MATEMÁTICAS Y ORDENADORES EN EL … · 2009-01-10 · los matemáticos haber descubierto técnicas...

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 97, N.º 2, pp 397-424, 2003IV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

MATEMÁTICAS Y ORDENADORES EN EL CONOCIMIENTO DELMUNDO

MA N U E L LÓ P E Z PE L L I C E R*

* E.T.S. Ingenieros Agrónomos. Apartado 22012. 46071 Valencia

En el Congreso de París de 1900, David Hilberthabló con el mismo optimismo que, en sus respectivasépocas, lo hubiesen hecho Pitágoras, Arquímedes,Newton o Leibniz. Las matemáticas habían sido elmotor de los descubrimientos físicos del siglo XIX; lasecuaciones obtenidas habían cambiado el mundo yayudaban a su comprensión. Entonces entusiasmaba alos matemáticos haber descubierto técnicas que, añoso décadas después, resultaron ser exactamente lo quenecesitaban los físicos para resolver problemas delmundo real.

En 1900, Hilbert tal vez no pudo prever que la geo-metría no ecuclídea serviría de base para la teoría gra-vitatoria de Einstein, ni que su propia construcción deespacios abstractos, llamados hoy espacios de Hilbert,sería la base matemática de la Mecánica Cuántica.Esta situación contrasta con la del siglo XVII, en queNewton se vió obligado a desarrollar por sí mismo elcálculo diferencial para hacer convincentes las conclu-siones de los Principia, en tanto que a Hilbert leparecía que esfuerzos de este tipo ya no iban a sernecesarios, pues las Matemáticas iban un poco pordelante de la Física. Esto era debido a los trabajos dematemáticos, en su mayoría europeos, que desde lainvención del cálculo diferencial por Newton yLeibniz, habían convertido el cálculo en un potenteinstrumento para la resolución de los problemasfísicos. Otro gran avance fue la introducción de losnúmeros complejos, que ampliaron la aritmética tradi-cional al añadir las raíces cuadradas de números nega-tivos, números no definidos hasta entonces. Destacan,entre muchos, Cauchy y Gauss como responsables delavance del cálculo.

Tomamos 1900 como punto de referencia para des-cribir algunos hitos científicos anteriores y, luego,adentrarnos un poco en el siglo pasado. Expondremosconsideraciones físicas, pues Física y Matemáticashan caminado juntas. Tampoco renunciaremos adetalles históricos, siempre estimulantes y necesariospara situarnos en el contexto adecuado, intentandoexponer como nacieron algunas teorías.

DEL UNIVERSO DE PLATÓN AL DENEWTON

Platón pidió que se estimulase el conocimientocientífico de los movimientos y períodos de loscuerpos celestes. Así comenzó una revolución cien-tífica, que no se abrió paso por completo hasta la obrade Newton en el siglo XVII, debido a que los astró-nomos fueron muy lentos a la hora de interpretarcorrectamente lo que veían en el cielo nocturno.

Les parecía que el Sol, la Luna y las estrellas secomportaban impecablemente, aparentando movi-

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mientos en círculos perfectos en torno a la Tierra. Lascircunferencias eran consideradas divinas por su per-fecta simetría, y eternas al no tener principio ni fin.

A los astrónomos les dejaban perplejos cincopuntos de luz que parecían ir errantes de un punto aotro del cielo nocturno. Platón se espantaba y losastrónomos empezaron a llamarles planetas, términogriego que significa vagabundo. Tras dos décadas deesfuerzos para comprender sus movimientos expli-caron que los planetas giraban con mayor libertadsobre esferas imaginarias. Dado que las esferas erantan simétricas y tan carentes de principio y fin comolas circunferencias dedujeron que el movimiento pla-netario era tan divino como el movimiento de la Luna,el Sol y las estrellas.

Aristóteles siguió manteniendo que los cuerposcelestes giraban sobre esferas en torno a la Tierra ypropuso que el Universo estaba dividido en dosregiones diferentes. La central o reino terrestreabarcaba la Tierra y su atmósfera. Más allá, desde la

Luna en adelante, estaba lo que Aristóteles deno-minaba el reino celeste.

Pensaba que el reino terrestre consistía en cuatroelementos (tierra, fuego, aire y agua) y en cuatro cuali-dades esenciales, base de la realidad física, y ocultasen cualquier cosa terrestre: lo húmedo, lo seco, localiente y lo frío.

Según Aristóteles el reino terrestre era corruptible ycambiante porque los cuatro elementos básicos y suscuatro cualidades eran corruptibles y cambiantes. Porejemplo, si se calentaba agua, fría y húmeda, se con-vertía en aire, caliente y seco.

Aristóteles explicaba que los cuatro elementosterrestres tendían a moverse en línea recta, que es lamás terrestre de todas las curvas, pues tiene extremosque simbolizan el nacimiento y la muerte.

El reino celeste consistía en un quinto elementoincorruptible diferente denominado éter, y que en dife-rentes densidades formaba lo que había fuera del reinoterrestre (el Sol, la Luna, las estrellas, así como elespacio entre los diferentes cuerpos extraterrestres).

El Universo de Aristóteles era hasta el últimodetalle un cosmos, palabra griega que significa orde-nación, belleza y decencia. Su teoría también satisfacíael principio de razón suficiente, que sostiene que paracada efecto del Universo debe existir una causa

racional. Según Aristóteles, los trozos de Tierra caíanpor su deseo de reunirse con su fuente primaria, laTierra.

Aristóteles tenía explicación plausible para quegiraran las esferas celestes, indicando que cada una seveía barrida por un viento etéreo producido por laesfera inmediatamente superior, mientras que la esferamás exterior la impelía el primum mobile, el movi-miento primero.

Platón había relacionado la religión y la ciencia.Pensaba que la disciplina que necesitamos paratraernos la auténtica piedad es la astronomía.Aristóteles había casado religión y ciencia, consi-guiendo que la religión ampliase su dominio y que laciencia elevase su reputación, ya que hasta entonces sela consideraba como una empresa excéntrica dedudoso valor, preocupada por lo esotérico del mundoterrenal y por las abstracciones matemáticas.

Como muchos pueblos de lo que hoy llamamos elmundo occidental hablaban latín y no griego, vivierony murieron sin saber de la obra de Aristóteles y de suteoría del Universo. La admiración por la obra griegafue en aumento con la traducción de los textos griegos.El dominico San Alberto Magno escribió: “La mássublime sabiduría de la que el mundo puede ufanarsefloreció en Grecia. Así como los judíos sabían de Diospor las escrituras, los filósofos paganos Le conocíanpor la sabiduría natural de la razón y le rendíanhomenaje por ello”.

El rabino Maimónides reconcilió la cosmología deAristóteles con el judaismo, y lo propio hicieron elfilósofo Avenrroes con la religión del Islam y eldominico Santo Tomás de Aquino dentro del cristia-nismo. El primum movile se identificó con Dios y nocon una divinidad de carácter genérico. Lo queAristóteles unió en primer lugar, y que el tiempo y lasdiferencias de lenguaje habían reducido a pedazos, lohabían vuelto a unir los judíos, los musulmanes yluego los cristianos. Ciencia y religión volvían a ir delbrazo a lo largo del renacimiento de la civilizaciónoccidental.

Entre 1347 y 1350 la peste eliminó una terceraparte de la población europea. Muchos hombres quehabían perdido a sus mujeres entraban en los monas-

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terios. Bastantes eran analfabetos, y, según la amargaopinión del Papa Clemente VI, eran arrogantes, dadosal fasto y descuidaban los caminos del Señor. Lasituación de abandono y debilidad de la Iglesia católicapropició la reforma de Martín Lutero (1517) y, un pocomás tarde, en 1543, el teólogo polaco NicolásCopérnico desencadenó una revolución científico-reli-giosa exhortando el abandono de Aristóteles aldefender que el centro del Universo era el Sol y no laTierra.

Copérnico era un astrónomo aficionado que notenía pruebas para defender sus argumentos. Creía quela teoría geocéntrica era tan complicada con loserrantes debido a que estamos sobre la Tierra que girasobre su eje y alrededor del Sol. Decía que al tener encuenta el movimiento de la Tierra, los demás planetasdescribirían órbitas circulares. Unos cuantos filósofosgriegos ya habían defendido versiones de heliocen-trismo dos mil años antes. Uno de ellos fue Phidias,padre de Arquímedes.

Los críticos a Copérnico indicaban que no se sentíaque la Tierra se moviese. El prestigio de Aristóteles y

la falta de evidencias físicas de la teoría copernicanafueron las causas de que los ámbitos religioso y cien-tífico siguiesen creyendo en los cielos de Aristóteles.El mismo Lutero ridiculizó a Copérnico por su helio-centrismo.

Pero en 1572 apareció una nueva estrella brillante,que astrónomos actuales piensan que pudo ser unasupernova, y en 1577 nos visitó un cometa tan brillanteque pudo verse en toda Europa a la luz del día. Elastrónomo danés Tycho Brahe midió su paralaje1, loque le permitió deducir que estaba cuatro veces máslejos de nosotros que la Luna.

Esto contribuyó a que en los años siguientes laciencia se fue haciendo más receptiva a la posibilidadde que Aristóteles estuviese equivocado y la religión sepuso más a la defensiva frente a los disidentes.Alrededor de 1600 el astrónomo alemán de cuarenta ysiete años Johannes Kepler, luterano y copernicano,estaba a punto de anunciar diversos descubrimientosque iban a rematar la tarea de Brahe en su descrédito


1 Cuando se mira un objeto primero con el ojo derecho y luego con el izquierdo parece cambiar de posición. Ese desplazamiento o paralajedisminuye cuando aumenta la distancia del objeto.

de la teoría aristotélica del Universo. Kepler tenía die-ciséis años cuando su padre abandonó a su familia,dejándola en pobreza total. Su madre estaba rela-cionada con la brujería, lo que puede explicar laafición de Kepler a la astrología, de la que afirmabaque “si los astrólogos dicen a veces la verdad deberíaatribuirse a la suerte”. La afición astrológica deKepler parecía motivada por la necesidad de ganarse lavida y cuidar de su madre.

Kepler había pasado veinte años descifrando lasmeticulosas observaciones de Tycho Brahe y habíapasado cientos de horas observando los planetas eintentando discernir sus movimientos y posiciones,como en una ocasión animara Platón a hacer a suscompatriotas.

Dos milenios después se había completado esamisión, pero el resultado no se parecía nada al previstopor Platón y Aristóteles. Los tres descubrimientos deKepler fueron:

- Los planetas describen órbitas elípticas con el Solocupando uno de sus focos.

- Si T es la duración del año de un planeta y d el ejemayor de la elipse que describe en su movi-

miento, . Por eso Mercurio tiene unaño que equivale a 88 días nuestros, en tanto que laduración de un año de Plutón es de 90410 díasterrestres.

