Matemáticas 1 - Portafolio de...
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
DATOS PERSONALES
Grupo _____________
Nombre: ____________________________________________________
Matrícula: _______________ Periodo: ____________
3
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Contenido PRESENTACIÓN......................................................................................................................
1
DATOS PERSONALES…………………………………………………………………………………….
2
CONTENIDO ..........................................................................................................................
3
ACERCA DEL CURSOS .........................................................................................................
6
1. LÓGICA Y CONJUNTOS ....................................................................................................
7
Esquema del capítulo…………………………………………………………………………………….
8
1.1 Definición y notación de conjuntos………….…………..………………………………… 9 ACTIVIDAD 1……………………................................................................................................................................ 10 ACTIVIDAD 2……………………................................................................................................................................ 11 ACTIVIDAD 3……………........................................................................................................................................... 12 ACTIVIDAD 4……………………................................................................................................................................ 13 ACTIVIDAD 5……………………................................................................................................................................ 14 GUIA DE OBSERVACIÓN…………..……………………………………………………………………………………
15
1.2 Operaciones con conjuntos y Diagramas de Venn…............................................ 16 ACTIVIDAD 6…......................................................................................................................................................... 18 ACTIVIDAD 7….......................................................................................................................................................... 19 ACTIVIDAD 8….......................................................................................................................................................... 21 ACTIVIDAD 9….......................................................................................................................................................... 22 ACTIVIDAD 10…....................................................................................................................................................... 23 GUIA DE OBSERVACIÓN…………..……………………………………………………………………………………
24
1.3 Lógica matemática…….................................................................................................... 25 ACTIVIDAD 11 ....................................................................................................................................................... 26 ACTIVIDAD 12 ....................................................................................................................................................... 27 ACTIVIDAD 13 ....................................................................................................................................................... 28 ACTIVIDAD 14 ....................................................................................................................................................... 29 ACTIVIDAD 15 ....................................................................................................................................................... 30 GUIA DE OBSERVACIÓN………………………………………………………………………………………………...
32
2. NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA…..................................
33
2.1 Estadística Descriptiva……........................................................................................... 34 Proceso estadístico. Mapa conceptual……………………………………………………… 35
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Medidas de tendencia central y dispersión………………………………………… 36 ACTIVIDAD 16……………………………………………………………………………………………………………… 37 ACTIVIDAD 17…………………………………………………………………………………………………………….. 38 ACTIVIDAD 18…………………………………………………………………………………………………………….. 39 ACTIVIDAD 19…………………………………………………………………………………………………………….. 40 ACTIVIDAD 20…………………………………………………………………………………………………………….. 41 ACTIVIDAD 21…………………………………………………………………………………………………………….. 42 ACTIVIDAD 22…………………………………………………………………………………………………………….. 44 ACTIVIDAD 23…………………………………………………………………………………………………………….. 45 ACTIVIDAD 24…………………………………………………………………………………………………………….. 46 ACTIVIDAD 25…………………………………………………………………………………………………………….. 48
2.2 Conceptos de probabilidad………………………………………………………………………. 49 ACTIVIDAD 26…………………………………………………………………………………………………………….. 51 ACTIVIDAD 27……………………………………………………………………………………………………….. 52 ACTIVIDAD 28…………………………………………………………………………………………………………….. 53 ACTIVIDAD 29…………………………………………………………………………………………………………….. 54 ACTIVIDAD 30…………………………………………………………………………………………………………….. 56 GUIA DE OBSERVACIÓN………………………………………………………………………………………………
57
3. ARITMÉTICA………………………………………………………………………………………………….
58
Esquema del capítulo…………………………………………………………………………………….. 59 3.1 Campo de los números reales 60 ACTIVIDAD 31……………………………………………………………………………………………………………. 62 ACTIVIDAD 32……………………………………………………………………………………………………………. 63 ACTIVIDAD 33……………………………………………………………………………………………………………… 64
3.2 Operaciones con números reales…………………………………………………………… 65 ACTIVIDAD 34…………………………………………………………………………………………………………….. 66 ACTIVIDAD 35…………………………………………………………………………………………………………….. 67 ACTIVIDAD 36…………………………………………………………………………………………………………….. 68 ACTIVIDAD 37…………………………………………………………………………………………………………….. 69 ACTIVIDAD 38…………………………………………………………………………………………………………….. 70 ACTIVIDAD 39…………………………………………………………………………………………………………….. 71 ACTIVIDAD 40…………………………………………………………………………………………………………….. 72 ACTIVIDAD 41…………………………………………………………………………………………………………….. 73 ACTIVIDAD 42…………………………………………………………………………………………………………….. 74 ACTIVIDAD 43……………………………………………………………………………………………………….. 76 ACTIVIDAD 44……………………………………………………………………………………………………………..
78
3.3 Porcentajes, razones y proporciones……………………………………………………….. 79 ACTIVIDAD 45…………………………………………………………………………………………………………….. 80 ACTIVIDAD 46……………………………………………………………………………………………………………… 81 ACTIVIDAD 47……………………………………………………………………………………………………………… 82 ACTIVIDAD 48………………………………………………………………………………………………………………. 83
5
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 49…………………………………………………………………………………………………… 84
3.4 Secuencias numéricas……………………………………………………………………………… 85 ACTIVIDAD 50………………………………………………………………………………………………………………. 86 ACTIVIDAD 51……………………………………………………………………………………………………………… 87 ACTIVIDAD 52………………………………………………………………………………………………………………. 88 GUÍA DE OBSERVACIÓN…………………………………………………………………………………………………
89
4. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA……….……………………………………………………………
90
Esquema del capítulo……………………………………………………………………………………. 91 4.1 Expresiones algebraicas………………………………………………………………………..... 92 ACTIVIDAD 53………………………………………………………………………………………………………………. 93 ACTIVIDAD 54………………………………………………………………………………………………………………. 94 ACTIVIDAD 55……………………………………………………………………………………………………………….
95
4.2 Operaciones con expresiones algebraicas………………………………………………. 96 ACTIVIDAD 56………………………………………………………………………………………………………………. 97 ACTIVIDAD 57………………………………………………………………………………………………………………. 99 ACTIVIDAD 58………………………………………………………………………………………………………………. 100 ACTIVIDAD 59………………………………………………………………………………………………………………. 101 ACTIVIDAD 60……………………………………………………………………………………………………………. 102 ACTIVIDAD 61………………………………………………………………………………………………………………. 103 ACTIVIDAD 62………………………………………………………………………………………………………………. 104 ACTIVIDAD 63………………………………………………………………………………………………………………. 105 ACTIVIDAD 64………………………………………………………………………………………………………………. 106 ACTIVIDAD 65………………………………………………………………………………………………………………. 107
ACTIVIDAD 66………………………………………………………………………………………………………………. 108
ACTIVIDAD 67………………………………………………………………………………………………………………. 109
GUIA DE OBSERVACIÓN………………………………………………………………………………………………… 110
Radicales. Esquema del capítulo…………………………………………………………………… 111
ACTIVIDAD 68………………………………………………………………………………………………………………. 112
ACTIVIDAD 69………………………………………………………………………………………………………………. 113
ACTIVIDAD 70………………………………………………………………………………………………………………. 114
ACTIVIDAD 71………………………………………………………………………………………………………………. 115
GUIA DE OBSERVACIÓN…………………………………………………………………………………………………
116
BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………. 118
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Acerca del curso… Matemáticas 1 - PM1006 2007
http://www.itesm.mx/va
Intención del curso
En este curso se tiene la intención de que el alumno consolide y profundice el uso y
dominio de los conceptos básicos matemáticos, para lo cual es necesario que conozca y utilice
la notación y terminología adecuada.
Se fomentará el desarrollo de un pensamiento lógico, crítico y creativo, así como la
paciencia, tenacidad y constancia en la resolución de problemas, de tal forma que el alumno
comience a visualizar a las matemáticas como herramienta para describir y entender
problemas diversos de nuestro entorno.
Este cuaderno de trabajo lo podemos considerar como una introducción al álgebra,
para este primer acercamiento se ha propuesto el trabajo con los siguientes grandes temas:
conjuntos, lógica, conceptos básicos de estadística y probabilidad, operaciones con números
enteros, operaciones con fracciones, expresiones algebraicas, radicales y números complejos.
Objetivo general del curso
Al finalizar este curso el alumno será capaz de:
Realizar operaciones numéricas y algebraicas, aplicando las propiedades de los
números reales y modelar situaciones reales haciendo uso del lenguaje algebraico.
Resolver problemas de conteo utilizando la teoría de conjuntos.
Organizar, representar e interpretar datos estadísticos que le permitan comunicar sus
ideas y tener elementos para la toma de decisiones.
Tiempo estimado de cada tema
1. Lógica y Conjuntos 15 horas
2. Nociones básicas de Probabilidad y Estadística 15 horas
3. Aritmética 12 horas
4. Introducción al Álgebra 30 horas
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
1. Lógica y Conjuntos
Definición y notación de conjuntos
Operaciones con conjuntos y diagramas de Venn
Lógica matemática
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Esquema del capítulo
Definición y notación de conjuntos. Operaciones con conjuntos y
diagramas de Venn
Lógica matemática
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
1.1 Definición y notación de conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman
elementos. Un conjunto debe ser descrito de tal manera que dado un objeto sea posible
decidir si es o no elemento del conjunto. Si es un elemento y un conjunto, escribimos
para decir que pertenece a . Para señalar que un objeto no es un elemento del
conjunto , escribimos .
