1. CONJUNTOS

Definición: un conjunto es una agrupación de varios objetos. A los objetos del conjunto se le llama elementos del conjunto.

1.1. Elemento:Son todos Aquello objetos que podemos imaginar único, individual, independiente y distinto de las demás cosas a su alrededor. Por ejemplo una persona, una silla, un pájaro, una flor, un carro, un lapicero, etc.

2. REPRESENTACIONES DE CONJUNTOS

Hay tres formas de representar los conjuntos, por medio del diagrama de Venn-Euler, por extensión y por comprensión.

2.1. Diagrama de VENN - EULER:

El diagrama de VENN- EULER es una representación gráfica de los conjuntos. Es decir, cuando los elementos que componen el conjunto se encuentran dentro de un espacio limitado por una línea. Ejemplo:

A

ConjuntoElemento

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es la agrupación de varios elementos que comparten características o rasgos similares

B CA

Notación de elementos

Para representar los elementos lo hacemos con letras minúsculas. Si los elementos son letras se les separa con comas; si son números, por puntos y comas, para no confundirlos con los números decimales.

Notación de conjuntos

A los conjuntos se les nombra con letras mayúsculas, tales como A, B, C, D, etc. y se leen: Conjunto A, conjunto B, etc.

2.2. Diagrama de Llaves Los elementos se encuentran entre llaves.

Por extensión:Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran todos sus elementosEjemplo:A= {Manzana, Mora, Fresa, Mandarina, Plátano, Naranja}B= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;…}

Por extensión:Utilizamos por comprensión cuando se da la característica común de sus elementos.Ejemplo:A = {x /x ∈ N, 4 < x < 11}B = {x /x ∈ N, x < 100}

3. CLASES DE CONJUNTOS

Considerados Aisladamente, Los conjuntos pueden ser homogéneos y heterogéneos; ordenables y no ordenables; finitos e infinitos; de elementos naturales y de elementos convencionales. Al comparar conjuntos puede suceder que estos sean iguales y no iguales; coordinables y no coordinables.

3.1. Conjuntos homogéneos y heterogéneos.Un conjunto es homogéneo cuando sus elementos son de la misma especie, género o clase. Y son heterogéneo cuando decimos que sus elementos son de diferente especie, género o clase.

3.2. Conjuntos ordenable y no ordenable.

Aquí todos sus elementos son de la misma clase (números) por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjunto homogéneo

.4.5.3

.2

Conjunto heterogéneo

A2

Aquí todos sus elementos son diferentes (animales, números y letras) por lo que conforman un conjunto

Conjunto ordenable: conjunto en el que se puede establecer un criterio de ordenación tal que permita determinar la posición de un elemento con respecto a los demás.

Ejemplo: Los pacientes en un hospital constituyen un conjunto ordenable con respecto a su estatura, peso, edad.

Conjunto no ordenable: conjunto en el cual no se puede generar un criterio de ordenamiento en el cual se pueda determinar la posición de un elemento con respecto a los demás.

Ejemplo: Las moléculas de un gas por ejemplo ya que el constante movimiento de estas no permiten establecer un orden entre estas

3.3. Conjunto finito e infinito.3.4. Conjunto de elementos naturales y de elementos convencionales.

4. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)

Los números naturales responden a las preguntas como:

¿Cuántos......…. fueron? ¿Cuánto…………...tienes? ¿Cuántos……cambiaste?

Estas preguntas han surgidos desde la aparición del hombre sobre la faz de la tierra, un problema que siempre tubo solución de manera más natural posible. Actualmente lo conocemos con el nombre de proceso de contar.

Estos números fueron agrupados en un sistema de números naturales, para su correcto funcionamiento utilizamos el número CERO como primer elemento.

Lo representamos a los números naturales como el conjunto N:

4.1. Correspondencia biunívoca

Se aplica a la correspondencia que se establece entre dos conjuntos cuando a cada elemento del primer conjunto corresponde un único elemento del segundo, y a cada elemento de este último corresponde un único elemento del primero.

ES DECIR: Aplicamos correspondencia biunívoca Cuando a cada elemento del conjunto “A” le corresponde un único elemento del conjunto “B” y viceversa, a cada elemento del conjunto “B” le corresponde un único elemento del conjunto “A”.

Ejemplo:

José, Liz Y Samuel se encuentran en una cabina de internet, donde solo existen tres computadoras (diferentes marcas), de modo que cada uno se sienta frente a una. Tal situación se puede representada del siguiente modo:

Utilizamos los números naturales para contar los elementos de un conjunto.

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9………

Ejemplo:Uno 1Dos 2Cinco 5

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

LOS NÚMEROS NATURALES N son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números naturales por N

JOSE .LIZ .SAMUEL .

. HP

. SONY

. LG

¡Cuidado! correspondencia

uno a uno en ambos sentidos: ¡correspondenci

a biunívoca!

Dato adicionalSi entre los elementos de dos conjuntos existe una correspondencia biunívoca, tales conjuntos son coordinables(conjuntos coordinables)

4.2. Numero natural

Llamamos número natural a la propiedad común que existe en todos los conjuntos coordinables entre sí.

