) Si f 2 K(X) y f = 0 en el Sop(µ), entonces µ(f) = 0. Si µ 2 µb(X), entoncestambién es válido siempre que f 2 C0(X).

iii) Si f, g 2 K(X) y f = g sobre Sop(µ), entonces µ(f) = µ(g).

iv) Si µ 2 µ+(X) y f 2 K(X), entonces µ(f) � 0 si f � 0 sobre Sop(µ).

v) Si µ 2 µ+(X), f 2 K(X), f � 0 y si µ(f) = 0, entonces f = 0 sobre Sop(µ).

vi) Para cada g 2 C(X), Sop(g.µ) = {x 2 Sop(µ)|g(x) 6= 0} ⇢ Sop(g) \ Sop(µ).

vii) Si x1, . . . , xn son puntos distintos de X para n � 1, entonces Sop(µ) =

{x1, . . . , xn} si y sólo si µ =P

n

i=1 �i✏xipara algunos �1, . . . ,�n 2 R� {0}.

viii) Si Sop(µ) es compacto, entonces µ es acotada.

Sea I un conjunto dirigido, se define una red de medidas de Radon por (µi)i2I .

Decimos que (µi)i2I converge con el orden , si para cada f 2 K(X) se tiene que

(µi(f))i2I ! µ(f),

es decir, dado Uµ(f) abierto, existe un i0 2 I tal que µi(f) 2 Uµ(f) para todo i � i0y en este sentido decimos que µi converge a µ vagamente y lo denotamos por

lımi2I

µi(f) = µ(f)

(vea ([1], pag.46)). Dada una medida de Radon µ 2 µ+b, se define para un H ⇢

C0(X) el conjunto

D+(H,µ) = {f 2 C0(X) | para cada red (µi)i2I 2 µ+

bque cumplen

lımi2I

µi(f) = µ(f) siempre que supi2I

||µi|| < 1 y

lımi2I

µi(h) = µ(h) para toda h 2 H}.

Es claro que H ⇢ D+(H,µ) ⇢ C0(H). Para nosotros es de interés saber cuandoD+(H,µ) = C0(H), en tal caso H es llamado un D+�subconjunto de Korovkincon respecto a una medida de Radon positiva y acotada. Por lo anterior se deseaconocer la hipótesis sobre H que asegure la igualdad. Un subconjunto de C0(X)

que está muy relacionada con D+(H,µ) es el definido por

U+(H,µ) = {f 2 C0(X) | v(f) = µ(f) para cada v 2 µ+b

yse cumple que v(h) = µ(h) para toda h 2 H}.

El siguiente teorema es importante porque caracteriza a los D+�subconjunto deKorovkin.



Teorema 4.6. Sea H un subespacio de C0(X), entonces D+(H,µ) = U+(H,µ)siempre que µ 2 µ+

b(X).

Demostración. Es claro que D+(H,µ) ⇢ U+(H,µ), ya que si f 2 D+(H,µ) yv 2 µ+

bsatisface v|H = µ|H , se define la red (µi)

i2I con µi = v y es claro que

supi2I ||µi|| = ||v|| y lımi2I = v(h) = µ(h) para toda h 2 H lo cual asegura que

lımi2I

µi(f) = µ(f) = v(f),

entonces f 2 U(H,µ). Inversamente, supongamos que f 2 U+(H,µ) y (µi)i2I es una

red de medidas de Radon positivas y acotadas que cumplen que supi2I ||µi|| < +1y lımi2I µi(h) = µ(h) para todo h 2 H con lımi2I µi(f) 6= µ(f). Existe ✏ > 0 talque para toda i 2 I existe ↵(i) > i con la propiedad |µi � µ(f)| � ✏. Por otro lado,la familia A = {µ↵(i)} es fuertemente acotada, es decir, para todo K compacto,existe MK � 0 tal que |µi(f)| MK ||f || para toda µ↵(i) y toda f k. Como esfuertemente acotada, entonces A es relativamente compacto, por tanto en A, existeuna subfamilia (µr)r2I con un filtro F más fino que el filtro de las secciones finalesdel conjunto de índices I tal que

lımr2IF

µ(h) = lımi2I

µi(h) = µ(h)

para toda h 2 H. Por tanto se sigue que µ = v sobre U+(H,µ) y en particular setiene que µ(f) = v(f) lo cual es una contradicción ya que |µ↵(i)(f) � µ(f)| � ✏ esequivalente a |µ↵(i)(f)� v(f)| � ✏.

Definición 4.7. Un subespacio H de C0(X) es llamado cofinal si para cada f 2C0(X), existe h 2 H con f h. Notemos que es equivalente a la existencia de unh0 2 H tal que 0 < h0(x) para todo x 2 X.

Teorema 4.8. Si X es compacto y H es cofinal en C(X), entonces para cadaf 2 C(X) los siguientes son equivalentes.

i) f 2 U+(H,µ).

ii) suph2Hhf

µ(h) = µ(f) = ınfk2Hk�f

µ(k).

iii) Para cada ✏ > 0 existe un h, k 2 H con h f k y µ(k)� µ(h) < ✏.

Demostración. Observemos que ii) y iii) son equivalentes por definición de ínfimoy supremo. Sea ✏/2 > 0, entonces existen h, k 2 H, con h f k tal queµ(f) < ✏/2 + µ(h) y µ(k) < µ(f) + ✏/2 de donde se sigue que µ(k)� µ(h) < ✏.



Demostremos que i) es equivalente a ii). Definimos p : C(X) �! R por

p(g) = ınfk2Hk�g

µ(k).

Notemos que p cumple p(g + f) p(g) + p(f) y p(↵g) = ↵p(g) para todo f, g 2C(X) y ↵ � 0, es decir, p es sublineal. Aplicando el Teorema de Hann-Banach, existeun funcional lineal v sobre C(X) tal que v p y coincide con p en f , v(f) = p(f).Más aún, v es positivo. Si g 2 C(X) con 0 g, entonces v(�g) p(�g) µ(0) = 0,ya que �g 0 y por ser µ y v funcionales lineal, luego v 2 µ+

(X). Más aún, v = µsobre H puesto que p = µ sobre H. Así

µ(f) = v(f) = p(f) = ınfk2Hk�f

µ(k),

por i). Para completar esta parte de la demostración, se tiene que �f 2 U+(H,µ),por lo que µ(�f) = p(�f), o bien,

µ(f) = �p(�f) = sup

h2Hhf

µ(h).

Para ver que ii) implica i), si � 2 µ+(X) y � = µ sobre H, entonces de las

desigualdadessup

h2Hhf

�(h) �(f) ınfk2Hfk

�(k)

y por hipótesis se sigue que �(f) = µ(f).

El siguiente teorema también caracteriza a los D+�subconjuntos de Korovkincon respecto a una medida de Radon positiva y acotada.

Teorema 4.9. Sea X compacto y H subespacio de C(X). Los siguientes enunciadosson equivalentes.

i) H es un D+-subespacio para µ 2 µ+b(X).

ii) H es cofinal en C(X) y suph2Hhf

µ(h) = µ(f) = ınfk2Hk�f

µ(k) para cada f 2

C(X).

iii) H es cofinal en C(X) y para toda f 2 C(X) y ✏ > 0 existen funciones h, k 2 Htales que h f k y µ(k)� µ(h) < ✏.



5 Conjuntos y cerradura de Korovkin

La aproximación tipo Korovkin se desarrolla en medio de los conceptos y los re-sultados obtenidos en la convergencia de las redes de operadores lineales positivos.La caracterización obtenida en relación con la convergencia al operador identidad,tiene una subsecuente estimulación a la investigación sobre otra clase de operadoreslineales. Está sección solo menciona los conceptos básicos y algunos resultados paraentender la relación entre los espacios de Chebyshev y los subespacios de Korovkinen el espacio de funciones continuas.

Definición 5.1. Un subconjunto H de C0(X) es llamado subconjunto de Korovkincon respecto a un operador lineal positivo T , si se satisface la siguiente propiedad.

Si para toda red arbitraria (Li)i2I de operadores lineales positivos de C0(X)

en C0(Y ) tal que supi2I ||Li|| < 1 y lımi2I Li(h) = T (h) para toda h 2 H,entonces lımi2I Li(f) = T (f) para toda f 2 C0(X).

Por notación decimos que H es K+ � subconjunto de Korovkin para T. (19)

Observemos que la equicontinuidad de la red de operadores lineales positivosestá descrita por la condición

supi2I

||Li|| < 1.

Si T es un operador lineal positivo tal que ||T || < 1, entonces se llama contracción ysi H satisface la propiedad (19) de la definición (5.1), sólo para redes (Li)

i2I de ope-

radores lineales positivos que son contracciones, entonces H es llamado subconjuntode Korovkin para T con respecto a la contracción lineal positiva y lo denotamospor K1

+ � subconjunto de Korovkin para T . Notemos que H es un subconjunto deKorovkin de C0(X) si y sólo si el subespacio lineal generado L(H) por H, es unconjunto de Korovkin, así podemos trabajar con la definición (5.1), indistintamentesi es conjunto o subespacio. En adelante H es K+ � subespacio de Korovkin paraT . Ánalogamente, también se define el K1

+ � subespacio para T .Notemos que si el espacio X es compacto y 1 2 H, entonces la red automática-

mente es equicontinua bajo la definición (19), pues como X es compacto, entoncesC0(X) = C(X) y por tanto la convergencia en C0(X) está determinado por las bo-las de la norma suprema, luego si 1 2 H, entonces lımi2I Li(h) = T (h), para todah 2 H y en particular lımi2I Li(1) = T (1), así Li 2 B✏(T (1)) para toda i0 i, esdecir, ||Li(1)�T (1)|| < ✏ para toda i0 i, por tanto se sigue que ||Li|| < ✏+||T (1)||,además como X es compacto se tiene ||Li(1)|| = ||Li|| para todo i 2 I, por tantosupi2I ||Li|| < 1, es decir, si X es compacto y 1 2 H, entonces no se necesitapedir supi2I ||Li|| < 1 de la definición (5.1). Los subespacios que introducimos acontinuación son importantes en la caracterización de los subespacios de Korovkin.



Definición 5.2. Se le llama clausura de Korovkin de H con respecto al operadorlineal positivo T o K+ � clausura de H para T , al subconjunto

K+(H,T ) = {f 2 C0(X) | lımi2I

Li(f) = T (f) para cada red (Li)i2I de operadores

lineales de C0(X) en C0(Y ) que satisface la condiciónsupi2I

||Li|| < 1 y lımi2I

Li(h) = T (h) para todo h 2 H}.

Notemos que al igual que los conjuntos de Korovkin, la K+ � clausura conrespecto a T de un conjunto H de C0(X) coincide con el K+ � clausura para Tdel subespacio generado por H. Uno de los resultados importantes que podemosmencionar es que K+(H,T ) = C0(X) siempre y cuando H sea K+ � subespacio deKorovkin para T . Ánalogamente se define el subespacio K1

+ � clausura de H parala contracción T con la definición (5.2) tomando sólo operadores lineales positivosque son contracciones. El primer resultado importante que caracteriza tanto laK+ � clausura y a la K1

+ � clausura de un conjunto con respecto a un operadorlineal positivo T : C0(X) �! C0(Y ) consiste en demostrar la relación existenteentre estos subespacios y la convergencia de medidas de Radon considerando paracada y 2 Y , µT

y : C0(X) �! R definido por µTy (f) = Tf(y) para cada f 2 C0(X).

Así µTy = ✏y � T . Más aún, si H es un subespacio de C0(X), entonces

K+(H,T ) =\

y2YU+(H,µT

y ) =

\

y2YD+(H,µT

y ),

esto muestra la relación que existe entre los subconjunto de Korovkin con respectoa un operador lineal positivo T y los D+�subconjuntos de Korovkin con respectoa una medida de Radon positiva y acotada, donde primero se analiza para el casode contracciones y después se puede generalizar para operadores lineales positivos.

Definición 5.3. Sean X y Y dos espacios localmente compactos Hausdorff yT : C0(X) �! C0(Y ) un operador lineal positivo. Decimos que T es finitamen-te definido de orden n, si existen n funciones �1, . . . ,�n : Y �! X y n funcionesreales 1, . . . , n : Y �! R tales que

T (f) =nX

i=1

i · (f � �i) para cada f 2 C0(X). (20)

Se asume que el lado derecho de la ecuación (20) de la definición anterior pertenecea C0(Y ), bajo cualquiera de las siguientes hipótesis

a) Si Y es compacto, entonces suponer que �1, . . . ,�n, 1, . . . , n son continuas.



b) Si Y no es compacto, entonces suponer que 1, . . . , n 2 C0(Y ) y �1, . . . ,�nson continuas.

Así en ambos casos T está bien definido.

En adelante nosotros denotamos por Fn(X,Y ) el conjunto de todos los operado-res finitamente definidos de orden n de C0(X) en C0(Y ) y por F1

n(X,Y ) el conjuntode todos los operadores finitamente definido de orden n de C0(X) en C0(Y ) parael cual admite una representación de la forma de la ecuación (20) y Pn

i=1 i = 1.Observemos que Fn(X,Y ) ⇢ Fn+1(X,Y ) y F1

n(X,Y ) ⇢ F1n+1(X,Y ), para cada n,

más aún, un operador finitamente definido T : C0(X) �! C0(Y ) de orden 1 es de laforma T (f) = (f ��) para cada f 2 C0(X) para algún � : Y �! X y una funciónreal positiva : Y �! R.

Los operadores finitamente definidos están relacionados con las medidas de Ra-don positivas discretas, es decir, si T : C0(X) �! C0(Y ) es un operador finitamentedefinido de orden n con una representación (20), entonces tenemos

µT

y (f) = Tf(y) =nX

i=1

i(y) · f(�i(y)) =nX

i=1

i(y) · ✏�i(y)(f)

para cada y 2 Y y toda f 2 C0(X), luego entonces la medida

µT

y =

nX

i=1

i(y) · ✏�i

es una medida de Radon positiva y discreta para cada y 2 Y .

Proposición 5.4. Sean T : C0(X) �! C0(Y ) un operador lineal positivo y H unsubespacio de dimensión n en C0(X). Supongamos que X no es compacto y que Hsepara puntos de X. Si para cada x 2 X, existe un h 2 H tal que h(x) 6= 0, entoncesexisten n + 1 funciones �1, . . . ,�n+1 : Y �! X y n + 1 funciones reales positivas 1, . . . , n+1 : Y �! R tales que

T (h) =n+1X

i=1

i · (h � �i) para cada h 2 H.

En consecuencia, si H es un K+ � subespacio para T (o un K1+ � subespacio,

si X es compacto y ||T || 1), entonces T es finitamente definido de orden n + 1.Finalmente, si X y Y son ambos compactos y T (1) = 1 y si H es un K1

+�subespaciopara T , entonces T 2 F1

n+1(X,Y ).



Definición 5.5. Sea un espacio localmente compacto Hausdorff. Un subconjunto Hde C0(X) se dice K+�subconjunto de orden n en C0(X), si es un K+�subconjuntode T para cada espacio Y localmente compacto Hausdorff y cada operador finita-mente definido T 2 Fn(X,Y ). Si además H es un subespacio de C0(X), entoncesse dice K+ � subespacio de orden n en C0(X).

Notemos que cada K+�subespacio de orden n en C0(X) es un K+�subespaciode orden p con 1 p n. Finalmente, cuando X es compacto se tiene que C(X) =

C0(X) y tenemos el resultado siguiente que relaciona la teoría de Korovkin con lateoría de Chebyshev.

Teorema 5.6. Sea X el intervalo [a, b] ⇢ R. Si H es un subespacio de C(X) dedimensión n+ 1, entonces se tiene las siguientes afirmaciones.

i) Si n es par, entonces H es un subespacio de Chebyshev de orden n + 1 enC(X) si y sólo si H es un K+ � subespacio de orden n

2 en C(X).

ii) Si n es impar y H es un subespacio de Chebyshev de orden n + 1 en C(X),entonces H es un K+ � subespacio de orden n�1

2 en C(X).

Demostración. Sean los dos casos

rn =

(n

2 si n es parn�12 si n es impar

entonces para cada conjunto de puntos diferentes {x1, x2, . . . , xrn} de X, siemprese tiene que Prn

i=1 !(xi) n, donde

!(x) =

(2 si x 2 (a, b),1 si x = a, b.

Luego (vea el teorema 2.3.5 de [1], pag.104 y el teorema 3.4.7, ii) de [1], pag.184), pa-ra cada µ 2 C+(x1, x2, . . . , xrn) = {µ 2 µ+

b(X)| existen ↵1 . . .↵n 2 R+ tales que µ =P

n

i=1 ↵i✏xi}. Se tiene que H es un D+ � subespacio si y sólo si H es un K+ �

subespacio de orden rn en C(X). Ahora probemos el inverso del inciso a). Sea Hel subespacio generado por las funciones linealmente independiente {h0, . . . , hn}. SiH no es un subespacio de Chebyshev de orden n en C(X), entonces existen n + 1

puntos distintos {x0, x1, . . . , xn} de X y n + 1 números ↵0, . . . ,↵n no todos cerostales que Pn

i=0 ↵ihj(xi) = 0 para cada j = 0, . . . , n. Ahora definimos el conjuntoJ = {todos los índices i tal que ↵i > 0} y observando que

nX

i=1

↵ihj(xi) =X

i2J↵i✏xi

(hj) +X

i/2J↵i✏xi

(hj) = 0,



notemos que podemos suponer que la cardinalidad de J es menor que n

2 . Si J = ;,entonces µ = 0, luego definimos la medida de Radon positiva como µ =

Pi2J ↵i✏xi

y v = �Pi/2J ↵i✏xi. Por tanto, como µ(hj) = v(hj) para j = 0, . . . , n, entonces

µ = v sobre H y por el teorema 3.4.7, ii), (vea [1], pag.184) se sigue que µ = vsobre C(X) y por tanto es una contradicción, pues todos los puntos {x0, x1, . . . , xn}son distintos.

Los siguientes ejemplos ilustran los sistemas de Chebyshev.

Ejemplo 5.7.

i) 1, x, · · · , xn en [a, b].

ii) 1, cosx, · · · , cosnx en [0,⇡].

iii) 1, sen x, · · · , sen nx en (0,⇡).

iv) eaix con a1 < · · · < an en [a, b].

iv) xai con a1 < · · · < an en [a, b].

Así por ejemplo si n es par, el subespacio de Chebyschev generado por el sistema{1, x, · · · , xn} en [a, b] es de orden n+1 si y sólo si es un K+�subespacio de ordenn

2 . Si n es impar, entonces el subespacio de Chebyshev de orden n+ 1 implica quees un K+ � subespacio de orden n�1

2 .Concluimos este escrito, puntualizando la importancia que presenta el último

resultado. Probar que un conjunto de funciones es un sistema de Chebyshev esrelativamente fácil utilizando la teoría de Chebyshev, específicamente con la propo-sición (3.2) y, siendo el conjunto generado por este sistema un conjunto de Korovkinse pueden formar, mediante la teoría de aproximación tipo Korovkin, procesos deaproximación adecuados, como por ejemplo por los operadores de Bernstein paraaproximación por polinomios algebraicos o por medio de núcleos, como los de Fejero los de Jackson para el caso de aproximación trigonométrica, que nos proporcionesaproximaciones de las funciones que se requiera aproximar.

Agradecimientos

Agradecemos a la Universidad Tecnológica de la Mixteca el apoyo para llevar acabo este trabajo, así como a la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla porpermitirnos presentarlo en el congreso CIMA.



Bibliografía

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[8] Royden, H.L. Real analysis, 2nd MacMillan, New York, (1968).(Russian).

Instituto de Física y Matemáticas,Universidad Tecnológica de la MixtecaKm. 2.5, carretera a Acatlima,Huajuapan, Oaxaca. C.P. [email protected]@mixteco.utm.mx




Filosofia, Divulgación e Historia de las

Matemáticas

153



Capítulo 6

El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipasode Metaponto

Agustín Contreras Carreto, Elizabeth de Gante Coronel,María del Rocío Macías Prado

FCFM, BUAP

Resumen

En este capítulo hablaremos de la primera gran crisis en la historia de la mate-mática y, de hecho, de la ciencia o, más apropiadamente, de la filosofía. Se tratadel descubrimiento de la existencia de segmentos inconmensurables. El origenexacto de tal descubrimiento está rodeado de espesa bruma y ha generado unaactiva controversia entre los diferentes puntos de vista de los historiadores de lamatemática acerca de esta cuestión. Aquí ofreceremos sólo uno de dichos puntosde vista y trataremos de explicar someramente por qué el descubrimiento de lainconmensurabilidad representó una gran crisis en la Escuela Pitagórica.

1 Introducción

En una mañana del año 480 antes de Cristo los gritos de un niño rompieron la tran-quilidad de Crotona. Anunciaban que el gran Hipaso de Metaponto había muertoen un naufragio ocurrido en la noche anterior. Era muy conocido en esa ciudad porsu gran inventiva: hacía música con placas de metal de diferentes grosores y de dis-tintos diámetros, y construía poliedros regulares como nunca antes se habían visto.Pocos sabían que precisamente su genial cerebro lo había convertido en un peligro-so subversivo y que ese naufragio no fue casualidad: durante varias semanas anteshabía estado cabizbajo y no quería asistir a las reuniones de La Hermandad. Losotros miembros de la secta sospechaban que el filósofo de Metaponto seguramentehabía descubierto algo muy importante, pero sólo recurriendo a los extraordinariosencantos de una irresistible y bella dama, quien embriagó y sedujo al sabio, fue queobtuvieron el gran secreto, una verdadera blasfemia contra el inolvidable MaestroPitágoras: Hipaso demostró que existían por lo menos dos segmentos que no sonconmensurables: la diagonal y el lado de un mismo pentágono regular.


156Agustín Contreras Carreto, Elizabeth de Gante Coronel, María del Rocío Macías

Prado

2 Consideraciones preliminares acerca de la conmensu-rabilidad y de la inconmensurabilidad

La introducción a este capítulo es un tanto ficticia, un ardid para interesar al lectoracerca de la figura de Hipaso de Metaponto (en griego clásico: VIppasoc Metapontÿnoc) pero no está tan alejada de las investigaciones históricas sobre este personaje,del cual se conoce realmente muy poco. Morris Kline menciona en [6] que, segúnuna vieja leyenda, los pitagóricos viajaban por mar y que uno de ellos, Hipasode Metaponto, fue arrojado por la borda por haber encontrado un elemento deluniverso que contradecía la doctrina pitagórica de que todos los fenómenos deluniverso se pueden reducir a números enteros. Por otro lado, Howard Eves señalaen [3] que, de acuerdo con una versión, Hipaso fue desterrado de la comunidadpitagórica y fue erigida una tumba con su nombre como si él hubiera muerto. Kurtvon Fritz, en su interesante artículo [8], ofrece plausibles argumentos para afirmarque el descubrimiento de la inconmensurabilidad fue hecho por Hipaso de Metapontoalrededor del año 450 a. C., y no en el cuadrado, sino en el pentágono regular. Enotras palabras, von Fritz piensa que los primeros dos segmentos inconmensurablesdescubiertos en la historia de la Humanidad, no fueron la diagonal y el lado deun cuadrado, sino la diagonal y el lado de un pentágono regular, lo cual equivale,como veremos posteriormente, a que el primer número irracional no fue

p2, sino el

número áureo � = (1 +p5)/2. Según Von Fritz el pentágono regular era, para los

pitagóricos, una figura más misteriosa que el cuadrado.Las diagonales de un cuadrado se cortan en un punto, pero si se intersecan todas

las diagonales del pentágono, se formará un pentágono más pequeño que tambiénserá regular, y si se trazan ahora las diagonales de éste, se obtendrá un pentágonoregular más pequeño aún, y así sucesivamen-te, siguiendo esta construcción en un proceso deapariencia interminable o que involucra el infi-nito. En una especie de operación inversa, si co-menzamos con un pentágono regular cualquieray prolongamos sus lados lo suficiente para quese intersequen formando una estrella, al unir laspuntas de dicha estrella se obtendrá un pentá-gono regular más grande, cuyas diagonales sonlos lados de la estrella. Todo esto lo conocían lospitagóricos desde tiempos de Pitágoras, es decir,desde el siglo VI a. C. y les fascinaba tanto quela hermosa estrella pentagonal fue un símbolo distintivo de la Hermandad Pitagó-rica. Aún ahora se conoce a esa figura como la estrella pitagórica y sigue siendo


El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipaso de Metaponto 157

un símbolo famoso entre los esotéricos. Es allí, dice von Fritz, donde debe haberun misterio y no en el sencillo cuadrado, pero se necesitó de una mente audaz paraatreverse a develarlo y formular la pregunta clave: bueno y. . . ¿cuánto mide la dia-gonal de un pentágono regular usando como unidad su lado?Para tratar de aclarar los términos usados en esta pregunta, comencemos con unaimportante definición:

Definición 2.1. Se dice que dos segmentos AB y CD son conmensurables, siexiste un segmento EF que cabe un número entero de veces en AB y un númeroentero de veces en CD, es decir, si las longitudes de los segmentos AB, CD y EFson a, b y c, respectivamente, entonces existen números naturales m y n tales quea = mc y b = nc. Los segmentos AB y CD son inconmensurables, si no sonconmensurables.

No es difícil para nosotros, en estos tiempos en que tenemos claro el conceptode número real y sus propiedades, percatarse de que, si dos segmentos AB y CDson conmensurables, entonces la razón o el cociente de sus longitudes es un númeroracional. En efecto, si las longitudes de los segmentos AB, CD y EF son a, b y c,respectivamente, y existen números naturales m y n tales que a = mc y b = nc,entonces a/b = mc/nc = m/n. También se cumple la proposición recíproca: sila razón entre las longitudes de dos segmentos es un número racional, entoncesellos son conmensurables. Para demostrar esta afirmación, supongamos que AB yCD son segmentos de longitudes a y b, respectivamente, y que a/b es un númeroracional. Entonces existen números naturales m y n tales que a/b = m/n. Sea EFun segmento cuya longitud c es la enésima parte de b. Entonces b = nc y, por lotanto, a = (a/b)b = (m/n)(nc) = mc, es decir, el segmento EF cabe m veces enel segmento AB y, por la definición del segmento EF , cabe n veces en el segmentoCD. Por consiguiente, los segmentos AB y CD son conmensurables.

Resumamos estas reflexiones en un solo enunciado:

Proposición 2.1. Dos segmentos son conmensurables si y sólo si la razón entresus longitudes es un número racional.

Para medir la longitud de un segmento cualquiera necesitamos una unidad demedida. Actualmente podemos usar, según nos convenga, el centímetro, el metro,la pulgada o la yarda, pero a mediados del siglo V a. C. no se habían inventadoestas maravillosas unidades. Sin embargo, desde mucho antes de ese siglo, se usaba elmétodo de sustracción mutua para medir la longitud de un segmento cualquiera,usando como unidad de medida otro segmento cualquiera. Los griegos lo llamabanantiféresis, palabra construida a partir del verbo Çnjufaire¿ , que emplea Euclides



Prado

en la proposición 1 del libro VII de los Elementos, y que está compuesta a su vezpor Õfaire¿ , que significa “sustraer gradualmente”, y por el prefijo anti, usado aquípara designar la idea de dos cosas que se corresponden. La antiféresis es entoncesuna sustracción recíproca o mutua, como la llamamos antes.

Supongamos que tenemos dos segmentos cualesquiera AB y CD de longitudesa y b, respectivamente, y que a > b. La antiféresis trata de buscar una “unidad demedida común” entre los dos segmentos dados, es decir, un segmento de longitudu que quepa un número entero de veces en a y un número entero de veces en b.La idea fundamental del procedimiento es que , si existe un segmento de longitudu que mida simultáneamente a a y b, mide igualmente a un segmento de longituda� b (y por tanto a a� 2b, a� 3b. etc.), y viceversa: si u mide a la vez a b y a� b,entonces mide también a a. La primera etapa de la antiféresis consiste en recortarde la longitud a, tantas veces como sea posible, la longitud b, colocando el segmentoCD sobre el segmento AB, una y otra vez hasta que ya no quepa completo en AB.Así podemos saber cuántas veces enteras cabe CD en el segmento AB; digamos quecabe c1 veces, donde c1 es un número natural positivo. Si CD cabe exactamente c1veces en AB, entonces ya podemos expresar la longitud de AB en términos de lade CD: a = bc1. No sólo hemos medido la longitud de AB en función de la de CD,sino que hemos hallado un segmento, en este caso CD, que cabe un número enterode veces (a saber, c1) en AB y un número entero de veces (una vez) en CD. Enotras palabras, hemos visto que AB y CD son conmensurables.

Si CD no cabe exactamente c1 veces en AB, entonces, al colocar c1 veces CDsobre el segmento AB, es decir, cuando se ha retirado c1 veces la longitud b a lalongitud a, queda un pequeño segmento residual EF , de longitud r1. En este casotenemos:

a = bc1 + r1,

donde 0 < r1 < b.Ahora debemos trabajar con los segmentos de longitudes b y r1, porque aún

estamos buscando nuestra unidad de longitud u. La segunda etapa de la antiféresises intercambiar el papel de los dos segmentos CD y EF : puesto que EF es el máspequeño, la longitud de éste es la que se va a retirar de b, tantas veces como seaposible: supongamos que EF cabe c2 veces en el segmento CD, donde c2 es unnúmero natural positivo. Si EF cabe exactamente c2 veces en CD, entonces yapodemos expresar las longitudes de CD y AB en términos de la de EF :

b = r1c2 ya = bc1 + r1 = r1c2c1 + r1 = r1(c2c1 + 1).



Llamando m1 a c2c1 + 1 y n1 a c2, obtenemos a = m1r1 y b = n1r1 y con ello, que

a

b=

m1r1n1r1

=m1

n1.

Entonces, a = (m1/n1)b. Así pues, hemos logrado expresar la longitud de AB enfunción de la de CD y hemos hallado un segmento, en este caso EF , que cabe unnúmero entero de veces (a saber, m1) en AB y un número entero de veces (a saber,n1) en CD. En otras palabras, hemos visto que AB y CD son conmensurables.

Si EF no cabe exactamente c2 veces en CD, entonces, al colocar c2 veces EFsobre el segmento CD, queda un pequeño segmento residual GH, de longitud r2.En este caso tenemos:

b = r1c2 + r2,

donde 0 < r2 < r1.Repitiendo el procedimiento, trataremos de ver cuántas veces enteras cabe GH

en el segmento EF : supongamos que cabe c3 veces, donde c3 es un número naturalpositivo. Si GH cabe exactamente c3 veces en EF , entonces ya podemos expresarlas longitudes de EF , CD y AB en términos de la de GH:

r1 = r2c3,

b = r1c2 + r2 = r2c3c2 + r2 = r2(c3c2 + 1) ya = bc1 + r1 = r2(c3c2 + 1) + r2c3 = r2(c3c2 + 1 + c3).

Llamando m2 a c3c2+1+ c3 y n2 a c3c2+1, obtenemos a = m2r2 y b = n2r2 y conello, que

a

b=

m2r2n2r2

=m2

n2.

Entonces, a = (m2/n2)b. Así pues, hemos expresado la longitud de AB en funciónde la de CD, hallando un segmento, en este caso GH, que cabe un número enterode veces (a saber, m2) en AB y un número entero de veces (a saber, n2) en CD.Por consiguiente, AB y CD son conmensurables.

Si GH no cabe exactamente c3 veces en EF , entonces, al colocar c3 veces GHsobre el segmento EF , queda un pequeño segmento residual IJ , de longitud r3. Eneste caso tenemos:

r1 = r2c3 + r3,

donde 0 < r3 < r2. Repetiríamos así el procedimiento anterior para ahora vercuántas veces enteras cabe IJ en el segmento GH: supongamos que cabe c4 veces,donde c4 es un número natural positivo. Si IJ cabe exactamente c4 veces en GH,



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entonces ya podemos expresar las longitudes de GH, EF , CD y AB en términosde la de IJ :

r2 = r3c4,

r1 = r2c3 + r3 = r3c4c3 + r3 = r3(c4c3 + 1),

b = r1c2 + r2 = r3(c4c3 + 1)c2 + r3c4 = r3n3,

donde

n3 = c4c3 + 1 + c4 ya = bc1 + r1 = r3n3c1 + r3(c4c3 + 1) = m3r3,

donde m3 = c4c3 + 1 + n3c1. Obtenemos a = m3r3 y b = n3r3 y con ello, quea

b=

m3r3n3r3

=m3

n3.

Entonces, a = (m3/n3)b. Así, la longitud de AB se ha expresado en función de la deCD (más precisamente, como el producto de b por un número racional) y tenemosen este caso que GH cabe un número entero de veces (a saber, m3) en AB y unnúmero entero de veces (a saber, n3) en CD; en otras palabras, que AB y CD sonconmensurables.

Si GH no cabe un número entero de veces en EF , seguiríamos el procedimineto.Inductivamente, si ya logramos hallar k segmentos de longitudes r1, r2, r3, . . . , rk,respectivamente, tales que:

a = bc1 + r1,

b = r1c2 + r2,

y, para cada j 2 {3, 4, . . . , k},

rk�2 = rk�1ck + rk,

donde0 < rk < rk�1 < . . . < r1 < b < a

entonces el último segmento, el de longitud rk, tendría dos posibilidades:

(i) que quepa exactamente un número entero de veces, digamos ck+1, en el seg-mento de longitud rk�1, o

(ii) que quepa ck+1 veces en el segmento de longitud rk�1, pero quedando unresiduo de longitud rk+1, mayor que cero pero menor que rk.



Definición 2.2. Diremos que el método de antiféresis para determinar cuán-to mide AB en términos del (o usando como unidad el) segmento CD esfinito, si CD cabe exactamente un número entero de veces en AB o existen unnúmero natural k, y k segmentos de longitudes r1, r2, r3, . . . , rk, respectivamente,tales que:

a = bc1 + r1,

b = r1c2 + r2,

y, para cada j 2 {3, 4, . . . , k},

rk�2 = rk�1ck + rk,

donde0 < rk < rk�1 < . . . < r1 < b < a

y ocurre (i), es decir, tales que finalmente el último residuo distinto de cero, elsegmento de longitud rk, ya cabe un número entero de veces en el segmento delongitud rk�1.