- Cada planeta no se mueve a velocidad constante,pues barre áreas iguales en tiempos iguales.

Kepler llegó a opinar que los planetas se mantienenen órbita gracias a una fuerza procedente del Sol.

Galileo, en Italia, comenzó su existencia como aris-totélico declarado, pero en 1609 cambió de idea almirar por un pequeño telescopio de fabricación propiacon el que pudo ver lunas que giraban en torno aJúpiter, de la forma en que Copérnico había imaginadoque la Luna giraba alrededor de la Tierra. Tambiénhabía observado que la Luna no era tan perfecta comoAristóteles la había imaginado, pues observó unasmanchas que parecían cráteres y otras zonas queparecían mares llenos de agua. En una de ellas,llamada Mare Tranquilitatis, es donde el hombre pusopor vez primera el pie en la Luna. Hoy sabemos que nohay mares en la Luna, si bien se han conservado losnombres inicialmente dados.

Galileo comprobó que las bolas pesadas no caenmás deprisa que las ligeras al deslizarse por un plano

2 3T constante d= ×


inclinado, refutando la célebre teoría de Aristóteles deque los trozos de Tierra caían por su natural deseo dereunirse con su fuente primaria y que los objetospesados caían con más rapidez que los ligeros por sersu deseo mucho mayor.

Galileo tuvo que enfrentarse en 1633 a laInquisición. A lo largo de un juicio de meses manifestóque su creencia en el heliocentrismo siempre habíasido académica, si bien no pudo negar que había des-afiado la letra y el espíritu de una orden que se le habíadado quince años atrás advirtiéndole que abandonasela opinión de Copérnico. Se le encontró culpable, exi-giéndole que se retractara2, a lo que cedió para evitarmales mayores, y después del juicio se le mantuvo enarresto domiciliario los ocho años que le quedaron devida, durante los cuales quedó ciego por unas cata-ratas. Murió en 1642, año en el que nació IsaacNewton.

En otoño de 1642 el Parlamento inglés exigía al reyCarlos I que abandonara su control sobre la Iglesia y elEstado. Los rebeldes parlamentarios no deseaban queel Rey les gobernase a su voluntad, y deseaban quefuese el pueblo quien se gobernase por medio de leyesdadas a sí mismo.

En respuesta a ese amotinamiento, Carlos habíahuido a Nottingham donde organizó un ejército bienequipado que avanzó hacia Londres y que en suprimera batalla importante con las fuerzas parlamen-tarias terminó en retirada dejando 5000 soldadosmuertos, entre los que estaba el padre de IsaacNewton, de treinta y seis años, granjero que acababade heredar la granja más grande de Woolsthorpe. En laprimavera de 1642 se había casado con HannaAyscough y esperaba su primer hijo, que nació el 25 dediciembre con todos los síntomas de no ser capaz desobrevivir.

Conforme pasaban los días el joven Issac se afe-rraba a la vida, si bien en sus primeros años tuvo nece-sidad de un collarín para mantener la cabeza en susitio. Cuando Newton tenía dos años su madre se casócon el reverendo Barnabas Smith, viudo rico que vivíaa unos dos kilómetros, en North Witham, dejando a

Newton al cuidado de su abuela. En 1649 comenzó a ira la escuela, siendo muy retraído. Además, su debi-lidad de nacimiento le impedía participar en juegosagresivos.

En esos años fue importante la compañía de su tío,el reverendo William Ayscough, que vivía a tres kiló-metros de él. Viendo estudiar a su tío pacíficamente enla biblioteca y oyéndole hablar dulcemente a sus parro-quianos, el joven Newton asoció la vida religiosa y deestudio a un ambiente de paz y seguridad. Por ello,Newton adquirió la costumbre de alejarse y entrar ensus propios pensamientos para sumergirse en el mundonatural. Así escapaba de su miserable existencia y des-cubría cosas interesantes en la naturaleza. Se diocuenta de que el arco iris siempre tiene los mismoscolores, de que Venus se mueve más aprisa que Júpitery de que los niños al jugar al corro se echan un pocohacia atrás como si los empujase una fuerza invisible.


2 Puede consultarse el documento Memoria y reconciliación: La Iglesia y las culpas del pasado de Juan Pablo II de 31 de octubre de 1992.

Así descubrió Newton la felicidad por primera vezen su vida, lo que fue estropeado por el regreso de sumadre en 1649 tras la muerte del reverendo Barnabas,con quien había tenido tres hijos. Su madre intentóexplicarle que se había casado con Barnabas para ase-gurar el futuro económico, pero no consiguió quitar laamargura que el abandono le había producido.

Había llegado el momento de que Newton con susdoce años acudiera a la escuela de gramática de laciudad de Grantham, a poco más de diez kilómetros dedistancia, lo que hizo aconsejable que su madre consi-guiese alojamiento y manutención en casa de losClarke, amigos de los Newton desde hacía mucho. Lafamilia estaba compuesta por el señor Clarke, la señoraStorer-Clarke y sus cuatro hijos de un matrimonioanterior, entre los que estaban un hijo altanero llamadoArthur, que se burlaba de Newton por su mal rendi-miento en el colegio, y una hija, Katherine, de quien seenamoró, pero jamás le dijo nada por miedo a verserechazado.

Los Clarke recibían con frecuencia invitados ins-truidos, lo que junto a la enorme colección de librosque guardaba el señor Clarke en el ático contribuyó aque Newton comenzase el estudio de la filosofíanatural.

Naturalmente se quedó atrás en sus estudios esco-lares hasta que un serio incidente con el pendencieroArthur le hizo reaccionar y desear ser el mejor de laclase. Entonces, desgraciadamente, llegó su madre quese lo llevó para que ayudase en las tierras heredadas.Afortunadamente para la ciencia hizo tan mal eltrabajo de granjero que su madre le devolvió aGrantham para continuar sus estudios. Ahora semostró mucho más capaz en la escuela de gramática,terminándola en sólo nueve meses, y recibiendo alfinal una felicitación pública de su maestro, el señorStokes, en el verano de 1661.

Con las recomendaciones del reverendo Ayscoughy del señor Stokes se le aceptó en el Trinity College deCambridge, fundado en 1546 por Enrique VIII.

En 1660 los ingleses, hastiados de las severasnormas puritanas, habían devuelto al Corona a CarlosII, hijo mayor del rey decapitado. Newton llegó alTrinity College en plena celebración festiva por el

nuevo Rey. En contraste tuvo que apretarse el cinturón,pues su madre, aunque rica, le retiró su apoyo eco-nómico, por lo que tuvo que matricularse como sub-sizar, nombre que se daba a los estudiantes pobres quehacían medio día de criados de estudiantes ricos paracostearse sus estudios. Durante esa época, y por lasnoches, comenzó a experimentar. Llevaba un cuadernode notas donde apuntaba sus experiencias y sus pre-guntas sobre un amplio espectro, “Sobre la luz y elcolor”, “Sobre Dios”, “Sobre la gravedad”, .... .Mientras el cerebro de Newton se apresuraba en sucamino hacia delante, bien nutrido y lleno de energía,su cuerpo comenzó a quedarse atrás y en 1664 se negóa seguir. La falta de sueño obligó a un Newtonexhausto a guardar cama. Pudo hacer los exámenesfinales y con pobres calificaciones obtuvo el título debachiller en artes. Intervinieron algunos profesores queadivinaban su potencia intelectual y se le dio una becapara obtener el título de máster.

Apenas comenzó el nuevo curso llegó a Cambridgela noticia de que la peste había hecho presa enLondres. En los veinte años anteriores se habíaduplicado la población de la ciudad, excediendo lacapacidad de las infraestructuras sanitarias medie-vales. Se hablaba de que semanalmente morían 13.000personas.

Ante el temor de que sucediese como en el sigloXIV y que la peste se extendiese por toda Europa sedecidió cerrar la universidad y Newton regresó aWoolsthorpe, con la intención de meditar lo aprendido.Así desentrañó los detalles de una nueva matemática,que algún día se llamaría cálculo, que sería la herra-mienta para describir con precisión el mundo natural.Empezó a preguntarse por qué caían los cuerpos haciala superficie de la Tierra en línea recta, por qué no caíala Luna hacia la Tierra si también sentía la atracción dela gravedad. Conjeturaba que se debía a la fuerza cen-trífuga de Huygens que la apartaba de la Tierra y queel equilibrio entre esa fuerza y la atracción de la Tierrapodría explicar que la Luna se quedara en su órbita sincaer hacia la Tierra.

Después describiría que esa fuerza centrífugadependía de la masa que gira, de la distancia al centrode giro y de la velocidad mediante la expresión


por lo que corresponde una fuerza centrífuga grande auna persona u objeto pesado que girase en el extremode una cuerda larga en un tiempo corto, lo que junto ala segunda ley de Kepler le llevó a que

En otras palabras: aquel año terrible de 1665, enmedio de la peste, el joven Newton (23 años) llegó aun hermosísimo descubrimiento: La fuerza centrífugaque la Luna experimenta al girar en torno a la Tierradepende de dos cosas (dejando la constante aparte): lamasa m de la Luna y la longitud de una cuerda imagi-naria d que la conectara a la Tierra. En esa cuerda ima-ginaria se situaría el tirón de la fuerza gravitatoria de laTierra que atrae a la Luna y la fuerza centrífuga de laLuna que tira en sentido contrario.

También Newton amplió y refinó el trabajo deGalileo con bolas metálicas observando como semovían los objetos en respuesta a cualquier fuerza y noúnicamente a la fuerza de la gravedad. Resumió susobservaciones en tres leyes o axiomas: El principio deinercia, el principio de acción y reacción y el principiode independencia de fuerzas.

Tras la peste volvió a Cambridge, Universidad queexcluía de su docencia a quien no hiciese el juramentode lealtad, dado que entonces se prohibía ocuparningún puesto público a quien rehusase recibir lacomunión según los principios de la Iglesia deInglaterra. Barrow había sido profesor de Newtonantes de la peste. Al comprobar los conocimientos deNewton tras la peste aceleró su retirada de la cátedralucasiana, promoviendo que poco después le susti-tuyese Newton, cuyo prestigio fue aumentando reci-biendo en 1672 el reconocimiento del rey Carlos II. Acontinuación fue elegido miembro de la Real Sociedadde Londres. A tono con la tradición, el nuevo miembroque aún no había cumplido los treinta años, presentóun informe a la Sociedad de sus últimas investiga-ciones que terminó en un enfrentamiento desastroso.

