Matematicas

Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

76 Función Potencia y Logarítmica

CONTENIDOS

Función potencia

Observa las siguientes gráficas correspondientes a la función f(x) = x2 yg(x) = x3.

f(x) = x2 g(x) = x3

¿Cuál es el dominio de cada función?Ambas funciones están definidas para todo �, es decir:

dom (f) = dom (g) = �

¿Cuál es el recorrido de cada función?En el primer caso, el rec (f) es �+

o y en el segundo es rec (g) = �.

Las funciones estudiadas anteriormente pertenecen al tipo de funcióndenominada función potencia: axn.

EJERCICIOS

1. Utilizando algún programa computacional, o

bien en papel milimetrado, grafica las siguientes

funciones. Luego responde.

y = x4 y = x5 y = x6 y = x7

a. Las funciones dadas, ¿son simétricas?

b. A medida que el exponente aumenta, ¿qué

sucede con las gráficas de las funciones?

c. ¿Cuál es el dominio de cada función?

d. ¿Cuál es el recorrido de cada función?

2. Se quiere construir una caja de cartón con

forma similar a un paralelepípedo recto de base

cuadrada. Se dispone de 12 dm totales de cinta

para pegarla en cada una de sus aristas. ¿Cuál

es el mayor volumen que puede tener la caja?

3. Determina para qué valores de x las siguientes

funciones son positivas.

a. y = 4x2; b. y = x323

Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde a esun número real y n = 0, 1, 2, 3,… Su dominio es �.

PARA ARCHIVAR

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77Función Potencia y Logarítmica

Análisis de la función potencia

Exponente par

Los siguientes gráficos corresponden a la función y = axn, para n par.

y = x2 y = x4 y = x6

y = –x2 y = –x4 y = –x6

Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:

• Si a > 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par tiene suvértice en el punto más bajo de la curva.

• Si a < 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par, tiene suvértice en el punto más alto de la curva.

• En ambos casos las gráficas presentan simetría respecto al eje Y, es decir,f(x) = f(–x), para todo x perteneciente al dominio de la función.

Sea y = axn una función potencia con n par, entonces:

Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:

PARA ARCHIVAR

EN EQUIPO

Grafiquen las siguientes funciones:

y = 0,05x2 y = x2

y = 3x2 y = 5x2

¿Qué sucede a medida que a

crece?

¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?

TIPS

Si f(x) = f(–x), para cualquier x

en el dominio, la función f es

par.

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X

Y Y Y

Y Y Y

X X

X

Y Y

X X

X X

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

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CONTENIDOS

Exponente impar

Ampliaremos nuestro análisis para n impar.

y = 2x3 y = x5 y = 4x7

y = – x3 y = –3x5 y = – x7

Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:

• Si a > 0, la gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cua-drante.

• Si a < 0, la gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuartocuadrante.

• Las gráficas presentan simetría central respecto al origen, es decir,f(–x) = –f(x), para todo x perteneciente al dominio de la función.

12

32

13

EN EQUIPO

Determinen qué sucede con el

gráfico de una función de la

forma y = axn para 0 < a < 1 y n

impar.

TIPS

Si f(–x) = –f(x), para cualquier x

en el dominio, a función f es

impar.

PARA ARCHIVAR

Sea y = axn una función potencia con n impar, entonces:

Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:

Y

X

Y

X

X X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y Y

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EJERCICIOS

1. Grafica las siguientes funciones (puedes

utilizar un programa computacional):

a. y = x4 y = (x + 2)4 y = (x – 2)4

b. y = 2x3 y = 2(x – 1)3 y = 2(x + 1)3

2. Construye 2 funciones polinomiales que corres-

pondan a una traslación horizontal en cada

caso. Dibuja los gráficos.

a. y = –3x3

b. y = 5x4

c. y = –5x5

3. A partir del gráfico de la función f(x) = 2x5,

haz un bosquejo de g(x) = 2x5 + 3.

a. ¿Qué semejanzas encuentras?

b. Según lo obtenido, ¿cómo se obtiene una

función trasladada verticalmente con

respecto a f(x) = –3x2?

