Matemática ii
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MATEMÁTICA II
1
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMICADERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMICA
(LOGARITMO NATURAL)(LOGARITMO NATURAL)
Es igual a la derivada de la función dividida por la función o
también podemos decir que es igual a la derivada de la función
multiplicada por su recíproca. Es decir que cuando Y = lnV
podemos utilizar o aplicar dos fórmulas como veremos a
continuación.
Derivar la Función
7
dv dy dx ---- = ----- dx V
dy 1 dv ---- = ----- ------ dx V dx
Y = ln (x2 – 7)
V = (x2 – 7)
dv ---- = 2x dx
dy 1 ---- = ---------- 2x dx (x2 – 7)
dy 2x ---- = ---------- dx (x2 – 7)
Reemplazamos con la segunda fórmula:
Derivar la Función
Derivar
V =
Derivamos V
8
Y = ln (x2 – 7x + 5)
V = (x2 – 7x + 5)3
dv ---- = 3(x2 – 7x + 5)2 (2x – 7)dx
dy 1 ---- = ------------------- 3(x2 – 7x + 5)2 (2x – 7) dx (x2 – 7x + 5)3
dy 3 (2x – 7) ---- = ------------------- dx (x2 – 7x + 5)
Reemplazamos con la segunda fórmula:
x + 1 x - 1Y = ln
x + 1 x - 1
dv (x – 1) (1) - (x + 1) (1) = dx (x – 1)2
dv x – 1 – x - 1 = dx (x – 1)2
dv 2 = dx (x – 1)2
Derivar
Así tenemos que:
V =
9
Reemplazamos con la segunda fórmula de los Logaritmos Naturales:
dy 1 dv ---- = ----- ------ dx V dx
dy 2 = dx (x + 1) (x – 1)
dy 2 = dx (x2 – 1)
dy 1 2 = dx (x – 1)2
(x+1) (x -1)
Y = 2 ln
1 – t2
t
Y = 2 ln
1 – t2
t
1 – t2
t
Derivamos V
10
dv 1 = dx 2
(t)(-2t) – (1 – t2) (1)
t2
t
1 – t2
t
dv 1 = dx 2
-2t2 – (1 – t2)
t2
t
1 – t2
t
dv 1 = dx 2
-2t2 – 1 + t2
t2
t
1 – t2
t
dv = dx
-t2 – 1
t2
t
1
2
t 1 – t2
t
Reemplazamos con la segunda fórmula de los Logaritmos Naturales:
dy = dx
1 – t2
t
-t2 – 1
t2
1
2
t
1 – t2
t
12
dy = dx
1 – t2
t -t2 – 1
t2
t
1 – t2
t2
2
EJERCICIOS APLICANDO LAS PROPIEDADES
Ahora si recordamos las propiedades de los logaritmos
podemos resolver los ejercicios de una manera más fácil y
práctica abreviando pasos para una mejor comprensión.
Observe si tenemos la siguiente función:
Ahora observe como nos queda:
11
dy = dx
(-t2 – 1)
t2
t (1 – t2)
t
dy = dx
t (- t2 – 1)
t2 (1 – t2)
dy = dx
(- t2 – 1)
(1 – t2)
Y =
x + 1 x - 1
Si aplicamos propiedades debemos aplicar logaritmo natural tanto para Y como para la función
ln Y =
ln x + 1x - 1
Aplicando las propiedades tenemos:
12
ln (x +1) - ln ( x – 1)
t
1
3
t
1 dy = y dx
1 1
(x + 1) (x - 1)
1 dy = y dx
1
3
t x – 1 – (x + 1)
(x + 1) (x - 1)
1 dy = y dx
1
3
t1 dy = y dx
1
3
t
x – 1 – x - 1
(x + 1) (x - 1)1 dy = y dx
1
3
t
2
(x2 - 1) dy = dx
2y
3(x2 - 1)
dy = dx
3 (x2 - 1)
(x + 1)
(x – 1)2
dy = dx
2 (x + 1)
3(x2 - 1)(x – 1)
Y = (x2 + 2) (x – 3)
13
ln y = ln (x2 + 2) + ln (x – 3)
1 dy = y dx
1 1
2x + 1
(x2 + 2) (x - 3)
1 dy = y dx
2x 1
+
(x2 + 2) (x - 3)
2x (x - 3) + (x2 + 2)
(x2 + 2)(x - 3)
1 dy = y dx
2x2 – 6x + x2 + 2
(x2 + 2)(x - 3)
1 dy = y dx
3x2 – 6x + 2
(x2 + 2)(x - 3)
1 dy = y dx
(3x2 – 6x + 2) y
(x2 + 2)(x - 3)(3x2 – 6x + 2)(x2 + 2)(x - 3)
(x2 + 2)(x - 3)
dy = dx
dy = dx
dy = 3x2 – 6x + 2 dx
Y = (x4 – 3x2 + 9)5
14
ln y = 5 ln (x4 – 3x2 + 9)
5 (4x3 - 6x)
(x4 – 3x2 + 9)
1 dy = y dx
20x3 – 30x
(x4 – 3x2 + 9)
1 dy = y dx
(20x3 – 30x) y
(x4 – 3x2 + 9)
dy = dx
(20x3 – 30x)(x4 – 3x2 + 9)5
(x4 – 3x2 + 9)
dy = dx
1 dy = y dx
5 1
4x3 - 6x (x4 – 3x2 + 9)