Hasta ese momento los científicos, llamados filó-sofos de la naturaleza, habían creído que la luz blanca

era absolutamente pura y que los colores conocidos seproducían cuando la luz pura pasaba por algún medioque la alteraba. Así explicaban por qué la luz blancaque pasaba por un prisma de vidrio producía todos loscolores del arco iris. La parte que pasaba por la zonamás estrecha del prisma con forma de cuña daba elrojo; la que pasaba por la parte más gruesa daba elazul.

Newton había llegado a una conclusión completa-mente diferente al darse cuenta de que la luz coloreadaque pasaba por cualquier parte del prisma seguíasiendo del mismo color, por lo que pensaba que lainmutable y pura era la luz coloreada y no la blanca,que parecía estar compuesta de los demás colores.

Newton presentó estos descubrimientos ante laReal Sociedad, creyendo, con poca modestia, que suafirmación era la más sorprendente y considerablehecha hasta entonces sobre los secretos de laNaturaleza. El diplomático secretario de la Sociedad,Henry Oldenburg, le dijo efusivamente que su informehabía recibido una atención singular y una aprobacióninfrecuente.

Sin embargo, molestos por la importancia que sedaba aquel joven desconocido y por la audacia de suteoría, un pequeño número de miembros de laSociedad, dirigidos por Robert Hooke había saludado

2

constante mFuerza gravitatoria de la Tierra Fuerza centrífuga de la Luna d

×= =

2

constante m dFuerza centrífuga T

× ×=


la publicación con escarnio singular. La crítica cien-tífica estaba al orden del día y no había que tomarlacomo algo personal. Los filósofos de la naturaleza pre-tendían crear una jungla intelectual en la que sólosobreviviesen las ideas más aptas. Además, en estecaso, Hooke se había mostrado ansioso en desacreditara Newton dado que en 1665 había publicado su exitosolibro Micrografía, con una elocuente defensa de lateoría ortodoxa de los colores, por lo que no podía per-mitir que su libro quedase viciado por la hipótesis ato-londrada de un principiante soberbio.

Los ataques de Hooke crisparon a Newton, queenfermó, se sintió acorralado y llegó a odiar a Hooke.Abandonó la Real Sociedad, argumentando la lejanía aCambridge, y decidió no volver a publicar jamásningún trabajo.

La dirección del pensamiento de Newton cambió alrecibir una carta de su viejo enemigo Robert Hooke.Sin que Newton lo supiera, Hooke había llegado aadmirar los avances de Newton, no exento de ciertaenvidia, y quería la opinión de Newton sobre unanueva idea.

La carta indicaba que había pensado mucho en lasórbitas elípticas de Kepler y que había llegado a laconclusión de que las órbitas las originaba una fuerzagravitatoria que se debilitaba con el cuadrado de la dis-tancia. Explicaba Hooke que había llegado a esa con-clusión imaginando que la Tierra era una fuente de luzy que Kepler había descubierto hacía un siglo que elbrillo disminuía con el cuadrado de la distancia a lafuente luminosa. Debió producirle cierta sonrisa aNewton que Hooke hubiese dado con la verdad, perono le importaba pues él se encontraba mucho máslejos.

En los días siguientes, aunque había desechado lacarta de Hooke, Newton comenzó a dar vueltas a loscabos sueltos que le quedaban en sus esfuerzos de1665. Sobre todo le preocupaba la causa del campogravitatorio de la Tierra. El principio de razón sufi-ciente le exigía una respuesta. Desechó la teoría deltorbellino de Descartes, pues de ser cierta unamanzana no caería hacia la Tierra en línea recta. Loque parecía es como si el centro de la manzana se sin-tiese atraído por el centro de la Tierra. Entoncescomenzó a preguntarse lo que sucedería si la Tierra seredujese al tamaño de una partícula diminuta y lo

mismo sucediese con la manzana. Se admitía que lamanzana caía hacia la Tierra por ser mucho máspequeña, pero reduciendo la situación a dos partículasde igual tamaño era imposible seguir pensando que lapartícula manzana cayese hacia la partícula Tierra sinque ésta se moviese lo más mínimo.

Era más razonable suponer que las dos partículas seatraían. Es decir, Newton había descubierto que la gra-vedad de la Tierra no pertenece exclusivamente a laTierra y que la gravedad es la fuerza de atracción entretodas las partículas de la materia.

La ecuación original de la gravitación de Newtonestaba formulada bajo la idea de que la gravedad de laTierra era una fuerza unilateral, de manera que laecuación sólo contenía una referencia a la masa delobjeto que se veía atraído hacia la Tierra. Al reconocerque la gravedad es una fuerza mutua, la ecuación nece-sitaba una referencia explícita hacia la masa de laTierra que el objeto también atrae hacia sí. Por ello,junto a m, que representa la masa del objeto, Newtonañadió una M, que representa la masa de la Tierra obte-niendo la ecuación

En los años siguientes los experimentos científicosdeterminarían el valor de esa constante con enormeprecisión, y en recuerdo a Newton pasó a llamarseconstante gravitatoria G de Newton, quedando lafórmula:

Algunos años después, Newton volvió a recibir otracarta de Hooke, en esa época secretario de la RealSociedad. Hooke había oído hablar de la ecuación gra-vitatoria de Newton y quería asegurar haber sido elprimero en considerar el cuadrado de la distancia.Como prueba le recordaba a Newton la carta que lehabía enviado años atrás.

Entonces Newton se concentró en la redacción desus aportaciones científicas, con el estímulo delastrónomo Edmunt Halley, quien había quedado sor-

2

G M mFuerza gravitatoría d

× ×=

2

constante M mFuerza gravitatoría d

× ×=


prendido de que la ecuación gravitatoria de Newtonhubiese probado que el cometa que había aparecido en1682 era el mismo que Kepler vio en 1607, dedu-ciendo que este cometa estaba en órbita en nuestrosistema planetario y que pasaba cerca de la Tierra cada76 años, aproximadamente. Desde la época de Keplerse había creído erróneamente que los cometas viajanen línea recta, que pasaban por la Tierra una vez y quenunca reaparecían.

Gracias a Halley y a la bendición de la RealSociedad, Newton llegó a comunicar todos sus conoci-mientos al mundo, del que había vivido tan alejado. En1687 publicó la obra Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica, que con la unión de matemáticas y expe-rimentación transformó la filosofía natural en unaciencia de la naturaleza. Dejó fuera del Principia susideas sobre la luz, que no las publicó hasta la muerte deHooke, para evitar así discusiones y reservarse elderecho de decir la última palabra.

Después de veinte siglos la teoría de la gravedad deNewton había pulverizado la teoría de los cielos deAristóteles. Según la nueva visión, el Universo noestaba segregado en dos reinos separados, sino quesólo había un Universo regido por la ecuación de lagravedad. Newton desveló que buena parte de lo queel Universo había sido, es y será, es el resultado de unainfinidad de partículas materiales que tiran unas deotras simultáneamente.

En 1634 se publicó Somnium (Sueño), obrapóstuma de Johannes Kepler, tal vez la primera obra deciencia ficción de la historia. Describe a un muchachoque viaja a la Luna con la ayuda sobrenatural de undemonio amistoso, conjurado por una bruja, la madredel chico. Tal vez esta historia inspirase al francésJulio Verne quien, en 1865 y en su novela De la tierraa la Luna, describió un viaje a la Luna con detallesproféticos. Tres hombres hacían el largo viaje dentrode una enorme bala de aluminio disparada por uncañón de hierro de 275 metros de longitud situado enTrampa (Florida).

Un siglo después, la NASA planeaba enviar treshombres a la Luna en el interior de lo que equivaldría auna enorme bala de titanio, disparada desde una rampade lanzamiento en Cabo Cañaveral (Florida) a cientosesenta kilómetros al este de Trampa. Los astronautas

no saldrían disparados de un cañón sino que irían en loalto del Saturno V, un cohete de 110 metros de longitudalimentado por combustible líquido.

Como preparación al viaje la NASA envió un grupode astronautas, entre los que se encontraba NeilArmstrong, al observatorio Lowell de Flagstaff(Arizona) para que vieran la Luna de cerca.

Este observatorio lo había fundado en 1894 elexcéntrico rico Percival Lowell, que deseaba tener untelescopio para buscar vida en Marte. No encontróningún marciano, pero su observatorio se convirtió enuno de los más prestigiosos del país para estudiar elsistema solar.

Cuando se inauguró el observatorio Lowell se creíaque el sistema solar estaba formado por la Tierra, loscinco planetas que conoció Copérnico, más Urano yNeptuno, descubiertos después.

Los astrónomos habían observado que la órbita deUrano no era perfectamente elíptica y que violaba unade las leyes de Kepler. Ello llevó a muchos, entre ellosa Lowell a atribuir esas aberraciones a un planetacercano aún sin descubrir.


Con la ecuación gravitatoria de Newton y su teles-copio, Lowell predijo la localización del hipotéticonuevo planeta. Tras su muerte, su ayudante ClydeTombaugh lo encontró en 1930, muy cerca del sitiopredicho. Los astrónomos lo bautizaron como Plutón.

En 1969 la ecuación de Newton representó unpapel crucial en el envío de astronautas a la Luna.Podemos decir que Newton nos proporcionó el mediomatemático para descubrir el camino a la Luna.

Durante años los astrónomos habían calculado contanta precisión la órbita lunar que los científicos de laNASA podían saber en qué lugar estaría en cadamomento su blanco lunar. El cálculo de la disminuciónde la gravedad de la Tierra en todos los puntos de sucamino hacia la Luna permitió determinar el tamañodel cohete. Se eligió Cabo Cañaveral para propor-cionar un 5% más de impulso a la nave, ya que loscuerpos reciben mayor fuerza centrífuga al acercarse alEcuador, debiendo lanzarse a favor del giro de laTierra, lo que se pudo hacer con seguridad ya que aleste de cabo Cañaveral sólo estaban el océanoAtlántico y unas islas poco pobladas.

Era necesario calcular la mejor ruta hacia la Luna,para lo que la NASA creo la División de Análisis yPlanificación de la Misión con sede en Houston. Estecentro disponía en 1969 de casi un millar de científicose ingenieros. Este trabajo era complicado dado queexigía la aplicación de la ecuación de Newton a tresobjetos, la Tierra, la Luna y la nave espacial. Este pro-blema se llama el problema de los tres cuerpos. Alavanzar la nave cambian las distancias de la nave a laTierra y a la Luna, variando las atracciones gravita-torias entre ella y los otros dos cuerpos. Al aplicar laecuación de Newton a tres sólidos lo máximo que sepodía hacer es dar una respuesta aproximada, queexigía la ayuda de ordenadores. Con ayuda de muchosordenadores IBM de finales de los sesenta se pudo cal-cular la ruta de acceso a la Luna más segura y quenecesitase menos combustible. Tenía forma de ochopara posibilitar el giro alrededor de la Luna y elregreso a la Tierra en caso de que hubiese que abortarla operación en el último momento. La ecuación deNewton predecía que en tal emergencia no se requeríamás combustible, pues el tirón gravitatorio de la Lunaharía orbitar la nave lanzándola a la pista de retornodel ocho previsto.

