MATEM_( Función Cuadrática

I.P.F.A. de Huelva Departamento de Matemáticas

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GUÍA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS PARA LA E.S.A. A DISTANCIA

MÓDULO IV

1. Introducción.- Aquí tienes la guía del cuarto módulo de matemáticas. Con ésta guía se pretende ayudarte a que manejes tu libro de texto y que saques de tu tiempo de estudio el máximo provecho. Cada módulo contiene seis quincenas, cuyos contenidos vienen desarrollados en ésta guía. Presta especial interés a la metodología que te irá guiando en la forma en que puedes alcanzar los objetivos que necesitas al final de cada quincena.

2. Actividades.- En tu libro vas a encontrar multitud de actividades a lo largo del desarrollo de cada tema. Resuelve todos sus pasos con cuidado y no continúes hasta tener la seguridad de comprender lo que estás haciendo. Al final de cada tema tienes otro tipo de actividades (actividades de refuerzo y ampliación) que también puedes hacer, pero ten en cuenta que irán aumentando en grado de dificultad. De éstas actividades te recomiendo algunas en cada quincena, que te servirán como refuerzo de las que ya has hecho a lo largo del tema. Puedes enviar para que se te corrijan las actividades que realices pero no se tendrán en cuenta a la hora de evaluar.

3.- Contenidos.- Distribución por quincenas con carácter orientativo. Quincena 1ª.- Representación gráfica de funciones. Quincena 2ª.- Funciones usuales. Quincena 3ª.-Trigonometría. Quincena 4ª.- Estadística: Concepto, tablas y gráficas. Quincena 5ª.- Cálculo de parámetros estadísticos. Quincena 6ª.- El azar y la probabilidad.

4.- Material didáctico.- Libro de texto: Matemáticas. Educación Secundaria de Adultos.

Editorial: Mc Graw Hill. Autores: M. Castillo, M. L. Casares y E. Borrachero. Este material sirve para los cuatro módulos de matemáticas, por lo que cuando cambies de módulo únicamente necesitarás la guía didáctica correspondiente.

5.- Evaluaciones.- Se realizará una prueba en los meses de enero o febrero y para aquellos que no promocionen o comiencen éste módulo en el segundo cuatrimestre, otra en el mes de junio. Estas pruebas irán encaminadas a ver el grado de consecución de los objetivos propuestos


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MATEMÁTICAS E.S.A MÓDULO IV

QUINCENA 1ª Contenido: Representación gráfica de funciones .

☺ Representación de números en una recta. ☺ Localización de puntos en un plano cartesiano. ☺ Construcción de gráficas a partir de una tabla. ☺ Las funciones relacionan variables. ☺ Expresión algebraica de una función. ☺ Signo de una función y puntos de corte. ☺ Crecimiento y decrecimiento. ☺ Máximos y mínimos. ☺ Discontinuidades.

Objetivos:

☺ Conocer los conceptos siguientes: ejes cartesianos, función y formas de expresar una función.

☺ Identificar el dominio de una función. ☺ Interpretar gráficas. ☺ Localizar tramos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. ☺ Conocer e interpretar los puntos de corte con los ejes. ☺ Introducirse en el concepto de continuidad.

Metodología:

Todos los objetivos los puedes adquirir trabajando con el tema 10. Señalarte que el primer objetivo es un repaso de lo estudiado en el módulo II).

Debes tener en cuenta la siguiente definición que no aparece en el tema. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN : es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x).

Actividades de refuerzo:

Tema 10: 1, 10 (salvo el apartado e) y 14 (páginas 133 y 134).


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QUINCENA 2ª Contenido: Funciones usuales.

☺ La función lineal. ☺ La función afín. ☺ Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones. ☺ Función cuadrática. La parábola.

Objetivos:

☺ Distinguir y representar gráficamente funciones lineales y afines. ☺ Conocer el concepto de pendiente de una recta. ☺ Interpretar gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones lineales ☺ Reconocer a las funciones cuadráticas y saber representar su gráfica. ☺ Hallar el vértice de la parábola y emplearlo como punto inicial y de referencia en la

representación de la misma.

Metodología:

Los tres primeros objetivos indicados los verás desarrollados en los tres primeros apartados del tema 11. Para los objetivos cuarto y quinto, se te facilitarán unos apuntes.


