Matematicas operativas

Universidad Católica de Oriente. Matemáticas Operativas. Nicolás Adolfo Ramírez Pérez. Julio de 2013. Página 1

Contenido

Matemáticas Operativas ......................................................................................................... 1

1 Concepto de conjunto. .................................................................................................... 3

1.1 Conjuntos numéricos. .............................................................................................. 3

1.1.1 Conjunto de los Números Naturales. ................................................................ 4

1.1.2 Conjunto de los números Enteros. .................................................................... 4

1.1.3 Conjunto de los números Racionales Q. .......................................................... 4

1.1.4 Conjunto de los números Irracionales Q*. ....................................................... 4

1.1.5 Conjunto de los números Reales. ..................................................................... 5

1.1.6 Conjunto de los números complejos C ............................................................. 5

2 Potenciación y Radicación.............................................................................................. 7

2.1 Exponentes enteros positivos ................................................................................... 7

2.2 Exponentes Negativos. ............................................................................................. 7

2.3 Radicación ............................................................................................................... 8

Matemáticas Operativas

Presentación1.

La asignatura Matemáticas Operativas posibilita la formación de los estudiantes de la

Universidad Católica de Oriente en el Proyecto Rural de Educación Superior para el

Emprendimiento de Antioquia –PRESEA- como profesionales idóneos y responsables en

una fundamentación matemática que les facilite un conocimiento aplicable en cursos

posteriores de su saber específico.

Estos escritos servirán de apoyo para la adquisición y consolidación de los conocimientos

en pos de comprender la realidad y solucionar los problemas de la cotidianidad. Se plantean

conceptos y actividades propias para facilitar el aprendizaje, el trabajo en equipo y el

1 Nicolas A. Ramírez-Pérez. Especialista en Pedagogía de la Virtualidad. Docente de la Facultad de Ingenierías de la Universidad

Católica de Oriente, Rionegro .

[email protected] [email protected]


acompañamiento, tanto presencial como virtual, de profesionales que manejan claramente

los temas a estudiar.

El estudio de los textos propuestos y la ejecución de los ejercicios al final de cada unidad,

serán la base para favorecer el aprendizaje de las matemáticas en el proceso educativo

planteado.

Valores como autonomía en el estudio, disciplina, responsabilidad y trabajo en equipo serán

características en el proceso de aprendizaje de la asignatura matemáticas operativas, con las

temáticas propuestas de Conjuntos numéricos, potenciación y radicación, ecuaciones y

sistemas de ecuaciones, tipos de funciones, fracciones parciales, inecuaciones y números

complejos.

Estrategias Metodológicas

Siendo coherentes con los objetivos de la asignatura se buscará favorecer la activa

participación de los estudiantes mediante diversas estrategias.

De acompañamiento directo por parte del Docente al Estudiante: exposición

magistral, desarrollo de talleres o ejercicios de aplicación, asesoría directa.

De trabajo independiente del estudiante: solución de problemas de aplicación

propuestos, bien sea en forma individual o grupal, consultas virtuales de temas y

textos referenciados, y la investigación y consulta sobre temas específicos.

Recursos y Herramientas.

Instalaciones físicas de la Universidad Católica de Oriente, salas de informática.

Uso de los diversos recursos virtuales de la plataforma Moodle en actividades propias de su

aprendizaje.

Unidad 1. Conjuntos numéricos.

Objetivos.

Conocer los diferentes conjuntos numéricos, sus propiedades y operaciones.

Ejes temáticos.

Descripción de los conjuntos numéricos: Naturales (N), Enteros (Z), Racionales

(Q), Irracionales (Q*), Reales (R) y Complejos (C).

Operaciones matemáticas en los R, en los C.


1 Concepto de conjunto.

Conjunto es la reunión o colección de objetos –elementos- determinados.

Un conjunto se denota con letras mayúsculas (A,B, C, D…) y los elementos se describen

con letras minúsculas o en forma de enumeración ordenada.

En forma simbólica el conjunto A = {a,e,i,o,u}.

Los elementos del conjunto A son las vocales del alfabeto español.

El conjunto A puede describirse en dos formas:

1. Enunciando las propiedades comunes a los elementos que lo conforman: en este

caso sería “vocales del alfabeto español”. En este caso se ha enunciado por

comprensión. 2. Cuando se nombran los elementos, separados por comas: a,e,i,o,u. En este caso se

ha enunciado el conjunto por extensión.

Ejemplo: Por extensión D={1,3,5,7} y por comprensión D={x/x es un número impar,

menor o igual a 7}.

1.1 Conjuntos numéricos.

Números complejos C

Números Reales R

Números Racionales Q Número Irracionales

Q*

Números Enteros

Z

Positivos

Cero

Negativos


1.1.1 Conjunto de los Números Naturales2.

El conjunto de los números Naturales se denota por N y está compuesto por

N={1,2,3,4,5,6,7,…}.

Los puntos suspensivos indican que continúa en forma indefinida.