El lector puede ya estar convencido, siguiendo el razonamiento empleado enlos párrafos anteriores de que si el método de antiféresis para determinar cuántomide AB usando como unidad el segmento CD es finito, se podrán expresar todaslas longitudes, comenzando por rk�1 y terminando en a, como múltiplos enterosde rk, obteniéndose así la conmensurabilidad de los segmentos AB y CD y larepresentación de la longitud a como un número racional por la longitud b. Asípues, teniendo en cuenta la Proposición 2.1, podemos afirmar que:

Proposición 2.2. Dados dos segmentos AB y CD, de longitudes a y b, respecti-vamente, las siguientes proposiciones son equivalentes:

(a) AB y CD son conmensurables.

(b) El método de antiféresis para determinar cuánto mide AB en términos de CDes finito.

(c) Existe un número racional q tal que a = qb

3 Algoritmo de Euclides vs. antiféresis

Dados dos segmento AB y CD, un segmento que cupiera un número entero de vecesen AB y un número entero de veces en CD sería una especie de divisor común de



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ambos segmentos. El lector seguramente recuerda que, si a y b son números enteros,un divisor común de a y b es un número entero c que es divisor de a y que tambiénes divisor de b. Esto significa, precisamente, que c cabe un número entero de vecesen a y un número entero de veces en b, es decir, que existen números enteros m y ntales que a = mc y b = nc. El máximo común divisor de a y b es simplemente elmayor de los divisores comunes de ambos números. Suele denotarse por m. c. d.(a, b)y es un número natural, porque 1 siempre es un divisor común de a y de b. Porejemplo, los divisores de 18 son ±1, ±2, ±3, ±6, ±9 y ±18. Los divisores de 60son ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±30 y ±60. Los divisores comunesson ±1, ±2, ±3 y ±6. El mayor de todos estos divisores comunes es 6. Entoncesm. c. d.(18, 60) = 6.

Una manera muy conocida de obtener el m.c.d. de dos números naturales ay b, consiste en desarrollar cada uno de ellos como un producto de potencias desus divisores primos y formar un nuevo número multiplicando los números divi-sores primos comunes, elevando cada uno de ellos al menor exponente con el queaparezcan en el desarrollo de a o en el de b. En nuestro ejemplo, 18 = 2 ⇥ 3

2 y60 = 2

2 ⇥ 3 ⇥ 5. Los primos 2 y 3 aparecen en ambos desarrollos, pero 3 apareceelevado al cuadrado en el desarrollo de 18 y elevado a la 1 en el de 60. Escogemos elde menor exponente: 31 = 3; en el caso de 2, escogemos también 2

1= 2. Entonces

m. c. d.(18, 60) = 2⇥ 3 = 6

Otro eficaz modo de obtener el m.c.d. de dos números, por ejemplo, 18 y 60,es así: primero veríamos cuántas veces cabe 18 en 60. Esto equivale a hacer unadivisión con residuo, como las que hacíamos en primaria. Al hacerlo, obtenemosun cociente (que en este caso es 3) y un residuo (que es 6) que debe ser menorque el divisor (que es 18): Entonces 18 cabe 3 veces completas (enteras) en 60 ysobran 6 (unidades). Podemos expresar esto así 60 = 3 ⇥ 18 + 6. Ahora hay quever cuántas veces cabe 6 en 18. De nuevo haríamos la división de 18 entre 6, peroésta va a tener residuo cero, porque 6 es un divisor de 18: 18 = 3 ⇥ 6. Claro quetambién 6 es divisor de 60 (60 = 10 ⇥ 6), pero lo interesante es que, despejando 6en la expresión 60 = 3 ⇥ 18 + 6, obtenemos 6 = 60 � 3 ⇥ 18, igualdad en la quees fácil ver que si un número natural d es divisor común de 18 y de 60, entoncestambién es divisor de 6 y por lo tanto es menor o igual a 6. Así 6 es el mayordivisor común de 18 y 6, el m. c. d.(18, 60). Este procedimiento es un ejemplo deaplicación de un algoritmo conocido con el nombre de Algoritmo de Euclides.El lector iniciado en matemáticas y que haya estudiado algo de la teoría de losnúmeros enteros, seguramnete ya se percató de la gran similitud que existe entre elmétodo de sustracción mutua para hallar un segmento que quepa un número enterode veces en un segmento dado AB y un número entero de veces en otro segmentodado CD, con el Algoritmo de Euclides. Este algoritmo se llama así no porque



Euclides lo hubiera descubierto por primera vez (era conocido por Pitágoras en elsiglo VI a. C.), sino porque aparece en su obra, los Elementos, como la Proposición2 del libro VII, bien enunciado y demostrado quizá por primera vez. Nosotros aquílo recordamos en una versión actualizada:

Teorema 3.1 (Algoritmo de Euclides (E. VII. 2)). Dados dos números naturalesa y b, con a > b, existen números enteros no negativos k, c1, . . . , ck+1 y r1, . . . , rk,tales que:

a = bc1 + r1, 0 r1 < b (1)b = r1c2 + r2, 0 r2 < r (2)

y, para cada j 2 {3, 4, . . . , k},

rk�2 = rk�1ck + rk, 0 rk < rk�1 (3)rk�1 = rkck+1. (4)

Entonces rk, es decir, el último residuo distinto de cero, es el máximo común divisorde a y b.

Para demostrar este algoritmo se aplica repetidamente el Algoritmo de ladivisión que, para el caso de números naturales, no es otra cosa que la célebre“división con residuo” que nos enseñaron en la primaria, como vimos en nuestroejemplo (el de hallar el m. c. d.(18, 60) ):

Teorema 3.2 (Algoritmo de la división para números naturales). Si a y b sonnúmeros naturales, entonces existen números enteros no negativos c (cociente) y r(residuo), tales que:

a = bc+ r, 0 r < b (5)

Como primer paso en la demostración del Algoritmo de Euclides, aplicamos elAlgoritmo de la división a los números a y b, obteniéndose la igualdad (1).

Si r1 = 0, entonces b divide a a y, por supuesto, también a b, y es entonces elmáximo común divisor de a y de b, y aquí termina el proceso. Si r1 6= 0, entonceses un número natural y, aplicando el Algoritmo de la división a los números b y r1,se obtiene la igualdad (2).

Si r2 = 0, entonces r1 divide a b y también a a, ya que

a = bc1 + r1 = r1c2 + r1 = r1(c2 + 1)



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y se puede demostrar muy fácilmente, despejando r1 en la igualdad (1) que si unnúmero natural d divide a a y a b, entonces r1 divide a d. En otras palabras, r1 esel máximo común divisor de a y b, y aquí se termina el proceso. Si r2 6= 0, entonceses un número natural y, aplicando el Algoritmo de la división a los números r1 yr2, se obtiene la igualdad (3) para k = 3, es decir,

r1 = r2c3 + r3, con 0 r3 < r2.

Si r3 = 0, entonces r2 divide a r1 y también a b y a a, ya que

b = r1c2 + r2 = r2c3 + r2 = r2(c3 + 1) ya = bc1 + r1 = r2(c3 + 1)c1 + r2c3 = r2(c3c1 + c1 + c3),

y se puede demostrar también que r2 es el máximo común divisor de a y b, y aquíse termina el proceso. Si r3 6= 0, entonces es un número natural y, aplicando elAlgoritmo de la división a los números r2 y r3, se obtiene la igualdad (3) parak = 4, es decir,

r2 = r3c4 + r4, con 0 r4 < r3.

Y así sucesivamente. Sin embargo, los residuos r1, r2, r3, r4, . . ., van formandouna sucesión estrictamente decreciente de números enteros no negativos, la cual nopuede ser infinita, es decir, en algún momento habrá un primer residuo que sea cero.Más formalmente,

existe k 2 N tal que rk 6= 0, pero rk+1 = 0.

Entonces, el algoritmo debe terminar en un número finito de pasos, y se puededemostrar, usando las igualdades (1) a (4) del enunciado del Algoritmo de Euclides,que ese último residuo distinto de cero es el máximo común divisor de a y b. Ensímbolos,

rk = m. c. d.(a, b).

4 La demostración de Hipaso

Para lograr expresar la longitud de un segmento AB usando la longitud de otrosegmento CD como unidad, tanto los egipcios, como los babilonios y los griegos deantes del año 450 a. C., usaban la antiféresis como un proceso finito, exactamentecomo sucede en el Algoritmo de Euclides, porque en la práctica, los segmentitos quevan quedando, como residuos sucesivos del proceso, tienen longitudes (r1, r2, . . . , rk)



cada vez más pequeñas hasta que en algún momento ya no les interesaban (su inte-rés es puramente práctico) o los burdos instrumentos de medición de esos tiemposya no las detectaban. Antes del año mencionado o, para ser menos aventurados,antes de que comenzara la segunda mitad del siglo V a. C., se pensaba que tal mé-todo era siempre finito, lo cual equivale, como vimos en la sección anterior, a quecualesquiera dos segmentos son conmensurables. Ahora bien, los egipcios y los babi-lonios, aunque habían desarrollado una impresionante cantidad de procedimientosprácticos, muchos de ellos muy sofisticados, para resolver problemas matemáticosde muy diversa índole, tenían principalmente un interés práctico y jamás nació entreellos la posibilidad de pensar de que la antiféresis pudiera no ser un proceso finitoo de que pudieran existir segmentos que no fueran conmensurables. Pero en aquellanoche del año 450 a. C. estaba Hipaso de Metaponto mirando la hermosa estrellapentagonal que servía de símbolo de La Hermandad Pitagórica y se le ocurrió laosadía de medir la diagonal de un pentágono regular usando como unidad su ladopero ahora el interés de este filósofo no era práctico, sino teórico, y el instrumentode medición que emplearía era el más fino que se puede hallar sobre la faz de laTierra: la mente humana.

Hipaso puso en la mesa todos los ingredientes necesarios para llevar a cabo sumedición teórica: los pitagóricos de entonces ya conocían (porque provenían quizádesde los tiempos de Tales de Mileto) todos los teoremas acerca de congruenciay semejanza de triángulos (de hecho, las demostraciones que poseían de todos losteoremas de semejanza de triángulos se basaban en que cualesquiera dos segmentoseran, para ellos, conmensurables) y polígonos regulares. También que un triángulo esisósceles si y solamente si los ángulos que se oponen a los lados iguales, son tambiéniguales y que los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. Sabían quela suma de los ángulos interiores de todo triángulo es dos veces un ángulo recto.Podían deducir de aquí, dividiendo el pentágono en tres triángulos por medio dediagonales, que la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular es seisveces un ángulo recto y que cada uno de ellos mide entonces 6/5 de ángulo recto.Cabe mencionar que la unidad de medida de ángulos era el ángulo recto, ya que,por supuesto, no existían las medidas en grados ni en radianes ni nada por el estilo.Denotaremos esta medida con el símbolo x. También denotaremos a la longitud deun segmento AB como AB, y a la medida de un ángulo ABC por ]ABC.

Ahora sí comenzamos, dijo Hipaso, teniendo ante sí una dibujo como el delpentágono de la figura 1: como el pentágono ABCDE es regular, todos sus ladosson iguales,

AB = BC = CD = DE = DA,



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Figura 1: Pentágono

y todos sus ángulos también,

]ABC = ]BCD = ]CDE = ]DEA = ]EAB.

Así, los triángulos 4ABC, 4BCD, 4CDE, 4DEA y 4EAB, son congruentesentre sí, lo que implica que todas las diagonales del pentágono son iguales entre sí(y con ello, por el criterio lado-lado-lado de congreuncia, que los triángulos 4AEB,4BAC, 4CBD, 4DCE y 4EDA son congruentes) y que los ángulos ]AEB,]ABE, ]BAC, ]BCA, ]CBD, ]CDB, ]DCE, ]DEC, ]EDA y ]EAD tam-bién. Esto nos lleva a que todos los triángulos 4ABD0, 4BCE0, 4CDA0, 4DEB0

y 4EAC 0, son isósceles y congruentes entre sí (criterio ángulo-lado-ángulo), y conello, a que

AC 0= AD0

= BD0= BE0

= CE0= CA0

= DA0= DB0

= EB0= EC 0

y a que]AD0B = ]BE0C = ]CA0D = ]DB0E = ]EC 0A.

Entonces los triángulos 4AC 0D0, 4BD0E0, 4CE0A0, 4DA0B0 y 4EB0C 0 son con-gruentes entre sí (criterio lado-lado-lado) y el pentágono A0B0C 0D0E0 es un pentá-gono regular (sus lados son iguales en longitud y sus ángulos interiores miden lomismo) y, por lo tanto, es semejante al primer pentágono ABCDE. En particu-lar, el ángulo ]B0C 0D0 mide 6/5x. Esta también es la medida del ángulo ]AC 0E(opuestos por el vértice) y, como el triángulo 4AC 0E es isósceles, entonces

2]AEC 0+ 6/5x= 2]AEC 0

+ ]AC 0E = 2x.



Despejando, queda que

]AEC 0= (1/2)(2� (6/5))x= 2/5x.

Por otro lado,]EC 0B0

= 2x�(6/5)x= (2� (6/5))x= 4/5x.Como 4EC 0B0 es isósceles, se deduce fácilmente que ]B0EC 0

= 2/5x. Así,

]AEB0= ]AEC 0

+ ]C 0EB0= 4/5x= ]AB0E,

lo que implica que 4AEB0, y 4BCD0, 4BCA0, etc., son isósceles. Entonces AE =

AB0 (y DE = DC 0, etc.). Como el pentágono A0B0C 0D0E0 es semejante al pentá-gono ABCDE,

]B0E0A0= ]EDA = 2/5x= ]B0DE0,

de lo que se deduce que 4DB0E0 es isósceles. En particular, DB0= B0E0.

En suma, usando un lenguaje moderno para resumir el posible argumento deHipaso en su intento de usar la antiféresis, denotemos con d1 y l1 a la diagonal y allado del pentágono ABCDE, respectivamente, y con d2 y l2 a la diagonal y al ladodel pentágono A0B0C 0D0E0, también respectivamente. Podríamos seguir denotandopor d3 y l3, d4 y l4, y así sucesivamente, a las diagonales y lados de los pentágonosque van apareciendo al seguir el proceso indefinidamente. Entonces:

d1 = AD = AB0+B0D = AE +B0E0

= l1 + d2,

l1 = DC 0= DB0

+B0C 0= B0E0

+B0C 0= d2 + l2.

Así, l1 cabe una vez en d1 y sobra un segmento de longitud d2, d2 cabe una vez en l1y sobra un segmento de longitud l2. El siguiente paso consiste en ver cuántas vecescabe l2 en d2. Pero aquí es donde se aplica el contundente argumento teórico deque, como el segundo pentágono es semejante al primero, las veces que cabe su ladoen su diagonal, son las mismas que las veces que cabe el lado del primer pentágonoen su diagonal, porque todos los argumentos que nos llevaron a probar la primerade estas igualdades, serán los mismos, mutatis mutandis, que para demostrar lassiguientes igualdades:

d2 = l2 + d3,

l2 = d2 + l3,

y también éstas

d3 = l3 + d4,

l3 = d4 + l4,



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y las que seguirían en un proceso que nunca termina, porque los pentagonitos nuncase colapsan a un punto, aunque uno ya no los vea mas que con los ojos de la imagi-nación. Se obtiene entonces una sucesión decreciente de longitudes de segmentitosy que no acaba jamás:

d1 > l1 > d2 > l2 > d3 > l3 > d4 > . . .

Entonces, en este caso, la antiféresis no termina nunca. Hipaso comprendía que estosignifica que existen segmentos inconmensurables y que este descubrimiento daba altraste con una creencia sólida del mundo pitagórico, en la que habían basado todauna filosofía y las demostraciones de todo un conjunto de teoremas, como los desemejanza. Revelar el descubrimiento sería una declaración hereje, la más terriblede las blasfemias contra el Maestro Pitágoras y su doctrina. No se sabe cómo seconoció este corrosivo secreto que Hipaso no pudo ocultar por mucho tiempo, quizárevelado a una seductora y bella dama, que supo extraérselo con sus encantos,del mismo modo en que Dalila descubrió el misterio de la fuerza sobrehumana deSansón. Lo que sí seguramente ocurrió, es que tuvo que exponer sus razonamientesen un juicio ante los miembros de La Hermandad. Alguno de ellos pudo haberlecuestionado:

—Bueno, pero tu demostración sólo indica que la antiféresis no funciona parala diagonal y el lado de un pentágono regular. Pero qué tal si por otro método sepuede demostrar que dichos segmentos sí son conmensurables.

—No su señoría —contestó Hipaso con toda la honestidad intelectual que locaracterizaba, sabiendo que su respuesta era su sentencia de muerte— si existieraun segmento u que cupiera un número entero de veces, digamos m1 en d1, y unnúmero entero de veces, n1, en l1, entonces se tendría que, por las igualdades dearriba,

d2 = d1 � l1 = m1u� n1u = (m1 � n1)u = m2u,

l2 = l1 � d2 = n1u�m2u = (n1 �m2)u = n2u,

d3 = d2 � l2 = m2u� n2u = (m2 � n2)u = m3u,

y, análogamente, d4 = m4u, d5 = m5u, d6 = m6u, . . . , donde m1 > m2 > m3 >m4 > . . . (porque d1 > d2 > d3 > d4 > . . . ), y todas estas mi son enteros positivos(porque ninguna di es igual a cero). Tendríamos entonces algo imposible: una su-cesión interminable y estrictamente decreciente de números enteros positivos. Estacontradicción nos lleva a afirmar que no existe tal segmento u y, por consiguiente,que la diagonal y el lado del pentágono regular, son inconmensurables.



5 El primer número irracional

Por nuestra Proposición 2.2 sabemos que demostrar que existen segmentos incon-mensurables equivale a demostrar que existen números irracionales. Para ver cuál esel número irracional que encontró Hipaso (él no lo planteó así, por supuesto), volva-mos a la figura del pentágono. En él se observan dos triángulos semejantes: 4ABCy 4AB0E0. Debido a dicha semejanza, se tiene: AD/AB0

= DC/B0E0, lo que, conla notación que usamos en la demostración de Hipaso, equivale a d1/l1 = l1/d2.Llamemos � a esta razón, es decir, � = d1/l1. Entonces se obtienen las igualdades:

d1 = l1 + d2 y l12= d1d2,

lo que implica quel1

2= (l1 + d2)d2 = l1d2 + d22.

Dividiendo entre d22, quedal21/d

22 = (l1/d2) + 1,

o lo que es lo mismo,�2 = �+ 1.

Resolviendo esta ecuación de segundo grado y teniendo en cuanta que � > 0, seobtiene � = (1 +

p5)/2. Este es el célebre número áureo. Entonces, si aceptamos

que los primeros dos segmentos que se supo que eran inconmensurables fueron ladiagonal y el lado de un pentágono regular, tendremos que aceptar que el primernúmero irracional que se descubrió es el número áureo. Hay mucha dicusión entrelos historiadores acerca de ello. El otro número que compite por la prioridad comonúmero irracional, es la raíz cuadrada de 2. En efecto, en muchos libros de textoque tratan el tema de los números reales, señalan que el primer número irracionaldescubierto fue

p2, el número real positivo cuyo cuadrado es 2, y la demostración

que dan acerca de la irracionalidad de este número es la clásica demostración porreducción al absurdo (ver, por ejemplo, [7]).

Como dice Benoît Rittaud en [7], «desde el punto de vista pedagógico, una re-ducción al absurdo como la de la demostración clásica, posee en general un débilpoder de convicción. Es necesaria cierta práctica de razonamiento matemático paracomprender el sentido exacto y aceptar la validez de una introducción al tema como:‘voy a demostrarles que

p2 no se puede escribir en forma de fracción. Supongo quep

2 = p/q, y luego. . . ’. De buenas a primeras se dice una cosa y su contrario en elespacio de dos frases consecutivas. Esta dificultad, inherente a este modo de razona-miento, hace que, según lo que han observado varios autores (como Rapad Szabó),la demostración clásica tenga pocas posibilidades de haber sido aquélla gracias a la



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cual se descubrió la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 (o la inconmensurabili-dad de la diagonal del cuadrado y de su lado), en la medida en que su estructuramisma hace de ella un razonamiento que no pueda llevar a cabo sino alguien queya esté al corriente del resultado final».

La demostración clásica suele atribuírsele a Aristóteles, quien en sus PrimerosAnalíticos escribió: «Suponer que la diagonal es conmensurable implica confundir losnúmeros pares y los números los impares». También escribió esta afirmación en otrasde sus obras. En un apéndice a los Elementos de Euclides aparece la demostraciónoriginal de Aristóteles, que parece algo más complicada que la mencionada arriba,lo cual es lógico porque en ese tiempo no se manejaban los números reales conlas propiedades que aceptamos modernamente. Según el mismo Aristóteles, son lospitagóricos los que demuestran la existencia de segmentos inconmensurables y dehecho, la irracionalidad de

p2 (es decir, la inconmensurabilidad de un segmento de

longitudp2 y un segmento de longitud 1).

Los primeros textos que mencionan explítamente las magnitudes inconmensu-rables son los Diálogos de Platón. En uno de ellos, el «Menón» (escrito hacia elaño 380 a. C.), Sócrates hace tomar conciencia a un esclavo del hecho de que ladiagonal de un cuadrado es su duplicadora, es decir, que dado un cuadrado cual-quiera, podemos duplicar su área construyendo un cuadrado cuyo lado sea igual ala diagonal del cuadrado original, pero para resolver este problema no se necesitasaber que la diagonal es inconmensurable con su lado y Platón no habla de ello. Elmomento del diálogo en el que más se acercan al tema es cuándo Sócrates, ante elaprieto del esclavo para hallar el lado del cuadrado de área doble, le dice: «si noquieres dar el número, muéstralo sobre el dibujo». Rittaud señala en [7] que «esnecesario ser indulgente para ver en esta sugerencia una alusión a la inexistencia deuna relación de números enteros que estén en proporción con el lado y la diagonal».En otro diálogo, «La República», encontramos una breve mención de las «líneasinconmensurables» y, más adelante, una exposición poco clara en la que se trata de«diagonales irracionales» y se deja entrever la inconmensurabilidad de la diagonaly el lado del cuadrado.

Mucho más explícito es otro diálogo de Platón llamado «Teetetos». Este diálogofue escrito en el año 368/367 a. C., poco tiempo después de la muerte del matemáticoTeetetos, al término de una batalla en la que fue fatalmente encontrado (ver [8]). Enla primera parte del diálogo, el viejo matemático Teodoro de Cirene es representadodemostrando a un grupo de hombres jóvenes, entre los cuales se encuentra el jovenTeetetos, la irracionalidad de las raíces cuadradas de 3, 5, 6 y hasta 17, por supuesto,sin incluir a las raíces cuadradas de 4 y de 9. El hecho de que Teodoro se hayadetenido en 17 ha dado mucho que pensar, pero más todavía la cuestión de por quéno se menciona la irracionalidad de

p2 y se comienza desde la raíz cuadrada de 3.



Se cree que esta ausencia, lejos de ser el resultado de una ignorancia, muestra de lairracionalidad de

p2 debía ser demasiado conocida como para que fuera útil citarla.

Así pues, el descubrimiento de la inconmensurabilidad tuvo que haberse realizado,no sólo antes de Aristóteles, sino también, antes de Platón. De hecho, la mayoría delos historiadores está de acuerdo en que fue realizado en el seno de la HermandadPitagórica. A modo de resumen listamos algunos de los argumentos de von Fritzpara hacer plausible su hipótesis de que fue precisamente el pitagórico Hipaso deMetaponto quien lo llevó a cabo y en el pentágono:

El descubrimiento tuvo que haber sido al nivel elemental de las matemáticasgriegas de la primera mitad del siglo V a. C. El carácter de la investigación científicatan desarrollado en el siglo V a. C. no sólo hizo posible, sino muy probable que eldescubrimiento fuera hecho a pesar de que su conocimiento era mínimo. Aún mássignificativo es el hecho de que la prueba completa de la raíz cuadrada de dos,como es presentada usualmente y que se atribuye a Aristóteles en el siglo IV a. C.,usa los términos conmensurable e inconmensurable, lo cual hace presuponer que elconcepto de inconmensurabilidad ya era conocido cuando se hizo la demostraciónen el cuadrado. Los pitagóricos usaban el pentagrama como insignia, lo cual debióde haber atraído su atención y evocado un deseo de analizar matemáticamente suforma. Es probable que Hipaso para lograr el desarrollo del dodecaedro, hubieratratado de investigar acerca de números y radios incorporados en el pentagrama yel pentágono regular.

6 Importancia del descubrimiento de la inconmensura-bilidad

La idea de que dos magnitudes, y más concretamente, dos segmentos, tienen siempreuna parte alícuota común, es decir que son conmensurables, representa una etapaprimigenia e inevitable en el desarrollo del pensamiento intuitivo matemático, tantoen el horizonte histórico como en el escolar y, por supuesto, en el ámbito artesanal,por necesidades de la medida siempre aproximada de longitudes. La aparición delas magnitudes inconmensurables marcó una inflexión radical en la evolución histó-rica de la geometría griega, ya que puso fin al sueño filosófico pitagórico acerca delnúmero como esencia del universo, eliminó de la geometría la posibilidad de medirsiempre con exactitud y fue lo que imprimió a la matemática griega una orientacióngeométrica deductiva plasmada en los Elementos de Euclides. El descubrimientode segmentos inconmensurables marca un hito en la historia de la filosofía, porqueno es algo empírico, sino puramente teórico; conduce a un trastorno lógico que es-tremece los cimientos de la matemática y filosofía griegas, ya que invalida todaslas pruebas pitagóricas de los teoremas que hablan de proporciones y la visión fi-



Prado

losófica del papel central de los números enteros. Que el lado y la diagonal de unpentágono no tengan medida común implica que, si un número representa a unode los segmentos, ningún número puede representar al otro. Así pues, es imposiblereconocerlos numéricamente juntos. Sin embargo, ante nuestros ojos se muestranconviviendo juntos en un hermoso pentágono. Lo real aquí no es discutible y excedemanifiestamente la capacidad numérica. Estas magnitudes geométricas esacapan ala numericidad. Para reconstruir el edificio dañado, los griegos desarrollaron unateoría interna referente sólo a las magnitudes geométricas. Establecieron propor-ciones entre estas magnitudes, pero se negaron a llamarlas números. Como dice V.Gómez Pin en [5], la crisis abierta por el descubrimiento de la inconmensurabilidad,tuvo como consecuencia que la geometría fuera en parte privilegiada en detrimentode la aritmética. Para los griegos, tal descubrimiento, como dice W. Dunham en[1], establecía firmemente la superioridad de la geometría respecto de la aritméticaen todas las matemáticas griegas a partir de entonces.

Muchos historiadores se han dedicado a este acontecimiento y existen entre ellosopinones encontradas, pero nadie puede dudar que considerar el descubrimiento dela inconmensurabilidad como un gran momento en la historia de las matemáticas,como lo hizo Howard Eves en [4], es un gran acierto.

Agradecimientos

Agradecemos infinitamente las acertadas y eruditas sugerencias del árbitro, quemejoraron este trabajo en todos los aspectos, y a la maestra Mónica Macías por suvaliosísimo apoyo técnico.

Bibliografía

[1] W. Dunham, Viaje a través de los genios, Pirámide, Madrid, 1992.

[2] C. H. Edwards, Jr. The Historical Development of the Calculus, Springer -Verlag, New York, Heildelberg, Berlin, 1937.

[3] H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart andWinston, New York, Fourth Edition, 1976.

[4] H. Eves, Great Moments in Mathematics (before 1650), The MathematicalAssociation of America, 1980.

[5] V. Gómez Pin, La tentación pitagórica, Síntesis, Madrid, segunda edición, 2010.



[6] M. Kline, Matemáticas. La pérdida de la certidumbre , Siglo XXI de EspañaEditores, Madrid, 1985.

[7] B. Rittaud, Qué irracional. El fabuloso destino dep2, Consejo Nacional para

la Cultura y las Artes, Colección QED, Cd. de México, México, 2009.

[8] K. von Fritz, The discovery of inconmensurability by Hippasus of Metaponto,Ann. Math. (2) 46 (1945), 242-264.






Probabilidad y Estadística

175



Capítulo 7

Un portafolio de inversión óptimo bajo un enfoque deConditional Value at Risk (CVaR)

Ambrosio Ortiz Ramírez1, Abigail Rodríguez Nava2,Luis Alberto Sánchez Zacateco1

1Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico Nacional,2Universidad Autónoma Metropolitana–Unidad Xochimilco

Resumen

En este trabajo se presenta la metodología para construir un portafolio óptimocon una medida de riesgo coherente: Valor en Riesgo Condicional (CVaR) dadapor [13]. El problema a resolver consiste en minimizar el CVaR de un portafoliocompuesto por n activos. Dada la complejidad de la función objetivo asociadaal CVaR se incluye una función auxiliar que permite transformar tal funciónobjetivo en otra que depende de los pesos de los activos del portafolio y dela función auxiliar. Bajo estas condiciones hay un caso particular en el cual laminimización del CVaR es un problema de optimización manejable: cuando lafunción de densidad de probabilidad conjunta de los rendimientos de los activosdel portafolio está representada en un conjunto de escenarios. Esto suele ser eltipo de datos que se encuentran en la práctica: se generan escenarios de pér-didas y ganancias de un portafolio, lo cual permite minimizar el CVaR por elmétodo de simulación histórica. La metodología se aplica a un portafolio com-puesto por una muestra de 10 acciones que componen el Indice de Precios yCotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores, con una periodicidad que com-prende desde el 01/01/2014 al 22/07/2015 con un total de 406 observaciones.Se calcula el VaR por el método de simulación histórica al 95 % y al 99% deconfianza. Asimismo se determinaron el CVaR mínimo y los pesos que lo con-forman con los mismos niveles de confianza. La evidencia empírica muestra queminx CVaR↵(x) � VaR↵(x) para los dos niveles de confianzas elegidos. Este re-sultado implica que implementar metodologías más robustas para la medicióndel riesgo de mercado como lo es el CVaR, es importante para un administradorde riesgos, en un intento de reducir el impacto de las variaciones abruptas en losprecios de los activos que se negocian en los mercados financieros y que formanlos portafolios de inversión.


178 Ambrosio Ortiz Ramírez, Abigail Rodríguez Nava, Luis Alberto Sánchez Zacateco

1 Introducción

La optimización de portafolio es uno de los enfoques más conocidos en la selec-ción de portafolios de inversión. La primera técnica para resolver el problema deselección de portafolio fue desarrollada por Harry Markowitz, 1952 [11]. En el de-nominado modelo de optimización de portafolio en media-varianza (MV) propuestopor Markowitz, el rendimiento del portafolio se mide por la rendimiento esperadodel portafolio y el riesgo asociado se mide por la varianza de los rendimientos deportafolio. Una de las extensiones de optimización de portafolios se presenta en [5],la propuesta consiste en la solución del problema de conformar un portafolio óptimocuando los activos tienen rendimientos provenientes de distribuciones ↵-estables.

La varianza como medida de riesgo presenta algunas desventajas. Al controlar(minimizar) la varianza no sólo conduce a una baja desviación del rendimientoesperado en la parte izquierda de la distribución de pérdidas, sino también en ellado derecho, por lo cual puede limitar posibles ganancias [18]. Por lo tanto, algunasmedidas de riesgo se han propuesto como alternativa para reemplazar la varianzatales como el Valor en Riesgo (VaR), el cual modela y mide el riesgo en términos depercentiles de la distribución de pérdidas. En lugar de basarse en valores negativos ypositivos del rendimiento esperado, considera sólo el lado negativo del rendimientoesperado como riesgo y representa la pérdida máxima pronosticada con un nivel deconfianza particular (por ejemplo, 99 %) durante un cierto periodo de tiempo (porejemplo, un día) [7, 13].

El VaR como medida de riesgo es muy popular. Sin embargo, tiene algunas pro-piedades que limitan su uso [3, 12], como la falta del subaditividad; es decir, VaRde dos portafolios puede ser mayor que la suma de los VaRs de cada portafolio.Además, el VaR es no convexo y suave, además de tener varios mínimos locales,lo cual es un problema puesto que se busca un mínimo global [7, 12]. Así se handesarrollado medidas de riesgo alternativas como el Valor en Riesgo Condicional(CVaR)1 que se interpreta como el valor de la esperanza condicional de la distribu-ción de pérdida dado que excede el VaR [4]. VaR implica que ¿Cuál es la pérdidamáxima que tiene el portafolio?, mientras que CVaR: ¿Cómo se espera el incurriren pérdidas bajo condiciones extremas?. Experimentos numéricos muestran que elCVaR mínimo ordinariamente conduce a soluciones óptimas cercanas a un VaR mí-nimo, ya que VaR nunca excede CVaR [13]. CVaR tiene mejores características queel VaR. Es un problema de optimización convexo, y por lo tanto es fácil optimizar[7]. Está demostrado que se pueden utilizar técnicas de programación lineal paraoptimización del CVaR como medida de riesgo [13, 9]. A su vez en [19] se muestrala aplicación de optimización robusta a un portafolio con el peor caso del CVaR y

1CVaR también se conoce como Expected Shortfall (Déficit Esperado).


Un portafolio de inversión óptimo bajo un enfoque de Conditional Value at Risk(CVaR) 179

con información parcial de la distribución de probabilidad, se muestran las ventajasmediante ejercicio de simulación Monte Carlo.

El objetivo central de este trabajo es presentar los conceptos de riesgo, su cla-sificación en un marco simple con su relación con lo que es una medida de riesgocoherente, asimismo proporcionar las bases teóricas de la metodología de optimiza-ción de un portafolio con el CVaR como función objetivo en el contexto de [13].

