PALACIO GARCIA CELINA

PARALELO 8

MATEMAacuteTICAS

CAPIacuteTULO 2

NUacuteMEROS REALES

IntroduccioacutenLa idea de nuacutemero aparece en la historia del hombre ligada a la necesidad de contar objetos animales etc Para lograr este objetivo usaron los dedos guijarros marcas en bastones nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nuacutemero al siguiente A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema maacutes praacutectico de representacioacuten numeacutericaEl sistema de numeracioacuten maacutes usado fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los aacuterabes Acerca del origen indio del sistema hay pruebas documentales maacutes que suficientes entre ellas la opinioacuten de Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci quien fue uno de los introductores del nuevo sistema en Europa En aquella eacutepoca se usaban los nuacutemeros romanos y el aacutebaco Su gran meacuterito fue la introduccioacuten del concepto y siacutembolo del cero lo que permite un sistema en el que soacutelo diez siacutembolos puedan representar cualquier nuacutemero por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operacionesEn su libro titulado ldquoLiber Abacirdquo (Libro de los Caacutelculos) hizo tal referencia y si bien su obra fue un hecho revolucionario debido a que no habiacutea sido inventada la imprenta tuvieron que pasar tres siglos para que fuera conocida en toda EuropaEn el capiacutetulo anterior hemos utilizado los nuacutemeros y uno de los conjuntos que nos ha servido como referencia es = 1 2 3 el cual se denomina conjunto de los nuacutemeros naturalesEn algunas situaciones de la vida diaria tales como

Determinar el nuacutemero que sumado con 5 deacute por resultado 2 Tener un sobregiro de $ 100 en una cuenta corriente Disminuir la temperatura de 25 ordmC a 20 ordmC en un cierto instante de

tiempo Deber una cierta suma de dinero

Es muy ilustrativa la representacioacuten graacutefica de los nuacutemeros Se puede utilizar una recta dibujada de manera horizontal sobre la cual seleccionamos un punto y lo marcamos con 0 (origen) este punto representa el nuacutemero cero Si queremos identificar un nuacutemero positivo lo marcamos a la derecha del cero mientras que si es negativo lo marcamos a la izquierda del cero A esta recta se la denomina recta de los nuacutemeros reales Nos encontramos con la dificultad de que no existen nuacutemeros naturales que puedan resolver dichos problemas Las soluciones se encuentran en un nuevo conjunto denominado conjunto de los nuacutemeros enteros = minus3 minus2 minus1 0 1 2 3 del alemaacuten zahl (nuacutemero) iquestExiste alguacuten nuacutemero que multiplicado por 2 sea 1 En general dados dos nuacutemeros enteros m y n cualesquiera iquestexiste un nuacutemero entero x que

multiplicado por n (n ne 0) sea igual a m La respuesta negativa a estas preguntas obligoacute a los matemaacuteticos a una ampliacioacuten del conjunto introduciendo un nuevo conjunto numeacuterico denominado conjunto de los nuacutemeros racionales denotado por y definido por = f f = p q p isin qisin q ne 0 del ingleacutes quotient (cociente) Un nuacutemero racional es aquel que puede expresarse como una fraccioacuten p q entre dos nuacutemeros enteros p (numerador) y q (denominador) con denominador q diferente de cero Pero tambieacuten existen nuacutemeros que no pueden ser representados como una fraccioacuten a este conjunto lo denominamos conjunto de los nuacutemeros irracionales Tales nuacutemeros existen por ejemplo radic2 radic3 1048731 etc Tanto los nuacutemeros racionales como los irracionales forman el conjunto de los nuacutemeros reales = cup La siguiente figura muestra coacutemo se relacionan los conjuntos numeacutericos mencionados

Figura 22 Recta de los Nuacutemeros Reales

Figura 21 Relacioacuten de los Conjuntos NumeacutericosNuacutemerosNuacutemeros negativos 0 Nuacutemeros positivosSi consideramos nuacutemeros enteros a la derecha de 0 estamos hablando del conjunto mientras que los que se encuentran a la izquierda de 0 representan el conjunto minus El cero no es positivo ni negativoLas mismas consideraciones se aplicaraacuten para los nuacutemeros racionales irracionales y reales en general Dado que la cardinalidad de estos conjuntos es infinita se utilizaraacute el siacutembolo infin para representar tal valor en la recta numeacuterica Si se tratara de un valor tan grande y positivo como sea posible entonces se lo representaraacute con infin mientras que si el valor es tan grande como sea posible pero negativo entonces se utilizaraacute minusinfin

21 Representacioacuten Decimal

Los nuacutemeros reales pueden ser representados con cifras enteras y cifras decimales Los nuacutemeros reales racionales tienen representaciones decimales con una cantidad finita de diacutegitos o con cierto nuacutemero de diacutegitos que aparecen indefinidamente siguiendo alguacuten patroacuten de repeticioacuten Por ejemplo 25 = 04 que tiene un solo decimal 16= 0166666 donde el diacutegito 6 se repite indefinidamente 232 99 = 2343434 tiene los diacutegitos 3 y 4 repetidos en la secuencia decimalLos nuacutemeros reales irracionales tienen representaciones decimales que no terminan ni tienen un patroacuten de repeticioacuten Por ejemplo radic2= 1414213 π = 314159 En la praacutectica los nuacutemeros irracionales generalmente son representados por aproximaciones Se suele utilizar el siacutembolo asymp(se lee ldquoaproximadamente igual ardquo) para escribir radic2 asymp1414 y π asympPara lograr la representacioacuten decimal en el caso de nuacutemeros racionales es suficiente dividir el numerador para el denominador

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Representar un nuacutemero racional en forma fraccionaria o perioacutedica Dada una representacioacuten decimal determinar la fraccioacuten que le corresponde Dado un nuacutemero racional representarlo en la recta real Reconocer la diferencia entre la representacioacuten decimal de un nuacutemero racional y uno irracional

Ejemplo 21 Representacioacuten decimal de nuacutemeros racionalesCada vez que un nuacutemero racional (fraccioacuten) se representa por medio de un nuacutemero con infinita cantidad de decimales estos uacuteltimos se muestran como la repeticioacuten sucesiva de una cierta cantidad finita de diacutegitos que se denomina periacuteodo Para evitar repetir los nuacutemeros podemos utilizar ldquominusrdquo en la parte superior del periacuteodoEn el ejemplo 21 se puede observar queNUacuteMERO RACIONAL PERIacuteODO REPRESENTACIOacuteN DECIMAL13rArr3 03minus16rArr6 minus01617rArr142857 0142857Para transformar un decimal perioacutedico en fraccioacuten utilizaremos el siguiente procedimiento1 Denominar como x al nuacutemero decimal perioacutedico2 Localizar el periacuteodo del nuacutemero3 Llevar el punto decimal despueacutes del primer periacuteodo multiplicando al nuacutemero x por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos4 Llevar el punto decimal antes del primer periacuteodo multiplicando al nuacutemero por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos5 Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4

6 Despejar x7 Simplificar en caso de ser posibleUtilizando el procedimiento anteriormente descrito se pueden obtener las fracciones correspondientes a los tres nuacutemeros decimales perioacutedicos de la siguiente tablaEstos nuacutemeros pueden ser representados graacuteficamente en la recta realminusminus3 minus2 minus1 0 1 2 311532131716minus9432= 15 115= 22 minus94= minus22513= 03333 minus16= minus016666 17= 0142857142857

En caso de que el nuacutemero decimal perioacutedico posea parte entera debe separaacutersela de la parte decimal para aplicar el procedimiento anterior a esta uacuteltimaFinalmente se debe sumar la parte entera con la fraccioacuten obtenida y eacutesa seraacute la representacioacuten fraccionaria de todo el nuacutemeroPosteriormente demostraremos que todo nuacutemero decimal perioacutedico representa una fraccioacuten

Ejemplo 22 Representacioacuten decimal de nuacutemeros irracionales1 x = 03333 x = 016666 x = 01428571428572 Periacuteodo 3 Periacuteodo 6 Periacuteodo 1428573 101 x = 33333 102 x = 16666 106 x = 1428571428574 100 x = 03333 101 x = 16666 100 x = 01428575 9x = 3 90x = 15 999999 x = 1428576 x = 39x = 1590x = 1428579999997 x = 13x = 16x = 17radic2 = 1414213562373095

Este nuacutemero puede representar la longitud de la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos catetos tienen medida igual a 111radic2

radic3 = 1732050807568877Este nuacutemero puede representar la longitud de la altura de un triaacutengulo equilaacutetero cuyos lados miden 2 unidades radic2 3 = 1259921049894873Este nuacutemero puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cuacutebicas π = 3141592653589793Este nuacutemero resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diaacutemetroComo se podraacute apreciar estos nuacutemeros forman parte del mundo que nos rodea por lo que es necesario trabajar con ellos Los nuacutemeros irracionales pueden ser representados graacuteficamente en la recta realπ =LddL2 22radic3radic2 3minuse minusminus3 minus2 minus1 0 1 2 3minusradic2 3 radic5 radic2 radic3

22 Operaciones binarias

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un conjunto y una operacioacuten definida sobre eacutel reconocer si es o no binaria justificando su respuesta Dada una operacioacuten binaria identificar queacute propiedades cumpleDefinicioacuten 21 (Operacioacuten binaria)Algunas expresiones tales como2 4 = 6 4 minus6 = minus2 5 x 7 = 35 20 5 = 4Sea un conjunto S = a b c la operacioacuten es una operacioacuten binaria en S si y soacutelo si a cada par ordenado (a b) isinS x S donde a isinS y b isinS le corresponde un elemento uacutenico ab isinS donde ab se lee ldquoa operacioacuten brdquo La operacioacuten binaria puede ser considerada como una funcioacuten S x S rarrSEn esta definicioacuten hay que tomar en cuenta lo siguiente El orden de a y b es importante porque (a b) es un par ordenado y podriacutea suceder que ab ne ba La operacioacuten tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a b)

221 Propiedades de las operaciones binarias

foralla b isinS ab isinS Cerradura (Clausurativa)foralla b isinS ab = ba Conmutativaforalla b c isinS a(bc) = (ab)c Asociativaexistn isinS foralla isinS an = na = a Elemento neutroforalla isinS existsima isinS a sima = simaa = n tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numeacuterico en este caso la operacioacuten genera un tercer nuacutemero dentro o fuera del conjunto al cual se estaacute haciendo referenciaLa unioacuten y la interseccioacuten de conjuntos tambieacuten generan nuevos conjuntos Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular intereacutes para nosotros y se denominan operaciones binariasLa propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacioacuten binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referenciaLa propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacioacutenLa propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacioacutenLa propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa no lo modifica al primeroLa propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa se obtiene el elemento neutro Esta propiedad soacutelo deberaacute probarse en caso de existir elemento neutroPor definicioacuten toda operacioacuten binaria cumple con la propiedad de cerraduraLas restantes propiedades pueden o no cumplirse seguacuten sea el caso sin perjuicio de que la operacioacuten sea binariaSea el conjunto y la operacioacuten binaria definida en a b = a 3bSe verifica la siguiente propiedad Cerradura a 3b isin para cada elemento a b de Por el contrario la operacioacuten binaria no cumple las siguientes propiedadesConmutativa a 3b ne b 3a Basta mostrar el siguiente contraejemplo para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 2 = 7 pero 2 1 = 5Asociativa a 3(b 3c) ne (a 3b) 3c El contraejemplo podriacutea ser a = 1 b = 2 y c = 3 en el cual 1 (2 3) = 34 mientras que (1 2) 3= 16Elemento neutro a n = a 3n y n a = n 3a por lo tanto a n ne n aElemento inverso esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutroEjemplo 23 Operacioacuten binaria y propiedadesEl concepto de operacioacuten binaria es maacutes amplio de lo que parece asiacute se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos no necesariamente numeacutericos tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 24 Operacioacuten binariaEn esta operacioacuten el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del siacutembolo de la operacioacuten binaria () con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho siacutembolo Asiacute = De acuerdo a esto se observa que cualquier combinacioacuten siempre daraacute un elemento de S Por lo tanto la operacioacuten es binaria

Adicionalmente se puede verificar que la operacioacuten no cumple la propiedad conmutativa [ ne ] no cumple la propiedad asociativa [ ( ) ne ( ) ] ni la del elemento neutroCon este ejemplo se ampliacutea la aplicacioacuten de las operaciones binarias a conjuntos abstractosEn el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y soacutelo si a b c isinS a(b c) = (ab) (ac)Como el lector podraacute recordar en la teoriacutea de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Realizar operaciones de adicioacuten y multiplicacioacuten sobre Aplicar propiedades de las operaciones de los nuacutemeros reales Reconocer expresiones no definidas en

