MATEMÁTICAS Y BIOLOGÍA:LECCIONES PARA EL FUTURO

Miguel A. Herrero

Instituto de Matemática Interdisciplinar, Universidad Complutense , Madrid

Miguel_Herrero@mat.ucm.es.

Conferencia Klein, Castro Urdiales 2010

MATEMÁTICAS Y BIOLOGÍA: LECCIONES PARA EL FUTURO

• Las Matemáticas como herramienta para entender la Naturaleza:• Desconfianza• El éxito de la Física • Las dificultades de la Biología.

• Modelización y complejidad.

• Un primer ejemplo :Daniel Bernouilli y la vacuna contra la viruela.

• Un segundo ejemplo : Gaia y el calentamiento global.

• Conclusiones.

LA OPINIÓN DE UN MAESTRO ANTIGUO. • ...Hay hombres que no admiten más demostraciones que las de las Matemáticas; otros no quieren más que ejemplos; otros no encuentran mal que se invoque el testimonio de los poetas . Los hay, por último que exigen que todo sea rigurosamente demostrado; mientras que otros encuentran ese rigor insoportable, ya porque no pueden seguir la serie encadenada de las demostraciones, ya porque piensan que es perderse en futilidades..

• No debe exigirse rigor matemático en todo , sino tan solo cuando se trata de objetos inmateriales . Y así el método matemático no es el de los físicos, porque la materia es probablemente el fondo de toda la Naturaleza..

•( Aristóteles : Metafísica )

LA MECÁNICA DE ARISTÓTELES

Se trata de una colección de 35 problemas , relacionados en muchos casos con las propiedades mecánicas de las palancas .

La primera traducción al español se debe a Diego Hurtado de Mendoza, Embajador de Carlos V en la Serenísima República de Venecia, quien se ocupó de este trabajo durante las sesiones preparatorias del Concilio de Trento:

…mi principal propósito a sido ocupar el tiempo que me sobraua de negoçios , en ver y reconoçer las obras de Aristótiles….y llegando a las preguntas mecánicas que estan a la fin del libro…

Con la siguiente finalidad :

…que se conozca la utilidad que sale de las sciencias mathemáticas, puestas en obra para estas cosas que cada dia nos van entre las manos…

Una duda Aristotélica : Problema 24.- “No se sabe porqué el círculo mayor da la vuelta en una línea igual que el círculo menor cuando son concéntricos”

..”Sea pues el círculo mayor y el menor, y sea A el centro de ambos . Y sea ZI la línea que desarrolla el mayor al girar, y sea HK la que desarrolla el menor. Si muevo el menor, muevo el propio centro A. Muévase de modo acorde el grande. Cuando AB sea perpendicular a HK, simultáneamente AΓ será perpendicular a ZΛ , de modo que se habrá recorrido la misma distancia..¨

La Mecánica de Aristóteles ejerció una gran influencia en muchos pensadores , incluido Galileo, quien analizó el problema de las ruedas en su obra clásica sobre las dos nuevas ciencias .

De hecho, otro problema de la Mecánica le sirvió probablemente de inspiración para desarrollar el concepto de similaridad. Se trata del número 16: ¿ Porqué los maderos son tanto más endebles cuanto más largos y se doblan más al ser levantados, aunque el corto, de dos codos, pongamos , sea fino y el de cien codos sea grueso ?.

•En el estudio de la primera nueva ciencia : ..intorno alla resistenza de i corpi solidi all´essere spezzati.

Galileo observa que :

• Entre todos los prismas y cilindros de figura similar ( la proporción entre longitud y altura permanece constante), hay uno y solamente uno que , bajo el esfuerzo de su propio peso, permanece en el límite entre romperse y no romperse,

.. Che si riduce ( gravato dal proprio peso) al ´ultimo stato tra lo spezzarsi e ´l sostenersi intero..

de modo que cualquiera otro más grande se rompe, y cualquiera otro más pequeño puede resistir alguna fuerza adicional sin romperse.

•Dice Galileo :

•De lo dicho antes se deduce la imposibilidad de incrementar el tamaño de las estructuras hasta vastas dimensiones , tanto en la naturaleza como en el arte..

