Matemática I

UNIDAD I

Objetivo general.

Al finalizar la unidad el estudiante deberá resolver inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales; reconocer el plano cartesiano e identificar las diferentes ecuaciones de la recta y de la circunferencia con sus respectivas gráficas, así como hallar sus ecuaciones en problemas específicos.

El tema preliminar de los números reales y sus propiedades básicas puede consultarse el la dirección http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/sisnum.html

1. Inecuaciones

Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia biunívoca,

en el sentido de que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto en , y

viceversa, a cada punto le corresponde un único número real. Denotemos con el punto

de la recta correspondiente al número 0. Ubicaremos a la derecha del punto a los número

reales positivos, y a la izquierda los negativos.

Si son números reales y es positivo, se dice que a es mayor que b y se

escribe Esto es equivalente a decir que b es menor que a ( ). Los símbolos > y <

se llaman signos de desigualdad y expresiones como a > b y a < b se denominan

desigualdades.

De esta forma afirmamos que 6 es mayor que 2, es decir 6 > 2, pues 6-2 = 4, que es un

número positivo. Análogamente podemos concluir que 12 es mayor que 5, en símbolos

tenemos que 12 > 5, puesto que 12-5 = 7, y 7 es un número positivo.

La expresión se lee a es menor que b o bien a es igual a b. El símbolo se

interpreta de manera análoga.

Las propiedades que se enuncian a continuación le ayudarán a resolver las inecuaciones que

serán planteadas en este curso.

Propiedades de las desigualdades

Si y entonces

Si y es un número real cualquiera, entonces

Si y entonces

Si y entonces

Si entonces y o y

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/sisnum.html

Si entonces y o y

Similares propiedades se cumplen si empleamos los símbolos o

Una inecuación es una desigualdad en la que intervienen variables y números con las

operaciones aritméticas usuales.

Ejemplos de inecuaciones

1.

2. x -3x 2-x

3.

4. xy + 2 3

Solución de una inecuación

La solución de una inecuación está conformada por todos los números reales para los que la

inecuación cierta.

1.1 Intervalos en la recta real

Como es sabido de todos, resolver la ecuación sobre , significa encontrar

todos los números reales tales que al sustituir en la ecuación la incógnita por dichos

números, se satisface la igualdad, es decir el resultado es cero. Así 1 y 2 conforman la

solución de la ecuación, pues sólo ellos la satisfacen. Verifiquemos a continuación esta

afirmación. Reemplazando la primero por 1 y luego por 2, resulta:

y

Con las inecuaciones en general sucede algo completamente diferente, en el sentido de que

en buena parte de los casos, la solución está conformada por infinitos números reales, por

lo que nos resulta imposible nombrarlos uno por uno. Por ejemplo, si queremos resolver

una inecuación tan sencilla como , por simple inspección nos damos cuenta de que 2

forma parte de la solución pues 2 > 1, podemos decir lo mismo de los números 3,4,5,6,…,

ya que 3 >1, 4 > 1, 5 > 1, 6 > 1,…. Como se observa la solución de la inecuación

consta de infinitos elementos. Debido a la imposibilidad de mencionarlos a todos,

expresaremos la solución en términos de ciertos conjuntos(esta palabra se coloca

subrayada porque establecerá un vínculo con otras páginas que tratarán sobre teoría

de conjuntos) denominados intervalos de la recta real y que son definidos a continuación.

Definición 1.1. Sean a y b números reales tales que . En la siguiente tabla se definen

los diferentes intervalos de la recta real.

Tipo de Intervalo Conjunto de

números reales

Notación

Abierto

Cerrado

Semiabierto por la

derecha

Semiabierto por la

izquierda

Infinito

Infinito

Infinito

Infinito

Infinito

Los números y se denominan extremos del intervalo.

Obsérvese que si el extremo de un intervalo va acompañado de un paréntesis, dicho

extremo no está incluido en el intervalo. Si, por el contrario, un extremo del intervalo lleva

un corchete, dicho extremo si forma parte del intervalo. Según esto, el intervalo semi-

abierto por la derecha , no contiene al número 3, pero si contiene al 4.

Tipos de inecuaciones

Las inecuaciones se clasifican de acuerdo al número de incógnitas y al grado de la

expresión algebraica que interviene en la inecuación.

1.2 Inecuaciones lineales con una incógnita

Son inecuaciones de la forma , , y

Ejemplo 1.2.1 Resolver la inecuación

Solución. Para resolver la inecuación planteada se despeja la variable haciendo uso de las

propiedades enunciadas.

En primer lugar sumamos -4 a ambos lados de la inecuación, obteniéndose

A continuación multiplicamos cada miembro de la inecuación por , resultando

. Entonces , es decir .

Luego la solución está constituida por todos los números reales del intervalo

Ejemplo 1.2.2 Resolver

Solución. Para resolver esta inecuación se agruparán de un sólo lado de ella los múltiplos de

la incógnita Es irrelevante el lado que se elija para tal fin. Para ello sumemos - y 2

ambos lados de la inecuación

Resultando

de donde sumando - a ambos miembros de la inecuación

Por lo tanto la solución es .

1.3 Doble inecuación lineal

Son inecuaciones en las que están presentes dos signos de inecuación.

Ejemplo 1.3.1 Resolver la inecuación .

Solución. Despejaremos la incógnita en el miembro central de la inecuación. Con este fin

sumamos -4 a cada término.

A continuación, para completar e despeje de , multiplicamos los tres miembros por el

número real positivo :

Despejada la incógnita en la parte central de la doble inecuación, podemos decir cual es la

solución.

Así la solución de la inecuación es .

Observación.

El procedimiento seguido para resolver el ejemplo anterior fue posible por el hecho de que

la incógnita sólo aparecía en la parte central de la inecuación, lo que permitió su despeje

con relativa facilidad. Si este no fuera el caso, el procedimiento a seguir se muestra en el

ejemplo 1.3.2.

Ejemplo 1.3.2 Resuelva la inecuación .

Solución. Para determinar la solución se resolverán separadamente las inecuaciones

y , según el procedimiento seguido en el ejemplo 1.1.2 y

luego se intersectan (vínculo con el apéndice de TC) ambas soluciones.

Para resolver esta inecuación agruparemos los términos con de un lado de la desigualdad

y los que no dependen de la incógnita, del otro lado. Para ello sumamos a ambos

miembros y luego sumamos 1.

Para completar el despeje de la , multiplicamos la inecuación por

Es decir la solución de la inecuación es el conjunto de todos los números reales mayores

que 2, es decir el intervalo .

Ejercicios propuestos (vínculo para los ejercicios)

1.4 Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Son inecuaciones en las que intervienen polinomios de grado 2: , con

Ejemplo 1.4.1 Halle la solución de la inecuación .

Solución. Existen diversos métodos para hallar la solución de este tipo de inecuaciones,

nosotros elegimos el que describimos en los pasos mostrados a continuación.

a) Se calculan las raíces del polinomio . Esto puede hacerse por el método

de Ruffuni(vínculo para ver el método) o aplicando la fórmula resolvente

, que permite hallar las raíces de todo polinomio como el

considerado en 1.3. Si aplicamos la fórmula resolvente para hallar las raíces del

polinomio de segundo grado , recordemos lo siguiente:

La letra en la fórmula representa el coeficiente de , por lo que en nuestro caso .

La letra representa el coeficiente de la incógnita , por lo tanto en este

ejemplo. Finalmente la letra es el término independiente de la , así .

Sustituyendo estos valores en la resolvente, obtenemos

de donde tenemos que una de las raíces es

y la otra raíz es

Representamos las raíces calculadas en la recta real y con ellas la dividimos en tres

intervalos: , y como se ve en la siguiente gráfica.

Figura 1.1

b) En cada intervalo se elige un número de manera arbitraria y se evalúa la expresión

cuadrática en cada uno de estos valores, para determinar el signo de dicha expresión

en el respectivo intervalo. De esta forma, tomemos 0 del intervalo y

sustituyámoslo en . Tenemos

Obsérvese que al ser positivo el signo de la cantidad resultante, también será positivo el

signo de cualquier número obtenido mediante la evaluación de este polinomio de segundo

grado en cualquier elemento del intervalo .

A continuación evaluamos en , número perteneciente a , para obtener

Este resultado implica que la función cuadrática mantendrá constante el signo negativo en

el intervalo .

Reiterando el procedimiento para el número 5 en el intervalo , se tiene

Como en los dos intervalos precedentes, el signo positivo del número resultante indica que

se mantiene positiva en el intervalo .

Representamos los resultados obtenidos con respecto a los signos, en la gráfica siguiente

Figura 1.2

Los intervalos solución de la inecuación planteada, serán aquellos en los que la evaluación

de la expresión cuadrática dio como resultado un número positivo. Por lo tanto la solución

es . Observemos que los extremos 3 y 4 de los intervalos no forman parte

de la solución porque son las raíces de la expresión cuadrática y consecuentemente no

satisfacen la desigualdad estricta.

Otro procedimiento para hallar la solución de la desigualdad cuadrática

Dado que y son las raíces de , entonces podemos factorizar el

polinomio como sigue: . Ahora, para que se

requiere que el producto de los dos factores sea positivo, por lo que ambos factores deben

tener el mismo signo, es decir o bien .

Caso 1.

Si , entonces y , por lo que y

simultáneamente. En consecuencia , así la solución parcial dada por

este primer caso es sol1 = .

Caso 2.

Si , entonces y , de donde y

simultáneamente, lo cual quiere decir que = . Así la solución

obtenida para el caso 2 es sol2 = .

Finalmente la solución de la inecuación es la unión de las soluciones parciales 1 y 2.

SolT = sol1 sol2= .

Si en una inecuación cuadrática ninguno de los miembros es cero, se aplicarán las

propiedades de las desigualdades de forma conveniente para anular uno de sus “lados”, y

luego seguir el método descrito.

Ejemplo 1.4.2 Encuentre la solución de la inecuación .

Solución. Primeramente transformaremos en cero uno de los lados de la inecuación

empleando las propiedades adecuadas. Convertiremos en 0 el lado derecho de la

inecuación.

La inecuación resultante es similar a la resuelta en el ejemplo 1.3.1, así que podemos seguir

el procedimiento allí empleado.

a) Calculemos las raíces de . Utilizaremos con esta finalidad la resolvente

, siendo en este ejemplo y . Sustituyendo

estos valores en la fórmula, resulta

=

Así una raíz es y la otra

b) Representamos las raíces calculadas en la recta real, dividiendo con ellas a la recta

en tres intervalos , y .

Tomemos ahora cualquier número en el intervalo , por ejemplo -2. Entonces

En el intervalo elijamos 0; sustituyendo en la fórmula cuadrática obtenemos

Por último, haciendo en , tenemos

Representamos estos resultados en la recta real con la siguiente figura

Figura 1.3

En consecuencia la solución de la inecuación es , pues en este intervalo la

evaluación del polinomio arrojó como resultados números reales negativos o

cero, por lo que se satisface la inecuación .

Ejercicios propuestos (vínculo)

1.5 Inecuaciones de tipo racional con una incógnita

Son inecuaciones de forma donde

son polinomios.

Ejemplo1.5.1 Resolver

Solución. Un método para resolver esta clase de inecuaciones está definido mediante los

pasos que se describen a continuación.

i. Se determinan las raíces del numerador y del denominador de la fracción. Con este fin se

resulten las ecuaciones cuyas soluciones son

respectivamente.

ii. Se construye la gráfica que muestra los signos de la fracción sobre la recta real.