Este trabajo está organizado como sigue. En la siguiente sección se presentauna introducción al concepto de riesgo, una clasificación de los riesgos y medidascoherentes de riesgo. En la sección 3 se describe la metodología general para calcularel VaR, en específico los pasos para calcular el VaR por el método de simulaciónhistórica, en la sección 4 se plantea el problema de optimización del CVaR, enla sección 5 se aplica la metodología a un portafolio de acciones, por último, seconcluye en la sección 6.

2 Riesgo, clasificación y medidas coherentes de riesgo

El término riesgo tiene sus raíces en el latín risicare (o resecare) que significa atre-verse que significa atreverse y en el griego rizha (o riza) que significa navegar porun acantilado para alcanzar la costa [17]. La definición más común de riesgo es: ex-posición a la posible pérdida, daño, o alguna otra circunstancia desafortunada. Enel siglo XVI ya se tenía una concepción moderna del riesgo, ya que se definía comouna contingencia que podía presentarse. Posteriormente, a mediados del siglo XXlos conceptos riesgo e incertidumbre se trataron de manera indistinta; sin embargo,actualmente existe una diferencia muy clara entre incertidumbre y riesgo; mientrasla incertidumbre es subjetiva y no medible, lo que implica una distribución de fre-cuencia desconocida, el riesgo es cuantificable y objetivo, con una distribución defrecuencias conocida.

Otro enfoque entre incertidumbre y riesgo es el expuesto en [8], quien define laincertidumbre, riesgo y la medición de éstos como:

• Incertidumbre: Falta de certidumbre, esto es, la existencia de más de unaposibilidad. El verdadero resultado (valor,estado) no es conocido.

• Medición de la incertidumbre: Un conjunto de probabilidades asignado a unconjunto de posibilidades. Ejemplo: existe un 80 % de que los alumnos aprue-ben el curso, 10 % de que reprueben.

• Riesgo: Es un estado de la incertidumbre donde algunas posibilidades puedenser pérdidas, catástrofes, o algún resultado inesperado .



• Medición del riesgo: Un conjunto de posibilidades el cual se mapea aun con-junto de probabilidades y a un conjunto de cuantificación de pérdidas. Ejem-plo:existe un 25 % de probabilidad de que el IPyC disminuya a los niveles deoctubre 2008 con una pérdida generalizada de 500 billones de pesos.

En este contexto se afirma que se puede tener incertidumbre sin riesgo, pero noriesgo sin incertidumbre [8]. Se puede tener incertidumbre en cuanto al ganador deun partido de fútbol, pero si se apuesta no existe el riesgo de alguna pérdida.

Otra clasificación de riesgos que se encuentra en la práctica de la administraciónde riesgos es la siguiente (Véase [6]):

Riesgos

8>>>>>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>>>>>:

Cuantificables

8>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>:

Discrecionales

8>>>>><

>>>>>:

Riesgo de créditoRiesgo de liquidezRiesgo de mercadoRiesgo de extensión

No Discrecionales(

Riesgo tecnológicoRiesgo legal

No Cuantificables

1.� Riesgos cuantificables, que son aquellos para los cuales es posible conformarbases estadísticas que permitan medir sus pérdidas potenciales, y dentro deestos se encuentran los siguientes:

a.� Riesgos discrecionales, que son aquellos resultantes de la toma deuna posición de riesgo, Tipos: riesgo de crédito, liquidez y de mercado,de extensión.i) Riesgo de crédito o crediticio. Se define como la pérdida po-

tencial por la falta de pago de un acreditado o contraparte en lasoperaciones que efectúan los Organismos de Fomento y Entidades deFomento, incluyendo las garantías reales o personales que les otor-guen, así como cualquier otro mecanismo de mitigación utilizado pordichos Organismos de Fomento y Entidades de Fomento.

ii) Riesgo de liquidez. Se define como la pérdida potencial por laimposibilidad o dificultad de renovar pasivos o de contratar otros encondiciones normales para los Organismos de Fomento y Entidadesde Fomento, por la venta anticipada o forzosa de activos a descuentos



inusuales para hacer frente a sus obligaciones o bien, por el hecho deque una posición no pueda ser oportunamente enajenada, adquiridao cubierta mediante el establecimiento de una posición contrariaequivalente.

iii) Riesgo de mercado. Se define como la pérdida potencial por cam-bios en los Factores de Riesgo que inciden sobre la valuación o sobrelos resultados esperados de las operaciones activas, pasivas u Opera-ciones Causantes de Pasivo Contingente, tales como tasas de interés,tipos de cambio e índices de precios, entre otros.

iv) Riesgo de extensión. Se define como la pérdida potencial por laposibilidad de no cubrir la totalidad de los créditos con los pagosestablecidos, como consecuencia de la obligación que tienen el In-fonavit y Fovissste de eximir al acreditado de su pago alcanzado alvencimiento del plazo del crédito.

b.� Riesgos no discrecionales, son aquellos resultantes de la realización desus actividades, pero que no son producto de la toma de una posición deriesgo, tales como el riesgo operacional, que se define como la pérdidapotencial por fallas o deficiencias en los controles internos, por errores enel procesamiento y almacenamiento de las operaciones o en la transmisiónde información, así como por resoluciones administrativas y judicialesadversas, fraudes o robos, y comprende, entre otros, al riesgo tecnológicoy al riesgo legal, en el entendido de que:i) El riesgo tecnológico se define como la pérdida potencial por da-

ños, interrupción, alteración o fallas derivadas del uso o dependen-cia en el hardware, software, sistemas, aplicaciones, redes y cual-quier otro canal de distribución de información en la prestación deservicios con los clientes o derechohabientes de los Organismos deFomento y Entidades de Fomento.

ii) El riesgo legal se define como la pérdida potencial por el incum-plimiento de las disposiciones legales y administrativas aplicables,la emisión de resoluciones administrativas y judiciales desfavorablesy la aplicación de sanciones, en relación con las operaciones que losOrganismos de Fomento y Entidades de Fomento llevan a cabo.

2.� Riesgos no cuantificables, que son aquellos derivados de eventos imprevis-tos para los cuales no se puede conformar una base estadística que permitamedir las pérdidas potenciales.

De esta manera, el riesgo se puede definir como la variación del valor de unportafolio de inversión, de crédito o de seguros con respecto a su valor actual, debido



a variaciones en los factores que los componen. Eso significa que, a diferencia de loque se considera generalmente, tanto las desviaciones positivas y negativas del valordel portafolio se consideran riesgo, lo que se conoce comúnmente como volatilidadde los factores.

2.1 Medidas coherentes de riesgo

Existen escenarios a los cuales se asocia un riesgo mayor en comparación con otros.Se trata entonces del problema de encontrar una forma de medir y cuantificar elriesgo en cada escenario. La medición del riesgo no es un tema nuevo y ya sehan propuesto varias formas para cuantificarlo. Si se parte de la definición de riesgocomo la desviación de un resultado esperado entonces ejemplos de medidas de riesgoson la varianza, la desviación estándar, desviación media absoluta, etc. Así, dado unconjunto de observaciones (por ejemplo de rendimientos de algún activo) la varianzarepresenta la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media,mientras que la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.Por su parte, la desviación media absoluta es el promedio aritmético del valorabsoluto de las desviaciones respecto a la media. Las tres medidas nos indican cuántose desvían las observaciones de su media. Surgen entonces dos preguntas: ¿cuálmedida de riesgo es mejor?, ¿cuales son las características de una medida de riesgoapropiada?. Para responder a esas preguntas se encuentran en la literatura trabajosque proponen propiedades deseables que debería cumplir una medida de riesgopara ser caracterizada como coherente. Para introducir los axiomas de coherenciaen seguida se enuncia una definición formal de medida de riesgo.

Sea un espacio de probabilidad (⌦,F,P) y sea el horizonte de riesgo T . SeanL0

(⌦,F,P) los conjuntos de variables aleatorias en (⌦,F), que son casi seguramentefinitos. Los riesgos financieros son representados por un conjunto M 2 L0

(⌦,F,P)de variables aleatorias, que se interpretan como pérdidas de un portafolio sobreun horizonte de tiempo T . El horizonte de tiempo es libre, es decir sin especificar,aunque en la práctica siempre es finito. Se supone que M es un cono convexo,es decir, si L1 2 M y L2 2 M implica que L1 + L2 2 M y que �L1 2 M paracada � > 0. Las medidas de riesgo son funciones reales ⇢ ! R definidos en losconos de variables aleatorias que satisfacen ciertas propiedades. Se interpreta ⇢(L)como el monto de capital que se deberá agregar a una posición con pérdida L. Lainterpretación de L difiere de aquella propuesta en [3], donde la variable aleatoriaL 2 M es interpretada como el valor futuro (en lugar de pérdidas) de una posiciónque se tiene actualmente, también las tasas de interés son cero para establecer lasmedidas de riesgo. Una medida de riesgo ⇢ es coherente de acuerdo a Artzner [3] sisatisface cuatro axiomas:



1. Invarianza ante traslaciones. Para toda L 2 M y cada l 2 R se cumpleque ⇢(L + l) = ⇢(L) + l. Una medida de riesgo invariante ante traslacionesimplica que si cuenta con un activo riesgoso y se forma una cartera agregandoun activo libre de riesgo, el riesgo de la cartera disminuye en la cantidad delactivo libre de riesgo.

2. Subaditividad. Para toda L1 + L2 2 M se tiene que ⇢(L1 + L2) ⇢(L1) +

⇢(L2). La idea principal de este propiedad es que “una unión no crea riesgoextra”, esto refleja la idea de que el riesgo se puede reducir diversificando losactivos.

3. Homogeneidad positiva. Para toda L 2 R y cada � > 0 se cumple que⇢(�L) = �⇢(L). En este caso, cuando una riqueza bajo riesgo representadapor un activo es multiplicada por un factor positivo, el riesgo y la incerti-dumbre crecen en la misma proporción. La falta de liquidez de los mercadosfinancieros, resta realismo a esta propiedad porque en este caso no se ten-dría una relación lineal. Esta propiedad es fácilmente justificada si se suponesubaditividad, ya que esta implica que:

⇢(nL) = ⇢(L+ . . .+ L) = n⇢(L),

dado que no hay diversificación entre las pérdidas de este portafolio es naturalque la desigualdad anterior se convierta en igualdad, de donde surge entoncesla homogeneidad positiva. Observe que subaditividad y homogeneidad positi-va implica que la medida de riesgo ⇢ sea convexa en M.

4. Monotonía. Para toda L1 + L2 2 M tal que L1 L2 entonces se cumplecasi seguramente que ⇢(L1) ⇢(L2).

En síntesis la importancia de los axiomas anteriores en la medición del riesgo mer-cado puede explicarse como sigue: la homogeneidad positiva se relaciona con eltema de liquidez; la subadditividad refleja la idea de que la diversificación no creariesgo adicional; la monotonía regula a las medidas de riesgo de tipo semi-varianza[16], la invarianza ante traslaciones implica que agregar un activo con rendimientoconstante a otro con rendimiento aleatorio puede reducir el riesgo.

La varianza, desviación estándar y desviación media absoluta ninguna resultaser una medida coherente. La varianza sólo cumple subaditividad, mientras que ladesviación estándar y la desviación media absoluta cumplen con ser subaditivas ytener homogeneidad positiva pero no con la monotonicidad ni con ser invariantesante traslaciones.

En [1] sección 3 se demuestra que CVaR satisface los cuatro axiomas, por consi-guiente, califica como una medida de riesgo coherente. De hecho, en [2] se muestra



que cualquier medida de riesgo coherente puede representarse como una combi-nación convexa de CVaRs con diferentes niveles de confianza. Además, CVaR esuna función convexa con respecto a posiciones en un portafolio, lo cual permite laconstrucción de algoritmos eficientes de optimización. En particular, Rockafellar yUryasev [13] muestran que el CVaR puede minimizarse utilizando técnicas de pro-gramación lineal, lo cual permite ejecutar cálculos a gran escala de manera práctica,eficiente y estable.

3 Modelo de simulación histórica

Dentro de la literatura sobre riesgos financieros se encuentran diversas metodologíaspara medir el riesgo de mercado de los portafolios de inversión, que tradicionalmentela medida estándar para hacerlo es con el VaR. A continuación se describirá elmodelo de Simulación Histórica el cual es un método no paramétrico basado endatos históricos para calcular el VaR.

Si G(V ) es la distribución de probabilidad de los cambios futuros del valor demercado de un portafolio, entonces dado un nivel de confianza ↵, se puede encontrarla mayor disminución del valor de mercado del portafolio (V ) en relación con el valorvigente, tal que la probabilidad de que la reducción del valor del portafolio sea mayora V es 1� ↵. Esta mayor pérdida del valor del portafolio (V ) es el valor en riesgo.

Es decir, para estimar el VaR es necesario conocer la distribución de probabilidadde los cambios futuros del valor de mercado del portafolio y de cada una de susposiciones durante el periodo de tenencia del portafolio. En general, para estimarla distribución de probabilidad y el VaR se deben ejecutar las siguientes fases [10]:

1. Identificar los factores de riesgo que pueden influir en el valor de mercado delportafolio de inversión.

2. Construir la distribución de probabilidad de los cambios de los factores deriesgo que podrían ocurrir durante el horizonte de inversión2.

4. Estimar la distribución de probabilidad de los cambios en el valor de mer-cado del portafolio, a partir de los efectos de los factores de riesgo de lasdistribuciones de probabilidad estimadas en la fase anterior3.

2Cabe mencionar que en esta fase el objetivo es predecir un rango de posibles cambios en el

factor de riesgo, y no el realizar un pronóstico específico del factor de riesgo.3

Es pertinente resaltar que en este método el riesgo se modela directamente de la distribu-

ción empírica de los rendimientos de activos generados por los factores de riesgo ya identificados

previamente.



3. Calcular el VaR de las posiciones individuales en cada activo y de todo elportafolio de inversión.

En función de los supuestos y alcances que se consideran para realizar las fasesanteriores, los modelos estadísticos de valor en riesgo se pueden clasificar en: modelosde portafolio o de varianza-covarianza, donde la revaluación del portafolio se realizamediante aproximaciones analíticas, y los modelos de simulación: histórica y deMonte Carlo, los cuales construyen la distribución de probabilidad a partir de lageneración de escenarios y la revaluación del portafolio con cada uno de ellos.

El método de simulación histórica consiste en generar escenarios de los factoresde riesgo (tasas de interés, tipo de cambio, precio de acciones, etc.) a partir de lainformación observada en un determinado número de días. La estimación del VaRconsiste en las siguientes etapas:

1. Se genera una serie histórica del factor de riesgo (F ).

2. Se construye la serie de rendimientos, es decir, se estiman las variacionesdiarias de los factores de riesgo:

Rt�1 = ln

ÇFt

Ft�1

å

3. Se estima una serie alternativa del factor de riesgo. Para ello, al valor actualdel factor de riesgo se le agrega el valor de las variaciones calculadas en elpaso anterior:

F0 ⇥ exp

âR1

R2...Rn

ì

=

âF01

F02...

F0n

ì

4. El portafolio se revalúa con cada uno de los valores estimados de los factoresde riesgo.

5. Se calculan las pérdidas y ganancias del portafolio, las cuales se obtienen dela diferencia entre cada uno de los valores del portafolio estimados en cadauno de los escenarios, y el valor del portafolio vigente en la fecha de valuación.

6. Se calcula el VaR con base en el nivel de confianza (percentil4 o cuantil)elegido.

4Son los valores que dividen a la distribución en 100 partes iguales, cada una de las cuales

engloba el 1 % de las observaciones. En total habrá 99 percentiles.



4 Planteamiento del problema de optimización del CVaR

Considere activos S1, . . . , Sn, n � 2 con rendimientos aleatorios. Suponga que µi

denota el rendimiento esperado del activo Si, y también considere xi como la pro-porción de participación en el i -ésimo activo. Se representa el rendimiento esperadodel portafolio resultante x como sigue:

E[x] = µ1x1 + . . .+ µnxn = µTx. (1)

Asimismo, se supone que el conjunto de portafolios factibles es un conjunto novacío poliédrico representado por ⌦ = {x|Ax = b, Cx � d}, donde A es una matrizde m⇥n, b es un vector de dimensión m, C es una matriz de p⇥n y d es un vectorde dimensión p. En particular, una de las restricciones al conjunto ⌦ esPn

i=1 xi = 1.Sea f(x, y) la función de pérdida cuando se elige el portafolio x de un conjunto

de portafolios factibles, y es la realización de los eventos aleatorios (el vector delos rendimientos de los n activos). Considere las pérdidas de los rendimientos delportafolio, f(x, y), como el negativo del rendimiento del portafolio, que es unafunción convexa (lineal) de las variables del portafolio x:

f(x, y) = �yTx = �[y1x1 + . . .+ ynxn]. (2)

Se supone que el vector aleatorio y tiene una función de densidad de probabilidaddenotada por p(y). Para un vector de decisión fijo x, la función de distribuciónacumulada de la pérdida asociada con ese vector se calcula como sigue:

�(x, �) =Z

f(x,y)�

p(y)dy. (3)

Entonces, para un nivel de confianza ↵ dado, se representa el ↵-VaR asociado alportafolio x como:

VaR↵(x) = min {� 2 R|�(x, �) � ↵} . (4)

VaR↵(x) es el extremo izquierdo del intervalo no vacío de valores � tal que se cumpleque �(x, �) = ↵. En otras palabras, VaR↵ es un valor mínimo tal que la probabilidadde que la pérdida sea menor o igual a este valor es igual a ↵. Generalmente en lapráctica, el nivel de probabilidad, que es también llamado el nivel de confianza (↵)se fija igual a 0.90, 0.95 ó 0.99.

Para variables aleatorias continuas, CVaR↵ se define como el valor esperado delas pérdidas que exceden a VaR↵(x) [16], es decir:

CVaR↵(x) =1

(1� ↵)

Z

f(x,y)�VaR↵(x)f(x, y)p(y)dy (5)



que es equivalente a:

CVaR↵(x) = VaR↵(x) + E

hf(x, y)�VaR↵(x)

��f(x, y) > VaR↵(x)i

(6)

es decir, es una esperanza condicional. Observe que

CVaR↵(x) =1

(1� ↵)

Z

f(x,y)�VaR↵(x)f(x, y)p(y)dy (7)

� 1

(1� ↵)

Z

f(x,y)�VaR↵(x)VaR↵(x)p(y)dy

=VaR↵(x)

(1� ↵)

Z

f(x,y)�VaR↵(x)p(y)dy

� VaR↵(x).

i.e. el CVaR de un activo o de un portafolio es siempre al menos tan grande como suVaR. Por consiguiente, activos o portafolios con un CVaR pequeño también tienenVaR pequeño. Además por definición de que el CVaR es una esperanza condicional,la última integral de la función de densidad es igual a 1 y como ↵ está entre (0, 1)entonces el cociente de VaR entre 1� ↵ debe de hacerse mayor y por consiguienteel CVaR es mayor al VaR.

Para una distribución de probabilidad discreta (donde el evento yj ocurre conprobabilidad pj , para j = 1, . . . , n), la definición anterior de CVaR es:

CVaR↵(x) =1

(1� ↵)

X

j:f(x,yj)�VaR↵(x)

pjf(x, yj). (8)

Ejemplo 4.1. Suponga que se dispone función de pérdida f(x, y) para una decisióndada x como f(x, y) = �y, con y = 75� j con probabilidad 1% para j = 0, . . . , 99.Si el valor en riesgo con ↵ = 95% es VaR95%(x) = 20, ya que la pérdida es de 20 ómás con el 5% de probabilidad. El valor en riesgo condicional según (8) es:

CVaR95%(x) =1

0.05(20 + 21 + 22 + 23 + 24)⇥ 1% = 22.

Lo anterior conduce al siguiente resultado.

Teorema 4.2. Siempre se cumple que CVaR↵(x) � VaR↵(x), lo que significa queCVaR de un portafolio es siempre por lo menos tan grande como su VaR. En con-secuencia, portafolios con un CVaR pequeño también tienen un VaR pequeño. Sinembargo, en general minimizar VaR y CVaR no es equivalente.



Demostración. Véase [13].

Puesto que la definición de CVaR implica claramente la función VaR, es difíciltrabajar y optimizar tal función. En cambio, se considera una función auxiliar mássimple [13]:

F↵(x, y) = � +1

(1� ↵)

Z

f(x,y)��

(f(x, y)� �)p(y)dy, (9)

y/o

F↵(x, y) = � +1

(1� ↵)

Z(f(x, y)� �)+p(y)dy, (10)

donde: a+ = max{a, 0}. Esta función, considerada como una función de �, tiene lassiguientes propiedades importantes que lo hace útil para el cálculo de VaR y CVaR

[13]:

1. F↵ es una función convexa de �.

2. VaR es un punto mínimo de F↵.

3. El valor mínimo sobre � de la función F↵ es CVaR.

Como consecuencia de las propiedades anteriores, se deduce inmediatamente que,para minimizar el CVaR↵(x) sobre x, se tiene que minimizar la función F↵(x, �)respecto a x y � al mismo tiempo:

minx

CVaR↵(x) = minx,�

F↵(x, �). (11)

Por lo tanto, es posible optimizar el CVaR directamente, sin necesidad de calcularel VaR primero. Puesto que se tiene el supuesto que la función de pérdida f(x, y)es una función convexa (lineal) de las variables portafolio x, F↵(x, �) es tambiénuna función convexa (lineal) de x. En este caso, dado que el conjunto de portafoliosfactible ⌦ también es convexo, los problemas de optimización en (11) son proble-mas de optimización convexos, los cuales se pueden resolver mediante técnicas deoptimización ya conocidas para este tipo de problemas.

En lugar de usar la función de densidad p(y) de los eventos aleatorios en (10), quea menudo es imposible o indeseable calcular, se puede utilizar o generar un númerode escenarios yi, con i = 1, . . . T . En este caso, considere la siguiente aproximacióna la función F↵(x, �):

F↵(x, �) = � +1

(1� ↵)T

TX

i=1

(f(x, yi)� �)+. (12)



Ahora, en el problema minxCVaR↵(x), reemplazar F↵(x, �) con F↵(x, �)

minx,�

"

� +1

(1� ↵)T

TX

i=0

(f(x, yi)� �)+#

. (13)

Para resolver este problema de optimización, se incluyen variables artificiales zipara reemplazar al término (f(x, y)� �)+. Para ello, se añaden restricciones zi � 0

y zi � f(x, yi)� � al problema:

minx,z,�

"

� +1

(1� ↵)T

TX

i=1

zi

#

(14)

s.a. zi � 0, i = 1, . . . , T

zi � f(x, yi)� �, i = 1, . . . , T

x 2 ⌦.

Puesto que f(x, y) es lineal en x, todas las expresiones zi � f(x, y)�� represen-tan restricciones lineales, y por lo tanto el problema es un problema de programa-ción lineal que se puede resolver de manera eficiente mediante simplex o métodosde punto interior. Es importante señalar que el problema depende de la cantidadde escenarios generados y por lo tanto, se deben emplear técnicas de programaciónlineal de gran escala. Una de las extensiones del problema anterior es el denominadoCVaR-promedio [15].

5 Aplicación y análisis de resultados

En esta sección se considera un portafolio formado por 10 acciones al que se calculael VaR por el método de simulación histórica. La periodicidad abarca desde el01/01/2014 al 22/07/2015 con un total de 406 observaciones.



Cuadro 1: Resultados de VaR al 95 % de confianza por simulación histórica.

Valor en Riesgo por Simulación Histórica

Acción No. Títulos Valor a 22jul15 VaR(0.95) % VaR/Valor

AC 1 97 -1.99 2.0 %ALFAA 1 34 -1.01 3.0 %ALPEKA 1 24 -0.69 2.9 %ALSEA 1 52 -1.38 2.7 %AMXL 1 16 -0.32 2.0 %ASURB 1 237 -6.20 2.6 %BIMBOA 1 43 -1.04 2.4 %BOLSAA 1 30 -0.81 2.7%CEMEXCPO 1 14 -0.34 2.4 %WALMEX 1 37 -0.79 2.1%

Total 10 583 -9.36 1.6 %Fuente: elaboración propia.

El Cuadro 1 muestra los resultados del cálculo del VaR al 95 % de confianzapara el portafolio y por cada acción. La interpretación del resultado en este cuadroes: el VaR del portafolio es de -$9.36, por lo que se espera que el portafolio perderá-$9.36 o menos en un 95 % de los escenarios, o bien se espera perderá -$9.36 o másen el 5 % de los escenarios. En relación a la afirmación que el VaR no es una medidacoherente de riesgo porque no cumple con el axioma de subadtividad, se puedeverificar que el VaR del portafolio que es de -$9.36 es mayor que la suma del VaRde cada activo igual -$14.56.

El Cuadro 2 muestra los resultados del cálculo del VaR al 99 % de confianzapara el portafolio y por cada acción. La interpretación del resultado en este cuadroes: el VaR del portafolio es de -$13.57, por lo que se espera que el portafolio perderá-$13.57 o menos en un 99 % de los escenarios, o bien se espera perderá -$13.57 omás en el 1 % de los escenarios. Al igual que en el caso anterior se puede verificarque el VaR del portafolio es mayor que la suma del VaR de cada activo igual a-$22.33.

La Gráfica 1 muestra el histograma de las pérdidas y ganancias del portafoliocon el VaR al 99 % de confianza y el CVaR al 95 % y al 99 % de confianza. Se observaque CVaR↵(x) � VaR↵(x) con ↵ = 0.01.



Cuadro 2: Resultados de VaR al 99 % de confianza por simulación histórica.

Valor en Riesgo por Simulación Histórica

Acción No. Títulos Valor a 22jul15 VaR(0.99) % VaR/Valor

AC 1 97 -2.81 2.9 %ALFAA 1 34 -1.55 4.6 %ALPEKA 1 24 -1.28 5.4 %ALSEA 1 52 -2.16 4.2 %AMXL 1 16 -0.56 3.5 %ASURB 1 237 -9.14 3.9 %BIMBOA 1 43 -1.65 3.9 %BOLSAA 1 30 -1.29 4.3%CEMEXCPO 1 14 -0.49 3.4 %WALMEX 1 37 -1.39 3.7%

Total 10 583 -13.57 2.3%Fuente: elaboración propia.

Figura 1: Histograma del vector de pérdidas y ganancias del portafolio. Con ↵ =

0.01,CVaR↵(x) = �18.93,VaR↵(x) = �14.45. (Fuente: elaboración propia).

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

35

40

!

!P&LVaR-Nivel, α = 0.01CVaR-Nivel, α = 0.05CVaR-Nivel, α = 0.01



Cuadro 3: Portafolio óptimo conCVaR al 95 % de confianza.

CVaR=-9.22

Pesos No. deAcción óptimos acciones

AC 0.28 2.8ALFAA -0.06 -0.6ALPEKA -0.02 -0.2ALSEA 0.12 1.2AMXL 0.18 1.8ASURB 0.13 1.3BIMBOA 0.15 1.5BOLSAA 0.01 0.1CEMEXCPO 0.07 0.7WALMEX 0.15 0.15

Fuente: elaboración propia.

Cuadro 4: Portafolio óptimo conCVaR al 99 % de confianza.

CVaR=-10.68

Pesos No. deAcción óptimos acciones

AC 0.36 3.6ALFAA 0.01 0.1ALPEKA 0.06 0.6ALSEA 0.15 1.5AMXL 0.16 1.6ASURB 0.12 1.2BIMBOA 0.15 1.5BOLSAA -0.01 -0.1CEMEXCPO -0.12 -1.2WALMEX 0.10 1.0


El Cuadro 3 muestra el CVaR mínimo obtenido y los pesos óptimos al 95 %de confianza. Se observa que de los diez activos seleccionados, dos de ellos que sonALFAA y ALPEKA, la ponderación es negativa, es decir implica que se tomaránposiciones cortas (venta) en ambos activos. Para los demás activos la ponderaciónes positiva, es decir, se tomarán posiciones largas (compra) en tales activos.

En el Cuadro 4 muestra el CVaR mínimo obtenido y los pesos óptimos al 99 %de confianza. En este caso, se observa que de los diez activos seleccionados, dos deellos que son BOLSAA y CEMEXCPO, la ponderación es negativa, es decir implicaque se tomarán posiciones cortas (venta) en ambos activos. Para los demás activosla ponderación es positiva, es decir, se tomarán posiciones largas (compra) en talesactivos. En ambos cuadros se observa que la acción con mayor ponderación es la deAC de Arca Continental, S.A.B. De C.V., lo cual se debe a que fue el activo conla volatilidad anualizada en rendimiento más pequeña (18 %) durante el periodo detiempo considerado.

A continuación se calcula el VaR del portafolio por simulación histórica con lospesos obtenidos con el CVaR mínimo y se comparan con el CVaR mínimo tanto al95 % como al 99 % de confianza, los resultados se muestran en el Cuadro 5.

Se observa que minxCVaR↵(x) � VaR↵(x) para los dos niveles de confianzaelegidos, además se verifica empíricamente que el CVaR de un activo o de un por-tafolio es siempre al menos tan grande como su VaR. Por último, de acuerdo con



Cuadro 5: Portafolio óptimo con CVaR al 95 % y 99 % de confianza.

Min CVaR P10i=1VaRi VaR CVaR

95 % -9.22 -19.91 -12.12 -17.6599 % -10.68 -29.90 -18.70 -29.43


los resultados obtenidos, para el caso de los portafolios óptimos a los dos niveles deconfianza, se verifica el VaR es mayor que el CVaR y que la suma del VaR de cadaactivo.

6 Conclusiones

En el problema de portafolio de Markowitz se plantea y resuelve la relación inversaentre la media y la varianza del rendimiento de portafolio. En su planteamientooriginal, el problema es encontrar un portafolio de mínima varianza con una res-tricción de rendimiento esperado. La varianza no es una buena medida del riesgopara distribuciones asimétricas. El Valor en Riesgo presenta varias desventajas, unade ellas es que no es una medida de riesgo coherente a no cumplir con el axiomade subaditividad. Por ello se han propuesto medidas de riesgo alternativas como elValor en Riesgo condicional que es una medida de riesgo coherente, que está aso-ciada a pérdidas y toma en cuenta solamente la cola izquierda de la distribuciónde pérdidas y ganancias de un portafolio, y en términos sencillos mide la pérdidapromedio en toda la cola con un cierto nivel de probabilidad.

En esta investigación se presentó un método alternativo para la optimización deportafolios en un contexto de minimización del CVaR dada por [13]. En lugar deincluir la varianza o el Valor en Riesgo como restricción de riesgo o como funciónobjetivo en la formación de un portafolio óptimo se utiliza el CVaR. Hay variasventajas en el uso de CVaR como medida de riesgo y en la optimización de portafo-lios sobre el VaR. En primer lugar, CVaR puede utilizarse para medir y controlar el“riesgo de cola”. En segundo lugar, CVaR es una medida de riesgo más adecuada enel marco de ser una medida de riesgo coherente. En tercer lugar, CVaR es convexocon respecto a las variables de decisión y es estable, la propiedad de convexidadelimina la posibilidad de un mínimo local que es diferente de un mínimo global,por lo tanto, es más conveniente en el planteamiento y solución del problema deoptimización de portafolio sin el supuesto de que los factores de riesgo de mercadose distribuyan como una normal, tal supuesto no se cumple en la mayoría de losmercados financieros, donde la distribución de los factores de riesgo de mercado se



caracterizan por tener colas gordas, asimetría, conglomerados de volatilidad y altainfluencia a eventos extremos, entre otros.

Con un portafolio compuesto por una muestra de 10 acciones que componenel Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores, con una pe-riodicidad que comprende desde el 01/01/2014 al 22/07/2015 con un total de 406observaciones, se obtuvieron en primer lugar el VaR por el método de simulaciónhistórica al 95 % y al 99 % de confianza con una asignación de una unidad de cadaacción. Desde el enfoque de medidas coherentes riesgo el análisis de los resultadosmuestra que el VaR no cumple con el axioma de subaditividad, puesto que el VaRdel portafolio es mayor que la suma del VaR de cada activo para los dos niveles deconfianza. En segundo lugar se determinaron el CVaR mínimo y los pesos de los ac-tivos que lo conforman al 95 % y al 99 % de confianza. La evidencia empírica muestraque se verifica que minxCVaR↵(x) � VaR↵(x) � CVaR↵(x) �

Pn

i=1VaRi

↵, con elVaR calculado por el método de simulación histórica.

Finalmente, aunque el VaR es una medida de riesgo estándar en la administra-ción de riesgo de mercado, debido a su sencillez conceptual, la facilidad de cálculo, ysu aplicabilidad, debe ser complementada con otras medidas como el CVaR. Cadamedida de riesgo tiene sus ventajas y desventajas, por lo cual complementar losresultados del VaR con los del CVaR representa una manera efectiva de establecerun control del riesgo mercado más exhaustivo.

Agradecimientos

El presente trabajo ha sido apoyado por el proyecto de investigación clave SIP-20150596 de la Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico Nacional. De lamisma manera, los autores agradecemos al dictaminador sus valiosas observacionesy recomendaciones.

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Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico NacionalPlan de Agua Prieta no. 66, Col. Plutarco Elías Calles, Delegación Miguel HidalgoCiudad de México, C.P. [email protected]@gmail.com

Universidad Autónoma Metropolitana–Unidad Xochimilco, Departamento deProducción EconómicaCalzada del Hueso 1100, Col. Villa Quietud, Delegación Coyoacán,Ciudad de México, C.P. [email protected]





Topología

197



Capítulo 8

Funciones de Whitney admisibles

José Gerardo Ahuatzi Reyes, David Herrera Carrasco,Fernando Macías Romero

FCFM, BUAP

Resumen

Un continuo es un espacio métrico no vacío, compacto y conexo. Sea X un con-tinuo. Denotaremos por 2

X al hiperespacio de los cerrados de X no vacíos ypor C(X) al hiperespacio de subcontinuos de X. Sea H =2

X o H = C(X). Unafunción de Whitney para H es una función que asigna a cada A 2 H un valorno negativo, asigna a los conjuntos unitarios el valor nulo y es estrictamentecreciente según la contención y el orden de los números reales. Una función deWhitney µ es admisible si existe una deformación de H que mueve a cada puntoA 2 H desde un conjunto unitario de tal forma que la trayectoria para A de-terminada por esta deformación es estrictamente creciente, donde no se anula,según µ. En este capítulo se presentan algunos resultados acerca de las funcio-nes de Whitney admisibles que han sido desarrollados previemente por variosautores. Los primeros resultados expuestos presentan algunas condiciones nece-sarias para la existencia de funciones de Whitney admisibles. Posteriormente,se muestra que cualquier función de Whiney para el hiperespacio de subconti-nuos de cualquier dendrita dada es admisible. Por último, se muestra que, dadoun continuo localmente conexo X que no posee arcos libres y dada una fun-ción de Whitney admisible µ para C(X), los conjuntos de la forma µ�1

(t), cont 2 (0, µ(X)), son cubos de Hilbert; más aún, se prueba, bajo las mismas hipó-tesis, que la función µ|µ�1(0,µ(X)) : µ

�1((0, µ(X))) ! (0, µ(X)) es una fibración

trivial cuyas fibras son cubos de Hilbert.