El 16 de junio comenzó el viaje. Al pasar las nubesel cohete empezó a girar, para impedir que cabeceara yse saliera de su curso, utilizando la misma razón físicaque mantiene erguida una peonza que gira. En prin-cipio los astronautas avanzaron a 40.000 kilómetrospor hora, luchando contra la gravedad de la Tierra,como si se viajase cuesta arriba. Sin embargo, a dosterceras partes del camino, a 350.000 kilómetros de laTierra, la nave espacial empezó a acelerarse dado quese había llegado al punto en que la gravedad de la Lunasuperaba a la de la Tierra. El 20 julio a las 15,18, horade Houston, terminó el viaje en el mar de laTanquilidad. Poco después Neil Armstrong pasearíapor la Luna diciendo: “Esto es un pequeño paso paraun hombre, pero un paso gigante para la humanidad”.

LAS MATEMÁTICAS Y LA ECUACIÓN DEINDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

En 1791 el mundo pasaba por las angustias de lalucha de clases con una intensidad nunca vista. Lagente deseaba mejorar su posición social revelándosecontra el statu quo. En el Nuevo Mundo, los colonosnorteamericanos habían redactado una Declaración deIndependencia librándose de Gran Bretaña. En el ViejoMundo, después de que los ciudadanos franceses delas clases bajas hubiesen tomado la prisión de laBastilla en París, Luis XVI accedió a sus pretensionesfirmando una Declaración de los Derechos delHombre.

Además, y en esa misma época, las clases trabaja-doras de Norteamérica y Europa tenían que adaptarse alas exigencias de la Revolución industrial, queafectaba incluso a quienes vivían lejos de los grandescentros industriales. James y Margaret Faraday vivíanen el campo y James había trabajado arduamente desdesu niñez para convertirse en un consumado herrero. En1971, sus obras soberbiamente forjadas se habíandevaluado sin parar por la mejora creciente de los pro-ductos hechos a máquina.

Para encontrar más trabajo James y Margaret setrasladaron a Newington, pueblo cercano a Londres,dada su necesidad desesperada de ganar más dinero. El22 de septiembre les nació un nuevo hijo, Michael. LosFaraday eran devotos miembros de la secta cristiana delos sandemanianos, que hacían hincapié en la fe


infantil y sencilla. Respecto a su educación, el mismoMichael dejaría escrito que fue de lo más corriente,consistiendo en rudimentos de lectura, escritura y arit-mética.

Conforme la Revolución industrial aumentaba laautomatización daba posibilidades de trabajo paraobreros no especializados, personas pobres y carentesde formación como Michel Faraday, quien tomó unadecisión que marcaría su vida: decidió convertirse enel nuevo chico de los recados de una librería regentadapor George Riebau, lo que sólo le exigía deambularpor la vecindad, a lo que estaba bien acostumbrado.Prefirió este trabajo al de los peligrosos talleres queexplotaban al obrero y que surgían por la ciudad.

Ese empleo era deseable por otro motivo. La tasade alfabetización estaba subiendo por la Europa indus-trializada por el abaratamiento en la producción y dis-tribución de libros. La gente compraba más libros quenunca y el joven Faraday se mantenía ocupado eintrigado por el interés de la gente hacia la palabraimpresa, lo que provocó su cambio de actitud hacia lalectura. Además, Faraday se sintió atraído al ver comose cosían los textos para formar libros en la trastiendade Riebau, por lo que decidió convertirse en aprendizde encuadernador, dejando por primera vez las calles asus catorce años. Así en los siete años siguientes llegóhasta él una completa biblioteca de libros de todo elmundo.

Mientras cosía la última edición de la EnciclopediaBritánica leyó la entrada sobre la electricidad de lapágina 127 y se enteró de que aunque los filósofos dela naturaleza conocían aquel fenómeno desde hacíasiglos, aún no habían logrado saber en qué consistía. Eljoven sandemaniano pensó que en tanto la electricidadsiguiese siendo enigmática nadie tendría una com-prensión adecuada de Dios. Faraday pensó que aquelloera intolerable y decidió contribuir a remediar lasituación. Educado en la creencia de la simplicidadfundamental de la relación humana con Dios, Faradaydudaba que la electricidad fuera tan complicada. ElLondres de esa época ofrecía a aquel joven oportuni-dades para averiguarlo por sí sólo.

Los logros de la Revolución Industrial habían pro-vocado tal interés por la ciencia y la tecnología que losfilósofos de la naturaleza habían comenzado a escribirartículos en revistas populares y libros de divulgación,así como a dar lecciones dedicadas al público engeneral.

Faraday disfrutaba con los libros que tenía libre-mente, pero no tenía dinero para adquirir entradas paralas conferencias públicas, y sobre todo para las quedaba Humphry Davy, famoso químico y director de laReal Institución de Londres, que era un club aristo-crático cuyos miembros nunca se hubiesen dignadocodearse con gente de tan baja clase como MichaelFaraday. Más elitista aún era la Real Sociedad. Laciencia entonces no era una profesión remunerada ylos únicos que podían cultivarla eran los muy ricos. Eldeseo de Faraday de convertirse en un científico eraparecido al del pobre que desea ser príncipe. No obs-tante, y con el permiso de Riebau, Faraday convirtióparte de la trastienda en un laboratorio improvisadodonde, después de la jornada laboral realizaba susexperiencias, anotando cuidadosamente los resultados,lo que le hacía sentirse filósofo de la naturaleza.

En 1810 se unió a un grupo de trabajadores queaspiraban a mejorar su situación en la vida. Los miér-coles, a las 8 de la tarde y con el permiso de Riebauabandonaba el trabajo y caminaba hasta la casa de unmaestro de ciencia llamado John Tatum. Faradaynunca se había sentido tan realizado como en esaépoca, pero enfermó su padre y fueron inútiles losesfuerzos por salvarle. Sobre Michael Faraday recayóel peso de ayudar en la manutención de su madre y


hermanos. En 1812 se desvanecían sus sueños de serfilósofo de la naturaleza. Cuando el invierno tocaba asu fin, Dance Junr entró en la librería vio el recargadolibro que Faraday había confeccionado con sus notassobre las conferencias de Tatum y se lo llevó prestadounas semanas, tras las cuales lo devolvió con unasentradas para la próxima serie de conferencias que ibaa dar Humphry Davy en la Real Institución.

Fue el 28 de febrero de 1812 cuando, a las 8 de latarde, Faraday, enardecido y entusiasmado, oyó laprimera conferencia de Davy. Cuando terminó habíallenado muchas páginas de notas e ilustraciones. Fueuna velada memorable acrecentada por el rumor deque iba a ser la última tanda de conferencias de Davy.Camino hacia casa Faraday pensaba que le quedabanocho meses de aprendiz y que se había comprometidoa trabajar de oficial para el encuadernador francésHenri de la Roche. El sueldo sería suficiente para él ysu madre viuda, pero ese trabajo no le hacía feliz y,además, Roche tenía carácter agrio y le había dichoque no iba a permitir los sueños científicos de Faradaycomo había hecho durante muchos años Riebau.Faraday deseaba llamar la atención de Davy. En losmeses siguientes, mientras oyó las restantes confe-rencias se le ocurrió la idea de copiar de nuevo las con-ferencias, encuadernarlas exquisitamente yregalárselas a Davy de forma que necesariamenteDavy tuviese que fijarse en el libro y en su autor.Farady pensaba que así como el cuaderno de apuntesde Tatum le había llevado a la Real Institución, tal vezel libro que iba a confeccionar le proporcionase allí untrabajo.

Sus planes se vieron truncados por el hecho de quela reina Victoria había nombrado caballero a Davy, quese había desposado con una viuda rica. La parejaestaba de viaje en Escocia y volvería hacia finales deaño. Desesperado Faraday escribió a Joseph Banks,presidente de la Real Sociedad, pidiéndole ayuda, perono recibió respuesta. En Diciembre Davy y su esposavolvieron a Londres y Farady le envió sus apuntes deconferencias. El 24 de diciembre un lacayo elegante-mente vestido apareció en el 18 de Weymouth Streetpara entregar una carta de Davy en la ruinosa casa delos Faraday en la que le decía que tenía que ausentarsede la ciudad y que volvería a finales de enero, y queentonces podría ver a Faraday. El día del encuentro fuedesolador para Faraday, pues Davy le aclaró que no

tenía ningún trabajo que ofrecerle y que Faraday haríamuy bien de conservar su puesto actual de encuader-nador.

Pero a las pocas semanas de la visita de Faraday, elayudante de Davy tuvo un intercambio de golpes conotro empleado de la Real Institución. Fue despedido yel 1 de marzo otra vez el lacayo llamó a la puerta deFaraday para ofrecerle el puesto de trabajo de ayudantede Davy, que aceptó aunque de la Roche le había pro-metido que al no tener hijos le iba a nombrar herederouniversal de todo lo que tenía, si seguía trabajando conél.

Durante los años siguientes gozó al servicio de laciencia. Se había convertido en aprendiz del gran librode la Naturaleza, que se podía comprender con laciencia y mejorar con la tecnología.

En 1814 Davy invitó a Faraday a acompañarle enun viaje como ayudante de laboratorio. Las guerrasnapoleónicas hacían peligroso el viaje y el ayuda decámara de Davy se despidió en el último momento, porlo que Davy pidió a Faraday que hiciese también deayuda de camara. Durante el viaje Faraday tuvo quesoportar menosprecios y humillaciones de la esposa deDavy, y, como nota muy positiva, conoció a alguno delos mejores científicos de Europa, como Volta,inventor de la pila, y Ampère, prodigioso parisino queasombraba por sus habilidades matemáticas. Eran loscientíficos que llevaba años leyendo en la trastienda deRiebau. “En el viaje,” confesaría más tarde, “heaprendido lo suficiente para darme cuenta de mi igno-rancia”. A la vuelta Davy le nombró superintendentede aparatos y ayudante del laboratorio y de lacolección de minerales. En los años siguientes Faradayrealizó muchos experimentos con la misma paciencia yprecisión con que antes encuadernaba libros. Siemprese negaba a creer un fenómeno hasta que lo hubieseexperimentado por sí mismo. “El filósofo, decía, debeser un hombre que atienda a todas las sugerencias,pero decidido a juzgar por sí mismo. La verdad debeser su primer objetivo. Guardarse de los errores exigehumildad mental, preparación e independencia”.

