Matematicas Financieras. Teoria de rentas anuales variables en progresion geometrica
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TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión
Geométrica (teoría)
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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “q” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo,
n
n
n
n iaiaiaiaiaA −−−
−
−−−+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1(
)1(
1
3
3
2
2
1
1 K
nnnn iqaiqaiqaiqaiaA −−−−−−−−+⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅++⋅= )1()1()1()1()1(
1)1(23221K
aa =1
qaa ⋅=22
3 qaa ⋅=1−
⋅=k
k qaa
1−⋅=
n
n qaa
nnnnvqavqavqavqavaA ⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅=
−−− 112322K
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v1)1(
−+ i 1
)1(−
+= iv
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Sacando factor común…
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
( )1122221
−−−−⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
nnnnvqvqvqvqvaA K
Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:
Primer Término (PT)
Último Término (UT)
Razón (R)
Ya que la suma de la progresión geométrica es: ∑−
−×=
1R
PTRUTPG
1=PT11 −−
⋅=nn
vqUT
vqR ⋅=
=−⋅
−⋅⋅⋅=∑
−−
1
111
vq
vqvqPG
nn
∑−⋅
−⋅=
1
1
vq
vqPG
nn
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Por lo tanto,
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅=
vq
vqvaA
nn
Siempre que 1≠⋅vq
)1(1)1(
1)1(11
iqi
qiqvq +≠⇔≠
+⇔≠+⋅⇔≠⋅
−
)1( iq +≠
Si ocurre lo contrario, es decir, si volvemos a la fórmula anterior:1=⋅vq
( )1122221
−−−−⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
nnnn vqvqvqvqvaA K
( ) nvavaAnn
⋅⋅=+++++⋅⋅=−− 122
11111 K
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Tenemos, por tanto, dos fórmulas distintas para el valor actual de una renta variable en progresióngeométrica
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅
vq
vqva
nn
Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
nva ⋅⋅ Siempre que 1=⋅vq )1( iq +==A
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión geométrica de razón q a un período antes de
efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables ya las diferidas postpagables y prepagables
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Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actualhasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
1
)1()1(
1
1)1(
−⋅
+−⋅⋅=+⋅
−⋅
−⋅⋅⋅=+⋅=
vq
iqvai
vq
vqvaiAS
nnn
nnn
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que
vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables ya las diferidas postpagables y prepagables
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Siempre que )1( iq +≠
nninvaiAS )1()1( +⋅⋅⋅=+⋅= Siempre que )1( iq +≠
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−naq
1−naqaqa
dnn
ivq
vqva
−+⋅
−⋅
−⋅⋅⋅ )1(
1
1 Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
dinva
−+⋅⋅⋅ )1(
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +==A
niAS )1( +⋅=
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
.......
0 1 2 nn-1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−naq
1−naqaqa
)1(1
1i
vq
vqva
nn
+⋅−⋅
−⋅⋅⋅ Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
)1( inva +⋅⋅⋅Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
niAS )1( +⋅=
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−naq
1−naqaqa
)1()1(
1
1 −−+⋅
−⋅
−⋅⋅⋅
dnn
ivq
vqva Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
)1()1(
−−+⋅⋅⋅
dinva
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +==A
niAS )1( +⋅=
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
0 1 2 3
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
aqa 2aq
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅∞→
vq
vqvaLim
nn
nSiempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
nvaLimn ⋅⋅∞→
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=ALimA n ∞→∞ =
∞=⋅⋅∞→ nvaLimn
1
1)1(
1
1
1
1
−⋅
−+
⋅⋅=−⋅
−⋅⋅⋅=
−⋅
−⋅⋅⋅
∞→
∞→
∞→vq
i
qLim
vavq
vqLimva
vq
vqvaLim
n
n
nnn
n
nn
n
=+
∞→ n
n
ni
qLim
)1(
Si ∞=+
→+ ∞→ n
n
ni
qLimiq
)1()1(f
Si 0)1(
)1( =+
→+ ∞→ n
n
ni
qLimiq p
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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
∞= Siempre que )1( iq +f
∞=Siempre que )1( iq +=
ALimA n ∞→∞ =
Por tanto,
qi
a
iq
a
i
iq
i
a
i
q
i
a
vq
av
vqva
vq
i
qLim
vaLimn
n
n
n−+
=+−
−=
+
+−
+
−
=
−+
+
−
=−⋅
−=
−⋅
−⋅⋅=
−⋅
−+
⋅⋅=
∞→
∞→1)1(
)1(
)1(
)1(
1)1(
)1(
11
10
1
1)1(
qi
a
−+=
1
Siempre que )1( iq +p
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
)1(1
iqi
aA +⋅
−+=
∞
Si la renta perpetua es además diferida…..d
iqi
aA
−
∞+⋅
−+= )1(
1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
qi
aA
−+=∞
1Si )1( iq +p
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