1 dy = y dx
5 4x3 - 6x
(x4 – 3x2 + 9)
Derivar la Función Y =
dy = (20x3 – 30x) (x4 – 3x2 + 9) dx
15
ln y = x3 ln x
(x3)1 dy = y dx
1
+ 3x2 ln x x
( x2 + 3x2 ln x )
1 dy = y dx
dy
= ( x2 + 3x2 ln x ) y dx
dy
= ( x2 + 3x2 ln x ) X X3
dx
dy
= X 2 + x3 ( x2 + 3x2 ln x ) dx
dy
= X2 ( 1 + 3 ln x ) X X3
dx
Derivamos como producto
Y =
16
ln y = 2x4 + x ln x
1 dy = y dx
1 (2x4 + x ) + ln x ( 8x3 + 1 ) x
1 dy = y dx
(2x4 + x ) + ( 8x3 + 1 ) ln x x
x (2x3 + 1 ) + ( 8x3 + 1 ) ln x x
1 dy =
y dx
( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x
1 dy = y dx
dy
= ( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x y dx
dy
= ( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x dx
Derivamos como producto
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Aplicando las Propiedades de los logaritmos naturales
derivar:
1._
17
Y =
3x 2 + 2 2 - 3x2
ln Y =
ln 3x 2 + 2 2 - 3x2
6x(2 - 3x2) + 6x(3x2 + 2)
(3x2 + 2)(2 - 3x2)
1 dy = y dx
1
5
t
1 dy = y dx
1
5
t
1 6x (-6x)
(3x2 + 2) (2 - 3x2) 6x 6x
(3x2 + 2) (2 - 3x2)
1 dy = y dx
1
5
t
1 dy = y dx
1
5
t
12x – 18x3 + 18x3 + 12x
(3x2 + 2)(2 - 3x2)1 dy = y dx
24x
5(3x2 + 2)(2 - 3x2)
2. Y = (x2 – 1) (2x3 + 3x – 2)
dy = dx
24x
5(3x2 + 2)(2 - 3x2)
y
18
dy = dx
24x
5(3x2 + 2)(2 - 3x2)
(3x2 + 2)
(2 - 3x2)
dy = dx
24x (3x2 + 2)
5(3x2 + 2)(2 - 3x2) (2 - 3x2)
dy = dx
24x (x + 1)
5(3x2 + 2) (2 -
3x2)
(x – 1)
ln y = ln (x2 – 1) + ln (2x3 + 3x – 2)
1 dy = y dx
1 1
2x + (6x2 + 3)
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
1 dy = y dx
2x (6x2 + 3)
+
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
1 dy = y dx
4x4 + 6x2 – 4x + 6x4 – 6x2 + 3x2 - 3
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
1 dy = y dx
2x (2x3 + 3x – 2) + (6x2 + 3) (x2 - 1)
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
3._ Y = ( x3 + 7x2 + 9 ) 2x
19
1 dy = y dx
10x4 + 3x2 - 4x – 3
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
(10x4 + 3x2 - 4x – 3) y
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
dy = dx
(10x4 + 3x2 - 4x – 3) (x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
dy = dx
dy = 10x4 + 3x2 - 4x – 3
dx
ln y = 2x ln ( x3 + 7x2 + 9 )
1 dy = y dx
1 2x (3x2 + 14x) + ln ( x3 + 7x2 + 9 )(2)
(x3 + 7x2 + 9)
Derivamos como producto
1 dy = y dx
2x (3x2 + 14x) + 2 ln ( x3 + 7x2 + 9 )
(x3 + 7x2 + 9)
1 dy = y dx
2x (3x2 + 14x) + 2 (x3 + 7x2 + 9) ln ( x3 + 7x2 + 9 )
(x3 + 7x2 + 9)
4._ Y =
dy = dx
20
1 dy = y dx
6x3 + 28x2 + 2x3 + 14x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 )
(x3 + 7x2 + 9)
1 dy = y dx
8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 )
(x3 + 7x2 + 9)
dy = dx
8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 ) y
(x3 + 7x2 + 9)
8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 ) . (2x3 + 3x – 2)2x
(x3 + 7x2 + 9)
dy = dx
(8x3 + 42x2 + 18) (2x3 + 3x – 2)2x ln ( x3 + 7x2 + 9 )
(x3 + 7x2 + 9)
(2x + 3) (2x - 5)(x - 1)
ln y = ln (2x + 3) + ln (2x - 5) - ln (x - 1)
1 dy = y dx
1 1 1 2 + 2 - 1 (2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = y dx
2 2 1 + - (2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
21
1 dy = y dx
2(2x - 5) (x - 1) + 2 (2x + 3) (x - 1) - (2x + 3) (2x - 5)
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = y dx
2(2x2 – 2x - 5x + 5) +2(2x2 – 2x + 3x - 3)-(4x2 - 10x + 6x - 15)