Procediendo como en el ejemplo anterior, se divide la recta real en los intervalos

. Seleccionamos un número en cada intervalo y

evaluamos (1) en cada uno de ellos para conocer el signo de expresión racional

en cada uno de los intervalos mencionados. Eligiendo -1 en y sustituyéndolo en

(1), obtenemos por lo que el signo de la expresión racional

es positivo sobre el intervalo considerado. A continuación tomemos 0 en ,

sustituimos de nuevo para obtener . Este resultado indica que (1) es negativa

en . Finalmente escogemos 1 en . Reemplazando en la fracción la

por 1, resulta . Esto dice que en el intervalo , es

positiva. Expresamos estos resultados en la siguiente gráfica:

Por lo tanto, la solución de la inecuación está constituida por el intervalo en el que la

sustitución dio como resultado un número negativo, es decir el intervalo

Algunas inecuaciones pueden parecer diferentes de los cuatro tipos especificados al

comienzo de esta sección, sin embargo pueden, mediante las adecuadas operaciones

algebraicas, transformarse en inecuaciones similares a las que hemos llamado del tipo

racional. Un ejemplo lo mostramos a continuación.

Ejemplo 1.5.2 Halle la solución de la inecuación

Solución. Para hallar la solución, en primer lugar debemos transformar la inecuación en una

equivalente que tenga la forma ; para ello sumemos -2 a sus dos miembros.

Luego

Una vez que se ha logrado expresar la inecuación inicial como uno de los tipos señalados

en el inicio de la sección, seguimos el procedimiento del ejemplo 1.4.1. Determinamos la

raíz del numerador

, luego de donde

Hallamos ahora la raíz del denominador de la fracción

, por lo que y

Con las raíces obtenidas, dividimos la recta real en tres subintervalos:

y ,98 .

Ahora estudiamos el signo de la fracción en cada uno de estos intervalos.

Tomamos 0 en el intervalo y evaluamos la fracción en él.

Este resultado quiere decir que en el intervalo considerado, la expresión racional sólo toma

valores negativos.

Seleccionemos del intervalo 98,2

1 . Sustituyendo resulta

Del resultado se tiene que la fracción sólo toma valores positivos en el intervalo .

Finalmente escojamos en el intervalo .

Al evaluar obtenemos

Estos resultados con respecto a los signos de la fracción, quedan representados en el

siguiente gráfico

Figura 1.4

Así la solución de la inecuación está dada por aquellos intervalos en los que la evaluación

de la expresión racional que interviene en la inecuación, dio como resultados números

positivos, es decir

Sol =

Vínculo para los ejercicios propuestos

2. Inecuaciones con valor absoluto

Para comenzar definamos que se entiende por el valor absoluto de un número real.

Definición 2.1. El valor absoluto de un número real se denota y se define como:

Ejemplos.

2.1.1) pues

2.1.2) pues

2.1.3)

2.1.4) porque

2.1.5) pues

2.1.6) debido a que

2.1.7) ya que

2.1.8) puesto que

Propiedades del valor absoluto

Sean y números reales.

1) para todo número real

2)

Ejemplo 2.1.9.

Si , entonces . Por otra parte , resultando

que , como lo afirma la propiedad.

3)

Ejemplo 2.1.10.

Sean 4a y , entonces 2828287.4 ab . Calculando ahora

resulta .Así se cumple la igualdad

, como debía suceder según la propiedad.

4) Si entonces

Ejemplo 2.1.11.

Si y , se tiene que . Por otro lado

. En consecuencia , tal como queríamos verificar.

5) Desigualdad Triangular: .

Ejemplo 2.1.12.

Tomemos y . Calculemos y , y comparemos los resultados.

Primeramente .

Además 20812812812 ba . En conclusión

, como lo garantizaba la desigualdad triangular.

6)

Ejemplo 2.1.13.

Sea . Entonces = y .8648 2 Luego .

7)

8) Sea . ba si y sólo si bab

Ejemplo 2.1.14.

El conjunto de números reales tales que , está integrado por aquellos números que

satisfacen la desigualdad , es decir por los elementos del intervalo abierto

9) Sea .0b si y sólo si .

Ejemplo 2.1.15.

La solución de la inecuación la constituyen los números tales que

en otras palabras, el intervalo cerrado .

10) Si 0b , tenemos que bx si y sólo si o .

La propiedad quiere decir que bx si bx , o , por lo tanto si

.

Ejemplo 2.1.16.

Según la propiedad 10, la solución de la inecuación está formada por los números

reales tales que o . Como los números menores que -9 pertenecen al

intervalo , y los mayores que 9 pertenecen al intervalo , se concluye que la

solución es .

11) Sea . Entonces si y sólo si o ; escrita con notación de

intervalo, la solución es .

A continuación se presentan algunos ejemplos de resolución de inecuaciones con valor

absoluto.

Ejemplo 2.1.17. Resolver

Solución. Lo primero que debe hacerse para resolver la inecuación es aplicar una propiedad

que sea adecuada para eliminar el valor absoluto. Con este fin emplearemos la propiedad 8.

De esta forma resulta 151 2 xx , obteniéndose una inecuación sin valor absoluto,

la cual puede resolverse utilizando los métodos desarrollados para este tipo de inecuaciones

al comienzo de la unidad.

Descomponemos la doble desigualdad en dos inecuaciones:

)i y 152 xx

51 2 xx

Sumamos 1 a ambos miembros de la inecuación

40 2 xx

Calculamos las raíces de la expresión cuadrática, es decir hallamos la solución de

042 xx ,

aacbbx

242

donde 1 ,1 ba y .

Entonces

y

Con estas raíces dividimos la recta real en tres intervalos:

2171, ,

2

171,2

171 y

,2

171.

A continuación determinaremos el signo de en cada uno de estos intervalos. Para

ello evaluemos la fórmula cuadrática en , tomado de

2171, .

2424422 2

Evaluando en 0, número perteneciente a , resulta

Por último seleccionando 3 de

,2

171, obtenemos

De esta forma se han determinado los signos de la expresión cuadrática en cada uno de los

tres intervalos considerados. Los resultados se reflejan en el siguiente gráfico

La solución de la inecuación es sol =

2171,

Resolveremos en lo que sigue la inecuación:

152 xx

El procedimiento es análogo al seguido para hallar la solución de la anterior inecuación.

11152 xx

062 xx

Aplicamos la fórmula resolvente para encontrar las raíces de la expresión cuadrática.

aacbbx

242

, donde y . Sustituyendo estos valores en la

resolvente, tenemos

1.2

6.1.411 2 x =

y

Con estas raíces dividimos la recta real en tres intervalos: y .

Luego evaluemos el polinomio en un número de cada uno de los tres intervalos

mencionados, con el objeto de determinar el signo que toma dicho polinomio en cada

intervalo.

Escojamos -3 de . Entonces

Seleccionamos 0 en . Evaluando resulta

Por último tomamos 4 en . Así

Estos resultados tienen la siguiente interpretación:

El primero implica que el polinomio cuadrático da un valor positivo no sólo al ser evaluado

en -3, sino en todos y cada uno de los números de ; similar interpretación tiene el

resultado con respecto a . Por otra parte, al ser -6 el número obtenido al sustituir x

por 0 en el polinomio de segundo grado, se concluye que el mismo sólo toma valores

negativos en el intervalo . Resumimos este análisis en el siguiente gráfico.

Figura 1.5

Como la inecuación que se está resolviendo, 062 xx ,dice que se quieren hallar

todos los números reales que al sustituirlos por x , el resultado es menor que 0, la solución

es solii = .

Finalmente como la solución de la inecuación inicial, está formada por números que

satisfacen simultáneamente las inecuaciones y , entonces ella se obtiene intersectando

(vínculo con la sección de TC), es decir determinando los elementos que tienen en común

las soluciones obtenidas de forma independiente.

SolT = soli solii=

2171,

Representemos en un mismo gráfico, ambas soluciones. La intersección será la parte en

común de las gráficas de las soluciones.

-2 3

Figura 1.6

Así SolT = .

Ejemplo 2.1.18. Resolver

Solución. Por la propiedad 11 del valor absoluto, tenemos que

si y sólo si )i o )ii

Por lo tanto para resolver la inecuación planteada debemos hallar las soluciones de )i y )ii

y luego unirlas. Ambas desigualdades se resuelven según el procedimiento empleado en los

ejemplos 1.4.1 y 1.4.2. Se deja al estudiante comprobar que la solución de la inecuación

es: soli = 917,7

9 . Observe que el extremo 79 del intervalo no se

incluye en la solución porque es raíz del denominador de la fracción y no existe la división

entre cero, mientras que el extremo mayor se incluye porque es raíz del numerador y

al sustituirlo el cociente es cero, así que para es cierta la desigualdad..

Verifique que la solución de la inecuación )ii es solii = 79,1 . Explique por qué 1 forma

parte de la solución y por qué no forma parte de ella.

Finalmente la propiedad 11 nos dice que la solución de la inecuación con valor absoluto es

está dada por la unión de las dos soluciones parciales obtenidas.

SolT = soli solii = .

Ejercicios propuestos (vínculo para acceder a los ejercicios)

3. Sistema de coordenadas cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de referencia en el plano que permite

localizar puntos en él, mediante pares ordenados de números reales.

Dicho sistema se construye a partir de dos rectas perpendiculares que se intersectan en un

punto denominado origen. Una de las rectas es horizontal y se denomina eje o eje de las

abscisas y la recta vertical es denominada eje Y o de las ordenadas. Se establece una escala

numérica a lo largo del eje X , de manera que los números reales positivos estén ubicados

a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. Similarmente se adopta una escala

numérica a lo largo del eje Y , con la cual los números positivos se encuentran encima del

origen y los negativos debajo de él.

Un punto en el plano se representará de forma única en este sistema de coordenadas

mediante un par ordenado de números reales, de la siguiente manera: dado un par ordenado

de números reales ba, , se trazan rectas paralelas a cada uno de los ejes coordenados de tal

forma que una de ellas intersecte al eje en , y la otra al eje en . El punto del plano

que se obtiene por la intersección de ambas rectas tiene coordenadas ba, .

Recíprocamente, dado un punto P en el plano, si se trazan rectas paralelas a los ejes e

que pasen por este punto, y cuyos cortes con tales ejes resulten ser y

respectivamente, el punto del plano tendrá coordenadas .

** En este lugar va un gráfico en el que se muestra como representar un punto en

el plano. Este gráfico debe realizarse con una animación de la siguiente forma: en un

cuadro en el que aparezca un sistema de coordenadas, el estudiante, activando la escena

con un control, debe ver como se trazan las líneas paralelas a los ejes por los puntos x e y,

líneas que al encontrarse determinan el punto P dado, el cual debe ser resaltado. También

debe poder observar, activando otro control, el proceso en sentido inverso, es decir: como

escogiendo al azar un punto P del plano, en el sistema de coordenadas, trazando rectas

paralelas a los ejes por este punto, se determinan sus coordenadas **

A continuación se va formando en pantalla una recta horizontal que pase por el punto

resaltado y que atraviese el eje vertical Y. Cuando en la animación la recta entre en

contacto con el eje Y, ese punto de contacto debe ser resaltado con un color.

Inmediatamente aparecerá la letra s minúscula al lado de este punto, para indicar su

coordenada en este eje. Luego se irá formando una recta vertical que pase por el punto , de

tal forma que atraviese el eje horizontal X,

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuadrantes de tal forma que los signos de

las coordenadas de los puntos que se hallan en cada uno de los cuadrantes son los que se

indican en la siguiente figura.

** En este espacio debe ir un gráfico del plano cartesiano en el los cuadrantes estén

enumerados y se indique el signo de las coordenadas de los puntos en cada cuadrante.**

Ejemplo 3.1.1. Representar los puntos dados a continuación en el sistema de

coordenadas cartesianas.