Llamaremos Universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de
referencia para formar conjuntos .
Usaremos letras mayúsculas para representar conjuntos y minúsculas para denotar a los
elementos. Para escribir un conjunto emplearemos llaves, abriéndola por el lado izquierdo y
cerrándola por el lado derecho, entre estas dos llaves estarán los elementos del conjunto.
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Si el número
de elementos es un entero no negativo, decimos que el conjunto es finito. Cuando un conjunto
no es finito, se dice que es infinito.
Cuando dos conjuntos finitos tienen la misma cardinalidad, decimos que los
conjuntos son equivalentes y escribimos .
Para dos conjuntos , escribimos si todo elemento del conjunto es un
elemento del conjunto y en ese caso decimos que A es subconjunto de . Cuando al
menos un elemento de no pertenece a , escribimos .
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos y escribimos .
10
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 1
E R T Y U I O P S U B C O N J U N T O H J Y U I L
E I T N H T Y U N M I O L Ñ E E D S C W Q Z Y J I
L O N E C O N J U N T O S A L E D C R T J L O M S
E S C F D E C O M E T O D O E S U E R T E C O N T
S E R I I O J L L A V E S Y M I N U S C U L A S L
D C R I T N O L O Y G R E A E S V E S T N S Z Q I
S O B U E N I T A S E R D Q N N U L I T I E D C I
T M E R I O L T Ñ N D E S I T L P O L I V E R I D
S P I T H N M I O D C E R T O I L O Ñ P E E R F G
D R E W B H E J U L O I Y B D B N T D E R S G T J
R E D N I J E N U M E R A C I O N L O J S M X D R
D N F G T U K I K L H N T I L O P E R I O L O Ñ P
A S E D S I T I O L P Ñ P T Y U U O E D I N E O S
S I S A S E G U R O Q U E Q U I E R E S I N I T E
C O C R O I L U G H T I L P E L E T I Y O C E R T
I N S F I L O E C F R T H N M I L O P E A C A S A
C U N A L O T P E R T E N E C E L O S V F O C O S
S U S O E D C T I L O P F G H Y R C S D S S A C E
L O S T S D T Y J L O I T R Y B Y U L E U I L O P
S A D I E F T E Y T N M R T I L O S L F T Y U I L
S O S N S X W O I R A T I N U S D A D V G T Y I L
S C I I D S C Y I L L K J U H T U G Y R Y Y G R H
N H T F U J G O A E Z S E G F G E D G T Y J U I L
Ñ C A R D I N A L I D A D R I I H R J A J E N O S
J H T G F R D N J K H Y G T F R J Y H G T F T F L
Encuentra las siguientes palabras:
CONJUNTO ELEMENTO LLAVES Y MINUSCULAS
ENUMERACION COMPRENSION PERTENECE
UNIVERSO VACIO UNITARIO
IGUALES AJENOS FINITO
INFINITO SUBCONJUNTO CARDINALIDAD
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 2.
Contesta brevemente lo que se te pide:
1. ¿Qué es un Conjunto?___________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Qué es un Elemento?___________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. ¿Cómo se indican los elementos de un conjunto?______________________________
_____________________________________________________________________
4. ¿Qué es un conjunto por enumeración?______________________________________
_____________________________________________________________________
5. ¿Qué es un conjunto por comprensión? _____________________________________
_____________________________________________________________________
6. Indica el significado de cada símbolo _____________________________________________________________________
7. ¿Qué es conjunto universo?_______________________________________________
_____________________________________________________________________
8. ¿Qué es conjunto vacio?_________________________________________________
_____________________________________________________________________
9. ¿Qué es conjunto unitario?________________________________________________
_____________________________________________________________________
10. ¿Qué son conjuntos iguales? ______________________________________________
_____________________________________________________________________
11. ¿Qué son conjuntos ajenos? ______________________________________________
_____________________________________________________________________
12. ¿Qué es un conjunto finito e infinito? _______________________________________
_____________________________________________________________________
13. ¿Qué es un subconjunto? _________________________________________________
_____________________________________________________________________
14. ¿Qué es la cardinalidad de un conjunto? _____________________________________
_____________________________________________________________________
12
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 3
I. Indicar los siguientes conjuntos en su forma de comprensión:
1. A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
___________________________________________________________________________
2. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} __________________________________________________
3. C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} ___________________________________________
4. D = {luna} ________________________________________________________________
5. E = {l} ___________________________________________________________________
II. Dar los siguientes conjuntos en su forma de enumeración:
6. A = {x | x es el nombre y primer apellido de un niño héroe} _________________________
7. B = {x | x es un número natural menor o igual a 7} ________________________________
8. C = {x | x es un número natural entre 2 y 7} _____________________________________
9. D = {x | x es un número natural aumentado en múltiplo de 3} ________________________
10. E = {x/x es un planeta del sistema solar} _______________________________________
III. Define cada conjunto por extensión.
11. A = {x/x es el conjunto de los números naturales inferiores a 4}._____________________
12. B = {x/x es impar mayor que 1 y menor de 10} __________________________________
13. C = {x/x es el conjunto de los sucesores de 4, 5, 6}._______________________________
14. D = {x/x es el conjunto de enteros dados por si pertenece a 5, 10, 15} ____________
15. E= {x/x es el conjunto de los números no indicados en 1, 3, 5,…17, 19, 21} ___________
13
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 4
I. Sea el siguiente conjunto: A = {rosa, geranio, clavel}. Decir si ese elemento pertenece
( .
1. rosa _____ A 2. Flor ____ A 3. {rosa, clavel} ____ A
II. Sean los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}.
Decir si es subconjunto ( ) o no ( ).
4. 5. A ____ U 6. A ____ B 7. B ____ U
III. Obtener la cardinalidad de los siguientes conjuntos:
8. A = {x | x es un mes del año que tenga la letra "r"} __________
9. B = {x | x es número primo menor que 20} _________
10. C = {x | x es un número entero positivo entre 3 y 7} __________
11. D = {x | x es un número entero positivo entre 2 y 5, incluyendo los números indicados}
__________
12. E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ________
13. F = {x | x es un número real} _________
IV. Indica si cada uno de los enunciados siguientes es verdadero o falso, en relación con
los conjuntos indicados.
14. A y B son conjuntos iguales __________
15. B y E son conjuntos iguales ___________
16. C es el conjunto vacío ___________
17. 6 B _________
18. ½ B _________
19. 1 A y 0 C _________
20. ¼ F y ½ E __________
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 5
I. Escribe por notación de conjuntos las siguientes afirmaciones:
1. ____________ 5. _______________
2. 6. __________________
3. _________ 7. _________
4. ________ 8. _____________
II. Indica si los conjuntos son finitos o infinitos:
9. Las estaciones del año 13. {x/x es una ciudad del planeta tierra}
________________________________ _________________________________
10. Los seres humanos que habitan en la 14. {x/x es un número entero}
Tierra ________________________ __________________________________
11. {1, 2, 3,... 100000} 15. El conjunto de los múltiplos de 4
________________________________ __________________________________
12. {x/x es un número impar} 16. {x/x es un número racional mayor que
________________________________ 4 pero menor que 5} ______________
III. Determina la cardinalidad de los siguientes conjuntos:
17. ________ 19. ________
18. __________ 20. __________
IV. Escribe todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos del conjunto:
21.
22.
23.
24.
25.
15
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Guía de observación
Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con
los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber
cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la
respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.
Indicador Dominio
Observaciones
1. Define conjuntos por enumeración y
por comprensión.
2. Identifica y utiliza correctamente la
siguiente terminología
a) Relación de pertenencia:
b) Notación de subconjuntos,
subconjunto propio e impropio:
3. Identifica los diferentes tipos de
conjuntos
4.Define la cardinalidad de un conjunto
TOTAL
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
1.2 Operaciones con conjuntos y Diagramas de Venn.
Unión La unión del conjunto A y el conjunto B, es el conjunto de elementos que
pertenece al conjunto A o al conjunto B.
A B = {x/x Є A o x Є B}
Intersección La intersección del conjunto A y el conjunto B, es el conjunto de todos los
elementos que son comunes a ambos conjuntos.
A ∩ B = {x/x Є A y x Є B}
Llamaremos Universo al conjunto que en un momento dado
es usado como marco de referencia para formar conjuntos
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Complemento
Consideramos a U como el conjunto Universo y definimos el
complemento de como todos los elementos del Universo que no
pertenecen al conjunto .
Diferencia
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, definimos el conjunto diferencia
A – B como sigue:
A – B {x/x Є A y x Є B}
Observación: Ac se puede considerar como la diferencia entre U y A
Ac
= U – A = {x/x Є U y x Є A}
Leyes de Morgan (A B) c
= Ac
Bc (A B)
c = A
c
B c
Ac o A´= {x Є U / x Є A}
U A B U A B
18
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 6
I. Determina
1.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 4, 5}
2.
A = {3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8…}
II. Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {1, 4, 7, 10}
Encontrar los siguientes conjuntos:
1. A – C 4. C – A
5. (A – B) (B – C)
19
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 7
I. Contesta verdadero o falso.
1. _____ 3.
Entonces A = B _____
5. _____
2. _____ 4. _____ 6. Entonces _____
II. Elabora el diagrama de Venn de los conjuntos
7. 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19,20}
8.
9.
20
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
III. Si A = {2, 4, 5}, B = {a, b, c, 4} y C = {-1, 3, a, 5}, encuentra:
10.
13. 16.