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
2(2x2 – 7x + 5) + 2 (2x2 + x - 3) - (4x2 - 4x - 15)
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = y dx
4x2 – 14x + 10 + 4x2 + 2x - 6 - 4x2 - 4x - 15
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = y dx
4x2 – 8x + 19
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = y dx
(4x2 – 8x + 19) y
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
dy = dx
(4x2 – 8x + 19) (2x + 3) (2x - 5)
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1) (x - 1)
dy = dx
dy = dx
(4x2 – 8x + 19)
( x - 1)2
5._ Y =
22
ln y = 2x ln x - (-2x) ln x
X 2x
X-2x
1 dy = 2x ln x + 2x ln xy dx
1 dy = y dx
1 1 2x 1 + ln x 2 + 2x 1 + ln x 2 x x
1 dy = y dx
2x 2x + 2 ln x + + 2 ln x x x
1 dy = y dx
2 + 2 ln x + 2 + 2 ln x
dy = 4 + 4 ln x (y) dx
dy = 4 + 4 ln x dx
X 2x X-2x
dy = 4 + 4 ln x . (x4x) dx
Aplicando la fórmula de los logaritmos naturales
derivar:
1._
dy = dx
23
Y =
3x2 + 22 - 3x2
dy = ln (x3 – 5) - ln (x2 + 7) dx
1 1 3x2 - 2x (x3 – 5) (x2 + 7)
dy = dx
3x2 2x - (x3 – 5) (x2 + 7)
dy = dx
3x2 (x2 + 7) - 2x (x3 – 5)
(x3 – 5)(x2 + 7)
dy = dx
3x4 + 21x2 - 2x4 + 10x
(x3 – 5)(x2 + 7)
dy = dx
x4 + 21x2 + 10x
(x3 – 5)(x2 + 7)
2._ Y = ln (7x3 + 9) (3x – 5)
3._ Y = ln
24
dy = ln (7x3 + 9) + ln (3x - 5) dx
1 1 21x2 + 3 (7x3 + 9) (3x - 5)
dy = dx
21x2 3 - (7x3 + 9) (3x - 5)
dy = dx
21x2 (3x - 5) + 3 (7x3 + 9)
(7x3 + 9)(3x - 5)
dy = dx
dy = dx
84x3 - 105x2 + 27
(7x3 + 9)(3x - 5)
3x2 + 22 - 3x2
Y = 3 ln (2x – 7) - ln (2x + 7)
1 1 2 - 2 (2x - 7) (2x + 7)
dy = dx
3
4._ Y = ln
25
2 2 - (2x - 7) (2x + 7)
dy = dx
3
2(2x + 7) - 2 (2x - 7)
(2x - 7) (2x + 7)
dy = dx
3
4x + 14 - 4x + 14
(2x - 7) (2x + 7)
dy = dx
3
3 (28) (4x2 - 49)
dy = dx
dy = dx
84 (4x2 - 49)
(2x + 4x 2 + 7x 3 ) 3 x
Y = 3 ( ln (2x + 4x2 + 7x3) ) - ln x
1 1 (2 + 8x + 21x2) - (2x + 4x2 + 7x3) x
dy = dx
3
dy = dx
26
(2 + 8x + 21x2) 1 - (2x + 4x2 + 7x3) x
dy = dx
3
3 (2 + 8x + 21x2) 1 - (2x + 4x2 + 7x3) x
dy = dx
6 + 24x + 63x2 1 - (2x + 4x2 + 7x3) x
dy = dx
dy = dx
x (6 + 24x + 63x2) - (2x + 4x2 + 7x3)
x (2x + 4x2 + 7x3)
dy = dx
6x + 24x2 + 63x3 - 2x - 4x2 - 7x3
x (2x + 4x2 + 7x3)
dy = dx
4x (14x2 + 5x + 1)
x (2x + 4x2 + 7x3)
dy = dx
56x3 + 20x2 + 4x
x (2x + 4x2 + 7x3)
4 (14x2 + 5x + 1)
(2x + 4x2 + 7x3)
5._ Y = ln
27
Y = 6 ( ln (9x4 + 7x3 - 5x) ) - ln 6
(9x 4 + 7x 3 - 5x) 6 6
1 (36x3 + 21x2 - 5) - 0 (9x4 + 7x3 - 5x)
dy = dx
6
dy = dx
6(36x3 + 21x2 - 5)
9x4 + 7x3 - 5x
dy = dx
216x3 + 126x2 – 30
9x4 + 7x3 - 5x
Y = ln (9 - 2x2)
dy 1 ---- = ---------- - 2x (9 - 2x2) dx (9 - 2x2)
Reemplazamos con la segunda fórmula:
Ejercicios Complementarios
Y = ln 9 - 2x2
V = (9 - 2x2)
dv ---- = -2x (9 - 2x2)dx
Y = ln
dy = dx
dy 2x = - dx (9 - 2x2)
28
x2 1 + x2
1 1 2x - 2x x2 (1 + x2)
dy = dx
Y = ln x2 - ln (1 + x2)
2x 2x - x2 (1 + x2)
dy = dx
2 2x - x (1 + x2)
dy = dx
dy = dx
2 (1 + x2) - 2x (x)
x (1 + x2)
dy = dx
2 + 2x2 - 2x2
x (1 + x2)
2
x (1 + x2)
Y = (4x2 – 7)
29
ln y = 2 + (x2 – 5) ln (4x2 – 7)
1 dy = y dx
8x x 2+(x2 – 5) + ln (4x2 – 7) (4x2 – 7) (x2 – 5)
Derivamos como función:
u = 2 + (x2 – 5) v = ln (4x2 –
du 1 = 0 + (x2 + 5) (2x)dx 2 du x = dx (x2 + 5)
dv 1 = (8x)dx (4x2 – 7) dv 8x = dx (4x2 – 7)
Una vez obtenidas las partes reemplazamos:
1 dy = y dx
8x (2+ (x2 – 5) )