Practicando lo que predicaba el joven Faraday seganó una buena posición en la Real Institución demanera que nunca más tuvo que volver a encuadernar.Se quiso concentrar en su sueño de desmitificar el


fenómeno de la electricidad, de lo que parecía estarcercar el físico danés Hans Orsted, quien en 1820había descubierto que una corriente eléctrica hacía quela aguja de la brújula se moviera lentamente, como sila propia corriente se comportase como un imán.Pocos meses después, Ampère y Arago descubrieronque una corriente eléctrica en forma de sacacorchos secomportaba como un imán, atrayendo limaduras dehierro, por lo que le llamaron electroimán. En los dossiglos anteriores ya se habían descubierto similitudesentre electricidad y magnetismo: Coulomb había com-probado que ambos campos se debilitaban con la dis-tancia de la misma manera y tenían dos carasrepeliendo unos objetos y atrayendo otros.

Faraday pensaba que los descubrimientos deOrsted, Ampère y Arago revelaban que electricidad ymagnetismo eran fuerzas intercambiables. Faradayconjeturó que al igual que una corriente de airecaliente se convertía a veces en torbellino, unacorriente de electricidad podía ocasionar vientos espi-rales de magnetismo ocasionando una pequeñarotación de una brújula cercana. En septiembre de1821 lastró uno de los polos de una barrita imantadaque la colocó en un recipiente de mercurio en el queflotaba verticalmente, como si se tratase de unapequeña boya, puso un cable vertical en el centro delrecipiente e hizo pasar una corriente eléctrica de abajohacia arriba. La pequeña boya comenzó a girar entorno al alambre en sentido contrario a las agujas delreloj. Faraday acababa de crear el primer motor eléc-

trico del mundo, que refinarían los ingenieros en losaños siguientes llegando a sobrepasar a las máquinasmovidas por vapor, en cuanto fue posible disponer deabundante energía eléctrica.

Faraday sufrió los rumores, acompañados delsilencio celoso de Davy, de que había copiado el motoreléctrico de Wollaston, uno de los administradores dela Real Institución, lo que quedó desmentido tras unaconversación con el propio Wollaston, quien nadahabía tenido que ver con la infamia. Luego consiguiólicuar el cloro y dejó el artículo a Davy para quehiciese las oportunas correcciones, que fueron de talnaturaleza que dejó la redacción en una forma queparecía que era Davis quien había dado todas las ideas.El 8 de julio de 1824, Faraday fue elegido miembro dela Real Sociedad. En la votación todas las bolas fueronblancas, salvo una negra de Davis.

El año siguiente, 1825, consiguió el máximo logrode su carrera. Sabía que la electricidad podía producirmagnetismo, y se preguntaba ¿por qué no habría deser cierta la inversa .... por qué el magnetismo nohabría de producir electricidad? El 29 de agosto de1831 descubrió un filón. Comenzó por arrollar untrozo largo de alambre en torno a media rosquilla dehierro, haciendo luego lo mismo en torno a la otramedia rosquilla, colocada justamente enfrente. Pensóque si pasaba corriente eléctrica por el primer arrolla-miento de alambre se produciría un campo magnéticoa través de toda la rosquilla, que produciría corriente


eléctrica en el otro arrollamiento de alambre. Sólo seprodujo corriente eléctrica al conectar y desconectar lacorriente eléctrica, lo que le llevó a concluir que sólose induce corriente eléctrica cuando aumenta o dis-minuye el campo magnético. En 1831 sintetizó así sudescubrimiento: “Siempre que una fuerza magnéticaaumenta o disminuye, produce electricidad; a mayorrapidez de aumento o de disminución, mayor cantidadde electricidad se produce”, sencilla ley que con-tribuyó a cambiar nuestro mundo, pues, por ejemplo,en 1812, después de firmar la paz en la guerra de laindependencia de los Estados Unidos, soldados nortea-mericanos e ingleses siguieron luchando dos semanaspor la lentitud en que se trasmitió el acuerdo de paz. En1844 se inventó el telégrafo, y cuando un emisorapretaba una tecla viajaba por el cable una corrienteeléctrica que ponía en marcha un pequeño electroimánen el receptor. Cuando el 9 de abril de 1865 Robert E.Lee se rindió a Ulysses S. Grant en la guerra entre elNorte y el Sur de Estados Unidos, el acuerdo de paz sepudo transmitir con gran rapidez.

Faraday, con poca formación matemática, no pudodar la ecuación de su descubrimiento. Además pensabaque sólo importan los hechos de los experimentos bienrealizados expresados en inglés simple y llano. Tresdécadas después, en 1865, James Clerk Maxwellpublicó su gran obra A Dynamical Theory of theElectromagnetic Field en la que tradujo el descubri-miento de Faraday a la ecuación matemática

Faraday con su visión poética, simple, del mundohabía ayudado a unificar los campos eléctrico y mag-nético. Maxwell formalizó su relación y surgió el elec-tromagnetismo. Además, su discernimiento de un gransecreto del mundo natural dio paso a la Era de la elec-tricidad. La electricidad y las bombillas de ThomasEdison iluminarían las calles y los hogares de todo elmundo. El 25 de agosto de 1867 falleció Faraday,habiendo rehusado el honor que le ofreció la reinaVictoria de ser enterrado junto a Newton en la abadíade Westminster, optando por un funeral sencillo ysimple.

LAS MATEMÁTICAS Y LASTRANSFORMACIONES ENERGÉTICAS

Los procesos irreversibles del Universo producendeterioro de manera indeleble. “La vida sería infinita-mente más feliz, se lamentó Max Twain, si pudiésemosnacer a los ochenta y acercarnos gradualmente a losdieciocho”. Newton llegó a creer que el Universotendría cierta reversibilidad al observar los giros de losplanetas o los movimientos periódicos de los péndulosque van y vuelven. Parece que llegó a pensar que elUniverso sería un perpetuum mobile destinado aexistir para siempre. Esta idea se cuestionó a finalesdel siglo XVIII al descubrir la irreversibilidad deciertos fenónemos, pues, por ejemplo, el calor siemprefluye de forma natural del foco caliente al frío y nuncaal revés. La fricción transforma movimiento en calor ynunca al contrario. Estas cuestiones científicas prontose vieron mezcladas con las más profundas conjeturasfilosóficas, pues la irreversibilidad suponía un enveje-cimiento del Universo.

Ernst Carl Gottlieb Clausisus, devoto clérigo pro-testante, no confiaba en el éxito del hombre en des-velar misterios de la creación y de nuestra mortalidad.El 2 de enero de 1822 tuvo su catorceavo hijo, al quellamaron Rudolf Julius Emmanuel.

Ese mismo año en París el joven ingeniero SadiCarnot publicaba su obra Reflexiones sobre la potenciamotriz del fuego en la que observaba que las máquinasde vapor eran capaces de hacer lo que la naturaleza no

BE –t

∂∇× =∂


podía hacer, convertir el calor en movimiento. ACarnot le dolía que las máquinas de vapor inglesasfueran más eficientes que las francesas, pues a idén-ticas cantidades de combustible las inglesas producíanmás trabajo.

Clausius aprendió en el instituto de Stettin como lamáquina de vapor transformaba el calor en trabajo yque en el centro de la Tierra había una máquina lo sufi-cientemente poderosa para haber esculpido el mundonatural. En 1840 entró en la Universidad de Berlín.Tras oír contar a su profesor de Física, GustavMagnus, que había descubierto que el calor corporal seproduce en unas reacciones químicas complejas y noen los pulmones, como hasta entonces se habíapensado, le pareció que sería fascinante dedicarse alestudio del calor. En 1843 Clausius se había ganado elrespeto de sus profesores y compañeros, pero lamuerte de su madre en el parto del décimooctavo hijocambio sus planes.

Decidió que no deseaba que sus gastos recayesensobre la familia, por lo que aceptó un empleo de tutor atiempo parcial y se ofreció voluntariamente paraeducar a sus hermanos más pequeños, pensando queasí sufrirían menos la pérdida de su madre. Con todoeste trabajo consiguió terminar sus estudios de primerciclo en la Universidad de Berlín, completando luegoen la Universidad de Halle el ciclo superior, dondehabía llegado a un acuerdo con sus profesores paraasistir sólo a las clases más importantes, y así poderestar más tiempo en Berlín al cuidado de sus her-manos.

Al joven Clausius le cautivaban los comporta-mientos antinaturales. Le entusiasmaba, por ejemplo,

que los chinos hubiesen descubierto un dispositivo queobligaba al calor a pasar del foco frío al caliente. Sesentía atraído por la vida de Carnot, quién habíaobservado que las máquinas de vapor eran la antítesisde la fricción, y estaba ansioso por leer el libroReflexiones sobre la potencia motriz del fuego, prin-cipal obra de Carnot. No pudo completar su deseodebido a que Carnot murió en 1823 por el cólera, orde-nando el inspector de salud la quema de todas sus per-tenencias personales, incluyendo los papeles. Sí pudoconocer de segunda mano resultados de Carnot.Particularmente le sorprendió el que una máquina parafuncionar necesitase dos focos de calor a diferentetemperatura, siendo el trabajo producido proporcionala la diferencia de temperaturas, y que el trabajo pro-ducido era una pequeña parte de la energía consumida.En 1848, además de preocuparse de las cuestionesanteriores empezaba a pensar sobre el destino delUniverso. Conoció la entonces controvertida teoría deMayer que, en cierta forma, venía a decir que laenergía total del Universo permanece constante, asícomo los experimentos de Joule, quien impresionadopor los descubrimientos de Faraday había comprobadoque el paso de la corriente eléctrica por un alambre localentaba. Clausius vio en los experimentos de Joule labase fáctica y en las ideas de Mayer la base filosóficapara elaborar una nueva teoría del calor. Lo único quefaltaba era tejerlas en el telar de las matemáticas, loque le llevó dieciocho años y daría el mejor fruto de suactividad intelectual.

En 1850 publicó un artículo largo titulado “Sobre lafuerza motriz del calor y sobre las leyes que puedendeducirse de ella para una teoría del calor”, dondeplanteaba que calor y trabajo son formas de la energía,de la que había diferentes manifestaciones (energíasolar, eléctrica, acústica,…). Formuló en términosmatemáticos que la energía del Universo, si bien setransforma de unos en otros tipos, se mantiene cons-tante, con la ecuación

que nos dice que la variación de la energía delUniverso es cero.

Clausius había terminado con la teoría del calórico,que consideraba al calor como un fluido. Claramentehabía puesto de manifiesto que el calor era una forma

0EUniverso∆ =


de energía, que podía transformarse en otras formas deenergía, como el trabajo. En el proceso de transfor-mación una parte se malgastaba no produciendotrabajo. El mundo científico se rindió ante Clausius,quien, según Thomson, mediante razonamientomatemático había llegado a conclusiones muynotables.