11.
14. 17.
12.
15. 18.
IV. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f} y el conjunto A = {a, e}.
19. Hallar A' = _______________________________
V. Sea el conjunto universal U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los conjuntos
A = {2, 3, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9} y C = {0, 2, 4, 6, 8}, Hallar:
20.
22. 24.
21.
23. 25.
VI. Sea U = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}.
Hallar:
26.
27. [ ]
28. [ ]
21
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 8
En cada uno de los siguientes diagramas sombrea la región que corresponde a cada
una de las relaciones u operaciones entre los conjuntos indicados.
1. A – B 2. A´ 3.
4. 5. 6.
7. 8. ´ 9.
10. 11. 12.
22
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 9
PROBLEMAS
1. En una encuesta a 200 estudiantes que cursan Matemáticas se encontró que: 68 se
comportan bien en clase; 138 tienen habilidad para la materia; 160 son participativos; 120 son
participativos y tienen habilidad; 20 se comportan bien y no tienen habilidad; 13 se comportan
bien y no son participativos; 15 se comportan bien y son participativos, pero no tienen
habilidad. ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, son
participativos y no tienen habilidad para la materia?
2. Una agencia de autos vendió durante el primer semestre del año 180 unidades son las
siguientes características: 57 tenían transmisión automática; 77 tenían clima; 45 tenían
transmisión automática y clima; 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni clima ni
CD; 28 tenían transmisión automática y clima, pero no tenían CD; 70 no tenían ninguna de las
características mencionadas y 19 tenían clima y CD. ¿Cuántas de estas unidades tenían CD?
3. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información: 317 son
hombres; 316 son casados; 25 son mujeres casadas sin profesión; 72 son hombres casados sin
profesión; 83 son hombres profesionistas solteros; 15 son mujeres profesionistas solteras; 125
son hombres profesionistas casados y 49 son mujeres solteras sin profesión. Se desea conocer
lo siguiente:
a) ¿Cuántos de los empleados son hombres solteros sin profesión?
b) ¿Cuántos de los empleados son mujeres profesionistas casadas?
c) ¿Cuántos empleados hay en la empresa?
23
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 10
PROBLEMAS
1. Se hizo una entrevista a 885 amas de casa y se encontró la siguiente información acerca de
ciertos programas de televisión: 600 veían noticieros, 400 veían series policiacas, 620 veían
programas deportivos, 195 veían noticieros y series policiacas, 190 veían series policiacas y
deportivos, 400 veían noticieros y deportivos, y todos ven al menos uno de estos tres
programas. Determinar cuántas de las entrevistadas ven los tres tipos de programas
mencionados.
2. Encuestadas 150 personas, se obtuvo que 81 de ellas lee el diario El Sur, que 62 leen un
diario de Santiago y que 39 leen de los 2 tipos.
a) ¿Cuántas personas no leen ningún diario?
b) ¿cuántos leen sólo el diario El Sur?
c) ¿cuántos sólo leen un diario de Santiago?
d) Representa lo anterior en un diagrama de Venn.
3. Una encuesta de 100 alumnos sobre idiomas extranjeros, arrojó el siguiente resultado: 52
pueden leer inglés, 40 pueden leer francés, 24 pueden leer alemán, 19 pueden leer inglés y
francés, 12 pueden leer francés y alemán y 6 pueden leer los 3 idiomas.
a) ¿Cuántos pueden leer solamente inglés?,
b) ¿cuántos no pueden leer ninguno de los 3 idiomas?,
c) ¿cuántos pueden leer sólo un idioma?
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Guía de observación
Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con
los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber
cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la
respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.
Indicador Dominio
Observaciones
1. Define las operaciones de:
a) Unión (
b) Intersección
c) Diferencia
d) Complemento
2. Define el diagrama de Venn, así como
la representación del mismo a partir de
conjuntos dados.
3. Resuelve operaciones de conjuntos
dados por enumeración y/o por
comprensión y presentar el resultado en
un diagrama de Venn.
4. Identifica las operaciones realizadas a
partir de un diagrama de Venn.
5. Aplica las operaciones de conjuntos en
problemas razonados de conteo
TOTAL
25
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
1.3 Lógica matemática
Una proposición es una expresión con significado que afirma algo de algo, la cual tiene “es
verdadera” o “es falsa”.
Ejemplos: p: "Hoy es sábado" q: "Estoy descansando"
Una tautología es una proposición siempre verdadera.
Una contradicción es una proposición siempre falsa.
CONECTIVO SIMBOLO EJEMPLO TABLA DE
VERDAD
Conjunción
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyunción
V V V
V F V
F V V
F F F
Negación
V F
F V
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 11
Cuestionario
1. Definir proposición simple:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. Definir proposición compuesta:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Definir proposición abierta:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
4. Definir proposición disyuntiva:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
5. Definir proposición conjuntiva:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
6. Definir cuantificador:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
7. Define cuantificador universal y existencial y el símbolo de cada uno:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
8. Sea p una proposición determina la proposición negativa de p:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
9. Define que es dominio de la variable:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 12
I. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones?
1. ¡Qué miedo!
2. ¿Cómo estás?
3. ¿Cuándo regresas?
4. Olga regresa mañana.
5. Tengo mucho dinero.
6. No tengo dinero.
7. ¿Qué estudias?
8. Necesito estudiar matemáticas
9. No me gusta estudiar.
10. Lunes, 20 de noviembre.
II. Identifica cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuáles son
compuestas
11. Estoy en la casa o en la universidad.
12. Gabriela está trabajando
13. Juan y Tomás son atractivos.
14. Si gano suficiente, voy a un viaje.
15. Si multiplicamos por cero, el producto siempre es igual a cero.
28
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 13
I. Convierte cada proposición abierta, en verdadera o falsa, según se indique,
sustituyendo la variable por un valor adecuado.
1. es un número real _______ (V) 6. ______ (F)
2. es un número primo ______ (F) 7. es un planeta del
sistema solar
______
(V)
3. es par ______ (V) 8. es compañero de mi
grupo
______
(F)
4. ______ (F) 9. es un color primario ______ (V)
5. es entero negativo ______ (V) 10. es un número dígito ______ (F)
II. Escribe simbólicamente las siguientes proposiciones y define si es V o F dicha
proposición.
a) “Existe un presidente de México que es originario de Puebla”.
b) “Para todo número entero, su raíz cuadrada es entero”.
c) “Existe un deportista en la Delegación Olímpica Mexicana de 1976 que obtuvo medalla de
oro”
29
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 14
Para cada una de las proposiciones dadas a continuación:
i) Traducir a la forma simbólica.
ii) Escribir la negación en el lenguaje ordinario
iii) Obtener el valor de verdad de la negación.
1. Todos los estudiantes son jóvenes
i)
ii)
iii)
2. Ningún triángulo es cuadrado
i)
ii)
iii)
3. Por lo menos para un número entero, su cuadrado es negativo
i)
ii)
iii)
4. Algunos dígitos no son impares
i)
ii)
iii)
30
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 15
Desarrolla las siguientes tablas de verdad:
1. p q 2. ( ) r
3.
32
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Guía de observación
Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con
los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber
cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la
respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.
Indicador Dominio
Observaciones
1. Define una proposición simple y compuesta
2. Define una proposición disyuntiva y conjuntiva.
3. Identifica los diferentes cuantificadores:
4. Construye tablas de verdad
TOTAL
33
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
2. Nociones básicas de probabilidad y estadística
Estadística Descriptiva
Conceptos de Probabilidad
34
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
2.1 Estadística Descriptiva
La estadística es una rama de las matemáticas cuya función principal es proporcionar
principios y métodos para reunir, organizar, analizar e interpretar información. La estadística
se divide en dos ramas:
Población. Es el conjunto o colección total de elementos o datos acerca de los cuales
deseamos hacer alguna inferencia.
Muestra. Es un subconjunto de población.
Variable. Se llama así a una característica que tienen en común los elementos de una
población o de una muestra. Una variable puede ser discreta o continua.
Discreta: cuando puede tomar valores con números enteros (ejemplo: número
de alumnos en una escuela).
Continua: cuando admite todos los valores de un intervalo (ejemplo: peso,
estatura)
Datos. Es uno de los valores que puede tomar una variable; cada valor corresponde a
un elemento de una población o muestra.
Parámetro. Es el valor numérico que resume algunos de los aspectos más relevantes
de una distribución estadística que se obtiene de una población.
Muestreo. La parte de la estadística que estudia la forma de seleccionar una muestra
de la población.
La información resumida se presenta por medio de tablas (distribución de frecuencias)
y gráficas (barras, pastel o circular, polígono de frecuencias).