(4x2 – 7)
x ln (4x2 – 7)
(x2 – 5)+
1 dy = y dx
8x (2+ (x2 – 5) )((x2 – 5) )+(x ln (4x2 – 7))(4x2 –
7)
Y =
30
1 dy = y dx
8x(2+ (x2 – 5) )(x2 – 5) + x(4x2 – 7) ln (4x2 – 7)
(4x2 – 7) (x2 – 5)(4x2 – 7)
ln y = ln (2x - 3) + ln (x - 7) - ln (x + 1) - ln (2x + 7)
1 dy = y dx
1 1 1 1 2 + 1 - 1 - 2 (2x - 3) (x - 7) (x + 1) (2x + 7)
1 dy = y dx
2 1 1 2 + - - (2x - 3) (x + 7) (x +1) (2x + 7)
(2x - 3) (x - 7) (x + 1)(2x + 7)
1 dy = y dx
2(x - 7)(x + 1)(2x + 7) + 1 (2x - 3)(x + 1)(2x + 7) - (2x - 3)(x - 7)
(2x + 7) - (2x - 3)(x - 7)(x + 1)
(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7)
1 dy = y dx
4x3 - 10x2 – 112x – 98 + 4x2 + 12x2 – 13x – 21 – 4x3 + 20 x2 +
77x – 141 – 4x3 + 30x2 – 8x - 42
(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7)
Y =
31
52x2 + 55x – 302 (2x - 3) (x - 7)
(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7) (x + 1) (2x + 7)
dy = dx
dy = dx
52x2 + 55x – 302
( x + 1)2 (2x + 7)2
ln y = 3ln (5x - 3) + ln (3x + 5) - 2 ln (3x - 5) - ln (5x + 3)
(5x - 3) 3 (3x + 5) (3x - 5)2 (5x + 3)
1 dy = y dx
3 1 2 3 5 + 3 - 3 - 5 (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)
1 dy = y dx
15 3 6 5 + - - (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)
15 3 6 5 + - - (y) (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)
dy = dx
15 3 6 5 (5x + 3)3(3x + 5) + - - (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3) (3x - 5)2 (5x - 3)
dy = dx
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIALDERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es igual a la función elevada al exponente (v) por el logaritmo
natural de a y por la derivada dv/dx; es decir la derivada del
exponente (v).
Derivar Y = 3 2x - 5
32
Y = a v dy av . ln a . dvdx dx
Cuando tenemos una función exponencial:
dy 3 2x – 5 . ln 3 . 2 dx
Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy 2 ln 3 . 32x – 5
dx
Ahora resolvámoslo aplicando las propiedades de los ln:
ln y = (22 – 5) ln 3
Derivar Y = 7-x
Derivar Y = 5
1 . dy (2x – 5) 0 + ln 3 (2) y dx
1 . dy 2 ln 3 y dx
dy 2 ln 3 . 3(2x – 5)
dx
dy 3 -x . ln 7 . (-1) dx
Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy -7-x ln 7 dx
Aplicando las propiedades:
ln y = ln 7 -x
1 . dy - x . ln 7 y dx
dy ln 7 (-1) . 7 -x
dx dy -7 -x . ln 7 dx
33
1 . dy - x . 0 + ln 7 (-1) y dx
1 . dy ln 7 (-1) y dx
v = 2x + 3 2x - 3
du (2x – 3)(2) – (2x + 3)(2) = dx (2x – 3)2
du 12 = - dx (2x - 3)2
34
Reemplazando la fórmula tenemos:
dy 12 = 5 . ln 5 . - dx (2x – 3)2
dy 12 . 5 . ln 5 = dx (2x – 3)2
Aplicando las propiedades:
ln y = 2x + 3 . ln 5
2x - 31 dy = y dx
(2x + 3) 12 0 + ln 5 - (2x - 3) (2x - 3)2
1 dy = y dx
12 ln 5 - (2x - 3)2
dy = dx
12 ln 5 - (y) (2x - 3)2
dy = dx
12 ln 5 - . 5 (2x - 3)2
dy 12 . 5 . ln 5 = dx (2x – 3)2
Derivar Y = C
35
dy C . ln C . 3x2
dc
Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy 3x2 C . ln C dc
Aplicando las propiedades:
ln y = ln C
1 . dy x3 . ln C y dc
dy 3x2 . ln C . y dc
1 . dy x3 . 0 + ln C (3x2) y dc
1 . dy 3x2 . ln C y dc
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIALDERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
CON Y = CON Y = ee
La derivada de una función exponencial con Y = e es igual a la
función elevada al exponente (v) por la derivada del exponente
(v).