Tema 11: 3 (interpretando además la pendiente), 4, 5, 11 y 17 (páginas 150 y 151)


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QUINCENA 3ª Contenido: Trigonometría.

☺ Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. ☺ Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo. ☺ Razones trigonométricas de ángulos notables. ☺ Resolución de triángulos rectángulos.

Objetivos:

☺ Conocer los conceptos de ángulos, medidas y teorema de Pitágoras. ☺ Saber encontrar a partir de una razón trigonométrica dada, las restantes. ☺ Resolver triángulos rectángulos. ☺ Resolver problemas geométricos mediante la aplicación de la Trigonometría.

Metodología: Para el objetivo primero te aconsejamos que repases lo estudiado en el modulo II (lo verás en los apartados 12.1, 12.2 y 12.7 del tema 12 y del tema 15, el apartado 15.6.3). Los restantes los encontrarás en el tema 16, desde el 16.1 hasta el 16.4 (ambos incluidos) y del apartado 16.6 sólo estudia la teoría (no leas ni el ejemplo 2 ni el ejercicio resuelto 3 pues excede a las pretensiones de esta quincena). Te aconsejamos que cuando aparezcan razones trigonométricas de ángulos notables no utilices la calculadora. Actividades de refuerzo:

Tema 16: 1, 6 (página 224) y el siguiente ejercicio: - Dado el valor de una razón trigonométrica, determina las restantes razones de cada caso:

o Sen α = ¾ o Cotg α = 3 o Tg α = 2

o Cosec α = 3


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QUINCENA 4ª Contenido: Estadística: Concepto, tablas y gráficas.

☺ Conceptos básicos: Población y muestra. ☺ Redacción de preguntas. El carácter estadístico. ☺ Organización de datos: Tablas y frecuencias. ☺ Gráficas estadísticas.

Objetivos:

☺ Aprender a recoger y organizar los datos cuando se pretende estudiar alguna característica propia de una población.

☺ Utilizar gráficas para percibir la información de una forma más rápida que con la simple exposición de datos.

☺ Saber elegir, entre los distintos métodos para hacer gráficas, aquellos que resultan más adecuados en cada caso.

Metodología: El desarrollo de esta quincena lo tienes en el tema 17 de tu libro de texto.

Actividades de refuerzo: Tema 17: 3 y 4 (página 238)


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QUINCENA 5ª Contenido: Cálculo de parámetros estadísticos.

☺ Medidas de centralización. ☺ La media. ☺ La moda. ☺ La mediana ☺ Medidas de dispersión. ☺ Recorrido. ☺ Varianza y desviación típica.

Objetivos:

☺ Comprender el significado de las medidas de centralización como recurso para reunir en un solo dato toda la información de que disponemos.

☺ Calcular los parámetros de centralización utilizando el método adecuado para cada tipo de variable (discreta o continua)

☺ Justificar la necesidad de las medidas de dispersión para controlar la fiabilidad de la información que proporcionan las medidas de centralización.

☺ Calcular los parámetros de dispersión utilizando el método adecuado para cada tipo de variable (discreta o continua).

Metodología: Esta quincena la encontrarás en el tema 18 pero no tengas en cuenta los apartados 18.2.1, 18.5.1 y 18.6.


Tema 18 : 1 y 8 (ayuda para este ejercicio: para estudiar la homogeneidad debes estudiar la varianza y tener en cuenta el párrafo final de la introducción del apartado 18.5 de la página 248) (página 251)


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QUINCENA 6ª Contenido: Probabilidad.

☺ Fenómenos aleatorios. ☺ Sucesos. ☺ Ley de los grandes números. ☺ Ley de Laplace. ☺ Probabilidad de sucesos compatibles e incompatibles. ☺ Experimentos compuestos. ☺ Sucesos independientes y dependientes.

Objetivos:

☺ Conocer la terminología básica utilizada en problemas de probabilidad. ☺ Aplicar correctamente la Ley de Laplace. ☺ Saber formar el espacio muestral de un experimento aleatorio. ☺ Aproximarse a la probabilidad de un suceso mediante la experimentación. ☺ Distinguir e interpretar dependencia e independencia de sucesos. ☺ Calcular la probabilidad de sucesos correspondientes a sucesos compuestos.

