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Matematicas aplicadas a las CCSSColeccion de Ejercicios
DISCUSION DE SISTEMASDE ECUACIONES
Inigo Zunzunegui Monterrubio
12 de octubre de 2020
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Indice general
2016 Modelo Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42017 Junio Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52017 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 62017 Septiembre Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82017 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . 92018 Modelo Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102018 Junio Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112018 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 122018 Septiembre Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142019 Modelo Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142019 Junio Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162019 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 172019 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . 182020 Modelo Opcion B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202020 Junio Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212020 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 232020 Septiembre Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242021 Modelo Opcion B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parametro real a:x+ y − z = 12x+ 2y − 3z = 33x+ ay − 2z = 5
a) Discutase el sistema para los diferentes valores de a.
b) Resuelvase el sistema en el caso a = 2.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2016 - Opcion B )
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
1 1 −1 12 2 −3 33 a −2 5
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = −3 + a = 0 =⇒ a = 3
Si a 6= 3 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 3 =⇒ A/A∗ =
1 1 −1 12 2 −3 33 3 −2 5
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 −12 −3
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −1 12 −3 33 −2 5
∣∣∣∣∣∣∣ = −3 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 =⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)
b) Resolvemos el sistema para a = 2 por el metodo de Gauss, sabiendo que como a 6= 3estamos ante un S.C.D.
A/A∗ =
1 1 −1 12 2 −3 33 2 −2 5
∼ F2 − 2F1F3 − 3F1
∼ 1 1 −1 1
0 0 −1 10 −1 1 2
∼ F2 ↔ F3
∼
1 1 −1 10 −1 1 20 0 −1 1
⇒⇒⇒
x− 3− (−1) = 1 ⇒−y + (−1) = 2 ⇒
−z = 1 ⇒
x = 3y = −3z = −1
Metodo de Gauss
4 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss. 1 1 −1 1
2 2 −3 33 a −2 5
∼ C2 ↔ C3
∼ 1 −1 1 1
2 −3 2 33 −2 a 5
∼ F2 − 2F1F3 − 3F1
∼
1 −1 1 10 −1 0 10 1 a− 3 2
∼F3 + F2
∼ 1 −1 1 1
0 −1 0 10 0 a− 3 3
⇒ a− 3 = 0
a = 3
Si a 6= 3⇒(
0 0 2 3)⇒ Sist. Compatible Determinado
Si a = 3⇒(
0 0 0 3)⇒Sist. Incompatible
b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 2.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C2 ↔ C3, por lo que las incognitas y ↔ z estan intercambiadas.
A/A∗
1 −1 1 10 −1 0 10 0 −1 3
⇒⇒⇒
x− (−1) + (−3) = 1 ⇒−z = 1 ⇒−y = 3 ⇒
x = 3z = −1y = −3
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Considerese el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:
x− ay + 2z = 0ax− 4y − 4z = 0
(2− a)x+ 3y − 2z = 0
a) Discutase en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelvase para a = 3.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B )
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
1 −a 2 0a −4 −4 0
2− a 3 −2 0
=⇒ |A| = −6a2 + 6a+ 36 = 0 =⇒a = −2a = 3
Si a 6= {−2, 3} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica x = 0, y = 0, z = 0).
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Si a = −2 =⇒ A/A∗ =
1 2 2 0−2 −4 −4 04 3 −2 0
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ −2 −44 3
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. =⇒ Sistema Compatible Indetermi-nado (Infinitas soluciones)
Si a = 3 =⇒ A/A∗ =
1 −3 2 03 −4 −4 0−1 3 −2 0
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 −33 −4
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. =⇒ Sistema Compatible Indetermi-nado (Infinitas soluciones)
b) Resolvemos el sistema para a = 3 por el metodo de Gauss. Teniendo en cuenta quese trata de un S.C.I. resolvemos solo las filas correspondientes al menor de orden 2distinto de cero encontrado en la discusion:
A/A∗ =(
1 −3 2 03 −4 −4 0
)∼
F2 − 3F1∼(
1 −3 2 00 5 −10 0
)
⇒x− 6λ+ 2λ = 0
5y − 10t = 0z = λ
⇒x = 4λy = 2λ , λ ∈ Rz = λ
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
−x+ 3y + 3z = 0−x+ 3y + z = 1−x+ ay + 2z = 0
a) Discutase el sistema para los diferentes valores del parametro a ∈ R.
b) Resuelvase para a = 1.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
−1 3 3 0−1 3 1 1−1 a 2 0
1) Metodo de Gauss
6 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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A/A∗ =
−1 3 3 0−1 3 1 1−1 a 2 0
∼ C2 ↔ C3 ∼
−1 3 3 0−1 1 3 1−1 2 a 0
∼ F2 − F1F3 − F1
∼
−1 3 3 00 −2 0 10 −1 a− 3 0
∼2F3 − F2
∼
−1 3 3 00 −2 0 10 0 2a− 6 −1
=⇒ 2a− 6 = 0 =⇒ a = 3
Si a 6= 3 ⇒(
0 0 × −1)
=⇒ Sistema Compatible Determinado(Solucion unica).Si a = 3 ⇒
(0 0 0 −1
)=⇒ Sistema Incompatible (No tiene solu-
cion).
2) Metodo Rouche-Frobenius
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = 6− 2a = 0 =⇒ a = 3
Si a 6= 3 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 3 =⇒ A/A∗ =
−1 3 3 0−1 3 1 1−1 3 2 0
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 3 33 1
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣3 3 03 1 13 2 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 3 6= 0 =⇒ ran(A) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 =⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)
b) Resolvemos el sistema para a = 1 por el metodo de Gauss.
A/A∗ =
−1 3 3 0−1 3 1 1−1 1 2 0
∼ F2 − F1F3 − F1
∼
−1 3 3 00 0 −2 10 −2 −1 0
⇒−x+ 3(1/4) + 3(−1/2) = 0
−2z = 1−2y − (−1/2) = 0
⇒x = −3/4y = 1/4z = −1/2
◦
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parametro real a:
x− 2y − z = −2−2x− az = 2
y + az = −2
a) Discutase en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelvase para a = 4.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion A )
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
1 −2 −1 −2−2 0 −a 20 1 a −2
=⇒ |A| = 2− 3a = 0 =⇒ a = 2/3
Si a 6= 2/3 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 2/3 =⇒ A/A∗ =
1 −2 −1 −2−2 0 −2/3 20 1 −2/3 2
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 −2−2 0
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −2 −2−2 0 20 1 −2
∣∣∣∣∣∣∣ = 10 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 =⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)
b) Resolvemos el sistema para a = 4 por el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 −2 −1 −2−2 0 −4 20 1 4 −2
∼ F2 + 2F1 ∼
1 −2 −1 −20 −4 −6 −20 1 4 −2
∼F3 � F2
∼
1 −2 −1 −20 1 4 −20 −4 −6 −2
∼F3 + 4F2
∼
1 −2 −1 −20 1 4 −20 0 10 −10
⇒x− 2 · 2− (−1) = −2
y + 4 · (−1) = −210z = 10
⇒x = 1y = 2z = −1
8 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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∣∣∣∣∣∣∣1 −2 −1−2 0 −10 −4 −3
∣∣∣∣∣∣∣Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial procurando que los parametros esten si-tuados los mas abajo a la derecha posible. Posteriormente hacemos el metodo deGauss.
A/A∗ =
1 −2 −1 −2−2 0 −a 20 1 a −2
∼ F2 + 2F1 ∼
1 −2 −1 −20 −4 −2− a −20 1 a −2
∼4F3 + F2
∼
1 −2 −1 −20 −4 −2− a −20 0 −2 + 3a −10
=⇒ −2 + 3a = 0 =⇒ a = 2/3
Si a 6= 2/3⇒(
0 0 2 −10)⇒Sist. Compatible Determinado
Si a = 2/3⇒(
0 0 0 −10)⇒Sistema Incompatible
b) Sustituimos a = 4 en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior 1 −2 −1 −2
0 −4 −6 −20 0 10 −10
⇒ x− 2 · 2− (−1) = −2⇒ −4y − 6 · (−1) = −2⇒ 10z = −10
⇒x = 1y = 2z = −1
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parametro real a:
−x+ ay + z = 32y + 2z = 0
x+ 3y + 2z = −3
a) Discutase el sistema para los diferentes valores de a.
b) Resuelvase para a = 0.
(Madrid - Matematicas CCSS - 2017 Septiembre - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
−1 a 1 30 2 2 01 3 2 −3
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1) Metodo Rouche-Frobenius
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = 2a = 0 =⇒ a = 0
Si a 6= 0 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 0 =⇒ A/A∗ =
−1 0 1 30 2 2 01 3 2 −3
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ −1 00 2
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣−1 0 10 2 21 3 2
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. =⇒ Sistema Compatible Indetermi-nado (Infinitas soluciones)
b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss. Como hemos visto en ladiscusion que si a = 0 el sistema es compatible indeterminado vamos a escribir tansolo las ecuaciones correspondientes al menor de orden 2 distinto de cero que hemosencontrado pues tenemos la seguridad de que son linealmente independientes.