1.1.2 Conjunto de los números Enteros.

El conjunto de los números enteros incluye a los Naturales, al Cero y a los Enteros

Negativos. Se denota por Z y está compuesto por Z = {… -5,-4,-3,-2,-1, 0, 1,2,3,4,5, ….}

En la Recta Numérica se pueden representar los números: Sobre una recta horizontal, se

establece una relación en que a cada número le corresponde un punto sobre la recta. Para

ubicar los puntos se establece una unidad de longitud, que se toma como referencia; se

designa un punto de inicio, como cero y a la derecha de este punto se representan los

números Naturales y a su izquierda los Enteros negativos.

1.1.3 Conjunto de los números Racionales Q.

El conjunto de los números Racionales denotado por Q, está formado por los números que

se pueden expresar en la forma

, donde p y q son números enteros, con q diferente de cero.

Todos los números enteros, son Racionales, con denominador igual a 1.

1.1.4 Conjunto de los números Irracionales Q*.

El Conjunto de los números Irracionales son aquéllos que no son Racionales, es decir que

no se pueden expresar de la forma

y se denota por Q*.

Ejemplos de los números Irracionales: son las√ √ √ y el valor de e

= 2.718……

2 Rios Alzate, Luz Mery. Compilación Matemáticas Generales. Unidad 1 Reseña histórica de las matemáticas

y Unidad 2 Pensamiento numérico y sistemas numéricos.


1.1.5 Conjunto de los números Reales.

Es la Unión de los conjuntos de números Racionales e Irracionales y se denota por R.

En un diagrama de Venn puede representarse los conjuntos Reales.

1.1.6 Conjunto de los números complejos C

El conjunto de los números complejos que se denota por C son aquéllos que se expresan de

la forma: x+yi, siendo x , y cualquier número real, i es la unidad imaginaria.

La unidad imaginaria i y es igual a

Ejercicios de la Unidad 1.

I. Del Diagrama de Venn puede sacarse como conclusión:

d. Todas las anteriores.

e. Ninguna de las anteriores.

II. Escribir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

a. Los números naturales mayores que 20 y menores a 25.

b. Los números enteros menores o iguales a 5.

Q*

R

Q

Z N


III. Cuáles de los siguientes enunciados son Falso y cuáles Verdaderos:

a. - 3 b. ½ Q

c. 5 R d. C

IV. Escribe por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos.

a. A={ 3,2,1,0}

b. B={… -3,-2,-1,0,1,2,3,4}

c. C={2,4,6,8,10,12,14,16,…}

d. D={1,2,3,4,5,6,7,…}

V. Representar en la Recta numérica los siguientes intervalos:

a. b.

VI. Efectuar las siguientes operaciones.

a. i2 b. i

4 c. (1+i)(1-i).

Unidad 2. Potenciación y Radicación

Objetivos:

Comprender el significado de las potencias y radicales dentro de los números Reales.

Ejes temáticos:

Los exponentes y sus propiedades.

Operaciones básicas y simplificaciones con raíces.


2 Potenciación y Radicación

2.1 Exponentes enteros positivos

Si n es un entero positivo x es un número Real cualquiera, entonces xn

Xn = x.x.x… x ( x se repite n veces).

El número x se llama base, n es el exponente xn es la potencia enésima de x.

Así, por ejemplo:

(½)3

representa (½).(½).(½)

Propiedades básicas de los exponentes de los enteros positivos:

a. Xm

.Xn = X

m+n

b. (x.y)m

= xm

. ym

c. (xm

)n = x

m.n

d.

e.

Por definición, para todo número Real x≠ 0, se tiene que x0

= 1.

2.2 Exponentes Negativos.

Para todo xR, con xy todo K N, se tiene x-k

=

Resolver:

a. (3x)-2

b. 2-8

. 26.4 c. (¾ - x

2 )

o

c. (¾)-3

d.

e.

f. 25*2

-3*2

2 g.

h.

Cuál de los siguientes enunciados son Falso o Verdaderos.

a. (3X)0 = 1 b. 3*X

0 = 1

b. 5x * 5

-x = 0 d. (x

-1 +1)

-1.(1+x) = x


2.3 Radicación3

Considerar la expresión 23 = 8. Es equivalente a decir que se tiene 8

1/3 = 2, es decir √

, que 2 es la raíz cúbica de 8. Tener presente el signo de +2 y -2.

Definición: La raíz enésima de cualquier número x es:

√

A la expresión √

se le llama Radical, en donde n es el índice del radical, x se conoce

como Radicando. Para los números n impares reales, existe se tiene exactamente una sola

raíz enésima real de x. Para los n pares, con x positivo, existen dos raíces reales enésimas

de x.

Al trabajar con radicales y exponentes racionales, tener presente las siguientes reglas:

a. √

b. √

√ √

c. √

√ √

d. √√

√

e. √

Ejercicios sobre potenciación y radicación.

1) Resolver

2) √ √

√

3) Factorizar la expresión. X2(n-1)

– 5X(n-1)

+6

4) 9n -2*6

n + 4

n

5) √ √

√√

√ √

6)

3 Luis H. Díez. Matemáticas Operativas. Primer año de Universidad. Impreso por Servigráficas Ltda. Medellín,

Colombia.

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