MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS DETERMINANTES · ejemplos de aplicaciÓn de las propiedades de los...

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

DETERMINANTES

Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”

DETERMINANTES

1. CONCEPTO, CÁLCULO DE DETERMINANTES.

Definición: A cada matriz cuadrada A=(aij),de orden n, se le asigna un número real, denominado

determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A|=det (A)=

1.-Determinante de orden uno: |a11| = a11; |5| = 5

2.-Determinante de orden dos: = a 11 a 22 - a 12 a21;

3.-Determinante de orden tres:

Sea una matriz cuadradade orden 3, A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

=a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - a 13 a22 a31– a12 a21 a 33 – a11 a23 a32.

=3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) – 2 · 0 · 4 – 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 – (-4) – 0 – (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz.

Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo

negativo (cambian su signo).

Regla de Sarrus:Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una

regla para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las

diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto:

Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de

las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo:

|𝟏 𝟐 𝟑𝟏 𝟏 −𝟏𝟐 𝟎 𝟓

| = [𝟏 · 𝟏 · 𝟓 + 𝟐 · (−𝟏) · 𝟐 + 𝟑 · 𝟏 · 𝟎] − [𝟑 · 𝟏 · 𝟐 + 𝟐 · 𝟏 · 𝟓 + 𝟏 · 𝟎 · (−𝟏)] = −𝟏𝟓


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Definición: Se llama MENOR COMPLEMENTARIO de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Definición: Se llama ADJUNTO Aij del elemento aij, al menor complementario anteponiendo: el signo + si i+j es par y el signo es – si i+j es impar.

La matriz de los adjuntos se denomina Matriz Adjunta de A: Adj(A).

4.-Cálculo de un determinante de cualquier orden

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea

por sus adjuntos correspondientes:

|A|=a11·A11+a12·A12+...+a1n·A1n

Ejemplo:

|𝟏 𝟐 𝟑𝟏 𝟏 −𝟏

−𝟐 𝟎 𝟓| = 𝟏 · |

𝟏 −𝟏𝟎 𝟓

| − 𝟏 · |𝟐 𝟑𝟎 𝟓

| + (−𝟐) · |𝟐 𝟑𝟏 −𝟏

| = 𝟏 · (𝟓 − 𝟎) − 𝟏 · (𝟏𝟎 − 𝟎) − 𝟐 · (−𝟐 − 𝟑) = 𝟓 − 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 = 𝟓

Hallar el determinante de: |𝟏 𝟐 𝟑𝟒 𝟓 𝟔𝟕 𝟖 𝟗

| ; |𝟏 𝟐 𝟎𝟏 −𝟏 𝟑

−𝟒 −𝟐 𝟒| ; |𝟏 − 𝒂𝟐 𝒂 − 𝟏

𝒂 + 𝟏 𝟏| ; |

𝒎 𝟏 𝟑𝟏 −𝟏 −𝟏𝟓 −𝟑 𝒎

|

5.-Determinantes de algunas matrices especiales

a) Determinante de una matriz Nula: A=0 / aij=0; |A|=0; Ej.: |𝑨| = |𝟎 𝟎𝟎 𝟎

| = 𝟎.

b) Determinante de la matriz Identidad: |In|=1; Ej.: |𝑰| = |𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

| = 𝟏;

c) Determinante de la matriz Diagonal: |A|=a11·a22· … ·ann; Ej.:|𝑨| = |−𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝟑

| = −𝟏 · 𝟐 · 𝟑 = −𝟔

d) Determinante de la matriz Triangular: |Ts|=|Ti|= a11·a22· … ·ann;

Ej: |𝑻𝒔| = |−𝟏 𝟐 𝟓𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟎 𝟑

| = −𝟏 · 𝟐 · 𝟑 = −𝟔; |𝑻𝒊| = |−𝟏 𝟎 𝟎−𝟐 𝟐 𝟎𝟑 𝟒 𝟑

| = −𝟏 · 𝟐 · 𝟑 = −𝟔


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6.-Cálculo abreviado de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, podrá valer 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos:

1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

2.1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).