A/A∗ =(−1 0 1 30 2 2 0
)⇒−x+ λ = 32y + 2λ = 0
z = λ⇒
x = −3 + λy = −λz = λ
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:
x+ y + z = 32x+ y + z = 2
5x+ 3y + z = a+ 4
a) Discutase en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelvase para a = 1.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2018 - Opcion B )
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
1 1 1 32 1 1 25 3 1 a+ 4
=⇒ |A| = 2
10 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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∀a ∈ R |A| 6= 0 =⇒ ranA = 3 = ranA∗ = nº incog. =⇒ Sist. Comp. Det.
b) Resolvemos el sistema para a = 1 por el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 1 1 32 1 1 25 3 1 5
∼ F2 − 2F1F3 − 5F1
∼
1 1 1 30 −1 −1 −40 −2 −4 −10
∼F3 − 2F2
∼
1 1 1 30 −1 −1 −40 0 −2 −2
⇒ x+ 3 + 1 = 3−y − 1 = −4−2z = −2
⇒x = −1y = 3z = 1
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:
x+ ay + z = 1ax+ y + (a− 1)z = a
x+ y + z = a+ 1
a) Discutase en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelvase para a = 3.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2018 - Opcion B )
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
1 a 1 1a 1 a− 1 a1 1 1 a+ 1
=⇒ |A| = �1 +�a+ a(a− 1)−(�1 + a2 +�a− 1
)= −a+ 1 = 0 =⇒ a = 1
Si a 6= 1 |A| 6= 0 =⇒ ranA = 3 = ranA∗ = nº incog. =⇒ Sist. Comp. Det.
Si a = 1 =⇒ A/A∗ =
1 1 1 11 1 0 11 1 1 2
|A| = 0 =⇒ ranA < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 01 1
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ranA = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 11 0 11 1 2
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ranA∗ = 3
ranA = 2 6= ranA∗ = 3 =⇒ Sistema Incompatible
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b) Resolvemos el sistema para a = 3 por el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 3 1 13 1 2 31 1 1 4
∼ F2 − 3F1F3 − F1
∼
1 3 1 10 −8 −1 00 −2 0 3
⇒x+ 3 · (−3/2) + 12 = 1−8 · (−3/2)− z = 0
−2y = 3⇒
x = −13/2y = −3/2z = 12
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:
2x+ y + z = 1x+ 2y + z = 2x− y + az = −1
a) Discutase en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelvase para a = 0.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2018 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
2 1 1 11 2 1 21 −1 a −1
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = 3a = 0 =⇒ a = 0
Si a 6= 0 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche=====⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 0 =⇒ A/A∗ =
2 1 1 11 2 1 21 −1 0 −1
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 2 11 2
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣2 1 11 2 21 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 Rouche=====⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones).
12 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss, sabiendo que como setrata de un S.C.I. solo tenemos que resolver las filas correspondientes al menor deorden 2 distinto de cero que hemos encontrado en la discusion.
A/A∗ =(
2 1 1 11 2 1 2
)∼[
2F2 − F1
]∼(
2 1 1 10 3 1 3
)
⇒⇒⇒
2x+ 3−λ3 + λ = 1 ⇒3y + λ = 3 ⇒
⇒
x = −λ3
y = 3−λ3
z = λ
Metodo de Gauss
a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss.
A/A∗ =
2 1 1 11 2 1 21 −1 a −1
∼ 2F2 − F1
2F3 − F1
∼ 2 1 1 1
0 3 1 30 −3 2a− 1 −3
∼
F2 + F3
∼ 2 1 1 1
0 3 1 30 0 2a 0
⇒ 2a = 0 =⇒ a = 0
Si a 6= 0 =⇒(
0 0 2 0)
=⇒ Sist. Compatible Determinado
Si a = 0 =⇒(
0 0 0 0)
=⇒ Sist. Compatible Indeterminado
b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 0.
A/A∗
2 1 1 10 3 1 30 0 2a 0
⇒⇒⇒
2x+ 3−λ3 + λ = 1 ⇒3y + λ = 3 ⇒
⇒
x = −λ3
y = 3−λ3
z = λ
◦
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro a ∈ R:
x+ 3y + z = a2x+ ay − 6z = 8x− 3y − 5z = 4
a) Discutase el sistema en funcion de los valores del parametro real a.
b) Resuelvase para a = 4.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2018 - Opcion B )
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
1 3 1 a2 a −6 81 −3 −5 4
=⇒ |A| = −6a− 12 = 0 =⇒ a = −2
Si a 6= −2 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = −2 =⇒ A/A∗ =
1 3 1 −22 −2 −6 81 −3 −5 4
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 32 −2
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 3 −22 −2 81 −3 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 24 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 =⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)
b) Resolvemos el sistema para a = 4 por el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 3 1 42 4 −6 81 −3 −5 4
∼ F2 − 2F1F3 − F1
∼
1 3 1 40 −2 −8 00 −6 −6 0
∼F3 − 3F2
∼
1 3 1 40 −2 −8 00 0 18 0
⇒x+ 3 · 0 + 1 · 0 = 4−2y − 8 · 0 = 0
18z = 0⇒
x = 4y = 0z = 0
◦
14 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:
6x+ 2y + z = 1x+ 3y + z = 2
5x− y + az = −1
a) Discutase en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelvase para a = 0.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2019 - Opcion B )
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
6 2 1 11 3 1 25 −1 a −1
=⇒ |A| = 16a = 0 =⇒ a = 0
Si a 6= 0 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 0 =⇒ A/A∗ =
6 2 1 11 3 1 25 −1 0 −1
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 6 21 3
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣6 2 11 3 25 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. Rouche====⇒ Sistema Compatible Indeter-minado (Infinitas soluciones)
b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss. Como estamos ante unS.C.I. solamente vamos a resolver las ecuaciones correspondientes al menor de orden2 distinto de cero encontrado en la discusion. Ası:
A/A∗ =(
6 2 1 11 3 1 2
)∼ F1 ↔ F2 ∼
(1 3 1 26 2 1 1
)∼
F2 − 6F1
∼(
1 3 1 20 −16 −5 −11
)⇒
x+ 3 · 11−5λ16 + λ = 2
−16y − 5λ = −9z = λ
⇒x = 21−11λ
16
y = 11−5λ16
z = λ
◦
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parame-tro real m:
−x+ y + z = 0x+my − z = 0x− y −mz = 0
a) Determınese los valores del parametro real m para que el sistema tenga solucionesdiferentes a la solucion trivial x = y = z = 0.
b) Resuelvase el sistema para m = 1.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2019 - Opcion B )
Solucion.Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
−1 1 1 01 m −1 01 −1 −m 0
a) Los sistemas homogeneos son siempre compatibles, pues tienen al menos la solucion
trivial. Para tener soluciones distintas de la trivial el sistema ha de ser CompatibleIndeterminado, lo que implica que ranA < 3, es decir que |A| = 0.
|A| = m2 − 1 = 0 =⇒ m = {−1, 1}
Si m = {−1, 1} el sistema es SCI (infinitas soluciones).
b) Resolvemos el sistema cuando m = 1 por el metodo de Gauss.
A/A∗ =
−1 1 1 01 1 −1 01 −1 −1 0
∼ F2 + F1F3 + F1
∼
−1 1 1 00 2 0 00 0 0 0
⇒−x+ 0 + λ = 0 ⇒
2y = 0 ⇒z = λ ⇒
x = λy = 0 , λ ∈ Rz = λ
◦
16 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro a ∈ R:
x+ 2y + (a+ 2)z = 1x+ y + az = 0
(a− 1)x+ 2z = a+ 1
a) Discutase el sistema para los diferentes valores de a.
b) Resuelvase para a = 2.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2019 - Opcion A - Coincidentes)
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
1 2 a+ 2 11 1 a 0
a− 1 0 2 a+ 1
=⇒ |A| = a2 − 3a = 0⇒a = 0a = 3
Si a 6= {0, 3} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche=====⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 0 =⇒ A/A∗ =
1 2 2 11 1 0 0−1 0 2 1
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 21 1
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 2 11 1 0−1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. Rouche====⇒ Sistema Compatible Indeter-minado (Infinitas soluciones)
Si a = 3 =⇒ A/A∗ =
1 2 5 11 1 3 02 0 2 4
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 21 1
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 2 11 1 02 0 4
∣∣∣∣∣∣∣ = −6 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sistema Incompatible (No tiene solu-cion)
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b) Resolvemos el sistema para a = 2 por el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 2 4 11 1 2 01 0 2 3
∼ F2 − F1F3 − F1
∼
1 2 4 10 −1 −2 −10 −2 −2 2
∼F3 − 2F2
∼
1 2 4 10 −1 −2 −10 0 2 4
=⇒x+ 2 · (−3) + 4 · 2 = 1−y − 2 · 2 = −1
2z = 4=⇒
x = −1y = −3z = 2
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:
x+ y = 1ax− z = 32y + z = 2
a) Discutase la unicidad de la solucion del sistema en funcion del valor de a.
b) Resuelvase el sistema para a = 1.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2019 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
1 1 0 1a 0 −1 30 2 1 2
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = −a+ 2 = 0 =⇒ a = 2
Si a 6= 2 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 2 =⇒ A/A∗ =
1 1 0 12 0 −1 30 2 1 2
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 12 0
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 12 0 30 2 2
∣∣∣∣∣∣∣ = −6 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 =⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)
18 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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b) Resolvemos el sistema para a = 1 por el metodo de Gauss, sabiendo que como a 6= 2estamos ante un S.C.D.
