Grandezas e medidas e Estatística

Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo de perímetros

Perímetro de um polígonoVocê lembra como calcula o perímetro de um losango?E de um paralelogramo?

O perímetro é a medida do comprimento de um contorno. No caso dos polígonos, o perímetro é obtido com a soma das medidas do comprimento de seus lados.

Vamos relembrar:

Exemplo:

Uma praça tem uma forma triangular e seus lados medem: 30 m, 20 m e 12 m.Então, seu perímetro é: P = 30 + 20 + 12 = 62 m PAULO MANZI / A

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ou C = . d ou ainda C = 2 r=

Perímetro de uma circunferênciaA fórmula que representa a relação entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do diâmetro é:

É um número irracional, e para efetuar cálculos utilizamos aproximações como = 3,14.

Comprimento de um arco de uma circunferência

Se 360º : 90º = 4 então x = Se 360º : 180º = 2 então x = . r

x

90º

x

180º

3

90° x

x

x

360° 2πr 360° 2πr

180° x

x

x

Grandezas e medidas e EstatísticaPerímetro de um setor circular

P = r + r + xComprimento do arco depende do ângulo do setor.

Raio do setor.

360º : 45º = 8 então x =

x

r

r

45º

4

360° 2πr

45° x

x

x

Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo de áreasÁrea de uma região quadradaPara calcular a área da região quadrada Q, podemos decompô-la em 9 regiões quadradas de 1 cm2 cada.Assim, a área da região é 9 cm2.

Área da região Q = 32 = 9 cm2

É possível fazer o mesmo procedimento para a região quadrada R?

Utilizando o quadrado de área 1 cm2 não é possível.Mas podemos fazer o mesmo com quadrados de área 0,25 cm2!

Assim, é possível dividir a região R em 49 regiões de 0,25 cm2 de área.A área da região R é 49 . 0,25 = 12,25 cm2 A = ℓ . ℓ ou A = ℓ2

3 cm

3 cm

Região Q

1 cm²

3,5 cm

3,5 cm

Região R

0,25 cm²

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Vamos repetir o procedimento anterior para os dois exemplos abaixo:

Área da região S = 3 . 5 = 15 cm2

Relembrando o que concluímos sobre a área de uma região quadrada, a que conclusão podemos chegar?

A = a . b

Área de uma região retangular qualquer

Área da região T = 2,5 . 4,5 = 11,25 cm2

3 cm

5 cm

Região S

2,5 cm

4,5 cm

Região T

b

a

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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um paralelogramo

Considerando o paralelogramo abaixo, com base b e altura h, podemos movero triângulo DAE para a posição CBF sem alterar a medida da base ou da altura.

Assim, “transformamos” o paralelogramo numa figura que sabemos calcular a área!

Logo, a área da região ABCD é igual a b . h.

A = b . h

A B

CD

E

h

b

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B

CD

E

b

F

h

Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região triangular

Para calcular a área da região triangular, podemos utilizar o mesmo procedimento e “transformar” em uma figura que sabemos calcular.

Já sabemos que a área do paralelogramo é bh.

Pelo caso de congruência LAL, sabemos que as regiões triangulares ABC e ADC são congruentes, então:

Área da região ABCD = 2 . Área da região triangular ABC

Ao traçar paralelas aos lados e , podemos determinar o ponto D e a região limitada pelo paralelogramo ABCD.

Área da região triangular ABC =

A

B C

D

E

h

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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um trapézio

Podemos decompor o trapézio em duas regiões triangulares, pois sabemos calcular a área dessas regiões.

Denominando uma base B e altura h, e outra base b e altura h, temos:

Área de uma região limitada por um losango

Área do losango =

A =

B

hh

b

d

D

Área do trapézio = + = =

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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um polígono regular

Para calcular a área de uma região limitada por um polígono regular de n lados, podemos decompor a figura em n regiões triangulares.

Assim, a área que procuramos é n vezes a área de cada região triangular.Vejamos um exemplo: a é o apótema do polígono.

ℓ é o lado do polígono.

A região hexagonal é composta de 6 regiões triangulares congruentes, então,

Esse é o valor do perímetro, logo:

A =

A = 6 . A = 6 . =

a

A B

O

ℓ

ℓℓ

A = ℓ

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Grandezas e medidas e EstatísticaCálculo aproximado de áreasComo calcular áreas de regiões não regulares como a figura abaixo?

Pode-se fazer isso utilizando papel quadriculado:1) Coloque a figura em uma malha quadriculada e conte a quantidade de quadrados inteiros que estão no interior da figura.

2) Conte agora o menor número possível de regiões inteiras que cobrem totalmente a região R.

Área por falta = 34

Área da região é maior que 34 e menor do que 67 .

Podemos aproximar fazendo a média aritmética entre os dois valores:

A área do = 0,25 cm2, então A = 12,63 cm2.A A 50,5

R

Área por excesso = 67

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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de um círculo

Já vimos que a área de uma região determinada por um polígono regular é:

Observando a figura, podemos perceber que, à medida que aumentamos a quantidade de lados, o polígono se aproxima cada vez mais de uma circunferência.

A =

Na circunferência, o apótema passa a ser o raio (r), e o perímetro passa a ser o comprimento da circunferência (2 r). Assim,

A = = = r²

a aaa

aaaa

r

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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea lateral e área total de um sólido geométrico

A área lateral de um prisma é dada por produto do perímetro de uma das bases pela altura do prisma.

Um cilindro de altura h, cuja base é um círculo de raio r, tem como área lateral 2 rh.

A área total da superfície de um cilindro é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.

A área total da superfície de um prisma é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.

r

h

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Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo da medida de volumeA medida do volume de um cubo cuja aresta mede a é dada por:

A medida do volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base (a . b) pela medida da altura c.

A medida do volume de um prisma é dada multiplicando-se a área da base pela medida da altura desse prisma.

V = a³

V = abc

V = B . h

ab

c

h

área da base: B

aa

a

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Grandezas e medidas e EstatísticaA medida do volume de um cilindro (V) é igual à área da base (B) multiplicada pela altura h.

A medida do volume de um cone é igual a um terço do volume de um cilindro de mesma área da base e mesma altura.

A medida do volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume de um prisma de mesma área da base e mesma altura.

V = B . h

V =

V =

h

B

h

B

h

B

h

B

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Apótema

Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono.

A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono.

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No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma, temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes. 

Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:

a² + 2² = 4² a² + 4 = 16 a² = 16 – 4 a² = 12 a = √12 a = 2√3 cm 

Grandezas e medidas e EstatísticaDetermine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10 cm.

Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:

Determinando o raio através do Teorema de Pitágoras: r² = a² + 5² r² = 5² + 5² r² = 25 + 25 r² = 50 √r² = √50 r = 5√2 cm  Fonte: http://www.mundoeducacao.com/matematica/apotema.htm