** Aquí debemos tener un cuadro con un sistema de coordenadas, con una escala

establecida. El estudiante deberá marcar en ese sistema cada una de las coordenadas de

los puntos dados. Una vez que haya hecho esto deberán ir formándose en el plano, las

rectas que determinan estos puntos, cada uno de los cuales deberá ser resaltado **

4. Fórmula de la distancia entre dos puntos

Sean 11 , yxP y puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. La

distancia entre los puntos es por definición, la longitud del segmento de

recta que une a dichos puntos, cual se calcula mediante la siguiente fórmula, obtenida a

partir del Teorema de Pitágoras, como se observa en la figura**

**Dibujo de un sistema de coordenadas en el que se representen los puntos P y Q, con sus

respectivas coordenadas en los ejes X e Y, y un triángulo rectángulo en el que el cateto

opuesto sea la diferencia de las ordenadas de los puntos dados, el cateto adyacente sea la

diferencia de las abscisas, siendo la hipotenusa .

Ejemplo 4.1. Calcular la distancia entre los puntos y .

Solución. Al sustituir las coordenadas de los puntos dados, en la fórmula de la distancia,

resulta

212

212 , yyxxQPd

716

7.1616784 49

16169

49413 7

4207 1654

7Q ,

2

22

222

Pd

5 Fórmula del punto medio de un segmento

El punto medio de un segmento de recta con extremos 11 , yxP y 22 , yxQ es el punto

2

,2

y , 2121 yyxxxM

Ejemplo 5.1. Hallar el punto medio del segmento de recta de extremos y

.

Solución.

=

=

Por lo tanto .

6. Rectas en el plano cartesiano

En esta sección estudiaremos las diferentes formas de la ecuación de la recta, el concepto

de pendiente y diferentes formas de determinarla. Para iniciar este estudio se presentan

algunos conceptos preliminares como lo son el de distancia entre dos puntos del plano

cartesiano, punto medio de un segmento de recta.

6.1 Ángulo de inclinación de una recta

El ángulo de inclinación de una recta l es el menor ángulo , , que forma la

recta con la dirección positiva del eje , medido en sentido contrario a la marcha de

las agujas del reloj.

6.2 Pendiente de una recta

Sean l una recta no paralela el eje y 11 , yxP y puntos distintos sobre

ella. El número dado por la igualdad

Se denomina pendiente de l .

Mostramos a continuación otra forma de calcular la pendiente de una recta.

Sea el ángulo de inclinación de una recta l , con 2 , entonces = tan .

La siguiente figura explica esta igualdad.

**GÁRAFICA**

6.3 Posiciones relativas de dos rectas

Teorema 6.3.1 Dos rectas de pendientes respectivamente, son paralelas

si y sólo si , es decir si sus pendientes son iguales.

**GÁFICA**

Teorema 6.3.2 Dos rectas de pendientes respectivamente, son

perpendiculares si y sólo si 1 . 21 mm o equivalentemente

.

Si una recta es paralela al eje , entonces =0 y ; si es paralela al eje entonces

y no está definida la pendiente.

Observación. Toda recta horizontal, dado que , tiene por ecuación donde b,0

es el punto de corte con el eje Y. Por otra parte toda recta vertical está dada por la ecuación

siendo x = a, donde (a, 0) es el punto de corte con el eje X.

Ejemplo 6.3.1. Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los

puntos .

Solución. La pendiente de la recta que pasa por los puntos dados, es

313

7803

m

Como vimos, si es el ángulo de inclinación de la recta, entonces tan = , en

consecuencia .

La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así: Si = 0o entonces m= 0

**GRÁFICA DE UNA RECTA HORIZONTAL**

Si 0o < < 90o entonces m > 0 y su gráfica es ascendente

**GRÁFICA DE UNA RECTA CRECIENTE**

Si 90º < < 180o entonces m < 0 y su gráfica es descendente

**GRÁFICA DE UNA RECTA DECRECIENTE**

6.4 Formas de la ecuación de la recta

Si bien por dos puntos del plano pasa una única recta, ésta puede representarse mediante

ecuaciones en apariencia diferentes. Veamos cuáles son estas ecuaciones.

6.4.1 Ecuación punto-pendiente

Si una recta pasa por el punto y tiene pendiente , entonces su ecuación tiene la

forma

Ejemplo 6.4.1.1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2,411. P y cuyo

ángulo de inclinación es .

Solución. Para formar la ecuación 4.4.1 se requiere conocer la pendiente y las coordenadas

de un punto que pertenezca a la recta. Ahora bien, conocido el ángulo de inclinación, se

puede determinar la pendiente de la recta calculando la tangente de este ángulo. Así

. Por lo tanto la ecuación de la recta es

Multiplicando ambos lados de la igualdad por 12, resulta

311342412

12311

3312212

xy

xy

Igualando la ecuación a cero, tenemos

6.4.2. Ecuación pendiente-ordenada en el origen

Si una recta de pendiente corta al eje de las ordenadas en el punto de coordenadas b,0 ,

tiene por ecuación

Esta ecuación puede deducirse sustituyendo el punto de coordenadas b,0 en la ecuación

punto-pendiente 4.4.1.

Ejemplo 6.4.2.1. Determinar la ecuación de la recta cuyo punto de corte con el eje es

y de pendiente -3.

Solución. Como y la ordenada en el origen de la recta es , su ecuación será

, es decir . Rescribiendo la ecuación resulta .

6.4.3. Ecuación simétrica de la recta

La recta cuya intersección con los ejes X e Y, son los puntos , con

, tiene por ecuación

Ejemplo 6.4.3.1. Hallar la ecuación de la recta que corta al eje X en el punto y al eje

Y en el punto .

Solución. Los puntos de corte de la recta con los ejes X e Y, nos indican que

, luego su ecuación es 147

yx

, de donde . Multiplicando

ambos lados de la igualdad por 28, se obtiene , resultando .

Finalmente la ecuación buscada es .

6.4.4. Ecuación general de la recta

La ecuación

0 CByAx

donde son constantes, con no simultáneamente iguales a cero, se

denomina ecuación general de la recta.

Cabe destacar que las ecuaciones finales en cada uno de los ejemplos anteriores, tienen

esta forma.

Note que en la ecuación general, si , la ordenada del punto de corte con el eje Y es

00. CByA

0CBy

CBy

de donde

,

si 0B .

Si , haciendo se obtiene la abscisa del punto de corte de la recta con el eje X.

Por otra parte para determinar la pendiente de la recta a partir de la ecuación general, de

ésta se despeja , para obtener la ecuación pendiente-ordenada en el origen. En esta

ecuación el coeficiente de es precisamente la pendiente de dicha recta. Veámoslo.

0 CByAx

Entonces la pendiente es , si .

Ejemplo 6.4.4.1. Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto 5,4 y es paralela a

la recta que pasa por los puntos 1,1 y .

Solución. Sea R la recta que pasa por el punto y cuya ecuación se quiera

determinar. Como R es paralela a la recta L que contiene los puntos y , las

pendientes de R y L son iguales. Sean la pendiente de R y la de L, entonces

.

Sustituyendo este valor en la ecuación punto- pendiente, tenemos

41015 xy

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por 10 para eliminar el denominador, resulta

45010 xy

Así la ecuación pedida es

Ejemplo 6.4.4.2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto

21,3 y es

perpendicular a la recta .

Solución. Sea R recta que pasa por el punto y cuya ecuación queremos hallar. Sean

la pendiente de R y la de la recta dada. Como las rectas son perpendiculares, sus

pendientes satisfacen la relación m

mR1

, por lo que debemos calcular para obtener

. Con este fin, recordemos que cuando se introdujo la ecuación general de la recta

, vimos que la pendiente estaba dada por . Dado que en este ejemplo

, entonces . Consecuentemente = 2. Luego la

ecuación de la recta buscada es

Multiplicando por 2 ambos lados de la ecuación

Por lo que la ecuación de la recta es


7. La circunferencia

En esta sección estudiaremos el concepto de circunferencia y sus ecuaciones canónica y

general. Se considerarán las posiciones relativas entre una circunferencia y ciertas rectas y

se propondrán problemas que contemplen en este contexto.

Definición 7.1. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo del mismo. Este punto fijo, denotado por , se denomina

centro de la circunferencia. La distancia constante , se llama radio.

Elementos de la circunferencia (Tomado de Wikipedia) Existen varias rectas y puntos

especiales en la circunferencia. Un segmento que une dos puntos de la circunferencia se

llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les

llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro

con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.

Una línea que atraviesa la circunferencia, cortándolo en dos puntos, se llama secante, mientras que una línea que toca a la circunferencia en un sólo punto se denomina tangente. El punto de contacto de la tangente con la circunferencia se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Secantes, cuerdas y tangentes.

7.1. Ecuaciones de la circunferencia

7.1.1 Ecuación ordinaria o canónica.

La circunferencia de centro el punto y de radio , tiene por ecuación

Esta ecuación se obtiene como resultado de la aplicación de la fórmula que permite

calcular la distancia entre dos puntos del plano.

**GRÁFICA**

Ejemplo 7.1.1.1. Hallar la ecuación de la circunferencia que contiene el punto

y cuyo centro es el punto .

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_tangencia&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Secante

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_del_circulo.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_del_circulo.svg

Solución. Conociendo el centro de la circunferencia y un punto de ella, se puede

determinar el radio , sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación

canónica.

Entonces .

La ecuación de la circunferencia es

Ejemplo 7.1.1.2 Hallar la ecuación de la circunferencia en la que una de las cuerdas

que contiene el centro, tiene por extremos los puntos y .

Solución. Como la cuerda contiene el centro de la circunferencia, éste coincide con el

punto medio de la cuerda. Por lo tanto las coordenadas del centro son las siguientes

Halladas las coordenadas del centro de la circunferencia, podemos calcular el radio

como se hizo en el ejemplo 5.1.1.1, para ello podemos utilizar cualquiera de los dos

puntos dados

Podemos dar la ecuación canónica de la circunferencia

7.1.2. Ecuación general de la circunferencia

La expresión

donde , representa una circunferencia si , y se denomina

ecuación general de la circunferencia. Dado que , dividiendo la ecuación entre esta

cantidad, se obtiene la ecuación equivalente .

A partir de esta última ecuación podemos calcular las coordenadas del centro están

representadas por y el radio está dado por .

Observe que al desarrollar los productos notables en la ecuación canónica se obtiene las

expresiones anteriores.

Ejemplo 7.1.2.1. Reducir la siguiente ecuación a la forma ordinaria de la

circunferencia. Determinar su centro y su radio.

Solución. Para llevar la ecuación a la forma ordinaria se siguen los pasos indicados a

continuación.

a) Si los coeficientes de e son diferentes de 1 e iguales, se divide cada término

de la ecuación dada por tal coeficiente2. En este caso dividimos cada término de la

ecuación entre 2 y se obtiene

b) Se ubica el término constante en el lado derecho de la ecuación. Para ello se debe

sumar a ambos lados de la ecuación . De esta operación resulta la ecuación

equivalente siguiente, agrupando los términos que dependen de la misma variable

c) Completación de cuadrados. Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de , y

el cuadrado de la mitad del coeficiente de en ambos lados de la ecuación obtenida

en el paso anterior. Esto da

d) Rescribir los polinomios en cada paréntesis usando la factorización por trinomio

cuadrado perfecto, con lo que se obtiene

De donde podemos decir que la ecuación dada representa una circunferencia cuyo

centro es el punto y su radio es 4.

En la dirección

http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/circunferencia/inicio_circunferencia.htm

encontrará ejercicios que complementan los temas discutidos en esta sección, por lo que

sugerimos su consulta.


UNIDAD II

Objetivos

Definir con precisión el concepto de función

Hallar el dominio y el rango de una función y construir su gráfica

Identificar los diferentes tipos de funciones

Efectuar correctamente la suma, resta, multiplicación, división y composición de

Funciones, precisando sus respectivos dominios.

Determinar si una función es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, par o impar.