ESTADISTICA
Descriptiva:
Organiza y resume la información
Inferencial:
Analiza e interpreta la información para llegar a conclusiones
36
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Medidas de tendencia central
Datos no agrupados Datos agrupados
Media
Mi: marca de clase
fi: frecuencia de clase
n: número de datos
Mediana
Se ordenan los datos en forma
ascendente o descendente, la
mediana es el valor
central
(
) Intervalo= n/2, buscar en Fa
L = Límite real inferior del intervalo que contiene a
la mediana
n = número de datos
Fa = frecuencia acumulada del intervalo anterior
al que contiene la mediana
fx = frecuencia del intervalo que contiene la
mediana
c = tamaño del intervalo
Moda
Valor que aparece con mayor
frecuencia en un conjunto de
datos
Más de 1 moda: multimodales
No hay moda: amodales
(
)
La moda se encuentra en el intervalo de mayor
frecuencia
L = Límite real inferior del intervalo que
Contiene la moda
frecuencia del intervalo que contiene la moda
menos la frecuencia del intervalo anterior
frecuencia del intervalo que contiene la moda
menos la frecuencia del intervalo siguiente
Medidas de dispersión
Rango
(R)
R= (Xn-X1)
Valor más alto-valor más bajo
R = Límite superior de la clase n (última clase)
menos Límite inferior de la clase 1
Varianza
[
]
Desviación
estándar √ √
37
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 16
Relaciona las siguientes columnas:
1. Conjunto de técnicas para la colección, organización,
resumen, presentación y análisis de información. ( ) Rango, varianza
Y desv. estándar
2. Organiza y resume la información. ( ) Variable
3. Analiza e interpreta la información para llegar a conclusiones.
( ) Estadística
4. Conjunto o colección total de elementos o datos acerca de los
cuales deseamos hacer alguna inferencia.
( ) Límites
5. Es la característica o fenómeno que puede tomar diferentes
valores.
( ) Estadística
descriptiva
6. Subconjunto de una población.
( ) Moda
7. Fronteras de las clases. Limitan un intervalo de clase.
( ) Rango
8. La medida de tendencia central más común, llamada también
como el promedio de los datos.
( ) Estadística
inferencial
9. Este valor divide a un grupo de números en dos partes, de
manera que la mitad de los números se encuentra por debajo
de éste y la otra mitad se halla por encima.
( ) Frecuencia
De clase
10. Valor que aparece con mayor frecuencia.
( ) Frecuencia
relativa
11. Diferencia entre el valor más pequeño y el valor más
Grande de un conjunto.
( ) Histogramas y
Diagramas de pastel
12. Número de observaciones en una clase.
( ) Mediana
13. El cociente de una frecuencia de clase con respecto al
Número de observaciones de todas las clases.
( ) Media
14. Medidas de dispersión.
( ) Población
15. Diagramas más comunes en estadística.
( ) Muestra
38
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 17
Tipos de variables estadísticas.
Di, en cada caso, cuál es la población y cuál la variable que se quiere estudiar. Especifica si es
una varable cualitativa o cuantitativa, determinando, es este último caso, si es discreta o
continua:
a) Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las mujeres que trabajan
fuera del hogar.
b) Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos de un centro escolar al terminar
la Educación Secundaria Obligatoria.
c) Intención de voto en unas elecciones autonómicas.
d) Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de la Enseñanza Secundaria
Obligatoria en España.
e) Número de aparatos de radio que hay en los hogares españoles.
Población Variable Tipo de variable
a)
b)
c)
d)
e)
39
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 18
Obtén información de periódicos y analízala.
a) Anota el encabezado principal. ¿A qué tipo de nota corresponde? __________________________ ________________________________________________________________________________________________________
b) Escribe el título de una noticia; puede ser internacional, nacional, política, financiera, policiaca, de espectáculos, de portes o sociales. _________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
c) ¿Cuántas noticias internacionales tiene el ejemplar? ¿Cuántas noticias de política nacional se incluyeron en el diario? __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ d) Cuenta las noticias financieras, las policiacas y las noticias de espectáculos y deportes.
Escribe las frecuencias en el siguiente cuadro.
Tipo de noticias Frecuencia
Internacionales Nacionales Financieras Deportivas Espectáculos Policiacas Sociales
e) ¿Cuántas noticias de los tipos mencionados tiene el periódico de tu equipo? ______________
________________________________________________________________________________________________________ f) ¿Qué tipo de noticias prefiere publicar el periódico? _________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ g) ¿Cuáles menos? ___________________________________________________________________________________
h) ¿A qué publico va dirigido dicho periódico? ____________________________________________________
i) ¿Las frecuencias obtenidas ayudan a responder las preguntas anteriores? Explica. _______
40
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 19
DATOS CUALITATIVOS
Datos de 25 diferentes colores.
verde azul rojo amarillo verde
azul amarillo verde verde rojo
rosa negro rojo verde amarillo
verde amarillo rojo azul verde
amarillo verde rosa rojo verde
Tabla de frecuencias.
Color Frecuencia
(fi)
Frecuencia
relativa (fr)
Frecuencia
acumulada (Fa)
Frecuencia
porcentual (f%)
a) Elabora un diagrama de barras. b) Elabora un diagrama de pastel
41
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 20
DATOS CUANTITATIVOS (no agrupados)
1. A continuación se presentan la cantidad de materias que adeudan 15 estudiantes de un
colegio:
1 3 3 4 1
2 6 2 4 6
1 2 5 1 3
a) Ordena los datos de forma creciente.
Determina:
b) Media
c) Mediana d) Moda
e) Elabora una distribución de frecuencias para datos no agrupados.
Número de
materias que se
adeudan (x)
Número de
estudiantes
Frecuencia
(fi)
Frecuencia
relativa
(fr)
Frecuencia
acumulada
(Fa)
Frecuencia relativa
acumulada
(Fa)
Total ∑
f) Determina la mayor cantidad de materias que los estudiantes adeudan:_____________
g) ¿Qué porcentaje de alumnos reprueban 1, 2 y 3 materias?: ______________________
h) ¿Cuántos alumnos reprueban 6 materias?: ___________________________________
42
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 21
Valores de las estaturas (en centímetros) de éste grupo.
a) Ordena en forma creciente los datos reunidos.
Determina:
b) Rango
c) Media d) Mediana e) Moda
Elabora una tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de clase
f) Determina el intervalo de clase.
Tabla de frecuencias.
Limite de
clase
Límite real
de clase
Frecuencia
(fi)
Frecuencia
relativa
(fr)
Frecuencia
Acumulada
(Fa)
Frecuencia
Relativa
acumulada
Marca de
clase
(Mi)
43
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
g) Construye el histograma y el polígono de frecuencias correspondiente.
h) Construye el diagrama de pastel.
Frecuencia
Relativa (fr) X 360°
360°
44
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 22
El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar Elena o a María. Los puntos
conseguidos por cada una, en una semana de entrenamiento, fueron estos:
a) ¿Cuál de las dos tiene mejor media?
b) Calcula la desviación estándar. ¿Cuál de las dos es más regular?
Elena 18 23 22 24 19 25 16
María 18 26 18 28 22 17 18
45
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 23
DATOS CUANTITATIVOS (datos agrupados)
La siguiente distribución muestra la duración (en días) de 80 lámparas. Con base en la
siguiente tabla, determina lo que se te pide.
Clase Intervalo Marca de
Clase (Mi) fi fr Fa Mi fi Mi
2 Mi
2 fi
1 30 - 40 35 8 0.1000 280
2 40 - 50 7 0.0875
3 50 - 60 55 4
4 60 – 70 15 975
5 70 – 80 12
6 80 – 90 85 15 0.1875
7 90 - 100 19 80 1805
a) Calcula el valor de la media
Fórmula Sustitución Resultado___________
b) Calcula el valor de la desviación estándar.
Fórmula Sustitución Resultado___________
c) Elabora un histograma y polígono de frecuencia.
d) ¿Cuál es el intervalo que comprende a la media entre una desviación estándar a la
derecha y a la izquierda? ________________________
46
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 24
Los siguientes datos indican las cuotas cobradas por una empresa de mensajería por los
paquetes entregados el día de hoy:
2.03 1.56 1.1 4.04 3.62 1.16 0.93 1.82
2.3 1.86 2.57 1.59 2.57 4.16 0.88 3.02
3.46 1.87 4.81 2.91 1.62 1.62 1.8 1.7
2.15 2.07 1.77 3.77 5.86 2.63 2.81 0.86
3.02 3.24 2.02 3.44 2.65 1.89 2.00 0.99
Utiliza Excel para resolver cada inciso.
a) Realiza una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados
b) Determina las medidas de tendencia central
c) Determina la desviación estándar
d) Grafica los datos agrupados en un histograma y en un polígono de frecuencias, asi
cono un diagrama de pastel.
48
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 25
Encuesta.
Se ha hecho una encuesta para saber con qué regularidad se lee el periódico en una ciudad, y
los resultados fueron los siguientes:
RESPUESTAS %
Todos los días 37.3
Una vez por semana 29
Una vez al mes 10.5
Alguna vez al año 12
Nunca …
No contesta 0.4
a) ¿Qué tanto por ciento de personas respondieron “nunca”?
b) Si las personas que no contestaron fueron 6, ¿cuántas personas fueron encuestadas?
c) Las personas encuestadas, ¿son muestra o población?
49
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
2.2 Conceptos de probabilidad
Experimento. Proceso que produce un resultado o una observación. Experimento aleatorio. Sus resultados no se conocen y no pueden predecirse; por
ejemplo, el lanzamiento de dados y de monedas o la cantidad de artículos defectuosos en un
supermercado.
Experimento determinístico. Describe fenómenos cuyos resultados pueden
predecirse; por ejemplo, la caída libre de un objeto, la mezcla de sustancias o la extracción de
una ficha de una urna.
Espacio muestral. Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se
simboliza con la letra S.
Para calcular la probabilidad de cualquier evento se efectúa el cociente del número de
elementos del evento entre el número de elementos del espacio muestral S
Los datos de un problema se obtienen con experimentación controlada o por
observación de los sucesos incontrolados de la naturaleza.
La población es el conjunto de todos los sucesos susceptibles de aparecer en un
problema y que interesan a la persona que realiza el estudio.
