5 Poliedros

Matemáticas 1º ESO

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1. Deltaedros y diedros

2. Posiciones relativas de

planos

3. Desarrollos planos

4. Poliedros regulares

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1. Deltaedros y diedros

DELTAEDROS

Material: Triángulos equiláteros troquelados en cartulina y gomas. Triángulos equiláteros engarzables de plástico rígido. Deltaedros son aquellos poliedros que pueden construirse usando únicamente triángulos equiláteros. La letra griega “delta” -que tiene la forma de un triángulo equilátero- proporciona el nombre a estos poliedros. Usando seis triángulos equiláteros puedes construir un deltaedro-6.

Investiga y construye todos los deltaedros que puedas. Clasifica los deltaedros que hayas encontrado. ¿Es posible construir un deltaedro con un número impar de caras?.

DELTAEDROS REGULARES

Observa la diferencia entre el deltaedro-4 y el deltaedro-6. El primero, también llamado tetraedro es

un poliedro regular, porque en todos los vértices concurren siempre el mismo número de caras. ¿Ocurre lo mismo en el deltaedro-6?.

Con los triángulos troquelados y las gomas construye, si no lo has hecho ya, deltaedros de 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20 caras. ¿Cuáles de los que has construído son poliedros regulares?.

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Existe un deltaedro-8 que es regular. Se llama octaedro. ¿Cuántas caras concurren en cada vértice del octaedro?

También existe un deltaedro de 20 caras que es regular. Se llama icosaedro. ¿Cuántas caras concurren en cada vértice del icosaedro?.

ANGULOS DIEDROS I

Toma un cubo y coloca el libro de espejos de forma que dos caras adyacentes del cubo coincidan con los espejos del libro.

El ángulo que forman las hojas del libro de espejos es el que forman las dos caras adyacentes del

cubo y se llama ángulo diedro.

Para medir este ángulo, basta que coloques el transportador de ángulos como se indica en la figura. Comprueba que su valor es de 90º.

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Con ayuda del libro de espejos y del transportador de ángulos, mide los ángulos diedros de algunos de los deltaedros que has construido. En el cubo sólo hay un único tipo de ángulo diedro. ¿Cuántos ángulos diedros distintos tiene el deltaedro-6?. ¿Y los otros deltaedros que has construido?.

2. Posiciones relativas de planos

PLANOS Una hoja de papel, sin doblar, es un modelo de plano. Toma dos hojas y explora las posiciiones relativas que pueden adoptar. Una de las posibles posiciones es esta:

La abertura entre ambas hojas puede ser más o menos amplia.

El espacio entre los dos planos es un ángulo diedro. Esto es análogo al caso del plano: el espacio

entre dos rectas se llama ángulo plano o simplemente ángulo.

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En el plano, dos rectas secantes determinan cuatro ángulos (que son iguales dos a dos). De la misma forma, en el espacio, dos planos determinan cuatro ángulos diedros, que son iguales entre si dos a dos.

a) ¿Qué ángulos diedros forman dos planos perpendiculares?. ¿Y dos planos coincidentes? b) Imagina dos planos situados de modo que dos de los ángulos diedros que forman sean de 45º. ¿Cuánto medirán los otros dos diedros?. ¿Y si uno de los diedros mide 30º?.

POSICIONES RELATIVAS Dos planos se pueden cortar y tienen una recta en común.

Dos rectas se pueden cortar y tienen un punto en común.

Observa en los siguientes cuadros las posiciones relativas que pueden tener las rectas y los planos en el espacio:

POSICIONES DE DOS PLANOS

Planos paralelos Planos secantes

No tienen ningún punto en común Tienen una recta común

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POSICIONES DE DOS RECTAS

Rectas paralelas Rectas secantes Rectas que se cruzan

Están situadas en el mismo

plano y no tienen ningún

punto común

Están situadas en el mismo

plano y tienen un punto en

común

Están situadas en distinto

plano y no tienen ningún

punto común

POSICIONES DE RECTA Y PLANO

Recta paralela a un plano Recta secante a un

plano

Recta contenida en un plano

No tienen ningún punto común Tienen un punto

común

Tienen comunes todos los

puntos de la recta

a) Si en lugar de utilizar un cubo, utilizas un tetraedro, ¿qué posiciones de planos puedes analizar?.