Hallar la función inversa

1. FUNCIONES

En esta unidad se establece uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas

como lo es el de función. Nos enfocaremos exclusivamente en las funciones reales de

http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/circunferencia/inicio_circunferencia.htm

una variable real, aunque la definición se dará en su sentido más amplio. Se estudia el

dominio, rango y gráfica de una función. Las operaciones básicas con funciones son

abordadas: suma, diferencia, producto, división, composición, cálculo de la función

inversa. Algunas clases especiales de funciones son consideradas.

Definición 1.1. Dados dos conjuntos , una función definida en con valores

en , es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento del conjunto , un único

elemento del conjunto , el cual se denomina imagen de , hecho que simbólicamente

representaremos por . Denotaremos a la función así definida por .

El conjunto se denomina dominio de y se denotará por

El conjunto se llama conjunto de llegada de la función.

El conjunto , o sea el conjunto de todas las

imágenes de la función, de denomina rango, imagen o recorrido de . Se denota por .

**EN ESTE ESPACIO DIBUJAR DOS DIAGRAMAS VENN: UNO QUE NO DEFINA

UNA FUNCIÓN Y EL OTRO SI**

A se le llama variable independiente y a se le llamará variable dependiente.

Si son conjuntos de números reales, se dice que es una función real de una

variable real. Nuestro estudio se dedicará a este tipo de funciones.

Si una función real de una variable real está definida mediante una fórmula, su dominio

será, a menos que se especifique otra cosa, el más grande conjunto de números reales para

los que la fórmula tenga sentido.

1.1 Cálculo del dominio de una función.

Ejemplo 1.1.1 La función real , está definida solamente si . Use este hecho

para hallar el dominio de .

Solución. La sugerencia del ejercicio nos dice que el dominio de está constituido por todos

aquellos número reales para los que la cantidad subradical es no negativa, es decir

Luego, para determinar el dominio debemos resolver la inecuación

Según las propiedades del valor absoluto, la solución de esta inecuación es el conjunto de

tales que , es decir el intervalo .

Entonces .

Ejemplo 1.1.2. Determinar el dominio de .

Solución. Dado que no existe la división entre cero, el dominio de es

Pero . Por lo tanto \ .

Ejemplo 1.1.3. Hallar el dominio de la función .

Solución. Combinando los argumentos de los anteriores ejemplos, tenemos que

Luego

Por lo tanto el dominio de la función dada es .

1.2 Rango de una función.

Ejemplo 1.2.1. Determinar el rango de la función .

Solución. Primeramente observemos que el dominio de es \ . Por otra parte, sea

, entonces existe tal que , es decir

Despejando de esta ecuación en función de tenemos

Como para ningún valor de la última fracción puede valer cero, entonces el rango lo

conforman aquellos números reales para los que el cociente esté definido, es decir el

rango de es

\

Ejemplo 1.2.2 Hallar el rango de la función .

Solución. Comencemos hallando el dominio de la función. Como el denominador de la

fracción debe ser diferente de cero, tendremos

\ .

Sea , entonces existe tal que , es decir

A continuación despejamos en términos de para obtener

Consecuentemente

El rango es entonces

\ .

1.3 Gráfico de una función. El gráfico de una función está conformado por todos los pares

ordenados , donde pertenece al dominio de . El gráfico de una función real de

una variable real, puede ser representado en el plano cartesiano, representando en él cada

uno de los pares ordenados de números reales .

**A continuación se muestran los gráficos de las funciones

**

Cortes con los ejes coordenados.

Si el 0 está en el dominio de y , entonces el punto es la intersección de el

gráfico de con el eje . Si para algún en el dominio de se tiene que , el punto

se denomina intersección del gráfico de con el eje .

Para construir la representación gráfica de una función hallaremos el dominio de la función,

construiremos una tabla de valores y, cuando sea posible, determinaremos loas puntos de

corte con los ejes coordenados.

Ejemplo 1.3.1 Construir el gráfico de la función .

Solución. Para graficar la función dada seguiremos los pasos que se muestran a

continuación.

El dominio de la función es el conjunto de los números reales .

Punto de corte con el eje Y

Para hallar este punto se considera y se calcula su imagen: , por lo

tanto es el puno de corte del gráfico de , con el eje

.

Puntos de corte con el eje X

Estos puntos se obtienen haciendo , por lo que , de donde . Como esta

ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, el gráfico de la función no

tiene puntos de intersección con el eje X.

Tabla de valores

x (x,y)

-2 5

-1 2

1 2

2 5

Seguidamente representaremos en el plano cartesiano los puntos obtenidos del gráfico de

, incluyendo el punto de corte con el eje Y : .

** En este punto se dibuja el sistema de coordenadas cartesianas, representando en él los

puntos obtenidos en la tabla **

La distribución de los puntos en la figura anterior, define un patrón que permite completar

el gráfico de la función dada.

** Aquí se dibuja la gráfica completa de la función **

Ejemplo 1.3.2. Graficar la función .

Solución. Como el índice de la raíz es par, para que la función esté definida en , la

cantidad subradical no puede ser negativa, por lo que el dominio de la función está dado

por aquellos números reales que satisfagan la inecuación cuadrática . Resolviendo

la inecuación, se obtiene .

Punto de corte con el eje Y

Como 0 no está en el dominio de la función, su gráfico no posee punto de corte con el eje Y.

Puntos de corte con el eje X

Como se mostró en el ejemplo 1.3.1, para hallar estos puntos igualamos a cero, y

despejamos . Entonces

Las soluciones de esta ecuación son y . Por lo tanto los puntos de corte con el

eje X, son y .

Tabla de valores

Ubicando estos puntos en el plano cartesiano resulta la siguiente gráfica.

** GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**

**Para otros ejemplos se establecerá un vínculo con la página:

http://descartes.cnice.mecd.es/index.htm

Tipos de Funciones

Funciones Algebraicas y Funciones Trascendentes.

Funciones algebraicas. Son aquellas que pueden expresarse mediante un número finito de

sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces de potencias de la variable independiente

.

Las funciones que no son algebraicas se denominan trascendentes.

Las funciones algebraicas y las trascendentes conforman el conjunto de las funciones

elementales.

En la siguiente dirección podrá encontrar un estudio completo de las funciones

trigonométricas, que el cursante de esta materia debe consultar y resolver los problemas allí

planteados.

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id19.htm

x

-3 228

-2 3,2

-1 0

1 0

2

3 228

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id19.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/index.htm

La página http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad2.html es de consulta

obligatoria para este curso. En ella se desarrolla el tema de las funciones logarítmicas y

exponenciales, con ejercicios propuestos. Estos temas también pueden ser estudiados en las

páginas que se mencionan a continuación.

En la página web señalada a continuación se encuentra el desarrollo del tema de la

función logarítmica, acorde con los contenidos programáticos de esta asignatura. El

estudiante debe estudiar este contenido y resolver los ejercicios allí sugeridos.

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funcion_logarimica/Indice_funcion_log.htm

En la página web señalada a continuación se encuentra el desarrollo del tema de la

función exponencial, acorde con los contenidos programáticos de esta asignatura. El

estudiante debe estudiar este contenido y resolver los ejercicios allí sugeridos.

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/

Indice_funcion_exponencial.htm

En la dirección que sigue usted encontrará una interesante aplicación de las funciones

logarítmicas y exponenciales, en la que se muestran algunos procedimientos para resolver

ecuaciones que involucran este tipo de funciones. Usted debe analizar lo que allí se expone

y realizar los ejercicios propuestos.

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/

Indice_ecuaciones.htm

Funciones polinómicas. Son funciones de la forma ,

donde es un número entero no negativo, y son constantes. Si el

entero se denomina grado del polinomio.

Evidentemente el dominio de cualquier función polinómica es el conjunto de los números

reales .

i) Si el grado es cero, entonces es una función constante, de rango el conjunto

y cuyo gráfico es una recta horizontal:

**GRÁFICA DE LAFUNCIÓN**

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Indice_ecuaciones.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Indice_ecuaciones.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/Indice_funcion_exponencial.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/Indice_funcion_exponencial.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funcion_logarimica/Indice_funcion_log.htm

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad2.html

ii) Si el grado es 1, entonces y, de acuerdo con o estudiado en la sección , su

representación gráfica es una recta y la función se denomina afín, la cual corta al eje Y en

y al eje X en . El rango de este tipo de funciones es .

**GRÁFICA EN UN MISMO SISTEMA DE COORDENADAS DE UNA FUNCIÓN

AFÍN CON PENDIENTE POSITIVA Y OTRA CON PENDIENTE NEGATIVA**

iii) Si el grado es 2, la función toma la forma y se dice que es una

función cuadrática, siendo su gráfica la de una parábola. En caso de que la parábola

intersecte al eje X, las abscisas de los puntos de corte están dadas por la fórmula

(1). Para determinar su rango es útil conocer las coordenadas del

vértice de la parábola, las cuales pueden calcularse por completación de cuadrados.

Haciendo esto último se logra rescribir la función cuadrática de la siguiente manera

, donde y . Los valores de obtenidos a

partir de la completación de cuadrados corresponden respectivamente a la abscisa y

ordenada del vértice de la parábola.

Representación gráfica de las funciones cuadráticas.

Sean y las raíces de , obtenidas a partir de la fórmula (1), y

, su discriminante.

Las gráficas de las funciones cuadráticas, dependiendo del signo de y del valor de ,

son las siguientes:

a) Supongamos que

Bajo esta condición la gráfica de la parábola abre hacia arriba, y se tienen tres casos de

acuerdo con el valor del discriminante .

Primer caso.

Si >0, de la fórmula se obtienen dos valores reales, que

representan los puntos de corte de la parábola con el eje . En este caso la gráfica de la

función cuadrática es la siguiente.

**GRÁFICA**

Segundo caso.

Si =0, la fórmula resolvente produce un único número real, este es ,

indicando a la vez el único punto de corte de la gráfica con el eje . Mostramos la

gráfica a continuación.

**GRÁFICA**

Tercer caso.

Por último, si <0, la fórmula resolvente no tiene raíces reales, por lo que la gráfica de

la parábola abre hacia arriba y no tiene puntos de contacto con el eje , resultando su

gráfica la mostrada en la figura dad a continuación.

**GRÁFICA**

b) Si , la gráfica es una parábola que abre en la dirección negativa del eje . Un

análisis análogo al realizado en el apartado , muestra que sólo hay tres posibles

gráficas con esta condición. Éstas son:

**GRÁFICA**

** SE DIBUJAN DE NUEVO TRES PARÁBOLAS: UNA QUE REPRESENTE EL

CASO EN EL QUE <0, OTRA EN EL QUE =0 Y LA ÚLTIMA EN QUE >0**

Funciones radicales

Una función radical es de la fo2rma , donde

y es un número entero positivo. Si es impar el

dominio de es . Por otra parte, si es par, el dominio de lo conforman los

tales que .

Funciones racionales

Una función racional es una función de la forma , donde y son

funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones está constituido por los

números reales tales que .

Funciones definidas a trozos.

Una función de la forma

donde son funciones reales, se denomina función a trozos.

El dominio de es claramente la unión de los conjuntos de números reales , en los

que están definidas cada una de las funciones , con . Es decir .

Naturalmente el rango de es la unión de los rangos de cada una de las funciones ,

con . Simbólicamente .

Ejemplo 1.5.1.3

Sea

Hallar:

a) El dominio de

b) El gráfico de

c) El rango de

Solución.

a) Como afirmamos en la definición de función a trozos, el dominio de esta función es

la unión (vínculo con el apéndice de TC) de los intervalos en los que son válidas

cada una de las funciones cada una de las fórmulas mediante las que se define .

Es decir .

b) El gráfico de se construye por intervalos. En el intervalo se dibuja la

parte del gráfico de la recta correspondiente a este intervalo, para lo cual se

construye la siguiente tabla.