Derivar Y = e (2x – 5)3
dy 3x2 C . ln C dc
36
Y = e v dy ev . dvdx dx
Cuando tenemos una función exponencial con e:
V = (2x + 5)3
dv ---- = 6(2x + 5)2
dx
dy ---- = e (2x – 5)3 6(2x + 5)2
dx
dy ---- = 6(2x + 5)2 . e (2x – 5)3 dx
Reemplazamos la fórmula:
Y = e
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Derivar cada una de las siguientes funciones :
1. Y = e nx
x x + 1
dv = 1 dx (x + 1)2
37
Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy 1 ---- = e .
dx (x + 1)2
dy ---- =
dx (x + 1)2
V = nx
dv ---- = n dx
dy ---- = enx . n dx
Reemplazamos la fórmula:
dy ev . dvdx dx
2._ Y = 10nx
3._ Y = e
dy ---- = n enx
dx
38
V = nx
dv ---- = n dx
dy ---- = 10nx . ln 10 . n dx
dy ---- = n 10nx . ln10
dx
dy av . ln a . dvdx dx
V = x2
dv ---- = 2x dx
dy ---- = e . 2x dx
dy ev . dvdx dx
4._ Y =
5._ e
dy ---- = 2x e
dx
39
dy = dx
ex . 0 - 2 ex ( e x )2
dy = dx
2 ex - ( e x )2
dy = dx
2 - e x
U = 2 V = ex
dv ---- = ex - 1 dx
V = e
dv 1 ---- = --- t dx 2
dy = dx
1 e . t 2
dy t e
dx 2
dy e
dx 2t
dy e
dx 2
Y = ln
dy = dx
40
Ejercicios Complementarios
Y = 3 ( 5 ln (3x2 + 8) - 2 ln (2x3 – 5)
)
(3x 2 + 8) 5 (2x3 – 5)2
1 1 (5) 6x - (2) 6x (3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy = dx
3
30 x 12x2
- (3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy = dx
3
30 x (2x3 - 5) - 12x2 (3x2 + 8)
(3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy = dx
3
60x4 – 150x - 36x4 - 96x2
(3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy = dx
3
24x4 - 96x2 – 150x
(3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy = dx
3
18x (4x3 - 16x – 25)
(3x2 + 8) (2x3 - 5)
Y =
ln (x 4 + 2x 2 – 5) x2 - 2
41
dy = dx
x . - ln x (1) ( x )2
dy = dx
ln x (1) x 2
dy = dx
1 – ln x x 2
U = ln x V = x
dv 1 ---- = --- - 1 dx x
Separamos Datos
u = ln x4 + 2x2 - 5 du 1 . (4x3 + 4x) dx x4 + 2x2 - 5
v = x2 - 2 dv 2x dx
dy = dx
(x2 – 2)(4x3 + 4x) - 2x ln (x4 + 2x2 – 5)
(x4 + 2x2 - 5)
(x2 – 2)2
dy = dx
ln 7 x2 - 5
dy = dx
1 (x2 - 2) 4x3 + 4x - ln (x4 + 2x2 – 5) (2x) (x4 + 2x2 - 5)
(x2 – 2)2
42
4x (x2 – 2) (x2 + 1) - 2x (x4 + 2x2 – 5) ln (x4 + 2x2 – 5)
(x4 + 2x2 - 5)
(x2 – 2)2
dy = dx
4x (x2 – 2) (x2 + 1) - 2x (x4 + 2x2 – 5) ln (x4 + 2x2 – 5)
(x4 + 2x2 - 5) (x2 – 2)2
Separamos Datos
U = ln 7 V = x2 - 5
dv ---- = 2x dx
dy = dx
(x2 – 5) (0) - ln 7 ( 2x )
(x2 – 5)2
dy = dx
ln 7 ( 2x ) -
(x2 – 5)2
dy = dx
2x ln 7 -
(x2 – 5)2
Y = ln ( 2x + x2 + 2 )
dy = dx
43
v = (2x + (x2 + 2) )
dv = dx
2x (x2 + 2) 2 + 3
2 1 2 + 3 ( x2 + 2)
((2x + (x2 + 2) )
dy = dx
2x 2 + (x2 + 2) 3
2x + (x2 + 2)
dy = dx
Resolvemos aplicando la fórmula de cociente
6 + 2x (x2 + 2)
3
2x + (x2 + 2)
dy = dx
6 + 2x (x2 + 2)
3 2x + (x2 + 2)
Y =
e x - e –x ex + e –x
44
dy = dx
x ex - ex (1) ( x )2
dy = dx
x ex - ex x2
dy = dx
ex ( x- 1) x 2
U = ex
V = x
du ---- = ex (1) dx
Datos para fácil aplicación
Y =
dy = dx
( ex + e-x ) (ex + e-x ) - ( ex - e-x ) (ex - e-x )
( ex + e-x ) 2
45
dy = dx
e2x + 2 + e-2x - e-2x + 2 - e-2x
( ex + e-x ) 2
dy = dx
4 ( ex + e-x ) 2
u = ex - e –x v = ex + e –x
du = ex + e –
xdv = ex - e –x
dx
dy = dx
e2x + 1 + 1 + e-2x - e-2x - 1 – 1 + e-2x )
( ex + e-x ) 2
Resolvemos aplicando la fórmula de cociente
ln Y = 2 ( ln (x + 7) - ln (2x – 1)
)
(x + 7)(2x – 1)
1 dy = y dx
1 1 1 - (2) (x + 7) (2x - 1)
1 dy = y dx
(2x - 1) - 2 (x + 7)
(x + 7) (2x - 1)
2
1 dy = y dx
1 2 - (x + 7) (2x - 1)
2
2
2x - 1 - 2x - 14
(x + 7) (2x - 1)
2
46
2 (-15) (x + 7) (2x - 1)
dy = dx
30 (y)- (x + 7) (2x - 1)
dy = dx
30 (x + 7)2
- . (x + 7) (2x - 1) (2x - 1)2
dy = dx
30 (x + 7)- (2x - 1)3
1 dy = y dx
1 dy = y dx
5._ e ln (x)2
Y = e
v = ln x2dv = 1 . 2x
dy ---- = e . 2x dx x2
dy ---- = 2 e dx x
dy ev . dvdx dx
47
dy ---- = e . 1 1 (4x3 + 6x) dx (x4 + 3x2 + 10)
dy 2x (2x2 + 3) . e ---- = dx x4 + 3x2 + 10