La muestra es el subconjunto de mediciones seleccionadas de la población que
fundamentan un problema.
Tipos de sucesos. Mutuamente excluyentes o disjuntos. La ocurrencia de uno de ellos
elimina automáticamente la posibilidad de que ocurra el otro.
No excluyentes entre sí. Se presentan en un mismo experimento aleatorio
y la posibilidad de que ocurra uno de ellos no impide que el otro suceso ocurra.
LEYES DE ALGEBRA DE EVENTOS
a) Idempotente:
A ∪ A = A ; A ∩ A = A b) Asociativa:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C;
A ∩ (B ∩ C) = (A∩ B) ∩ C
c) Conmutativa:
A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A d) Neutro:
A ∪ φ = A A ∩ E = A
e) Absorbente:
A ∪ E = E; A ∩ φ = φ f) Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
g) Leyes de Morgan:
( A ∪ B)c = A
c∩ Bc
(A ∩ B)c = A
c ∪ B
c
50
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
y se aplica la siguiente
relación:
A y B no son mutuamente excluyentes, se tiene y se
aplica la siguiente relación:
A y B sin independientes, se aplica la siguiente relación:
Cuando los sucesos A y B son dependientes, se aplica la relación de la probabilidad
condicional:
(
)
con P(A)
Las probabilidades de la probabilidad condicional son:
a) Para sucesos dependientes: (
)
Además: | |
b) Para sucesos independientes ,tales que Además:
51
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 26
Experimento aleatorio compuesto
I. Una experiencia consiste en extraer una bola de esta urna y, después, lanzar la
moneda. Los casos son: 1 y C, 1 y +, 2 y C, etc.
a) Escribe el espacio muestral (son 8 casos). ¿Cuál es la probabilidad de cada caso?
E = {
Probabilidad =
b) Describe el suceso BOLA VERDE Y CARA enumerando todos sus casos. ¿Cuál es su
probabilidad?
Bola verde y cara = {
Probabilidad.{Bola verde y cara} =
II. En cada uno de los siguientes experimentos aleatorios di cuál es la probabilidad de
que ocurra el suceso que se indica.
Se extrae una pieza de fruta Se extrae una bola
Suceso: Extraer una pera Suceso: extraer una bola verde
Se hace girar la flecha y se observa sobre que color se detiene
Suceso: Obtener color azul.
52
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 27
I. Los alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo:
Escogemos al azar a una persona de esa clase.
Calcula la probabilidad de que:
a) Sea chica
b) Tenga gafas
c) Sea una chica con gafas
a)
b) c)
II. Una botella contiene 20 bolas de colores: negro, rojo y verde. No sabemos cuántas
de cada color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Sólo podemos ver,
cuando la volteamos, el color de la bola que queda junto al tapón. Que es
transparente.
A lo largo de varios días hacemos 1000 veces la experiencia de agitar, inclinar la
botella y anotar el color de la bola que se ve. Hemos obtenido estos resultados:
Podemos averiguar, con cierta seguridad, cuántas bolas hay de cada color.
Chicas Chicos
Con gafas 3 6
Sin gafas 12 10
53
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 28
1. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes.
Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral10. ¿Cuál es la
probabilidad de que ambas sean del mismo color? ¿Y la de que sean de distinto color?
2. Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar
dos cruces antes de que se observe la segunda cara?
3. Se lanza un dado 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener puntuación par en los
lanzamientos impares e impar en los lanzamientos pares?
4. De una baraja de 40 cartas se extraen dos de ellas a la vez. Calcula la probabilidad de que:
a) las dos sean reyes
b) Una sea copas y otra el rey de espadas.
c) al menos una sea copas.
5. Un 65% de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70% ha aprobado
Filosofía, y un 53% ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calcúlese la
probabilidad de que:
a) haya aprobado al menos una de las dos materias.
b) haya suspendido ambas materias
c) Si aprobó Matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de haber aprobado filosofía?
Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida 0,25. si juega cuatro
partidas calcula la probabilidad de ganar más de la mitad.
7. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular:
a) Las probabilidades que faltan en la tabla
Rico/a Pobre Total
Hombre ----- ----- 0,607
Mujer ----- ----- 0,393
0,002
b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre.
c) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer.
8. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de cinco cartas de una baraja española se
presenten dos reyes?
9. Un aparato está formado por dos partes A y B. El proceso de fabricación es tal que la
probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es
la probabilidad de que el producto no sea defectuoso?
10. Se lanzan 6 bolas en 3 cajas de modo que cualquiera tenga la misma probabilidad de caer
en cualquier caja. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cajas queden ocupadas?
54
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 29
Experimento: Lanzamiento de dados
1. Lanza un dado 30 veces y anota en la siguiente tabla las veces que cada número sale
en la cara superior. ¿Qué concluyes de los resultados obtenidos?
1 2 3 4 5 6
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. Lanza dos dados al aire 30 veces y observa los números que salen en las caras
superiores, suma los números y anota las veces que cada suma aparece en la siguiente
tabla. ¿Qué observas de los resultados obtenidos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3. En la siguiente distribución de frecuencias registra los totales de la tabla anterior.
Suma de puntos Frecuencia de clase (Fi) Frecuencia relativa (fr) Probabilidad
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
55
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
4. Se aplica la probabilidad clásica, por lo que la suma de los puntos se presentan a
continuación
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
5. Completa la siguiente tabla con base en la información que se presentó en la tabla
anterior.
Suma de los puntos
de los dados
Frecuencia
(número de maneras) Probabilidad
1 0
2 1/36
3 2
4
5 4
6
7 6
8
9 4
10
11
12
Totales 36 36/36
6. Compara los resultados que obtuviste al hacer la simulación y las probabilidades
obtenidas de acuerdo con la probabilidad clásica. Anota tus observaciones.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
56
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 30
De un total de 89 estudiantes, 26 estudian al menos inglés, 34 francés y 32 alemán. Seis sólo
estudian francés y alemán, 12 únicamente inglés, 15 tan sólo francés y 25 alumnos no
estudian ninguno de los tres idiomas.
1. Elabora un diagrama de Venn con la información proporcionada.
2. Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad…
a) de que no estudie inglés, ni francés, pero sí alemán.
b) de que no estudie alemán, pero si inglés y francés.
c) de que estudie inglés y alemán, pero no francés.
57
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Guía de observación
Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con
los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber
cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la
respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.
Indicador Dominio
Observaciones
Estadística descriptiva
1. Conceptos básicos: área de estudio de
estadística descriptiva utilizando datos
continuos y discretos, muestra y población, y
variables cuantitativas o cualitativas.
2. Representación de datos: A) Distribución de
frecuencias. Comprender los conceptos de
clase, intervalo, límites de clase, marcas de
clase, frecuencia, frecuencia relativa y
frecuencia acumulada. Elaboración de tabla de
distribución de frecuencias partir de una serie
de datos no agrupados. B) representaciones
gráficas: histogramas, gráficas de barras,
gráficas de pastel. C) Representación gráfica
con datos agrupados y no agrupados. D)
análisis e interpretación de una gráfica dada.
3. Medidas de Tendencia Central: media
aritmética, mediana, moda de datos agrupados
y no agrupados.
4. Medidas de dispersión: rango, varianza y
desviación estándar de datos agrupados y
no agrupados.
Conceptos de probabilidad
5. Conceptos de probabilidad, experimento
aleatorio, espacio muestral, evento.
6. Probabilidad de un evento simple
TOTAL
58
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
3. Aritmética
Campo de los números reales
Operaciones con números reales
Porcentajes, razones y proporciones
Secuencias numéricas
60
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
3.1 Campo de los números reales
Los números negativos son aquellos números que se ubican del lado izquierdo del cero
(origen) en una recta numérica.
Los números positivos son aquellos números que se ubican del lado derecho del cero
(origen) en una recta numérica.
Los números fraccionarios son aquellos que nos permiten expresar una división inexacta
Los dígitos van del 0 al 9.
Símbolo Nombre Descripción Representación
matemática
Números
naturales
Son los números que utilizamos para
contar. Se denominan también enteros
positivos.
1, 2, 2, 4,…
Números
enteros
Se conforman de los números naturales, sus
negativos y el cero. …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, .
Números
racionales
Se pueden representar como a/b, donde a y
b son enteros y b Las representaciones
decimales son periódicas
-3, 0, 1, 12, ¼, -2/7,
5.61, 0.33333,
1.424242
Números
irracionales
Se pueden representar como números
decimales no periódicos √ , √
,
1.414213….
Números
reales
Incluyen a los números racionales e
irracionales
61
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Propiedades de campo de los números reales:
Para todo a, b, c, d R; a ≠ 0:
Operación binaria. Es aquella en la que tomamos dos elementos de un conjunto y, definida
una operación, se obtiene como resultado un solo elemento.
1. CERRADURA a + b R, a × b R
2. CONMUTATIVA a + b = b + a, a × b = b × a
3. ASOCIATIVA a + (b + c) = (a + b) + c, a × (b × c) = (a × b) × c
4. DISTRIBUTIVA a (b + c - d) = ab + ab - ad
5. IDENTIDAD a + 0 = , a × 1 = a
6. INVERSO a + (-a) = 0, a × (1/a) = 1 con a≠ 0
62
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 31
I. Resuelve las siguientes operaciones utilizando la recta numérica.
1.
2.
3.
4.
5.