1 Introducción

Dado un espacio métrico Y , consideraremos el siguiente conjunto

2Y= {A : A es subconjunto de Y compacto y no vacío},

provisto con la métrica de Hausdorff. Un hiperespacio de Y es cualquier subcon-junto de 2

Y . De particular interés resultan para este capítulo los hiperespacios 2Y ,


200 José Gerardo Ahuatzi Reyes, David Herrera Carrasco, Fernando Macías Romero

C(Y ) y F1(Y ), en donde

C(Y ) = {A 2 2Y: A es conexo} y

F1(Y ) = {{p} : p 2 Y }.

Un continuo es un espacio métrico distinto del vacío, compacto y conexo. Unadendrita es un continuo localmente conexo que no contiene curvas cerradas simples.Sea X un continuo. Un arco libre de X es un arco A tal que A� {p, q} es abiertoen X, donde p y q son los puntos extremos de A. Sea H un hiperespacio de X. Unafunción continua µ : H ! [0,1) es una función de Whitney para H si cumplelas siguientes condiciones:

(1) Para cualesquiera A,B 2 H tales que A ( B, se satisface que µ(A) < µ(B).

(2) µ(A) = 0 si y solo si A 2 H \ F1(X).

H. Whitney [21] mostró en 1932 que, para cualquier continuo X, existe unafunción de Whitney para 2

X y, en consecuencia, para cualquier hiperespacio de X;sin embargo, tal resultado se desarrolló con propósitos alejados del estudio de loshiperespacios. Unos años más tarde, en 1942, J. Kelley [14] utilizó por primera vezeste tipo de funciones para investigar la estructura de los hiperespacios (véase [18,pág. 18]). En los años subsecuentes, las funciones de Whitney han mostrado ser unaherramienta muy eficaz en la teoría de hiperespacios de continuos, así como en lateoría de continuos misma.

En 1982, J. T. Goodykoontz, Jr., y S. B. Nadler, Jr., [8] hallaron algunas condi-ciones sobre una función de Whitney µ, para el hiperespacio 2

X o para C(X) de uncontinuo localmente conexo arbitrario X que no posee arcos libres, bajo las cualeslos conjuntos de la forma µ�1

(t0) son cubos de Hilbert, siempre que t0 2 (0, µ(X)).A una función que satisficiera tales condiciones le denominaron admisible. La si-guiente definición precisa este concepto.

Definición 1.1. Sean X un continuo y H = C(X) o H = 2X . Una función de

Whitney µ para H es admisible si existe una función continua h : H⇥ [0, 1] ! H

que satisface las siguientes condiciones:

i) Para cada A 2 H, se cumple que h(A, 1) = A y h(A, 0) 2 F1(X).

ii) Si A 2 H y t 2 [0, 1] son tales que µ(h(A, t)) > 0, entonces, para cadas 2 [0, t), se cumple la desigualdad µ(h(A, s)) < µ(h(A, t)).

A h se le denomina deformación µ-admisible.


Funciones de Whitney admisibles 201

Tres años después de la publicación de [8], H. Kato [13] mostró que, bajo lasmismas condiciones (es decir, si X es un continuo localmente conexo que no po-see arcos libres y µ es una función de Whitney admisible para C(X)), la funciónµ|µ�1(0,µ(X)) : µ

�1((0, µ(X))) ! (0, µ(X)) es una fibración trivial cuyas fibras son

cubos de Hilbert (véase la definición ).Este capítulo tiene el objetivo de desarrollar las demostraciones de los dos re-

sultados anteriores, así como de algunos otros resultados que fueron originalmentedemostrados en [8]. Entre estos últimos destacan algunas condiciones necesariaspara la existencia de funciones de Whitney admisibles, así como el hecho que todaslas funciones de Whitney para el hiperespacio de subcontinuos de una dendrita ar-bitraria son admisibles. Para la demostración de este último resultado seguiremosla prueba hallada en [11], por estar más acorde al contexto de este capítulo.

2 Algunas observaciones previas

Los primeros dos resultados que demostramos en este capítulo son dos observacio-nes sencillas que hablan acerca del comportamiento de las funciones de Whitneyadmisibles y de la naturaleza topológica de la propiedad de poseer una función deeste tipo. El primero muestra que las deformaciones admisibles, aunque no necesa-riamente dejan fijos los puntos de F1(X), sí mueven estos puntos únicamente dentrodel conjunto F1(X).

Observación 2.1. Sea X un continuo y µ una función de Whitney para H. Su-póngase que µ es admisible. Sea h : H ⇥ [0, 1] ! H una deformación µ-admisible.Si h(A, t0) 2 F1(X) y t, t0 2 [0, 1] son tales que t t0, entonces h(A, t) 2 F1(X). Enparticular, h(F1(X)⇥ [0, 1]) ⇢ F1(X).

Demostración. Supongamos que existen A 2 H y t, t0 2 [0, 1) tales que t < t0,h(A, t0) 2 F1(X) y h(A, t) /2 F1(X). Luego, µ(h(A, t0)) = 0 y s > 0, dondes = µ(h(A, t)). Como µ(h({A} ⇥ [t, t0])) es un subconjunto conexo de R, es unintervalo. Así, [0, s] ⇢ µ(h({A} ⇥ [t, t0])). Sean s00 2 (0, s) y t00 2 [t, t0] tales ques00 = µ(h(A, t00)). Luego, µ(h(A, t)) > 0, t < t00 y µ(h(A, t00)) < µ(h(A, t)), lo cualcontradice el hecho que h es µ-admisible.

Sean Y1 y Y2 espacios métricos. Sea H(Y1) = 2Y1 o H(Y1) = C(Y1). Dada una

función continua f : Y1 ! Y2, denotaremos por f⇤: H(Y1) ! H(Y2) la función

inducida por f a H(Y1), es decir, la función dada, para cada A 2 H(Y1), por

f⇤(A) = f(A)

(a cada cerrado o subcontinuo de Y1, según sea el caso, se le asigna su imagen ba-jo f). Como la compacidad y la conexidad se preservan bajo funciones continuas,



f⇤ está siempre bien definida. Asimismo, es inmediato que f⇤(F1(Y1)) ⇢ F1(Y2).

Además, se sabe que f⇤ es una función continua y que si f es un homeomorfis-mo, entonces f⇤ es un homeomorfismo y (f⇤

)�1

= (f�1)⇤ (véase [3, Teorema 1.101

y corolario 1.102]; las demostraciones de tales resultados aplican también a espa-cios métricos). Esta construcción será empleada de manera repetida a lo largo delcapítulo.

El siguiente resultado muestra, entre otras cosas, que la propiedad de poseeruna función de Whitney admisible es una propiedad topológica.

Teorema 2.2. Sean X y Y continuos homeomorfos y f : Y ! X un homeomor-fismo. Sea H(X) = C(X) o H(X) = 2

X . Sea µ : H(X) ! [0,1) una funcióncontinua y ! = µ � f⇤

: H(Y ) ! [0,1). Si µ es una función de Whitney, entonces! es una función de Whitney; si, además, µ es admisible, entonces ! es admisible.

Demostración. Supongamos que µ es una función de Whitney. Como f⇤ es continua,! es una composición de funciones continuas y, por tanto, ! es continua. Noteademás que, si B1 y B2 son elementos de H(Y ) tales que B1 ( B2, entoncesf⇤

(B1) y f⇤(B2) son elementos de H(X) que cumplen f⇤

(B1) ( f⇤(B2) y, por

ende, !(B1) = µ(f⇤(B1)) < µ(f⇤

(B2)) = !(B2). Además, dado B 2 H(X), secumple que B 2 F1(Y ) si y solo si f⇤

(B) 2 F1(X) y esto último ocurre si y solosi µ(f⇤

(B)) = 0, es decir, si y solo si !(B) = 0. Así, ! es una función de Whitneypara H(Y ).

Supongamos ahora que, además, µ es admisible. Sea h : H(X)⇥ [0, 1] ! H(X)

una deformación µ-admisible. Sea g : H(Y )⇥ [0, 1] ! H(Y ) la función dada por

g(B, t) = (f⇤)�1 � h(f⇤

(B), t)

Vamos a mostrar que g es una deformación !-admisible. Note primero que g esuna composición de funciones continuas y, por ende, es continua. Dado cualquierB 2 H(Y ), se cumple que h(f⇤

(B), 0) 2 F1(X) y así g(B, 0) 2 F1(Y ) (porquef�1 preserva cardinalidades); asimismo, h(f⇤

(B), 1) = f⇤(B), por lo cual g(B, 1) =

(f⇤)�1

(f⇤(B)) = B. Además, dado cualquier t 2 [0, 1],

!(g(B, t)) = µ � f⇤ � (f⇤)�1 � h(f⇤

(B), t) = µ � h(f⇤(B), t)

Así, si B y t son tales que !(g(B, t)) > 0, entonces µ(h(f⇤(B), t)) > 0 y, en

consecuencia, cada s 2 [0, t) satisface

!(g(B, s)) = µ(h(f⇤(B), s)) < µ(h(f⇤

(B), t)) = !(g(B, t))

Por lo tanto, g es !-admisible y ! es admisible.



3 Condiciones necesarias para la existencia de funcionesde Whitney admisibles

Aunque todo continuo admite funciones de Whitney, aún continuos relativamentesimples, como son el continuo sin(1/x) y la circunferencia unitaria, no admitenfunciones de Whitney admisibles (véase el Teorema 3.3 y el Corolario 3.9). En estasección vamos a mostrar algunas condiciones necesarias sobre un continuo dado parala existencia de funciones de Whitney admisibles para alguno de sus hiperespacios.

Lema 3.1 ([3, Teorema 1.103]). Sea X un espacio métrico. Entonces, la función� : X ! F1(X), que a cada x 2 X le asigna f(x) = {x}, es un homeomorfismo.

Teorema 3.2 ([12, Corolario 14.10]). Los hiperespacios 2X y C(X) de cualquier

continuo X son continuos arco conexos.

Teorema 3.3. Sean X un continuo y H = 2X o H = C(X). Si existe una función

de Whitney admisible para H, entonces X es arco conexo.

Demostración. Supongamos que µ es una función de Whitney admisible para H. Seah : H ⇥ [0, 1] ! H una deformación µ-admisible. Dado t 2 [0, 1], sea ht : H ! H

la función dada, para cada A 2 H, por ht(A) = h(A, t); es inmediato que ht escontinua. Como cada A 2 H satisface h0(A) 2 F1(X), se tiene que h0(H) ⇢ F1(X).Como H es un continuo arco conexo (Teorema 3.2) y la imagen continua de uncontinuo arco conexo es un continuo arco conexo, tenemos que h0(H) es un continuoarco conexo.

Sea x 2 X. De manera análoga a h0, hx es continua y hx([0, 1]) es arco conexo,donde hx : [0, 1] ! H es la función dada, para cada t 2 [0, 1], por hx(t) = h({x}, t).Como hx(1) = {x}, tenemos que µ(hx(1)) = 0; más aún, por la observación 2.1,hx([0, 1]) ⇢ F1(X). Por otro lado, si hx(1) /2 h0(H), entonces hx(1) 6= h0({x}) =

hx(0) y, en consecuencia, existe un arco ↵x contenido en hx([0, 1]) de hx(1) a hx(0);así, ↵x es un arco contenido en F1(X) que va de {x} al elemento hx(0) de h0(H).Por el contrario, si hx(1) 2 h0(H), sea ↵x = {x}. Como la unión de espacios arcoconexos que se intersectan es arco conexa, h0(H) [ ↵x es un subcojunto de F1(X)

que es arco conexo, en cualquiera de los dos casos. Del mismo modo, dado y 2 X,h0(H)[↵x[↵y es un subconjunto de F1(X) que es arco conexo, donde ↵y se definede manera análoga a ↵x. Por tanto, existe un arco contenido en F1(X) que va de{x} a {y}. Esto muestra que F1(X) es arco conexo. Como X es homeomorfo aF1(X) (Teorema 3.1), se concluye que X es arco conexo.

Lema 3.4 ([3, Lema 1.109]). Sean a, b 2 R tales que a < b. Entonces, la función◆ : [a, b] ! C([a, b]) dada por

◆(t) = [a, t]



es continua.

Lema 3.5 ([18, Lema 1.43]). Sea X un continuo. Si ⇤ es un subconjunto conexode 2

X tal que ⇤ \ C(X) 6= ;, entoncesS⇤ es un subconjunto conexo de X.

Lema 3.6 ([18, Lema 1.48]). Sea X un continuo. Entonces, la funciónS

: 22X !

2X , que a cada A 2 2

2X le asignaSA, es continua.

Teorema 3.7. Supongamos que existe una función de Whitney admisible para H =

2X o C(X). Entonces, X es contráctil si y solo si H es contráctil.

Demostración. Supongamos que H es contráctil. Luego, existen A0 2 H y unafunción continua F 0

: H ⇥ [0, 1] ! H tal que F 0(A, 0) = A y F 0

(A, 1) = A0, paracada A 2 H. Como todo espacio contráctil es conexo por trayectorias ([1, teorema3.1.30]), existe una función continua ↵ : [0, 1] ! H tal que ↵(0) = A0 y ↵(1) = X.Sea F : H ⇥ [0, 1] ! H la función

F (A, t) =

(F 0

(A, 2t), 0 t 12

↵(2t� 1), 12 t 1.

Como cualquier A 2 H satisface que F 0(A, 2(12)) = F 0

(A, 1) = A0 y ↵(2(12)� 1) =

↵(0) = A0, la función ↵ está bien definida y es continua.Sea G : H ⇥ [0, 1] ! 2

X la función

G(A, t) =[

{F (A, t0) : t0 2 [0, t]}.

Afirmación. G está bien definida, es continua y G(H ⇥ [0, 1]) ⇢ H.

Sea � : H ⇥ [0, 1] ! C(H)⇥ C([0, 1]) la función

�(A, t) = ({A}, [0, t]).

Note que � = (�, ◆), donde � : H ! C(H) y ◆ : [0, 1] ! C([0, 1]) son las funciones�(A) = {A} y ◆(t) = [0, t]. Como estas dos últimas funciones son continuas (porlos lemas 3.1 y 3.4), � es continua. Sea ✓ : C(H) ⇥ C([0, 1]) ! C(H ⇥ [0, 1]) lafunción ✓(A,B) = A⇥B. Por el Lema 4.3, ✓ es continua. Además, por el Lema 3.6,la función unión S : 2

2X ! 2X es continua. Como cada (A, t) 2 H ⇥ I satisface

F ⇤ � ✓ � �(A, t) = F ⇤({A} ⇥ [0, t]) = {F (A, t0) : t0 2 [0, t]}, se tiene que G =S �F ⇤ � ✓ � �, y así G está bien definida y es continua.

Por otro lado, si H = 2X , es inmediato que G(H ⇥ [0, 1]) ⇢ H. Supongamos

que H = C(X). Luego, cualquier (A, t) 2 H ⇥ [0, 1] satisface que F (A, 0) 2 C(X),



{A} ⇥ [0, t] es conexo y, por consiguiente, que F ⇤({A} ⇥ [0, t]) es un subconjunto

conexo de 2X que intersecta a C(X); aplicando el Lema 3.5, se obtiene que G(A, t)

es conexo, es decir, G(A, t) 2 C(X). Por tanto, también en este caso, G(H⇥[0, 1]) ⇢H. Esto prueba la Afirmación.

Sea h : H⇥[0, 1] ! H una deformación µ-admisible. Sea f : F1(X)⇥[0, 1] ! 2X

la función dada por

f({x}, t) =(h({x}, 1� 2t), 0 t 1

2 ,

h(G({x}, 2t� 1), 0), 12 t 1.

Como cada x 2 X satisface h({x}, 1� 2(12)) = h({x}, 0) y h(G({x}, 2(12)� 1), 0) =

h(G({x}, 0), 0) = h(F ({x}, 0)) = h({x}, 0), la función está bien definida y es con-tinua. Note que f({x}, 0) = h({x}, 1) = {x}. Asimismo, como F ({x}, 1) = X, secumple que G({x}, 1), 0) = X y así f({x}, 1) = h(X, 0). Por último, por la obser-vación 2.1, cada ({x}, t) 2 F1(X) ⇥ [0, 1] satisface que h({x}, 1 � 2t) 2 F1(X), si0 t 1

2 , y, directamente porque h es admisible, h(G({x}, 2t� 1), 0) 2 F1(X), si12 t 1. En consecuencia, f({x}, t) 2 F1(X), en cualquier caso. De este modof(F1(X)⇥ [0, 1]) ⇢ F1(X). Por tanto, f es una contracción de F1(X).

Supongamos ahora que X es contráctil. Sean x0 2 X y f 0: X ⇥ [0, 1] ! X una

función continua tal que cualquier x 2 X cumple f 0(x, 0) = x y f 0

(x, 1) = x0. SeaG0

: 2X ⇥ I ! 2

X la función

G0(A, t) = {f 0

(a, t) : a 2 A}

Como G0= (f 0

)⇤ � ✓(IdC(X),�

0), donde ✓ es la función descrita en la parte previa

de esta demostración y �0 : [0, 1] ! C([0, 1]) es la función �0(t) = {t} (la cuales continua por el Lema 3.1), se tiene que G es continua. Además, cada A 2 2

X

satisface que G0(A, 0) = {a : a 2 A} = A y G0

(A, 1) = {x0}. Más aún, si A 2 C(X),entonces ✓(A,�0(t)) = A⇥ {t} es conexo y así, como G0

(A, t) es la imagen continuade ✓(A,�0(t)) bajo f , es conexo; por consiguiente, G0

(A, t) 2 C(X). Lo anteriormuestra que G0

(C(X)) ⇢ C(X). Por lo tanto, G0 es una contracción de 2X y la

restricción correspondiente de G0 a C(X) es una contracción de C(X). De estemodo, H es contráctil.

Dado un continuo X, un hiperespacio de crecimiento es un subconjunto C de2X tal que culesquiera A 2 C y B 2 2

X cumplen la siguiente implicación: si A ⇢ By cada componente de B intersecta a A, entonces B 2 C.

Para una prueba detallada del teorema 3.8, véase [4, Teorema 4.14].

Teorema 3.8 ([14], comentario posterior al Teorema 4.5). Si X es un continuolocalmente conexo, entonces cada hiperespacio de crecimiento de X es un retractoabsoluto.



Corolario 3.9. Sean X un continuo y H = 2X o H = C(X). Si existe una función

de Whitney admisible para H y si X es un continuo localmente conexo, entonces Xes contráctil.

Demostración. Veamos primero que H es un hiperespacio de crecimiento. Es claroque 2

X lo es. Supongamos que A 2 C(X) y B 2 2X son tales que A ⇢ B y cada

componente de B intersecta a A. Sean B1 y B2 componentes de B. Luego B1\A 6= ;y B2 \A 6= ;. Así, B1 [B2 [A es conexo. Sea C la componente de B que contienea B1 [B2 [A. Como cada par de componentes de B distintas son ajenas, se sigueque B1 = C = B2. Por tanto, B solo tiene una componente, es decir, B 2 C(X).De este modo, C(X) es un hiperespacio de crecimiento.

De este modo, por el Teorema 3.8, H es un retracto absoluto. En particular, Hes contráctil ([10, Teorema 7.1]). Así, por el Teorema 3.7, X es contráctil.

4 El hiperespacio de subcontinuos de una dendrita ad-mite funciones de Whitney admisibles

De acuerdo al Corolario 3.9, incluso dentro de la clase de los continuos localmenteconexos existen continuos cuyos hiperespacios no admiten funciones de Whitneyadmisibles, a saber, los continuos localmente conexos que no son contraíbles (porejemplo, la circunferencia unitaria y el arete hawaiano). Sin embargo existen otrosespacios en la misma clase para los cuales toda función de Whitney (para el hiperes-pacio de cerrados o el de subcontinuos) es admisible. En esta sección se muestra quecada dendrita, es decir, cada continuo localmente conexo que no contiene curvascerradas simples, posee tal propiedad (para el hiperespacio de subcontinuos).

Un dendroide es un continuo arco conexo y hereditariamente unicoherente.Sea X un dendroide. Dados elementos distintos p y q de X, existe un único arcoen X cuyos puntos extremos son p y q (véase [16, Teorema 1]); a dicho arco ledenotaremos por [p, q]. Si p = q, [p, q] denotará el conjunto {p}. Se dice que uncontinuo X es suave en un punto p 2 X si para cualquier sucesión {an} tal quelım an = a, para algún a 2 X, se cumple que lım [p, an] = [p, a].

Lema 4.1 ([6, Corolario 4]). Cualquier dendrita es un dendroide y es suave en cadauno de sus puntos.

Como cualquier dendrita X es un continuo únicamente arco conexo, cualquiersubconjunto U de X arco conexo y cualesquiera x, y 2 U cumplen que [x, y] ⇢ U .Este hecho se utilizará en repetidas ocasiones en la prueba del siguiente lema.

Lema 4.2. Sea X una dendrita. Entonces, la función ↵ : X ⇥ X ! C(X) dada,para cualesquiera x, y 2 X, por ↵(x, y) = [x, y] es continua.



Demostración. Sea {(xn, yn)}n2N una sucesión en X ⇥ X. Vamos a probar quelım [xn, yn] = [x, y]. Tenemos los dos casos siguientes:

(i) x = y. Sea " > 0. Luego, existe un abierto U de X conexo y tal que x 2 U ⇢B(x, "). Sea N 2 N tal que, si n � N , entonces [xn, yn] 2 U . Como U es arcoconexo (Teorema 5.9), se tiene que [xn, yn] ⇢ U ⇢ B(x, "). Así, si n � N ,entonces Hd({x}, [xn, yn]) < ". Esto muestra que lım[xn, yn] = [x, y].

(ii) x 6= y. Sean U y V abiertos de X ajenos, conexos y tales que x 2 U , y 2 V ,U \ {p, y} = ; y V \ {p, x} = ;. Sea N 2 N tal que si n � N , entoncesxn 2 U y yn 2 V . Sea n � N . Si xn 2 [x, y], sea x0n = xn. Supongamosque xn /2 [x, y]. Como U es arco conexo (Teorema 5.9), [xn, x] ⇢ U . Seax0n 2 [xn, x] tal que [xn, x0n]\ [x, y] = {x0n}. Así, en cualquiera de los dos casosanteriores, [xn, x0n] ⇢ U , [xn, x0n] \ [x, y] = {x0n} y [xn, x0n] [ [x0n, y] = [xn, y](esto último porque la unión es un arco). Análogamente, existe y0n 2 [x, y] talque [y0n, yn] ⇢ V , [x, y] \ [y0n, yn] = {y0n} y [x, y0n] [ [y0n, yn] = [x, yn]. Note que[xn, x0n] \ [y0n, yn] ⇢ U \ V = ;, por lo cual [xn, x0n] [ [x0n, y

0n] [ [y0n, yn] es un

arco, el cual, por la propiedad de unicidad de arcos de X, es [xn, yn]. Por otrolado, note que, por la arco conexidad de U y de V , [xn, x0n] ⇢ U y [y0n, yn] ⇢ V .Así, si p /2 [x0n, y

0n], entonces p 2 [xn, x0n] o bien p 2 [y0n, yn] y, por ende, p 2 U

o p 2 V . Como esto último no es posible, p 2 [x0n, y0n] y, por consiguiente,

p 2 [xn, yn]. Como n representa a cualquier número natural mayor o igual queN , podemos concluir que lım [xn, yn] = lım ([xn, p] [ [p, yn]) = (lım [xn, p]) [(lım [p, yn]) = [x, p] [ [y, p] = [x, y] (la penúltima igualdad se cumple por [18,4.15]).

Lema 4.3. Sean Y1 y Y2 continuos. Sea ✓ : C(Y1)⇥C(Y2) ! C(Y1⇥Y2) la función

✓(A,B) = A⇥B.

Entonces, ✓ es continua.

Demostración. Como la conexidad y la compacidad se conservan bajo productos, ✓está bien definida. Sean d1 y d2 las métricas de Y1 y de Y2, respectivamente. Sean⇢ : Y1 ⇥ Y2 ! [0,1) y R : (C(Y1)⇥ C(Y2))⇥ (C(Y1)⇥ C(Y2)) las funciones

⇢((x1, x2), (y1, y2)) = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)},R((A1, A2), (B1, B2)) = max{Hd1(A1, B1), Hd2(A2, B2)}.

Se sabe que ⇢ y R son métricas compatibles con las topologías producto de X ⇥Xy C(X)⇥ C(X), respectivamente.



Supongamos que los elementos (A,B) y (E,F ) de C(Y1) ⇥ C(Y2) y " > 0

son tales que R((A,B), (E,F )) < ". Luego, A ⇢ Nd1(E, ") y B ⇢ Nd2(F, "). Sea(x, y) 2 A ⇥ B. Sean z 2 E y w 2 F tales que d1(x, z) < " y d2(y, w) < ". Luego,(z, w) 2 E⇥F y ⇢((x, y), (z, w)) < ". Así, A⇥B ⇢ N⇢(E⇥F, "). Del mismo modose prueba que E ⇥ F ⇢ N⇢(A⇥B, "). Por tanto, H⇢(A⇥B,E ⇥ F ) < ".

El párrafo anterior muestra, en particular, que si {(An, Bn)}n2N es una sucesiónen C(Y1) ⇥ C(Y2) tal que lım (An, Bn) = (A0, B0), para algún (A0, B0) 2 C(Y1) ⇥C(Y2), entonces lım (An ⇥Bn) = A0 ⇥B0. Por lo tanto, ✓ es continua.

Observación 4.4. Dados un continuo X, una función de Whitney admisible µpara C(X) y cualquier t0 2 (0, µ(X)), se cumple que µ�1

(t0) separa a C(X) en dossubconjuntos abiertos (y disjuntos), a saber, µ�1

([0, t0)) y µ�1((t0, µ(X)]). Así, si

K es un subconjunto conexo de C(X) y existen A,B 2 K tales que µ(A) t0 yµ(B) � t0, entonces existe D 2 K tal que D 2 µ�1

(t0). Este hecho se usará deforma muy frecuente en las demostraciones de los siguientes resultados.

La prueba del siguiente teorema, el cual es el resultado principal de esta sección,es original de Illanes y Leonel [11]. Aunque el resultado puede ser extendido a losdendroides suaves [8, Teorema 2.17], los argumentos de [8] requieren de conceptosalejados de los objetivos de este capítulo.

Teorema 4.5. Sea X una dendrita. Entonces, toda función de Whitney para C(X)

es admisible.

Demostración. Sea µ : C(X) ! [0,1) una función de Whitney. Fijemos p0 2 X.Dados A 2 C(X) y a, b 2 A � {p0}, sean a0 2 [p0, a] y b0 2 [p0, b] tales que[p0, a0] \ A = {a0} y [p0, b0] \ A = {b0}. Si a0 6= b0, entonces existe un arco ↵contenido en A con puntos extremos a0 y b0. Note que ↵ = [a0, b0] y [p0, a0]\ [a0, b0] =[p0, a0]\A = {a0}. Así, [p0, a0][ [a0, b0] es un arco con puntos extremos p0 y b0 y, porconsiguiente, [p0, a0] [ [a0, b0] = [p0, b0]. Pero [p0, b0] \ A = {b0}, lo cual contradiceque [a0, b0] ⇢ A \ ([p0, a0] [ [a0, b0]). Así, a0 = b0. De este modo, podemos considerarla función f : C(X) ! X, que a cada A 2 C(X) asigna f(A), el único punto de Atal que [p0, f(A)] \A = {f(A)}.

Afirmación 1. f es continua.

Supongamos que {Ak}k2N es una sucesión tal que lımAk = A, para algún A 2C(X). Si p0 2 A, entonces existe una sucesión {pk}k2N tal que lım pk = p y, paracada k 2 N, pk 2 Ak. Luego, lım [p0, pk] = {p0}. Como f(Ak) 2 [p0, pk], tenemosque lım f(Ak) = p0. Supongamos que p0 /2 A. Sea ak 2 Ak, para cada k 2 N, talque lım ak = a, para alguna a 2 A. Luego, f(Ak) 2 [p0, ak]. Sea {f(Ank

)}n2N una



subsucesión convergente de {f(Ak)}n2N. Sea a0 2 X tal que lım f(Ank) = a0. Note

que a0 2 A. Sea bk 2 Ak tal que lım bk = f(A). Como f(Ak) 2 [p0, bk], tenemos que[p0, a0] = lım [p0, f(Ank

)] ⇢ lım [p0, bk] = [p0, f(A)]. Así, f(A) = a0. Por tanto, todasubsucesión convergente de {f(Ak)} converge a f(A), lo cual implica que {f(Ak)}converge a f(A). Esto muestra que f es continua.

Sea g : C(X) ! [0, 1] la función dada, para cada A 2 C(X) por

g(A) = sup{µ([f(A), a]) : a 2 A}.

Afirmación 2. g es continua y, para cada A 2 C(X), existe a0 2 A tal queg(A) = µ([f(A), a0]).

Para mostrar que g es continua, vamos a expresarla como la composición de fun-ciones continuas. Sea � : C(X) ! C(X)⇥ C(X) la función

�(A) = ({f(A)}, A)

Note que � = (� � f, IdC(X)), donde � : X ! C(X) es la función dada por �(x) ={x}, la cual es continua, por el Lema 3.1. De este modo, � es la composición defunciones continuas y, por tanto, es continua. Sean ✓ : C(X)⇥C(X) ! C(X ⇥X)

y ↵ : X ⇥X ! C(X) las funciones

✓(A,B) = A⇥B,

↵(x, y) = [x, y].

Por los lemas 4.3 y 4.2, respectivamente, las funciones ✓ y ↵ son continuas. Seag0 = µ � ↵ : X ⇥ X ! [0, µ(X)]. Luego, la función inducida por g0 a C(X ⇥ X),g⇤0 : C(X ⇥X) ! C([0, µ(x)]), es continua y

g⇤0(D) = {µ([x, y]) : (x, y) 2 D},

para cada D 2 C(X ⇥X). Así, para cada A 2 C(X),

sup �g⇤0 � ✓ � �(A) = sup{µ([x, y]) : (x, y) 2 ✓(�(A))}= sup{µ([x, y]) : (x, y) 2 ({f(A)}, A)}= sup{µ([f(A), a]) : a 2 A};= g(A).

Por tanto, g = sup �g⇤0�✓��. Esto prueba que g es continua. Además, como cada A 2C(X) cumple que g⇤0 � ✓ � �(A) es cerrado en [0, µ(X)] (de hecho, un subcontinuo),



se tiene que g(A) 2 g⇤0 � ✓ � �(A). Así, existe a0 2 A tal que g(A) = µ([f(A), a0]).Esto concluye la demostración de la Afirmación 2.

Sea h : C(X)⇥ [0, 1] ! C(X) la función definida por

h(A, t) = {a 2 A : µ([f(A), a]) tg(A)}

Vamos a mostrar algunas propiedades de h.

Afirmación 3. h está bien definida.

Sea (A, t) 2 C(X) ⇥ [0, 1]. Dado a 2 h(A, t), cualquier b 2 [f(A), a] cumple que[f(A), b] ⇢ [f(A), a] y, por ende, que µ([f(A), b]) µ([f(A), a]) t(g(A)) y b 2h(A, t); así, [f(A), a] ⇢ h(A, t). Así, h(A, t) =

S{[f(A), a] : a 2 h(A, t)} y, comocada [f(A), a] es conexo y contiene a f(A), el conjunto h(A, t) es conexo. Por otrolado, sean {an}n2N una sucesión en h(A, t) (el cual es subconjunto de A) y a 2 Atales que lım an = a. Como µ es continua y X es suave en cada unos de sus puntos,entonces µ([f(A), a]) = lımµ([f(A), an]) tg(A). Así, a 2 h(A, t). Esto muestraque h(A, t) es cerrado en A y, por consiguiente, en X. Por tanto, h(A, t) 2 C(X).

Afirmación 4. h es continua.

Sean {(A0n, t

0n)}n2N y (A, t) una sucesión y un punto en C(X) ⇥ [0, 1], respec-

tivamente, tales que lım (A0n, t

0n) = (A, t). Sea {(Ak, tk)}k2N una subsucesión de

{(A0n, t

0n)}n2N tal que {h(Ak, tk)}k2N converge a algún B 2 C(X). Vamos a probar

que B = h(A, t). Sea b 2 B. Luego, existe una sucesión {bk}k2N en X tal quelım bk = b y, para cada k 2 N, bk 2 h(Ak, tk). Por la continuidad de f , se tiene quelım f(Ak) = f(A) y, por el Lema 4.2, lım[f(Ak), bk] = [f(A), b]. De este modo, porla continuidad de µ y de g, se cumple que

µ([f(A), b]) = µ(lım [f(Ak), bk]) = lımµ([f(Ak), bk]) lım tkg(Ak) = tg(A).