4.3. Representación grafía de números naturales (N)

A los números naturales los representamos mediante puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la largura del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número.

Tenemos entonces, de este modo, LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES.

4.4. Comparación de números naturales

Para comparar números naturales utilizaremos los signos de igualdad y desigualdad:

Numero natural

Es un concepto abstracto que simboliza cierta propiedad comun a todos los conjuntos coordinable entre sí.

La propiedad común en estos conjuntos coordinables es el

número tres.

QUE ES UN SEGMENTO

Un segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

A B

El segmento ABLos segmentos se nombran por los puntos que lo limitan.

O A B C D E F

0 1 2 3 4 5 6

IMPORTANTE: No a todos los puntos de la recta numérica les corresponde a

un número natural. La recta numérica tiene principio en el punto correspondiente

al número CERO, pero a la derecha de tal punto no tiene fin, porque el conjunto N es infinito.

“Mayor Que” “Menor Que” “Igual Que”> =<

IgualdadSi dos números naturales le corresponde el mismo punto en la recta numérica:

Ley de igualdad:

Las leyes o caracteres de igualdad son tres:

Carácter idéntico:Todo número es igual así mismo

Carácter recíprocoSi un número es igual a otro, este es igual al primero

Carácter transitivo.Si un número es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.

DesigualdadSi dos números naturales tienen diferentes números de cifras,

será mayor aquel que tenga la mayor cantidad de cifras.

Así:658 2536

Si dos números son tiene la misma cantidad de cifras, se comparan una tras otra desde los órdenes mayores hasta el orden de las unidades.

23569857 23566857

3

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4

=3 3

a = a

a = b, b = a

a = b, b = c, a = b

Leyes de la desigualdad

En la desigualdad no existe el carácter idéntico, pues es imposible que un número sea mayor o menor que si mismo. m>m o que m<m Tampoco existe el carácter reciproco. Si un número es mayor que otro, este último no puede ser mayor que el primero, sino menor, así, a>b no se verifica que b>a, sino que b<a.

<4

Por Ejemplo: ¿Qué símbolo escribir en el rectángulo?

Para conocer la respuesta, comparamos las primeras cifras de la izquierda en cada número hasta dar con una diferente, la que nos facilitara el simbol a colocar en el recuadro.

Entonces:

23569857 23566857

Po ser 9 mayor que 6.

Ley de desigualdad:

Carácter transitivo de las relaciones de mayor y menor:

Si un número es mayor que otro y éste es mayor que el tercero, el primero es mayor que el tercero.

Así:

Si un número es mayor que otro y éste es mayor que el tercero, el primero es mayor que el tercero.

Así:

>

Colocar el >, < O =

8. 1254661 1242464

9. 142514 14145

10. 214254 14254

11. 1254879 145782

12. 142584 124698

13. 145879 98564

14. 124454 124454

Practicamos

1. 4577811 121245764

2. 124514 1414254

3. 124154 141421254

4. 1254879 1254879

5. 142158 1246948

6. 195879 195889

7. 124454 124454

a > b y b > c, a > c

a < b y b < c, a < c

1) Determinar por extensión el siguiente conjunto. D= {x/x ∈ N; x < 5}

Solución: En la recta numérica

La información que nos dan en el ejemplo es que D es un conjunto de los números naturales menores que 5 (¡no incluimos el 5!), por lo que el punto de la recta que representa a 5, dibujamos una esferita hueca. Entonces, los únicos números naturales que cumplen la condición son: 0; 1; 2; 3; 4.

Luego: D = {0; 1; 2; 3; 4} Rpta.

2) Determinar por extensión los números naturales: H = {x/x ∈ N; 1< x >5}

Solución: En la recta numérica

Si nos piden no incluir a los extremos 1 y 9 de la parte sombreada en el gráfico.

Por lo tanto, el conjunto H determinado por extensión será: H = {2; 3; 4} Rpta.

3) Determinar por extensión el siguiente conjunto. M = {x∈ N/x es par ^ 2≤ x ≤ 5}

Solución:En la recta numérica

Si nos piden incluir a los extremos 1 y 9 de la parte sombreada en el gráfico.

Por lo tanto, el conjunto M determinado por extensión será: M = {2; 4} Rpta. ¡Solo pares!

0 1 2 3 4 5 6

RECUERDAx/x se lee “x tal que x”x/x ∈ N se lee: “x tal que x pertenece al conjunto N”

EJERCICIOS RESUELTOS

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

CUIDADO1 < x > 5

Valores naturales de x comprendidos entre 1y 5. ¡Sin incluir a 1y 5!

CUIDADO2≤ x ≤ 5

Valores naturales de x comprendidos desde 2 hasta 5. ¡Incluyendo 1y 9!

1.- dado los siguientes conjuntos, completar el cuadro escribiendo el número de elementos de cada conjunto respectivo:

N°

Conjunto N° de Elementos

N° Conjunto N° de Elementos

1 A={x/x e N X< 25} 62 B={x/x e N , 12< x ≤24} 73 84 95 10

Practicamos TIGRE EN LAS MATEMATICAS