Tabla de valores

** SE DIBUJA EN EL SISTEMA DE COORDENADAS SOLO LA PARTE DE

LA RECTA Y=X+2, QUE CORREPONDE AL INTERVALO **

A continuación de la semi-recta dibujada en el intervalo , se traza el

gráfico de la función cuadrática en su parte correspondiente al intervalo ,

como se ve a continuación

Tabla de valores

** SE DIBUJA EN EL SISTEMA DE COORDENADAS, QUE YA CONTENÍA

LA SEMIRECTA, LA PARTE DE LA PARÁBOLA Y=X2, QUE CORREPONDE

AL INTERVALO **

Finalmente, para completar el gráfico de la función a trozos a partir de los dos

tramos culminados hasta ahora, se dibuja en el intervalo la recta horizontal

de ecuación .

**GRÁFICA CON LOS DOS TRAMOS DIBUJADOS, AGREGÁNDOLE

AHORA LA SIMI RECTA HORIZONTAL Y=4 EN EL INTERVALO **

c) El rango de , según la definición dada, es .

-2 0

0,99 2,99

1 1

2 4

Ejemplo 1.5.1.4

Sea

Hallar:

a) El dominio de

b) El gráfico de

c) El rango de

a) El dominio de es

b) Como en el anterior ejemplo, el gráfico será construido por intervalos. En el

intervalo se dibuja la parte del gráfico de correspondiente a este

intervalo. Con esta finalidad construyamos una tabla de valores.

Tabla de valores

**GRÁFICO SÓLO CON LA PARTE DE

Y=X3 QUE CORRESPONDE A ESTE INTERVALO**

A continuación del segmento de curva dibujado en el intervalo , se traza el

gráfico de la función cuadrática en su parte correspondiente al intervalo .

Tabla de valores

-2 -8

-1 -1

- 21

0 0

** GRÁFICO CON LOS SEGMENTOS DE LAS CURVAS Y=X3 Y Y=X2 EN LOS

INTERVALOS Y RESPECTIVAMENTE.**

Por último, el gráfico de la función a trozos se completa agregándole al dibujo del

gráfico anterior, el de la recta en el intervalo .

Recuerde que para graficar una recta es suficiente con conocer dos puntos de ella.

Tabla de valores

c) Como puede deducirse de el gráfico de , el rango de la restricción de la función

al intervalo , es ; el recorrido de la restricción de al

intervalo , es el intervalo , y el de en el intervalo es .

Así la unión de estos recorridos es el recorrido completo de , esto es

= .

Álgebra de Funciones.

A continuación enfocaremos nuestra atención en las operaciones de suma, resta,

multiplicación y composición de funciones.

Sean dos funciones reales de una variable real con dominios

respectivamente. Se definen las siguientes nuevas funciones, con dominios

:

1 1

2 4

5 5

6 6

de la siguiente manera.

a)

Ejemplo 1.6.1 Sean . Hallar con su dominio.

Solución. En primer lugar observe que \ , luego

( \ ) ( \ )= \ .

Por otra parte, como , tenemos .

b)

Ejemplo 1.6.2 Si , calcular y su dominio.

Solución.

Primeramente determinemos los dominios de las funciones dadas.

\ y \ . Por lo tanto ( \ ) ( \ )= \

. Además .

c)

Ejemplo 1.6.3 Sean , hallar

y su dominio.

Solución. , luego . Sobre este dominio definimos

= .

y por último

d) , con dominio \

Ejemplo 1.6.4 Dadas y . Calcular con su dominio.

Solución.

Como sabemos \ . Así para calcular el dominio de la función

cociente, debemos calcular primero los dominios de las funciones .

\ y \ . Por lo

que ( \ ) ( \ )=. \ . Además como para todo ,

entonces = , en consecuencia ( \ )\ = \ .

Conociendo , hallamos

= = .

A continuación se definirá una operación fundamental entre funciones, denominada

composición de funciones.

1.7 Composición de funciones

Sean funciones. La función definida por se denomina función

compuesta de con . El dominio de está conformado por el conjunto de todos los

elementos en el dominio de , tales que pertenezca al dominio de , en símbolos:

.

**EN ESTE LUGAR SE HACE UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES, MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN**

Ejemplo 1.7.1 Sean y . Hallar con sus

respectivos dominios.

Solución.

Analicemos en primer lugar

a) Determinemos los dominios de las funciones .

\ .

.

b) El dominio de está constituido por los en el dominio de , es decir los ,

tales que sus imágenes pertenecen al dominio de , en otras palabras

y . Dado que , restaría determinar para que

valor de es . Con este fin observe que , de donde

, en consecuencia , así , por lo tanto

y .

Como y , se concluye que

\ .

Por otro lado, se tiene

=

Estudiemos a continuación

Como ya hemos determinado los dominios de las funciones dadas, pasemos a calcular el de

la función compuesta. Según la definición, el domino de está conformado por los

números reales en el dominio de la función , es decir los , tales que sus

imágenes pertenecen al dominio de , esto es . Empleando los

métodos vistos en la Unidad I, para resolver inecuaciones del tipo cociente, se obtiene la

solución de la aquí planteada, esta es: . Dado que -2 y 2 no pertenecen a

dicha solución, se tiene que .

Hallemos ahora la fórmula para .

= =

De esta forma .

La página http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/7.3.html complemente apropiadamente

el contenido sobre composición de funciones aquí desarrollado, por lo que el estudiante

debe consultarla y realizar las actividades allí propuestas.

Ejercicio propuesto.

Sean Hallar , con sus respectivos dominios.

1.8 Funciones inyectivas

Definición 1.8.1 Sea Se dice que es una función inyectiva si para todo par de

elementos en el dominio de , con se tiene que . La

definición dada es equivalente a afirmar que si y sólo si . Que una

función sea inyectiva quiere decir que TODOS los elementos del dominio tienen imágenes

diferentes.

Gráficamente puede determinarse que una función es inyectiva, si al trazar cualquier recta

paralela al eje X, ésta corta a la curva a lo sumo en un punto.

**GRÁFICAS CON Y=X3 Y CON Y= X2 PARA MOSTRAR EL CRITERIO**

Ejemplo 1.8.1 Demostrar que la función es inyectiva.

Demostración.

Para probar esto, supongamos que . Si comprobamos a partir de esta

suposición que , habremos demostrado la inyectividad de la función.

Entonces

Luego

Por lo tanto

Consecuentemente es inyectiva.

Ejemplo 1.8.2 Determinar si la función es inyectiva.

Demostración.

Supongamos que

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/7.3.html

Por lo tanto es una función inyectiva.

Ejemplo 1.8. 3 Determinar si la función es inyectiva.

Respuesta.

Obviamente el dominio de es el conjunto de los números reales. Evaluando en -1 y

en 1, resulta

y

Entonces tenemos que pero , es decir encontramos dos elementos

diferentes en el dominio de la función que tienen la misma imagen, por lo tanto la función

no es inyectiva.

** EN ESTE PUNTO HACER LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN, TRAZANDO

ADEMÁS UNA RECTA HORIZONTAL QUE CORTE AL EJE Y EN 2, SEÑALANDO

LOS PUNTOS DE CORTE DE LA RECTA CON LA CURVA Y LAS ABSCISAS DE

LOS MISMOS**

1.9 Funciones sobreyectivas.

Definición 1.9.1 Sea Se dice que es una función es sobreyectiva, si para todo

existe tal que . En otras palabras una función es sobreyectiva si su

rango coincide con , es decir si .

Gráficamente puede comprobarse que una función es sobreyectiva viendo

que toda recta horizontal corta al gráfico de la función en al menos un punto.

**GRÁFICAS DE Y=X3, Y=X, Y=X2 CON RECTAS HORIZONTALEZ TRAZADAS A

DIFERENTES ALTURAS DEL EJE Y**

1.10 Funciones biyectivas

Definición 1.10.1 Sea Se dice que es una función es biyectiva, si es inyectiva y

sobreyectiva a la vez.

Son ejemplos de funciones biyectivas, las funciones afines , con , es decir

las funciones afines cuyas gráficas no son rectas horizontales, , .

1.11 Función inversa

Definición 1.11.1 Sea una función inyectiva. Definamos una nueva función

(del rango de en su dominio), mediante la siguiente relación: para cada

, si y sólo si . Denominaremos a la función así definida función

inversa de .

Es importante resaltar que esta relación es una función gracias a que es inyectiva.

**EN ESTE PUNTO DEBE IR UNA FUNCIÓN INYECTIVA DEFINIDA MEDIANTE

DIAGRAMAS DE VENN Y SU FUNCIÓN INVERSA DEFINIDA DE IGUAL FORMA.

LUEGO, ACTIVANDO ALGÚN CONTROL, SE LE OFRECERÁN AL ESTUDIANTE

OTRAS OPCIONES PARA QUE RESPONDA (EN EL CUADRO) SOBRE LA

INYECTIVIDAD DE LAS MISMAS**

Es claro de la definición que la función inversa , posee las propiedades:

a) para todo

b) para todo

Ejemplo 1.11.1

En caso de ser posible hallar la inversa de la función .

Solución.

a) Probemos que es inyectiva

Por lo que es inyectiva

b) Calculemos la función inversa

Sea , entonces existe tal que . A partir de esta ecuación se

despejará en términos de para obtener la fórmula de la función inversa, es decir

Entonces . Cambiando la variable por , obtenemos

Ejemplo 1.11.2 Hallar de ser posible la función inversa de

Solución.

a) Probemos que la función es inyectiva

De esta forma probamos que es inyectiva.

b) Hallemos la función inversa

Sea , entonces existe tal que . A partir de esta ecuación se

despejará en términos de para obtener la fórmula de la función inversa.

3x

Entonces . Cambiando la variable por , obtenemos

.

El gráfico de la función inversa se obtiene a partir del de la función , reflejando

este último con respecto a la recta como si se tratara de un espejo. Es decir son

gráficos simétrico con respecto a la recta mencionada.

** FIGURA EN LA QUE SE REPRESENTAN EN UN MISMO SISTEMA DE

COORDENADAS LA GRÁRICA DE LA FUNCIÓN F(X) Y LA DE SU INVERSA,

SIMÉTRICAS CON RESPECT A LA RECTA Y=X**

1.12 Funciones pares e impares

Sea una función tal que si está en su dominio, también - lo está.

Definición 1.12.1

Una función se dice que es par si para todo

El gráfico de una función par es simétrico con respecto al eje Y. Como , el

punto estará en la gráfica si y sólo si el punto lo está.

Ejemplo 1.12.1

Determinar si la función es par.

Respuesta.

. Por lo tanto es par.

** GÁFICA DE LA FUNCIÓN**

Definición 1.12.2

Una función se dice que es impar si para todo

El gráfico de una función impar es simétrico con respecto al origen del sistema de

coordenadas, pues al ser , el punto estará en la gráfica si y sólo si el

punto lo está.

Ejemplo 1.12.1

Determinar si la función es impar.

Respuesta.

, en consecuencia es impar.


Ejemplo 1.12.3

Determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos.

Respuesta.

, por lo que no es par. Además

, consecuentemente no es impar.


UNIDAD III

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

En esta unidad estudiaremos el concepto de límite de una función real de una variable real,

en un punto, sus propiedades, diversas técnicas para su cálculo, algunos tipos de

indeterminaciones, límites en el infinito y, por último el concepto de continuidad.

Objetivos

Afianzar el concepto de límite como un proceso de aproximación

Calcular los límites laterales de una función en un punto

Resolver los diferentes tipos de indeterminaciones utilizando los procedimientos

apropiados para cada caso

Estudiar los límites infinitos

Estudiar los límites al infinito

Determinar la continuidad de una función en un punto y en un conjunto

Estudiar los tipos fundamentales de discontinuidad de una función en un punto

1.Límites

Antes de formular la definición de límite de una función, estudiaremos el comportamiento

de las imágenes de una función particular, cuando los elementos de su dominio se acercan

indefinidamente a un número real dado.