•No puede la naturaleza producir árboles de tamaño extraordinario, ya que las ramas se romperían bajo su propio peso; sería imposible construir los huesos de hombres , caballos u otros animales de modo que se mantengan juntos y realicen sus funciones normales , si esos animales tuvieran que crecer enormemente en altura, ya que tal incremento en altura se podría conseguir solamente empleando un material más duro y resistente o haciendo crecer el tamaño de los huesos, lo que haría cambiar la forma de modo que la apariencia de estos animales sería monstruosa..

•....”Como ilustración, he dibujado un hueso cuya longitud natural ha sido incrementada tres veces, y cuyo grosor ha sido amplificado hasta que pueda cumplir la misma función que el hueso pequeño desempeña en el animal pequeño”.

El año en que murió Galileo nació Newton, cuya obra cumbre( los Principia ) se convirtió en el modelo de lenguaje y método científico .

El método empleado en los Principia es puramente matemático, y permite deducir leyes referentes a objetos naturales (por ejemplo, cuerpos celestes ) mediante argumentos fundamentalmente geométricos.

En palabras de uno de sus comentaristas, se trata de reducir diversos fenómenos a: ¨....dos o tres principios de movimiento, aunque las causas de esos principios no hayan sido todavía descubiertas.¨

Una característica de dicho método consiste en seleccionar problemas que son relativamente simples ( y como tales , irreales ) pero que ilustran los aspectos fundamentales del fenómeno que se pretende analizar

Por ejemplo, en los Principia, Newton predijo mediante un elegante razonamiento que la Tierra no es una esfera perfecta , sino que está ligeramente achatada por los polos , lo que viene dado por un coeficiente de elipticidad : = 1 / 230. Esta propuesta aparentemente contradecía las observaciones de los mejores astrónomos de su época.

Finalmente, en 1738 , Maupertuis y Clairaut realizaron una expedición a Laponia que proporcionó medidas geodésicas confirmando el fenómeno predicho por Newton ( hoy sabemos que = 1 / 294).

Un comentario sarcástico de Voltaire , a propósito de la expedición de Clairaut y Maupertuis :

Vous avez trouvé dans les lieux pleins d´ennuice que Newton connut sans sortir de chez lui.

Una consigna :

Es posible conocer ( y dominar ) la Naturaleza mediante el estudio de problemas simplificados bien elegidos .

La complejidad del mundo real añade detalles ( correcciones ) a las soluciones de dichos modelos, pero no altera sustancialmente las conclusiones obtenidas a partir de su estudio .

¿ Es aplicable este punto de vista al estudio de la Biología ?.

Argumentos en contra.

•1.- La existencia de un ¨ Principio Vital ¨, que no puede ser explicado en términos de leyes físicas ( o matemáticas ) .

De hecho, la cuestión de clarificar si algún tipo de ley física nueva es característica de los seres vivos está en el origen de la moderna Biología Molecular, uno de cuyos fundadores ( Max Delbrück ) fue discípulo directo de Niels Bohr. Entre los activos propagandistas de esta nueva ciencia figuró también Erwin Schrödinger, quien en 1944 escribió una influyente obra ( What is life ? ) donde se postulaba la existencia de un código genético .

2.-Una segunda dificultad viene dada por la extraordinaria complejidad de las estructuras vitales . En efecto, los seres vivos aparecen formados por sistemas interdependientes a varias escalas ( temporales y espaciales ), que interaccionan entre si mediante delicados sistemas de control.

De esta forma, incluso si las leyes físicas de los componentes materiales son las mismas para la materia orgánica e inorgánica, el funcionamiento de los seres vivos requeriría de tal número de ecuaciones que haría imposible su estudio( Maxwell )

.

Sin embargo, un modelo puede sugerir la solución más sencilla:

..Un modelizador se pregunta cual es la explicación más sencilla posible para un fenómeno dado , y después tratará de expresar esa simplicidad mediante el conjunto más reducido de ecuaciones . Eso nos indica que , si bien el proceso biológico real puede ser mucho más complicado, en el curso de su desarrollo esta forma particular necesita solo de unos pocos elementos para formarse.

Así pues, no estamos buscando modelos que hagan predicciones que se puedan verificar, sino aquellos que puedan darnos una idea del tipo de proceso que puede haber ocurrido inicialmente...

J. T. Bonner.- First signals: the evolution of multicellullar development( 2000 ).

•¿SON LOS SISTEMAS BIOLÓGICOS DEMASIADO COMPLEJOS PARA SER FORMULADOS EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS ?.