A/A∗ =
1 1 0 11 0 −1 30 2 1 2
∼ F2 − F1
∼ 1 1 0 1
0 −1 −1 20 2 1 2
∼F3 + 2F2
∼
1 1 0 10 −1 −1 20 0 −1 6
⇒⇒⇒
x+ 4 = 1 ⇒−y − (−6) = 2 ⇒
−z = 6 ⇒
x = −3y = 4z = −6
Metodo de Gauss
a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 1 0 1a 0 −1 30 2 1 2
∼ F2 ↔ F3
∼ 1 1 0 1
0 2 1 2a 0 −1 3
∼ C1 ↔ C3
∼
0 1 1 11 2 0 2−1 0 a 3
∼ F1 ↔ F2
∼ 1 2 0 2
0 1 1 1−1 0 a 3
∼F3 + F1
∼
1 2 0 20 1 1 10 2 a 5
∼F3 − 2F2
∼ 1 2 0 2
0 1 1 10 0 a− 2 3
⇒ a− 2 = 0
a = 2
Si a 6= 2⇒(
0 0 2 3)⇒ Sist. Compatible Determinado
Si a = 2⇒(
0 0 0 3)⇒Sist. Incompatible
b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 1.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C1 ↔ C3, por lo que las incognitas x↔ z estan intercambiadas.
A/A∗
1 2 0 20 1 1 10 0 −1 3
⇒⇒⇒
z + 2 · 4 = 2 ⇒y − 3 = 1 ⇒−x = 3 ⇒
z = −6y = 4x = −3
◦
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Ejercicio 2 (2 puntos)
Dado el sistema de ecuaciones
x+ ay + z = 62x− y + z = a− 1−x+ y + z = 2
a) Discuta el sistema para los distintos valores de a ∈ R.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones para a = 2.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2020 - Opcion B )
Solucion.
a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.
A/A∗ =
1 a 1 62 −1 1 a− 1−1 1 1 2
=⇒ |A| = −1− 3a = 0 =⇒ a = −13
Si a 6= −13 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒ Sistema
Compatible Determinado (Solucion unica).
Si a = −13 =⇒ A/A∗ =
1 −1/3 1 62 −1 1 −4/3−1 1 1 2
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 −1/32 −1
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −1/3 62 −1 −4/3−1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣ = 569 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)
b) Resolvemos el sistema para a = 2 por el metodo de Gauss. Como a 6= −1/3, estamosante un S. C. D.
A/A∗ =
1 2 1 62 −1 1 1−1 1 1 2
∼ F2 − 2F1F3 + F1
∼
1 2 1 60 −5 −1 −110 3 2 8
∼5F2 + 3F2
∼
1 2 1 60 −5 −1 −110 0 7 7
⇒⇒⇒
x+ 2 · 2 + 1 = 6⇒−5y − 1 = −11⇒
7z = 7⇒
x = 1y = 2z = 1
◦
20 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro real a:
x+ ay = 0x+ 2z = 0
x+ ay + (a+ 1)z = a
a) Discuta el sistema en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelva el sistema para a = 0.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion A )
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
1 a 0 01 0 2 01 a a+ 1 a
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = −a2 − a = −a · (a+ 1) = 0 =⇒ a = {−1, 0}
Si a 6= {−1, 0} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).
Si a = −1 =⇒ A/A∗ =
1 −1 0 01 0 2 01 −1 0 −1
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 −11 0
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −1 01 0 01 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣ = −1 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 =⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)
Si a = 0 =⇒ A/A∗ =
1 0 0 01 0 2 01 0 1 0
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 01 2
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 0 01 2 01 1 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 =⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones)
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b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss. Como estamos anteun S.C.I. solamente es neceesario resolver el sistema formado por las ecuacionescorrespondientes al menor de orden 2 distinto de cero obtenido en la discusion.
A/A∗ =(
1 0 0 01 0 2 0
)∼[F2 − F1
]∼(
1 0 0 00 0 2 0
) ⇒⇒⇒
x = 0y = λz = 0
Metodo de Gauss
a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 a 0 01 0 2 01 a a+ 1 a
∼ F1 ↔ F2
∼ 1 0 2 0
1 a 0 01 a a+ 1 a
∼
F2 − F1F3 − F1
∼ 1 0 2 0
0 a −2 00 a a− 1 a
∼F3 − F2
∼ 1 0 2 0
0 a −2 00 0 a+ 1 a
=⇒
{a = 0a+ 1 = 0 =⇒ a = −1
Si a 6= {−1, 0} ⇒
1 0 2 00 2 −2 00 0 2 2
⇒ Sist. Compatible Determinado
Si a = −1⇒
1 0 2 00 2 −2 00 0 0 −1
⇒ Sist. Incompatible
Si a = 0⇒
1 0 2 00 0 −2 00 0 −1 0
⇒ Sist. Compatible Indeterminado
b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 0.
A/A∗
1 0 2 00 0 −2 00 0 −1 0
⇒⇒⇒
x = 0y = λz = 0
◦
22 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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Ejercicio 1 (2 puntos)
Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro a ∈ R:
3x+ 2y + z = 2a2x+ ay + 2z = 3−x− y − z = 2
a) Discuta el sistema para los diferentes valores de a.
b) Resuelva el sistema para a = 0.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
3 2 1 2a2 a 2 3−1 −1 −1 2
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = −2a+ 4 = 0 =⇒ a = 2
Si a 6= 2 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 2 =⇒ A/A∗ =
3 2 1 42 2 2 3−1 −1 −1 2
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 3 22 2
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣3 2 42 2 3−1 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣ = 7 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒Sistema Incompatible (No tiene solucion)
b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss, sabiendo que como a 6= 2estamos ante un S.C.D.
A/A∗ =
3 2 1 02 0 2 3−1 −1 −1 2
∼ F1 ↔ F3
∼ −1 −1 −1 2
2 0 2 33 2 1 0
∼
F2 + 2F1F3 + 3F1
∼ −1 −1 −1 2
0 −2 0 70 −1 −2 6
∼
2F3 − F2
∼
−1 −1 −1 20 −2 0 70 0 −4 5
⇒⇒⇒
−x− (−7/2)− (−5/4) = 2 ⇒−2y = 7 ⇒−4z = 5 ⇒
x = 11/4y = −7/2z = −5/4
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Metodo de Gauss
a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss.
A/A∗ =
3 2 1 2a2 a 2 3−1 −1 −1 2
∼ F1 ↔ F3F2 ↔ F3
∼ −1 −1 −1 2
3 2 1 2a2 a 2 3
∼
C2 ↔ C3
∼ −1 −1 −1 2
3 1 2 2a2 2 a 3
∼ F2 + 3F1F3 + 2F1
∼
−1 −1 −1 20 −2 −1 2a+ 60 0 a− 2 7
⇒ a− 2 = 0
a = 2
Si a 6= 2⇒(
0 0 2 7)⇒ Sist. Compatible Determinado
Si a = 2⇒(
0 0 0 7)⇒ Sist. Incompatible
b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 0.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C2 ↔ C3, por lo que las incognitas y ↔ z estan intercambiadas.
A/A∗
−1 −1 −1 20 −2 −1 60 0 −2 7
⇒⇒⇒
−x− (−5/4)− (−7/2) = 2 ⇒−2z − (−7/2) = 6 ⇒
−2y = 7 ⇒
x = 11/4z = −5/4y = −7/2
◦
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro a ∈ R:
x− ay = 1ax− 4y − z = 22x+ ay − z = a− 4
a) Discuta el sistema para los diferentes valores de a.
b) Resuelva el sistema para a = 3.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2020 - Opcion B )
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
1 −a 0 1a −4 −1 22 a −1 a− 4
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = −a2 + 3a+ 4 = 0 =⇒ a = {−1, 4}
24 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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Si a 6= {−1, 4} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).