23 Operaciones entre Nuacutemeros RealesPodemos definir las operaciones de sustraccioacuten ( minus) y divisioacuten ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamenteEs importante anotar que existen algunas expresiones que no estaacuten definidas en algunas de ellas son Raiacuteces de iacutendice par de nuacutemeros negativos Ej radicminus4 radicminus16 4 Cocientes en que el divisor es cero Ej 30 minus10 0 Potencias de base cero y exponente cero Ej 00 (2 minus2)0Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables realesEn el conjunto de nuacutemeros reales se definen las operaciones de adicioacuten () y multiplicacioacuten () las cuales se definen a continuacioacuten

AdicioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr(a b) y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativaexist0isinforallaisin(a 0 = 0 a = a) 0 es el elemento neutro aditivoforallaisinexistbisin(a b = b a = 0) b es el elemento inverso aditivo

MultiplicacioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr (a b)y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativa exist1isinforallaisin(a 1 = 1 a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo (aisinand(a = 0)) existbisin(a b = b a = 1) b es el elemento inverso multiplicativoA maacutes de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse asiacute a b c isin[a (b c) = (a b) (a c)]La expresioacuten 1 x minus1x no estaacute definida para (x = 0) orx = 1) orx = minus1)

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

multiplicado por n (n ne 0) sea igual a m La respuesta negativa a estas preguntas obligoacute a los matemaacuteticos a una ampliacioacuten del conjunto introduciendo un nuevo conjunto numeacuterico denominado conjunto de los nuacutemeros racionales denotado por y definido por = f f = p q p isin qisin q ne 0 del ingleacutes quotient (cociente) Un nuacutemero racional es aquel que puede expresarse como una fraccioacuten p q entre dos nuacutemeros enteros p (numerador) y q (denominador) con denominador q diferente de cero Pero tambieacuten existen nuacutemeros que no pueden ser representados como una fraccioacuten a este conjunto lo denominamos conjunto de los nuacutemeros irracionales Tales nuacutemeros existen por ejemplo radic2 radic3 1048731 etc Tanto los nuacutemeros racionales como los irracionales forman el conjunto de los nuacutemeros reales = cup La siguiente figura muestra coacutemo se relacionan los conjuntos numeacutericos mencionados

Figura 22 Recta de los Nuacutemeros Reales

Figura 21 Relacioacuten de los Conjuntos NumeacutericosNuacutemerosNuacutemeros negativos 0 Nuacutemeros positivosSi consideramos nuacutemeros enteros a la derecha de 0 estamos hablando del conjunto mientras que los que se encuentran a la izquierda de 0 representan el conjunto minus El cero no es positivo ni negativoLas mismas consideraciones se aplicaraacuten para los nuacutemeros racionales irracionales y reales en general Dado que la cardinalidad de estos conjuntos es infinita se utilizaraacute el siacutembolo infin para representar tal valor en la recta numeacuterica Si se tratara de un valor tan grande y positivo como sea posible entonces se lo representaraacute con infin mientras que si el valor es tan grande como sea posible pero negativo entonces se utilizaraacute minusinfin

21 Representacioacuten Decimal

Los nuacutemeros reales pueden ser representados con cifras enteras y cifras decimales Los nuacutemeros reales racionales tienen representaciones decimales con una cantidad finita de diacutegitos o con cierto nuacutemero de diacutegitos que aparecen indefinidamente siguiendo alguacuten patroacuten de repeticioacuten Por ejemplo 25 = 04 que tiene un solo decimal 16= 0166666 donde el diacutegito 6 se repite indefinidamente 232 99 = 2343434 tiene los diacutegitos 3 y 4 repetidos en la secuencia decimalLos nuacutemeros reales irracionales tienen representaciones decimales que no terminan ni tienen un patroacuten de repeticioacuten Por ejemplo radic2= 1414213 π = 314159 En la praacutectica los nuacutemeros irracionales generalmente son representados por aproximaciones Se suele utilizar el siacutembolo asymp(se lee ldquoaproximadamente igual ardquo) para escribir radic2 asymp1414 y π asympPara lograr la representacioacuten decimal en el caso de nuacutemeros racionales es suficiente dividir el numerador para el denominador

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Representar un nuacutemero racional en forma fraccionaria o perioacutedica Dada una representacioacuten decimal determinar la fraccioacuten que le corresponde Dado un nuacutemero racional representarlo en la recta real Reconocer la diferencia entre la representacioacuten decimal de un nuacutemero racional y uno irracional

Ejemplo 21 Representacioacuten decimal de nuacutemeros racionalesCada vez que un nuacutemero racional (fraccioacuten) se representa por medio de un nuacutemero con infinita cantidad de decimales estos uacuteltimos se muestran como la repeticioacuten sucesiva de una cierta cantidad finita de diacutegitos que se denomina periacuteodo Para evitar repetir los nuacutemeros podemos utilizar ldquominusrdquo en la parte superior del periacuteodoEn el ejemplo 21 se puede observar queNUacuteMERO RACIONAL PERIacuteODO REPRESENTACIOacuteN DECIMAL13rArr3 03minus16rArr6 minus01617rArr142857 0142857Para transformar un decimal perioacutedico en fraccioacuten utilizaremos el siguiente procedimiento1 Denominar como x al nuacutemero decimal perioacutedico2 Localizar el periacuteodo del nuacutemero3 Llevar el punto decimal despueacutes del primer periacuteodo multiplicando al nuacutemero x por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos4 Llevar el punto decimal antes del primer periacuteodo multiplicando al nuacutemero por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos5 Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4

6 Despejar x7 Simplificar en caso de ser posibleUtilizando el procedimiento anteriormente descrito se pueden obtener las fracciones correspondientes a los tres nuacutemeros decimales perioacutedicos de la siguiente tablaEstos nuacutemeros pueden ser representados graacuteficamente en la recta realminusminus3 minus2 minus1 0 1 2 311532131716minus9432= 15 115= 22 minus94= minus22513= 03333 minus16= minus016666 17= 0142857142857

En caso de que el nuacutemero decimal perioacutedico posea parte entera debe separaacutersela de la parte decimal para aplicar el procedimiento anterior a esta uacuteltimaFinalmente se debe sumar la parte entera con la fraccioacuten obtenida y eacutesa seraacute la representacioacuten fraccionaria de todo el nuacutemeroPosteriormente demostraremos que todo nuacutemero decimal perioacutedico representa una fraccioacuten

Ejemplo 22 Representacioacuten decimal de nuacutemeros irracionales1 x = 03333 x = 016666 x = 01428571428572 Periacuteodo 3 Periacuteodo 6 Periacuteodo 1428573 101 x = 33333 102 x = 16666 106 x = 1428571428574 100 x = 03333 101 x = 16666 100 x = 01428575 9x = 3 90x = 15 999999 x = 1428576 x = 39x = 1590x = 1428579999997 x = 13x = 16x = 17radic2 = 1414213562373095

Este nuacutemero puede representar la longitud de la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos catetos tienen medida igual a 111radic2

radic3 = 1732050807568877Este nuacutemero puede representar la longitud de la altura de un triaacutengulo equilaacutetero cuyos lados miden 2 unidades radic2 3 = 1259921049894873Este nuacutemero puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cuacutebicas π = 3141592653589793Este nuacutemero resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diaacutemetroComo se podraacute apreciar estos nuacutemeros forman parte del mundo que nos rodea por lo que es necesario trabajar con ellos Los nuacutemeros irracionales pueden ser representados graacuteficamente en la recta realπ =LddL2 22radic3radic2 3minuse minusminus3 minus2 minus1 0 1 2 3minusradic2 3 radic5 radic2 radic3

22 Operaciones binarias

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un conjunto y una operacioacuten definida sobre eacutel reconocer si es o no binaria justificando su respuesta Dada una operacioacuten binaria identificar queacute propiedades cumpleDefinicioacuten 21 (Operacioacuten binaria)Algunas expresiones tales como2 4 = 6 4 minus6 = minus2 5 x 7 = 35 20 5 = 4Sea un conjunto S = a b c la operacioacuten es una operacioacuten binaria en S si y soacutelo si a cada par ordenado (a b) isinS x S donde a isinS y b isinS le corresponde un elemento uacutenico ab isinS donde ab se lee ldquoa operacioacuten brdquo La operacioacuten binaria puede ser considerada como una funcioacuten S x S rarrSEn esta definicioacuten hay que tomar en cuenta lo siguiente El orden de a y b es importante porque (a b) es un par ordenado y podriacutea suceder que ab ne ba La operacioacuten tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a b)

221 Propiedades de las operaciones binarias

foralla b isinS ab isinS Cerradura (Clausurativa)foralla b isinS ab = ba Conmutativaforalla b c isinS a(bc) = (ab)c Asociativaexistn isinS foralla isinS an = na = a Elemento neutroforalla isinS existsima isinS a sima = simaa = n tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numeacuterico en este caso la operacioacuten genera un tercer nuacutemero dentro o fuera del conjunto al cual se estaacute haciendo referenciaLa unioacuten y la interseccioacuten de conjuntos tambieacuten generan nuevos conjuntos Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular intereacutes para nosotros y se denominan operaciones binariasLa propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacioacuten binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referenciaLa propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacioacutenLa propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacioacutenLa propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa no lo modifica al primeroLa propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa se obtiene el elemento neutro Esta propiedad soacutelo deberaacute probarse en caso de existir elemento neutroPor definicioacuten toda operacioacuten binaria cumple con la propiedad de cerraduraLas restantes propiedades pueden o no cumplirse seguacuten sea el caso sin perjuicio de que la operacioacuten sea binariaSea el conjunto y la operacioacuten binaria definida en a b = a 3bSe verifica la siguiente propiedad Cerradura a 3b isin para cada elemento a b de Por el contrario la operacioacuten binaria no cumple las siguientes propiedadesConmutativa a 3b ne b 3a Basta mostrar el siguiente contraejemplo para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 2 = 7 pero 2 1 = 5Asociativa a 3(b 3c) ne (a 3b) 3c El contraejemplo podriacutea ser a = 1 b = 2 y c = 3 en el cual 1 (2 3) = 34 mientras que (1 2) 3= 16Elemento neutro a n = a 3n y n a = n 3a por lo tanto a n ne n aElemento inverso esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutroEjemplo 23 Operacioacuten binaria y propiedadesEl concepto de operacioacuten binaria es maacutes amplio de lo que parece asiacute se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos no necesariamente numeacutericos tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 24 Operacioacuten binariaEn esta operacioacuten el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del siacutembolo de la operacioacuten binaria () con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho siacutembolo Asiacute = De acuerdo a esto se observa que cualquier combinacioacuten siempre daraacute un elemento de S Por lo tanto la operacioacuten es binaria

Adicionalmente se puede verificar que la operacioacuten no cumple la propiedad conmutativa [ ne ] no cumple la propiedad asociativa [ ( ) ne ( ) ] ni la del elemento neutroCon este ejemplo se ampliacutea la aplicacioacuten de las operaciones binarias a conjuntos abstractosEn el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y soacutelo si a b c isinS a(b c) = (ab) (ac)Como el lector podraacute recordar en la teoriacutea de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Realizar operaciones de adicioacuten y multiplicacioacuten sobre Aplicar propiedades de las operaciones de los nuacutemeros reales Reconocer expresiones no definidas en

23 Operaciones entre Nuacutemeros RealesPodemos definir las operaciones de sustraccioacuten ( minus) y divisioacuten ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamenteEs importante anotar que existen algunas expresiones que no estaacuten definidas en algunas de ellas son Raiacuteces de iacutendice par de nuacutemeros negativos Ej radicminus4 radicminus16 4 Cocientes en que el divisor es cero Ej 30 minus10 0 Potencias de base cero y exponente cero Ej 00 (2 minus2)0Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables realesEn el conjunto de nuacutemeros reales se definen las operaciones de adicioacuten () y multiplicacioacuten () las cuales se definen a continuacioacuten

AdicioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr(a b) y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativaexist0isinforallaisin(a 0 = 0 a = a) 0 es el elemento neutro aditivoforallaisinexistbisin(a b = b a = 0) b es el elemento inverso aditivo

MultiplicacioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr (a b)y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativa exist1isinforallaisin(a 1 = 1 a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo (aisinand(a = 0)) existbisin(a b = b a = 1) b es el elemento inverso multiplicativoA maacutes de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse asiacute a b c isin[a (b c) = (a b) (a c)]La expresioacuten 1 x minus1x no estaacute definida para (x = 0) orx = 1) orx = minus1)