Estimación del límite de una función en un punto usando tablas de valores.

A continuación construiremos tablas de valores de funciones con el fin de que, mediante

ellas, podamos reconocer la tendencia que muestran las imágenes de una función, al

evaluarla en elementos de su dominio muy cercanos a un punto dado , y así darnos una

idea intuitiva de cuál es, en caso de que exista, el límite de la función en el punto

considerado.

Ejemplo 1.1 Estudiar el comportamiento de la función para valores de

próximos a 2.

Observe que si y está suficientemente cerca de 2, entonces su imagen es un

número muy cercano a 3 y, por otra parte si y es muy próximo a 2, entonces

también se mantiene muy cerca de 3. Así basándonos en los resultados arrojados por ambas

tablas de valores, afirmamos que 3 es la tendencia que muestran las imágenes de la función

, cuando la variable independiente toma valores arbitrariamente próximos a

2. Diremos entonces que 3 es el límite de cuando tiende a 2.

** AQUÍ ES CONVENIENTE UNA VENTANA CON UN SISTEMA DE

COORDENADAS DIBUJADO CON LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN. EN EL EJE Y

DEBE ESTAR REPRESENTADO EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN QUE ES 3, Y EN EL

EJE X, DEBE ESTAR MARCADO EL NÚMERO 2. LA LETRA x DEBE ESTAR

MARACADA EN ESTE MISMO EJE, ALGUNAS UNIDADES DESPUES DEL 2. EL

ESTUDIANTE CON EL RATÓN DEBE PODER DESPLAZAR LA x HACIA EL

NÚMERO 2 Y, SIMÚLTANEAMENTE EN LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DEBEN

IR RESALTÁDOSE LOS PUNTOS DE LA GRÁFICA CORRESPONDIENTES A LOS

VALORES QUE VA TOMANDO LA x A MEDIDA QUE SE DESPLAZA SOBRES EL

3 5

5/2 4

21/10 3,2

201/100 3,02

2001/1000 3,002

1 1

3/2 2

19/10 2,8

199/100 2,98

1999/1000 2,998

EJE. AL MISMO TIEMPO EN EL EJE Y, DEBEN IR APARECEINDO LAS

IMÁGENES DE LOS VALORES DE LA VARIABLE x, PARA QUE EL ESTUDIANTE

LITERALMETE VEA QUE ESTAS IMÁGENES SE ACERCAN AL NÚMERO 3 EN EL

EJE Y. SE DEBE PROCEDER DE FORMA ANÁLOGA ACERCANDO LA x AL

NÚMERO 2 EN EL EJE X, PERO POR SU IZQUIERDA.**

Ejemplo 1.2 Estimar el límite de la función cuando tiende a 0.

Tablas de valores

Vemos que si y suficientemente cerca de 0, entonces se aproxima a 1 y si y

está muy cerca de 0, entonces también se aproxima a 1. Una vez que se ha determinado

con claridad que 1 es la tendencia que muestra la función cuando a la variable

independiente se le asignan valores alrededor de 0, arbitrariamente próximos pero

diferentes de él, diremos que 1 es el límite de la función cuando tiende a 0.

Definición de límite 1.1

Sean y . Diremos que la función tiene por límite el número real

cuando tiende al número real , si los valores se pueden aproximar a tanto como se

quiera, eligiendo suficientemente próximo a , tanto por la derecha como por la

izquierda de , pero distinto de él. Esto lo escribiremos simbólicamente

Esta notación se lee: el límite cuando tiende a de es .

-1/2 2

-1/10 1,11

- 1/100 1,01

-1/1000 1,001

-1/10000 1,0001

1/2 0,66

1/10 0,909

1/100 0,99

1/1000 0,999

1/10000 0,9999

Definición formal de límite 1.2

Sean y . Diremos que la función tiene por límite el número real

cuando tiende al número real , si y sólo si, dado existe , dependiente de , tal

que si entonces .

**GRÁFICA EN LA QUE EXPLIQUE EL SIGNIFICADO DE CADA SÍMBOLO EN LA

DEFINICIÓN DE LÍMITE**

Propiedades de los límites.

Si es una constante y y , entonces:

1.

2. Si 2.1

3.

4. , si

5. , siendo una constante

6. Si es un entero positivo,

7. Si es un entero positivo,

8. Si es una función racional y es un punto de su dominio,

. Esta propiedad afirma que para hallar el límite de una

función racional, basta con sustituir el valor de en la función, si

pertenece al dominio de ella.

Ejemplos

1.1

1.2

1.3

=

1.4

1.5

1.6

1.7

=

1.2 Límites laterales

A continuación estudiaremos el comportamiento de una función alrededor de un número

real , considerando valores en el dominio de la función que estén arbitrariamente cerca de

sólo a su derecha o sólo a su izquierda.

Definición de límite por la derecha 1.2.1

Una función se dice que tiene por límite el número real cuando tiende por la

derecha al número real , si dado existe , dependiente de , tal que si

entonces .

.Denotaremos este límite por:

**GRÁFICA CON UNA FUNCIÓN DIBUJADA SOLO PARA LOS x MAYORES QUE

a, CON ESTE NÚMERO Y CON L REPRESENTADOS EN LOS RESPECTIVOS EJES

COORDENADOS**

Definición de límite por la izquierda 1.2.2

Una función se dice que tiene por límite el número real cuando tiende por la

izquierda al número real , si dado existe , dependiente de , tal que si

entonces .

.Denotaremos este límite por:

**GRÁFICA CON UNA FUNCIÓN DIBUJADA SOLO PARA LOS x MENORES QUE

a, CON ESTE NÚMERO Y CON M REPRESENTADOS EN LOS RESPECTIVOS EJES

COORDENADOS**

La proposición que se enuncia a continuación proporciona un criterio que permite

determinar cuando existe el límite de una función en un punto.

Proposición 1.2.1 El límite de una función en un punto existe y es igual a , si y

sólo si ambos límites laterales existen y son iguales a .

Ejemplo 1.2.1 Calcule los límites laterales de la función cuando tiende a 0, y

decir si existe el límite de la función en este punto.

Solución.

Recordemos antes de calcular los límites laterales, la definición de valor absoluto de un

número real: si y si .

Luego

Luego, los límites laterales existe, pero como son diferentes, no existe el límite de la

función en 0.

**GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**

Ejemplo 1.2.2 Calcule los límites laterales de la función

cuando tiende a -3, y decir si existe el límite de la función en este punto.

Solución.

Como los límites laterales existen y son iguales a 9, entonces existe el límite de la función

en -3 y es 9, es decir


Ejemplo 1.2.3 Calcule los límites laterales de la función

cuando tiende a 4, y decir si existe el límite de la función en este punto.

Solución.

Como , entonces


1.3 Límites infinitos

Comenzaremos el estudio de los límites infinitos, analizando el comportamiento de una

función particular alrededor un punto en , con la finalidad de dar una idea intuitiva de

este concepto.

Estudiaremos el comportamiento de las imágenes de la función , cuando la

variable toma valores muy cercanos a 0. Obsérvese que 0 no pertenece al dominio de la

función.

Para hacer nuestro estudio construyamos una tabla de valores, seleccionando números en

un pequeño entorno de 0. Como entonces es una función par,

por lo que, debido a la simetría de función con respecto al eje Y, basta hacer la tabla sólo

con valores positivitos de la variable independiente .

Como puede observarse en la tabla de valores, a medida que toma valores cada vez más

cercanos a 0, tanto por la derecha como por la izquierda de 0 debido a la paridad de la

función, las respectivas imágenes aumentan indefinidamente. Esto puede observarse en la

siguiente figura.

**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**

La tendencia observada de las imágenes de la función a crecer indefinidamente

conforme se aproxima a 0, la expresaremos diciendo que “ tiende a cuando

tiende a 0”.

Este comportamiento intuitivamente nos dice que dado cualquier número real , por

más grande que éste sea, siempre existirán imágenes de la función arbitrariamente

mayores que , si se toma suficientemente próximo a 0. Esto queda expresado en la

definición dada a continuación.

Definición 1.3.1

Una función tiende a cuando tiende a un número real si para cualquier número

real , existe un tal que si entonces .

Para señalar este hecho emplearemos la notación

**GRÁFICO EN EL QUE SE EXPLIQUE LA DEFINICIÓN**

Por otra parte, si analizamos en la figura ** el comportamiento de las imágenes de la

función , cuando es muy próximo a 0, se observa que dichas imágenes de

disminuyen indefinidamente.

4

1/10 100

1/100 10000

1/1000 1000000

1/10000 100000000


Resumiremos esta situación diciendo que tiende a cuando tiende a 0.

Este comportamiento de la función entorno a un número real, nos lleva a la siguiente

definición, análoga a la 1.3.1

Definición 1.3.2

Una función tiende a cuando tiende a un número real si para cualquier número

real , existe un tal que si entonces .

Para señalar este hecho emplearemos la notación

**GRÁFICO EN EL QUE SE EXPLIQUE LA DEFINICIÓN**

Observación. Cuando se habla de límite infinito se está incurriendo en un abuso de

lenguaje, pues y no son números reales y, como lo hemos afirmado

reiteradamente, los límites de las funciones reales si lo son. Entonces los símbolos

y , no significan que existe el límite de cuando tiende al

número real , sino que las imágenes de la función disminuyen o aumentan

indefinidamente, sin dirigirse a ningún número real fijo, cuando está próximo a .

Consideremos la función y su gráfico.


Analizando el comportamiento de la función alrededor de 2, debemos distinguir la

tendencia de las imágenes de la función si de la tendencia de las imágenes si .

En el primer caso, las imágenes disminuyen indefinidamente, y en el segundo caso

aumentan sin detener su crecimiento.

Las definiciones que siguen contemplan estas posibilidades.

Definición 1.3.3

Límite infinito por la derecha

Sean y . Diremos que la función tiende a cuando tiende a un

número real por la derecha, si para cualquier número real , existe un tal que si

entonces .

En símbolos escribimos

** AQUÍ DEBE HABER UN GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CON UNA ASÍNTOTA

VERTICAL QUE CORTE AL EJE X EN a , Y LA FUNCIÓN DEBE ESTAR DIBUJADA

SOLAMENTE A LA DERECHA DE LA ASÍNTOTA Y TENDER A +INFINITO**

Definición 1.3.4

Límite menos infinito por la derecha

Sean y . Diremos que la función tiende a cuando tiende a un

número real por la derecha, si para cualquier número real , existe un tal que si

entonces .

En este caso escribimos

** AQUÍ DEBE HABER UN GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CON UNA ASÍNTOTA

VERTICAL QUE CORTE AL EJE X EN a , Y LA FUNCIÓN DEBE ESTAR DIBUJADA

SOLAMENTE A LA DERECHA DE LA ASÍNTOTA Y TENDER A -INFINITO**

Análogamente se definen los símbolos y .

Siguiendo las definiciones dadas en esta sección, el lector deberá escribir las dos últimas

definiciones.

Según las definiciones establecidas tenemos que

y

Teorema 1.3.1 Sea un entero positivo. Entonces

a)

b)

Teorema 1.3.2

En general, si y , entonces

a)

o

b) y

Ejemplo 1.3.1

Decidir si existe y obtener su valor en caso afirmativo.

Solución.

Veamos si es posible obtener el límite por sustitución directa.

Si sustituimos en la fracción la variable por 2, obtendríamos como resultado en el

numerador 2+2 = 4, mientras que en el denominador resultaría 22-2-2 = 0. Según el teorema

1.3.2, este límite es infinito. Analicemos los límites laterales.

Para facilitar este análisis, factorizamos el polinomio del denominador.

Entonces

i)

Si , entonces , por lo tanto y por valores positivos.