Si a = −1 =⇒ A/A∗ =
1 1 0 1−1 −4 −1 22 −1 −1 −5
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 1−1 −4
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 1−1 −4 22 −1 −5
∣∣∣∣∣∣∣ = 30 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sistema Incompatible (No tiene solu-cion)
Si a = 4 =⇒ A/A∗ =
1 −4 0 14 −4 −1 22 4 −1 0
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 −44 −4
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −4 14 −4 22 4 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 Rouche====⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones)
b) Resolvemos el sistema para a = 3 por el metodo de Gauss, sabiendo que comoa 6= {−1, 4} estamos ante un S.C.D.
A/A∗ =
1 −3 0 13 −4 −1 22 3 −1 −1
∼ F2 − 3F1F3 − 2F1
∼ 1 −3 0 1
0 5 −1 −10 9 −1 −3
∼
5F3 − 9F2
∼
1 −3 0 10 5 −1 −10 0 4 −6
⇒⇒⇒
x− 3 · (−1/2) = 1 ⇒5y − (−3/2) = −1 ⇒
4z = −6 ⇒
x = −1/2y = −1/2z = −3/2
Metodo de Gauss
a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 −a 0 1a −4 −1 22 a −1 a− 4
∼ C1 ↔ C3F1 ↔ F2
∼ −1 −4 a 2
0 −a 1 1−1 a 2 a− 4
∼
F3 − F1
∼ −1 −4 a 2
0 −a 1 10 a+ 4 2− a a− 6
∼ (a+ 4) · F2 + a · F3
∼
−1 −4 a 20 −a 1 10 0 −a2 + 3a+ 4 a2 − 5a+ 4
⇒ −a
2 + 3a+ 4 = 0a = {−1, 4}
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Si a 6= {−1, 4} ⇒ F3 =(
0 0 2 2)⇒ Sist. Compat. Determinado
Si a = −1⇒ F3 =(
0 0 0 10)⇒ Sist. Incompatible
Si a = 4⇒ F3 =(
0 0 0 0)⇒ Sist. Compatible Indeterminado
b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 1.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C1 ↔ C3, por lo que las incognitas x↔ z estan intercambiadas.
A/A∗
−1 −4 3 20 −3 1 10 0 4 −2
⇒⇒⇒
−z − 4 · (−1/2) + 3 · (−1/2) = 2 ⇒−3y − 1/2 = 1 ⇒
4x = −2 ⇒
z = −3/2y = −1/2x = −1/2
◦
Ejercicio 2 (2 puntos)
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametroreal a:
x+ y + z = 2a− 12x+ y + az = 1x+ ay + z = 1
a) Discuta el sistema en funcion de los valores del parametro a.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones para a = 0.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2021 - Opcion B )
Solucion.
Metodo de Rouche
a) Escribimos el sistema en forma matricial:
A/A∗ =
1 1 1 2a− 12 1 a 11 a 1 1
Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.
|A| = −a2 + 3a− 2 = 0 =⇒ a = {1, 2}
Si a 6= {1, 2} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).
Si a = 1 =⇒ A/A∗ =
1 1 1 12 1 1 11 1 1 1
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 12 1
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2
26 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
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∣∣∣∣∣∣∣1 1 12 1 11 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2
ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 Rouche====⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones)
Si a = 2 =⇒ A/A∗ =
1 1 1 32 1 2 11 2 1 1
|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como
∣∣∣∣∣ 1 12 1
∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 32 1 11 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 7 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3
ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sist. Incompatible (No tiene solucion)
b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss, sabiendo que como a 6= 2estamos ante un S.C.D.
A/A∗ =
1 1 1 −12 1 0 11 0 1 1
∼ F2 − 2F1F3 − F1
∼ 1 1 1 −1
0 −1 −2 30 −1 0 2
⇒⇒⇒
x− 2− 1/2 = −1 ⇒−(−2)− 2z = 3 ⇒
−y = 2 ⇒
x = 3/2y = −2z = −1/2
Metodo de Gauss
a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss.
A/A∗ =
1 1 1 2a− 12 1 a 11 a 1 1
∼ F2 − 2F1F3 − F1
∼ 1 1 1 2a− 1
0 −1 a− 2 −4a+ 30 a− 1 0 2− 2a
∼
C2 ↔ C3
∼ 1 1 1 2a− 1
0 a− 2 −1 −4a+ 30 0 a− 1 2− 2a
⇒ {a− 1 = 0⇒ a = 1a− 2 = 0⇒ a = 2
Si a 6= 1, 2⇒
1 1 1 2−1 2 −1 20 0 2 2
⇒ Sist. Compat. Determinado
Si a = 1⇒
1 1 1 10 −1 −1 −10 0 0 0
⇒ Sist. Comp. Indeterminado
Si a = 2⇒
1 1 1 30 0 −1 −50 0 2 −2
⇒ Sist. Incompatible(Depende donde despejes
z = −1 o z = 5)
https://aprendeconmigomelon.com 27
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 0.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C2 ↔ C3, por lo que las incognitas y ↔ z estan intercambiadas.
A/A∗
1 1 1 −10 −2 −1 30 0 −1 2
⇒⇒⇒
x− 2− 1/2 = −1 ⇒−2z − (−2) = 3 ⇒
−y = 2 ⇒
x = 3/2y = −2x = −1/2
◦
28 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-1 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a
1
ax y z a
ay z
ax y az a
+ + =
+ = + + =
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para 3a = .
(PAU Madrid CCSS Junio 2011 FG – Opción A)
Solución:
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.
( )
3 3 11
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 1
1 01 0
0 1 1
F F F
a a a
M M a M a a a a a
a a a a a a a
a aa a a
a a
= −
= = = = = ⎯⎯⎯⎯→ −
== = − =
− =
0 1 1 0
Si 0 0 1 1
0 1 0 0
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
0 1rg rg
1 1 0
0 1 1 1
0
Sistema incomp0 rg 3
1 0 0
atible
M M
M M M
M M
M
a
• → =
= → → =
= → =
=
1 1 1 1
Si 0 1 1 1
1 1 1 1
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
0 1rg rg nº incógnitas
1 1 1
0 1 1 0 rg 2
1 1
1
Sist. compatible indeterminado
1
M M
M M M
M M
M
a
• → =
= → → =
=
= → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 29
0 1 SisSi 0 rg 3 rg t. compatible determinadoa M Ma M • → → → = =
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de orden 2 no nulo.
( )1 11 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1
x
z
+ − = −
=
− ⎯⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ −
0
1
x
y
z
=
= −
=
c) Resuélvase el sistema para 3a = .
3 3 1
3 1 3 0 3
3 0 1
2 0
3 1 1 3 3 1 1 3
0 3 1 1 0 3 1 1
3 1 3 3 0 0 2 0
x
y
F F F z
+ + =
+ =
= − =
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
8 9
1 3
0
x
y
z
=
=
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
30 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-2 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real k:
1
2 2
1
x y kz
x ky z
x y z k
− + =
− + = − − = −
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema para el valor de k para el cual el sistema tiene
infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para 3k = .
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG – Opción B)
Solución:
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
( ) ( )
2 2 1
3 3 1
1 1 1 1 1 1 0 1
2 1 2 2 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
0 1 11 2 0
2 3 2
C C C
C C C
k k k
M M k M k k
k
k kk k
k k
= +
= +
− − + ⎯⎯⎯⎯→
= − = − = = − = ⎯⎯⎯⎯→ − − − − −
+ = −= = + − =
− =
1 1 1 1
Si 2 1 1 2
1 1 1 2
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
2 1rg rg
1 1 1
2 1 2 7 0 rg 3
1 1 2
1
Sistema incompatible
M M
M M M
M M
M
k
− −
• → = − − −
− = → → =
− = − → =− −
= −
1 1 2 1
Si 2 2 1 2
1 1 1 1
1 20 rg 2, y como 0 rg 2
2 1rg rg nº incógnitas
1 2 1
2 1 2 0 rg 2
1
2
Sist. compatible indeterminad
1 1
o
M M
M M M
k
M M
M
−
• → = − − −
= → → =
=
=
= → =−
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 31
1 2 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg o minadMk k M M• → → = = →−
b) Resolvemos cuando 2k = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de
orden 2 no nulo.