¿Y de rectas y planos?. ¿Y de rectas?.

b) Haz lo mismo con un dodecaedro.

CONTANDO POSICIONES RELATIVAS 1) Considera las caras de un cubo como planos. ¿Cuántas posiciones de planos paralelos tienes?.

¿Cuántas posiciones de planos secantes?

2) Considera las aristas de un cubo como rectas ilimitadas. ¿Cuántas posiciones de rectas paralelas tienes?. ¿Y de rectas secantes?. ¿Y de rectas que se cruzan?.

3) Considera las caras de un cubo como planos y sus aristas como rectas. ¿Cuántas posiciones de recta paralela a un plano tienes?. ¿Y de recta secante a un plano?. ¿Y de recta contenida en un plano?.

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SOBRE POSICIONES RELATIVAS Ayudándote de elementos que sugieran la idea de rectas y planos, como pueden ser: lápiz, bolígrafos, folios, libretas, responde a las siguientes cuestiones: 1) ¿Cuántas rectas pasan por un punto del espacio?. 2) ¿Cuántos planos pasan por una recta?. ¿Y por un punto?. 3) Si tres rectas son concurrentes, ¿cuál es el menor número de planos que pueden formar?.. ¿Y

cuál es el mayor número de ellos?. 4) Si dos rectas son paralelas a un plano, ¿son necesariamente paralelas entre sí?. 5) ¿Estarán siempre en un mismo plano tres rectas paralelas?. ¿Cuál es el número máximo y mínimo

de planos que pueden determinar?. 6) ¿Existe siempre un plano que pase por dos rectas?. 7) ¿Por qué las cámaras fotográficas y de TV se montan sobre trípodes?. 8) ¿Por qué una mesa de cuatro patas es menos estable que una de tres?. 9) ¿Existen rectas que corten a otras dos que se cruzan?.

ANGULOS POLIEDROS Si observas la habitación en que te encuentras puedes observar como dos paredes contiguas junto con el techo se cortan en un punto. El espacio alrededor de ese punto y comprendido entre las

paredes y el techo recibe el nombre de triedro. También se puede formar un triedro con tres espejos. Para ello puedes usar el libro de espejos, apoyándolo sobre un tercer espejo.

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En general, se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un mismo punto. Al igual que en los diedros, los ángulos poliedros tienen caras y aristas. a) Sobre una cartulina y usando regla y transportador de ángulos, dibuja semirrectas concurrentes en

un punto A con los ángulos que se indican en la figura. Recortando y doblando la cartulina por las líneas restantes, construye un ángulo poliedro con vértice A, pegando la pestaña adecuadamente.

b) Usando el mismo procedimiento, construye ángulos poliedros en los siguientes casos:

c) ¿Es siempre posible construir un ángulo poliedro?. ¿Qué condiciones deben cumplirse?.

CONCAVOS Y CONVEXOS ¿Por qué sólo hay un deltaedro-4 y un deltaedro-6 pero hay más deltaedros-8 o deltaedros-14 ?.

Observa que hay algunos deltaedros que presentan “entrantes”, mientras que otros no. Los primeros

son deltaedros cóncavos y los segundos son deltaedros convexos. ¿Cuál es el máximo número de caras que pueden concurrir en un vértice de un deltaedro convexo?.

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COMBINA DELTAEDROS ¿Como conseguir nuevos deltaedros a partir de los ya construidos?. ¿Si se unen por una cara un octaedro y un tetraedro, la figura que se obtiene es un deltaedro?. Construye otros deltaedros, combinando diferentes tipos de deltaedros. Si unes dos deltaedros por una arista, en vez de por una cara, ¿obtienes un deltaedro?.

