7/23/2019 Mate 3 Problemas de Chile

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Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Departamento de Matemtica

Certamen 2 Mate 4

28 mayo, 2012

1. Una particula se mueve sobre el manto del cilindro x2 +y2 = 1 , de forma tal que z=z()

es solucin de la ecuacin diferencial

d2z

d2 =z

z(0) = 1 , dz

d(0) = 0

donde (r , , z ) son las coordenadas cilndricas.

a) Encuentre una parametrizacin de la curva descrita por la partcula.

b) Calcule, en un punto genrico de la curva, el vector tangente unitario, el vector normaly el vector binormal asociado a , as como la torsin y la curvatura.

Solucin

Para z se cumple:

z = z z() = A e +Be

Evaluando en = 0 se tiene: z() = e + e

2 = cosh()

Luego la parametrizacin de la curva es:

r() =(cos() ,sen() ,cosh())

Derivando

r () = ( sen() ,cos() , senh())r () = ( cos() , sen() , cosh())r () =(sen() , cos() , senh())

MAT024 1

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Adems

r ()

2 = sen2() + cos2() + senh2() = cosh2()

r ()r () =(cos() cosh() + sen() senh() , cos() senh() + sen() cosh() , 1)

r ()r ()2 = senh2() + cosh2() + 1 = 2 cosh2()

Luego:

T =

1

cosh()(

sen() , cos() , senh())

B =

12 cosh()

(cos() cosh() + sen() senh() , cos() senh() + sen() cosh() , 1)

N =

12cosh2()

(cos()cosh2() sen() cosh() senh() , cos() senh() cosh() + sen()cosh2

cosh()

k = r ()

r ()

r ()3 =

2 cosh()

cosh3() = 2 sech2

()

T =r ()r () r r ()r ()2 =

senh()

cosh2()

MAT024 2

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2. Calcular

R

z dV

dondeR es la regin del primer octante encerrada por el elipsoide x2

a2+

y2

b2+

z2

c2 = 1 y los

planos coordenados.

Solucin

En coordenadas elpticas se tiene:

x = a cos()sen()

y = b sen()sen()

z = c cos()

0 1

0 2

0 2

con| det(J( , , ))| = 2 sen() abc . Con esto la integral queda:

R

z dV = 10

/20

/20

c cos() 2

sen() abc d d d

= abc2

1

0

3 d

/20

sen()cos() d

/20

d

= abc2

1

4

1

2

2

=

abc2

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MAT024 3

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3. Haga un cambio de variable adecuado y calcule la integral

D

x2 ex2/y

y(x2 +y2)dA

dondeD es la regin acotada por las curvas x = y , x = 2y , x2 = y y x2 = 2y .

Solucin

Hacer el cambio u = x

y ; v =

x2

y .

El Jacobiano del cambio de variable queda

J1(x, y) =

1

y x

y2

2x

y x

2

y

|J1(x, y)| = x

2

y3

Haciendo los reemplazos se tiene:

D

x

2

e

x2/y

y(x2 +y2)dA =D

x

2

e

x2/y

y

x2

y2+ 1

y2

dA

=

2

1

2

1

v ev

(u2 + 1)y2 dudv

x2

y3

=

2

1

2

1

v ev

(u2 + 1)vdudv

= 21

21

ev

(u2 + 1)dudv

=

2

1

ev dv

2

1

du

u2 + 1du

=

e2 e1 arc tg(2) 4

MAT024 4

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4. Sea a >0 . Calcular

R3

dV

(x2 +y2 +z2 +a2)2

Solucin

En coordenadas esfricas y trabajando solo en el 1er cuadrante, la integral queda:

R3

dV

(x2 +y2 +z2 +a2)2 = 8

/2

0 /2

0

0

2 sen()

(2 +a2)2dd d

= 8

/20

d

/20

sen() d

0

2

(2 +a2)2d

= 8

2

(1)

4a

=

2

a

La ltima integral es impropia y se calcula haciendo = a tg(t) . As queda:

0

2

(2 +a2)2d =

1

a

/20

tg2(t)sec2(t)

sec4(t) dt =

1

a

/20

sen2(t) dt =

4a

MAT024 5