2.2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe. Es decir, sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

2.3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

2.4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

= 2(-58)=-116


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EJEMPLOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES


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2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

P.1. El determinante de A es igual al de su traspuesta: |A|=|At|.

|𝐴| = |1 2 34 0 −10 9 15

| = −3; |𝐴𝑡| = |1 4 02 0 93 −1 15

| = −3

P.2. El determinante de un producto es igual al producto de determinantes: |A·B|=|A|·|B|

|2 1 01 2 01 2 1

| · |1 2 33 4 51 1 0

| = |5 8 117 10 138 11 13

|

3 · 2 = 6

P.3.Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un

escalar (nº real), el determinante queda multiplicado por dicho escalar:

det (F1,F2,…,KFi,…,Fn)= K·det (F1,F2,…,Fi,…,Fn)

det (C1,C2,…,KCi,…,Cn)= K·det (C1,C2,…,Ci,…,Cn)

|5 10 −154 5 −61 1 0

| = 𝟓 · |𝟏 𝟐 −𝟑4 5 −61 1 0

| = 5 · (−𝟑) |1 2 𝟏4 5 𝟐1 1 𝟎

| = −15 · (−1) = 15

P.4.Si una matriz A de orden n la multiplicamos por un escalar (nº real), el determinante de la

nueva matriz es kn veces el determinante de A: |k·A|=kn·|A|.

Det (k·A)=det (kF1,kF2,…,KFi,…,kFn)= Kn·Det (F1,F2,…,Fi,…,Fn)=kn·det(A)

Det (k·A)=det (kC1,kC2,…,KCi,…,kCn)= Kn·Det (C1,C2,…,Ci,…,Cn)=kn·det(A)

2 · (1 0

−1 2) = (

2 0−2 4

) ; |2 · (1 0

−1 2)| = |

2 0−2 4

| = 2 · 2 · |1 0

−1 2| = 22 · |

1 0−1 2

| = 8

P.5.Si permutamos dos filas (o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo:

det(F1,F2,F3,…,Fn)=- det(F1,F3,F2,…,Fn)

det(C1,C2,C3,…,Cn)=- det(F1,C2,Fn,…,F3)

|1 3 40 1 0

−1 2 0|=-|

3 1 41 0 02 −1 0

| = |1 0 03 1 42 −1 0

|

P.6.Si una matriz A tiene una fila (o columna) con todos sus elementos nulos, su determinante

vale 0:

det (F1,0,F3,…,Fn)=0; det (C1,C2,0,…,Cn)=0

|1 3 40 0 0

−1 2 0| = 0


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P.7.Si una matriz tiene 2 filas (o 2 columnas) iguales o proporcionales, su determinante es 0:

det (F1,F2,K·F2,…,Fn)=0; det (K·C3,C2,C3,…,Cn)=0

|1 3 40 1 0

−1 −3 −4| = 0; |

1 3 40 0 0

−1 −3 0| = 0

P.8.Si una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal de las restantes filas (o

columnas), entonces su determinante vale 0 (y viceversa):

det (F1,F2,K·F1+k’·F2)=0; det (K·C2+k’·C3,C2,C3)=0

𝐹1 →𝐹2 →𝟐𝑭𝟐 − 𝑭𝟏 →

|1 2 34 5 6𝟕 𝟖 𝟗

| = 0

P.9.Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz se descomponen en dos

sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tiene

iguales todas las líneas excepto dicha línea cuyos sumandos pasa, respectivamente, a cada uno de

los determinantes:

det (F1+F1’,F2,F3)=det (F1,F2,F3)+det (F1’,F2,F3);

det (C1,C2+C2’,C3)=det (C1,C2,C3)+det (C1,C2’,C3)

|3 6 91 3 57 4 8

| = |𝟏 + 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟑 + 𝟔

1 3 57 4 8

| = |𝟏 𝟐 𝟑1 3 57 4 8

| + |𝟐 𝟒 𝟔1 3 57 4 8

| = 7 + 14 = 21

|1 5 + 2 34 0 + 7 −10 3 + 6 5

| = |1 5 34 0 −10 3 5

| + |1 2 34 7 −10 6 5

| = −61 + 73 = 12

P.10.Si a los elementos de una fila (o columna) se le suma una combinación lineal de otras filas