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Los nuacutemeros reales pueden ser representados con cifras enteras y cifras decimales Los nuacutemeros reales racionales tienen representaciones decimales con una cantidad finita de diacutegitos o con cierto nuacutemero de diacutegitos que aparecen indefinidamente siguiendo alguacuten patroacuten de repeticioacuten Por ejemplo 25 = 04 que tiene un solo decimal 16= 0166666 donde el diacutegito 6 se repite indefinidamente 232 99 = 2343434 tiene los diacutegitos 3 y 4 repetidos en la secuencia decimalLos nuacutemeros reales irracionales tienen representaciones decimales que no terminan ni tienen un patroacuten de repeticioacuten Por ejemplo radic2= 1414213 π = 314159 En la praacutectica los nuacutemeros irracionales generalmente son representados por aproximaciones Se suele utilizar el siacutembolo asymp(se lee ldquoaproximadamente igual ardquo) para escribir radic2 asymp1414 y π asympPara lograr la representacioacuten decimal en el caso de nuacutemeros racionales es suficiente dividir el numerador para el denominador

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Representar un nuacutemero racional en forma fraccionaria o perioacutedica Dada una representacioacuten decimal determinar la fraccioacuten que le corresponde Dado un nuacutemero racional representarlo en la recta real Reconocer la diferencia entre la representacioacuten decimal de un nuacutemero racional y uno irracional

Ejemplo 21 Representacioacuten decimal de nuacutemeros racionalesCada vez que un nuacutemero racional (fraccioacuten) se representa por medio de un nuacutemero con infinita cantidad de decimales estos uacuteltimos se muestran como la repeticioacuten sucesiva de una cierta cantidad finita de diacutegitos que se denomina periacuteodo Para evitar repetir los nuacutemeros podemos utilizar ldquominusrdquo en la parte superior del periacuteodoEn el ejemplo 21 se puede observar queNUacuteMERO RACIONAL PERIacuteODO REPRESENTACIOacuteN DECIMAL13rArr3 03minus16rArr6 minus01617rArr142857 0142857Para transformar un decimal perioacutedico en fraccioacuten utilizaremos el siguiente procedimiento1 Denominar como x al nuacutemero decimal perioacutedico2 Localizar el periacuteodo del nuacutemero3 Llevar el punto decimal despueacutes del primer periacuteodo multiplicando al nuacutemero x por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos4 Llevar el punto decimal antes del primer periacuteodo multiplicando al nuacutemero por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos5 Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4

6 Despejar x7 Simplificar en caso de ser posibleUtilizando el procedimiento anteriormente descrito se pueden obtener las fracciones correspondientes a los tres nuacutemeros decimales perioacutedicos de la siguiente tablaEstos nuacutemeros pueden ser representados graacuteficamente en la recta realminusminus3 minus2 minus1 0 1 2 311532131716minus9432= 15 115= 22 minus94= minus22513= 03333 minus16= minus016666 17= 0142857142857

En caso de que el nuacutemero decimal perioacutedico posea parte entera debe separaacutersela de la parte decimal para aplicar el procedimiento anterior a esta uacuteltimaFinalmente se debe sumar la parte entera con la fraccioacuten obtenida y eacutesa seraacute la representacioacuten fraccionaria de todo el nuacutemeroPosteriormente demostraremos que todo nuacutemero decimal perioacutedico representa una fraccioacuten

Ejemplo 22 Representacioacuten decimal de nuacutemeros irracionales1 x = 03333 x = 016666 x = 01428571428572 Periacuteodo 3 Periacuteodo 6 Periacuteodo 1428573 101 x = 33333 102 x = 16666 106 x = 1428571428574 100 x = 03333 101 x = 16666 100 x = 01428575 9x = 3 90x = 15 999999 x = 1428576 x = 39x = 1590x = 1428579999997 x = 13x = 16x = 17radic2 = 1414213562373095

Este nuacutemero puede representar la longitud de la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos catetos tienen medida igual a 111radic2

radic3 = 1732050807568877Este nuacutemero puede representar la longitud de la altura de un triaacutengulo equilaacutetero cuyos lados miden 2 unidades radic2 3 = 1259921049894873Este nuacutemero puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cuacutebicas π = 3141592653589793Este nuacutemero resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diaacutemetroComo se podraacute apreciar estos nuacutemeros forman parte del mundo que nos rodea por lo que es necesario trabajar con ellos Los nuacutemeros irracionales pueden ser representados graacuteficamente en la recta realπ =LddL2 22radic3radic2 3minuse minusminus3 minus2 minus1 0 1 2 3minusradic2 3 radic5 radic2 radic3

22 Operaciones binarias

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un conjunto y una operacioacuten definida sobre eacutel reconocer si es o no binaria justificando su respuesta Dada una operacioacuten binaria identificar queacute propiedades cumpleDefinicioacuten 21 (Operacioacuten binaria)Algunas expresiones tales como2 4 = 6 4 minus6 = minus2 5 x 7 = 35 20 5 = 4Sea un conjunto S = a b c la operacioacuten es una operacioacuten binaria en S si y soacutelo si a cada par ordenado (a b) isinS x S donde a isinS y b isinS le corresponde un elemento uacutenico ab isinS donde ab se lee ldquoa operacioacuten brdquo La operacioacuten binaria puede ser considerada como una funcioacuten S x S rarrSEn esta definicioacuten hay que tomar en cuenta lo siguiente El orden de a y b es importante porque (a b) es un par ordenado y podriacutea suceder que ab ne ba La operacioacuten tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a b)

221 Propiedades de las operaciones binarias

foralla b isinS ab isinS Cerradura (Clausurativa)foralla b isinS ab = ba Conmutativaforalla b c isinS a(bc) = (ab)c Asociativaexistn isinS foralla isinS an = na = a Elemento neutroforalla isinS existsima isinS a sima = simaa = n tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numeacuterico en este caso la operacioacuten genera un tercer nuacutemero dentro o fuera del conjunto al cual se estaacute haciendo referenciaLa unioacuten y la interseccioacuten de conjuntos tambieacuten generan nuevos conjuntos Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular intereacutes para nosotros y se denominan operaciones binariasLa propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacioacuten binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referenciaLa propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacioacutenLa propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacioacutenLa propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa no lo modifica al primeroLa propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa se obtiene el elemento neutro Esta propiedad soacutelo deberaacute probarse en caso de existir elemento neutroPor definicioacuten toda operacioacuten binaria cumple con la propiedad de cerraduraLas restantes propiedades pueden o no cumplirse seguacuten sea el caso sin perjuicio de que la operacioacuten sea binariaSea el conjunto y la operacioacuten binaria definida en a b = a 3bSe verifica la siguiente propiedad Cerradura a 3b isin para cada elemento a b de Por el contrario la operacioacuten binaria no cumple las siguientes propiedadesConmutativa a 3b ne b 3a Basta mostrar el siguiente contraejemplo para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 2 = 7 pero 2 1 = 5Asociativa a 3(b 3c) ne (a 3b) 3c El contraejemplo podriacutea ser a = 1 b = 2 y c = 3 en el cual 1 (2 3) = 34 mientras que (1 2) 3= 16Elemento neutro a n = a 3n y n a = n 3a por lo tanto a n ne n aElemento inverso esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutroEjemplo 23 Operacioacuten binaria y propiedadesEl concepto de operacioacuten binaria es maacutes amplio de lo que parece asiacute se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos no necesariamente numeacutericos tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 24 Operacioacuten binariaEn esta operacioacuten el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del siacutembolo de la operacioacuten binaria () con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho siacutembolo Asiacute = De acuerdo a esto se observa que cualquier combinacioacuten siempre daraacute un elemento de S Por lo tanto la operacioacuten es binaria

Adicionalmente se puede verificar que la operacioacuten no cumple la propiedad conmutativa [ ne ] no cumple la propiedad asociativa [ ( ) ne ( ) ] ni la del elemento neutroCon este ejemplo se ampliacutea la aplicacioacuten de las operaciones binarias a conjuntos abstractosEn el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y soacutelo si a b c isinS a(b c) = (ab) (ac)Como el lector podraacute recordar en la teoriacutea de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Realizar operaciones de adicioacuten y multiplicacioacuten sobre Aplicar propiedades de las operaciones de los nuacutemeros reales Reconocer expresiones no definidas en

23 Operaciones entre Nuacutemeros RealesPodemos definir las operaciones de sustraccioacuten ( minus) y divisioacuten ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamenteEs importante anotar que existen algunas expresiones que no estaacuten definidas en algunas de ellas son Raiacuteces de iacutendice par de nuacutemeros negativos Ej radicminus4 radicminus16 4 Cocientes en que el divisor es cero Ej 30 minus10 0 Potencias de base cero y exponente cero Ej 00 (2 minus2)0Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables realesEn el conjunto de nuacutemeros reales se definen las operaciones de adicioacuten () y multiplicacioacuten () las cuales se definen a continuacioacuten

AdicioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr(a b) y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativaexist0isinforallaisin(a 0 = 0 a = a) 0 es el elemento neutro aditivoforallaisinexistbisin(a b = b a = 0) b es el elemento inverso aditivo

MultiplicacioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr (a b)y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativa exist1isinforallaisin(a 1 = 1 a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo (aisinand(a = 0)) existbisin(a b = b a = 1) b es el elemento inverso multiplicativoA maacutes de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse asiacute a b c isin[a (b c) = (a b) (a c)]La expresioacuten 1 x minus1x no estaacute definida para (x = 0) orx = 1) orx = minus1)

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

6 Despejar x7 Simplificar en caso de ser posibleUtilizando el procedimiento anteriormente descrito se pueden obtener las fracciones correspondientes a los tres nuacutemeros decimales perioacutedicos de la siguiente tablaEstos nuacutemeros pueden ser representados graacuteficamente en la recta realminusminus3 minus2 minus1 0 1 2 311532131716minus9432= 15 115= 22 minus94= minus22513= 03333 minus16= minus016666 17= 0142857142857

En caso de que el nuacutemero decimal perioacutedico posea parte entera debe separaacutersela de la parte decimal para aplicar el procedimiento anterior a esta uacuteltimaFinalmente se debe sumar la parte entera con la fraccioacuten obtenida y eacutesa seraacute la representacioacuten fraccionaria de todo el nuacutemeroPosteriormente demostraremos que todo nuacutemero decimal perioacutedico representa una fraccioacuten

Ejemplo 22 Representacioacuten decimal de nuacutemeros irracionales1 x = 03333 x = 016666 x = 01428571428572 Periacuteodo 3 Periacuteodo 6 Periacuteodo 1428573 101 x = 33333 102 x = 16666 106 x = 1428571428574 100 x = 03333 101 x = 16666 100 x = 01428575 9x = 3 90x = 15 999999 x = 1428576 x = 39x = 1590x = 1428579999997 x = 13x = 16x = 17radic2 = 1414213562373095

Este nuacutemero puede representar la longitud de la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos catetos tienen medida igual a 111radic2

radic3 = 1732050807568877Este nuacutemero puede representar la longitud de la altura de un triaacutengulo equilaacutetero cuyos lados miden 2 unidades radic2 3 = 1259921049894873Este nuacutemero puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cuacutebicas π = 3141592653589793Este nuacutemero resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diaacutemetroComo se podraacute apreciar estos nuacutemeros forman parte del mundo que nos rodea por lo que es necesario trabajar con ellos Los nuacutemeros irracionales pueden ser representados graacuteficamente en la recta realπ =LddL2 22radic3radic2 3minuse minusminus3 minus2 minus1 0 1 2 3minusradic2 3 radic5 radic2 radic3

22 Operaciones binarias

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un conjunto y una operacioacuten definida sobre eacutel reconocer si es o no binaria justificando su respuesta Dada una operacioacuten binaria identificar queacute propiedades cumpleDefinicioacuten 21 (Operacioacuten binaria)Algunas expresiones tales como2 4 = 6 4 minus6 = minus2 5 x 7 = 35 20 5 = 4Sea un conjunto S = a b c la operacioacuten es una operacioacuten binaria en S si y soacutelo si a cada par ordenado (a b) isinS x S donde a isinS y b isinS le corresponde un elemento uacutenico ab isinS donde ab se lee ldquoa operacioacuten brdquo La operacioacuten binaria puede ser considerada como una funcioacuten S x S rarrSEn esta definicioacuten hay que tomar en cuenta lo siguiente El orden de a y b es importante porque (a b) es un par ordenado y podriacutea suceder que ab ne ba La operacioacuten tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a b)