Metodología: Los contenidos de esta quincena corresponden con el Tema 19. Durante todo el tema debes tener en cuenta las propiedades de la probabilidad según Laplace (19.4.1). Actividades de refuerzo:

Tema 19: 2, 5 y 12 (páginas 263 y 264)


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Función cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales, además a y b deben ser diferentes de cero (a≠ 0; b≠ 0).

Si queremos representar una función cuadrática del tipo cba 2 ++= xxy , lo que haremos será hallar

el punto donde se encuentra el vértice, utilizar una serie de fórmulas para hallar el eje de simetría y los puntos de intercepción con los ejes.

En la función cuadrática cba 2 ++= xxy

¿Cómo obtendremos el vértice de la parábola?

� Para obtener el vértice usaremos la fórmula: V

+−−a4

ac4b;

a2

b 2

¿Cómo hallaremos el eje de simetría?

� Para hallar el eje de simetría aplicaremos la fórmula: a2

b−=x

¿Cómo hallaremos los cortes con los ejes?

� Para hallar los puntos de corte con los ejes procederemos de la siguiente manera:

Punto de corte con el eje “y”

La coordenada en “x” es igual a cero (x = 0); esto hace que, al sustituir x = 0 en la ecuación

cba 2 ++= xxy , tenemos c)0(b)0(a 2 ++=y

Con lo que obtenemos que el punto de corte en “y” es el punto (0;c).

Puntos de corte con el eje “x”

Aquí la coordenada en “y” es igual a cero (y = 0); esto hace que la función se convierta en:

0cba 2 =++ xx , una ecuación de segundo grado y los puntos de corte serán las soluciones de dicha ecuación.

Recuerda:

Las soluciones de la ecuación cuadrática: 0cba 2 =++ xx son:

a2

4acbb 2

1

−+−=x ; 2a

4acbb 2

2

−−−=x

En la fórmula: si 04acb2 <− , se dice entonces que no hay puntos de corte con el eje “x”.


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Ejemplo 1: Representa la función cuadrática 322 +−= xxy . Solución: Identificamos los valores de a, b y c. Tenemos: a = 1, b = –2 y c = 3 Hallando el vértice de la función:

Hacemos uso de la fórmula: V

+−−a4

ac4b;

a2

b 2

Reemplazamos los valores conocidos y resolvemos: V

+−−−−)1(4

)3)(1(4)2(;

)1(2

)2( 2

= V(1;2)

Hallando el eje de simetría:

Hacemos uso de la fórmula a2

b−=x

Remplazamos ahora los valores conocidos: )1(2

)2(−−=x =1

El eje de simetría es la recta x = 1. Hallando los puntos de corte en los ejes:

� El punto de corte en “y” es el punto (0;c); al reemplazar el valor de c (c = 3), obtenemos: (0;3). � El punto de corte en “x” se obtiene cuando el valor de y es cero (y = 0).

Para que haya puntos de corte en el eje “x”, el valor de la expresión 4acb2 − debe ser un real

positivo ( 04acb2 ≥− ),

Veamos: 4acb2 − = 08)3)(1(4)2( 2 <−=−− (es un real negativo).

NO hay puntos de corte en “x”, lo que podemos ver en su gráfica.

)2;1(V

)3;0(

si

met

ría

de

eje


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Ejemplo 2: Dada la parábola y = - x2 + 2 x + 3 , representarla gráficamente:

Solución: a = -1, b = 2 y c = 3.

Hallando el vértice de la parábola: Reemplazamos en la fórmula:

V

−−a4

b4;

a2

b 2ac los valores conocidos queda V (1,4)

Hallando el eje de simetría

El eje de simetría es la recta x = 1

Cortes con los ejes

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0).

Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).

Representa las siguientes funciones cuadráticas y determina el dominio y el rango.

a) xxy 42 −= f) xxy 168 2 +=

b) xxy 105 2 −= g) xxy 126 2 +−=

c) 1284 2 +−= xxy h) 18205 2 +−= xxy

d) 1282 2 −+−= xxy i) 22246 2 −+−= xxy

e) y = – 2x j) y = 2x + 1

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