Matematicas III - Unidad VI

8/14/2019 Matematicas III - Unidad VI

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UNIDAD VI

LA ELIPSE

OBJETIVO PARTICULAR

Al concluir la unidad, el alumno conocer y aplicar las propiedadesrelacionadas con el lugar geomtrico llamado elipse, determinando losdistintos parmetros, su ecuacin respectiva y viceversa.

6.1. ECUACIN EN FORMA COMN O CANNICA DE LA ELIPSE

Definicin

Es el lugar geomtrico formado por el conjunto de puntos cuya suma desus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a

6.1.1 Elementos de la elipse

F1 y F2: a estos puntos se les denomina focos y se encuentranubicados sobre el eje focal, designando a la distancia entre ellos como 2c

C: Es el centro de la elipse, es el punto donde se intersecan los ejesmayor y menor, representa adems el punto medio entre los focos y losvrtices.

V1 y V2: Son los vrtices de la elipse, representan los puntos dondecoinciden el eje focal y la elipse, y la distancia entre ellos es 2a.

B1 y B2: Son los extremos del eje menor de la elipse, es decir son lospuntos donde coinciden la elipse y el eje transversal (llamado tambin ejeconjugado tomando en cuenta que el eje transversal es el segmento derecta perpendicular al eje focal en el centro del mismo).


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B1

B

( c, 0 )( -c, 0 )

V1( -a, 0 )

V( a, 0 )

XF2F1

C

Y

Figura 1

Eje mayor de la elipse: es la distancia entre V1 y V2

Eje menor de la elipse o transversal: es la distancia entre B1 y B2

Distancia Focal: Es la distancia que existe entre los focos F1 y F2

Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cadafoco, la elipse tiene 2 lados rectos.

a

bctoLado

22

Re =

Excentricidad: Se representa con la letra e y es la relacin que existeentre la distancia focal (2c) y la longitud del eje mayor (2a).

a

c

a

ce ==

2

2


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B1

B

( c,0)( -c,0)V1 ( -a, 0 ) V ( a, 0 )

X

Y

F2F1

Figura 2


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6.1.2. ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO EST EN ELORIGEN.

Si graficamos una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidiendocon el eje de las X, se obtiene una figura como la siguiente:

B1

( 0 ,- b )

( 0 , b )B

( c, 0 )( - c, 0 )

V1 ( -a , 0 ) V ( a , 0 )

X

Y

PUNTO P ( x, y )

R2R1

F2F1

ba

c

Figura 3

Como se defini previamente, para que un punto P(x,y) pertenezca a laelipse debe cumplir con R1 + R2 = 2a

Utilizando la ecuacin de distancia entre dos puntos:

R1 + R2 = 2a

( )( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =+++

Despejando la primera de las races anteriores, para poder eliminar elradical de la izquierda, se tiene:

( )( ) ( ) ( ) ( )2222 020 +=+ ycxaycx }

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin:


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( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]222222 020 +=+ ycxaycx

Desarrollando los binomios al cuadrado

2222222222)(442 ycxcxycxaaycxcx ++++=+++

Simplificando trminos semejantes:

222)(444 ycxaaxc +=

Dividiendo la ecuacin por 4

xcaycxa

=+

222)(

Elevando nuevamente al cuadrado y agrupando trminos semejantes nosqueda:

224222222caayacxax =+

Factorizando x de los dos primeros trminos y a en el segundo miembro:

)()(22222222

caayacax =+

En el tringulo rectngulo BCF2 de la figura 3, se observa que:222

cab =

Sustituyendo:

222222bayabx =+

Multiplicando por22

1

banos queda:

12

2

2

2

=+by

ax

Que es la ecuacin de la elipse en su forma ordinaria con centro C(0,0).

En la cual (x,y) son las coordenadas de cualquier punto que pertenezca ala elipse.


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Anlogamente si la elipse tiene su eje mayor sobre el eje Y, se deja alalumno la obtencin de su ecuacin, aplicando un procedimiento similaral anterior, debiendo llegar al siguiente resultado:

12

2

2

2

=+a

y

b

x

Analizando las ecuaciones anteriores podemos observar que losdenominadores de los trminos en el primer miembro se intercambian.

Por la naturaleza geomtrica de la elipse, siempre se tiene que a>b,debido a lo cual el mayor de los denominadores nos indicar cual de losejes coordenados coincide con el eje focal.

Ejemplo 1.6Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos

F (2,0) y F (-2,0), y excentricidad e= 2 / 3.

Solucin:

Como la excentricidad se define mediante e= c/a =2/3por mediode la relacin a2=b2+c2 se podr determinar el valor de b por:

Si: c= 2 entonces c2= 4a= 3 entonces a2= 9

Por las coordenadas de los focos se determina que el eje focal es paraleloal eje x y su ecuacin ser de la forma

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Sustituyendo

159

22

=+yx

Ejercicio 6.1Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos


549 ==b


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Ejercicio 6.2Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos


6.1.3. ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO NO EST EN ELORIGEN.