2 2 12 0
1 1 2 11 1 2 1 1 1 2 1
2 2 1 22 2 1 2 0 0 3 0
1 1 1 1
y
F F F z
=
= − =
− − − ⎯⎯⎯→
− → − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯→ − −
1
0
x
y
z
= +
=
=
c) Resolvemos cuando 3k =
( ) ( )
( )2 2 1
3 3 1
5 4 3 1 4 1
5 1 4 02
4 1
1 1 3 1 1 1 3 1
2 3 1 2 0 1 5 0
1 1 1 2 0 0 4 1
x
yF F F
F F F z
− + − =
− − − == −
= − − =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− −
− ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→
3
5 4
1 4
x
y
z
=
=
= −
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
32 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-3 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real k:
2 7 8
2
2
kx y z
x y kz
x y z
− + =
− + = − + + =
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para 0k = .
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción B)
Solución:
( ) ( )
2 2 1
3 3 1
2 7 8 2 7 2 7
1 1 2 1 1 1 0 1
1 1 1 2 1 1 1 1 0 0
2 7 12 1 0
0 1 2
C C C
C C C
k k k k k
M M k M k k
k k kk k
k k
= +
= +
− − − + ⎯⎯⎯⎯→
= − = − = = + = ⎯⎯⎯⎯→ − − −
− − = −= − = − − + =
− =
1 2 7 8
Si 1 1 1 2
1 1 1 2
1 20 rg 2, y como
1
Sistema incompati
0 rg 21 1
rg rg1 2 8
1 1 2 12 0 re
g 3
1 1
bl
2
M M
M M M
M
k
M
M
− −
• → = − − −
− − = → → =
−
− − − = → =−
= −
2 2 7 8
Si 1 1 2 2
1 1 1 2
2 70 rg 2, y como 0 rg 2
1 2rg rg nº incógnitas
2 7 8
1 2 2 0 rg
2
Sist. compatible indeterminado2
1 1 2
M M
M M M
M M
k
M
−
• → = − −
= → → =
=
= → =−
=
1 2 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg o minadMk k M M• → → = = →−
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 33
b) Resolvemos cuando 2k = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de
orden 2 no nulo.
1 2
2 2 12
2 2 7 82 2 7 8 1 1 2 2
1 1 2 21 1 2 2 2 2 7 8
1 1 1 2
F F
F F F
= −
− − −
− → ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ −
( )
2 2 1
4 3 2
2
3 4
1 1 2 2
0 0 3 4
x
y
F F F
z
− + =−
=
= −
=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− −
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→
14 3
4
x
y
z
= − +
=
=
c) Resolvemos cuando 0k =
1 2
3 3 1
10 2
2 7 4 8
4
0 2 7 8 1 1 0 2 1 1 0 2
1 1 0 2 0 2 7 8 0 2 7 8
1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 4
x
F F y
F F F z
− =
− + =
= + =
− − − ⎯⎯⎯→
− ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→
12
10
4
x
y
z
=
=
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
34 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-4 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real a:
1 1 1 1
2 3 2 22
1 4 7
yx
za a
−
+ − = −
a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro a.
b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene
infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para 0a = .
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG – Opción A)
Solución:
Primero escribimos el sistema de la manera que estamos habituados a verlo:
1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 22 2 3 2 5 15 0 3
1 4 7 1 4
M M M a a
a a a
− −
= − = − = − + = → = − −
1 1 1 1
Si 2 3 2 22
1 4 3 21
1 10 rg , y como 0 rg 2
2 3rg rg nº incógnitas
1 1 1
2 3 22
3
Sist. compatible indeter0 rg 2
1
mi
4 1
o
2
nad
a M M
M M M
M M
M
−
• → = − −
= → → =
− =
− = → =−
=
3 Sist. Si com0 r pag 3 tible deterrg mina doM M Ma → → = =• →
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 35
b) Resolvemos cuando 3a = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de
orden 2 no nulo.
2 2 12
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 222 3 2 22 0 5 4 20
1 4 3 21
F F F z = − =
− − −
− → − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −
4 4 5 1
5 20 41 1 1
0 5 20 4
x
y
z
z
− + = +
− = −
=
=
⎯⎯⎯⎯⎯→+
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − −
⎯⎯⎯→
5 5
4 4 5
x
y
z
= +
= − +
=
c) Resolvemos cuando 0a =
2 2 1
3 3 1 3 3 2
8 5 7 1
2 5 4 7 20
3 21
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 22 0 5 4 20 0 5 4 20
1 4 0 0 0 5 1 1 0 0 3 21
x
F F F y
F F F F F F z
+ − =
= − − + =
= − = − − =−
− − − ⎯⎯⎯⎯→
− ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→
32 5
8 5
7
x
y
z
=
=
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
36 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-5 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real k:
1
2 2
1
x ky z
y kz
x y z
+ + =
+ = + + =
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para 3k = .
(PAU Madrid CCSS 2010 Modelo – Opción A)
Solución:
( )
3 3 1
1 1 1 1 1 1 12
0 2 2 0 2 0 21 0
1 1 1 1 1 1 1 0 1 0
01 0
1
F F F
k k kk
M M k M k kk
k
kk k
k
= −
= = = ⎯⎯⎯⎯→= = = − −
== − − =
=
1 0 1 1
Si 0 2 0 2
1 1 1 1
1 00 rg 2, y com
0
Sistema incompatible
o 0 rg 20 2
rg rg1 0 1
0 2 2 2 0 rg 3
1 1 1
M M
M M M
M
M
k
M
• → =
= → → =
= − → =
=
1 1 1 1
Si 0 2 1 2
1 1 1 1
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
0 2rg rg nº incógnitas
1 1 1
0 2 2 0 rg 2
1 1
1
Sist. compatible indeterminado
1
M M
M M M
M M
M
k
• → =
= → → =
=
= → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 37
0 1 SisSi 0 rg 3 rg t. compatible determinadok M Mk M• → → → = =
b) Resolvemos cuando 1k = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de
orden 2 no nulo.
11
2
2 1
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
0 2 1 20 2 1 2 0 2 1
1 1 1 1
x
y
z
z
−+ = −
= −
=
=
⎯⎯⎯⎯⎯→ −
→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→
1
2
1
2
x
y
z
−=
−=
=
c) Resolvemos cuando 3k =
( )
( )
3 3 1 3 3 2
0 2 3 1
2 3 2 3 2
3 2
1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1
0 2 3 2 0 2 3 2 0 2 3 2
1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 3 2
x
y
F F F F F F z
+ + =
+ =
= − = + =
⎯⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
1 3
0
2 3
x
y
z
=
=
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
38 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-6 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real k:
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
4
2 2 5
3 0
x y kz
x y z
x y z
+ + =
− + =− + − =
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para 0k = .
(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción A)
Solución:
1 1 4
2 1 2 5 5 5 0 1
1 3 1 0
k
M M M k k
= − = − = → = − −
1 1 1 4
Si 2 1 2 5
1 3 1 0
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
2 1rg rg nº incógnitas
1 1 4
2 1 5 0 rg
1
Sist. compatible indeterminad2
o
1 3 0
M M
M M M
M M
M
k
• → = − − −
= → → =
− =
− = → =−
=
1 Sist. Si com0 r pag 3 tible deterrg mina doM M Mk → → = =• →
b) Resolvemos cuando 1k = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de
orden 2 no nulo.
2 2 1
1 4
3 3
2
1 1 1 4 1 1 1 4
2 1 2 5 0 3 0 3
x
y
F F F
z
+ + =
− =−
= −
=
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ − −
⎯⎯⎯→
3
1
x
y
z
= −
=
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 39
c) Resolvemos cuando 0k =
2 2 1 2
3 3 1 3 3 3 2
2 4
3
1 1 0 4 1 1 0 4 1 1 0 4
2 1 2 5 0 3 2 3 0 12 8 12
1 3 1 0 0 4 1 4 0 12 3 12
F F F F
F F F F F F F
= −
= + = +
− ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯→ − − − − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→
3 3 2
1 4
12 0 12
5 0
1 1 0 4
0 12 8 12
0 0 5 0
x
y
F F F z
+ =
− + =−
= + =
⎯⎯⎯→
− − ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
3
1
0
x
y
z
=
=
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
40 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-7 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real k:
3
3
3 6
x y z
x ky z
kx z
+ + =
+ + = − =
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para 3k = .
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción B)
Solución:
2 2
1 1 1 31
1 1 3 3 3 2 3 03
0 3 6
kM M k M k k k k k
kk
=
= = − + − + = − − + = = − −
1 1 1 3
Si 1 1 1 3
1 0 3 6
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
0 3rg rg nº incógnitas
1 1 3
1 1 3
1
Sist. compatible indete0 rg 2
0 3 6
rminado
M M
M M
M
k
M
M
M
• → = −
= → → =
− =
= → =−
=
1 1 1 3
Si 1 3 1 3
3 0 3 6
1 10 rg 2, y como 0 rg
3
Sistema incompatib
21 3
rg rg1 1 3
1 3 3 60 0 r
3
eg 3
6
l
0
M M
M M M
M M
M
k
• → = − − −
= → → =
−
− = − → =−
= −
1 3 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg o minadMk k M M• → → = = → −
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 41
b) Resolvemos cuando 1k = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de
orden 2 no nulo.