Por otra parte, como , entonces >0 y , por lo tanto ,

por valores positivos, en consecuencia .

ii)

Si , entonces , por lo tanto (se puede suponer pues se quieren valores

muy cercanos a 2) y de esta forma por valores positivos.

Por otra parte, como , entonces <0 y , por lo tanto

resultando , por valores negativos, en consecuencia

.

Ejemplo 1.3.2

Estudiar

Solución.

Como y , el teorema 1.3.2, dice que este es un límite infinito.

Factoricemos el polinomio

Luego

Estudiemos los límites laterales.

i) , ya que en este caso el factor es positivo y la diferencia es

negativa porque es un número muy pequeño, menor que 1. En consecuencia

.

ii) , ya que el factor es negativo y la diferencia también es

negativa porque es un número negativo. En consecuencia .

Ejemplo 1.3.3

Estudiar

Solución.

Puesto que y , es un límite

infinito.

Factoricemos el denominador

Calculemos los límites laterales.

i)

Estudiamos el signo de cada factor en la fracción.

Como es mayor que -3 pero muy cercano a este número, es negativo. Por otra parte, al

ser , se tiene que 03 x y 02 x , consecuentemente . Así

.

ii)

Nuevamente estudiamos el signo de cada factor.

Evidentemente es negativo.

Como , entonces , de donde ; además es negativo, por lo tanto

. Se concluye que

Ejemplo 1.3.4

Determinar .

Solución.

En consecuencia este límite es del tipo infinito.

Calculemos los límites laterales.

i) , pues numerador y denominador son positivos.

ii) , porque el numerador es positivo y el denominador es negativo.

1.4 Límites al infinito

Para conocer el comportamiento de una función a medida que nos alejamos del origen, ya

sea hacia la derecha o hacia la izquierda, estudiamos los límites al infinito, es decir

determinamos el límite de una función cuando aumenta o disminuye indefinidamente.

Consideremos la función . Analicemos el comportamiento de las imágenes cuando es

positivo y aumenta indefinidamente.

Tabla de valores

Como puede observarse en la tabla de valores, a medida que aumenta, las respectivas

imágenes se hacen cada vez menores. Si continuáramos asignándole valores a la variable

independiente en forma creciente, podemos intuir debido a los resultados obtenidos, que las

imágenes continuarían reduciéndose, es decir acercándose a 0, de manera indefinida. En

otras palabras: para valores arbitrariamente grandes de , la función está cerca de 0.

Expresamos simbólicamente la situación descrita mediante

.

**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN, RESALTANDO CON ALGÚN COLOR LA PARTE

CORRESPONDIENTE AL INTERVALO ESTUDIADO**

Definición 1.4.1

Sea . Diremos que la función tiende al número real cuando tiende a

, si dado existe , dependiente de , tal que si entonces .

100 0,01

1000 0,001

10000 0,0001

100000 0,00001

1000000 0,000001


El anterior símbolo se lee “el límite de cuando tiende a , es .

Es claro en el ejemplo dado con la función , que si se consideran valores de negativos,

de magnitud arbitrariamente grande, también tenderá a 0. Entonces escribiremos en

símbolos .

Definición 1.4.2

Sea . Diremos que la función tiende al número real cuando tiende a

, si dado existe , dependiente de , tal que si entonces .


El anterior símbolo se lee “el límite de cuando tiende a , es .

**GRÁFICO REPRESENTANDO LA SITUACIÓN, INTERPRETANDO EL

SIGNIFICADO DE Y SU RELACIÓN CON **

Teorema 1.4.1

Si es un número racional positivo, entonces

Más aún, si está definida para , entonces

1.5 Límites infinitos cuando

Definición 1.5.1

Decimos que

i) , si dado existe tal que si , entonces

.

ii) , si dado existe tal que si , entonces

.

La parte a) del teorema 1.3.1 de la sección de límites infinitos sigue siendo válida si se

toma .

Proposición 1.5.1

Sea , con y . Entonces

i)

ii) Si es par, entonces

iii) Si es impar, entonces

Ejemplos 1.5.1

1) Calcular

Solución.

Es claro que si , también , por lo que tenemos una fracción cuyo

numerador es constante y el denominador es una expresión que crece indefinidamente, lo

que implica que el cociente decrece indefinidamente a 0, esto es .

2) Calcular

Solución.

Cuando tenemos que , en consecuencia

1.6 Indeterminaciones de la forma .

Sea . Si es una función tal que y , se

dice que presenta una indeterminación de la forma .

Estudiaremos algunos casos de este tipo de indeterminación.

Caso I

Sea una función racional, es decir , donde son funciones

polinómicas, que presenta una indeterminación de la forma en algún punto .

Entonces para eliminar esta indeterminación se factorizan y luego se

simplifican los factores comunes al numerador y al denominador.

Ejemplo 1.6.1 Calcular

Solución.

Verifiquemos en primer lugar que estamos en presencia de una indeterminación de la forma

. Para ello calculemos el límite con tendiendo a 0, tanto del numerado como del

denominador.

y

De esta forma se ha verificado la existencia de una indeterminación de la forma .

Para eliminar esta indeterminación se factorizan tanto el numerador como el denominador.

y

Sustituyendo en la fracción y cancelando los términos semejantes, tenemos

.


Solución.

Para comenzar comprobemos que la función presenta una indeterminación . Con este fin

calculemos:

y .

Una vez comprobada la existencia de la indeterminación, procedemos a factorizar el

numerador y el denominador de la función.

y

A continuación se sustituye la factorización en la fracción y se cancelan los factores

semejantes

.


Solución.

Como

y

,

la función presenta una indeterminación de la forma en 1.

Al igual que en los ejercicios previos, procedemos a factorizar los polinomios involucrados

en el cociente.

Se empleará el método de Ruffini para efectuar la factorización de los polinomios.

Factoricemos

AQUÍ DEBE IR EL MÉTODO DE RUFFINI, PERO NO SE COMO DIBUJAR EL

DIGRAMA EN WORD

Por lo tanto

Ahora se factoriza

NUEVAMENTE NO SE COMO USAR WORD PARA APLICAR EL MÉTODO

Por lo tanto

Así resulta

Caso II

es una función donde al menos una de la funciones o es del tipo

o o .

En este caso para eliminar la indeterminación, se racionaliza el numerador o el

denominador o ambos, dependiendo de cuál de las funciones y tiene uno de los

tipos arriba descritos. Luego se simplifica la fracción resultante de esta operación.

Ejemplo 1.6.4 Hallar en caso de que exista

Solución.

Verificamos que hay una indeterminación en 4.

y .

Racionalizaremos el numerador de la función. Para ello multiplicamos y dividimos la

fracción dada por la conjugada del numerador.


Solución.

Comprobación de la indeterminación en 2:

Una vez probado que la fracción presenta la indeterminación en 2, se procede a

racionalizar tanto el numerador como el denominador de la fracción .

Cancelando términos semejantes


Solución

Verificamos la indeterminación en 4.

Racionalizamos el numerador multiplicando y dividiendo por su conjugada.

Factorizando y simplificando, se obtiene

Caso III

Algunas indeterminaciones de la forma son el resultado de la combinación de diferentes

tipos de funciones, combinación para la cual los métodos descritos no son tan apropiados.

Parte de estas indeterminaciones pueden ser enfrentadas con un método que consiste en

sustituir la variable de la cual depende el límite a calcular, por una nueva variable de tal

forma que la expresión resultante del cambio, adquiera una apariencia más sencilla para el

cálculo.


Solución.

Este límite podría calcularse racionalizando tanto el numerador como el denominador de la

función, recurriendo al método descrito en el caso II; sin embargo esta operación podría

resultar complicada, sobre todo en lo que respecta a la racionalización del denominador.

Por lo tanto, en lugar de este procedimiento se hará un cambio de variable. El objeto de este

cambio será eliminar ambas raíces, la cuadrada y la cúbica. Para ello se sustituirá la

variable por una nueva variable , con un exponente que permita la eliminación

requerida. Con este fin sea , donde el exponente 6 es el mínimo común múltiplo de

los índices 2 y 3 de as raíces.

Una vez efectuado el cambio de variable, antes de continuar con el cálculo del límite, debe

determinarse hacia que valor tenderá la nueva variable. Obsérvese que como , se tiene

, por lo que . Ahora, si tiende a 1, también tiende a 1. Esto implica,

recordando la definición de valor absoluto, que . Por la simetría de la curva

, cualquiera de las dos posibles tendencias de puede emplearse para el cálculo del

límite planteado.

Entonces tendremos

Al llegar a este punto se nos presenta el cálculo del límite de un cociente de polinomios,

que presenta una indeterminación de la forma en 1, la cual según el caso I, se resuelve

factorizando ambos polinomios y cancelando luego los factores semejantes.

Es decir .

1.7 Indeterminaciones de la forma .

Sea . Si es una función tal que y ,

dice que presenta una indeterminación d a forma en .

Nos concentraremos en la resolución de algunos casos de esta indeterminación.

Caso I

Indeterminaciones de la forma en la que tanto el denominador como el numerador de

la función considerada, son funciones polinómicas.

Para calcular este tipo de límites se divide cada término en la fracción por la mayor

potencia de que intervenga en ella, luego se simplifica y se halla el límite.

Ejemplo 1.7.1 Hallar en caso de que exista,

Solución.

Claramente y

Habiendo comprobado la indeterminación , pasamos a calcular el límite dividiendo

cada término de la fracción por la mayor potencia de que interviene en ella, que en este

ejemplo es .


Solución.

Verifiquemos que la función estudiada presenta una indeterminación de la forma .

y

Comprobada la existencia de la indeterminación, calcularemos el límite dividiendo cada

término en la fracción entre , que es la mayor potencia de .

.


Solución.

Comprobación de la indeterminación :

y

Luego

Como el numerador de la fracción tiende a 9 y el denominador a 0, cuando tiende a

, el límite de la función es del tipo infinito. Además al verificar la indeterminación,

mostramos que el numerador toma valores positivos y el denominador negativos cuando

es muy grande, por lo que se concluye que

Los resultados de los tres ejemplos anteriores se pueden generalizar de la siguiente forma.

i) Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del

denominador, el límite de la función racional cuando tiende a infinito, es 0.

ii) Si el grado del numerador es igual al del denominador, el límite de la función

racional cuando tiende a infinito, es el cociente de los coeficientes de la mayor

potencia de en el numerador y de la mayor potencia del denominador.

iii) Si el grado de numerador es mayor que el grado del denominador, el límite de la

función racional cuando tiende a infinito, es infinito.

Caso II

En este caso consideraremos fraccione sen las que el numerador o el denominador, o

ambos, contienen radicales.

Se explicará el procedimiento mediante un ejemplo.

Ejemplo 1.7.4 Hallar

Solución.

Verificación de la indeterminación

Como , entonces claramente .

Por lo tanto la función presenta una indeterminación de la forma en el

infinito.

Para salvar la indeterminación, procederemos como se explica a continuación.

a) se tomará el exponente de la mayor potencia de del polinomio que se encuentra en

la raíz cuadrada, en nuestro ejemplo tal exponente es 2

b) El valor obtenido en a) se dividirá entre el índice de la raíz, que también es 2, por lo

tanto el cociente es 1

c) se comparan los números obtenidos en los pasos a) y b); el que resulte mayor será el

exponente de la potencia de por la que se dividirá tanto el numerador como el

denominador de la fracción. Como los resultados de los dos primeros pasos son

iguales a 1, la potencia que se empleará es .

Es decir .


Solución.

En primer lugar verificamos la existencia de la indeterminación .

Como , entonces

Evidentemente .

Por ser negativo se tiene , luego despejando resulta , por lo

tanto

Otras indeterminaciones aparte de las estudiadas y , son:

Veamos un ejemplo de una indeterminación de la forma .


Solución.

Para eliminar la indeterminación de la forma , multiplicamos y dividimos por

.

resultado debido a que .