II. Indica a que subconjunto de los números reales pertenece cada número.
1. -17/31 ______________________________________________________
2. 23 ______________________________________________________
3. 0 ______________________________________________________
4. 4.582 _______________________________________________________
5. -4.72 ________________________________________________________
63
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 32
Localiza los siguientes valores en la recta numérica.
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
64
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 33
I. Utiliza para comparar los siguientes números.
1.
2.
3.
4.
II. Ordena los siguientes números de menor a mayor.
5. 2.01, 2.1, 2.001
6.
7.
8.
9.
10.
65
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
1.2 Operaciones con números reales Números primos y compuestos
Números primos: Es un subconjunto de los números naturales. Son divisibles por si
mismos y por la unidad.
Números compuestos: Se les llama así a los números que no son primos.
Criterios de divisibilidad Ejemplo
2 Su última cifra es un número par o cero 24, 10, 86, 128, 4280, etc
3 La suma de los valores absolutos de sus cifras es un
múltiplo de 3
423, es divisible entre 3 ya
que 4+2+3 = 9 y 9 es un
múltiplo de 3
4 Sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de
4
200, 4200, 812, 936, 108, etc.
5 Su última cifra termina en cero o 5 35, 40, 115, 120, etc.
6 Cuando es divisible entre 2 y 3 3120, 282
7 Ver ejemplo:
Comprobar que 38409 es divisible entre 7
1. 38409 es divisible entre 7 si 3840-2(9) = 3822 lo es.
2. 3822 es divisible entre 7 si 382-2(2) = 378 lo es.
3. 378 es divisible entre 7 si 37-2(8) = 21 lo es.
Como 21/7 = 3, entonces 38409 es divisible entre 7
8 Sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de
8
34000, 84632
9 La suma de los valores absolutos de sus cifras es
múltiplo de 9
918, 513
11 Al sustraer la suma de sus valores absolutos de las cifras
que ocupan un lugar par, de la suma de los valores
absolutos de las cifras que ocupan un lugar impar, en el
sentido de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11
1364, 25817
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que es
divisor de todos ellos, es decir, el mayor número que divide exactamente a cada uno de ellos.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número de
todos los múltiplos comunes a todos ellos.
Cuando el numerador de una fracción es menor que el denominador decimos que se
trata de una fracción propia.
La fracción impropia es en la que el numerador es mayor o igual que el denominador.
El número mixto se compone de un entero y una fracción.
Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador.
Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores.
Las fracciones
son diferentes de cero, son equivalentes, cuando
representan el mismo número y esto se cumple si y sólo si: .
66
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 34
Los números primos son aquellos números (mayores a 1) que son divisibles por uno y sí
mismos exclusivamente. El griego Eratóstenes, creó un método para encontrar estos números,
aunque este método sólo se aplica a un rango limitado de números:
a) Escribe los números del 1 al 100 en 10 renglones de 10.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 23 25 28 30
31 32 40
41 45 50
60
70
80
90
100
b) Tacha el número 1, porque todos los números primos son mayores a 1.
c) El número 2 es un primo, así que no lo tachamos, pero tachamos todos los múltiplos
de 2 (por ejemplo, los números pares).
d) El número 3 también es primo, así que no lo tachamos, pero tachamos los múltiplos de
3.
e) El siguiente número es el 5 (porque el 4 está tachado), así que no lo tachamos y
tachamos los múltiplos de este número.
f) El último número en el primer renglón es el 7, tachamos sus múltiplos.
g) Terminamos. ¿Todos los números que están tachados, son primos? ______________
h) Indica los factores primos de los siguientes números aplicando los criterios de
divisibilidad.
1) 12 2) 90 3) 147
67
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 35
Indica la divisibilidad de los siguientes números aplicando los criterios de divisibilidad.
1. 7680
2. 27016
3. Determina el valor absoluto de la cifra , para que el número sea divisible entre 9.
4. Determina el valor absoluto de la cifra , para que el número sea múltiplo de 11.
5. Determina el valor absoluto de la cifra , para que el número sea un múltiplo de 9.
6. Determina cuál de los siguientes números es un múltiplo de 11.
a. 83420 b. 13828 c. 25625 d. 53416 e. 9620
7. Determina la suma de los valores absolutos que puede tomar la cifra , para que el número
sea un múltiplo de 6.
8. Determina el valor absoluto del dígito , para que el número sea divisible entre 2 y
entre 5.
9. Determina el valor absoluto del dígito , para que el número sea múltiplo de 9.
10. Determina el valor menor que puede tomar el dígito , para que el número sea
múltiplo de 2.
68
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 36
Determina el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números
M.C.D. m.c.m M.C.D. m.c.m
1. 30, 45
6. 36, 48, 60
2. 14, 49
7. 14, 21, 28
3. 15, 75
8. 12, 18, 30
4. 110, 275
9. 6, 8, 9, 12
5. 240, 252
10. 60, 72, 80
69
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 37
M.C.D m.c.m M.C.D. m.c.m
11. 637, 105
12. 15, 75, 30
13. 165, 130
14. 49, 28, 84
15. 1000, 2400
16. 3, 18, 36
17. 180, 270, 360
18. 16, 24, 40
19. 90, 72, 54
20. 875, 2250, 4625
70
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 38
Simplifica las siguientes fracciones a su mínima expresión:
1.
7.
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
12.
Escribe cada número mixto como una fracción impropia.
13.
15.
14.
16.
Escribe cada fracción impropia como un número mixto:
17.
19.
18.
20.
71
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 39
1. Se compra un auto en $40,000.00 y se quiere vender ganándole
de su precio de
compra. ¿Cuál debe ser su precio de venta?
2. César se tarda alrededor de
de hora en resolver un problema de matemáticas,
de
hora en cada ejercicio de español y
de hora en cada problema de física. Si su tarea
consta de 3 problemas de matemáticas, 5 ejercicios de español y 2 problemas de física,
¿cuánto tiempo en total tardará en resolver la tarea? (expresa el resultado como una
fracción de hora).
3. Juan, Luis y Gera se dividen 50 manzanas, Juan tiene
y Luis tiene
. ¿Cuántas
manzanas tiene Gera?
4. Hallar el número decimal que corresponde a la fracción:
5. Hallar la fracción que corresponde al número
6. Convertir en un número fraccionario.
7. Expresa como un número fraccionario.
8. Convierte 3.12252525… en un número fraccionario.
72
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 40
Efectúa las operaciones indicadas:
1.
11.
2.
12.
3.
13.
4.
14.
5.
15.
6.
16.
7.
17.
8.
18.
9.
19.
10.
20.
73
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 41
Efectúa las operaciones indicadas:
1.
6.
2.
7. (
)
3.
8.
(
)
4.
9.
(
)
5.
10.
74
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 42
Resuelve los siguientes problemas:
1. Javier ha vendido a lo largo de la mañana los 4/5 de un lote de periódicos. Por la tarde
vendió la mitad de los que quedaban.
a) ¿Qué fracción del total de periódicos representan los vendidos por la tarde?
b) Si se trajeron 1,000 periódicos, ¿cuántos se devolverán?
2. Adriana tiene en su local tres tipos de café: chiapaneco, colombiano y cubano. El peso
total es de 885 Kg. Si el peso del café chiapaneco es los 2/5 del total y el del
colombiano los 2/3de lo que queda:
a) ¿Cuántos Kg de café hay de cada clase?
b) Si de cada café tiene unas ventas aseguradas para una cafetería de 1/10, 2/7 y 3/13,
respectivamente, ¿cuánto le quedará para vender en su local de cada tipo?
3. Danae hizo una fiesta en su patio. En total invitó a 20 personas, de las cuales 3/5 eran
chicas.
a) ¿Cuántos chicos hay?
b) Si el 40% de las chicas querían dos refrescos cada una y el resto tres y de los
chicos los ¾ querían tres y el resto dos, ¿cuántos refrescos pidieron?
76
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 43
Jerarquía de operaciones
1.
2.
3. (
)
4. (
)
5. (
)
6.
7. (
)
8. √ √
9. [ ] [ ]
78
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 44
Efectúa las operaciones que se te indican y escribe el resultado en notación científica.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. .
79
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
3.3 Porcentajes, razones y proporciones.
Uno de los conceptos matemáticos que se usa con más frecuencia en la vida cotidiana es
la razón. El promedio de bateo de un pelotero, en realidad, es una razón. La pendiente o
inclinación del techo de una edificación se expresa como una razón. Las razones son una
manera de comparar dos números o cantidades.
Una razón es el cociente de dos cantidades. La razón del número al número b se escribe
como sigue:
a
Para representar una fracción en forma de porcentaje, se divide el numerador entre el
denominador y se multiplica el resultado por 100.
Una proporción es un enunciado que afirma que dos razones son iguales.
Extremos
Medios
80
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 45
Completa la siguiente tabla con las representaciones que se indican.
Fracción Como razón se lee: Decimal Porcentaje
La razón de 2 a 5
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
81
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 46
I. Relaciona las columnas según corresponda
II. Obtén lo que se te pide.
1. El 20% de 40
2. El 50% de 50
3. ¿Qué porcentaje es 8 de 80?
4. ¿Qué porcentaje es 150 de 200?
5. 20 es el 40% de…?
6. 10 es el 5% de…?
7. ¿Qué porcentaje es 60 de 400?
8. 1.2 es el 2% de…?
9. El 120% de 80
10. El 200% de 100
82
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 47
Resuelve los siguientes problemas.