2 2 1
3 4
3 4
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3
1 0 -3 6 0 1 -4 3 0 1 3 4
x
F F F z y
− − =−
= − = − = +
− ⎯⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − + ⎯⎯⎯⎯→
6 3
3 4
x
y
z
= +
= − −
=
c) Resolvemos cuando 3k =
2 2 1 2
3 3 1 3 3 3 2
3
3 2
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
1 3 1 3 0 2 0 0 0 6 0 0
3 0 3 6 0 3 6 3 0 6 12 6
F F F F
F F F F F F F
= −
= − = +
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→
3 3 2
0 1 2 3
6 0
12 6
1 1 1 3
0 6 0 0
0 0 12 6
x
y
F F F z
+ + =
=
= + − =−
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→
5 2
0
1 2
x
y
z
=
=
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
42 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-8 Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
=++
=−+
=+−
822
3223
02
azyx
zyx
zyx
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para 4=a
(PAU Madrid CCSS Junio 2007 – Opción A)
Solución:
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
Abordamos el problema por rangos.
1 2 1 0 1 2 1
3 2 2 3 3 2 2 14 8 0 7 4
2 2 8 2 2
M M M a a
a a
− −
= − = − = + = → = −
1 2 1 0
Si 3 2 2 3
2 2 7 4 8
1 20 rg 2, y como 8 0 rg 2
3 2rg rg
1 2 0
3 2 3 46 0 rg 3
2 2 8
7 4
Sistema incompatible
M M
M M M
M M
M
a
−
• → = − −
− = → = → =
− = → =
= −
7 4 SistemaSi co0 r mpg 3 atible deterg rmina doM M Ma → → = =−• →
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
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om
https://aprendeconmigomelon.com 43
También podríamos haber resuelto por Gauss:
2 2 1 2 2
3 3 1 3 3
2 2
3 3 1
3 3
2 4
3
1 2 1 01 2 1 0 1 2 1 0
33 2 2 3 0 8 5 3 0 24 15
92 2 8 0 6 2 8
0 24 8 4 32
1 2 1 0
0 8 5 3 7 4 0
0 0 7 4 23
F F F F F
F F F F F
F F
F F F
a aa
a
a
= − =
= − =−
=
= +
− − −
− ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − → ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→
− − −
−
⎯⎯⎯⎯→ − → − − = → ⎯⎯⎯⎯→ − − −
7 4a = −
( )7 4 Sistema incompatibl Si 0 0 0 2 e3a = −• → − →
( )7 4 Sistema com Si 0 0 patibl7 4 e 2 dete3 rminadoaa −• → − − − →
b) Resolvemos directamente para 4a =
2 2 1 2 2
3 3 1 3 3
3 3
2 4
1 2 1 01 2 1 0 1 2 1 0
33 2 2 3 0 8 5 3 0 24 15
92 2 2 8 0 6 2 8
0 24 8 32
F F F F F
F F F F F
= − =
= − =−
− − −
− ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − → ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→
− − −
2 2
3 3 1
2 1 0
3 8 5 3
23 23
1 2 1 0
0 8 5 3
0 0 23 23
x
F F y
F F F z
− + =
= − =
= + − =−
− ⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→
1
1
1
x
y
z
=
=
=
http
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om
44 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-9 Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
1
2 2
1
x ay z
y az
x y z
+ + =
+ = + + =
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para 3a = y 1a = .
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 – Opción A)
Solución:
( )2
1 1 1 1 10
0 2 2 0 2 1 01
1 1 1 1 1 1 1
a aa
M M a M a a a a aa
=
= = = − = − = =
1 0 1 1
Si 0 2 0 2
1 1 1 1
1 00 rg 2, y com
0
Sistema incompatible
o 0 rg 20 2
rg rg1 0 1
0 2 2 2 0 rg 3
1 1 1
M M
M M M
M
M
a
M
• → =
= → → =
= − → =
=
1 1 1 1
Si 0 2 1 2
1 1 1 1
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
0 2rg rg nº incógnitas
1 1 1
0 2 2 0 rg 2
1 1
1
Sist. compatible indeterminado
1
M M
M M M
M M
M
a
• → =
= → → =
=
= → =
=
0 1 SisSi 0 rg 3 rg t. compatible determinadoa M Ma M• → → → = =
b-1) Resolvemos cuando 3a =
http
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3 3 1
0 2 3 1
3 2
2 0
1 3 1 1 1 3 1 1
0 2 3 2 0 2 3 2
1 1 1 1 0 2 0 0
x
z
F F F y
+ + =
=
= − − =
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→
1 3
0
2 3
x
y
z
=
=
=
b-2) Resolvemos cuando 1a =
Como hemos visto cuando 1a = el sistema es compatible indeterminado por lo que para
resolverlo cogeremos tan solo las ecuaciones con menor de orden dos no nulo:
1 2 1
2 2
1 1 1 1 1 1 1
0 2 1 2 0 2 2
x
z y
+ − = −
= = −
− ⎯⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→
2
1 2
x
y
z
= −
= −
=
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46 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-10 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
2 2
2 3 1
3 3
x y z
x y z
x ay z
+ + =− + + =− + + =
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de a.
b) Resolver el sistema para 2a = .
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2006 – Opción B)
Solución:
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de a.
1 1 2 2 1 1 2
2 3 1 1 2 3 1 20 5 0 4
1 3 3 1 3
M M M a a
a a
= − = − = − = → = − −
1 1 2 2
Si 2 3 1 1
1 4 3 3
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
2 3rg rg nº incógnitas
1 1 2
2 3
4
Sist. compatibl1 0 rg 2
e indeterminad
1 4 3
o
M M
M
a
M M
M M
M
• → = − −
= → → =
− =
− = → =−
=
4 Sistema Si 0 compatible determirg 3 rg n o adMa M M • → → → = =
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https://aprendeconmigomelon.com 47
b) Resolver el sistema para 2a = .
2 2 1 2 2
3 3 1 3 3 3 2
0 3 1
2 3 3
5
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 3 1 1 0 5 5 5 0 15 15 15
1 2 3 3 0 3 5 5 0 15 25 25
x
F F F F F
F F F F F F F
− + =
= +
= + − = +
⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→
2
3 3 2
0 2 1 2
3 5 51 5
10 10
1 1 2 2
0 5 5 5
0 0 10 10
x
F y
F F F z
+ + =
+ =
= + − =−
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→
0
0
1
x
y
z
=
=
=
http
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48 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-11 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real k.
2 3 0
3 0
5 2 0
x y z
x ky z
x y z
− + =
− − = + − =
a) Discutir el sistema para los distintos valores de k.
b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.
(PAU Madrid CCSS Junio 2005 – Opción A)
Solución:
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
2 3 1 0 2 3 1
1 3 0 1 3 56 7 0 8
5 2 1 0 5 2 1
M M k M k k k
− −
= − − = − − = + = → = − − −
2 3 1 0
Si 1 8 3 0
5 2 1 0
2 30 rg 3, y como 0 rg 2
1 8rg rg nº incógnitas
2 3 0
1 8 0 0
8
Sist. compatible indeterminadorg 2
5 2 0
M M
M M M
M M
k
M
−
• → = − −
− = → → =
=
− = → =
= −
8 Sist Si . co0 mr patible deteg rmina3 drg oM Mk M • → =− → = →
b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.
b-1) Si 8k = − , resolvemos solo las ecuaciones con menor de orden 2 no nulo
1 2
2 2 12
2 3 1 02 3 1 0 1 8 3 0
1 8 3 01 8 3 0 2 3 1 0
5 2 1 0
F F
F F F
= −
− − −
− → ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ −
( )
2 2 1
8 7 19 3
2 19 7
1 8 3 0 1 8 3
0 19 7 0 0 19 7
x
z
F F F y
+ =
=
= − − =−
− ⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→
19
7 19
x
y
z
=
=
=
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b-2) Si 8k − , el sistema es compatible determinado y, por ser homogéneo, la
solución es la trivial
0
0
0
x
y
z
=
=
=
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50 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-12 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real p:
0
2 3
2
x y z
x y pz
x y z p
+ + =− + + = − − − =
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de p.
b) Resolver el sistema para 2p = .
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2005 – Opción B)
Solución:
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de p.
1 1 1 0 1 1 1
1 2 3 1 2 3 3 0 1
1 2 1 1 2 1
M M p M p p p
p
= − − = − = − = = − − − −
1 1 1 0
Si 1 2 1 3
1 2 1 1
1 10 rg 2, y como 0 rg 2
1 2rg rg
1 1 0
1 2 3 6
1
Sistema incompatible0 rg 3
1 2 1
M M
M
p
M M
M M
M
• → = − − − −
= → → =
−
− − = − → =−
=
1 Sist. Si com0 r pag 3 tible deterrg mina doM M Mp → → = =• →
b) Resuélvase el sistema para 2p = .