221 Propiedades de las operaciones binarias

foralla b isinS ab isinS Cerradura (Clausurativa)foralla b isinS ab = ba Conmutativaforalla b c isinS a(bc) = (ab)c Asociativaexistn isinS foralla isinS an = na = a Elemento neutroforalla isinS existsima isinS a sima = simaa = n tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numeacuterico en este caso la operacioacuten genera un tercer nuacutemero dentro o fuera del conjunto al cual se estaacute haciendo referenciaLa unioacuten y la interseccioacuten de conjuntos tambieacuten generan nuevos conjuntos Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular intereacutes para nosotros y se denominan operaciones binariasLa propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacioacuten binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referenciaLa propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacioacutenLa propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacioacutenLa propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa no lo modifica al primeroLa propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa se obtiene el elemento neutro Esta propiedad soacutelo deberaacute probarse en caso de existir elemento neutroPor definicioacuten toda operacioacuten binaria cumple con la propiedad de cerraduraLas restantes propiedades pueden o no cumplirse seguacuten sea el caso sin perjuicio de que la operacioacuten sea binariaSea el conjunto y la operacioacuten binaria definida en a b = a 3bSe verifica la siguiente propiedad Cerradura a 3b isin para cada elemento a b de Por el contrario la operacioacuten binaria no cumple las siguientes propiedadesConmutativa a 3b ne b 3a Basta mostrar el siguiente contraejemplo para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 2 = 7 pero 2 1 = 5Asociativa a 3(b 3c) ne (a 3b) 3c El contraejemplo podriacutea ser a = 1 b = 2 y c = 3 en el cual 1 (2 3) = 34 mientras que (1 2) 3= 16Elemento neutro a n = a 3n y n a = n 3a por lo tanto a n ne n aElemento inverso esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutroEjemplo 23 Operacioacuten binaria y propiedadesEl concepto de operacioacuten binaria es maacutes amplio de lo que parece asiacute se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos no necesariamente numeacutericos tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 24 Operacioacuten binariaEn esta operacioacuten el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del siacutembolo de la operacioacuten binaria () con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho siacutembolo Asiacute = De acuerdo a esto se observa que cualquier combinacioacuten siempre daraacute un elemento de S Por lo tanto la operacioacuten es binaria

Adicionalmente se puede verificar que la operacioacuten no cumple la propiedad conmutativa [ ne ] no cumple la propiedad asociativa [ ( ) ne ( ) ] ni la del elemento neutroCon este ejemplo se ampliacutea la aplicacioacuten de las operaciones binarias a conjuntos abstractosEn el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y soacutelo si a b c isinS a(b c) = (ab) (ac)Como el lector podraacute recordar en la teoriacutea de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Realizar operaciones de adicioacuten y multiplicacioacuten sobre Aplicar propiedades de las operaciones de los nuacutemeros reales Reconocer expresiones no definidas en

23 Operaciones entre Nuacutemeros RealesPodemos definir las operaciones de sustraccioacuten ( minus) y divisioacuten ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamenteEs importante anotar que existen algunas expresiones que no estaacuten definidas en algunas de ellas son Raiacuteces de iacutendice par de nuacutemeros negativos Ej radicminus4 radicminus16 4 Cocientes en que el divisor es cero Ej 30 minus10 0 Potencias de base cero y exponente cero Ej 00 (2 minus2)0Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables realesEn el conjunto de nuacutemeros reales se definen las operaciones de adicioacuten () y multiplicacioacuten () las cuales se definen a continuacioacuten

AdicioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr(a b) y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativaexist0isinforallaisin(a 0 = 0 a = a) 0 es el elemento neutro aditivoforallaisinexistbisin(a b = b a = 0) b es el elemento inverso aditivo

MultiplicacioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr (a b)y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativa exist1isinforallaisin(a 1 = 1 a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo (aisinand(a = 0)) existbisin(a b = b a = 1) b es el elemento inverso multiplicativoA maacutes de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse asiacute a b c isin[a (b c) = (a b) (a c)]La expresioacuten 1 x minus1x no estaacute definida para (x = 0) orx = 1) orx = minus1)

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Este nuacutemero puede representar la longitud de la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos catetos tienen medida igual a 111radic2

radic3 = 1732050807568877Este nuacutemero puede representar la longitud de la altura de un triaacutengulo equilaacutetero cuyos lados miden 2 unidades radic2 3 = 1259921049894873Este nuacutemero puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cuacutebicas π = 3141592653589793Este nuacutemero resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diaacutemetroComo se podraacute apreciar estos nuacutemeros forman parte del mundo que nos rodea por lo que es necesario trabajar con ellos Los nuacutemeros irracionales pueden ser representados graacuteficamente en la recta realπ =LddL2 22radic3radic2 3minuse minusminus3 minus2 minus1 0 1 2 3minusradic2 3 radic5 radic2 radic3

22 Operaciones binarias

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un conjunto y una operacioacuten definida sobre eacutel reconocer si es o no binaria justificando su respuesta Dada una operacioacuten binaria identificar queacute propiedades cumpleDefinicioacuten 21 (Operacioacuten binaria)Algunas expresiones tales como2 4 = 6 4 minus6 = minus2 5 x 7 = 35 20 5 = 4Sea un conjunto S = a b c la operacioacuten es una operacioacuten binaria en S si y soacutelo si a cada par ordenado (a b) isinS x S donde a isinS y b isinS le corresponde un elemento uacutenico ab isinS donde ab se lee ldquoa operacioacuten brdquo La operacioacuten binaria puede ser considerada como una funcioacuten S x S rarrSEn esta definicioacuten hay que tomar en cuenta lo siguiente El orden de a y b es importante porque (a b) es un par ordenado y podriacutea suceder que ab ne ba La operacioacuten tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a b)

221 Propiedades de las operaciones binarias

foralla b isinS ab isinS Cerradura (Clausurativa)foralla b isinS ab = ba Conmutativaforalla b c isinS a(bc) = (ab)c Asociativaexistn isinS foralla isinS an = na = a Elemento neutroforalla isinS existsima isinS a sima = simaa = n tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numeacuterico en este caso la operacioacuten genera un tercer nuacutemero dentro o fuera del conjunto al cual se estaacute haciendo referenciaLa unioacuten y la interseccioacuten de conjuntos tambieacuten generan nuevos conjuntos Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular intereacutes para nosotros y se denominan operaciones binariasLa propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacioacuten binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referenciaLa propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacioacutenLa propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacioacutenLa propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa no lo modifica al primeroLa propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa se obtiene el elemento neutro Esta propiedad soacutelo deberaacute probarse en caso de existir elemento neutroPor definicioacuten toda operacioacuten binaria cumple con la propiedad de cerraduraLas restantes propiedades pueden o no cumplirse seguacuten sea el caso sin perjuicio de que la operacioacuten sea binariaSea el conjunto y la operacioacuten binaria definida en a b = a 3bSe verifica la siguiente propiedad Cerradura a 3b isin para cada elemento a b de Por el contrario la operacioacuten binaria no cumple las siguientes propiedadesConmutativa a 3b ne b 3a Basta mostrar el siguiente contraejemplo para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 2 = 7 pero 2 1 = 5Asociativa a 3(b 3c) ne (a 3b) 3c El contraejemplo podriacutea ser a = 1 b = 2 y c = 3 en el cual 1 (2 3) = 34 mientras que (1 2) 3= 16Elemento neutro a n = a 3n y n a = n 3a por lo tanto a n ne n aElemento inverso esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutroEjemplo 23 Operacioacuten binaria y propiedadesEl concepto de operacioacuten binaria es maacutes amplio de lo que parece asiacute se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos no necesariamente numeacutericos tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 24 Operacioacuten binariaEn esta operacioacuten el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del siacutembolo de la operacioacuten binaria () con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho siacutembolo Asiacute = De acuerdo a esto se observa que cualquier combinacioacuten siempre daraacute un elemento de S Por lo tanto la operacioacuten es binaria

Adicionalmente se puede verificar que la operacioacuten no cumple la propiedad conmutativa [ ne ] no cumple la propiedad asociativa [ ( ) ne ( ) ] ni la del elemento neutroCon este ejemplo se ampliacutea la aplicacioacuten de las operaciones binarias a conjuntos abstractosEn el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y soacutelo si a b c isinS a(b c) = (ab) (ac)Como el lector podraacute recordar en la teoriacutea de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Realizar operaciones de adicioacuten y multiplicacioacuten sobre Aplicar propiedades de las operaciones de los nuacutemeros reales Reconocer expresiones no definidas en

23 Operaciones entre Nuacutemeros RealesPodemos definir las operaciones de sustraccioacuten ( minus) y divisioacuten ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamenteEs importante anotar que existen algunas expresiones que no estaacuten definidas en algunas de ellas son Raiacuteces de iacutendice par de nuacutemeros negativos Ej radicminus4 radicminus16 4 Cocientes en que el divisor es cero Ej 30 minus10 0 Potencias de base cero y exponente cero Ej 00 (2 minus2)0Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables realesEn el conjunto de nuacutemeros reales se definen las operaciones de adicioacuten () y multiplicacioacuten () las cuales se definen a continuacioacuten

AdicioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr(a b) y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativaexist0isinforallaisin(a 0 = 0 a = a) 0 es el elemento neutro aditivoforallaisinexistbisin(a b = b a = 0) b es el elemento inverso aditivo

MultiplicacioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr (a b)y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativa exist1isinforallaisin(a 1 = 1 a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo (aisinand(a = 0)) existbisin(a b = b a = 1) b es el elemento inverso multiplicativoA maacutes de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse asiacute a b c isin[a (b c) = (a b) (a c)]La expresioacuten 1 x minus1x no estaacute definida para (x = 0) orx = 1) orx = minus1)

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

foralla b isinS ab isinS Cerradura (Clausurativa)foralla b isinS ab = ba Conmutativaforalla b c isinS a(bc) = (ab)c Asociativaexistn isinS foralla isinS an = na = a Elemento neutroforalla isinS existsima isinS a sima = simaa = n tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numeacuterico en este caso la operacioacuten genera un tercer nuacutemero dentro o fuera del conjunto al cual se estaacute haciendo referenciaLa unioacuten y la interseccioacuten de conjuntos tambieacuten generan nuevos conjuntos Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular intereacutes para nosotros y se denominan operaciones binariasLa propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacioacuten binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referenciaLa propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacioacutenLa propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacioacutenLa propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa no lo modifica al primeroLa propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operacioacuten entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa se obtiene el elemento neutro Esta propiedad soacutelo deberaacute probarse en caso de existir elemento neutroPor definicioacuten toda operacioacuten binaria cumple con la propiedad de cerraduraLas restantes propiedades pueden o no cumplirse seguacuten sea el caso sin perjuicio de que la operacioacuten sea binariaSea el conjunto y la operacioacuten binaria definida en a b = a 3bSe verifica la siguiente propiedad Cerradura a 3b isin para cada elemento a b de Por el contrario la operacioacuten binaria no cumple las siguientes propiedadesConmutativa a 3b ne b 3a Basta mostrar el siguiente contraejemplo para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 2 = 7 pero 2 1 = 5Asociativa a 3(b 3c) ne (a 3b) 3c El contraejemplo podriacutea ser a = 1 b = 2 y c = 3 en el cual 1 (2 3) = 34 mientras que (1 2) 3= 16Elemento neutro a n = a 3n y n a = n 3a por lo tanto a n ne n aElemento inverso esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutroEjemplo 23 Operacioacuten binaria y propiedadesEl concepto de operacioacuten binaria es maacutes amplio de lo que parece asiacute se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos no necesariamente numeacutericos tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 24 Operacioacuten binariaEn esta operacioacuten el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del siacutembolo de la operacioacuten binaria () con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho siacutembolo Asiacute = De acuerdo a esto se observa que cualquier combinacioacuten siempre daraacute un elemento de S Por lo tanto la operacioacuten es binaria

Adicionalmente se puede verificar que la operacioacuten no cumple la propiedad conmutativa [ ne ] no cumple la propiedad asociativa [ ( ) ne ( ) ] ni la del elemento neutroCon este ejemplo se ampliacutea la aplicacioacuten de las operaciones binarias a conjuntos abstractosEn el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y soacutelo si a b c isinS a(b c) = (ab) (ac)Como el lector podraacute recordar en la teoriacutea de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Realizar operaciones de adicioacuten y multiplicacioacuten sobre Aplicar propiedades de las operaciones de los nuacutemeros reales Reconocer expresiones no definidas en