1. En un grupo de 30 alumnos, 4 de ellos tienen suéter de color azul, 5 de ellos de color
verde, 6 de color rojo y el resto de color café.
a) ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen suéter de color café y el total de
alumnos?
b) ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen suéter, de color azul y de color
rojo?
c) ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen suéter de color verde y los que
tienen suéter de color azul?
2. Dos grupos, a y b, tienen en total 105 alumnos. ¿Cuántos alumnos tienen cada grupo si
la razón del grupo a con respecto al grupo b es de
3. Joel presenta un examen de 80 reactivos. La razón entre el número de aciertos y el
número de errores es de
¿Cuántos aciertos y cuántos errores tuvo Joel en el
examen?
4. Saúl demora 20 días en pintar una casa. ¿Cuánto demorarán Saúl, Gerardo, Alberto e
Ian en pintar la misma casa, si todos tienen el mismo ritmo de trabajo?
5. Si 18 mecánicos arman 6 vehículos en 16 días, ¿cuántos días demorarán 24 mecánicos
en armar 12 vehículos en las mismas condiciones?
83
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 48
I. Resuelve las siguientes proporciones.
1.
2.
6.
3.
7.
4.
8.
II. Observa la figura
9. ¿Qué porcentaje del número total de las figura son círculos? ___________________
10. ¿Qué porcentaje del número total de las figuras no son estrellas? ________________
84
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 49 Nombre:_______________________ Matrícula:______________
Escoge la respuesta correcta
1. Si para construir un muro se necesitan 8
bultos de cemento de 50 Kg. Cada uno,
¿cuántos bultos de 75 kg. Se necesitarían para
construir un muro tres veces mayor?
(A) 10.0 (B) 7.5
(C) 16.0 (D) 18.0
(E) 12.0
6. Si en un autobús viajan 60 pasajeros en
donde una tercera parte son hombres, la
cuarta parte mujeres y el resto de los niños y
de las niñas en una proporción de 3:2
a) ¿Cuántos niños viajan en el autobús?
(A) 10 (B) 12 (C) 15
(D) 18 (E) 9
2. Una telefonista de telemarketing trabaja a
un ritmo de 4 minutos por llamada y otro a 2
llamadas por minuto. ¿Cuántas llamadas
realizan en cuatro horas?
(A) 540 (B) 480
(C) 1440 (D) 180
(E) 360
b) Si bajaron 20 en la primera parada, de los
cuales fueron el 40% hombres, 20% mujeres
y el resto fueron niños, ¿cuántos niños
quedaron en el autobús?
(A) 7 (B) 2 (C) 5
(D) 1 (E) 4
3. En un grupo de 60 alumnos en un examen
de selección 3/10 del grupo fue reprobado,
2/3 de los reprobados faltan al día siguiente,
mientras que el resto de todo el grupo asiste a
clases. El número de alumnos que asiste a
clases fue:
(A) 36 (B) 48
(C) 40 (D) 18
(E) 30
c) Si en la misma parada subieron el doble de
niños de los que bajaron y el resto eran niñas
para ocupar los asientos que se desocuparon,
¿cuántas niñas viajan ahora en el autobús?
(A) 10 (B) 8 (C) 12
(D) 20 (E) 16
4. Calcula el precio normal de una camisa
que tiene un descuento del 40% sobre su
valor, si al adquirir 15 de ellas se gastó
$3,150.00
(A) $415.00 (B) $355.00
(C) $400.00 (D) $135.00
(E) $350.00
7. Si Manuel contrata un albañil para levantar
las paredes de su casa, se tarda 15 días,
¿cuánto se tardarían 5 albañiles en levantar el
doble de paredes, suponiendo que trabajan al
mismo ritmo?
(A) 5 días (B) 10 días (C) 6 días
(D) 12 días (E) 3 días
5. Una torre de 25.05 m. da una sombra de
33.40 m, ¿cuál será la medida de la sombra
de una persona cuya estatura es de 1.80 m. a
la misma hora?
(A) 3.50 m. (B) 2.40 m.
(C) 4.20 m. (D) 5.20 m.
(E) 6.45 m.
8. Eduardo gana $209,700, después de recibir
un aumento. ¿Cuál fue el porcentaje de este
aumento, si su sueldo anterior era de
$181,550.
85
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
3.4 Secuencias numéricas
Una secuencia es una colección ordenada de objetos, de modo que uno de ellos se
identifica como el primero, otro como el segundo, etcétera.
Hay varias formas de definir una secuencia:
Mediante una regla que nos dice como formar un término a partir de los anteriores.
El primer o primeros términos pueden ser arbitrarios, dando origen a distintas
alternativas de la serie. A estos términos iniciales se les puede llamar semilla.
Mediante una regla que nos dice cómo formar un término a partir de su índice.
Mediante una regla que, dado un número, nos permite comprobar si pertenece o no
a la serie. Estas series se suelen escribir por orden creciente.
Algunas series se pueden decir que tienen “existencia previa”. Por ejemplo 1, 4, 1,
4, 2, 1, 3, 5, 6… es la secuencia de los dígitos de la raíz cuadrada de 2.
Secuencia aritmética. La diferencia entre términos sucesivos es constante.
Primer
Término
( ) diferencia
en común
Número
del
término
Secuencia geométrica. Cada término (después del primero) tiene una relación fija con
respecto al término anterior.
La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números que comienza por: 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13,… en la que cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores.
Término enésimo
86
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 50
Observa la siguiente frecuencia gráfica
1 2 3 4
Imagina que la secuencia delas figuras continúa. De acuerdo con este supuesto llena la
siguiente tabla:
Figura Perímetro de
la figura (u)
Área correspondiente a los
cuadros blancos
Área correspondiente a
los cuadros negros
Área de la
figura
1
2
3
4
5
6
7
.
.
.
100
.
.
.
n
87
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 51
Escoge la respuesta correcta
1. 0, 8, 2, 6, … los números que siguen son:
(A) 4, 10
(B) 8, 0
(C) 4, 4
(D) 10, 4
6. El número que sigue es:
21, 26, 22, 27, 23, ___
(A) 25
(B) 26
(C) 27
(D) 28
2. 1, 2, 6, …, 120, el número que falta es:
(A) 36
(B) 24
(C) 12
(D) 60
7. Los números que faltan son:
2 4 12
3 18
4 8
(A) 5 y 24
(B) 6 y 24
(C) 6 y 32
(D) 9 y 24
3. ¿Qué tipo de patrón numérico se observa
en la siguiente serie aritmética?
1, 4, 9, 16, 25,…
(A) Aumenta consecutivamente
(B) Disminuye radicalmente
(C) Aumenta exponencialmente
(D) Aumenta radicalmente
4. El número 657, qué lugar ocupa en la
siguiente secuencia:
012, 123, …, 890, 901, 012
(A) 3
(B) 5
(C) no está en la secuencia
(D) 10
8. ¿Qué número ocupa el lugar 27 en la
siguiente serie? 4, 8, 12, 16…
5. ¿Cuál número deberá escribirse en el
espacio en blanco?
212 = 424
2112 = 4224
21112 = 42224
= 422222224
(A) 422224
(B) 422222224
(C) 211111112
(D) 211114
9. En la siguiente secuencia numérica escribe
los términos que faltan.
1, 3, 5, 7, ____, ____,…, _______ .
centésimo
término.
88
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 52
Resuelve los siguientes problemas.
1. Determina la suma de los primeros 25 números naturales.
2. María recibe un salario inicial de $25,000.00 y se le promete un aumento de $1,200.00 al
término de cada uno de los siguientes 8 años. Determina su salario durante su octavo año
de trabajo.
3. La primera fila de un auditorio tiene 18 asientos. Cada fila sucesiva tiene 2 asientos más
que la fila previa.
¿Cuántos asientos hay en la fila décimo segunda?
¿Cuántos asientos hay en las primeras doce filas?
4. Samuel apila troncos de modo que hay 20 troncos en la parte inferior y cada fila hacia
arriba tiene un tronco menos que la fila previa.
¿Cuántos troncos hay en la pila?
5. Si Carlos ahorra $1.00 el día 1, $2.00 el día 2, $3.00 el día 3, y así sucesivamente.
¿Cuánto habrá ahorrado en total para el día 31?
6. Carmen se jubiló recientemente, así que visitó a su asesor financiero, con quien acordó
recibir $32,000.00 el primer año. Además establecieron que debido a la inflación, cada año
recibiría $400.00 más que lo que recibiera el año previo.
¿Cuál fue el ingreso que recibió en su décimo año de jubilación?
¿Cuánto dinero recibirá en total durante los primeros 10 años de jubilación?
89
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Guía de observación
Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con
los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber
cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la
respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.
Indicador Dominio
Observaciones
Campo de los números reales
1. Comprende el concepto de los números reales. 2. Define y comprende los subconjuntos que forman a
los números reales.
3. Define y representa los números reales en la recta
numérica.
4. Enuncia e identifica las propiedades del campo de
los números reales en expresiones dadas.
Operaciones con números reales
5. Define e identifica los números primos y
compuestos, criterios de divisibilidad y descompone
en factores primos un número compuesto.
6. Define y obtiene el mínimo común múltiplo y el
máximo común divisor de números enteros.
7. Conoce las propiedades de las fracciones y las
simplifica mediante la descomposición en factores
primos del numerador y denominador.
8. Conoce la jerarquía de operaciones y signos de
agrupación y efectúa operaciones con números enteros
y/o fraccionarios.
9. Efectúa operaciones que involucren notación
científica.
Porcentajes, razones y proporciones 10. Obtiene el porcentaje, razones y proporciones de
números.