3. Desarrollos planos

DESARROLLOS PLANOS Generalmente resulta difícil imaginar figuras espaciales. Transcribir tales figuras a una hoja de papel, a un plano, supone un montón de dificultades. Existen técnicas de dibujo para representar sólidos en el plano. Por ejemplo, utilizando una trama triangular, ésta es la representación de un cubo y de un tetraedro:

Pero hay otro tipo de representación que consiste en romper el sólido y obtener su desarrollo plano. Aquí se pierde la forma del sólido, pero podemos descubrirla doblando y pegando convenientemente las figuras planas. Si dispones de poliedros huecos , de papel o cartulina, puedes cortar a lo largo de algunas de sus aristas para obtener sus desarrollos planos. Si el poliedro es sólido, puedes dibujar el contorno de la cara apoyada sobre el papel. Haces girar el cuerpo sobre una de sus aristas y descansará sobre otra cara, cuyo contorno volverás a dibujar. Procurando no girar el cuerpo sobre una arista que lo lleve a una posición ya ocupada, y continuando los giros hasta haber dibujado el contorno de todas sus caras, obtendrás el desarrollo plano del cuerpo. Construye el desarrollo plano de los siguientes cuerpos:

Un cubo

Un tetraedro

Un octaedro

Un deltaedro-6

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HEXAMINÓS Y CUBOS Las siguientes plantillas están formadas por seis cuadrados unidos por los lados; se llaman

hexaminós. Averigua con qué hexaminós se puede construir un cubo.

Para poder construir el cubo, hace falta además unas “pestañas” para pegar unas caras con otras.

¿Cuántas pestañas son necesarias?. Dibuja un hexaminó de 5 cm de lado, ponle pestañas y construye un cubo.

DIAMANTES Y DELTAEDROS Material: Trama isométrica de triángulos. Triángulos equiláteros engarzables de plástico rígido. Esta figura plana formada por 4 triángulos equiláteros iguales unidos por un lado recibe el nombre de

diamante-4.

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Un diamante-4 puede ser plegado para encerrar un espacio bajo la forma de un tetraedro.

¿Cuáles de los siguientes diamantes-4 darán tetraedros al ser plegados?.

¿Sirven las siguientes plantillas para construir un tetraedro?

Investiga el plegado de algunos diamantes-5 y diamantes-6. ¿Cuáles de ellos darán lugar a poliedros al ser plegados?. ¿En cuántos lados libres necesitarás poner pestañas para construirlos?.

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DELTAEDROS-8 Dibuja algunos diamantes-8 con los que puedas construir deltaedros-8. ¿Alguno de los diamantes-8 que siguen es un desarrollo plano del octaedro regular?

¿Cómo habría que plegar este diamante-8 para obtener un deltaedro?

Observa que el sólido obtenido consiste en dos tetraedros unidos por una arista y tiene la propiedad

de que puede abrirse y cerrarse hasta convertirse en un deltaedro-6. Se dice que es un deltaedro

flexible o flexaedro.

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EL ICOSAEDRO Entre los deltaedros-20 hay uno que destaca por su regularidad, es el icosaedro regular. Investiga si puedes construir un icosaedro regular con los diamantes que siguen:

4. Poliedros regulares

POLIEDROS REGULARES Material: Polígonos regulares engarzables en plástico rígido. Polígonos regulares troquelados en cartulina y gomas. Ya conoces algunos poliedros regulares como el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro.

Los poliedros regulares pueden ser definidos como aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y cuyos vértices están siempre rodeados por el mismo número de caras.