Así, b 2 h(A, t). Por tanto, B ⇢ h(A, t). Recíprocamente, supongamos que a 2h(A, t). Vamos a probar que a 2 B. Como h(A, t) ⇢ A y lımAk = A, existe una su-cesión {xk}k2N en X tal que lımxk = a y, para cada k 2 N, xk 2 Ak. Dado k 2 N,vamos a definir el punto yk de la siguiente manera. Si µ([f(Ak), xk]) tkg(Ak),entonces sea yk = xk. Por el contrario, si tkg(Ak) < µ([f(Ak), xk]), entonces,µ(↵(f(Ak), f(Ak))) = µ([f(Ak), f(Ak)]) = 0 tkg(Ak) < µ(↵(f(Ak), xk)); así,el continuo ↵({f(Ak)}⇥ [f(Ak), xk]) cumple las hipótesis de la observación 4.4 cont0 = tkg(Ak) y, por consiguiente, existe yk 2 [f(Ak), xk] tal que µ([f(Ak), yk]) =

tkg(Ak). Note que, en cualquier caso, yk 2 h(Ak, tk). En consecuencia, si yk = xk



para una cantidad infinita de k 2 N, entonces a 2 lım inf h(Ak, tk) = B, porquelımxk = a. Así, podemos suponer que existe N 2 N tal que, si k � N , entoncesyk 6= xk. Así, para cada k � N , µ([f(Ak), yk]) = tkg(Ak). En particular, por lacontinuidad de g,

lımµ([f(Ak), yk]) = lım tkg(Ak) = tg(A)

Por otro lado, como X es compacto, existen y 2 X y una subsucesión {yjk}k2N de{yk}n2N tales que lım yjk = y. Podemos suponer que jk � N , para cada k 2 N.Note que y 2 lım inf h(Ak, tk) = B. Además, como lım[f(Ajk

), xjk ] = [f(A), a] ycada yjk es elemento de [f(Ajk

), xjk ], tenemos que y 2 [f(A), a]. De este modo,[f(A), y] ⇢ [f(A), a]. Además, por la continuidad de µ y de g,

µ([f(A), y]) = µ(lım[f(Ajk), yjk ]) = lımµ([f(Ajk

), yjk ])

Luego, µ([f(A), y]) = tg(A). Como a 2 h(A, t), tg(A) � µ([f(A), a]). Por tanto,[f(A), y] ⇢ [f(A), a] y µ([f(A), y]) � µ([f(A), a]), lo cual implica que [f(A), y] =[f(A), a]. Así, a = y 2 B. Esto muestra que h(A, t) ⇢ B. Por lo tanto, B = h(A, t).Esto muestra que h es continua.

Afirmación 5. Para cada A 2 C(X), h(A, 1) = A y h(A, 0) = {f(A)}.

Por la elección de g, cada a 2 A satisface µ([f(A), a]) g(A) y, por ende, se tieneque h(A, 1) = {a 2 A : µ([f(A), a]) g(A))} = A. Además, si a 2 A es tal queµ([f(A), a]) = 0, entonces [f(A), a] 2 F1(X) y, por ende, [f(A), a] = {f(A)} ya = f(A). De este modo, h(A, 0) = {a 2 A : µ([f(A), a]) = 0)} = {f(A)}.

Afirmación 6. Si A 2 C(X) y t 2 [0, 1] son tales que h(A, t) > 0, entoncesµ(h(A, s)) < µ(h(A, t)), para cada s 2 [0, t).

Supongamos que A 2 C(X) y t 2 [0, 1] son tales que h(A, t) > 0. Sea s 2 [0, t).Como sg(A) tg(A), se tiene que {a 2 A : µ([f(A), a]) sg(A)} ⇢ {a 2 A :

µ([f(A), a]) tg(A)}, es decir, h(A, s) ⇢ h(A, t). Si h(A, s) ( h(A, t), entoncesµ(h(A, s)) < µ(h(A, t)). Supongamos que h(A, s) = h(A, t). Por la Afirmación 2,existe a0 2 A tal que µ([f(A), a0]) = g(A). Como tg(A) g(A), se tiene queµ(↵(f(A), f(A))) = µ([f(A), f(A)]) = 0 tg(A) µ([f(A), a0]) = µ(↵(f(A), a0));así, el continuo ↵({f(A)} ⇥ [f(A), a0]) cumple las hipótesis de la observación 4.4con t0 = tg(A) y, por consiguiente, existe a1 2 [f(A), a0] tal que µ([f(A), a1]) =

tg(A). Note que a1 2 h(A, t) = h(A, s). Así, µ([f(A), a1]) sg(A). Por tanto,tg(A) sg(A). Como s < t, lo anterior implica que g(A) = 0 y, en consecuencia,h(A, t) = {a 2 A : µ([f(A), a]) 0} = h(A, 0). Luego, por la Afirmación 5,



h(A, t) = {f(A)} y, por ende, µ(h(A, t)) = 0. Esto contradice la hipótesis inicial deque µ(h(A, t)) > 0. Por lo tanto, µ(h(A, s)) < µ(h(A, t)).

Por las afirmaciones 3, 4, 5 y 6, se tiene que h es µ-admisible. Esto concluye lademostración de que µ es admisible.

5 Niveles de Whitney que son cubos de Hilbert

Determinar un modelo geométrico para cierto nivel de Whitney (es decir, unconjunto de la forma µ�1

(t), donde µ es una función de Whitney y t es un númerono negativo), generalmente no es una tarea sencilla (salvo para el valor 0 y el valorasignado por µ al espacio total). En esta sección vamos a mostrar que para cadaelemento de cierta clase de continuos localmente conexos, casi todos los niveles deWhitney de su hiperespacio de continuos son homeomorfos al cubo de Hilbert.

Para probar el teorema 5.2 utilizaremos el siguiente lema, el cual es un sencilloresultado que se deja demostrar al lector.

Lema 5.1. Sean X un espacio métrico, x un elemento de X y {xn}n2N una sucesiónen X. Entonces, lımxn = x si y solo si, para cualquier subsucesión {xkn}n2N de{xn}n2N, existe una subsucesión {xjn}n2N de {xkn}n2N tal que lımxjn

= x.

Teorema 5.2. Si µ es una función de Whitney admisible para H = C(X) o 2X ,

entonces, para cualquier t0 2 (0, µ(X)), µ�1(t0) es un retracto de µ�1

([t0, µ(X)]).

Demostración. Sea t0 2 (0, µ(X)). Sea h : H ⇥ [0, 1] ! H un deformación µ-admisible. Sea B = µ�1

([t0, µ(X)]). Sea A 2 B. Como h(A, 1)) = A y h(A, 0) 2F1(X), se cumple que µ(h(A, 1)) � t0 y µ(h(A, 0)) = 0. Note que h({A} ⇥ [0, 1])es conexo, porque h es continua. Así, por la observación 4.4, existe tA 2 [0, 1] talque µ(h(A, tA)) = t0. Además, para cualquier número real s 2 [0, 1] distinto de tA,se cumple que 0 s < tA o tA < s 1 y, por ende, µ(h(A, s)) < µ(h(A, tA))o µ(h(A, tA)) < µ(h(A, s)). Por tanto, tA es el único elemento de [0, 1] tal queµ(h(A, tA)) = t0. Sea ⌘ : B ! [0, 1] la función dada, para cada A 2 B, por⌘(A) = tA.

Vamos a mostrar que ⌘ es continua. Para tal efecto, sea {An}n2N una sucesiónen B tal que lımAn = A, para algún A 2 B. Sea {Akn

}n2N una subsucesión de{An}n2N. Como [0, 1] es compacto, existe una subsucesión {Ajn}n2N de {Akn

}n2Ntal que lımn!1 ⌘(Ajn) = sA, para algún sA 2 [0, 1]. Así, lım(Ajn , ⌘(Ajn)) = (A, sA).Como µ �h es continua, esto implica que t0 = lımµ(h(Ajn , ⌘(Ajn))) = µ(h(A, sA)).Por la propiedad de unicidad de tA, tenemos que sA = tA. Así, lım ⌘(Ajn) = ⌘(A).Aplicando el lema 5.1, obtenemos que ⌘ es continua.



Sea r : B ! µ�1(t0) la función tal que, para cada A 2 B, r(A) = h(A, ⌘(A)).

Como r es una composición de funciones continuas, se cumple que r es continua.Note que, para cada A 2 µ�1

(t0), µ(h(A, 1)) = µ(A) = t0, por lo cual ⌘(A) = 1 yr(A) = h(A, 1) = A. De este modo, r es una retracción de B sobre µ�1

(t0).

Teorema 5.3 ([10, Proposición 7.7]). Sean X un espacio topológico y Y ⇢ X. Si Yes un retracto de X y X es un retracto absoluto, entonces Y es un retracto absoluto.

Teorema 5.4. Sean X un continuo localmente conexo y µ una función de Whitneypara H, donde H = 2

X o H = C(X). Si µ es admisible, entonces, para cadat0 2 (0, µ(X)), µ�1

(t0) es un retracto absoluto.

Demostración. Supongamos que µ es admisible. Sea t0 2 (0, µ(X)) y sea B =

µ�1([t0, µ(X)]). Note que, dados A 2 B y C 2 B tales que A ⇢ C, se cumple que

t0 µ(A) y µ(A) µ(C), lo cual implica que C 2 B. Así, B es un hiperespacio decrecimiento. Aplicando el Teorema 3.8, obtenemos que B es un retracto absoluto.Como µ�1

(t0) es un retracto de B (teorema 5.2), se tiene, por el teorema 5.3, queµ�1

(t0) es un retracto absoluto.

Sean X un continuo, µ una función de Whitney para C(X), t 2 [0, µ(X)],K 2 C(X). En lo que sigue, utilizaremos la siguiente notación:

C(X,K) = {A 2 C(X) : K \A 6= ;},CK

(X) = {A 2 C(X) : K ⇢ A},CK

(X, t) = µ�1(t) \ CK

(X),

Si K = {p}, para algún p 2 X, entonces se obviarán los paréntesis en la notaciónanterior, reemplazando K por p.

Teorema 5.5 (de Lynch, [12, Teorema 66.4]). Sean X un continuo, µ una funciónde Whitney para C(X) y t0 2 [0, µ(X)]. Si E 2 C(X) es tal que µ(E) t0, entoncesCE

(X, t0) es un retracto absoluto.

Sean X un espacio métrico compacto y A un subconjunto cerrado de X. Decimosque A es un Z-conjunto en X si IdX es el límite uniforme de funciones continuascuyas imágenes no intersectan a A. Decimos que una función continua f entreespacios métricos compactos X1 y X2 es una Z-función si f(X1) es un Z-conjuntoen X2.

Teorema 5.6 (de Toruńczyk, [12, Teorema 9.3]). Sea X un retracto absoluto. Sila función identidad sobre X es un límite uniforme de Z-funciones, entonces X esun cubo de Hilbert.



Dado un continuo X, un arco ordenado es un subcontinuo A de 2X tal que

cualesquiera A,B 2 A satisfacen que A ⇢ B o B ⇢ A.

Lema 5.7 ([8, Proposición 3.1]). Sea µ una función de Whitney para C(X). SeaS ⇢ C(X) y sea � : S ! C(C(X)) una función continua tal que, para cada B 2 S,�(B) es un arco ordenado en C(X). Sea t0 2 [0, µ(X)] y supóngase que, para cadaB 2 S, �(B) \ µ�1

(t0) 6= ;. Entonces, para cada B 2 S, �(B) \ µ�1(t0) consiste

exactamente de un punto, denotado por �t0(B), y la función �t0 : S ! µ�1(t0) es

continua.

Un árbol es una gráfica finita que no contiene curvas cerradas simples.

Lema 5.8 ([3, Lema 1.42] ). Sea X un espacio topológico arco conexo. Si F es unsubconjunto finito de X, entonces existe un árbol T contenido en X, tal que F ⇢ T .

Teorema 5.9 ([17, Teorema 8.26]). Todo abierto conexo de un continuo localmenteconexo es arco conexo.

Teorema 5.10 ([17, Teorema 8.9]). Si X es un continuo localmente conexo, enton-ces, para cualquier " > 0, existe una colección finita X1, X2, . . . , Xn de continuoslocalmente conexos tal que X =

Sn

i=1Xi y, para cada i 2 {1, . . . , n}, diam(Xi) < ".

Teorema 5.11 ([15, §49, II, Teorema 1]). Sea X un espacio métrico. Si X1, X2, . . . ,Xn son cerrados de X localmente conexos, entonces

Sn

i=1Xi es localmente conexo.

Lema 5.12. Sean X un continuo localmente conexo y K un cerrado de X coninterior no vacío. Si K no contiene arcos libres de X, entonces existe una funcióncontinua g : C(X) ! C(X) � CK

(X) tal que, si A,B 2 C(X) y A ⇢ B, entoncesHd(A, g(A)) < " y g(A) ⇢ g(B).

Demostración. Fijemos p 2 intX(A) y sea " > 0, tal que Bd(p, ") ( intX(A).Por el Teorema 5.10, existen subcontinuos localmente conexos X1, X2, . . . , Xm deX, tales que X =

Sm

i=1Xi y diam(Xi) < "

4 , para cada i 2 {1, 2, . . . ,m}. Sean⇤0 = {i 2 {1, . . . ,m} : p 2 Xi} y S =

Si2⇤0

Xi. Como p 2 Ti2⇤0Xi, se tiene que S

es un continuo y, para cada x 2 S, d(p, x) < "

4 ; es decir, S ⇢ Bd(p,"

4) ( X.Sean ⇤1 = {i 2 {1, . . . ,m} : p /2 Xi y Xi \ S 6= ;} y ⇤2 = {i 2 {1, . . . ,m} :

Xi \S = ;}. Obsérvese que S y Si2⇤2Xi son subconjuntos cerrados y ajenos de X

y ⇤0 [ ⇤1 [ ⇤2 = {1, . . . ,m}.Note que X � S ⇢ S

i2⇤1[⇤2Xi y, como Si2⇤1[⇤2

Xi es cerrado en X, clX(X �S) ⇢ S

i2⇤1[⇤2Xi. Pero, como S \ Si2⇤2

Xi = ;, se cumple que clX(X � S) ⇢Si2⇤1

Xi. Así, FrX(S) ⇢ Si2⇤1

Xi. En particular, como FrX(S) 6= ; (porque S 6= ;,S ( X y X es conexo), se tiene ⇤1 6= ;.



Para cada i 2 ⇤1, fijemos pi 2 Xi \ S. Note que, por el Teorema 5.11, se tieneque S es localmente conexo y así, por el Teorema 5.9, S es arco conexo. Luego, porel Lema 5.8, existe un árbol T contenido en S, tal que {p} [ {pi : i 2 F} ⇢ T .

Sea Y = T [ (S

i2F Xi). Como cada i 2 F cumple que pi 2 T \Xi, se tiene queY es un continuo. Además, por el Teorema 5.11, Y es localmente conexo. Obsérveseque, para cada i 2 F y x 2 Xi se cumple d(x, p) d(x, pi) + d(p, pi) <

"

2 ; es decir,Si2F Xi ⇢ Bd(p,

"

2). Luego, Y ⇢ Bd(p,"

2) ⇢ intX(K).Consideremos la función � : Y ! C(Y ), dada por �(y) = {y}. Por el Teorema

3.1, � es continua. Como Y es un subconjunto cerrado de S [ Y y C(Y ) es unretracto absoluto (véase la demostración del Corolario 3.9), por [12, Teorema 9.1]podemos extender � a una función continua r : S [ Y ! C(Y ).

Como FrX(S) ⇢ Y , r(y) = {y}, para cada y 2 FrX(S). Luego, la funciónf : X ! C(X) dada por

f(x) =

(r(x), x 2 S [ Y,

{x}, x 2 X � (S [ Y ),

está bien definida y es continua.Note que p 2 X �Si2⇤1[⇤2

Xi = S �Si2⇤1[⇤2Xi. Así, S es una vecindad de p

en X. Si S ⇢ Y , entonces S � Si2⇤1[⇤2Xi ⇢ Y � Si2⇤1[⇤2

⇢ T , por lo cual T esuna vecindad de p en X; como T ⇢ Y ⇢ A, esto contradice la hipótesis de que Ano contiene arcos libres de X. Por lo tanto, S 6⇢ Y .

Sea q 2 S � Y . Luego, si x 2 S [ Y , f(x) = r(x) ⇢ Y y así q /2 f(x); six 2 X � (S [ Y ), entonces x /2 S y q /2 f(x) = {x}. De este modo, q /2 f(X).

Sea g : 2X ! 2

X la función

g(B) =

[{f(b) : b 2 B}

Note que g =S �f⇤, por lo cual, g está bien definida y es continua. Sea B 2 2

X .Como g(B) ⇢ f(X), tenemos que q /2 g(B). Así, S 6⇢ g(B). Además, si B 2 C(X),entonces f⇤

(B) es conexo y, como f(x) 2 C(X), tenemos que f⇤(B) \ C(X) 6= ;.

Así, por el Teorema 3.5 g(B) 2 C(X). Por tanto, g(C(X)) ⇢ C(X). Además, .Tomemos A 2 C(X). Supongamos que x 2 A. Si x 2 S[Y , entonces x 2 f(x) =

r(x) ⇢ Y y, como S [ Y ⇢ Bd(p,12"), si y es cualquier punto de r(x), entonces

d(x, y) < d(x, p) + d(p, y) < " y x 2 Nd(f(x), ") ⇢ Nd(g(A), "). Por el contrario, six 2 X � (S [ Y ), entonces x 2 f(x) = {x} y así x 2 Nd(f(x), ") ⇢ Nd(g(A), ").Por tanto, A ⇢ Nd(g(A), "). Recíprocamente, supongamos que x 2 g(A). Luego,x 2 f(a), para alguna a 2 A. Si a 2 S [ Y , entonces x 2 f(a) ⇢ Y . De nuevoporque S [Y ⇢ Bd(p,

12"), se tiene que d(x, a) d(x, p)+ d(p, a) < ". Si a 2 S [Y ,

entonces f(a) = {a} y así x 2 g(A). Por tanto, g(A) ⇢ Nd(A, "). Considerando lascontenciones mostradas, se concluye que Hd(A, g(A)) < ".



Lema 5.13 (véase [3, Lemas 1.121 (3) y 1.122]). Dado un continuo con métricaconvexa d, la función � : 2

X ⇥ [0,1) ! 2X dada por

�(A, t) = Cd(A, t)

es continua y �(C(X)⇥ [0,1)) ⇢ C(X).

Lema 5.14. Sean X un continuo localmente conexo y K un cerrado de X coninterior no vacío. Si µ es una función de Whitney admisible para C(X) y K nocontiene arcos libres de X, entonces, para cualquier t0 2 (0, µ(X)), CK

(X, t0) esun Z-conjunto de µ�1

(t0).

Demostración. Supongamos que µ es una función de Whitney admisible para C(X)

y que K no contiene arcos libres de X. Sea t0 2 (0, µ(X)). Sea " > 0. Para demostrarel lema, basta exhibir una función continua �t0 : µ�1

(t0) ! µ�1(t0)�CK

(X, t0) talque, para cada A 2 µ�1

(t0), Hd(�t0(A), A) < 3". Para tal efecto, sea h : C(X) ⇥[0, 1] ! C(X) una deformación µ-admisible (la cual existe por el Teorema 4.5).

Afirmamos que existe s0 2 (0, 1) tal que � > t0, donde � = ınf{µ(Cd(h(B, s), ")) :B 2 µ�1

(t0), s 2 [s0, 1]}. Supongamos que esto no es así. Sea ⇣ = ınf{µ(Cd(B, ")) :B 2 µ�1

(t0)}. Note que, como µ�1(t0) es compacto y, para cada B 2 µ�1

(t0), B (Cd(B, "), se tiene ⇣ > t0. Sea n 2 N tal que 1/n < ⇣� t0. Como µ es uniformementecontinua, existe ⇢ > 0 tal que si Hd(A,B) < ⇢ entonces |µ(A) � µ(B)| < 1/2(n).Sea �h : C(X) ⇥ [0, 1] ! C(X) la función dada por �h(B, s) = Cd(h(B, s), ").Como �h es la composición de funciones continuas (h y la función � del Le-ma 5.13) y su dominio es compacto, �h es uniformemente continua. Así, existe⌘ > 0 tal que si 1 � ⌘ < s0 < 1, entonces Hd(�h(B, s0), Cd(B, ")) < ⇢ y así|µ(�h(B, s0)) � µ(Cd(B, "))| < 1/(2n). Por hipótesis, existen 1 � 1/n < sn < 1

y Bn 2 µ�1(t0) tales que µ(�h(Bn, sn)) < t0 + 1/(2n). Luego, |µ(�h(Bn, sn)) �

µ(Cd(Bn, "))| < 1/(2n). Así, µ(Cd(Bn, ")) < 1/(2n)+µ(�h(Bn, sn)) < 1/(2n)+ t0,si µ(�h(Bn, sn)) < t0, o bien |µ(Cd(Bn, ")) � t0| < 1/n, si µ(�h(Bn, sn)) � t0. Enambos casos ⇣ µ(Cd(Bn, ")) < 1/n + t0, lo cual no es posible, por la elección den. Esto prueba nuestra afirmación.

Como h es uniformemente continua, existe ⌫ > 0 tal que si B1, B2 2 C(X) yt1, t2 2 [0, 1] son tales que d(B1, B2)+|t1�t2| < ⌫, entonces Hd(h(B1, t1), h(B2, t2)) <". Fijemos s 2 (max{1 � ⌫, s0}, 1). Como µ�1

(t0) es compacto, tenemos que ⇠ =

sup{µ(h(B, s)) : B 2 µ�1(t0)} < t0. Como µ es uniformemente continua, exis-

te � 2 (0, ") tal que si A1, A2 2 C(X) y Hd(A1, A2) < �, entonces |µ(A1) �µ(A2)| < mın{1

2(� � t0),12(t0 � ⇠)}. Por el Lema 5.12, existe una función conti-

nua g : C(X) ! C(X) � CK(X) tal que, si A,B 2 C(X) y A ⇢ B, entonces

Hd(A, g(A)) < � y g(A) ⇢ g(B). Así, �12(� � t0) < µ(g(A)) � µ(A), para ca-

da A 2 C(X). Por tanto, para cada B 2 µ�1(t0) y s 2 [s0, 1), se cumple que



t0 <12�+

12 t0 = �� 1

2(��t0) < µ(Cd(h(B, s), "))� 12(��t0) < µ(g(Cd(h(B, s), "))).

Análogamente, µ(g(A))�µ(A) < 12(t0� ⇠), para cada A 2 C(X). Luego, para cada

B 2 µ�1(t0), t0 > 1

2 t0 +12⇠ =

12(t0 � ⇠) + ⇠ > µ(g(h(B, s))) � µ(h(B, s)) + ⇠ >

µ(h(g(B, s)))Así, para cada B 2 µ�1

(t0),

µ(h(g(B, s))) < t0 < µ(g(Cd(h(B, s), "))) (1)Hd(h(B, s), B) < " (2)

Consideremos la función � : µ�1(t0) ! C(C(X)) que a cada B 2 µ�1

(t0) leasigna el arco ordenado �(B) = {g(Cd(h(B, s), t)) : t � 0}. Note que

�(B) = (g � �)⇤ � ✓(�(h(B, s)), [0,1)),

donde ✓ : C(X) ⇥ C(X) ! C(X ⇥ X) y � : C(X) ! C(C(X)) son las funcionescontinuas dadas por

✓(A1, A2) = A1 ⇥A2,

�(A1) = {A1}

(véase los lemas 4.3 y 3.1). De este modo, � es una función continua. Luego, por(1), � cumple las hipótesis del Teorema 5.7. Así, la función �t0 : µ�1

(t0) ! µ�1(t0)

que a cada B 2 µ�1(t0) asigna �t0(B), el único punto de �(B) \ µ�1

(t0), es unafunción continua. Sea tB � 0 tal que �t0(B) = g(Cd(h(B, s), tB)). Como g(C(X))\CK

(X) = ;, se satisface que �t0(B) /2 CK(X) y, por (1), se tiene que 0 < tB < ".

Por lo tanto,

Hd(�t0(B), B) Hd(�t0(B), Cd(h(B, s), tB)) +Hd(Cd(h(B, s), tB), h(B, s))

+Hd(h(B, s), B)

< � + tB + " < 3",

y �t0(µ�1(t0)) ⇢ µ�1

(t0)�CK(X, t0). Esto prueba que CK

(X, t0) es un Z-conjuntode µ�1

(t0).

Teorema 5.15. Sean X un continuo localmente conexo y µ una función de Whitneypara C(X). Si µ es admisible y X no contiene arcos libres, entonces, para cualquiert0 2 (0, µ(X)), µ�1

(t0) es un cubo de Hilbert.

Demostración. Supongamos que µ es admisible y que X no contiene arcos libres.Sea t0 2 (0, µ(X)). Sea " > 0. Por el Teorema 5.4, µ�1

(t0) es un retracto absoluto.Luego, por el Teorema de Toruńczyk, para demostrar el teorema basta exhibir una



Z-función �t0 : µ�1(t0) ! µ�1

(t0) tal que, para cualquier A 2 µ�1(t0), se cumple

que Hd(A,�t0(A)) < 2".De acuerdo con la demostración del Lema 5.14, existen una deformación µ-

admisible h : C(X) ⇥ [0, 1] ! C(X), s 2 (0, 1) y � > t0 tales que, para cadaB 2 µ�1

(t0),

� µ(Cd(h(B, s), ")), (3)Hd(B, h(B, s)) < ". (4)

Sea ⇠ = sup{µ(h(B, s)) : B 2 µ�1(t0)}. Como s < 1 y h es admisible, para cada

B 2 µ�1(t0) se tiene

µ(h(B, s)) < t0. (5)

Por la compacidad de µ�1(t0), ⇠ < t0. Además, de (5) y (3) obtenemos que, para

cada B 2 µ�1(t0),

µ(h(B, s)) < t0 < µ(Cd(h(B, s), ")). (6)

Consideremos la función � : µ�1(t0) ! C(C(X)) que a cada B 2 µ�1

(t0) le asignael arco ordenado �(B) = {Cd(h(B, s), t) : t � 0}. De manera análoga a la función� construida en la demostración del Lema 5.14, esta función es continua. De estemodo, y por (6), � cumple las hipótesis del Lema 5.7, y así la función �t0 : µ�1

(t0) !µ�1

(t0) que a cada B 2 µ�1(t0) le asigna �t0(B), el único punto de �(B)\µ�1

(t0),es continua.

Dado B 2 µ�1(t0), sea tB � 0 tal que �t0(B) = Cd(h(B, s), tB). Como µ�1

(t0)y µ�1

([0, ⇠]) son subconjuntos compactos y ajenos de C(X), se tiene que � > 0,donde

� = ınf {Hd(B1, B2) : B1 2 µ�1(t0), B2 2 µ�1

([0, ⇠])}.

Así, y como h(B, s) 2 µ�1([0, ⇠] y �t0(B) 2 µ�1

(t0),

Hd(h(B, s), Cd(h(B, s), tB)) � �. (7)

Note que, si tB < �, entonces Hd(h(B, s), Cd(h(B, s), tB)) < �, lo cual contradice(7). Así, cada B 2 µ�1

(t0) satisface tB � �.Vamos a mostrar que �t0 es una Z-función. Como X es compacto, existen

p1, p2, . . . , pk 2 X tales que X ⇢ Sk

i=1Bd(pi, �/2). Para cada i 2 {1, 2, . . . , k},sea Ki = Cd({pi}, �/2). Sea B0 2 !�1

(t0). Sea x0 2 h(B0, s). Luego, existej 2 {1, 2, . . . , k} tal que x0 2 Bd(pj , �/2), es decir, tal que d(x0, pj) < �/2. Así,para cualquier y 2 Kj ,

d(y, x0) d(y, pj) + d(x0, pj) �/2 + d(x0, pj) < �/2 + �/2 = � tB0 ,



En conseecuencia, Kj ⇢ Bd(x0, tB0) ⇢ Cd(h(B0, s), tB0) = �t0(B0). Esto muestraque �t0(B0) 2 CKj (X, t0). Por tanto,

�t0(µ�1

(t0)) ⇢k[

i=1

CKi(X, t0).

Por otro lado, como X no contiene arcos libres, cada Ki es un cerrado de Xcon interior no vacío que no contiene arcos libres de X. Así, por el Lema 5.14,CKi(X, t0) es un Z-conjunto de µ�1

(t0). Como la unión de Z-conjuntos es a su vezun Z-conjunto, la unión Sk

i=1CKi(X, t0) es un Z-conjunto de µ�1

(t0). Asimismo,como los subconjuntos cerrados de Z-conjuntos son Z-conjuntos, �t0(µ�1

(t0)) esun Z-conjunto de µ�1

(t0). Así, �t0 es una Z-función. Además, cada B 2 µ�1(t0)

satisface Hd(�t0(B), h(B, s)) tB y, por (6), tB < "; así, y aplicando (4), tenemosque

Hd(�X,t0(B), B) Hd(�t0(B), h(B, s)) +Hd(h(B, s), B) < tB + " < 2".

Esto concluye la demostración de que µ�1(t0) es un cubo de Hilbert.

6 Funciones de Whitney y fibraciones

Para concluir este capítulo, vamos a mostrar que cualquier función de Whitney parael hiperespacio de subcontinuos de un continuo localmente conexo que no poseearcos libres presenta un comportamiento muy similar a la primera proyección delproducto topológico de un intervalo abierto con un cubo de Hilbert, en un sentidoque precisaremos más adelante (previo al Teorema 6.3).

Sean Y un espacio métrico y " > 0. Una función continua f : Y ! Y muevepuntos no más de " si, para cada y 2 Y , d(y, f(y)) < ". Una homotopía h :

Y ⇥ [0, 1] ! Y mueve puntos no más de " si, para cualesquiera y 2 Y y t 2 [0, 1],d(y, h(y, t)) < ".

Dados dos espacios métricos E y B y una función continua p : E ! B, decimosque p es fuertemente regular si la imagen inversa de cada compacto es compacta ypara cualesquiera b0 2 B y " > 0 existe una vecindad U(b0) en B tal que, para cadab 2 U(b0), existen funciones continuas gb,b0 : p�1

(b) ! p�1(b0) y gb0,b : p

�1(b0) !

p�1(b) tales que gb0,b y gb,b0 mueven puntos no más que " y gb,b0 � gb0,b y gb0,b � gb,b0

son homotópicas a las funciones identidad en p�1(b0) y p�1

(b), respectivamente,por medio de homotopías que mueven puntos no más que ".

Teorema 6.1 ([18, 14,44]). Si X es cualquier continuo y µ es cualquier función deWhitney para C(X), entonces la función µ�1

: [0, µ(X)] ! C(C(X)) dada por

µ�1(t) = {A 2 C(X) : µ(A) = t}



es continua.

Teorema 6.2. Sea X un continuo localmente conexo y sea H = 2X o H =

C(X). Si µ es una función de Whitney admisible para H, entonces µ|µ�1((0,µ(X)]) :

µ�1((0, µ(X)]) ! (0, µ(X)] es una función fuertemente regular cuyas fibras son

retractos absolutos.

Demostración. Supongamos que µ es una función de Whitney admisible para H. Seah : H⇥ [0, 1] ! H una deformación µ-admisible. Note que, para cada t 2 (0, µ(X)],se cumple que µ�1

(t) es compacto y que, por el Teorema 5.4, µ�1(t) es un retracto

absoluto. Para probar la parte restante de la condición de regularidad fuerte vamosa utilizar algunas funciones auxiliares y demostrar algunas propiedades relacionadascon estas.

Sean t 2 (0, µ(X)] y B = µ�1([t, µ(x)]). Si t < µ(X), sea rt : B ! µ�1

(t)la retracción construida en la demostración del Teorema 5.2; es decir, para cadaA 2 B,

rt(A) = h(A, ✓t(A)),

donde ✓t(A) es el único elemento de [0, 1] tal que !(h(A, ✓t(A))) = t. Si t = µ(X),entonces µ�1

(t) = B = {X} y, en tal caso, podemos definir rt : B ! µ�1(t)

haciendo ✓t(X) = 1 y rt(X) = X = h(X, ✓t(X)).Como X es localmente conexo, podemos considerar a d como una métrica con-

vexa. Así, Cd es continua. Como X es compacto, existe una cota para la métrica d,digamos M . Luego, para cada A 2 µ�1

([0, t]), Cd(A, 2M) = X y, en consecuencia,µ(Cd(A, 0)) t µ(Cd(A, 2M)). Como Cd es continua, el conjunto

{Cd(A, z) : z 2 [0, 2M ]}

es conexo. Así, por la observación 4.4, existe z 2 [0, 2M ] tal que µ(Cd(A, z)) = t.De este modo, podemos considerar la función t : µ�1

([0, t]) ! [0,1) dada, paracada A 2 µ�1

([0, t]), por

t(A) = ınf{z 2 [0, 2M ]) : µ(Cd(A, z)) = t}.

Sea Rt : B ! !�1(t) la función dada, para cada A 2 B, por

Rt(A) = Cd(A, t(A)).

Afirmación 1. t y Rt son continuas.

Note que, si Cd(A, t(A)) 6= X, entonces, para cada z > t(A, z), Cd(A, t(A)) (



Cd(A, z) y, en consecuencia, µ(Cd(A, t(A))) < µ(Cd(A, z)); así, en tal caso, setiene que µ(Cd(A, t(A))) = t. Por otro lado, si Cd(A, t(A)) = X, entonces, paracada z > t(A), Cd(A, z) = X, por lo cual µ(Cd(A, t(A))) = µ(X) = t.

