Relaciones Binarias

PAR ORDENADOAl conjunto formado por a y b en ese orden y denotado por (a;b), se le llama par ordenado, siendo a primera componente y b segunda componente.

Por ejemplo, si se decidiera indicar el nmero de orden de cada alumno de la clase por medio de un par ordenado tendramos:

(Carlos Alvarado, 1)(Miguel Daz, 2)(Jos Escalante, 3); etc

Dos pares ordenados son iguales, slo si sus primeras componentes son iguales y sus segundas componentes tambin, es decir:

(a;b)=(m;n) a=m b=n

PRODUCTO CARTESIANODados dos conjuntos A y B, se llama Producto Cartesiano AxB al conjunto de todos los pares ordenados (a;b) tales que a pertenece a A y b pertenece a B.

Es decir: A x B ={(a;b)/ aA bB}

Por ejemplo, sea: A ={1; 2; 3} y B ={a ;b } AxB={(1;a),(1;b),(2;a),(2;b),(3;a),(3;b)}

REPRESENTACIN GRFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano A x B, se puede representar mediante ciertos grficos o esquemas, los ms utilizados son:

A. Diagrama Sagital de flechas:

Sea: A ={1;4} y B ={0; 3; 7}

B. Diagrama cartesiano

Sea:A ={1996;1997} y B ={20$; 30$}

ObservacinEl nmero de elementos del producto cartesiano A x B se deduce de la siguiente relacin:

n(A x B)= n(A) x n(B)

RELACIN BINARIADados dos conjuntos A y B, se llama relacin R de A en B, a aquel subconjunto del producto cartesiano A x B que cumple determinada condicin entre los elementos de sus pares ordenados.

Por ejemplo, sean los conjuntos:

A ={1; 3; 5}y B ={2; 4}

Donde el producto cartesiano A x B es:

A x B ={(1;2),(1;4),(3;2),(3;4),(5;2),(5;4)}

Si (a,b) representa a todos estos pares ordenados, procedemos a extraer aquellos que cumplen: a > b.

Entonces tendremos la siguiente relacin:R = {(3;2)(5;2),(5;4)}que se puede determinar como:R ={(a ; b) A x B/ a > b}

Observamos que en nuestra relacin a > b es la condicin o regla de correspondencia, hay que tener que se nos pudo haber pedido otra regla de correspondencia, por ejemplo:

a < b R1 ={(1;2),(1;4),(3;4)}a = b-1 R2 ={(1;2),(3;4)}

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACINLlamamos dominio de una relacin, al conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relacin.

Llamamos rango de una relacin al conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relacin.

Por ejemplo:R ={(1;2),(1;4),(3;7)}

Dominio de R = D(R)= {1 ;3}Rango de R = R(R)= {2 ; 4; 7}

EJERCICIOS

01. Hallar "x + y" si se cumple: (2x + y ; 3x 2y) = (9 ; 3)

02. Si los pares ordenado: (2a + 2, 14); (10, b2 2) son iguales. Hallar: "a + b"

03. Si M = {2, 3, 5} y N = {25, 9, 2} Determinar "p" y dar el nmero de elementos de su dominio: P = { (x ; y) M N/x2 = y}

04. Dados los conjuntos: A = {3, 6, 9} y B = {1, 7} Determinar: R = { (x ; y) A B / x + y < 7 05. Sean A = {2, 3, 5, 1} ; B = {9, 2, 8, 4} y la relacin P = { (a ; b) A B/a2 = b } Hallar: n [ Dom(R) ] + n [Ran (R) ]06. Dado M = {4, 5, 10, 1, 3} y D = {0, 1, 2} y la relacin: R = { (c ; d) M D/ "c + d" es impar}, hallar Dom (R)07. Determinar por extensin la relacin: A = {(a ; b) N x N/a + b = 4}

08. Si: Q = {4, 9, 10, 16}R = {25, 36} Determinar M = { (a; b) Q R / a2 > b}

09. Sea A= {1,2,3,4,5,6} y R una relacin en A determinar mediante la regla: R = {(x,y) A / y = 3} Determinar R por extensin

010. Sea B = {1, 2, 3, 4 ,5, 6, 7} y sea R una relacin definida en A por R = {(x,y) /x+y=8} Hallar n(R)

011. Dados los conjuntos: A = {1;2;3;4;5}; B={3;4;6;7;8} = { (x;y) A x B / y x-2=0} Entonces: n () es:012. Sean los conjuntos: D ={-2; -1; 1; 0} y E ={1; 3; 5}; hallar:

a) D x Eb) E x Dc) D x Dd) E x Ee) (D E) x (D E)

013. Hallar x+y, si se cumple que: (x 3; 8)=(-2; 2 y)

014. Hallar a+b; si se cumple: (2a + b; 3a 2b)=(9 ; 3)

015. Dado A ={1; 3; 5; 7}, B ={2; 4; 6; 8} y la relacin: R ={(a ;b) A x B /a . b es mltiplo de 3}; Hallar:a) Conjunto de partida de R.b) Conjunto de llegada de R.c) R por extensin.d) Diagrama sagital.e) Diagrama cartesiano.

016. Dados: C ={0; 1; 3; 5; 6}, D ={1; 2; 3; 4} y la relacin: R ={(c ; d) C x D/ c +d es primo}; Hallar:a) R por extensinb) Dom(R)

017. Sean: T ={-2; 0; 2; 4}, U ={2; 3; 4} y la relacin: R ={(t ; u) T x U/ t + u es par}; hallar:a) R por extensin.b) Dom(R)c) Ran (R)d) Dom (R) x Ran (R)

018. Sean los conjuntos: A ={12; 8; 5} y B ={2; 3; 4; 5} y la relacin R: AB, definida por ... es mltiplo de ...a) Elabora un diagrama sagital y un diagrama cartesiano.b) Determina R por extensin.c) Halla el Dom (R) y Ran (R).

019. Tienes los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B ={4; 6;11} y la relacin R: AB, definida por ... es primo relativo con ...a)Elabora un diagrama sagital y un diagrama cartesiano.b) Determina R por extensin.c)Hallar Dom(R) y Ran (R).

020. Sean los conjuntos: A ={2; 4; 5} y B ={3; 4}, y la relacin R: AB, definida por ... es mayor que ....a) Elabora un diagrama sagital y un diagrama cartesiano.b) Determina R por extensin.c) Hallar Dom(R) y Ran (R).

021. Dados los conjuntos:

A ={-3; -2; 0; 1}, B ={-1; 0; 1} yR ={(a;b) AxB/ a+ba; a+bb}b) R2 ={(a;b) AxB/ a = b}

025. Dados los conjuntos:

A ={3; 5; 8} y B ={2; 3; 45}Determinar las siguientes relaciones:a) R3 ={(a;b) AxB/ a+b