dy ev . dvdx dx
dy ---- = e . (4x 3 + 6x) ñ dx (x4 + 3x2 + 10)
Y = (x2 + 4)2 e x2 + 1
Y = log (1 – 3t)
dy ---- = (x2 + 4)2 (e ) (2x) + e (2)( x2 + 4)(2x) dx
dy ---- = 2x (x2 + 4)2 (e ) + 4x ( x2 + 4) (e ) dx
Derivamos aplicando la fórmula de producto
48
dy ---- = 2x (x2 + 4)2 (e ) ( x2 + 4) + 2 dx
dy ---- = 2x (x2 + 4) (e ) ( x2 + 6) dx
Derivamos como logaritmo
APLICACIONES DE LA PRIMERA APLICACIONES DE LA PRIMERA
DERIVADA EN ECONOMÍADERIVADA EN ECONOMÍA
Entre las principales aplicaciones están las que comprenden los
conceptos de costo marginal, ingreso marginal, elasticidad,
propensión marginal al ahorro y la propensión marginal al
consumo.
En los estudios económicos se describe la variación de una
cantidad (y) con respecto a otra cantidad (x) en términos de los
conceptos de valor medio (o promedio) y valor marginal.
dy log e . dudx u dx
dy log e ---- = (-3) dx (1 – 3t)
dy 3 log e ---- = - dx (1 – 3t)
49
Valor Medio o Promedio.- Nos expresa la variación de
(Y) sobre un intervalo de valores de (x), que frecuentemente
barca desde cero hasta cierto valor seleccionado.
Valor Marginal.- El concepto de marginal, por
consiguiente, es preciso solo cuando se considera en el sentido
matemático de límite, como la variación de (x) cuando ésta
tiende a cero.
Los conceptos económicos de promedio y variación marginal
corresponden respectivamente a los conceptos matemáticos
más generales de la relación de cambio media de una función
sobre un intervalo y de relación de cambio instantánea ( o sea,
la derivada) de una función.
Los mencionados conceptos de promedio y marginal en relación
con diversas cantidades, son las consideraciones esenciales en
el desarrollo de
las teorías de micro y macroeconomía. Vamos a revisar algunos
ejemplos de la aplicación de la derivada e la teoría
macroeconómica (costo, ingresos, utilidad), y en la teoría
macroeconómica ( ingreso, consumo, ahorro).
50
Maximización de Utilidades
Para encontrar la máxima utilidad hay que hallar la primera
derivada de la función y luego igualarla a cero es decir que
siempre que deseamos encontrar la máxima utilidad P’(x) = 0.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Ejercicio 1._ Suponga que la utilidad de un fabricante por la
venta de radios está dada por la función P(x) = 400(15 – x) (x – 2),
donde x es el precio a que se venden los radios. ¿Halle el
precio de venta que maximizará las utilidades?.
P(x) = 400 (15 – x) (x – 2)
P(x) = 400 (15 – 30 – x2 + 2x)
P(x) = 400 (17x – x2 – 30)
P(x) = 6.800x – 400x2 – 12.000
P(x) = – 400x2 + 6.800x – 12.000
P’(x) = – 800x + 6.800
Si P’(x) = 0 Entonces - 800x + 6.800 = 0
- 800x + 6.800 = 0
(-1) - 800x = - 6.800 (-1)
800x = 6.800
51
Encontramos la primera derivada
6.800 800
El Precio que maximizará
las utilidades es 8.5
RESPUESTA
Ejercicio 2._ Un fabricante puede producir grabadoras a un
costo de 20.00 por unidad. Se estima que si las grabadoras se
venden a (x) dólares la unidad los consumidores comprarán
(120 – x) de estas cada mes. Determinar el precio al cual la
utilidad del fabricante será la mayor.
Si decimos Pv - Pp = utilidad
x = 8.5
Grafiquemos la utilidad máxima
2468
8.510121416
08.800
14.40016.80016.90016.00
12.0004.8005.600
X Y
52
Pp 20x
Pv x (120 – x)
P(x) = x (120 – x) – 20x
P(x) = 120x - x2 - 20x
P(x) = 100x – x2
P’(x) = – 2x + 100
Si P’(x) = 0 Entonces – 2x + 100 = 0
– 2x + 100 = 0
(-1) - 2x = - 100 (-1)
2x = 100
Ejercicio 3._ Una empresa dedicada a la producción de
lentes de contacto tiene un costo de producción por unidad
de 15 dólares. Si estos lentes se vendieran x dólares por
unidad, se venderían 350 – 2x cada mes. Determinar cual es
el máximo precio para que la utilidad sea mayor.