•….Un Boeing 777 es un auténtico circuito volador, con 150.000 diferentes subsistemas modulares, organizados mediante protocolos no triviales para dar lugar a complejas redes y sistemas de control, incluyendo unos 1.000 ordenadores que pueden automatizar todas las funciones del vehículo…

• ….En términos de coste y complejidad, el 777 es fundamentalmente un vasto sistema de control que da la casualidad que vuela…

•La consecuencia de un buen diseño es que tal complejidad permanece oculta a los pasajeros , excepto cuando se utilizan los sistemas de entretenimiento disponibles a bordo .

•Sin embargo, el nivel de actividad interno es abrumador. Por ejemplo, los datos registrados acerca del estado del avión durante las pruebas finales de verificación equivalen a un genoma humano por minuto.

•( Csete y Doyle, Science 295, 2000 )

El problema no es tanto la complejidad como la existencia de un propósito o función

•REQUISITOS DE UN MODELO MATEMÁTICO :Sencillez, Robustez, Modularidad.

•MODULARIDAD:Por módulos entendemos aquellas componentes, partes o subsistemas de un sistema más amplio , que presentan alguna de las características siguientes:

• Presencia de interfases identificables ( asociadas en general a protocolos adecuados ), que permiten su conexión con otros módulos.•Cada módulo puede ser modificado y evolucionar independientemente.•Cada unidad admite modelización abstracta y simplificada.

•Las unidades mantienen cierta identidad incluso cuando están aisladas o reordenadas, y sin embargo reciben parte de su identidad del resto del sistema en que se inscriben.

•ROBUSTEZ : Se requiere que las características fundamentales del modelo se mantengan aunque exista incertidumbre acerca de los componentes del mismo o del medio ambiente.

•UN EJEMPLO : LOS JUGUETES LEGO.

•Presentan robustez a todos los niveles : son reutilizables, resisten bien los golpes, y los enganches son versátiles, dando lugar a muchas posibles variedades de juguetes .

•Las piezas son baratas, fácilmente reemplazables y los aficionados pueden añadir nuevos módulos a los ya construidos.

•FRAGILIDAD :

•Los protocolos ( reglas de conexión entre módulos diversos ) de Lego dan lugar a fragilidad a todas las escalas .•En efecto un pequeño daño en un enganche puede deshacer un juguete entero, mientras que daños considerables a piezas no interfaciales pueden no tener trascendencia .

•LEGO Y LOS DINOSAURIOS :

•El éxito del sistema de conexión implica que un nuevo método, aunque sea superior, no será fácilmente aceptado.

•PROTOCOLOS, RETROALIMENTACIÓN , FRAGILIDAD.

•Los protocolos constituyen el aspecto más importante de la modularidad, y los más complejos y críticos corresponden al control de la retroalimentación ( feedback control ) y a la recepción de señales ( sensing ).

•El control de la retroalimentación es una estrategia , a la vez poderosa y peligrosa, para producir robustez ante variaciones externas e internas.•Por ejemplo, incluso en el caso particularmente simple de retroalimentación integral, dado por un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias ( una para el actuador, y otra para el sensor ), es imposible eliminar la fragilidad ( manifestada en grandes oscilaciones ) durante el estado transitorio, y eso aunque el sistema considerado sea estable.

DANIEL BERNOUILLI ( 1700-1782) Y LA VIRUELA

Daniel Bernouilli (1760 ).- Essai d´une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole , et des avantages de

l´ inoculation pour la prevenir.

EXTRACTO ( Introduction apologetique )

¿ Cual es el riesgo anual de verse sorprendido por la viruela a cualquier edad para quienes no la hayan sufrido, y cual es el riesgo de morir para quienes se ven atacados por ella ?..

Vemos que la viruela no ataca prácticamente más que a los niños y a los jóvenes , y por ello con frecuencia se cree que solo la juventud está expuesta a la enfermedad… Sin embargo, un poco de reflexión sobre este tema nos hace descubrir el error de dicha opinión. Si es raro que la viruela se presente en los adultos, es porque es raro que los adultos no la hayan sufrido, y la viruela casi nunca ataca dos veces a la misma persona . Es por tanto probable que los ancianos que no hayan padecido la enfermedad corran el mismo riesgo de sufrirla que los jóvenes ..