2 2 1
3 3 1 3 3 2
1 1 1 0 1 1 1 0
1 2 2 3 0 3 3 3
1 2 1 2 0 3 2 2
F F F
F F F F F F
= +
= − = +
− − ⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→
( )
3 3 2
0 1 0
3 3 1 3
1
1 1 1 0
0 3 3 3
0 0 1 1
x
y
F F F z
+ − =
+ − =−
= + =−
⎯⎯⎯⎯→
− ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→
1
0
1
x
y
z
=
=
= −
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DSE-13 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real m:
3 5
4
1
mx y z
x y z
x my mz
+ − =− + + = −
+ − =
a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro m.
b) Resuélvase el sistema para 2m = .
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2004 – Opción A)
Solución:
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
2
1 3 5 1 11
1 1 1 4 1 1 1 2 2 4 02
1 1 1
m mm
M M M m mm
m m m m
− − = −
= − − = − = − + + = = − −
1 1 3 5
Si 1 1 1 4
1 1 1 1
1 30 rg 2, y com
1
Sistema incompatib
o 0 rg 21 1
rg rg5 1 3
4 1 1 6 0 rg 3
1
le
1 1
M M
M M M
M M
M
m
− −
• → = − − −
− = → → =
− − = → =−
= −
2 1 3 5
Si m 1 1 1 4
1 2 2 1
2 10 rg 2, y como 0 rg 2
1 1rg rg nº incógnitas
2 1 5
2
Sist. compatible indeterm1 1 4 0 rg 2
1
inado
2 1
M M
M M M
M M
M
−
• → = − − −
= → → =
− =
− − = → =
=
1 2 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg n mi adom Mm M M• → → = = →−
b) Resuélvase el sistema para 2m = .
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52 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
1 2
2 2 12
2 1 3 52 1 3 5 1 1 1 4
1 1 1 41 1 1 4 2 1 3 5
1 2 2 1
F F
F F F
= +
− − − −
− − → ⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→ − ( )
2 2 1
1 3 4
3 3
2
1 1 1 4 1 1 4
0 3 1 3 0 3 3
x
y
F F F z
z
− + − + =− −
=− +
= + =
=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− − − − −
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − +
⎯⎯⎯→
3 4 3
1 3
x
y
z
= +
= − +
=
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DSE-14 Estudiar y resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones
2 0
1
1
x y z
x y
y z
+ + =− − = − − = −
(PAU Madrid CCSS Junio 2003 – Opción A)
Solución:
⎯⎯⎯ →⎯
−−−
⎯⎯⎯ →⎯
−−−
−−+=+=
0000
1110
0121
1110
1110
0121
1110
1011
0121
233122 FFFFFF
El sistema es compatible indeterminado y su solución es la siguiente:
1
2
11 2 1 0 1 2
0 1 1 1 0 1 1z y
x
y
z
= = −
− ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
−
= −
= −
=
.
http
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54 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-15 Discute el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes valores del
parámetro k y resuélvelo cuando sea posible. (101)
+=++
=+−+
=++
1
)1(
1
kzyx
kzykkx
kzyx
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
2 2 12
3 3 1
1 1 11 1 1
1 1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 1
F F kF
F F F
kk
k k k k k k
k k k
= −
= −
⎯⎯⎯⎯→
− − − → − = → = ⎯⎯⎯⎯→ + −
( ) →→=• 10001kSi El sistema es Incompatible y no tiene solución.
→• 1kSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:
2
3 2
2
2 11 1 1
1
0 1 1 0
0 0 1
1
k k kxk
k
k y k k
k k kz
k
+ − += ⎯⎯→ −
− − ⎯⎯→ = +
− ⎯⎯→ =
−
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A:
1 1
1 1 1 0 1
1 1 1
k
k k k k− = − = → =
3)'(01
211
101
111
'
2)(0211
1101
=→−==
=→−=−
=→=•
ARangoAComo
ARangomenorunyAkSi
Por tanto como Rango (A) ≠ Rango (A’) el sistema es incompatible.
http
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DSE-16 Discute el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes valores del
parámetro m y resuélvelo cuando sea posible. (102)
=++
=++
=++
73
532
32
mzyx
zyx
zyx
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
−
⎯⎯⎯ →⎯
−⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
−=−=
−=
0400
2110
3211
4220
2110
3211
731
5321
3211
233
133
122
2
mmm
FFFFFF
FFF
40 4 =→=− mm
( ) →→=• 00004mSi El sistema es compatible indeterminado y su
solución es la siguiente:
=
−=
−=
⎯⎯ →⎯
−
−⎯⎯→⎯
−==
z
y
x
yz2
1
210
2311
2110
32112 .
→• 4mSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:
0
2
1
0400
2110
3211
=
=
=
⎯→⎯
⎯→⎯
⎯→⎯
− Z
Y
x
m
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A: 404
31
321
211
=→=−= mm
m
http
s://a
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omel
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om
56 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
2)'(0
731
521
311
'
2)(0121
1104
=→==
=→==→=•
ARangoAComo
ARangomenorunyAmSi
Por tanto como Rango (A) = Rango (A’) = 2 ≤ nº incógnitas, el sistema es compatible
indeterminado y el nº de parámetros será 3-2=1.
http
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DSE-17 Discute el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes valores del
parámetro m . (42-b del libro). (103)
−=+
−=+
mymx
mmyx
22
1
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
101210
11
221
112
22122
=→=−→
−−−
−⎯⎯⎯⎯ →⎯
−
−−=
mmmmm
mm
mm
mmmFFF
( ) →→=• 0001mSi El sistema es compatible indeterminado y su solución
es la siguiente:
( ) ( )
−=→−⎯⎯→⎯
=
xy
1011 .
( ) →→−=• 2001mSi El sistema es incompatible y no tiene solución.
→• 1mSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:
2
2
2
2
1222
1
21
12
210
11
2
2
m
mmY
m
mmx
mmm
mm
mmmy
−
−−=
−
−−=
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−−−
−
−−−=
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A: 1011
12 =→=−= mm
m
m
1)'(001
01'
1)(01101
=→==
=→==→=•
ARangoAComo
ARangomenorunyAmSi
Por tanto como Rango (A) = Rango (A’) = 1 ≤ nº incógnitas, el sistema es compatible
indeterminado y el nº de parámetros será 2-1=1.
2)'(0241
21'
1)(01101
=→=−
−=
=→==→−=•
ARangoAComo
ARangomenorunyAmSi
Por tanto como Rango (A) ≠ Rango (A’) el sistema es incompatible.
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
58 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-18 Discute el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes valores del
parámetro a y resuélvelo cuando sea posible. (104)
=++
=+−
=−
0
0
0
zayx
azyx
zx
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
++
+−
−
⎯⎯⎯ →⎯
+−
−
⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
−
−
+=−=
−=
0200
0110
0101
020
0110
0101
011
011
0101
2233
133
122
aa
a
a
a
a
aaFFF
FFF
FFF
→=++ 0 22 aa La ecuación no tiene solución por lo que el sistema es
siempre compatible determinado con una solución única que es:
0
0
0
0200
0110
0101
2 =
=
=
⎯→⎯
⎯→⎯
⎯→⎯
++
+−
−
Z
Y
x
aa
a
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A:
→=−−−=−
−
02
11
11
1012 aa
a
a . La ecuación no tiene solución, lo que implica que el
determinante es siempre distinto de cero, es decir, que el Rango(A)=Rango(A’)=3. Por
tanto el sistema es compatible determinado en todos los casos.
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 59
DSE-19 Discute el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes valores del
parámetro a y resuélvelo cuando sea posible. (105)
=++
=+−
−=−+
52
122
32
azyx
zyx
zyx
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
−
−−
−
⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
−−
−
⎯⎯ →⎯
−
−−
−=
−=
3450
5550
1221
512
3112
1221
512
1221
3112
133
122
212
2
aaaFFF
FFF
FF
101
8100
1110
1221
3450
1110
1221
23352
2 5=→=−→
+
−−
−−
⎯⎯⎯ →⎯
−
−−
−−
⎯⎯ →⎯−==
aa
aa
FFFF F
( ) →→=• 80001aSi El sistema es Incompatible y no tiene solución.