100 2
x = 50
El Precio que maximizará las utilidades es 50
53
Si decimos Pv - Pp = utilidad
Pp 15x
Pv x (350 – 2x)
P(x) = x (350 – 2x) – 15x
P(x) = 350x - 2x2 - 15x
P(x) = 335x – 2x2
P’(x) = – 4x + 335
Si P’(x) = 0 Entonces – 4x + 335 = 0
– 4x + 335 = 0
(-1) - 4x = - 335 (-1)
4x = 335
LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIOLA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO
Las derivadas pueden representar cantidades como la razón a
la cual crece la población, el costo marginal para un fabricante,
la tasa de inflación y la razón a la cual se agotan los recursos
naturales.
335 4x = 83.75
El Precio que maximizará las utilidades es 83.75.
54
La Razón de Cambio de una función con respecto a su variable
independiente es igual a la inclinación de su gráfica, que se
mide por la pendiente de la recta tangente que está dada por la
derivada de la función.
Se estima que dentro de x meses, la población de cierta
comunidad será P(x) = x2 + 20x + 8.000.
a. Cuál será la razón de cambio de la población con
respecto al tiempo dentro de 15 meses.
b. En cuánto cambiará realmente la población durante el
mes número 16.
P’(x) = 2x + 20
P’(15) = 2(15) + 20
CAMBIO Y Y dy = = m =
CAMBIO X X dx
RAZÓN DE CAMBIO = f’(x) = dy / dx En Términos más simples
55
Literal a)
P’(15) = 30 + 20
P’(15) = 50 Resp. 50 personas al mes
Para encontrar el cambio real reemplazamos en la función inicial.
P(15) = (15)2 + 20(15) + 8.000
P(15) = 225 + 300 + 8.000
P(15) = 8.525 Cambio real.
P(16) = (16)2 + 20(16) + 8.000
P(16) = 256 + 320 + 8.000
P(16) = 8.576 Cambio real.
P(16) - P(15)
8.576 - 8.525
51
Respuesta: En el mes número 16 al población tendrá un
cambio real de 51 personas.
EJERCICIO PRÁCTICO
Literal b)
Calculamos el cambio en la población
56
Un estudio de productividad de turno matinal en ciertas
fábricas revela que un obrero medio que llega al trabajo a las 8:
AM habrá ensamblado f(x) = - x3 + 6x2 + 15x de radios x
horas más tarde.
a. Deduzca una fórmula para encontrar la razón a la cual el
trabajador ensambla radios después de x horas.
b. ¿A las 9: AM a que razón ensambla radios el trabajador?
c. ¿Cuántos radios ensamblará el trabajador realmente
entre las 9 y las 10:AM.
DESARROLLO:
f(x) = - x3 + 6x2 + 15x
Razón de Cambio = f’(x) = - 3x2 + 12x + 15
f’(1) = - 3(1)2 + 12(1) + 15
f’(1) = - 3 + 12 + 15
f’(1) = 24 Radios por hora
f(1) = - (1)3 + 6(1)2 + 15(1) = 20
f(2) = - (2)3 + 6(2)2 + 15(2) = 46
f(1) - f(2) 46 – 20 = 26
Literal a)
Literal b)
Literal c)
57
RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUALRAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL
Es conocido que en situaciones prácticas la razón de cambio de
una cantidad no es tan significativa como su razón de cambio
porcentual.
Por ejemplo una razón de cambio anual de 500 personas en la
población en una ciudad de 5’000.000 de habitantes sería
insignificante, mientras que la misma razón de cambio tendría
un efecto importante en un pueblo de 2.000 habitantes. La
razón de cambio porcentual compara la razón de cambio de una
cantidad con el tamaño de esa cantidad.
DESARROLLO
Razón de cambio de la cantidad
Razón de Cambio Porcentual = 100 .
f’(x)
R.C.P = 100 . Fórmula Práctica
500R.C.P = 100 .
5’000.000
500R.C.P = 100 .
2.000
= 0.01%
= 25%
El Producto Nacional Bruto (PNB) de cierto país era n(t) = t2 +
5t + 106 miles de millones de dólares (t) años después de 1980.
a. ¿A que razón de cambió el PNB con respecto al tiempo en
1988?
b. ¿A que razón porcentual cambia el PNB con respecto a
tiempo en 1988?
DESARROLLO:
N(t) = t2 + 5t - 106
N’(t) = 2t + 5
N’(8) = 2(8) + 5
N’(8) = 21 Miles de millones de dólares.
Se estima que dentro de (t) años la población de cierta
comunidad suburbana será: en miles.
a. Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual
cambiará la población, con respecto al tiempo, dentro de
t años.
b. A que razón crecerá la población dentro de un año.
c. Cuánto crecerá realmente la población durante el
segundo año.
d. A que razón crecerá la población dentro de nueve años.58
21R.C.P = 100 .
210
= 10%
P(t) = 20 – 6 t + 1
e. Que sucederá con la razón de crecimiento de población a
largo plazo.