HIPÓTESIS DE BERNOUILLI ( 1760 ).

..En vista de lo anterior , no he dudado en postular mi primer principio :

• Mientras que no se ha padecido la viruela , se corre siempre el mismo riesgo de sufrirla.

• Hasta la fecha , no conocemos ninguna observación que nos obligue a renunciar a esta suposición, y las leyes de la Naturaleza más simples resultan ser siempre las más probables.

• En cuanto al riesgo anual de ser atacado por la viruela, creo satisfacer las nociones generales que poseemos sobre esta enfermedad , si suponemos que es de 1/8, proporción que se mantiene constante .

• Por otra parte, la viruela mata a 1/8 de las personas a las que ataca.

• El riesgo de morir por otra causa es el mismo cuando se tiene la viruela o no.

EL MODELO DE BERNOUILLI

• Designemos por t la edad de los individuos (en años)

• N(t) es el número de supervivientes de esta población en el instante t

• X(t) es el número de personas susceptibles de padecer la enfermedad en el momento t,

• m(t) representa la tasa anual de mortalidad por otras causas.

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Nuestro autor estudió las tablas de mortalidad correspondientes a una población de 1300 personas, desde el nacimiento hasta la edad de 24 años.

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Si dividimos el año en fracciones de tiempo Δt:

Dividiendo por el incremento de tiempo y haciendo tender este a cero,se obtiene:

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Si definimos f(t) = x(t)/ N(t) = proporción de supervivientes en el instante t, un cálculo directo muestra que:

Con dato inicial f(0) = 1 . Esta ecuación (llamada de Bernouilli en los libros de texto) se resuelve explícitamente

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Hemos obtenido así el sistema de ecuaciones diferenciales:

Con ayuda de la tabla de mortalidad antes mencionada, Bernouilli concluyó que, si se eliminara la viruela, y admitiendo que 1 de cada 200 inoculados muriera durante el primer mes (la proporción conocida en su tiempo era de 1 por cada 600), la inoculación haría que :

… la esperanza de vida pase de 30 a 34 años.

Sin embargo, el riesgo que conllevaba la inoculación hacía dudar a muchos, incluido D´ Alembert, que escribía:

..Admito como el Sr. Bernouilli que el riesgo de morir por inoculación sea de 1/200. Dicho esto, me parece que, para apreciar las ventajas de ese procedimiento hay que comparar, no la vida media de 34 años frente a la de 30, sino el riesgo que se expone durante un mes quien se inocula a los 30 años, en plena fuerza de la salud y la juventud, comparado con la ventaja lejana de vivir cuatro años más a los 60, cuando se tienen muchas menos posibilidades de gozar la vida. Ahí reside sin duda la causa de que tantas personas, y sobre todo, tantas madres, sean poco favorables a la inoculación.

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La solución exacta de esta ecuación es:

JAMES LOVELOCK Y GAIA

A. J. Watson y J. E. Lovelock .- Biological homeostasis of the global environment: the parable of Daisyworld (1983).

..En la Tierra, la modificación del ambiente por los seres vivos se hace notar tanto a escala local como global. Por otra parte, las condiciones geofísicas y geoquímicas han modificado la evolución de las formas de vida, y siguen determinando el tipo y la cantidad de especies biológicas que pueden colonizar el espacio disponible.

Podemos considerar la biomasa y el medio ambiente como dos elementos de un sistema fuertemente acoplado: toda perturbación de uno de ellos afectará al otro. Esta retroalimentación tenderá a aumentar o disminuir la perturbación inicial, según que su signo sea positivo o negativo.

EL MUNDO DE LAS MARGARITAS ( DAISYWORLD )

• …Daisyworld es un planeta sin nubes , con un efecto invernadero despreciable , en el que las únicas especies de plantas son dos tipos de margaritas, blancas y negras. El terreno cubierto por la especie oscura refleja menos luz que la tierra desnuda, y lo contrario ocurre con las margaritas blancas .

• La tasa de crecimiento de las margaritas depende de la temperatura ambiente, y lo hace de forma parabólica entre 5 y 40 grados Celsius, alcanzando un máximo a 22,5 grados.

• La temperatura efectiva a la que el planeta irradia energía se obtiene mediante un balance entre la energía absorbida y emitida (ley de Stefan ). Las margaritas negras absorben más luz que las blancas , y por ello están más calientes .