Cuando el centro de la elipse se encuentra fuera del origen en un punto alque por convencin se le asignan las coordenadas (h,k) y si adems sueje focal es paralelo al eje X, entonces la ecuacin que la define es lasiguiente:

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

ky

a

hx

S su centro se encuentra fuera del origen pero su eje focal es paralelo aleje Y entonces la ecuacin que la define es la siguiente:

1)()(

2

2

2

2

=

+

a

ky

b

hx

Aunque la ecuacin de la elipse cambia debido a su posicin, el resto delos elementos se puede calcular empleando las mismas frmulas, es

decir:

a

bctoLado

22

Re =

a

c

a

ce ==

2

2

Ejemplo 2.6 Determina la ecuacin de la elipse que tiene por focos lascoordenadas (-2,1) y (2,2) y la longitud de su eje mayor es 7

SOLUCION

Aplicando directamente la definicin:

( ) ( ) ( ) ( ) 72212 2222 =++++ yxyxOrdenando miembros para determinar su ecuacin

( ) ( ) ( ) ( )2222 22712 +=++ yxyx

Elevando al Cuadrado ambos miembros y desarrollando los binomios


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( ) ( ) 44442214491244 222222 +++++=++++ yyxxyxyyxx

Simplificando

( ) ( )22 22145228 +=+ yxyx

Elevando una vez ms al cuadrado y desarrollando los binomios

1961964919619649522084676162222 +++=+++ yyxxyxxyyx

Finalmente

0284144124843322 =++ yxyxyx

Que corresponde a una elipse de ejes oblicuos o rotados respecto a los

ejes coordenados (x, y)

Ejercicio 6.3 Determina la ecuacin de la elipse que tiene por focos lascoordenadas (-3,1) y (3,2) y la longitud de su eje mayor es 6

Ejercicio 6.4 Determina la ecuacin de la elipse que tiene por focos lascoordenadas (-2,3) y (2,5) y la longitud de su eje mayor es 9

6.2. Ecuacin en forma general.

Para que la ecuacin:

022 =++++ FEyDxCyAx

Represente una elipse, los coeficientes A y C deben ser diferentes y delmismo signo, ya que si A = C, entonces representara una circunferencia.

6.3. Obtencin de la ecuacin.


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Para ejemplificar, consideremos la ecuacin de la elipse escrita en formaordinaria:

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

ky

a

hx

Desarrollando los cuadrados queda:

122

2

22

2

22

=+

++

b

kyky

a

hxhx

Obteniendo el comn denominador

1)2()2(

22

2222222

=+++

ba

kykyahxhxb

Quitando el denominador:

22222222)2(2)2( bakykyahxhxb =+++

Desarrollando:

222222222222222 bakaykayahbxhbxb =+++

Reordenando:

0222222222222222 =+++ bakahbykahxbyaxb

Haciendo que:

b2 = Aa2= C-2hb2= D-2ka2 = Eb2h2 + a2k2 -a2b2 = F

Obtenemos: la ecuacin general de una elipse

022 =++++ FEyDxCyAx

Ejemplo 3.6 Dada la elipse 16

)5(

2

)3(22

=

++ yx

determine su forma

general, obteniendo todos sus elementos

Solucin:


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La ecuacin es de la forma 1)()(

2

2

2

2

=

++

a

ky

b

hxpor lo cual su eje focal

es paralelo a l eje y.

Para pasar a su forma general multiplicaremos toda la expresin por 6

=

+

+1

6

)5(

2

)3(6

22yx

6)5()3(322 =++ yx

Desarrollamos binomios y simplificamos para obtener su forma general

046101832 =+++ yxyx

Su centro se localiza en (-3,5)

222 == bb

662 == aa

De la relacin a2=b2+c2

Entonces c2=6-2 =4c= 2

Los Focos se localizan en )25,3( , los vrtices en )65,3( y sus

extremos en )5,2(3(

Su excentricidad 81.06

2

==e

Sus Lados rectos 63.16

2*2==LR

Sus Directrices 53+=y

Ejercicio 6.5 Dada la elipse 18

)7(

4

)5(22

=

++ yx

determine su forma

general, obteniendo todos sus elementos

6.4 Clculo de los parmetros de la elipse dada su ecuacin.

6.5. Condiciones para que una ecuacin del tipo Ax+Cy+Dx+Ey+F=0sea una elipse.

Ya se vio que la ecuacin 022 =++++ FEyDxCyAx es la ecuacingeneral de una elipse pero debe cumplir con ciertas condiciones como


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que A y c deben ser diferentes y de signo positivo ya que si son iguales loque tenemos es una circunferencia y no una elipse.

De la ecuacin general se tiene tres diferentes casos, si de esta ecuacinse completan sus cuadrados tenemos que:

FC

E

A

D

C

EyC

A

DxA +=

++

+

4422

2222

En esta ltima ecuacin el valor del segundo miembro determina el lugargeomtrico que representa como se explicara en los incisos siguientes:

6.5.1. LA ECUACIN REPRESENTA UNA ELIPSE REAL.

22

22

++

+C

EyC

A

DxA >0

En este caso el lugar geomtrico que representa es una elipse.

6.5.2. LA ECUACIN NO TIENE REPRESENTACIN EN EL PLANO(ELIPSE IMAGINARIA).

22

22

++

+

C

EyC

A

DxA =0

En este caso el lugar geomtrico que representa es un punto.

6.5.3. LA ECUACIN REPRESENTA UN PUNTO.

22

22

++

+

C

EyC

A

DxA < 0

En este caso no representa ningn lugar geomtrico llamado elipse.

Ejemplo 4.6 A partir de la siguiente ecuacin

0191501825922 =++ yxyx Determinar sus elementos.

SolucinFactorizando trminos comunes

191)2(25)2(922 =++ yyxx


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Completando cuadrados

222

2

2

2

2

225

2

29191

2

2225

2

229

+

+=

++

++ yyxx

Simplificando

259191)12(25)12(922 ++=++++ yyxx

Factorizando

9(x+1)2+25(y-1)2=225

Multiplicando por225

1

Nos queda: 19

)1(

25

)1(=

+

+ yx

La ecuacin obtenida es la de una elipse con eje mayor paralelo al eje xdado que el nmero a se encuentra en el denominador de l binomio quecontiene a x y centro fuera del origen por tanto sus elementos son:

5252 == aa

392 == bb

.c= 4

15

4


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