4. Indica la función que representa a cada una

de las siguientes gráficas.

5. Comprueba que para una función del tipo

f(x) = axn + c, con n par, su recorrido está dado

por el intervalo [c, +��[.

6. Determina el dominio y recorrido de las

funciones del ejercicio 1, e indica para qué

valores son positivas.

EN EQUIPO

Comprueben que para el caso

de funciones potencia con expo-

nente par, también se cumple

este tipo de traslación.

Traslaciones verticales y horizontales

La figura muestra las gráficasde las siguientes funciones:

y = x3

y = (x + 2)3

y = (x – )3

Podemos observar que el gráfico deestas funciones polinomiales es elmismo pero trasladado con respectoal de la función potencia: x3.

12

Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c > 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la izquierda.

Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c < 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la derecha.

PARA ARCHIVAR

AYUDA

Las funciones polinomiales o

polinómicas son aquellas que se

pueden formar sumando fun-

ciones potencia, cuyos expo-

nentes correspondientes son

enteros. Ejemplos,

f(x) = 3x2 + x + 1

f(x) = –3x5 – 1

f(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 7

Y

X

Y

X

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Función logarítmica

Para estudiar las características de la función logarítmica, graficaremos en

Javamath, algunas de ellas.

Caso I. Consideremos la función logaritmica: f(x) = logb (x), con b > 1.Grafiquemos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones: f1(x) = log2 (x), f2(x) = log3 (x), f3(x) = log4 (x) y f4(x) = log5 (x).

Si observamos los gráficos de las funciones anteriores, podemos generalizarcon respecto a la función f(x) = logb (x) que para b > 1:

• La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).

• La función es creciente para todo valor real de x.• El dominio de la función son los números reales positivos: �+



CONTENIDOS

EJERCICIOS

1. Utilizando Javamath, grafica las siguientes

funciones. Luego, responde en tu cuaderno.

i. f(x) = log5 (x) iii. f(x) = log15 (x)

ii. f(x) = log10 (x) iv. f(x) = log20 (x)

a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas

entre las gráficas? Justifica.

2. Dada la función y = log7 (x), grafícala y deter-

mina observando el gráfico, el valor aproximado

a las décimas de los siguientes logaritmos.

a. log7 (4) c. log7 (10)

b. log7 (7) d. log7 (2)

AYUDA

El programa Javamath acepta como

expresiones válidas los siguientes

logarítmos: log10 y log2 .

Para escribir expresiones en el

computador debes usar lo si-

guiente:

f(x)=log10 x ⇒⇒ f(x)=log10(x)

f(x)=log2 x ⇒⇒ f(x)=log2(x)

Para otras base deberás usar

cambio de variable:

f(x)=log3x⇒⇒ f(x)=log10(x)/log10(3)

La función logarítmica se representará por f(x) = logb (x), donde labase b es un valor perteneciente a �+ – {1}.

X

Y

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Caso II. Consideremos la función f(x) = logb (x), con 0 < b < 1.En un mismo sistema de coordenadas grafiquemos las siguientes funciones:f1(x) = log (x), f2(x) = log (x), f3(x) = log0,6 (x) y f4(x) = log0,75 (x).

Observando las gráficas anteriores de la función, con 0 < b < 1, se puedegeneralizar lo siguiente:

• la curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).

• La función es decreciente para todo valor real de x.• Los reales positivos son el dominio de la función: �+.

¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?

12

13

PARA ARCHIVAR

La función logarítmica, f(x) = logb (x), tiene las siguientes características: - El dominio de la función son los números reales positivos.- El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es �.- La curva asociada a la función, intersecta al eje de las abscisas en el

punto (1, 0).

Si b > 1, entonces la función Si 0 < b < 1, entonces la funciónes creciente. es decreciente.