59
Literal a)
(t + 1) (0) - 6 (1) (t + 1)2
0 – 6 . (t + 1)2
6 . (t + 1)2
Literal b)
6 . (1 + 1)2
= 1.5 x 1.000 = 1.500 Habitantes.
Literal c)
6P(1) = 20 – ---------- 1 + 1
6P(1) = 20 – ------- 2
P(1) = 20 – 3 = 17 x 1.000 = 17.000 Habitantes.
6P(2) = 20 – ---------- 2 + 1
6P(2) = 20 – ------- 3
P(2) = 20 – 2 = 18 x 1.000 = 18.000 Habitantes.
P(2) - P(1)
18.000 - 17.000 = 1.000 Habitantes ha sido el cambio real.
C O S T O SC O S T O S
Supóngase que el costo total (Y) de producir y comercializar x
unidades de un bien determinado lo d la función Y = f(x)
Esto es Costo Total. Entonces el costo promedio (costo medio)
x unidad es:
Mientras que el costo marginal es igual a la primera derivada
de la función f(x) por lo tanto el costo Marginal es = f’(x) y
60
Calculamos el cambio en la población
Literal d)
6 . (9 + 1)2
= 0.06 60 Habitantes.
6 . (10)2
6 . 100
Literal e) La Razón de crecimiento tiende a cero.
Y f(x)C.T. = ----- =
para el cálculo del costo promedio marginal utilizaremos las
siguientes fórmulas:
Consideremos la función de Costo Total Y = 20
+ 2x + 0.5x2 en la cual Y representa el costo total y X la
cantidad producida. Calcular el costo promedio y el costo
promedio marginal.
61
1 f(x)C.P.M = -------- f’(X) - ---------
Cálculo del Costo Promedio
20 2x 0.5x2
CP = + + x x x
20 CP = + 2 + 0.5x x
24681012
139
8.338.59
9.7
X Y
Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x)
CM = 0 + 2 + x
CM = 2 + x
62
02468101214
246810121416
X Y
Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 20 + 2x + 0.5x2
C.P.M = -------- 2 + x - ----------------------------- X x
1 2x + x2 – 20 – 2x – 0.5x2 C.P.M = -------- -------------------------------------------
0.5x2 - 20C.P.M = ---------------------
Graficación del Costo Total
La Función del Costo Total para cierto artículo está
determinada por Y = x2 – 7x + 4. Calcule el costo
promedio, el costo marginal y el costo promedio marginal si se
venden 20 unidades, 30 y 50 unidades.
Y = x2 – 7x + 4
0246810
202636506890
X Y
63
x2 7x 4CP = - + x x x
Cálculo del Costo Promedio
(20) 2 – 7(20) + 4 20
400 – 140 + 4 20
= 13.20
Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x) = 2x - 7
Y = x2 – 7x + 4 Para 30 unidades
f’(20) = 2(20) - 7 = 33
Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 f(x)C.P.M = -------- f’(x) - ------------ X x
1 C.P.M = -------- (33 – 13.20)
20
19.80C.P.M = ----------
= 0.99
x2 7x 4CP = - + x x x
Cálculo del Costo Promedio
(30) 2 – 7(30) + 4 30
900 – 210 + 4 30
= 23.13
Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x) = 2x - 7
64
Y = x2 – 7x + 4 Para 50 unidades
f’(20) = 2(30) - 7 = 53
Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 f(x)C.P.M = -------- f’(x) - ------------ X x
1 C.P.M = -------- (53 – 23.13)
30
29.87C.P.M = ----------
= 0.99
65
x2 7x 4CP = - + x x x
Cálculo del Costo Promedio
(50) 2 – 7(50) + 4 50
2.500 – 350 + 4 50
= 43.08
Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x) = 2x - 7
Contenido
Dedicatoria…………………………………..… 3Agradecimiento ……………………………..... 4
CAPITULO I
Derivada de una función Logarítmica ……………..
… 7
Aplicando las Propiedades ……….………….
…… 11
Ejercicios de Aplicación ………………………….
…… 17
f’(20) = 2(50) - 7 = 93
Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 f(x)C.P.M = -------- f’(x) - ------------ X x
1 C.P.M = -------- (93 – 43.08)
50
49.92C.P.M = ----------
= 0.99
10
Ejercicios Complementarios …………………….
…… 27
Derivada de una función exponencial …………...…
32
Derivada de una función exponencial con Y = e .….
36
Ejercicios de Aplicación ………………………….
…… 37
CAPITULO II
Aplicaciones de la 1era. derivada economía ........
… 49
Valor medio o promedio ……….……..……..
…… 49
Valor Marginal ……….……..
……………………… 49
Maximización de Utilidades ……….………..
…… 50
Ejercicios de Aplicación …………………………….
… 50
La Derivada como una razón de cambio …………...
54
Razón de Cambio Porcentual ……….
……………….. 57
Costos …….…….……………..…….
…………………… 60
Vanesa Insuasti RodriguezElizabeth Luna Espinoza
Ketty Morocho AlvesMiguel Ochoa ChuchucaJimmy Ordoñez ProcelJoffre Ordoñez BarretoRosibel Pardo AguirreTatiana Poggio VictorKaren Vera Mosquera
Rolando Romero ChicaízaRocío Villacís MatuteAndrea Zapata Alava
Materia de Matemáticas II Elaborado en el segundo parcial del Módulo de Matemática II
Ing. Rafael Salcedo