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En el cubo todas las caras son cuadrados y alrededor de cada uno de sus ocho vértices hay exactamente tres de estos cuadrados. ¿Puede haber otro poliedro regular formado por cuadrados?. ¿Existirán más poliedros regulares que tengan todas sus caras triángulos equiláteros?. ¿Es posible construir un poliedro regular cuyas caras sean pentágonos regulares?.

EL DODECAEDRO REGULAR a) Con una trama de cuadrados hemos construido el cubo y con una trama triangular hemos

encontrado el tetraedro, el octaedro y el icosaedro regular. ¿Podemos partir de una trama de pentágonos regulares para construir un poliedro de pentágonos regulares?.

b) Con una trama de pentágonos y rombos, como las que tienes en las siguientes páginas, puedes

construir otro poliedro regular, con doce pentágonos regulares como caras, llamado dodecaedro

regular. Construye uno. c) Ya tenemos cinco poliedros regulares. ¿Existen más?. ¿Es posible encontrar un poliedro regular

cuyas caras sean hexágonos regulares?.

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ANGULOS DIEDROS II

Con ayuda del libro de espejos y del transportador de ángulos, mide los ángulos diedros de algunos poliedros regulares (cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro, dodecaedro). Completa la siguiente tabla:

POLIEDRO ÁNGULO DIEDRO

CUBO 90º

TETRAEDRO

OCTAEDRO

ICOSAEDRO

DODECAEDRO

ORDENA POLIEDROS

Material: Una colección con los poliedros regulares por equipo.

Sobre la mesa tienes los cinco poliedros regulares posibles; ordénalos con arreglo a algún criterio.

Haz el recuento del número de caras, aristas y vértices para cada uno de estos poliedros y anótalo en esta tabla:

CARAS VÉRTICES ARISTAS

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

¿Hay alguna regularidad en la tabla que llame tu atención?.

Existe una relación entre el número de caras, vértices y aristas común a todos los poliedros regulares. ¿Cuál es?. ¿Es exclusiva de los poliedros regulares?. Investiga.

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SIMBOLO DE SCHÄFLI El símbolo de Schäfli recoge el número de lados que tienen los polígonos que forman las caras de los poliedros regulares y el número de caras que hay alrededor de cada vértice. Por ejemplo, para el cubo se tiene el siguiente símbolo de Schäfli: <4, 3>. Las caras del cubo son cuadrados: <4 lados>. Alrededor de cada vértice hay tres cuadrados. Averigüa el símbolo de Schäfli para cada uno de los poliedros regulares y completa la siguiente tabla:

NOMBRE SCHÄFLI CARAS VÉRTICES ARISTAS

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

¿Observas regularidades en la tabla?. Compueba que si <p, q> es el símbolo de Schäfli de un poliedro, y C, V y A su número de caras, vértices y aristas, se tiene:

p C = q V = 2 A

¿Puedes explicar por qué se cumple la igualdad p C = 2 A ?.

¿PUEDE SER? Un poliedro puede tener: a) el mismo número de vértices que de aristas?. b) el mismo número de caras y aristas?. c) el mismo número de caras y vértices?.

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¿VERDADERO O FALSO? Justifica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 1) En todo poliedro sus caras son todas iguales. 2) El menor número de caras de un poliedro es cuatro. 3) En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. 4) En los poliedros el menor número de caras que concurren en un vértice es tres. 5) El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, cinco. 6) Un cubo con 10 aristas tiene 8 vértices.

COMBINA TETRAEDROS Material: Troquelados y gomas. Investiga nuevos poliedros a partir del tetraedro.

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CALEIDOCICLO Hacer un dibujo permite en algunos casos construir sólidos curiosos.

Este es un móvil formado por ocho tetraedros enlazados. Para construirlo realiza el dibujo que se indica a continuación en una cartulina de tamaño, como mínimo, de 22’5 x 7’5 centímetros. Procura emplear un procedimiento adecuado.

Recorta la parte sombreada. Manipula la plantilla y con un punto de cola debe quedar construido el sólido. Te pedimos que la decores a tu gusto.

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