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X

Y

X X

Y Y

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EJERCICIOS

1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 (x),

determinar:

a. f(4) e. f� �b. f(16) f. 2f(2) – 6f� �c. f(32) g. 2f(4) + 3f(32) – f� �d. f� � h. 2f(128) – 8f� �

2. Determina si las siguientes proposiciones son

verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a. La función f(x) = log(x) es creciente.

b. La gráfica de la función f(x) = log3 (x)

pasa por el punto (2, 9).

c. Una función logarítmica es decreciente

para valores negativos de x.

d. Una función logarítmica es siempre

creciente.

e. La gráfica de una función logarítmica es

siempre simétrica con respecto al eje

de las abscisas.

f. El punto, (1, 0) pertenece a cualquier

función logarítmica.

1128

18

18

12

164



CONTENIDOS

Distintas gráficas de la función logarítmica

Ya conocida la función f(x) = logb (x), con b perteneciente a �+ – {1},

analizaremos distintas gráficas según sea el caso.

b = 10 y a > 0

f1(x) = log (x)

f2(x) = 2 log (x)

f3(x) = 4 log (x)

f4(x) = 0,5 log (x)

b = 10 y a < 0

f1(x) = log (x)

f2(x) = –3 log (x)

f3(x) = –5 log (x)

f4(x) = –0,3 log (x)

b = 2 y a > 0

f1(x) = log2 (x)

f2(x) = 2 log2 (x)

f3(x) = 4 log2 (x)

f4(x) = 0,5 log2 (x)

b = 2 y a < 0

f1(x) = log2 (x)

f2(x) = –3 log2 (x)

f3(x) = –5 log2 (x)

f4(x) = –0,3 log2 (x)

Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb (x) con a perteneciente a �.Graficaremos las siguientes funciones.

f3(x)

f2(x)f1(x)f4(x)

f3(x)

f2(x)

f1(x)f4(x)

f3(x)

f2(x)

f1(x)

f4(x)

f3(x)

f2(x)f1(x)f4(x)

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

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Observamos, en las gráficas anteriores, que dada la función f(x) = a logb (x),con b perteneciente a �+ – {1} que:

• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.

¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?

con

En el caso II, observamos que las gráficas corresponden a traslaciones hori-zontales de la función f1(x) = log (x) y según sea el valor de a, positivo onegativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectiva-mente.

En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o haciaarriba, según sea el valor positivo o negativo de a.

EJERCICIOS

1. Utilizando algún programa computacional

grafica las siguientes funciones logarítmicas.

Luego indica el tipo de traslación en relación a

la función f(x) = log (x).

a. f(x) = log (x) + 4 c. f(x) = –log (x + 1)

b. f(x) = log (x – 5) d. f(x) = 2 log (x) – 3

2. Grafica las siguientes funciones, y luego responde.

i. f(x) = log (x – 1) + log (x + 1)

ii. f(x) = log (x + 2) + log (x – 2)

iii. f(x) = log (x – 3) + log (x + 3)

a. ¿Qué regularidad observas entre las gráficas?

b. ¿Cuál es el dominio de cada función?

c. ¿Las funciones son crecientes o decrecientes?

3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas

las siguientes funciones, y luego responde.

i. f(x) = log (x) y f1(x) = –log (x)

ii. g(x) = log2 (x) y g1(x) = –log2 (x)

iii. m(x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)

a. ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras

entre las gráficas de las funciones de i?,

¿y de ii?, ¿y de iii?

b. En las funciones de i, ii y iii, ¿cuál es

el punto de intersección con el eje X?

c. ¿Cuál es el dominio de las funciones i, ii

y iii?

Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a ∈ �.

Para b = 10

f1(x) = log (x)

f2(x) = log (x + 1)

f3(x) = log (x – 1)

Caso III. Sea f(x) = logb (x) + a, con a ∈ �.

Para b = 10

f1(x) = log (x)

f2(x) = log (x) + 3

f3(x) = log (x) – 3

EN EQUIPO

Discutan la siguiente pregunta.

En el caso II o III, ¿cambiará la

gráfica de la función si la base

del logaritmo toma otro valor?

Justifiquen su respuesta.

f2(x)

f2(x) f1(x) f3(x)

f1(x)

f3(x)

X

Y

X

Y

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