23 Operaciones entre Nuacutemeros RealesPodemos definir las operaciones de sustraccioacuten ( minus) y divisioacuten ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamenteEs importante anotar que existen algunas expresiones que no estaacuten definidas en algunas de ellas son Raiacuteces de iacutendice par de nuacutemeros negativos Ej radicminus4 radicminus16 4 Cocientes en que el divisor es cero Ej 30 minus10 0 Potencias de base cero y exponente cero Ej 00 (2 minus2)0Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables realesEn el conjunto de nuacutemeros reales se definen las operaciones de adicioacuten () y multiplicacioacuten () las cuales se definen a continuacioacuten

AdicioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr(a b) y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativaexist0isinforallaisin(a 0 = 0 a = a) 0 es el elemento neutro aditivoforallaisinexistbisin(a b = b a = 0) b es el elemento inverso aditivo

MultiplicacioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr (a b)y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativa exist1isinforallaisin(a 1 = 1 a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo (aisinand(a = 0)) existbisin(a b = b a = 1) b es el elemento inverso multiplicativoA maacutes de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse asiacute a b c isin[a (b c) = (a b) (a c)]La expresioacuten 1 x minus1x no estaacute definida para (x = 0) orx = 1) orx = minus1)

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Adicionalmente se puede verificar que la operacioacuten no cumple la propiedad conmutativa [ ne ] no cumple la propiedad asociativa [ ( ) ne ( ) ] ni la del elemento neutroCon este ejemplo se ampliacutea la aplicacioacuten de las operaciones binarias a conjuntos abstractosEn el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y soacutelo si a b c isinS a(b c) = (ab) (ac)Como el lector podraacute recordar en la teoriacutea de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Realizar operaciones de adicioacuten y multiplicacioacuten sobre Aplicar propiedades de las operaciones de los nuacutemeros reales Reconocer expresiones no definidas en

23 Operaciones entre Nuacutemeros RealesPodemos definir las operaciones de sustraccioacuten ( minus) y divisioacuten ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamenteEs importante anotar que existen algunas expresiones que no estaacuten definidas en algunas de ellas son Raiacuteces de iacutendice par de nuacutemeros negativos Ej radicminus4 radicminus16 4 Cocientes en que el divisor es cero Ej 30 minus10 0 Potencias de base cero y exponente cero Ej 00 (2 minus2)0Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables realesEn el conjunto de nuacutemeros reales se definen las operaciones de adicioacuten () y multiplicacioacuten () las cuales se definen a continuacioacuten

AdicioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr(a b) y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativaexist0isinforallaisin(a 0 = 0 a = a) 0 es el elemento neutro aditivoforallaisinexistbisin(a b = b a = 0) b es el elemento inverso aditivo

MultiplicacioacutenEs una operacioacuten binaria tal que x rarr(a b) rarr (a b)y cumple con las siguientes propiedadesforallaisinforallbisin(a b = b a) Conmutativaforallaisinforallbisinforallcisin(a (b c) = (a b) c) Asociativa exist1isinforallaisin(a 1 = 1 a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo (aisinand(a = 0)) existbisin(a b = b a = 1) b es el elemento inverso multiplicativoA maacutes de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse asiacute a b c isin[a (b c) = (a b) (a c)]La expresioacuten 1 x minus1x no estaacute definida para (x = 0) orx = 1) orx = minus1)

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Ejemplo 25 Dominio de variableEn secciones posteriores se analizaraacute maacutes detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento estaacute en estas anotaciones

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras una relacioacuten de orden en los nuacutemeros reales Interpretar la influencia de las operaciones de los nuacutemeros reales sobre las relaciones de orden Explicar con sus propias palabras la tricotomiacutea de los nuacutemeros reales24 Relacioacuten de Orden241 Relacioacuten de orden de nuacutemeros enterosObservando la recta numeacuterica se aprecia que los enteros estaacuten ldquoordenadosrdquo de tal modo que un nuacutemero es mayor que otro mientras maacutes a la derecha se encuentre de eacutelCon el objeto de precisar este orden se define una relacioacuten ldquomayor querdquo entre los elementos de que se simboliza por gt5 3 hArr= 2 siendo 2 isin+ minus4 minus7 hArrminus4 = minus7 3 siendo 3 isin+Ejemplo 26 Orden enminusinfin infin minus3 minus2 minus1 foralla bisin(a b ) hArrexistc isin+ (a = b c)

Otras relaciones que se deben considerar son ldquomenor querdquo cuyo siacutembolo es ldquomenor o igual querdquo cuyo siacutembolo es le ldquomayor o igual querdquo cuyo siacutembolo es geAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades

242 Relacioacuten de orden de nuacutemeros realesSe conoce que en general subesubesube Un problema interesante es coacutemo extender la relacioacuten de orden analizada previamente al conjunto formado por los nuacutemeros reales A pesar de que la construccioacuten rigurosa es un tanto complicada en la praacutectica a partir de la representacioacuten por medio de puntos en la recta numeacuterica se puede observar que si el nuacutemero b estaacute situado a la derecha de a se dice que a b o tambieacuten que b aDefinicioacuten 23 (Tricotomiacutea de los Nuacutemeros Reales)Dados dos nuacutemeros reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son igualesAdemaacutes se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades1 forallnisin(n len) Reflexiva2 forallm n p isin[(m len) and(n lep)] rArr(m lep) Transitiva

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

3 forallm n isin[(m len) and(n lem)] rArr(m = n) Antisimeacutetricaforalla b isin[(a b) (a = b) (a b)]Es importante determinar coacutemo influyen sobre la relacioacuten de orden las operaciones de la adicioacuten y la multiplicacioacuten de nuacutemeros reales Las siguientes propiedades ilustran tal influencia1 forallaisin(a lea) Reflexiva2 forallaisinforallbisinforallcisin[(a leb) and(b lec)] rArr(a lec) Transitiva3 forallaisinforallbisin[(a leb) and(b lea)] rArr(a = b) Antisimeacutetricaforalla b c isinR (a leb) rArr(a c) le(b c)2 foralla b c isinR (a leb) and(c 0)rArrac lebc)foralla b c isinR (a leb) and(c 0)] rArr(ac gebc)4 (ab = 0) hArr[(a = 0) or(b = 0)]

Cabe mencionar que estas propiedades tambieacuten se aplican a las otras relaciones de orden existentes ( le ge)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero reconocer si es primo compuesto par o impar Dado un conjunto de nuacutemeros enteros encontrar su Maacuteximo ComuacutenDivisor y su Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo

25 Conceptos asociados al conjunto de los nuacutemeros enterosSi a b c isincumplen la relacioacuten c = a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c En tal caso c es muacuteltiplo de a y bminus20 es muacuteltiplo de 10 porque minus20 = (minus2)(10) 2 es factor o divisor de minus20 porque minus20 = (2)(minus10) 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es muacuteltiplo de 5 y 7

Ejemplo 27 Factores o Divisores y Muacuteltiplos de un nuacutemeroEn muchas ocasiones es necesario saber si un nuacutemero entero divide a otro sin necesidad de efectuar la divisioacuten Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad5 foralla b c isinR [(ab = bc) hArr(a = c)] b ne 06 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]7 foralla b isinR (ab 0) hArr[(a 0 andb 0) or(a 0 andb 0)]8 foralla isinR a2 0) hArr(a ne 0)9 foralla isinR (a 0) hArr1a010 foralla isinR (a 0) hArr1a0

Un nuacutemero entero es divisible por2 Si termina en 0 o en cifra par3 Si la suma de sus cifras es un muacuteltiplo de 3

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

4 Si sus dos uacuteltimas cifras son 00 o es muacuteltiplo de 45 Si termina en 0 o en 56 Si lo es por 2 y por 3 a la vez8 Si sus tres uacuteltimas cifras son 000 o es muacuteltiplo de 89 Si la suma de sus cifras es muacuteltiplo de 910 Si termina en 0Quizaacutes le llame la atencioacuten que no se incluya la regla de divisibilidad por 7Esto se debe a que su complejidad es poco praacutectica y resulta maacutes faacutecil saber si el nuacutemero es o no muacuteltiplo de 7 realizando la divisioacuten por 7Definicioacuten 25 (Nuacutemero Primo)Un nuacutemero entero positivo p 1 es primo si y soacutelo si sus uacutenicos factores son exactamente 1 y pEl conjunto de los nuacutemeros primos es P = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 Definicioacuten 26 (Nuacutemero Compuesto)Un nuacutemero entero positivo n 1 es compuesto si y soacutelo si no es primoEuclides filoacutesofo griego siglo IV aCEuclides fue el primero en demostrar que no existe un nuacutemero primo mayor que todos los demaacutes es decir la cantidad de nuacutemeros primos es infinitaNumerosos matemaacuteticos han buscado sin eacutexito un meacutetodo que sirva para determinar si un nuacutemero es primo o no En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto PEl nuacutemero 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el uacutenico elemento del conjunto de los nuacutemeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual tambieacuten es un nuacutemero entero positivoTeorema 21 (Teorema fundamental de la Aritmeacutetica)Todo nuacutemero compuesto se puede descomponer de manera uacutenica como el producto de nuacutemeros primosDescomponer los nuacutemeros 87 105 2310 en sus factores primosSolucioacuten Puesto que 8 7 = 15 es muacuteltiplo de 3 87 tambieacuten lo es Efectuando la divisioacuten por 3 el otro factor es 29 que es primo Luego 87 = (3)(29) Como 105 termina en 5 es divisible por 5 Efectuando la divisioacuten por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7 Luego 105 = (3)(5)(7) Como 2310 es un nuacutemero maacutes grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los nuacutemeros primos menores que eacutel por los cuales sea divisible2310 21155 3385 577 711 111Luego 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)

Ejemplo 28 Nuacutemeros compuestosDefinicioacuten 27 (Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD))El MCD de un conjunto de nuacutemeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nuacutemeros del conjunto

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Considerando el ejemplo anterior el MCD de los nuacutemeros 87 105y 2310 es 3 En el conjunto de los nuacutemeros 24 36 4824 = (23)(3)36 = (22)(32)48 = (24)(3)MCD (22)(3) = 12

Ejemplo 29 Maacuteximo Comuacuten DivisorUna interpretacioacuten para el Maacuteximo Comuacuten Divisor se presenta en el siguiente ejemploUn vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artiacuteculos diferentes respectivamente Necesita elaborar paquetes por cada artiacuteculo de tal forma que el nuacutemero de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el maacutes grande posibleEl vendedor necesita calcular el nuacutemero de unidades que debe tener cada paquete y cuaacutentos paquetes por artiacuteculo obtendraacuteSolucioacutenSe necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el maacutes grande posible Del ejemplo anterior este nuacutemero es el 12Es decir los paquetes deberaacuten contener 12 unidades Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artiacuteculos respectivamente

Ejemplo 210 Aplicacioacuten del Maacuteximo Comuacuten Divisor El mcm de un conjunto de nuacutemeros enteros es el menor entero positivo que es el muacuteltiplo de cada uno de los nuacutemeros dados Considerando el ejemplo 28 el mcm de los nuacutemeros 87 105 y 2310 es 66990 En el conjunto de los nuacutemeros 2 6 102 = 26 = (2) (3)10 = (2) (5)mcm (2)(3)(5) = 30

Ejemplo 211 Miacutenimo comuacuten muacuteltiploUn fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan perioacutedicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente El fabricante necesita calcular cuaacutel seraacute el miacutenimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisioacuten de los tres productos coincidaSolucioacutenEste es un problema del muacuteltiplo maacutes pequentildeo posible entre 2 6 y 10Del ejemplo anterior este nuacutemero es 30 Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos seraacuten revisados al mismo tiempo

Ejemplo 212 Aplicacioacuten del miacutenimo comuacuten muacuteltiploSe dice que a esNuacutemero Par hArra = 2n n isinNuacutemero Impar hArra = 2n 1 n isin12 es par porque 12 = (2)(6)

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

minus5 es impar porque minus5 = (2)(minus3) 10 es par porque 0 = (2)(0)31 es impar porque 31 = (2)(15) 1minus140 es par porque minus140 = (2)(minus70)81 es impar porque 81 = (2)(40) 1

Ejemplo 213 Nuacutemeros Pares e ImparesldquoSi a es un nuacutemero natural impar entonces su cubo tambieacuten es natural imparrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten directaAl ser a impar podemos escribir a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural

Ejemplo 214 Propiedades de nuacutemeros pares e impares ldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoSolucioacutenVamos a utilizar el meacutetodo de demostracioacuten por contrareciacuteprocaLa contrareciacuteproca seriacutea ldquoSi a no es un nuacutemero natural par entonces a2 no es natural parrdquoLa cual se reescribe como ldquoSi a es nuacutemero natural impar entonces a2 es natural imparrdquoAl ser a natural impar a = 2n 1 siendo n un nuacutemero natural tenemos a es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra2 = (2n 1)2 Elevando al cuadradorArra2 = 4n2 4n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra2 = 2(2n2 2n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra2 = 2m 1 m = 2n2 2n es un enterorArra2 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparHemos demostrado que si a es un nuacutemero impar entonces a2 es impar cuya contrareciacuteproca seriacutealdquoSi a2 no es un nuacutemero natural impar entonces a no es natural imparrdquoEs decirldquoSi a2 es un nuacutemero natural par entonces a es natural parrdquoLo cual verifica la demostracioacuten

Ejemplo 215 Propiedades de nuacutemeros pares e imparesa es impar rArra = 2n 1 Definicioacuten de nuacutemero imparrArra3 = (2n 1)3 Elevando al cuborArra3 = 8n3 12n2 6n 1 Manipulacioacuten algebraicarArra3 = 2(4n3 6n2 3n) 1 Agrupacioacuten de teacuterminosrArra3 = 2m 1 m = 4n3 6n2 3n es un enterorArra3 es impar Definicioacuten de nuacutemero imparPor lo que efectivamente a3 es impar

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dada una expresioacuten algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus teacuterminos

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Aplicar productos notables y factorizacioacuten en la simplificacioacuten de expresiones algebraicas Racionalizar expresiones algebraicas

26 Expresiones algebraicasEl aacutelgebra elemental es la parte de la matemaacutetica que trata del caacutelculo con siacutembolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales El aacutelgebra usa siacutembolos en particular las letras del abecedario en espantildeol con eacutestos se efectuacutean las mismas operaciones que en Aritmeacutetica es decir minus Definicioacuten 210 (Expresioacuten algebraica)Es la combinacioacuten de siacutembolos (nuacutemeros y letras) a traveacutes de las diferentes operaciones fundamentales Los teacuterminos de la expresioacuten algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales estaacuten separadas entre siacute por los signos o minus 15 a2b3c5 100m7n3p 2m6n4p minus3x2y4z3

Ejemplo 216 Expresiones AlgebraicasEn todo teacutermino se distingue el coeficiente numeacuterico y el factor literal En el teacutermino minus5 x2y3z4 minus5 es el coeficiente numeacuterico x2y3z4 es el factor literal En el factor literal los nuacutemeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nuacutemero de veces que se toman dichas letras como factores

Si la expresioacuten algebraica tiene un solo teacutermino se denomina monomio si tiene dos teacuterminos se denomina binomio si tiene tres teacuterminos se denominaTrinomio Si la expresioacuten algebraica tiene en general maacutes de un teacutermino se denomina polinomioSe denominan teacuterminos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal Al reducir teacuterminos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno soloLos teacuterminos 5x2y minus3x2y 10x2y y 6x2y son semejantes Una expresioacuten algebraica que resulta al considerar todos los teacuterminos es 5x2y minus3x2y 10x2y 6 x2y Al reducirla el resultado es 18x2y

Ejemplo 217 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes

261 Propiedades de las fraccionesAnteriormente se definioacute que una fraccioacuten de la forma ab es un nuacutemero racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fraccioacuten Tanto a como b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros con la

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

restriccioacuten de que b no puede ser cero Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedadesSean b ne 0 c ne 0 d ne 01 abcd= equiv(ad = bc)2abac= bc3 abad bc= bd cd 4 abac= bd cd5abcd= adbcCuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan nuacutemeros reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por nuacutemeros reales u otras expresiones algebraicas

262 Propiedades de los exponentesUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacioacuten en que se repite un mismo factor un cierto nuacutemero de vecesan = a a a an vecesan es la potenciaa es la basen es el exponenteSi el exponente es fraccionario tenemos una expresioacuten algebraica con radicales Esto es 432 = radic43 = radic64 = 8 En general anm = mradican Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyesSean a ne 0 b ne 01 an am = an m2 anam = an minusm3 anbn = (ab)nEjemplo 223 Operaciones con exponentes

1 53 = 5 middot 5 middot5 = 125

2 24 = 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 16

3 (-4)2 = (-4) middot (-4) = 16

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

263 Productos notablesLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicacioacuten Son como las tablas de multiplicar del aacutelgebra elementalLos principales productos notables son Cuadrado del binomio(a b)2 = a2 2ab b2(a minusb)2 = a2 ndash 2ab b2= b 32ab= 2ab2 32ab Suma por diferencia(a b)(a minusb) = a2 minusb2 Producto de binomios con un teacutermino repetido(x a)(x b) = x2 (a b) x ab Cubo de un binomio(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a minusb)3 = a3 minus3a2b 3ab2 minusb3 Cuadrado de un trinomio(a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos(a b)(a2 ndash ab b2 ) = a3 b3(a ndash b)(a2 ab b2 ) = a3 ndash b3Los productos notables pueden facilitar caacutelculos aritmeacuteticos como se observa en el siguiente ejemploEncuentrea) 412b) 982c) (18)(22)Solucioacutena) 412 = (40 1)2 = (40)2 (2)(40)(1) (1)2= 1600 80 1= 1681b) 982 = (100 minus2)2 = (100)2 minus(2)(100)(2) (2)2= 10000 minus400 4= 9604c) (18)(22) = (20 minus2)(20 2)= (20)2 minus(2)2= 400 minus4= 3962

264 FactorizacioacutenFactorizar una expresioacuten algebraica consiste en escribirla como el producto maacutes simple de sus factores Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comuacuten si es que lo hay y luego analizar si el factor no comuacuten corresponde al desarrollo de uno o maacutes de los productos notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorizacioacuten si las leemos de derecha a izquierda

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

A continuacioacuten se ilustra la operatividad de los casos de factorizacioacuten Factor comuacutenax ay minusaz = a(x y minusz) Agrupacioacuten de teacuterminosx2 minusax minusbx ab = (x2 minusax) minus(bx minusab)= x(x minusa) minusb(x minusa)= (x minusa)(x minusb) Trinomio cuadrado perfecto4a2 minus12ab 9b2 = (2a minus3b)2 Diferencia de cuadrados perfectos36(m n)2 minus121(m minusn)2 = [6(m n) 11(m minusn)][6(m n) minus11(m minusn)]= (6m 6n 11m minus11n)(6m 6n minus11m 11n)= (17m minus5n)(17n minus5m ) Trinomio cuadrado perfecto por adicioacuten y sustraccioacuten49m4 minus151m2 n4 81n8 = 49m4 minus151m2n4 81n8 25m2n4 minus25m2n4= (49m4 minus126m2n4 81n8 ) minus25m2n4= (7m2 minus9n4 )2 minus25m2n4= (7m2 minus9n4 5mn2 )(7m2 minus9n4 minus5mn2 )= (7m2 5mn2 minus9n4 )(7m2 minus5mn2 minus9n4 ) Trinomio de la forma x2 bx ca2 minus66a 1080 = (a minus30)(a minus36)

En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma sea minus66 y cuya multiplicacioacuten sea 1080 Descomponiendo 1080 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus30 y minus36 Trinomio de la forma ax2 bx c18x2 minus13x minus5 = (18x minus18)(18x 5)18= (x minus1)(18x 5)En este caso se deben buscar dos nuacutemeros reales cuya suma algebraica sea minus13 y cuya multiplicacioacuten sea minus90 Descomponiendo minus90 en factores maacutes elementales se obtienen los nuacutemeros minus18 y 5 Cubo perfecto de binomiosx9 minus18 x6 y5 108 x3y10 minus216 y15 = (x3 minus6y5 )3 Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 32 = (x 2)(x4 minus2x3 4x2 minus8x 16)m7 minus1 = (m minus1)(m6 m5 m4 m3 m2 m 1)Simplificar la expresioacuten algebraica m2 minus1m2 m minus2

Ejemplo 231 Productos notables y factorizacioacuten

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Ejemplo 232 Productos notables y factorizacioacutenm2 minusm2 m minus2 =(m )(m minus )(m )(m minus ) =m m 6xy minus3x23x2 minus13xy 14y2 =3x(2y minusx)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x(x minus2y)(3x minus7y)(x minus2y)minus3x= = 3x minus7yCapiacutetulo 2265 RacionalizacioacutenRacionalizar el denominador de una fraccioacuten es convertir una fraccioacuten cuyo denominador es irracional en una fraccioacuten equivalente cuyo denominador sea racional Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fraccioacuten desaparece todo signo radical del denominadorEjemplo 242 Racionalizacioacuten

Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fraccioacuten multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Otro ejemplo Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador tenemos

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero real obtener su valor absoluto Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nuacutemeros reales Representar intervalos sobre la recta real Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado Aplicar la definicioacuten de valor absoluto en operaciones binarias

27 Valor AbsolutoTodo nuacutemero se caracteriza por dos elementos su valor absoluto y su signoEn el entero minus5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativoEn el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivoEn el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo

Ejemplo 244 Valor absolutoPara poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo Si utilizamos el conjunto de los nuacutemeros reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto211 (Valor Absoluto)El valor absoluto de un nuacutemero x se representa por x y es un nuacutemero no negativo tal que x = x x ge0 minusx x 0Si x es un nuacutemero positivo o cero su valor absoluto es el mismo nuacutemero Si x es un nuacutemero negativo su valor absoluto es su valor numeacuterico cambiado de signoPuede tambieacuten observar que x2 = x forallx isinEl valor absoluto asigna a cada nuacutemero un valor no negativo que representa la distancia entre dicho nuacutemero y el cero en la recta numeacuterica

Ejemplo 245 IntervalosDado que los intervalos son subconjuntos de los Nuacutemeros Reales tambieacuten se los puede representar graacuteficamente sobre la recta realEjemplo 246 Valor absoluto

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

1f(x) = |x - 2|

2

3

4f(x) = |xsup2 -4x + 3|

5f(x) = |-xsup2 + 5x - 4|

6f(x) = |x| minus x

7f(x) = |x| x

Ejemplo 248 Valor Absoluto en Operaciones BinariasObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuacioacuten e identidad Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica con valor absoluto y con radicales Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica determinar el tipo de solucioacuten que tendraacute mediante el anaacutelisis de su discriminante Dada una ecuacioacuten cuadraacutetica con paraacutemetros desconocidos establecer condiciones sobre estos paraacutemetros en funcioacuten del tipo de solucioacuten requerido Analizar soluciones extrantildeas de las ecuaciones con radicales Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones

28 EcuacionesUna igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemaacuteticas tienen el mismo valor Existen dos tipos de igualdades absolutas y condicionalesDefinicioacuten 212 (Identidad)Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas con el siacutembolo ldquo=rdquo y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ejemplo 249 Identidades o igualdades absolutas (Ecuacioacuten)Una ecuacioacuten o igualdad condicional es aquella que es verdadera soacutelo para alguacuten o algunos valores de las variables del conjunto referencial que correspondax minus2 = 17 es una igualdad siempre y cuando x = 193x 2 = 7 es una igualdad siempre y cuando x = 53

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

x2 minus1 = 0 es una igualdad siempre y cuando x= 1

Ejemplo 250 Ecuaciones o igualdades condicionalesLos valores de la incoacutegnita x que hacen que la ecuacioacuten se convierta en una proposicioacuten verdadera se denominan soluciones o raiacuteces de la mismaEl proceso de determinar las soluciones se denomina resolucioacuten de la ecuacioacutenDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucioacuten En la resolucioacuten de la ecuacioacuten intentamos determinar una que sea maacutes simple y equivalente en la cual aparezca la incoacutegnita soacutelo en uno de los lados de la igualdadUna ecuacioacuten puede representarse con un predicado p(x) cuyo conjunto referencial es el conjunto de nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjunto El conjunto de verdad Ap(x) estaacute conformado por la(s) solucioacuten(es) de dicha ecuacioacutenLas expresiones que estaacuten a ambos lados del siacutembolo igual son los miembros de la ecuacioacuten primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derechaExpresioacuten 1 = Expresioacuten 2En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las maacutes sencillas hasta las maacutes complicadasPodemos encontrar distintos tipos de ecuaciones En esta seccioacuten vamos a tratar las siguientes ecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto con radicalesAnalice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo nuacutemero real es igual a ceroforalla isin a ne 0 forallb isin b ne 0a = ba2 = aba2 minusb2 = ab minusb2(a minusb)(a b) = b(a minusb)a b = ba = 0iquestDoacutende estaacute el errora) En multiplicar por ab) En restar b2c) En la simplificacioacutenSolucioacutenEl error estaacute en la simplificacioacuten pues como a = b rArra minusb = 0

Ejemplo 251 Propiedades de las Ecuaciones

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general para cualesquiera de los nuacutemeros reales a b y c

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Si a = b entonces ac = bc siempre que cne0

281 Ecuaciones linealesUna ecuacioacuten lineal o de primer grado corresponde al tipo maacutes simple de ecuacioacuten pudiendo ser reducida a un predicado de la forma p(x)ax b = 0 a b isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarLa solucioacuten de la ecuacioacuten anterior la obtenemos asiacuteax b = 0 Consideramos la expresioacuten originalax b minusb = 0 minusb Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembrosax 0 = minusb Reducimos la expresioacutenax = minusb Propiedad del neutro aditivo 1ordf ax = 1ordf (minusb) Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a 2Ejemplo 252 Ecuaciones linealesEJEMPLO 1 Ecuaciones lineales

a

b

c

a b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2 3 y 4 incoacutegnitas respectivamente

282 Ecuaciones cuadraacuteticasUna ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma p(x) ax2 bx c = 0 a b c isinanda ne 0 donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o por la foacutermula generalEn el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacioacuten cuadraacutetica como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describioacute en la seccioacuten anteriorFinalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuacioacuten cuadraacutetica dadax =x =x =x = a b3a2 6ab 3b23a 3b3(a2 2ab b2)3(a b)(a b)2a bp(a b)(a b) a

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

2a b a 2b(a b) b2a b2a ba 2ba 2b= = 1 1 = 2there4p(a b) equiv1Sea Re = y p(x) x2 5x minus6 = 0 determine Ap(x)Solucioacutenx2 5x minus6 = 0(x 6)(x minus1) = 0(x 6 = 0) or(x minus1 = 0)(x = minus6) or(x = 1)Comprobando tenemos quep (minus6) (minus6)2 5(minus6) minus6 = 36 minus30 minus6 = 0p () ()2 5() minus6 = 1 5 minus6 = 0En consecuencia Ap(x) = minus6 1Sea Re = y p(x) 3x2 minus11x 6 = 0 determine Ap(x)

Ejemplo 255 Resolucioacuten de una ecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacutenMediante la foacutermula general las soluciones de la ecuacioacuten cuadraacutetica tambieacuten pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente(3x minus9)(3x minus2)3 = 0(x minus3)(3x minus2) = 0(x minus3 = 0) or(3x minus2 = 0)(x = 3) orx = 23p(3) 3(3)2 minus11(3) 6 = 3(9) minus11(3) 6 = 27 minus33 6 = 0there4p(1) equiv1p 23232 minus236 = 43minus223 = 4 minus22 183 = 0there4p 23equiv1ax 2 bx c = 0 Tomando la ecuacioacuten originala x2 bax ca= 0 Factor comuacuten ax 2 bax ca= 0 Producto de ambos miembrospor 1a

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

x 2 bax b24a2 caminusb24a2 = 0 Complexioacuten del trinomio cuadradoperfectox b2a2= b2 minus4ac4a2 Factorizacioacutenx b2a = radicb2 minus4ac4a2 Extraccioacuten de raiacutez cuadrada a ambos miembrosx = minusb2a radicb2 minus4ac2a Despejando xx = 2aminusb radicb2 minus4ac Simplificando y reduciendoFoacutermula Generalx = minusb radicb2 minus4ac2a = b2 minus4ac (Discriminante)x = 2aminusb radicorx = 2aminusb minusradic Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes Si el discriminante es igual a cero hay una solucioacuten real duplicada Si el discriminante es menor que cero no existe solucioacuten realInterpretacioacuten del discriminante de una ecuacioacuten cuadraacutetica ax 2 bx c = 0

Ejemplo 263 Ecuaciones cuadraacuteticasEncuentre el valor de k en la ecuacioacuten 2x2 minus5x = x2 3x minusk 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto

Suma Algebraica de las Raiacuteces de la Ecuacioacuten CuadraacuteticaLa suma de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica viene dada por la foacutermulax1 x2 = minusbax = minusb radicb2 minus4ac2a Foacutermula Generalx1 = minusb radicb2 minus4ac 2a x2 = minusb minusradicb2 minus4ac 2a x1 x2 = minus2b 2a there4x1 x2 = minusba x1 x2 = ca x = minusb radicb2 minus4acAhora bien como a y b son nuacutemeros reales negativos entonces (a + b) tambieacuten debe ser un nuacutemero real negativoPor lo tanto a b = minus4SolucioacutenLa ecuacioacuten cuadraacutetica seraacutex2 minus8x (k minus1) = 0 cuyas constantes son a = 1 b = minus8 c = k minus1

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Seguacuten la condicioacuten del problemaminusba = 3 ca minusminus8 1 = 3 k minus1 1 8 = 3k minus3 k = 11 3 p(x) ax bc = 0 a b c isin p(x) ax2 bx cd = 0 a b c d isin283 Ecuaciones con valor absolutoAunque pueden darse expresiones maacutes complejas con el propoacutesito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta seccioacuten se ilustraraacute un ejemplo de cada forma Ecuaciones maacutes avanzadas requieren combinar meacutetodos graacuteficos y propiedades para su solucioacuten lo cual se estudiaraacute en capiacutetulos posterioresx minus1= 2 Simplificamos(x minus1 = minus2) or(x minus1 = 2) Aplicamos la definicioacuten del valor absoluto(x = minus1) or(x = 3) Despejando xComprobando tenemos quep(minus1) 5 minusminus2= 5 minus2 = 3p(3) 5 minus2= 5 minus2 = 3Por lo tanto Ap(x) = minus1 3

284 Ecuaciones con radicalesUna ecuacioacuten con radicales es una expresioacuten algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raiacutez cuadrada El uacutenico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarloSin embargo con este procedimiento la ecuacioacuten no se transforma en una ecuacioacuten equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones

Ejemplo 265 Ecuaciones cuadraacuteticas y con valor absolutoSea Re = y p(x) 2x2 minus3x= x determine Ap(x)SolucioacutenSe deben resolver dos ecuaciones cuadraacuteticas aplicando la definicioacuten de valor absoluto[(2x2 minus3x = x) and(x ge0)] or[(2x2 3x = x) and(x 0)][(2x2 minus4x = 0) and(x ge0)] or[(2x2 2x = 0) and(x 0)][(2x (x minus2) = 0) and(x ge0)] or[(2x (x 1) = 0) and(x 0)][(x = 0) or(x = 2)] and(x ge0) or[(x = 0) or(x = minus1)] and(x 0)[(x = 0) or(x = 2)] or(x = minus1)Al realizar la verificacioacutenp(0) 2(0)2 minus30= 0 there4p(0) equiv1p(2) 2(2)2 minus32= 2 there4p(2) equiv1p(minus1) 2(minus1)2 minus3minus1= minus1 there4p(minus1) equiv1Se concluye que Ap(x) = minus1 0 2

Ejemplo 266 Ecuaciones con radicalesSea Re = y p(x) radicx 13 minusradic7 minusx = 2 determine Ap(x)Solucioacutenradicx 13 = 2 radic7 minusx Transponemos uno de los teacuterminos radicalesx 13 = 4 4 radic7 minusx 7 minusx Elevamos al cuadrado cada miembro2x 2 = 4 radic7 minusx Simplificamos la expresioacuten x 1 = 2 radic7 minusx Multiplicamos por 12 ambos miembros x2 2x 1 = 4(7 minusx) Elevamos al cuadrado cada miembro x2 6x minus27 = 0 Simplificamos la expresioacuten

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

(x 9)(x minus3) = 0 Factorizamos(x 9 = 0) or(x minus3 = 0) Igualamos a cero los factores (x = minus9) or(x = 3) Despejamos la incoacutegnitaComprobando tenemos quep(minus9) radicminus9 13 minusradic7 9 = radic4 minusradic16 = minus2 ne 2 there4p (minus9) equiv0 p(3) radic3 13 minusradic7 minus3 = radic16 minusradic4 = 2 = 2 there4p (3) equiv1Con lo cual Ap(x) = 3El valor de minus9 corresponde a la llamada ldquosolucioacuten extrantildeardquo ya que es solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica pero no de la ecuacioacuten con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrantildeas

285 Planteo de ecuacionesUna de las aplicaciones maacutes importantes que podemos encontrar con el estudio del aacutelgebra es la solucioacuten de problemas de las ciencias de la ingenieriacutea la economiacutea la administracioacuten las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en teacuterminos algebraicos y resolverse con las teacutecnicas anteriormente estudiadasConsidere las siguientes reglas baacutesicas para la resolucioacuten de problemas de enunciado verbal Lectura y compresioacuten del enunciado del problema Antes de iniciar la resolucioacuten de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y coacutemo se relaciona la informacioacuten dada Designacioacuten de la(s) incoacutegnita(s) del problema Para designar la(s) incoacutegnita(s) debemos prestar atencioacuten a la pregunta que se formula en el problema Sin embargo es conveniente tambieacuten tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incoacutegnita pues ello puede permitir plantear una ecuacioacuten maacutes simple Generalmente las incoacutegnitas se representan con letras minuacutesculas del alfabeto espantildeol Traduccioacuten del texto del problema al lenguaje matemaacutetico Exprese en teacuterminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema Expresioacuten de relaciones por medio de ecuaciones Identifique la(s) condicioacuten(es) del problema que relaciona(n) dos o maacutes de las expresiones establecidas en el paso anterior Plantee una ecuacioacuten (o ecuaciones) que exprese(n) las condiciones del problema Resolucioacuten de las ecuaciones y anaacutelisis de las soluciones encontradasResuelva la(s) ecuacioacuten(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteoacute en el problemaSi el caso amerita se puede realizar un graacutefico del problema a resolverLa suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 72 Encuentre el mayor de ellosSolucioacutenx nuacutemero menorx 1 nuacutemero centralx 2 nuacutemero mayor

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Seguacuten las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuacioacuten x (x 1) (x 2) = 72 Planteo de la ecuacioacuten 3x 3 = 72 Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 3x = 69 Simplificacioacuten x = 23Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLos nuacutemeros consecutivos son 2324 y 25La suma de los tres nuacutemeros es 72El nuacutemero buscado que es el mayor es 25

Ejemplo 271 Problema de planteo de ecuacionesUn consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en doacutelares a los 5 13 del nuacutemero total de horas trabajadas por el consultor Si en un trabajo en el cual el consultor trabajoacute 3 horas maacutes que su asistente la cuenta total fue de $ 880 encuentre el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorSolucioacutenSea x el nuacutemero de horas trabajadas por el consultorLa suma de dos cifras de un nuacutemero entero positivo es 9 Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo nuacutemero que excede en 9 al cuaacutedruplo del nuacutemero original encuentre el nuacutemero originalSolucioacutenSea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenasSeguacuten las condiciones del problema debe cumplirse que u d = 9 10u d = 4(10d u) 9Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8 d = 1Por lo tanto el nuacutemero es 18Anaacutelisis de la solucioacuten encontradaLa suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el nuacutemero se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al nuacutemero 72 = 4 (18)El asistente trabajoacute x minus3 horas y ganoacute $ 5 13 x en cada una de esas horasSe plantea la ecuacioacuten 25x 513 x (x minus3) = 880325x 5x2 minus15x = 114405x2 310x minus11440 = 0x2 62x minus2288 = 0x = 2minus62 radic3844 minus4(1)(minus2288)x = 2minus62 radic12996x = minus62 1142orx = minus62 minus1142(x = 26) or(x = minus88)Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajoacute 26 horas ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuacioacuten y desigualdad

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadraacutetica y con valor absoluto Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones

29 InecuacionesA veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el siacutembolo igual hay que utilizar otros siacutembolos llamados de desigualdadDefinicioacuten 214 (Desigualdad)Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemaacuteticas Dichas expresiones estaacuten separadas por alguno de los siguientes siacutembolos le ge16 71413minus1 geminus232minusge72minusEjemplo 277 DesigualdadesNuestro intereacutes en esta seccioacuten del libro es analizar desigualdades condicionadasDefinicioacuten 215 (Inecuacioacuten)Una inecuacioacuten es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicioacuten verdaderaLa resolucioacuten de una inecuacioacuten involucra la aplicacioacuten de las propiedades de los nuacutemeros reales analizados en este mismo capiacutetulo seccioacuten 24 Relacioacuten de OrdenEs recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capiacutetulo

291 Inecuaciones linealesUna inecuacioacuten lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax b 02 p(x) ax b 03 p(x) ax b ge04 p(x) ax b le0 Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarEn una inecuacioacuten puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los nuacutemeros reales a no ser que se especifique otro conjuntoLa(s) solucioacuten(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad Ap(x)Por lo tanto podemos tener inecuaciones lineales cuadraacuteticas con valor absoluto similarmente como se vio en la seccioacuten anterior