Clausius se propuso avanzar más y nos hizo ver quevivimos en un Universo que conserva la energía, perono la aprovecha con eficiencia. Para ello probó que lastransformaciones están gobernadas por una misteriosaley de aumento de la entropía. Cuando se llegue almáximo de entropía se producirá la muerte térmica delUniverso, consistente en un Universo uniformementetibio, producido por el paso de la energía de las zonascalientes a las zonas frías. Sin zonas calientes o frías elcalor cesaría de fluir, lo que significaría que ningunamáquina podría funcionar.

En 1877 Boltzman demostró matemáticamenteque la entropía era una medida del desorden, lo quesuponía que el Universo debía haber empezado conuna tensión máxima y como algo muy bien orga-nizado. Como si alguien hace millones de años hubieseconstruido un reloj de cuerda soberbiamente diseñadoy le hubiese dado toda la cuerda posible. Con el pasodel tiempo el reloj irá cada vez más despacio, per-diendo cuerda, relajándose lentamente, descompo-niéndose cada vez más.

LAS MATEMÁTICAS Y LA RELATIVIDADRESTRINGIDA

Para Newton la luz consistía en diminutas partí-culas. Las grandes se asociaban con los colores másfuertes, rojos y amarillos, y las pequeñas con los másdébiles, azules y violetas. Thomas Young, médico ycientífico aficionado nacido en Londres en 1773, seatrevió a sugerir que la luz consistía en ondas y no enpartículas. El ojo veía rojas las ondas de menor fre-cuencia y violetas las de mayor frecuencia. En 1799 ydespués de algunos experimentos, que parecían con-firmar su teoría, decidió llevar su propuesta a la RealSociedad de Londres, uno de cuyos miembros, HenryBrougham, expuso que carecía de mérito y por ello sedesechaba. No obstante, cada vez había más pruebas afavor de la teoría ondulatoria de la luz, por lo quecuando murió en 1829 eran muchos los científicos quecreían en dicha teoría.

Además, Maxwell había descubierto que sus ecua-ciones sobre electricidad y magnetismo predecían laexistencia de ondas electromagnéticas que viajaban a300.000 kilómetros por segundo. Esa era la velocidadde la luz y Maxwell dio el salto a la conclusión, con-firmada luego por Heinrich Hertz, de que sus ondaselectromagnéticas y las ondas luminosas de Youngeran la misma cosa.


A lo largo del siglo XIX se impuso la teoría ondula-toria electromagnética de la luz de Young y Maxwell,con el inexplicable problema de aclarar como viajabanlas ondas electromagnéticas por el vacío, lo que nosharía saber como nos llega la luz de las estrellas. Dadoque las ondas sonoras no son capaces de viajar por elvacío, pues no oímos un reloj dentro de una campanaen la que se haya hecho el vacío, se llegó a la con-clusión de que las ondas luminosas viajaban por unmedio material que lo llenaba todo, que no era fácil-mente detectable y que denominaron éter.

En 1881 Michelson y Morley pensaron que dadoque la Tierra gira alrededor del Sol a 30.000 metrospor segundo era de esperar que causara una estelamedible de éter si el éter existiese. Se propusieron puesmedir la velocidad de la luz en los dos sentidosopuestos que corresponden al desplazamiento de laTierra en su giro alrededor del Sol. Existiría el éter siun rayo se moviese más deprisa que el otro. Los resul-tados, repetidos durante veinte años, siempre revelaronque la velocidad de la luz era la misma en las dosdirecciones. La conclusión era obvia: Las leyes de lafísica tenían algún fallo o había que prescindir de lateoría ondulatoria de la luz.

Por otra parte, hemos indicado que en 1831Faraday había probado que un imán en movimiento eracapaz de originar una corriente eléctrica a través de uncable cercano. Innumerables experimentos posterioresprobaron que también se producía electricidad si semueve el cable y el imán está quieto. Es decir, seproduce electricidad cuando el cable se mueve res-pecto al imán o viceversa. En otras palabras, el movi-miento es relativo y no absoluto.

Einstein fue quien prescindió de la noción deespacio y tiempo absoluto, cualidades que en suUniverso son relativas, pues cuanto más deprisa seviaje menores serán las percepciones de un centímetroy de un segundo. El factor de disminución sería

Sin embargo, lo único que no se modificaes la velocidad de la luz, en la que están de acuerdo losdiferentes observadores. Es una noción absoluta paraEinstein.

Esa aparente distinción de la Naturaleza respecto alas ondas electromagnéticas habría que buscarla, segúnEinstein en el repetido fracaso de Michelson y Morleyen encontrar el hipotético éter. Con pragmatismoafirmó que el éter no existía y que las ondas electro-magnéticas eran capaces de abrirse paso por enormestrechos de espacio vacío, debido a que eran ondas conenergía pura y sin masa.


{ }1 22 21 v c−

Dando vueltas a su teoría encontró que el factor dedisminución afectaba en forma inversa a otras dosmagnitudes muy relacionadas: la masa y la energía,Cuando aumenta la velocidad de una persona, su masay su energía no disminuyen sino que aumentan en unacantidad inversa al factor de disminución. Por ello lamasa y la energía de una persona que viajara a velo-cidad cercana a la de la luz aumentarían muchísimo,superando a cualquier cantidad imaginable a medidaque la velocidad se acercase a la de la luz. Por tanto,ningún objeto material puede viajar a la velocidad dela luz.

Finalmente concluyó Einstein que masa y energíaeran indistinguibles e intercambiables, como dosmanifestaciones de un mismo ente, lo que recordaba laestrecha relación entre electricidad y magnetismo. Sila masa m aumenta en v su velocidad se tiene que lanueva masa será

Para pequeños valores de v/c la expresión anteriorse puede aproximar por

de lo que concluyó que la variación de masa es elcociente entre la energía cinética perdida y c2, gracias ala utilización de la aproximación del desarrollo deMacLaurin de Por tanto, si una masa mse transformase totalmente en energía se tendría larelación:

Energía = mc2

La comprobación de esta ecuación se pudo hacerdespués de muchas horas de trabajo, estando la clavedel éxito en el descubrimiento de la radioactividad porBecquerel muy a principios del siglo XX, pero sólo aprincipios de la década de los años treinta se pudoechar una mirada al mundo subátómico y observar quecuando un núcleo radioactivo perdía una partículasiempre su disminución de masa era superior a la masade la partícula emitida. Era evidente que una partículaal escapar robaba una parte de la masa del núcleo quese transformaba en energía, en acuerdo con la ecuaciónde Einstein.

En 1934 hubo otra comprobación espectacular de laecuación de Einstein, obtenida al romper el inestablenúcleo del uranio bombardeándolo con un neutrón. Laenergía obtenida por transformación de parte de masadel núcleo en energía fue enorme, incomparablementemayor que la obtenida en la combustión. Pero ni el ita-liano Fermi, ni la pareja francesa de los Curie, ni losalemanes Hahn y Strassmann se dieron cuenta de loque habían conseguido. Hasta 1939 los físicos no com-prendieron su alcance, pero entonces el mundo estabacentrado en otras tensiones provocadas por las inten-ciones expansionistas de Alemania, Italia y Japón. Lono previsible era que la nueva fuente de energía se ibaa utilizar como elemento de destrucción, que tal vezevitó una guerra más larga, pero que, en cualquiercaso, sólo se debería utilizar en provecho del des-arrollo de la humanidad.

MATEMÁTICAS, ORDENADORES YRAZONAMIENTO FORMAL

Otro de los problemas planteados por Hilbert en1900 era el obtener un sistema de razonamiento quepermitiese deducir automáticamente la verdad o fal-sedad de cualquier proposición. Recordaba el sueñomedieval y de Leibniz, conocido como encontrar laCombinatoria Universal. Hacía poco que Russell yWhitehead habían publicado Principia Mathematica,pretendiendo probar que la matemática se deduce deun conjunto finito de axiomas. Hilbert quiso dar unpaso más invitando a buscar un procedimiento formal,que se podría automatizar con una máquina, y queaplicado a una proposición matemática discerniría suverdad o falsedad.

2

2

(1/ 2)mvm c

+

( )1 22 2m

1 – v c


( ) 1 22 21 v c −−

Después de tres décadas llegó lo que nadie ima-ginaba: el sueño de Hilbert era lógicamente inalcan-zable. En efecto, Gödel probó que ningún sistemaaxiomático formal que contenga a la aritmética ele-mental puede ser consistente y completo. Consistentesignifica que el sistema formal no debe dar resultadoscontradictorios. Completo indica que el sistema formaldebe poder aplicarse a todas las proposicionesposibles.

El hallazgo de Gödel, conocido como teorema deGödel, obligó a los matemáticos a aceptar que siempreexistirán cuestiones irresolubles, ya que si se elaboraseun sistema lógico que abarcase toda la matemática sepodría demostrar que algunas proposiciones serían a lavez verdaderas y falsas, es decir indecidibles en el len-guaje ordinario. Por otra parte, un sistema libre de con-tradicciones no se puede aplicar a todas lasproposiciones matemáticas.

La conclusión de Gödel, calificada por Penrose,como uno de los mayores logros del siglo XX, eraimpensable cuando se obtuvo, ya que parecía incom-patible que durante varios siglos se hubiese dado unprodigioso paralelismo entre el avance de las matemá-ticas y el conocimiento del mundo físico y que, depronto, pareciesen existir limitaciones para elaborar un

sistema formal que contuviese toda la matemática, loque limita la capacidad de las matemáticas para repre-sentar la realidad. La causa que impide hallar unsistema formal de las matemáticas que sea consistentey completo (abarcándolo todo sin contradicción) siguesin resolverse. Penrose, sin argumentar razones, hasugerido que esta incapacidad de decisión matemáticase puede deber a una intervención, hasta ahora inad-vertida, de la mecánica cuántica, con todas sus incerti-dumbres, en el funcionamiento del cerebro al nivel delas neuronas.

En cualquier caso, Gödel ha establecido unas limi-taciones, de las que tal tampoco nos pueden liberar losordenadores, pues alrededor 1930, y diez años antes dela aparición de los primeros ordenadores electrónicos,un pequeño grupo de matemáticos empezó a predecircomo funcionarían. Uno de ellos era Alan Turing,matemático que trabajaba en la Universidad deCambridge y que se hizo famoso descifrando mensajesdel mando alemán durante la segunda guerra mundial.En 1936 Turing desarrolló muchos de los conceptosque más tarde se aplicaron a los ordenadores actuales.Menos clara es la naturaleza del ordenador quetenemos en nuestra cabeza, del que se está empezandoa descifrar los algoritmos empleados en los circuitosneuronales más simples.