Veamos que t es continua. Para tal efecto, sea {An} una sucesión en B talque lımAn = A, para alguna A 2 B. Supongamos que lım t(An) no existe o esdiferente de t(A). Luego, por el Lema 5.1, existe una subsucesión {Akn

}n2N talque cada una de sus subsucesiones no tiene límite o su límite es distinto de t(A).Como [0, 2M ] es compacto, existe una subsucesión { t(Aln

)}n2N de { t(Akn)}n2N

tal que lım t(Aln) = z0, para algún z0 2 [0, 2M ]. Luego, por la continuidad de µ

y de Cd (Lema 5.13),

t = lımµ(Cd(Aln, t(Aln

))) = µ(Cd(A, z0))

y, por ende t(A) z0. Se sigue de lo anterior y de la elección de {Akn}n2N que

t(A) < z0. Note que, si Cd(A, t(A)) 6= X, entonces Cd(A, t(A)) ( Cd(A, z0) y,por ende,

t = µ(Cd(A, t(A))) < µ(Cd(A, z0)) = t,

lo cual es una contradicción. Así Cd(A, t(A)) = X y, en consecuencia, t = µ(X).Como lımµ(Cd(Aln

, t(A))) = µ(X), tenemos que lımCd(Aln, t(A)) = X (el lec-

tor puede verificar que, en general, si B 2 H y {Bn}n2N es una sucesión en H

tal que todos sus elementos son subconjuntos de B y lımµ(Bn) = µ(B), enton-ces lımBn = B). Sea " > 0. Luego, existe N 2 N tal que, si n � N , entoncesHd(Cd(Aln

, t(A)), X) < " y, por consiguiente,

X ⇢ Cd(Cd(Aln, t(A)), ") ⇢ Cd(Aln

, t(A) + ");

de esto último se sigue que Cd(Aln, t(A)+") = X y µ(Cd(Aln

, t(A)+")) = t. Estoimplica que, para cada n � N , t(Aln

) t(A)+". Así, z0 t(A)+". Como " fueelegido arbitrariamente, se tiene que z0 t(A), lo cual contradice la desigualdad t(A) < z0, obtenida con anterioridad. De este modo, lım t(An) = t(A). Por lotanto, t es continua.

Como Rt es una composición de funciones continuas (entre ellas, Cd y t), setiene claramente que Rt es continua.

Ahora vamos a construir, con ayuda de las funciones rt y Rt, las funciones queservirán para mostrar la parte restante de las condiciones de la regularidad fuerte.Para cada t1, t2 2 (0, µ(X), con t1 < t2, sea gt1,t2 : µ�1

(t1) ! µ�1(t2) la función

dada, para cada A 2 µ�1(t1), por

gt1,t2(A) = Rt2(A);



asimismo, sea gt2,t1 : µ�1(t2) ! µ�1

(t1) la función dada, para cada E 2 µ�1(t2),

porgt2,t1(E) = rt1(E).

Lo que sigue es hallar abiertos adecuados, alrededor de cada punto dado deµ((0, µ(X))], en el cual las familias de funciones gt1,t2 y gt2,t1 satisfagan la con-dición de regularidad fuerte que estamos buscando. Para lograr esto, sean t0 2(0,!(X)] y " > 0. Sean ⌧1, ⌧2 > 0 tales que ⌧1 < t0 < ⌧2. Como h es unifor-memente continua, existe � 2 (0, 1) tal que si Hd(A1, A2) + |s1, s2| < �, entoncesHd(h(A2, s1), h(A2, s2)) <

"

2 .

Afirmación 2. Existe ⇢ tal que, para cualesquiera t1, t2 2 (t0�⇢, t0+⇢)\(0, µ(X)]

con t1 < t2, gt1,t2 mueve puntos no más de "

2 y, para cada A 2 µ�1(t1), t2(A) <

"

2 .

Note que, para cada A 2 µ�1((0, µ(X))), A ( Cd(A,

"

2), así que µ(A) < µ(Cd(A,"

2)).Dado t 2 (0, µ(X)), sea

⌘(t) = ınf{µ(Cd(A,"

2)) : A 2 µ�1(t)}.

Como µ�1(t) es compacto y µ � Cd es continua, tenemos que ⌘(t) > t, para cada

t 2 (0, µ(X)), para cada t 2 (0, µ(X)). Consideremos la función ⌘ : [⌧1, ⌧2] ![0, µ(X)] dada por la asociación anterior. Como ⌘ es una composición de funcionescontinuas, ⌘ es continua (de hecho, ⌘ = ınf �(µ � Cd)

⇤ � ✓(µ�1, { "

2}), donde ✓ :

C(C(X))⇥ C([0, "2 ]) ! C(C(X)⇥ [0, "2 ]) es la función dada por ✓(A, B) = A⇥B,la cual es continua por el Lema 4.3; el amable lector puede comprobar que la funciónque a cada A 2 2

R le asigna ınf(A) es continua, además de que, según el Teorema6.1, la función que a cada t 2 [0, µ(X)] le asocia µ�1

(t) también es continua). Así,y como [⌧1, ⌧2] es compacto, existe ⇢1 > 0 tal que

⇢1 < ınf ({⌘(t)� t : t 2 [⌧1, ⌧2]} [ {t0 � ⌧1, ⌧2 � t0}) .

De este modo, para cualesquiera t1, t2 2 (t0 � ⇢12 , t0 +

⇢12 ) con t1 < t2, se tiene

que t2 � t1 < ⇢1 < ⌘(t1) � t1 y, en consecuencia, t2 < ⌘(t1). Luego, para cadaA 2 !�1

(t1), t2 < µ(Cd(A,"

2)), lo cual implica que t2(A) < "

2 . Así, para cadaA 2 !�1

(t1), Cd(A, t2(A)) ( Nd(A,"

2) y, por consiguiente, Hd(A,Rt2(A)) < "

2 .Por lo tanto, gt1,t2 mueve puntos no más de "

2 .

Afirmación 3. Existe ⇢ > 0 tal que, para cualesquiera t1, t2 2 (t0 � ⇢, t0 + ⇢) \(0, µ(X)] con t1 < t2, gt2,t1 mueve puntos no más de "

2 y, para cada A 2 µ�1(t2),

1� ✓t1(A) < �.



Note que 1 � � 2 (0, 1) y, por consiguiente, !(h(A, 1 � �)) < !(h(A, 1)) = !(A),para cada A 2 µ�1

((0, µ(X))). Dado t 2 (0, µ(X)), sea

⇠(t) = sup{µ(h(A, 1� �)) : A 2 µ�1(t)}.

Como µ�1(t) es compacto y µ � h es continua, tenemos que ⇠(t) < t, para cada

t 2 (0, µ(X)). Consideremos la función ⇠ : [⌧1, ⌧2] ! [0, µ(X)] dada por la asociaciónanterior. Como ⇠ es una composición de funciones continuas, ⇠ es continua (de formaanáloga a ⌘, podemos expresar ⇠ = sup �(µ � h)⇤ � ✓(µ�1, {1� �}); además, al igualque la función ınf, la función sup : 2

R ! R es continua)). Así, y como [⌧1, ⌧2] escompacto, existe ⇢2 > 0 tal que

⇢2 < ınf ({t� ⇠(t) : t 2 [⌧1, ⌧2]} [ {t0 � ⌧1, ⌧2 � t0}) .

Así, para cualesquiera t1, t2 2 (t0� ⇢22 , t0+

⇢22 ) con t1 < t2, tenemos que t2�t1 < ⇢2 <

t2�⇠(t2) y, por ende, ⇠(t2) < t1. Por tanto, para cada A 2 µ�1(t2), µ(h(A, 1��)) <

t1 = !(h(A, ✓t1(A))), lo cual implica que 1 � � < ✓t1(A), es decir, 1 � ✓t1(A) < �.Así, para cada A 2 µ�1

(t2), Hd(A, gt2,t1(A)) = Hd(h(A, 1), h(A, ✓t1(A))) <"

2 ; estoes, gt2,t1 mueve puntos no más de "

2 .

Afirmación 4. Existe ⇢ > 0 tal que, para cualesquiera t1, t2 2 (t0 � ⇢, t0 + ⇢) \(0, µ(X)] con t1 < t2, gt2,t1 � gt1,t2 y gt1,t2 � gt2,t1 son homotópicas a la funcionesidentidad en µ�1

(t1) y µ�1(t2), respectivamente, por medio de homotopías que

mueven puntos no más de ".

Para cualquier t1, t2 2 (0, µ(X)], consideremos la función Ht1,t2 : µ�1(t1)⇥ [0, 1] !

µ�1(t1) dada, para cada A 2 µ�1

(t1) y cada s 2 [0, 1], por

Ht1,t2(A, s) = rt1(Cd(A, s t2(A))).

Asimismo, sea Ht2,t1 : µ�1(t2) ⇥ [0, 1] ! µ�1

(t2) la función dada, para cada A 2µ�1

(t2) y cada s 2 [0, 1], por

Ht2,t1(A, s) = Rt2(h(A, 1� s(1� ✓t1(A)))).

Es claro que, para cada A 2 µ�1(t1),

Ht1,t2(A, 0) = rt1(Cd(A, 0)) = rt1(A) = A,

Ht1,t2(A, 1) = rt1(Cd(A, t2(A))) = rt1 �Rt2(A) = gt2,t1 � gt1,t2(A),

y, para cada A 2 µ�1(t2),

Ht2,t1(A, 0) = Rt2(h(A, 1)) = Rt2(A) = A,

Ht2,t1(A, 1) = Rt2(h(A, ✓t1(A))) = Rt2 � rt1(A) = gt1,t2 � gt2,t1(A).



Así, Ht1,t2 es una homotopía entre Idµ�1(t1) y gt2,t1 �gt1,t2 , y Ht2,t1 es una homotopíaentre Idµ�1(t2) y gt1,t2 � gt2,t1 .

Por otro lado, por las afirmaciones 2 y 3, existe ⇢ tal que, para cualesquierat1, t2 2 (t0�⇢, t0+⇢) con t1 < t2, las funciones gt1,t2 y gt2,t1 mueven puntos no másde "

2 y si A1 2 µ�1(t1) y A2 2 µ�1

(t2), entonces t2(A1) <"

2 y 1� ✓t1(A2) < �.Sean t1, t2 2 (t0 � ⇢, t0 + ⇢), con t1 < t2. Dados A 2 µ�1

(t2) y s 2 [0, 1], noteque s(1� ✓t1(A)) < �. Sea B = h(A, 1� s(1� ✓t1(A))). Luego, Hd(h(A, 1), B) < "

2 .Note que t1 µ(B) t2 y, por consiguiente, µ(B) 2 (t0 � ⇢, t0 + ⇢), por lo cual

Hd(B,Ht2,t1(A, s)) = Hd(B, gµ(B),t2(B)) <"

2.

Por lo tanto, Hd(A,Ht2,t1(A, s)) Hd(A,B) + Hd(B,Ht2,t1(A, s)) < ". Análoga-mente, dados E 2 µ�1

(t1) y s 2 [0, 1], se cumple que s t2(E) < "

2 y, en consecuen-cia, Hd(E,F ) < "

2 , donde F = Cd(E, s t2(E)). Además, t1 µ(F ) t2, por locual µ(F ) 2 (t0 � ⇢, t0 + ⇢). Así,

Hd(F,Ht1,t2(E, s)) = Hd(F, gµ(F ),t1(F )) <"

2.

Por lo tanto, Hd(E,Ht1,t2(E, s)) Hd(E,F ) +Hd(F,Ht1,t2(E, s)) < ". Esto mues-tra que Ht1,t2 y Ht2,t1 son homotopías que mueven puntos no más de ".

Por las Afirmaciones 2, 3 y 4, existe ⇢ > 0 tal que, para cualesquiera t1, t2 2(t0 � ⇢, t0 + ⇢)\ (0, µ(X)] con t1 < t2, las funciones gt1,t2 y gt2,t1 mueven puntos nomás de ", y las funciones gt2,t1 � gt1,t2 y gt1,t2 � gt2,t1 son homotópicas a las funcionesidentidad en µ�1

(t1) y µ�1(t2), respectivamente, por medio de homotopías que

mueven puntos no más de ". En particular, esto es válido si t es cualquier punto de(t0� ⇢, t0+ ⇢)\ (0, µ(X)] y hacemos t1 = t0 y t2 = t, si t0 � t, o t1 = t y t2 = t0, sit < t0. Así, el abierto de (0, µ(X)] descrito por la expresión (t0�⇢, t0+⇢)\(0, µ(X)]

satisface las condiciones de regularidad fuerte para el punto t0 y el valor " dado.Por lo tanto, µ|µ�1((0,µ(X)]) : µ

�1((0, µ(X)]) ! (0, µ(X)] es una función fuertemente

regular.

Sean E, B y F espacios metricos y sea p : E ! B una función continua ysobreyectiva. Se dice que p es una fibración localmente trivial con fibra F si,para cada punto b 2 B, existe una vecindad abierta U de b y un homeomorfismoh : p�1

(U) ! U ⇥ F tal que pU = q � h, donde pU = p|p�1(U) : p�1

(U) ! U yq : U ⇥ F ! U es la proyección correspondiente. Se dice que p es una fibracióntrivial con fibra F si existe un homeomorfismo h : E ! B ⇥ F tal que p = q � h,donde q : B ⇥ F ! B es la proyección correspondiente. Es claro que una fibracióntrivial es una fibración localmente trivial. El enunciado recíproco no siempre es



cierto, pero el siguiente resultado muestra una condición suficiente para asegurarsu validez.

Teorema 6.3 ([19, Corolario 11.6]). Sea p : E ! B una fibración localmentetrivial, con B un espacio métrico separable y localmente compacto. Si B es contráctil,entonces p es una fibración trivial.

El siguiente resultado es un caso especial de [5, Teorema 1 (1)] que resulta deeste último y de considerar el hecho de que cada función fuertemente regular entreespacios métricos compactos, cuyas fibras son retractos absolutos por vecindadesy cuyo codominio es de dimensión finita, resulta ser una fibración [7, Teorema 1](fibración de Hurewicz; para esta noción, véase [2, 4.3.11]).

Teorema 6.4 ([5, Teorema 1 (1)]). Sean E y B dos espacios métricos compactos.Si p : E ! B es una función fuertemente regular cuyas fibras son Q-variedades,dimB < 1 y B es localmente conexo por trayectorias, entonces p es una fibraciónlocalmente trivial.

Teorema 6.5. Sea X un continuo localmente conexo que no posee arcos libres.Si µ es una función de Whitney admisible para C(X), entonces µ|µ�1((0,µ(X))) :

µ�1((0, µ(X))) ! (0, µ(X)) es una fibración trivial con fibras Q, donde Q es el

cubo de Hilbert.

Demostración. Note que, por el Teorema 6.2, µ|µ�1((0,µ(X)]) : µ�1((0, µ(X)]) !

(0, µ(X)] es una función fuertemente regular. Se sigue de forma inmediata queµ|µ�1((0,µ(X))) : µ�1

((0, µ(X))) ! (0, µ(X)) es una función fuertemente regular.Además, por el Teorema 5.15, las fibras de µ|µ�1((0,µ(X))) son cubos de Hilbert y, porconsiguiente, Q-variedades. Asimismo, (0, µ(X)) es arco conexo y dim((0, µ(X))) =

1. De este modo, aplicando el Teorema 6.4, obtenemos que µ|µ�1((0,µ(X))) es unafibración localmente trivial. Como (0, µ(X)) es un espacio métrico separable, local-mente compacto y contráctil, se tiene, por el Teorema 6.3, que µ|µ�1((0,µ(X))) es unfibración trivial.

Dados dos espacios métricos X y Y , decimos que X está "-homotópicamentedominado por Y si existen funciones f : X ! Y y g : Y ! X tales que existeuna "-homotopía entre IdX y g � f , es decir, tales que existe una función continuah : X ⇥ [0, 1] ! X que cumple, para cada x 2 X, h(x, 0) = x, h(x, 1) = g � f(x) yel diámetro del conjunto {h(x, t) : t 2 [0, 1]} es menor que ".

Teorema 6.6 ([9, Teorema 7.2]). Sea X un espacio métrico separable. Entonces,X es un retracto absoluto por vecindades si y solo si existe una métrica de X talque, para cada " > 0, existe un retracto absoluto por vecindades Z tal que X es"-homotópicamente dominado por Z.



Teorema 6.7. Sea X un continuo localmente conexo y sea µ una función de Whit-ney admisible para H = 2

X o H = C(X). Si µ|µ�1([0,µ(X))) : µ�1([0, µ(X))) !

[0, µ(X)) es una función fuertemente regular, entonces X es un retracto absoluto.

Demostración. Supongamos que µ|µ�1([0,µ(X))) es una función fuertemente regular.Sea " > 0. Note que, en particular, existe r" > 0 tal que, si t 2 [0, r"), entoncesexisten funciones continuas f : µ�1

(0) ! µ�1(t) y g : µ�1

(t) ! µ�1(0) tales que

f � g es homotópica a Idµ�1(0) por medio de una homotopía que mueve puntos nomás de "

3 . Además, note que una homotopía que mueve puntos no más de "

3 es una"-homotopía. Así, µ�1

(0) está "-dominada por µ�1(12r"), el cual, por el Teorema

5.4, es un retracto absoluto. De este modo, aplicando el Teorema 6.6, obtenemosque µ�1

(0) es un retracto absoluto por vecindades. Como µ�1(0) = F1(X) y F1(X)

es homeomorfo a X, concluimos que X es un retracto absoluto por vecindades. Másaún, como X es contráctil (según el Teorema 5.4), tenemos que X es un retractoabsoluto (véase [20, Corolario 1.4.5]).

Lema 6.8. Sea X un espacio topológico y sea K su cono topológico. Si X es unespacio métrico compacto, entonces K es un continuo. Si, además, X es localmenteconexo, entonces K es localmente conexo.

Demostración. Para la primera parte del enunciado, véase [17, 3.15]. Supongamosque, además, X es localmente conexo. Note que K es la imagen de X bajo unafunción continua, a saber, la proyección natural q : X ! K del cociente K = (X ⇥[0, 1])/X ⇥ {1}. Como X es compacto y K es metrizable, q es una función cerrada.Aplicando [17, Proposición 8.16], se obtiene que K es localmente conexo.

Teorema 6.9 ([20, Teorema 1.4.6]). Sea X un espacio métrico separable. Entonces,X es un retracto absoluto por vecindades si y solo si el cono topológico sobre X esun retracto absoluto.

Corolario 6.10 (al Teorema 6.7). Si K es el cono topológico sobre un espaciométrico compacto y localmente conexo el cual no es un retracto absoluto por vecin-dades, entonces cada función de Whitney admisible para C(K) o para 2

K no es unafunción fuertemente regular.

Demostración. Sea X el espacio del cual K es el cono topológico. Note que, por elLema 6.8, K es metrizable, compacto, conexo y localmente conexo. Así, K es uncontinuo localmente conexo. Sea H = C(K) o H = 2

K . Sea µ : H ! [0, µ(K)] unafunción de Whitney admisible. Supongamos que µ es fuertemente regular. Se sigueinmediatamente que µ|µ�1([0,µ(K))) : µ�1

([0, µ(K))) ! [0, µ(X)) es fuertementeregular. Aplicando el Teorema 6.7, obtenemos que K es un retracto absoluto. Sin



embargo, como X no es un retracto absoluto por vecindades, K no es un retractoabsoluto (Teorema 6.9). Esta contradicción muestra que µ no es fuertemente regular.

Agradecimientos

Agradecemos al amable árbitro, cuyos valiosos comentarios y sugerencias permitie-ron mejorar este capítulo.

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Capítulo 9

Tercer producto simétrico único

Vianey Córdova Salazar, David Herrera Carrasco,Fernando Macías Romero

FCFM, BUAP

Resumen

Un continuo X es un espacio métrico, no vacío, que es compacto y conexo.Dado n 2 N, consideremos el hiperespacio Fn(X), conocido como el n-ésimoproducto simétrico de X, con la métrica de Hausdorff. Un continuo X tienen-ésimo producto simétrico único si para cualquier continuo Y tal que Fn(X)

es homeomorfo a Fn(Y ), entonces X es homeomorfo a Y. En este capítuloexponemos modelos para los hiperespacios, en especial para el segundo y tercerproducto simétrico, además mencionamos resultados recientes sobre el tercerproducto simétrico único.

1 Introducción

Un continuo X es un espacio métrico, no vacío, que es compacto y conexo. Dadoun continuo X, los hiperespacios son familias de subconjuntos de X con algunacaracterística particular, considerados con la métrica de Hausdorff, [21, Theorem1.2], [9]. Denotamos por 2

X y Fn(X) a los espacios {A ⇢ X : A es un conjuntocerrado en X y no vacío} y {A 2 2

X: A tiene a lo más n puntos}, respectivamente.

El hiperespacio Fn(X) es conocido como el n-ésimo producto simétrico de X. Elhiperespacio F1(X) es una copia isométrica de X encajada en cada n-ésimo pro-ducto simétrico. EL concepto del n-ésimo producto simétrico fue introducido porK. Borsuk y S. Ulam en [4]. El tema del n-ésimo producto simétrico fue retomadopor Alejandro Illanes en el año 2002 en el artículo Dendrites with unique hyperspaceF2(X), [19]; después en el año 2006, Enrique Castañeda y Alejandro Illanes, mos-traron que las gráficas finitas tienen producto simétrico único, [7]. En el 2009 G.Acosta, R. Hernández-Gutiérrez, V. Martínez-de-la-Vega, publicaron en la revistaGlasnik Math., el artículo Dendrites and symmetric products, [1]; y en el mismo añoD. Herrera-Carrasco, M. de J. López, F. Macías-Romero mostraron que las dendri-tas cuyo conjunto de puntos extremos es cerrado tienen producto simétrico único[16]. En el año 2012, D. Herrera-Carrasco, F. Macías-Romero, F. Vázquez-Juárez,


232 Vianey Córdova Salazar, David Herrera Carrasco, Fernando Macías Romero

generalizaron el resultado obtenido en [16, Teorema 3.7], ellos mostraron que pa-ra n 2 N � {2, 3}, la clase de los continuos localmente conexos tal que En(X) esdenso en Fn(X) tienen n-ésimo producto simétrico único, más aún, mostraron quela clase de los continuos casi enrejado localmente conexos tienen n-ésimo productosimétrico único, para N � {2, 3}, vea [18, Teorema 4.3 y Corolario 4.4]. En el año2013, se publican dos artículos Continua with unique symmetric product y Rigidityof symmetric products, cuyos autores son J. G. Anaya, E. Castañeda-Alvarado, A.Illanes y R. Hernández-Gutiérrez, V. Martínez-de-la-Vega, respectivamente, vea [2]y [15]. En el año 2015, se muestra que los continuos enrejados tienen segundo ytercer producto simétrico único [13], cabe mencionar que en el tema de n-ésimoproducto simétrico en los casos n = 2 y n = 3 se usan técnicas distintas a los casoscuando n 2 N� {2, 3}.

2 Continuos e hiperespacios

A continuación enunciamos algunos conceptos y resultados que son necesarios parael desarrollo de este capítulo. En todo este trabajo, si X es un continuo y A unsubconjunto de X, los símbolos clX(A), BdX(A) e intX(A) denotan la cerradura deA, la frontera de A y el interior de A en X, respectivamente. También, A ⇢ Y ⇢ X,los símbolos clY (A), BdY (A) e intY (A) denotan la cerradura de A, la frontera deA y el interior de A en el subespacio Y de X, respectivamente. La cardinalidadde un conjunto A se representa por |A|. Si d es la métrica de X, " > 0 y t 2 X,el conjunto {x 2 X : d(t, x) < "} lo denotamos por el conjunto Bd(t, ") o B(t, ")cuando no exista una posible confusión. Un espacio topológico es no degenerado sitiene más de un punto. La notación y definiciones que en este capítulo refieren, sontomadas como en [21].

Definición 2.1. Sean X un espacio topológico y x 2 X. El espacio topológico Xes localmente conexo en el punto x si para cada conjunto abierto U en X, tal quex 2 U existe un conjunto abierto y conexo V en X, tal que x 2 V ⇢ U. Si X eslocalmente conexo en cada uno de sus puntos decimos que X es localmente conexo.

En esta sección estudiamos los conceptos de hiperespacio, métrica de Hausdorffy Topología de Vietoris.

Definición 2.2. Sean X un continuo con métrica d y A,B ⇢ X, no vacíos, denota-mos por d(A,B) a la distancia de A a B definida como d(A,B) = ínf{d(a, b) : a 2A y b 2 B}; y a la distancia de un punto p a un conjunto C por d(p, C) = d({p}, C).

Definición 2.3. Si A 2 2X , la nube en X con centro en A y de radio " > 0 es

N(", A) = {x 2 X : existe a 2 A tal que d(a, x) < "}.


Tercer producto simétrico único 233

(a) Gehmann (b) Arcoiris de Naster

Figura 1

Si A, B 2 2X , definimos H(A,B) = inf{" > 0 : A ⇢ N(", B) y B ⇢ N(", A)}.

En [24, Teorema 0.2], se muestra que H es una métrica para 2X , dicha métrica es

llamada la métrica de Hausdorff.

Definición 2.4. Sean X un continuo, n 2 N y U1, U2, . . . , Un subconjuntos deX, no vacíos. El vietórico de U1, U2, . . . , Un, denotado por hU1, U2, . . . , Uni, es elconjunto {A 2 2

X: A ⇢ S

n

i=1 Ui y A \ Ui 6= ;, para cada i 2 {1, 2, . . . , n}}.

La familia de subconjuntos de 2X dada por B = {hU1, U2, . . . , Uni : n 2 N y los

conjuntos U1, U2, . . . , Un son abiertos de X} es una familia de abiertos en 2X que

genera la misma topología que la dada por la métrica de Hausdorff, [21, Teorema3.1]; y la topología generada por B se le llama Topología de Vietoris, [24, Definición0.12].

Dado un continuo X, los hiperespacios son familias de subconjuntos de X, conalguna característica particular, considerados con la métrica de Hausdorff. Paranuestro estudio los siguientes hiperespacios de X serán de gran importancia.

2X

= {A ⇢ X : A es un conjunto cerrado en X y no vacío},Fn(X) = {A 2 2

X: A tiene a lo más n puntos}.

Para una mejor lectura de este capítulo, usaremos la notación hU1, . . . , Umin parahacer referencia a los vietóricos en el n-ésimo producto simétrico. Es decir,Si X es un continuo, U1, U2, . . . , Um ⇢ X y n,m 2 N, definimos:

hU1, . . . , Umin = {A 2 Fn(X) : A ⇢m[

i=1

Ui y A\Ui 6= ;, para cada i 2 {1, . . . ,m}}.

Observemos que los conjuntos de la forma hU1, U2, . . . , Umin, donde U1, U2, . . . , Um

son abiertos en X y m es un número natural, forman una base de la topología del



n-ésimo producto simétrico, [21, Teorema 1.2]; es decir, una base para la topologíainducida por la métrica de Hausdorff.

Teorema 2.5. [22, Corolario 1.8.8 y 1.8.9] Sean X un continuo y n 2 N. Loshiperespacios 2

X y Fn(X) son continuos.

Teorema 2.6. [12, Lema 1.25] Sean X un continuo y n,m 2 N. Si A1, . . . , An

y B1, . . . , Bm son subconjuntos de X tales que, para cada j 2 {1, . . . , n}, existekj 2 {1, . . . ,m} tal que Aj ⇢ Bkj

y para cada k 2 {1, . . . ,m}, existe jk 2 {1, . . . , n}tal que Ajk

⇢ Bk, entonces hA1, . . . , Anin ⇢ hB1, B2, . . . , Bmin.

Teorema 2.7. [23, Lema 1] Sean X un continuo y n,m 2 N tales que m n. SiC1, . . . , Cm son subconjuntos conexos de X, entonces hC1, . . . , Cmin es un subcon-junto conexo de Fn(X).

Teorema 2.8. Sean X un continuo localmente conexo, n 2 N y A 2 Fn(X). SiA = {x1, . . . , xm} con m n y U es una vecindad de A en Fn(X), entonces existensubconjuntos U1, . . . , Um abiertos en X, conexos y disjuntos por pares tales que paracada i 2 {1, . . . ,m}, se cumple que xi 2 Ui y A 2 hU1, . . . , Umin ⇢ intFn(X)(U).

Demostración. Supongamos que A = {x1, . . . , xm} y que U es una vecindad deA en Fn(X). Como X es un espacio Hausdorff, existen subconjuntos C1, . . . , Cm

abiertos en X y ajenos por pares tales que xi 2 Ci, para cada i 2 {1, . . . ,m}.Por otra parte, como A 2 intFn(X)(U), existen subconjuntos V1, . . . , Vl abiertosen X tales que A 2 hV1, . . . , Vlin ⇢ intFn(X)(U). Para cada i 2 {1, . . . ,m}, seaUi = Ci \

îT{Vj : j 2 {1, . . . , l} y xi 2 Vj}ó. Observemos que los subconjuntos

U1, . . . , Um son abiertos en X y ajenos por pares.Veamos que A 2 hU1, . . . , Umin ⇢ hV1, . . . , Vlin. Es claro que A 2 hU1, . . . , Umin.

Para demostrar que hU1, . . . , Umin ⇢ hV1, . . . , Vlin, veamos primero que para cadaj 2 {1, . . . , l}, existe kj 2 {1, . . . ,m} tal que Ukj

⇢ Vj . Sea j 2 {1, . . . , l}. ComoA 2 hV1, . . . , Vlin, inferimos que A\Vj 6= ;. Sea pj 2 A\Vj . Dado que pj 2 A, existekj 2 {1, . . . ,m} tal que pj 2 Ukj

. Observemos que pj 2 Ckj. Por definición de los

conjuntos U1, . . . , Um, tenemos que Ukj= Ckj

\îT{Vj : j 2 {1, . . . , l} y pj 2 Vj}

ó.

Así, Ukj⇢ Ckj

\ Vj . Por tanto, Ukj⇢ Vj .

Ahora veamos que para cada i 2 {1, . . . ,m}, existe ki 2 {1, . . . , l} tal queUi ⇢ Vki

. La veracidad de este inciso es inmediata de las definiciones de los conjuntosU1, . . . , Um. Por el Teorema 2.6, concluimos que hU1, . . . , Umin ⇢ hV1, . . . , Vlin. Porúltimo, observemos que dado que X es un continuo localmente conexo, podemossuponer que los subconjuntos U1, . . . , Um son conexos.

Teorema 2.9. Sean X un continuo y n 2 N. Entonces X es localmente conexo siy sólo si Fn(X) es localmente conexo.



Demostración. Supongamos que X es localmente conexo. Sean A 2 Fn(X) y V unabierto en Fn(X) tal que A 2 V. Supongamos que A = {x1, . . . , xm} con m n.Por el Teorema 2.8, existen V1, . . . , Vm abiertos en X, conexos y disjuntos dos a dos,tales que para cada i 2 {1, . . . ,m}, tenemos que xi 2 Vi y A 2 hV1, . . . , Vmin ⇢ V.Notemos que hV1, . . . , Vmin es abierto en Fn(X), por el Teorema 2.7, tenemos quehV1, . . . , Vmin es conexo en Fn(X). Así, Fn(X) es localmente conexo. Recíprocamen-te, supongamos que Fn(X) es localmente conexo. Sean p 2 X y U un abierto en Xcon p 2 U . Luego, {p} 2 hUin. Además, hUin es abierto en Fn(X). Como Fn(X) eslocalmente conexo, existe un abierto y conexo V en Fn(X) tal que {p} 2 V ⇢ hUin.Por [12, Lema 1.49], tenemos que (

SV 2V V )\U es abierto y conexo en X. Notemos

que p 2 (S

V 2V V ) \ U ⇢ U . Así, X es localmente conexo.

Definición 2.10. Sean A, un subconjunto no vacío de un espacio topológico X y� un número cardinal. Se dice que A es de orden menor o igual a � en X, denotadopor ord(A,X) �, si para cualquier conjunto abierto U de X con A ⇢ U existe unconjunto abierto V de X, tal que A ⇢ V ⇢ U y | Bd(V ) | �. Si A = {p} en lugarde escribir ord({p}, X) � solo se escribirá como ord(p,X) �. Se dice que A esde orden � en X, denotado por ord(A,X) = �, si ord(A,X) � y para cualquiernúmero cardinal ↵ < �, tenemos que ord(A,X) ⇥ ↵.

Teorema 2.11. Sea X un espacio espacio topológico. Si Y y A son subconjuntosde X, entonces se cumple lo siguiente:

(i) BdY (A \ Y ) ⇢ BdX(A).

(ii) Si clX(A) ⇢ intX(Y ), entonces BdY (A) = BdX(A).

Demostración. Para demostrar (i), notemos que BdY (A \ Y ) = clY (A) \ clY (Y �A) ⇢ clX(A) \ clX(Y �A) ⇢ clX(A) \ clX(X �A) = BdX(A).

Ahora probemos (ii). Sabemos que BdX(A) = clX(A)\ clX(X�A) = clX(A)\(clX(X �Y )[ clX(Y �A)) = (clX(A)\ (X � intX(Y )))[ (clX(A)\ clX(Y �A)) =clX(A)\clX(Y �A) = Y \clX(A)\clX(Y �A) = clY (A)\clY (Y �A) = BdY (A).

Una primera propiedad del concepto de orden es la siguiente.

Teorema 2.12. Sea X un continuo. Si A es un subespacio de X y p 2 A, enton-ces ord(p,A) ord(p,X). Más aún, si A es una vecindad de p en X, entoncesord(p,A) = ord(p,X).

Demostración. Sea U un subconjunto abierto de A con p 2 U . Así, existe un sub-conjunto abierto V de X con U = A \ V . Como p 2 V , existe un subconjuntoabierto W de X tal que p 2 W ⇢ V y |BdX(W )| ord(p,X). Por el Teorema 2.11,



tenemos que BdA(A\W ) ⇢ BdX(W ). Así, |BdA(A\W )| ord(p,X). Como A\Wes abierto en A y p 2 A \W ⇢ A \ V = U , concluimos que ord(p,A) ord(p,X).

Supongamos que A es una vecindad de p en X. Por el párrafo anterior, bastaprobar que ord(p,A) ord(p,X). Sea U un subconjunto abierto de X con p 2 U .Como intX(A) \ U es un subconjunto abierto de A con p 2 intX(A) \ U , existe unsubconjunto abierto W de A tal que p 2 W ⇢ intX(A)\U y |BdA(W )| ord(p,A).Como W ⇢ intX(A) ⇢ A, tenemos que W es abierto en intX(A) y así en X.Por el Teorema 2.11, se cumple que BdX(W ) = BdA(W ). Como p 2 W ⇢ U y|BdX(W )| = |BdA(W )| ord(p,A), tenemos que ord(p,X) ord(p,A). Estoconcluye la prueba del teorema.