1.8 Funciones continuas

En matemáticas el término continuidad tiene casi el mismo significado que en su uso

cotidiano. Dicho de manera informal, una función es continua en un punto , si el

gráfico de la función en no presenta interrupciones, huecos o saltos.

Definición 1.8.1 Continuidad de una función en un punto.

Se dice que una función es continua en un punto de , si satisface las condiciones

siguientes:

1) está definida en , es decir pertenece al dominio de .

2) existe

3)

En la figura ** , se muestran los gráficos de tres funciones discontinuas en un punto , por

tres razones diferentes.

**GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN QUE NO ES CONTINUA EN c PORQUE NO ESTÁ

DEFINIDA EN ESTE PUNTO, OTRO GRÁFICO EN EL QUE FALLA LA

CONTINUIDAD PORQUE NO EXISTE EL LÍMITE, Y OTRO GRÁFICO EN EL QUE

LA CONTINUIDAD FALLA PORQUE EL LÍMITE NO COINCIDE CON EL VALOR

DE LA IMAGEN EN c**

Definición 1.8.2

Una función se dice que es continua en un conjunto de números reales si es continua

en cada punto del conjunto.

Ejemplo 1.8.1 Determinar si la función es continua en 0.

Solución.

Verifiquemos las condiciones que garantizan la continuidad de la función en un punto.

1) El dominio de es porque el denominador de la función no tiene raíces

reales, por lo tanto está definida en 0.

2) Estudiemos la existencia de

3) Calculamos y como , entonces se tiene que ,

por lo tanto es continua en 0.

** GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**

Son funciones continuas en su dominio: las funciones polinómicas, las racionales, las

logarítmicas, las exponenciales, las trigonométricas y sus inversas.

Propiedades de las funciones continuas

Sean y funciones continuas en un punto , entonces:

i) es continua en

ii) es continua en

iii) es continua en , siempre que

Definición 1.8.3

Si una función no es continua en un punto, se dice que es discontinua en él.

Ejemplo 1.8.2 Sea , estudiar la continuidad de la función en

.

Solución.

Verifiquemos las tres condiciones de continuidad

1) , por lo tanto está definida en 2.

2) Para determinar si existe , estudiaremos los límites laterales en 2.

Como los límites laterales existen y ambos son iguales a 4, entonces existe el límite de la

función en 2 y se tiene .

3) Para calcular la imagen de en , debemos tomar en consideración que 2

, lo que implica que la fórmula que debe aplicarse para hallar su imagen es .

Entonces . Como vimos en la parte (2), que , tenemos la igualdad

.

En consecuencia es continua en .


Ejemplo 1.8.3 Estudiar la continuidad de la función en

.

Solución.

Verifiquemos las tres condiciones de continuidad

1) , por lo tanto está definida en 1


Los límites laterales existen pero son diferentes, entonces no existe el límite de la función

en 1, por lo que la función es discontinua en este punto.


Ejemplo 1.8.4 Estudiar la continuidad de la función

en .

Solución.

1) , por lo tanto está definida en -2.

2) Para determinar si existe , estudiaremos los límites laterales en -2.

Los límites laterales existen y son iguales a 8, entonces existe el límite de la función en -2

con .

3) El valor de la función en -2 es , según la definición de en este punto.

Como , no se cumple la tercera condición de continuidad,

consecuentemente es discontinua en .


Tipos de discontinuidad

Las discontinuidades de una función en un punto pueden agruparse bajo dos

clasificaciones: discontinuidades evitables y discontinuidades no evitables o esenciales.

a) Discontinuidades evitables.

Una función se dice que tiene una discontinuidad evitable en un punto , si el límite

de la función existe en , pero o no existe.

b) Discontinuidades no evitables o esenciales.

Una función se dice que tiene una discontinuidad no evitable o esencial en un punto ,

si el límite de la función no existe en .

En caso de que la discontinuidad de la función sea evitable, se puede redefinir la función en

, para obtener una función que sea continua en este punto. Si , la forma de

redefinir la función dada es la siguiente:

Ejemplo 1.8.5 Determinar si la función

es continua en .

Solución.

1) , entonces pertenece al dominio de .


Los límites laterales existen y son iguales a 2, entonces existe el límite de la función en 1

con .

3) El valor de la función en 1 es , según la definición de en este punto.

Como , no se cumple la tercera condición de continuidad,

consecuentemente es discontinua en . Al existir el límite en 1, la discontinuidad

es evitable, por lo tanto se redefinirá la función dada en 1, para obtener una función

que sea continua en este punto. Para efectuar la redefinición, se sustituye 4, que era la

imagen de la función original en 1, por 2 que es el valor del límite calculado.

**GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN ORIGIAL Y DE LA NUEVA

FUNCIÓN**

Ejemplo 1.8.6 Estudiar la continuidad de la función en .

Solución.

1) \ . Como -4 no está en el dominio de la función, es discontinua en este

punto.

Verificada la discontinuidad, veamos si es evitable. Para ello comprobemos que existe el

límite en -4.

Como una sola fórmula define a la función tanto a la derecha como a la izquierda de -4, no

es necesario estudiar los límites laterales, como en el caso de las funciones definidas a

trozos. Entonces calculemos .

Obsérvese que y

Por lo que la función racional presenta una indeterminación de la forma . Para eliminar

esta indeterminación factorizamos el numerador y cancelamos los factores semejantes

.

Dado que existe el límite en -4, es posible definirla en este punto para obtener otra función

que sea continua allí. Con este fin a -4 se le asigna como imagen el valor del límite, que es

-8. Así resulta

**GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN ORIGIAL Y DE LA NUEVA

FUNCIÓN**

Ejemplo 1.8.7 Estudiar la continuidad de la función

en 2.

Solución.

1) , por lo tanto la función está definida en 2

2) Calculemos, si existe, . Estudiemos los límites laterales.

Como los límites laterales son diferentes, no existe el límite de la función en 2, por lo tanto

no es continua en 2.

La discontinuidad es inevitable por no existir el límite en el punto considerado.


APÉNDICE

TEORÍA DE CONJUNTOS

Por un conjunto entendemos cualquier colección de objetos.

Son ejemplos de conjuntos:

(i) el conjunto de todos los números reales positivos(ii) el conjunto de todos los estudiantes de la Sede del Litoral de la USB(iii) el conjunto de todos los países cuyas selecciones nacionales han sido campeonas

mundiales de fútbol

Los objetos que integran un conjunto, se denominan elementos del conjunto.

Notación

Por lo general se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar sus elementos. Si es un conjunto y son sus elementos, escribimos para definir al conjunto . Esta manera de definir al conjunto, nombrando explícitamente cada uno de sus elementos, se denomina definición por extensión. Si un conjunto está definido mediante una propiedad que deben cumplir sus elementos , escribimos , donde “: “ se lee “tal que”. Esta forma de definir un conjunto se denomina definición por comprensión. Así, por ejemplo, el conjunto puede definirse por comprensión como

, siendo el conjunto de los enteros positivos.

Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos

Para señalar el hecho de que un objeto es miembro de un conjunto , se empleará la notación

Indicaremos que el objeto no es miembro de , escribiendo

Ejemplos

1.

2.

3.

Dos conjuntos y son iguales si contienen los mismos elementos, denotándose este hecho por es decir si y solamente si Esto significa que la igualdad de conjuntos no depende de cómo estén definidos los conjuntos, sino de si tienen o no los mismos elementos.

Otra importante noción es la de inclusión de conjuntos.

Sean y conjuntos. Decimos que está incluido en si y solamente si cada elemento de es elemento de , es decir, si entonces . Usaremos la notación para referirnos a esta situación y diremos que es un subconjunto de Obsérvese que todo conjunto es subconjunto de si mismo. Cualquier subconjunto de que sea diferente de , es llamado subconjunto propio de . Así, si es un subconjunto propio de , escribiremos

Ejemplos

1.

2.

3.

La relación no excluye la posibilidad de que . Si ambas relaciones se dan simultáneamente, los conjuntos tienen los mismos elementos y se dice que son iguales, lo cual se denota por . Es decir

si y solamente si y El conjunto vacío

Consideremos el conjunto , es obvio que este conjunto carece de elementos. Un conjunto como el anterior que no contiene elementos es llamado conjunto vacío, y es denotado por Observe que el conjunto es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos

1.

2.

3.

Unión e Intersección de Conjuntos

Consideremos dos conjuntos cualesquiera . Denotamos por al conjunto de todos los objetos que pertenecen simultáneamente a y a . Entonces

=

es llamado intersección de .

Ejemplos

1.

2.

3.

4.

5.

Cuando = , como en el ejemplo 3, se dice que los conjuntos son disjuntos.

Recuerde los siguientes hechos obvios acerca de la intersección de conjuntos:

i.

ii. Ley conmutativa de la intersección de conjuntos: =

iii.

iv. Si entonces =

Sean dos conjuntos cualesquiera. Se define como el conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen al conjunto y todos los que pertenecen al conjunto . El nuevo conjunto es llamado unión de .

Ejemplos

1.

2.

3.

Evidentemente se tienen los siguientes hechos sobre la unión de conjuntos:

i.

ii. Ley conmutativa de la unión de conjuntos: =

iii.

iv. Si entonces =

Otras propiedades importantes de la unión e intersección de conjuntos

i. y

ii.

iii. Leyes asociativas:

iv.

v.

vi.

vii. = si y solamente si

Diferencia y complemento

Consideremos dos conjuntos cualesquiera . Definimos como el conjunto de todos los elementos que están en y no están en B . Esto es

=

es llamado diferencia de .

Ejemplos

1.

2.

3.

4.

Nótense los siguientes hechos evidentes:

i. ii.

Llamamos conjunto universal al conjunto que contiene a todos los elementos de un espacio particular. Por ejemplo si un conjunto es el de los números racionales, el conjunto universal correspondiente es el conjunto de números reales. Si consideramos separadamente a los estudiantes de las diferentes carreras de TSU de la Sede del Litoral de la USB, el conjunto universal en este caso será la totalidad de los estudiantes de dicha sede. Si es un subconjunto del conjunto universal , se define el complemento de , denotado por , de la siguiente forma:

=

Ejemplos

1. Sea el conjunto de todos los enteros. Sean y B los conjuntos de los enteros pares y de los enteros impares, respectivamente. Entonces = B y = .

2. Sean = y B = . Entonces = B .

Producto Cartesiano

Sean y conjuntos. El producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados tales que . Entonces

=

Ejemplo

Sean y . Entonces

=

Ya que el producto cartesiano está formado por pares ordenados, se tendrá que

si y solo si

Ejercicios Propuestos

1. Expresar por extensión los siguientes conjuntos de números reales

i. iv.

ii. v.

iii. vi.

2. Para los conjuntos dados en el ejercicio 1, obsérvese que . Citar todas las relaciones de inclusión que son válidas entre los conjuntos y

3. Sean . Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qué las otras son falsas).

i. iv.

ii. v.

iii. vi.

4. Resolver el ejercicio 3 si .

5. Dado el conjunto , determinar todos los subconjuntos de .

6. Dados los cuatro conjuntos

Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qué las otras son falsas).

i. iv. vii.

ii. v. viii.

iii. vi. ix.

7. Sean y . Hallar: i.

ii.

8. Dados los conjuntos y . Hallar:

i.

ii.

9. Sean , y Hallar:

i. iv. vii.

ii. v. viii.

iii. vi. ix.

10. Considere los conjuntos , y .

Determinar .

11. Sean , y . Hallar

12. Dados los conjuntos y . Determinar: i.

ii.

Otras actividades del estudiante

Después de cada tema, el estudiante tendrá en la página web conjuntos de alrededor de 10

ejercicios que irá respondiendo en la misma página. A medida que vaya introduciendo sus

resultados, se le indicará si el ejercicio lo resolvió correctamente.

.

Matemática I

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