En los años treinta ya estaba claro que los ordena-dores sólo resultarían útiles si se les incorporaban con-juntos de instrucciones, llamados programas, con losque se pudieran procesar datos. Un programa es unconjunto de procedimientos para realizar operacionescon los datos que se suministran (la entrada o input)para obtener un resultado (salida u output). Un pro-grama puede ser grande, pero debe ser finito, pues delo contrario nunca se terminaría el proceso y el aparatonunca daría resultados.

También estaba claro en 1936 que los mejores pro-gramas serían los recursivos, que indicarían a lamáquina que repitiese un conjunto de instrucciones.Así es como aprendimos a sumar: Primero las uni-dades, luego las decenas, y así sucesivamente,teniendo en cuenta que en alguna de esas sumas puedeaparecer una unidad de orden superior que se debeincorporar en la representación final de la suma. Otroproceso recursivo es dividir restando sucesivamente eldivisor.


La forma en que aprendimos a sumar tiene un pro-blema grave cuando se suman números grandes:Empezamos sumando las unidades, luego las decenasy así sucesivamente, con lo cual empezamos por lascifras menos importantes. Sería más racional empezaral revés, es decir de izquierda a derecha, así las pri-meras cifras obtenidas serían las más importantes. Setendría que rectificar cuando la suma de dos unidadesde un orden diese una unidad del orden siguiente. Enalgunas ocasiones tendríamos que hacer muchas recti-ficaciones. Por ejemplo, en el último paso de la sumade 899.999.999 y 100.000.001 tendríamos que recti-ficar todas las cifras ya halladas.

Turing llegó a la conclusión de que una máquina decálculo (lo que hoy llamamos ordenador) debe tener unmedio de absorber datos, corregir los resultados provi-sionales obtenidos en las sucesivas etapas de cálculo ypoder representar los resultados, siendo imprescindibleque el número de etapas del proceso sea finito. Lamáquina no podría dividir por cero, pues las restassucesivas de 0 dejan invariable el dividendo.

Turing llamó máquina universal a su máquina decálculo. Hoy se la conoce como máquina de Turing,quien analizó sus potencialidades y sus limitaciones,prediciendo el problema de la interrupción, consis-tente en que su calculadora universal dejaría de

imprimir números en alguna etapa de sus operaciones,bien por error en el diseño del algoritmo, o por difi-cultad en calcular el siguiente dígito, o por encontrarsecon un problema insoluble. El problema de la inte-rrupción está relacionado con el teorema de Gödel.

Las matemáticas son un medio para sacar conclu-siones de suposiciones previamente formuladas, con lautilización de unas reglas de inferencia y la admisiónde unos axiomas, que Euclides definía como lo evi-dente por sí mismo. Si se cambian los axiomas varíanlas conclusiones obtenidas. Por ejemplo, en la geo-metría euclidiana, que se ocupa de las figuras quesolemos utilizar, la suma de los tres ángulos de untriángulo es 180 grados y se definen como paralelas lasrectas de un plano que no se cortan. Hacia 1840 sesuavizó este axioma permitiendo que dos líneas seconsiderasen paralelas si no eran idénticas y si ambaseran perpendiculares a otra línea, como sucede con losmeridianos que son perpendiculares al Ecuador de laTierra, dando lugar al nacimiento de una nueva geo-metría en la que los tres ángulos de un triángulo nosuman 180 grados.

El éxito de las matemáticas al anticiparse a lasnecesidades de los físicos del siglo XIX se debió a quedurante casi dos siglos los matemáticos basaron sussistemas lógicos en axiomas sugeridos por los prin-cipios físicos, lo que motivó que uno de los mensajesde la conferencia de Hilbert de 1900 es que las mate-máticas se habían convertido en un instrumento funda-mental para comprender como es el mundo.

MATEMÁTICAS, ORDENADORES Y ELPROBLEMA DE FERMAT

Los problemas enumerados por Hilbert en 1900han marcado parte de la investigación del siglo XX.Uno no resuelto era el último teorema de Fermat,quien en el siglo XVII había asegurado que “connúmeros enteros a, b, y c no es posible encontrarpotencias enteras an y bn cuya suma sea cn, para n>2”.Los ordenadores permitieron comprobar que noexisten enteros no nulos a, b y c tales que an + bn = cn,cuando 2 < n < 100.000.

Pierre de Fermat fue un Consejero del Parlamentode Toulouse, que vivió en la primera mitad del siglo


XVII y era muy conocido por sus investigacionesmatemáticas en teoría de números. Fermat, en elmargen de un ejemplar del libro Aritmética, escrito porDiofanto de Alejandría en el siglo II d.C., escribió:“No es posible encontrar dos cubos cuya suma sea uncubo, dos potencias cuartas cuya suma sea unapotencia cuarta, más generalmente dos potencias cuyasuma sea una potencia del mismo tipo. He encontradouna demostración maravillosa de este hecho que nocabe en el tamaño del margen”. La anotación apareceen la página en que Diofanto trata el problema deencontrar tripletas de Pitágoras, que son ternas denúmeros que pueden ser las medidas de los lados de untriángulo rectángulo, de las que hay infinidad de solu-ciones, (3,4,5), ((5,12,13),....., ya descritas en losElementos de Euclides. La nota de Fermat la publicópóstumamente su hijo.

Fermat era miembro de un grupo de científicosorganizado alrededor del jesuita Mersenne y enviabamuchas cartas que contenían afirmaciones sobre pro-piedades de los números enteros, que la mayoríafueron demostradas por matemáticos del siglo XVIII(Euler, Lagrange, Lamé, Dirichlet).

A principios del siglo XX todas las afirmaciones deFermat habían sido ya demostradas, salvo la que

hemos descrito de que no existen enteros no nulos x, yy z tales que xn + yn = zn si n es un entero mayor que 2,conocida como “el último teorema de Fermat” yresuelta por Andrew Wiles en 1994. Los dos últimossiglos están llenos de intentos fallidos de resolver en Zla ecuación xn + yn = zn, para n>2, muy ligados al des-arrollo de las matemáticas en estos siglos. Wiles en sutrabajo hizo uso de la mayoría de las herramientas des-arrolladas en Teoría de Números, Álgebra y Geometríaen los dos últimos siglos, y, en particular los resultadosobtenidos en los últimos cuarenta años sobre curvaselípticas.

Consideremos la curva elíptica y2 + y = x3 – x. Si pes un número primo sabemos que Z/p, cociente de losnúmeros enteros Z respecto a la relación “dar el mismoresto al dividir por p”, sólo tiene p elementos, que lospodemos representar por 0, 1, 2, .... y p – 1. En Z/2nuestra curva elíptica tiene 4 soluciones, (0,0), (1,0),(0,1) y (1,1), lo que resulta fácil de comprobar dadoque Z/2 es un conjunto finito. En Z/3 tiene 6 solu-ciones la curva considerada. Si para cada númeroprimo p = 2, 3, 5, ...., llamamos N(p) al número desoluciones de y2 + y = x3 – x en Z/p se tiene que


2 – N(2) = - 23 – N(3) = - 35 – N(5) = - 27 – N(7) = - 1......................

y estos números son los coeficientes de los términos deíndice primo de la serie

f(z) = w – 2w2 – 3w3 + 2w4 – 2w5 + 6w6 – w7 + .....

siendo w = e2πiz. La función f(z) es muy conocida yverifica

f(z) = (cz + d)-2f((az+b)/(cz+d))

donde c es un múltiplo de 37 y ad – bc = 1.

En general, las funciones

f(z) = (cz + d)-kf((az+b)/(cz+d))

con c múltiplo de un número M y ad – bc = 1 se llamanfunciones modulares de peso k y nivel M. El hechocurioso que liga los números p – N(p) de las curvaselípticas con coeficientes del desarrollo de las fun-ciones modulares fue estudiado por Taniyama,Shimura, y luego por A. Weil y otros matemáticos, lle-gando a conjeturar que:

“Dada una curva elíptica E y sus números cp = p –N(p) existe una función modular f(z) de peso 2 y nivelM, dependiente de la curva, tal que

f(z) = w + c2w2 + c3w3 +

donde w = e2πiz.”.

Es claro que 32 + 42 = 52 equivale, por el teorema dePitágoras, a la construcción de un triángulo rectángulode lados 3, 4 y 5. Dado que no se puede construir untriángulo rectángulo de lados 3, 4 y 6 se deduce que esfalsa la relación 32 + 42 = 62. Frey intuyó que si exis-tiesen números enteros no todos nulos a, b, c y n, con nprimo mayor que 2, tales que an + bn = cn, entonces lacurva elíptica y2 = x(x + an)(x – bn) no cumpliría laconjetura de Taniyama – Shimura – Weil. La prueba deesta intuición la hizo Ribet en 1987, siguiendo elcamino sugerido por Serre.

Por tanto, la solución del último problema deFermat vendría de la demostración de la conjetura deTaniyama –Shimura– Weil, o, al menos, de la pruebade dicha conjetura para las curvas elípticas determi-nadas a partir de una hipotética solución del últimoproblema de Fermat. Justamente esto es lo que probóAndrew Wiles en 1995, después de siete años detrabajo.

Hemos dicho antes que los ordenadores habíancomprobado el último teorema de Fermat cuando 2<n<100.000. Wiles hizo lo que ningún ordenador hubiesepodido hacer: Comprobar el último teorema de Fermatpara n mayor que 2, sin ninguna otra restricción.

PROBLEMAS COMPLEJOS

Gödel y Turing no han sido los únicos que hanhecho dudar de la impresión generalmente compartidade que las matemáticas, por su elegancia y capacidadde explicación, son una de las elaboraciones humanasintelectualmente perfectas. En efecto, desde hacetiempo la matemática se enfrenta a problemas engo-rrosos, con sorpresas, casi siempre presentes cuandolas ecuaciones no son lineales.

Si, por ejemplo, se considera la oscilación de unpeso suspendido de un muelle vertical tal que la fuerzaejercida por el muelle es proporcional al desplaza-miento relativo, no tendremos ninguna dificultad enencontrar como varía el desplazamiento con el tiempo.Si la longitud del muelle se multiplicase por k setendría que la oscilación también quedaría multi-plicada por k, por lo que se dice que estamos ante unproblema lineal. Pero si el peso choca con algún obs-táculo cuando se desplaza cierta distancia entonces el


determinar el desplazamiento en función del tiempo esun problema que ha perdido la linealidad y es muchomás difícil.

Los matemáticos empezaron a encontrarse con difi-cultades de este tipo cuando intentaron aplicar la teoríagravitatoria de Newton para predecir con más exac-titud la posición de la Luna en su órbita alrededor de laTierra, teniendo en cuenta el efecto perturbador de laatracción del Sol. A principios del siglo XVIII losmatemáticos no estaban seguros de si las dificultadesque encontraban para resolver este problema se debíanque sus técnicas de cálculo eran muy nuevas. A finalesde siglo se habían convencido de que el problema notenía soluciones exactas y que era preciso hacer apro-ximaciones numéricas. Las argumentaciones del sigloXVIII están recogidas en la obra Mecánica Analíticade Lagrange.