Definición 2.13. Dado n 2 N, al producto topológico de n intervalos [0, 1] sedenota con In, donde In =

Qn

k=1 Ik y Ik = [0, 1], para cada k 2 {1, 2, . . . , n}. Unan-celda es un espacio topológico homeomorfo a In.

Definición 2.14. Una gráfica finita es un continuo que puede escribirse como launión de una cantidad finita de arcos, tales que cualesquiera dos de ellos son ajenoso bien se intersectan en uno o en sus dos puntos extremos, únicamente.

Definición 2.15. Sea X un continuo. Un punto p en X es un punto ordinario deX si ord(p,X) = 2. El punto p es un punto de ramificación de X si ord(p,X) > 2.Un punto p es un punto extremo de X si ord(p,X) = 1. La colección de puntosordinarios de X, se denota por O(X); la colección de puntos de ramificación deX, se denota por R(X) y la colección de puntos extremos de X, se denota porE(X). De esta forma un continuo X puede expresarse de la siguiente manera X =

E(X) [O(X) [R(X).

Definición 2.16. Sea X un continuo, un arco libre en X es un arco J con puntosextremos x y y tal que J�{x, y} es un conjunto abierto en X. Un arco libre maximalen X es un arco libre en X que es maximal con respecto a la inclusión. Un ciclo enX es una curva cerrada simple J contenida en X para la cual existe z 2 X tal queJ \R(X) = {z} y J � {z} es abierto en X.

Notemos que si X no es una curva cerrada simple y J es un ciclo en X, entoncesJ \R(X) = {x} si y solo si J � {x} es un conjunto abierto en X.

AR(X) = {J ⇢ X : J es un ciclo en X},AE(X) = {J ⇢ X : J es un arco libre maximal en X y |J \R(X)| = 1} y

AS(X) = {J ⇢ X : J es un arco libre maximal en X} [AR(X),

notemos que si J,K 2 AS(X) y J 6= K, entonces intX(J) \ K = ;. Sea x, y 2X decimos que x es adjacente a y en X o que x y y son adjacentes en X si



(a) 2-celda (b) 3-celda

Figura 2: Modelos del segundo y tercer producto simétrico para el intervalo unitario

existe J 2 AS(X) el cual no es un ciclo, x y y son los puntos extremos de J.Un arco externo es un elemento de AE(X) y un arco interno es un elemento deAS(X)� (AE(X) [AR(X)).

3 Modelos

En la teoría de los hiperespacios es muy útil tener ideas geométricas de cómo se venéstos. Un modelo para un determinado hiperespacio K(X) es un espacio topológi-camente equivalente, donde los elementos son puntos en lugar de subconjuntos. Losmodelos de los hiperespacios, desde el punto de vista geométrico, son una herra-mienta para sugerir propiedades en ellos. El lector puede encontrar más informaciónde este tema en [20]. Sin ahondar tanto en el tema de modelos de productos simétri-cos, en este capítulo mostraremos ejemplos de los modelos para el segundo y tercerproducto simétrico para continuos como el intervalo unitario, la circunferencia y eltriodo simple.

3.1 Intervalo unitario

Consideremos la función ' : F2(X) ! R2 definida por '({a, b}) = (máx{a, b},mín{a, b}), notemos que ' es un encaje cuya imagen es el triángulo convexo {(a, b) 2R2

: 0 a b 1}, así, F2([0, 1]) es una 2-celda, vea (a) de la Figura 2.Para mostrar el modelo del tercer producto simétrico del intervalo unitario,

[0, 1], consideremos la función ' : F3(X) ! R2 dada por '(A) = (máx(A), mín(A)).Notemos que ' es una función continua y su imagen es el triángulo T de la Figura 2.Dado (a, b) 2 T , notemos que '�1

((a, b)) = {{a, b, c} : a c b}. En el caso a < b,como c corre sobre el intervalo y {a, a, b} = {a, b, b}, el conjunto {{a, b, c} : a c b} es una curva cerrada simple. En el caso a = b, tenemos que '�1

((a, b)) = {{a}}.Notemos que tenemos que poner una curva cerrada simple en cada punto (a, b) 2 T



(a) Sombrero del tonto (b) Espacio D2

Figura 3

tal que a < b. Esto puede realizarse tomando un solido de revolución obtenidomediante la rotación de T alrededor de su diagonal. Así, el modelo para F3([0, 1])es una 3-celda, vea (b) de la Figura 2.

Para los casos n � 4, Borsuk and S. Ulam, en [4, Teorema 7], prueban queFn([0, 1]) no es una n-celda. Un estudio detallado de los hiperespacios Fn([0, 1]) fuehecho por R. N. Anderson, M. M. Marjanović y R. M. Shori en [3]. En particular,en el Teorema 2.1 de [3] se probó que F4([0, 1]) es homeomorfo al cono(D2)⇥ [0, 1],donde D2 es el sombrero del tonto, vea (a) de la Figura 3.

Recordemos que el espacio D2 es el espacio que se obtiene de identificar lasaristas de un triángulo convexo de acuerdo a las flechas mostradas en (b) de laFigura 3.

Como primer paso tenemos que identificar dos de la flechas para obtener uncono; después, identificamos el vertice del cono a un punto en su base para obtener elespacio (a) en la Figura 3; finalmente, identificamos las dos curvas cerradas simplesmarcadas en negrita en la parte (a) de la Figura 3.

Es sencillo ver que D2 puede construirse en R3. Así, F4([0, 1]) es encajado enR5. Lo cual responde a la pregunta hecha en [20, Question 13.1] para el caso n = 4;dicha pregunta sigue abierta para n � 5.

Pregunta 3.1. Â¿Fn([0, 1]) es encajable en Rn+1 para todo n � 5?

3.2 Circunferencia unitaria

El producto simétrico F2(S1) es la banda de Moebius. Para esto tomemos NA =

{{p, q} 2 F2(S1) : p 6= �q} y sean las funciones A : NA ! C(S1

), m : NA ! S1,L : NA ! R y ' : NA ! R2 las funciones dadas por

A({p, q}) = el arco mas corto que une a p y q en S1,



(a) Banda de Moebius (b) Conjunto Dp

Figura 4: Esta figura muestra la construcción de la banda de Moebius y de cómose representa en M el conjunto Dp.

m({p, q}) = el punto medio de A({p, q}),

L({p, q}) = la longitud de A({p, q}) y

'({p, q}) = (1� (1

2⇡L({p, q})))m({p, q}).

Notemos que ' es un homeomorfismo entre NA y el anillo R = {z 2 R2:

12 <| z | 1}. Si queremos extender ' al conjunto A = {{z,�z} 2 F2(S1

) : z 2S1}, por la continuidad y dependiendo de como nos aproximemos a {z,�z} porelementos {p, q} 2 NA, debemos definir '({z,�z}) con dos valores, '({z,�z}) =±w, donde 2w es el punto obtenido de rotar z por ⇡

2 . Para resolver esta ambigüedad,necesitamos identificar los puntos w y �w. Notemos que los puntos w son los puntosde la circunferencia B = {u 2 R2

:|| u ||= 12}. El espacio cociente obtenido de

R0 = R [B por la identificación es la banda de Moebius M , véase (a) de la Figura4. Se inicia con el anillo y se corta por las dos flechas a y b, luego hacemos lasidentificaciones mostradas en (a) de la Figura 4.

A continuación, veamos cómo se representa en M , el conjuntos Dp = {{p, z} :

z 2 S1}. De acuerdo con la definición de ', la imagen de este conjunto consistede dos arcos B1 y B2 del anillo R0. Si seguimos las transformaciones que hemosrealizado para obtener la banda de Moebius M , se puede observar que el conjuntoDp es homeomorfo a la curva cerrada simple B que toca a la frontera de M enexactamente un punto. Esta curva cerrada simple se representa al final de la imagen(b) en la Figura 4. Es importante señalar que en esta representación de la bandade Moebius la curva B se puede dibujar totalmente sin líneas punteadas.

Como hemos visto, algunos modelos de hiperespacios son fáciles de construir;hay otros ejemplos más complicados para los que es necesario una aproximaciónespecífica. K. Borsuk en 1949 publica un artículo, vea [5], en el cual afirma que



(a) (b)

Figura 5

F3(S1) es homeomorfo a S1 ⇥ S2, donde Sn es la esfera unitaria en Rn+1, lo cual

es un error. Tres años después, R. Bott, en [6], corrigió este hecho probando queF3(S1

) es homeomorfo a S3. Para los casos n � 4 no se han construido modelos paraFn(S1

), sin embargo, en [25] y [28] se han estudiado varias propiedades topológicasde estos espacios.

4 Triodo simple

Consideremos al triodo simple Y como en la imagen (a) de la Figura 5. Sea J1 =

L1 [ L2, J2 = L2 [ L3 y J3 = L3 [ L1. Notemos que F2(T ) = F2(L1) [ F2(L2) [F2(L3). Como cada Ji es un arco, nosotros sabemos que F2(Ji) puede verse como untriángulo convexo. Así, para el modelo de F2(Y ) necesitamos tomar tres triángulosF2(J1), F2(J2) y F2(J3) e identificar los puntos que representan elementos de F2(Y )

que aparecen en más de un triángulo. Por ejemplo, F2(J1) [ F2(J2) = F2(L3) es elsubtriángulo en ambos triángulos F2(J1) y F2(J2). En la imagen (a) de la Figura5, se mostraron los triángulos F2(J1), F2(J2) y F2(J3) con las partes que necesitanpara ser identificadas. El espacio resultante es el triángulo convexo con tres alasunidas a él. Enrique Castañeda en [27], encontró un modelo para F3(Y ). Demostróque F3(Y ) es el cono sobre un toro con cuatro discos conectados a él, uno como un«ecuador» y los otros tres como los «meridianos», vea la imagen (b) de la Figura 5.

5 Hiperespacio único

En el año 2015, Luis A. Guerrero Méndez, David Herrera Carrasco y FernandoMacías Romero mostraron, entre otras cosas, que los continuos enrejados tienensegundo y tercer producto simétrico único, vea [13]. Recientemente sabemos quelos continuos casi enrejados localmente conexos tienen segundo producto simétrico



(a) Continuo enrejado (b) Continuo casi enrejado

Figura 6: Ejemplos de continuos enrejado y casi enrejado

único para esto el lector puede revisar [17], en el caso n = 3, los autores de estecapítulo, tienen una conjetura positiva a la pregunta de que si los continuos casienrejados localmente conexos tienen tercer producto simétrico único. Cabe mencio-nar que en la historia de la teoría de hiperespacio único, los casos n = 2 y n = 3

usan una técnica distinta a la de los casos n � 4.

Definición 5.1. Un continuo X tiene n-ésimo producto simétrico único si paracualquier continuo Y tal que Fn(X) es homeomorfo a Fn(Y ), entonces X es homeo-morfo a Y.

¿Bajo qué condiciones un continuo X tiene n-ésimo producto simétrico único?

Dado un continuo X, sea

G(X) = {x 2 X : x tiene una vecindad G en X tal que G es una gráfica finita }

y sea P(X) = X � G(X).

Definición 5.2. Un continuo X es casi enrejado si el conjunto G(X) es denso enX.

Definición 5.3. Un continuo casi enrejado X es enrejado si X tiene una base devecindades B tal que para cada elemento U 2 B, se tiene que U �P(X) es conexo.

En las Figuras (a) y (b), de la Figura 6, mostramos ejemplos de continuosenrejados y casi enrejados Dado un continuo X y n 2 N, sea

Pn(X) = {A 2 Fn(X) : A \ P(X) 6= ;},



Rn(X) = {A 2 Fn(X) : A \R(X) 6= ;},

⇤n(X) = Fn(X)� (Rn(X) [ Pn(X)),

En(X) = {A 2 Fn(X) : A tiene una vecindad en Fn(X) la cual es una n-celda}.

A continuación exponemos algunas propiedades que el conjunto En(X) posee, ade-más de resultados necesarios para una mejor lectura de esta sección.

Teorema 5.4. [1, Teorema 2.1] Sean X un continuo y n 2 N. Dado i 2 {1, . . . , n},sea Ji un arco en X con puntos extremos ai y bi. Si los conjuntos J1, . . . , Jn sondisjuntos por pares, entonces hJ1, . . . , Jnin es una n-celda en Fn(X) cuyo interiorcomo variedad es el conjunto hJ1 � {a1, b1}, . . . , Jn � {an, bn}in.

Teorema 5.5. Sean X y Y continuos y n 2 N. Si h : Fn(X) ! Fn(Y ) es unhomeomorfismo, entonces h(En(X)) = En(Y ).

Demostración. Sea B 2 h(En(X)). Existe A 2 En(X) tal que B = h(A). ComoA 2 En(X), existe una vecindad V de A en Fn(X) tal que V es homeomorfo aIn. Como h : Fn(X) ! Fn(Y ) es un homeomorfismo, tenemos que h(V ) es unavecindad de h(A) en Fn(Y ) y V es homeomorfo a h(V ). Así, h(V ) es homeomorfoa In. Luego, B tiene una vecindad en Fn(Y ) que es una n-celda. Por lo tanto,h(En(X)) ⇢ En(Y ).

Por otro lado, como h�1: Fn(Y ) ! Fn(X) es un homeomorfismo, de manera

similar a como se demostró que h(En(X)) ⇢ En(Y ), tenemos que h�1(En(Y )) ⇢

En(X). Luego, En(Y ) = h(h�1(En(Y ))) ⇢ h(En(X)). Por lo tanto, h(En(X)) =

En(Y ).

Teorema 5.6. [14, Lema 2] Si X es un continuo enrejado, entonces X es uncontinuo localmente conexo.

Teorema 5.7. [14, Lema 8] Sean X un continuo localmente conexo, {Jm}1m=1 una

sucesión en AS(X) de elementos distintos por pares y xm 2 Jm para cada m 2 N.Si {xm}1

m=1 converge a x, para algún x 2 X, entonces {Jm}1m=1 converge a {x}.

Teorema 5.8. [14, Lema 10] Si X es un continuo localmente conexo y J un arcolibre, entonces existe K 2 As(X) tal que J ⇢ K.

Teorema 5.9. Si X es un continuo localmente conexo, entoncesS{intX(J) : J 2

AS(X)} = X � (P(X) [R(X)).

Demostración. Supongamos x 2 S{intX(J) : J 2 AS(X)}, así existe J 2 AS(X)

tal que x 2 intX(J). Luego, x 2 G(X), por otra parte observemos que ord(x, J) = 1

o ord(x, J) = 2. Por el Teorema 2.12, tenemos que ord(x,X) = 1 o ord(x,X) = 2.



Luego, x 62 R(X). Por lo tanto x 2 X� (P(X)[R(X)). Por otro lado, supongamosque x 2 X�(P(X)[R(X)), así, existe una gráfica finita T en X tal que x 2 intX(T ).Como x 62 R(X), existe un arco libre I de X tal que x 2 intX(I). Por el Teorema5.8, existe K 2 AS(X) tal que I ⇢ K. Así, x 2 intX(K) y así x 2 S{intX(J) : J 2AS(X)}.

Teorema 5.10. [18, Teorema 3.1] Si X es un continuo localmente conexo, entonceslas siguientes condiciones son equivalentes.

i) El continuo X es casi enrejado,

ii) el conjunto En(X) es denso en Fn(X), para toda n 2 N,

iii) para todo subconjunto abierto no vacío de X contiene un arco libre de X.

Teorema 5.11. [18, Teorema 3.8] Sea X es un continuo localmente conexo y n 2 N.Si En(X) es denso en Fn(X), entonces

i) En(X) ⇢ ⇤n(X),

ii) En(X) = ⇤n(X)� Fn�1(X), para todo n 2 N� {2, 3}.

Teorema 5.12. Si X un continuo localmente conexo tal que X no es ni un arconi una curva cerrada simple y n 2 N, entonces las componentes de ⇤n(X) sonsubconjuntos no vacíos de la forma hintX(I1), . . . , intX(Im)in, donde m n, losconjuntos intX(I1), . . . , intX(Im) son disjuntos por pares y Ij 2 AS(X), para cadaj 2 {1, . . . ,m}.

Demostración. Sean I1, . . . , In 2 AS(X). Notemos que intX(I1), . . . , intX(Im) sonsubconjuntos de X abiertos y conexos tales que para i, j 2 {1, . . . , n}, intX(Ii) \intX(Ij) = ; con i 6= j. Por el Teorema 2.7, tenemos que hintX(I1), . . . , intX(Im)ines un conjunto conexo de Fn(X), además, hintX(I1), . . . , intX(Im)in es un sub-conjunto abierto en Fn(X). Supongamos que {I1, . . . , Im} 6= {J1, . . . , Jm} así,hintX(I1), . . . , intX(Im)in \ hintX(I1), . . . , intX(Im)in = ;. Por el Teorema 5.9, te-nemos que X�(P(X)[R(X)) =

S{intX(I) : I 2 AS(X)}, así, la unión de todos loselementos de la forma hintX(I1), . . . , intX(Im)in es igual a ⇤n(X). Esto completala prueba del teorema.

El siguiente teorema nos dice cuando el conjunto En(X) es un conjunto abiertoen Fn(X), para cada n 2 N. Dicho teorema el lector lo puede encontrar en [17,Lemma 2.1].

Teorema 5.13. Si X es un continuo localmente conexo y n 2 N, entonces En(X)

es un subconjunto abierto en Fn(X).



Sea X un continuo y W un conjunto abierto en X. Para cualquier subconjuntoU de X definimos c(U,W,X) como el número de componentes de U \ W , si estenúmero es finito y c(U,W,X) = 1, en otro caso. Para cada p 2 clX(W ), definimos

v(p,W,X) = mın({m 2 N : existe una base B de vecindades de p en X tal

que c(U,W,X) = m, para cada U 2 B} [ {1}).

Dado A 2 Fn(X), de acuerdo a [13, Remark 3.5], denotamos

v(A) = v(A,En(X), Fn(X)).

Teorema 5.14. [13, Teorema 3.4] Si X es un continuo localmente conexo, casienrejado y n 2 {2, 3}, entonces En(X) = ⇤n(X).

Demostración. Por los Teoremas 5.10 y 5.11, tenemos que En(X) ⇢ ⇤n(X). SeaA 2 ⇤n(X), así, A ⇢ (E(X) [ O(X)) � P(X). Por el Teorema [14, Teorema 4],existe una gráfica finita G contenida en X tal que A ⇢ int(G). Luego, A 2 ⇤n(G).Por [7, Lema 5.1], tenemos que A 2 En(G). Además, sabemos que la intersección deun conjunto abierto y una n-celda contiene una n-celda, implicamos que A 2 En(X).Por lo tanto, ⇤n(X) ⇢ En(X).

Teorema 5.15. [13, Teorema 3.8] Sean X y Y continuos localmente conexos casienrejados y n 2 {2, 3}. Si h : Fn(X) ! Fn(Y ) es un homeomorfismo, entonces

(a) h(Rn(X) [ Pn(X)) = Rn(Y ) [ Pn(Y );

(b) si A 2 Fn(X), entonces v(A) = v(h(A));

(c) h(Rn(X)� Pn(X)) = Rn(Y )� Pn(Y );

(d) h(F1(R(X) \ G(X))) = F1(R(Y ) \ G(Y ));

(e) h(Pn(X)) = Pn(Y );

(f) si X es un continuo enrejado, entonces h(F1(P(X))) ⇢ F1(P(Y )).

La siguiente propiedad es una técnica ampliamente utilizada en las pruebas demuchos resultados en el estudio de la unicidad de hiperespacios.

Definición 5.16. Sea C una clase de continuos y n 2 N. La clase C es Fn-cerradasi para cada X 2 C y para cada continuo Y tal que Fn(X) es homeomorfo a Fn(Y ),entonces Y 2 C.

Las siguientes clases de continuos son Fn-cerradas.



(a) La clase de los continuos localmente conexo es Fn-cerrada, para cada n 2 N,[8, Teorema 6.3].

(b) La clase de los continuos enrejados es Fn-cerrada, para cada n 2 {2, 3}, [13,Teorema 3.10].

Recientemente David Herrera Carrasco, María de Jesús López Toriz y FernandoMacías Romero, mostraron el siguiente teorema.

Teorema 5.17. [17, Teorema 3.1] La clase de los continuos localmente conexoscasi enrejados es Fn-cerrada, para cada n 2 N.

Teorema 5.18. [17, Teorema 4.1] Sea X un continuo localmente conexo casi en-rejado. Entonces x 2 P(X) si y solo si existe una sucesión de elementos distintospor pares contenida en AS(X) la cual converge a {x}.

Teorema 5.19. [17, Teorema 4.2] Sean X y Y continuos casi enrejados y localmen-te conexos. Si h : F2(X) ! F2(Y ) es un homeomorfismo y J 2 AS(X), entoncesh(hJi2) = hL1, L2i2, para algún L1, L2 2 AS(Y ).

Teorema 5.20. [17, Teorema 4.3] Sean X un continuo casi enrejado y local-mente conexo, J,K 2 AS(X) y K una colección de componentes de E2(X) �hintX(J), intX(K)i2. Sea A = {z 2 K : existe x 2 intX(J) tal que {x, z} 2clF2(X) (

SK)} y supongamos que A 6= ; . Entonces A ⇢ BdX(K) y hJ,Ai2 ⇢

hJ,Ki2 \ clF2(X) (SK) ⇢ hJ, BdX(K)i2 [ hBdX(J),Ki2.

Los Teoremas 5.17, 5.18, 5.19 y 5.20 son de gran importancia en el desarrollode la teoría del segundo producto simétrico único, además son de gran utilidad enel desarrollo del tercer producto simétrico único. Para el caso del tercer productosimétrico único se tienen los siguientes resultados.

Lema 5.21. Sean X y Y continuos casi enrejados y localmente conexos. Si h :

F2(X) ! F2(Y ) es un homeomorfismo y J 2 AS(X), entonces existen L1, L2, L3 2AS(Y ) tales que h(hJi2) = clF3(X)( hintX(L1), intX(L2), intX(L3)i3).

Demostración. Sea J 2 AS(X), por los Teoremas 5.12 y 5.14, tenemos que h(hintX(

J)i3) = hintY (K), intY (L), intY (M)i3, para algún K,L,M 2 AS(Y ). Así, h(hJi3) =h(clF3(X)hintX(J)i3) = clF3(Y )(h(hintX(J)i3)) y clF3(Y )(h(hintX(J)i3 )) = clF3(Y )(

hintY (K), intY (L), intY (M)i3).

Teorema 5.22. [11, Teorema 3.1] Sean Y un continuo casi enrejado y local-mente conexo, K,L,M 2 AS(Y ), K una colección de componentes de E3(Y ) �hintY (K), intY ( L), intY (M)i3. Sean A = {z 2 M : existe k 2 intY (K), l 2 intY (L)



tal que {k, l, z} 2 clF3(Y ) (SK)}, B = {z 2 BdY (M) : existe k 2 BdY (K),

l 2 intY (L) tal que {k, l, z} 2 clF3(Y ) (SK) }, y supongamos que A 6= ; y B 6= ;.

Entonces se cumple lo siguiente.

(a) A ⇢ BdY (M).

(b) Para cada z 2 A, se cumple que clF3(Y )(hintY (K), intY (L), {z}i3) ⇢ clF3(Y )(hintY (K), intY (L), intY (M)i3) \ clF3(Y ) (

SK).

(c) Para cada b1 2 BdY (K) y b2 2 B, tenemos que clF3(Y )(h{b1}, intY (L), {b2}i3)⇢ clF3(Y )(hintY (K), intY (L), intY (M)i3) \ clF3(Y ) (

SK),

Teorema 5.23. [11, Teorema 3.2] Sean X y Y continuos casi enrejados local-mente conexos. Si h : F3(X) ! F3(Y ) es un homeomorfismo y J 2 AS(X) talque h(hintX(J)i3) = hintY (K), intY (L), intY (M)i3, para algún K,L,M 2 AS(Y ),entonces

(a) h(hJi3 \ hR(X)\G(X)i3) = clF3(Y )(hintY (K), intY (L), intY (M)i3)\ hR(Y )\G(Y )i3.

(b) h(hJi3 \ hP(X)i3) = clF3(Y )(hintY (K), intY (L), intY (M)i3) \ hP(Y )i3.

(c) Si p, q 2 E(J) tal que p 2 P(X) y q 2 R(X) \ G(X), entonces h({p, q}) =

{a, b, c} tal que {a, b, c} ⇢ P(Y ) [ (R(Y ) \ G(Y )), {a, b, c} \ P(Y ) 6= ; and{a, b, c} \ (R(Y ) \ G(Y )) 6= ;.

Teorema 5.24. [11, Teorema 3.3] Sean X y Y continuos casi enrejados localmenteconexos. Si h : F3(X) ! F3(Y ) es un homeomorfismo y J 2 AS(X), entonces existeK 2 AS(Y ) tal que h(hJi3) = hKi3.

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Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, BUAPAvenida San Claudio y 18 Sur, Colonia San Manuel,Ciudad Universitaria, C.P. 72570, Puebla, Mé[email protected]@[email protected]







Capítulo 10

Caracterización de los hiperespacios de un continuolocalmente conexo

Lázaro Flores De Jesús, David Herrera Carrasco,Fernando Macías Romero

FCFM, BUAP

Resumen

Un continuo es un espacio métrico no degenerado, compacto y conexo. Dado uncontinuo X, un hiperespacio es una familia de subconjuntos de X con ciertascaracterísticas. Un teorema importante dentro de la teoría de los continuoslocalmente conexos es el teorema de Curtis y Schori, el cual afirma que si X esun continuo localmente conexo, entonces el hiperespacio 2

X es homeomorfo alcubo de Hilbert y también, si X no contiene arcos libres, entonces el hiperespacioC(X) es homeomorfo al cubo de Hilbert. En este trabajo presentaremos unaprueba del teorema de Curtis y Schori, así como el acervo necesario para sucomprensión.

1 Introducción

Un continuo es un espacio métrico X no degenerado, compacto y conexo. Dado uncontinuo X, una vecindad de un punto x 2 X es un subconjunto V de X tal queexiste un abierto U de X con x 2 U ⇢ V . Un continuo X es localmente conexoen un punto x 2 X si para cada vecindad U de x existe un conjunto abierto yconexo V tal que x 2 V ⇢ U . Si X es localmente conexo en cada uno de sus puntos,X es localmente conexo.

Dado un continuo X, un hiperespacio de X es una familia de subconjuntos deX que cumplen ciertas características. Entre los hiperespacios más conocidos seencuentran los siguientes:

2X

= {A ⇢ X : A es no vacío y cerrado},C(X) =

¶A 2 2

X: A es compacto

©,

Fn(X) =

¶A 2 2

X: A tiene a lo más n puntos

©.

Los espacios anteriores resultan ser nuevamente continuos considerando en ellos lamétrica de Hausdorff, [11, Teorema 2.2].


250 Lázaro Flores De Jesús, David Herrera Carrasco, Fernando Macías Romero

Son ejemplos de continuos localmente conexos los siguientes:

i) continuos que se pueden escribir como una unión finita de arcos tales quecualesquiera dos de ellos se intersectan en uno o ambos de sus puntos extremos(gráficas finitas),

ii) continuos que son homemorfos a [0, 1]n (n-celdas),

iii) continuos que son homemorfos a [0, 1]1 = I1 (cubo de Hilbert),

iv) el punto peludo o también conocido como F! ([18, Ejemplo 2.6]).

Por otro lado, el continuo que es la cerradura de¶Ä

x, senÄ1x

ää: x 2 (0, 1]

©no es

un continuo localmente conexo. Respecto a los continuos localmente conexos y sushiperespacios tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.1. [15, Teorema 1.92] Sea X un continuo localmente, entonces loshiperespacios 2

X y C(X) son continuos localmente conexos.

El presente trabajo esta dividido en cuatro secciones, en la segunda sección sepresentan los definiciones y resultados que nos permitirán comprender las seccionesposteriores. En la tercera sección se hará un tratamiento más a fondo sobre los con-tinuos localmente conexos, presentaremos algunas de sus principales características.Finalmente en la cuarta sección se presentará la prueba del teorema de Curtis ySchori.

En cada resultado que se presente se incluirá su demostración o se dará unareferencia en la cual el lector puede encontrar la demostración.

2 Conceptos básicos y resultados auxiliares

Las definiciones y resultados que se presentan en esta sección son necesarios parapoder exponer este capítulo. De hecho los conceptos que aquí se definen los estamosconsiderando como se definen en [11] y [14].

Definición 2.1. Sean X y Y espacios topológicos, A ⇢ Y y f : A ! X unafunción continua. Una función F : Y ! X es una extensión continua de f a Y siF es continua y F |A = f . Un espacio normal X es un extensor absoluto si, paracada espacio normal Y , cada subconjunto cerrado A de Y y cada función continuaf : A ! X, la función f tiene una extensión continua a Y .

Definición 2.2. Un subconjunto cerrado A de un espacio topológico Y es un re-tracto de Y si la función identidad IdA en A tiene una extensión continua a Y . Un


Caracterización de los hiperespacios de un continuo localmente conexo 251

espacio normal X es un retracto absoluto si, para cada espacio normal Y y cadasubconjunto cerrado B de Y homeomorfo a X, se satisface que B es un retracto deY .

Teorema 2.3 (Borsuk). Un espacio métrico compacto K es un retracto absoluto siy solo si K es un extensor absoluto.

Demostración. Sea K un espacio métrico compacto y supongamos que K es un re-tracto absoluto. Por el teorema de metrización de Urysohn, [12, pág. 241], podemosasumir que existen K 0 ⇢ I1 y ' : K 0 ! K un homeomorfismo. Como K es unretracto absoluto existe una retracción r : I1 ! K 0.

Sea B un subconjunto cerrado de un espacio métrico M y sea f : B ! K unafunción continua. Como la función f es continua, tenemos que '�1 � f : B ! K 0 escontinua.

Notemos que '�1 � f = (fi)1i=1 donde fi : B ! [0, 1]i para cada i.Por el teorema de extensión de Tietze [12, pág. 127], cada fi puede ser extendidaa una función continua gi : M ! [0, 1]i. Consideremos g = (gi)1i=1 : M ! I1,entonces ' � r � g : M ! K es una extensión continua de f , es decir, ' � r � g|B = fpues si x 2 B entonces (' � r � g)(x) = (' � r)(g(x)) = (' � r)('�1 � f(x)) =

'(('�1 � f)(x)) = f(x).Por lo tanto, K es un extensor absoluto.Ahora supongamos que K es un extensor absoluto. Supongamos que K es ho-

meomorfo a un subespacio cerrado K 0 de un espacio métrico Y . Entonces existe ' :

K 0 ! K homeomorfismo. Por lo tanto, '� IdK0 : K 0 ! K es continua y como K esun extensor absoluto, '�IdK0 se puede extender a una función continua f : Y ! Ky f |K0 = '�IdK0 . Así, '�1�f : Y ! K 0 ⇢ Y es la función buscada, ya que si k 2 K 0

se tiene que ('�1 � f)(k) = '�1(f(k)) = '�1

((' � IdK0)(k)) = IdK0(k) = k.

Corolario 2.4. Sea K un espacio métrico compacto encajado en I1. Si K es unretracto de I1, entonces K es un retracto absoluto.

Demostración. Por el teorema 2.3 tenemos que cualquier retracto de I1 es unextensor absoluto. Por lo tanto, por el teorema 2.3, cualquier retracto de I1 es unretracto absoluto.

Teorema 2.5 (Wojdyslawski). [19, Teorema II, Teorema IIm] Si X es un continuolocalmente conexo, entonces 2

X y C(X) son retractos absolutos.

3 Continuos localmente conexos y métricas convexas

Dentro de esta sección se presentaran algunos resultados relacionados con los con-tinuos localmente conexos, y tambien se presentara la relación que hay entre estos



y las métricas convexas.Una caracterización de los espacios localmente conexo en términos de las com-

ponentes de los conjuntos abiertos, nos la da el siguiente resultado.

Teorema 3.1. [14, Ejercico 5.22] Un espacio métrico X es un espacio localmenteconexo si y solo si para cada abierto U y cada componente C de U , se tiene que Ces abierto.

En particular, según este último teorema, las componentes de los espacios lo-calmente conexo son conjuntos abiertos.

Existen dos formas naturales de conexidad local: Sea X un espacio topológicoy p 2 X; X es localmente conexo en p si p posee una base de vecindades formadapor vecindades abiertas conexas; X es conexo en pequeño (cik) en p si p posee unabase de vecindades formada por vecindades conexas (esto es, conjuntos conexos quecontienen a p en sus interiores en X). Es cierto que si X es localmente conexo enp, entonces X es cik en p. Sin embargo, el inverso es falso aun para continuos.Sin embargo, si un espacio topológico es cik en todo punto, entonces es localmenteconexo en todos sus puntos. Lo anterior queda formalizado en la definición 3.2 y enel teorema 3.3.

Definición 3.2. Un espacio métrico X es conexo en pequeño en un puntox 2 X si para cada vecindad N de x existe una vecindad conexa G de x tal quex 2 G� ⇢ G ⇢ N . Si X es conexo en pequeño en cada uno de sus puntos, se diceque X es conexo en pequeño.

Teorema 3.3. [14, Ejercicio 5.22] Un espacio métrico X es localmente conexo siy solo si X es conexo en pequeño.

La propiedad de ser un espacio localmente conexo es una propiedad topológica,es decir, se conserva bajo homeomorfismos, como lo muestra el siguiente resultado.

Teorema 3.4. Sean X y Y espacios topológicos. Si X es un espacio localmenteconexo y f : X ! Y es una función continua, suprayectiva y cerrada, entonces Yes un espacio localmente conexo.

Demostración. Sean X y Y espacios topológicos, con X un espacio localmenteconexo y f : X ! Y una función suprayectiva, continua y cerrada. Veamos que Yes localmente conexo.