11. Resuelve problemas de aplicación que involucre el
uso de razones, porcentajes y/o proporciones.
Secuencias numéricas 12. Define una secuencia numérica, identifica el
patrón de comportamiento tanto de secuencias
numéricas como secuencias figurativas.
TOTAL
90
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
4. Introducción al Álgebra
Expresiones algebraicas
Operaciones con expresiones algebraicas
91
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Esquema del capítulo
92
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Algebra
Es la rama de las matemáticas que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a
la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números
El álgebra es una de las principales ramas de las matemáticas
En álgebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de
letras, las cuales pueden representar todos los valores.
4.1. Expresiones algebraicas
Cualquier expresión que indique una o varias de las operaciones algebraicas (suma,
resta, multiplicación o división, potenciación, radicación) se llama expresión algebraica.
Un término algebraico es una expresión compuesta por números concretos y letras
que también representan números relacionados entre sí mediante las operaciones de
multiplicación, división, potenciación y radicación.
Los elementos de un término son:
El signo
El coeficiente numérico
La parte literal
El grado de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales.
93
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 53
Escribe sobre la línea la palabra del concepto correspondiente a la definición dada.
1. Descomposición de un término algebraico que se realiza considerando los
exponentes de las literales ___________________
2. Puede ser positivo o negativo, indica la separación de los términos entre sí.
_________
3. Términos que tienen exactamente iguales las literales y sus exponentes
____________
4. Elemento de un término algebraico que nos indica cuántas veces se repite como
sumando la parte literal, es un factor numérico. _______________________
5. Se forma con sólo dos términos algebraicos __________________________
6. Parte variable de un término algebraico __________________________
7. Rama de las matemáticas, estudia las cantidades de modo abstracto, es una
aritmética generalizada. ________________
8. Descomposición de un término algebraico que se hace en base al coeficiente
_______
9. Elemento de un término algebraico, indica cuántas veces se repite la literal como
factor ____________________
10. Polinomio que consta de tres términos algebraicos
__________________________
94
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 54
1. Para cada uno de los siguientes términos señalar su coeficiente numérico, su parte literal y su
grado
Término Coeficiente
numérico
Parte literal Grado
a.
b.
c.
d.
e.
2. Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes enunciados.
f. El doble de un número
g. El doble de un número aumentado en 7
h. La diferencia de dos números
i. La diferencia de dos cuadrados
j. La mitad del cuadrado de un número
k. La cuarta parte del cubo de un número
l. El cociente de dos números
m. El triple de un número aumentado en 12
n. El doble del cuadrado de un número disminuido en 5
o. El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos
p. Cinco veces el cubo de un número aumentado en 4
q. La raíz cúbica de un número
r. La raíz cuadrada del producto de tres números
s. El doble de la diferencia de dos números
t. Cuatro veces la diferencia de dos cuadrados
u. Tres veces la diferencia de dos cubos
3. Escribe la frase que corresponda a cada expresión algebraica.
v.
w.
x. √
y. √
95
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 55
1. Escribe una fórmula para calcular el área de la región sombreada de cada figura.
a) b)
r
A= _______________ A = __________________
2. Escribe una fórmula para calcular el perímetro de las figuras que se describen.
c) De un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho. ______________________________
d) De un hexágono regular. ______________________
e) De un trapecio isósceles cuya base mayor es el doble de su base menor y cuya altura es la
tercera parte de la suma de sus bases. ____________________________
f) De un triángulo isósceles cuya base es la quinta parte de uno de sus lados
iguales.___________________
g) De un triángulo rectángulo en el que uno de sus catetos es la sexta parte del otro cateto.
____________________
3. Determina una fórmula para calcular el volumen de lo siguiente.
h) Un prisma cuadrangular cuya altura es igual al perímetro de su base cuadrada.
__________________________
i) Un cilindro cuya altura es igual al radio de la base. _____________________________
j) Un cono cuyo perímetro de la base es igual a la mitad de su altura. __________________
96
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
4.2 Operaciones con expresiones algebraicas
Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal.
Al reducir términos semejantes se pueden presentar los tres casos siguientes:
1° Términos semejantes con el mismo signo.
2° Términos semejantes con distinto signo.
3° Tres o más términos semejantes que no tienen todos los mismos signos.
Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto finito de
términos, en cada uno delos cuales aparecen números y letras relacionadas solamente
mediante productos y potencias de exponentes que son números naturales.
LEYES DE LOS
EXPONENTES
LEYES DE LOS
RADICALES
LEYES DE LOS
SIGNOS
(
)
(√
)
( )
√
√ √
√
√
√ √
√
√√
√
97
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 56
Reducción de términos semejantes.
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
98
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Reducción de términos semejantes
Suma y resta de expresiones algebraicas
+
- =
Suma de expresiones algebraicas
w w w 1 1 1 1
1
6
99
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 57
Suma y resta de expresiones algebraicas.
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Completa las siguientes operaciones.
12.
13.
14.
635
15. 4b
3b b 7
b 3 1/2b
2b
________________________________________________________________
100
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 58
Elimina los símbolos de cada agrupación y reduce términos semejantes en cada uno de los
siguientes ejercicios:
1. [ ]
[ ]
2. [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
9. [ ]
10. [ ]
101
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 59
I. Relaciona las siguientes columnas.
√ √ √
√
(√ )
√ √ √
√
II. Coloca las expresiones en los círculos de la figura, de
modo que la suma de los cuatro monomios de cada lado del triángulo sea
102
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 60
Leyes de los exponentes
Resuelve los siguientes ejercicios
1.
2.
(
)
3.
(
)
4.
(
)
5.
(
)
6.
(
)
7.
8.
(
)
9.
10.
103
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 61
Multiplicación de expresiones algebraicas
I. Completa las siguientes tablas
Multiplicación de
potencias Resultado
Cuadrado de un
monomio Resultado
9
[ ]
II. Escribe en los círculos las expresiones que faltan.
III. Efectúa los siguientes productos.
(
)
104
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 62
I. Efectúa las siguientes multiplicaciones utilizando la forma vertical.
1.
2.
3.
II. Completa la siguiente tabla.
Multiplicación de un monomio por la suma
o resta de monomios Resultado
√
[ ]
III. Escribe en los rectángulos las expresiones que faltan.
106
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 64
División de expresiones algebraicas
I. Completa la siguiente tabla
División de expresiones algebraicas Resultado
√
√
II. Realiza las siguientes divisiones.
4.
109
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 67
Realiza las siguientes divisiones utilizando división sintética
1.
4.
5.
110
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Guía de observación
Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con
los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber
cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la
respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.
Indicador Dominio
Observaciones
Expresiones algebraicas
1. Identifica el álgebra como una aritmética
generalizada, utiliza correctamente la
terminología de término, variable y constante.
2. Clasifica una expresión algebraica. 3. Traduce proposiciones verbales a
expresiones algebraicas, describiendo
situaciones planteadas en problemas de
diversas temáticas.
Operaciones con expresiones algebraicas 4. Resuelve sumas y restas de términos
algebraicos dados.
5. Identifica y utiliza las leyes delos
exponentes en la simplificación de expresiones
algebraicas.
6. Efectúa operaciones de multiplicación con
expresiones algebraicas.
7. Efectúa operaciones de división con
expresiones algebraicas.
8. Resuelve divisiones algebraicas utilizando la
división sintética.
TOTAL
112
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 68
I. Expresa los radicales en exponentes fraccionarios.
√ 2. √
√
√
II. Dados los exponentes fraccionarios pasarlos a radicales.
⁄ 6.
⁄
7.
⁄
⁄
III. Simplifica a su mínima expresión.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
113
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 69
I. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica.
1. √ √
2. √ √ √
3. √ √ √
4. √ √ √
5. √ √ √
√
114
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 70
I. Realiza las siguientes operaciones y simplifica
1. √ √
√ √
√ √
√
( √
)
√ (√ √ )
6. (√ √ )(√ √ )
7. √
√
8. √
√
9. √
10. √
√
115
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
ACTIVIDAD 71
I. Racionaliza las siguientes expresiones radicales.
√
2. √
3. √
√
4. √
5.
√
116
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
Guía de observación
Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con
los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber
cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la
respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.
Indicador Dominio
Observaciones
Radicales
1. Escribe expresiones algebraicas con exponentes
fraccionarios a la forma radical y viceversa.
2. Conoce y aplica las leyes de los radicales. 3. Conoce y aplica las propiedades de los
exponentes fraccionarios.
4. Simplifica correctamente expresiones radicales
dadas, aplicando las propiedades de los radicales.
5. Efectúa operaciones entre expresiones radicales
dadas (suma, resta, multiplicación y división) del
mismo índice.
6. Racionaliza expresiones radicales con
denominador.
TOTAL
118
Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo
BIBLIOGRAFIA
Allen, A. Álgebra intermedia. 6ª. Edición. Pearson Educación. México. 2004
Chávez, A., Sierra, F., Sánchez, E., Cruz, R. Práctica Matemática I. Segunda Edición. Grupo
Editorial Iberoamericana. México, 2007
Ibañez, P., García, G. Matemáticas I Aritmética y álgebra. Primer semestre. Cengage
Learning Editores, S.A. de C.V. México 2009.
Miller, Ch., Heeren, V. y Hornsby, J. Matemática: razonamiento y aplicaciones. 10ª. Edición.
Pearson. México 2006.
Silva, J. y Lazo, A. Fundamentos de matemáticas. 7ª. Edición. Limusa. México 2006.