En realidad, casi todos los problemas prácticos quese plantean en el mundo real son no lineales.Encontramos otra vez el problema de los tres cuerposen el modelo que describe el movimiento de unelectrón en un átomo o en una molécula. Aunque ten-gamos un átomo de Helio el movimiento de unelectrón está sometido a la atracción del núcleo y a larepulsión del otro electrón. También es un triunfo quese hayan encontrado varias soluciones exactas a lasecuaciones de la Teoría General de Relatividad deEinstein (Teoría de la gravitación) de carácter clara-mente no lineal, ya que las ecuaciones parecensimples, pero la cantidad de masa o de energía encierto punto del espacio depende de complicadas deri-vaciones en otros puntos del espacio.

La no-linealidad ha atraído la atención de muchosde los mejores matemáticos del mundo. La dificultadmás grave es que la falta de métodos generales desolución ha llevado al desarrollo de los métodos apro-ximados, que pueden dejarse soluciones importantes,dando sorpresas más o menos agradables.

Por ejemplo, las ecuaciones no lineales que repre-sentan las ondas que se pueden generar en la superficiede una masa líquida dan como solución las familiaresondas repetitivas y también el movimiento de una soladistorsión sobre la superficie de una masa líquida, con-sistente en un único abultamiento en la superficie quese propaga en una dirección, fenómeno llamado onda

solitaria o solitón, que es algo más que una mera curio-sidad matemática.

Los físicos de partículas se dieron cuenta muypronto que los solitones pueden servir como modelosdel movimiento de partículas a través del espaciovacío. En 1962, Skyrme ideó un método para describirpor medio de solitones las partículas de la materianuclear. Ahora aparecen frecuentes referencias a partí-culas llamadas skyrmiones. De este modo se repre-sentan las ondas de choque generadas por explosiones.Se suele aceptar que la esfera expansiva de radiaciónenergética y movimiento de partículas generada por laexplosión de una supernova es un solitón. También seutilizan los solitones en la representación de los elec-trones atrapados cerca de las superficies sólidas, pro-blema importante en la fabricación desemiconductores. No sería de extrañar que la señaleléctrica que recorre el axón de una neurona fuesetambién un solitón.

Los solitones aparecen a veces en desembocadurasde ríos durante las mareas muertas, cuando la grancantidad de agua que penetra en el estuario puedegenerar un solitón que recorre varios kilómetros tierraadentro.

Desde los años setenta se han ido observando cadavez más fenómenos no lineales, que podrían tenermucha importancia para las matemáticas y para laciencia en general. Se ha observado que ciertos sis-temas de ecuaciones pueden dar soluciones que mani-fiestan un desorden absoluto. Así ha nacido la teoríadel caos, que permite explicar muchos fenómenos delmundo real, como los movimientos irregulares de los


asteroides y la capacidad que tienen ciertos grupos decélulas del corazón de comportarse de manera abe-rrante y desordenada.

Con estas ideas ya había trabajado Henri Poincaréen 1893. Antes de 1960 Kolmogorov, Liapunov yLandau demostraron algunas propiedades de ecua-ciones no lineales que luego se manifestaron de graninterés. Desde la publicación de los Principia deNewton los físicos dedicaron muchos esfuerzosdurante tres siglos al perfeccionamiento de las leyesdel movimiento, mientras los matemáticos buscabanmejores maneras de calcular las trayectorias de objetosen movimiento. Los avances en este sentido sonimportantes para estudiar muchos fenómenos natu-rales. Por ejemplo, las órbitas de los asteroides se venmuy alteradas al pasar por el campo gravitatorio deJúpiter. La perturbación depende de varias posicionesrelativas lo que imposibilita determinar la órbita paraunos cuántos años. Tampoco se puede predecir eltiempo con mucha antelación debido a que perturba-ciones atmosféricas inicialmente pequeñas puedenllegar a hacerse dominantes en pocos días. Tambiénson caóticos los cambios en los campos magnéticos dela Tierra, debido a los movimientos turbulentos de lasrocas líquidas del núcleo terrestre. Con este espíritu, en1963, E.N. Lorentz resolvió un conjunto de ecuacionespara describir la formación de flujos turbulentos en unlíquido calentado por abajo. Poco después, Mandelbrotle dio la vuelta a la cuestión, como si se hubiese pre-

guntado qué clases de movimientos existen y quepodemos aprender de su variedad. Así obtuvo una seriede patrones de fascinante complejidad reproduciblesen un ordenador.

El caos también está presente en la evolución, puesun pequeño aumento en la eficiencia reproductora deuna especie provoca un enorme crecimiento de lapoblación, que puede ir seguido de un rápido declive alagotarse los recursos alimenticios.

PROBLEMAS SIN RESOLVER

Hay campos de las ciencias básicas que necesitanayuda de las matemáticas. Algunos son de naturalezacombinatoria cuya complejidad crece con el númerode datos. El determinar la ruta más corta para unviajero que deba visitar doce ciudades se puederesolver calculando la suma de todos itinerariosposibles. Al aumentar el número de ciudades crece lamagnitud del problema y lo sitúa fuera de la capacidadde los superordenadores. Este problema tiene análogoscon gran interés práctico en el funcionamiento de losmercados bursátiles mundiales o en la cuestión del ple-gamiento de las moléculas de proteínas, formadas pormiles de aminoácidos empalmados, para adoptar unaforma funcional, que suele coincidir con la disposiciónde mínima energía. Más complejo aún puede resultarel funcionamiento de esas proteínas, pues en cadafunción se producen interacciones entre varias pro-teínas. Aunque la solución completa de algunos pro-blemas actuales está fuera de las posibilidades de losordenadores actuales, e incluso de los del futuropróximo, no quiere decir que esos mismos ordena-dores, como sucedió con la ecuación de Fermat, no nospuedan sugerir ya algunas soluciones.

El segundo campo necesitado de la ayuda de lasmatemáticas es el desarrollo de sistemas informáticosadaptados a las nuevas necesidades de análisis de grancantidad de datos. Una especialidad que está surgiendoes la de bioinformático. El menor ente conocido al quese atribuye cierto tipo de vida se llama viroide yalmacena una información equivalente a cien mildatos. Hay viroides detectados que atacan a patatas ycítricos estimulando su capacidad de reacción. Elmenor virus almacena una información del orden de unmillón de datos. En muchas funciones se manifiesta la


intervención de varios miles de genes. Parece pues quese van a necesitar modelos informáticos que seancapaces de dar sentido a la enorme masa de datos acu-mulados. La tarea de desentrañar las funciones de los100.000 genes humanos exigirá un esfuerzo muchomayor que el ya dedicado a su identificación, pues encada función suelen intervenir varios miles de genes.Los megabytes ( = 106 bytes) y gigabytes ( = 109 bytes)dejarán paso a los Terabytes ( = 1012 bytes). El con-vertir este conocimiento en medicinas útiles será unatarea adicional, que nos puede traer medicina a la cartacon más eficacia y reducción de efectos secundarios,dado que los distintos genes responden de forma dife-rente a las drogas. Los mapas genéticos permitiránanticiparse a tipos de cáncer de difícil diagnóstico yatacar mejor a los resistentes a la quimioterapia.Ayudas inestimables serán las redes bayesianas y losprocedimientos de clasificación basados en redes neu-ronales. También ciertas propiedades de la mecánicacuántica nos pueden ayudar a obtener ordenadores másrápidos.

El tercer campo donde se necesitan las matemáticases aún más complejo y está estimulado por la idea deque la estructura del espacio-tiempo puede ser máscomplicada de lo que ahora suponemos. Hoy tenemosuna explicación razonable de cómo se originó el uni-verso y pensamos que la materia deriva sus propie-dades del acontecimiento en el que el universo entero

hizo su aparición. Esta explicación tiene muchosdefectos, pues, por ejemplo, la cantidad de materia esmucho menor de la esperada. Como ocurrió con el éter,hay mucha gente seria dedicada a buscar los compo-nentes de la “masa oculta”, y tal vez lo que suceda esque nuestros conocimientos actuales del Universo seanincompletos, como lo era el electromagnetismo deMaxwell sin relatividad. Tampoco sabemos si elmodelo estándar de la física es completo. Muchos tra-bajan en reconciliar la teoría de la gravedad deEinstein con la mecánica cuántica, dos de los logrosintelectuales más sobresalientes del siglo XX y quemuchos piensan que se conseguirá con el modelo querepresenta las partículas como minúsculas cuerdas omembranas vibratorias, lo que plantea la cuestión de silas cuerdas u otras estructuras deben considerarsepartes de la estructura del espacio vacío. La tarea detender un puente entre la mecánica cuántica y la gravi-tación parece destinada a dotar al espacio-tiempo deuna estructura que cambiará el concepto de espacioaceptado en la ciencia desde Descartes.

La matemática es una parte esencial de la ciencia enla comprensión de nuestro mundo. Desde queCopérnico echó raíces el moderno idioma de la cienciacon la combinación de observación, experimentación eimaginación se ha ampliado nuestro conocimiento delmundo. No obstante, las cuestiones planteadas no hancambiado radicalmente. Aristóteles se preguntabacómo está construido el universo. Copérnico respondiólo mejor que pudo situando al sol en el centro. Entiempos de Hubble (1929) parecía que la legítimacuriosidad de Aristóteles acerca del mundo estaba yasatisfecha. Pero entonces se planteó la pregunta en tér-minos más profundos que la hacían más difícil. Gamovse propuso explicar no sólo como era el universo, sinocómo se originó.

Por una parte la observación y experimentación sehan situado en posiciones dominantes en el siglo XX,ya que la veracidad de las explicaciones nunca se hapuesto a prueba tan rigurosamente mediante experi-mentos, lo que hace prever que las aplicaciones de laciencia se harán notar en los próximos siglos más aúnque en el nuestro Como dice Popper, una explicacióncarece de valor a menos que se pueda probar medianteobservaciones o experimentos y sea posible demostrarla veracidad o falsedad de las predicciones basadas enella. Pero, por otra parte, los grandes hitos del siglo


XX han sido nuevas teorías, como la relatividad, lamecánica cuántica, el teorema de Gödel o la estructuradel ADN. Por ello, junto al desarrollo de muchas apli-caciones no se ve el final al proceso de investigación,que seguro mantendrá ocupados a nuestros hijosdurante siglos y, casi con seguridad, hasta el final delos tiempos, pues como Hamlet le dijo a Horacio haymuchas más cosas en el Cielo y en la Tierra, queridoHoracio, de las que tu filosofía pueda soñar.

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