Sea y 2 Y y U un abierto en Y tal que y 2 U . Como f es suprayectiva, existex 2 X tal que f(x) = y, también como f es continua se tiene que f�1

(U) es unabierto en X y además x 2 f�1

(U). Como X es localmente conexo, existe V abierto



en X y conexo tal que x 2 V ⇢ f�1(U), entonces y 2 f(V ) ⇢ f(f�1

(U)). Como fes suprayectiva se cumple que f(f�1

(U)) = U .Por otro lado, f(V ) es un abierto en Y , pues f es cerrada y por lo tanto abierta,

y f(V ) es conexo ya que f es continua. Así, para cada y 2 Y y cada abierto Uque lo contiene, existe un conjunto abierto y conexo V en Y tal que y 2 V ⇢ U .Por lo tanto, Y es localmente conexo en cada uno de sus puntos y así es localmenteconexo.

Los continuos localmente conexos poseen una propiedad muy importante, cono-cida como la propiedad S, la cual presentamos a continuación, ya que nos sera degran utilidad mas adelante.

Definición 3.5. Sea X un espacio métrico. Un subconjunto B no vacío de X tienela propiedad S si para cualquier " > 0 existen {A1, ..., An} subconjuntos conexosde B de diámetro menor que " tales que B =

nSi=1

Ai.

Como una observación inmediata, la propiedad S no es una propiedad topoló-gica. Por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1) tiene la propiedad S y el espacio R notiene la propiedad S.

Para acercarnos a nuestro objetivo lo primero que podemos observar es que losespacios métricos que tienen la propiedad S son espacios localmente conexo, comose muestra a continuación.

Teorema 3.6. Un espacio métrico X que tiene la propiedad S es un espacio local-mente conexo.

Demostración. Basta demostrar que X es conexo en pequeño (vea el teorema 3.3).Sea p 2 X y N una vecindad de p. Así, existe " > 0 tal que B "

2(p) ⇢ N . Como

X tiene la propiedad S, existen A1, ..., An subconjuntos conexos de X tales queX =

nSi=1

Ai y para cada i 2 {1, ..., n}, se tiene que diam (Ai) <"

2 .

SeaG =

[¶Ai : p 2 Ai

©.

Veamos que G es conexo. Supongamos, por el contrario, que G no es conexo. Así,existe una separación (S, T ) tal que S y T son no vacíos, abiertos en X, ajenos yG = S [T . Como p 2 X, existe k 2 {1, ..., n} tal que p 2 Ak ⇢ Ak. Luego, Ak ⇢ G.Supongamos, sin perder generalidad, que Ak ⇢ S. Como T 6= ;, existe j 2 {1, ..., n}tal que Aj ⇢ T . Notemos que p 2 Aj . Luego, existe una sucesión {xm}1

m=1 en Aj

tal que xm ! p. De aquí, p 2 T . Pero como p 2 S, se cumple que T \ S 6= ; lo queniega nuestra hipótesis, por lo tanto G es conexo.



Ahora veamos que p 2 G�. Para esto, supongamos lo contrario, que p 2 X�G�=

X �G. Así, existe una sucesión {ym}1m=1 en X �G tal que ym ! p. Notemos que,

para cada m 2 N, el punto ym cumple que

ym /2 G. (1)

Por otro lado, como la sucesión {ym}1m=1 está en X =

nSi=1

Ai, existe una subsucesión

{ymk}1k=1 de Ak0 , para algún k0 2 {1, ..., n}. Como ymk

! p, el punto p 2 Ak0 y,por lo tanto, Ak0 ⇢ G. Luego, {ymk

}1k=1 esta contenida en Ak0 ⇢ G, esto contradice

a (1). Por lo tanto, p 2 G�.Finalmente, veamos que G ⇢ N . Para esto, sea g 2 G. Notemos que g 2 Ai paraalgún Ai con p 2 Ai. Además d (g, p) diam (Ai) < "

2 . Con esto, obtenemosG ⇢ B "

2(p).

En resumen, p 2 G� ⇢ G ⇢ B "

2(p) ⇢ N y G es una vecindad conexa de N que

contiene a p. Como p es arbitrario, tenemos que X es conexo en pequeño y por lotanto es localmente conexo.

En relación con el resultado anterior tenemos que para espacios métricos com-pactos la propiedad S es equivalente a ser un espacio localmente conexo.

Teorema 3.7. Un espacio métrico compacto no vacío X es un espacio localmenteconexo si y solo si tiene la propiedad S.

Demostración. Supongamos que X es un espacio localmente conexo. Sea " > 0 yx 2 X, por definición , existe Vx subconjunto abierto en X tal que Vx es conexoy x 2 Vx ⇢ B "

3(x). La colección L = {Vx : x 2 X} es una cubierta abierta para

X. Por la compacidad de X existe una colección finita Vx1 , ..., Vxnde L tales que

X =nS

i=1Vxi

con diam (Vxi) < " para toda i 2 {1, ..., n}, por lo tanto se cumple la

definición 3.5.La reciproca se obtiene aplicando el teorema 3.6.

Teorema 3.8. Sea X un espacio métrico. Si Y es un subconjunto de X que tienela propiedad S y Z es un subconjunto de X tal que Y ⇢ Z ⇢ Y X , entonces Z tienela propiedad S y de aquí, Z es un espacio localmente conexo.

Demostración. Sea X un espacio métrico, Y un subconjunto de X que tiene lapropiedad S y Z un subconjunto de X tal que Y ⇢ Z ⇢ Y X . Sea " > 0. ComoY tiene la propiedad S, existen A1, . . . , An subconjuntos conexos de Y tales queY =

nSi=1

Ai y para toda i 2 {1, . . . , n}, tenemos que diam (Ai) < ".



Ahora para cada i 2 {1, . . . , n}, sea Bi = (Ai)Z . Por [8, Teorema 1.6, pág. 109],cada Bi es conexo.

Por otro lado, para todo i 2 {1, . . . , n}, tenemos que

Bi = (Ai)Z = (Ai)X \ Z ⇢ Z.

LuegonS

i=1Bi ⇢ Z. Notemos que

(Y )Z= (S

n

i=1Ai)Z =S

n

i=1 (Ai)Z =S

n

i=1Bi,

y como por hipótesis Z ⇢ Y X , tenemos que

Z ⇢ Y X \ Z = Y Z =nS

i=1Bi.

Así, Z =nS

i=1Bi.

Ahora para todo i 2 {1, . . . , n}, tenemos que

Bi = (Ai)Z = (Ai)X \ Z ⇢ (Ai)X .

Luego,

diam (Bi) diam(Ai)X = (Ai)X < ".

Así, Z =nS

i=1Bi, y para todo i 2 {1, . . . , n}, tenemos que Bi es conexo y diam (Bi) <

". Por lo tanto Z tiene la propiedad S, y por el teorema 3.6, Z es un espaciolocalmente conexo.

Teorema 3.9. [14, Teorema 8.9] Si X es un espacio métrico que tiene la propiedadS, entonces para cualquier " > 0, el espacio X es unión finita de subconjuntosconexos los cuales tienen la propiedad S y diámetro menor que ".

Observación 3.10. La condición de subconjuntos abiertos en el teorema 3.9 puedeser cambiada por subconjuntos cerrados. Por [8, Teorema 1.6, pág. 109] y por elteorema 3.9, se cumple, para cada i 2 {1, ..., n}, que

SÅAi,

"

3

ã

es un subconjunto conexo cerrado. Por el teorema 3.8, estos subconjuntos tienen lapropiedad S; como

diamÅSÅAi,

"

3

ãã= diam

ÅSÅAi,

"

3

ãã,



obtenemos que

diamÅSÅAi,

"

3

ãã< ".

Por lo tanto, si X es un espacio métrico con la propiedad S y " > 0 entonces Xse puede ver como la unión finita de subconjuntos cerrados (ó abiertos) los cualestienen la propiedad S y de diámetro menor que ".

Teorema 3.11. Si X es un continuo localmente conexo, entonces para cualquier" > 0, el continuo X es unión finita de subcontinuos localmente conexos de diámetromenor que ".

Demostración. Supongamos que X es un continuo localmente conexo. Por el teo-rema 3.7, el continuo X tiene la propiedad S. Por la observación 3.10, tenemos queX es unión de subconjuntos cerrados conexos con diámetro menor que " que tie-nen la propiedad S. Notemos que estos subconjuntos son compactos. Finalmente,aplicando el teorema 3.6 a cada uno de estos subconjuntos, obtenemos el resultadodeseado.

Un aspecto importante que hay que resaltar en los continuos localmente conexoses el que se presenta a continuación.

Teorema 3.12. [14, Teorema 8.23] Todo continuo localmente conexo X es arco-conexo.

Un aspecto relevante de los continuos localmente conexos es que se les puededotar de una métrica que nos permite hablar de los «puntos medios» de los segmen-tos entre puntos del espacio. Esta noción se desarrolla a continuación, y tambiéndamos algunos resultados interesantes.

Definición 3.13. Sea X un espacio topológico. Una métrica convexa para elespacio X es una métrica, d, que induce la topología en X y para la cual los puntosmedios siempre existen, es decir, para cualesquiera x, y 2 X, existe m 2 X tal que

d(x,m) =1

2d(x, y) = d(m, y).

Un aspecto importante de los continuos localmente conexos es el siguiente:

Teorema 3.14. [13, Teorema 4] Todo continuo localmente conexo admite una mé-trica convexa.

Definición 3.15. Sean (X, d) un espacio métrico, r > 0 y A 2 2X la d-bola

cerrada generalizada en X centrada en A de radio r, la cual denotamos porCd(r, A), es definida como sigue:

Cd(r, A) = {x 2 X : d(x,A) r} .



Lema 3.16. [14, Proposición 10.5] Sea X un continuo con una métrica convexa d.Si r > 0 es fijo, entonces para cualesquiera A,B 2 2

X ,

H [Cd(r, A), Cd(r,B)] H(A,B)

Lema 3.17. [14, Proposición 10.6] Sea X un continuo con una métrica convexa d.Entonces, para cualquier A 2 C(X) y r > 0, tenemos que Cd(r, A) 2 C(X).

Definición 3.18. Sean X y Y espacios métricos, X con métrica acotada, y f, g :

Y ! X funciones continuas, denotaremos por

d1(f, g) = sup{d(f(y), g(y)) : y 2 Y }.

Sean X y Y espacios métricos y {fn}n2N una sucesión de funciones continuasde X en Y . Diremos que f : X ! Y es el límite uniforme de {fn}n2N silımn!1 d1(fn, f) = 0.

Definición 3.19. Sean X un espacio métrico compacto y A un subconjunto cerradode X. Diremos que A es un Z-conjunto en X si IdX es el límite uniforme defunciones continuas cuyas imágenes no intersectan a A. También diremos que unafunción continua f entre espacios métricos compactos X1 y X2 es una Z-funciónsi f(X1) es un Z-conjunto en X2.

El siguiente resultado nos da la seguridad que que podemos realizar algunasoperaciones entre Z-conjuntos obteniendo nuevamente Z-conjuntos.

Teorema 3.20. Sea X un espacio métrico compacto. Entonces, se cumplen lassiguientes afirmaciones:

i) Un subconjunto cerrado de un Z-conjunto en X, es a su vez un Z-conjunto enX.

ii) La unión finita de Z-conjuntos en X es un Z-conjunto en X.

Demostración. (1). Supongamos que A es un Z-conjunto en X y B es un subconjun-to cerrado de A. Sea " > 0. Luego, existe una función continua f" : X ! X �A talque d1(f", IdX) < ". Observemos que X �A ⇢ X �B. De esta manera, podemosconsiderar que f" : X ! X � B. Además, B es un subconjunto cerrado de X. Porlo tanto, B es un Z-conjunto en X.

(2). Bastará probar la afirmación para dos elementos. Sean A1 y A2 dos Z-conjuntos en X y " > 0. Tomemos una función continua f1 : X ! X � A1, talque d1(f1, IdX) < "

2 . Observemos que, dado a 2 A, se cumple que d(f1(X), A1) d(f(a), a) d1(f1, IdX). Así, d(f1(X), A1) < "

2 . Como X es compacto, f1(X)



es compacto. Además, f1(X) \ A1 = ;. Luego, d(f1(X), A1) > 0. Así, existe unafunción continua f2 : X ! X �A2, tal que d1(f2, IdX) < 1

2d(f1(X), A1).Observemos que para cualquier x 2 X se cumple que d(f1(x), f2(f1(x))) <

12d(f1(X), A1) < d(f1(X), A1) y, por tanto, f2(f1(x)) /2 A1. Se sigue de esto últimoque f2(f1(X)) ⇢ X � A1. Como también f2(X) ⇢ X � A2, podemos considerar lafunción continua g = f2 � f1 : X ! X � (A1 [A2).

Observemos también que

d(g(x), x) d(g(x), f1(x)) + d(f1(x), x) = d(f2(f1(x)), f1(x)) + d(f1(x), x)

<1

2d(f1(X), A1) +

"

2<"

4+"

2=

3"

4< ",

para cualquier x 2 X. Luego, d1(g, IdX) < ". Por tanto, A1 [A2 es un Z-conjuntoen X.

Finalizamos esta sección con un teorema importante, que nos permitirá dar laprueba del teorema de Curtis y Schori

Teorema 3.21 (Toruńczyk). [17, Teorema 1] Sea Y un retracto absoluto. Si lafunción identidad en Y es un límite uniforme de Z-funciones, entonces Y es elcubo de Hilbert.

4 El teorema de Curtis y Schori

Dado un hiperespacio de un continuo X, se pueden considerar subfamilias de sub-conjuntos que cumplan otra cierta característica, en la siguiente definición especifi-camos a que nos referimos con esto.

Definición 4.1. Dado X un continuo y un subconjunto A de X, consideremoslos conjuntos 2

X

A= {B 2 2

X: A ⇢ B} y CA(X) = {B 2 C(X) : A ⇢ B}. Los

subconjuntos 2X

Ay CA(X) son llamados los hiperespacios de contención para

A en 2X y C(X), respectivamente.

Teorema 4.2. [11, Teorema 11.2] Sea X un continuo localmente conexo no de-generado. Si K es un subconjunto cerrado de X tal que K� 6= ;, entonces 2

X

Kes

un Z-conjunto en 2X ; también, si K no contiene arcos libres en X, CK(X) es un

Z-conjunto en C(X).

Demostración. En vista de la definición de un Z-conjunto, comenzamos notandoque por [10, Teorema 1.2.19], 2

X

Kes cerrado en 2

X ; también, por [10, Teorema1.2.19], tenemos que CK(X) es cerrado en C(X).



Ahora, sea d una métrica para X. Para determinar que tan cerca está una funcióna la función identidad en 2

X o C(X), usaremos la métrica de Hausdorff H.Primero probaremos el teorema para 2

X

K, para esto tenemos dos casos.

Caso 1. K contiene un arco libre en X.Sea " > 0. Entonces, dado que K contiene un arco libre en X, K contiene un arcolibre J en X tal que

diamd(J) < ".

Denotemos por p y q los puntos extremos de J , sea ' : 2J ! 2

J la función garanti-zada en [11, Lema 11.1]. Definimos f" : 2X ! 2

X como sigue:

f"(B) =

(B, si B \ J = ;,(B � J�

) [ '(B \ J), si B \ J 6= ;.

Veamos que f" es continua en 2X . Sea B 2 2

X . Entonces tenemos los dos casossiguientes:Caso (a) B \ J = ;.Sea {Bn}1n=1 una sucesión en 2

X que converge a B. Como Bn ! B existe N 2 Ntal que para todo n � N se cumple que Bn \ J = ;, así tenemos que f"(Bn) = Bn

y por lo tanto f"(Bn) converge a B = f"(B).Caso (b) B \ J 6= ;.Sea {Bn}1n=1 una sucesión en 2

X que converge a B. Tenemos que demostrar quef"(Bn) ! f"(B).Notemos que si a+, a�, a0 2 J�, entonces a+n ! a+, dondea+n = ınf (Bn \ [0, 1]), a+ = ınf (B \ [0, 1]), a�n ! a�, dondea�n = sup (Bn \ [�1, 0]), a� = sup (B \ [�1, 0]) y a0n ! a0, dondea0n = {|b| : b 2 Bn \ J}, a0 = {|b| : b 2 B \ J}.Por definición tenemos que'(B \ J) = �(B \ J), si (B \ J) \

î�1

2 ,12

ó= ;, o

'(B \ J) = [(B \ J)� (�1, 1)] [ {�1, 1} , si 0 2 B \ J , o'(B \ J) =

⇥�(B \ J)� (2a0 � 1, 1� 2a0)

⇤[�2a0 � 1, 1� 2a0

, si 0 < a0 1

2 ,donde�(B \ J) = (B \ J) [ {2a+ � 1} , si (B \ J) ⇢ (0, 1], o�(B \ J) = (B \ J) [ {2a� + 1} , si (B \ J) ⇢ [�1, 0), o�(B\J) = (B\J)[{2a+ � 1, 2a� + 1} , si (B\J)\[�1, 0) 6= ; y (B\J)\(0, 1] 6= ;.De la misma manera se define '(Bn \ J).

Sea y 2 f"(B) y denotemos por E(J) al conjunto de puntos extremos de J .(i) Supongamos que y 2 '(B \ J); primero supongamos que y 2 �(B \ J).

Supongamos que y 2 B \ J�. Como J es un arco libre, existe una sucesión {yn}1n=1



tal que para toda n se cumple que yn 2 Bn \ J� y yn ! y.Supongamos que y /2 {2a+ � 1, 2a� + 1}, como a+n ! a+ y a�n ! a� existe N talque si n � N , entonces yn 2 Bn \ J�, yn /2 {2a+n � 1, 2a�n + 1} y tal que yn ! y,para n � N , yn 2 �(Bn \ J), así yn 2 '(Bn \ J). De donde yn 2 f"(Bn).Ahora supongamos que y 2 B\J� y y = 2a+�1, entonces yn = 2a+n �1 ! 2a+�1.Si yn = 2a� + 1, entonces yn = 2a�n + 1 ! 2a� + 1. Por lo tanto yn ! y yyn 2 �(Bn \ J), de donde yn 2 '(Bn \ J). Así yn 2 f"(Bn).Ahora tomemos y 2 E(J). Entonces existe {yn}1n=1 tal que yn ! y con yn 2 Bn.Tenemos los siguientes casos yn 2 Bn \ J� o yn 2 Bn � J�. De cualquier manerayn 2 f"(Bn).

(ii) Finalmente supongamos que y 2 B � J� y y /2 E(J). Entonces existe{yn}1n=1 tal que yn ! y y yn 2 Bn � J�, entonces yn 2 f"(Bn).Por lo anterior, hemos demostrado que f"(B) = (B�J�

)['(B\J) ⇢ lım ınf(f"(Bn)).Ahora demostremos que lım sup((B � J�

) [ '(B \ J)) ⇢ (B � J�) [ '(B \ J).

Sea x 2 lım sup((Bn � J�) [ '(Bn \ J)) y supongamos que x 2 Bn \ J y x 2 J�,

entonces existe una sucesión de números naturales n1 < n2 < · · · y puntos xnk2

Bnk\ J para cada k 2 N, tales que xnk

! x. Ya tenemos que x 2 J , falta ver quex 2 B. Supongamos que x /2 B, entonces tenemos que d(x,B) > 0. Sea "1 = d(x,B)

2 .Como Bn ! B existe N 2 N tal que para cada n � N se cumple que

H(Bn, B) < "1, así para cada n � N tenemos que Bn 2 N("1, B) y B 2 N("1, Bn).Como n1 < n2 < · · · es una sucesión de números naturales estrictamente cre-ciente tenemos que existe nr tal que nr > Ny por lo tanto xnr

2 Bnry además

xnr2 N("1, B), así existe b 2 B tal que d(xnr

, b) < "1 y d(xnr, x) < "1. Por lo

tanto tenemos que d(x, b) d(x, xnr) + d(xnr

, b) < 2"1 = d(x,B), lo cual es unacontradicción. Por lo tanto x 2 B, y así x 2 B \ J , por lo cual x 2 '(B \ J).

Por otro lado si x 2 Bn \ J y x 2 E(J), tenemos al igual que en el párrafoanterior, que x 2 B y por lo tanto x 2 B \ J , así x 2 '(B \ J).

Finalmente cuando x 2 Bn � J� y x /2 E(J), existe una sucesión {yn}1n=1 talque yn ! x con yn 2 Bn � J�, por lo tanto x 2 B � J� y así x 2 f"(B) Por loanterior concluimos que lım sup((B � J�

) [ '(B \ J)) ⇢ (B � J�) [ '(B \ J).

Por lo tanto lımn!1 f"(Bn) = f"(B).

Finalmente, f" es "-cercana a la función identidad en 2X (con H) dado que

diamd(J) < ". Por lo tanto, hemos probado que 2X

Kes un Z-conjunto en 2

X en elcaso cuando K contiene un arco libre en X.Caso 2. K no contiene arcos libres en X.Probaremos que para cada " > 0, existe una función continua g", de 2

X en 2X �2

X

K

tal que g" es "-cercana a la función identidad en 2X (con H).

Sea " > 0. Recordemos de las hipótesis del teorema que K� 6= ;; sea p 2 K�. Por el



teorema 3.11, X =nS

i=1Xi, donde n < 1, cada Xi es un continuo localmente conexo

y diamd(Xi) <"

4 para cada i.Definimos el siguiente conjunto, llamado la estrella de p con respecto a X1, . . . , Xn,como sigue:

St(p) =S {Xi : p 2 Xi}.

Sin pérdida de generalidad (recuerde que p 2 K�), supongamos que " es lo suficien-temente pequeño tal que St(p) ⇢ K y St(p) 6= X. Sea

C = {Xj : p /2 Xj y Xj \ St(p) 6= ;} .

Dado que St(p) 6= X y X =nS

i=1Xi es conexo, se tiene que C 6= ;. Para cada Xj 2 C,

sea pj 2 Xj \ St(p); note que los puntos pj realmente existen (dado que C 6= ;).Por [11, Lema 10.7], St(p) es un continuo localmente conexo. Por lo tanto, por elteorema 3.12, existe un arco Aj en St(p) de p a cada uno de los puntos pj elegidosanteriormente. Sea A =

SAj y sea

Y = A [ (SC).

Se sigue nuevamente de [11, Lema 10.7] que Y es un continuo localmente conexo.Por lo tanto, por el teorema 2.5, C(Y ) es un AR.Notemos que

[X � St(p)] \ St(p) ⇢ Y. (2)

En efecto, sea z 2 [X � St(p)] \ St(p). Sea {zk}1k=1 una sucesión en X � St(p)

tal que {zk}1k=1 converge a z. Dado que X =nS

i=1Xi y n < 1, existe m tal que

zk 2 Xm para una cantidad infinita k. Esto implica que Xm tiene las siguientes trespropiedades: (i) z 2 Xm; (ii) p /2 Xm (dado que zk /2 St(p) para cualquier k); (iii)Xm \ St(p) 6= ; (por (i) dado que z 2 St(p)). Por (ii) y (iii), Xm 2 C. Por lo tanto,por (i), z 2 Y . Esto prueba 2.

Definimos ↵ : Y ! C(Y ) como sigue:

↵(y) = {y} para todo y 2 Y .

Entonces, dado que C(Y ) es un AR, por el teorema 2.3, ↵ puede ser extendida a unafunción continua � : St(p)[Y ! C(Y ). Además tenemos que i : X � [St(p) [ Y ] !C(X) dada por i(x) = {x} para cada x 2 X � [St(p) [ Y ] es una función continua.Notemos que

(St(p) [ Y ) \X � [St(p) [ Y ] = Fr(St(p) [ Y ) ⇢ Fr(St(p)) [ Fr(Y ).



Por 2 tenemos que Fr(St(p)) ⇢ Y y, como Y es cerrado, Fr(Y ) ⇢ Y . Por lo tanto,(St(p) [ Y ) \X � [St(p) [ Y ] ⇢ Y .Así, si x 2 (St(p) [ Y ) \ X � [St(p) [ Y ], se tiene que x 2 Y y por lo tanto�(x) = {x} = i(x).Por [8, Teorema 9.4, pág. 83] existe una función continua �, dada por

�(x) =

(�(x), si x 2 St(p) [ Y

{x} , si x 2 X � [St(p) [ Y ].

la cual es una extensión de � e i.

Ahora, utilizando la función � definimos la función g" dada por: para cadaB 2 2

X , sea

g"(B) =S {�(b) : b 2 B}.

Probaremos que g" tiene las siguientes tres propiedades:

(a) g" es una función de 2X en 2

X y g" es continua;

(b) K 6⇢ g"(B) para todo B 2 2X ;

(c) g" es "-cercana a la función identidad en 2X (con H).

Prueba de (a): Sea B 2 2X . Dado que � es una función continua de X en C(X),

�(B) es un subconjunto compacto no vacío de C(X); por lo tanto, �(B) 2 22X .

Entonces, dado que g"(B) =S�(B), observamos que por [3, Teorema 3.26], g"(B) 2

2X . Esto prueba que g" enviá a 2

X en 2X . El hecho de que g" es continua se sigue

de la continuidad de � y de [3, Teorema 3.26] como sigue. Sea u la función unióndescrita en [3, Teorema 3.26]. Sea �⇤ : 2X ! 2

2X definida por

�⇤(B) = �(B) para todo B 2 2X .

Observamos que g" = u��⇤; también, �⇤ es continua (por la continuidad de � y por[11, Teorema 1.3]) y u es continua. Por lo tanto, g" es continua. Esto prueba (a).Prueba de (b): La razón de que (b) es verdadero es que St(p) 6⇢ Y . Aquí los detalles.Primero probemos que

St(p) 6⇢ Y. (3)

Para usarse en la prueba de (3), sea U = X �S {Xi : p /2 Xi}. Note que

U ⇢ St(p)�SC.



Por lo tanto, para probar (3), es suficiente demostrar que U � A 6= ; (dado queY = A [ (

SC)). Recuerde que A fue definido como la unión de los arcos en St(p)

y que St(p) ⇢ K; también, recuerde nuestra hipótesis de que K no contiene arcoslibres en X. Por lo tanto, A es la unión finita de arcos cada uno de los cuales tieneinterior vacío en X. Por lo tanto, por el teorema de Baire [12, pág. 414], A�

= ; .Entonces, dado que U es claramente no vacío y abierto en X, tenemos que U 6⇢ A;i. e., U �A 6= ;. Por lo tanto hemos probado (3).Ahora, completemos la prueba de (b). Por 3, existe un punto q 2 St(p)�Y . Recuerdela fórmula para � y el hecho de que � es una función que va de St(p)[ Y en C(Y ).Entonces podemos observar que q /2 �(x) para cualquier x 2 X. Por lo tanto,por la fórmula para g", q /2 g"(B) para cualquier B 2 2

X . Por lo tanto, dado queq 2 St(p) ⇢ K, K 6⇢ g"(B) para cualquier B 2 2

X . Esto prueba (b).Prueba de (c): Observemos que el diamd[St(p)[Y ] < ". Por lo tanto, por la fórmulapara � y el hecho de que � es una función de St(p) [ Y en C(Y ), observamos que

diam[{x} [ �(x)] < " para todo x 2 X.

Entonces, para cualquier B 2 2X , se sigue que B ⇢ Nd(", g"(B)) y g"(B) ⇢

Nd(", B). Por lo tanto, H(g"(B), B) < " para todo B 2 2X , [11, Ejercicio 2.9].

Esto prueba (c).Por (a), (b) y (c), 2X

Kes un Z-conjunto en 2

X .La prueba del teorema para CK(X) es una adaptación de lo hecho para 2

X . Consi-dere la función g"|C(X), donde g" es como se definió anteriormente. Probaremosque g"|C(X) es una función de C(X) en C(X). Sea B 2 C(X). Entonces, da-do que � : X ! C(X) es continua, �(B) es un subcontinuo de C(X); i. e.,�(B) 2 C [C(X)]. Entonces, dado que g" =

S�(B), por [11, Ejercicio 11.5] tenemos

que g"(B) 2 C(X). Por lo tanto, en vista de los incisos (a), (b) y (c) anteriores, sesigue que CK(X) es un Z-conjunto en C(X).

Existen tres partes del teorema de Curtis y Schori; las dos primeras partes son deimportancia primaria, mientras que la tercera parte es un caso especial del teoremade Edwards, el cual enunciamos en el teorema 4.3.

Con respecto a la terminología en la tercera parte del teorema de Curtis y Schori,un factor del cubo de Hilbert es un espacio, Y , tal que Y ⇥ I1 ⇡ I1.

Para la demostración de la parte (3) del teorema de Curtis y Schori se necesitael siguiente teorema.

Teorema 4.3 (Edwards). [9] Todo retracto absoluto es un factor del cubo de Hilbert.

Teorema 4.4 (Curtis y Schori). Sea X un continuo localmente conexo no degene-rado. Entonces



(1) 2X es el cubo de Hilbert,

(2) C(X) es el cubo de Hilbert cuando no existen arcos libres en X, y

(3) C(X)⇥ I1 es homeomorfo a I1.

Demostración. (1) La prueba se basa en el teorema de Toruńczyk en 3.21. Recu-rriendo a la primera hipótesis de 3.21, notamos primeramente que por el teorema2.5, 2X y C(X) son retractos absolutos.

Verificaremos la segunda hipótesis de el teorema 3.21 para 2X y después para

C(X). Para esto, asumamos por el teorema 3.14 que d es una métrica convexa paraX.

Sea " > 0. De acuerdo al teorema 3.21, debemos probar que existe un Z-funciónde 2X en 2

X que es "-cercana a la función identidad en 2X . Definimos �" : 2

X ! 2X

como sigue (vea la definición 3.15):

�"(A) = Cd(", A) para todo A 2 2X .

Por el teorema 3.16, �" es continua. Observemos que A ⇢ Cd(", A), por lo tanto�" es "-cercana a la función identidad en 2

X (con H). Finalmente, demostremosque �" es una Z-función. Dado que X es compacto, existe una cantidad finita depuntos, p1, . . . , pn de X tales que

X =

n[

i=1

Cd

Å"

2, {pi}

ã.

Sea Ki = Cd

�"

2 , {pi}�

para cada i 2 {1, . . . , n}. Por la primera parte del teorema4.2, 2X

Kies un Z-conjunto en 2

X para cada i. Por lo tanto, por el teorema 3.20,nS

i=12X

Kies un Z-conjunto en 2

X . Para cada A 2 2X , se tiene que existe j tal que

�"(A) 2 2X

Kj; en otras palabras,

�"(2X) ⇢

n[

i=1

2X

Ki.

Entonces, por el teorema 3.20 tenemos que un subconjunto cerrado de un Z-conjunto es un Z-conjunto, así �"(2

X) es un Z-conjunto en 2

X . Por lo tanto, hemosprobado que �" es una Z-función.Por lo tanto, habiendo verificado la hipótesis de 3.21, tenemos que 2

X es el cubode Hilbert. Esto prueba la parte (1) del teorema.

(2) Ahora, demostremos la parte (2) del teorema. Supongamos que no existenarcos libres en X. La prueba de que C(X) satisface la segunda hipótesis del teorema



3.21 es una simple adaptación de lo que ya hicimos para 2X . A saber, sea �" como

se definió anteriormente, y sea '" = �"|C(X). Por el teorema 3.17, '" es una funciónde C(X) en C(X). De las propiedades de �", obtenemos que '" es continua y que'" es "-cercana a la función identidad en C(X). Para ver que '" es una Z-función,sea Wi = Cd

�"

2 , {pi}�

para cada i 2 {1, . . . , n}. Entonces por la segunda parte delteorema 4.2, CKi

(X) es un Z-conjunto en C(X) para cada i. Por lo tanto, por elteorema 3.20,

nSi=1

CKi(X) es un Z-conjunto en C(X). Para cada B 2 C(X), como

"

2 < ", se tiene que existe j tal que '"(B) 2 CKi(X); en otras palabras,

'"(C(X)) ⇢n[

i=1

CKi(X).

Entonces, por el teorema 3.20 tenemos que un subconjunto cerrado de un Z-conjunto es un Z-conjunto, así '"(C(X)) es un Z-conjunto en C(X). Por lo tanto,hemos probado que '" es una Z-función.

Por lo tanto, habiendo verificado la hipótesis de 3.21, nuevamente tenemos queC(X) es el cubo de Hilbert. Esto prueba la parte (2) del teorema.

(3) Para la parte (3) del teorema observemos que por el teorema 2.5, C(X) esun retracto absoluto, también por el corolario 2.4, I1 es un retracto absoluto. Por[1, Teorema 7.1, pág. 92], C(X)⇥ I1 es un retracto absoluto. Por lo tanto, por elteorema 4.3, tenemos que C(X)⇥ I1 es homeomorfo al cubo de Hilbert.

Agradecimientos

Los autores agradecen a los árbitros por haber dedicado su valioso tiempo parala revisión del trabajo, ya que con sus sugerencias y comentarios enriquecieronsustancialmente el contenido de este.

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Índice de autores

Ahuatzi Reyes, José Gerardo, 199

Córdova Salazar, Vianey, 231Carrasco Pacheco, José Luis, 123Cejudo Castilla, César, 31Contreras Carreto, Agustín, 155

de Gante Coronel, Elizabeth, 155

Flores De Jesús, Lázaro, 249

García Ramírez, Ángel Raúl, 53Gutiérrez García, Ismael, 83

Hernández Morales, José Margarito, 123Hernández Cervantes, Álvaro, 109Herrera Carrasco, David, 199, 231, 249

Jiménez Pozo, Miguel Antonio, 109

López Andrade, Carlos Alberto, 53

Macías Prado, María del Rocío, 155Macías Romero, Fernando, 199, 231, 249

Ortiz Ramírez, Ambrosio, 177

Ramírez Contreras, Juan Manuel, 31Rodríguez Nava, Abigail, 177

Sánchez Zacateco, Luis Alberto, 177

Torresblanca Badillo, Anselmo, 83

Villa Hernández, David, 31

269

Matemáticas y sus aplicaciones 7su composición, diseño y cuidado, estuvo a cargo

de Fernando Macías Romerose terminó de imprimir el 7 de diciembre de 2016, en los talleres de

El Errante editor, S. A. de C. V., sito en privada Emiliano Zapata 5947,Col. San Baltazar Campeche, Puebla, Pue., México.

El tiraje consta de 500 ejemplares.

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