(o columnas), su determinante no varía:

det (F1+F2,F2,F3)=det (F1,F2,F3)+det (F2,F2,F3)=det (F1,F2,F3)

det (C1,C2+C3,C3)=det (C1,C2,C3)+det (C1,C3,C3)=det (C1,C2,C3)

|1 3 40 1 0

−1 2 0| = |

1 + 0 3 + 1 4 + 00 1 0

−1 2 0| = |

1 3 40 1 0

−1 2 0| + |

0 1 00 1 0

−1 2 0| = |

1 3 40 1 0

−1 2 0|

P.11. El determinante de la matriz A-1 es: |𝑨−𝟏| =𝟏

|𝑨| .

Demostración: A·A-1=I; |A·A-1|=|A|·|A-1|=|I|=1; |𝐴−1| =1

|𝐴|


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EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES


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3. RANGO DE UNA MATRIZ

Definición: Menor de orden k de una matriz A es toda (sub)matriz cuadrada de orden k

perteneciente a la matriz A.

𝐴 = (1 0 0

−2 1 −14 0 1

3 20 31 2

) ;

𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3: (1 0 0

−2 1 −14 0 1

) ; (1 3 2

−2 0 34 1 2

) ; …

𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛2: (−1 01 1

) ; (1 04 0

) ; (0 31 2

) ; …

𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 1: (1); (0); (−2); (1); (1); …

Definición 1: RANGO de una matriz A, rg(A)=r(A), es el orden del mayor “menor” con

determinante no nulo de la matriz A.

Definición 2: RANGO de una matriz A es el número de filas o columnas linealmente

independientes.

¿Cómo obtener el Rango de una matriz?:

Método A: Por determinantes:

1.-Previamentepodemos descartar una fila o columna, si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos filas (o columnas) iguales o proporcionales.

Una fila o columna es combinación lineal de otras.

2.-Vamos calculando los determinantes de los “menores de mayor dimensión” (p.e. k) de la

matriz dada.

3.-Si algún el determinante de algún menor es no nulo rg(A)=k

4.-Si todos los determinantes de todos los menores de orden k son nulos rg(A)<k

5.-Procedemos desde (1) con todos los menores de orden k-1.

6.-Y así sucesivamente… Termina el proceso cuando algún menor (en orden decreciente) no nulo.

Ejemplo:

1.-Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos

primeras: C3 = C1 + C2

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento

de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. |2|=2≠0 3. Tendrá rango 2 si existe alguna (sub)matriz de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna (sub)matriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las (sub)matrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2. 5. Si tiene rango 3 y existe alguna (sub)matriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4.

De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.


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Método B: Por GAUSS:

Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

F3 = 2F1;F4 es nula; F5 = 2F2 + F1; r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

F2 = F2 - 3F1

F3= F3 - 2F1

Por tanto r(A) = 3.


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4. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

Proposición: Una matriz A es regular o invertible (es decir, que tiene inversa) si su

determinante no es nulo. En caso contrario la matriz es singular.

|A|≠0 A es regular A-1

|A|=0 A es singular ∄A-1

Cálculo de la inversa de una matriz: 𝑨−𝟏 =𝟏

|𝑨|· [𝑨𝒅𝒋(𝑨)]𝒕

Donde: A-1=Matriz Inversa;

|A|=Determinante de la matriz A;

Adj(A)=Matriz adjunta, sus elementos son los “adjuntos” de cada elemento de la matriz A;

[Adj(A)]t=Matriz traspuesta de la matriz adjunta.

Ejemplo: Calcular la matriz inversa de:

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la

adjunta.

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/adjunto.html


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EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA MATRIZ INVERSA

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