Las ecuaciones de Daisyworld forman un sistema no lineal con múltiples lazos de retroalimentación ( multiple feedback loops )

• El análisis de tales sistemas no es un problema trivial, incluso para la muy simplificada situación considerada en Daisyworld. Sin embargo, es posible obtener información sobre el comportamiento correspondiente al estado estacionario sin recurrir a una cantidad desproporcionada de esfuerzo matemático.

• Existe un estado estacionario estable con poblaciones no nulas de ambas clases de margaritas. Si se les da suficiente tiempo para volver al estado estacionario, las margaritas responderán a las perturbaciones ( cambios en el medio ambiente ) volviendo a ajustar sus temperaturas a los valores prefijados, a pesar de que no existe ninguna temperatura de referencia en el sistema.

• La temperatura del planeta en el estado estacionario decrece al aumentar la luminosidad solar

Una particularidad sorprendente del estado estacionario es que la temperatura planetaria en este estado decrece cuando aumenta la luminosidad solar..

• REGULACIÓN DE LA TEMPERATURA.

• ..El efecto de retroalimentación en el modelo considerado impone severas limitaciones en ambas especies de margaritas . Al ser las plantas negras más calientes que las blancas, se ven favorecidas por temperaturas más frías. Sin embargo, al crecer el número de margaritas negras, el planeta tiende a calentarse. Un fenómeno de signo opuesto tiene lugar para las margaritas blancas.

• En vista de tales circunstancias, no es sorprendente que el sistema exhiba un punto estable alrededor del cual las margaritas pueden regular con éxito la temperatura para un amplio rango de luminosidades.

• Sin embargo, no todas las interacciones entre la biomasa y el ambiente ocurren de manera tan civilizada. Veamos lo que sucede cuando alteramos, de manera deliberada y radical, la retroalimentación negativa que estabiliza Daisyworld.

UNOS COMENTARIOS SOBRE NUESTRO PLANETA.

• La extrapolación a la Tierra del modelo de Daisyworld es muy aventurada. Sin embargo, se pueden hacer algunas observaciones en esta dirección.

• Una propiedad característica de todos los seres vivos es la presencia de un pico muy marcado en la curva que relaciona crecimiento y temperatura.

• La biomasa puede ejercer una influencia sustancial en la temperatura de la Tierra mediante la abundancia de gases–invernadero .En concreto, recientemente se ha propuesto que la abundancia de dióxido de carbono puede haber sido determinante para mantener la temperatura media de la tierra durante tiempos geológicos, en cuyo caso el efecto de la biomasa parece ser el de bajar la temperatura media por debajo de la de la ¨Tierra estéril ¨, reduciendo la presión en la atmósfera de aquel gas.

COMENTARIOS SOBRE NUESTRO PLANETA ( CONTINUACIÓN )

• Supongamos por el momento que el efecto neto de la vida sobre la Tierra sea el reducir el dióxido de carbono en la atmósfera, y que la biomasa se ve afectada en su crecimiento por la temperatura.

• En ese caso , una descenso de la temperatura ambiente llevaría a una extensión de las regiones polares, y haría disminuir la actividad biológica sobre la Tierra en su conjunto, mientras que un incremento de temperaturas surtiría el efecto opuesto.

• En la primera de las situaciones anteriores, un descenso en la actividad biológica disminuiría las actividades que tienden a reducir el dióxido de carbono atmosférico, que crecería para oponerse así al cambio inicial. Tendríamos así los rudimentos de un sistema de estabilización para la Tierra análogo al propuesto para Daisyworld.

CONCLUSIONES

• Biología y Medicina constituyen una de las nuevas fronteras para las Matemáticas del siglo XXI. La obtención de avances significativos en alguno de sus temas más relevantes ( Biología del Desarrollo, Epidemiología, Terapias eficaces, .. ) está ligada al desarrollo de modelos matemáticos fiables y útiles .

• Estos modelos han de ser conceptualmente simples, deben capturar aspectos esenciales de los procesos considerados , y deben poder ordenarse de forma modular para dar lugar a estructuras complejas diseñadas como circuitos integrados.

• Ejemplos típicos : sistemas de retroalimentación, modelos de activador-inhibidor.. Son susceptibles de incorporación a los curricula a nivel básico.