→• 1aSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:
1
81
71
1
8100
1110
1221
+=
+
−=
+
−−=
⎯→⎯
⎯→⎯
⎯→⎯
+
−−
−−
aZ
a
ay
a
ax
a
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A: 1055
12
221
112
=→=+−=− aa
a
3)'(040
512
121
312
'
2)(0521
1201
=→−=−
−
=
=→−=−
=→=•
ARangoAComo
ARangomenorunyAaSi
Por tanto como Rango (A) ≠ Rango (A’) el sistema es incompatible.
http
s://a
pren
deco
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omel
on.c
om
60 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-20 Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes
valores del parámetro a .
=+−
=+−
−=−+
552
332
132
zyax
zYx
zyx
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
−−−
−−
−
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
−
−−
−
⎯⎯ →⎯
−
−
−−
−=
−=
aaaaaaFFF
FFF
FF
6565140
7770
3321
5512
1132
3321
5512
3321
1132
133
122
212
2
2024
242400
1110
3321
6565140
1110
3321
23372
2)14(
=→=−→
−−
−−
−
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−−−
−−
−
⎯⎯ →⎯−−==
aa
aaaaa
FaFFF F
( ) →→=• 00002aSi El sistema es compatible indeterminado y su
solución es la siguiente:
=
−−=
−=
⎯⎯ →⎯
−−
−−⎯⎯→⎯
−−
−−−==
z
y
x
yz1
51
110
3321
1110
33211
.
→• 4mSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:
1
0
0
0400
2110
3211
=
=
=
⎯→⎯
⎯→⎯
⎯→⎯
− Z
Y
x
m
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A: 202814
512
321
132
=→=−=
−
−
−
aa
a
2)'(0
512
321
132
'
2)(0721
3202
=→=
−
−
−
=
=→−=−
=→=•
ARango
a
AComo
ARangomenorunyAaSi
http
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Por tanto como Rango (A) = Rango (A’) = 2 ≤ nº incógnitas, el sistema es compatible
indeterminado y el nº de parámetros será 3-2=1.
http
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62 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-21 Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes
valores del parámetro m .
=−+−
=+−
=++
02
222
2
zyx
zyx
mzyx
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
−−
−⎯⎯ →⎯
−
−−⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
−−
−
+=
−=
m
m
m
m
m
mm
FFFFF
FFF
22050
130
121
130
22050
121
0211
2212
121
32
133
122 2
→
−−
−⎯⎯ →⎯
m
m
m
yzx
zy
22500
310
211No podemos obtener una fila de ceros, por lo
que el sistema será siempre compatible determinado con una solución única
que es la siguiente:
⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯⎯ →⎯
−−
−iablesde
ercambioel
conojoMucho
m
m
m
yzx
var
int
22500
310
211
5
225
62
−=
−=
=
my
mz
x
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A:
→=
−−
− 05
211
212
121
. El determinante es siempre distinto de cero, es decir, que el
Rango(A)=Rango(A’)=3. Por tanto el sistema es compatible determinado en todos los
casos.
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DSE-22 Discute y resuelve cuando sea posible el siguiente sistema de ecuaciones para
los diferentes valores del parámetro a .
=+−
=+−
=++
65
132
12
azyx
zyx
zyx
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
−−
−−−⎯⎯ →⎯
−−
−−−⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
−
−
−=
−=
16100
1310
1121
11060
1130
1211
615
1312
1211
133
122
5
2
a
yzx
aa
zyFFF
FFF
80324
1132400
1310
1121
233 )10(=→=−→
−−
−−−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+=aa
aa
yzx
FaFF
( ) →→=• 30008aSi El sistema es Incompatible y no tiene solución.
→• 3aSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:
aZ
a
ay
ax
aa
yzx
iablesde
ercambioel
conojoMucho
324
9324
11324
7
1132400
1310
1121
var
int
−
−=
−
−=
−
−=
⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯⎯ →⎯
−−
−−−
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A: 80324
15
312
211
=→=−=
−
− aa
a
3)'(09
615
112
111
'
2)(0312
1108
=→−=
−
−=
=→−=−
=→=•
ARangoAComo
ARangomenorunyAaSi
Por tanto como Rango (A) ≠ Rango (A’) el sistema es incompatible.
http
s://a
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omel
on.c
om
64 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-23 Discute y resuelve cuando sea posible el siguiente sistema de ecuaciones para
los diferentes valores del parámetro a .
=++
=+
+=+
azyx
zx
ayx
03
132
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
−
+−⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
+⎯⎯ →⎯
+
−=
−=
a
a
a
a
a
a
FFF
FFF
FF
210
1630
0301
111
1032
0301
111
0301
1032
133
122
21
2
21
30 21
21000
210
0301
1630
210
0301
23332
=→=−
−
−⎯⎯⎯ →⎯
+−
−⎯⎯ →⎯−=
aa
a
a
a
aFFFFF
( ) →→=• 000021aSi El sistema es compatible indeterminado y su
solución es la siguiente:
=
+=
−=
⎯⎯⎯ →⎯
+
−⎯⎯→⎯
− +==
z
y
x
yz2
3
210
301
210
03012
12
21
21 2
1.
( ) →−• aaSi 2100021 El sistema es incompatible y no tiene
solución.
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A:
2)(0301
320
111
301
032
=→−=== ARangomenorunyA
21021
11
001
132
' =→=−=
+
= aa
a
a
A
2)'(21 =→→=• ARangoaSi
Por tanto como Rango (A) = Rango (A’) = 2 ≤ nº incógnitas, el sistema es compatible
indeterminado y el nº de parámetros será 3-2=1.
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DSE-24 Dado el sistema de ecuaciones que depende del parámetro a:
=++
=−+
=++
azyx
aazyx
azyx
32
2
a) Discutir el sistema según los valores de a.
b) Resolver el sistema para 1a =
Solución:
Procedemos a resolver el sistema por Gauss:
⎯⎯⎯ →⎯
−−−
−−−⎯⎯ →⎯
−−−
−−−
⎯⎯⎯ ⎯
⎯⎯⎯ →⎯
−−=
−=
−= 23332
133
122
0110
110
121
110
0110
121
132
11
121
2
FFFFF
FFF
FFF
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
−
−−−⎯⎯⎯ →⎯−=
aa
a
a
FFF
00
110
121
233
( ) →=• 00000aSi El sistema es compatible indeterminado y su
solución es la siguiente:
( )
⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
+−−
−⎯⎯→⎯
+−=−
−=−+
=
ay
aax
z a
a 2
10
21
=
−=
+−=
z
ay
ax
( ) →−• aaaSi 000 El sistema es compatible determinado y sus
soluciones son:
( ) ( )
( )
⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−
−−−
=−
−=−−−
=−+−+
aaz
ay
aax
aa
a
a
1
112
00
110
121
1
1
13
−=
−=
−=
z
ay
ax
Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el
determinante de la matriz A:
Zzzz acabar por rangos
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66 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones
DSE-25 Discutir según los valores de a, el sistema.
=++
=++
=++
1
1
1
azyx
zayx
zyax
Solución:
( ) ( )
1 1 11 1 0
' 1 1 1 , por tanto: 0 1 1 01 1 0
1 1 1
1
1
aa a
A a a a
a
a
aa a
+ = = −→
= = → + − = − = →
=
( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 11 1 1
Si 1 0 1, y como ' 1 1 1 1 y 01 1 1
1 1 1 1
' 2. Como ' el es .
aa ran A A
a
ran A ran A ran A sistema incompatible
− −
• = − → = → = = − −
→ =
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 11
Si 1 0 1, y como '= 1 1 1 1 ' 11
1 1 1 1
Como ' 1 el es y el número
de parámetros es 3-2=1
aa ran A A ran A
a
ran A ran A sistema compatible indeterminado
• = → = → = → =
= =
3 3
1 1
Si 1 y 1 1 1 1 1 3 2 0
1 1
a
a a A a a a a a a a
a
• − → = = + + − − − = − + =
a = 1
a = -2
Tras hacer Ruffini concluimos: ( ) ( )2 1 0
1 2 00
1
2 2
a
aA a a
a
a− = →= − +
=
=
+ → = −=
http
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https://aprendeconmigomelon.com 67
( )
( )
2 1 1 1 2 1 1
Si 2 0 2. ' 1 2 1 1 , y como 1 2 1 0
1 1 2 1 1 1 1
' 3
a A ran A A
ran A
− −
• = − → = → = = − − −
→ =
Si 1 y 1 y 2 el es det mina a a sistema compatible er ado• − − →
Conclusión:
( )
( ) ( )
1
Si ' 1
Nº de incóg.
. . . 1
3
1 S C I par
r
á
an A
ran A ta me ro
=
• → =
=
=
( )
( )
1Si
'.
21 .
ran A
ran Aa S I
= • →
=
=
−
( )
( )
2Si
'.
32 .
ran A
ran Aa S I
= • →
=
=
−
( )
( )1, 1, 2
3Si
'.
3. .
ran A
ranSa
AC D
= • →
=
= − −
http
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68 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones