MATEMÁTICA · Noveno Grado - matemática 57 Quinta Unidad Motivación Lección 1 identificarás...

55

Utilicemos Radicales

ObjetivosdelaUnidad:

Aplicarásconseguridadlasleyesdelosradicalesparalaresolucióndeproblemasrelacionadosconelentorno

MATEMÁTICAUnidad 5

56 matemática - Noveno Grado

Radicación

identificación de

uso de reglas convertir y simplificaroperar con radicales semejantes

proceso de simplificación

Elementos de un radical

Reglas de losradicales

Operación conradicales

Suma y resta

Producto

División

Racionalización

Expresión con radical.Exponentes fraccionarios.

Descripcióndelproyecto

Al final de esta unidad investigarás las fórmulas de volúmenes y áreas de algunos poliedros y sólidos geométricos tales como: la esfera, el cono, la pirámide, el cilindro, etc.

an n( )

abn

ab

n

amn

amn

Noveno Grado - matemática 57

Quinta Unidad

Motivación

Lección 1

identificarás con seguridad todas las partes de un radical.

explicarás y extraerás con confianza la raíz n-ésima.

Indicadores de logro:

En esta unidad estudiarás de manera interesante todo lo relativo a este elemento algebraico y su operación llamada Radicación. Hagamos de caso que nos iniciamos en el tema y considera la siguiente situación:

“Se quiere construir una tarima rectangular cuya superficie tenga 75 m2 de área, y cuyo largo sea tres veces su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la tarima?

RadicacióN alGebRaica

simplificarás con seguridad expresiones que contengan radicales haciendo uso de sus propiedades.

Comienza por lo más importante: define x: “ancho de la tarima”, y 3x, “largo de la tarima”. En consecuencia una ecuación algebraica para el área es:

3x x A( ) = (Largo por ancho igual área); la cual, al reunirla con la información 75 m2, te conduce a: 3 752x = . Y esta expresión no es más que una ecuación cuadrática incompleta; cuya solución ya trabajaste en la unidad 3.

3 75 25 25 02 2 2x x x= = − =, ,

Factorizas y tienes:

x x−( ) +( )=5 5 0

Por lo tanto las raíces de la ecuación son:

x = 5 y x =−5

Como no puede haber tarimas que tengan ancho negativo, te decides por la raíz principal x = 5

Con un ancho de 5 m y un largo de 15 m, obtienes 75 m2 de área. ¡Muy bien!, ¡Haz resuelto el problema!

¿Pero cuándo aparecen los radicales?

Aparecen cuando en una ecuación, una variable real x está elevada a una potencia (o exponente) y se quiere conocer el valor que toma esa variable.

UNIDAD 5


En el problema que vienes resolviendo tienes:

x x x( )= =2 25

¿Qué número multiplicado por si mismo es igual a 25? Obviamente se te ocurre que x = 5.

Dirás que 5 es la raíz cuadrada del número 25.

El símbolo , llamado signo de radical, se usa para denotar la raíz cuadrada no negativa (o raíz principal) de un número.

Para el caso 25 5= se lee “raíz cuadrada de 25 es igual a 5”.

Ejemplo 1

Encuentra la raíz cuadrada principal de los siguientes números:

a) 81 c) 025.

b) 116

d) −9

Solución:

La pregunta que debes hacerte es la siguiente:

¿Qué número multiplicado por si mismo (o elevado al cuadrado) da por resultado la cifra que está dentro del signo radical?

a) 81 9= , ya que 9 812 =

b)116

14

= , ya que 14

14

14

116

2

=

=

c) 025 05. .= , ya que 05 05 05 0252. . . .( )( )=( ) =

d) −9 no es un número real, ya que no existe un

número real que al ser elevado al cuadrado sea

igual a −9.

Del ejemplo 1, puedes extraer los siguientes resultados, muy importantes:

La raíz cuadrada principal de un número positivo es positiva.

Los números negativos no tienen raíces cuadradas en el sistema de los números reales.

De manera general puedes referirte a la raíz cuadrada de un número de la siguiente forma:

Considera que a y b son dos números reales positivos.Dices que la raíz cuadrada principal del número a, es igual a b, si:

a b= significa que a b= 2

a Se emplea para la raíz cuadrada.

− a Denota la raíz cuadrada negativa.

Laraízcuadradadeunnúmero

UNIDAD 5


Ejemplo 2

Encuentra: a) − 64 b) −149

c) −( )8 2 d) 492( )

Solución:

a)− =−64 8 Raíz cuadrada negativa.

b)− =−149

17

c) −( ) =8 82 Cualquier número real elevado al cuadrado siempre es positivo.

d) 49 7 492 2( ) =( ) =

Laraízcúbicadeunnúmero a3

¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 64 unidades cúbicas?

Volumen=( )( )( )=b b b b 3

Si b3 = 64, entonces el único valor que puede tomar b es el 4, ya que 4 4 4 64( )( )( )=

bb

b

Entonces, 4 es la raíz cúbica de 64. En notación matemática escribes: 64 43 = , que se lee raíz cúbica de 64 es 4. En general, te refieres a la raíz cúbica señalando: a b3 = significa que a b= 3 donde a y b son cualesquier número real.

Ejemplo 3

Encuentra:

a) 10003 b) −83 c) − −1125

3 d) 643 3( )Solución:

a) 1000 103 = Ya que 10 10003 = ; (nota que 1000 103 33= )

b) − =−8 23 Ya que −( ) =−2 83 ; (Así − = −( )8 23 33 )

c)− −

=− −

=− −

=

1125

15

15

15

3

3

3 Ya que: − = −

1125

15

3

d) 64 4 643 3 3( ) =( ) =

Del ejemplo 3 puedes extraer el siguiente resultado importante:

Para cualquier número real, siempre existe una raíz cúbica, que es única.

UNIDAD 5


Raízn-ésimadeunnúmero: an

Considera n un número entero n ≥ 2 , te refieres a la raíz n-ésima del número real a, señalando:

a bn = Significa que a b n=

Si n es par, los números a y b deben ser positivos a b≥ ≥( )0 0, .

Si n es impar, los números a y b pueden ser cualquier número real.

Los elementos de la expresión radical se identifican así:

A la operación de extraer la raíz de un número que esta dentro del signo radical, se le llama radicación.

Ejemplo 4

Identifica los elementos de las siguientes expresiones radicales:

a) 625 25= b) − =−32 25

Solución:

a) Índice: 2 b) Índice: 5 Radicando: 625 Radicando: −32 Raíz: 25 Raíz: −2

Es costumbre omitir el índice 2 en la raíz cuadrada.

a) −273c) −( )3 66 e) 064.

g) 648

3i) −17

b) −116

4d) 325

f) 833 h) 814j) 8

273

Signo de radical

a bn =Índice

Raíz n-ésimaCantidad subradical o radicando

Actividad1

UNIDAD 5


Reglasdelosradicales

Hay ciertas reglas o propiedades que te serán útiles para simplificar expresiones algebraicas que contengan radicales.

Una primera regla, muy simple la puedes deducir si examinas el literal d) de los ejemplos 2 y 3.

En el ejemplo 2, hiciste lo siguiente:

49 7 492 2( ) =( ) =

En el ejemplo 3, hiciste:

64 4 643 3 3( ) =( ) =

¿Qué observas en común en los dos ejemplos?

Escribe aquí tu observación:

Ejemplo 5

Encuentra:

a) 814 4( )b) −( )325 5

Solución:

a) 81 3 814 4 4( ) =( ) =

b) −( ) = −( ) =−32 2 325 5 5

¿Puedes deducir la regla? ¡Por supuesto que sí!

La potencia n-ésima de la raíz n-ésima de un número a, es igual a “a”.

Ejemplos: 3 33( ) = , −( ) =−2 25 5

, 7 780 80( ) =

Una segunda regla es deducible de la misma definición. Hemos señalado por ejemplo que:

Si 1000 103 = entonces 1000 103=

Si 81 34 = entonces 81 34=

Si − =−32 25 entonces − = −( )32 2 5

Pero esto significa que puedes expresar el radicando, en cada caso como una potencia, y luego extraer la raíz; es decir:

1000 10 103 33= =

81 3 34 44= =

− = −( ) =−32 2 25 55

¿Puedes señalar cómo es la regla?

Regla1

Si a, es un número real (y el radical representa un número real); y n, es un entero n ≥ 2 Se tiene:

a an n( ) =

UNIDAD 5


Regla2

Si a, es un número real (y el radical representa un número real); y n , es un entero n ≥ 2 .

Se tiene : a ann =

La raíz n-ésima de la potencia n-ésima de a, es igual a “a”

“La raíz n-ésima de un producto de números, es igual al producto de las raíces n-ésimas de tales números.

Regla4

Si x e y son números reales y ≠( )0 y n ≥ 2 : xy

xy

n

n

n=

La raíz n-ésima de un cociente de números es igual a la raíz n-ésima del numerador entre la raíz n-ésima del denominador.

Un caso especial se presenta cuando se tiene un número real negativo elevado a una potencia par.

El resultado de −( )5 2 debe tomarse como 5 (y no como −5) ya que cualquier

número elevado a una potencia par, debe ser positivo.

Ejemplo 6

Utiliza la regla 2 para comprobar que:

a) 8 27 8 273 3 3( ) = × b) 827

827

33

3=

Solución:

Llevando una comprobación de igualación:

a) 8 27 8 273 3 3( ) = × b) Te invito que en tu cuaderno desarrolles la comprobación de este literal. Sólo haz lo mismo que en a)

2 3 2 33 33 33 33( ) = ×

2 3 2 333 ×( ) = ×

6 633 =6 6=

Vas a emplear el ejemplo 6 para introducir las dos últimas reglas de esta lección.

Regla3

Si x e y son números reales y n ≥ 2 : xy x yn n n= ( )

UNIDAD 5


Ejemplo 7

Simplifica las expresiones con radical. Supón que las variables x e y son positivas.

a) x y12 94 b) x yxy

11 8

35 c)

381

2

2 43

y xy x

Solución:

Simplificar el radical significa extraer todas las raíces hasta que el radicando sólo tenga variables con exponentes menores que el índice del radical.

a) x y x y y x y y12 94 3 4 2 44 3 2 4

4= ( ) ( ) = ( )= x 33 2 4

4 4y y( )= x y y3 2 4

b)x yxy

x y x y11 8

35

11 1 8 35 10 55= =− −

= ( ) = ( )x y x y2 5 55 2 555

= x y2

c) 381

127

2

2 43

33

y xy x x

= Ley cancelativa

=

=

13

13

3

3

x x

Resumen

En esta lección haz aprendido a extraer la raíz n-ésima de expresiones con radicales y reconocer sus elementos. También te haz familiarizado con cuatro de las principales reglas que se emplean para simplificar radicales.

x xn n( ) = xy x yn n n= ( ) x xnn = x

yxy

n

n

n=

UNIDAD 5


1. c. 2. d. 3. a. 4. b. Soluciones

Autocomprobación

4 Seleccione el enunciado que NO es verdadero:a) − =−32 25

b) −( ) =−3 344

c) 8 226 =d) 9 32y y=

2 827

123

y

a) 23

2y c)827

3y

b)29

6y d)23

4y

1 81 84 xa) 9 2xb) 9 4xc) 3 2xd) 27 2x

3 El resultado de 5 5 3x x. es igual a:a) 5 2xb) 5 4xc) 25 4xd) 10 2x

La policía utiliza la radicación cuando calcula la velocidad a la que iba un vehículo cuando se le

ordena parar al conductor.

En la fórmula S fd=161. la letra “d” representa la distancia en metros desde que aplica el freno hasta donde paró. La f es un

coeficiente de fricción que es igual a 1, cuando la carretera está seca y 0.5 cuando está mojada. De

tal manera que: si un auto derrapa 25 metros con f = 1

¿A qué rapidez venia el auto en carretera seca? ¿A qué rapidez venia si la carretera estaba

mojada? Utiliza f = 5

Simplifica las expresiones con radicales y selecciona en cada caso la respuesta correcta:

RAPIDEZDEUNAUTOALFRENAR


Quinta Unidad

Motivación

convertirás con interés y esmero expresiones con radicales a potencias con exponentes fraccionarios y viceversa.


¿Qué son los exponentes racionales?En la unidad 4 estudiaste la potenciación con exponentes enteros y te familiarizaste con algunas reglas. ¿Recuerdas éstas?50 = 5 × 5−1 = 5−3 = a−n = ¡Muy bien! Las mismas reglas te sirvieron para deducir otras reglas:54 × 5−4 = 50 = 1, por lo tanto tuviste que aceptar que: 5 5 1 5

15

4 4 44× = =− −, Observa ( se puede escribi )5

15

44

− r En general a

an

n− =

1 con n, número entero.

Pero ¿Qué sucede si el exponente es un número racional y la expresión adopta la forma a n

1

? Verás que para obtener una expresión equivalente debes hacer uso de radicales.

ideNtificacióN de expResioNes Radicales

Lección 2

¿Recuerdas la siguiente definición de raíz cúbica?

“Si a b3 = entonces a b= 3 , pero también si a b= 3 entonces a b3 = ”

Vas a emplearla en un ejemplo concreto, averiguando a qué es igual la expresión fraccionaria.

Considera que 213 es igual a un número real b.

2 213

13

3

3=

=b b, Elevas al cubo ambos lados de la

ecuación.

213

3 3×

=b Leyes de los exponentes.

2 3=b

Pero entonces de acuerdo a nuestra definición

Si 2 3=b entonces 23 =b

Es decir que:

2 2313= .

Este es un ejemplo que relaciona las expresiones con exponente con las expresiones con radical.

La regla general queda así:

a an n1

=

UNIDAD 5


Ejemplo 1

Haciendo uso de la regla de exponentes racionales, calcula:

a) 912 d) 8

13

−

b) 6413 e) 25

32

c) 1614

Solución:

a) 9 9 3 312 2= = =

b)64 64 4 413 3 33= = =

c)16 16 2 214 4 44= = =

d)81

8

18

1

2

12

13

13

3 33

−= = = =

e) 2532 : nota que este ejercicio se sale de nuestra regla, ya que el numerador

de la fracción no es 1, sino que es 3. Sin embargo, si respetas las leyes de los exponentes, puedes hacer lo siguiente:

25 25 25 5 12532

12

33 3=

=( ) =( ) =

También se llega a la misma respuesta si haces:

25 25 5 5 5 12532 3 6 3 2 3= = = ( ) = =

La discusión de este literal te sirve para organizar la siguiente regla de los exponentes racionales.

“Un exponente racional de la forma amn , donde m, n son enteros con n >0 , es

equivalente a la siguiente expresión con radical:

a amn n m=( )

También es equivalente:

a amn mn=

Por ejemplo:

2 232 3= ; 2 2

32

3=( )

UNIDAD 5


Conversióndeunaexpresiónradicalapotenciaconexponentefraccionario

Ejemplo 2

Convierte las expresiones con radical, a expresiones con exponentes fraccionarios y simplifica:

a) 8 b) 323 c) −325 d) 3 93 3( ) e) −164

3 f) 483

Solución:

a) 8 8 2 212 3

12

32= =( ) = También pudiste haberlo hecho así: 8 2 23

32= =

b) 3 32323=

c) − = −( ) = −( ) =−32 2 2 25 5555

d) 3 9 3 9 3 3 3 33 313

13

13

23

13

23( )= ( ) = ( ) = =

+

e) − = − = −

=−

164

14

14

14

3

3

3

33

f) 483

48

3

4 3

3

4 3

34

12

12

212

12

212

12

12

= =×( )

=( ) ( )

=

Actividad 1 Convierte las expresiones con radical, a expresiones con exponentes fraccionarios. Simplifica si

es posible.

a) 93 = d) 17 =

b) 745 = e) x 23 = x ∈( )c) −( ) =125 23 f) x y6 63 = x y, ∈( )

Seguramente en el ejercicio f) procediste así: x y xy xy xy x y6 63 6363

2 2 2= ( ) =( ) =( ) =

También pudiste haber hecho lo siguiente: x y x y x y x y6 63 63 6363

63 2 2= = =

Puedes notar que las leyes de los exponentes son las que más se emplean. Si las utilizas correctamente, puedes poco a poco ir desarrollando ejercicios más complejos.

UNIDAD 5


Ejemplo 3

Suponiendo que las variables son positivas, simplifica cada expresión. Expresa la respuesta de manera que sólo haya exponentes positivos.

a) x x x− 12

13

34 b) xy x y( ) ( )1

4122 2 c)

x y

xy

2

2

13

23

( )( )

d) 4 1 13

32x y−( )

Solución:

a) x x x x x− − + += =12

13

34

12

13

34

712

b) xy x y x y x y x x y y( ) ( ) = =( )( )=( ) ( )14

12 1

414

12

12

14

142 2 2 2 xx y xy

54

54

54=( )

c)x y

xy

x yx y

x xy y

xy

2

2

013

23

23

13

23

43

23

23

43

13

3

( )( )

= = =−

− 33

1=y

d) 4 4 4 64 81 33

13

32 3

232

12

12

32

12

x y x yyx

yx

− −( ) = = =

=

yyx 3

12

Ejemplo 4

Escribe los radicales como exponentes racionales y simplifica.

a) a b3 4 3( ) b) 5 3 3y y( )( ) c) x x

Solución:

a) a b a b a b a b3 4 3 3 432 3

32 4

32

332

432( ) =( ) =( ) ( ) =

=a b

92 6

b) 5 3 5 3 15 15312

13

12

13

56y y y y y y( )( )=

= =

+

c) x x x x x x x= ( ) = =

=12

32

32

12 3

4

Intenta resolver los siguientes ejercicios:

Actividad2 Traslada las expresiones con radical a su equivalente con

exponente fraccionario y simplifica.

a) x x( )( ) d)x x

x

4 2

3

3( )

b) x y2 2 e) Evalúa el producto

2 50 c) x y y3 2 43 ( )

Abonemos un poco más a la comprensión de nuestra regla. Suponte que en el ejercicio a) hubieras tenido una expresión como:

a a a3 3 3( )( )( )= ...,Hubieras procedido: a a a a a a

13

13

13

13

13

13 1

= = =

+ +

O bien:

a a a a a a a a4 4 4 414

14

14

14( )( )( )( )=

= =a a1

UNIDAD 5


Se trata de utilizar nuestras definiciones:

a an n1

= y a amn mn=

En casos como los siguientes:

a a13 3= a a

25 25=

Realiza algunos ejercicios en este sentido.

Ejemplo 5

Expresa en forma de radical las potencias fraccionarias y simplifica:

a) 4 312

23x x

c)

523

34

2

x

y

b) 532x( )− d)

212

16

13

2

x

z y

Solución:

a)( )( )4 3 12 1212

23

12

23

12

23x x x x x= =

+

= =12 1256x xx 56

b) 5

1

5

1

5

32 3

23

xx x

( ) =( )

=( )

−

= =( ) ( )

1

5

1

5 53 3 2x x x

=( ) ( )

1

5 52x x

=( )1

5 5x x

Resumiendo tienes que:

a a( ) =2

a a3 3( ) = a a4 4( ) =

Esta secuencia de resultados justifica un poco más la definición de expresión con radicales: “la potencia n de un radicando a, con índice radical n, tiene como resultado el radicando a”

Conversióndepotenciasenexponentesfraccionariosaexpresionesconradicales

Exprésalo aquí: ¡Muy bien!

Ahora practicarás con los exponentes racionales en el sentido contrario, es decir: convertir en radical, una expresión racional.

c) 5 5 523

34

2 23

2

34

2

43

32

x

y

x

y

x

y

= = =

55 43

3

xy

= =5 533 3

2

3x xy y

x xy y

d)2 2

12

16

13

2 12

2

16

213

x

z y

x

z y

=

=

213

23

2x

z y

= 23 23

xz y

= 223

xzy

Puedes observar en las respuestas de los ejercicios resueltos, que los exponentes de las variables del radicando, son siempre menores que el índice del radical.

Por ejemplo la respuesta del literal a) es 12 56 x ; y es claro que 6 es mayor que 5. Cuando este se cumple es que puedes decir que la simplificación ha terminado.

No puedes considerar que hayas terminado, si tienes por

ejemplo x y4 53 ; también si hay un producto o cociente de radicales que tienen el mismo índice deben reunirse en un solo radical.

UNIDAD 5


Actividad3Expresa en forma de radical las potencias fraccionarias y simplifica.

a) 4 812

25x b( )

d) b

25

34

−

b) −

2 534

32a a e)

−

2

13

12

16

4x

y z

c) z34

23

f)3

4

2 1

13

yx

−

−

−

Ejemplo 6

Calcula el valor de las expresiones:

a) 4 3 223

13 0x x x− + + para x = 8

b) 3

12

132 3 0a a b a b− −+ + para a = 4, b = 1.

Solución:

a) 4 3 24

3 223

13

23

0 3x x xx

x− + + = + +

= + +

43 2

233

xx

= + +

4

83 8 2

233 Sustituyes x = 8

= + ( )+ = + + =

4

43 2 2 1 6 2 9

33

b) 3

312

13

12

132 3 0

2

3a a b a ba

ab

b− −+ + = + +

= + +

3 2

33

aab

b Sustituyes a = 4 y b = 1

= + + = + +3

441

132

16 12

33

= 372

UNIDAD 5


En esta lección has continuado enriqueciendo tus conocimientos sobre los radicales. Aunque quizás lo más importante que has obtenido ha sido la extensión de la potenciación con exponentes fraccionarios y su equivalente como expresión con radical.

Ahora sabes que 915 no puede ser otra cosa más que 95 ; y a su vez 95 no puede ser otra

cosa más que 915 .

De igual forma conoces ahora que 425 es igual a 425 y viceversa.

Nota que de acuerdo a esto se pueden dar otras equivalencias, por ejemplo:

4 2 225 45 45= = , que es conforme con las leyes usuales de los exponentes, ya que:

2 2 445

25 2

52=( ) =

En muchas simplificaciones de expresiones algebraicas, resulta muy útil el empleo de estas equivalencias.

A veces una expresión con exponentes fraccionarios, se desarrolla mejor si la pasas a su equivalente con radicales, en otras la expresión con radical se trabaja mejor si la pasas a expresión racional. Observa los siguientes ejemplos:32 32 2 2 4 4

25 25 5 25 2 55 55( ) = ( ) = ( ) = ( ) = =

4 4 4 4 2 864

32 3 3 3= = =( ) = =

Las reglas más importantes de esta lección:

Resumen

a an n1

= ; a amn n m=( )

UNIDAD 5


Una aplicación de los radicales en la geometría, consiste en encontrar uno de los lados de

un triángulo, así:

Si se conoce el lado de un triángulo equilátero su

altura h se calcula mediante ha

=2

3

En efecto utilizando el teorema de Pitágoras se

tiene: ha

a22

2

2+

= , h a

a2 22

4= −

ha223

4= , luego h

a a= =

34 2

32

Un ejemplo es el Triángulo de las Bermudas.

Soluciones1. a. 2. b. 3. d. 4. c.

Autocomprobación

Al sustituir x = 8 en la ecuación xx

x23

1630+ +

obtienes:a) 30b) 6c) 14d) 10

4 Al simplificar 513

13

xyx y

, obtienes:

a)5 3

3

x yy x

c)5 3

3

yy x

b) 52

23xy

d) 5xy

2

Al simplificar la expresión x y x y23 4 23 obtienes:a) x y2

b) x y2 2

c) x y223( )

d) y x3 63

1 3 Señala cuál de las igualdades es incorrecta:

a) 9 2732 = c)

49

32

12

=−

b) 27 3 314

14( )= d)

14

832

=

RADICALESENLAGEOMETRIA


Quinta Unidad

Motivación

identificarás, reducirás y efectuarás operaciones con radicales semejantes con seguridad.


¿Se pueden sumar y restar los radicales?Investiguemos si puede hacerse.Suponte que por alguna suerte de sortilegio “la raíz cúbica de 5 es igual a una sandía” 5 13 = sandía. Obviamente esto te obliga a aceptar que si tienes 4 53 , entonces eres el orgulloso dueño de 4 sandías. Por lo tanto una operación tal como 4 5 5 3 53 3 3− = , es una operación correcta. De igual manera 4 5 2 5 6 53 3 3+ =

opeRacioNes coN Radicales

Lección 3

extraerás con seguridad factores de un radical.

RadicalessemejantesEn la situación anterior observaste que si es posible operar con sandías; es decir con 53 ; pero, ¿se podrán realizar las siguientes operaciones?

a) 4 5 2 73 3+ = ... b) 4 5 2 53 − = ... c) 2 5 403 3− = ...

Verás que sólo una es posible. En el literal a), 5 y 7 son números primos muy diferentes, por lo tanto 73 no puede ser una sandía. No se pueden sumar en el literal b); el análisis es más fácil “la raíz cuadrada de 5, no puede ser igual a la raíz cúbica de 5”. No se pueden restar.

De acuerdo a lo que se ha dicho, es el literal c) el que se puede operar, observa:

2 5 40 2 5 8 5 2 5 8 5 2 5 2 5 03 3 3 3 3 3 3 3 3− = − × = − = − =

Puedes decir que 403 es un término que tiene un radical semejante con 53 .

La siguiente definición es la que utilizarás para identificar radicales semejantes.

Los radicales son semejantes si tienen iguales sus índices y también iguales sus cantidades subradicales.

UNIDAD 5


Ejemplo 1

Son semejantes los radicales: a) 18 y 72 b) 18 y 128

Solución:

Si los radicales tienen el mismo índice lo que debes hacer es trabajar con la cantidad subradical. Un mecanismo consiste en descomponer los radicandos en sus factores primos.

a) 1893

233

Son semejantes.

b) 18 3 2=

Son semejantes.

Entonces, ¿cuándo es que se pueden sumar y restar radicales?

Cuando los términos que vas a sumar o restar tienen radicales semejantes. Por supuesto que, la mayoría de las veces tienes que utilizar las reglas de radicales para simplificar totalmente el radical dado, hasta que se convierta en un término con un radical semejante al término que quieres operar del radicando.

La descomposición en factores primos, debe ser el primer paso.

Por ejemplo: 12 3 4 3 3 4 3 3 2 3 3 3− = × − = × − = − =

Ejemplo 2

Efectúa las siguientes operaciones, si es posible.

a) 18 72+ b) 72 128− c) 4 92 3x y y+

Solución:

a) Como ya trabajaste los radicales 18 y 72 en el ejemplo 13, tienes que

18 3 2= y 72 6 2= . Como son radicales semejantes puedes sumarlos así:

18 72 3 2 6 2 3 6 2 9 2+ = + = +( ) =

3 2 3 22 × =

2 3 2 2 3 2 6 22 2( )( ) = ( ) =

2 2 8 26 ( ) =

72361893

22233

128643216

22222

4 22 2

8

UNIDAD 5


b) De la misma forma:

72 128 6 2 8 2 6 8 2 2 2− = − = −( ) =−

c) Primero tienes que utilizar las reglas de radicales para ver si éstos son semejantes.

4 2 22 2 2x y x y x y= = ya que la 2 22 2x x=

9 3 33 2 2y y y y y= = utilizaste la propiedad

y y y2 3= ; y además que 3 32 2y y=

Luego los radicales son semejantes y puedes sumarlos

4 9 2 3 2 32 3x y y x y y y x y y+ = + = +( )

Actividad 1Suma, resta y simplifica las siguientes expresiones.

a) 9 3 4 3+ d) 24 81 43 3 3+ − +

b) 3 48 12− + e) 8 2753 2 43c d c d−

c)3 24 54 300− + f) 8 43 63x xy+

Ejemplo 3

Suma, resta y simplifica las siguientes expresiones con radicales.

a) 5 7 3 7 73 3 3− + c) a a a25 3−

b)3 10 4 90 5 40+ − d) 4 25 162 2 2 2x y xy x y xy− + +

Solución:

a) 5 7 3 7 7 5 3 1 7 3 73 3 3 3 3− + = − +( ) = b)3 10 4 90 5 40+ −

Encuentras todos los factores de los radicandos: 1051

25

90451551

2335

40201051

2225

3 2 5 4 3 2 5 5 2 2 52 2( ) + ×( ) − ×( )

3 10 4 3 10 5 2 10 3 10 12 10 10 10 5 10+ × − × = + − =c) a a a a a a a25 53 2 2− = −

= −5a a a a = −( ) =5 1 4a a a a

d) 4 25 16 4 25 162 2 2 2 2 2 2 2x y xy x y xy x y y x x y y x− + + = − + +

= − + +2 5 4x y y x x y y x

= +( )+ −( )2 4 5x y x y y x y x

= +( ) + −( )2 1 4 5x y y x

= −3x y y x

UNIDAD 5


18 x 8 x y163

2 2x

2 43 y

x x0 48

El siguiente ejercicio tienen un poco de dificultad pero te servirá para observar como se pueden combinar los conocimientos adquiridos y trascender en el manejo del álgebra. Digamos que se trata del uso de los radicales semejantes en la solución de una ecuación, que termina siendo cuadrática.

Ejemplo 4

Resuelve la ecuación:

x x23

134 5 0− − =

Solución:

x x23

134 5 0− − =

x x13

13

24 5 0( ) − − = Regla de exponentes fraccionarios.

x x3 2 34 5 0( ) − − = Equivalencia de exponente fraccionario con radical.

Ahora le pondremos un apodo a x3 . Convengamos que x y3 =

Sustituyendo en la ecuación tienes: y y2 4 5 0− − = , que se ha convertido en una ecuación cuadrática. El camino que sigue ya lo conoces:

y y y y−( ) +( )= → = =−5 1 0 5 1; son las soluciones.

Realiza las sumas del término de fila con el término de columna y completa la tabla. Sólo llena los recuadros de aquellos resultados que provienen de radicales semejantes. En los dos primeros cuadros de la segunda columna tienes un ejemplo:

2 8 2 2 2 2 2 2 3 22 2x x x x x x x+ = + ( ) = + =

2 843 y x+ : Blanco. No hay radicales semejantes.

Actividad2

UNIDAD 5


Pero recuerda que x y3 = . Por lo tanto:

x x3 35 5 125= → = =

x x3 31 1 1=− → = −( ) =−

La solución para x es de la ecuación original es S = −{ }125 1,

Es muy recomendable adquirir como costumbre, que siempre que resuelvas una ecuación debes comprobar si el conjunto solución que has encontrado satisface la ecuación dada. En el presente caso:

Si tenemos:

125 4 125 5 5 4 5 5 5 4 5 532

3 332

33 2( ) − − =( ) − − = − ( )−= − − =25 20 5 0

Si x =−1

−( ) − − − = −( ) − −( )−1 4 1 5 1 4 1 53 2 3 2

= + − =1 4 5 0

Observa que en efecto los dos valores satisfacen la ecuación.

En la operatoria de radicales tú puedes también echar mano de otros conocimientos que ya tienes, por ejemplo, la ley distributiva de los números:

ab ac a b c+ = +( )

Ejemplo 5

Encuentra la respuesta de la siguiente expresión con radicales 43

2 1 23 43a a a+( )+Solución:43

2 1 243

2 1 23 43 3 33 3a a a a a a a+( )+ = +( )+ Ley del producto de radicales

= +( )+43

2 1 23 3a a a a Raíz n de una potencia n

= +( )+

2232 13 a a a Aplicas Factor Común

= + +

243

23

3 a a a Reduces términos semejantes

= +

273

23

3 a a

= +[ ]23

7 23 a a

UNIDAD 5


ExtraccióndefactoresdeunradicalDe hecho esta operación la has venido haciendo, al realizar las simplificaciones en los

ejercicios. Te has amparado en la definición a ann = , que en palabras puedes traducir:

“En la radicación, si el índice del radical es igual al exponente a que está elevada una cantidad o variable en el radicando, entonces esa cantidad o variable sale del radicando”.

7 733 = ; 2 255 = ; 5 544 = ; −( ) =−x y x y2 77 2

Has visto que también es válida si varios factores tienen potencias iguales al índice, es decir: π π3 3 33 x y xy=

Lo que nos resta para hacer más práctico el proceso de simplificación es que, si los factores tienen exponentes m que son múltiplos del índice n, entonces el factor sale del radical con exponente m

nEsto es: π π π6 6 63 2 2 26

363

63x y x y x y= =

Ejemplo 6

Simplifica

a) x y12 65 c) 8 43 24 x x

b) 400 7 4x y d) 9 6 4a b −

Solución:

a) x y x x y y x y x y12 65 10 2 55 25105

55= =

= x y x y2 25

b) 400 2 5 2 57 4 4 2 6 4 2 3 2x y x x y x y x= ( ) ( ) = ( )= 20 3 2x y x

c) 8 4 8 2 163 24 34 44x x x x x= ( ) == =2 24 44 x x

d) 9 3 36 4 2 6 4 22

62

42a b a b a b− −= =−

= =−332 2

2

2a bab

UNIDAD 5


En esta lección has aprendido a identificar radicales semejantes y utilizar tus conocimientos para reducir o simplificar expresiones con radicales.

También has adquirido mejores herramientas para extraer factores de un radical.

Hay algunas cosas importantes a remarcar:

Los factores dentro del radical debes descomponerlos en factores con exponentes que sean múltiplos del índice del radical. De esa manera podrás extraerlos del radical.

Dentro del radical no deben quedar factores con exponente mayor que el índice del radical.

Simplifica el radicando antes del proceso de extracción de factores:

x yxy

x y x y x y x y9 7

34 9 1 7 34 8 44 28

444= = = =− −

381

381

127

13

13

2

4 23

2 2

4 13

33

3

3xyx y

yx x x x

= = =

=

−

−

Debes recordar que para lograr mayor confianza y seguridad en tus procedimientos de solución tienes, necesariamente, que practicar y realizar suficientes ejercicios.

Resumen

Actividad 3Simplifica hasta que el exponente del factor sea menor que el índice del radical.

a) a b7 115 = d) 16 4 2x y =

b) 250 7 4x y = e) 27 2 43 83c d c d− =

c) a b a b23 43 = f) 27 27 63a a =

UNIDAD 5


Soluciones1. b. 2. a. 3. d. 4. b.

La curvatura de la Tierra limita la distancia que se puede ver desde un edificio. Una fórmula que calcula la distancia máxima es d rh h= +2 2 donde h: es la altura del edificio y r es el radio

de la Tierra. (r = 6375 km)Si tanto d, r y h se miden en km, ¿qué distancia máxima se observaría desde la azotea de un

edificio de 500 m?

d = ( )( )+( ) =2 6375 05 05 7982. . . km

¿Cuál es la distancia máxima que se puede observar desde la azotea de un edificio

de 100 m? Verifica d = 35.71 km.

El resultado de simplificar 2 8 63b b es:a) 16 66 bb) 2b bc) 2bd) 4b b

4 54 163 3− es igual a:a) 23

b) 54 163 −c) 2 23

d) − 23

2

Al simplificar x y11 75 obtienes:a) x y xy2 2 5 c) x y x y2 25

b) x y xy2 25 d) xy xy2 25

1Autocomprobación

3 Selecciona la igualdad que no se cumple:a) −( ) =−5 533

b) b b433

4 ( ) =

c) 8 23 63 2x y xy=d) 6 36

12x x=

DISTANCIAALHORIZONTE


Quinta Unidad

Motivación

introducirás factores bajo el signo del radical, con confianza.

transformarás con seguridad los radicales empleando cambio de índices.

Racionalizarás con orden expresiones radicales.


¿Cómo se introducen factores dentro de un radical?Un número real a, se encontraba de paseo por una carretera cuando de pronto se topó con un túnel, donde había una enorme “raíz quinta”. Si no te conviertes en una “potencia cinco”, no te dejo pasar le dijo la raíz quinta. El número real vio que la cosa iba en serio, así que no tuvo más remedio que hacer: a a a a a a( )( )( )( )( )= 5 entrar al radical, invocar la ley de extracciones de factores de un radical y salir como si nada del otro lado del túnel.

factoRes de los Radicales

Lección 4

La operación contraria de extraer factores es introducir factores.

De acuerdo a la lección anterior, para extraer los factores

de la expresión 8 4 63 x y procedías así:

8 2

2

4 63 3 3 63

33

33

63

x y x xy

x y x

=

= 33 2 32= xy xSi ahora deseas hacer la operación contraria, es decir regresar los factores dentro del radical, (la x se ha quedado muy sola) bastaría con elevar cada factor a la potencia 3.

Introduccióndefactoresenunradical

UNIDAD 5


Ejemplo 1

Introduce los factores en el radical y simplifica el radicando.

a) 2 32a b b) −3 23x xy c) xy

xy2

45 d) a a

Solución:

a) 2 3 2 3 4 3 122 2 2 4 4a b a b a b a b= ( ) = ( ) =

b)− = −( ) = − ( ) = −3 2 3 2 27 2 543 33 33 43x xy x xy x xy x y

c)

xyxy

xyxy

x yxy

x y2

42

432

48

5

5

5

5 55

6 65=

( ) = ( ) =

d) a a a a a a a= = =2 4 5

En general puedes justificar este procedimiento empleando las reglas conocidas:

a b a b a bn nn n nn= =

Actividad1Introduce los factores en el radical y simplifica el radicando.

a)− =3 2xy x c) 2 2 3xy x y+ =b)

abc

ca

2

32

= d) 2 23 =

Cambiodeíndiceenunradical

De acuerdo a las leyes cancelativas de los números reales, sabes que:

13

26

39

412

= = = = ...

Luego si a, es un número real, tenemos que:

a a a a13

26

39

412= = = = ...

Y ahora, de acuerdo a las leyes de los exponentes fraccionarios y su equivalente en forma de radical se tiene que:

a a a a3 26 39 412= = = = ...

Regla del productoDefinición raíz n, de una potencia n

UNIDAD 5


Has expresado un radical de índice 3, en radical de índice 6, índice 9, índice 12, etc.

Es muy importante advertir que 6, 9, 12,…, son múltiplos de 3. Sólo puedes aumentar el índice del radical en múltiplos del índice del radical dado.

a3 No se puede aumentar a 5 , ya que 5 no es múltiplo de 3.

Los siguientes son aumentos válidos:

x x x x= = = =24 36 48 ...

b b b b5 210 315 420= = = = ...

¿Crees que puedes deducir una regla? Por ejemplo:

¿Puedes expresar 2 23 x en radical índice 6?

¡Muy bien! ¡Sé que lo has hecho!

Intentado ser prácticos puedes proceder también así:

2 2 423 2 23 2 46x x x= ( ) =×

¿Puedes escribir una regla ahora?

Nota lo siguiente:

4 4 2 246 43 2 23 23x x x x= = ( ) =

Se puede regresar a la expresión inicial.

Ejemplo 2

Incrementa el índice del radical dado, al índice señalado. Simplifica el radicando.

a) 2 2xy a índice 8 b) 4 23 x y a índice 12 c) 25 ab a índice 15

Solución:

a) Para aumentar a índice 8, debes multiplicar el índice por 4 82

4=

2 2 2 162 2 44 2 48 4 88xy xy xy x y= ( ) = ( ) =b) 4 4 4 4 25623 2 443 2 4

12 4 8 412 8 412x y x y x y x y x y= ( ) = ( ) = =c) 2 2 2 85 335 315 3 315ab ab ab a b= ( ) = ( ) =

UNIDAD 5


Actividad2Incrementa el índice del radical dado, al índice señalado. Simplifica el radicando.

a) 3ab a raíz de 6: c) 2 23 xz a raíz de 9:

b) a b2 35 a raíz de 10: d) ab z23 a raíz de 7:

Reducirelíndicedeunradical

Se trata de realizar, si es posible, la operación contraria. Por ejemplo, dado un radical en índice 12 exprésalo como radical índice 3. Lo que es importante señalar ahora, es que el índice al cual se quiere reducir el radical debe ser submúltiplo del índice del radical inicial.

Un índice 12 se puede reducir a índice 2, 3, 4 y 6.

El proceso es exactamente al revés. Si quieres reducir 8 36 x a índice 2, procedes así:

8 8 8 2 236 32 3 33 33x x x x x= = = ( ) =×

Ejemplo 3

Reducir el índice del radical dado, al índice menor posible. Simplifica el radicando.

a) a b9 36

b) 81 4 128 a b

c) a b c12 6 618

Solución:

a) Los múltiplos de 6 son el 2 y el 3. Al observar el radicando puedes advertir que se pueden extraer factores si el radicando se encontrara dentro de 3 . Por lo tanto puedes hacer:

a b a b a b9 36 9 33 3= =

b) 81 81 34 128 4 124 3a b a b ab= =

c) a b c a b c a b c a bc12 6 618 12 6 63 6 12 6 663 23= = =×

Has visto que puedes incrementar y reducir el índice de un radical. La regla general que puedes precisar y que en la práctica has venido utilizando la puedes deducir así:

De los ejemplos particulares de la forma: x x335 315=

Puedes establecer: a ammn mn m= × ; m, n enteros

UNIDAD 5


Actividad 3Reduce el índice del radical dado, al índice menor posible. Simplifica el radicando.

a) x y2 24 = d) 27 3 615 x y =

b) 16 4 24 x y = e) 16 4 28 x y =

c) 9 6 46 a b =

RacionalizaciónderadicalesA menudo el denominador de una fracción contiene un radical. Por ejemplo:

23

Racionalizar el denominador de una fracción significa de manera simple, hacer

desaparecer el radical del denominador. En el caso de 23

, hay que hacer desaparecer

3 del denominador. La clave para hacer está en multiplicar por un conveniente número

Por ejemplo 33

1= , 2

21

2

2

( )( )

= , xx++

=11

1

Para el caso de 2

3, la racionalización se consigue haciendo

23

33

2 3

3

2 33

2× = ×

( )=

UNIDAD 5


c) Hay una forma alterna y más rápida de resolver este ejercicio. Nota que sólo falta una x en el radicando para completar x3 y que la x puede salir del radical.

1 1

23

3

23 3

3

33

3

x

x

x x

x

x

xx

= = =

d)

1 1 12

55

25 25

35

35

35

55

35

a a a

a

a

a

a

aa

= = × = =

e) Este ejercicio es un poco diferente a los demás. Se debe multiplicar por xx

−−

11

para que el radical pueda desaparecer.

11

11

11 1

11x

xx

xx x

xx+

×−−

=−

+( ) −( ) =−−

El producto en el denominador es: x x x x x x+( ) −( )= − + −1 1 1

=( ) − = −x x2

1 1

Revisemos un poco más nuestros procedimientos de racionalización

Si el denominador tiene

Debemos multiplicar arriba y abajo por

Para obtener en el denominador

x x x

a3a3 2( ) a

a3 a 23 a

y 25 y 35 y

a b− a b+ a b− 2

a b+ a b− a b− 2

Ejemplo 4

Racionaliza el denominador de la expresión y simplifica

a) 15

b) 243

c) 123 x

d) 12

5

a e) 1

1x +Solución:

a)15

15

55

5

5

552= × =

( )=

b)24

24

4

4

2 4

4

2 24

4 24

23 3

3 2

3 2

23

3 3

43 33= ×

( )( )

=( )( )

= = =

UNIDAD 5


Actividad4 Racionaliza el denominador de la expresión y simplifica:

a)32

= c)1

3 x= e)

125 x

=

b)320

= d)2

1x −= f)

73

=

En esta lección has aprendido a introducir factores dentro del signo radical, identificándola como la operación inversa de extracción de factores.

Resumen

Si el factor a introducir es

Y el radical es

El radicando queda así:

a a 2

x 7 x 77

a y2 a 23 a

y 25 3a y a y2 33 6 33( ) =

ab

2 5ab

ab

2 5

5

10

55

=

Has revisado también variados ejemplos y desarrollado ejercicios relacionados con aumentar o bien reducir el índice de un radical.

Debes recordar aquí que solo puedes aumentar el índice en múltiplos del índice del radical dado.

x3 = x 26 = x 412

Y en el proceso contrario solo puedes reducir un índice en sub-múltiplos del índice dado.

x 515 = a 412 = a 39 = a3

Finalmente has desarrollado, con seguridad y confianza, varios ejercicios de racionalización del denominador de una fracción.

UNIDAD 5


1. c. 2. b. 3. a. 4. d. Soluciones

Autocomprobación

Al introducir dentro del radical los factores de la

expresión 2 2xyxy

obtienes:

a) 4 2 4x y c) 4 2 3x y

b) 4 3 3x y d) 4 2 2x yy

2

Al racionalizar el denominador de 29

3

obtienes:a) 2

3

3

c) 63

3

b) 2 33 d) 33

3

1 3 Al reducir el índice del radical al menor índice posible y simplificar la expresión x y3 96 obtienes:

a) y xy3 c) xy 23

b) x xy d) x y4 44

Al incrementar el índice de x y2 a 6 tienes:

a) x y4 44 c) x y14 77

b) x y5 36 d) x y 36

4

Algunos tanques subterráneos en las gasolineras tienen la forma de un cilindro circular recto y están colocados horizontalmente con la

superficie.

El volumen V de gasolina en el tanque

está calculado mediante la fórmula

V hh

= −4096 3

52 , donde h es la altura de la

gasolina en pulgadas.

Si al introducir una varilla de profundidad en el tanque la altura es h = 8 pulgadas ¿Cuánta gasolina hay en el tanque?

RADICALESENELCALCULODEVOLUMEN


Quinta Unidad

Motivación

A Marcelo le han dejado la tarea de sumar los radicales siguientes: 3 4 5 2 27 8 96 3 6 4; ; ;− −Él solo recuerda que hay que simplificar los radicales. ¿Puedes tú ayudarle a Marcelo a sumar estos radicales?


efectuarás sumas y restas de radicales con seguridad

efectuarás multiplicaciones y divisiones de radicales con destreza y seguridad.

Resolverás problemas utilizando radicales y sus operaciones con orden esmero.

opeRacioNes coN Radicales

Lección 5

Con una calculadora de bolsillo tu puedes hacer 2 3+ , 2 3. , 2 3− , 23

, y obtener una respuesta rápida.

Sin embargo, si no dispones de calculadora o el profesor no te lo permite en esta etapa de tu estudio, debes conocer como proceder para realizar cualquier operación con radicales. Es lo que vamos a revisar en esta última lección.

SumayrestaderadicalesEn la lección 3 de esta unidad tú trabajaste con radicales semejantes. Si recuerdas: dos radicales son semejantes si tienen “igual índice e igual cantidad sub-radical o radicando” ¿Son radicales semejantes los siguientes?

Responde falso (f) o verdadero (v)

a) 2 5 y −8 5 d) 323 y 32

b) 7 3 xy y 2 3 yx e) 5 83 − y 3 83

c) −3

13

x y 8 13 x − f) 323 y −5 23

UNIDAD 5


Para realizar sumas y restas con los radicales solo debemos analizar las situaciones.

Los índices y los radicandos son exactamente iguales 2 5 y −8 5 se pueden sumar y restar directamente.

Suma : 2 5 + ( )−8 5 = 2 8 5−( )

= −6 5

Resta : 2 5 + ( )−8 5 = 2 5 8 5+

= 2 8 5

10 5

+( )=

Los índices son iguales pero los radicando no lo son, aunque posiblemente lo sean si se simplifican.

323 y −5 23 se pueden sumar y restar pero debemos simplificar

323 323 2 2 2 233 3. =

Suma: 323 + −( )= −5 2 2 2 5 23 3 3

= 2 5 2 3 23 3−( ) =−

Resta: 323 −( )= +( )=

5 2 2 5 2

7 2

3 3

3

Puede suceder que la simplificación del radicando no conduzca a un radical semejante. En ese caso no se puede realizar la operación.

24 3 2 2 3 2 2 3 3 23 3 33 3 3 3+ = + = +x y no son semejantes.

Ejemplo 1

Suma, resta y simplifica las siguientes expresiones.

a) − +10 12 2 3 c) 16 243 a a− (y ≥ 0)

b) 3 9 4 25x xy y+ d) 8 43 3x x+ −

Solución:

a) − +10 12 2 3 = − +10 43 2 3.

−( )( ) +10 2 3 2 3

− +20 3 2 3

− +( )20 2 3

−18 3

b) 3 9 4 25x y y+ = 3 3 4 52 2x y y+

=( )( ) + ( )3 3 4 5x y y

= +9 20x y y

= +( )9 20x y

c) 16 243 a a− = −2 2 23 33 . . .a a a

= −2 2 23 3a a a

= −( )2 1 23a a

d) 8 43 3x x+ − = + −( )2 13 33 33.x x x

= −2 13 3x x x

= −( )2 1 3x x

UNIDAD 5


Actividad 1Efectúa y simplifica las siguientes expresiones

a) 32 24 54x x+ d) 8 3 503a a− (a ≥ 0)

b) 2 12 3 27− e) 3 8 18 323 2 5x xy x− +

c) 5 2 2 543 3−

El procedimiento en la multiplicación de radicales puede ser mucho más fácil que en las sumas y restas ya que no se necesite que los radicales sean semejantes.

Vamos a considerar el siguiente esquema para desarrollar nuestro tema.

Los índices de los radicales son iguales son iguales. En este caso no hay problema pues basta que utilicemos nuestra regla de la raíz e-nésima de un producto.

x y x y25 3 45( )( ) = x y x y2 3 45 ( )( ) = x y5 55

= xy

Es muy fácil, ¿no es cierto?

Los índices de los radicales no son iguales, aquí si hay un pequeño problema, pero tenemos dos caminos que podemos seguir.

El primero consiste en incrementar los radicales a su mínimo común múltiplo. Por ejemplo si deseamos hacer el producto x y( )( )3 debemos expresar los dos

radicales como 6 , el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6, y esto ya lo hicimos en la lección 4.

x x

x

=

=

33

36

y y

y

3 23

26

=

=

Productoderadicales

Y ahora podemos hacer el producto cuando se tienen raíces iguales.

x y x y x y( )( )=( )( )=3 36 26 3 26

El otro camino consiste en hacer uso de los exponentes

racionales y su forma equivalente como radical: amn

= amn

Retomando nuestro producto de arriba hacemos.

x y x y x y( )( )=( ) ( ) =

3

12

13

12

33

13

22 los

denominadores de los exponentes fraccionarios deben ser iguales (mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6)

= =( ) ( ) =( ) =X y x y x y x y36

36 3

16 2

16 3 2

16 3 26

Puedes notar que hemos llegado al mismo resultado. Con un poco de práctica tú podrás utilizar cualquiera de los dos recursos para enfrentar los productos.

UNIDAD 5


Ejemplo 2

Multiplicar los radicales y simplificar.

a) 3 6 2 2( )( ) d) x x2 5−( )b) 3 122x x e) 5 93( )( )c) 3 2 5x x f) 2 4 23y y

Solución:

a) 3 6 2 2 6 6 2 6 6 2 6 12( )( )= = =( )

= =6 2 3 12 32( )

b) 3 12 3 2 3 2 3 32x x x x x x=( )( )= ( )

= =2 3 62x x x x

c) 3 2 3 2 65 510 210 510 210x x x x x x=( )( )== =6 65 210 710x x x

d) x x x x x2 5 2 5−( )= −

== − = −2 5 2 52x x x xe) 5 9 5 9 5 9 101253 36 26 3 26 6( )( )= = =

f) 2 4 2 4 2 423 36 2 26 3 3 2 46y y y y y y= =( ) ( )

= =2 2 2 26 66 6y y y y

Actividad2Multiplica los radicales y simplifica.

a) 5 8 3 3( ) −( )= d) 12 2 23x x y( )( )=b) 5 20 3a a = e) xy y3 5( )( )=c) 6 13 23x x( ) −( )= f) x +( ) =1

2

UNIDAD 5


Ejemplo 3

Calcula el valor de las expresiones cuando x = 2, y = −1

a) x y y+( ) −( )3 3 1 b) x y3 1 2( ) −( )Solución:

a) x y y x y y+( ) −( )= + − = − − − = − =−3 3 3 3 31 1 2 1 1 1 1 2 2( )( ) ( )( ) ( ) 33

b) x y x y x y3 26 36 2 36 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ) −( )=( ) −( )( )= −( ) = − −( ( )) ( )36 36 64 3 108= =

Divisiónderadicales

Para la división de radicales las estrategias son las mismas que para la multiplicación. Si los radicales tienen igual índice, empleas la regla de raíz e-nésima de un cociente.

2

4

24 2 2

2 23

23

2 2

23

2 2 2 13 3

x y

x yx yx y

x y y= = =

− −

Si los radicales no tienen igual índice, debes expresarlos en un índice común igual al mínimo común múltiplo de los radicales.

813

3 33

33

33

34 23 3 3 23 2 26

36

2a bab

a abab

aab

aba

a= =

( )=

( ) 22 4

3 3 36 6

33

3b

a ba

ba

= Simplificas exponentes.

Ejemplo 4

Efectúa las divisiones y simplifica.

a) 102

b) 310

3

c) 205

33 x yx

d) a bab

46

Solución:

a) 102

102

5= = ; en este caso se podría haber seguido también el camino de

racionalizar al denominador. 102

22

202

2 52

2 52

52

= = = =

b) 310

3

10

310

91000

3 26

36

2

36 6= = =

c) 205

205

20

5

205

4033 3 26

36

2 2

3 36

x yy

x yy

xy

yx

yy

x= =( )

= =( ) 00

125165

6 6y

xy

=

d) a bab

a bab

a ba b

ab

46 46

36

4

3 36

26= = =

( )

UNIDAD 5


Ejemplo 5

Considera los siguientes triángulos semejantes:

Solución:

Por semejanza de triángulos puedes escribir:

x

6 2 52 2 5

80+=

+

De aquí puedes despejar x:

x =+

+( )2 2 580

6 2 5

x =

+( ) +( )2 2 5 6 2 5

4 5 Descompones 80

x =

+ + + ( )12 12 5 4 5 4 5

4 5

2

Efectúas la multiplicación.

x =

+ +12 16 5 204 5

Operas.

x =

+32 16 54 5

Sumas.

x =

+( )16 2 5

4 5 ¿Qué propiedad aplicaste en este paso?

x =

+( )⋅

=+( )

4 2 5

555

4 2 5 5

5

Racionalizas.

x = +( )( )452 5 5

2

x = +( )= +

452 5 5

85

5 4 Verifica las operaciones anteriores.

6 2 5+ x

802 2 5+

Efectúa las divisiones y simplifica.

a) 123

3

3= b)

123

3

= c) 2

2

25

23

xy

xy= d) a b

ab

2 24

=

Actividad3

UNIDAD 5


Con esta lección has completado tus conocimientos sobre los radicales, sus reglas, operaciones y simplificaciones. Solo debes recordar algunas cosas:

Para combinar y simplificar radicales en las sumas y las restas casi siempre tendrás que simplificar el radicando para obtener radicales semejantes.

En el producto y la división de radicales la clave está en convertirlos en radicales con igual índice. Esté índice lo consigues al hallar el mínimo común múltiplo de los radicales implicados en la operación.

Recuerda también que puedes recurrir a la equivalencia de exponentes racionales para resolver el problema. Por ejemplo:

xy xy xy xy xy xy xy x4 2 2 214

12

14

24

14( )( )=( ) =( ) =( )( ) ( ) ( 22 4 1

4y ) =

xy x y x y x y y x y( )( )( ) =( ) = =2 4 3 5 3 54 3414

14

Resumen

UNIDAD 5


1. a. 2. a. 3. d. 4. c. Soluciones

Cuando se deja caer un objeto libremente desde la azotea de un edificio de altura h conocida, tú puedes calcular muy fácilmente el tiempo (en segundos) que

tarda en llegar al suelo.Así h gt=12

2 dado que

(g es la aceleración de la gravedad en ms 2

y t indica

el tiempo en segundos) al despejar t obtienes un

radical: thg

=2

con g = 9.8 m/s2

si el edificio tiene 100 mts de altura entonces:

t = =2 10098

45( )

seg.

.

Autocomprobación

Al operar y simplificar 2 23 3xy y÷ obtienes:

a) 2 36 x y c) y x y2 36

b) x y3 76 d) y xy6

4 Selecciona la igualdad que es correcta.

a) 18 8 2− = c) 27 9 34 4 =

b) x

x+

=1

1 d) x

xx

22=

2

Al efectuar la operación y simplificar 5 8 2 32− se obtiene: es:

a) 2 2 c) 8

b) 3 8 d) 3 4

1 3 Al operar y simplificar 2 6 3x xy obtienes:

a) ( )( )4 62 34 x xy c) 2 3 y xy

b) 2 32xy d) 2 3xy y

CAÍDALIBREDELOSCUERPOS


Solucionario

Lección1

Actividad 1

a) − = −( ) =−27 3 33 33 d) 32 25 = g) 648

23 = j) 827

2

3

23

3

33

33= =

b) − =− =−116

1

2

12

44

44 e) 064 08. .= h) 81 34 =

c) −( ) =3 366 f) 8 833 = i) − =−1 17

Lección2

Actividad 1

a) 9 3 33 23 23= = c) −( ) = −( ) = −( ) = −( ) =×125 5 5 5 2523 3 3

23

223 e) x x23 2

3=

b) 7 745 45= d) 17 17

12= f) x y x y x y6 63 2 26

363= =

Actividad 2

a) x x x x x x x( )( )=( )( )= = =+12

12

12

12

22 d)

x xx

x x x x x x4 2

323

9 3 322

22

12

( )= ( ) = =

b) x y x y xy2 2 22

22= = e) 2 50 2 5 2 5 2 5 2 10

12

22

12

22

12

12= ( )= = ( )=+

c) x y y x y x y x y3 2 43 6 63 2 263

63( ) = = =

Actividad 3

a) 4 8 4 8 2 8 1612

25 25 25 25x b x b x b x b( )

= ( )= ( )= d) b

b b b b

25

34

25

34

310

310 310

1 1 1 1

= = = =−

×

b) −

=− =− =−2 5 10 10 10

34

32

94

84

14 2 4a a a a a a a e)

−

=

2 1613

12

16

4

2 23

xy z

xy

xz

c) z z z z34

23 3

423

12

= = =×

f)3

4

3

4

43

2 1 1 2

1

2

313

13

yx

yx

yx

−

−

− −

−

= =

Lección3

Actividad 1

a) 9 3 4 3 9 4 3 13 3+ = +( ) =

b) 3 48 12 3 4 3 2 3 3− + = − + =−

c) 3 24 54 300 6 6 3 6 10 3 3 6 10 3− + = − + = +


Solucionario

d) 24 81 4 2 3 3 3 4 3 43 3 3 3 3 3 3 3+ − + = − + =− +

e) 8 27 2 353 2 43 23c d c d c d c d− = −( )f) 8 243 63 2 3x xy x y x+ = +( )Actividad 3

a) a b ab a b7 115 2 25= c) a b a b a b a b23 43 6 23 2 23= = e) 27 32 43 83 2 23c d c d d c c d− = −( )b) 250 5 107 4 3 2x y x y x= d) 16 44 2 2x y x y= f) 27 27 963a a a a=

Lección4

Actividad 1

a) − 18 3 2x y b) 2 2 6

23

a bc

c) 8 3 63 x y x y( )+ d) 2 2 2 2 23 33 73= =

Actividad 2

a) 27 3 36 a b b) a b4 610 c) 8 3 69 x zd) no se puede, ya que 7 no es múltiplo de 3.

Actividad 3

a) xy b) 2x y c) a b3 23 d) 3 25 xy e) 4 24 x y

Actividad 4

a) 62

b) 1510

c) xx

23

d) 2 1

1

x

x

+( )−

e) xx

35

f) 213

Lección5

Actividad 1

a) ( )2 24+ x x b) −5 3 c) − 23 d) ( )2 15 2a a− e) ( )6 3 4 22x y x x− +

Actividad 2

a) −30 6 b) 10 2a c) x x3 − d) 2 27 46x xy e) x y5 815 f) x x+ +2 1

Actividad 3

a) 43 b) 163

6 c) 1

4 2 415

x y d) 1


Proyecto

Te habrás dado cuenta en los supermercados que muchos productos sobre todo los líquidos, tales como: agua, leche, bebidas gaseosas, cervezas, etc. son presentados en envases que tienen formas de poliedros y sólidos geométricos. Según sea la cantidad de producto que se desea ofrecer, así son las dimensiones del envase.

Tu proyecto consiste en fijar un volumen de producto a ofrecer al público; y una vez fijado, calcular las dimensiones que debe tener el envase.

Te doy un ejemplo: quieres vender un queso cuya presentación tenga forma de pelota y un volumen de queso de 2,145 cm3, ¿Cuál debe ser el radio de la pelota?

La fórmula del volumen de una esfera es V r=43

3π ; luego 2 14543

3, = π r . Por lo

tanto r r3 33 2 1454

51208 8= ( )→ = =,. .

πcm

¿Estamos de acuerdo en lo que tienes que hacer?

Deseas vender conos de sorbete con una altura de 10 cm y un volumen de . ¿Cuál debe ser el radio?

Deseas vender una bebida gaseosa en envases cilíndricos de 6.4 cm de diámetro y un volumen de , ¿cuál debe ser la altura del envase?

Quieres vender leche de soya en envases con forma de pirámide cuadrada de altura 8 cm y un volumen de , ¿cuál debe ser la longitud del lado de la base?

0r

v

bg

hSuperfi cielateral

Base


Recursos

Dennis G.Zill y Jaqueline M. Dewar, Álgebra y Trigonometría, segunda edición, Mc Graw Hill, Bogotá 2000.

Stewar, Redlin y Watson, Precálculo, tercera edición, Thompson, México 2001.

Sullivan, Álgebra y trigonometría, séptima edición, Pearson Prentice Hall, México 2006.

William Mendoza y Gloria Galo de Navarro, Matemática básica Pre-Universitara 8ª reimpresión; UCA editores, El Salvador 2007.

www. didactika.com

www.descartes.com

http://es.wikipedia.org/wiki/Marie-Curie

UNIDAD 5


COLOFON

UNIDAD 5


MATEMÁTICA · Noveno Grado - matemática 57 Quinta Unidad Motivación Lección 1 identificarás...

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