292 Inecuaciones cuadraacuteticas

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nuacutemeros reales mediante una de las siguientes formas1 p(x) ax2 bx c 02 p(x) ax2 bx c 03 p(x) ax2 bx c ge04 p(x) ax2 bx c le0Donde x es la incoacutegnita cuyo valor hay que determinarSe pueden encontrar las soluciones de una inecuacioacuten cuadraacutetica mediante factorizacioacuten o mediante la foacutermula generalEl objetivo es expresar la inecuacioacuten en funcioacuten de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentesa b c isinanda ne 0Sea Re = y p(x) x2 minusx minus2 ge0 determine Ap(x)Solucioacuten(x minus2)(x 1) ge0[(x minus2 ge0) and(x 1 ge0)or[(x minus2 le0) and(x 1 le0)[(x ge2) and(x geminus1)or[(x le2) and(x leminus1)

Ejemplo 282 Inecuaciones cuadraacuteticas

293 Inecuaciones con valor absolutoPara resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuacioacuten

Ejemplo 283 Inecuaciones con valor absolutoSea Re = y p(x) x 2| le52 determine Ap(x)Solucioacutenminus52lex 2 le52Propiedades del valor absolutominus92lex le12Simplificamos la expresioacuten y despejamos la incoacutegnitaminus4 minus3 minus2 minus1 0minusinfin infinminus5 minus920minusinfin infin

12 Ejemplo 284 Inecuaciones con valor absoluto

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

0minusinfin infin1292minusPor lo tanto Ap(x) = xminus92lex le12Sea Re = y p(x) 2x 1minus5x leminus2 determine Ap(x)SolucioacutenEn este caso no hay necesidad de resolver la expresioacuten ya que Ap(x) = empty

Ejemplo 285 Inecuaciones con valor absoluto2101 Axiomas de PeanoEl conjunto de los nuacutemeros naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemaacutetico italiano Peano

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano Dada una propiedad de los nuacutemeros naturales demostrarla aplicando el Teorema de Induccioacuten

210 Induccioacuten MatemaacuteticaEste uacuteltimo postulado se conoce como Axioma de Induccioacuten y permite probar resultados con los nuacutemeros naturales generalizando situaciones particulares

2102 Teorema de induccioacutenSi en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nuacutemero natural n se verifica para su sucesor n 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito Si sabemos ademaacutes que se verifica para el primero de los nuacutemeros naturales que no es sucesor de ninguacuten otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento deEs decir para probar que una propiedad se cumple en todos los nuacutemeros naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuacioacuten suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposicioacuten deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n1El meacutetodo de induccioacuten matemaacutetica tiene una particular aplicabilidad en la geometriacutea plana y del espacioLa aplicacioacuten maacutes comuacuten de este meacutetodo en la geometriacutea plana es la construccioacuten de figuras geomeacutetricas de n elementos a partir de la figura anaacuteloga elemental mediante la generalizacioacuten correspondienteEl proceso inductivo tambieacuten es muy utilizado en la determinacioacuten de lugares geomeacutetricos o en la generalizacioacuten de un nuacutemero de dimensiones para obtener figuras anaacutelogas en mayor nuacutemero de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Dado un nuacutemero entero no negativo calcular su factorial Calcular la combinatoria entre dos nuacutemeros enteros no negativos Dado un problema real resolverlo aplicando teacutecnicas de conteo

211 Teacutecnicas de ConteoSuponga que se encuentra al final de una liacutenea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nuacutemero de productos que lo constituyen de inmediato usted empezaraacute a contar un producto tras otro y al final informaraacute al supervisor que son 48 54 u otro nuacutemero cualquieraAhora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente preguntaiquestCuaacutentas muestras o grupos seraacute posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellasEn el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezaraacute a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las teacutecnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestioacuten (el nuacutemero de muestras posibles a formar de ocho elementos)Para poder analizar esta nueva seccioacuten necesitamos definir previamente el factorial de un nuacutemero y la combinatoria entre dos nuacutemeros 216 (Factorial)Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente maneraA este esquema de definicioacuten se lo denomina recursivo La recursioacuten es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicioacutenn = n(n minus1) n ge1 1 n = 0Al encontrar el valor de 6 se obtiene6 = 6 5= 6 5 4= 6 5 4 3= 6 5 4 3 2= 6 5 4 3 2 1= 6 5 4 3 2 1 0= 720

Ejemplo 295 FactorialUna de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemploiquestCuaacutentas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas ese nuacutemero es 52 Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este nuacutemero alrededor de 8065817517094 x 1067Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 cerosComparando ese nuacutemero con otros nuacutemeros enormes es mayor que el cuadrado del nuacutemero de Avogadro 6022 x 1023 el nuacutemero de aacutetomos o

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

moleacuteculas etc que hay en una mol y estaacute en el mismo orden de magnitud que el nuacutemero de aacutetomos en la Viacutea LaacutecteaSean n m enteros no negativos tales que n gem el siacutembolo nm que se lee ldquocombinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vezrdquo se calcula de la siguiente manera nm= nm(n minusm)Al encontrar el valor de 106 se obtiene106 = 106(10 minus6)= 106 4= 10 9 8 7 66 4 3 2 1= 210Ejemplo 296 Combinatoria

Propiedades de las Combinatorias1 foralln isincup0 nn[ = 1]2 foralln isincup0 n0[ = 1]3 foralln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Demostracioacuten de la tercera propiedadforalln isincup0 forall(1 lei len) nini minus1 = n 1i [ ]Esta propiedad se demuestra asiacutenini minus1 = ni (n minusi)n(i minus1)(n minusi 1)= n [ n minusi 1 ii(n minusi 1) ]= n n 1i(n minusi 1) [ ]=(n 1)i((n 1) minusi)nin

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

i minus1 = n 1iLas teacutecnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan faacuteciles de cuantificar Por ejemplo En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenieriacuteas de Minas y Petroacuteleo Industrial y Electroacutenica Bajo las siguientes condiciones iquestCuaacutentas representaciones de once alumnos pueden formarse a) Si se desea que eacutestas consten soacutelo de alumnos de Ingenieriacutea en Minas y Petroacuteleo b) Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingenieriacutea Industrial c) Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingenieriacutea Electroacutenica iquestDe cuaacutentas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadorasSe les denomina teacutecnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicaraacuten maacutes adelante Hay que destacar que eacutestas nos proporcionan la informacioacuten de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinadoLas bases para entender el uso de las teacutecnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuacioacuten se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes

2111 Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes ademaacutes no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A capB = empty) entonces el evento A o el evento B se realizaraacuten de (m n) maneras diferentes

Ejemplo 297 Principio AditivoUn repuesto de automoacutevil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito Si la adquisicioacuten de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito iquestDe cuaacutentas formas se puede adquirir el repuesto

2112 Principio de la Multiplicacioacuten (Multiplicativo)Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el nuacutemero de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m nUn paquete de software tiene 3 opciones de menuacute si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones iquestde cuaacutentas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopcioacutenSolucioacutenPor el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopcioacuten a la vez 10 maneras 15 maneras 12 maneras = 37 maneras

Ejemplo 299 Principio MultiplicativoSolucioacutenPor el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Guayaquil o Quito de donde existen6 formas 8 formas = 14 formas

2113 Permutaciones y combinacionesPara ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacioacuten y una permutacioacuten plantearemos la siguiente situacioacutenSuponga que un saloacuten de clase estaacute constituido por 35 alumnos El maestro desea que se nombre a tres representantes del saloacuten (presidente secretario y tesorero)Suponga que se han nombrado como representantes del saloacuten a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuacioacutenPRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo RafaelSECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael ArturoTESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel DanielAhora tenemos seis arreglos iquestse trata de la misma representacioacutenLa respuesta seriacutea no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representacioacuten original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente iquestImporta el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente seriacutea siacute Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones siacute importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando asiacute sea necesarioSuponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material (aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente) iquestEs importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personasReflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo uacutenico que nos interesariacutea es el contenido de cada grupo dicho de otra forma soacutelo interesa quieacutenes estaacuten en el grupo y no queacute orden tienen en el grupoPor lo tanto este ejemplo es una combinacioacutenDe acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutacioacuten y la combinacioacuten de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos

Ejemplo 2102 PermutacionesiquestDe cuaacutentas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemaacuteticas si los de la misma materia deben estar juntosSolucioacutenLos libros de historia pueden permutarse asiacuteP55= 50 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Def19 (Combinaciones)

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Obtener el desarrollo de un binomio dado Dada la posicioacuten del teacutermino de un binomio obtener el teacutermino sin desarrollar el binomio Dadas condiciones sobre el teacutermino de un binomio identificar su posicioacuten y otros elementos

212 Teorema del BinomioSe necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formarSolucioacutenPara constituir el grupo de hombres122 = 12210 = 12 x 11 x 102 x 10 = 66Para constituir el grupo de mujeres83= 835 = 8 x 7 x 6 x 53 x 2 x 5 = 56Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo(66)(56) = 3696El nuacutemero de grupos diferentes que se pueden formar es 3696

Ejemplo 2106 Binomio de NewtonEl teorema elaborado por Newton proporciona la expansioacuten de las potencias de un binomio pero eacutel nunca lo publicoacute Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimientoEn este desarrollo el teacutermino general tiene la formanian minusi bi

ObjetivosAl finalizar esta seccioacuten el lector podraacute Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesioacuten como una funcioacuten de en Aplicar la definicioacuten de sucesioacuten recursiva para el caacutelculo de teacuterminos de una sucesioacuten Reconocer los elementos de una progresioacuten aritmeacutetica y geomeacutetrica Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos Dada una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica calcular la suma de los n primeros teacuterminos de la progresioacuten Dadas las condiciones de una progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica encontrar algunos de sus elementos

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Aplicar progresiones aritmeacuteticas o geomeacutetricas a la resolucioacuten de problemas reales

213 SucesionesLas sucesiones se cuentan entre los temas maacutes antiguos de investigacioacuten matemaacutetica ya que han sido estudiadas durante maacutes de 3500 antildeos Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemaacutetico que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 aC por el escriba egipcio Ahmes El papiro de Rhind indica que los egipcios sabiacutean coacutemo sumar los teacuterminos de una sucesioacuten igual que los babiloniosProblema histoacuterico La siguiente es una rima antigua para nintildeos que se parece a los problemas del papiro de Rhind ldquoCuando iba a San Ives encontreacute a un hombre con siete esposas Cada esposa llevaba siete costales Cada costal teniacutea siete gatos Cada gato teniacutea siete gatitos Gatitos gatos costales y esposas Ejemplo 2110 Sucesiones

Ejemplo 2111 Sucesiones RecursivasDada la siguiente sucesioacuten an = 3an minus1 y a1 = 23 determine a2 a3 a4 y a5Solucioacutena2 = 3a1 = 3 23= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Ejemplo 2115 Progresiones Aritmeacuteticas

Ejemplo 2120 Aplicacioacuten de las Progresiones AritmeacuteticasSolucioacutenPodemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresioacutenaritmeacutetica al pasar de una fila a la siguiente cona = 30n = 50d = 2Lo cual implica sumar 30 32 34 S50 = 502 [(2)(30) (50 minus1)(2)]S50 = 25(60 98)S50 = 3950Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950

Ejemplo 2121 Progresiones Geomeacutetricas

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias

Encuentre x de modo que x x 2 x 3 sean los teacuterminos consecutivos de una progresioacuten geomeacutetricaSolucioacutena = x Primer teacuterminof (2) = x 2 Segundo teacuterminof (3) = x 3 Tercer teacuterminor = x 2x = x 3x 2 Razoacutenx(x 3) = (x 2)2 Simplificacioacutenx2 3x = x2 4x 4 Desarrollo de productosx = minus4Comprobando los teacuterminos de la progresioacuten seriacutean minus4 minus2 minus1 conrazoacuten r = 12

Ejemplo 2122 Progresiones GeomeacutetricasEncuentre el valor de la siguiente suma cuyos teacuterminos estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica 1 minus34916 minus2764 Solucioacutena = 1 Primer teacuterminor =916minus34 = minus34RazoacutenPinfin asymp11 34asymp47Suma de los infinitos teacuterminosUna poblacioacuten de bacterias crece de tal manera que cada diacutea hay el doble de las que habiacutea el diacutea anterior Si en el deacutecimo diacutea se encontraron 1024 bacterias iquestcuaacutentas bacterias habiacutean en el primer diacuteaSolucioacutenAquiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica de razoacuten r = 2 tal que su deacutecimo teacutermino es 1024f (n) = ar n minus1f (10) = a(2)10 minus11024 = a(2)9there4a = 2Por lo tanto el primer diacutea habiacutean 2 bacterias